RR eessii sstt nn ccii aa ddooss

MM aatt eerr ii aaii ss RR .. CC..

HH ii bbbbeell eerr 77 eeddii oo

VV ooll uu mm ee 11

Resoluo: Steven Rger Duarte

SUMRIO

1.0. TENSO ..................................................................................................................................................... 1

1.1. Problemas .................................................................................................................................................... 2

1.2. Problemas .................................................................................................................................................. 27

1.3. Problemas .................................................................................................................................................. 53

1.4. Problemas de Reviso ............................................................................................................................... 71

2.0. DEFORMAO....................................................................................................................................... 76

2.1. Problemas .................................................................................................................................................. 77

3.0. PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS ............................................................................ 93

3.1. Problemas .................................................................................................................................................. 94

3.2. Problemas ................................................................................................................................................ 108

3.3. Problemas de Reviso ............................................................................................................................. 112

4.0. CARGA AXIAL ..................................................................................................................................... 119

4.1. Problemas ................................................................................................................................................ 120

4.2. Problemas ................................................................................................................................................ 137

4.3. Problemas ................................................................................................................................................ 158

4.4. Problemas ................................................................................................................................................ 167

4.5. Problemas de Reviso ............................................................................................................................. 180

5.0. TORO ................................................................................................................................................ 185

5.1. Problemas ................................................................................................................................................ 186

5.2. Problemas ................................................................................................................................................ 207

5.3. Problemas ................................................................................................................................................ 220

5.4. Problemas ................................................................................................................................................ 239

5.5. Problemas de Reviso ............................................................................................................................. 246

6.0. FLEXO ................................................................................................................................................. 252

6.1. Problemas ................................................................................................................................................ 253

6.2. Problemas ................................................................................................................................................ 293

6.3. Problemas ................................................................................................................................................ 337

6.4. Problemas ................................................................................................................................................ 346

6.5. Problemas ................................................................................................................................................ 368

6.6. Problemas de Reviso ............................................................................................................................. 382

7.0. CISALHAMENTO TRANSVERSAL ................................................................................................... 389

7.1. Problemas ................................................................................................................................................ 390

7.2. Problemas ................................................................................................................................................ 411

7.3. Problemas ................................................................................................................................................ 422

7.4. Problemas de Reviso ............................................................................................................................. 433

ANEXO Tabela Proriedades Mecnicas mdias de Materiais Tpicos de Engenharia ............................. 438

INTRODUO

Este livro contm as resolues dos Problemas do livro Resistncia dos Materiais R.C. Hibbeler 7

edio, dos captulos 1 ao 7 (sujeito a correes e melhorias), tem sido elaborado ao longo da minha vida

acadmica como aluno de engenharia civil pelo Centro Universitrio de Anpolis UniEVANGLICA, desde

2013, quando passei a ter a disciplina Resistncia dos Materiais na matriz curricular. As respostas finais

encontram-se em negrito e realadas na cor amarela, e so desenvolvidas de forma direta e objetiva, e

esto de acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI). Cada captulo contm uma breve

introduo dos tpicos do livro que considerei ser importante. O objetivo aqui despertar o interesse do

aluno pela disciplina Resistncia dos Materiais e mostrar que tal disciplina no um bicho de sete

cabeas.

1

Captulo 1

TT eenn ssoo

DDeesseennvvoollvviimmeennttoo hhiissttrriiccoo

AA oorriiggeemm ddaa rreessiissttnncciiaa ddooss mmaatteerriiaaiiss ((oouu mmeeccnniiccaa ddooss mmaatteerriiaaiiss)) rreemmoonnttaa aaoo iinncciioo ddoo ssccuulloo

XXVVIIII,, qquuaannddoo GGaalliilleeuu rreeaalliizzoouu eexxppeerriimmeennttooss ppaarraa eessttuuddaarr ooss eeffeeiittooss ddee ccaarrggaass ssoobbrree hhaasstteess ee vviiggaass ffeeiittaass

ddee ddiiffeerreenntteess mmaatteerriiaaiiss.. EEnnttrreettaannttoo,, ppaarraa aa ccoommpprreeeennssoo aaddeeqquuaaddaa ddeesssseess eeffeeiittooss,, ffooii nneecceessssrriioo ffaazzeerr

ddeessccrriieess eexxppeerriimmeennttaaiiss pprreecciissaass ddaass pprroopprriieeddaaddeess mmeeccnniiccaass ddooss vvrriiooss mmaatteerriiaaiiss..

CCoomm oo ppaassssaarr ddooss aannooss,, ddeeppooiiss ddee mmuuiittooss ddooss pprroobblleemmaass ffuunnddaammeennttaaiiss ddaa mmeeccnniiccaa ddooss mmaatteerriiaaiiss

tteerreemm ssiiddoo rreessoollvviiddooss,, ttoorrnnoouu--ssee nneecceessssrriioo uussaarr ttccnniiccaass aavvaannaaddaass ddaa mmaatteemmttiiccaa ee ddaa ccoommppuuttaaoo

ppaarraa rreessoollvveerr pprroobblleemmaass mmaaiiss ccoommpplleexxooss.. CCoommoo rreessuullttaaddoo,, eessssee aassssuunnttoo ssee eexxppaannddiiuu ppaarraa oouuttrraass rreeaass ddaa

mmeeccnniiccaa aavvaannaaddaa,, ccoommoo aa tteeoorriiaa ddaa eellaassttiicciiddaaddee ee aa tteeoorriiaa ddaa ppllaassttiicciiddaaddee.. AA ppeessqquuiissaa nneessssaass rreeaass

ccoonnttnnuuaa,, nnoo aappeennaass ppaarraa aatteennddeerr nneecceessssiiddaaddee ddee rreessoollvveerr pprroobblleemmaass aavvaannaaddooss ddee eennggeennhhaarriiaa,, mmaass

ttaammbbmm ppaarraa jjuussttiiffiiccaarr aa mmaaiioorr uuttiilliizzaaoo ee aass lliimmiittaaeess aa qquuee eesstt ssuujjeeiittaa aa tteeoorriiaa ffuunnddaammeennttaall ddaa

mmeeccnniiccaa ddooss mmaatteerriiaaiiss..

CCaarrggaass eexxtteerrnnaass

UUmm ccoorrppoo ppooddee sseerr ssuubbmmeettiiddoo aa vvrriiooss ttiippooss ddee ccaarrggaass eexxtteerrnnaass;; ttooddaavviiaa,, qquuaallqquueerr uummaa ddeellaass ppooddee

sseerr ccllaassssiiffiiccaaddaa ccoommoo uummaa ffoorraa ddee ssuuppeerrffcciiee oouu uummaa ffoorraa ddee ccoorrppoo..

RReeaaeess ddoo aappooiioo

AAss ffoorraass ddee ssuuppeerrffcciiee qquuee ddeesseennvvoollvveemm nnooss aappooiiooss oouu ppoonnttooss ddee ccoonnttaattoo eennttrree ccoorrppooss ssoo

ddeennoommiinnaaddooss rreeaaeess..

EEqquuaaeess ddee eeqquuiillbbrriioo

OO eeqquuiillbbrriioo ddee uumm ccoorrppoo eexxiiggee uumm eeqquuiillbbrriioo ddee ffoorraass,, ppaarraa iimmppeeddiirr aa ttrraannssllaaoo oouu mmoovviimmeennttoo

aacceelleerraaddoo ddoo ccoorrppoo aaoo lloonnggoo ddee uummaa ttrraajjeettrriiaa rreettaa oouu ccuurrvvaa,, ee uumm eeqquuiillbbrriioo ddee mmoommeennttooss,, ppaarraa iimmppeeddiirr

qquuee oo ccoorrppoo ggiirree..

CCaarrggaass rreessuullttaanntteess iinntteerrnnaass

UUmmaa ddaass mmaaiiss iimmppoorrttaanntteess aapplliiccaaeess ddaa eessttttiiccaa nnaa aannlliissee ddee pprroobblleemmaass ddee rreessiissttnncciiaa ddooss

mmaatteerriiaaiiss ppooddeerr ddeetteerrmmiinnaarr aa ffoorraa ee oo mmoommeennttoo rreessuullttaanntteess qquuee aaggeemm nnoo iinntteerriioorr ddee uumm ccoorrppoo ee qquuee ssoo

nneecceessssrriiooss ppaarraa mmaanntteerr aa iinntteeggrriiddaaddee ddoo ccoorrppoo qquuaannddoo ssuubbmmeettiiddoo aa ccaarrggaass eexxtteerrnnaass..

TTeennssoo aaddmmiissssvveell

UUmm eennggeennhheeiirroo rreessppoonnssvveell ppeelloo pprroojjeettoo ddee uumm eelleemmeennttoo eessttrruuttuurraall oouu mmeeccnniiccoo ddeevvee rreessttrriinnggiirr aa

tteennssoo aattuuaannttee nnoo mmaatteerriiaall aa uumm nnvveell sseegguurroo.. AAllmm ddiissssoo,, uummaa eessttrruuttuurraa oouu mmqquuiinnaa eemm uussoo ccoonnttnnuuoo

ddeevvee sseerr aannaalliissaaddaa ppeerriiooddiiccaammeennttee ppaarraa qquuee ssee vveerriiffiiqquuee qquuaaiiss ccaarrggaass aaddiicciioonnaaiiss sseeuuss eelleemmeennttooss oouu ppaarrtteess

ppooddeemm ssuuppoorrttaarr.. PPoorrttaannttoo,, vvaallee rreeppeettiirr,, nneecceessssrriioo ffaazzeerr ooss ccllccuullooss uussaannddoo--ssee uummaa tteennssoo sseegguurraa oouu

aaddmmiissssvveell.. UUmm mmttooddoo ppaarraa eessppeecciiffiiccaarr aa ccaarrggaa aaddmmiissssvveell ppaarraa oo pprroojjeettoo oouu aannlliissee ddee uumm eelleemmeennttoo oo

uussoo ddee uumm nnmmeerroo ddeennoommiinnaaddoo ffaattoorr ddee sseegguurraannaa.. OO ffaattoorr ddee sseegguurraannaa ((FFSS)) aa rraazzoo eennttrree aa ccaarrggaa ddee

rruuppttuurraa,, FFrruupp,, ee aa ccaarrggaa aaddmmiissssvveell,, FFaaddmm..

Tenso

2 Resoluo: Steven Rger Duarte

PROBLEMAS

1.1. Determine a fora normal interna resultante que age na seo transversal no ponto A em cada

coluna. Em (a), o segmento BC tem massa de 300 kg/m e o segmento CD tem massa de 400 kg/m. Em

(b), a coluna tem uma massa de 200 kg/m.

Resoluo

(a) Coluna (a) (b) Coluna (b)

W2 = 400 x 9,81 x 1,2 = 4,7088 kN W = 200 x 9,81 x 3 = 5,886 kN

W1 = 30 x 9,81 x 3 = 8,829 kN

NA 8 6 6 4,5 4,5 W = 0

- 5 W1 6 W2 NA= 0 NA = 34,9 kN

NA = 24,54 kN

1.2. Determine o torque resultante interno que age sobre as sees transversais nos pontos C e D do

eixo. O eixo est preso em B.

Resoluo

TC 250 = 0 TD 250 + 400 = 0

T C = 250 N.m TD = 150 N.m

Tenso

3 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.3. Determine o torque resultante interno que age nas sees transversais nos pontos B e C.

Resoluo

500 TC = 0 TB - 500 + 350 = 0

TC = 500 N.m TB = 150 N.m

*1.4. O dispositivo mostrado na figura sustenta uma fora de 80 N. Determine as cargas internas

resultantes que agem sobre a seo no ponto A.

Resoluo

VAcos(60) - NAcos(30) - 80sen(45) = 0 VAsen(60) - 80cos(45) - NAsen(30) = 0

VA = 20,7 N NA = 77,3 N

MA + 80cos(45) x 0,3cos(30) - 80sen(45) x (0,1 + 0,3sen30) = 0

MA = 0,55 N.m

Tenso

4 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.5. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal no ponto D do elemento AB.

Resoluo

- 0,4Ay - 70 = 0 Ay + Cy = 0 0,15Cy + 0,2Cx = 0 Ax + Cx = 0

Ay = 175 N Cy = 175 N Cx = 131,25 N Ax = 131,25 N

ND + 131,25 = 0 VD 175 = 0 MD + 175 x 0,05 = 0

ND = 131,25 N VD = 175 N MD = - 8,75 N.m

Tenso

5 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.6. A viga AB suportada por um pino em A e por um cabo BC. Determine as cargas internas resultantes

que agem na seo transversal no ponto D.

Resoluo

= arctang = arctang(0,75)

-0,8TBCsen 5 x 1,2 = 0 = artang = arctang(1,25)

TBC = 12,00586 kN + = 14,4703

ND + TAB = 0 VD + TAB 5sen = 0 MD TAB DB + 5sen x dDB = 0

ND = - 15,63 kN VD = 0 kN MD = 0 kN.m

Tenso

6 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.7. Resolva o Problema 1.6 para as cargas internas resultantes que agem no ponto E.

Resoluo

= arctang = arctang(0,75)

-0,8TBCsen 5 x 1,2 = 0 = artang = arctang(1,25)

TBC = 12,00586 kN + = 14,4703

- NE TBC 5cos = 0 VE + TBC 5sen = 0 ME = 0 kN.m

NE = - 15,63 kN VE = 0 kN

Tenso

7 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.8. A lana DF do guindaste giratrio e a coluna DE tm peso uniforme de 750 N/m. Se o guindaste e a

carga pesam 1.500 N, determine as cargas internas resultantes nas sees transversais que passam nos

pontos A, B e C.

Resoluo

Seo 1 (0

VA P1 1,5 = 0 MA + 1,5 x 0,9 + 0,675 x 0,45 = 0

NA = 0 kN VA = 2,7 kN MA= - 1,654 kN.m

Seo 2 (0 )

VB P2 1,5 = 0 MB + 1,5 x 3,3 + 2,457 x 1,65 = 0

NB = 0 kN VB = 3,98 kN MB = - 9,034 kN.m

Seo 3 (0 )

- NC 1,125 2,925 1,5 = 0 MC + P3 x 1,95 + 1,5 x 3,9 = 0

VC = 0 kN NC = 5,55 kN MC = - 11,554 kN.m

Tenso

8 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.9. A fora F = 400 N age no dente da engrenagem. Determine as cargas internas resultantes na raiz do

dente, isto , no centroide da seo a-a (ponto A).

Resoluo

VA 400cos(15) = 0 - NA 400sen(15) = 0 MA + 400cos(15) x 0,00575 400sen(15) x 0,004 = 0

VA = 368,37 N NA = -103,57 N MA = 1,808 N.m

Tenso

9 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.10. A viga suporta a carga distribuda mostrada. Determine as cargas internas resultantes na seo

transversal que passa pelo ponto C. Considere que as reaes nos apoios A e B sejam verticais.

Resoluo

- 3F1 F2 + 6RB = 0 RA + RB F1 F2 = 0

RB = 22,815 kN RA = 12,286 kN

0

NC = 0 kN 12,285 16,2 VC = 0 MC + 16,2 x 1,8 12,285 x 3,6 = 0

VC = 3,915 kN MC = 15,07 kN.m

Tenso

10 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.11. A viga suporta a carga distribuda mostrada. Determine as cargas internas resultantes nas sees

transversais que passam pelos pontos D e E. Considere que as reaes nos apoios A e B sejam verticais.

Resoluo

- 3F1 F2 + 6RB = 0 RA + RB F1 F2 = 0

RB = 22,815 kN RA = 12,286 kN

Ponto E

NE = 0 kN VE 2,03 = 0 ME + 2,03 x = 0

VE = 2,03 kN ME = - 0,911 kN.m

Ponto D

ND = 0 kN - VD 8,1 + 12,285 = 0 MD + 8,1 x 0,9 12,285 x 1,8 = 0

VD = 4,18 kN MD = 14,823 kN.m

Tenso

11 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.12. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre (a) seo a-a e (b) seo b-b. Cada

seo est localizada no centroide, ponto C.

Resoluo

(a) Seo a-a

3,6 x 3 6sen(45) x B = 0 NC + 2,5456cos(45) = 0 2,5456sen(45) - 2,4 + VC = 0

B = 2,545 kN NC = - 1,8 kN VC = -1,723 kN

MC + 2,4 x 2 2,5456 x 4sen(45) = 0

MC = 2,4 kN.m

(b) Seo b-b

NC + 2,5456 2,4cos(45) = 0 VC 2,4sen(45) = 0 MC + 2,4 x 2 2,5456 x 4sen(45) = 0

NC = 0,85 kN VC = 1,7 kN MC = 2,4 kN.m

Tenso

12 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.13. Determine a resultante das foras internas normal e de cisalhamento no elemento e : (a) seo a-a e

(b) seo b-b, sendo que cada uma delas passa pelo ponto A. Considerando = 60. A carga de 650 N

aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.

Resoluo

(a) Seo a-a (b) Seo b-b

Va-a = 0 N Vb-b = 650cos(90 - Nb-b = 650sen(90-

Vb-b = 563 N Nb-b = 325 N

Na-a = 650 N

1.14. Determine a resultante das foras interna normal e de cisalhamento no elemento na seo b-b, cada

uma em funo de . Represente esses resultados em grficos para . A carga de 650 N

aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.

Resoluo

Nb-b 650sen(90 - b-b 650cos(90 -

Nb-b Vb-b

Tenso

13 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.15. A carga de 4.000 N est sendo levantada a uma velocidade constante pelo motor M, que pesa 450

N. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto B na

viga. A viga pesa 600 N/m e est fixada parede em A.

Resoluo

- NB 2 = 0 VB 0,72 2 2 = 0 MB + 0,72 x 0,6 2 x 0,45 + 4 x 1,275 = 0

NB = 2 kN VB = 4,72 kN MB = - 4,632 kN.m

*1.16. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelos pontos C

e D da viga no Problema 1.15.

Tenso

14 Resoluo: Steven Rger Duarte

Ponto C

W = 600 x 2,1 = 1,260 kN

-NC 2 = 0 VC 4 W = 0 MC + 2 x 0,45 2 x 1,05 4 x 2,175 = 0

NC = 2 kN VC = 5,26 kN MC = 9,9 kN.m

Ponto D

W = 600 x 4,2 = 2,520 N

ND = 0 kN VD W 2 2 0,45 = 0 MD + 0,45 x 1,2 + 2,52 x 2,1 + 4 x 4,275 2 x 0,45 = 0

VD = 6,97 kN MD = - 22,032 kN.m

1.17. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto B.

Resoluo

NB = 0 kN VB 1.440 = 0 - MB 1.440 x = 0

VB = 1.440 kN MB = - 1.920 kN.m

Tenso

15 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.18. A viga suporta a carga distribuda mostrada. Determine as cargas internas resultantes que agem na

seo transversal que passa pelo ponto C. Considere que as reaes nos apoios A e B sejam verticais.

Resoluo

P1 = 0,5 x 9 = 4,5

P2 = (1,5 0,5) x = 4,5 kN - 4,5 x 4,5 4,5 x 6 + 9RB = 0 RA + RB P1 P2 = 0

RB = 5,25 kN RA = 3,75 kN

=

h = kN/m NC = 0 kN - VC P1 P2 + 3,75 = 0 MC 3,75 x 3 0,5 x 1 1,5 x 1,5 = 0

P1 = 0,5 kN VC = 1,75 kN MC = 8,5 kN.m

P2 = 1,5 kN

Tenso

16 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.19. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto D no

Problema 1.18.

Resoluo

P1 = 0,5 x 9 = 4,5 kN

P2 = (1,5 0,5) x = 4,5 kN - 4,5 x 4,5 4,5 x 6 + 9RB = 0 RA + RB P1 P2 = 0

RB = 5,25 kN RA = 3,75 kN

Ponto D

=

h = kN/m ND = 0 kN VD Q1 Q2 + 5,25 = 0 MD + 3,5 x 1,5 + 0,5 x 2 5,25 x 3 = 0

Q1 = 0,5 kN VD = 1,25 kN MD = 9,5 kN.m

Q2 = 3,5 kN

Tenso

17 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.20. A estrutura do poste de energia eltrica suporta os trs cabos, e cada um deles exercem uma fora

de 4 kN nas escoras. Se as escoras estiverem acopladas por pinos em A, B e C, determine as cargas

internas resultantes nas sees transversais que passam pelos pontos D, E e F.

Resoluo

Ax + Cx = 0 - Ay Cy + 12 = 0 M 4 x 1,2 4 x 1,2 + 4,1,2 = 0

M = 4,8 kN.m

Cx = -2,67 kN Cy = 6 kN

1,2Ay + 0,9Ax 4 x 2,4 = 0 1,2Cy 0,9Cx = 9,6 Ax = 2,67 kN Ay = 6 kN

Ponto D

VD = 0 kN ND = 0 kN MD = 0 kN.m

Ponto E

VE + 2,67 = 0 - NE + 6 = 0 ME + 2,67 x 0,9 = 0

VE = - 2,67 kN NE = 6 kN ME = - 2,4 kN.m

Ponto F

-VF + 2,67 2,67 = 0 6 + 6 NF = 0 MF 2,67 x 0,9 + 2,67 x 2,67 = 0

VF = 0 kN NF = 12 kN MF = - 4,8 kN.m

Tenso

18 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.21. O guindaste de tambores suspende o tambor de 2,5 kN. O pino de ligao est conectado chapa

em A e B. A ao de aperto sobre a borda do tambor tal que somente foras horizontais e verticais so

exercidas sobre o tambor em G e H. Determine as cargas internas resultantes na seo transversal que

passa pelo ponto I.

Resoluo

RDy = 1,25 kN

RCsen(30) RDsen(30) = 0 - RDcos(30) RCcos(30) + 2,5 = 0 RDx = 0,7217 kN

RC = RD = R R = 1,443 kN

Ponto I

0,7217 VI = 0 NI 1,25 = 0 MI 0,7217 x 0,2 = 0

VI = 0,722 kN NI = 1,25 kN MI = 0,144 kN.m

Tenso

19 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.22. Determine as cargas internas resultantes nas sees transversais que passam pelos pontos K e J

no guindaste de tambores no Problema 1.21.

Resoluo

RDy = 1,25 kN

RCsen(30) RDsen(30) = 0 - RDcos(30) RCcos(30) + 2,5 = 0 RDx = 0,7217 kN

RC = RD = R R = 1,443 kN

Ponto J

-NJ + RDxcos(60) + RDycos(30) = 0 VD RDxsen(60) + RDysen(30) = 0 MJ = 0 kN.m

NJ = 1,443 kN VD = 0 kN

Ponto K

NK 3,016 = 0 VK = 0 kN MK = 0 kN.m

NK = 3,016 kN

Tenso

20 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.23. O cano tem massa de 12 kg/m. Se ele tiver fixado parede em A, determine as cargas internas

resultantes que agem na seo transversal em B. Despreze o peso da chave CD.

Resoluo

(NB)x = 0 N (VB)z = 12 x 9,81 x 0,4 + 12 x 9,81 x 0,2 (TB)x = 47,088 x 0,2

(VB)z = 70,6 N (TB)x = 9,42 N.m

(MB)y = 60 x 0,35 60 x 0,05 47,088 x 0,2 23,544 x 0,1 (MB)z = 0 N.m

(MB)y = 6,23 N.m

Tenso

21 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.24. A viga mestra AB suporta a carga na asa do avio. As cargas consideradas so a reao da roda

de 175 kN em C, o peso de 6 kN do combustvel no tanque da asa, com centro de gravidade em D, e o

peso de 2 kN da asa, com centro de gravidade em E. Se a viga estiver fixada fuselagem em A,

determine as cargas internas resultantes na viga nesse ponto. Considere que a asa no transfere

nenhuma carga fuselagem, exceto pela viga.

Resoluo

(TA)y + 0,45 x 6 0,3 x 2 = 0 (MA)z = 0 kN.m (MA)x 6 x 1,8 2 x 3,6 + 175 x 3 = 0

(TA)y = - 2,1 kN.m (MA)x = 507 kN.m

(VA)x = 0 kN (NA)y = 0 kN (VA)z + 175 6 2 = 0 (VA)z = - 167 kN

1.25. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto B do

poste de sinalizao. O poste est fixado ao solo, e uma presso uniforme de 50 N/m age

perpendicularmente parede frontal da placa de sinalizao.

Resoluo

(VB)x = 0 N (VB)y = 0 N (NB)z = 0 N (MB)x = 0 N.m

(MB)y = 750 x 7,5 (TB)z = 570 x 0,5

(MB)y = 5.625 N.m (TB)z = 375 N.m

Tenso

22 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.26. O eixo est apoiado em suas extremidades por dois mancais A e B e est sujeito s polias nele

fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto D.

As foras de 400 N agem na direo z e as foras de 200 N e 80 N agem na direo +y. Os suportes A e

B exercem somente as componentes y e z da fora sobre o eixo.

Resoluo

(0,4 i) x (160 j) + (0,7 i) x (400 j) + (1,1 i) x (-800 k) + (1,4 i) x (Fy j + Fz k) = 0

(880 1,4 Fz) j + (334 + 1,4 Fy) k = 0

Fy = - 245,71 N Fz = 628,57 N

(VD)z + 628,57 800 = 0 (VD)y + 400 245,71 = 0 (ND)x = 0 N

(VD)z = 171,4 N (VD)y = - 154,3 N

(MD)z + 400 x 0,15 245,7 x 0,85 = 0 (MD)y + 800 x 0,55 628,57 x 0,85 = 0 (TD)x = 0 N.m

(MD)z = 149 N.m (MD)y = 94,3 N.m

1.27. O eixo est apoiado em suas extremidades por dois mancais, A e B, e est sujeito s foras

aplicadas s polias nele fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal

que passa pelo ponto C. As foras de 400 N agem na direo z e as foras de 200 N e 80 N agem na

direo +y. Os apoios A e B exercem somente as componentes y e z da fora sobre o eixo.

Tenso

23 Resoluo: Steven Rger Duarte

Resoluo

(0,4 i) x (160 j) + (0,7 i) x (400 j) + (1,1 i) x (-800 k) + (1,4 i) x (Fy j + Fz k) = 0

(880 1,4 Fz) j + (334 + 1,4 Fy) k = 0

Fy = - 245,71 N Fz = 628,57 N

-800 x 1,1 +1,4 Az = 0 160 x 0,4 + 400 x 0,7 +1,4 Ay = 0 (TC)x = 0 N.m

Az = 629 N Ay = 246 N

(MC)x = 0 N.m (MC)y 800 x 0,2 + 629 x 0,5 = 0 (MC)z + 246 x 0,5 = 0

(MC)y = - 154 N.m (MC)z = - 123 N.m

(NC)x = 0 N (Ay) + (VC)y = 0 Az + (VC)z 800 = 0

(VC)y = 246 N (VC)z = 171 N

*1.28. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal da estrutura nos pontos F

e G. O contato em E liso.

Resoluo

1,5FE 400 x 2,7 = 0 0,9Cy 720sen(30) x 1,8 = 0 By + Cy 720sen(30) = 0

FE = 720 N Cy = 720 N By = 360 N

Tenso

24 Resoluo: Steven Rger Duarte

Ponto F

1,2Cx 0,9Cy = 0 - MF 400 x 0,6 = 0 NF = 0 N VF 400 = 0

Cx = 540 N MF = 240 N.m VF = 400 N

Bx = 83,5383 N

Ponto G

NG + Bx = 0 - By VG = 0 MG + 360 x 0,45 = 0

NG = 83,54 N VG = 360 N MG = - 162 N.m

1.29. A haste do parafuso est sujeita a uma tenso de 400 N. Determine as cargas internas resultantes

que agem na seo transversal no ponto C.

Resoluo

400 + NC = 0 VC = 0 N MC + 400 x 0,15 = 0

NC = 400 N MC = 60 N.m

Tenso

25 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.30. O cano tem massa de 12 kg/m e est preso parede em A. Determine as cargas internas

resultantes que agem na seo transversal que passa por B.

Resoluo

w1 = w2 = 12 x 9,81 x 2 = 235,44 N

P1 = 450 N (VB)x = 0 N (NB)y = 600 N (VB)z = w1 + w2 + P1

P2 = 600 N (VB)z = 921 N

(MB)x = 1w1 + 2w2 + 2P1 (TB)y = 0 N.m (MB)z = 800 N.m

(MB)x = 1.606 N.m

1.31. A haste curvada tem raio r e est presa em B. Determine as cargas internas resultantes que agem

na seo transversal que passa pelo ponto A, o qual est localizado a um ngulo em relao

horizontal.

Resoluo

-VA Pcos(90 - NA Psen(90 - - MA P(r

VA = - NA MA = - Pr(1

Tenso

26 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.32. A haste curvada AD de raio r tem peso por comprimento w. Se ela estiver no plano horizontal,

determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto B. Dica: A

distncia entre o centroide C do segmento AB e o ponto O CO = 0,9745 r.

Resoluo

P =

VB = P = (NB)y = 0 (MB)x = = x 0,9745rsen(22,5)

(MB)x = 0,293wr

(VB)z P = 0 (TB)y = = (r 0,9745cos22,5)

(VB)z = 0,785 wr (TB)y = 0,0783 wr

Tenso

27 Resoluo: Steven Rger Duarte

PROBLEMAS

1.34. A coluna est sujeita a uma fora axial de 8 kN aplicada no centroide da rea da seo transversal.

Determine a tenso normal mdia que age na seo a-a. Mostre como fica essa distribuio de tenso

sobre a seo transversal da rea.

Resoluo

A = 10 x 150 x 2 + 10 x 140 = 4.400 mm

= 1,82 MPa

1.35. O arganu da ncora suporta uma fora de cabo de 3 kN. Se o pino tiver dimetro de 6 mm,

determine a tenso mdia de cisalhamento no pino.

Resoluo

A = md = = 53,03 MPa

Tenso

28 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.36. Durante uma corrida, o p de um homem com massa 75 kg submetido momentaneamente a uma

fora equivalente a 5 vezes o seu peso. Determine a tenso normal mdia desenvolvida na tbia T da

perna desse homem na seo a-a. A seo transversal pode ser considerada circular, com dimetro

externo de 45 mm e dimetro interno de 25 mm. Considere que a fbula F no est suportando nenhuma

carga.

Resoluo

md =

md = = 3,346 MPa

1.37. O mancal de encosto est sujeito s cargas mostradas. Determine a tenso normal mdia

desenvolvida nas sees transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faa um rascunho dos

resultados sobre um elemento de volume infinitesimal localizados em cada seo.

Resoluo

md)B = = 151 kPa ( md)C = = 32,5 kPa ( rup)D = = 25,5 kPa

Tenso

29 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.38. O pequeno bloco tem espessura de 5 mm. Se a distncia de tenso no apoio desenvolvida pela

carga variar como mostra a figura, determine a fora F aplicada ao bloco e a distncia d at o ponto onde

ela aplicada.

Resoluo

F1 = (60 + 40) x 106 x 0,06 x 0,005 = 30 kN XCG = 124 mm

F1 + F2 F = 0 F2 = 40 x 106 x 0,03 x 0,005 = 6 kN

F = 36 kN

x 60F2 + 124F1 36d = 0 d = 110 mm

1.39. A alavanca est presa ao eixo fixo por um pino cnico AB, cujo dimetro mdio 6 mm. Se um

binrio for aplicado alavanca, determine a tenso de cisalhamento mdia no pino entre ele e a alavanca.

Resoluo

T = 20 x 0,5 = 10 N.m

md = 29,5 MPa

Tenso

30 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.40. O bloco de concreto tem as dimenses mostradas na figura. Se o material falhar quando a tenso

normal mdia atingir 0,84 MPa, determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode

suportar.

Resoluo

A = 350 x 25 x 2 + 3 x 50 x 100 = 32.500 mm

rup = Padm = rup x A = 27,3 kN

1.41. O bloco de concreto tem as dimenses mostradas na figura. Se ele for submetido a uma fora P = 4

kN aplicada em seu centro, determine a tenso normal mdia no material. Mostre o resultado sobre um

elemento de volume infinitesimal do material.

Resoluo

A = 350 x 25 x 2 + 3 x 50 x 100 = 32.500 mm

rup = = 0,123 MPa

Tenso

31 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.42. A luminria de 250 N sustentada por trs hastes de ao interligadas por um anel em A. Determine

qual das hastes est submetida maior tenso normal mdia e calcule seu valor. Considere = 30. O

dimetro de cada haste dado na figura.

Resoluo

FAC = 183,2 N

FACcos(30) + FADcos(45) = 0 FACsen(30) + FADsen(45) W = 0 FAD = 224,2 N

AD = = 5,07 MPa AC = = 6,479 MPa AB = = 3,93 MPa

1.43. Resolva o Problema 1.42 para = 45.

Resoluo

FAC = 176,777 N

FACcos(45) - FADcos(45) = 0 FACsen(45) + FADsen(45) 250 = 0 FAD = 176,777 N

AB = = 3,93 MPa AC = = 6,252 MPa AD = = 4,001 MPa

Tenso

32 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.44. A luminria de 250 N sustentada por trs hastes de ao interligadas por um anel em A. Determine

o ngulo de orientao de AC de modo que a tenso normal mdia na haste AC seja duas vezes a

tenso normal mdia na haste AD. Qual a intensidade da tenso em cada haste? O dimetro de cada

haste dado na figura.

Resoluo

AC = 2 AD

FACcos( ) FADcos(45) FACsen( ) + FADsen(45) 250 = 0 FAC = 1,28FAD

466 FAD = 140,92 N FAC = 180,3771 N

AB = = 3,93 MPa AC = = 6,38 MPa AD = = 3,19 MPa

1.45. O eixo est sujeito fora axial de 30 kN. Se ele passar pelo orifcio de 53 mm de dimetro no apoio

fixo A, determine a tenso no mancal que age sobre o colar C. Determine tambm a tenso de

cisalhamento mdia que age ao longo da superfcie interna do colar no ponto onde ele est acoplado ao

eixo de 52 mm de dimetro.

Resoluo

mancal = = 48,3 MPa md = = 18,4 MPa

Tenso

33 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.46. Os dois elementos de ao esto interligados por uma solda de topo angular de 60. Determine a

tenso de cisalhamento mdia e a tenso normal mdia suportada no plano da solda.

Resoluo

V = 4 kN

8 Vcos(60) + Ncos(30) = 0 Vsen(60) + Nsen(30) = 0 N = - 6,93 N

md = = 4,62 MPa = 8 MPa

1.47. O gancho usado para sustentar o tubo de tal modo que a fora no parafuso vertical 775 N.

Determine a tenso normal mdia desenvolvida no parafuso BC se ele tiver dimetro de 8 mm. Considere

que A seja um pino.

Resoluo

775 x 0,04 0,07FBcos(20) = 0 FB = 471,28 N B = 9,38 MPa

Tenso

34 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.48. A prancha de madeira est sujeita a uma fora de trao de 425 N. Determine a tenso de

cisalhamento mdia e a tenso normal mdia desenvolvida nas fibras da madeira orientadas ao longo da

seo a-a a 15 em relao ao eixo da prancha.

Resoluo

N = 110 N

Vcos(15) Ncos(75) 425 = 0 Nsen(75) + Vsen(15) = 0 V = - 110 N

= 0,0152 MPa md = = 0,0567 MPa

1.49. A junta de topo quadrada aberta usada para transmitir uma fora de 250 N e uma placa a outra.

Determine as componentes da tenso de cisalhamento mdia e da tenso normal mdia que essa carga

cria na face da solda, seo AB.

Resoluo

N = - 216,506 N

- Vcos(60) + Ncos(30) + 250 = 0 Vsen(60) + Nsen(30) = 0 V = 125 N

= 25 KPa md = = 14,34 kPa

Tenso

35 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.50. O corpo de prova falhou no ensaio de trao a um ngulo de 52 sob uma carga axial de 100 kN. Se

o dimetro do corpo de prova for 12 mm, determine a tenso de cisalhamento mdia e a tenso normal

mdia que agem na rea do plano de falha inclinado. Determine tambm qual a tenso normal mdia em

atuao sobre a seo transversal quando acorreu a falha.

Resoluo

N = 78,801 kN

- 100 Ncos(38) Vcos(52) = 0 - Vsen(52) + Nsen(38) = 0 V = 61,566 kN

A = d = 549,05 MPa md = = 428,96 MPa

1.51. Um corpo de prova sob trao com rea de seo transversal A submetido a uma fora axial P.

Determine a tenso de cisalhamento mdia mxima no corpo de prova e indique a orientao de uma

seo na qual ela ocorre.

Resoluo

Ncos(90 - - V =

Para que V seja mximo, = 0 V =

md = =

Tenso

36 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.52. A junta est submetida a uma fora axial de 5 kN. Determine a tenso normal mdia que age nas

sees AB e BC. Considere que o elemento liso e tem 50 mm de espessura.

Resoluo

NAB = 4,082 kN

NABcos(30) 5cos(45) = 0 - NBC - NABsen(30) + 5sen(45) = 0 NBC = 1,4945 kN

AB = = 2,04 MPa BC = = 0,598 MPa

1.54. Os dois elementos usados na construo da fuselagem de um avio esto interligados por uma

solda em boca-de-peixe a 30. Determine a tenso de cisalhamento mdia e a tenso normal mdia no

plano de cada solda. Considere que cada plano inclinado suporta uma fora horizontal de 2 kN.

Resoluo

N = - 1 kN

- Ncos(60) Vcos(30) 2 = 0 Nsen(60) Vsen(30) = 0 V = 1,732 kN

= 533,33 kPa md = = 923,76 kPa

Tenso

37 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.55. Os grampos na fileira AB contida no grampeador esto colados de modo que a tenso de

cisalhamento mxima que a cola pode suportar mx = 84 kPa. Determine a fora mnima F que deve ser

aplicada ao mbolo para extrair um grampo da fileira por cisalhamento e permitir que ele saia sem

deformao pela fenda em C. As dimenses externas do grampo so mostradas na figura, e a espessura

1,25 mm. Considere que todas as outras partes so rgidas e despreze o atrito.

Resoluo

A = (7,5 1,25) x 1,25 x 2 + 12,5 x 1,25 = 31,25 mm

mx = Fmn mx = 2,63 N

*1.56. Os dimetros das hastes AB e BC so 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se for aplicada uma carga

de 8 kN ao anel em B, determine a tenso normal mdia em cada haste se = 60.

Resoluo

FBC = 9,2376 kN

FBCcos(60) FAB = 0 FBCsen(60) 8 = 0 FAB = 4,6188 kN

AB = = 367,55 MPa BC = = 326,71 MPa

Tenso

38 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.57. Os dimetros das hastes AB e BC so 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se a carga vertical de 8 kN

for aplicada ao anel em B, determine o ngulo da haste BC de modo que a tenso normal mdia em

cada haste seja equivalente. Qual essa tenso?

Resoluo

FBC =

FBC FAB = 0 FBC 8 = 0 FAB =

AB BC

AB = BC = = 316 MPa

1.58. Cada uma das barras da trelia tem rea de seo transversal de 780 mm. Determine a tenso

normal mdia em cada elemento resultante da aplicao da carga P = 40 kN. Indique se a tenso de

trao ou de compresso.

Resoluo

Tenso

39 Resoluo: Steven Rger Duarte

Ponto C

40 x 2,4 + 30 x 1,2 + 0,9FBC = 0

FBC = - 146,667 kN

Ponto A Ponto B

0,8FAB FAE = 0 0,6FAB 40 = 0 0,6FAB + FBE + 0,6FBD = 0

FAE = 53,33 kN FAB = 66,667 kN FBD = - 116,667 kN

Ponto E

FED FAE = 0 FBE 30 = 0

FED = 53,33 kN FBE = 30 kN

AB = = 85,47 MPa (T) AE = = 68,376 MPa (C) ED = = 68,376 MPa (C)

BE = = 38,462 MPa (T) BD = = 149,573 MPa (C) BC = = 188,034 MPa (T)

1.59. Cada uma das barras da trelia tem rea de seo transversal de 780 mm. Se a tenso normal

mxima em qualquer barra no pode ultrapassar 140 MPa, determine o valor mxima P das cargas que

podem ser aplicadas trelia.

Resoluo

AB = BE =

FABsen( ) P = 0 P = 65,52 kN FBE 0,75P = 0 P = 145,6 kN

FAB = 1,667P FBE = 0,75P

Tenso

40 Resoluo: Steven Rger Duarte

BC adm =

2,4P + 0,75P x 1,2 + 0,9FBC = 0 P = 29,78 kN

FBC = 3,667P

*1.60. O tampo utilizado para vedar a extremidade do tubo cilndrico que est sujeito a uma presso

interna p = 650 Pa. Determine a tenso de cisalhamento mdia que a cola exerce sobre os lados do tubo

necessria para manter o tampo no lugar.

Resoluo

= V = x 0,035 = 0,6254 N

md = = = 199 Pa

Tenso

41 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.61. O alicate de presso usado para dobrar a extremidade do arame E. Se uma fora de 100 N for

aplicada nas hastes do alicate, determine a tenso de cisalhamento mdia no pino em A. O pino est

sujeito a cisalhamento duplo e tem dimetro de 5 mm. Somente uma fora vertical exercida no arame.

Resoluo

Ay = 1.166.667 N

Ax Bx = 0 37,5Ay 87,5By = 0 - 25By + 100 x 125 = 0

By = 500 N

A = d ( md)A = = 29,709 MPa

1.62. Resolva o Problema 1.61 para o pino B, o qual est sujeito a cisalhamento duplo e tem 5 mm de

dimetro.

Resoluo

Ay = 1.166.667 N

Ax Bx = 0 37,5Ay 87,5By = 0 - 25By + 100 x 125 = 0

By = 500 N

A = d ( md)B = = 12,732 MPa

Tenso

42 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.63. A lmpada de engate do vago sustentada pelo pino de 3 mm de dimetro em A. Se a lmpada

pesar 20 N e peso do brao extensor AB for 8 N/m, determine a tenso de cisalhamento mdia no pino

necessria para sustentar a lmpada. Dica: A fora de cisalhamento no pino causada pelo binrio

exigido para o equilbrio em A.

Resoluo

A = d

- 0,45w1 0,9w2 + 0,032V = 0 ( md)A = = 93,901 MPa

V = 663,75 N

*1.64. A estrutura de dois elementos est sujeita a um carregamento distribudo mostrado. Determine a

tenso normal mdia e a tenso de cisalhamento mdia que agem nas sees a-a e b-b. A seo

transversal quadrada do elemento CB tem 35 mm. Considere w = 8 kN/m.

Resoluo

Tenso

43 Resoluo: Steven Rger Duarte

-24 x 1,5 4HC = 0

HC = - 9 kN

Seo a-a

cos( ) = 0,6

sen( ) = 0,8 Na-a 9cos( ) 12sen( ) = 0 Va-a 9sen( ) + 12cos( ) = 0

Na-a = 15 kN Va-a = 0 kN

a-a = = 12,2 MPa a-a = = 0 MPa

Seo b-b

b-b = = 4,41 MPa b-b = = 5,88 MPa

Tenso

44 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.65. O elemento A da junta escalonada de madeira usada na trelia est submetida a uma fora de

compresso de 5 kN. Determine a tenso normal mdia que age na haste do pendural C com dimetro de

10 mm e no elemento B com espessura de 30 mm.

Resoluo

C = = 55,1 MPa

5cos(60) FB = 0 - 5cos(30) + FC = 0 B = = 2,08 MPa

FB = 2,5 kN FC = 4,33 N

1.67. A viga apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 kN, determine a tenso de

cisalhamento mdia desenvolvida nos pinos em A, B e C. Todos os pinos esto sujeitos a cisalhamento

duplo, como mostra a figura, e cada um tem dimetro de 18 mm.

Resoluo

Tenso

45 Resoluo: Steven Rger Duarte

2 x 15 x 0,5 + 4 x 15 x 2 + 4 x 15 x 3,5 + 4,5 x 15 FBCsen(30) = 0 - FBCcos(30) + Ax = 0

FBC = 165 kN Ax = 142,8942 kN

A =

- P 4P 4P 2P + Ay + FBCsen(30) = 0 A = 165 kN

Ay = 60,5 kN

( md)A = = 324 MPa ( md)B = ( md)C = 324 MPa

*1.68. A viga apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Determine o valor mximo P das cargas que

a viga suportar se a tenso de cisalhamento mdia em cada pino no puder ultrapassar 80 MPa. Todos

os pinos sofrem cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada um tem dimetro de 18 mm.

Resoluo

-0,5P 4P x 0,15 4P x 3,3 2P x 4,5 + 5VA = 0 VB P 4P 4P 2P + VA = 0

VA = 5,5P VB = 5,5P

A = d md)A = P = 3,70 kN

Tenso

46 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.69. A estrutura est sujeita a carga de 1 kN. Determine a tenso de cisalhamento mdia no parafuso em

A em funo do ngulo da barra . Represente essa funo em grfico para e indique os

para os quais essa tenso mnima. O parafuso tem dimetro de 6 mm e est sujeito a

cisalhamento simples.

Resoluo

0,15FABcos( ) +0,6 FABsen( ) 1,05 = 0 md)A = = MPA

FAB = Para que a tenso seja mnima:

Fazer grfico

Tenso

47 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.70. O guindaste giratrio est preso por um pino em A e suporta um montacargas de corrente que pode

deslocar-se ao longo da flange inferior da viga, . Se a capacidade de carga normal

mxima do guindaste for 7,5 kN, determine a tenso normal mdia mxima na barra BC de 18 mm de

dimetro e a tenso de cisalhamento mdia mxima no pino de 16 mm de dimetro em B.

Resoluo

Para que a tenso sejamxima, x = 3,6 m FBC = 18.000 N

-7500x + 3FBCsen(30) = 0 ABC = dBC BC = = 70,736 MPa

FBC = 5.000x AB = dB md)B = = 44,762 MPa

1.71. A barra tem rea de seo transversal A e est submetida carga axial P. Determine a tenso

normal mdia e a tenso de cisalhamento mdia que agem na seo sombreada que est orientada a um

ngulo em relao horizontal. Represente em grfico a variao dessas tenses em funo de

( ).

Resoluo

Tenso

48 Resoluo: Steven Rger Duarte

P + Ncos(90 - ) + Vcos( ) = 0 Nsen(90 -

N = - V =

md = = md = =

*1.72. A lana tem peso uniforme de 3 kN e alada at a posio desejada por meio do cabo BC. Se o

cabo tiver dimetro de 15 mm, construa um grfico da tenso normal mdia no cabo em funo da posio

da lana para .

Resoluo

(BC) = 1 + 1 - 2 x 1 x 1 x cos( ) ( ) = (1 sen ) + x

BC = x = cos( )

=

- (1

F = 1,5 A = d BC = = 8,49 MPa

Tenso

49 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.73. A rea da seo transversal da barra 400(10-6) m. Se ela estiver sujeita a uma carga axial

distribuda uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a

figura, determine a tenso normal mdia na barra em funo de x para .

Resoluo

3 + 6 + 8 x 1,25 R = 0 N + 8x R = 0

R = 19 kN N = (19 8x) kN

= (47,5 20x) MPa

1.74. A rea da seo transversal da barra 400(10-6) m. Se ela estiver sujeita a uma carga axial

distribuda uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a

figura, determine a tenso normal mdia na barra em funo de x para .

Resoluo

3 + 6 + 8 x 1,25 R = 0 N + 6 + 8x 19 = 0

R = 19 kN N = (13 8x) kN

= (32,5 20x) MPa

Tenso

50 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.75. A coluna feita de concreto de densidade 2,30 Mg/m e est sujeita a uma fora de compresso

axial de 15 kN em sua extremidade superior B. Determine a tenso normal mdia na coluna em funo da

distncia z medida em relao base. Observao: por causa da deformao localizada nas

extremidades, o resultado servir apenas para determinar a tenso normal mdia em seo removida das

extremidades da coluna.

Resoluo

gV = 9,1865 kN

P(z) = x V(z) =

F w -15 = 0

F = 24,186 kN N P(z) + F = 0 N = (2,29663z 24,186) kN

= (238 22,6z) kPa

Tenso

51 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.76. A estrutura de dois elementos est sujeita carga distribuda mostrada. Determine a maior

intensidade w da carga uniforme que pode ser aplicada estrutura sem que a tenso normal mdia ou a

tenso de cisalhamento mdia na seo b-b ultrapasse = 15 MPa e = 16 MPa, respectivamente. O

elemento CB tem seo transversal quadrada de 30 mm de lado.

Resoluo

4VA 1,5 x 3w = 0 1,5 x 3w 3HA = 0 HB HA = 0

VA = 1,125w HA = 1,5w HB = 1,5w

1,5w Vb-b = 0 1,125 Nb-b = 0

Vb-b = 1,5w Nb-b = 1,125w

b-b = w = 20 kN/m b-b = w = 16 kN/m

Tenso

52 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.78. O raio do pedestal definido por r = (0,5e-0,08y2) m, onde y dado em metros. Se o material tiver

densidade de 2,5 Mg/m, determine a tenso normal mdia no apoio.

Resoluo

V = e 0,08y2) dy = 1,58404 m

md = = 49,5 MPa

Tenso

53 Resoluo: Steven Rger Duarte

PROBLEMAS

1.80. O elemento B est sujeito a uma fora de compresso de 4 kN. Se A e B forem feitos de madeira e

tiverem 10 mm de espessura, determine, com aproximao de 5 mm, a menor dimenso h do apoio de

modo que a tenso de cisalhamento mdia no exceda adm = 2,1 MPa.

Resoluo

V = md = = 2,1 MPa h = 75 mm

1.81. A junta est presa por dois parafusos. Determine o dimetro exigido para os parafusos se a tenso

de ruptura por cisalhamento para os parafusos for rup = 350 MPa. Use um fator de segurana para

cisalhamento FS = 2,5.

Resoluo

rup = d = = 13,5 mm

Tenso

54 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.82. As hastes AB e CD so feitas de ao cuja tenso de ruptura por trao rup = 510 MPa. Usando

um fator de segurana FS = 1,75 para trao, determine o menor dimetro das hastes de modo que elas

possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga est acoplada por pinos em A e C.

Resoluo

rup =

-4 x 2 6 x 4 5 x 7 10FCD = 0 FAB 15 + 6,7 = 0 d = = 6,02 mm

FCD = 6,7 kN FAB = 8,3 kN

1.83. A manivela est presa ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento 25 mm. Se o eixo for

fixo e uma fora vertical de 200 N for aplicada perpendicularmente ao cabo, determine a dimenso d se a

tenso de cisalhamento admissvel para a chaveta for adm = 35 MPa.

Resoluo

adm = d = 5,71 mm

20Fa-a 200 x 500 = 0

Fa-a = 5 kN

Tenso

55 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.84. O tamanho a do cordo de solda determinado pelo clculo da tenso de cisalhamento mdia ao

longo do plano sombreado, que tem a menor seo transversal. Determine o menor tamanho a das duas

soldas se a fora aplicada chapa for P = 100 kN. A tenso de cisalhamento admissvel para o material da

solda adm = 100 MPa.

Resoluo

A = 2 x a x L x cos(45) V = P adm = a = 7,071 mm

1.85. O tamanho do cordo de solda a = 8 mm. Considerando que a junta falhe por cisalhamento em

ambos os lados do bloco ao longo do plano sombreado, que a menor seo transversal, determine a

maior fora P que pode ser aplicada chapa. A tenso de cisalhamento admissvel para o material da

solda adm = 100 MPa.

Resoluo

A = 2 x a x L x cos(45) V = P adm = P = 113,14 kN

Tenso

56 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.86. O parafuso de olhal usado para sustentar a carga de 25 kN. Determine seu dimetro d com

aproximao de mltiplos de 5 mm e a espessura exigida h com aproximao de mltiplos de 5 mm do

suporte de modo que a arruela no penetre ou cisalhe o suporte. A tenso normal admissvel para o

parafuso adm = 150 MPa e a tenso de cisalhamento admissvel para o material do suporte adm = 35

MPa.

Resoluo

adm = d = = 15 mm adm = h = = 10 mm

1.87. A estrutura est sujeita a carga de 8 kN. Determine o dimetro exigido para os pinos em A e B se a

tenso de cisalhamento admissvel para o material for adm = 42 MPa. O pino A est sujeito a

cisalhamento duplo, ao passo que o pino B est sujeito a cisalhamento simples.

Resoluo

A =

3FD 8 x 2,1 = 0 Ax + 8 = 0 Ay + 5,6 = 0 A = 9,765 kN

FD = 5,6 kN Ax = 8 kN Ay = 5,6 kN

V = A adm = dA = = 12,166 mm

-1,5FBC y = 0 dBC = = 21,913 mm

FBC = 15,84 kN

Tenso

57 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.88. Os dois cabos de ao AB e AC so usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tenso

de trao admissvel adm = 200 MPa, determine o dimetro exigido para cada cabo se a carga aplicada for

P = 5 kN.

Resoluo

TAB = 4,35 kN

0,8TAC TABsen(60) = 0 0,6TAC + TABcos(60) 5 = 0 TAC = 4,71 kN

AB = dAB = = 5,26 mm AC = dAB = = 5,48 mm

1.89. Os dois cabos de ao AB e AC so usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tenso de

trao admissvel adm = 180 MPa, e se o cabo AB tiver dimetro de 6 mm e o cabo AC tiver dimetro de 4

mm, determine a maior fora P que pode ser aplicada corrente antes que um dos cabos falhe.

Resoluo

FAB = 0,87P

FACcos( ) - FABcos(30) = 0 FACsen( ) + FABcos(30) P = 0 FAC = 0,941726P

AAB = dAB AAC = dAC

adm = P = 5,85 kN adm = P = 2,4 kN

Tenso

58 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.90. A lana suportada pelo cabo do guincho com dimetro de 6 mm com tenso normal admissvel

adm = 168 MPa. Determine a maior carga que pode ser suportada sem provocar a ruptura do cabo quando

= 30 e = 45. Despreze o tamanho do guincho.

Resoluo

A = d

-[Tcos( + ) + P] x 6cos( ) x 6sen( ) = 0 adm = P = 1,739 kN

T = 2,73206P

1.91. A lana suportada pelo cabo do guincho cuja tenso normal admissvel adm = 168 MPa. Se a

lana tiver de levantar lentamente uma carga de 25 kN, de = 20 at = 50, determine o menor

dimetro do cabo com aproximao de mltiplos de 5 mm. O comprimento da lana AB 6 m. Despreze o

tamanho do guincho. Considere d = 3,6 m.

Resoluo

L = tang( ) =

(3,6 + 6cos ) x tang(20) = 6sen( ) - = 58,158

(0,6 + cos ) x tang(20) = sen( ) = 11,842

1,13247cos + 0,159cos 0,95231 = 0

Tenso

59 Resoluo: Steven Rger Duarte

adm = d =

-[Tcos( + ) + 25] x 6cos( ) + Tsen( + ) x 6sen( ) = 0 d = 30 mm

T = 103,38 kN

*1.92. A estrutura est sujeita ao carregamento distribudo de 2 kN/m. Determine o dimetro exigido para

os pinos em A e B se a tenso de cisalhamento admissvel para o material for adm = 100 MPa. Ambos os

pinos esto sujeitos a cisalhamento duplo.

Resoluo

-3HA 6 x 1,5 = 0 HA - HB = 0 VA + VB 6 = 0

HA = 3 kN HB = 3 kN VA = VB = 3 kN

RA = = 4,2426 kN adm = dA = dB = = 5,20 mm

Tenso

60 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.93. Determine as menores dimenses do eixo circular e da tampa circular se a carga que devem

suportar P = 150 kN. A tenso de trao, a tensa de apoio e a tenso de cisalhamento admissvel so

( t)adm = 175 MPa, ( a)adm = 275 MPa e adm = 115 MPa.

Resoluo

( a)adm = d3 = = 26,4 mm adm = t = = 15,8 mm

( t)adm = d1 = = 44,6 mm

1.94. Se a tenso de apoio admissvel para o material sob os apoios em A e B for ( a)adm = 2,8 MPa,

determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A B a carga. Considere

P = 7,5 kN. A dimenso das chapas dever ter aproximao de 10 mm. As reaes nos apoios so

verticais.

Resoluo

Tenso

61 Resoluo: Steven Rger Duarte

-10 x 1,5 -15 x 3 -10 x 4,5 + 4,5 FB 7P = 0 FA + FB -10 10 15 10 P = 0

FB = 35 kN FA = 17,5 kN

a)adm = Aa = (aA) aA = 80 mm

a)adm = AB = (aB) aB = 120 mm

1.95. Se a tenso de apoio admissvel para o material sob os apoios em A e B for ( a)adm = 2,8 MPa,

determine a carga P mxima que pode ser aplicada viga. As sees transversais quadradas das chapas

de apoio e so 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm, respectivamente.

Resoluo

-10 x 1,5 15 x 3 10 x 4,5FB 7P = 0 FA + FB 10 10 15 10 P = 0

FB = FA =

a)adm = P = 26,4 kN a)adm = P = 3 kN

Tenso

62 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.96. Determine a rea da seo transversal exigida para o elemento BC e os dimetros exigidos para os

pinos em A e B se a tenso normal admissvel for adm = 21 MPa e a tenso de cisalhamento for adm = 28

MPa.

Resoluo

-7,5 x 0,6 7,5 x 1,8 + 2,4By = 0 - Ay 7,5 7,5 + By = 0

By = 7,5 kN Ay = 7,5 kN

-Bx x L x sen(60) + 7,5 x L x cos(60) = 0 -Bx + Cx = 0 - Ax + Bx = 0

Bx = 4,33 kN Cx = 4,33 kN Ax = 4,33 kN

A = B = = 8,66 kN adm)A = dA = = 19,84 mm

dB = = 14,03 mm FBC = A ABC = = 412,6 mm

Tenso

63 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.97. O conjunto consiste em trs discos A, B e C usados para suportar a carga de 140 kN. Determine o

menor dimetro d1 do disco superior, o dimetro d2 do espao entre os apoios e o dimetro d3 do orifcio

no disco inferior. A tenso de apoio admissvel para o material ( adm)a = 350 MPa e a tenso de

cisalhamento admissvel adm = 125 MPa.

Resoluo

( adm)a = d1 = = 22,6 mm adm = d2 = = 35,7 mm

adm)a = d3 = = 27,6 mm

1.98. As tiras A e B devem ser coladas com a utilizao das duas tiras C e D. Determine a espessura

exigida t para C e D de modo que todas as tiras falhem simultaneamente. A largura das tiras A e B 1,5

vezes a das tiras C e D.

Resposta

LA = 1,5LC A = = D =

A D t = 22,5 mm

Tenso

64 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.99. Se a tenso de apoio admissvel para o material sob os apoios em A e B for ( a)adm = 2,8 MPa,

determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas e exigidos para suportar a carga. A

dimenso das chapas deve ter aproximao de mltiplos de 10 mm. As reaes nos apoios so verticais.

Considere P = 7,5 kN.

Resoluo

-45 x 22,5 + 4,5RB 7,5 x 6,75 = 0 RA 45 + 33,75 7,5 = 0

RB = 33,75 kN RA = 18,75 kN

adm)A = LA = 90 mm ( adm)B = LB = 110 mm

*1.100. Se a tenso de apoio admissvel para o material sob os apoios em A e B for ( a)adm = 2,8 MPa,

determine a carga mxima P que pode ser aplicada viga. As sees transversais quadradas das chapas

de apoio e so 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm, respectivamente.

Resoluo

-45 x 2,25 + 4,5RB 6,75P = 0 RA 45 + RB P = 0

RB = 22,5 + 1,5P RA = 22,5 0,5P

( adm)A = P = 31 kN ( adm)B = P = 3,67 kN

Tenso

65 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.101. O conjunto de pendural usado para suportar um carregamento distribudo w = 12 kN/m. Determine

a tenso de cisalhamento mdia no parafuso de 10 mm de dimetro em A e a tenso de trao mdia na

haste AB, com dimetro de 12 mm. Se a tenso de escoamento por cisalhamento para o parafuso for e =

175 MPa e a tenso de escoamento por trao para a haste for e = 266 MPa, determine o fator de

segurana em relao ao escoamento em cada caso.

Resoluo

adm = (FS)pino = = 1,02

-21 x 0,9 + 1,2FABsen( ) = 0 adm = 171,88 MPa

FAB = 27 kN

adm = = 238,732 MPa (F.S)haste = = 1,11

Tenso

66 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.102. Determine a intensidade w da carga distribuda mxima que pode ser suportada pelo conjunto de

pendural de modo a no ultrapassar uma tenso de cisalhamento admissvel de adm = 95 MPa nos

parafusos de 10 mm de dimetro em A e B e uma tenso de trao admissvel de adm = 155 MPa na

haste AB de 12 mm de dimetro.

Resoluo

adm = adm =

1,2FAB 1,8w x 0,9 = 0 w = 6,632 kN/m w = 7,791 kN/m

FAB = 2,25w

1.103. A barra suportada pelo pino. Se a tenso de trao admissvel para a barra for ( t)adm = 150 MPa

e a tenso de cisalhamento admissvel para o pino for adm = 85 MPa, determine o dimetro do pino para o

qual a carga P ser mxima. Qual essa carga mxima? Considere que o orifcio na barra tem o mesmo

dimetro d do pino. Considere tambm t = 6 mm e w = 50 mm.

Resoluo

adm = P = adm = P = 0,5

= 0,5 ; d = 15,29 mm

P = 31,23 kN

Tenso

67 Resoluo: Steven Rger Duarte

*1.104. A barra est acoplada ao suporte por um pino de dimetro d = 25 mm. Se a tenso de trao

admissvel para a barra for ( t)adm = 140 MPa e a tenso de apoio admissvel entre o pino e a barra for

( a)adm = 210 MPa, determine as dimenses w e t tais que a rea bruta da rea da seo transversal seja

wt = 1.250 mm e a carga P seja mxima. Qual essa carga? Considere que o orifcio da barra tem o

mesmo dimetro do pino.

Resoluo

adm = P = (1,75 35t) x 105 adm = P =(52,5 x 105)t

(1,75 35t) x 105 = (52,5 x 105)t t = 20 mm P = 105 kN w = 62,5 mm

1.105. A viga composta de madeira est interligada por um parafuso em B. Considerando que os

acoplamentos em A e B, C e D exeram somente foras verticais na viga, determine o dimetro exigido

para o parafuso em B e o dimetro externo exigido para as respectivas arruelas se a tenso de trao

admissvel para o parafuso for ( t)adm = 150 MPa e a tenso de apoio admissvel para a madeira for ( a)adm

= 28 MPa. Considere que o orifcio das arruelas tem o mesmo dimetro do parafuso.

Resoluo

FB = 4,4 kN

-3 x 2 + 4FC + 5,5FB = 0 2 x 1,5 + 3 x 1,5 + 4,5FB + 6FC = 0 FC = 4,55 kN

t)adm = dB = = 6,11 mm a)adm = dm = = 15,4 mm

Tenso

68 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.106. A barra mantida em equilbrio por pinos em A e B. Observe que o apoio em A tem uma nica

orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoio B tem orelha dupla, o que envolve

cisalhamento duplo. A tenso de cisalhamento admissvel para ambos os pinos adm = 150 MPa. Se uma

carga uniformemente distribuda w = 8 kN/m for colocada sobre a barra, determine sua posio admissvel

mnima x em relao a B. Cada um dos pinos A e B tem dimetro de 8 mm. Despreze qualquer fora axial

na barra.

Resoluo

adm = Bz = 15,08 kN

(2i) x (Byj + Bz k) + (3 + 0,5x)i x [- 8(2 x)]k = 0 x + 4x 4,4602 = 0

Bz = (24 8x 2x) kN x = 0,909 m

1.107. A barra mantida em equilbrio pelos apoios de pino em A e B. Observe que o apoio em A tem

uma nica orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoio B tem orelha dupla, o que

envolve cisalhamento duplo. A tenso de cisalhamento admissvel para ambos os pinos adm = 125 MPa.

Se x = 1 m, determine a carga distribuda mxima w que a barra suportar. Cada um dos pinos A e B tem

dimetro de 8 mm. Despreze qualquer fora axial na barra.

Resoluo

adm = w = 7,18 kN/m

(2i) x (Byj + Bzk) + (3,5i) x (-wk) = 0

By = 0 kN Bz = (1,75w) kN

Tenso

69 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.108. A barra mantida em equilbrio pelos apoios de pino em A e B. Observe que o apoio em A tem

uma nica orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoio B tem orelha dupla, o que

envolve cisalhamento duplo. A tenso de cisalhamento admissvel para ambos os pinos adm = 125

MPa. Se x = 1 m e w = 12 kN/m, determine o menor dimetro exigido para os pinos A e B. Despreze

qualquer fora axial na barra.

Resoluo

adm = d =

(2i) x (Byj + Bzk) + (3,5i) x (- 12k) = 0 d = 10,3 mm

Bz = 21 kN

1.109. O pino est submetido a cisalhamento duplo, visto que usado para interligar os trs elos. Devido

ao desgaste, a carga distribuda nas partes superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo

livre. Determine o dimetro d do pino se a tenso de cisalhamento admissvel for adm = 70 MPa e a carga

P = 49 kN. Determine tambm as intensidades das cargas w1 e w2.

Resoluo

0,0375w1 = P 0,0125w2 = 0,5P adm = d =

w1 = 1.306,667 kN/m w2 = 1.960 kN/m d = 21,1 mm

Tenso

70 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.110. O pino est submetido a cisalhamento duplo, visto que usado para interligar os trs elos. Devido

ao desgaste, a carga distribuda nas partes superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo

livre. Determine a carga mxima P que o acoplamento pode suportar se a tenso de cisalhamento

admissvel para o material for adm = 56 MPa e o dimetro do pino for 12,5 mm. Determine tambm as

intensidades das cargas w1 e w2.

Resoluo

0,0375w1 = P 0,0125w2 = 0,5P adm = P = 13,74 kN

w1 = 26,667P w2 = 40P w2 = 549,78 kN/m

1.111. A chaveta usada para manter as duas hastes juntas. Determine a menor espessura t da chaveta

e o menor dimetro d das hastes. Todas as partes so feitas de ao com tenso de ruptura por trao rup

= 500 MPa e tenso de ruptura por cisalhamento rup = 375 MPa. Use um fator de segurana (FS)t = 2,50

em trao e (FS)c = 1,75 em cisalhamento.

Resoluo

rup = d = = 13,8 mm adm = t = 7 mm

Tenso

71 Resoluo: Steven Rger Duarte

PROBLEMAS DE REVISO

*1.112. O parafuso longo passa pela chapa de 30 mm de espessura. Se a fora na haste do parafuso for

8 kN, determine a tenso normal mdia na haste, a tenso de cisalhamento mdia ao longo da rea

cilndrica da chapa definida pelas linhas de corte a-a e a tenso de cisalhamento mdia na cabea do

parafuso ao longo da rea cilndrica definida pelas linhas de corte b-b.

Resoluo

A = md = = 208 MPa

md)a = = 4,72 MPa md)b = = 45, MPa

1.113. A sapata de apoio consiste em um bloco de alumnio de 150 mm por 150 mm que suporta uma

carga de compresso de 6 kN. Determine a tenso normal mdia e a tenso de cisalhamento mdia que

agem no plano que passa pela seo a-a. Mostre os resultados em um elemento de volume infinitesimal

localizado no plano.

Resoluo

Va-a 6cos(60) = 0 Na-a 6sen(60) = 0

Va-a = 3 kN Na-a = 5,196 kN

A = a-a = = 315,5 kPa a-a = = 200 kPa

Tenso

72 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.114. Determine as cargas internas resultantes que agem nas sees transversais que passam pelos

pontos D e E da estrutura.

Resoluo

-0,9sen( )FBC 6 x 1,2 = 0 Ax FBCcos( ) = 0 Ay 6 FBCsen( ) = 0

FBC = - 10 kN Ax = 6 kN Ay = 2 kN

Ax + Cx = 0 Cy + Ay 6 = 0

Cx = 6 kN Cy = 8 kN

Ponto D

ND 6 = 0 - 2 1,125 VD = 0 MD + 2 x 0,45 + 1,125 x 0,225 = 0

ND = 6 kN VD = 3,13 kN MD = - 1,153 kN.m

Ponto E

NE = - 10 kN VE = 0 kN ME = 0 kN.m

Tenso

73 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.115. O puno circular B exerce uma fora de 2 kN na parte superior da chapa A. Determine a tenso

de cisalhamento mdia na chapa provocada por essa carga.

Resoluo

md = = 79,6 MPa

*1.116. O cabo tem peso especfico (peso/volume) e rea de seo transversal A. Se a flecha s for

pequena, de modo que o comprimento do cabo seja aproximadamente L e seu peso possa ser distribudo

uniformemente ao longo do eixo horizontal, determine a tenso normal mdia no cabo em seu ponto mais

baixo C.

Resoluo

w = md = =

Ts - = 0 T =

Tenso

74 Resoluo: Steven Rger Duarte

1.117. A viga AB suportada por um pino em A e tambm por um cabo BC. Um cabo separado CG

usado para manter a estrutura na posio vertical. Se AB pesar 2 kN/m e o peso da coluna FC for 3 kN/m,

determine as cargas internas resultantes que agem nas sees transversais localizadas nos pontos D e E.

Despreze a espessura da viga e da coluna nos clculos.

Resoluo

3,5TBCsen( ) 7,2 x 1,8 = 0 Ax TBCcos( ) = 0 Ay + TBC 7,2 = 0

TBC = 11,3842 kN Ax = 10,8 kN Ay = 3,6 kN

Ponto D

-ND TBC D + TBC 3,6= 0 - MD 3,6 x 0,9 + 1,8TBC

ND = 10,8 kN VD = 0 kN MD = 3,24 kN.m

Ponto E

VE + 2,7 = 0 NE + 25,2 3,6 = 0 ME + 2,7 x 1,2 = 0

VE = 2,7 kN NE = 21,6 kN ME = - 3,24 kN.m

Tenso