ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE ESTRUTURAS RETICULADAS VIA ANÁLISE LIMITE

CILAMCE 2014 Proceedings of the XXXV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering

Evandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortaleza, CE, Brazil, November 23-26, 2014

ANLISE DE CONFIABILIDADE DE ESTRUTURAS RETICULADAS VIA ANLISE LIMITE

Guilherme Barros Andr Pereira [email protected] [email protected] Universidade Federal Fluminense UFF / Escola de Engenharia / Laboratrio de Simulaes Computacionais LSC Rua Passo da Ptria, 156 Sala 244A, Bloco E, So Domingos Niteri CEP: 24210-240 Resumo. Neste trabalho so apresentadas tcnicas para efetuar Anlise de Confiabilidade quanto ao colapso plstico de estruturas reticuladas planas via Anlise Limite. A Anlise Limite pode ser classificada dentro da rea da Anlise Plstica de Estruturas e tem como principal objetivo descobrir quo resistente uma dada estrutura. Mais especificamente, busca-se estimar o fator pelo qual o carregamento atuante deve ser majorado para que a estrutura colapse. Isto ocorre quando a estrutura aporticada transformada em um mecanismo devido formao de um determinado nmero de rtulas plsticas. Esse fator de colapso plstico um dos mais importantes resultados de uma anlise estrutural plstica, pois til na avaliao da segurana estrutural, auxiliando no projeto de estruturas dcteis, possibilitando estruturas mais confiveis e econmicas. O presente trabalho aborda ainda o comportamento aleatrio das variveis envolvidas na anlise, resistncias e solicitaes, permitindo um projeto baseado em confiabilidade a partir da carga de colapso da estrutura. Ressalta-se que o dimensionamento realizado por intermdio da anlise proposta garante a segurana pr-estabelecida em relao ao colapso plstico, o que no acontece comumente no dimensionamento convencional. Essa forma de colapso ser preponderante no caso de estruturas no esbeltas, nas quais a carga de colapso ser menor que a carga crtica. Palavras-chave: Anlise de Confiabilidade, Anlise Limite e Estruturas Reticuladas


CILAMCE 2014 Proceedings of the XXXV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering Evandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortaleza, CE, Brazil, November 23-26, 2014

1 INTRODUO

O projeto e o dimensionamento de uma estrutura tm por objetivo garantir a segurana da estrutura quanto ao colapso, mantendo, ao mesmo tempo, suas condies de funcionalidade para as cargas de servio. As crescentes exigncias de avaliao apurada da segurana e do comportamento das estruturas tm levado ao desenvolvimento de novos mtodos de anlise, dimensionamento e verificao estrutural.

As metodologias de projeto convencionais possibilitam ao projetista definir quo seguro est um elemento estrutural por si s, sem permitir, contudo, uma avaliao da segurana da estrutura em sua totalidade. Estruturas hiperestticas so capazes de resistir s solicitaes ainda que tenha havido falha de um elemento estrutural. Isso se deve ao fato dessas estruturas serem capazes de redistribuir os esforos internos. Desse modo, deve-se prever, na fase de verificao estrutural, a real segurana global que a estrutura ir dispor a fim de analisar sua adequabilidade ao projeto.

Surgem ento os projetos estruturais baseados no comportamento plstico dos materiais. Em tais procedimentos de projeto, o objetivo principal no determinar a distribuio de tenses na estrutura. Busca-se, na verdade, determinar a carga limite que a estrutura capaz de suportar antes do colapso. Quando as cargas so aumentadas monotonicamente at o ponto em que a estrutura no consiga mais suport-las, o corpo dito haver atingido o colapso e a carga correspondente chamada carga de colapso, carga limite ou carga ltima. A razo entre o carregamento ltimo da estrutura e o inicialmente aplicado denominado fator de colapso. Esse fator fornece uma estimativa da segurana estrutural, pois indica quo distante a estrutura est do colapso, mesmo aps um elemento isolado ter esgotado sua resistncia. Ao estado de deformao do corpo nesse instante d-se o nome de mecanismo de colapso.

O processo de aumento monotnico da carga pode ser simulado atravs de uma anlise elastoplstica. Contudo, essa estratgia apresenta, o inconveniente de ter que resolver um sistema de equaes no lineares, sendo bastante complexo e computacionalmente custoso. Tendo em vista que o principal interesse, em nvel de segurana estrutural, est somente na carga ltima, a Anlise Limite (AL) mais recomendvel, pois se pode escrever o problema na forma de programao matemtica e encontrar eficientemente o fator de colapso da estrutura, atravs de algoritmos de otimizao apropriados.

Nas aplicaes gerais de engenharia, no se conhece valores determinsticos para a tenso de escoamento do material e cargas aplicadas. Desse modo, para avaliao da segurana estrutural preciso tratar as incertezas das variveis envolvidas. As incertezas presentes nos parmetros do material so decorrncia dos processos de fabricao, nos quais impossvel garantir que todo volume apresenta a mesma composio. J no caso das solicitaes, as incertezas so ainda maiores, pois dependem, entre outras, de aes da natureza (e.g. vento, ondas, chuva, terremoto e etc.), que na melhor hiptese se conhecem registros histricos.

Por essa razo, as metodologias de projeto buscam, de diferentes maneiras, tratar as incertezas, de forma a conferir estrutura a melhor relao possvel entre segurana e economia. A metodologia de clculo mais antiga, o Mtodo das Tenses Admissveis, preza pela diviso da tenso de escoamento por um parmetro denominado coeficiente de segurana. atravs desse coeficiente que se busca tratar todas as incertezas presentes no processo. O Mtodo dos Estados Limites, no qual as normas brasileiras atuais se baseiam, recomenda diferentes coeficientes nos diversos tipos de carga, majorando-as, e para os materiais, minorando sua resistncia. Todavia, nenhum desses procedimentos permite avaliao da probabilidade de falha do projeto.

G. Barros, A. Pereira



Obter a probabilidade de falha de modelos estruturais levando-se em considerao as incertezas o objetivo principal dos mtodos de anlise de confiabilidade. Pode-se entender como falha o no atendimento da estrutura aos objetivos para os quais ela foi concebida. Uma vez que um cenrio de falha ocorre, prejuzos tanto da ordem material como de segurana podem acontecer. Considerando-se que sempre existe o risco de falha, um controle para mant-lo dentro de um nvel aceitvel, de acordo com critrios de segurana e economia, imprescindvel (Vaz, 2011).

A metodologia apresentada no presente trabalho permite um projeto baseado em confiabilidade a partir da carga de colapso da estrutura. Para tal, faz-se uma Anlise Limite Probabilstica, considerando comportamento aleatrio das variveis envolvidas na anlise, tenso de escoamento e cargas. Deve-se ressaltar que o dimensionamento realizado por intermdio da anlise proposta, garante a segurana pr-estabelecida em relao ao colapso plstico, o que no acontece comumente no dimensionamento convencional.

2 ANLISE LIMITE A Anlise Limite (AL) de estruturas baseia-se num conjunto de teoremas fundamentais

derivados da teoria da plasticidade: o teorema esttico ou do limite inferior; o teorema cinemtico ou do limite superior; e o teorema da unicidade. Os teoremas fundamentais da anlise limite foram formulados primeiramente por Gvozdev (1938) e independentemente por Drucker (1953), para corpos com comportamento rgido-plstico perfeito. Esses teoremas, como os prprios nomes sugerem, fornecem limites para a verdadeira carga de colapso.

2.1 Teoremas Limites

Teorema do Limite Inferior: Se a carga atuante tem uma magnitude que permita encontrar um campo de tenses, satisfazendo s condies de equilbrio no interior e no contorno, e essas tenses estejam satisfazendo um critrio de resistncia do material em qualquer ponto do corpo, ento a carga atuante menor ou no mximo igual carga de colapso da estrutura. Como a carga de colapso real da estrutura sempre maior ou igual quela referente a um campo de tenses estaticamente admissvel (Figura 1), os limites inferiores so sempre valores a favor da segurana.

Teorema do Limite Superior: Considerando-se um campo de deslocamentos geometricamente possvel, uma carga que realize trabalho externo igual ao trabalho interno plstico de deformao, para o campo de deslocamentos em questo, ser maior ou igual carga de colapso. A carga de colapso real da estrutura sempre menor ou igual carga obtida conforme descrito acima, consequentemente, os limites superiores da carga de colapso so contrrios segurana (Figura 1).

Teorema da Unicidade: A partir dos dois teoremas da AL, pode-se encontrar uma carga ltima de forma a satisfazer duas condies: 1) existncia de um campo de tenses estaticamente admissvel; e 2) existncia de um campo de deslocamentos cinematicamente admissvel. Quando ambas as condies so satisfeitas simultaneamente, o fator de colapso encontrado exato e determinado de maneira nica.

apresentado na Fig. 1 como se d a convergncia ao fator de colapso exato em cada um dos teoremas limites. Como a formulao pelo Limite Inferior apresenta resultados a favor da segurana, essa ser a formulao adotada neste trabalho. Para resolver o problema de AL



com auxlio da Programao Matemtica (PM), por esse teorema, busca-se maximizar o fator de colapso enquanto forem atendidos o critrio de resistncia e as equaes de equilbrio.

Figura 1. Convergncia ao Fator de Colapso exato

2.2 Critrios de Resistncia

Em projeto estrutural, geralmente idealiza-se o comportamento do ao como elasto-plstico perfeito (Figura 2(a)). Entretanto, como na eminncia do colapso a energia de deformao elstica desprezvel se comparada energia de deformao plstica, a verificao da segurana estrutural pode ser realizada recorrendo a um modelo de material rgido-plstico, como mostrado na Fig. 2(b). A lei que define o limite entre o comportamento rgido (ou elstico) e plstico do material sob ao de qualquer combinao de tenses chamada Critrio de Resistncia.

(a) (b)

Figura 2. Curva tenso-deformao: (a) elasto-plstico perfeito; e (b) rgido-plstico perfeito As tenses em vigas sujeitas a ao de flexo pura crescente so elsticas (Figura 3(a))

at que a fibra mais solicitada atinja a tenso de escoamento, o que ocorre para o Momento de Incio de Plastificao My. Nesse instante essa fibra esgota sua resistncia, porm a seo poder resistir a incrementos de momento, com plastificao das fibras internas (Figura 3(b)). Na Fig. 3(b), proporcional a porcentagem da altura da seo em fase elstica, para a qual o momento resistido e a curvatura da seo so dados, respectivamente, por

232

2YM M

= , e (1)

Yf

kE d

= . (2)

O limite da seo ocorre para o chamado Momento de Plastificao Total Mp, para o qual, tende a zero e a curvatura da seo a infinito, configurando comportamento de rtula. Ou seja, sob solicitao do momento Mp a seo se transforma numa rtula plstica.




(a) (b) (c) Figura 3. Distribuio de tenses ao longo da seo, tal que: (a) puramente elstica; (b) elasto-plstica; e

(c) totalmente plastificada

Todavia, em prticos planos, o esforo atuante de flexo composta (Figura 4). Nota-se que o momento resistido pela seo inferior ao Mp, sendo assim denominado momento de plstico reduzido Mpr. Essa reduo ocorre para equilibrar a seo em relao aos esforos axiais, resultando no normal de plastificao NP. Mpr e NP so dados, respectivamente, por

( ) YN db f= ou Y P

N N

dbf N = = ; e (3)

( ) ( )21

12 2pr Y P

d dM bd f M

+ = = . (4)

Figura 4. Distribuio de tenses em seo sob flexo composta

Desse modo, define-se o critrio de resistncia tal como: o momento solicitante necessariamente igual ou menor que o momento de plastificao total reduzido, ou seja,

2

1P

P

NM M

N

ou

2

1

P P

M N

M N

+ . (5)

2.3 Equaes de Equilbrio

Na formulao de AL pelo Teorema do Limite Inferior para fins computacionais, discretiza-se o campo esttico em parmetros nodais, os esforos solicitantes nos ns. Desse modo, cada elemento finito ser descrito num sistema denominado bsico, que equivale a uma viga isosttica, na qual os esforos em qualquer posio so funo dos esforos nodais.

O sistema bsico, mostrado na Fig. 5(a), possui trs graus de liberdade: esforo normal no elemento N; e momentos fletores nas sees extremas M1 e M2, como consta na Fig. 5(b). Nota-se que, o campo de momento fletor varia linearmente de M1 a M2, exemplificado na

d

d



Fig. 5(c) e, o campo de esforo cortante V fica ento determinado pela equao de equilbrio, V = dM/dx, sendo constante ao longo do elemento, como pode ser observado na Fig. 5(d). O campo de esforos normais tambm constante no elemento, como mostrado na Fig. 5(e). Dessa forma, as tenses mximas iro ocorrer sempre nos ns do elemento, por isso, garante-se que a formao de rtulas plsticas se dar, nessas sees.

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 5. Sistema bsico (a), seus graus de liberdade (b), variao de momento fletor no elemento (c),

variao de esforo cortante no elemento (d) e variao de esforo normal no elemento (e)

Enfim, obtm-se, por equilbrio, a relao entre os esforos internos, graus de liberdade do elemento e os graus de liberdade da estrutura (foras e momento aplicado) representados na Fig. 6. Pode-se ento escrever as equaes de equilbrio para o n inicial

1 2

1 10 cos sin

M MH P N

L

+ = = + ; (6)

1 2

1 20 sin cos

M MV P N

L

+ = = ; e (7)

1 3 10M P M = = . (8)

Figura 6. Equilbrio no sistema bsico

As equaes de equilbrio, Eq.(6) (8) e as anlogas para o n final, podem ser agrupadas na forma matricial,

=As p , (9) na qual, , 1, 2T N M M = s o vetor de esforos, p o vetor de cargas nodais e A a matriz chamada de matriz de equilbrio do elemento, dada por




cos sin sin

sin cos cos

0 1 0

cos sin sin

sin cos cos

0 0 1

L L

L L

L L

L L

=

A . (10)

Monta-se a matriz de equilbrio da estrutura impondo-se equilbrio em todos os graus de liberdade da estrutura, com a contribuio da matriz de equilbrio de cada elemento.

2.4 Programao Matemtica

O problema fundamental de Programao Matemtica (PM) minimizar a funo objetivo f (x) de n variveis contidas no vetor x, designado de vetor das variveis de projeto, sendo que as n variveis esto submetidas a (s.a) p restries de igualdade hk (x), m restries de desigualdade cj (x) e l restries laterais do tipo maior ou igual a um limite inferior xiinf e menor ou igual a um limite superior xisup (Vaz, Pereira, & Menezes, 2011). Ou seja,

( )( )( )

inf sup

min

0 1

s.a 0 1

1

n

k

j

i i i

f

h k p

c l m

i lx x x

= = = =

x x

x

x

. (11)

O problema de AL pelo limite inferior descrito como um problema de PM, maximizando-se , sujeito s equaes de equilbrio (restries lineares de igualdade) e ao critrio de resistncia (restries no lineares de desigualdade), da seguinte forma:

2

max

s.a1

P P

M N

M N

= +

As p 0 . (12)

3 ANLISE DE CONFIABILIDADE O principal objetivo da confiabilidade estrutural avaliar a probabilidade de que uma

estrutura no falhe em atender aos objetivos para os quais ela foi projetada durante a sua vida til. Desse modo, define-se confiabilidade como o complemento da probabilidade de falha. A avaliao da probabilidade de falha baseada em uma funo de estado limite, ou funo de falha, G

(X), na qual X um vetor que inclui todas as variveis aleatrias. O limite G

(X) = 0 define a superfcie de falha que divide o espao das variveis aleatrias em um domnio de segurana, G

(X) > 0 e um domnio de falha, G

(X) < 0. A probabilidade de falha , ento, a probabilidade da funo de falha assumir valores pertencentes ao domnio de falha, ou seja,

( )( ) ( )0f

f xP P G f d

= < = X X x , (13)



equao na qual, fx (X) a funo densidade de probabilidades conjunta. A avaliao da Eq.(13) complexa, uma vez que envolve a avaliao de uma integral n-

dimensional em um domnio semi-infinito (domnio de falha), definido pela funo de falha. Sendo assim, foram desenvolvidos mtodos analticos, como o FORM, e mtodos baseados na simulao de Monte Carlo. Sucintamente, o Mtodo de Monte Carlo consiste em, segundo a funo densidade de probabilidades conjunta, simular uma amostra e verificar a ocorrncia de falhas. No FORM, as variveis aleatrias X so transformados em variveis U normais padres estatisticamente independentes equivalentes. Reescreve-se a funo de falha G

(X) em termos das variveis U. Com isso, pode-se encontrar o ndice de probabilidade , que , geometricamente, a menor distncia entre a origem e a funo de falha. Apresenta-se, esquematicamente, o Mtodo de Monte Carlo na Fig. 7(a), e do FORM na Fig. 7(b).

Para determinao da confiabilidade estrutural quanto ao colapso plstico, as variveis envolvidas - momento de plastificao total Mp; normal de plastificao Np; e as cargas externas - so tratadas como variveis aleatrias e a falha ocorre para valores de menores que um, para os quais a carga atuante no suportada pela estrutura, ou seja,

( )( ) ( ),M , ,M , 1P P P PG N P N P = . (14)

(a) (b) Figura 7. Mtodos para Confiabilidade: (a) Monte Carlo; e (b) FORM

4 RESULTADOS

Nos exemplos estudados, utiliza-se o ao estrutural A-36, cuja tenso de escoamento caracterstica fyk igual a 250 MPa. Para tratar fy como varivel aleatria, de acordo com o JCSS Probabilistic Model Code, considera-se uma distribuio log-normal com coeficiente de variao igual a 7%. Desse modo, o valor mdio

fy , aproximadamente, igual a 280 MPa. A carga P se comporta segundo uma distribuio normal com coeficiente de variao 1,15 e com valor caracterstico Pk de 150 kN. Para tal, o valor mdio correspondente 52 kN.

A partir desses dados, foi feita tanto a Anlise Limite, considerando as cargas caractersticas para encontrar o fator de segurana , bem como a Anlise Limite Probabilstica, para determinar a probabilidade de colapso plstico. O JCSS recomenda que o ndice de confiabilidade do projeto seja maior ou igual a 4,2.




4.1 Estrutura em Trelia

A trelia mostrada na Fig. 8(a) possui seo transversal tubular cujas dimenses so aumentadas at que o projeto apresente confiabilidade aceitvel. Os resultados so apresentados na Tabela 1. Na Fig. 8(b) pode-se observar o modo de colapso da estrutura, na qual as barras em vermelho sero as que iro escoar levando formao do mecanismo.

(a) (b) Figura 8. (a) Trelia estudada; e (b) modo de colapso

Tabela 1. Resultados para a trelia variando a seo transversal

Dimetro Externo (mm)

Espessura (mm)

Fator de Colapso

Probabilidade de falha

ndice de Confiabilidade

88.9 5.5 1.37 0.0018 2.90

101.6 5.7 1.64 1.75x10-4 3.58

114.3 6.0 1.94 7.26x10-6 4,34

4.2 Anlise em viga

A viga da Fig. 9(a) possui seo transversal I, cujo projeto se d atravs da metodologia proposta. A Tabela 2 contm os resultados obtidos. O mecanismo de colapso da estrutura exposto na Fig. 9(b).

(a) (b) Figura 9. (a) Viga estudada; e (b) mecanismo de colapso

4P P 4P P



Tabela 2. Resultados para a viga variando a seo transversal

Seo rea (cm) Mdulo

Plstico (cm) Fator de Colapso

Probabilidade de falha

ndice de Confiabilidade

W 360x64 81.7 1145.5 1.09 0.0154 2.16

W 460x68 87.6 1495.4 1.42 0.0012 3.04

W 530x82 104.5 2058.5 1.96 6.31x10-6 4.37

5 CONCLUSES

Metodologias de projeto/verificao baseadas em confiabilidade so importantes ferramentas para o engenheiro estrutural, uma vez que permitem controlar a probabilidade de falha do sistema. O emprego de Anlise Limite no projeto possibilita encontrar um parmetro de segurana global da estrutura. Desse modo, a metodologia apresentada viabiliza o projeto baseado em confiabilidade a partir da carga de colapso da estrutura, permitindo uma reduo de custo por ter melhor controle da segurana.

A partir deste trabalho, pode-se estudar projeto baseado em risco, estado da arte em metodologia de projeto. Ademais, possvel acoplar essa formulao com um problema de otimizao, ou seja, encontrar o projeto timo que atende segurana estabelecida. Essa metodologia de projeto pode ser tambm, aplicada a meios contnuos bi e tridimensionais. Dessa forma, torna-se possvel acoplar o modelo reticulado com contnuo para analisar e projetar as ligaes estruturais.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos ao Professor Doutor Luiz Eloy Vaz, por todos os ensinamentos e apoio sem os quais este trabalho no seria possvel. Alm disso, somos gratos pela incrvel convivncia com este grande mestre nesses anos. Ainda, agradecemos FAPERJ pelo suporte dado realizao da pesquisa.

REFERNCIAS Drucker, D. (1953). Limit analysis of two and three dimensional soil mechanics problems. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1(8), 217226.

Gvozdev, A. A. (1938). The determination of the value of the collapse load for statically indeterminate systems undergoing plastic deformation. International Journal of Mechanical Sciences, 1(4), 322335.

Vaz, L. E. (2011). Applications of Reliability Analysis in Civil Engineering Problems. In Iberian-Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering (CILAMCE).

Vaz, L. E., Pereira, A., & Menezes, I. F. Programao Matemtica (2011). Rio de Janeiro.

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