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CAPITULO 08

RESPOSTA À EXCITAÇÃOSENOIDAL PARA CIRCUI-TOS RL, RC E RLC –SOLUÇÃO POR EQUA-ÇÕES DIFERENCIAIS

Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I

Professor Silvio Lobo Rodrigues 2

8.1 INTRODUÇÃO A função senoidal é uma das mais importantes para a teoria de circuitos e por várias razões foi escolhida para ser utilizada na maioria das aplicações elétricas. Uma das razões é evidente dos resultados do capítulo anterior; a resposta natural de um circuito de segunda ordem sub amortecido é uma senóide amortecida e, caso não haja perda é uma senóide pura. Assim, parece ser a senóide uma escolha natural, como seria a exponencial decrescente. De fato, a natureza de um modo geral, parece ter um caráter senoidal; o movimento de um pêndulo, uma bola pulando, a vibração de uma corda de violão, a atmosfera pol´pitica de qualquer país e muitos outros. Uma outra razão é encontrada na dependência existente entre a função senoidal e qualquer outra função periódica. O matemático francês Fourier demonstrou que a grande maioria das funções periódicas pode ser representada pela soma de um número infinito de funções senoidais, no tempo, com as freqüências múltiplas da freqüência fundamental em que se repete a função periódica. Uma terceira razão é encontrada numa importante propriedade matemática da função senoidal. Suas derivadas e integrais também são funções senoidais. Como a resposta forçada tem a mesma forma que a função excitação. Suas integrais e derivadas também serão senoidais. A função-excitação senoidal produzirá uma resposta forçada senoidal em todo circuito linear. A função excitação senoidal permite, assim, um manuseio mais simples que qualquer outra função. Finalmente, a função senoidal tem importantes aplicações práticas. É uma função fácil de ser gerada e sua forma de onda é usada, predominantemente, pela indústria de geração e distribuição de energia elétrica. 8.2 CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS DE UMA SENÓIDE

Uma voltagem de variação senoidal é definida como: ou

(8.1) Os parâmetros que definem uma onda senoidal são: a amplitude de Vm, a freqüência angular ω e a fase θ. Vemos na figura 8.1 uma onda senoidal cuja fase θ = 0º.

Figura 8.1 – Função senoidal v(t) = Vmsenωt traçada em função a) ωt b) t.

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

m

m

v t V sen t

v t V cos t

= ω + θ= ω + θ= ω + θ= ω + θ

= ω + θ= ω + θ= ω + θ= ω + θ




Na figura 8.1a a função é representada em função de ωt e a sua natureza periódica é evidente sendo o período de 2π radianos. Na figura 8.1b, senωt é traçado como uma função do tempo e, neste caso, o período é T. O período pode ser expresso em graus ou ocasionalmente em unidades, tais como centímetros ou polegadas. A uma onda senoidal com um período T correspondem 1/T períodos cada segundo. Logo sua freqüência f é:

(8.2) Assim, 1Hz é idêntico a um ciclo por segundo. Da figura 9.1a podemos observar que:

(8.3)

(8.4) Na figura 8.2 podemos observar uma senóide, defasada, estando adiantada de θ radianos.

Figura 8.2 – Senóide defasada de θ radianos Vmcos(ωt+θ). Em Engenharia Elétrica, o ângulo de fase é, geralmente, dado em graus e não em radianos, não havendo nenhuma confusão se o símbolo de grau for sempre utilizado. Assim, podemos representar: ou Duas ondas senoidais que devem ser comparadas em fase devem ser escritas como ondas senoidais ou como ondas cossenoidais; ambas devem ser escritas com amplitude positiva e devem ter a mesma freqüência. Então, podemos dizer que: Em relação a

1f HzT

====

T 22 2 f rad/sT

ω = πω = πω = πω = πππππω = = πω = = πω = = πω = = π

(((( ))))(((( ))))

v 100sen 2 1000t 6v 100sen 2 1000t 30º

ππππ= π −= π −= π −= π −

= π −= π −= π −= π −

(((( )))) (((( ))))1 m1v t V sen 5t 30º= −= −= −= −

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2 m2 m2v t V cos 5t 10º V sen 5t 100º= + = += + = += + = += + = +




Está atrasada de 130º, ou também é correto dizer que v1 está 230º avançado em relação a v2 já que pode ser escrita como: 8.3 RESPOSTA FORÇADA À FUNÇÃO-EXCITAÇÃO SENOIDAL – CIRCUITO RL Inicialmente, escreveremos a equação diferencial que se aplica ao circuito dado. A solução completa dessa equação é composta de duas partes: a solução complementar (chamada de resposta natural) e a solução particular (ou resposta forçada). A resposta natural é independente da forma matemática da função-excitação e depende, apenas, do tipo do circuito, dos valores dos elementos e das condições iniciais. A solução natural pode ser obtida admitindo-se que todas as funções-excitações sejam nulas e, deste modo, a equação é reduzida a uma simples equação diferencial homogênea. A resposta natural para os circuitos RL, RC e RLC é idêntica às já estudadas. Usaremos resposta em estado de repouso como sinônimo de resposta forçada e os circuitos que começaremos a analisar estarão no estado de repouso senoidal ou estado estacionário senoidal. Consideremos agora o circuito RL mostrado na figura 8.3. A fonte de voltagem senoidal vs = vmcosωt foi ligada há muito tempo e a resposta natural já amorteceu totalmente. Vamos obter a resposta forçada.

Figura 8.3 – Um CKT RL alimentado por fonte senoidal. A equação diferencial para o circuito

(8.5) A solução para i(t) é da forma:

(8.6) Onde I1 e I2 são constantes que dependem de Vm, R, L, e ω.

(((( )))) (((( ))))2 m2v t V sen 5t 260º= −= −= −= −

mdiL Ri V cos tdt

+ = ω+ = ω+ = ω+ = ω

(((( )))) 1 2i t I cos t I sen t= ω + ω= ω + ω= ω + ω= ω + ω




Substituído (8.6) em (8.5): Para que esta equação seja verdadeira em todo t: Resolvendo o sistema:

(8.7) Logo a equação para i(t) fica:

(8.8) Esta forma de solução é um pouco complicada e podemos escrevê-la numa forma mais simples:

(8.9) Fazendo a expansão de i(t) e comparando com a equação 8.8 obtemos A e θ.

(8.10)

(8.11)

Dividindo as equações:

(8.12)

Desenhando um triângulo auxiliar obtemos:

(8.13)

(((( )))) (((( ))))1 2 1 2 m

1 2 2 1 m

LI sen t LI cos t RI cos t RI sen t V cos tLI RI sen t LI RI V cos t 0

− ω ω + ω ω + ω + ω = ω− ω ω + ω ω + ω + ω = ω− ω ω + ω ω + ω + ω = ω− ω ω + ω ω + ω + ω = ω− ω+ ω + ω+ − ω =− ω+ ω + ω+ − ω =− ω+ ω + ω+ − ω =− ω+ ω + ω+ − ω =

1 2

2 1 m

LI RI 0LI RI V 0− ω+ =− ω+ =− ω+ =− ω+ =

ω+ − =ω+ − =ω+ − =ω+ − =

m1 2 2 2

m2 2 2 2

R VIR L

L VIR L

⋅⋅⋅⋅====+ω+ω+ω+ω

ω⋅ ⋅ω⋅ ⋅ω⋅ ⋅ω⋅ ⋅====+ω+ω+ω+ω

(((( )))) m m2 2 2 2 2 2R Li t V cos t +V sen t

R L R Lω⋅ω⋅ω⋅ω⋅= ⋅ ω ⋅ ω= ⋅ ω ⋅ ω= ⋅ ω ⋅ ω= ⋅ ω ⋅ ω

+ω + ω+ω +ω+ω +ω+ω +ω

(((( )))) (((( ))))i t Acos t= ω − θ= ω − θ= ω − θ= ω − θ

m m2 2 2 2 2 2

m2 2 2

m2 2 2

R V L VAcos cos t Asen sen cos t sen t R L R L

R VAcosR L

L VAsenR L

⋅ ω⋅ ⋅⋅ ω⋅ ⋅⋅ ω⋅ ⋅⋅ ω⋅ ⋅θ ⋅ ω + θ ⋅ ω = ω + ωθ⋅ ω + θ ⋅ ω = ω + ωθ⋅ ω + θ ⋅ ω = ω + ωθ⋅ ω + θ ⋅ ω = ω + ω+ω +ω+ω +ω+ω +ω+ω +ω

⋅⋅⋅⋅θ =θ =θ =θ =+ω+ω+ω+ω

ω⋅ ⋅ω⋅ ⋅ω⋅ ⋅ω⋅ ⋅θ =θ =θ =θ =+ω+ω+ω+ω

1Asen L Ltg tgAcos R R

−−−−θ ω ωθ ω ωθ ω ωθ ω ω= θ = → θ == θ = → θ == θ = → θ == θ = → θ =θθθθ

2 2 2

RcosR L

θ =θ =θ =θ =+ω+ω+ω+ω




Figura 8.4 – Triângulo auxiliar onde Aplicando a equação 8.13 na 8.10:

(8.14) A solução para i(t) pode então ser escrita:

(8.15) Como pode ser observado, a corrente está atrasada em relação a tensão. O ângulo de defasagem θ depende da razão entre ωL e R. Chamamos ωL de reatância indutiva do indutor; sua unidade é OHMS e dá uma medida da reação imposta pelo indutor à passagem de corrente senoidal. A resposta natural mais a resposta forçada, isto é, a resposta completa fica então:

(8.16) Onde k é obtido a partir das condições iniciais do CKT.

2 2 2

RcosR L

θ =θ =θ =θ =+ω+ω+ω+ω

m2 2 2

VAR L

====+ω+ω+ω+ω

(((( )))) 1m2 2 2

V Li t cos t tgRR L

−−−− ωωωω = ω −= ω −= ω −= ω − + ω+ω+ω+ω

(((( ))))R t 1mL

2 2 2

V Li t ke cos t tgRR L

−−−− −−−− ωωωω = + ω −= + ω −= + ω −= + ω − + ω+ω+ω+ω




8.4 RESPOSTA FORÇADA À ENTRADA SENOIDAL – CKT RC Consideremos o circuito da figura 8.5 ao qual é aplicada a corrente i(t) = Imcosωt

Figura 8.5 – CKT RC paralelo alimentado por uma fonte senoidal. A equação diferencial para o circuito pode ser obtido a partir da equação de nós para as correntes.

(8.17) Vamos considerar o CKT em estado de repouso, isto é, o transitório já desapareceu. A solução forçada é da forma:

(8.18) Aplicando na equação diferencial: Reunindo as componentes em seno e cosseno: A solução para todo t:

(8.19)

(8.20)

mdv vI cos t Cdt R

ω = +ω = +ω = +ω = +

f 1 2v V cos t V sen t= ω + ω= ω + ω= ω + ω= ω + ω

1 2m 1 2

V VI cos t CV sen t CV cos t cos t sen tR R

ω = − ω ω + ω ω + ω + ωω = − ω ω + ω ω + ω + ωω = − ω ω + ω ω + ω + ωω = − ω ω + ω ω + ω + ω

2 11 2 m

V VCV sen t CV I cos t 0R R

− ω+ ω + + ω− ω =− ω+ ω + + ω− ω =− ω+ ω + + ω− ω =− ω+ ω + + ω− ω =

21

12 m

VCV 0R

V CV I 0R

− ω+ =− ω+ =− ω+ =− ω+ =

+ ω− =+ ω− =+ ω− =+ ω− =




Resolvendo o sistema:

(8.21)

(8.22) A solução forçada é então expressa por:

(8.23)

Da mesma forma a resposta forçada pode ser colocada na forma:

(8.24)

(8.25) Dividindo as equações:

(8.26) Usando um triângulo auxiliar. Figura 8.6 – Triângulo auxiliar onde

1 m2 2 2

2

2 m2 2 2

RV I1 R C

R CV I1 R C

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅+ ω+ω+ω+ω

ωωωω= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅+ ω+ω+ω+ω

(((( ))))2

mm2 2 2 2 2 2

R I R Cv t cos t I sen t1 R C 1 R C

⋅⋅⋅⋅ ωωωω= ω + ⋅ ω= ω + ⋅ ω= ω + ⋅ ω= ω + ⋅ ω+ω +ω+ω +ω+ω +ω+ω +ω

(((( )))) (((( ))))o

2m

m2 2 2 2 2 2

m2 2 2

2

m2 2 2

v t Acos t

R I R CAcos cos t Asem sen t cos t I sen t1 R C 1 R C

R IAcos1 R C

R CAsen I1 R C

= ω −θ= ω −θ= ω −θ= ω −θ

⋅⋅⋅⋅ ωωωωθ ω + θ ω = ω + ⋅ ωθ ω + θ ω = ω + ⋅ ωθ ω + θ ω = ω + ⋅ ωθ ω + θ ω = ω + ⋅ ω+ω +ω+ω +ω+ω +ω+ω +ω

⋅⋅⋅⋅θ =θ =θ =θ =+ω+ω+ω+ω

ωωωωθ = ⋅θ = ⋅θ = ⋅θ = ⋅+ ω+ω+ω+ω

1

tg RCtg RC−−−−

θ = ωθ = ωθ = ωθ = ωθ = ωθ = ωθ = ωθ = ω

(((( ))))2

1cos1 RC

θ =θ =θ =θ =+ ω+ ω+ ω+ ω




Da figura obtém-se: Aplicando na equação 8.24 temos:

(8.27) A solução forçada fica representada por:

(8.28) A solução completa para o circuito considerando a resposta natural mais a forçada toma a seguinte forma:

(8.29) Onde k é obtido a partir das condições iniciais. 8.5 RESPOSTA À ENTRADA SENOIDAL CKT RLC Vamos estudar a forma de solução para um CKT série dado pela figura 8.7.

Figura 8.7 – CKT RLC série – resposta à entrada senoidal.

(((( ))))2

1cos1 RC

θ =θ =θ =θ =+ ω+ ω+ ω+ ω

(((( ))))m

2

R IA1 RC

====+ ω+ ω+ ω+ ω

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))1m2

R Iv t cos t tg RC1 RC

−−−−= ⋅ ω − ω= ⋅ ω − ω= ⋅ ω − ω= ⋅ ω − ω+ ω+ ω+ ω+ ω

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))t

1mRC2

R Iv t ke cos t tg RC1 RC

−−−− −−−−= + ⋅ ω − ω= + ⋅ ω − ω= + ⋅ ω − ω= + ⋅ ω − ω+ ω+ ω+ ω+ ω




A equação diferencial para o CKT será de 2ª ordem e pode ser obtida a partir das equações de malha. Como:

(8.30)

A solução completa para esta equação tem duas componentes, a resposta natural e a forçada.

(8.31) Vamos desenvolver a solução utilizando como exemplo os seguintes dados para o circuito da figura 8.7. Usando os dados fornecidos escreveremos a equação diferencial que representa o CKT.

(8.32) Observe que a função u(t) serve apenas para indicar que a fonte entrou em operação em t=0. Para obtermos a solução natural precisamos determinar as raízes características que nos indicarão o tipo de amortecimento e a forma de solução.

(((( ))))s R L c

m c

v t v v vdiv cos t Ri L vdt

= + += + += + += + +

ω = + +ω = + +ω = + +ω = + +

c

2c c

m c2

dvi Cdt

d v dvV cos t LC RC vdt dt

====

ω = + +ω = + +ω = + +ω = + +

(((( ))))c cn cfv t v v= += += += +

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

s

L

c

1L H2

C 1F3R2

v t u t cos 2t

i 0 2A

v 0 1V−−−−

====

====

= Ω= Ω= Ω= Ω

====

====

====

(((( ))))2

c cc2

d v dv1 3u t cos 2t v2 d t 2 dt

= + += + += + += + +

2

2

1 2

1 3s s 1 02 2s 3s 2 0

3 9 8s s 1 s 21

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ + =+ + =+ + =+ + =

− ± −− ± −− ± −− ± −= ⇒ = − ∴ = −= ⇒ = − ∴ = −= ⇒ = − ∴ = −= ⇒ = − ∴ = −




Logo, o circuito é superamortecido e a resposta natural é da forma:

(8.33) Para a obtenção da solução forçada, partimos da hipótese de solução:

(8.34) E então aplicamos a equação diferencial. Vamos antes obter a 1ª e 2ª derivadas para facilitar a solução. Levando à equação diferencial: Passando para a forma:

t 2tcn 1 2v A e A e− −− −− −− −= += += += +

cf 1 2v V cos 2t V sen2t= += += += +

cf1 2

2cf

1 22

dv 2V sen2t 2V cos 2tdt

d v 4V cos 2t 4V sen2td t

= − += − += − += − +

= − −= − −= − −= − −

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

2 1

2 1

1

2

cf

1 3cos 2t 4V cos 2t 4V sen2t 2V cos 2t 2V sen2t V cos 2t V sen2t2 2

2V 3V V 1 cos 2t 2V 3V V sen2t 0

V 3V 1 0V 3V 0

V 3V1V

103V

101 3V cos 2t sen2t

10 10

= − − + − + + += − − + − + + += − − + − + + += − − + − + + +

− + + − + − − + =− + + − + − − + =− + + − + − − + =− + + − + − − + = − + − =− + − =− + − =− + − =

− − =− − =− − =− − == −= −= −= −

= −= −= −= −

====

= − += − += − += − +

(((( ))))cfv Acos 2t1 3Acos cos 2t Asen sen2t cos 2t sen2t

10 101Acos

103Asen

10tg 3 108,4º

= − θ= − θ= − θ= − θ

θ + θ = − +θ + θ = − +θ + θ = − +θ + θ = − +

θ = −θ = −θ = −θ = −

θ =θ =θ =θ =

θ = − → θ =θ = − → θ =θ = − → θ =θ = − → θ =




(8.35) A solução completa pode, então, ser escrita: Para obtenção das constantes A1 e A2 usa-se as condições iniciais. Como vc(0)=1V:

(8.36) Para usarmos a corrente inicial precisamos da derivada da tensão no capacitor pois como o circuito é série: iL(0+)=iC(0+). Aplicando a condição inicial:

(8.37) Resolvendo o sistema formado por 8.36 e 8.37 temos: A solução final é então obtida:

(8.38)

(((( ))))cf

110A 0, 3168

cos108,4ºv 0,3168cos 2t 108,4º

−−−−= == == == =

= −= −= −= −

(((( )))) (((( ))))t 2tc 1 2v t A e A e 0, 3168cos 2t 108,4º− −− −− −− −= + + −= + + −= + + −= + + −

1 2

1 2

1 A A 0,1A A 1,1= + −= + −= + −= + −+ =+ =+ =+ =

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

c c

t 0

c t 2t1 2

i 0 dv 2 2 V sC dt 1

dv tA e 2A e 0,6336sen 2t 108,4º

dt

++++

====

− −− −− −− −

= = == = == = == = =

= − − − −= − − − −= − − − −= − − − −

(((( ))))1 2

1 2

1 2

2 A 2A 0,6336sen 108,4º2 A 2A 0,6

A 2A 1,4

= − − − −= − − − −= − − − −= − − − −

= − − += − − += − − += − − +− − =− − =− − =− − =

1 2A 3,62 A 2,5= = −= = −= = −= = −

(((( )))) (((( ))))t 2tcv t 3,6e 2,5e 0,3168cos 2t 108,4º− −− −− −− −= − + −= − + −= − + −= − + −



Professor Silvio Lobo Rodrigues

Figura 8.8 – A resposta completa é representada pela linha cheia. 8.6 ANÁLISE DOS NÓS E DAS MALHAS PARA CKT RLC Neste item vamos utilizar os métodos de análise de nós e malhas para determinar a equação diferencial para o circuito dado. Consideremos o circuito da figura 8.9 para o qual são conhecidos os valores iniciais de tensão no capacitor (Vo) e corrente no indutor (Io).

Figura 8.9 – Análise de nós para obtenção da equa Para o nó 1 temos: (((( )))) (((( ))))t1 1

o 1 2 s01

dv v 1C I v v dt i tdt R L

+ + + − =+ + + − =+ + + − =+ + + − =∫∫∫∫

ção diferenci

13

al que define o CKT.

(8.39)




Para o nó 2:

(8.40) Podemos ainda estabelecer a condição inicial para a tensão v1:

(8.41) Somando as equações 8.39 e 8.40 obtemos:

(8.42) Derivando a equação 8.40: Ficando então:

(8.43) Derivando a última expressão:

(8.44) Usando as expressões 8.43 e 8.44 na equação 8.42: Simplificando e multiplicando por R2 todos os termos chegamos finalmente à equação diferencial em v2.

(8.45)

Para completar a solução precisamos obter as condições iniciais para v2. Do circuito obtemos:

(8.46)

(((( ))))t 2o 1 20

2

v1I v v dt 0L R

− − − + =− − − + =− − − + =− − − + =∫∫∫∫

(((( ))))1 ov 0 V−−−− ====

(((( ))))1 1 2s

1 2

dv v vC i tdt R R

+ + =+ + =+ + =+ + =

2 1 2

2

v v dv1 0L L R dt

− + =− + =− + =− + =

21 2

2

dvLv vR dt

= += += += +

21 2 2

22

dv dv d vLdt dt R dt

= += += += +

(((( ))))2

2 2 2 2 2s2

2 1 1 2 2

dv d v v dv vLC LC i tdt R dt R R R dt R

+ + + × + =+ + + × + =+ + + × + =+ + + × + =

(((( ))))2

2 2 22 2 2 s2

1 1

d v dv RLLC R C 1 v R i tdt R dt R

+ + + + =+ + + + =+ + + + =+ + + + =

(((( ))))2 2 ov 0 R I−−−− ====




Da expressão 8.43 podemos obter:

(8.47) Para determinar v1 basta aplicar a solução obtida para v2 na expressão 8.43. Aplicando Thévenin no CKT da figura 8.9 obtemos um CKT que pode ser resolvido pela aplicação da análise de malhas.

Figura 8.10 – Equivalente Thevenin da figura 8.9. As condições são mantidas vc(0)=Vo e iL(0)=Io. Para a malha 1:

(8.48) Para a malha 2:

(8.49)

(8.50)

Somando 8.49 e 8.48

(8.51)

(((( ))))(((( ))))

t22 2 2 1 o0

2 o

di 1L R i i i dt V 0dt C

i 0 I

+ + − − =+ + − − =+ + − − =+ + − − =

====

∫∫∫∫

(((( )))) (((( ))))2 21 2

t 0

dv Rv 0 v 0

dt L− −− −− −− −

====

= −= −= −= −

21 2

2

dvLv vR dt

= += += += +

(((( ))))t

1 1 o 1 2 s0

1R i V i i dt vC

+ + − =+ + − =+ + − =+ + − =∫∫∫∫

21 1 2 2 s

diR i L R i Vdt

+ + =+ + =+ + =+ + =




Desta expressão obtemos:

(8.52) Diferenciando 8.49:

(8.53) Aplicando (8.52) em (8.53): Simplificando e multiplicando por C:

(8.54) A equação (8.54) representa a equação diferencial para o CKT em termos de i2. As condições iniciais são definidas por:

(8.55)

(8.56) Após obter i2 pode-se obter i1 a partir da equação (8.52).

(8.57)

s 2 21 2

1 1 1

V di RLi iR R dt R

= − −= − −= − −= − −

22 2 2 1

22

d i di i iL R 0dt dt C C

+ + − =+ + − =+ + − =+ + − =

2s2 2 2 2 2

2 221 1 1

vd i di i di RLL R i 0dt dt C R C R C dt R C

+ + − + − =+ + − + − =+ + − + − =+ + − + − =

2s2 2 2

2 221 1 1

Vd i di RLLC R C 1 idt R dt R R

+ + + + =+ + + + =+ + + + =+ + + + =

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))2 o

o2 22 o 2 o

t 0

i 0 i

Vdi R 1i 0 V R Idt L L L====

====

= − + = −= − + = −= − + = −= − + = −

s 2 21 2

1 1 1

v di RLi iR R dt R

= − −= − −= − −= − −




8.7 EXERCÍCIOS

1) Obtenha o ângulo de atraso de i2 em relação a i1 se (((( ))))1i (t) 120cos 100 t 30 A= π −= π −= π −= π − quando:

a) (((( ))))2i (t) 8cos 100 t 20 A= − π += − π += − π += − π +

b) (((( ))))2i (t) 5sen 100 t 50 A= π += π += π += π +

c) (((( ))))2i (t) 6sen 100 t 30 A= − π −= − π −= − π −= − π −

Solução: a) (((( )))) (((( ))))1i (t) 8cos 100 t 20 8cos 100 t 160 A= − π + = π −= − π + = π −= − π + = π −= − π + = π − i2 esta atrasada de 130o em relação a i1.

b) (((( )))) (((( ))))1i (t) 5sen 100 t 50 5cos 100 t 40 A= π + = π −= π + = π −= π + = π −= π + = π −

i2 esta atrasada de 10o em relação a i1.

I2 -160o -30o

I1

I2

-40o -30o

I1




c) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2i (t) 6sen 100 t 30 6sen 100 t 210 6cos 100 t 120 A= − π − = π − = π −= − π − = π − = π −= − π − = π − = π −= − π − = π − = π −

i2 esta atrasada de 90o em relação a i1. 2) Encontre A,B,C e Ф se

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))60cos 120 t 30 40sen 120 t 45 Acos 120 t Bsen 120 t Ccos 120 tπ − + π + = π + π = π +Φπ − + π + = π + π = π +Φπ − + π + = π + π = π +Φπ − + π + = π + π = π +Φ

Solução:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

60cos 120 t 30 40sen 120 t 45 60 cos 120 t cos 30 sen 120 t sen 30

40 cos 120 t cos 45 sen 120 t cos 45

51,96cos 120 t 30sen 120 t 28, 28sen 120 t 28,28cos 120 t

80, 24cos 120 t 58,28sen 120 t

π − + π + = π + ππ − + π + = π + ππ − + π + = π + ππ − + π + = π + π

+ π + π =+ π + π =+ π + π =+ π + π =

= π + π + π + π == π + π + π + π == π + π + π + π == π + π + π + π =

= π + π= π + π= π + π= π + π

A = 80,24 B = 58,28

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

o

o

Ccos 120 t Ccos cos 120 t Csen sen 120 t

Ccos 80,24 Csen 58, 28

senC 58, 28C cos 80, 24

tg 0,62537

3680, 24C 99,17

cos 36

π +Φ = Φ π − Φ ππ +Φ = Φ π − Φ ππ +Φ = Φ π − Φ ππ +Φ = Φ π − Φ π

Φ = − Φ =Φ = − Φ =Φ = − Φ =Φ = − Φ =

ΦΦΦΦ− =− =− =− =

ΦΦΦΦ

− Φ =− Φ =− Φ =− Φ =

Φ = −Φ = −Φ = −Φ = −

= == == == =−−−−

I2

-120o -30o

I1




3) No circuito abaixo determine em t = 6ms os valores de

a) i (t) b) A potência absorvida pelo resistor c) A potência absorvida pelo indutor

Solução:

a) div Ri Ldt

= += += += +

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

f 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1 2 1

2

di50cos 100 t 15i 0,05dt

i I cos 100 t I sen 100 t

50cos 100 t 15 I cos 100 t I sen 100 t 0,05 100 I sen 100 t 100 I cos 100 t

50cos 100 t 15I 5 I cos 100 t 50 15I 5 I

0 15I 5 I sen 100 t 15I 5 I5 II

π = +π = +π = +π = +

= π + π= π + π= π + π= π + π

π = π + π + − π π + π ππ = π + π + − π π + π ππ = π + π + − π π + π ππ = π + π + − π π + π π π = + π π → = + ππ = + π π → = + ππ = + π π → = + ππ = + π π → = + π

= − π π → = π= − π π → = π= − π π → = π= − π π → = π

ππππ====

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

1 1

1

2

f

f

I15 350I 1,5898

31,4491,5898I 1,6648

3i 1,5898cos 100 t 1,6648sen 100 t

i 6ms 0,4913 1,5833 1,092A

ππππ====

= == == == =

π×π×π×π×= == == == =

= π + π= π + π= π + π= π + π

= − + == − + == − + == − + =

b) (((( )))) (((( ))))2 2Rp 15.i t 15. 1,092 17,89W= = == = == = == = =

15Ω

50mH i(t) v(t)=50cos(100πt)V




c) L Lp v i====

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

L

L

L

L

div L 0,05 100 1,5898sen 100 t 100 1,6648cos 100 tdt

v t 24,97sen 100 t 26,15cos 100 t

v 6ms 23,75 8,08 31,83

p 6ms 31,83 1,092 34,76W

= = − π× π + π× π= = − π× π + π× π= = − π× π + π× π= = − π× π + π× π

= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π

= − − = −= − − = −= − − = −= − − = −

= − × = −= − × = −= − × = −= − × = −

4) Depois de usar o teorema de Thévenin para simplificar o circuito abaixo determine, em

t = 0, os valores de: a) R1v b) R2v c) Lv

Solução:

50Ω 160Ω

2H 200Ω 10sen(200t) V

VR2 VR1

+

vL

-

- + + -

160Ω

200Ω vL

+

50Ω 2H

vR1 -

+

-

0,2sen(200t) A




(((( )))) di8sen 200t 200i 2dt

= += += += +

Sendo (((( )))) (((( ))))f 1 2i I cos 200t I sen 200t= += += += +

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

1 2 1 2

2 1

2 1 1 2

2 2

2

1

R1

8sen 200t 200I cos 200t 200I sen 200t 2 200I sen 200t 2 200I cos 200t8 200I 400I0 200I 400I I 2I

8 200I 800II 8mAI 16mA

i t 8sen 200t 16cos 200t mA

v 160i t 1,6sen 200t 2,56cos 200t V

= + − × + ×= + − × + ×= + − × + ×= + − × + ×

= −= −= −= −= + → = −= + → = −= + → = −= + → = −

= += += += +===== −= −= −= −

= −= −= −= −

= = −= = −= = −= = −

Em t = 0 vR1 = -2,56V

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))L

L

div L 2 1,6cos 200t 3,2sen 200tdt

v 0 3, 2V

= = += = += = += = +

====

Para a obtenção de vR2 obtemos a equação de laço no circuito inicial

(((( )))) R2 R1 L100sen 200t v v v= + += + += + += + +

160Ω

-

40Ω

2H

+

vL

vR1 + -

8sen(200t) V i




Em t = 0 R2v 2,56 3, 2 0,64V= + − = −= + − = −= + − = −= + − = −

5) Para o circuito abaixo mostre que a corrente i é definida por di26i 0,01 24cos1000tdt

+ =+ =+ =+ = .

Solução: Chamando de i’ a corrente que sai da fonte

(((( ))))(((( ))))

X

X

i 0,02v i 1

v 20i 2

′′′′ = − += − += − += − +

====

(((( )))) (((( ))))Xdi24cos 1000t 10i v 0,01 3dt

′′′′= + += + += + += + +

( 2 ) em ( 1 ) (((( ))))i 0,4i i 0,6i 4′′′′ = − + == − + == − + == − + =

( 2 ) e ( 4 ) em ( 3 ) (((( )))) di24cos 1000t 10 0,6i 20i 0,01dt

= × + += × + += × + += × + +

(((( )))) di24cos 1000t 26i 0,01dt

= += += += +

10Ω 20Ω

10mH 0,02vX 24cos(1000t)V

i

vX + -

i'




6) Sendo (((( )))) (((( ))))Sv 20cos 5t 30cos 10t V= += += += + , no circuito que segue, determine i1(t).

Solução: Usa-se o teorema da superposição considerando vs como duas fontes independentes de

freqüências ω1 = 5 rad/s e ω2 = 10 rad/s . Para a 1° fonte

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

1

11

1

i A cos 5t Bsen 5tdi20cos 5t 10i 2dt

20cos 5t 10Acos 5t 10Bsen 5t 2 5Asen 5t 2 5Bcos 5t20 10A 10B0 10B 10A A B20 20A A 1 e B 1i cos 5t sen 5t

= += += += +

= += += += +

= + − × + ×= + − × + ×= + − × + ×= + − × + ×

= += += += += − → == − → == − → == − → == → = == → = == → = == → = == += += += +

10Ω

2H

i1

vS

10Ω

2H

i1

20cos(5t)V




Para a 2 ° fonte

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

2

22

2

1 2

i Ccos 10t Dsen 10tdi30cos 10t 10i 2dt

30cos 10t 10Ccos 10t 10Dsen 10t 2 10Csen 10t 2 10Dcos 10t30 10C 20D0 10D 20C D 2C30 10C 40C C 0,6 e D 1,2i 0,6cos 10t 1,2sen 10t

i t i t i t

i t cos 5t sen 5t 0,6cos 10t 1,2

= += += += +

= += += += +

= + − × + ×= + − × + ×= + − × + ×= + − × + ×

= += += += += − → == − → == − → == − → == + → = == + → = == + → = == + → = == += += += +

= += += += +

= + + += + + += + + += + + + (((( ))))sen 10t

Passando para a forma

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

1 1 2 2

1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

i t k cos 5t k cos 10t

k cos 1 tg 1 452k sen 1 k 1,4142

k cos 0,6 tg 2 63,41,2k sen 1,2 k 1, 342

sen 63,4

i t 1,414cos 5t 45 1, 342cos 10t

= − θ + − θ= − θ + − θ= − θ + − θ= − θ + − θ

θ = θ = θ =θ = θ = θ =θ = θ = θ =θ = θ = θ =

θ = = =θ = = =θ = = =θ = = =

θ = θ = θ =θ = θ = θ =θ = θ = θ =θ = θ = θ =

θ = = =θ = = =θ = = =θ = = =

= − += − += − += − + (((( ))))63,4−−−−

10Ω

2H 30cos(10t)V

i2




7) Para a forma de onda senoidal mostrada na figura que segue determine: a) o período T; b) a freqüência f; c) a freqüência ω; d) a fase Ф; e) a amplitude máxima A sendo (((( )))) (((( ))))f t Asen t= ω + φ= ω + φ= ω + φ= ω + φ Solução:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

3

3

f t Asen t

f 0 5 5 Asen

f 1, 2 0 0 = Asen 1,2 10

A 8 do gráfico5sen8

38,68 0,675 rad1,2 10 0,675 0562,5 rad / s

2 1a) T 11,17ms fT

b) f 89,52Hzc) 2 89,52 562,5 r

−−−−

−−−−

= ω + φ= ω + φ= ω + φ= ω + φ

= − − = φ= − − = φ= − − = φ= − − = φ

= ω× × + φ= ω× × + φ= ω× × + φ= ω× × + φ

====

φ = −φ = −φ = −φ = −

φ = − = −φ = − = −φ = − = −φ = − = −ω× × − =ω× × − =ω× × − =ω× × − =ω =ω =ω =ω =

ππππ= = → == = → == = → == = → =ωωωω

====ω = π× =ω = π× =ω = π× =ω = π× = ad / s

d) 38,68e) A 8

φ = −φ = −φ = −φ = −====

1,2

-5

f(t)

t(ms)

-8




8) Uma senóide de 100Hz tem um valor máximo positivo de 50V em t = 0,1234s. Expresse a senóide na forma A cos(ωt) + B sen(ωt).

Solução:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

mv t v sen t

v t 50sen 2 100 0,1234

= ω + φ= ω + φ= ω + φ= ω + φ

= π× × + φ= π× × + φ= π× × + φ= π× × + φ

A senóide é máxima quando 2 100 0,12342πππππ× × + φ =π× × + φ =π× × + φ =π× × + φ =

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

77,5345 75,96 rad 0,56177 rad s2

v t 50sen 200 t 0,5618

v t 50sen 200 t cos 0,5618 50cos 200 t sen 0,5618

v t 45,32sen 200 t 26,63cos 200 t

ππππφ = − = − = −φ = − = − = −φ = − = − = −φ = − = − = −

= π −= π −= π −= π −

= π − π= π − π= π − π= π − π

= π − π= π − π= π − π= π − π

.

9) No circuito que segue (((( ))))sv 20cos 500t 100= += += += + e (((( ))))Rv k cos 500t 45 V= += += += + . Se L = 80mH

encontre R, K, i(t) e vL(t).

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

ki t cos 500t 45R

di20cos 500t 100 k cos 500t 45 0,08dt

500k20cos 500t cos 100 20sen 500t sen 100 k cos 500t 45 0,08 sen 500t 45R

= += += += +

+ = + ++ = + ++ = + ++ = + +

− = + + − +− = + + − +− = + + − +− = + + − +

R

80mH vL

+

-

vR + -

i(t)

vs=20cos(500t + 100°)




(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))3,472cos 500t 19,696sen 500t k cos 500t cos 45 ksen 500t sen 45

40k 40ksen 500t cos 45 cos 500t sen 45R R

k 2 40k 2 k 2 40k 23,472 19,6962 R 2 2 R 2

3,472 2 40k 19,696 2 40k 40k k k 1R R R2 2

40k 1R

− − = − −− − = − −− − = − −− − = − −

−−−−

− = − − = − −− = − − = − −− = − − = − −− = − − = − −

− × − ×− × − ×− × − ×− × − × = − = − − = − += − = − − = − += − = − − = − += − = − − = − + ++++

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

4,91

4,91k401R

4,91 4027,854 140 R1R

4,9127,854 R 40R 40

27,854 R 40 4,91R 196,4

1114,16 196,4 27,854 4,91 R917,76 R 28,0132,764

4,91k 11,456401

28,0111,456i t cos 500t28,01

= −= −= −= −

−−−−==== −−−−

− = +− = +− = +− = + −−−−

− = +− = +− = +− = +−−−−

− − = +− − = +− − = +− − = +

− = +− = +− = +− = +

= = Ω= = Ω= = Ω= = Ω

−−−−= == == == = −−−−

= += += += +(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

L

L

L

45

i t 0,410cos 500t 45

dv t 0,08 0,410cos 500t 45dt

v t 16,4sen 500t 45 V

v t 16,4cos 500t 135 V

= += += += +

= += += += +

= − += − += − += − +

= += += += +




10) Use repetidas transformações de fontes sobre o circuito abaixo e obtenha i(t).

(((( ))))

(((( ))))

1m2 2 2

1

2 2 2

v Li t cos t tgRR L

90 400 0,2i t cos 400t tg6060 400 0, 2

−−−−

−−−−

ωωωω = ω −= ω −= ω −= ω − + ω+ω+ω+ω ×××× = −= −= −= − ++++

30Ω

10Ω 20Ω

0,2H

2cos(400t) A 5cos(400t) A

i(t)

40cos(400t) V 50cos(400t) V

20Ω 30Ω 0,2H 10Ω

i(t)

90cos(400t) V

60Ω

0,2H

i(t)




(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

190i t cos 400t tg 1,33600 6400

i t 0,9cos 400t 53,1

−−−− = −= −= −= − ++++ = −= −= −= −

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RESPOSTA À EXCITAÇÃO SENOIDAL PARA CIRCUI- …jorgef/disciplinas/circuitos_1/diversos/... · prof. silvio lobo rodrigues resposta À excitaÇÃo senoidal para circui-tos rl, rc