Upload
buituyen
View
219
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Resolução de problemas do campo
aditivo por alunos de quinto ano de
uma escola pública da cidade de São
Paulo
JOSÉ FERNANDO FERNANDES PEREIRA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO
CAMPO ADITIVO POR ALUNOS DE
QUINTO ANO DE UMA ESCOLA
PÚBLICA DA CIDADE DE SÃO
PAULO
José Fernando Fernandes Pereira
Edda Curi
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO
CAMPO ADITIVO POR ALUNOS DE
QUINTO ANO DE UMA ESCOLA
PÚBLICA DA CIDADE DE SÃO
PAULO
Universidade Cruzeiro Do Sul
2013
© 2013
Universidade Cruzeiro do Sul
Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
Pró-Reitor – Prof. Dr. Danilo Antonio Duarte
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Coordenação – Profa. Dra. Edda Curi
Banca examinadora
Profa. Dra. Edda Curi
Profa. Dra. Celi Aparecida Espasandin Lopes
Profa. Dra. Maria Tereza Carneiro Soares
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
P492r
Pereira, José Fernando Fernandes.
Resolução de problemas do campo aditivo por alunos de quinto
ano de uma escola pública da cidade de São Paulo / José Fernando Fernandes Pereira. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2013.
29 p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e
Matemática). 1. Ensino de matemática. 2. Resolução de problemas 3. Campo
aditivo (Matemática) 4. Escola pública (SP). I. Título II. Série.
CDU: 51
Sumário
1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 5
2 APORTE TEÓRICO ................................................................................................................ 7
3 O PRODUTO ......................................................................................................................... 12
3.1 SOBRE A IDENTIFICAÇÃO DA OPERAÇÃO QUE RESOLVE O PROBLEMA ..... 12
3.2 SOBRE OS PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO . 20
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ................................................................................... 22
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 27
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 29
José Fernando Fernandes Pereira
5
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
1 APRESENTAÇÃO
Este texto refere-se a uma síntese do trabalho que envolveu o estudo
realizado em uma escola da rede pública estadual, na cidade de São Paulo,
com o propósito de identificar saberes e dificuldades apresentados por alunos
de quinto ano do Ensino Fundamental, na resolução de problemas do Campo
Aditivo.
O trabalho a que nos referimos originou a dissertação de mestrado
defendida em 14 de junho de 2013, sob orientação da Profª Drª Edda Curi, com
o título “Resolução de problemas do Campo Aditivo por alunos de quinto ano
de uma escola pública da cidade de São Paulo”.
A Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud deu consistência
à fundamentação teórica, mesmo que outros pesquisadores como Chapin e
Johnson ou Van de Walle hajam contribuído por meio de suas pesquisas que
envolveram discentes no mesmo nível de escolaridade.
O estudo teve caráter metodológico quantitativo, enquanto se referia à
identificação da operação que resolvia o problema. A execução do
procedimento na operação envolvida, após análise dos protocolos dos alunos,
deu origem a categorizações que requeriam uma metodologia qualitativa que
emergia de uma pesquisa documental.
Analisando os dados encontrados à luz da teoria apresentada pelos
pesquisadores supracitados, pudemos abstrair consideráveis resultados sobre
obstáculos identificados na determinação da operação que resolve o problema,
bem como dificuldades apresentadas na indicação ou resolução do algoritmo.
Apresentamos sugestões de como facilitar a escolha correta da
operação e de como efetuar satisfatoriamente o algoritmo, com base nos
estudos realizados pelos pesquisadores indicados.
Na sequência, descrevemos a trajetória que percorremos até a
José Fernando Fernandes Pereira
6
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
finalização do estudo aqui descrito.
Iniciadas as aulas do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e
Matemática, ingressei, como bolsista CAPES, no projeto intitulado “Prova Brasil
de Matemática: revelações, possibilidades de avanços nos saberes de alunos
de 4ª série/5º ano e indicativos para a formação de professores”, coordenado
pela Profª Drª Edda Curi, com previsão de encontros quinzenais com
propósitos bem definidos, quais sejam: divulgar a produção e os resultados
encontrados, aproximando a universidade à realidade local bem como instruir e
melhorar a prática dos professores, realizando um trabalho conjunto entre o
pesquisador acadêmico e o professor-pesquisador, aquele que investiga sua
própria prática. No caminhar do grupo, escolhi o tema “Resolução de
problemas do Campo Aditivo”, uma das primeiras dificuldades do ingressante.
Identificar quais os saberes e dificuldades que os alunos de 5º ano do
Ensino Fundamental de uma das escolas envolvidas no projeto revelam, em
sala de aula, na resolução de problemas do campo aditivo foi o objetivo da
pesquisa.
Problemas elaborados e exaustivamente discutidos e ajustados para
cada nível escolar, durante as reuniões do grupo de pesquisa, compuseram os
protocolos dos alunos para análise, constituindo uma fonte de pesquisa
acessível (GOLDENBERG, 1999), que originou material para responder a
seguinte questão de pesquisa: “Que indicativos nos oferecem os protocolos
dos alunos de 5º ano de uma escola pública da cidade de São Paulo, em
relação aos seus saberes e dificuldades na resolução de problemas do campo
aditivo?”.
Participaram da pesquisa 189 alunos, resolvendo problemas referentes a
cinco relações de base (ideias) diferentes e relacionadas aos três estados
possíveis (inicial, intermediário e final), produzindo 189 X 5 X 3 = 2835
protocolos.
José Fernando Fernandes Pereira
7
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
2 APORTE TEÓRICO
A proposta do trabalho foi analisar as estruturas aditivas à luz da Teoria
dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, que visa ajudar a entender
como as crianças constroem os conhecimentos matemáticos e, para isso,
propõe uma estrutura que permita compreender as filiações e rupturas entre
conhecimentos, em crianças e adolescentes, entendendo por conhecimento,
tanto a informação expressa como as habilidades no tratamento dessa
informação (VERGNAUD, 1996, p. 155).
Elaborada, inicialmente, para tratar de estruturas matemáticas, como a
Estrutura Aditiva, a Teoria dos Campos Conceituais não é específica da
Matemática, podendo ser aplicada em qualquer aprendizagem científica ou
técnica.
Vergnaud distingue duas classes de situações na resolução de um
problema. O sujeito pode dispor das competências necessárias a sua solução e
torná-la imediata, ou, em contrapartida, se o sujeito não dispuser de todas as
competências necessárias, terá que refletir, explorar, hesitar, reformular e
atingir, ou não, a solução correta do problema. O tornar a solução imediata não
exclui a ação de refletir, nem o que já tenha sido explorado e reestruturado.
À organização invariante do comportamento para uma classe de
situações dadas, Vergnaud chama de esquema, ou seja, é o espaço onde os
conhecimentos em ação são transformados numa ação operatória, gerando os
teoremas em ação que, segundo Vergnaud, são as compreensões das
crianças, mostradas em ação, mesmo que não verbalizadas.
O funcionamento cognitivo que faz essa transformação envolve
operações que, progressivamente, se automatizam, relacionando diretamente
as características do problema ao algoritmo. A automatização não elimina, no
aluno, o poder de decisão se uma operação é, ou não, apropriada.
A adição de números naturais, objeto de nosso estudo, tem, em seu
algoritmo, um conjunto de regras difíceis de serem explicitadas às crianças.
José Fernando Fernandes Pereira
8
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Percebe-se que sem a compreensão do Sistema de Numeração Decimal,
através da decomposição polinomial dos números (por exemplo, 378 = 3.102 +
+ 7.101 + 8.100) o esquema-algoritmo pode não levar o aluno ao sucesso.
Segundo Vergnaud, um esquema sempre se apoia em uma
conceitualização implícita, donde se conclui que, considerando duas classes de
situações, na primeira classe de situações (quando o sujeito dispõe das
competências) o conceito de esquema se aplica com mais facilidade do que na
segunda classe de situações (quando não dispõe das competências) onde o
sujeito tenta diferentes abordagens que tenham afinidade com o objeto de
estudo, com o objetivo de encontrar a solução através de esquemas
disponíveis ou criados para a nova situação.
O autor conclui que para estudar o desenvolvimento e o funcionamento
de um conceito, durante o processo de aprendizagem, ou no decorrer de sua
utilização, devem ser considerados os três planos a seguir, simultaneamente:
S – conjunto das situações que dão sentido ao conceito (a referência);
I – conjunto das invariantes nas quais se assenta a operacionalidade dos
esquemas (o significado);
L – conjunto das formas de linguagem (ou não) que permitem
representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os
procedimentos de tratamento (o significante) (VERGNAUD, 1996).
A ideia de Campo Conceitual, para esse autor, é a de um conjunto de
situações que podem ser analisadas como uma combinação de tarefas, cujas
características quanto à natureza e dificuldades específicas são bem
conhecidas.
A Teoria dos Campos Conceituais considera que existe uma série de
fatores que influenciam e interferem na formação e no desenvolvimento dos
conceitos e que o conhecimento conceitual deve emergir dentro de situações-
problema (MAGINA et al., 2008). Em seguida apresentaremos alguns tipos de
José Fernando Fernandes Pereira
9
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
situações-problema.
Segundo Vergnaud, o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas é o
conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições e
subtrações agregado ao conjunto dos conceitos e teoremas que permitem
analisar tais situações como tarefas matemáticas.
As primeiras situações enfrentadas pelo aluno que geraram domínio
sobre o assunto e deram sentido aos conceitos por ele formulados, servirão de
base para as relações com novas situações (tarefas) que dão continuidade na
combinação de tarefas do mesmo campo conceitual.
As relações de base e as classes de problemas que podem ser
construídos a partir delas, segundo Vergnaud, devem vir acompanhadas de
uma sistemática classificação.
Na estrutura aditiva, Vergnaud classifica as relações de base em:
1. Composição de duas medidas em uma terceira;
2. Transformação (quantificada) de uma medida inicial em uma
medida final;
3. Relação (quantificada) de comparação entre duas medidas;
4. Composição de duas transformações;
5. Transformação de uma relação;
6. Composição de duas relações.
As relações aditivas de base podem ser expressas conforme
representações indicadas no quadro a seguir:
José Fernando Fernandes Pereira
10
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Quadro 1: Relações Aditivas de Base
medida
transformação ou relação (positiva ou negativa)
Essas categorias, na sequência, serão melhor identificadas e
exemplificadas.
Sobre a ideia de composição, Vergnaud nos indica que está relacionada
José Fernando Fernandes Pereira
11
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
com a ideia de espaço. No mesmo ambiente, os problemas apresentam ideia
de “juntar” duas medidas ou “separar” uma medida de outra, sempre com a
mesma finalidade de obter uma terceira medida. As três medidas apresentadas
caracterizam três estados a saber: Estado Inicial (EI), Estado Intermediário (I) e
Estado Final (EF).
A ideia de transformação está relacionada com a ideia de tempo. A partir
de uma situação, ocorre uma ação que a transforma em outra situação.
Podemos ter uma transformação positiva (quando a ação é aditiva) ou uma
transformação negativa (quando a ação é subtrativa).
Já a ideia de comparação encerra três valores: a medida de referência, a
medida referida e a relação entre ambas. As quantidades são comparadas
através de uma relação entre elas, que pode ser positiva ou negativa.
Há situações em que ocorrem transformações sucessivas, denominadas
Composição de Transformações. Enunciaremos apenas os casos que
envolvem composição de duas transformações, os quais apresentam quatro
configurações distintas, a saber: a-) Transformações positiva e positiva; b-)
Transformações positiva e negativa; c-) Transformações negativa e positiva; d-)
Transformações negativa e negativa. Habitualmente, a busca é pelo resultado
da composição de transformações, mas alguns problemas podem solicitar a
busca por uma das transformações ou pelo estado inicial.
Vale destacar que nos problemas de composição de transformações o
valor inicial, o valor intermediário e o valor final podem, ou não, servir de base à
resolução do problema. Nem sempre eles interessam à resolução do problema,
servindo, às vezes, como mero dificultador ao aluno.
O estudo das relações de base denominadas por Transformação de uma
relação e Composição de duas relações não cabe neste nível da Educação
Básica.
José Fernando Fernandes Pereira
12
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
3 O PRODUTO
3.1 SOBRE A IDENTIFICAÇÃO DA OPERAÇÃO QUE RESOLVE O
PROBLEMA
A ideia de composição
Os problemas propostos para essa ideia foram:
Numa festa de aniversário havia 1120 brigadeiros e 1285
beijinhos. Quantos doces havia nessa festa?
Na festa da Escola Pinguinho há 1250 doces, sendo 810
brigadeiros e os demais beijinhos. Quantos são os beijinhos?
Numa festa de casamento há alguns brigadeiros e 723 beijinhos.
No total são 1335 doces. Quantos são os brigadeiros?
Os dados do estudo mostram que as crianças não encontram dificuldade
em resolver os problemas de composição, quando a busca é pelo estado final.
Percebemos uma sensível diferença nos resultados do estudo, quando a busca
é pelos estados intermediário ou inicial. As professoras relataram que não
requerem, habitualmente, de seus alunos, que resolvam problemas onde a
busca é pelo estado intermediário ou pelo estado inicial.
Segundo Magina et al. (2008), os problemas de composição em que as
duas partes do todo são dadas e é pedido que se encontre o todo, constituem
os primeiros problemas que a criança domina, não apresentando dificuldade
em resolvê-los, até antes dos seis anos, tornando-se a primeira representação
de adição que ela forma. Sua solução é, em geral, associada ao processo de
contagem.
Os problemas em que são dados o todo e uma das partes e é pedido
que se encontre a outra parte, constituem uma extensão do problema anterior,
e sua solução envolve a operação subtração, desconstruindo a ideia de que a
situação parte-todo está sempre relacionada com a operação adição. Algumas
José Fernando Fernandes Pereira
13
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
vezes é resolvido com o procedimento da complementação (ibidem).
Quando a busca é pelo estado final (o todo), segundo Van de Walle
(2009), no que refere à escolha da operação, a dificuldade que os alunos
parecem demonstrar é a noção de conceito parte-todo, onde a adição nomeia o
todo em termos das partes. As partes são fornecidas e o que se procura é o
todo. Na situação em que são fornecidos o todo e uma das partes e se busca
encontrar a outra parte, quando o aluno não identifica a operação que resolve o
problema, Van de Walle (2009) sugere que a dificuldade que os alunos
parecem demonstrar é a noção do conceito parte-todo, onde, nesta situação, a
subtração nomeia a parte que falta.
A ideia de transformação positiva
Os problemas propostos para essa ideia foram:
Marcos coleciona figurinhas. Ele tem 1538 figurinhas e ganhou 71
de seu tio. Com quantas figurinhas ele ficou?
Marcos tinha 1609 figurinhas. Ganhou algumas e ficou com 1651.
Quantas figurinhas Marcos ganhou?
Marcos tinha algumas figurinhas. Ganhou 140 e ficou com 1724.
Quantas figurinhas ele tinha inicialmente?
Como nos problemas que envolvem o significado de composição, os
dados do estudo mostram que as crianças não encontram dificuldade em
resolver os problemas de transformação positiva, quando a busca é pelo
estado final. Percebemos uma sensível diferença nos resultados do estudo,
quando a busca é pelo estado intermediário (a transformação) ou pelo estado
inicial.
Vergnaud (2009) classifica a transformação como positiva, quando a
ação é aditiva e a não percepção dessa ação constituiu o erro do aluno.
Chapin e Johnson (2006) enfatizam que nesta ideia de transformação,
José Fernando Fernandes Pereira
14
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
quando o desconhecido é o estado final, o problema não oferece dificuldade.
A influência da congruência semântica é claramente observada nos
problemas em que se procura o estado intermediário (a transformação) ou o
estado final. Nos problemas propostos para as duas situações há “ganho” de
figurinhas e a operação que resolve ambos os problemas é uma subtração.
Vários pesquisadores destacam dificuldades com os problemas em que
a busca é pelo estado intermediário (a transformação) ou pelo estado inicial,
como expomos a seguir.
Nesse sentido, Van de Walle (2009) sugere que os problemas devam
ser expressos em forma de equação semântica, enquanto as crianças
trabalham com números de pequena ordem de grandeza, para que possam ser
escritas as respectivas equações equivalentes – aquelas que explicitam a
operação que vai resolver o problema – facilitando a verificação da
equivalência.
No segundo problema temos 1609 + ? = 1651, como equação semântica
e 1651 – 140 = ?, como equação equivalente, enquanto no terceiro problema
temos ? + 140 = 1724, como equação semântica e 1724 – 140 = ?, como
equação equivalente.
O erro do aluno se constitui na não identificação do cálculo relacional,
qual seja, determinar a transformação sendo dados o estado inicial e o estado
final, ou determinar o estado inicial sendo dados a transformação e o estado
final (KOCH; SOARES, 2005). O cálculo relacional refere-se às operações do
pensamento necessárias para que haja a manipulação das relações envolvidas
nas situações (MAGINA et al., 2008).
Chapin e Johnson (2006) sugerem, como procedimento mais eficiente,
reconhecer a ação correspondente à situação, representar a expressão
numérica correspondente à situação e pensar numericamente como encontrar
a resposta.
José Fernando Fernandes Pereira
15
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Percebemos uma forte tendência dos pesquisadores referenciados em
representar o problema por meio de uma sentença matemática.
A ideia de transformação negativa
Os problemas propostos para essa ideia foram:
Tiago coleciona figurinas. Ele tinha 1550 figurinhas, mas perdeu
55. Quantas figurinhas Tiago tem agora?
Tiago tinha 1605 figurinhas. Deu algumas para seu irmão e ficou
com 1552. Quantas figurinhas ele deu para o irmão?
Tiago tinha algumas figurinhas. Perdeu 193 e ficou com 1401.
Quantas figurinhas ele tinha inicialmente?
Os dados do estudo mostram que as crianças não encontram dificuldade
em resolver os problemas de transformação negativa, quando a busca é pelo
estado final. Percebemos uma pequena diferença nos resultados do estudo,
quando a busca é pelo estado intermediário (a transformação), mas uma
grande diferença, quando a busca é pelo estado inicial.
Vergnaud (2009) classifica a transformação como negativa, quando a
ação é subtrativa e a não percepção dessa ação constitui o erro do aluno.
Van de Walle (2009) classifica este problema como um problema de
separar. Quando o estado final é desconhecido – grande incidência na maioria
dos currículos – deve proporcionar um percentual pequeno de alunos que não
identificam a operação que resolve o problema.
Chapin e Johnson (2006) afirmam que nesta ideia de transformação,
quando o estado final é desconhecido, o problema não oferece dificuldade.
A influência da congruência semântica é claramente observada nos
problemas em que se procura o estado intermediário (a transformação) ou o
estado final. Nos problemas propostos para as duas situações há “doação” ou
“perda” de figurinhas. Na situação em que a operação que resolve o problema
José Fernando Fernandes Pereira
16
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
é uma subtração, refletindo congruência semântica é apresentado percentual
de acerto de 74,1%. Já na situação em que a operação que resolve o problema
é uma adição, refletindo a falta de congruência semântica é apresentado
percentual de acerto de 48,1%.
Alguns pesquisadores destacam a dificuldade que os alunos encontram
ao resolver os problemas de transformação negativa, quando a busca é pelo
estado inicial, caso em que não há congruência semântica, como expomos a
seguir.
Para as situações de transformação (positiva ou negativa), crianças de
sete anos já não devem ter dificuldade na resolução dos problemas em que
são dados o estado inicial e uma transformação (de ganho ou de perda) e é
pedido o estado final. A associação de “ganho” com a operação adição e a de
“perda” com a operação subtração, além da situação de juntar partes são
adquiridas antes do início da educação formal, a partir da experiência do dia-a-
dia da criança (MAGINA et al., 2008).
Van de Walle (2009) propõe que os problemas devam ser expressos em
forma de equação semântica, durante o período em que as crianças trabalham
com números de pequena ordem de grandeza, podendo, na sequência, serem
escritas as respectivas equações equivalentes, possibilitando ao aluno a
validação da resposta.
Nos problemas em que se busca o estado inicial, seja a transformação
positiva ou negativa, Chapin e Johnson (2006) enfatizam que é importante
notar se o aluno sabe representar a expressão numérica corretamente e se
consegue pensar numericamente como encontrar a resposta, uma vez que a
ação de “ganhar” será resolvida por uma subtração, enquanto a ação de
“perder” será resolvida por uma adição. Novamente a falta de congruência
semântica, provocou baixos índices na identificação da operação que resolve o
problema.
O erro do aluno se constitui na não identificação do cálculo relacional,
José Fernando Fernandes Pereira
17
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
principalmente na situação em que se busca o estado inicial (KOCH; SOARES,
2005).
Nesta situação também notamos a insistente indicação dos
pesquisadores referenciados em representar o problema por meio de uma
sentença matemática.
A sensível diferença entre as ideias de transformação positiva e
transformação negativa, na categoria “identificaram a operação que resolve o
problema”, quando a busca é pelo estado intermediário (a transformação),
representada, respectivamente, pelas frequências relativas 59,3% e 74,1%,
acreditamos ser reflexo da associação de “ganho” com a operação adição e de
“perda” com a operação subtração. Na primeira situação, apesar de ser uma
transformação positiva, a operação que resolvia a situação-problema era a
subtração, enquanto na segunda situação, tratava-se de uma transformação
negativa e a operação que resolvia a situação-problema era uma subtração. A
falta de congruência semântica pode ter prejudicado o aluno na interpretação
do enunciado, na primeira situação-problema.
A ideia de comparação positiva
Os problemas propostos para essa ideia foram:
João e Pedro colecionam chaveiros. João tem 607 e Pedro 528.
Quantos chaveiros João tem a mais que Pedro?
Lucas tem alguns chaveiros e Ricardo tem 210. Se Ricardo tem
80 chaveiros a mais que Lucas, quantos chaveiros tem Lucas?
Fábio tem 420 chaveiros e Camila tem 185 a mais que Fábio.
Quantos chaveiros tem Camila?
Os dados do estudo mostram que as crianças encontraram, nessa ideia,
sua maior dificuldade em resolver os problemas onde a busca é pelo estado
final (relação entre as medidas), apresentando o menor percentual, (68,9%)
nessa situação. Das relações de base do campo aditivo que foram
implementadas aos alunos, a comparação positiva, quando se busca o estado
José Fernando Fernandes Pereira
18
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
final, é a única que não apresenta congruência semântica entre o enunciado
(tem a mais) e a operação que resolve o problema (subtração).
Quando a busca é pelo valor referente, a pesquisa apresenta percentual
ainda mais baixo (48,8%) de crianças que identificaram a operação que resolve
o problema. A situação também apresenta falta de congruência semântica.
Segundo Torres (2008, p. 31), Vergnaud considera difícil para a criança
distinguir o que (ou quem) representa o Valor Referente e o que (ou quem)
representa o Valor Referido.
Na busca da Relação entre as medidas, acreditamos que a dificuldade
que os alunos encontraram parece ter sido a identificação da operação
subtração para resolver a situação-problema. Nossa hipótese é que tenham
relacionado a operação adição à expressão “tem a mais” escrita no enunciado.
Indicaram a adição para resolver o problema. O erro do aluno é caracterizado
pela não identificação do cálculo relacional, qual seja, determinar a relação
entre as medidas enunciadas (KOCH; SOARES, 2005). Quando se quer saber
quanto tem a mais, na realidade, procura-se a diferença entre as duas
quantidades. Parece-nos ser esta a indicação de procedimento mais eficiente.
Na situação em que se busca o Valor Referente, nossa hipótese é que o
aluno pode ter relacionado a operação adição à expressão “tem a mais” escrita
no enunciado. O erro do aluno se constituiu na não identificação do cálculo
relacional, qual seja, determinar o valor do referente (KOCH; SOARES, 2005).
Quando a busca é pelo Valor Referido, acreditamos que a dificuldade
que os alunos encontraram parece ter sido a identificação da operação adição
para resolver a situação-problema. Notamos que o percentual de alunos que
não identificaram a operação que resolve o problema, quando a busca é pelo
Valor Referido é menor que o percentual de alunos na mesma situação
apresentada na busca do Valor Referente. Nossa hipótese é que o aluno tenha
mais facilidade em resolver problemas em que ele parta de um valor conhecido
– o valor de referência, hipótese já discutida anteriormente.
José Fernando Fernandes Pereira
19
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
A ideia de comparação negativa
Os problemas propostos para essa ideia foram:
João e Pedro colecionam chaveiros. João tem 1393 e Pedro
1268. Quantos chaveiros Pedro tem a menos que João?
Lucas tem alguns chaveiros e Ricardo tem 815. Se Ricardo tem
112 chaveiros a menos que Lucas, quantos chaveiros tem Lucas?
Fábio tem 743 chaveiros e Camila tem 102 a menos que Fábio.
Quantos chaveiros tem Camila?
Os dados do estudo mostram que as crianças encontraram, na ideia de
comparação, uma grande dificuldade, principalmente, quando a busca é pelo
valor referente, na comparação negativa, situação que apresenta o mais baixo
percentual (30,8%) de crianças que identificaram a operação que resolve o
problema.
Na ideia de comparação negativa, quando se busca o estado final
(relação entre as medidas), como em todas as outras relações de base do
campo aditivo, à exceção da comparação positiva, existe congruência
semântica entre o enunciado e a operação que resolve o problema, voltando,
dessa forma, a produzir alto percentual (82,9%) de acerto nessa situação.
Magina et al. (2008) consideram que, embora os problemas de
comparação positiva e comparação negativa se refiram a representações
diferentes, quando se busca o valor referido, as pesquisas mostram que as
crianças resolvem ambos, mais ou menos com a mesma idade. Afirmam,
ainda, que na situação em que se busca a relação entre as medidas, é
importante que a criança entenda que a pergunta se refere à diferença entre as
quantidades.
A situação em que se busca o Valor Referente apresentou o problema
que mais dificuldade ofereceu à compreensão do aluno, na busca da
identificação da operação que resolve o problema, acarretando a maior
frequência relativa (57,4%), nesse quesito. Acreditamos que a dificuldade
José Fernando Fernandes Pereira
20
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
parece ter sido a identificação da operação adição para resolver a situação-
problema. Nossa hipótese é que o aluno pode ter relacionado a operação
subtração à expressão “tem a menos” escrita no enunciado. O erro do aluno se
constituiu na não identificação do cálculo relacional, qual seja, determinar o
valor referente (KOCH; SOARES, 2005).
Quando a busca é pelo Valor Referido, acreditamos que a dificuldade
que os alunos encontraram parece ter sido a identificação da operação
subtração para resolver a situação-problema. Notamos que o percentual de
alunos que não identificaram a operação que resolve o problema, quando a
busca é pelo Valor Referido é menor que o percentual de alunos na mesma
situação apresentada na busca do Valor Referente. Nossa hipótese é que o
aluno tenha mais facilidade em resolver problemas em que ele parta de um
valor conhecido – o valor de referência, hipótese já discutida anteriormente.
3.2 SOBRE OS PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO UTILIZADOS NA
RESOLUÇÃO
Notamos sensível diminuição na frequência relativa aos erros de
procedimentos utilizados para efetuar a adição. Temos por hipótese que as
professoras podem ter implementado, em sala de aula, exercícios
complementares com o propósito de tentar diminuir essa dificuldade.
Acreditamos também na possibilidade de algumas adições envolvidas não
apresentarem a dificuldade do procedimento de recurso/reserva, nem o zero
como elemento dificultador.
Em relação à subtração, as maiores dificuldades apresentadas foram no
procedimento de recurso/reserva, na subtração do algarismo de menor valor
significativo daquele que tem maior valor significativo, independente da posição
que ocupam no algoritmo e, finalmente, na presença do zero como elemento
dificultador. Acreditamos que a oscilação de frequências relativas aos erros de
procedimentos utilizados para efetuar a subtração tenha ocorrido em função da
existência, ou não, dessas categorias referenciadas durante a análise. Apenas
uma subtração envolvida nos problemas propostos não apresenta a dificuldade
José Fernando Fernandes Pereira
21
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
do procedimento de recurso/reserva e, pode ter sido esse o motivo de apontar
o menor percentual de erros.
Em alguns casos, alunos resolveram os problemas propostos utilizando
a multiplicação ou a divisão. Temos por hipótese que pudesse ser o conteúdo
desenvolvido pelas professoras, no período em que nossa pesquisa foi
aplicada.
Um aluno que nos despertou atenção foi o que expressou o problema na
forma de equação semântica, embora não o tenha resolvido de forma correta.
A seguir apresentamos um quadro referente à análise dos
procedimentos em cada uma das relações de base estudadas.
Tabela Ideia Busca de Operação Freq. de erro
16
Composição
Estado Final Adição 19,2%
17 Est. Intermediário Subtração 8,7%
18 Estado Inicial Subtração 15,1%
19 Transformação
Positiva
Estado Final Adição 12,2%
20 A Transformação Subtração 19,1%
21 Estado Inicial Subtração 16,3%
22 Transformação
Negativa
Estado Final Subtração 30,2%
23 A Transformação Subtração 28,6%
24 Estado Inicial Adição 7.4%
25 Comparação
Positiva
Relação/medidas Subtração 23,8%
26 Valor Referente Subtração 11.6%
27 Valor Referido Adição 6,1%
28 Comparação
Negativa
Relação/medidas Subtração 30,8%
29 Valor Referente Adição 2,4%
30 Valor Referido Subtração 10,6%
Quadro 2: Resumo das Frequências Relativas nos Erros de Procedimento
José Fernando Fernandes Pereira
22
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR
O início do percurso para responder a questão de pesquisa: “Que
indicativos nos oferecem os protocolos dos alunos de 5º ano de uma escola
pública da cidade de São Paulo, em relação aos seus saberes e dificuldades,
na resolução de problemas do campo aditivo” deu-se com nosso ingresso no
Projeto de Pesquisa, que alavancou estudos em searas jamais percorridas. Os
desafios foram surgindo, desde as disciplinas às quais nunca déramos
importância até a barreira tecnológica. Fomos vencendo um a um, ao nosso
tempo.
Mesmo sabendo ser um percurso difícil observar e investigar os saberes
matemáticos dos alunos na série escolhida, não nos furtamos arriscar.
Os estudos teóricos, por meio de muita leitura, nos levaram a ter a
segurança que precisávamos para começar a escrever o capítulo de
fundamentação teórica que, aliado à questão de pesquisa e à metodologia
utilizada, propiciaram a realização do trabalho.
Sobre as relações de base do Campo Aditivo, indicadas por Vergnaud,
faremos algumas considerações.
Segundo Magina et al. (2008), a ideia de juntar envolvida nos problemas
de composição é a primeira representação de adição que a criança
compreende e, aos seis anos, já não apresenta dificuldade em resolver. Em
geral a criança a associa ao processo de contagem. Nossas crianças de 5º
ano, mesmo que tenham apresentado frequência relativa de 91,3% no que
refere à identificação da operação que resolve o problema, quando a busca era
do estado final, apenas 76,2% (72,1% + 4,1%) lograram êxito. Perderam-se no
algoritmo.
Já a ideia envolvida nos problemas de transformação (ganhos ou
perdas) deve estar construída até 7 anos, pois fazem parte do dia-a-dia da
criança e são representações formadas entre 4 e 5 anos (ibidem). As crianças
de 5º ano, apesar de terem apresentado frequência relativa de 86,8%
José Fernando Fernandes Pereira
23
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
(transformação positiva) e 76,2% (transformação negativa) no que refere à
identificação da operação que resolve o problema, quando a busca era do
estado final, apenas 80,9% (74,6% + 6,3%) – na transformação positiva – e
51,3% (46,0% + 5,3%) – na transformação negativa - lograram êxito.
Perderam-se no algoritmo. A sensível diferença entre 80,9% e 51,3% pode
revelar maior dificuldade no algoritmo da subtração em relação ao da adição.
Quando se busca o estado intermediário, ou seja, a transformação,
independente de ser positiva ou negativa, o que se busca é a variação entre os
estados final e inicial e, como variação, resolvida por subtração. Nunes et al.
(2008) trabalham explorando a reta numérica para encontrar a variação.
Acreditamos na força do conceito de variação para o cálculo da transformação
(estado intermediário). Na busca da transformação, o êxito obtido foi de 44,4%
(40,2% + 4,2%) e 47,1% (45,5% + 1,6), respectivamente; o que nos parece
reduzido em função da idade das crianças envolvidas.
Segundo Magina et al. (2008), a compreensão da ideia envolvida nos
problemas de comparação se dá quando o aluno percebe que a relação entre
as medidas é o valor que se deve adicionar ou subtrair ao valor referente para
obter o valor referido, ou seja, a relação entre as medidas é a diferença entre
as duas medidas. As expressões “tem a mais” na comparação positiva ou “tem
a menos” na comparação negativa podem ter exercido forte influência na
escolha da operação a ser realizada, uma vez que, nas duas ideias, a relação
entre as medidas é a diferença entre a medida maior e a medida menor. A falta
de congruência semântica entre “ter a mais” e “fazer uma subtração” pode ter
provocado o menor rendimento na comparação positiva (68,3%) em relação à
comparação negativa (82,9%). Ainda na busca do valor referente ou do valor
referido, a congruência semântica (ou falta dela) exerce razoável influência.
Sobre os procedimentos de cálculo utilizados pelos alunos faremos
algumas considerações.
Acreditamos nos algoritmos não convencionais indicados por Chapin e
Johnson (2006), em casos específicos, assim como no uso da notação
José Fernando Fernandes Pereira
24
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
expandida referida por Vale e Cardoso (2004). Modelos apresentados mostram
que nem sempre a permuta entre o algoritmo convencional e um procedimento
alternativo levará o aluno ao sucesso. A vantagem dos não convencionais
reside no fato de que eles permitem ao aluno operar da esquerda para a direita
(método parcial da adição), ou desvinculam o aluno do “vai 1” (método parcial
da adição ou sobrecontagem com ordem), ou excluem o aluno do perigo do
“empréstimo” (técnica do troco ou técnica da decomposição na subtração),
como vemos no Quadro 3.
Quadro 3: Algoritmos da adição
Para a subtração também são apresentados alguns algoritmos não
convencionais, descritos por Chapin e Johnson (2006) e apresentados no
Quadro 4.
José Fernando Fernandes Pereira
25
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Quadro 4: Algoritmos não convencionais da subtração
A maior vantagem do método parcial da adição encontra-se na não
desconstrução do valor posicional, pois não há “transporte”, como explicam
Kamii e Joseph (2005), ao relatarem que seus alunos ao lidarem com 15 + 27,
fariam primeiro 10 + 20 = 30, porque jamais haviam sido ensinados a adicionar
5 + 7 em primeiro lugar. Afirmam, ainda, que “o algoritmo de ‘transporte’ serve
para ‘desensinar’ o valor posicional, incentivando as crianças a pensarem
sobre todo dígito como se fosse uma unidade”.
José Fernando Fernandes Pereira
26
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Na situação apresentada 15 + 27, as crianças dizem “cinco mais sete
são doze, vai um. Um mais um são dois, mais dois são quatro” (ibidem).
José Fernando Fernandes Pereira
27
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Consideramos que, mais do que memorizar e treinar um conjunto de
“passos” para realizar o algoritmo convencional, os alunos, ao realizarem um
cálculo, sejam capazes de mobilizar conhecimentos que têm sobre os números
e as operações e os apliquem de forma eficaz, relacionando-os ao contexto, ao
significado da operação e às estratégias de cálculo. A importância da
composição e decomposição de números na resolução dos problemas do
campo aditivo se faz presente em função das dificuldades encontradas pelos
alunos ao desenvolverem os procedimentos.
Em relação ao algoritmo convencional, o estudo mostra que os alunos o
fazem sem compreensão e, talvez, se tivessem trabalhado com algoritmos
intermediários ou por decomposição, respeitando o ritmo de aprendizagem,
houvesse maior compreensão dos procedimentos.
Um resultado de nosso estudo quebra um mito bastante evidenciado por
professores que afirmam que as crianças erram os problemas matemáticos
porque não sabem ler e interpretar. Os percentuais de acertos na identificação
da operação que resolve o problema mostram que as crianças leem e
interpretam os enunciados e que as dificuldades surgem na execução do
algoritmo.
Nossa visita à escola selecionada, apresentando resultados parciais do
estudo, desenvolvendo procedimentos não convencionais, seja no campo das
ideias ou no algoritmo e, principalmente, dando voz ao professor, mostrou que
estudos como este, que propiciam a integração entre a escola e a
universidade, por meio do intercâmbio entre professor e pesquisador, são
exequíveis. Em conversa com as professoras, no primeiro encontro,
confessaram que evitavam resolver problemas de matemática, porque se
sentiam inseguras, caso algum aluno fizesse alguma pergunta. Confirmaram as
pesquisas, quando afirmaram que trabalhavam, exclusivamente, a ideia de
composição, na busca do estado final. No segundo encontro, garantiram que
haviam se sentido mais seguras na resolução de problemas que envolviam
José Fernando Fernandes Pereira
28
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
outras ideias ou naqueles em que a busca era pelo estado intermediário ou
pelo estado inicial. Asseguraram desenvolver, paulatinamente, com seus
alunos, novos procedimentos, assim que se tornarem seguras.
José Fernando Fernandes Pereira
29
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
REFERÊNCIAS
CHAPIN, S. H.; JOHNSON, A. Math Matters. Sausalito, CA: MathSolutions,
2006.
GOLDEMBERG, M. A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em
ciências sociais. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 1999.
KAMII, C.; JOSEPH, L. L. Crianças pequenas continuam reinventando a
aritmética (séries iniciais): implicações da teoria de Piaget. Trad. Vinicius
Figueira. 2. ed. Porto Alegre: Artmed, 2005.
KOCH, N. T. O.; SOARES, M. T. C. O professor, seus alunos e a resolução de
problemas de estrutura aditiva. In: MORO, M. L. F.; SOARES, M. T. C. (Org.).
Desenhos, palavras e números: as marcas da matemática na escola.
Curitiba: Ed. da UFPR, 2005.
MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da teoria
dos campos conceituais. 3. ed. São Paulo: PROEM, 2008.
NUNES, T. et al. Educação matemática: números e operações numéricas. 2.
ed. São Paulo: PROEM, 2008.
TORRES, I. R. V. Os significados das operações de adição e subtração
desenvolvidos em problemas por autores de livros didáticos, documentos
oficiais e por professores dos anos iniciais do ensino fundamental. 2008.
Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade
Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2008.
VALE, M. I. P.; CARDOSO, M. T. P. Números e operações. In: PALHARES, P.
(Coord.). Elementos de matemática para professores do ensino básico.
Lisboa: Lidel, 2004.
VAN de WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de
professores e aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino
da matemática na escola elementar. Trad. Maria Lúcia Faria Moro. Curitiba: Ed.
da UFPR, 2009.
______. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. (Dir.) Didácticas das
MATEMÁTICAS. Lisboa: Instituto Piaget, 1996.