RESISTNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Daniel Caetano
2018 - 1
TORO PARTE IV
Objetivos
Conceituar fluxo de cisalhamento
Determinar distribuio de tenses de cisalhamento em tubos de
paredes finas sob toro
Material de Estudo
Material Acesso ao Material
Apresentao http://www.caetano.eng.br/ (Resistncia dos Materiais
II Aula 8)
Material Didtico Resistncia dos Materiais (Hibbeler), pgs 157 a
167.
Aula Online -
Biblioteca Virtual Resistncia dos Materiais
RELEMBRANDO:
TORO E TORQUE
Pelo que vimos at agora...
=.
.
=
.
= .
Frmulas para Toro
T:
0 10kN.m
+
0
-
10kN.m
Princpio da Superposio
Pela esttica: =
Compatibilidade?
Ponto C o mesmo em duas barras... Logo...
C,A = C,B
Frmulas para Toro
TC A TA TB B
C
A
TA
C
TA
C
TB
B
TB
TUBOS DE PAREDES FINAS: FLUXO DE CISALHAMENTO
Na primeira aula de toro:
Por que ocorre essa reao?
Fluxo de Cisalhamento
Vejamos um caso mais simples e direto:
Fluxo de Cisalhamento
Vejamos um caso mais simples e direto:
Fluxo de Cisalhamento
Vejamos um caso mais simples e direto:
Fluxo de Cisalhamento
Vamos analisar com calma esse equilbrio
dFA = A . tA . dx
Fluxo de Cisalhamento
dFA
Vamos analisar com calma esse equilbrio
dFA = A . tA . dx
dFB = B . tB . dx
Equilbrio Esttico
Fluxo de Cisalhamento
dFA
dFB
Vamos analisar com calma esse equilbrio
dFA = A . tA . dx
dFB = B . tB . dx
Equilbrio Esttico
A . tA = B . tB
Ou seja: um
produto constante!
Fluxo de Cisalhamento
dFA
dFB
A . tA = B . tB = cte
Em tubos de parede fina,
Podemos considerar, aprox.: = md
Logo, podemos escrever:
q = md . t
q chamado fluxo de cisalhamento
q: tenso de cisalhamento por unidade de comprimento da seo
transversal
Fluxo de Cisalhamento Onde o cisalhamento
maior?
Onde a espessura for menor!
TENSO DE CISALHAMENTO MDIA
A expresso:
q = md . t
nos leva a outro problema: calcular md
Vamos calcular md com base em T
Tenso de Cisalhamento Mdia
Vamos calcular md com base em T
dF = ?
dF = md . A
dF = md . t . dS
Logo...
dT = ?
dT = h . dF
dT = h . md . t . dS
Tenso de Cisalhamento Mdia
Vamos calcular md com base em T
Se...
dT = h . md . t . dS
Ento...
T = ?
= . . .
Tenso de Cisalhamento Mdia
Vamos calcular md com base em T
O que constante aqui?
= . . .
Assim...
= . . .
Mas o que , fisicamente, . ?
Tenso de Cisalhamento Mdia
q
dS
h
Se fosse, (. )/...
Significaria esta rea...
= (. )/2
Tenso de Cisalhamento Mdia
dS
h
Mas se...
= (. )/2
Ento...
2. = .
Que pode simplificar nossa equao...
= . . .
Tenso de Cisalhamento Mdia
Ou seja: = . 2. .
Ou...
=
. .
E o ngulo de toro?
=.
. .
.
De onde vem?
Tenso de Cisalhamento Mdia
md para sees da mesma
espessura t!
Resolver a integral caso a caso!
EXEMPLOS: FLUXO DE CISALHAMENTO
Calcule a tenso de cisalhamento mdia de um tubo de parede fina
com seo circular de raio rm e espessura t submetido a um torque T.
Calcule tambm o ngulo de toro para comprimento L.
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
Raio: rm Espes.: t Torque: T Comp.: L
Pela frmula:
=
2. .
Logo:
=
. . .
E o ngulo de toro?
=.
4. 2.
.
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
Raio: rm Espes.: t Torque: T Comp.: L
Observe...
=.
4. 2.
.
O que constante a?
=.
4. 2. .
.
O que essa integral?
=.
4. 2. .
. 2. .
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
Raio: rm Espes.: t Torque: T Comp.: L
O que falta?
=.
4. 2. .
. 2. .
Substituindo a rea...
=.
4. (. 2)2. .
. 2. .
Simplificando...
=.
.. . .
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
Calcule a tenso de cisalhamento nos pontos A e B e o ngulo de
toro em C da barra abaixo, sabendo que G = 38GPa.
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
Primeiro passo: Am
Am = 0,057 . 0,035 = 0,002m2
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa
Segundo passo: Torque em A/B
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
D
0,5m 1,5m
C 60N.m TE E 25 N.m B/A
Segundo passo: Torque em A/B
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
D 0,5m 1,5m
C TE E 25 N.m B/A
+ 60 N.m
Segundo passo: Torque em A/B
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
D 0,5m 1,5m
C
E
B/A
+ 60 N.m + 35 N.m
Terceiro passo: md em A (35N.m)
, =
2. .
, =35
2.0,005.0,002 = 1,75
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
Quarto passo: md em B (35N.m)
, =
2. .
, =35
2.0,003.0,002 = 2,92
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
Quinto passo: genrico
=.
4. 2.
.
=.
4. 4. 106. 38. 109 .0,057
0,005+0,057
0,005+0,035
0,003+0,035
0,003
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
Quinto passo: genrico
=.
6,08. 105 . 22,8 + 23,33
= 7,587171..
105
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
Sexto passo: DE (35N.m)
= 7,587171..
105
= 7,587171.35.1,5
105
398. 105 = 3,98. 103
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
Stimo passo: CD (60N.m)
= 7,587171..
105
= 7,587171.60.0,5
105
228. 105 = 2,28. 103
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
Oitavo Passo: = CD + DE
= 2,28. 103 + 3,98. 103
= , .
Exemplo: Fluxo de Cisalhamento
G=38GPa Am = 0,002m
2
PAUSA PARA O CAF
CONCENTRAO DE TENSO
Assim como nas cargas axiais
Clculo complexo em mudanas de seo
Concentrao de Tenso
.
Mas...
= .
.
Assim como nas cargas axiais
Clculo complexo em mudanas de seo
Concentrao de Tenso
= .
.
O eixo a seguir est apoiado em mancais A e B. Determine a tenso
mxima no eixo, resultante dos torques aplicados. O filete na juno
de cada eixo tem r=6mm.
Exemplo: Concentrao de Tenso
r = 6mm
Por inspeo...
= .
.
Mas J = .R4/2... Logo...
= .2.
. 3
Exemplo: Concentrao de Tenso
r = 6mm T=30Nm
= .2.
.3
K = ?
r/d = 6/2.20
r/d = 0,15
D/d = 2.40/2.20
D/d = 2
K = 1,3
Exemplo: Concentrao de Tenso
r = 6mm T=30Nm
= .2.
.3
K = 1,3
= 1,3.2.30
. (20. 103)3
=78
. 8. 106
= 3,1
Exemplo: Concentrao de Tenso
CONCLUSES
Resumo Cisalhamento em tubos de paredes finas:
Equaes especficas
Permitem calcular sees diversas
Concentrao de Tenses: Efeito importante
Exercitar: Exerccios Hibbeler
Flexo: como calcular isso?
Diagramas de momentos fletores
PERGUNTAS?
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa
Mnimos:
Exerccios 5.98, 5.99, 5.111
Extras:
Exerccios 5.102, 5.103, 5.112, 5.116
Para Treinar em Casa
EXERCCIO
Exerccio Entrega Individual
Um tubo triangular, conforme a figura abaixo, de chapas de ao de
5mm de espessura, com G=75GPa. Calcule a tenso de cisalhamento
mxima e o ngulo de toro.
