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Resistência dos MateriaisProf. Antonio Dias

Antonio Dias / Resistência dos Materiais 1

IntroduçãoResistência dos Materiais

Antonio Dias

2017

Princípios e conceitos fundamentais - cronologia

• Início – Aristóteles (384-322 a.C.)

Arquimedes (287 – 212 a.C.)

• Consolidação - Newton (1642 – 1727)

• Aprimorados - D’Alembert

Lagrange

Hamilton

• Contestação - Einstein – Teoria da Relatividade (1905)Mecânica Newtoniana constitui

a base das ciências de engenharia

Intr. - 3Resistência dos Materiais / Antonio Dias / Introdução

Conceitos Básicos

• Espaço• Associado a noção de posição de um ponto, definido por três comprimentos

(coordenadas) a partir de um ponto de origem

• Tempo• Instante que ocorre

• Massa• Caracterização e comparação dos corpos

• Força• Ação de um corpo sobre o outro pode ser exercida por contato ou a distância

(gravitacional).


Caracterização de uma Força

• Ponto de aplicação

• Intensidade

• Direção

• Sentido

Representação usual:Vetor


Espaço Tempo Massa

Conceitos absolutos

Força

Resistência dos Materiais / Antonio Dias / Introdução

Intr. - 6

Ponto Material x Corpo Rígido

• Ponto Material : pequena porção de matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço

• Corpo Rígido : combinação de um grande número de pontos materiais que ocupam posições fixas, relativamente uns aos outros

Resultados obtidos para um ponto material pode ser usado para um grande número de problemas referentes a condição de repouso e de movimento de corpos rígidos


Os seis princípios da mecânica elementar

• Lei do paralelogramo para adição de forças

• O princípio da transmissibilidade

• As três Leis fundamentais de Newton:• Primeira Lei: Lei da inércia

• Segunda Lei: Lei fundamental da mecânica Newtoniana – F = m . A

• Terceira Lei: Lei da ação e reação

• Lei de gravitação de Newton:

• 𝐹 = 𝐺 .𝑀.𝑚

𝑟2

• Caso particular - Peso: 𝑔 =𝐺𝑀

𝑅2⇒ 𝑃 = 𝑚.𝑔


Coerência do Sistema de Unidades

Espaço Tempo MassaMetro Segundo Quilograma

Polegada Segundo Slug

Unidades Fundamentais

ForçaNewton [N] ou Libra [Lb]

Unidade derivada


Prefixos SI

Potência Prefixo Símbolo Nome Comum

1012 Tera T Trilhão

109 Giga G Bilhão

106 Mega M Milhão

103 Quilo k Mil

102 Hecto h Cem

101 Deca da Dez

10-1 Deci d Décimo

10-2 Centi c Centésimo

10-3 Mili m Milésimo

10-6 Micro µ Milionésimo

10-9 Nano n Bilionésimo

10-12 Pico p Trilionésimo


Principais Unidades do SI usadas na Mecânica

Grandeza Unidade Símbolo Fórmula

Aceleração Metro por segundo, por segundo .... m/s²

Ângulo Radiano rad ...

Aceleração angular Radiano por segundo, por segundo ... rad/s²

Área Metro quadrado ... m²

Comprimento Metro m ***

Energia Joule J N.M

Força Newton N kg . m/s²

Frequência Hertz Hz s-1

Impulso Newton – segundo ... N.s

Massa Quilograma kg ***

Massa específica Quilograma por metro cúbico ... kg/m³


Principais Unidades do SI usadas na Mecânica (2)

*** Unidade fundamentalGrandeza Unidade Símbolo Fórmula

Momento de uma força –Torque

Newton-metro ... N.m

Potência Watt W J/s

Pressão Pascal P N/m²

Tensão Pascal P N/m²

Tempo Segundo s ***

Trabalho Joule J N.m

Velocidade Metro por segundo ... m/s

Velocidade angular Radiano por segundo ... rad/s

Volume, sólidos Metro cúbico ... m³

Volume, líquidos Litro l 10-3 m³


Circulo Trigonométrico


Círculo TrigonométricoPadrões

Resistência dos Materiais / Antonio Dias / Introdução

Intr. - 14

Resistência dos materiais

Estudo das relações entre as cargas EXTERNAS aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam neste corpo. Envolvendo:

• Deformações

• Estabilidade


Desenvolvimento histórico

• Galileu XVII

• Saint-VenantXVIII

• Poisson

• Lamé

• Navier


• Resistência dos Materiais

• Mecânica dos Materiais

• Mecânica dos corpos deformáveis

Evolução:- Teoria da Elasticidade- Teoria da Plasticidade

Conceitos fundamentais prévios (Estática)(1)

• Cargas Externas => força de superfície ou força de corpo

• Forças de Superfície => contato direto de um corpo com outro

• Força concentrada => quando a área da carga distribuída é muito pequena

• Carga distribuída linear => intensidade de força por comprimento

• A força resultante 𝐹𝑅de 𝑤(𝑠)é equi-

valente a área sob a curva da carga

distribuída, e essa resultante age no

centroide C ou centro geométrico

desta área.


Conceitos fundamentais prévios (Estática)(2)

• Força de corpo => desenvolvida sem haver contato entre os corpos, podem ser força de atração gravitacional ou eletromagnéticas

• Reações do apoio => forças de superfície desenvolvidas nos apoios:


“Se o apoio impedir a translação em uma determinada direção, então uma força deve ser desenvolvida no elemento naquela direção. Da mesma forma, se o apoio impedir a rotação, um momento deve ser exercido no elemento.”

Reações nos apoios


Equações de Equilíbrio

O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças para impedir a translação ou um movimento acelerado do corpo ao longo da trajetória, e um equilíbrio de momentos, para impedir que o corpo gire.

∑𝐹 = 0∑𝑀0 = 0


A melhor maneira de visualizar todas as forças conhecidas e desconhecidas que

agem sobre o corpo é desenhar o DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

Cargas Resultantes interna

Força e momento resultantes que agem no interior do corpo e que são necessários para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas.

Para obtenção das cargas internas que agem sobre uma região específica no interior do corpo, deve-se utilizar o método das seções:


Nas três dimensões

• Força Normal

• Força de cisalhamento

• Momento de torção ou torque

• Momento Fletor


Cargas Coplanares

Haverão apenas componentes de:

• Força Normal

• Força de Cisalhamento

• Momento Fletor


∑𝐹𝑥 = 0 ⇒ 𝑁∑𝐹𝑦 = 0 ⇒ 𝑉

∑𝑀𝑜 = 0 ⇒ 𝑀𝑂

Exemplo

Determine as cargas internas que agem na seção transversal em C:


Resolução


Resolução 2


Exemplo 2


Diagrama de corpo livre


Diagrama de corpo livre da seção


Exemplo 3

O guindaste é composto pela viga AB e roldanas acopladas, além do cabo motor Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C, se o motor estiver levantando uma carga W de 500 Lb.


Diagrama de Corpo Livre


Exemplo 4

Determinar as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em G da viga de madeira mostrada na figura. Considere que as articulações em A, B, C, D e E estejam acopladas por pinos.






Conceito(1)

• Caso Geral


Conceito(1)

• Caso Geral


Conceito(1)

• Caso Geral


Conceito(2)

• Analisando um ponto Q

Projeção da força Cortante (𝑉𝑥) no plano cartesiano

Δ𝑉𝑥 e Δ𝐹𝑥 são forças que agem numa superfície perpendicular ao eixo 𝑥.


Conceito(3)

Dividindo a intensidade de cada força por Δ𝐴e levando o valor de Δ𝐴 a zero:

𝜎𝑥 = limΔ𝐴 0

Δ𝐹𝑥

Δ𝐴𝜏𝑥𝑦 = lim

Δ𝐴 0

Δ𝑉𝑦𝑥

Δ𝐴𝜏𝑥𝑧 = lim

Δ𝐴 0

Δ𝑉𝑧𝑥

Δ𝐴

1º índice indica que são aplicados numa superfície perpendicular ao eixo “x”

2º índice indica a direção da componente

A mesma análise pode ser feita na parte do corpo localizada a direita do plano vertical através de Q:

Mesmas intensidades de força só que sentido contrário.


Conceito(4)

Analogamente podemos fazer cortes paralelos aos planos zx(perpendicular ao eixo y) e xy (perpendiculares ao plano z) e chegamos as seguintes componentes:

𝜎𝑥, 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑦, 𝜏𝑦𝑥, 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧, 𝜏𝑧𝑥, 𝜏𝑧𝑦

Aplicando num elemento cúbico de volume com lado “a”, ao redor do ponto “Q”

Apenas 3 faces estão visíveis, as outras três possuem as mesmas tensões com mesma intensidade e sentidos contrários


Conceito(5)

Apesar das tensões serem ligeiramente diferentes no Cubo em relação ao ponto “Q”, este erro desaparece a medida que o lado do cubo tende a zero.

Transformando as tensões em forças aplicadas nas faces do cubo, multiplicando a tensão pela área Δ𝐴:


Conceito(6)

Considerando o diagrama de corpo livre do pequeno cubo centrado no ponto “Q”, podemos escrever as seguintes relações:

∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝐹𝑧 = 0

Como está claro que há forças iguais (mesma intensidade) de sentido oposto nas faces ocultas do cubo. O equilíbrio acima é confirmado.

x’

z’

y’Considerando os momentos relativos aos eixos: Qx’, Qy’ e Qz’, podemos escrever as três equações adicionais referente ao momento:

∑𝑀𝑥′ = 0 ∑𝑀𝑦′ = 0 ∑𝑀𝑧′ = 0


Conceito(7)

Usando uma projeção do cubo no plano x’y’ notamos que apenas as forças de cisalhamento geram momento diferente de zero em relação ao eixo z’. Estas forças formam dois conjugados:

(𝜏𝑥𝑦 . Δ𝐴). 𝑎 e −(𝜏𝑦𝑥 . Δ𝐴). 𝑎 (sentido contrário)

∑𝑀𝑧 = 0

(𝜏𝑥𝑦 . Δ𝐴). 𝑎 − (𝜏𝑦𝑥 . Δ𝐴). 𝑎 = 0

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥Por analogia:

𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑥𝑧


Conceito(8)

Concluímos que são necessárias somente 6 componentes de tensão para definir o estado de tensões de um dado ponto “Q”:

𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧, 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑦𝑧, 𝜏𝑧𝑥

O cisalhamento não pode ocorrer em apenas um plano, deve sempre existir uma tensão de cisalhamento igual em um outro plano perpendicular ao primeiro.


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