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Resistência dos Materiais 2003/2004
Curso de Gestão e Engenharia Industrial 17ª Aula Duração - 2 Horas Data - 24 de Novembro de 2003 Sumário: Equação da Deformada. Obtenção da Deformada por Integração directa da equação da Deformada. Objectivos da Aula: Apreensão da forma de cálculo dos deslocamentos transversais em vigas. Resumo do Conteúdo da Aula 1 - Equação da Elástica Ao estabelecer a relação entre tensões axiais ou longitudinais e o momento flector estabeleceram-se relações entre as a curvatura e a deformação e entre a curvatura e o momento, que foram 1 kR y
ε= = − e z
z
1 MR EI
=
(17.1) onde R é o raio de curvatura, k é a curvatura, ε é a deformação axial, y é a distância do ponto na secção até ao eixo dos zz, E é o módulo de Young, zM é o momento flector na secção e zI é o momento de Inércia da Secção em relação ao eixo dos zz. O estabelecimento destas relações foi feito tendo em conta a hipótese simplificativa de Euler-Bernoulli. Cada fibra da viga flecte tomando a forma de uma curva após a aplicação das acções externas, sendo a curva deformada caracterizada pelas suas coordenadas segundo y que podem ser designadas por v = v(x). De acordo com a Geometria Analítica a curvatura de uma curva em coordenadas cartesianas é
2
2
3/ 22
vd1 dxkR dv1
dx
= = +
(17.2) onde x, v são as coordenadas segundo x e y de um ponto da curva. No caso da curva representar um fibra flectida, x indica a distância do ponto à origem medido segundo
o eixo da viga e v representa o deslocamento transversal que é a coordenada segundo y do ponto sobre a curva flectida, como se representa na figura 17.1.
Figura 17.1: Fibras Flectidas As deformações admitidas como possíveis na maior parte das estruturas em engenharia são pequenas sendo a inclinação da curva elástica dv/dx também muito pequena, de tal modo que se pode considerar o valor ( )2dv / dx insignificante quando comparado com a unidade. Nestas condições é possível considerar que a curvatura aproximada é
2
2
1 vdkR dx
= =
(17.3) Comparando as relações 17.1 e 17.3, conclui-se que
2z
2z
vd Md Ex I
=
(17.4) equação que representa a curva plana deformada no plano de flexão. No caso de se pretender que a deformada positiva seja no sentido negativo do eixo dos yy, a equação anterior deve considerar-se com a forma
2z
2z
vd Md Ex I
= −
As equações de equilíbrio de Forças e Momentos que são
y
x
v(x) x
zdMTdx
= e dT p(x)dx
= −
permitem que se dê outra forma à equação 17.4. Tendo em conta a equação de equilíbrio de momentos e admitindo que E zI é constante obtém-se para o esforço transverso a expressão seguinte
3
z 3
vdT EI dx=
(17.5) e tendo em conta a equação de equilíbrio de forças e a equação 17.5, obtém-se a equação seguinte
4
z 4
vdE p(x)I dx= −
(17.6) que representa a equação da elástica em termos do carregamento. Por integração da equação 17.6 ou da equação 17.4 pode obter-se a forma da curva flectida v(x), que virá em função de constantes de integração que podem ser calculadas tendo em consideração as chamadas condições de fronteira. 2- Condições de Fronteira As condições de fronteira mais frequentes estão representadas na figura 17.2 são as condições que correspondem a diferentes tipos de ligações ao exterior, sendo estas ligações as seguintes
1- Apoio Simples 2- Encastramento 3- Bordo Livre 4- Apoio Guiado
Figura 17.2: Apoios Típicos
As condições de fronteira associadas ao Apoio Simples são:
y
x O
y
x O
O x
y y
M
(1) (2)
M P (3) (4)
Deslocamento Transversal v = 0 Momento z MM = = EIv´´ sendo M o momento exterior aplicado, no caso de não existir momento aplicado é z 0M = As condições de fronteira associadas ao Encastramento são: Deslocamento Transversal v = 0 Inclinação dv dx v´ 0= = As condições de fronteira associadas ao Bordo Livre são: Momento z MM = = EIv´´ sendo M o momento exterior aplicado, no caso de não existir momento aplicado é z 0M = Esforço Transverso T = P =EIv´´´ sendo P a carga exterior aplicada , no caso de não existir carga aplicada é T = 0 As condições de fronteira associadas ao Bordo Guiado são: Inclinação v´ = 0 Esforço Transverso T = P =EIv´´´ sendo P a carga exterior aplicada , no caso de não existir carga aplicada é T = 0 Em todos os casos foi considerado que EI = Constante, estas condições de fronteira e nas condições consideradas são válidas quer para vigas isostáticas quer para vigas hiperestáticas. 3- Obtenção da Deformada por Integração Directa Considere-se a equação da elástica
4
z 4
vdE p(x)I dx= −
(17.7) por integrações sucessivas obtém-se
3
z 13
vdE p(x)dx CI dx= − +∫
2
z 1 22
vdE dx p(x)dx xC CI dx= − + +∫ ∫
2
z 1 2 3vd xE dx dx p(x)dx xC C CI d 2x
= − + + +∫ ∫ ∫
3 2
z 1 2 3 4x xE v dx dx dx p(x)dx xC C C CI 6 2
= − + + + +∫ ∫ ∫ ∫
(17.8)
As constantes 1 2 3, ,C C C e 4C são calculadas por consideração das condições de fronteira adequadas à viga em estudo e tendo em conta as condições referidas no ponto anterior, sendo a deformada obtida usando a expressão 17.8. Para efeitos de obtenção da deformada pode começar-se por obter a expressão de M(x) a partir da aplicação dos princípios da Estática e seguidamente procede-se à integração da equação
2z
2z
vd Md Ex I
=
(17.9)
sendo 2
z z 1 22
vdE dx p(x)dx xC CM I dx= = − + +∫ ∫ .
Exemplo 17.1 Considere-se a viga simplesmente apoiada representada na figura 17.3, sujeita a uma carga uniformemente repartida de intensidade 0N / mp , sendo EI=Constante, determine-se a expressão da deformada e o valor do deslocamento transversal máximo e o ponto em que ocorre.
Figura17.3: Viga Simplesmente Apoiada
Solução Na figura 17.3 estão representados os diagramas de esforços transversos e momentos flectores sendo a expressão do momento M(x) a seguinte
x
y 0N / mp
Para x=0 v 0M 0
==
Para x=L v 0M 0
==
L
Diagrama de Esforços Transversos
+
-
x
T
x
M
Diagrama de Momentos Flectores
+
20 0Lxp p xM2 2
= −
00
LpT xp2
= −
20 0Lxp p xM(x)2 2
= −
Integrando a equação seguinte
220 0
2z
Lxp pv 1 xdd E 2 2x I
= −
obtém-se
2 3
0 0z 3
Lp pv x xdE CI d 4 6x
= − +
3 4
0 0z 3 4
Lp px xE v xC CI 12 24
= − + +
Para x = 0 é v = 0, consequentemente 4 0C = .
Para x = L é v = 0, consequentemente é 3
03
p LC 24
= − .
Substituindo as constantes na equação da deformada obtém-se
( )2 3 30
z
xpv 2Lx x L24EI= − −
à qual corresponde a inclinação
2 3 30
z
pv Ld x x Ld E 4 6 24x I
= − −
pela simetria existente a inclinação anula-se para x = L/2, sendo consequentemente o deslocamento transversal máximo
40
maxz
5p Lv 384EI
= −
Exemplo 17.2 Considere-se a viga com tramo em consola representada na figura 18.4, sujeita a uma carga concentrada na extremidade C, sendo EI=Constante, determine-se a expressão da deformada e o valor do deslocamento transversal máximo e o ponto em que ocorre.
Figura 17.4: Viga com Tramo em Consola
Solução
No tramo AB o momento é x2PM 1−= e no tramo BC o momento é xPM 2−= .
A Inclinação e a Elástica no tramo AB que corresponde a L2x0 1 ≤≤ obtém-se por integração da equação
x2P
xdvdEI 12
12
−=
e são respectivamente
Cx4P
xdvdEI 1
21
1 +−=
CxCx12P
vEI 211311 ++−=
A Inclinação e a Elástica no tramo AB que corresponde a Lx0 2 ≤≤ obtém-se por integração da equação
xPxdvdEI 22
22
2
−=
e são respectivamente
Cx2P
xdvdEI 3
22
2
2 +−=
x
y
x
y
P
x
y
Diagrama de Esforços Transversos
Diagrama de Momentos Flectores
2PT −=
PT =
PLMmax =
L 2L
x2PM 1−= xPM 2−=
x1 x2
A B C
CxCx6P
vEI 423322 ++−=
As quatro constantes de integração são determinadas considerando as condições de fronteira que são Para 0x1 = 0v1 = Para L2x1 = 0v1 = Para Lx2 = 0v2 =
Para Lx2 = 1 2
1 2
d (2L) d (L)v vd dx x
=
Consequentemente as constantes de integração são
22 3
1 2 3 4P 7L , 0, P , PC C C CL L3 6
= = = = −
A deformada no troço BC é
EILP
xEI6LP7
xEI6P
v3
2
2322 −+−=
O valor máximo da deformada ocorre para 0x2 = e é
EILPv
3
−=
4 - Problemas Propostos para Solução 1. Considere a viga representada na figura 1 e determine:
a) a expressão da deformada v(x), b) o ângulo de rotação θA na extremidade A da viga, c) a flecha máxima.
y
x 2MMA B
Figura 1
2. Considere a viga representada na figura 2 e determine:
a) a expressão da deformada v(x),
b) o ângulo de rotação θB na extremidade B da viga, c) a flecha na extremidade B.
y
x
A B
p
δB
θBL
Figura 2
3. Considere a viga representada na figura 3 e determine: b) a expressão da deformada v(x), b) o ângulo de rotação θA na extremidade A da viga, c) a flecha máxima.
y
x
A B
ppx)L/p()x(p +−=
L
Figura 3
4. Considere a viga representada na figura 4 e determine:
c) a expressão da deformada v(x), no tramo BC b) a expressão da deformada v(x), no tramo AB c) a flecha e a inclinação na extremidade C.
y
x
A
p
B C
L L
Figura 4
5. Considere a viga representada na figura 5 e determine fazendo uso do método das
diferenças finitas, a flecha e a inclinação na extremidade C. Compare com os resultados obtidos no problema 4.
y
x
A
p
B C
L L
Figura 5
6. Considere a viga representada na figura 6 e determine fazendo uso do método das
diferenças finitas, a flecha e a inclinação na extremidade C.
y
x
A B
p
C
L L
P
Figura 6
5- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995, páginas 250-255. - Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 1989. - J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.
Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial
18ª Aula Sumário: Métodos de Obtenção da Deformada num ponto. Objectivos da Aula: Apreensão da forma de cálculo da deformada em vigas. Duração - 2 Horas Data - 24 de Novembro de 2003
Resumo do Conteúdo da Aula 1 - Método da Viga Conjugada A equação que relaciona o momento flector com a carga exterior é formalmente análoga à equação que define a curvatura em termos do momento flector, como facilmente se constata, assim como a equação do esforço transverso e da rotação dT p(x)dx
= − ou T(x) p(x)dx T(0)= − +∫
2
2
Md p(x)dx
= − ou M(x) p(x)dx T(0)x M(0)= − + +∫∫
(18.1)
2
2
v M(x)dd EIx
= dv M(x)(x) dx (0)dx EI
θ = = + θ∫ e M(x)v dx (0)x v(0)
EI= + θ +∫ ∫
As constantes de integração são calculadas nos dois casos através das condições de fronteira que estão associadas aos apoios. Estas condições são distintas nos dois casos, no caso da equação de equilíbrio, o momento e o esforço transverso são nulos na extremidade livre na ausência de acções externas, no caso da equação da deformada o deslocamento transversal e a rotação são nulos no caso de se tratar de um encastramento. No método da viga conjugada tira-se partido da analogia referida e determinam-se as rotações e deslocamentos transversais carregando uma viga fictícia, a viga conjugada, com uma carga de valor igual a p(x) M EI= − e nesta viga determinam-se os esforços transversos e os momentos flectores, os quais tomam valores idênticos às rotações e deslocamentos na viga real. As duas vigas a real e a conjugada têm a mesma geometria mas podem ter condições de apoio distintas. No quadro 18.1 estão representadas as vigas reais e conjugadas para alguns casos, por forma a que as constantes de integração conduzam a valores idênticos.
Viga Real Viga Conjugada
Quadro 18.1: Viga Conjugada
Da apreciação do quadro 18.1 podemos constatar que as vigas conjugadas das vigas reais isostáticas são também vigas isostáticas. Na figura 18.1 estão representados dois exemplos de vigas reais e conjugadas, assim como os carregamentos respectivos. As vigas consideradas são vigas sujeitas a carga uniformemente distribuídas e as condições de apoio consideradas são de apoio simples e encastramento.
M ≠ 0 T ≠ 0 M = 0
T ≠ 0
M = 0 T ≠ 0
v = 0 θ ≠ 0 v = 0
θ ≠ 0M = 0T ≠ 0
M = 0T ≠ 0
v = 0 θ = 0
v ≠ 0 θ≠ 0
M = 0 T = 0
M ≠ 0 T ≠ 0
v ≠ 0 θ≠ 0
v = 0 θ ≠ 0
v = 0 θ ≠ 0
v = 0 θ ≠ 0
v = 0 θ ≠ 0
v ≠ 0 θ≠ 0
v ≠ 0 θ≠ 0
M ≠ 0 T ≠ 0
M ≠ 0 T ≠ 0
M = 0T ≠ 0
M = 0 T ≠ 0
v = 0 θ = 0
v = 0 θ = 0
v ≠ 0 θ≠ 0
v ≠ 0 θ≠ 0
M ≠ 0 T ≠ 0
M ≠ 0T ≠ 0
M = 0 T = 0
M = 0 T = 0
Figura 18.1: Exemplos de Vigas Conjugadas
Exemplo 18.1 Considere a viga encastrada representada na figura 18.2 e determine a expressão da deformada e o deslocamento transversal máximo recorrendo ao método da viga conjugada.
Figura 18.2: Viga Encastrada
p l2 8
p
Carga =
M=p l2 2
p
M=
Carga=
p l EI2 8
p l EI2 2
Diagrama de Momentos P
x A B
M
L
y
+ M M+PL
M(x) P(L x) M= − + Viga Conjugada
x
y
Solução O Momento na Viga real é tal que M(x) P(L x) M= − + A viga conjugada está representada na figura 18.2 sujeita à carga distribuída
cP(L x) M(x)p
EI− +
= −
O momento cM na viga conjugada obtém-se por integração da equação
2c
2
P(L x) Md Md EIx
− +=
ou seja
2c
1d PL P MM xx x Cdx EI 2EI EI
= − + + para x=0 T=0 1 0C⇒ =
3 2
2c 2
PL P Mx x CM x2EI 6EI 2EI= − + + para x=0 M=0 2 0C⇒ =
Consequentemente o deslocamento na viga real é
2 3
cr(PL M) Px xv M 2EI 6EI
+= = −
O deslocamento máximo ocorre para x=L e é
2 3
max(PL M) PL Lv
2EI 6EI+
= −
Exemplo 18.2 Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 18.3 e determine a expressão da deformada e o deslocamento transversal máximo considerando o método da viga conjugada.
Figura 18.3: Viga Simplesmente Apoiada Solução O Momento na Viga real é tal que
2p pLxM x2 2
= − +
A viga conjugada está representada na figura 18.3 sujeita à carga distribuída
2
cp pLxx(x)p
2EI− +
= −
O momento cM na viga conjugada obtém-se por integração da equação
2 2c
2
p pLxd M xd 2EIx
+=
ou seja
3c 2
1d PL PM x Cxdx 4EI 6EI
= − + para x=0 3pLT
24EI= −
4 3 3
c 2p pL p xx x L CM 24EI 12EI 24EI
= − + − + para x=0 M=0 2 0C⇒ =
Diagrama de Momentos
x A B
L
y
Viga Conjugada
x
y
2pL8
p
2p pLxM x2 2
= − +
Consequentemente o deslocamento na viga real é
( )3 2 3cr
px 2Lv M L x x24EI= = − − +
O deslocamento máximo ocorre para x=L e é
3
maxpLv
384EI= −
2- Método das Diferenças Finitas A função v(x) pode ser conhecida num conjunto discreto de pontos, 1,2,…i…n, como se representa na figura 18.4. As derivadas da função v(x) podem ser calculadas nesse conjunto discreto de pontos fazendo uso de aproximações por diferenças finitas, através de fórmulas que no caso das diferenças centrais são as seguintes, considerando os intervalos da discretização todos iguais a ∆x:
Figura 18.4: Função v(x)
n 1 n 1
x 0n
vdv v vlimdx x 2 x
+ −
∆ →
∆ − = ≅ ∆ ∆
2n 1 n n 1
2 2x 0n
dvv 2 vdx vd vlim
d xx x+ −
∆ →
∆ − + = ≅ ∆ ∆
2
23n 2 n 2n 1 n 1
3 3x 0n
vddv 2 2vv vxd vlim
d x 2x x+ −+ −
∆ →
∆ − − + = ≅ ∆ ∆
∆x ∆x
x
v(x)
n 2v − n 1v − nv n 1v +
n 2v +
3
34n 2 n 2n 1 n n 1
4 4x 0n
vddv 4 6 4vv vxd v vlim
d xx x+ −+ −
∆ →
∆ − + + − = ≅ ∆ ∆
(18.2) A equação da elástica representada por diferenças finitas toma a forma
4n 2 n 2n 1 n n 1
p(x)4 6 4vv v xv v EI+ −+ −− + = −∆+ −
(18.3) A aplicação das condições de fronteira conduz a equações que têm de ser verificadas, estas equações conjuntamente com a equação da elástica conduzem ao sistema de equações por solução do qual se pode obter o deslocamento transversal num conjunto discreto de pontos. No caso do bordo simplesmente apoiado estar localizado no ponto n, como se ilustra na figura 18.5, as condições de fronteira a serem verificadas são v = 0 n 0v =⇒
M = 0 2
n 1 n n 12 2
n
v 2 vvd v 0dx x
+ −− +⇒ ≅ = ∆ ou n 1 n 1v v− += −
(18.4)
Figura 18.5: Apoio Simples
No caso da fronteira ser encastrada e o ponto do encastramento ser n, como se representa na figura 18.6, as condições de fronteira a serem verificadas são v = 0 n 0v =⇒
n 1 n 1
n
dv v v 0dx 2 x
+ −− ≅ = ∆ ou n 1 n 1v v− +=
(18.5)
n-1 n n+1 n+2 n
n 1 n 1
0vv v+ −
== −
n-1 n n+1 n+2 n
n 1 n 1
0vv v+ −
==
Figura 18.6: Bordo Encastrado A utilização da 2ª das condições 18.5 conduz a resultados que exigem uma malha muito fina para serem fiáveis, pelo que se deve considerar um desenvolvimento em série de Taylor. Consideremos que v(x + h, y) é definido considerando um desenvolvimento em série de Taylor do seguinte modo:
( ) ( )2 2 3 3 4 4
2 3 4
v h v h v h vv x h, y v x h ...x 2 x 3 x 4 x
∂ ∂ ∂ ∂+ = + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ (18.6)
Admitindo que v / x∂ ∂ = 0 no ponto n, e considerando que h = ∆x, obtém-se:
( )( )
( )
32n 1 n n 1 n 2 n 1 n 1
n 1 n 2 3
v 2v v v 3vxxv v2 6x x
+ − − − ++
− + − − ω∆∆= + + +
∆ ∆
( )++
∆
+ .........
24x 4
Retendo os três primeiros termos da série de Taylor, obtém-se:
n 2n 1 n 1
vv 3v
2−
+ −= − (18.7) (a)
No caso de se reterem os quatro primeiros termos da série de Taylor, obtêm-se:
( )n 1 n 3 n 2 n 11v v 6v 18v3+ − − −= − + (18.8)(b)
No caso da fronteira ser livre e o ponto da fronteira ser n, como se representa na figura 18.7, as condições de fronteira a serem verificadas são
n 0T = ou 3
n 2 n 2n 1 n 13 3
n
v 2 2vv vd v 0d 2x x
+ −+ −− − +≅ = ∆
(18.7)
n 0M = ou 2
n 1 n n 12 2
n
v 2 vvd v 0dx x
+ −− +≅ = ∆
Figura 18.7: Bordo Livre Exemplo 18.3 Considere a viga representada na figura 18.8 e determine o deslocamento no ponto médio por aplicação do método das diferenças finitas.
Figura 18.8: Viga Simplesmente Apoiada Solução A aplicação das condições de fronteira conduz às equações seguintes
0
1 1
4
5 3
0vv v
0vv v
−
== −
== −
(1)
n-1 n n+1 n+2 n 1 n n 1
n 2 n 1 n 1 n 2
2v v v2 2v v v v
− +
− − + +
= −= − +
L
1 2 3
p 2p
-1 0 1 2 3 4 5
A consideração da equação da Elástica nos pontos em que é desconhecido o deslocamento no interior da viga conduz às equações seguintes
4
3 2 1 0 1
4
4 3 2 1 0
4
5 4 3 2 1
5pL4 6 4v v v v v 256 4EI3pL4 6 4v v v v v 256 2EI7pL4 6 4v v v v v 256 4EI
−− + − + = −
− + − + = −
− + − + = −
(2)
Por substituição das condições (1) nas equações (2) o sistema de equações toma a forma
4
3 2 1
4
3 2 1
4
3 2 1
5pL4 5v v v 256 4EI3pL4 6 4v v v 256 2EI
7pL5 4v v v 256 4EI
− + = −
− + − = −
− + = −
Por solução deste sistema de equações obtém-se:
4
221pLv 256 4EI
= −
3- Problemas Propostos
22
1. Considere a viga representada na figura e determine: a)Diagramas de Esforços Transversos e Momentos Flectores. b)As tensões longitudinais ou axiais máximas. c)As tensões de corte máximas. d)O deslocamento transversal máximo. e)A deformação axial máxima. f)Verifique se as tensões obtidas correspondem a um estado de tensão admissível, considerando o critério de Cedência de von Mises. Considere E = 500 e a tensão de cedência cσ = 100.
Justifique os calculos que efectuar
30
4 36
10
4
2
2.Considere a viga representada na figura e determine: a)o esforço tranverso máximo e o momento flector máximo. b)As tensões longitudinais ou axiais máximas. c)As tensões de corte máximas. d)O deslocamento transversal máximo usando o método das diferenças finitas. e)A deformação axial máxima. f)Verifique se as tensões obtidas correspondem a um estado de tensão admissível,
considerando o critério de Cedência de von Mises. E=200GPa e cσ =100MPa.
Secção Plana
1m3m
25mm
220mm
30mm110mm
2kN 4kN
Justifique os calculos que efectuar. 3. Considere a viga representada na figura e determine: a)o esforço tranverso máximo e o momento flector máximo. b)As tensões longitudinais ou axiais máximas. c)As tensões de corte máximas. d)O deslocamento transversal máximo, use método da viga conjugada. e)A deformação axial máxima. f)Verifique se as tensões obtidas correspondem a um estado de tensão admissível,
considerando o critério de Cedência de von Mises. E=200GPa e cσ =100MPa.
23
Justifique os calculos que efectuar.
3m 1m
Secção Plana
110mm
140mm
20mm
30mm
10kN/m
4. Considere a viga representada na figura e determine: a)o esforço tranverso máximo e o momento flector máximo. b)As tensões longitudinais ou axiais máximas . c)As tensões de corte máximas. d)O deslocamento transversal máximo. e)A deformação axial máxima. f)Verifique se as tensões obtidas correspondem a um estado de tensão admissível,
considerando o critério de Cedência de von Mises. E=200GPa e cσ =250MPa. Justifique os calculos que efectuar.
S ecção P lan a 2 k N /M 1 0 k N
2 m 4 m
3 0 m m
3 0 m m3 0 m m
2 0 0 m m
4- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995, páginas 250-255. - Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 1989. - J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia. Testes de 2000/2001
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Data : 18 de Janeiro de 2001 Duração : 40m Sala : B215
Parte Teórica
Responda Concisamente às questões propostas .
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1. Considere um elemento tridimensional de dimensões infinitesimais . (1.5) a). Deduza a equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos yy. (1.5) b) Defina Módulo de Young e Coeficiente de Poisson e diga como procederia ao seu cálculo através de um ensaio físico simples. 2. (1.0) a) Estabeleça as Equações de Equilíbrio num Elemento de Viga (1.5) b) No caso da secção recta ser composta deduza a equação que relaciona o esforço axial com o momento Flector 3. (1.5) Deduza a equação de Poisson.
Licenciatura em Gestão e Engenharia Industrial
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Data : 18 de Janeiro de 2001 Duração : 1 Hora 30m Sala : B215
Responda Concisamente às questões propostas .
1. Considere o tensor das tensões
0100y1000x
yx0
para o qual a faceta cuja normal é ( )11133 tem tensão tangencial nula.
(1.5) a)Determine o Tensor das Tensões. (1.5) b)Determine as Tensões Principais e Direcções Principais de Tensão. (1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young é E=70GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = 0.25 . 2. Considere a Viga Plana Isostática representada na figura 2, cuja secção recta
também se representa e despreze o peso da viga para efeitos dos cálculos subsequentes. .
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Secção Plana
A B C D
1.5m
x
1.5m 1.5m
120mm100mm70mm
60mm
80mm
100mm
1.5m
Material 1
Material 2
6kN/m
15kN
Figura 1 : Viga Simplesmente Apoiada (2.0) a)Trace os Diagramas de Esforços Transversos e Momentos Flectores. (2.0) b)Determine as Tensões Axiais Máximas e indique a secção ou secções em que actuam. (1.5) c)Determine a Tensão de Corte no ponto que está a uma distância de y=50mm do eixo neutro e na Secção A. (2.0) d)Determine a Expressão da Deformada para o troço BC da viga da figura 1. Considere que os materiais do sólido tem as propriedades elásticas seguintes: Material 1-Módulo de Young E=200GPa ; Coeficiente de Poisson ν = 0.3 Material 2 -.Módulo de Young E=120GPA;Coeficiente de Poisson ν=0.28 3. Peças sujeitas a momentos torsores. (1.5) Considere um veio de secção circular composta cujo diâmetro exterior é 130mm e cujo diâmetro interior é desconhecido. A tensão máxima instalada é de 150MPa.O material A tem um módulo de rigidez transversal GA =110GPa e o material B tem um módulo de rigidez transversal GB =80GPa . O momento torsor TM a que a peça está sujeita é 40KN.m . Determine o raio interior do veio.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Data : 29 de Janeiro de 2001 Duração : 40m Sala : B318
Secção do veio
Material A Material
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Parte Teórica
Responda Concisamente às questões propostas .
2. Considere um elemento tridimensional de dimensões infinitesimais . (1.6) a) Mostre que o Tensor das Tensões é um Tensor Simétrico. (1.5) b) Mostre que as Componentes do Tensor das Tensões são necessárias e suficientes para definir o Estado de Tensão num ponto. 2. (1.0) a) Estabeleça a Equação da Elástica para uma viga Isotrópica. (1.5) b) No caso da secção recta da viga ser composta deduza a equação que relaciona o esforço axial com o momento Flector. 3. (1.5) Um veio de Secção Elíptica verifica a Equação de Poisson. Determine a Solução da Equação de Poisson para este tipo de Secção.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Data : 29 de Janeiro de 2001 Duração : 1 Hora 30m Sala : B318 Parte Prática
Responda Concisamente às questões propostas .
1. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que: - numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é
nula e a tensão normal é de 20MPa - numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário ao
dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 20MPa
(1.5) a)Determine o Tensor das Tensões. (1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young é E=200GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = 0.30. 2. Considere a Viga Plana Isostática representada na figura 1, cuja secção recta
também se representa e despreze o peso da viga para efeitos dos cálculos subsequentes.A carga P tem a direcção definida pelo ponto 1 e pelo centro de gravidade da secção, como se indica na figura .
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Secção Plana
A B C
2.0m
100kN
1
100kN
G
250mm
100kN
1.5m 1.5m
70mm
90mm
35mm25mm
25mm
Figura 1 : Viga Simplesmente Apoiada
(1.5) a)Trace os Diagramas de Esforços Transversos e Momentos Flectores (3.0) b)Determine as Tensões Axiais Máximas de tracção e compressão e indique a
secção em que actuam e os pontos da secção em que ocorrem. (2.0) c) Determine as Tensões de Corte na Secção A da Viga e no ponto 2 da Secção (1.5) d)Determine o deslocamento transversal no ponto B. 4. Peças sujeitas a momentos torsores. (2.5) Considere um veio de secção circular composta cujo diâmetro exterior é 140mm e cujo diâmetro interior é desconhecido. A tensão máxima instalada é de 120MPa.O material A tem um módulo de rigidez transversal GA =120GPa e o material B tem um módulo de rigidez transversal GB =90GPa . O momento torsor TM a que a peça está sujeita é 50KN.m . Determine o raio interior do veio.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Data : 12 de Fevereiro de 2001 Duração : 40m Sala : B105 e 106
Parte Teórica
Responda Concisamente às questões propostas .
Secção do veio
Material A Material
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3. Considere um elemento paralelipipédico de dimensões infinitesimais . (1.7) a) Deduza a Equação de Equilílibrio de Forças segundo o eixo dos xx. (1.5) b) Mostre que as Componentes do Tensor das Tensões são suficientes para definir o Estado de Tensão num ponto. 2. (1.0) a) Deduza as Equações de Equilíbrio numa Viga. (1.5) b) No caso da Secção Recta da Viga ser composta deduza a Equação que relaciona o Tensão Axial com o Momento Flector. 3. (1.5) Considere um veio de Secção Circular e deduza a relação existente entre o Momento Torsor e a Tensão de Corte. Diga como se distribuem as Tensões na Secção.
Licenciatura em Gestão e Engenharia Industrial
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Data : 12 de Fevereiro de 2001 Duração : 1 Hora 30m Sala : B105 e B106 Parte Prática
Responda Concisamente às questões propostas .
1. Considere o Tensor das Tensões cujas componentes σij são no referencial Oxyz,
−
−=σ
40000152002020
ij
No ponto a que diz respeito o Tensor das Tensões (0.5) a) Represente as componentes do Vector Tensão que actuam nas facetas
normais aos eixos coordenados. (0.5) b) Justifique que 40MPa é o valor de uma das tensões principais. (1.0) c) Determine as Tensões Tangenciais máximas. (1.0) d) Determine no referencial Oxyz, a orientação das facetas sujeitas à Tensão Tangencial de maior valor absoluto. 3. Considere a Viga Plana Isostática representada na figura 1, cuja secção recta
também se representa e despreze o peso da viga para efeitos dos cálculos subsequentes.
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3P
1m1m
50cm
1m
50cm
PP
A
A
140mm
50mm
100mm
40mm
B CB
10mm
Figura 1 : Viga Simplesmente Apoiada
(1.5) a)Trace os Diagramas de Esforços Transversos e Momentos Flectores (4.0) b) No ponto A da viga existe um extensómetro que indica que a deformação
axial é de compressão e de 30×10 3− . Determine a carga P a que a viga está sujeita.
(1.0) c) Determine as Tensões de Corte máximas na viga. (2.0) d)Determine o deslocamento transversal máximo.
O Módulo de Young do material da viga é 200Gpa. 5. Peças sujeitas a momentos torsores. (2.5) Considere um veio de secção circular oca e composta cujo diâmetro exterior é
140mm e cujo diâmetro interior é 40mm. A tensão máxima instalada é de 100MPa.O material A tem um módulo de rigidez transversal GA =140GPa e o material B tem um módulo de rigidez transversal GB =100GPa . O momento torsor TM a que a peça está sujeita é 50KN.m . Determine o raio da interface entre a Material A e o Material B .
Secção do veio
Material Material A
