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R E V I S Ã O S E M A N A
4M O N I T O R I A E S T Á T I C A
2 0 2 0
D I A G R A M A D E
M O M E N T O S F L E T O R E S
O Q U E É ?
É uma ferramenta de análise que, em conjuntocom o estudo estrutural, determina o momentofletor (força que tende a curvar o eixolongitudinal) em um certo ponto de um elementoestrutural como uma viga.
R E L A Ç Ã O :
Para cada modelo de sistema viga + apoios +carregamentos, é possível encontrar umaequação específica; esta SEMPRE será a integralda equação obtida para os esforços cortantes domesmo sistema.
Integral: correspondente elevada em um grauDerivada: correspondente reduzida em um grau
EquaçãoMomentosFletores
EquaçãoEsforçosCortantes
integral derivada
parábola reta
C O M O É C A L C U L A D O ?
Determinando o momento em cada um dospontos de interesse separadamente. Para isso,imaginamos uma seção αβ que passe por cadaum individualmente e olhamos para ascomponentes à esquerda ou à direita para fazer ocálculo. α
à esquerda à direita
β
A T E N Ç Ã O :
Nos pontos das extremidades não engastadas,esse valor será 0, já que, escolhendo a direçãoextrema, nenhuma das forças entra na conta -sistema equilibrado (ΣM=0).
α
β
α
β
Não entra na conta pois não gera momento
C D E
Reações de apoio:
C D E
VbVa
Ha
ΣFx=0 Ha = 0
ΣFy=0 Va + Vb – 18 – 18 - 36 = 0Va + Vb = 72 kN
ΣMa=0 4Rb – 18.1 – 36.2 – 18.3 = 04Rb = 144 Rb = 36 kN
Va + Vb = 72 kN Va = 72 – 36Va = 36 kN
+
+
+
Para o ponto C:
C D E
VbVa
Ha
α
β
Mc = + 36. 1 = +36 kNm
α
à esquerda
β
Para o ponto D:
C D E
VbVa
Ha
α
β
Md = + 36. 2 – 18.1 = +54 kNm
α
à esquerda
β
Para o ponto E:
C D E
VbVa
Ha
α
β
Me = + 36. 1 = +36 kNm
α
à direita
β
Depois, traçam-se os valores encontrados paracada ponto respeitando a convenção de positivopara BAIXO e negativo para CIMA.
0 0
+36 kNm +36 kNm
+54 kNm
C O M O U N I R O SP O N T O S ?
De acordo com a equação de dedução domomento fletor, chegamos ao formato dodiagrama:
Para cargas concentradas: o diagrama deve sercomposto por retas (equação do 1º grau); ou seja,basta apenas ligar os valores encontrados paracada ponto.
Para cargas distribuídas: o diagrama deve sercomposto por uma parábola (equação do 2ºgrau); para isso, deve ter um momento demáximo/mínimo.
Esse momento máximo acontece onde osesforços cortantes são nulos (V=0) – ou seja, aoigualar a equação derivada a 0.
Nesse caso, como todas as forças sãoconcentradas:
0 0
+36 kNm +36 kNm
+54 kNm
D I A G R A M A D E
E S F O R Ç O S C O R T A N T E S
O Q U E É ?
É uma ferramenta de análise que, em conjuntocom o estudo estrutural, determina o esforçocortante (força que tende a cisalhar o objeto, semgirar o eixo longitudinal) em um certo ponto deum elemento estrutural como uma viga.
C O M O É C A L C U L A D O ?
Determinando o valor das componentes no eixo ypara dois pontos infinitamente próximos de cadaponto: um à esquerda e outro à direita, sempreolhando para o mesmo lado das seções αβ.
α
à esquerda à direita
β
C D E
VbVa
Ha
α
βVA com αβ à esquerda = 0
C D E
Va
Ha
α
β
VA com αβ à direita = + 36 kN
α
à esquerda
β
Vb
C D E
VbVa
Ha
α
βVC com αβ à esquerda = +36 kN
C D E
Va
Ha
α
β
VC com αβ à direita = + 36 – 18VC com αβ à direita = + 18 kN
α
à esquerda
β
Vb
C D E
VbVa
Ha
α
βVD com αβ à esquerda = +18 kN
C D E
Va
Ha
α
β
VD com αβ à direita = + 36 – 18 - 36VD com αβ à direita = - 18 kN
α
à esquerda
β
Vb
C D E
VbVa
Ha
α
βVE com αβ à esquerda = -18 kN
C D E
Va
Ha
α
β
VE com αβ à direita = + 36 – 18 – 36 - 18VE com αβ à direita = - 36 kN
α
à esquerda
β
Vb
C D E
VbVa
Ha
α
βVD com αβ à esquerda = -36 kN
C D E
Va
Ha
α
β
Todas as forças = sistema equilibrado = ΣFy é 0
α
à esquerda
β
Vb
VD com αβ à direita = + 36 – 18 – 36 – 18 + 36
VD com αβ à direita = 0
Depois, traçam-se os valores encontrados paracada ponto respeitando a convenção de positivopara CIMA e negativo para BAIXO.
0 0
+36 kN
-36 kN
+18 kN+36 kN
+18 kN
-18 kN -18 kN
-36 kN
C O M O U N I R O SP O N T O S ?
De acordo com a redução em um grau dodiagrama de momentos fletores, chegamos aoformato do diagrama:
Para cargas concentradas: o diagrama deve sercomposto por constantes; ou seja, basta apenasligar os valores encontrados (na ordem que foramdescobertos) para cada ponto.
Para cargas distribuídas: o diagrama deve sercomposto por uma reta (equação do 1º grau);deve-se unir os pontos na ordem que foramencontrados.
Nesse caso, como todas as forças sãoconcentradas:
0 0
+36 kN
-36 kN
+18 kN+36 kN
+18 kN
-18 kN -18 kN
-36 kN
C Á L C U L O M O M E N T O M Á X I M O /M Í N I M O
Para encontrar o local que momento máximo daparábola (gráfico momentos fletores para cargadistribuída), devemos encontrar o local onde osesforços cortantes são zero, ou seja, Fy = 0.
Isso porque os momentos de máximo (se +) ou demínimo (se -) são encontrados igualando aderivada da equação a 0: lembre que a equaçãode V é derivada da equação de M.
L O C A L D E A P L I C A Ç Ã O
A partir da esquerda, é possível encontrar adistância em que a carga distribuída anula a forçade 66 kN (resultante em y no ponto do apoio),satisfazendo, assim, Fy = 0.
Q = q. L Q = 66 kN q = 24 kN/m66 = 24. x x= 66/24 x = 2,75m
66 kN x-18 + 84
66 kN
Para encontrar o valor do momento máximo,basta calcular o momento fletor em relação aoponto x encontrado.
Neste caso:
V A L O R
α
β
α
β
2,75 m
Mx = - 18. 4,75 + 84. 2,75 – (2,75. 24). (2,75/ 2)Mx = 54,75 kNm
Com isso, é só traçar a parábola.
Q = q1. L
Q = 30. 10Q = 300 kN
ΣFx=0Ha = 0
ΣFy=0Ra + Rb – 150 – 300 – 80 = 0Ra + Rb = 530 kN
+
+
-150.3 + 80.5 +300.5 – Rb. 10Rb = 145kN
Ra + Rb = 530 kNRa + 145 = 530Ra = 385 kN
ΣMa = 0+
• Cálculo dos momentos fletores
Mc = 0
Ma = -150.3 = -450kNm
Md = -150.8 + 385.5 – 150.2,5 = +350kNm
Mb = -150.13 + 385.10 – 300. 5 – 80.5= 0
• Diagrama dos momentos fletores
Mc = 0
Ma = -450kNm
Md = +350kNm
Mb = 0
• Cálculo dos esforços cortantes
Vc (esq) = 0
Vc (dir) = -150 kN
Va (esq) = -150 kN
Va (dir) = -150 +385 = + 235 kN
Vd (esq) = -150 + 385 - 150 = +85 kN
Vd (dir) = -150 + 385 - 150 - 80= +5 kN
Vb (esq) = -150 + 385 - 300 – 80 = -145 kN
Vb (dir) = -150 + 385 - 300 – 80 + 145 = 0
• Diagrama dos esforços cortantes
Vc (esq) = 0 Vc (dir) = -150 kN
Va (esq) = -150 kN Va (dir) = + 235 kN
Vd (esq) = +85 kN Vd (dir) = +5 kN
Vb (esq) = -145 kN Vb (dir) = 0
• Cálculo do momento fletor máximo
Q = q. L
145 = 30. x
x = 4,833m
Mx = +145.4,833 – 30.4,833.2,416Mx= 350,4165 kNm
D Ú V I D A S
O B R I G A D A
• E S T A M O S S E M P R E D I S P O N Í V E I S P A R A T I R A R D Ú V I D A S : )
• A N A L U Í S A B A R B O S A E G A B R I E L A S T A N G A