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RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2012 DA UNICAMP-FASE 2.

RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA 13. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura abaixo mostra o

velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro

gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta.

a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual

é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (0 km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 104

km/h?

b) Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h,

mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de

aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que

representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h.

RESOLUÇÃO:

a) Considerando como y o ângulo de giro do ponteiro, y = α°v, sendo α uma constante real.

Se para v = 240km/h, y = 210° ⇒ 210° = 240α° ⇒ 8

7

240

210==a

Para v = 104km/h, y = °=°

91

8

7104

RESPOSTA: O ângulo entre a posição atual do ponteiro (0 km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 104 km/h mede 91°. b) Considerando que a velocidade real é dada pela função v(x) = ax+ b quando o velocímetro marca uma

velocidade de x km/h.

Se o velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h, então,

v(20) = 20a+ b = 20.

Se indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h, então v(70) = 70a+ b = 65.

20,9x v(x)2b20b18

0,9a4550a )L(L

65b70a

20b20a12 +=⇒

=⇒=+

=⇒=⇒−

=+

=+.

RESPOSTA: A função v(x) = 0,9x +2 representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h.

2

14. A planta de um cômodo que tem 2,7 m de altura é mostrada ao

lado.

a) Por norma, em cômodos residenciais com área superior a 6 m²,

deve-se instalar uma tomada para cada 5 m ou fração (de 5 m) de

perímetro de parede, incluindo a largura da porta. Determine o

número mínimo de tomadas do cômodo representado ao lado e o

espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas

uniformemente pelo perímetro do cômodo.

b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lâmpada,

localizada no centro do teto do cômodo, ao interruptor, situado a

1,0 m do chão, e a 1,0 m do canto do cômodo, como está indicado

na figura. Supondo que o fio subirá verticalmente pela parede, e

desprezando a espessura da parede e do teto, determine o

comprimento mínimo de fio necessário para conectar o interruptor à

lâmpada.

RESOLUÇÃO:

a) O cômodo representado pela figura tem perímetro, incluindo a largura da porta, de ( ) 10,8m32,42 =+ .

Para um número mínimo de tomadas, o espaçamento entre elas deveria no máximo ser de 5m.

O número n de tomadas será então dado por 3n2,165

10,8n =⇒=≥ .

Como o número mínimo de tomadas deve ser 3, o espaçamento entre elas deve ser de 3.6m3

10,8= .

RESPOSTA: 3 Tomadas com espaçamento de 3,6m.

b) Como a largura do cômodo é de 2,4m, a distância do ponto

C, centro do teto, à parede onde está o interruptor E é de 1,2m,

e está representada na figura pelo segmento AB perpendicular

ao plano dessa parede. Sendo B o ponto médio do segmento

DE , AD = 1m, então AB = 0,5m.

Logo, 3,169,15,01,2AC 22==+= m

Assim, o comprimento mínimo de fio necessário para conectar

o interruptor à lâmpada é de 1,7m+1,3m= 3,0m.

RESPOSTA: 3,0m.

15. O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática

obtida a partir de xx

1x=

+.

a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo.

b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é

definido recursivamente pela fórmula 2. n se 2),F(n1)F(n

2;ou 1 n se 1,F(n)

>−+−

==

Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior.

Calcule o 10o e o 11

o termos dessa sequência e use-os para obter uma aproximação com uma casa decimal

para o número áureo.

RESOLUÇÃO:

2

51

2

411x01xxx

x

1x 2 ±=

+±=⇒=−−⇒=

+

RESPOSTA: O número áureo é 1,62

51≈

+.

3

b) Na sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., a9 = 13 + 21 = 34, a10 = 21 + 34 = 55 e a11 = 34 + 55 = 89.

Como ...16181855

89≈ , número áureo será 1.6.

RESPOSTA: 1,6. 16. Uma curva em formato espiral, composta por

arcos de circunferência, pode ser construída a partir

de dois pontos A e B, que se alternam como centros

dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são

semicircunferências que concordam

sequencialmente nos pontos de transição, como

ilustra a figura ao lado, na qual supomos que a

distância entre A e B mede 1 cm.

a) Determine a área da região destacada na figura.

b) Determine o comprimento da curva composta

pelos primeiros 20 arcos de circunferência.

RESOLUÇÃO:

a) Observa-se que todas as semcircunferências superiores

têm centro no ponto A e todas as inferiores têm centro em B.

Observa-se também que as medidas dos raios formam a

sequência {1, 2, 3, 4, 5, ...}.

A área da figura é a soma das áreas das duas

semicircunferências de raios BF e AD .

2

25π

2

16π9πS =

+=

RESPOSTA: 2

25πcm

b) Como os raios formam a P.A. {1, 2, 3, 4,

5, 6, ...}, o vigésimo termo dessa sequência é

r20 = 20.

Se o comprimento de uma circunferência é

dada pela relação C = 2πr, a da

semicircunferência é Cs= πr.

Então os comprimentos dos arcos da figura

formada pelos 20 arcos em questão

constituem a sequência

{π, 2π, 3π, ....., 20π}que sendo uma P.A. tem

como soma dos termos

( )210π

2

2020ππS =

×+= .

RESPOSTA: 210ππππcm.

17. Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada

dentre todas as pedras preciosas.

a) Em gemologia, um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a

massa específica do diamante é de aproximadamente 3,5 g/cm3, determine o volume de um brilhante com

0,7 quilate.

4

b) A figura ao lado apresenta a seção transversal de um

brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato

da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do

volume de um tronco de cone (parte superior) com o de

um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o

volume aproximado do brilhante.

Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido

empregando-se a fórmula

( )22 rRrRh3

πV ++= ,em que R e r são os raios das

bases e h é a altura do tronco.

RESOLUÇÃO:

a) Se um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200 mg = 0,2g, então a massa de 0,7 quilate

é 0,14g0,20,7 =× .

Se a massa específica do diamante é de aproximadamente 3,5 g/cm3, então a massa específica de um

diamante com 0,14g é 04,025

1

50,3

14,0== cm

3.

RESPOSTA: O volume do brilhante é 0,04cm3.

b) Na figura ao lado, os triângulos FDE e FBC são

semelhantes, então

1,2FH0,6x6,0x2x0,6x

x

4

2=⇒=⇒+=⇒

+= .

O volume do brilhante é:

( )3,8π

3

11,4π

3

π0,64,87,2V

3

0,6π1,24π1,84πV

VVVV FDE coneFBC coneABC cone

==−+

=

⇒×−×+×

=

⇒−+=

RESPOSTA: O volume do brilhante é 3,8ππππmm3.

18. O mostrador de determinado relógio digital indica

horas e minutos, como ilustra a figura ao lado, na qual o

dígito da unidade dos minutos está destacado.

O dígito em destaque pode representar qualquer um dos

dez algarismos, bastando para isso que se ative ou

desative as sete partes que o compõem, como se mostra

abaixo.

5

a) Atribuindo as letras a, b, c, d, e, f, g aos trechos do dígito destacado do relógio, como

se indica ao lado, pinte no gráfico de barras abaixo a porcentagem de tempo em que

cada um dos trechos fica aceso. Observe que as porcentagens referentes aos trechos f e g

já estão pintadas.

b) Supondo, agora, que o dígito em destaque possua dois trechos defeituosos, que não

acendem, calcule a probabilidade do algarismo 3 ser representado corretamente.

RESOLUÇÃO:

a) A cada 60 minutos um dos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) ocupa por 6 vezes a posição do

dígito indicado., ou seja, cada algarismo fica aceso 6 minutos.

O trecho “a” compõe os elementos do conjunto {0, 2, 3. 5, 6, 7, 8, 9}, logo fica aceso por 48 minutos o

que equivale a 80% do tempo.

O trecho “b” compõe os elementos do conjunto {0, 4, 5, 6, 8, 9}, logo fica aceso por 36 minutos o que

corresponde a 60% do tempo.

O trecho “c” compõe os elementos do conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, ficando aceso por 42 minutos o que

corresponde a 70% do tempo.

O trecho “d” compõe os elementos do conjunto {0, 2, 6, 8}, logo aceso por 24 minutos o que

corresponde a 40% do tempo.

O trecho “e” compõe os elementos do conjunto {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9}, ficando aceso por 42 minutos o que

corresponde a 70% do tempo.

O trecho “f” compõe os elementos do conjunto {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ficando aceso por 54 minutos

o que corresponde a 90% do tempo.

O trecho “g” compõe os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} logo fica aceso por 48 minutos o

que equivale a 80% do tempo.

b) São sete trechos e o número de maneiras de apenas dois estarem defeituosos é

21.12

67C 27, =

×

×=

Os únicos trechos que não compõem o 3, conforme figura ao lado, são o b e o d.

Então somente existe uma maneira de estando dois trechos defeituosos, o 3 ser

representado corretamente.

Logo a probabilidade pedida é 21

1.

RESPOSTA: 21

1.

6

19. Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela abaixo:

Tipo de

cebola

Peso unitário

aproximado (g)

Raio médio

(cm)

Pequena 25 2

Grande 200 4

a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g.

Formule um sistema linear que permita encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela

consumidora e resolva-o para determinar esses valores.

b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca. Determine a área de casca correspondente a 600 g

de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem

192π cm2 de área de casca, indique que tipo de cebola fornece o menor desperdício com cascas.

RESOLUÇÃO:

a) Considerando como x o número de cebolas pequenas e y o de cebolas número de cebolas pequenas e y

o de cebolas grandes tem-se o sistema:

=+

=+

1700200y25x

40yx.

Resolvendo este sistema:

( )

=

=

=

⇒−

=+

=+⇒

=+

=+

36x

4y

700175y

LL 1700200y25x

100025y25x

1700200y25x

40yx12

RESPOSTA: A consumidora comprou 4 cebolas grandes e 36 pequenas.

b) A consumidora comprou 800g200g4 =× de cebolas grandes e 900g de cebolas pequenas.

Como 600 g de cebolas grandes possuem 192π cm2 de área de casca,

⇒=⇒=⇒= 256πyy

4

64π

1

y

800

192π

600800 g de cebolas grandes possuem 256π cm

2 de área de casca.

600 g de cebolas pequenas correspondem a (600 : 25) = 24 cebolas.

Sendo estas cebolas esféricas com raio médio de cm, a soma das suas superfícies é de

( ) π84344π24R 424 2=××=× π cm

2.

RESPOSTA: As cebolas grandes fornecem o menor desperdício com cascas.

20. Considere a função f(x) = 2x + |x + p|, definida para x real.

a) A figura ao lado mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p.

Determine esse valor.

b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores de x que satisfazem a

equação f(x) = 12.

RESOLUÇÃO:

a) Analisando o gráfico percebe-se que a função f(x) = 2x + |x + p| tem comportamentos diferentes nos

intervalos 8x1 e 1x1 <≤≤≤− que possuem uma fronteira comum x = 1.

Então para 1x = , 1p01p21p2 −=⇒=+⇒=++ .

RESPOSTA: O valor específico de p é 1p −= .

7

b) Considerando que

≥

<−=

0 xse x,

0 xse x,x e fazendo p = –3 e f(x) = 12, ⇒=−+ 123x2x em dois casos:

>=

>=⇒=⇒

<=+−

≥=−+

3). xpois, az,(nãosatisf 9 xII)

3.5x153x I)

3 xse 12,3x2x II)

3 xse 12,3x2x I)

RESPOSTA: Para p = –3 e f(x) = 12, o valor de x é 5. 21. Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de acordo

com a temperatura de operação e armazenamento da bateria. A função que fornece o percentual de perda

anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, T (em °C), tem a

forma, bTa.10P(T) = , em que a e b são constantes reais positivas. A tabela abaixo fornece, para duas

temperaturas específicas, o percentual de perda de uma determinada bateria de íons de Lítio.

Temperatura (°C) Perda anual de

capacidade (%) 0 1,6

55 20,0

Com base na expressão de P(T) e nos dados da tabela,

a) esboce, abaixo, a curva que representa a função P(T), exibindo o percentual exato para T = 0 e T = 55;

b) determine as constantes a e b para a bateria em questão. Se necessário, use ,30,0)2(log10 ≈

48,0)3(log10 ≈ e 70,0)5(log10 ≈

RESOLUÇÃO: a)

b) Pela tabela P(0) = 1,6 e P(55) = 20 ⇒

{

0,02T310

1055b

55b55b

0

101,6P(T)02,050

1

55

1,1b1,110,7355b15log55b

10

125log55b12,510

201,6.10

1,6a

20a.10

1,6a.10

×=⇒===⇒=−×=⇒−=

⇒

=⇒=⇒

=

=⇒

=

=

RESPOSTA: a = 1,6 e b = 0,02.

8

22. Seja dada a matriz

=

16x60

6x2

02x

A , em que x é um número real.

a) Determine para quais valores de x o determinante de A é positivo.

b) Tomando

−

=

1

4

3

C , e supondo que, na matriz A, x = –2, calcule B = AC.

RESOLUÇÃO:

25)4x(4x100x16x64x36x16xdetA

16x60

6x2

02x

detA233

−=−=−−=⇒= .

a) As raízes de 25)4x(4xdetA 2−= são as raízes da equação ⇒=− 025)4x(4x2

2

5

4

25ou x 0x0254xou 04x 2

±±==⇒=−= ⇒

+

−=

2

5x

2

5x4xdetA

Estudo da variação do sinal de

+

−=

2

5x

2

5x4xdetA e determinação da solução da

inequação 02

5x

2

5x4x >

+

− :

RESPOSTA: O determinante de A é positivo para os valores de x pertencentes ao intervalo

+∞∪

− ,

2

5,0

2

5.

b) Tomando

−

=

1

4

3

C , e supondo que, na matriz A, x = –2, AC =

−=

−

×

−

−

−

56

8

2

1

4

3

3260

622

022

RESPOSTA: B =

−

56

8

2

.

9

23. Um círculo de raio 2 foi apoiado sobre as retas y = 2x e y = –x/2, conforme mostra a figura abaixo.

a) Determine as coordenadas do ponto de tangência entre o círculo e a reta y = –x/2.

b) Determine a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto C, centro do círculo.

RESOLUÇÃO:

a) Na figura o triângulo retângulo ADB em destaque tem lado

AB = 2, BD = |x| e AD = −x/2, logo pelo Teorema de Pitágoras:

.5

52

5

54

2

1y

5

54x

5

16x165x4

4

xx 22

22

=

−−=

⇒−=⇒=⇒=⇒=+

RESPOSTA: O ponto de tangência entre o círculo e a reta y = –

x/2 è A =

−

5

52,

5

54.

b) O triângulo retângulo OEB da figura ao lado, é congruente ao

triângulo ODA ⇒ BE =OD e OE = AD ⇒

=

5

54,

5

52B

Como AC=BC=2 ⇒

=

−+

−

=

−+

+

45

4

5

2

45

2

5

4

22

22

nm

nm

⇒

⇒−

=+−++−

=+−+++

Equação2)(Equação1

45

16n

5

58n

5

4m

5

54m

45

4n

5

54n

5

16m

5

58m

22

22

( )⇒−=⇒−=⇒−=⇒=+ 3nm,C3mnn3m0n5

54m

5

512

A equação da reta r que passa pelo ponto C e pela origem é 3xy −= ,

RESPOSTA: 3xy −=

10

24. Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra

a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos

especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

a) Calcule a distância entre A e B.

b) Calcule a distância entre B e D.

RESOLUÇÃO:

a) No triângulo ABC pela Lei dos Senos: 353

15x

1

x

3

15

2

1

x

2

3

15

sen30

x

sen120

15==⇒=⇒=⇒

°=

°.

RESPOSTA: A distância entre A e B é de m35 .

b) No triângulo BCD pela Lei dos Cossenos:

.75y175y

150325y2

1300325ycos6010152100225y

2

222

=⇒=

⇒−=⇒×−=⇒°×××−+=

RESPOSTA: A distância entre B e D é de m75 .