07-2174_Resolução-1ªAval.Matem-3ºEM_U1.doc (prof)

RESOLUÇÃO DA 1a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA _ U I _ANO 2007

3a SÉRIE DO E.M. _ COLÉGIO ANCHIETA – BA

ELABORAÇÃO: PROF. OCTAMAR MARQUES.

RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

QUESTÕES DE 01 A 08.

Nas questões de 01 a 10, assinale as proposições verdadeiras e marque os resultados na Folha de Respostas. QUESTÃO 01. No conjunto dos números reais é verdade que: (01) A soma de dois números irracionais é um número irracional. Falso. Justificativa: A soma de dois números irracionais opostos é igual a zero que é um número racional.

(02) 23

24

−

− é um número racional.

Verdadeiro. Justificativa:

Racionalizando o denominador da fração 23

324

−

− , temos:

( )( )( )( )

Q 21

243

346834

2323

23324∈−=

−=

−

−−+=

+−

+−

.

(04) ∀ x ∈ R; 0 ≤ 1 1x

x2

2

<+

.

Verdadeiro. Justificativa: Se x ∈ R, então x2 é sempre um número não negativo, ou seja, x2 ≥ 0 e o denomindor x2 + 1 é

sempre um número positivo, ou seja, x2 + 1 > 0. Logo 01x

x2

2

≥+

para todo x ∈∈∈∈ R, isto é, S0 = R.

Resolvendo agora a inequação 01x

11x

1xx 1

1xx

22

22

2

2

<+

−=

+

−−⇒<

+.

Como o denominador x2 + 1 > 0 para todo x ∈ R, então a solução da inequação 01x

12 <

+

− , é

S1 = R. (08) (x – 4)2 + (x – 2y)2 = 0 ⇒⇒⇒⇒ y ∈∈∈∈ N. Verdadeiro. Justificativa: Se x, y ∈ R e (x – 4)2 + (x – 2y)2 = 0, então, (x – 4)2 = 0 e (x – 2y)2 = 0 ⇒ x = 4 e y = 2 ∈ N. (16) a, b, c, d ∈∈∈∈ R, a < b e c < d ⇒⇒⇒⇒ a – c < b – d. Falso. Justificativa: Consideremos a = 1, b = 4, c = – 5 e d = 3, por exemplo. Vemos que a – c = 1 – (–5) = 1 + 5 = 6 e b – d = 4 – 3 = 1. Temos com estes valores a – c > b – d.

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(32) ∃ x ∈ R; x4 < x3 Verdadeiro. Justificativa:

Fazendo x igual a 21 , por exemplo, temos

81

161

21

21

34

<⇒

<

que é uma afirmação verdadeira.

QUESTÃO 02. Sobre Geometria Plana pode-se afirmar que: (01) Se os inteiros x, 3 e 4 são lados de um triângulo e x é oposto a um ângulo obtuso, então 5 < x < 7. Verdadeiro. Justificativa: Se o lado x é oposto a um ângulo obtuso, então, x é o maior lado do triângulo obtusângulo, x é um inteiro maior que 4 e diferente de 5 (senão seria um triângulo retângulo). Como qualquer lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos outros lados, temos x < 7. Logo x = 6. (02) Se os lados de um triângulo eqüilátero medem 6cm, o raio do círculo inscrito é igual a 2 3 cm. Falso.

Justificativa:

No triângulo retângulo ABC, tg30o = 3 r 3r

33

3r

=⇒=⇒

(04) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo de área S obtém-se um triângulo de área S/2. Falso. Justificativa: Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo determina-se um triângulo semelhante ao primeiro e cujos lados têm como medida as metades das medidas dos lados correspondentes no triângulo dado.

Se 2l

l1 = e os triângulos são semelhantes, então4S

S1 =

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(08) Se M e N são os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio tal que MN = 8cm e sendo 6cm a distância de qualquer ponto de MN à base maior desse trapézio então sua área é igual a 96cm2. Verdadeiro. Justificativa:

MN é a base média do trapézio (segmento determinado pelos pontos

médios dos lados não paralelos), então, MN = 2

ba + . Se a distância de

MN à base maior é 6cm, então a altura do trapézio mede 12cm.

A área do trapézio é dada pela fórmula S = 296cm8.12h.2

b)(a==

+

(16) A área de um hexágono regular de lado igual a 8u.c. é igual a 96 3 u.a. Verdadeiro. Justificativa: A área de um hexágono regular pode ser calculada como sendo o sêxtuplo da área de um triângulo eqüilátero de lado equivalente ao lado do hexágono: S =

3964

38.6

43l

.622

=

=

(32) A condição suficiente para um triângulo ser acutângulo é ter um ângulo interno agudo. Falso. Justificativa: Qualquer triângulo tem no mínimo dois ângulos agudos. QUESTÃO 03.

Na figura, vemos um círculo de centro O tal que, AB = a, BC = b e CD = 2

ba + .

É verdade que:

(01) OF = 2ba +

. Verdadeiro.

Justificativa: a+b = 2r ⇒ CD=2

ba + = r ⇒ OB = 2r

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(02) FB = 2 ab . Falso. Justificativa: No triângulo retângulo AFC, temos

AB.BC = FB2 ⇒ FB2 = ab ⇒ FB = .ab

(04) GF = ba

2ab+

.

Verdadeiro. Justificativa: Na figura acima, considerando o triângulo retângulo FBO, temos FB2 = GF.FO ⇒

ab = GF. 2

ba + ⇒ GF = ba

2ab+

.

(08) FC = ( )bba + .

Verdadeiro. Justificativa: No triângulo retângulo AFC, temos FC2 = BC.AC ⇒ FC2 = b(a+b) ⇒ FC = ( )bba +

(16) m ( )ED̂O > 25o Verdadeiro.

Justificativa: No triângulo retângulo DEO temos: sen ( )ED̂O = 21

2rr

= ⇒ m ( )ED̂O = 30o > 25o

(32) A área do triângulo OED é igual a 2b)(a83

+ .

Verdadeiro. Justificativa: Como m ( )ED̂O = 30o ⇒ m(DÔE) = 60o ⇒ SOED =

( )22

o ba83

2ba

.243

.r.2r23

.21

.OE.OD.sen6021

+=

+== .

QUESTÃO 04. Numa reunião com 40 pessoas só estão presentes brasileiros e italianos (ninguém com dupla nacionalidade). Verificou-se que:

� O número de brasileiros excede em 4 o número de italianos.

� O número de brasileiros que fumam é igual a um terço do número de italianos que não fumam.

� O número de fumantes é 10.

É verdade que: (01) O número de brasileiros que não fumam é 16. (02) O número de pessoas que não fumam é 30. (04) O número de brasileiros que fumam ou de italianos que não fumam é 16. (08) Escolhendo-se uma pessoa ao acaso a probabilidade de ocorrer um italiano que fuma é de 15%. (16) Escolhendo-se ao acaso um não fumante a probabilidade de ser italiano é de 30%.

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RESOLUÇÃO:

De acordo com os dados da questão, ilustrados pelo diagrama acima, temos:

=

=

=

⇒−

=+

=+−⇒

=+−++

++−=+

18f

4f

164f

(I) (II) fazendo (II) 30f3f

(I) 14ff

403ff10ff

43ff10ff

Analisando o diagrama acima, preenchido após a resolução do sistema, chegamos as seguintes conclusões: (01) O número de brasileiros que não fumam é 16. Falso. (02) O número de pessoas que não fumam é 30. Verdadeiro. (04) O número de brasileiros que fumam ou de italianos que não fumam é 16. Verdadeiro. (4 + 12 = 16) (08) Escolhendo-se uma pessoa ao acaso a probabilidade de ocorrer um italiano que fuma é de 15%.

Verdadeiro.

=== %51

100

15

20

3

40

6

(16) Escolhendo-se ao acaso um não fumante a probabilidade de ser italiano é de 30%.

Falso.

Justificativa:

=== 40%

10040

104

3012

QUESTÃO 05. Em Lógica pode-se afirmar que:

(01) p ∨ q é verdadeira, se ~q é verdadeira.

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Falso. Justificativa: Nas linhas 1 e 3 vemos que p ∨ q é verdadeira, porém ~q é falsa. (02) ~p → q é condição necessária para p ∧ ~q. Verdadeiro. Justificativa: Pela coluna 6 concluímos que (p ∧ ~q) → (~p → q) é uma tautologia.

(04) Uma condição suficiente para p ∧ ~q é ~p → q. Falso. Justificativa: Na coluna 7 os resultados das linhas 1 e 3 são falsos. (08) ~[(p → q) ∨ r] ⇔ (p ∧ ~q) ∧ ~r.

Verdadeiro. Justificativa: analisando a coluna 6 concluímos que ~[(p → q) ∨ r] ⇔ (p ∧ ~q) ∧ ~r é uma tautologia. (16) O argumento a seguir é válido: Nenhum peixe é foca.

Um animal é foca se somente se é pingüim.

Nenhum peixe é pingüim.

Falso. QUESTÃO 06. Considere o polinômio p(x) = a(x2 + 2x)2(x + 2)2 que dividido por x + 1 tem resto igual a 2. É verdade que: (01) O valor de a é 2. Verdadeiro. Justificativa: Se o polinômio p(x) = a(x2 + 2x)2(x + 2)2 dividido por x + 1 deixa resto igual a 2, então p(– 1) = a(1 – 2)2(– 1 + 2)2 = 2 ⇒ a = 2 (02) O grau de p(x) é 5. Falso. Justificativa: O grau do polinômio é 6. (04) A soma dos coeficientes de p(x) é igual a 162.

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Verdadeiro. Justificativa: A soma dos coeficientes de p(x) = p(1) = 2(1+2)2(1+2)2 = 162. (08) p(x) possui uma raiz de multiplicidade 4. Verdadeiro. Justificativa: p(x) = 2(x2 + 2x)2(x + 2)2 = 2x2(x+2)2(x+2)2=2x2(x+2)4 ⇒ p(x) tem duas raízes nulas e quatro raízes iguais a – 2. (16) O quociente da divisão de p(x) por (x + 2)3 é o polinômio mx3 +nx2 tal que m + n = 6. Verdadeiro.

Justificativa: 2323

42

34x2x2)(x2x

2)(x

2)(x2x

2)(x

p(x)+=+=

+

+

+.

(32) A soma das raízes de p(x) é igual a –4. Falso. Justificativa: A soma das raízes é –8. QUESTÃO 07. Os objetos P e Q custam, respectivamente, R$ 400,00 e R$ 650,00. Pode-se afirmar que: (01) O custo de Q é 25% superior ao custo de P. Falso.

Justificativa: 62,5%100%0,62511,625

400650

V

V

P

Q +=+===

(02) Se P for vendido com um lucro de R$ 50,00, seu lucro relativo ao preço de venda será

superior a 10%.

Verdadeiro.

Justificativa: V = R$ 450,00 e 10% 11% 0,1111...

45050

VL

>≡==

(04 Se os preços de venda desses objetos sofrerem um aumento de 15% e, em seguida, uma redução de 8%, então o aumento acumulado desses preços será de 5,8%. Verdadeiro. Justificativa: 1,15 × P × (1 – 0,08) = 1,058P = P + 0,058. (08) Se os preços de venda dos objetos P e Q forem iguais e o LP na venda de P for o triplo do lucro LQ na venda de Q, então LQ = R$ 125,00. Verdadeiro. Justificativa:

VP = 400 + 3 LQ e VQ = 650 + LQ. Mas VP = VQ ⇒ 400 + 3 LQ = 650 + LQ ⇒ 2 LQ = 250 ⇒

LQ = 125.

(16) Se os lucros forem relativos aos custos e P for vendido com lucro de 10% e Q com lucro de 20%, então o lucro obtido na venda dos objetos será superior a 17%. Falso.

Justificativa: 17% 16,19%.0,16190...1050170

10506500,204000,10

<=≡=×+×

QUESTÃO 08. O preço de venda de um objeto é R$ 800,00. É verdade que:

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(01) Se for comprado por R$ 850,00 com um mês de prazo para pagamento, a taxa de juros será de 6,25% ao mês. Verdadeiro.

Justificativa: 0,0625

80050

=

(02) Se for comprado por R$ 1.000,00 com o prazo para pagamento de dois meses, a taxa mensal de juros simples será de 12,5%. Verdadeiro. Justificativa: M = 800 + 800 × 2 × 0,125 = 1.000. (04) Se na proposição anterior os juros fossem compostos a taxa mensal será superior a 12,5%. Falso. Justificativa: 800 × (1 + i)2 = 1.000 ⇒ (1 + i)2 = 1,25 ⇒ 1 + i ≡ 1,1180 ⇒ i = 11,80% < 12,5%. (08) Se foi vendido com juros simples de 10% ao mês, através de uma única prestação no valor de R$ 1.200,00, então o prazo de pagamento foi superior a 6 meses. Falso. Justificativa: 800 + 800 × m × 0,10 = 1.200 ⇒ 80m = 400 ⇒ m = 2. (16) Se, no momento da compra, forem pagos R$ 200,00 e, após dois meses, R$ 400,00, então o comprador ainda estará devendo R$ 326,00, supondo que a taxa mensal de juros compostos, foi de 10%. Verdadeiro. Justificativa: Pagando R$ 200,00 no ato da compra a pessoa estará financiando R$ 600,00. Ao final de dois meses a sua dívida será de 1,12 × 600 – 400 = 326 reais. QUESTÃO 09. Com os algarismos x, y e z são formados os números xyz e xzy. A soma dos números é igual a 1.521 e sua diferença á igual a 9. Calcule o valor da soma x + y + z. Resolução:

{ { 18zyx56107100765z10y100x15302z20y200x

99z9y

1.52111z11y200x

9y)10z(100xz10y100x

1.521y10z100xz10y100x

+++⇒+×+×==++⇒=++

⇒

=−

=++⇒

=++−++

=+++++

Resposta: 18. QUESTÃO 10.

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A figura, ao lado, representa um terreno com a forma de um trapézio isósceles tal que AB = 20m, CD = 8m e BC = 10m. Deseja-se dividir esse terreno em 3 partes I, II e III de áreas proporcionais a 4, 2 e 1, respectivamente. Sabendo que AF é o triplo de GB, calcule DE.

Resolução:

Pela figura à esquerda, temos: 100 = 36 + h2 ⇒ h = 8m.

Então a área do trapézio é S = 2112m

2820)(8

=×+

Como as partes I, II e III de áreas proporcionais a 4, 2 e 1, respectivamente, podemos representá-las por 4x, 2x e x, então 4x + 2x + x = 112 ⇒ x = 16. Sendo a área do trapézio AFDE igual a 4x, então SAFDE = 64m2. Como a área do paralelogramo CEFG é o dobro da área do triângulo e as suas alturas são iguais, então as suas bases também são iguais. Temos: 3a + a + a = 20 ⇒ a = 5 ⇒ AF = 15m

A área do trapézio AFDE é 64m2 ⇒

( )4DE16DE1264

28DE12

=⇒=+⇒=×+

. Resposta: m(DE) = 4m ( Esta é uma solução se considerarmos CEFG um paralelogramo). Se CEFG não for um paralelogramo, e sendo a área do trapézio AFDE igual a 64m2, temos

SAFDE = 16mAFDE64

2AF).8(DE

=+⇒=+

. Então DE pode assumir qualquer valor positivo menor do que 8, tal que DE = (16 – AF).