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Professor Potengy- [email protected] 61 8250.0890

RACIOCNIO LGICO

Curso Superior de Tecnologia

Aula 02 TEORIA DOS CONJUNTOS

1. Definio de Conjuntos

2. Como se representa um Conjunto

3. Subconjunto, Pertinncia e Continncia

4. Conjunto das Partes

5. Operao com Conjuntos

1. Unio ou Reunio (Conjuno)

2. Interseco ( Disjuno)3. Diferena e Complementar

4. Quantidade de elementos de um conjunto

6. Exerccios
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SUBCONJUNTO

Se todo elemento de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemosque A subconjunto de B.

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Curso Superior de


PERTINNCIA

Sendo x um elemento do conjunto A ,

escrevemos x A , onde o smbolo significa "pertence a".

Sendo y um elemento que no pertence ao conjunto A ,indicamos esse fato com a notao A.

O conjunto que no possui elementos , denominado conjunto vazio e representado por

Com o mesmo raciocnio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual

pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo smbolo U.

}.,,.........,,{ zcbaA

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CONTINNCIA

Se todo elemento de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemosque A subconjunto de B e indicamos isto por A

B.

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PARTIO DE UM CONJUNTO

Seja A um conjunto no vazio.Define-se como part io de A , e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partesde A (representado simbolicamente por P(A) ), que satisfaz simul taneamente, s seguintes condies:

1 - nenhuma dos elementos de part(A) o conjunto vazio.2 - a interseo de quaisquer dois elementos de part(A) o conjunto vazio.3 - a unio de todos os elementos de part(A) igual ao conjunto A.

Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}

Os subconjuntos de A sero: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, ( o conjunto vazio)

Assim, o conjunto das partes de A ser:

P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, }

Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } uma partio do conjunto N dos

nmeros naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N .

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IMPORTANTE

a) todo conjunto subconjunto de si prprio. ( A A )b) o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. ( A)c) se um conjunto A possui m elementos ento ele possui 2msubconjuntos.d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominadoconjunto das partes de A e indicado por P(A).Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}e) um subconjunto de A tambm denominado parte de A.

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UNI O ( U) -Conjuno

Dados os conjuntos A e B ,define-se o conjunto unioA U B = { x | x A ou x B}.

Exemplo:{0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}.Percebe-se facilmente que oconjunto unio contemplatodos os elementos doconjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas:a) A UA = Ab) A U = A

c) A U B = B UA (a unio de conjuntos umaoperao comutativa)d) A U S = S , onde S o conjunto universo.

OPERAES COM CONJUNTOS

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INTERSEC O ( ) Dis juno

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjuntointerseo A B = {x | x A e x B}.Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-sefacilmente que o conjunto interseo contempla

os elementos que so comuns aos conjuntos Ae B.


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Propriedades imediatas:

a) A A = Ab) A =

c) A B = B A ( a interseo uma operao

comutativa)

d) A S = A , onde S o conjunto universo.

So importantes tambm as seguintes

propriedades :

P1. A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade

distributiva)

P2. A ( B C ) = (A B ) ( A C)

(propriedade distributiva)

P3. A (A B) = A (lei da absoro)

P4. A (A B) = A (lei da absoro)

Obs: Se A B = f , ento dizemos que os

conjuntos A e B so Disjuntos.

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Diferena: A - B = {x | x A e x B}.

Observe que os elementos da diferena so aqueles que pertencem ao primeiroconjunto, mas no pertencem ao segundo.

Exemplos:{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:

a) A - = Ab) - A =c) A - A =d) (A B) (BA) ( a diferena de conjuntos no uma operao comutat iva).

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omplementar de um conjunto

Trata-se de um caso particular da diferena entre dois conjuntos. Assim , que dados doisconjuntos A e B, com a condio de que B est contido em A , a diferena A - B chama-se,

neste caso, comp lement ar d e B em relao a A .

Simbologia: CAB = A - B.

Caso particular: Se indicarmos por B o complementar de B em relao ao conjunto universo U observe queo conjunto B' formado por todos os elementos que no pertencem ao conjunto B, ou seja:B' = {x | x B}. bvio, ento, que:a) B U B' = b) B B' =


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UNIO DE CONJUNTOS

Conjunto formado pelos elementos que esto em pelo menos

um dos conjuntos trabalhados. A B = {x/ x A ou x B}

Exemplos: 1) Sejam A = {2,3,6,8} e B = {2,5,7,8}.

A B = {2,3,5,6,7,8}.


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INTERSECO

Conjunto formado pelos elementos que pertencem

a todos os conjuntos com os quais trabalhamossimultaneamente.

A B = {x/ x A e x B}

Ex: A = {2,3,6,8} e B = {2,5,7,8}

A B = {2,8}. A = {2,4,6,8,10,12}, B = {3,5,10} e C = {10,12,16]

A B C = {10}.

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Financeira


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DIFERENA DE CONJUNTOS

A diferena entre dois conjuntos A e B o conjunto formadopelos elementos que esto em A, mas no esto em B

A - B = {x/ x A e x B}

Da mesma forma que a diferena entre B e A o conjunto

formado pelos elementos que esto em B, mas no esto emA.

B A = {x/ x B e x A}

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Observao: Se tivermos B A, a diferena A B ser chamada complementar de B em

relao a A e ser indicada por: CAB Dessaforma, temos que: CAB = A - B

Por exemplo: A = {2,4,6,8,10,12,14} e B =

{4,8,12} temos que CAB ={2,6,10,14}


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RACIOCNIO LGICOCurso Superior de Tecnologia


O Nmero de elementos de um conjunto A finito

representa-se por n(A).

Exemplo: A = {a; b; c; d; e; f}O nmero de elementos de A seis, ou seja: n(A) = 6

Aqui vai nos interessar obter o nmero de

elementos da unio de dois conjuntos

O Nmero de elementos de1 CONJUNTO

FINITO

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RACIOCNIO LGICOCurso Superior de Tecnologia


O diagrama a seguir representa dois

conjuntos A e B, e a unio A B pode

ser representada pela figura toda.

O Nmero de elementos de 2 CONJUNTOS FINITOS

Agora, podemos estabelecer uma relao

entre os nmeros de elementos desses

conjuntos.

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

12 = 6 + 8 - 2

O nmero de elementos de A B o nmerode elementos de A somado ao nmero de

elementos de B, diminudo do nmero de

elementos de A interseo B.

Observe o nmero de elementos de

cada conjunto:

n(A) = 6

n(B) = 8

n(A B) = 2

n(A B) = 12

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Analista - MPU - 2004Um colgio oferece a seus alunos a prtica de um ou mais dos seguintes esportes:

futebol, basquete e vlei.

Sabe-se que, no atual semestre, 20 alunos praticam vlei e basquete;

60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;

21 alunos no praticam nem futebol nem vlei;

o nmero de alunos que praticam s futebol idntico ao nmero dos alunos quepraticam s vlei;

17 alunos praticam futebol e vlei;

45 alunos praticam futebol e basquete;

30, entre os 45, no praticam vlei.

O nmero total de alunos do colgio, no atual semestre, igual a

a) 93. b) 103. c) 99. d) 110. e) 114

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