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Resumo• O circuito LCR ressonante
• Realização de Filtro Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa Banda, Notch,
Passa-Tudo
• Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados em
substituição de Indutância
• Circuito de Simulação de Indutância Antoniou
• Realização de Filtro Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa Banda, Notch,
Passa-Tudo
• Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois integradores ligados
em malha
• Principio de Funcionamento• Implementação (Kerwin-Huelsmann-Newcombbiquad)• Um circuito alternativo (Tow-Thomasbiquad)
– p. 1/31
O circuito LCR ressonante
Os pólos ou modos naturais do circuito (a) podem ser obtidos através do
calculo da impedância do paralelo (aplicando uma excitaçãoque não altera a
resposta do circuito). Quanto à resposta natural ou transitória do circuito uma
fonte de corrente independente ideal é equivalente a um circuito aberto só
alterando as condições iniciais.VoI = 1
Y = 1(1/sL)+sC+1/R = s/C
s2+s(1/CR)+1/(LC)= s/C
s2+s(w0/Q)+w20
Temos que
w0 = 1√LC
Q = w0CR
– p. 2/31
O circuito LCR ressonante
Os pólos ou modos naturais do circuito (a) podem ser obtidos através da
função transferência do circuito (c) (transformada de Laplace da resposta
transitória do circuito) ou injectando a tensão em qualquerponto do circuitox,
y e z.
Num exercício típico será dadow0 e Q para o projecto do filtro.
Como existem três variáveis a determinar (resistência, indutância e
capacidade) arbitra-se uma das variáveis de forma a que as outras duas sejam
realizáveis.
– p. 3/31
Realização de zeros da função transferênciaDepois de escolher os componentes
para realizar o par de pólos pretendidos
é necessário saber onde injectar a tensão
de entrada de sinalVi de forma a obter
a função de transferência pretendida
(Passa-Baixo, Passa-Alto, etc).
T (s) = Vo(s)Vi(s)
= Z2(s)Z1(s)+Z2(s)
Os zeros da função transferência são
os valores des em queZ2(s) é zero (e
Z1(s) não é simultaneamente zero) e os valores emZ1(s) é infinito (eZ2(s)
não é simultaneamente infinito). Se há um valor des para o qualZ1 e Z2 são
zero entãoVo/Vi é finito e não é obtido nenhum zero para essa frequência. Se
há um valor des em queZ1 eZ2 são infinito entãoVo/Vi é finito e não é obtido
nenhum zero para essa frequência.
– p. 4/31
Realização da função Passa-Baixo
O nóx é desligado da massa e é-lhe
aplicado o sinal de entrada. Os zeros
deste circuito são os valores em que:
1) a impedância em série
fica infinita (sL fica infinito ems = ∞)
2) a impedância formada pelo paralelo
deR comC fica zero (1/ [sC +(1/R)]
torna-se zero paras = ∞)
Então este circuito tem dois zeros ems = ∞ como um circuito passa baixo
deverá ter.
T (s) = Vo(s)Vi(s)
= Z2(s)Z1(s)+Z2(s)
= Y1(s)Y1(s)+Y2(s)
= 1/(LC)s2+s(1/(CR))+(1/(LC))
– p. 5/31
Realização da função Passa-Alto
O nóy é desligado da massa
e é-lhe aplicado o sinal de entrada.
O condensador em série
introduz um zero ems = 0 e o paralelo
L comR introduz outro zero ems = 0
como um circuito passa alto deverá ter.
T (s) = VoVi
= a2s2
s2+s(w0/Q)+w20
O valor dea2 pode ser determinado
do circuito observando o valor
do ganho quandos → ∞. A impedância
do condensador aproxima-se
um curto-circuito eVo aproxima-se
deVi resultando ema2 = 1.
– p. 6/31
Realização da função Passa-Banda
O nóz é desligado
da massa e aplicado o sinal de entrada.
É obtido
um zero ems = 0 devido à bobine
L e outro em infinito devido aC.
Na frequência centralw0 o circuito
LC tem impedância infinita (Vo = Vi).
T (s) = VoVi
= (1/(CR))ss2+s(1/(CR))+(1/(LC))
– p. 7/31
Realização da funçãonotch
Este circuito
é obtido desligando os nósx e y da
massa e aplicando o sinal de entrada.
A impedância do circuitoLC
torna-se infinita paraw = w0 = 1/√
LC
e causa um zero a essa frequência.
T (s) = VoVi
=s2+w2
0s2+s(w0/Q)+w2
0
– p. 8/31
Realização da funçãonotchPara obter
um filtro notch no qual a frequência
wn (do zero) é colocada arbitrariamente
relativamente aw0 usa-se o esquema
da figura (decompõe-se L e C em
dois).L1 eC1 são escolhidos tais que
L1C1 = 1/w2n
Então o circuito tanqueL1C1 introduz um par de zeros em± jwn desde que o
circuito tanqueL2C2 não seja ressonante emwn.
Os valores deL2 eC2 devem ser escolhidas de forma a que os pólos não se
alterem
C1 +C2 = C L1 ‖ L2 = L
ou seja quandoVi é substituído por um curto-circuito, o circuito reduz-se ao
circuito LCR ressonante.
– p. 9/31
Realização da funçãonotch
Este circuito corresponde
a um filtronotch passa-baixo, logo:
wn > w0
e por isso
L1C1 < (L1 ‖ L2)(C1 +C2)
Esta condição
é satisfeita comL2 eliminado (L1 = L).
A função transferência será:
T (s) = VoVi
= a2s2+w2
ns2+s(w0/Q)+w2
0
comw2n = 1/(LC1),
w20 = 1/L (C1 +C2), w0/Q = 1/(CR)
Paras → ∞ o circuito reduz-se
a um divisor capacitivo no qualVoVi
= a2 = C1C1+C2
– p. 10/31
Realização da funçãonotch
Este circuito corresponde
a um filtronotch passa-alto. Neste caso
wn < w0
e por isso
L1C1 > (L1 ‖ L2)(C1 +C2)
Esta condição
é satisfeita comC2 = 0 (C1 = C).
A função transferência será
T (s) = VoVi
= s2+(1/(L1C))s2+s(1/(CR))+[1/((L1‖L2)C)]
– p. 11/31
Realização da função Passa-Tudo
A função de transferência Passa-Tudo é
T (s) =s2−s(w0/Q)+w2
0s2+s(w0/Q)+w2
0
Pode ser escrita como
T (s) = 1− 2s(w0/Q)
s2+s(w0/Q)+w20
O segundo termo
é uma função Passa-Banda com um
ganho de dois na frequência central.
Dividindo a função de transferência
por dois
T (s) = 0.5− s(w0/Q)
s2+s(w0/Q)+w20
Este circuito pode ser implementado como está representadona figura. Este
circuito tem a desvantagem de não ter um terminal comum de massa entre a
entrada e a saída.
– p. 12/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Circuito de Simulaçãode Indutância AntoniouEste
circuito é muito tolerante
a propriedades não
ideais dos amplificadores
operacionais como o seu
ganho e largura de banda
finitos. Ver os passos
da figura que começam
em (1) e acabam em (18).
– p. 13/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Circuito de Simulaçãode Indutância AntoniouVerificar que a tensão de
entrada é igual à tensão em
R5 pois os amplificadores
operacionais tem ganhos
infinitos (e são curto
circuitos virtuais à entrada). Considera-se que as correntes nas entradas dos
amplificadores operacionais são nulas.
Zin = V1I1
= sC4R1R3R5R2
Que é uma indutânciaL dada por
L = C4R1R3R5R2
Usualmente escolhe-seR1 = R2 = R3 = R5 = R eC4 = C que dáL = CR2. Os
valores deR eC são escolhidos de forma a termos os valores deL pretendidos.
– p. 14/31
O circuito RC ressonante baseado em Amplifi-
cadores Operacionais
O circuito é um circuito ressonante de segunda ordem com um pólo em
w0 = 1/√
LC6 = 1/√
C4C6R1R3R5/R2
E o factor de qualidade é dado por
Q = w0C6R6 = R6
√
C6C4
R2R1R3R5
Usualmente é escolhidoC4 = C6 = C e R1 = R2 = R3 = R5 = R que resulta
w0 = 1/CR e Q = R6/R.
Escolhe-se primeiro um valor conveniente paraC, calcula-seR a partir dew0.
Depois determina-seR6 para se obter um determinado factor de qualidade.
– p. 15/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Nota: Nos próximos acetatos apresentam-se os vários circuitos de segunda
ordem apresentados anteriormente com a bobina substituídapelo circuito de
Antoniou.
Filtro Passa-Baixo
– p. 16/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Filtro Passa-Alto
– p. 17/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Filtro Passa-Banda
– p. 18/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Filtro notch em w0
– p. 19/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Filtro notch Passa-Baixown > w0
– p. 20/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Filtro notch Passa-Altown < w0
– p. 21/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
Filtro Passa-TudoO circuito Passa-Tudo
tem uma função
transferência do tipo
Passa-Tudo=1-(Passa-
Banda com o ganho da
frequência central de 2)
Circuitos
relacionados desta
forma são designados por
complementares. Um circuito passa-tudo com ganho unitárioé o
complementar dum circuito passa banda com um ganho central de 2.
Implementa-se o circuito passa banda do acetato 18 comK = 2 e obtém-se o
circuito final desligando os pontos de massa e ligando-os à fonte de tensãoVi.
Os pontos que estavam ligados aVi serão ligados à massa.
– p. 22/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
– p. 23/31
Realização de Filtros Activos de Segunda Or-
dem baseados na substituição de Indutância
– p. 24/31
Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois
integradores ligados em malhaConsidere que a função
de transferência Passa-Alto
de segunda ordem é dada
pela equação abaixo. Fazendo a
multiplicação cruzada e dividindo pors2, obtém-se:VhpVi
= Ks2
s2+s(w0/Q)+w20⇔Vhp + 1
Q
(w0s Vhp
)
+
(
w20
s2 Vhp
)
= KVi (1)
Nesta equação verifica-se que o sinal(w0/s)Vhp pode ser obtido passandoVhp
por um integrador com uma constante de tempo 1/w0. Passando o sinal ainda
por outro integrador idêntico resulta num terceiro sinal(
w20/s2
)
Vhp. A figura
(a) mostra esse arranjo.
– p. 25/31
Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois
integradores ligados em malha
É possível arranjar a equação (1) do acetato anterior da seguinte forma:
Vhp = KVi − 1Q
w0s Vhp − w2
0s2 Vhp (1)
que sugere queVhp pode ser obtida utilizando o somador da figura (b).
Pode-se combinar o circuito (a) do acetato anterior com o circuito (b) para
obter o circuito (c).
O sinal à saída do primeiro integrador é uma função passa-banda
Tbp (s) =(− w0
s )VhpVi
= − Kw0ss2+s(w0/Q)+w2
0(2)
À frequência central o ganho é igual a−KQ.
– p. 26/31
Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois
integradores ligados em malha
O sinal à saída do segundo integrador é uma função passa-baixo:
Tl p (s) =
( w20
s2
)
Vhp
Vi=
Kw20
s2+s(w0/Q)+w20
(1)
O ganho DC éK.
Este circuito pode implementar ao mesmo tempo os filtros Passa-Alto,
Passa-Banda e Passa-Baixo. Por causa desta versatilidade ocircuito é
chamado de Filtro Activo Universal.
– p. 27/31
Topologia de dois integradores ligados em
malha - Implementação
Este circuito é conhecido como Kerwin-Huelsmann-Newcombbiquad ou
KHN biquad
Vhp = R3R2+R3
(
1+R fR1
)
Vi +R2
R2+R3
(
1+R fR1
)
(
−w0s Vhp
)
− R fR1
(
−w20
s2 Vhp
)
Comparando esta equação com a equação (1) do acetato 26
CR = 1/w0 R f /R1 = 1 R3/R2 = 2Q−1
O ganhoK do amplificador é dado por
K = 2− (1/Q)– p. 28/31
Topologia de dois integradores ligados em
malha - Filtro notch e Passa TudoO KHN biquad pode ser usado
para implementar Filtrosnotch
e Passa-Tudo somando versões
pesadas das saídas Passa-Baixo,
Passa-Banda e Passa-Alto.
Vo =
−(
RFRH
Vhp + RFRB
Vbp + RFRL
Vl p
)
= −Vi
(
RFRH
Thp + RFRB
Tbp + RFRL
Tl p
)
Substituindo as funções (1) e (2) do acetato 26 e (1) do acetato 27 dá uma
função de transferênciaVoVi
= −K(RF/RH )s2−s(RF/RB)w0+(RF/RL)w2
0s2+s(w0/Q)+w2
0
Pode-se ver que diversos zeros de transmissão podem ser obtidos desde que se
escolha as resistências de soma apropriados.
Para o Filtronotch selecciona-seRB = ∞ eRHRL
=(
wnw0
)2
– p. 29/31
Topologia de dois integradores ligados em
malha - Um circuito alternativoÉ possivel substituir
o somador da entrada
por um inversor e
assim utilizar apenas
AMPOPs apenas com
uma entrada activa.
Assim os coeficientes
do somador passam
a ter o mesmo sinal
e é possível dispensar
o somador de entrada
e fazer a soma no
primeiro integrador.
Com esta alteração a função Passa-alto deixa de estar disponível.
O circuito é conhecido comoTow-Thomas biquad
– p. 30/31
Topologia de dois integradores ligados em
malha - Um circuito alternativo Em vez de usar
quatro amplificadores
operacionais
para implementar os
filtros (comKHN biquad
pois no caso deste,
Tow-Thomas biquad,
não está disponível
o Passa-Alto) é possível
utilizar a implementação
Tow-Thomas
biquad com o
sinal de entrada fornecido
a todos os amplificadores
operacionais. Pode-se obter todas as funções pretendidas.Para isso é
necessário obedecer à tabela tendo em conta que a função de transferência
obtida é:VoVi
= −s2(
C1C
)
+s 1C
(
1R1
− rRR3
)
+ 1C2RR2
s2+s 1QCR + 1
C2R2 – p. 31/31
