Ressonncia e Caos num circuito RLC em srieEsta experincia na realidade uma continuao do estudo do comportamento de circuitos simples em corrente alternada, iniciado na experincia anterior. Circuitos contendo resistores, capacitores e indutores so muito utilizados no processamento de sinais eltricos, ou seja, correntes e tenses. Arranjos desses elementos de circuito podem ser usados para mudar a forma de um sinal eltrico, para eliminar ou acentuar sinais de determinadas freqncias, para remover componentes em corrente contnua e assim por diante. Algumas dessas aplicaes foram abordadas nas experincias anteriores. Nesta experincia vamos estudar o circuito que composto de um resistor , um capacitor e um indutor em srie, conectados a um gerador de tenso alternada. Uma tima abordagem desse circuito, nessas condies, realizada nas anotaes de aula do curso FAP-212, aulas 4 e 5, dos autores M. J. Bechara, J. L. M. Duarte, M.R. Robilotta e S. S. Vasconcelos e no livro Curso de Fsica Bsica, vol 3, captulo xx, H. M. Nussenzweig. Alm dessa referncia, uma outra boa discusso da soluo da equao diferencial para o circuito RLC, apresentada no captulo 2 de Mecnica de K. R. Symon. Embora nessa referncia a discusso seja feita para o sistema do oscilador harmnico amortecido e forado, a equao diferencial para esse sistema exatamente a mesma que a do circuito RLC, srie, alimentado por um gerador de tenso alternada. O assunto abordado tambm no captulo 39 de Fsica 4, D. Halliday e R. Resnick e no captulo 28 de Fsica Eletricidade e Magnetismo, Vol. 3 de P. A. Tipler. A primeira parte consiste no estudo do fenmeno da ressonncia nesse tipo de circuito e , com pequenas variaes, basicamente a experincia proposta pelo professor J.H. Vuolo, em sua apostila. A segunda parte, que o estudo das condies sob as quais o comportamento desse circuito se encaminha para o caos foi inspirada no projeto Comportamento catico de circuitos apresentado pela classe do curso noturno do professor Wayne A. Seale, no semestre passado. O circuito que vai ser estudado nesta experincia no exatamente o mesmo do projeto acima, por isso o termo inspirada, mas a proposta, extremamente interessante a atual, dos alunos, que demonstraram tambm a viabilidade de sua realizao em sala de aula. O relatrio do projeto nos foi de grande valia. Aos autores, os nossos agradecimentos. O resumo

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terico baseado no livro Caos Uma Introduo dos professores Nelson Fiedler-Ferrara e Carmen P. Cintra do Prado. A experincia est programada para ser realizada em trs aulas, sendo uma para o estudo da ressonncia no circuito RLC e duas para o estudo do comportamento catico nesse tipo de circuito.

Circuito RLC srieVamos considerar um circuito com um indutor puro e um capacitor puro ligados em srie, em que o capacitor est carregado no instante t=0. Como inicialmente o capacitor est com a carga mxima, a corrente ser igual a zero; medida que o capacitor se descarrega a corrente vai aumentando, at o capacitor se descarregar completamente e a corrente atingir seu valor mximo. Quando a carga mxima e a corrente igual a zero, toda a energia estar armazenada no campo eltrico do capacitor. Quando a carga nula e a corrente mxima toda a energia estar armazenada no campo magntico do indutor. Como o circuito ideal, ou seja, capacitor e indutor ideais e resistncia nula, a carga e a corrente vo oscilar indefinidamente, e, como no h resistncia, no h dissipao de energia. Portanto, ele um sistema conservativo: a energia que ele continha inicialmente, associada carga do capacitor, mantmse sempre no sistema. A anlise algbrica desse comportamento est na aula 3 das anotaes de aula do curso de FAP 212, assim como nas demais referncias sugeridas no incio desta apostila. importante lembrar aqui que, quando qualquer sistema (mecnico, eltrico, acstico, nuclear, etc) capaz de oscilar, for excitado (retirado de sua condio de equilbrio) esse sistema vai oscilar sozinho em uma freqncia particular, (pode tambm ser mais de uma), que se chama freqncia natural do sistema. Ao se introduzir uma resistncia eltrica no circuito LC ideal, a cada oscilao, parte da energia perdida na resistncia, de tal forma, que o sistema (carga, corrente e tenses) continua oscilando, mas as amplitudes, ou valores de pico, tanto da carga, quanto da corrente, ou tenses, vo diminuindo, at se anularem. Tal sistema dito amortecido. Quando existe2

um amortecimento a freqncia com que o sistema vai oscilar at parar, menor que sua freqncia natural de oscilao. Quo menor vai depender basicamente da intensidade do amortecimento. Uma maneira de se manter as oscilaes num sistema amortecido fornecer energia periodicamente atravs de um gerador, que vai executar um trabalho positivo sobre o sistema. A aplicao de uma tenso externa alternada vai produzir nesse sistema uma oscilao forada. O importante que o sistema vai oscilar (carga, corrente e tenses) na mesma freqncia com que o gerador fornece energia, mas, em geral, com pequena amplitude. Se a amplitude de oscilao (seja da carga, qP, corrente, iP, tenso no capacitor, VCP, ou tenso no indutor, VLP, onde o ndice P quer dizer de pico) for pequena, isso significa que pouca energia est sendo transferida do gerador para o circuito RLC. Na verdade, as oscilaes num sistema RLC forado (o mesmo vale para qualquer sistema que oscile) sero de pequena amplitude sempre que a freqncia de oscilao do gerador for diferente da freqncia natural do sistema. Se o gerador permitir a variao contnua da freqncia, pode-se notar que, medida que a freqncia do gerador se aproxima da freqncia natural do sistema, a amplitude de oscilao (seja da carga, qP, corrente, iP, VLP ou VCP) aumenta dramaticamente. Quando a freqncia do gerador for idntica freqncia natural do sistema, a amplitude de oscilao atinge o valor mximo e essa condio conhecida como ressonncia. E a freqncia natural do sistema tambm conhecida como freqncia de ressonncia. A condio de ressonncia a condio em que a energia mais eficientemente transferida do gerador para o sistema ou para o circuito RLC, no caso. Isso quer dizer que, na ressonncia, a maior parte da energia disponvel em cada ciclo vai ser armazenada ora no campo eltrico do capacitor (como carga), ora no campo magntico do indutor (como corrente), pouca ou nenhuma energia ser devolvida ao gerador, embora uma parte seja sempre perdida na resistncia. Quanto menor a resistncia do circuito, maior ser a amplitude de oscilao (seja da carga, qP, ou da corrente, iP, ou de VLP ou de VCP ) na ressonncia, alm disso, mais rapidamente essa amplitude aumenta ou cai, quando se varia a freqncia do gerador em torno da freqncia de ressonncia. O objetivo desta experincia estudar o fenmeno da ressonncia de um circuito RLC srie. No somente a ressonncia de fundamental importncia na compreenso de um grande nmero de fenmenos mecnicos, eletromagnticos, acsticos, atmicos, nucleares e outros, o que por si s j justificaria esse estudo, mas tambm, esse circuito, nessas condies, tem muitas aplicaes prticas de grande interesse. Para tanto, vamos criar as condies de ressonncia para esse circuito e verificar se seu3

comportamento experimental est de acordo com o comportamento previsto teoricamente. Para quantificar esse comportamento, vamos aplicar a lei das malhas de Kirchhoff para o circuito RLC srie que vamos estudar. O circuito que vai ser estudado o da figura 2.1 a seguir:

Figura 2.1: Circuito RLC-srie

Temos, portanto: VL(t) + VR(t) + VC(t) = VG(t) mas, sabemos que: VL(t) = L di(t)/dt = L d2q(t)/dt2 VR(t) = Ri(t) = R dq(t)/dt VC(t) = q(t)/C (2.2) (2.1)

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A soluo q(t) dessa equao diferencial dada por uma soluo particular dessa equao, somada soluo geral da equao homognea correspondente: d2q(t)/dt2 + (R/L) dq(t)/dt + (1/LC) q(t) = 0 (2.3)

A soluo da equao acima descreve o comportamento transitrio do circuito RLC srie. o comportamento que surge quando o circuito perturbado ou modificado, por exemplo, quando o gerador ligado ou desligado. Esse comportamento o do oscilador amortecido e, como j foi discutido, desaparece depois de algum tempo. A soluo particular da equao 2.1 descreve o comportamento em regime estacionrio do circuito, ou seja, depois que o transitrio desaparece. Essa deduo no vai ser feita em detalhe aqui, mas pode ser encontrada no captulo 2 de Mecnica de K. R. Symon e nas notas de aula do curso FAP 212, aulas 4 e 5. Considerando que uma tenso alternada do tipo V(t) = VP cos ( t) foi aplicada ao circuito pelo gerador, a corrente ser: i(t) = iP cos ( t - 0) A soluo q(t) da forma: q(t) = qP sen ( t - 0) (2.5) (2.4)

onde qP a amplitude de pico da carga, iP a amplitude de pico da corrente, = 2f a freqncia angular e 0 a diferena de fase entre a corrente no circuito e a tenso do gerador. A impedncia complexa da associao a soma das impedncias complexas de cada elemento, j que o circuito em srie: Z = Z0 ej 0 = R + j L + 1/(j C) (2.6)

Z0 a parte real da impedncia e igual raiz quadrada do produto da impedncia complexa Z pelo seu complexo conjugado Z*. Fazendo esse clculo obtm-se: Z0 = [R2 + ( L - 1/( C))2] (2.7)

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Lembrando que a razo entre a tenso complexa da associao RLCsrie e a corrente complexa que a percorre a impedncia complexa da associao, a amplitude de pico, ou mxima, da corrente real vai ser: iP = VP/Z0 = VP/[R2 + ( L - 1/( C))2] (2.8)

a defasagem 0 est relacionada razo entre a parte imaginria e a parte real da impedncia complexa Z: tg0

= X/R = [ L 1/( C)]/R

(2.9)

estudando as equaes acima, v-se que, quando: L = 1/( C) ou 0 = 1/LC (2.10)

que quer dizer que, se a freqncia 0 da tenso fornecida pelo gerador tal que a reatncia indutiva igual reatncia capacitiva, em mdulo (a defasagem entre elas 1800), o denominador da equao 2.8 mnimo e igual a R. Se o denominador mnimo, a amplitude da corrente iP mxima, que justamente a condio de ressonncia para a corrente. E, como foi discutido, a freqncia para a qual esse fenmeno ocorre a freqncia natural de oscilao desse circuito, 0, ou freqncia de ressonncia da corrente. Ainda, na condio de ressonncia: Z0 = R e V P = R iP (2.11)

alm disso, na ressonncia, a tangente de 0 nula , ento, 0 igual a zero, o que significa que no h defasagem entre a tenso da associao e a corrente que a percorre, o que tpico de um circuito cuja impedncia puramente resistiva. Ou seja, na ressonncia, a impedncia de um circuito RLC puramente resistiva. A potncia mdia absorvida pelo circuito RLC, como foi visto na apostila da experincia 1, pode ser escrita como: P = (1/2) VP iP cos0

e

VP = Z0 iP

(2.12)

ento, a potncia absorvida pelo circuito, que a potncia dissipada pela resistncia presente no circuito, ser mxima quando a corrente tambm for. Na condio de ressonncia, 0 = 0 e Z0 = R, portanto, a potncia mdia mxima vai ser:

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P = VP2/2R

(2.13)

e ela ocorre para a mesma freqncia em que ocorre a ressonncia para a corrente. Por isso a ressonncia de corrente tambm chamada de ressonncia de energia. Na figura 2.2, a seguir, apresentado um grfico da variao da corrente de pico, iP, na associao, em funo da freqncia angular . Ele ilustra exatamente o comportamento que foi estudado.

Figura 2.2: Comportamento da amplitude de pico da corrente em funo da freqncia angular.

Como foi visto, na equao 2.5, a carga no capacitor tambm varia harmonicamente no tempo e como q(t) a integral da corrente: q(t) = i (t) dt = (iP/ ) sen ( t - 0) portanto, substituindo a expresso para iP: qP = iP/ = VP/ [R2 + ( L - 1/( C))2] (2.15) (2.14)

esse denominador tambm uma funo de que tem um mnimo, que pode ser obtido sem dificuldade (essa deduo deve constar do relatrio desta experincia). Esse mnimo ocorre para uma freqncia 1 igual a:7

1 = 02 (R2/2L2)

(2.16)

Se o denominador tem um mnimo, a amplitude de pico da carga tem um mximo nessa freqncia e essa a chamada ressonncia de amplitude. Como se v, ela ocorre numa freqncia, 1, um pouco menor que a freqncia de ressonncia de energia. Nas anotaes de aula de FAP 212, aula 5 h um estudo detalhado sobre a ressonncia de amplitude. A figura 2.3 mostra o comportamento da amplitude de pico (ou mxima) da carga em funo da freqncia angular. Notar que para = 0 a carga no zero, porque a tenso seria constante e igual a V0 e, portanto, a carga CV0 .

Figura 2.3: Ressonncia de amplitude: comportamento da amplitude da carga em funo da freqncia angular H um outro parmetro importante usado tambm para caracterizar circuitos ressonantes: o fator de qualidade, Q, do circuito. Esse fator definido como a razo entre a energia armazenada no circuito e a energia perdida por ciclo pelo circuito, na ressonncia: Q = 2 [energia armazenada,U0/energia perdida por ciclo, U]na ressonncia (2.17)

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A energia armazenada no circuito est armazenada no campo eltrico do capacitor e no campo magntico do indutor. Entretanto, no instante em que a carga se anula toda a energia estar armazenada no campo magntico do indutor, depois, quando a corrente vai a zero toda a energia estar armazenada no campo eltrico do capacitor, portanto, o numerador da equao 2.17 acima, : U0 = (1/2) L iP2 = (1/2) qP2/C (2.18)

onde, tanto iP como qP so as amplitudes de pico assumidas pela corrente e pela carga, respectivamente, na condio de ressonncia. A energia perdida por ciclo de oscilao o produto da potncia mdia dissipada, pelo perodo de oscilao, na condio de ressonncia. (Lembrar que potncia o que se gasta ou se fornece de energia por intervalo de tempo). Portanto, o denominador da equao 2.17 : U = P T = 2 P/ 0 = (2/ 0) (1/2) R iP2 (2.19)

Substituindo as expresses 2.19 e 2.18 na expresso 2.17 que define o fator de qualidade, Q: Q = 2 (U0/U) = 0L/R (2.20)

como 0 = 1/LC, v-se que o fator de qualidade depende exclusivamente dos valores nominais dos elementos do circuito. A figura 2.4, adiante, mostra como varia a potncia em funo da freqncia angular da tenso fornecida pelo gerador para dois valores diferentes do fator de qualidade. A largura meia altura, , dessa curva igual a: = a - b = R/L (2.21)

A deduo dessa relao deve constar do relatrio desta experincia. Comparando a expresso acima com a expresso 2.20 para o fator de qualidade obtm-se: Q = 0/ (2.22)

o que permite obter um valor experimental para o fator de qualidade diretamente do grfico de potncia, por freqncia angular.

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Tambm, demonstra-se facilmente que, na ressonncia, a tenso de pico sobre o capacitor, igual tenso de pico sobre o indutor e ambas so iguais ao produto do fator de qualidade pelo valor de pico da tenso aplicada associao (ou tenso do gerador): VLP = VCP = Q VP (2.23)

como o fator de qualidade, dependendo do circuito, pode ser bem maior que 1, a equao acima indica que num circuito RLC, em ressonncia, podem ocorrer tenses bastante altas, bem maiores que a tenso fornecida pelo gerador, por isso esse tipo de circuito exige ateno extra em seu manuseio. V-se (na equao 2.22) que, quanto mais estreita ( pequeno) for a curva de potncia em funo da freqncia angular da tenso fornecida, maior ser o fator de qualidade desse circuito. Para um determinado circuito com L e C fixos, e, portanto, 0 fixo, o fator de qualidade tanto maior quanto menor for a resistncia do circuito e isso implica em que tanto maior ser, tambm, a amplitude ou valor de pico da corrente que passa pelo circuito. Resumindo, quanto maior for o fator de qualidade de um circuito, tanto mais estreita e alta ser a curva que descreve a ressonncia para esse circuito, seja ela a corrente , a carga ou a potncia em funo da freqncia angular. O nome fator de qualidade para a quantidade Q foi dado porque, na poca, justamente havia o interesse em aplicaes prticas de sistemas ressonantes em que era importante que a curva de ressonncia fosse bastante aguda. O comportamento da potncia mdia num circuito RLCsrie para diferentes valores do fator de qualidade, pode ser observado na figura 2.4, a seguir. Uma das muitas aplicaes prticas de um circuito ressonante de alto fator de qualidade so sistemas receptores de sinais eletromagnticos, como rdios e televises. Outro exemplo o ressoador tico que discutido na seo 12.2.1 da apostila de CFE (parte 2).

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Figura 2.4: Curvas de ressonncia de energia para um circuito RLC-srie com fatores de qualidade diferentes. Muitas vezes, porm, a ressonncia uma inconvenincia e, em tais casos, procura-se construir um circuito em que o fator de qualidade seja o mais baixo possvel. Uma infinidade de sistemas mecnicos, acsticos, eletromagnticos, etc, devem ter essa caracterstica, como edifcios altos, pontes, edificaes sobre linhas de metr ou prximas de linhas de trem ou de aeroportos, sinos, gongos, cones de alto falante... A lista de aplicaes de circuitos com alto ou baixo fator de qualidade , praticamente, sem fim.

Procedimento para o Estudo da Ressonncia com Circuito RLC11

A primeira parte da experincia consiste em montar um circuito RLC em srie, conectado a um gerador de udio freqncia e levantar as curvas de ressonncia de energia (amplitude de pico da corrente, iP e da potncia em funo da freqncia angular). Como nenhum dos elementos de circuito utilizados ideal, necessrio construir modelos de funcionamento desses elementos para as condies experimentais em que se pretende fazer medies. Um aspecto de extrema importncia a ser levado em conta neste momento que, nas previses tericas para o funcionamento do circuito RLC forado, foi considerado que TODA a resistncia eltrica contida no circuito deve ser igual a R, j que nenhuma outra resistncia foi explicitamente considerada. De acordo com o que foi visto na experincia anterior, nas freqncias e tenses de pico que vo ser utilizadas ( o mesmo gerador e mais ou menos o mesmo intervalo de freqncia em que se trabalhou na experincia anterior), o capacitor, C, pode ser considerado como um capacitor ideal, o resistor R0 tambm pode ser considerado como um resistor hmico puro e de resistncia conhecida, mas, a bobina, B, tem que ser modelada por um resistor hmico, RB, em srie com uma indutncia pura, L. Alm disso, foi mencionado na experincia anterior que o gerador tem duas sadas de impedncias diferentes. Isso significa que o gerador no pode ser considerado um gerador ideal. O que se faz, sempre que um modelo proposto, tentar o modelo mais simples que leve em conta as caractersticas principais do aparelho em questo e ver se funciona. Se esse modelo no explicar os resultados experimentais, ento se elabora outro mais sofisticado. Vamos, ento, propor um modelo que considera o gerador a ser utilizado como um gerador de fora eletromotriz ideal em srie com uma resistncia hmica, RG. O circuito real que vai ser montado , portanto, o da figura 2.5 a seguir:

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Figura 2.5: Montagem para o estudo da ressonncia num circuito RLC-srie. Temos, portanto, uma indutncia L, uma capacitncia, C, e uma resistncia R igual a: R = R0 + RB + RG (2.24)

Nesse circuito, a resistncia R0 tem o valor conhecido e pode ser aferida com um ohmmetro; a resistncia da bobina, RB, pode ser medida com o mtodo descrito na experincia 1, mas se a medida de RB, que foi feita na experincia 1 estava de acordo, dentro dos erros experimentais, com o valor nominal (que vem escrito na bobina), pode-se utilizar esse valor sem necessidade de medir novamente; a resistncia interna do gerador, RG, desconhecida, mas, sabemos, novamente da experincia anterior, que a sada dianteira do gerador tem uma resistncia bem mais alta que a sada traseira. Estamos interessados em observar a curva de ressonncia desse circuito, portanto, queremos um fator de qualidade alto,

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para facilitar essa observao. Isso significa que a resistncia total do circuito deve ser razoavelmente pequena e, assim sendo, vamos usar a sada traseira do gerador. Entretanto, ainda no temos o valor de R porque no sabemos o valor da resistncia interna do gerador, RG. H, porm, uma maneira de saber o valor de R sem precisar saber o valor de RG. A amplitude (ou valor de pico) da corrente que passa pelo circuito pode ser obtida medindo-se a amplitude (ou valor de pico) da tenso sobre a resistncia conhecida R0: iP = VR0P/R0 (2.25)

mas, na condio de ressonncia, a amplitude (ou valor de pico) da corrente no circuito , de acordo com a expresso 2.11: iP = VP/Z0 = VP/R = VR0P/R0 (2.26)

ou seja, podemos obter o valor da resistncia total do circuito, R, medindo a corrente no circuito na condio de ressonncia: R = (VP R0)/VR0P (2.27)

interessante a partir dos valores obtidos para a resistncia total, R, da resistncia conhecida R0 e da resistncia da bobina RB, calcular o valor da resistncia interna do gerador, RG, para a sada traseira (ou de baixa impedncia). Esse valor pode vir a ser til no planejamento de outras experincias. Faa uma comparao do valor que obteve com os valores obtidos pelos demais colegas que utilizaram um gerador da mesma marca e com as mesmas caractersticas. O valor da resistncia total, R, assim obtido, o valor do parmetro R em todas as dedues feitas na seo anterior. Portanto, o valor que deve ser usado na hora de fazer as previses tericas.

Observao Importante

1: Num circuito RLC em

ressonncia podem surgir tenses relativamente altas, muito maiores que a do gerador. Isso pode ser comprovado pela equao 2.22. Portanto, um circuito desse tipo deve ser manuseado com os devidos cuidados para evitar choque eltrico e as escalas dos instrumentos devem ser suficientemente altas.14

Para se obter o valor da resistncia total do circuito, R, precisa-se do valor da amplitude de pico da tenso do gerador, VP, na condio de ressonncia. O valor da amplitude de pico da tenso do gerador medido no circuito, em qualquer condio, no VP, mas VGP, porque ele inclui a tenso que recai sobre a resistncia do prprio gerador. Portanto, o que de fato colocado no circuito VP, menos a perda em RG, que o produto de RG pela corrente que passa pelo circuito: VGP = VP iP RG (2.28)

Ento, para se obter o valor de R, teramos que usar o valor da tenso que o gerador proporciona sem as perdas dentro do prprio circuito do gerador, esse o valor VP que entra nas equaes 2.26 e 2.27 (porque nossa hiptese inicial foi que toda a resistncia do circuito estaria includa em R e o gerador seria ideal). Isso, de fato, no pode ser medido porque no se pode separar fisicamente, num gerador, a resistncia interna, do gerador efetivo de fora eletromotriz. Mas, pode-se obter um valor para a amplitude de pico da tenso sem perdas (na resistncia interna RG), VP, com boa aproximao, medindo VGP com o gerador em aberto, isto , desligado do circuito e ligado somente ao medidor de voltagem. Como essa medida vai ser feita com o osciloscpio que tem uma resistncia interna muito alta comparada com a resistncia interna do gerador, a medida em aberto no de fato em aberto, mas, devido alta resistncia interna do osciloscpio, uma medida feita com uma corrente to pequena que o termo iPRG se torna desprezvel quando comparado a VP, de tal maneira que: VGP VP (2.29)

com esse valor da amplitude de pico da tenso no gerador, obtm-se uma medida da resistncia total, R, do circuito, com boa aproximao. Esse valor de R , praticamente, o que vai determinar o parmetro de qualidade, Q, do circuito que vai ser utilizado, porque no h muita escolha de capacitor e indutor no laboratrio. Ento, comear com um valor de resistncia total, R, o menor possvel, para obter um fator de qualidade alto para que as curvas que descrevem a ressonncia sejam bem pronunciadas. Uma vez que tenha os valores nominais dos elementos de circuito que vo ser utilizados, fazer uma simulao, com o aplicativo EWB, do funcionamento desse circuito. A maneira de fazer basicamente a mesma que foi utilizada para simular o funcionamento do filtro de freqncias estudado na Experincia 1, utilizando a opo bode plotter do programa. S que a opo bode plotter faz um grfico que sempre a15

tenso de interesse dividida pela tenso de entrada (ou tenso fornecida pelo gerador). Assim, se quiser simular a ressonncia de energia, a tenso de interesse ser a tenso sobre o resistor R0, e, o grfico fornecido pelo programa ser essa tenso dividida pela tenso do gerador, que , a menos de constantes de proporcionalidade, a curva de ressonncia de energia, iP em funo de . No caso da ressonncia de amplitude, a tenso de interesse ser a tenso medida sobre o capacitor e a resposta do programa anloga anterior s que para a ressonncia de amplitude. Resumindo, o EWB calcula as curvas de ressonncia sempre normalizadas pela tenso do gerador ou tenso de entrada. Uma vez montado o circuito da figura 2.5, com o gerador ligado ao circuito pela sada traseira, medir , em funo da freqncia, os valores de pico da tenso no resistor R0, VR0P (para se obter a amplitude de pico da corrente que passa pelo circuito, iP). O nmero de pontos medidos deve ser suficiente para definir bem a curva na regio da ressonncia, para garantir uma determinao experimental da freqncia de ressonncia com erro pequeno, e, permitir tambm, a extrapolao de seu comportamento assinttico. Construir, o grfico da curva experimental de iP em funo da freqncia angular, . Nesse mesmo grfico, superpor a curva terica. Comparar os comportamentos observados para essas curvas. No esquecer das barras de erro. Da curva experimental do grfico acima obter o valor experimental de 0 e comparar com os valores previstos teoricamente a partir dos valores nominais. Construir o grfico da potncia mdia fornecida ao circuito em funo da freqncia angular. Superpor a curva terica. Comparar. Calcular o valor do fator de qualidade, Q, a partir da curva experimental acima, da potncia mdia em funo da freqncia angular (equao 2.22), e, tambm, a partir dos valores nominais de L, C e R (equao 2.20). Calcular esse mesmo fator de qualidade atravs da medida da tenso no capacitor e no indutor, na ressonncia (equao 2.23). Comparar os trs resultados e comentar.

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Caos no circuito RLCO que se entende por comportamento catico. Existem sistemas cujo comportamento encontra-se a meio caminho entre o comportamento regular rgido e o comportamento totalmente aleatrio. Esses sistemas so chamados de sistemas caticos ou simplesmente caos. E o caos est em todo lugar nossa volta e dentro de ns. At muito recentemente nosso entendimento de movimentos fsicos e de sistemas dinmicos se limitavam ou a descries puramente peridicas ou descries probabilsticas do tipo jogo de dados. Ou seja, sempre que era observada irregularidade em qualquer fenmeno, ns nos voltvamos para conceitos de aleatoriedade e desordem e a vasta e trabalhosa maquinaria da probabilidade e da estatstica era colocada em ao para fornecer as explicaes. O que caos? Como muitos termos em cincia no h uma definio nica para caos. Vamos ver quais so suas principais caractersticas: No linearidade. Se o comportamento de um sistema for linear, esse sistema no pode ser catico. Determinismo. Existem regras subjacentes determinsticas (e no probabilsticas) que todo estado futuro do sistema deve obedecer. Sensibilidade a condies iniciais. Pequenas alteraes nas condies iniciais podem levar a comportamentos radicalmente diferentes do sistema em seu estado final. o chamado efeito borboleta, uma perturbao de um bater de asas de uma borboleta na Tailndia poderia modificar o tempo no Brasil, algum tempo depois. Manuteno da irregularidade no comportamento do sistema. H uma ordem oculta que inclui um nmero grande ou mesmo infinito de movimentos ou configuraes peridicas e instveis ocultas na infra estrutura de sistemas caticos. Resumindo h uma ordem na desordem. Previso a longo prazo impossvel. Em decorrncia da sensibilidade s condies iniciais, a previso (mas no o controle) do comportamento de17

sistemas caticos a longo prazo impossvel, porque as condies iniciais so conhecidas com grau de preciso finito.

Sistemas CaticosUm exemplo simples de sistema catico o gerador de nmeros pseudo-aleatrios usado em computao. A regra subjacente nesse caso uma frmula determinstica: xn+1 = cxn mod m (2.30)

onde mod m uma funo que indica que xn+1 o resto da diviso de xn por m (m um nmero primo alto qualquer) e c uma constante de normalizao. As solues resultantes so muito irregulares e imprevisveis, mas se se observar com cuidado descobre-se que esse tipo de gerador tambm peridico, com certos perodos. Nota-se, ainda, que uma pequena mudana nas condies iniciais (alterao da semente) pode levar a uma seqncia completamente diferente de nmeros aleatrios. O sistema descrito acima um sistema catico artificial, mas a natureza tambm tem inmeros exemplos de sistemas caticos, parece mesmo que a irregularidade ou o caos uma caracterstica desejvel e muito explorada pela natureza. Por exemplo, a atividade normal do crebro humano catica e h indcios de que certas doenas como, por exemplo, a epilepsia so decorrentes de uma ordem patolgica nessa atividade. Cogitase hoje, que os sistemas biolgicos exploram o caos para guardar, codificar e decodificar a informao. Historicamente o estudo do caos comeou na fsica e na matemtica. Depois se expandiu para engenharia e, mais recentemente, para a informtica e cincias sociais. Nos ltimos cinco anos, tem havido um crescente interesse em aplicaes comerciais e industriais. Embora a histria de sistemas caticos no seja nova, foi a revoluo nos computadores que permitiu as recentes aplicaes prticas dessa teoria.

Tabela 1. Principais desenvolvimentos histricos no estudo do caos.18

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Rei Oscar II da Sucia. Anunciou a concesso de um prmio para a primeira pessoa que resolvesse o problema de n corpos para determinar as rbitas de n objetos celestiais e assim provar a estabilidade do sistema solar. Esse problema ainda no foi resolvido. Henri Poincar. Ganhou o primeiro prmio no desafio lanado pelo rei Oscar II, porque foi quem chegou mais prximo da soluo desse problema. Descobriu que a rbita de trs ou mais objetos celestiais interagentes pode exibir um comportamento instvel e imprevisvel. Assim nasceu o caos embora quela altura no tivesse recebido esse nome. Edward Lorenz. Construiu um modelo de brinquedo para o clima que apresentou o primeiro atrator catico. Tien-Yien Li e James A. Yorke. Na publicao Period Three Implies Chaos introduziram o termo Teoria do Caos. Robert M. May. Aplicou a equao logstica ecologia mostrando o comportamento catico do desenvolvimento de uma populao. Mitchell Feigenbaum. Descobriu um nmero universal associado maneira pela qual os sistemas se aproximam do caos. Benoit Mandelbrot. Introduziu a geometria de fractais com aplicaes na computao grfica e na compresso de imagens. Ed Ott, Celso Grebogi e James Yorke. Incio da teoria de controle do caos. Lou Pecora. Sincronizao de sistemas caticos.

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1963 1975 1976 1978 1980 1990 1990

H vrios tipos de aplicaes potenciais da teoria do caos baseados em aspectos diferentes dos sistemas caticos. Veja nas tabelas 2 e 3 um resumo dessas aplicaes.

Tabela 2. Aplicaes potenciais de tipos de caos.

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Categoria Controle

Aplicaes A primeira aplicao do caos o controle de comportamentos irregulares em dispositivos e sistemas. Veja a lista de aplicaes na tabela 3. Sistemas caticos artificiais poderiam ser usados para o controle da epilepsia, a melhora de sistemas dithering, como por exemplo, giroscpios de ring laser. Ou ainda, para a troca de packets em redes de computadores. As aplicaes potencialmente poderiam garantir comunicaes seguras, a utilizao de banda larga de rdio catica, encriptar informaes. deNeste caso, o estudo do caos permitiria codificar, decodificar e armazenar informao em sistemas caticos, como por exemplo, elementos de memria e circuitos. Melhorar a performance de redes neurais e a utilizao em reconhecimento de padres. Para aplicaes em previso do tempo, contgio de doenas infecciosas, desempenho de modelos econmicos.

Sntese

Sincronizao

Processamento informao

Previses rpidas

Tabela 3. Algumas aplicaes potenciais da teoria do caos para certas reas. Categoria Engenharia Aplicaes Controle de vibraes, estabilizao de circuitos, reaes qumicas, turbinas, redes de potncia, lasers, colches de gua, combusto e outras mais. Troca de packets em redes de computadores. Encriptar informaes. Controle do caos em sistemas robticos. Compresso e armazenamento da informao. Projeto e administrao de redes de computadores. Cardiologia, anlise do ritmo cardaco (EEG), previso e controle de atividade cardaca irregular (defribilador sensvel ao caos)20

Computadores Comunicaes Medicina e biologia

Administrao finanas

ePreviso econmica, reestruturao e anlise financeira, previso de mercados e interveno.

Sistemas eletrnicosMquinas de lavar roupas, mquinas de lavar pratos, aresde consumocondicionados, aquecedores, todo tipo de misturadores de domstico alimento.

Por uma questo de simplicidade, podemos classificar as aplicaes do caos em trs categorias: estabilizao e controle, sntese, sincronizao e anlise.

Estabilizao e controle a extrema sensibilidade de sistemas caticos a pequenas variaes nas suas condies iniciais, pode ser manipulada para control-los ou estabiliz-los. A idia, neste caso, introduzir artificialmente pequenas perturbaes no sistema catico de maneira a mant-lo estvel (estabilizao) ou faz-lo progredir para um estado desejado e a estabilizar-se (controle). Embora ainda em estudo, acredita-se que, intervenes de controle de caos, cuidadosamente escolhidas, possam tornar mais eficientes sistemas como, asas de aeronaves, turbinas, sistemas de distribuio de potncia, reaes qumicas em parques industriais, defribiladores implantveis, marca-passos cerebrais, esteiras de transporte, planejamento econmico e redes de computadores. Sntese de sistemas caticos Sistemas caticos gerados artificialmente poderiam ser empregados para fazer outros sistemas,21

caticos ou no, funcionarem melhor. A idia fundamental neste caso, que a regularidade nem sempre desejvel, depende do tipo de problema que se tem em mos. Por exemplo, ondas cerebrais caticas estimuladas artificialmente podem ajudar a inibir ataques epilpticos. Por outro lado, poder-se-ia gerar uma sada catica para alguns produtos tais como, arescondicionados e ventiladores-aquecedores, de maneira que as mudanas de temperatura fossem mais naturais para o conforto humano. Sincronizao de sistemas caticos - Outra aplicao de interesse a gerao de duas seqncias idnticas de sinais caticos (ou sincronizados) para serem usadas em encryption pela superposio de uma mensagem numa das seqncias. Somente a pessoa que possui a outra a seqncia pode decodificar a mensagem subtraindo a componente catica. Em comunicaes, sinais caticos gerados artificialmente podem seguir uma seqncia prescrita possibilitando a transmisso de informao. Tambm, flutuaes caticas geradas artificialmente podem ser usadas para estimular solues trapped de maneira a que escapem de mnimos locais para agilizar a otimizao de problemas ou para aprendizado, como no caso de redes neurais. Anlise e previso de sistemas caticos Como saber se um sistema catico ou aleatrio? Atravs da deteco e previso de algoritmos para sistemas caticos. tambm importante ter em mente que a impossibilidade de uma previso a longo prazo do comportamento de um sistema catico, no quer dizer que a previso a curto prazo seja impossvel. Ao contrrio do que ocorre com sistemas puramente aleatrios, o comportamento de sistemas caticos pode ser previsto num futuro prximo. Por exemplo, o mercado financeiro pode apresentar comportamento catico. Caso o mercado for, de fato, catico ao invs de aleatrio, h a possibilidade de prever de maneira confivel o comportamento desse mercado no curto prazo. Portanto, a identificao do caos num sistema qualquer pode, potencialmente, ser de grande interesse. Para uma compreenso mais profunda do fenmeno do caos recomendamos o livro Caos Uma Introduo dos professores N. Fiedler-Ferrara e C. P. Cintra do Prado, em que baseamos as discusses que se seguem.

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Algumas Definies NecessriasSistema dinmico qualquer sistema cuja evoluo a partir de uma determinada condio inicial regida por um conjunto de regras. Essas regras podem se resumir a um conjunto de equaes diferenciais, que o caso para sistemas contnuos. Espao de fase o sistema de coordenadas com tantas dimenses quantas forem as variveis independentes necessrias para a formulao matemtica do sistema. Estado uma possvel condio para o sistema, isto , uma configurao de variveis que represente uma condio fisicamente possvel ou aceitvel. Retrato de fase o conjunto de todos os estados possveis do sistema dinmico em questo. Os retratos de fase para sistemas contnuos so trajetrias no espao de fase. No caso de um sistema dinmico contnuo, observa-se que, partindo de um conjunto de condies iniciais e sob a ao do conjunto de equaes diferenciais, comeam a se formar trajetrias no espao de fase e, com o passar do tempo, podem ocorrer trs possibilidades para o retrato de fase: - as trajetrias tendem a se concentrar numa determinada regio do espao de fase e no saem mais de l. - as trajetrias tendem a se afastar uma das outras e vo para o infinito. - as trajetrias ficam passeando por todo o espao de fase. Na natureza, todos os sistemas dinmicos tm seu retrato de fase descrito pela primeira possibilidade, ou seja, as trajetrias tendem a se confinar numa dada regio do espao de fase devido dissipao de energia que ocorre em qualquer sistema fsico real. Parmetros de controle um sistema dinmico que descreve um sistema fsico real depende de um ou mais parmetros chamados de parmetros de controle. Por exemplo, a freqncia natural de oscilao um parmetro de controle de um oscilador harmnico simples. no caso de um circuito RLC forado, tanto a freqncia quanto a amplitude da tenso aplicada so parmetros de controle. Um sistema dinmico pode, portanto, ser pensado como funo do parmetro de controle. De fato, o comportamento dinmico do sistema pode ser bem diferente se o valor de um parmetro de controle for alterado.23

Descrio de um estado de um sistema dinmico os estados de um sistema dinmico so representados por variveis dinmicas dependentes do tempo xi(t), em que i varia de 1 at n e o nmero de variveis dinmicas independentes (e no o nmero de graus de liberdade), e por sua derivada temporal, xi(t), que descreve a velocidade da evoluo temporal da varivel xi(t). Estabilidade e Estabilidade Estrutural existem duas categorias de estabilidade, a estabilidade de uma soluo estacionria e a estabilidade estrutural de um sistema. Se existe um ponto P de equilbrio estvel (tambm chamado de ponto fixo ou ponto estacionrio), diz-se que as variveis associadas a esse ponto so assintoticamente estveis se a resposta do sistema a uma pequena perturbao aproxima-se desse ponto quando o tempo t tende ao infinito. Pontos fixos assintoticamente estveis so tambm chamados de atratores. Com o tempo, se o sistema for dissipativo, como o caso da maioria dos sistemas da natureza, todas as trajetrias tendem a se concentrar numa determinada regio do espao de fase, ou seja, a desembocarem num atrator. Ou, por outra, atratores s so possveis em sistemas dissipativos. Sistemas dinmicos podem ser conservativos: em que o elemento de volume que descreve o sistema no espao de fase permanece invariante ( veja J. B. Marion Classical Dynamics of Particles and Systems, teorema de Liouville). Ou dissipativos, caso em que o volume que descreve o sistema no espao de fase se comprime medida que o sistema evolui. Um ponto de equilbrio chamado estvel se a resposta do sistema a uma pequena perturbao permanece pequena quando o tempo t. Esse ponto, como j dito, chamado de atrator. Um ponto de equilbrio chamado instvel se a perturbao cresce quando t. Esse ponto tambm chamado de repulsor ou fonte. O conceito de estabilidade estrutural no deve ser confundido com o conceito de estabilidade assinttica. Nesse ltimo caso, a estabilidade investigada perturbando-se as condies iniciais. No caso da estabilidade estrutural interessa-nos verificar a estabilidade do sistema quando se perturba a prpria equao diferencial que o descreve. Por exemplo, o oscilador linear sem amortecimento pode ser pensado como o estado crtico do oscilador harmnico amortecido com amortecimento nulo. Se adicionarmos um amortecimento no nulo equao que descreve o24

sistema haver uma mudana qualitativa do seu retrato de fases. Essa mudana um fenmeno de instabilidade envolvendo no somente um nico ponto de equilbrio, mas todo o fluxo de suas trajetrias no espao de fase. No caso desses osciladores, o oscilador sem amortecimento estruturalmente instvel, enquanto que o oscilador amortecido um sistema estruturalmente estvel. Ento, um sistema considerado estruturalmente estvel se, para qualquer perturbao suficientemente pequena das equaes que o descrevem, as trajetrias do espao de fase resultantes so topologicamente equivalentes quelas das equaes sem a perturbao. Em outras palavras, pode-se dizer que estabilidade estrutural significa a propriedade que o sistema apresenta de reter as caractersticas qualitativas de sua dinmica relativamente a pequenas perturbaes ou mudanas envolvidas na sua definio. Bifurcaes a perda de estabilidade estrutural genericamente chamada de bifurcao. Vamos supor que um sistema dinmico tenha um parmetro de controle . Variando-se pode-se variar tanto a posio quanto as caractersticas qualitativas dos pontos de equilbrio estveis do

sistema. Por exemplo, variando-se pode-se eventualmente passar de um ponto de equilbrio instvel para um ponto de equilbrio estvel quando atinge um valor crtico C. Assim, em C, o sistema perde a estabilidade estrutural. Diz-se que ele sofreu uma bifurcao e C o ponto de bifurcao. Na bifurcao o espao de fase muda qualitativamente, novos pontos estacionrios podem aparecer e outros anteriormente estveis podem se tornar instveis e vice-versa. O aparecimento de caos em sistemas dinmicos est sempre ligado ocorrncia de bifurcaes. Chama-se de cenrio uma seqncia de bifurcaes.

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O objetivoO objetivo desta experincia o estudo de uma rota possvel para o caos para o caso de um circuito ressonante simples, que ser discutido a seguir. A observao das rotas para o caos se origina no estudo das equaes diferenciais determinsticas. Ao se abordar a questo dessas rotas para o caos busca-se compreender como um regime peridico pode perder a estabilidade. Alm disso, o processo catico pressupe a existncia de efeitos no lineares que limitam o prprio crescimento da instabilidade.

Equaes dinmicas que descrevem o sistemaSeja o sistema de equaes diferenciais lineares: x = a x + b y = f (x,y) y = c x + d y = g (x,y)

(2.31)

Vamos supor que esse sistema apresenta um ponto de equilbrio para (x ,y ) = (0,0). E seja uma soluo geral do tipo: x(t) = et x0 y(t) = et y0 substituindo as equaes 2.32 em 2.31, obtm-se o sistema: (a - ) x0 + b y0 = 0 c x0 + (d - ) y0 = 0 (2.33) (2.32)

Para que o sistema de equaes 2.33 tenha uma soluo no trivial, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo: det | (a - ) c b (d - ) | =0 (2.34)

portanto: (a - ) (d - ) bc = 0 (2.35)

essa equao apresenta duas razes 1 e 2 e elas determinaro a estabilidade do ponto de equilbrio P = (0,0). 1 e 2, por sua vez, dependem dos coeficientes a, b, c e d. Assim, se os coeficientes a, b, c e26

d so constantes existem trajetrias diferentes possveis, no espao de fase, para o sistema, mas essas trajetrias no levam ao caos.

O circuitoO sistema dinmico a ser estudado ser um circuito simples, de uma malha, composto de um gerador de corrente alternada, um resistor R, um indutor L e um diodo D. Como j discutido, um sistema dinmico essencialmente qualquer sistema que varie com o tempo. As variveis necessrias para descrever seu comportamento so chamadas variveis dinmicas e a evoluo do sistema descreve uma trajetria no espao de fase das variveis dinmicas. Nosso sistema de fato um oscilador forado amortecido com uma resposta no linear. Porque ele amortecido esse sistema dissipativo. O elemento que proporciona a no linearidade do circuito o diodo, isto , ele introduz no sistema o grau de liberdade necessrio para a produo do caos. Veja o circuito na figura 2.6 a seguir.

Figura 2.6: Circuito proposto para o estudo da caracterizao de sistema catico.

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Como j foi estudado no curso de fsica 3, experincia 2: Curvas Caractersticas de Elementos de Circuitos Lineares e NoLineares, a relao entre corrente e tenso no diodo da forma: iD(VD) = iD0[exp(eVD/kT) 1] (2.36)

onde: iD e VD so a corrente e a voltagem do diodo, respectivamente. e a carga do eltron iD0 a amplitude de pico da corrente no diodo k = 1,38 10-23 J/K a constante de Boltzman T a temperatura em Kelvin Entretanto, devido s caractersticas da juno P-N (veja a referncia 1) o diodo apresenta, tambm, uma capacitncia, C, no linear, que pode ser descrita pelas funes: C0exp (eVD/kT) para VD>0 C(VD) = C0 / [1- (eVD/kT)] para VD 0

(2.37)

Esse comportamento pode ser observado na figura 2.7 a seguir.

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Figura 2.7:Capacitncia de um diodo tpico como funo da voltagem no diodo. Portanto, o diodo pode ser modelado como um capacitor (cuja capacitncia depende da voltagem aplicada no diodo), em paralelo com um diodo ideal, como mostrado na poro direita da figura 2.6. Para pequenas amplitudes da tenso do gerador, o diodo no conduz, sua capacitncia permanece praticamente constante e o circuito se comporta como o circuito ressonante passivo RLC, visto na primeira parte desta experincia. O tratamento comum para esse tipo de circuito prev uma freqncia de ressonncia 0 = 1/LC(VD 0) = 1/LC0. Nesse caso, de um circuito RLC forado, as equaes dinmicas que descrevem o sistema so: L d2q/dt2 + R dq/dt + (1/C) q = VP sen t vamos mudar as variveis para: q = i i = VPsen t (R/L) i (1/LC) q (2.39) (2.38)

Entretanto, medida que a amplitude da tenso aplicada aumenta, a constante (R/L) que multiplica o termo em i na equao 2.39, deixa de ser uma constante e passa a ser uma funo de q, em razo da corrente no diodo ter a forma dada pela expresso 2.36. O sistema, ento, no mais linear e pode apresentar comportamento catico dependendo dos valores dos parmetros de controle. Os parmetros de controle desse circuito so a amplitude e a freqncia da tenso aplicada pelo gerador. O efeito do aumento da freqncia da tenso aplicada, que o parmetro que vamos variar neste caso, pode ser visualizado na figura 2.8, a e b. So grficos da tenso no resistor em funo do tempo, para diferentes valores da freqncia da tenso do gerador. Na figura b o perodo da tenso no resistor o dobro do perodo observado na figura a, ou seja, observa-se a duplicao de perodo com o aumento da freqncia da tenso aplicada, que indica que o sistema est numa rota para o caos. Se continuarmos aumentando a freqncia pode ocorrer que esse perodo novamente duplicado e isso pode acontecer algumas vezes antes29

do sistema se tornar catico. Se continuamos a aumentar a freqncia da tenso do gerador, aps o sistema se tornar catico, o sistema pode reverter a um dos comportamentos de duplicao de perodo e, depois, com o aumento da freqncia, continuar duplicando os perodos da tenso no resistor e novamente cair no caos. Ento, existem intervalos de freqncia em que o sistema se torna catico, esses intervalos so chamados de janelas de caos.

Figura 2.8:Verificao da duplicao do perodo da tenso no resistor, com o aumento da freqncia da tenso do gerador As equaes que vo descrever esse circuito, na condio em que o diodo no pode ser modelado por uma capacitncia constante, so: q = i i = VGPsen t f(q) i g(q) q (2.40)

onde as funes f(q) e g(q) levam em conta o comportamento no linear do diodo. Temos um sistema de equaes anlogo ao sistema 2.31, s que os coeficientes do determinante desse sistema no so constantes mas funes de q, de tal maneira que os autovalores, agora, variam com a mudana dos parmetros de controle. Portanto, variando os parmetros de controle, vamos ter trajetrias diferentes e, dependendo das condies iniciais, o sistema pode cair numa rota que leva ao caos. Uma rota pode passar por vrias trajetrias no espao de fase, at levar ao caos.

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Uma das rotas possveis para o caos a rota de duplicao de perodo. Essa rota de duplicao de perodo o cenrio mais conhecido e estudado e que apresenta o maior nmero de evidncias experimentais. A base terica desse cenrio foi estabelecida por Feingenbaum (referncias 2 e 3). Nesse cenrio existe uma seqncia de atratores separados por bifurcaes. Na figura 2.9 a seguir, vemos uma cascata desse tipo, em que x uma observvel do sistema (por exemplo, a amplitude de pico da tenso no diodo), e um parmetro de controle, que, no caso a freqncia aplicada pelo gerador.

Figura 2.9:Cascata de bifurcaes de perodo do cenrio de Feigenbaum. Sistemas com rotas para o caos via cenrio de Feigenbaum mostram uma cascata de bifurcaes com certas propriedades que parecem apresentar um carter universal. Na figura 2.9 esto representadas as primeiras bifurcaes de uma srie infinita com parmetro de controle, , que no nosso caso a freqncia. 1 a freqncia em que ocorre a primeira duplicao, 2 corresponde segunda bifurcao e assim por diante, de maneira que n representa a n-sima bifurcao.

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Verifica-se que os valores de n onde ocorrem bifurcaes obedecem a uma lei de escala: limn ( n - n-1)/( n+1 - n) = (2.41)

isto , a constante d uma medida de quanto a diferena entre os valores do parmetro de controle associados a duas bifurcaes sucessivas reduzida, dando uma idia da velocidade com que o caos atingido. O surpreendente que uma constante universal para sistemas que apresentam cenrios de Feigenbaum para o caos. Essa constante s pode ser obtida numericamente (ou no laboratrio quando se tratar de um experimento e estar afetada da incerteza experimental). Seu valor : = 4,6692016091029909..... (2.42)

A constante , tambm conhecida como nmero de Feigenbaum calculada experimentalmente como: = ( n - n-1)/( n+1 - n) (2.43)

e ser tanto mais prxima do valor (2.42) acima quanto maior for o valor de n. O cenrio de Feigenbaum via duplicao de perodo tem sido observado em vrios experimentos, entre outros, osciladores no-lineares forados.

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ProcedimentoDiagrama de BifurcaoMontar o circuito da figura 2.6. Ligar um canal do osciloscpio nos terminais do diodo e o outro na tenso do gerador. Vamos utilizar a sada traseira, de baixa impedncia do gerador. Inicialmente observar o comportamento do circuito com amplitude de pico da tenso do gerador bem baixa, para ver que o circuito se comporta como um RLC normal (freqncia da ordem de 40kHz). O ideal ir abaixando a amplitude do gerador at ver que a tenso no diodo uma senoide perfeita com a mesma freqncia do gerador. Nesse caso pode-se ter certeza de que o diodo est se comportando como um capacitor puro. Em seguida procure a freqncia de ressonncia desse circuito RLC e anote seu valor. Aumente, ento, a amplitude de pico da tenso do gerador, VGP, para 2 volts e v aumentando a freqncia a partir de 40kHz. Colocar VDP num canal do osciloscpio e VGP no outro canal e observar as sucessivas duplicaes de perodo no modo x-y. Observar a imagem correspondente a cada bifurcao e documentar essas imagens utilizando a cmera CCD. Documente, tambm, as janelas de caos que observar. A seguir, saia do modo x-y, volte freqncia de 40kHz e recomece a aumentar a freqncia novamente. Deve-se observar sucessivas duplicaes de perodo. Fazer uma tabela da amplitude da tenso no diodo, em funo da freqncia do sinal do gerador, desde antes da primeira duplicao de perodo e at onde for possvel observar duplicaes. Anotar as amplitudes de pico da tenso no diodo em passos que julgar convenientes (anotar as amplitudes das vrias componentes medida que forem ocorrendo as duplicaes). Cada duplicao corresponde a uma bifurcao. Tambm podem ser observadas algumas janelas de caos. Construir o diagrama de bifurcao (figura 2.9): amplitude da tenso no diodo (tenso de pico), VDP, versus freqncia aplicada. Nmero de Feigenbaum Tendo o diagrama de bifurcao construdo calcule o nmero de Feigenbaum (constante da equao 2.43) tantas vezes quantas forem as bifurcaes. medida que n aumenta deve-se observar que se aproxima33

do valor assinttico da expresso 2.42. Compare seus valores com o valor assinttico, levando em conta os erros experimentais. Retrato de Fase O prximo passo observar o retrato de fase desse sistema. O retrato de fase pode ser observado colocando a varivel q (proporcional tenso de pico no diodo, VDP) contra a varivel q (proporcional tenso de pico no resistor, VRP). Coloque cada uma dessas variveis num canal do osciloscpio e coloque o aparelho no modo x-y. Vamos comear observando um circuito RLC normal, trocando o diodo por um capacitor de 1F. Documente o que observa com a cmera CCD. A seguir, retire o capacitor e coloque novamente o diodo, aumente para 2V a amplitude da tenso de pico do gerador, freqncia inicial em torno de 40kHz e v aumentando a freqncia do gerador. medida que a freqncia aumenta, v fotografando as figuras que aparecem e compare com a figura observada para o circuito RLC normal. A seguir, procure relacionar essas figuras com o diagrama de bifurcaes que foi medido e tambm com as janelas de caos observadas. O que deveramos esperar para o retrato de fase? Para um oscilador RLC normal o retrato de fase em trs dimenses seria VROP, versus VDP, versus o tempo, devemos ter uma elipse inclinada como se v na figura 2.10. Seria uma circunferncia se VROP fosse igual em mdulo a VDP. Quando o circuito RLC catico, o retrato de fase observado aps a primeira duplicao algo muito semelhante ao que est apresentado na figura 2.11a. E, variando-se a freqncia do gerador de modo que o circuito se torne catico vamos observar um retrato de fase como o da figura 2.11b.

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Figura2.10: Retrato de fase de um circuito RLC normal.

Figura 2.11: (a) Retrato de fase para um circuito RLC catico nas condies em que ocorreu a primeira bifurcao, e, (b) o mesmo para o circuito nas condies de caos.

Existe um recurso do programa Maple, instalado em seu micro, que permite escrever um sistema de equaes no-lineares anlogo ao sistema 2.40. A idia tentar reproduzir alguns dos retratos de fase observados. Na verdade, o programa exige que se fornea um ponto do35

espao de fase, como condio inicial, e ele vai calcular a trajetria do sistema que passa por esse ponto. O programa permite observar essa trajetria em trs dimenses e de vrias perspectivas.

Referncias1- Fsica da Eletrnica do Estado Slido de J. N. Shive, captulo 5. 2- P. Coullet e C. Tresser, J.Physique C5, 25 (1978). 3- M. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 25 (1978).

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