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Rosana Catarina Rodrigues de Lima
Introduzindo o conceito de média aritméticana 4ª série do Ensino Fundamental usando o
ambiente computacional
Mestrado em Educação Matemática
PUC-SPSÃO PAULO
2005
ii
Rosana Catarina Rodrigues de Lima
Introduzindo o conceito de média aritméticana 4ª série do Ensino Fundamental usando o
ambiente computacional
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da PontifíciaUniversidade Católica de São Paulo como exigência parcialpara obtenção do título de MESTRE em EducaçãoMatemática sob a orientação da Professora DoutoraSandra Maria Pinto Magina.
PUC-SPSÃO PAULO
2005
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BANCA EXAMINADORA
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________________________________________
iv
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução
total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura _______________________________Local e data:_______________
v
Para Roberto, Artur e Aurora,
por acreditarem na realização deste trabalho.
Ao meu pai Heitor (in memorian)
vi
AGRADECIMENTOS
No decorrer deste trabalho, muitas pessoas e instituiçõescontribuíram das mais diversas formas para sua construção. A todaselas, mais do que agradecer, desejo compartilhar a satisfação darealização desta pesquisa. Citar de modo especial algumas destaspessoas e, instituições, não significa a falta de reconhecimento pelacolaboração das demais.
A Deus, que me deu saúde o suficiente para chegar ao finaldeste estudo.
À Professora Doutora Sandra Maria Pinto Magina, pelaorientação constante, dedicação, empenho, incentivo e apoio sem osquais este trabalho não seria possível. Sua amizade, e sobretudo, suacompreensão foram decisivas para a conclusão desta dissertação.
Às Professoras Doutoras Márcia Regina Ferreira de Brito eSiobhan Victoria (Lulu) Healy, integrantes da banca examinadora,pelo aceite, comentários e sugestões valiosas dadas na ocasião doexame de qualificação que contribuíram para o enriquecimento desteestudo.
Aos Professores do Programa de Estudos Pós-Graduados emEducação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de SãoPaulo que, de forma direta ou indireta, colaboraram na concretizaçãodeste trabalho. Em especial, aos Professores Doutores Cileda deQueiroz e Silva Coutinho e, Benedito Antonio da Silva, pelo auxílio emdiferentes momentos.
À CAPES, pela oportunidade à mim conferida para realizaresta etapa essencial à minha formação acadêmica
A meus colegas do mestrado, em especial, aos queparticiparam do projeto que envolveu esta pesquisa, Simone da SilvaCaetano, José Kioshink Nakamura e Sandra da Silva Santos, pelaconvivência e troca de experiências.
vii
Aos colegas do Grupo de Pesquisa CoFE, pelas discussões econtribuições ao trabalho, em especial à Alexsandra e Zoraide,companheiras de curso e de estudo pela amizade, incentivo e auxílioem todos os momentos.
A meu marido Roberto, por todo apoio dado, compreensãoquanto às ausências e preocupações. Pela paciência, carinho ededicação constante a nosso filho, muito obrigada!
A meu filho Artur, agradeço por todo o carinho demonstradodurante a execução deste estudo. Sua alegria e sorriso constantes mefizeram superar muitos momentos difíceis desta caminhada.
À amiga, Edna, exemplo de persistência, obrigada peloincentivo e incansável auxílio nos momentos mais difíceis desta longajornada.
Aos meus familiares e amigos mais próximos que sempre meapoiaram ao respeitarem minhas ausências.
À Professora Ivone Borelli pela dedicação na revisão final dotexto.
Ao secretário Francisco, pela compreensão durante todo opercurso e auxílio em todos os momentos.
À direção, professores, alunos e funcionários da EscolaMarina Cintra, pelo apoio oferecido na parte experimental destapesquisa e, em especial ao Professor Rogério, pela colaboração nodecorrer de todo experimento.
Aos amigos e colegas da FAMA, pelo carinho e estímulo, quecontribuíram para a realização deste trabalho.
viii
RESUMO
O objetivo do estudo foi investigar a introdução do conceito de média aritméticacom base no uso das representações gráficas e com o auxílio do ambientecomputacional, dentro do qual foi empregado o software Tabletop. Para se atingireste objetivo, foi feito um estudo quase-experimental com dois grupos de alunos:o grupo experimental – GE - e o grupo de controle – GC - ambos da 4ª sérieEnsino Fundamental de uma escola da rede pública estadual da cidade de SãoPaulo. A pesquisa dividiu-se em três fases, a saber: Pré-teste, Intervenção deEnsino (fator experimental) e Pós-teste. As atividades constituintes da Intervençãode Ensino ajustaram-se à Teoria dos Campos Conceituais proposta porVergnaud. Para elaboração das atividades tomou-se como base os níveis decompreensão de gráficos propostos por Curcio e as propriedades de médiaaritmética propostas por Strauss e Bichler. O GE participou das três fases doestudo, sendo as atividades de intervenção de ensino desenvolvidas em ambientecomputacional, visando à introdução do conceito de média aritmética e odesenvolvimento da leitura e interpretação de gráficos. O GC também participouda aplicação dos testes, porém permaneceu isento da aplicação do fatorexperimental. O estudo propôs-se a responder à seguinte questão: “Quais ascontribuições da intervenção de ensino proposta para a introdução do conceito demédia aritmética em alunos da 4ª série do Ensino Fundamental, com o uso doambiente computacional?” Para responder a esta questão de pesquisa, tomamospor base as análises quantitativa e qualitativa dos resultados obtidos nos testesem ambos os grupos e as respostas dadas pelos alunos do GE às fichas deatividades da intervenção. Na comparação intergrupos dos resultados do pós-teste, constatou-se que os alunos do GE mostraram um desempenho superioraos do GC, sobretudo, quanto ao conceito de média aritmética. Já a análise dosresultados intragrupos apontou uma melhora no desempenho dos alunos do GEno pós-teste em relação ao pré-teste, no que se refere à leitura e interpretação dográfico de barras, assim como no conceito de média aritmética. Estes dadospermitem concluir que a introdução ao conceito de média aritmética baseada narepresentação gráfica foi favorecida pelo emprego do software Tabletop, visto queeste possibilitou ao aluno a descoberta de propriedades e relações envolvidas noCampo Conceitual constituído pela leitura e interpretação de gráficos e médiaaritmética.
Palavras-chave: média aritmética; leitura e interpretação de gráficos; estatística;informática; séries iniciais do Ensino Fundamental.
ix
ABSTRACT
The purpose of this study was to investigate the introduction of arithmetic meanconcept based on the use of graphic representations, and with the assistance ofcomputational environement by using the software Tabletop. To reach thispurpose, a nearly experimental study has been accomplished with two groups ofstudents, the experimental group – GE – and the control group – GC – both fourthgraders of a Sao Paulo public school. The research was divided into three phases,namely: Pre-Test, Teaching Interference (experimental factor) and Post-Test. Theactivities composing the Teaching Interference have been adjusted to theConceptual Fields Theory proposed by Vergnaud. To develop these activities webased on graphics understanding levels proposed by Curcio and on arithmeticmean properties proposed by Straus & Bichler. The GE has taken part in the threephases of the study seeing that the teaching interference activities, developedwithin computacional environment, aimed at both, the introduction of arithmeticmean concept and the graphics reading and interpretation development. The GChas also taken part in tests application, but it was left out the experimental factor.The study has intended to answer the following question: “Which teachinginterference contributions are proposed for the introduction of arithmetic meanconcept into fourth graders , by making use of computational environment?” Toanswer this research question, we based ourselves on qualified and quantifiedanalysis of the results obtained from the tests in both groups and on the answersgiven by GE students to the activities cards of the intervention. By comparing theintergroups post-test results, one verify that the GE students have presented abetter performance than the GC one’s, specially regarding arithmetic meanconcept. On the other hand, the analisys of the results within the groups pointed toan improvement in the post-test performed by the Experimental Group in respectto the pre-test, regarding the reading and interpretation of bar graphics, as well asin arithmetic mean concept. These data permit us to conclude that the introductionto arithmetic mean concept based on graphic representation has been favoured bythe use of Tabletop software, since it allows the students to catch the proprietiesand relations envolved in Conceptual Field formed by graphic reading andinterpretation as well as arithmetic mean.
Keywords: arithmetic mean; reading and interpretation of graphs; statistics;computational environment; elementary school level.
x
SUMÁRIO
Lista de tabelas ............................................................................................... xiv
Lista de figuras ............................................................................................... xv
Lista de quadros ............................................................................................. xviii
Resumo ........................................................................................................... viii
Abstract ........................................................................................................... ix
CAPÍTULO IApresentação ............................................................................................ 11.1. Introdução ............................................................................................ 11.2. Problemática ........................................................................................ 31.3. Objetivo e Questão de Pesquisa .......................................................... 121.4. Articulação do Estudo ao Projeto de Pesquisa FAPESP ..................... 151.5. Descrição da Dissertação .................................................................... 17
CAPÍTULO IIMedidas de tendência central e compreensão de gráficos .................. 192.1. Introdução ............................................................................................ 192.2. O Conceito de Média no Decorrer da História ..................................... 202.3. Medidas de Tendência Central ............................................................ 24
2.3.1. Média Aritmética ........................................................................ 252.3.2. Mediana ..................................................................................... 27
xi
2.3.3. Moda .......................................................................................... 292.4. As Pesquisas sobre Média Aritmética .................................................. 312.5. Leitura e Interpretação de Gráficos ...................................................... 39
2.5.1. Definição e Tipos de Gráficos .................................................... 402.5.2. Pesquisas Recentes sobre Leitura e Interpretação de Gráficos 422.5.3. Níveis de Compreensão de Gráficos segundo Curcio ............... 45
CAPÍTULO IIIConsiderações Teóricas ........................................................................... 483.1. Introdução ............................................................................................ 483.2. Formação do Conceito ......................................................................... 493.3. Representação ..................................................................................... 553.4. O Ambiente Computacional na Aprendizagem .................................... 62
3.4.1. O Uso do Software Tabletop ..................................................... 65
CAPÍTULO IVMetodologia ............................................................................................... 734.1. Introdução ............................................................................................ 734.2. Desenho do Experimento ..................................................................... 73
4.2.1. Universo do Estudo ................................................................... 764.2.2. Material Utilizado ....................................................................... 784.2.3. Procedimentos ........................................................................... 79
4.2.3.1. Descrição e análise prévia do pré e pós−teste ............. 844.2.3.1.1. Análise prévia da primeira questão .............. 864.2.3.1.2. Análise prévia da segunda questão .............. 934.2.3.1.3. Análise prévia da terceira questão ............... 97
4.2.3.2. Análise prévia da atividade de intervenção de ensino . 1004.2.3.2.1. Ficha 1 ......................................................... 1014.2.3.2.2. Ficha 2 ......................................................... 1044.2.3.2.3. Ficha 3 ......................................................... 1074.2.3.2.4. Ficha 4 ......................................................... 1094.2.3.2.5. Ficha 5 ......................................................... 1114.2.3.2.6. Ficha 6 ......................................................... 1134.2.3.2.7. Ficha 7 ......................................................... 1164.2.3.2.8. Ficha 8 ......................................................... 117
xii
CAPÍTULO VAnálise do Experimento ........................................................................... 1205.1. Introdução ............................................................................................ 1205.2. Análise Quantitativa dos Resultados ................................................... 123
5.2.1. Desempenho Geral dos Dois Grupos no Pré e no Pós-teste .... 1255.2.2. Desempenho Geral dos Dois Grupos no Pré-teste ................... 127
5.2.2.1. Itens relativos à leitura e interpretação dos gráficos debarras ....................................................................... 128
5.2.2.2. Itens relativos à leitura e interpretação do gráfico dedupla entrada ................................................................ 133
5.2.2.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética ......... 1365.2.3. Análise do Desempenho dos Dois Grupos no Pós-teste ........... 138
5.2.3.1. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos debarras ....................................................................... 139
5.2.3.2. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos dedupla entrada ........................................................... 141
5.2.3.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética ......... 1425.2.4. Análise do Desempenho do GE no Pré e no Pós-teste ............. 145
5.2.4.1. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos debarras ....................................................................... 146
5.2.4.2. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos dedupla entrada ........................................................... 149
5.2.4.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética ......... 1525.3. Análise Qualitativa ............................................................................... 154
5.3.1. Análise Relativa à Leitura e Interpretação de Gráficos ............. 1555.3.1.1. Gráfico de barras ......................................................... 156
5.3.1.1.1. Gráfico x Realidade ..................................... 1565.3.1.1.2. Articulação das representações: tabela e
gráfico ......................................................... 1625.3.1.1.3. Níveis de Leitura e Interpretação de
Gráficos ....................................................... 1685.3.1.2. Gráfico de Dupla Entrada − Extrapolação .................... 183
5.3.2. Análise Relativa ao Conceito de Média Aritmética .................... 1865.3.2.1. Concepções atribuídas à média ................................... 1875.3.2.2. Invariantes Operatórios da Média Aritmética ............... 200
xiii
CAPÍTULO VIConclusão .................................................................................................. 2086.1. Introdução ............................................................................................ 2086.2. Síntese dos Principais Resultados ....................................................... 211
6.2.1. Média Aritmética ........................................................................ 2126.2.2. Leitura e Interpretação de Gráficos ........................................... 214
6.3. Respostas às Questões de Pesquisa .................................................. 2166.4. Sugestões para Futuras Pesquisas ..................................................... 221
Referências Bibliográficas............................................................................ 223
Anexos ............................................................................................................ 231
xiv
Lista de Tabelas xivTabela 5.1 – Distribuição das justificativas apresentadas na leitura degráficos no pré e no pós–teste ......................................................................... 161Tabela 5.2 – Comparação entre as respostas ao item “2a" do pré para opós–teste .......................................................................................................... 179Tabela 5.3 – Comparação entre as respostas ao item “1e” do pré para opós–teste .......................................................................................................... 182Tabela 5.4 – Concepções de média apresentadas pelos alunos do GE nopré e no pós–teste ............................................................................................ 188
xv
Lista de figuras xvFigura 2.1 – Definição de média aritmética simples segundo Spiegel ............ 25Figura 2.2 – Definição de média aritmética simples segundo Toledo e Ovalle 26Figura 2.3 – Cálculo da mediana para variáveis discretas: número impar determos ............................................................................................................... 28Figura 2.4 – Cálculo da mediana para variáveis discretas: número par determos ............................................................................................................... 28Figura 2.5 – Tipos de Moda segundo Spiegel (1993) ...................................... 29Figura 2.6 – Propriedades da média aritmética (STRAUSS E BICHLER, 1988) ... 35Figura 2.7 – Tarefa proposta para propriedade A: História ............................. 36Figura 2.8 – Tarefa proposta para propriedade A: Numérico .......................... 37Figura 2.9 – Níveis de compreensão de gráficos (CURCIO, 1987) ................... 47Figura 3.1 – Banco de dados extraído do Tabletop: TIME. Tdb ...................... 68Figura 3.2 – Representação do banco de dados TIME.tdb. no modoTabletop ........................................................................................................... 69Figura 3.3 – Representação do gráfico de freqüência do banco de dadosTIME.tdb ........................................................................................................... 70Figura 3.4 – Representação do gráfico de dupla entrada do banco de dadosTIME.tdb ........................................................................................................... 71Figura 4.1 – Questão 1- itens “1a" e “1b” do pré e do pós−teste .................... 87Figura 4.2 – Questão 1- itens “1c” , “1d” e “1e” do pré e do pós−teste ........... 89Figura 4.3 – Questão 2 – itens “2a" a “2f” do pré e do pós−teste .................... 94Figura 4.4 – Questão 3 – itens “3a" a “3d” do pré e do pós−teste ................... 98Figura 4.5 – Atividade 1A da intervenção de ensino........................................ 102Figura 4.6 – Atividade 1B da intervenção de ensino ....................................... 103Figura 4.7 – Atividade 1C da intervenção de ensino ....................................... 104Figura 4.8 – Atividade 2A da intervenção de ensino ....................................... 105Figura 4.9 – Atividade 2B da intervenção de ensino ....................................... 106Figura 4.10 – Atividade 3A da intervenção de ensino ..................................... 107Figura 4.11 – Atividade 3B da intervenção de ensino ..................................... 108Figura 4.12 – Atividade 3C da intervenção de ensino ..................................... 109Figura 4.13 – Atividade 3D da intervenção de ensino ..................................... 110Figura 4.14 – Atividade 4 da intervenção de ensino ........................................ 111Figura 4.15 – Atividade 5A da intervenção de ensino ..................................... 112Figura 4.16 – Atividade 5B da intervenção de ensino ..................................... 114Figura 4.17 – Atividade 6A da intervenção de ensino .................................... 115Figura 4.18 – Atividade 6B da intervenção de ensino .................................... 116Figura 4.19 – Atividade 7A da intervenção de ensino ..................................... 118
xvi
Figura 4.20 – Atividade 7B da intervenção de ensino ..................................... 119Figura 5.1 – Acertos totais do GE e do GC no pré e no pós–teste ................. 126Figura 5.2 – Acertos por item de leitura de gráfico de barras do GE e do GCno pré–teste ..................................................................................................... 128Figura 5.3 – Acertos por Item de leitura de gráfico de dupla entrada do GE edo GC no pré–teste .......................................................................................... 134Figura 5.4 – Acertos por item de média aritmética do GE e do GC no pré–teste .................................................................................................................. 136Figura 5.5 – Acertos por item de leitura de gráfico de barra do GE e do GCno pós–teste ..................................................................................................... 140Figura 5.6 – Acertos por item de leitura do gráfico de dupla entrada do GE edo GC no pós–teste .......................................................................................... 142Figura 5.7 – Acertos por item de média aritmética do GE e do GC no pós–teste .................................................................................................................. 143Figura 5.8 – Acertos totais do GE no pré e no pós–teste ................................ 145Figura 5.9 – Acertos por item de leitura de gráfico de barras do GE no pré eno pós–teste ..................................................................................................... 146Figura 5.10 – Acertos por item de leitura do gráfico de dupla entrada do GEno pré e no pós–teste ....................................................................................... 150Figura 5.11 – Acertos por item de média aritmética do GE no pré e no pós–teste .................................................................................................................. 152Figura 5.12 – Respostas ao protocolo de Al-07 e Al 05 no pré–teste ............. 157Figura 5.13 – Respostas ao protocolo de Al-07 no pós–teste ......................... 160Figura 5.14 – Gráficos Construídos pelos grupos 02 e 06 na Atividade 2A .... 169Figura 5.15 – Resposta ao protocolo de Al-21 no pré–teste ........................... 174Figura 5.16 – Resposta ao protocolo de Al-21 no pós–teste ........................... 175Figura 5.17 – Resposta ao protocolo de Al-27 no pré–teste ........................... 176Figura 5.18 – Resposta ao protocolo de Al-27 no pré–teste ........................... 177Figura 5.19 – Resposta ao protocolo de Al-27 no pós–teste ........................... 177Figura 5.20 – Respostas aos Protocolos de Al-06 no pré e no pós–teste ....... 178Figura 5.21 – Resposta ao protocolo de Al-05 no pré–teste ........................... 181Figura 5.22 – Resposta ao protocolo de Al-05 no pós–teste ........................... 181Figura 5.23 – Gráfico gerado pelo grupo 08 na Atividade 6B .......................... 184Figura 5.24 – Resposta ao protocolo do grupo 02 na Atividade 6B ................ 185Figura 5.25 – Resposta ao protocolo do grupo 05 na Atividade 6B ................ 185Figura 5.26 – Resposta ao protocolo de Al-23 no item “1c” do pré–teste ....... 189Figura 5.27 – Resposta ao protocolo de Al-12 no item “1c” do pré–teste ....... 190
xvii
Figura 5.28 – Tabela ANIVBALA.TDB e gráfico ANIVBALA.TT construídopelo grupo 05 .................................................................................................... 191Figura 5.29 – Gráfico de freqüência construído pelo grupo 05 na Atividade2A ..................................................................................................................... 195Figura 5.30 – Resposta ao protocolo de Al-22 no item “3d” no pós–teste ...... 198Figura 5.31 – Resposta ao protocolo de Al-06 no item “3d” no pós–teste ...... 199Figura 5.32 – Resposta ao Protocolo de Al-23 no item “1e” no pós–teste ...... 206
xviii
Listas de Quadros .......................................................................................... xviiiQuadro 3.1 – Campo Conceitual: Tratamento da Informação ......................... 58Quadro 4.1 – Desenho do Experimento .......................................................... 74Quadro 5.1 – Estrutura da Análise do Experimento ........................................ 122Quadro 5.2 – Relação entre conteúdos matemáticos, tipos de gráfico equestões do pré−teste ...................................................................................... 127Quadro 5.3 – Síntese do Desempenho dos dois grupos no Pré−teste ........... 137Quadro 5.4 – Relação entre conteúdos matemáticos, tipos de gráficos equestões do pós−teste ..................................................................................... 139Quadro 5.5 – Síntese do Desempenho dos dois grupos no Pós−teste ........... 144Quadro 5.6 – Síntese do Desempenho do GE no Pré e Pós−teste ................ 153Quadro 5.7 – Estrutura da análise qualitativa da leitura e interpretação degráficos ............................................................................................................. 155Quadro 5.8 – Categorias de análise dos itens “1a' e “1b” do pré e pós−teste . 157Quadro 5.9 – Categorias de análise do item “2a" do pré e do pós−teste ........ 173Quadro 5.10 – Categorias de análise do item “1e” do Pré e do Pós−teste ..... 180Quadro 5.11 – Estrutura da análise qualitativa para média aritmética ............ 186Quadro 5.12 – Categorias de análise das concepções de médiaapresentadas pelos alunos do GE ................................................................... 187
CAPÍTULO I
APRESENTAÇÃO
1.1. Introdução
Este estudo tem por objetivo investigar a introdução do conceito de
média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino Fundamental, propondo-se a
fazê-lo, partindo do uso de gráficos em ambiente computacional na situação de
sala de aula.
A ferramenta de informática usada como estímulo do aprendizado é o
software denominado “Tabletop”1, que será apresentado no Capítulo III.
Nossa preocupação ao realizar esta pesquisa, está fundamentada no
fato de pensar a articulação que o estudante realiza entre o conceito e seu uso
imediato no espaço da escola e, para além deste, ou seja, sua aplicação na
esfera da vida cotidiana. Uma vez que esse conhecimento será empregado no
entendimento de questões da vida que possam contribuir para melhor situá-lo no
espaço e tempo, instrumentalizando-o na tomada de decisões.
1 O Tabletop é um aplicativo desenvolvido pelo TERC destinado à manipulação de dados, permitindo incluiras etapas de construção, exploração e análise de banco de dados.
2
O conceito de média parte de uma acepção mais ampla, pois, em
estatística, os valores médios encontram-se associados às medidas de tendência
central. Dentre estas, também, denominadas promédios2, as medidas mais
usadas são a média aritmética, a moda e a mediana. Nosso estudo está
ancorado, especificamente, no conceito de média aritmética que consideramos
ser um conceito estatístico fundamental dentre os demais promédios, já que se
articula com outros a fim de permitir uma leitura da realidade externa quer no
âmbito escolar, quer na vida cotidiana (CAZORLA, 2002; STELLA, 2003).
Lavoie e Gattuso (1998) apontam que o conceito de média teve seu
primeiro uso no interior da ciência que se repercutiu, tanto no interior da
sociologia que permitiu analisar o desenvolvimento da sociedade industrial e da
padronização nela existente, como também na esfera da política que empregou
o conceito de intervalo de confiança, como ferramenta estatística para
conhecimento das pesquisas de opinião.
A média aritmética também é de fundamental importância, pois a
partir dela são calculadas outras medidas, como, por exemplo a
variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação, assimetria,
curtose e correlação. (CAZORLA, 2002, p. 30)
Para Cazorla, na vida diária, as pessoas estimam o tempo médio gasto
no percurso de casa para o trabalho, para fazer compras ou na fila de banco,
dentre outras estimativas.
2 A exemplo de Oliveira (1999), consideramos promédio, como um termo genérico que expressa qualquermedida de tendência central, tomando como exemplos: a média aritmética, a moda e a mediana.
3
Esse processo faz parte do cotidiano e está tão arraigado que, às
vezes, as pessoas nem percebem o grau apurado de suas
estimativas. Algumas pessoas inclusive são capazes de estimar
com bastante precisão (...) quanto tempo demoram para chegar
ao trabalho, de acordo com o dia da semana ou usando um
caminho alternativo. Conseguem estimar as médias sem ter,
necessariamente, anotado o tempo gasto em cada viagem e
depois dividido pelo número de viagens, as vezes nem conhecem
a fórmula da média mas continuam a utilizar seu conhecimento
no planejamento de suas atividades rotineiras. (CAZORLA, 2002,
p. 29)
Cai (1995) também destaca a relevância do conceito de média
aritmética; pois, é de fundamental interesse para a análise de dados e tomada de
decisões. Desse modo, a média é usada com freqüência, nas informações
apresentadas em jornais científicos e nos mais variados meios de comunicação,
assim como na vida cotidiana.
Dada a importância do conceito de média aritmética dentre os demais
promédios, optamos por apresentar, neste momento, uma discussão a respeito do
conceito, ancorada no senso comum, para na seqüência discutí-lo
academicamente no capítulo II.
1.2. Problemática
Conforme foi apresentado na seção anterior, no mundo moderno o
conceito de média é bastante empregado, tanto no contexto escolar como no
cotidiano. Entretanto, o entendimento de seu significado é influenciado pelo fato
de ser usado de modo informal.
Em um estudo com crianças de 4ª a 8ª séries, Mokros e Russell (1995)
observaram que as mais novas utilizam-se informalmente do termo média para
referir-se a típico, usual ou meio.
Assim, é pertinente destacar que, embora a média aritmética seja
considerada um conceito estatístico elementar, o professor deve ter compreensão
de sua complexidade, cujo significado precisa ser construído progressivamente
(BATANERO, 2000b). Desse modo, a autora destaca que:
Ajudar crianças e jovens a compreender progressivamente as
idéias estocásticas3 fundamentais não é uma tarefa simples,
considerando a necessidade em adaptar essas idéias a suas
capacidades cognitivas e desenvolver situações didáticas que
proporcionem uma aprendizagem significativa. (BATANERO,
2000b, p.1)
A seguir, é apresentado um fragmento de um diálogo informal4 tecido em
ambiente familiar, e fazemo-lo com o objetivo de explicitar diferentes concepções
do conceito de média presente na vida cotidiana.
O noticiário de um jornal televisivo anunciou o valor do novo salário
mínimo como sendo de R$ 240,00 e apresentou o resultado de
uma pesquisa sobre o poder aquisitivo do trabalhador brasileiro,
tendo divulgado a seguinte informação:
S
c
j
o
3 Estocástica é a área da ciênc2003, p. 5)4 Trata-se de um diálogo fictescolar como fora dele.
A média salarial do trabalhador brasileiro é de R$ 460,00
4
egue-se a esta notícia, uma calorosa discussão entre uma
riança de 11 anos, aqui apresentada com o nome de João, que
á havia estudado alguns conceitos estatísticos na 5a série dentre
s quais o de média aritmética; a doméstica, denominada com o
ia que inclui a teoria da probabilidade, a estatística e suas aplicações. (LOPES,
ício baseado em situações experenciadas pela pesquisadora, tanto no âmbito
5
nome hipotético de D. Ivone e a pesquisadora. D. Ivone num tom
embravecido afirmou:
D. Ivone: Que é isso? Eles falam que o novo salário é de
R$240,00 e aí fala que a média (...) do trabalhador é R$ 460,00.
Entendi nada!!
P: Calma, D. Ivone! O que foi que você não entendeu nesta
reportagem?
Ivone: Ué! A senhora não vê que a maioria das pessoas ganha o
salário mínimo? Quase todo mundo que eu conheço, as minhas
amigas daqui do prédio ganham um salário mínimo!
P: Acredito que o que você acabou de dizer possa ser verdade!
Mas, o que você não entendeu na reportagem?
Neste momento, observei que a criança balançava a cabeça
negativamente, embora tentasse se pronunciar, foi
interrompida por D.Ivone. Assim, resolveu, aguardar uma
possível conclusão de D. Ivone sobre o assunto em
questão.
D. Ivone: Espera aí, menino! Deixa eu terminar! Se quase todo
mundo que eu conheço ganha o salário mínimo, e esse salário
vai para R$ 240,00, porque eles fala[m] que a média (...), média o
que? É R$ 460,00?
P:: Hum! D. Ivone, a notícia fala que a média salarial do
trabalhador brasileiro é de R$ 460,00. O que você entende por
média salarial?
D. Ivone: Ué!! Para mim, é simples! Essa média salário, né? É o
pagamento que é recebido pelas pessoas. Por isso, eu acho que
é R$ 240,00 e não R$ 460,00 como o moço disse.
P: Ah!!! Acho que entendi o que a senhora pensou! E o que a
senhora diria, se de cada dez pessoas que a senhora conhece,
sete ganhassem um salário de R$ 460,00?
6
D. Ivone: Aí é outra coisa! Aí sim, era verdade, porque então,
quase todo mundo estava ganhando R$ 460,00. Será que o moço
se enganou?
Na discussão, observamos que Ivone parece apresentar uma
concepção5 de média como moda. Para ela, a média deve ser o salário ganho
pela maioria das pessoas. Além disso, ignora que existam salários diferentes
do seu, prevalecendo para sua determinação da média apenas os salários das
pessoas que conhece.
Assim, a discussão remete-nos à pesquisa realizada por Mokros e
Russell (1995)6, na qual os autores afirmam que estudantes com esta
concepção de média, freqüentemente, usam o raciocínio centrado nas
experiências pessoais e, não, em relação aos dados, o que parece ter ocorrido
com Ivone.
Continuando a discussão, procurei investigar qual era a concepção
de média por parte de João. Seria a mesma de D. Ivone? Se não,
qual seria sua concepção a respeito do conceito?
P: João, o que você entendeu sobre a reportagem que ouvimos há
pouco no jornal? Você concorda com o que D. Ivone disse?
João: Bem! Parece que chegou minha vez!! Posso falar um pouco
D. Ivone?
D. Ivone: Fala logo, menino! Antes que eu comece de novo...
João:: Olha, eu penso diferente de D. Ivone. Pelo que eu entendi,
ela acha que se a maioria ganha R$ 240,00, a média salarial
deveria ser de R$ 240,00. Não é isso, D. Ivone?
D. Ivone: É sim! É isso, mesmo!!
5 Estaremos considerando este conceito tal qual Vergnaud (1998). Para este autor, a concepção identifica-sepelas representações simbólicas ou expressões verbais do sujeito, na qual o mesmo é capaz de exteriorizar osinvariantes operatórios, que são os conhecimentos explícitos.6 Trata-se de uma pesquisa realizada com 21 estudantes de 4ª a 8ª séries, sobre a concepção de médiaapresentada por esses alunos que já haviam estudado o conceito.
7
P: Se você não concorda com D. Ivone, o que você entende por
média salarial, João?
João: Olha! Eu entendo assim: veja, eu não trabalho, mas se eu
ganhasse R$ 440,00, e você (apontando para D. Ivone) ganhe R$
240,00, e você (aponta para a pesquisadora) ganhasse R$ 640,00,
acho que podemos considerar, nesse caso, que a média salarial
era de R$ 440,00, porque é o valor que está no meio.
P: Porque você acha que, neste caso, podemos considerar a média
salarial como R$ 440,00?
D. Ivone: Mas, menino! Como é isso? O homem nem falou de R$
440,00, falou de R$ 460,00 ...
João: É simples!! É como a média da escola! Se eu tiro uma nota
6,0 e depois uma nota 8,0, minha média vai ser 7,0, pois, somamos
as duas notas e dividimos por 2. No caso dos salários, o total de
R$ 1.320,00 dividido por três vai dar R$ 440,00. Além disso, o
salário de R$ 440,00 não é o menor salário, mas também não é o
maior. Então, neste caso, R$ 440,00 pode ser considerado o
salário médio dos trabalhadores. É um salário de quem não ganha
muito, mas também não ganha pouco.
P: Hum! Acho que entendi o que você quis dizer!
No segundo fragmento, João apresenta uma concepção de média
diferente de Ivone. Por sua fala, percebemos que a princípio ele traz a concepção
de média como mediana, o que pode ser apreendido na frase “(...) se eu
ganhasse R$ 440,00, e você [D. Ivone] R$ 240,00, e você (aponta para a
pesquisadora) ganhasse R$ 640,00, acho que podemos considerar nesse caso,
que a média salarial seria de R$ 440,00, porque é a quantidade que está no
meio”.
Na seqüência, João explicita o raciocínio extraído do universo escolar
que denota o uso particular dos conhecimentos disciplinares prévios da
matemática aprendidos na escola que são expressos pela frase: “É simples!! É
como a média da escola! Se eu tiro uma nota 6,0 e depois uma nota 8,0, minha
8
média vai ser 7,0, pois somamos as duas notas e dividimos por 2”. Nesse
momento, ele apresenta outra concepção de média, a de média salarial,
compreendida como a média aritmética entre os valores apresentados.
Na seqüência, João articula esta concepção de média, como mediana
com a do salário do conjunto dos interlocutores para chegar a uma tentativa de
síntese, ou seja, para encontrar a representatividade desse valor médio em
relação ao conjunto dos dados. O que está expresso na frase: “Então, neste caso
R$ 440,00 pode ser considerado o salário médio dos trabalhadores. É um salário
de quem não ganha muito, mas também não ganha pouco”.
Ao final de sua fala, apresenta a concepção de média como um valor
razoável.
Para Mokros e Russell (1995), este tipo de abordagem de média,
diferente da apresentada por Ivone, baseia-se na idéia de representatividade,
pois, segundo os autores, os estudantes com a concepção de média, como um
valor razoável, vêem a média, como ferramenta que dá sentido aos dados e
procuram um valor, que seja representativo desses dados, tanto com base em
uma perspectiva matemática como no senso comum. Assim sendo, os estudantes
podem usar suas experiências da vida real para julgar, se a média encontrada faz
sentido.
Dessa forma, podem acreditar que a média aritmética de um conjunto
particular de dados não é um valor matemático preciso, mas, uma aproximação
que pode assumir um de seus vários valores. Neste sentido, no segundo
fragmento de João parece que sua concepção de média está mais próxima da
9
compreensão do conceito de média, como um valor representativo do que o
exposto por Ivone.
Diante do relato apresentado, observamos distintas concepções de
média apresentadas pelos participantes da discussão. Ivone parece estar se
referindo à moda, pois, para ela a média salarial deve ser o salário ganho pela
maioria das pessoas. Além disso, posteriormente, Ivone parece não concordar
com um valor para média que seja diferente dos valores da distribuição. Por outro
lado, a concepção do referido conceito apresentado por João pode estar
associada à média, como valor razoável ou como algorítmo, ou ainda,
implicitamente, como mediana.
Vale salientar que todas as concepções mostradas na discussão, fazem
parte do Campo Conceitual de Média que será discutido detalhadamente no
próximo capítulo.
Pelos fragmentos apresentados, percebemos que o termo média não era
totalmente desconhecido por nenhum dos participantes, porém, fica evidente a
existência de distintas concepções que lhe podem ser atribuídas. Julgamos que
esta diversidade de concepções sobre a média pode levar as pessoas a falsas
interpretações de suas leituras de conteúdos de diversas naturezas ou de
experiências concretas do cotidiano, nas quais podem ser demandadas tomadas
de decisão.
Paralelamente à análise dos resultados obtidos na pesquisa de Mokros e
Russell (1995), na qual as crianças referem-se informalmente à média como valor
típico, usual ou valor intermediário, também, a análise de outras situações, por
nós vivenciadas, como as que acabamos de relatar, podem indicar a confusão
10
terminológica apresentada pelo termo média. No entanto, as distintas concepções
atribuídas à média podem contribuir na construção desse conceito, pois todas são
consideradas Medidas de Tendência Central.
Para Lavoie e Gattuso (1998, p. 1.052), no século XIX na Europa, houve
um considerável desenvolvimento da ciência que “se refletiu na criação de novas
palavras para explicar idéias e conceitos ou problemas que, até então, tinham
sido ignorados”7. Os autores citados apontam que desde a Idade Média as
Universidades européias compreendiam quatro faculdades: medicina, direito,
teologia e belas artes e o estudo do latim e do grego constituíam-se na base para
o conhecimento.
A matemática, provavelmente constituiu o caso mais extremo de
um rompimento com a tradição greco-latina das letras clássicas.
Havia tão pouca preocupação com a discussão gramatical que
não se criavam novas palavras para descrever novos conceitos:
estas eram tiradas da língua viva. Como teste, folheando um
dicionário de termos matemáticos (...) é visível que abundam
termos existentes na linguagem corrente freqüentemente com
outros significados. (LAVOIE e GATTUSO, 1998, p. 1.052)
Conforme os autores citados, se de um lado o uso de palavras eruditas
trouxe problemas à aprendizagem; por outro lado, o emprego de palavras
correntes ou, de uso diário, aplicadas em um sentido erudito também resultou em
dificuldades pois, neste caso, as palavras já portavam outros significados na
linguagem cotidiana.
Essa operação é duplamente delicada. Em primeiro lugar, é
necessário compreender que os outros sentidos são somente
abandonados durante o período de aprendizado, mas continuam
7 Texto original em inglês com tradução livre da autora.
11
adequados em outros casos. Segundo, outros significados
podem, algumas vezes, estar em conflito com o sentido que está
sendo ensinado. (LAVOIE e GATTUSO, 1998, p. 1.053)
No Brasil, a forma pela qual o conceito de média tem sido apresentado
nos livros didáticos, pouco tem contribuído para suprimir sua confusão
terminológica, tendo em vista que, atualmente, os livros adotados nas escolas
privilegiam o ensino do algorítmo (STELLA, 2003).
Desse modo, realizar pesquisas a respeito do conceito de média
aritmética parece-nos relevante, visto que podem surgir dele formas para
compreender suas especificidades. Assim, um primeiro contato na escola com o
conceito de média aritmética na 4ª série do Ensino Fundamental pode
proporcionar ao aluno uma melhor compreensão, considerando que esse conceito
será retomado em séries subseqüentes e articulado a outras medidas de
tendência central.
A inclusão da média aritmética, como conteúdo a ser desenvolvido nas
séries iniciais no Brasil, é uma proposta que se dá a partir de 1997, pois foi
sugerida pelos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1997)8.
O PCN de Matemática para o primeiro e segundo ciclos do Ensino
Fundamental é composto por quatro blocos de conteúdos: Números e Operações;
Espaço e Forma; Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação. A inclusão
do conceito de média aritmética deu-se no bloco de Tratamento da Informação.
8A partir de agora iremos nos referir aos Parâmetros Curriculares Nacionais apenas como PCN, e seráutilizado apenas o documento de Matemática para o primeiro e segundo ciclos do Ensino Fundamental – v. 3.
12
A seguir, faremos uma discussão da questão e dos objetivos que
nortearam esta pesquisa.
1.3. Objetivo e Questão de Pesquisa
Considerando que o conceito não emerge em um único momento,
mas, que seu desenvolvimento é decorrente de um processo em espiral9, no qual
sua compreensão avança um pouco mais a cada vez que é trabalhado,
decidimos desenvolver nosso estudo na 4ª série do Ensino Fundamental. Desta
forma, a presente proposta consiste na aplicação de uma intervenção de ensino
para iniciar o conceito de média aritmética nessa série.
Ao introduzir os conceitos elementares de estatística, abordando o de
média aritmética já nas séries iniciais, acreditamos que possibilitaremos ao aluno
uma melhor compreensão das informações que lhe são apresentadas de diversas
formas.
No que tange à questão do entendimento das informações, é
importante destacar o incessante avanço tecnológico vivenciado por nossa
sociedade, sobretudo, nesta virada de milênio. O uso cada vez maior de
computadores e novas tecnologias acaba trazendo mudanças significativas nos
diversos campos da atividade humana.
Constantemente nos deparamos com informações, as mais variadas,
expressas por meio de gráficos e tabelas como, por exemplo, índices
9Neste sentido, remetemo-nos ao currículo em espiral proposto por Jerome Bruner (1978, p. 12), onde: “Umcurrículo, à medida que se desenvolve, deve voltar repetidas vezes a essas idéias básicas, elaborando ereelaborando-as, até que o aluno tenha captado inteiramente a sua completa formulação sistemática”.
13
econômicos, resultados de jogos esportivos e pesquisas de opinião; que são
veiculadas pela mídia impressa, televisiva e virtual.
As mudanças ocorridas na sociedade exigem reformulações na área
educacional para poder atender às reais necessidades dessa nova sociedade,
sendo fundamental uma correta leitura e interpretação, por parte do leitor, dos
dados apresentados graficamente. Muitas das decisões a serem tomadas partem
de inferências que o indivíduo pode elaborar, apoiadas na leitura e interpretação
desses dados, mas, é necessário que o trabalho com organização e interpretação
de dados seja desenvolvido desde cedo no ambiente escolar:
No mundo de hoje nos deparamos com uma crescente
quantidade de dados. Organizar e interpretar esses dados são
habilidades exigidas cada vez mais no dia-a-dia do cidadão e a
introdução desse processo precisa começar desde cedo na
educação escolar da criança. (HEALY et al, 2000, p. 1)
Nesse momento, surge a seguinte questão: por que não usar
instrumentos que possam colaborar na construção de gráficos, como o
computador? De que forma o computador poderia auxiliar na introdução do
conceito de média aritmética, utilizando a representação gráfica?
Diante dessas indagações, decidimos que este estudo fosse realizado
em ambiente computacional, para que pudéssemos oferecer ao aluno um
ambiente dinâmico, para que ele tivesse a oportunidade de desenvolver distintos
procedimentos na resolução das atividades propostas.
O computador tem sido considerado uma importante ferramenta na
construção de gráficos, ao permitir que o aluno faça uma rápida modificação do
gráfico, sempre que necessário. Pesquisas recentes têm apontado significativas
14
contribuições do uso do Tabletop, tendo em vista que este banco de dados pode
auxiliar na aprendizagem de conceitos básicos de estatística. (HEALY et al, 2000;
SANTOS e MAGINA, 2001, SANTOS, 2003).
Desta forma, no decorrer da intervenção de ensino, a representação
gráfica foi usada para auxiliar na introdução do conceito de média aritmética,
tendo em vista que a articulação do conceito e suas distintas representações
possam facilitar sua apreensão.
Diante deste cenário, elaboramos a seguinte questão de pesquisa:
Quais as contribuições da intervenção de ensino proposta para a
introdução do conceito de média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino
Fundamental, com o uso do ambiente computacional?
Para responder à questão de pesquisa, estabelecemos outras mais
específicas, que destacamos:
Qual a relação existente entre leitura e interpretação de gráficos e o
conceito de média aritmética neste estudo?
Quais foram as dificuldades apresentadas pelos alunos na
introdução de média aritmética, com o uso da representação gráfica?
Para responder a estas questões, este estudo será desenvolvido em três
partes. Inicialmente, será aplicado o pré-teste, cujo objetivo consiste na
identificação das concepções apresentadas pelos alunos quanto ao conceito de
média. No momento seguinte, desenvolveremos as atividades de intervenção,
que terão como subsídio, a abordagem de propriedades do conceito de média
15
aritmética, que segundo Strauss e Bichler (1988) contribuem para sua
compreensão; assim como os níveis de leitura e interpretação de gráficos
propostos por Curcio (1987). Por último, será aplicado um pós-teste que sirva
para identificar as possíveis contribuições da intervenção de ensino desenvolvida,
na introdução do referido conceito. Cada uma dessas fases será apresentada
detalhadamente no capítulo IV, referente à Metodologia.
1.4. Articulação do Estudo ao Projeto de Pesquisa
FAPESP
Esta pesquisa originou-se no âmbito de um projeto mais amplo, dentro
do qual este estudo se insere. A seguir, apontaremos o caminho percorrido para o
desenvolvimento do trabalho. Neste momento, é pertinente destacar que o estudo
insere-se na linha de pesquisa de Tecnologia da Informação e Educação
Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Esta pesquisa é
decorrente do Projeto “Integração do Computador nas Aulas de Matemática do
Ensino Fundamental: formação e desenvolvimento de um Núcleo de Ensino e
Pesquisa10” cuja meta consiste na busca da integração do computador como
ferramenta11 nas aulas de Matemática. O Núcleo de Pesquisa constitui-se em um
(...) espaço aberto para a formação de professores e alunos, atuando
através de oficinas, seminários, grupos de estudos, produção de
10 Trata-se de projeto coordenado pela Professora Dra. Sandra Magina do Departamento de Ciências Exatas eTecnológicas da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. O referido projeto foi aprovado e financiadopela FAPESP tendo sido desenvolvido em uma Escola Estadual da região central de São Paulo no período deoutubro de 2000 a fevereiro de 2003.11 A exemplo de Valente (1993), consideramos o computador como uma ferramenta.
16
material didático e na realização de pesquisas voltadas para os dois
ciclos iniciais do Ensino Fundamental. (MAGINA, 2000, p. 2)
Para o desenvolvimento do Projeto, foram escolhidos dois blocos de
conteúdos: Geometria, para o qual foi usado o software Cabri-Geomètre e
Tratamento da Informação, com o emprego do software Tabletop. Quanto ao
bloco de conteúdo Tratamento da Informação, o Projeto deu origem a quatro
pesquisas de mestrado especificadas, a seguir.
A primeira, direcionou-se à formação do professor das séries iniciais do
Ensino Fundamental. Já concluída, a pesquisa de Santos (2003) consistiu em um
estudo de caso com um dos professores participantes do Projeto, no qual foi
discutido a formação do professor em conceitos básicos de estatística com o
auxílio do ambiente computacional. As outras três pesquisas direcionaram-se à
formação do aluno, tendo sido desenvolvidas simultaneamente.
Assim, a presente pesquisa apresenta como objetivo investigar a
introdução do conceito de média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino
Fundamental, com base no desenvolvimento de uma intervenção de ensino,
usando o software Tabletop. A pesquisa de Simone Caetano inserida no mesmo
Projeto, investigou a introdução do conceito de média aritmética em alunos da 4a.
série do Ensino Fundamental empregando, material manipulativo. Existe, ainda, o
trabalho de Kioshink Nakamura que desenvolverá o estudo comparativo entre as
contribuições oferecidas pelo software Tabletop e pelo uso do material
manipulativo na introdução do conceito de média aritmética com crianças da 4ª
série do Ensino Fundamental.
17
Tendo situado nossa pesquisa no âmbito do Projeto “Integração do
Computador nas Aulas de Matemática do Ensino Fundamental: formação e
desenvolvimento de um Núcleo de Ensino e Pesquisa”, passamos a seguir, à
descrever os capítulos subseqüentes do estudo.
1.5. Descrição da Dissertação
No presente capítulo, o leitor é situado quanto à problemática que
motivou o estudo, sendo expostos o objetivo e a questão de pesquisa. É
apresentada uma breve descrição do Projeto, que originou o estudo e finalizamos
com um resumo dos capítulos subseqüentes.
No capítulo II, faremos uma breve apresentação histórica do conceito de
média, abordando-a numa perspectiva matemática. Apontaremos as similaridades
e diferenças entre as três medidas de tendência central mais usadas: média
aritmética, moda e mediana, dando especial atenção a primeira, que se refere ao
tema central da pesquisa. Faremos uma breve revisão da literatura das pesquisas
relacionadas ao conceito de média aritmética, destacando as propriedades desse
conceito abordadas por Strauss e Bichler (1988) em estudo com crianças da
mesma faixa etária do presente trabalho. Ao finalizar o capítulo, serão mostrados
ainda os resultados de estudos referentes à leitura e interpretação de gráficos,
destacando os níveis de leitura apresentados por Curcio (1987).
No capítulo III, será feita uma breve discussão das idéias de Gerard
Vergnaud inseridas na Teoria dos Campos Conceituais sobre a questão da
formação do conceito. Na seqüência, destacaremos brevemente a organização do
18
currículo em espiral e o método da descoberta proposto por Bruner e o Campo
Conceitual que permeará o desenvolvimento do estudo. Finalizando o capítulo,
discutiremos o uso do computador em sala de aula, que é o contexto, no qual
será desenvolvida a intervenção de ensino, seguido de uma descrição dos
recursos do software Tabletop e sua finalidade ao estudo.
No capítulo IV, mostraremos a metodologia usada no estudo,
descrevendo o desenho do experimento, o universo do estudo e os
procedimentos. A análise prévia do pré-teste que descreve cada questão que o
constitui, será incluída, indicando nossos objetivos e expectativas em relação a
eles. De forma semelhante, será apresentada uma análise prévia das atividades
de intervenção aplicadas na segunda fase do estudo.
No capítulo V, serão feitas as análises quantitativa e qualitativa dos
resultados obtidos referentes aos testes aplicados antes e depois do
desenvolvimento das atividades de intervenção, denominadas pré-teste e pós-
teste, respectivamente, e, será feita a análise de algumas atividades
desenvolvidas na intervenção de ensino. Neste capítulo, estão mencionadas as
categorias estabelecidas para elaboração dessas análises, advindas do
mapeamento das respostas dos alunos obtidas no pré-teste.
No capítulo VI, teceremos considerações com base nos resultados das
análises apresentadas no capítulo anterior, respondendo às questões de pesquisa
propostas inicialmente, apontando, ainda questões para futuros estudos.
CAPÍTULO II
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ECOMPREENSÃO DE GRÁFICOS
2.1. Introdução
Considerando que este estudo procura discutir a introdução do conceito
de média aritmética com uso da leitura e interpretação de gráficos, julgamos
necessário apresentar uma discussão da média, como construto formal, iniciando
pelo resgate histórico de seu significado para, em seguida, expor a definição dos
termos: média aritmética, mediana e moda. Após, mostraremos um breve resumo
da pesquisa de Strauss e Bichler (1988), desenvolvida com crianças de 8 a 14
anos, utilizando as propriedades de média aritmética. Esta pesquisa tornou-se
relevante para o presente estudo, tendo em vista que nossa proposta consiste na
introdução do conceito de média aritmética, usando suas propriedades.
Na seqüência, apresentaremos a definição de gráfico, segundo Spiegel
(1993) e Leinhardt; Zaslavsky; Stein12, conforme citado por Cazorla (2002) e os
12 Leinhardt, G., Zaslavsky, e Stein, M. K. Functions, graphs, and graphing: task, learning and teaching.Review of Educational Research, 60(1), 1-64, 1990.
20
resultados da pesquisa de Guimarães; Ferreira; Roazzi (2001) e de Guimarães
(2002), ambos sobre leitura e interpretação de gráficos com crianças de terceira
série em escola pública de Olinda. O estudo de Guimarães tornou-se relevante no
desenvolvimento de nosso trabalho, pois teve em comum o uso de ambiente
computacional, como recurso metodológico e ferramenta operacional para o
ensino de Matemática empregando o software Tabletop.
Finalizando o presente capítulo, faremos uma breve apresentação do
estudo de Curcio (1987), pois utilizaremos os três níveis de leitura de gráficos por
ele proposto, a saber: ler os dados, ler entre os dados e ler além dos dados.
Nesta perspectiva, destacamos que o conceito de média aritmética e a
leitura e interpretação de gráficos em nosso estudo estão marcados por uma
intensa inter-relação e interdependência de ambos e apenas por uma escolha
didática serão aqui apresentados em duas partes.
2.2. O Conceito de Média no Decorrer da História
Para explicitar claramente o conceito que estamos trabalhando, é
preciso buscar compreender sua historicidade. Assim, decidimos realizar uma
breve apresentação dos aspectos importantes desse conceito através do tempo,
que será baseada na análise de Lavoie e Gattuso (1998) que fizeram uma
exploração epistemológica e histórica do conceito de média, e, o trazemos com a
intenção de expor as concepções que marcaram seu uso.
Conforme os autores citados, o conceito de média (average, em inglês)
pode ser visto como um conceito filosófico de “geral”, que teve seu primeiro uso
21
no mundo da ciência e sua evolução é relatada no decorrer da história, afirmando
que seu uso tornou-se mais amplo nos últimos cinqüenta anos (LAVOIE e GATTUSO,
1998).
Este conceito também tem algum significado sociológico no
desenvolvimento das sociedades industriais onde a padronização
era essencial. O conceito de média (average) desempenhou um
papel na política: a idéia de intervalo de confiança auxilia as
ferramentas estatísticas indicando os levantamentos de opinião.
O conceito de média tornou-se importante o suficiente para ser
ensinado nas escolas mas pouco é falado sobre os vários
sentidos do conceito e suas dificuldades não são realmente
tratadas. (LAVOIE e GATTUSO, 1998, p. 1.051, tradução livre da
autora)
Inicialmente, os autores apresentam uma análise da palavra média em
francês, cujo termo utilizado é ‘moyénne‘ e, em inglês, ‘Average ou mean’; eles
citam que a dificuldade do conceito é universal e para exemplificar analisam:
A palavra ‘moyénne‘ deriva da raiz indo-européia ‘medhyo’ no
sentido de ‘aquilo que está no meio’ (Grandsaignes d’Hauteriva,
1948). Encontramos um traço desta raiz em Sânscrito (madhyah),
em Grego (meseuw), em Latim (medius), em Espanhol (médio),
em Italiano (misaine), em Inglês (medal), em Francês a palavra é
principalmente, um adjetivo (moyen, moyénne) e reflete sua
etmologia de ‘situado no meio’. Ela sofreu uma certa distorção,
tornando-se ‘meiens’ por volta de 1120 e ‘moienne’ por volta de
1360. Por volta da segunda metade do século XIII, a forma
substantiva ‘la moyenne’ ou ‘average’ já existia (LAVOIE e
GATTUSO, 1998, p. 1.053, tradução livre da autora).
Na Idade Média, o conceito de média referia-se àquilo que é mais
comum, mais freqüente ou típico, representando, portanto, a maioria. Segundo os
autores citados, no século XVI, quando se afirmava que alguém era menor em
22
tamanho do que a média, estava indicando que era um pouco diferente da altura
que representava o grupo; assim, estes conceitos de média estão muito próximos
da mediana e da moda.
No século XVII, em aritmética, o significado de média era usado para
expressar aquilo que estivesse distante dos dois extremos − está no meio − ou − a
metade de alguma coisa −, para aludir à metade da soma de dois números.
No século XIX, surge uma nova forma de abordar o conceito de média
que é definido como uma quantidade arbitrária. Este se desenvolveu em
Estatística, ocasião em que se passa a utilizar a expressão em média, ‘on
average’. Neste momento, a Física já definia a relação entre uma distância
percorrida e o tempo necessário para percorrê-la como velocidade média,
fazendo uso da expressão ‘em média’ (LAVOIE e GATTUSO, 1998).
O emprego da palavra average na expressão velocidade média −
‘average speed’ − veio da astronomia: o movimento médio de
uma estrela correspondia ao movimento uniforme que seria
necessário para percorrer sua trajetória no mesmo tempo que
seu movimento real. (LAVOIE e GATTUSO, 1998, tradução livre da
autora).
A partir do século XIX, desenvolveu-se a Estatística, e o conceito de
média antes frequente na Astronomia passa a ser amplamente utilizado, tanto no
campo das ciências físicas como nas humanas e sociais.
Nesta etapa do desenvolvimento industrial, observa-se que o uso e o
aprendizado desse conceito nascem marcados pela necessidade de estabelecer
relações, tomar decisões a respeito de um mundo marcado pela quantidade,
23
diversidade e, sobretudo, pela necessidade de um instrumento que permita ao
consumidor apreciar, tomar decisões e avaliar o mundo que o cerca.
Assim, aparece a primeira menção de média no meio escolar, conforme
Lavoie e Gattuso, que teria ocorrido em escola destinada a homens de comércio e
de negócios − Commercial Schools and Business Men (Roy13, 1892, apud LAVOIE
e GATTUSO, 1998).
Em 1935, surge a menção de média de notas em um livro didático da
escola elementar francesa. No mesmo período, livros didáticos canadenses e
americanos apresentaram uma abordagem pedagógica baseada, inicialmente, no
método de somar e dividir explicado em um determinado contexto para, na
seqüência, dar significado à média. Os autores exemplificam:
Primeiramente, o método de somar e dividir, é explicado em um
determinado contexto, quantidade de consertos por técnicos, por
exemplo, depois há uma tentativa de dar significado à média:
‘significa que se eles fizeram 317 consertos todos juntos e se
todos os 5 fizeram a mesma quantidade de consertos, cada um
teria feito 63 2/5 consertos’ (BUSWELL, BROWNILL, JOHN14 apud
LAVOIE E GATTUSO, 1998, p. 1056).
Finalmente, os autores apontam que, no século XX, a média passa a
ser introduzida entre outros valores de medida de tendência central, o que permite
a comparação entre moda, mediana e média. A partir dos anos de 1970, a
Estatística, incluindo, o conceito de média insere-se no currículo da Matemática.
13 ROY, J. L. Quick at Figures, Designed specially for Commercial Schools and Business Men. Montreal:Lovell & Son, 1892.14 BUSWELL, G. BROWNELL, W.JOHN, L. Living Arithmetic. Grade Five. Canadian Edition. Toronto:Ginn and Company, 1938.
24
Neste momento, apresentamos a definição de cada uma das medidas
de tendência central: média aritmética, mediana e moda.
2.3. Medidas de Tendência Central
Nosso estudo ancorou-se de modo específico no conceito de média
aritmética, doravante, apresentado também sob o nome de média. Entretanto,
como já foi discutido, há uma diversidade de concepções relacionadas a esse
conceito, fato que nos demandou explicitar os diversos conceitos sobre as
medidas de tendência central, dentre as quais se encontram a média aritmética, a
mediana e a moda usadas com maior freqüência nos livros didáticos de
Estatística e Matemática.
Como salientamos no capítulo I, a média aritmética é uma das várias
medidas de tendência central. O termo promédio tem sido usado para expressar
qualquer uma dessas medidas (TOLEDO e OVALLE, 1985; OLIVEIRA, 1999),
entretanto, é consenso entre esses autores, que a média aritmética, a mediana e
a moda são as mais utilizadas.
Assim, cada um desses três promédios apresenta vantagens e
desvantagens em relação a seu emprego, considerando que a escolha do uso de
um ou de outro promédio depende dos dados existentes e dos fins desejados. No
momento, destacamos a definição de cada um desses promédios, e focaremos o
uso de variáveis discretas, visto ser este o tipo de variável que será utilizada no
presente estudo.
25
2.3.1. Média Aritmética
Dentre as medidas de tendência central, a média aritmética é a mais
usada para descrever resumidamente uma distribuição de freqüência (COSTA
NETO, 1977; TOLEDO e OVALLE, 1985,). Além disso, “a média aritmética é um
conceito fundamental da Estatística e da ciência experimental, sendo amplamente
utilizada no contexto escolar e cotidiano“ (GAL15, 1995 apud CAZORLA, 2002).
A média aritmética pode se apresentar sob duas formas: média
aritmética simples e média aritmética ponderada. Considerando que nosso estudo
ancorou-se na média aritmética simples, preferimos nos deter nesta, visto que se
trata de um dos objetos do presente estudo.
Em Spiegel (1993, p. 67), encontramos a seguinte definição para média
aritmética simples:
A média aritmética simples, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, XN é
representada por (leia-se “X barra”) e é definida por:
)1(N
XN
X
NXXXX
X
N
1jj
N321 ∑=∑
=++++
= =L
Exemplo: A média aritmética dos números 8, 3, 5, 12, 10 é:
6,75
385
1012538X ==++++=
Figura 2.1: Definição de média aritmética simples segundo Spiegel (1993)
15 GAL, I. Statistical tools and statistical literacy: the case of the average. Teaching Statistics, 17 (3), 97-99(1995).
26
Se observarmos a Figura 2.1, verificamos que o autor utiliza-se,
inicialmente, da formulação matemática de média aritmética para depois
apresentar um exemplo com dados numéricos.
A seguir, apresentamos a definição desse conceito baseada na ótica de
Toledo e Ovalle (1985).
A média aritmética simples de um conjunto de números é igual ao quociente entre asoma dos valores do conjunto e o número total de valores.Suponha que em um escritório de consultoria a empresar há cinco contínuos querecebem os seguintes salários mensais: Cr$ 800,00, Cr$780,00, Cr$ 820,00, Cr$810,00 e Cr$ 790,00. A média aritmética dos salários ou salário médio mensal doscontínuos desse escritório será de 800 cruzeiros, de acordo com a definição.
8005000.4
5790810820780800X ==++++=
Genericamente, podemos escrever:
)1(n
xx
n
1ii∑
= =
onde=ix valor genérico da observação
=n número de observações
Figura 2.2: Definição de média aritmética simples segundo Toledo e Ovalle (1985)
Se compararmos as duas formas apresentadas da definição de média
aritmética, constataremos que Toledo e Ovalle, diferente de Spiegel, apresentam
a definição de média baseada na sua formulação em uma linguagem natural,
seguida de um exemplo. Eles apresentam a formulação matemática, só após ter
demonstrado a resolução de um problema em uma situação contextualizada.
Assim, lembramos que o presente estudo não tem por objetivo definir
média aritmética ao aluno, pelo contrário, temos por hipótese que, baseados no
uso de situações distintas, envolvendo explicitamente cinco propriedades de
média aritmética por nós propostas nas diferentes atividades de intervenção,
27
possamos proporcionar ao aluno o estabelecimento de relações que o auxiliem a
formulá-la matematicamente, contribuindo para a apreensão do conceito.
Oliveira (1999) destaca dois fatores como vantagens para o emprego da
média aritmética: um deles refere-se à precisão matemática para sua
determinação, tendo em vista o emprego de todos os dados para seu cálculo; o
outro mostra que a média aritmética pode ser determinada somente quando o
valor total e o número de elementos forem conhecidos. Entretanto, o autor
salienta a desvantagem do uso da média aritmética, quando esta é influenciada
por valores extremos, podendo, em alguns casos, não representar o conjunto de
dados da distribuição.
2.3.2. Mediana
Outra medida de tendência central muito usada na análise dos dados
estatísticos é a mediana, definida como: “A mediana de um conjunto de números,
organizados em ordem de grandeza (isto é, em um rol16) é o valor central ou a
média aritmética dos dois valores centrais” (SPIEGEL, 1993, p. 70).
Pela definição da mediana, percebemos a necessidade de que os
valores da distribuição estejam ordenados, segundo suas grandezas por ordem
crescente ou decrescente, o que não ocorre com a média aritmética que pode ser
calculada com base em dados brutos. Diferente da média aritmética, para
obtenção da mediana, quando a variável em estudo é discreta17, temos dois
16 Conforme Spiegel (1993, p. 39), rol é um arranjo dos dados numéricos brutos em ordem crescente oudecrescente de grandeza.17 Segundo Crespo (1999, p. 18), uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjuntoenumerável recebe o nome de variável discreta.
28
casos a considerar que serão exemplificados. Para isso, baseamo-nos nas
definições de Oliveira (1999), apresentando exemplos nossos.
1) A variável em estudo é discreta e n (número de termos) é ímpar. Nesse caso, a
mediana será o valor da variável que ocupa o posto de ordem n
1n +
Ex.: Calcular a mediana do seguinte conjunto de números:A = {1, 2, 5, 11, 14, 22, 29}
Solução: n = 7, assim, temos 42
17 =+
Logo, Md = 11
Figura 2.3: Cálculo da mediana para variáveis discretas: número ímpar de termos
No exemplo apresentado na Figura 2.3, é importante destacarmos que o
valor 4 encontrado inicialmente é um número ordinal. Assim, 4 indica que a
mediana é um valor que ocupa o quarto posto do conjunto ordenado, ou seja, 11.
A seguir, apresentamos o segundo caso para o cálculo da mediana, qual
seja, para a variável discreta, quando o número de termos é par.
2) A variável em estudo é discreta e n (número de termos) é par.Nesse caso, nãoexistirá no conjunto ordenado um valor que ocupe o valor central, isto é, a medianaserá indeterminada, pois qualquer valor compreendido entre os valores que ocupemos postos de ordem n/2 e (n+2)/2 pode ser considerado o centro da ordenação. Dessaforma, por definição, a mediana será a média aritmética dos valores que ocupam osreferidos postos.Exemplo: Calcular a mediana do seguinte conjunto de números:
A = {4, 7, 10, 13, 15, 16, 18, 20}Solução: Como n = 8, procuramos os valores centrais e calculamos a médiaaritmética desses valores:
142
1513 =+
Dessa forma temos que a mediana desse conjunto de dados é 14, ou seja: Md = 14Observamos assim, a ocorrência de igual número de valores maiores que 14 (15, 16,18 e 20) e menores (4, 7, 10, 13) que 14, que é a mediana.
Figura 2.4 - Cálculo da mediana para variáveis discretas: número par de termos.
29
Esta medida caracteriza-se por separar os dados da distribuição em dois
grupos que mostram o mesmo número de valores, sendo considerada como uma
medida de posição denominada separatriz. Na análise de dados estatísticos, a
escolha pelo uso da mediana dá-se, em especial, quando se atribui pouca
importância aos valores extremos da variável, pois “a mediana é preferível à
média quando se está interessado em conhecer exatamente o ponto médio da
distribuição” (TOLEDO e OVALLE, 1985).
2.3.3. Moda
Outra medida de tendência central de grande importância na estatística
é a moda. De acordo com Toledo e Ovalle (1985), o termo foi primeiro usado por
Karl Pearson, no ano de 1895, possivelmente como uma associação à sua
concepção na linguagem comum. A seguir Spiegel (1993, p. 71) define moda
como: “A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com a maior
freqüência, ou seja, é o valor mais comum. A moda pode não existir e, mesmo
que exista, pode não ser única”.
Exemplos:
1) No conjunto A = {3, 3, 6, 8, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 19}, temos 10 como valor
que ocorre com maior freqüência. Logo, moda de A, será: Mo = 10
2) No conjunto B = {3, 3, 6, 6, 8, 8, 10, 10}, não há valor que ocorre com maior
freqüência. Neste caso, o conjunto não tem moda e é denominado amodal.
3) No conjunto C = {1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 5, 7, 7, 9, 11}, temos dois valores que
ocorreram com maior freqüência: o valor 1 e o 5. Trata-se de um conjunto
denominado bimodal.
Figura 2.5 − Tipos de Moda, segundo SPIEGEL (1993).
30
Pela definição de moda descrita acima, observamos, que sua
determinação necessita de que os valores da distribuição estejam ordenados,
segundo suas grandezas por ordem crescente ou decrescente, assim como
ocorre com a determinação da mediana já apresentada.
É importante lembrar que, o uso da moda apresenta vantagens e
desvantagens, que são destacadas por Oliveira (1999, p. 14), conforme seguem:
Vantagens do emprego da Moda:
• É de uso prático. Exemplificando: os empregadores
geralmente adotam a referência modal de salário, ou seja, o
salário pago por muitos outros empregadores. Também
carros e roupas são produzidos tomando como referência o
tamanho modal.
• A moda é geralmente um valor verdadeiro e, por conseguinte,
pode mostrar-se mais real e coerente.
Desvantagens do emprego da Moda:
• Não inclui todos os valores de uma distribuição.
• Mostra-se ineficiente quando a distribuição é largamente
dispersa. (Grifos do autor)
Após a apresentação da definição desses três promédios, torna-se
importante enfatizarmos que, embora todos sejam medidas de tendência central,
não se pode afirmar a relevância de um sobre o outro. O emprego de um ou outro
promédio deve se verificar em função dos tipos de dados que se tem e dos fins
desejados.
31
2.4. As Pesquisas sobre Média Aritmética
Considerando que a proposta de nosso trabalho tem como foco a
introdução do conceito de média aritmética, buscamos analisar os resultados de
pesquisas que pudessem contribuir para este estudo. Embora muitas tenham
tratado do assunto, poucas se destinaram à mesma faixa etária dos sujeitos do
presente estudo. Aliás, o fato pode ser decorrente da recente implantação da
Estatística nas séries iniciais.
Segundo o PCN (1997), em 1980, o National Council of Teachers of
Mathematics − NCTM, dos Estados Unidos da América (EUA), destaca a
resolução de problemas como foco no ensino de Matemática, compreendendo,
também, a relevância de aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos na
aprendizagem da Matemática. Estas idéias influenciaram as reformas ocorridas
mundialmente a partir desse momento. Desde então, as propostas elaboradas no
período de 1980/1995 em diferentes países apresentam pontos de convergência,
dentre os quais destacamos:
• Importância de se trabalhar com um amplo espectro de
conteúdos, incluindo-se já no ensino fundamental, elementos de
estatística, probabilidade e combinatória, para atender à
demanda social que indica a necessidade de abordar esses
assuntos;
• Necessidade de levar os alunos a compreenderem a importância
do uso da tecnologia e a acompanharem sua permanente
renovação.(BRASIL, 1997, p. 22)
A implantação da Estatística no Ensino Fundamental foi recentemente
sugerida não apenas no Brasil mas, também, em outros países. Neste sentido,
dentre os conceitos elementares de Estatística, nosso estudo escolheu a média
32
aritmética, em razão de seu amplo uso nos diversos meios de comunicação e por
se tratar de um conceito fundamental para análise de dados e tomada de decisão.
Muitas informações apresentadas diariamente, envolvem o conceito de média,
como: a média salarial, o consumo médio de energia, tempo médio de espera
para atendimento, dentre outros. Para compreensão das informações, nas quais
se insere o termo “média”, fica evidente a necessidade de compreensão desse
conceito por parte do leitor.
Neste sentido, conforme citado por Cai (1995) o Conselho Nacional de
Professores de Matemática (NCTM, 1989, p.105)18 dos Estados Unidos sugere
que: “é importante que seja desenvolvido nos estudantes a compreensão de
conceitos e processos utilizados na análise de dados”.
Tendo em vista, a necessidade proposta pelo próprio NCTM, muitos
autores vêm considerando a média aritmética, como um dos conceitos estatísticos
fundamentais na análise de dados e tomada de decisões (CAI, 1995). Para o
autor, embora o conceito de média seja, aparentemente, tão simples como seu
algoritmo computacional, pesquisas anteriores indicam que muitos estudantes
apresentam “misconceptions” sobre tal conceito não apenas no Ensino Médio,
mas também no Superior (STRAUSS e BICHLER, 1988).
No Brasil, destacamos duas pesquisas recentes que envolveram o
conceito de média aritmética, uma no Ensino Superior e outra no Ensino Médio.
A primeira trata-se da pesquisa de Cazorla (2002), que investigou 814
estudantes de graduação matriculados em diferentes turmas de Estatística de
18 National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and evaluation standards for schoolmathematics. Reston, VA: NCTM,1989.
33
uma Universidade Estadual do interior da Bahia. Seu trabalho buscou analisar as
relações existentes entre habilidade viso-pictórica, domínio de conceitos
estatísticos e as atitudes em relação à Estatística e à leitura de gráficos. No
estudo, a autora observou que a maioria dos sujeitos vê a média apenas como
uma medida de tendência central que representa um conjunto de dados. Os
sujeitos que conseguiram ver a média em sua integridade, como uma poderosa
medida de inferência estatística foram poucos.
Pelos resultados obtidos, Cazorla conclui que o domínio do conceito de
média atingiu um nível razoável e a leitura de gráficos um nível fraco, sendo estes
resultados pouco satisfatórios para o nível universitário. Neste sentido, a autora
enfatiza a necessidade de dedicar mais atenção ao conceito de média, sobretudo
ao processo de ponderação e algumas propriedades, bem como seu domínio
pleno, tendo em vista seu potencial como estimador em seu uso na inferência
estatística.
A segunda pesquisa é de Stella (2003), que investigou a respeito das
interpretações do conceito de média com alunos do Ensino Médio que seguem o
currículo brasileiro. Neste trabalho, a autora mostra uma análise de quatro
instrumentos: Parâmetro Curricular do Ensino Médio, resultados do ENEM
(Exame Nacional do Ensino Médio), SAEB (Sistema de Avaliação da Educação
Básica) e, também, 12 livros didáticos mais usados nas escolas brasileiras,
buscando identificar as características do conceito de média enfatizadas nesses
instrumentos. Na seqüência, a pesquisadora selecionou algumas questões que
contemplassem diferentes aspectos do conceito de média e aplicou nas
entrevistas a alunos de 3ª série do Ensino Médio, identificando as concepções
desses alunos sobre o referido conceito. Os resultados indicaram que a maioria
34
dos alunos pesquisados apresentou uma interpretação algorítmica do conceito de
média e dificuldade para resolver problemas que envolvem o cálculo de média,
quando os dados são apresentados na forma gráfica.
Outra pesquisa que contribuiu para o desenvolvimento de nosso trabalho
foi a de Lopes (1998), focalizando o ensino de Probabilidade e Estatística. A
autora desenvolveu um estudo sobre as propostas curriculares dos Estados de
São Paulo, Santa Catarina e Minas Gerais e apresentou uma análise do
desenvolvimento desse ensino em alguns países, examinando as propostas dos
Parâmetros Curriculares Nacionais em relação a esses temas.
Para a pesquisadora, ao realizar observações, registros e representação
de dados, os estudantes estarão preparados à leitura e interpretação de
informações diferenciadas; enfatizando que os conceitos estatísticos são
importantes “ferramentas” na resolução de problemas. No estudo, Lopes (1998)
cita que, no currículo francês, o trabalho com média aritmética é proposto,
empregando situações de quantidade eqüitativa para crianças com faixa etária
semelhante às do presente estudo.
Considerando as pesquisas de âmbito internacional, uma de grande
interesse para nosso estudo é a realizada por Strauss e Bichler (1988). Neste
estudo, os autores trabalharam com uma população, cuja faixa etária de sujeitos é
semelhante à nossa e utilizaram as propriedades de média aritmética que,
também serão adotadas em nosso estudo. Os autores tiveram como objetivo
determinar o desenvolvimento da compreensão de algumas propriedades de
média aritmética, sob o efeito de diferentes materiais (contínuo ou discreto) e
métodos de apresentação (história hipotética, forma real e numérica) desse
35
conceito em crianças de 8, 10, 12 e 14 anos, pertencentes a uma região de classe
média, localizada em Ramat Hacharon, um subúrbio de Tel Aviv.
Para seis das propriedades de média, apresentadas na Figura 2.6, foram
aplicadas cinco tarefas e, para a propriedade restante havia apenas duas tarefas.
A seguir, apresentamos as propriedades utilizadas por esses autores,
acrescentadas de exemplos da pesquisadora para melhor compreensão por parte
do leitor das tarefas aplicadas no referido estudo.
A) A média está localizada entre os valores extremos.Ex.: A quantidade média de lápis das crianças de uma sala de aula está entrea quantidade da criança que tem mais lápis e da que tem menos lápis. Porexemplo, Pedro tem 5 lápis, Roberto tem 12 lápis e Fernanda 4 lápis. Assim,a Média entre 5, 12 e 4 é 7. Desta forma, a média não pode ser inferior àmenor quantidade de lápis nem superior a maior quantidade de lápis dosalunos desta classe.
B) A soma das variações da média é zero.Ex.: A média entre 10, 8 e 6 é 8.
Sendo assim, (10 - 8) + (8 – 8) + ( 6 – 8) = 0
C) A média é influenciada por valores diferentes da média.Ex.: A média de 2, 4 e 6 é 4. Entretanto, ao acrescentar 8 ao conjunto dedados cuja média está sendo calculada a média é alterada para 5.
D) A média não é necessariamente igual a um dos valores que está sendosomado.Ex.: A média entre 8, 6, 4 e 2 é 5.
E) A média pode ser uma fração sem equivalência na realidade física.Ex.: A média de crianças por família no Brasil em 2000 é 2,3.
F) Quando se calcula a média, um valor zero, se aparecer, deve ser considerado.Ex.: A média dos valores 8, 0 e 1 é 3, ou seja, (8 + 0 + 1)/3 = 3
G) O valor médio é representativo dos valores, cuja média foi calculada.Ex.: Quando se tem o número de brinquedos trazidos por cada uma dascrianças da sala, achamos o valor representativo da sala.
Figura 2.6: Propriedades da média aritmética (STRAUSS e BICHLER, 1988).
36
Para Strauss e Bichler (1988), salientamos que a escolha das sete
propriedades do conceito de média refere-se ao fato de que as mesmas são
consideradas básicas e exploram três aspectos do conceito de média aritmética.
Um deles é o estatístico, que é apreendido nas propriedades A, B e C, o outro se
trata do aspecto abstrato que pode ser observado nas propriedades D, E e F e, o
último, reporta-se ao aspecto representativo de um grupo de valores individuais,
que é a essência da propriedade G, sendo considerado o aspecto central da
média.
A seguir, apresentamos resumidamente as tarefas referentes à
propriedade A, para que o leitor possa conhecer os distintos tipos de materiais e
métodos de apresentação usados no estudo, iniciando pelo método de
apresentação de história:
“As crianças de uma classe decidiram reunir-se em uma praia. Todas levaram batataspara assar na fogueira para um lanche durante a festa. Yael levou a maior quantidadede batatas - 3. Quando elas estavam prontas para serem comidas, as criançasdecidiram distribuir todas as batatas, de modo que cada uma recebesse a mesmaquantidade. Quando foram distribuídas, cada criança recebeu 4 batatas. Você achaisso possível? Por que você acha que isso pode (ou não pode) acontecer?
Figura 2.7: Tarefa proposta para propriedade A – História
Semelhante à tarefa acima proposta, os autores desenvolveram,
atividades nas quais o método de apresentação era real. Neste caso, o
examinador mostrou, por exemplo, bonecas e peças de Lego, as mesmas
questões descritas na Figura 2.7 foram adaptadas às tarefas propostas para o
método de apresentação real.
37
Outro método de apresentação foi o numérico, a tarefa proposta foi a
seguinte:
Tomamos alguns números e os somamos. Antes de somá-los, o maior número quenós tínhamos era 5. Depois, dividimos igualmente os números, e terminamos com 6.Você acha isso possível? Por que você acha que isso pode (ou não pode)acontecer?”
Figura 2.8: Tarefa proposta para propriedade A – Numérico
Nas tarefas apresentadas, não aparecia a palavra média, pois os
autores objetivavam testar a maneira pela qual as crianças entendem as
propriedades da média, sem recorrer aos conhecimentos escolares. Embora não
tenham sido encontrados efeitos significativos em relação aos materiais utilizados
ou a seu modo de apresentação, os resultados foram discutidos em termos de
sua importância pela Psicologia do Desenvolvimento e Prática Educacional.
Neste sentido, os resultados indicaram diferenças significativas entre
cada um dos grupos de idade, e a compreensão do conceito melhorava entre os
sujeitos mais velhos. Além disso, os resultados mostraram diferenças
significativas entre os dois grupos de propriedades: A, C, D e B, F e G.
No primeiro grupo, as tarefas propostas foram mais fáceis que as do
último. Quanto à propriedade E, os resultados apontaram que 80% das crianças
de dez anos julgaram corretamente as tarefas, mensurando esta propriedade.
O estudo acima não encontrou efeitos significativos em relação ao modo
de apresentação ou aos materiais usados, assim, decidimos restringir em nossa
pesquisa como modo de apresentação, histórias envolvendo situações do
cotidiano de nossos alunos, empregando quantidades discretas. Para isso,
tomamos por base as propriedades usadas no trabalho de Strauss e Bichler
38
(1988) para elaboração das atividades de intervenção de ensino do presente
estudo.
Diferente de Strauss e Bichler (1988), usamos o termo média nas
atividades, pois pretendemos considerar o conhecimento prévio apresentado
pelos alunos em relação ao referido conceito. Entretanto, nas atividades foram
empregadas de forma explícita apenas cinco das sete propriedades descritas
acima: A, C, D, F, G. Esta restrição foi feita em nosso estudo, por considerá-las
mais adequadas à série trabalhada, visto que a propriedade B sugere uma
introdução aos números negativos, o que foge do objetivo do presente estudo e a
propriedade E em razão de seu aspecto abstrato, sobretudo em se tratando de
quantidades discretas, tendo em vista a faixa etária dos sujeitos da presente
pesquisa.
Por hipótese, temos que a inserção das propriedades de média aritmética
em situações problema distintas pode contribuir para a construção do referido
conceito. Assim como Vergnaud (1982), consideramos que o aluno constrói um
campo de conceitos em um campo de problemas e não um conceito isolado em
resposta a um problema particular.
Neste trabalho, partimos da premissa de que as propriedades da média
articuladas com a leitura e interpretação de gráficos permitem a construção de
vários conceitos, dentre eles, o de média. Assim, a média, a leitura e
interpretação de gráficos estão inseridas no Campo Conceitual do bloco de
conteúdo Tratamento da Informação.
Na seqüência, são apresentadas pesquisas relacionadas à leitura e
interpretação de gráficos.
39
2.5. Leitura e Interpretação de Gráficos
Nos últimos anos, a sociedade vem passando, por uma série de
transformações, no que se refere aos meios de comunicação, tendo em vista o
incessante avanço tecnológico. O emprego da representação gráfica tem se
expandido rapidamente, exercendo acentuada influência nos mais diversos meios
de comunicação: escrito ou oral. Nesse contexto, a leitura e interpretação de
gráficos, torna-se um fator cada vez mais importante na construção da cidadania
(BATANERO, 1992).
Muitos estudos têm nos indicado que tanto crianças como adultos
apresentam dificuldades em tarefas que envolvem construção, compreensão e
análise de dados organizados em tabelas e gráficos (HANCOCK, 1991; AINLEY,
2000; HEALY, et al, 2000; SANTOS E MAGINA, 2001).
Para Carraher, Schielmann, e Nemirovsky (1995), a leitura e a
interpretação de gráficos não se constituem em uma atividade automática de
apreensão das informações, pois envolvem, tanto processos cognitivos
relacionados a conhecimentos matemáticos como experiências prévias das
pessoas.
Dentro desse contexto, o PCN (1997) propõe a introdução do bloco de
conteúdo “Tratamento da Informação” a partir das séries iniciais, justificada pela
demanda social da utilização de representações gráficas na sociedade.
Com a recente inclusão do Ensino de Estatística nas séries iniciais pelo
PCN aliada aos fatores anteriormente relacionados, torna-se fundamental a
prática de pesquisas na área, para que esse ensino seja significativo ao aluno. A
40
Estatística deve contribuir para a formação do aluno de forma que ele possa atuar
e transformar a sociedade.
Como o enfoque deste estudo é a introdução do conceito de média
aritmética, utilizando a representação gráfica, consideramos necessário o estudo
dos aspectos que envolvem a compreensão e análise das representações
gráficas. Para isso, apresentamos a definição de gráfico, segundo Spiegel (1993);
Leinhardt, Zaslavsky e Stein apud Cazorla (2002), e os tipos de gráficos:
Matemáticos e Estatísticos.
Após esta definição, passamos a apontar os resultados de pesquisas
envolvendo leitura e interpretação de gráficos sob a perspectiva do aluno, que se
encontram diretamente relacionados a nosso estudo, incluindo, duas pesquisas
referentes à formação do professor, quais sejam: a de Lopes (1998) que
apresenta uma discussão a respeito das atuais propostas curriculares utilizadas
em outros países e a de Santos (2003) que trata da formação do professor não
especialista em conceitos elementares de estatística realizando um estudo de
caso com uma professora da rede pública estadual de ensino.
2.5.1. Definição e Tipos de Gráficos
Neste item, apresentamos a definição de gráficos, segundo Leinhardt,
Zaslavsky e Stein apud Cazorla (2002).
De acordo com Leinhardt , Zaslavsky e Stein (1990), um gráfico é
uma representação simbólica de dados, geralmente relacionando
duas ou mais variáveis, utilizando o sistema de coordenadas
cartesianas. Os gráficos se movimentam em três espaços: o
algébrico, o gráfico e o da situação ou do fenômeno do qual os
dados foram extraídos e que os dois primeiros tentam modelar.
41
Esta definição sugere uma relação de “mobilidade” entre os diversos
tipos de representação dos dados com base no qual o gráfico é elaborado. A
definição de gráfico acima remete-nos a Vergnaud19 apud Guimarães; Ferreira;
Roazzi (2001) quando este autor argumenta que os exercícios que permitem
passar de uma representação por meio de gráficos para uma tabela e vice-versa,
são importantes pedagogicamente, tanto à atividade classificatória como a outras
atividades lógico-matemáticas.
A definição de gráficos citada pode ser associada com o estudo de
funções e, neste sentido, Cazorla (2002) explicita que os gráficos podem ser
classificados em dois grandes tipos: matemáticos e estatísticos. Assim, os
gráficos matemáticos modelam funções determinísticas do tipo Y = F(X), nas
quais o valor de Y pode ser determinado com base na atribuição de um valor
para X; e os gráficos estatísticos modelam funções não-determinísticas do tipo Y
= F(X) + ε, em que ε representa o erro aleatório e é formado pelo componente
aleatório, em razão do processo de amostragem; pelo erro explicado pela
ausência de variáveis que podem interferir no comportamento da primeira e pelos
erros de medida dos instrumentos.
Neste estudo, não nos deteremos em funções determinísticas ou não-
determinísticas, mas, em outros gráficos associados com estatística como, por
exemplo, os descritos por Spiegel (1993, p. 7):
Um gráfico é uma representação geométrica da relação entre
variáveis. Muitos tipos de gráficos são empregados na
estatística, dependendo da natureza dos dados pertinentes e da
finalidade para a qual ele é destinado. Entre estes estão os
19 VERGNAUD, G. L’enfant, la mathematique et la realité. Editions Peter Lang S. A. Berna, Suiça. 1985.
42
gráficos de barras, de setores ilustrativos (pictogramas) etc.
Essas representações gráficas chamam-se gráficos ou
diagramas. Assim, falamos de gráficos de barras, diagramas de
setores etc.
Pela definição de Spiegel (1993), é importante observarmos que o autor
não explicita a relação existente entre representação gráfica e outras
representações.
Em nosso estudo, entretanto, propomos atividades que proporcionem
ao aluno relacionar as informações apresentadas em forma de tabelas e seus
respectivos gráficos.
Na próxima seção, passamos a descrever as pesquisas relacionadas à
leitura e interpretação de gráficos que consideramos mais relevantes ao presente
estudo.
2.5.2. Pesquisas Recentes sobre Leitura e Interpretação de
Gráficos
Nesta seção, há uma breve apresentação dos resultados de algumas
pesquisas referentes à leitura e interpretação de gráficos que trouxeram
contribuições significativas para o desenvolvimento da presente pesquisa.
No estudo realizado por Santos e Gitirana (1999), com alunos de 12
anos, que apresentavam dificuldades quanto à leitura variacional, observou-se
que, apenas 5,9% dos sujeitos acertaram questões referentes à localização de
maior variação. Quando os autores solicitavam que os sujeitos extrapolassem os
dados argumentando o que ocorreria no período subseqüente (mês, ano), notou-
43
se que 68% das crianças justificaram suas respostas empregando abstrações
para a realidade ou para considerações pessoais.
Outro estudo que nos interessa, é o de Guimarães, Ferreira e Roazzi
(2001), envolvendo 107 alunos de quatro salas de 3ª série do Ensino
Fundamental de uma escola particular de Jaboatão dos Guararapes-PE, com
idade aproximada de nove anos. Os alunos não haviam recebido ainda uma
instrução formal sobre construção de gráficos, e na pesquisa, todos foram
solicitados pelo experimentador, a resolverem cinco atividades, envolvendo:
leitura e interpretação de gráficos e construção de gráfico com base nos dados
apresentados em tabela. O estudo demonstrou que, apesar dessas crianças não
apresentarem dificuldades para localizar pontos extremos de um gráfico, elas
encontravam dificuldade quando a leitura do gráfico exigia uma compreensão
variacional.
O trabalho mostra que apenas 54,2% dos alunos justificaram suas
respostas nas questões, em que foi solicitada a extrapolação na leitura dos
dados. Nesta pesquisa, foram encontradas as seguintes categorias para as
justificativas desses alunos: pelas informações contidas no gráfico de forma global
(24%), as informações de forma pontual (8%), abstraindo para a realidade (24%),
por considerações pessoais (44%).
Além disso, o estudo também aponta um baixo desempenho dos alunos
da 3ª série referente à localização de uma categoria em função de uma freqüência
dada. Neste aspecto, os autores concluem que a dificuldade dos alunos deve-se
ao fato do valor solicitado na freqüência não estar explícito na escala, o que
sugere uma complexidade para estimar valores.
44
Os estudos acima são de grande interesse para nossa investigação,
tendo em vista que Guimarães, Ferreira e Roazzi (2001) trabalharam com uma
população, cuja série escolar antecede a que será utilizada no presente estudo,
permitindo-nos usar suas conclusões em nossos referenciais práticos e teóricos
sobre leitura e interpretação de gráficos.
Guimarães (2002) em sua tese de doutorado investigou como alunos de
3ª série do Ensino Fundamental, representavam dados em tabelas e gráficos de
barras, empregando o software Tabletop.
Para isso, a autora construiu dois grupos de estudo. No primeiro, buscou
analisar a habilidade dos alunos para categorizar dados e representá-los em
tabelas. No segundo, sua investigação focou como os alunos interpretavam
gráficos e tabelas e como construíam os gráficos, usando diferentes variáveis. A
autora indica que as crianças dessa série encontraram dificuldades para lidar com
escalas, quando o valor solicitado não era explícito, e, embora tivessem facilidade
para localizar pontos extremos no gráfico, mostravam dificuldade quando a
questão exigia uma interpretação variacional, ou seja, a localização de
crescimento, decrescimento e estabilidade.
Os resultados da pesquisa de Guimarães (2002) indicam que o uso do
software foi importante na construção dos gráficos, tendo em vista que o trabalho
mecânico realizado pelo software liberava os alunos para interpretação. O
resultado é relevante no desenvolvimento de nosso trabalho, tendo em vista que
empregaremos o software Tabletop, na construção de gráficos e manipulação dos
dados, como um dos recursos no processo de aprendizagem de leitura e
interpretação de gráficos, assim como do conceito de média aritmética.
45
Outra pesquisa também relevante para nosso trabalho foi a de Santos
(2003) que, diferente das demais, se baseou na formação do professor. Em sua
pesquisa de mestrado, a autora faz um estudo de caso com uma professora das
séries iniciais do Ensino Fundamental de uma escola pública que trabalhava a
formação de conceitos elementares de Estatística, utilizando software Tabletop.
Como resultado, a autora aponta para a necessidade do professor vivenciar
várias situações, tais como: organizar, descrever, analisar e interpretar dados
provenientes de uma pesquisa para poder desenvolver os conceitos necessários
para o Bloco Tratamento da Informação.
No estudo, a pesquisadora concluiu que o computador, em especial, o
uso do software Tabletop pode contribuir para a compreensão de gráficos e
tabelas extraídos da manipulação de dados.
2.5.3. Níveis de Compreensão de Gráficos segundo Curcio
No presente estudo, foram usadas representações gráficas, para
introdução do conceito de média aritmética. Para isso, foram escolhidos os
gráficos de barras e de dupla entrada, visto a possibilidade de trabalhar com os
mesmos no Tabletop, além de que o gráfico de barras tem sido um dos mais
veiculados na mídia escrita e virtual (GUIMARÃES, 2002; SANTOS, 2003).
Desta forma, é preciso conhecer o nível de compreensão20 de gráficos
dos sujeitos do estudo para dar prosseguimento ao mesmo, ou seja, desenvolver
a intervenção de ensino em ambiente computacional.
20 Assim como Friel, Curcio e Bright (2001, p. 130), entendemos por compreensão gráfica as habilidades dosleitores de gráficos para deduzir o significado dos gráficos criados por outros ou por eles próprios.
46
Encontramos em Friel, Curcio e Bright (2001) um levantamento dos tipos
de questões que podem ser respondidas pelos gráficos sob o ponto de vista de
diversos autores. Houve consenso sobre a necessidade de considerar três tipos
de questões que podem fornecer insinuações que ativam o processo de
compreensão do gráfico e que se inserem em três níveis. A seguir, apresentamos
esses níveis com os exemplos extraídos de Curcio.
• Nível elementar – enfoca a extração de dados de um gráfico;
Ex.: Quantas caixas de uvas têm 30 uvas?
• Nível intermediário – caracteriza-se pela interpolação e
descoberta de relações existentes entre os dados
apresentados graficamente;
Ex.: Quantas caixas de uvas têm mais do que 34 uvas nelas?
• Nível avançado – sugere a extrapolação dos dados e análise
de relações implícitas em um gráfico.
Ex.: Se os estudantes abrissem uma ou mais caixas de uvas,
quantas uvas eles poderiam esperar encontrar?
No nível elementar, observamos que a compreensão do gráfico requer
praticamente uma troca na forma de comunicação, ao passo que no nível
intermediário o estudante deve fazer uma integração dos dados apresentados,
relacionando-os entre si. Este nível – o intermediário - parece exigir um pouco
mais de conhecimentos matemáticos que o anterior, pois a integração dos dados
e as suas relações partem de leitura de escalas, da leitura de eixos e, uma
posterior integração desses dados. Já no nível avançado, o estudante precisa ir
além das observações explícitas no gráfico e suas relações, deve ser capaz de
47
realizar inferências baseadas na representação como, por exemplo, identificar
uma tendência ou generalizar para uma população.
Os três níveis de compreensão de gráficos foram usados como
referência nas análises de nosso estudo; empregaremos a terminologia de Curcio
(1987), conforme apresentamos, a seguir:
a) “Ler os dados”: este nível de compreensão requer uma leitura literal do gráfico;
não se realiza a interpretação da informação contida nela mesma.
b) “Ler entre os dados”: inclui a interpretação e integração dos dados do gráfico,
requer habilidades para comparar quantidades e o uso de outros conceitos e
destrezas matemáticas.
c) “Ler além dos dados”: requer que o leitor realize previsões e inferências a partir
dos dados sobre informações que não estejam refletidas diretamente no gráfico.
Figura 2.9: Níveis de compreensão de gráficos (CURCIO, 1987)
Neste estudo, a introdução do conceito de média está relacionada à
leitura e interpretação de gráfico. No decorrer da segunda fase, serão
desenvolvidas atividades que visam a favorecer o processo de compreensão de
gráfico, para isso, é fundamental investigarmos, qual nível de compreensão de
gráficos é apresentado pelos alunos do presente estudo.
Assim, para a elaboração das atividades constituintes da pesquisa, que
serão apresentadas detalhadamente no Capítulo IV, utilizaremos os níveis
descritos na Figura 2.9 para fins de análise das mesmas. Os níveis I, II e III serão
usados para “ler os dados”, “ler entre os dados” e “ler além dos dados”,
respectivamente.
CAPÍTULO III
CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
3.1. Introdução
Neste capítulo, são apresentadas algumas discussões a respeito de
temas considerados essenciais ao desenvolvimento deste estudo,
fundamentando-se nos escritos de alguns teóricos da Psicologia Cognitiva e da
Educação Matemática. Para isso, julgamos pertinente dividir o capítulo em quatro
seções. Sendo esta a primeira, descrevemos a seguir as outras três seções que
constituem este capítulo.
Na segunda seção, buscaremos compreender a formação do conceito
na perspectiva de Gerard Vergnaud, apoiando-nos na Teoria dos Campos
Conceituais. Ainda, nesta seção, discutiremos dois aspectos da Teoria da
Instrução de Bruner: o currículo em espiral e o método da descoberta.
Na terceira seção, estudaremos a representação, também, sob o
enfoque da teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud, tendo em
vista nosso interesse no uso de distintas representações no estudo. Ao final desta
49
seção, delinearemos o Campo Conceitual que utilizaremos para a elaboração das
atividades que serão aplicadas na segunda fase do presente trabalho.
Por fim, a última seção contemplará algumas reflexões sobre o emprego
do computador em sala de aula, o contexto no qual será desenvolvida toda a
parte experimental deste trabalho, seguido de uma descrição dos recursos do
software Tabletop e sua finalidade ao presente estudo.
3.2. Formação do Conceito
Para estudar a formação do conceito, buscamos apoio na Teoria dos
Campos Conceituais. Tendo em vista que esta teoria não é específica da
Matemática, pois, neste campo, ela, inicialmente, foi elaborada para explicar o
processo de conceitualização progressiva das estruturas aditivas e multiplicativas,
das relações número-espaço e da álgebra, deveremos nos deter na Teoria dos
Campos Conceituais proposta por Gerard Vergnaud, por ser uma teoria
cognitivista que busca propiciar uma estrutura coerente e alguns princípios
básicos ao estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competências
complexas, sobretudo, as que dependem da ciência e da técnica.
Para Vergnaud (1982), o conhecimento está organizado em campos
conceituais, cujo domínio por parte do sujeito ocorre ao longo de um largo período
de tempo por meio da experiência, maturidade e aprendizagem. Assim, Campo
Conceitual é definido como: “um conjunto de situações cujo domínio requer uma
variedade de conceitos, procedimentos e representações simbólicas firmemente
unidos uns aos outros” (VERGNAUD et al, 1990, p. 23). Desse modo, o
50
conhecimento emerge dos problemas a serem resolvidos e das situações a serem
dominadas, considerando que:
Resolver problemas é a fonte e o critério do conhecimento
operacional. Precisamos ter esta idéia sempre em mente e sermos
capazes de oferecer aos alunos situações que visem a estender o
significado de um conceito e a avaliar as habilidades e as
concepções dos estudantes. (VERGNAUD et al, 1990, p. 22)
No entanto, é preciso esclarecer que o entendimento dado a um
problema matemático consiste em uma situação, na qual o resultado não se
encontra disponível de imediato. Ao contrário, o problema sugere reflexão sobre a
situação proposta, e o aluno precisa mobilizar outros conceitos já conhecidos,
para obter um resultado.
Vergnaud (1993, p. 8) define conceito como uma terna de três conjuntos:
C = (S, I, R), na qual:
• S é um conjunto de situações que tornam o conceito significativo.
• I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) que
constituem o conceito, os quais podem ser reconhecidos e usados pelo
sujeito para analisar e dominar as situações do primeiro conjunto.
• R é um conjunto de representações simbólicas (diagramas, gráficos,
tabelas, etc.), que podem ser usadas para indicar e representar esses
invariantes e, portanto, representar as situações e os procedimentos para
lidar com eles.
A definição de conceito dada por Vergnaud, como uma terna dos três
conjuntos (S, I, R), mostra que o conceito deve ser explorado, utilizando situações
51
distintas de forma que o aluno construa seu conhecimento pela variedade de
situações em detrimento da simples definição do conceito.
A apresentação das situações que despertam o interesse do aluno para
a busca de sua solução, envolve a articulação entre conjunto de invariantes das
representações simbólicas, o que favorece ao aluno a construção de um conceito
significativo. Vergnaud (1993) afirma que o conceito adquire sentido para a
criança por intermédio dos problemas a resolver e das situações, além de
distinguir as situações em duas classes distintas:
1) classes de situações em que o sujeito dispõe, no seu
repertório, em dado momento de seu desenvolvimento e sob
certas circunstâncias, das competências necessárias ao
tratamento relativamente imediato da situação;
2) classes de situações em que o sujeito não dispõe de todas as
competências necessárias, o que o obriga a um tempo de
reflexão e exploração, a hesitações, a tentativas frustradas,
levando-o eventualmente ao sucesso ou ao fracasso. (VERGNAUD,
1993, p. 2)
O conceito de esquema é usado em ambos os casos, pois, trata-se da
organização invariante do comportamento para uma classe de situações dadas.
Nos esquemas, são investigados os conhecimentos-em-ação do sujeito, ou seja,
os elementos cognitivos que permitem a ação do sujeito ser operatória. Para
Vergnaud (1993), o conceito de esquema interessa às duas classes de situações,
entretanto funciona de forma distinta em cada uma delas. No primeiro caso, é
possível observar para uma mesma classe de situações comportamentos
bastamte automatizados, organizados por um único esquema, e, no segundo
caso, nota-se o sucessivo emprego de diversos esquemas, que podem entrar em
52
competição e para alcançar a solução desejada, precisam ser acomodados,
descombinados e recombinados, sendo este processo necessariamente
acompanhado por descobertas.
Outro conceito importante da teoria dos Campos Conceituais é o
teorema-em-ação, muito ligado ao conceito de esquemas, visto que costuma
precedê-lo no processo da formação do conceito.
Os Teoremas-em-ação são definidos como relações matemáticas
que são levadas em consideração pelos alunos, quando estes
escolhem uma operação, ou seqüência de operações, para
resolver um problema. Os Teoremas-em-ação não são teoremas
no sentido convencional do termo, porque a maioria deles não
são explícitos. Eles estão subjacentes ao comportamento dos
alunos, aparecem de modo intuitivo na ação do aluno e seu
âmbito dos teoremas. Algumas vezes seu domínio de validade é
considerado verdadeiro apenas para um conjunto de problemas.
Eles podem mesmo ser utilizados de modo errado. (MAGINA;
CAMPOS; GITIRANA, 2001, p.18).
A importância dos teoremas-em-ação está no fato de oferecerem ao
professor um percurso para analisar as estratégias intuitivas dos alunos e auxiliá-
los na transformação do conhecimento intuitivo para o conhecimento explícito e,
assim, estender o uso dessas inter-relações para situações mais complexas.
Professores, pais e currículos subestimam a lentidão do
desenvolvimento do conceito, visto ser aceito com freqüência, que após ter
estudado determinado conteúdo, os alunos deveriam sabê-lo, não havendo,
assim, necessidade de retomá-lo em outros momentos (VERGNAUD, 1990).
53
Vergnaud propõe que os mesmos conteúdos sejam retomados ano após
ano, aprofundando-os cada vez mais, sob novos aspectos e retornando aos
aspectos estudados anteriormente, o que deve ser feito por meio da resolução de
problemas, pois diferentes problemas requerem domínio de distintas propriedades
do mesmo conceito. Esta proposta de Vergnaud encontra correspondência na
idéia de currículo em espiral proposta por Bruner.
Bruner (1978) enfatiza a importância da organização do currículo em
espiral, para que o aluno possa construir continuamente sobre o que já aprendeu
em diferentes níveis de profundidade e modos de representação. Assim, um
currículo deveria ser constituído em torno de grandes temas, princípios e valores
que uma sociedade considera merecedores da preocupação contínua de seus
membros, e apresenta o seguinte exemplo para o ensino de ciência:
Assim também em ciência. Se se considera crucial a
compreensão de número, medida ou probabilidade na busca da
ciência, então a instrução nesses assuntos deverá ser iniciada
tão cedo e da maneira intelectualmente mais honesta possível e
consistentemente com as formas de pensar da criança, deixando
que os tópicos sejam desenvolvidos várias vezes em graus
posteriores. Assim, se a maioria das crianças deve ter uma
unidade de biologia pelo fim do ginásio, deverão elas abordar a
matéria a frio sem nada haverem antes estudado? Não será
possível, com um mínimo de trabalho formal e de laboratório se
necessário, introduzi-las mais cedo a algumas das principais
idéias biológicas, dentro de um espírito talvez menos exato e
mais intuitivo? (BRUNER, 1978, p. 49-50)
Neste estudo, a idéia nos interessa, porque estamos considerando ser
importante a compreensão do conceito de média na busca da ciência. Dessa
54
forma, estaremos procurando um caminho que favoreça a introdução desse
conceito, respeitando a forma de pensar dos alunos do estudo.
Nesta pesquisa é de interesse destacar outro aspecto da teoria de
Bruner: o método da descoberta. Neste método, o professor deve desafiar os
alunos incentivando-os à procura de sua motivação intrínseca, que pode ser
alcançada quando eles participam de experiências significativas.
Ao estudar as contribuições de Bruner, que se referem ao ensino por
descoberta, Giacaglia (1980) comenta que o método da descoberta não só ensina
a criança a resolver problemas da vida prática, como também favorece uma
compreensão da estrutura fundamental do conhecimento. Este método possibilita
a transferência da aprendizagem seja para a vida prática, transferência do
aprendido de uma disciplina às demais disciplinas, assim como a outros níveis de
escolaridade. Para a autora, Bruner não propôs que o ensino se realize,
exclusivamente, pelo método da descoberta, mas, que a descoberta possa ser
empregada como método de ensino.
Bruner considera como ponto fundamental do ensino os processos e não
os produtos da aprendizagem, assim, pode-se colocar a resolução de problemas
no início da aprendizagem. A seguir, a citação enfatiza a importância dada pelo
autor ao processo de aquisição do conhecimento:
Instruir alguém nessa matéria não é levá-lo a armazenar
resultados na mente, e sim ensiná-lo a participar do processo que
torna possível a obtenção do conhecimento: ensinamos não para
produzir minúsculas bibliotecas vivas, mas para fazer o estudante
pensar matematicamente, para si mesmo, considerar os assuntos
como o faria um historiador, tomar parte no processo de
55
aquisição de conhecimento. Saber é um processo, não um
produto. (BRUNER, 1976, p. 75)
Em nosso estudo, estaremos considerando a participação dos alunos no
processo de aquisição do conhecimento, visto que na intervenção de ensino
pretendemos propor situações problemas a partir das quais os alunos possam
deduzir propriedades que favoreçam a formação de conceitos.
Tendo em vista que, nesta pesquisa, temos interesse também no estudo
da representação gráfica, apresentamos na próxima seção considerações no que
tange à teoria psicológica sob a perspectiva de Vergnaud.
3.3. Representação
Como vimos na seção 3.2, Vergnaud considera que é com base nos
problemas a resolver e nas situações a serem dominadas que um conceito
adquire sentido à criança, e define conceito como a terna C = (S, I, R), já
apresentada anteriormente.
Vergnaud a fim de estabelecer uma relação entre conceito e situação,
retoma Piaget e suas idéias sobre função simbólica. Assim, utiliza-se de
elementos básicos da função simbólica, associando-os à sua terna (S, I, R), de
sustentação da formação do conceito, expressando-a sob a perspectiva da
Psicologia, em que se tem:
• S referindo-se à realidade ou referente;
• (I, R) referindo-se à representação.
56
Desta forma, sob a perspectiva da Psicologia, a representação pode ser
considerada como a interação entre esses dois aspectos do pensamento, quais
sejam, o significado (I) e o significante (R). Mas, é importante salientar que a
interação entre significado e significante não é simples nem ocorre
espontaneamente. Esta interação requer grande esforço, tanto do professor como
da criança, já que nem sempre conseguimos representar graficamente aquilo que
estamos pensando ou entendendo (MAGINA; CAMPOS; GITIRANA 2001).
Conforme Vergnaud (1990), as representações simbólicas, tais como:
diagramas, álgebra, gráficos, tabelas podem ser decisivas para a extração de
relações relevantes, mas podem também ser mal interpretadas pelos alunos e
desorientadoras. Assim, os diferentes tipos de representações simbólicas podem
ser úteis para representar problemas, entretanto o autor salienta que não são
igualmente significativos aos alunos, visto que dependem do problema e do nível
de análise dos alunos, pois tabelas, diagramas, gráficos, equações apresentam
propriedades distintas.
Embora Vergnaud (1998) reconheça a importância dos símbolos no
pensamento, o conhecimento não é, em essência, simbólico. Neste sentido,
considera que o reconhecimento de invariantes em ação e a progressiva
construção de objetos e predicados de nível mais alto, são aspectos mais
essenciais do conhecimento.
Este estudo trata de média aritmética, que é um conceito abstrato, ou
seja, não diretamente acessível à percepção, assim torna-se relevante o uso de
representações que favoreçam sua apreensão. Desta forma, as representações
por meio de símbolos, gráficos, tabelas são bastante significativas, tendo em vista
57
que estas representações permitem a comunicação entre os alunos e suas
atividades de pensamento.
Para estudar os objetos de estudo inseridos neste trabalho, nos
baseamos no Campo Conceitual Tratamento da Informação, elaborado por
Santos (2003). A seguir, apresentamos um esquema com o objetivo de explicitar
ao leitor o conjunto de situações, invariantes e representações simbólicas dos
dois objetos de estudo utilizados nesta pesquisa: leitura e interpretação de
gráficos e, média aritmética.
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Conforme exposto no quadro 3.1, tomaremos por base os elementos da
terna C=(S, I, R) proposta por Vergnaud para cada um dos objetos de estudo de
nossa pesquisa. A seguir, especificaremos os elementos das duas ternas
apresentadas: primeiro para leitura e interpretação de gráficos e na seqüência
para o conceito de média aritmética.
Quanto à leitura e interpretação de gráfico, consideraremos cinco
situações: coleta e organização de dados; elaboração de listas e tabelas;
construção de gráficos; gráficos com diferentes escalas e extrapolação.
No presente estudo, estaremos considerando como coleta e organização
de dados as situações em que os alunos farão a coleta de dados por meio de
uma investigação, tratando-se, assim, de uma coleta direta21. Outra situação
empregada, será a organização dos dados coletados em tabelas no banco de
dados do Tabletop. Na construção dos gráficos, serão utilizadas situações
apoiadas em dados previamente organizados em tabelas e usados os recursos
disponíveis do software para gerar representações gráficas.
Estaremos oferecendo situações de extrapolação, para que o aluno
possa realizar previsões baseadas na leitura e interpretação do gráfico que
construiu no Tabletop.
Para trabalhar as situações descritas, pretendemos empregar, dentre os
recursos oferecidos pelo Tabletop, três tipos diferentes de representação: tabular;
gráfico de freqüência; gráfico de dupla entrada.
21 Segundo Crespo (1999), quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador partindo de inquéritos equestionários, a coleta de dados é considerada direta.
60
A representação tabular refere-se à organização dos dados em forma de
tabela, utilizando o banco de dados do software Tabletop. Os dois tipos de
gráficos que pretendemos utilizar são pictóricos, visto que sua representação
gráfica pode ser constituída de figuras.
O gráfico de freqüência a ser utilizado assemelha-se ao de barras
verticais. Neste, a variável é representada no eixo horizontal, e no eixo vertical a
escala apresenta-se graduada de forma automática pelo próprio software, no
momento em que o gráfico é gerado. Usaremos também o gráfico de dupla
entrada, que apresenta duas variáveis: uma no eixo horizontal e outra no eixo
vertical. Para a leitura deste tipo de gráfico, é preciso que o aluno estabeleça uma
relação entre as variáveis dos dois eixos.
A seguir, relacionamos, três invariantes que serão exigidos na resolução
das diversas situações propostas, no que se refere à leitura e interpretação de
gráficos: localização do ponto de máximo/mínimo; composição de grupos,
quantificação e ou comparação de dados.
A localização do ponto de máximo/mínimo requer que o aluno identifique
o dado de maior ou menor valor do conjunto de dados. Para isso, em algumas
situações, o aluno deverá quantificar cada um dos dados e compará-los. Outra
situação é compor grupos, que exigirá que o aluno determine a soma dos valores
dos dados do conjunto e, para isso, ele precisará quantificar cada um dos dados.
A seguir, especificamos os elementos da terna C(S, I, R) que serão
usados no desenvolvimento do conceito de média aritmética no presente estudo.
61
Quanto ao emprego da média aritmética, quatro situações diferentes
serão trabalhadas: quantidade eqüitativa, relações formais, algorítmica e valor
representativo. Assim como Batanero (2000b), consideraremos como quantidade
eqüitativa, as situações em que a obtenção da média é realizada com base em
uma distribuição uniforme da soma dos valores do conjunto entre todos os seus
dados; na situação de valor representativo, a média será usada como um valor
que representa o conjunto de dados. Quanto às situações de emprego da média,
como relações formais, serão consideradas aquelas que desenvolvem as
propriedades do conceito de média aritmética; para a situação algorítmica, são as
situações, em que se relacionam os dois invariantes: soma dos valores do
conjunto e número total de valores com o algoritmo para determinação da média.
Para trabalhar as situações, que acabamos de descrever, estaremos
privilegiando três tipos distintos de representação: a tabular, a gráfica e a
numérica. A tabular será utilizada nas situações que solicitam a média como
quantidade eqüitativa, visto que esta requer a redistribuição dos dados do
conjunto. Assim, a média será representada no gráfico de freqüência pelas barras
de mesma altura. Quanto à representação numérica da média, esta será obtida
nas situações algorítmicas que resultam da divisão entre soma dos valores do
conjunto e número total de valores desse conjunto.
Quanto aos invariantes que serão utilizados nas situações, temos: as
propriedades da média aritmética, soma dos valores do conjunto e seu número
total de valores. Neste estudo, estaremos privilegiando cinco das sete
propriedades de média utilizadas no estudo de Strauss e Bichler (1988), quais
sejam: A) A média está localizada entre os valores extremos; C) A média é
influenciada pelos valores diferentes da média; D) A média não é
62
necessariamente igual a um dos valores que está sendo somado; F) Quando se
calcula a média, um valor zero, se aparecer, deve ser considerado e G) O valor
médio é representativo dos valores, cuja média foi calculada. Quanto à soma dos
valores do conjunto, estamos considerando a soma dos valores de todos os
dados da variável, e, o número total de valores refere-se à quantidade total de
dados dessa variável.
3.4. O Ambiente Computacional na Aprendizagem
Atualmente, observa-se a necessidade de uma reformulação na área
educacional em razão das mudanças ocorridas na sociedade, no que tange ao
emprego das novas tecnologias. Embora seja ainda um recurso pouco disponível
para a maioria das escolas brasileiras, muitas pesquisas têm indicado o uso do
computador em sala de aula, como importante recurso para o desenvolvimento
cognitivo dos alunos (BALACHEFF & KAPUT, 1996).
No entanto, sabemos que é inevitável a disseminação desse recurso a
curto prazo no cotidiano escolar, tendo em vista as parcerias do Ministério da
Educação e Cultura (MEC) com outros Ministérios, governos estaduais,
municipais, organizações não-governamentais e empresas objetivando
impulsionar o avanço do processo de informatização nas escolas (BORBA e
PENTEADO, 2001).
Desta forma, justifica-se a demanda de pesquisas que empreguem o
computador, como importante recurso para o desenvolvimento cognitivo dos
63
alunos, inseridas em uma prática pedagógica que valorize a criação de situações,
envolvendo conceitos e resolução de problemas.
Nos documentos oficiais, é importante ressaltar a ênfase dada pelo PCN
(1997), quanto à diversidade de recursos a serem utilizados, particularmente, nas
aulas de Matemática. Os recursos sugeridos pelo documento para as séries
iniciais são os seguintes: Resolução de Problemas, História da Matemática,
Tecnologias da Informação e Jogos.
Embora nosso trabalho pretenda abordar tanto o recurso à Resolução de
Problemas, como às Tecnologias da Informação, nesta seção estamos
enfatizando, o segundo sobre o qual o PCN destaca que:
O computador pode ser usado como elemento de apoio para o
ensino (banco de dados, elementos visuais), mas também como
ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho
com o computador pode ensinar o aluno a aprender com seus
erros e a aprender junto com seus colegas, trocando suas
produções e comparando-as. (BRASIL, 1997, p. 48)
Sob esta perspectiva, consideramos que o uso do computador em nosso
estudo pode favorecer o desenvolvimento de habilidades necessárias à leitura e
interpretação de gráficos. Além disso, este ambiente pode facilitar a construção e
reconstrução do gráfico, realizado mais rápido, oferecendo uma representação,
visualmente, mais agradável ao aluno.
O uso do computador em sala de aula está intimamente ligado à
construção da cidadania do aluno, tendo em vista sua atual necessidade de
“alfabetizar-se tecnologicamente”. Neste aspecto, Borba e Penteado (2001, p.17)
64
expõem de forma bem objetiva a relação existente entre o uso do computador e a
cidadania:
O acesso à informática deve ser visto como um direito,
portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve
poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no
mínimo, uma ‘alfabetização tecnológica’. Tal alfabetização deve
ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um
aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar
inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler,
escrever, compreender textos, entender gráficos, contar,
desenvolver noções espaciais, etc. E, nesse sentido, a
informática na escola passa a ser parte da resposta a questões
ligadas à cidadania.
Acreditamos que o desenvolvimento de nossa intervenção de ensino,
usando o ambiente computacional poderá possibilitar ao aluno uma motivação
para exploração dos recursos oferecidos por esse ambiente, que, aliado a outros
fatores, possa orientá-lo na construção de sua cidadania.
O PCN estabelece a necessidade de que ao adotar o computador como
um recurso em sala de aula, é fundamental que o professor aprenda a escolher o
software educacional, de acordo com os objetivos preestabelecidos que almeja
atingir em seu trabalho. Neste aspecto, o PCN sugere que estes softwares
ofereçam ao aluno uma interação com o programa para construir conhecimentos
e não apenas para testar conhecimentos.
Assim, julgamos que a escolha do software a ser utilizado em sala de
aula, e as atividades propostas são fatores relevantes para o desenvolvimento de
um trabalho que vise a construção do conhecimento. Sendo assim, apresentamos
65
na seção seguinte, as principais características e recursos oferecidos pelo
software Tabletop.
3.4.1. O Uso do Software Tabletop
Um dos fatores que contribuíram para o uso do Tabletop no presente
estudo deve-se ao fato da escola EEPG Marina Cintra já o possuir, pois ele havia
sido utilizado no Projeto “Integração do computador nas aulas de Matemática do
Ensino Fundamental: formação e desenvolvimento de um núcleo de ensino-
pesquisa”, cuja meta consistia na busca da integração do computador, como
ferramenta poderosa nas aulas de Matemática.
Tendo em vista a disponibilidade do aplicativo Tabletop na escola onde
seria desenvolvida esta pesquisa, decidimos usá-lo, também, por considerá-lo
adequado à idade das crianças das séries iniciais, pela sua flexibilidade em
trabalhar com diferentes representações gráficas e por apresentar as
características técnico-pedagógicas exigidas, como critérios para a escolha de
softwares apontados pelo documento produzido pelo Programa Nacional de
Informática na Educação (PROINFO). Com base nesse documento, Magina
(2000) destaca as principais características técnico-pedagógicas apresentadas
pelo Tabletop.
a) incitar a curiosidade; permitir formulação e teste de hipóteses;
b) evitar tratamentos inadequados aos erros cometidos;
c) possibilitar interação com o usuário, estimulando o questionamento e
tomada de decisões;
d) favorecer a interdisciplinaridade;
66
e) estar em consonância com os parâmetros curriculares nacionais,
promovendo sua operacionalização;
f) favorecer a proposição e a busca de soluções de situações-problema
e simulações;
g) estimular o trabalho cooperativo;
h) provocar no aluno a análise dos registros do caminho percorrido,
suas dificuldades e progressos;
Embora o software apresente todas essas características, é preciso que
as atividades propostas ofereçam condições para seu emprego, pois ele por si só
não garante a contemplação dessas características (MAGINA, 2000).
Para o emprego do Tabletop, outro fator importante é sua flexibilidade na
construção e reconstrução de gráficos, a partir de um “click”, pois esta facilidade
poderá encorajar os alunos a investigarem qual dos gráficos oferecerá melhor a
informação desejada, ou mesmo, buscar uma representação esteticamente mais
agradável.
Após esta breve justificativa da escolha do software utilizado no presente
estudo, passamos a apresentar o funcionamento do Tabletop e seus principais
recursos, sem a intenção de esgotar todo o potencial do aplicativo.
O aplicativo Tabletop é um pacote estatístico destinado à organização e
manipulação de dados que permite inserir etapas de construção, exploração e
análise do banco de dados. Os dados organizados, inicialmente, na
representação tabular podem ser tratados e visualizados de diferentes formas, o
que o torna um ambiente rico para a aprendizagem.
67
A seguir, são apresentadas algumas das representações oferecidas pelo
Tabletop utilizadas em nosso estudo.
A Figura 3.1, apresenta um conjunto de dados organizados no banco de
dados do Tabletop, nomeado como TIME.TDB. Ao iniciar a organização do banco
de dados, criam-se, inicialmente, os campos que o constituirão (colunas),
definindo o tipo de variável correspondente (Number, String, Boolean, Formula).
Por sua vez, cada campo é constituído por vários registros (linhas) que são
acrescentados, de acordo com a necessidade proposta pela atividade.
A disposição dos dados na tabela do Tabletop apresenta-os de forma
bruta e não simplificada, como costumam aparecer nos livros. Os ícones
selecionados para identificar os registros são desenhos disponíveis na biblioteca
do aplicativo ou criados pelos próprios alunos de forma a adequá-los às suas
reais necessidades. Esta característica do software permite ao aluno personalizar
o trabalho que está desenvolvendo. Na tabela abaixo, por exemplo, os ícones
foram diferenciados, de acordo com o time das crianças e cada um foi
representado pelo ícone escolhido.
68
Figura 3.1: Banco de dados extraído do Tabletop - TIME.TDB
Outra forma de apresentação dos dados relaciona-se com o nome do
aplicativo: Tabletop, que pode ser traduzido como “sobre a mesa”. Para obter esta
representação, basta clicar no ícone em forma de mesa encontrado no canto
direito superior da tela (ver Figura 3.1). Nesta forma, os registros da tabela
aparecem na tela distribuídos aleatoriamente, podendo ser facilmente deslocados
de um lado para outro, até que o usuário defina a variável (nome, naturalidade,
sexo, time) que os deverá agrupar. Neste tipo de representação, assim como nas
demais, cada ícone está representando cada um dos registros organizados na
tabela descrita na Figura 3.1.
69
Figura 3.2: Representação do banco de dados TIME.TDB no modo Tabletop
Na Figura 3.2, observamos três ícones, no lado esquerdo inferior, que
permitem gerar três tipos de gráfico. O ícone destacado na Figura 3.2 gera o
diagrama de Venn; o seguinte, o gráfico de freqüência e, o último gera o gráfico
de dupla entrada. Na seqüência, apresentamos exemplo dos gráficos
empregados no estudo.
Na figura seguinte, aparece o gráfico de freqüência gerado com base no
banco de dados TIME.TDB, no qual os registros apresentam-se agrupados pela
variável time. O software oferece a possibilidade de mudar o tipo de variável para
gerar um novo gráfico, bastando para isso clicar no ícone TIME (ver Figura 3.3)
que disponibilizará as demais variáveis constituintes do banco de dados para
gerar o gráfico solicitado.
Pode-se notar que o modo pelo qual o software Tabletop apresenta seus
dados no gráfico, assemelha-se à representação formal de um gráfico de coluna.
Isto porque, embora os dados estejam agrupados em coluna, esta, na verdade, é
70
o empilhamento dos indivíduos que pertencem àquela categoria organizados por
superposição, dando a idéia de coluna.
Figura 3.3: Representação do gráfico de freqüência do banco de dados TIME.TDB
Outra característica importante do software é a facilidade que o usuário
tem para obter informações sobre cada um dos indivíduos, representado
iconicamente no gráfico. Para tanto, basta clicar em qualquer um dos ícones que
uma janela informativa abrir-se-á ao lado desse ícone, que agora estará
salientado (ver Figura 3.3: ícone em branco com janela informativa de seu lado
direito).
Neste momento, consideramos importante salientar a possibilidade que
o software oferece ao inverter as colunas dos registros como, por exemplo,
transferir a coluna do Corinthians para a do Palmeiras. Embora o aluno tente
“arrastar” um registro (individualmente) de uma coluna a outra, o software não
permite a troca de um único registro, visto que a representação gráfica é obtida
dos dados fornecidos pela tabela.
Esta restrição imposta pelo software dificulta ao aluno “manipular” os
registros individualmente no gráfico, porém, ela o remete a uma busca da relação
existente entre duas representações: a tabela e o gráfico. Acreditamos que esta
71
busca possa contribuir para que o aluno passe a observar as relações existentes
entre as distintas representações de um mesmo conjunto de dados.
Uma outra forma de representar as informações contidas no banco de
dados do Tabletop é usando o gráfico de dupla entrada, conforme apresentamos
a seguir:
Figura 3.4: Representação do gráfico de dupla entrada do banco de dados TIME.TDB
A Figura 3.4 apresenta o gráfico de dupla entrada que foi construído
baseado no banco de dados TIME.TDB. Este tipo de gráfico oferece a
possibilidade de trabalhar com duas variáveis. No exemplo apresentado na Figura
3.4, definimos a variável “Time” no eixo horizontal e a variável “SEXO” no eixo
vertical, pois, assim como no gráfico de freqüência podem ser alteradas, de
acordo com a necessidade das atividades propostas.
Alguns trabalhos desenvolvidos com professoras nas séries iniciais
(HEALY et al, 2000; SANTOS e MAGINA, 2001) observaram que as interações com o
banco de dados Tabletop auxiliaram os professores a refinar várias de suas
noções estatísticas, quais sejam: diferenciar conjuntos de dados, escolher e
72
interpretar diversos tipos de gráficos, aumentar seu entendimento sobre medidas
de tendência central e construir modelos estatísticos.
Outro aspecto observado na pesquisa de Santos (2003) desenvolvida,
também, com uma professora das séries iniciais, foi que o modo gráfico do
Tabletop servia de motivação para explorar os dados do banco e que a
personalização dos ícones foi um dos fatores determinantes na motivação da
professora “brincar” com os dados. Embora as pesquisas descritas acima estejam
relacionadas com professores, seus resultados nos interessam, pois em nosso
estudo temos como expectativa que o ambiente Tabletop permita ao aluno a
construção de conceitos de forma dinâmica. È fundamental que o aluno, assim
como o professor, sintam-se motivados para realizar as atividades propostas.
Julgamos que o emprego do computador na intervenção de ensino
possibilitará ao aluno a construção de seu conhecimento de forma dinâmica,
sendo inclusive, sugerido pelo PCN que aponta o computador como "elemento de
apoio para o ensino", como "fonte de aprendizagem" e como "ferramenta para o
desenvolvimento de habilidades" (BRASIL, 1997, p. 48).
Considerando a recente inclusão do ensino de Estatística nas séries
iniciais pelo PCN (1997) – inserida no bloco de conteúdo Tratamento da
Informação aliada aos fatores acima relacionados, torna-se fundamental a prática
de pesquisas na área que possam contribuir para que este ensino seja
significativo ao aluno. A Estatística deve contribuir para a formação do aluno, de
forma que ele possa atuar e transformar a sociedade.
Diante das considerações aqui apresentadas, passamos a descrever a
metodologia desta pesquisa no capítulo seguinte.
CAPÍTULO IV
METODOLOGIA
4.1. Introdução
Este capítulo, apresenta a forma pela qual conduzimos nosso trabalho,
definindo o tipo de pesquisa que buscamos desenvolver. Inicialmente,
descrevemos o desenho do experimento, seguido pelo universo do estudo e o
material usado em todas as fases. Na seqüência, apresentamos os
procedimentos empregados em cada uma das três fases constituintes do
experimento, quais sejam: pré-teste, intervenção de ensino e pós-teste. Ao final
deste capítulo, inserimos a análise prévia das atividades desenvolvidas nessas
fases constituídas pelos objetivos e expectativas em relação a cada atividade
proposta.
4.2. Desenho do Experimento
O estudo foi planejado baseado em questões que pudessem relacionar a
introdução do conceito de média aritmética por meio de representações gráficas,
usando problemas inseridos no cotidiano dos alunos pertencentes à nossa
74
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FASE 2
FASE
3
FASE 1
amostra. Trata-se de um plano empírico de inspiração quase-experimental que se
apoiou no plano clássico do experimento, estudou dois grupos, quais sejam:
grupo-controle (GC) e grupo-experimental (GE)22 (CAMPBELL e STANLEY, 1972;
RUDIO, 1986). Teve como proposta desenvolver e aplicar uma intervenção de
ensino visando introduzir o conceito de média aritmética no GE, e o outro grupo, o
GC, foi considerado um grupo de referência. A seguir, mostramos um esquema
do desenho do experimento.
Quadro 4.1: Desenho do Experimento
22 A partir deste momento, estaremos nos referindo ao grupo controle e ao grupo experimental por GC e GE respectivamente.
75
GE é o grupo constituído pelos alunos que realizaram atividades de
intervenção em ambiente computacional que foi comparado a outro, de alunos
que não realizaram estas atividades, denominados GC.
Ao longo de dois meses e meio, o trabalho foi realizado, tendo sido
subdivido em três fases, conforme o esquema já apresentado no Quadro 4.1.
A primeira fase referiu-se à aplicação de um pré-teste nos dois grupos
GE e GC, cuja análise forneceu importantes informações sobre a concepção que
os alunos tinham em relação ao conceito de média, tendo em vista que estes
ainda não haviam estudado o conteúdo. Esta análise permitiu uma reelaboração
das atividades de intervenção previamente elaboradas.
Na segunda fase, iniciamos o desenvolvimento das atividades de
intervenção no GE, que foram propostas apenas a este grupo, tendo em vista o
objetivo do estudo ao analisar as contribuições da intervenção de ensino em
ambiente computacional para a introdução do conceito de média aritmética.
Para isso, mantivemos o grupo-controle isento da aplicação desse fator
experimental. Entretanto, o trabalho realizado com os alunos do GC decorreu,
conforme o planejamento da professora da classe no início do ano letivo, de
acordo com os apontamentos constantes em seu diário de classe que incluíram o
conteúdo de média aritmética.
Na terceira e última fase, houve a aplicação no GE e GC de um pós-
teste, que possuía equivalência matemática ao pré-teste. A finalidade do pós-
teste foi analisar o progresso, ou não, do grupo-experimental em relação ao pré-
teste, comparando-o com os resultados obtidos pelo grupo-controle.
76
Desta forma, procuramos reconhecer as possíveis influências da
intervenção de ensino realizada em ambiente computacional para a introdução do
conceito de média aritmética, assim como o desenvolvimento da leitura e
interpretação de gráficos.
Considerando a semelhança entre pré-teste e pós-teste, posteriormente,
apresentaremos, uma análise prévia do pré-teste indicando a questão equivalente
aplicada no pós-teste com suas respectivas diferenças. As atividades realizadas
durante a fase da intervenção de ensino, foram agrupadas em oito fichas, de
acordo com a ordem da aplicação, ou seja, o número da ficha corresponde ao
número do encontro em que foi desenvolvida. Assim, neste capítulo,
apresentamos a análise prévia das atividades que elaboramos para cada um
desses encontros.
Já tendo conhecimento das fases constituintes de nosso estudo, agora
consideramos importante apresentar ao leitor a descrição de nosso universo do
estudo.
4.2.1. Universo do Estudo
A escola onde o estudo foi realizado, faz parte da rede estadual de
ensino. Localizada na região central da cidade de São Paulo, mantém o Ensino
Fundamental, com classes da 1ª a 4a séries, funcionando todas nos períodos
matutino e vespertino.
77
O estudo foi realizado nesta escola pela importância e necessidade de
conhecer a realidade da escola pública, tendo em vista que, segundo dados do
Inep/MEC, de um total de 34.719.506 matrículas no ano de 2003, 31.445.336 são
decorrentes da rede pública de ensino.
Atualmente, no Brasil, 90,57% dos alunos matriculados pertencem às
escolas da rede pública. Além disso, os estudos na área da Educação Matemática
têm discutido, constantemente, sobre a relevância das pesquisas retornarem à
sala de aula. Neste sentido, para que haja algum retorno significativo para a sala
de aula, consideramos ser importante desenvolver o trabalho com todos os alunos
da sala de aula e não apenas com parte deles.
Assim, o estudo foi feito com duas classes de 4ª série do período
matutino: 4ª série A (GC) e 4ª série B (GE),pois como os alunos do estudo
pertenciam à mesma escola, acreditamos que possam ter um nível sócio-
econômico semelhante.
A escolha das classes deveu-se ao fato de que ambas as turmas não
tinham tido contato ainda, pelo menos, de forma sistematizada, com o conceito de
média aritmética nas séries anteriores. Além disso, a 4ª série B foi selecionada
para o grupo experimental, porque 96% de seus alunos não haviam trabalhado
com o Tabletop na série anterior. Isto nos permitiria traçar um perfil mais fidedigno
quanto à influência desse recurso no desenvolvimento do estudo.
Nas duas turmas, foram aplicados os pré e pós-testes a todos os alunos
presentes em sala de aula na data da aplicação. Na primeira fase do experimento,
participaram 33 alunos do GC e 30 do GE e, na terceira fase, houve a presença
de 28 do GC e 30 alunos do GE.
78
Nesse momento, cabe ressaltar que os 30 alunos participantes do GE no
pré-teste não corresponderam aos mesmos 30 presentes no pós-teste, em razão
da rotatividade de alunos, característica das escolas da rede pública de ensino.
Entretanto, consideramos importante salientar que todos os alunos presentes em
sala participavam de todas as atividades propostas em cada fase do referido
estudo.
Embora a intervenção de ensino tenha sido desenvolvida com todos os
alunos do GE (participantes ou não do pré-teste), para efeito de análise do
experimento, utilizamos apenas os resultados daqueles que participaram das três
fases: pré-teste, intervenção de ensino e pós-teste. Assim sendo, a análise dos
resultados foi elaborada com 23 alunos do GE e 25 do GC, considerando, para
esta análise todos os alunos participantes do pré e pós-teste.
Dois observadores pesquisadores participaram do estudo para
auxiliarem nas observações e anotações sobre o questionamento dos alunos,
sobretudo, na fase da intervenção de ensino.
4.2.2. Material Utilizado
Empregamos materiais semelhantes para aplicação dos pré e pós-testes
usados nos dois grupos, quais sejam:
• Teste escrito, composto de três questões, envolvendo
representações gráficas, distribuídas em três páginas.
• Lápis, borracha e caneta.
79
Após a aplicação do pré-teste, as atividades de intervenção, foram
desenvolvidas apenas com o GE. Nesta fase, foram usados os seguintes
materiais:
• Atividades escritas com diversidade quanto ao número de questões,
de acordo com o objetivo de cada encontro, como será mostrado
ainda neste capítulo.
• Lápis, borracha e caneta.
• Computador.
• Software Tabletop e disquete.
Nas três fases do estudo, foram usados para fins de registro da coleta
de dados:
• Três cadernos para anotações de observação sobre os
procedimentos utilizados pelos alunos em cada fase, seus
questionamentos e discussões.
• Dois gravadores portáteis.
As manifestações orais e escritas dos alunos foram constantemente
registradas durante a aplicação dos testes; como também no desenvolvimento
das atividades de intervenção no GE, os registros foram audiogravados e ou
anotados em um caderno pelos observadores e pesquisadora.
4.2.3. Procedimentos
A pesquisa de campo iniciou-se com a aplicação do pré-teste no começo
do mês de abril no horário normal de aulas, cuja resolução foi feita
80
individualmente por todos os alunos, conforme já especificado no universo do
estudo e o tempo gasto foi de quase duas horas. No mesmo dia, a aplicação do
pré-teste foi feita no GE e no GC, ambos no contexto de papel e lápis.
Na aplicação do pré-teste, além dos alunos, estavam presentes a
pesquisadora, dois observadores e o professor da classe.
Antes do início do teste, explicamos aos alunos que aquele não era um
momento de avaliação, no sentido de que a realização do teste não implicaria em
“nota”. Tentamos explicitar nosso interesse para descobrir qual era a idéia que
eles tinham em relação a determinados conceitos matemáticos. Em nenhum
momento, os alunos foram pressionados para se preocuparem com “notas”.
Cada questão era lida em voz alta para garantir que tivessem entendido
a questão do ponto de vista lingüístico. Quando necessário dávamos explicação
de forma que a mesma interferisse o mínimo possível na resposta do aluno. As
explicações deram-se mais no sentido de questionamento aos próprios alunos,
pois respondíamos às suas perguntas com outras questões do tipo: O que você
pensa sobre isso? Como você acha que é?
As questões do pré-teste estavam distribuídas em três folhas, a entrega
da segunda folha só foi feita após o recolhimento da primeira de todos os alunos,
o mesmo ocorreu com a entrega da terceira folha em relação a segunda. A
distribuição das folhas foi feita desta forma para que todos tivessem acesso à
leitura de cada uma das questões com a pesquisadora em um mesmo momento.
A segunda fase da pesquisa – intervenção de ensino - ocorreu no mês
de maio de 2003. Após a análise dos resultados obtidos no pré-teste, foi possível
81
obter informações mais detalhadas das concepções que os alunos tinham em
relação aos conteúdos que seriam abordados nas atividades de intervenção. Esta
análise favoreceu maior aproximação para ponto de partida das atividades.
Nesta fase, foram mantidos dois encontros semanais com duração de,
quase 1h30 no período normal de aula. Procuramos, inclusive, inserir nossos
encontros no horário destinado às aulas de Matemática pela própria escola, tendo
como objetivo interferir o mínimo possível no desenvolvimento normal das demais
disciplinas pelo professor da classe.
Todos os encontros desta fase foram realizados no laboratório de
informática da escola, sendo também audiogravados. O laboratório dispunha de
11 computadores, mas um deles apresentou defeito no dia do início desta fase.
Sendo, assim, trabalhamos com dez grupos em lugar de 11, conforme a previsão
inicial.
Os alunos tiveram a iniciativa da distribuição dos grupos, assim,
inicialmente, foram formados seis grupos de três alunos, três de quatro e um de
dois. O grupo de dois alunos foi em razão do espaço físico disponível no
laboratório de informática.
Na segunda fase, houve uma grande rotatividade de alunos, pois
algumas crianças eram transferidas a outras escolas e novas eram recebidas. No
entanto, todos os alunos novos eram incluídos em um dos grupos, passando a
participar das demais atividades propostas.
O professor poderia ficar em classe com a metade dos alunos da sala,
enquanto desenvolvíamos o estudo com a outra metade, porém optamos por não
82
o fazer desta forma, tendo em vista que a escola pública não dispõe de um
professor para o laboratório, enquanto o outro fica em classe. Como já citado,
nossa proposta foi desenvolver um estudo utilizando a realidade da escola
pública.
A fase de intervenção constituiu-se de oito Fichas de Atividades,
aplicadas nos oito encontros previstos nas quartas e quintas-feiras.
Cada Ficha de Atividade compunha-se de duas ou três folhas de
atividades, conforme os objetivos previstos para cada encontro, que serão
apresentados na próxima seção.
Para todo o conjunto de atividades, havia folhas para registro do trabalho
dos alunos, fornecidas para cada um dos grupos pela pesquisadora. Cada
atividade era lida em voz alta pela pesquisadora que as explicava, sempre que
necessário.
A segunda fase iniciou-se com o desenvolvimento de atividades para
que o aluno pudesse se familiarizar com os recursos básicos do Tabletop,
partindo da coleta e organização dos dados. Na seqüência foram desenvolvidas
atividades focadas na leitura e interpretação de gráficos e conceitos estatísticos
elementares, mais especificamente, o conceito de média aritmética.
O conjunto das atividades propostas a partir do segundo encontro,
referia-se a um ou mais banco de dados que deixávamos disponível na pasta de
arquivos de cada grupo. Com base nesse banco de dados, cada grupo deveria
manipular os recursos disponíveis no Tabletop para construção do gráfico que
83
pudesse auxiliá-lo na resolução das atividades propostas. Todas as construções
gráficas foram salvas em disquetes, separadas por grupo.
Para responder às questões propostas em cada Ficha de Atividade, os
alunos precisavam manipular o banco de dados fornecido para a atividade em
questão. Desta forma, alunos revezavam entre si o tempo de permanência no
computador durante o período, para que todos pudessem usá-lo, tendo em vista
que cada Ficha continha duas ou três atividades.
Os alunos eram bastante solicitados para ir à lousa, a fim de expor as
diferentes estratégias utilizadas na resolução dos problemas. Além disso, após o
término de cada atividade, esta era recolhida e, fazíamos uma discussão a seu
respeito. Assim, os alunos eram solicitados a se manifestarem, também,
oralmente. Um constante estímulo à verbalização do que os alunos estavam
compreendendo sobre o que faziam, tanto no computador como na atividade
escrita era intencional.
As atividades de intervenção elaboradas inicialmente, foram sendo
modificadas, após cada um dos encontros, no qual definíamos a necessidade ou
não da retomada de algumas questões. O tempo para o desenvolvimento de cada
atividade era diferente a cada grupo, tendo em vista a heterogeneidade da classe.
No entanto, tínhamos a preocupação de respeitar as necessidades de cada aluno,
durante todo o desenvolvimento das atividades.
Na seção 4.2.3.2 deste capítulo serão apresentadas de modo detalhado
as atividades de intervenção desenvolvidas na segunda fase do estudo.
84
O pós-teste foi aplicado 15 dias após o término de nossas atividades de
intervenção, sem prévio aviso, com o objetivo de analisar as concepções dos
alunos, após terem estudado os conceitos envolvidos nas atividades citadas.
Novamente, explicamos aos alunos que embora aquelas atividades
tivessem sido propostas para analisar as novas concepções apresentadas por
eles em relação aos conteúdos trabalhados na intervenção de ensino, a
realização do teste não implicaria em “nota”.
Os procedimentos empregados na aplicação do pós-teste foram os
mesmos do pré-teste, pois ambos são semelhantes quanto à estrutura das
questões diferenciando-se, basicamente, quanto ao objetivo.
Procuramos manter o mesmo grau de dificuldade das questões,
apresentando algumas alterações em relação ao primeiro no que se refere à
quantidade, tipo do ícone apresentado nos gráficos e contexto do problema. Estas
diferenças serão apresentadas de forma detalhada no próximo item.
4.2.3.1. Descrição e análise prévia do pré e pós-teste
Nesta seção, apresentamos a descrição e análise das questões
propostas no pré-teste. Considerando a semelhança entre o pré e o pós-teste,
este último será apenas descrito ao lado do primeiro para que o leitor possa
compará-los.
O pré-teste teve por objetivo identificar os possíveis conceitos
prévios e habilidades dos alunos em relação aos conceitos envolvidos no estudo.
85
A análise dos resultados do pré-teste auxiliou a determinar o ponto de partida
para a elaboração das atividades propostas na segunda fase.
O pós-teste, embora semelhante ao pré, teve por objetivo analisar a
evolução do aluno, após o desenvolvimento das atividades de intervenção de
ensino utilizando o Tabletop.
A seguir, apresentamos os conhecimentos prévios que procuramos
identificar com a aplicação do pré-teste aos alunos do GE e GC:
• leitura e interpretação de gráficos.
• familiarização do aluno com diferentes escalas.
• realização de previsões e inferências baseadas nos dados sobre
informações que não estejam explícitas no gráfico.
• a concepção de média aritmética que o aluno apresenta.
• quais as propriedades de média aritmética que o aluno
reconhece mesmo que intuitivamente.
Este estudo propôs-se a analisar a introdução do conceito de média
aritmética, utilizando a representação gráfica, assim, consideramos que a leitura e
interpretação dos gráficos de barra representam um conhecimento prévio muito
importante na elaboração de nossas atividades de intervenção.
Apesar de vários autores discutirem a respeito dos níveis de leitura de
gráficos (BERTIN, 1983; MCKNIGHt, 1990; CARSWELL, 1992), baseamo-nos nos
níveis estabelecidos por Curcio (1987) para análise dos instrumentos utilizados
neste estudo, como já descritos no capítulo II.
86
Quanto às concepções do conceito de média aritmética, ao elaborarmos
o pré-teste, apoiamo-nos em algumas de suas propriedades que, depois foram
usadas em nossas atividades de intervenção. Estas propriedades foram descritas
e empregadas na pesquisa de Strauss e Bichler (1988) e, também, já foram
descritas no capitulo II.
A seguir, destacamos a análise de cada uma das questões do pré-teste,
fornecendo as questões correspondentes ao pós-teste, para que o leitor possa
comparar a similaridade entre os dois instrumentos quanto à sua estrutura:
mesmo grau de dificuldade, diferenciando-se basicamente pela quantidade
envolvida, o contexto (história) do problema e os ícones. Entretanto, destacamos
que o pós-teste não será analisado, pois,além de suas características serem as
mesmas do pré-teste, este não tinha como objetivo diagnosticar os
conhecimentos prévios dos alunos mas, sim, analisar as concepções dos alunos
após o desenvolvimento da intervenção de ensino em ambiente computacional.
4.2.3.1.1. Análise prévia da primeira questão
A primeira questão apresenta um gráfico de barras, a partir do qual
elaboramos cinco itens, abordando a leitura de gráfico e o conceito de média
aritmética. Quanto ao conceito de média aritmética, incluímos, já nesta primeira
questão um item que pudesse nos fornecer alguns parâmetros a respeito do
possível conhecimento intuitivo por parte do aluno das propriedades da média
aritmética. Além disso, inserimos um item no qual o aluno pudesse inferir em
função dos dados apresentados graficamente. Para isso, dividimos a análise da
questão em três partes:
87
I) Itens que enfatizam a leitura de gráficos;
II) Itens que enfatizam o conceito de média aritmética;
III) Itens que sugerem extrapolação na leitura de gráficos.
1.I) Itens “1a" e “1b”
PRÉ-TESTE PÓS-TESTE 1. Chico vende mini-games na praça da República. No gráfico abaixo está representado a quantidade de mini-games que ele vendeu nos meses de janeiro, fevereiro e março.
0123456789
10111213
Janeiro Fevereiro MarçoQua
ntid
ade
de m
ini-g
ames
2. Maria vende relógios na praça da Sé. No gráfico abaixo está representada a quantidade de relógios que ela vendeu nos meses de janeiro, fevereiro e março.
0123456789
10111213
Janeiro Fervereiro Março
Qua
ntid
ade
de r
elóg
ios
a) Em qual mês “seu Chico” vendeu mais mini-
games? ___
Por que você acha que ele vendeu mais mini-games neste mês?_______________________
b) Em qual mês “seu Chico” vendeu menos mini-
games?__
Por que você acha que ele vendeu menos mini-games neste mês?
a) Em qual mês Maria vendeu menos relógios? ___
Por que você acha que ele vendeu menos relógios neste mês? ___________________
b) Em qual mês Maria vendeu menos relógios? ______
Por que você acha que ela vendeu menos relógios neste mês?____
Figura 4.1: Questão 1 - itens “1a" e “1b” do pré e do pós-teste
Embora os itens “1a" e “1b”, desta questão fossem aparentemente
simples, foram considerados importantes para nosso estudo, visto que a
introdução do conceito de média aritmética foi trabalhada com o uso das
representações gráficas, em ambiente computacional. Assim, foi fundamental
para este estudo diagnosticar o nível de leitura de gráfico no qual nossos alunos
se encontravam.
88
O objetivo desses dois itens era investigar qual a familiaridade do aluno
no que se refere à leitura do gráfico de barras, de acordo com os níveis de Curcio
(1987) já citados.
Quanto à justificativa solicitada para os dois itens, nosso objetivo era
identificar se a resposta do aluno seria baseada nos dados do gráfico ou em sua
realidade, considerando suas experiências pessoais.
Acreditávamos que os alunos não encontrariam dificuldades para
responder os dois primeiros itens da questão 1, pois o tipo de gráfico é
encontrado, constantemente, em jornais e revistas, além de aparecer com
freqüência nos livros didáticos, abordando conteúdos das mais diversas áreas do
conhecimento, tais como: geografia, ciências, história, dentre outras. Pelas visitas,
que fazíamos à escola, observamos que os alunos tinham acesso em sala de aula
aos materiais supracitados.
Desse modo, nossa expectativa era que todos acertassem a questão
quanto à leitura do gráfico, podendo, apresentar uma diversidade nas justificativas
apresentadas. Nossa expectativa era que as mesmas pudessem ser
apresentadas em função da leitura do gráfico ou da realidade do aluno.
1.II) Itens “1c” e “1d”
Os itens da Questão 1 apresentados a seguir, envolvem, além da
leitura de gráficos, o conceito de média aritmética. Ao contrário dos dois primeiros
itens, consideramos, estes dois últimos, um pouco mais difíceis, tendo em vista
que o aluno deveria “ler entre os dados”, pois segundo Curcio (1987), neste nível,
são incluídos a interpretação e integração dos dados do gráfico, o que requer do
89
aluno habilidades para comparar quantidades e o uso de outros conceitos e
destrezas matemáticas. Neste caso, além de “ler os dados” o aluno deverá
integrá-los de forma a determinar a média solicitada na questão.
PRÉ-TESTE PÓS-TESTE
c) “Seu Chico” pediu para seu netinho Luis determinar qual foi sua venda média mensal de mini-games nesses meses. Luis pediu ajuda para seus colegas que responderam: Resposta de Luis: sua venda média mensal é 2 mini-games Resposta de Alberto: sua venda média mensal é 12 mini-games. Resposta de Paulo: sua venda média mensal é 4 mini-games. Resposta de Rui: sua venda média mensal é 6 mini-games. Resposta de Carlos: sua venda média mensal é 18 mini-games. E para você, qual é a resposta correta? ____________ Como você faria para convencer “seu Chico” que sua resposta está correta? d) Se “seu Chico” tivesse vendido 7 mini-games no mês de março, sua venda média mensal nesse período seria a mesma?
• Se você acha que SIM, explique porquê nas linhas abaixo.
• Mas se você acha que NÃO, escreva nas linhas abaixo qual seria a nova média.
e) Observe com atenção o gráfico acima novamente e diga quantos mini-games você acha que “seu Chico” deverá vender em Abril._______________________ Como você chegou a esta conclusão? ____________
c) Maria pediu para sua sobrinha Renata determinar qual foi sua venda média mensal de relógios nesses meses. Renata pediu ajuda para suas colegas que responderam: Resposta de Joana: sua venda média mensal é 4 relógios. Resposta de Sônia: sua venda média mensal é 8 relógios. Resposta de Carmem: sua venda média mensal é 11 relógios. Resposta de Silvia: sua venda média mensal é 9 relógios. Resposta de Carina: sua venda média mensal é 24 relógios. E para você, qual é a resposta correta?____________ Como você faria para convencer Maria que sua resposta está correta? d) Se Maria tivesse vendido 6 relógios no mês de fevereiro, sua venda média mensal nesse período seria a mesma?
• Se você acha que SIM, explique porquê nas linhas abaixo.
• Mas se você acha que NÃO, escreva nas linhas abaixo qual seria a nova média.
e) Observe com atenção o gráfico acima novamente e diga quantos relógios você acha que Maria poderá vender em Abril.________________________ Como você chegou a esta conclusão? ___________
Figura 4.2: Questão 1 – itens “1c”, “1d“ e “1e” do pré e do pós-teste
Para o item “1c” nosso objetivo era observar qual concepção o aluno
possuía sobre média aritmética, visto que o mesmo é abordado nos mais variados
contextos.
A expectativa era que poucos alunos conseguissem acertar essa
questão, visto que o trabalho com conceitos elementares de Estatística desde as
séries iniciais foi recentemente proposto pelo PCN (1997). Além disso, os
90
resultados de pesquisas indicam a dificuldade dos alunos na compreensão deste
conceito em vários níveis de escolaridade (CAI, 1995; MOKROS e RUSSELL, 1995;
CAZORLA, 2002; SANTOS, 2003, STELLA,2003).
A resposta fornecida pelo aluno pode nos informar sua concepção em
relação à média aritmética, assim, foi elaborada uma análise prévia para cada
uma das possíveis respostas.
• RESPOSTA DE LUÍS: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 2 MINIGAMES.
Para esta resposta, o aluno pode ter considerado a média como o ponto de
mínimo do gráfico. A concordância com esta resposta indica a ausência da
concepção de média como sendo um valor representativo dos dados do conjunto.
• RESPOSTA DE ALBERTO: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 12 MINIGAMES.
Para esta resposta, o aluno não observou a média como um valor
intermediário entre menor e maior valor do conjunto. A concordância com esta
resposta, também, pode nos indicar a ausência da concepção de média como
sendo um valor representativo dos dados do conjunto.
• RESPOSTA DE PAULO: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 4 MINIGAMES.
O aluno que apresentasse esta resposta, possivelmente, teria a
compreensão de que a média não precisa ser um dos valores do conjunto e
observa que a média deve ser um valor compreendido entre maior e menor valor
dos dados do conjunto.
91
• RESPOSTA DE RUI: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 6 MINIGAMES.
As crianças que concordassem com Rui, provavelmente, possuíam
alguma noção, mesmo que intuitiva sobre média. Entretanto, podem ter pensado
em média como o valor intermediário, o que coincidiu para que encontrassem a
resposta esperada. Mas, neste caso, esta concepção apresentada pode ter sido
de mediana e não de média aritmética.
• RESPOSTA DE CARLOS: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 18 MINIGAMES.
Para esta resposta, os alunos não observaram a média como um valor
compreendido entre maior e menor valor dos dados do conjunto, mostrando uma
concepção de média como soma dos valores do conjunto. A concordância com
esta resposta também pode indicar a ausência da concepção de média, como
sendo um valor representativo dos dados do conjunto.
Ao solicitar ao aluno a justificativa de sua resposta neste item, nosso
objetivo era observar qual sua concepção a respeito do conceito de média
aritmética, conforme a análise mostrada acima para cada um dos itens.
Para o item “1d” desta questão, o objetivo era diagnosticar a
compreensão do aluno, mais especificamente, quanto à seguinte propriedade de
média: “o valor da média é influenciado por cada um dos valores dos dados”
(STRAUSS E BICHLER, 1988). O aluno pode apresentar o entendimento desta
propriedade sem, necessariamente, saber calcular a média.
Achávamos que a maioria dos alunos pudesse perceber que, existindo
uma alteração do valor de um dos dados, neste caso, a média seria alterada.
Uma vez dada a resposta NÃO pelos alunos, poderia indicar uma noção intuitiva
92
da propriedade em questão. Entretanto, julgávamos que pudessem apresentar
dificuldades na determinação da nova média, em razão de ser este um conteúdo
ainda não estudado formalmente por esses alunos.
É importante destacar que os itens “1c” e “1d” foram considerados
corretos em função de sua justificativa quanto ao conceito de média aritmética. No
caso da justificativa do aluno, apresentar outra concepção que não fosse de
média aritmética, esta não foi considerada correta, pois a investigação do
presente trabalho ocorre com esse conceito.
1.III) Item 1e
No item “1e”, o objetivo era propor ao aluno a realização de uma
previsão que requer a interpretação e integração dos dados representados
graficamente. Nesse item, podemos analisar qual o caminho percorrido pelo
aluno para inferir sobre os dados apresentados no gráfico; que segundo Curcio
(1987), consiste em uma “leitura além dos dados”.
Embora esta seja uma questão aberta, nossa expectativa era que a
maioria dos alunos respondesse 14 minigames, pois achávamos que eles
pudessem se apropriar de sua percepção sobre o aumento que está ocorrendo
mês a mês, que é de quatro unidades a mais em relação ao mês anterior. Para a
correção deste item, não atribuímos certo ou errado, visto que será analisado
qualitativamente.
No pós-teste, esta era a segunda questão a ser aplicada, conforme as
adaptações apresentadas. Procuramos manter o mesmo grau de dificuldade,
tendo alterado basicamente as quantidades envolvidas e o contexto da situação
93
do pré-teste. Quanto ao item “1c”, consideramos importante mudar a ordem das
opções e apresentar como possibilidade de resposta o maior valor mostrado no
gráfico, o que, por inexperiência da pesquisadora, não tínhamos feito no pré-
teste.
4.2.3.1.2. Análise prévia da segunda questão
Esta questão possui características semelhantes à anterior, entretanto o
grau de dificuldade pode ser considerado maior que o da anterior, em razão de
dois fatores, a saber: a escala do gráfico encontra-se graduada de duas em duas
unidades, com valores de alguns dos dados apresentados implicitamente no eixo.
Além disso, o gráfico da questão continha uma maior quantidade de dados e o
valor de um deles, zero.
Assim como a primeira, esta segunda questão, também demonstra
informações representadas no gráfico de barras, com base nas quais elaboramos
alguns itens que também citam aspectos relativos à leitura e interpretação de
gráfico e conceito de média aritmética. Assim, utilizamos a mesma divisão feita na
questão anterior para melhor analisá-la.
A seguir, apresentamos a segunda questão completa do pré-teste, e sua
similar aplicada no pós-teste.
94
Figura 4.3: Questão 2 – itens “2a” à “2f“ do pré e do pós-teste
2.I) Itens “2a", “2b”, “2c” e “2d”
O objetivo do item “2a" era observar se o aluno estava “lendo entre os
dados”, tendo em vista que, para responder esse item, seria preciso que ele
elaborasse uma integração dos dados representados graficamente, que, neste
caso, consistiu na soma dos valores dos dados do conjunto. Além disso, este item
deveria permitir que identificássemos a familiaridade do aluno com a leitura de
escalas de forma indireta.
PRÉ-TESTE PÓS-TESTE
1) O gráfico abaixo informa o consumo de pães, da família de “seu Chico” durante uma semana.
0
2
4
6
8
10
12
2a 3a. 4a. 5a. 6a. sábado domingo
Dias da semana
Qua
ntid
ade
de p
ães
Lendo as informações no gráfico, responda as seguintes questões: a) Qual o total de pães consumidos por essa
família nessa semana?________________ b) Em que dia o consumo de pães foi maior?____ c) Em que dia o consumo de pães foi
menor?____ d) Teve algum dia nessa semana em que não
houve consumo de pão pela família do seu Chico?_____________________________ Se sim, qual foi esse dia?________________
e) Qual foi o consumo médio diário de pães dessa família?______
f) Que conta você fez para achar esse valor? ___
2) O gráfico abaixo informa o consumo de frutas, da família de Maria durante uma semana.
0
2
4
6
8
10
12
2a 3a. 4a. 5a. 6a. sábado domingo
Dias da semana
Qua
ntid
ade
de fr
utas
Lendo as informações no gráfico, responda as seguintes questões: a) Qual o total de frutas consumidas por essa
família nessa semana?___________________ b) Em que dia o consumo de frutas foi
maior?______ c) Em que dia o consumo de frutas foi
menor?______ d) Teve algum dia nessa semana em que não
houve consumo de frutas pela família de Maria?__________
Se sim, qual foi esse dia?__________________ e) Qual foi o consumo médio diário de pães dessa
família?______________________________ f) Que conta você fez para achar esse valor?
______
95
Achávamos que esta questão pudesse apresentar certa dificuldade aos
alunos no que se refere à leitura dos dados nessa escala, mas, não quanto à
soma dos valores lidos. Supúnhamos que alguns alunos indicassem 2,5 para se
referir à leitura da quantidade igual a 3. Isto se justifica pela dificuldade na leitura
de dados cujos valores são apresentados implicitamente na escala.
Item “2b”
Este item diferiu do item “2a" da questão 1, apenas quanto à escala, pois
não mostrou maior dificuldade ao aluno por se tratar da leitura de um ponto
extremo. Neste item, o objetivo era investigar qual a familiaridade do aluno no que
se refere à “leitura dos dados” no gráfico de barras, utilizando uma escala distinta
da unitária.
Achávamos que esta questão fosse fácil para a maioria dos alunos, visto
que pesquisas indicam que, apesar das crianças no Ensino Fundamental
raramente tratarem de fatores globais, elas são capazes de fazer leituras pontuais
nos gráficos de barras (SANTOS e GITIRANA, 1999).
Item “2c”
O objetivo para este item era investigar se o aluno conseguiria identificar o
menor valor do conjunto “zero”, quando se trata de representação gráfica.
Neste item, a expectativa era que alguns alunos respondessem como o
dia, em que o consumo foi menor a segunda-feira (por haver um consumo de dois
pães), outros alunos apontassem o domingo (consumo de “zero” pães).
96
Item “2d”
No item “2d”, o objetivo era investigar se o aluno reconhecia o “zero”
como valor do conjunto de dados na representação gráfica, ou seja, se ele fazia a
leitura desse valor.
Para esta questão, a expectativa era que os alunos identificassem o
domingo como o dia, em que não houve consumo de pães. Ao responder este
item, acreditávamos que o aluno pudesse voltar ao item anterior e refletir sobre o
resultado encontrado.
2.II) Itens “2e” e “2f”
O objetivo principal para o item “2e” era observar qual a concepção do
aluno sobre média aritmética, visto que a mesma é abordada nos mais variados
contextos. Quanto ao item “2f”, nosso objetivo era tentar observar qual o
procedimento matemático que ele utilizaria na determinação da média.
Esperava-se que o aluno empregasse o gráfico para distribuir pães entre
os dias da semana, de forma a obter a mesma quantidade nos sete dias, obtendo
a média solicitada. Achávamos que poucos alunos pudessem obter a média,
somando todos os valores e dividindo por sete, tendo em vista que esses alunos
não estudaram ainda este conteúdo, pelo menos, formalmente.
No pós-teste, esta era a primeira questão a ser aplicada. Procuramos
manter o mesmo grau de dificuldade em relação à correspondente questão do
pré-teste, tendo alterado basicamente o valor dos dados e o contexto da situação.
97
Mudamos a posição do valor nulo na representação gráfica, pois, no pré-teste,
este valor encontrava-se no final do gráfico.
4.2.3.1.3. Análise prévia da terceira questão
Nesta questão, o gráfico de dupla entrada apresentado foi construído
pelo software Tabletop, que será trabalhado na fase de intervenção de ensino.
Neste tipo de gráfico, são apresentadas variáveis, tanto no eixo vertical como no
eixo horizontal, o que pode dificultar sua leitura. Neste sentido, nosso objetivo era
investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos quanto à leitura desse tipo
de gráfico, assim como identificar a concepção que ele possuía sobre o conceito
de média aritmética.
Julgávamos que este tipo de gráfico pudesse causar maior dificuldade
de leitura aos alunos. Além deste tipo de gráfico ser pouco explorado pela mídia
escrita, temos a pesquisa de Santos (2003) que indica a dificuldade na leitura de
gráfico semelhante a este por professores do Ensino Fundamental. A autora
citada apresenta algumas situações, dentre as quais, a de uma professora que
elabora a leitura do gráfico de dupla entrada como se os eixos estivessem
invertidos.
98
Figura 4.4: Questão 3 – itens “3a” à “3d“ do pré e do pós-teste
3.I) Itens “3a”, “3b” e “3c”
No item “3a", pretendíamos analisar se o aluno seria capaz de fazer a
leitura do gráfico, relacionando as variáveis envolvidas nos dois eixos, para isso
ele deveria ler os dados no eixo vertical, mas quantificá-los no sentido horizontal
para depois compará-los.
PRÉ-TESTE PÓS-TESTE
3) As crianças da 5a. série da escola Caetano de Campos fizeram uma campanha de reciclagem de latinhas de refrigerante. O grupo de Cristina marcou no gráfico abaixo, as latinhas que conseguiram trazer em cada um dos cinco dias da semana.
a) Qual a marca de refrigerante foi menos
recolhida pelo grupo durante a semana?_____ O que fez você saber que foi essa a marca menos recolhida? _______________
b) Carlos acha que no 2o dia foram trazidas menos latas de refrigerantes. Você concorda com ele?__________________________ Por que?_____________________________
c) Qual o total de latas de refrigerantes trazidas na semana?___________ Se alguém disser que sua resposta está errada, como você prova que ela está certa?
d) Qual a média diária de latas trazidas nesta semana? Como você chegou a esta resposta?
3) Os alunos da 5a. série da escola Caetano de Campos organizaram a Campanha do Agasalho para ajudar as crianças da comunidade. O grupo de Patrícia marcou no gráfico abaixo, os agasalhos que conseguiram trazer em cada um dos cinco dias da semana. a) Qual o tipo de agasalho que foi menos recolhido pelo
grupo durante a semana?_________________ O que fez você saber que foi esse o tipo de agasalho menos recolhido?______________
b) João acha que na 3a feira foram recolhidos menos agasalhos. Você concorda com ele? ________ Por que?_______________________________
c) Qual o total de agasalhos trazidos na semana?__________________ Se alguém disser que sua resposta está errada, como você prova que ela está certa? ____________
d) Qual a média diária de agasalhos trazidos nesta semana? Como você chegou a esta resposta?
99
No item “3b”, a pergunta foi feita de forma indireta. Era proposto ao
aluno que realizasse a leitura do gráfico, relacionando as variáveis envolvidas nos
dois eixos, porém, neste item os dados a serem comparados situavam-se no eixo
horizontal, devendo ser quantificados no sentido vertical.
Quanto à leitura do gráfico, o item “3c” requer que o aluno determine a
soma dos valores da variável do eixo vertical (refrigerantes) recolhidos na
semana, exigindo que ele quantifique esse total de refrigerantes.
Quanto à justificativa, interessou observar qual foi a estratégia utilizada
pelo aluno, de acordo com as diversas possibilidades oferecidas para resolução
desses itens.
A expectativa para os itens "3a" e “3b” era que o aluno pudesse totalizar
os ícones referentes a cada categoria, contando um a um ou elaborando somas
parciais no eixo da categoria solicitada (vertical: “3a" e horizontal: “3b”),
totalizando-as para depois comparar.
Para o item “3c”, julgávamos que o aluno elaborasse as somas parciais
em qualquer um dos sentidos (vertical ou horizontal) para depois totalizá-las. A
justificativa do item “3c” pode nos levar a observar qual estratégia foi utilizada pelo
aluno nesta contagem, ou seja, o aluno priorizou a leitura vertical ou horizontal, ou
ainda, se simplesmente usou a contagem de latinhas uma a uma.
100
3.II) Item “3d”
O objetivo deste item, assim como outros relativos à média era também
investigar, qual a concepção que o aluno apresentava sobre média aritmética. No
entanto, nossa expectativa era que esta representação gráfica facilitasse ao aluno
desenvolver uma estratégia de distribuição dos ícones para resolvê-la.
4.2.3.2. Análise prévia das atividades de intervenção de ensino
As atividades de intervenção foram desenvolvidas praticamente um mês
após a aplicação do pré-teste. No período, recorremos a uma breve análise dos
resultados do instrumento aplicado para que pudéssemos elaborar as atividades
de intervenção, considerando o conhecimento prévio mostrado pelos alunos.
Neste sentido, os resultados encontrados quanto à leitura de gráficos,
mostraram que este poderia ser um bom caminho ao desenvolvimento do trabalho
proposto. Além disso, 52% dos alunos apresentaram a concepção de média como
soma dos valores do conjunto que consiste em um dos invariantes usados na
determinação da média aritmética. Isto sugeriu que o desenvolvimento de
atividades abordando o processo de redistribuição de dados poderia ser um bom
caminho para introduzir o conceito de média aritmética nos alunos.
Todos os alunos do GE realizaram as atividades de intervenção no
laboratório de informática da própria escola, onde trabalharam o tempo todo em
grupo. Foram realizados oito encontros de 1h30 para cada um desses encontros,
nos quais eram propostos uma Ficha de Atividades constituída de uma, duas ou
três Atividades.
101
Apresentamos uma breve descrição dessas oito fichas, com os objetivos
previstos para cada conjunto de atividades. As Fichas de Atividades encontram-se
em sua íntegra no anexo 2.
4.2.3.2.1. FICHA 1
A seguir, apresentamos as três atividades constituintes da Ficha 1,
aplicadas no primeiro encontro da intervenção de ensino. Pelo desenvolvimento
dessas atividades, pretendíamos partir de uma sensibilização dos alunos para
iniciar a coleta de dados, solicitada na Atividade 1A. Esta coleta foi adotada para
que o aluno observasse a necessidade de organizar os dados obtidos e
familiarizar-se com o banco de dados Tabletop. Na seqüência, especificamos
nossos objetivos para cada uma das atividades desta Ficha.
Atividade 1A
A atividade 1A sugeria uma familiarização inicial com o banco de dados
Tabletop, partindo de uma coleta de dados feita pelos alunos. Inicialmente, eram
anotados os dados dos colegas no protocolo fornecido para cada grupo e depois
digitados.
Nesta atividade inicial com o Tabletop, o objetivo era que o aluno
organizasse os dados coletados no banco de dados, de forma que tivesse seu
primeiro contato com alguns recursos oferecidos pelo software. A pesquisadora
fez uma exposição inicial sobre o significado dos termos presentes no menu
principal, quais sejam: File, Open, Close, Save.
102
Embora tenhamos discutido com os alunos sobre a organização dos
dados, a tabela foi entregue já com os campos especificados para preenchimento,
tendo em vista que este não era o foco de nosso trabalho.
Figura 4.5: Atividade 1A da intervenção de ensino
Supúnhamos que esta questão fosse fácil, pois conhecer os dados das
pessoas da própria família faz parte do cotidiano das crianças. A tarefa que
poderia apresentar alguma dificuldade, encontrava-se na fase que o aluno
organizasse os dados no Tabletop, tendo em vista ser este o primeiro contato
com o software para muitas dessas crianças. Achávamos que eles encontrariam
alguma dificuldade quanto à digitação dos dados, considerando sua pouca
familiaridade com o computador.
Atividade 1B
O banco de dados FAMI-COL.tdb que os alunos salvaram na atividade
anterior, foi utilizado e, assim, encaminhamos a atividade 1B com a finalidade de
introduzir a construção de gráficos no Tabletop. Para isto, foi feita uma breve
exposição sobre os tipos de gráfico disponíveis pelo software, com os quais
1) Vocês irão desenvolver várias atividades neste grupo durante alguns encontros. O que vocês acham de se conhecerem melhor? Anotem na tabela abaixo os dados das pessoas que formam as famílias de todos os alunos de seu grupo. Anotem, também se a pessoa é adulto ou criança e o seu sexo. Não se esqueçam que vocês também fazem parte de suas próprias famílias!
ALUNO
NOME DO FAMILIAR
ADULTO/CRIANÇA
SEXO F/M
Digitem estes dados na tabela do tabletop FAMI-COL.TDB. Não se esqueçam de salvar esses dados após a digitação.
103
iríamos desenvolver as atividades propostas: gráfico de freqüência e o gráfico de
dupla entrada.
Esta atividade tinha objetivos específicos para introduzir a construção do
gráfico de freqüência e desenvolver as habilidades do aluno em relação à leitura
desse tipo gráfico.
Figura 4.6: Atividade 1B da intervenção de ensino
Supúnhamos que esta atividade não apresentasse dificuldades aos
alunos no que se refere à leitura do gráfico, tendo em vista os resultados que eles
obtiveram no pré-teste. Por outro lado, achávamos que os alunos pudessem
ainda apresentar algumas dificuldades no manuseio com os recursos do software,
pois, encontravam-se ainda na fase de familiarização com o Tabletop.
Atividade 1C
Ainda usando o banco de dados FAMI-COL.tdb, decidimos
complementar as atividades 1A e 1B.
A atividade 1C tinha como um de seus objetivos desenvolver a
percepção do aluno, quanto à articulação entre representação gráfica e
representação tabular. Vergnaud (1985) considera que os exercícios que
1)Com os dados desta tabela, façam um gráfico com o auxílio do tabletop que represente a quantidade de pessoas que pertencem à família de cada aluno do seu grupo. Não se esqueçam de salvar este gráfico como FAMI-COL.TT Observando o gráfico que vocês fizeram, respondam às questões abaixo:
a) A família de qual aluno do seu grupo tem mais pessoas?_________________ Quantas pessoas tem nessa família?__________________________________ b) A família de qual aluno do seu grupo tem menos pessoas?_________________ Quantas pessoas tem nessa família?___________________________________ c) Há colegas do seu grupo que têm a mesma quantidade de pessoas na família?_______________ Se houver, quais são os alunos com a mesma quantidade de pessoas na família? ____________________
Agora vocês já conhecem um pouco mais sobre seus coleguinhas!
104
permitem uma transição entre registros de representação, são importantes
recursos pedagógicos para o desenvolvimento de atividades lógico-matemáticas.
Figura 4.7: Atividade 1C da intervenção de ensino
Considerávamos que esta atividade fosse um pouco mais difícil, pois
julgávamos que os alunos ainda não tinham observado a relação existente entre
as duas representações Desta forma, acreditávamos que alguns alunos
pudessem sugerir a elaboração de um novo banco de dados para incluir o
Imaginário.
4.2.3.2.2. FICHA 2
Esta ficha constituiu-se de duas atividades e seu objetivo era dar
continuidade à exploração dos recursos oferecidos pelo software. Queríamos que
o aluno construísse o gráfico e manipulasse os dados apresentados. A seguir,
apresentamos cada atividade e seus objetivos específicos.
Bom dia! Me desculpem pelo atraso. Meu relógio não despertou e acabei me atrasando!
Como vocês puderam observar, acabou de chegar um aluno um pouco atrasado! Seu nome é “Imaginário”! 1) “Imaginário” gostaria de entrar no seu grupo. Como ficaria o gráfico com esse novo aluno, sabendo que ele mora sozinho? Construa esse gráfico e salve-o como FAMI-IMA.TT
105
Atividade 2A
Nesta atividade, queríamos oferecer ao aluno maior familiarização com
os recursos do Tabletop quanto à construção do gráfico de freqüência e a leitura
desse tipo de gráfico. Além disso, sugerir aos alunos a possibilidade de troca da
posição de categorias (alunos) no eixo horizontal, utilizando os recursos do
software.
Na festa dos aniversariantes do mês de abril da classe da Professora Carla tinha um “bexigão” cheio de
balas. Ao estourar o “bexigão”, cada aluno pegou algumas balas. O banco de dados ANIVBALA.TDB
fornece a quantidade de balas pegas por quatro alunos dessa classe.
1) Utilizando os dados do ANIVBALA.TDB, construam um gráfico que
mostre a quantidade de balas que cada um destes alunos pegou. Salvem
este gráfico com o nome de ANIVBALA.TT
Utilizem este gráfico para responder as questões abaixo:
a) Qual aluno pegou mais balas?__________________________
Quantas balas ele pegou?_____________________________
b) Qual aluno pegou menos balas?_________________________
Quantas balas ele pegou?_______________________________
c) Houve alunos que pegaram a mesma quantidade de balas?________________
Se sim, quais foram esses alunos?_________________________________
d) Quantas balas foram pegas, no total, por estes quatro alunos?______________
e) Quantas balas pegou João?___________________________________
Figura 4.8: Atividade 2A da intervenção de ensino
Esperávamos que os alunos observassem a escala apresentada no
gráfico ao invés da contagem dos ícones um a um. Considerávamos que
pudessem apresentar dificuldades em relação à leitura dos dados, cujos valores
não estivessem explícitos no eixo vertical.
106
Atividade 2B
O objetivo desta atividade era desafiar o aluno a buscar estratégias para
solucionar o problema proposto. Queríamos que ele observasse a relação
existente entre gráfico e tabela, em vista de precisar alterar este último. Além
disso, nesta atividade, introduziríamos o conceito de média aritmética,
apresentando uma situação de quantidade eqüitativa.
Camila ficou triste porque João conseguiu apenas duas balas. Ela propôs aos alunos de seu grupo
que seria mais justo que todos ficassem com a mesma quantidade de balas.
1) Como ficaria o gráfico se cada aluno ficasse com a mesma
quantidade de balas? Construam esse gráfico. Salvem-no
como ANI-JOÃO.TT
2) De acordo com a proposta de Camila, com quantas balas
cada aluno ficaria?______________
Essa quantidade de balas com que cada aluno ficaria é chamada de média dessas quatro quantidades. No dia-a-dia, vocês já devem ter ouvido expressões do tipo:
• Em média eles ganham... • A média de gols... • A média de filhos por família é...
Sendo assim, podemos dizer que a média dessas quatro quantidades é 5 balas.
Figura 4.9: Atividade 2B da intervenção de ensino
Nossa expectativa era que o aluno encontrasse dificuldade, tentando
alterar os dados, considerando apenas a representação gráfica, por não ter ainda
observado a relação existente entre tabela e gráfico.
VAMOS AJUDAR A CAMILA?
Obrigado por terem Ajudado a Camila!
107
4.2.3.2.3. FICHA 3
A Ficha 3 constituiu-se de duas atividades e seu objetivo era dar
continuidade à construção do conceito de média aritmética. Para isso, continua
explorando a leitura do gráfico de freqüência e a manipulação dos dados
apresentados. Além disso, nesta ficha, foi introduzida uma das propriedades da
média aritmética.
Atividade 3A
Com a proposta da atividade 3A, nosso objetivo era oferecer ao aluno
uma nova situação. Embora semelhante à atividade 2B, a atividade 3A permitiu
investigar se o aluno passou ou não a observar a relação existente entre tabela e
gráfico.
Queríamos observar qual o caminho percorrido pelo aluno, no que tange
às questões de leitura do gráfico: escala ou contagem dos ícones.Nesta atividade,
propusemos uma situação de quantidade eqüitativa para determinação da média
aritmética.
Na festa dos aniversariantes do mês de abril da professora Carla havia outros alunos. O banco de dados PAULA.TDB fornece a quantidade de balas que os alunos do grupo de Paula pegaram ao estourar o “bexigão”. 1)Utilizando este banco de dados, construa o gráfico de freqüência. 2) Observando este gráfico respondam: a) Qual o total de balas que este grupo de alunos pegou? _________ b) Qual o total de alunos deste grupo? _______________________ c) Se cada aluno ficasse com a mesma quantidade de balas, com quantas balas cada um ficaria?
_____________________________ d) Como é chamada essa quantidade que vocês encontraram na pergunta c)? __________
Figura 4.10: Atividade 3A da intervenção de ensino
108
A expectativa era que o aluno encontrasse menos dificuldade nesta
atividade, tendo em vista já ter utilizado uma das estratégias necessárias para sua
resolução em uma situação anterior.
Atividade 3B
Na atividade 3B, o objetivo era dar continuidade ao desenvolvimento do
conceito de média aritmética, complementando a situação anterior com uma das
propriedades da média aritmética: “O valor da média é influenciado por cada um
dos valores dos dados”. A atividade sugere ao aluno que reorganize sua tabela,
para determinar a nova média, para isso pode buscar a quantidade eqüitativa,
podendo também ter percebido a relação existente entre a soma dos valores dos
dados do conjunto e o número total de dados. Quanto à leitura e interpretação de
gráficos, o aluno poderá utilizar a escala ou a contagem dos ícones.
Paula tinha se esquecido de contar as 4 balas que havia guardado em seu bolso. Portanto, ela pegou 12 balas. 1) Refaçam o gráfico acrescentando as balas que Paula encontrou em seu bolso. (PAULAB.TT) 2) Observando este novo gráfico respondam: a) O total de balas mudou? ____________________________________________ Se sim, qual é o novo total de balas? _________________________________ b) O total de alunos mudou? __________________________________________ Se sim, qual é o novo total de alunos? ________________________________ c) Antes de Paula encontrar as balas em seu bolso, cada aluno ficaria com 4 balas. Acrescentando as balas que Paula achou, a média de balas por aluno vai mudar? ___________ Se sim, qual será a nova média? ____________________________________ Essa nova média é maior ou menor que a média anterior?_________________
Figura 4.11: Atividade 3B da intervenção de ensino
109
Nossa expectativa era que o aluno observasse a relação existente entre
representação gráfica e tabular. A partir dessa observação, elaborasse a
redistribuição necessária como estratégia de resolução do problema proposto.
4.2.3.2.4. FICHA 4
A Ficha 4 possui três atividades e tinha como objetivo geral dar
continuidade ao desenvolvimento da leitura do gráfico de freqüência, utilizando
escalas diferentes e oferecer novas situações que retomem e complementem as
situações propostas anteriormente, envolvendo novas propriedades da média
aritmética.
Atividade 3C
Esta atividade retoma a anterior e tem por objetivo fazer com que o
aluno observe que, com a diminuição do valor de um dos dados do conjunto, o
valor da média também diminui (propriedade C). Os alunos podem usar a
redistribuição e ou a relação entre o total de balas do grupo e o total de alunos do
grupo para determinar a média aritmética.
Paula pensou em guardar para seus irmãos, 8 das balas que tinha pego. Os colegas do grupo concordaram.
1) Refaçam o gráfico, retirando as 8 balas que Paula guardou. (PAULAC.TT)
2) Respondam, observando este último gráfico feito: a) Qual o total de balas do grupo? ______________________________________ b) Qual o total de alunos do grupo? _____________________________________ c) Qual a média de balas por aluno? ____________________________________ d) O que aconteceu com a média? ______________________________________ e) Se vocês fossem do grupo de Paula, vocês concordariam com que ela guardasse as 8 balas? ________ Porque? __________________________________________________________________
Figura 4.12: Atividade 3C da intervenção de ensino
110
Atividade 3D
A atividade 3D, mantém a quantidade de alunos da atividade 3C,
alterando apenas a número total de balas. Sugere que o aluno observe, se houver
uma diminuição na quantidade de balas, o valor da média também diminuirá,
tendo em vista que permaneceu inalterado o número de alunos para tal
distribuição.
1) Supondo que Paula tivesse guardado todas as suas balas, como ficaria o gráfico? Faça-o no Tabletop.
(PAULAD.TT)
2) Observando este último gráfico, respondam: a) Qual o total de balas do grupo? _____________________________________ b) Qual o total de alunos do grupo? ____________________________________ c) Qual a média de balas por aluno? ___________________________________ d) O que aconteceu com a média? _____________________________________ e) Seria melhor para Paula guardar todas as suas balas ou não?______________ Por que? __________________________________________________________
Figura 4.13: Atividade 3D da intervenção de ensino
Nesta atividade, acreditamos que o aluno esteja ainda usando o
processo de redistribuição, porém com maior facilidade possa perceber a relação
existente entre gráfico e tabela.
Atividade 4
Nesta atividade, introduzimos uma nova propriedade da média aritmética
“Os valores nulos devem ser levados em conta no cálculo da média”, inserida em
uma nova situação proposta ao aluno. Nosso objetivo era observar se o aluno
incluíria ou não a criança que não havia pego nenhuma bala no total de crianças
do grupo para determinar a média. Na atividade, foi também trabalhada a situação
111
da média como algorítmo, ao sugerir que eles utilizassem o total de balas pegas
pelo grupo e o total de crianças do grupo.
No gráfico de freqüência BRUNA.TT, está representada a quantidade de balas que cada aluno do grupo de Bruna pegou, na festa da classe da professora Carla. 1) Observando este gráfico e, sem modificá-lo, respondam: a) Havia alguém que não conseguiu pegar nenhuma bala? _________ Quem? _______________________________________________ b) Se cada aluno ficasse com a mesma quantidade de balas, com quantas
balas cada um ficaria? _____________________________ c) Como é chamada essa quantidade que vocês encontraram na pergunta b)? __ d) Qual o total de balas pegas pelo grupo? ______________________ e) Qual o total de alunos deste grupo? __________________________ f) Vocês saberiam calcular a média utilizando o total de balas pegas pelo grupo
e o total de alunos deste grupo? _____________________ Se sim, que conta vocês fariam? g) Bruna não ficou muito contente ao perceber que Tiago ficaria com a mesma
quantidade de balas que todos do grupo, afinal ele não tinha pego nenhuma bala. Vocês concordam com Bruna? Por que? ____________________________________________________________________
h) Para encontrar a média de balas por aluno precisamos incluir Tiago ou não? _______________
Figura 4.14: Atividade 4 da intervenção de ensino
Julgamos que o aluno possa computar a criança que não havia pego
nenhuma bala, para determinar o número total de crianças do grupo, caso ela
elabore a redistribuição das balas na representação gráfica. Este procedimento
pode auxiliar o aluno a observar que o valor nulo quando aparece, deve ser
inserido no cálculo da média.
4.2.3.2.5. FICHA 5
A Ficha 5 é constituída de uma atividade, seu objetivo geral consistiu em
dar continuidade ao desenvolvimento de leitura e interpretação do gráfico de
freqüência e do conceito de média aritmética, oferecendo nova situação e,
propriedade do conceito de média. Nesta atividade, foi trabalhada uma situação
112
Estou preparando uma festa! Vocês podem me ajudar?
de média, como valor representativo, a partir da qual o aluno poderia elaborar
algumas previsões.
Tia Nena está preparando uma festa para os alunos da 4a. série. Para isso ela precisa saber qual a média de salgadinhos consumida por essas crianças. O banco de dados ATNENA.TDB fornece a quantidade de salgadinhos consumida por seis alunos da 4a.série onde será a festa. Utilizando o tabletop, construam o gráfico de freqüência ATNENAF.TT. 1) Observando este gráfico, respondam: a) Qual a quantidade média de salgadinhos consumida pelos alunos deste grupo?___________ b) Quem consome mais salgadinhos? _____________________________
Quantos?_____________________ c) Quem consome menos salgadinhos?________________________________
Quantos?_____________________ d) Tem algum aluno do grupo, que consome mais salgadinhos que a quantidade média de
salgadinhos consumida pelos alunos do grupo? __________________ Quem?____________________________________________________________
e) Tem algum aluno do grupo, que consome menos salgadinhos que a quantidade média de salgadinhos consumida pelos alunos do grupo?____________________
Quem?____________________________________________________________ f) Tem algum aluno do grupo, que consome a mesma quantidade da média de salgadinhos
consumida pelos alunos do grupo?___________________________ Quem?____________________________________________________________
g) Vocês acham que com esses dados, a Tia Nena pode fazer uma previsão de quantos salgadinhos ela deverá preparar para a classe toda?________________
Por que?__________________________________________________________ h) Se for possível fazer a previsão, quantos salgadinhos ela precisará fazer para uma classe com
30 alunos?___________________________________________ Como vocês chegaram a este resultado? _______________________________
Figura 4.15: Atividade 5A da intervenção de ensino
Atividade 5A
Nesta atividade, foi enfatizada a seguinte propriedade da média
aritmética: “A média é um valor compreendido entre os extremos da distribuição”.
Entretanto, o objetivo consistiu em observar se o aluno conseguiria determinar a
média usando apenas a representação gráfica e quais as estratégias empregadas
113
por ele. Além disso, a situação proposta sugeria a percepção da média como
valor representativo do conjunto de dados, na qual propusemos que o aluno
realizasse uma previsão baseada nos dados fornecidos.
Acreditamos que os alunos possam ter encontrado dificuldade para
responder o item “h”, visto que sua resolução requeria o emprego da média como
valor representativo – propriedade G de média aritmética. Para Strauss e Bichler
(1988), as tarefas envolvendo as propriedades B, F e G foram consideradas mais
difíceis pelos alunos de seu estudo, cuja faixa etária assemelha-se à do presente
estudo.
4.2.3.2.6. FICHA 6
Esta ficha é constituída de duas atividades com a finalidade de
retomar as propriedades de média já abordadas em situações anteriores. Outro
objetivo consistiu em observar qual a relação que o aluno faz entre média e
valores envolvidos na distribuição, além de introduzir a leitura e interpretação do
gráfico de dupla entrada.
Atividade 5B
Nesta primeira atividade da ficha 6, nosso objetivo foi apresentar o
gráfico de dupla entrada. Pretendíamos desenvolver a leitura deste tipo de gráfico
nos dois sentidos: vertical e horizontal. Além disso, queríamos observar de que
forma o aluno determinaria a média aritmética utilizando esse tipo de
representação gráfica.
114
Nosso objetivo Nessa atividade era orientar o aluno a explorar o
software Tabletop, a partir de sua observação em relação à dificuldade de contar
os ícones um a um. Orientá-los quanto ao uso de recursos disponíveis na barra
de ferramentas exposta, que oferece o “count” para indicar a quantidade
disponível de cada categoria.
1) Utilizando o banco de dados da atividade anterior, construam com o auxílio do tabletop, um gráfico de dupla entrada que possa ajudar Tia Nena. Salve-o como ATNENAD.TT.
2) Observando este gráfico, respondam: a) Qual o total de salgadinhos consumidos pelas meninas? __________________ b) Qual o total de salgadinhos consumidos pelos meninos? ___________________ c) Vocês concordam que as meninas deste grupo consomem mais salgadinhos que os
meninos?____ Por que?__________________________________________________________ d) Qual a Quantidade média de salgadinhos consumida por estes alunos? _________________ e) Podemos afirmar que todos os alunos deste grupo consumiram exatamente _____
salgadinhos?___ Por que?__________________________________________________________
Figura 4.16: Atividade 5B da intervenção de ensino
A expectativa era que os alunos pudessem encontrar maior dificuldade
neste tipo de gráfico para determinar a média, tendo em vista que a freqüência
não se encontra de forma tão explícita, como no anterior. Nessa atividade, o tipo
de gráfico apresenta duas variáveis (salgadinhos e alunos). Julgamos que os
alunos pudessem encontrar dificuldades para determinar em qual das variáveis a
soma dos valores do conjunto deveria ser distribuída.
Tia Nena quer saber se é verdade que, nesta classe, as meninas consomem mais salgadinhos que os meninos.
VAMOS
CONSTRUIR
UM GRÁFICO
QUE AJUDE A
TIA NENA?
115
Atividade 6A
Para esta atividade o objetivo era complementar a anterior, no sentido
de desenvolver a leitura do gráfico de dupla entrada. Partindo dessa leitura,
queríamos observar de que forma o aluno construiria esse gráfico, pois
dependeria de cada grupo a determinação das variáveis destinadas ao eixo
vertical ou horizontal. Nesta atividade, era trabalhada a propriedade A da média
aritmética “A média está localizada entre os valores extremos dos dados do
conjunto”. Outro objetivo ainda para esta atividade consistia em observar de que
forma o aluno utilizaria os dados apresentados para elaborar uma previsão.
Tia Nena pretende também fazer docinhos para a festa que está preparando. Os alunos da 4ª série fizeram uma pesquisa com 5 coleguinhas para ajudar tia Nena. O banco de dados ATDOCE.TDB fornece os dados obtidos nesta pesquisa.
1) Utilizando o tabletop, construam um gráfico que possa ajudá-lo a responder as seguintes questões:
a) Quem comeu mais docinhos?______________________________________ Quantos docinhos esta criança comeu?__________________________________
b) Quem comeu menos docinhos?_____________________________________
Quantos docinhos esta criança comeu?__________________________________ c) Qual a média de docinhos consumidos por aluno?________________________ d) A quantidade média de docinhos consumidos pode ser maior que a quantidade de quem
comeu mais docinhos?________________________________________ e) A quantidade média de docinhos consumidos pode ser menor que a quantidade de quem
comeu menos docinhos?_____________________________________ f) Quantos docinhos tia Nena precisará fazer, sabendo que a 4a. série tem 30 alunos?_________
Figura 4.17: Atividade 6A da intervenção de ensino
116
Tia Nena precisa saber o docinho preferido das crianças. Vamos ajuda-la?
A expectativa era que os alunos percebessem a propriedade A da média
aritmética e que a determinassem independente de fazer a redistribuição.
Esperávamos que usassem a média para realizar a previsão proposta na
atividade.
4.2.3.2.7. FICHA 7
Atividade 6B
A Ficha 7 era constituída por uma única atividade (6B), cuja
finalidade principal era retomar a leitura do gráfico de dupla entrada e as
propriedades de média anteriormente discutidas. Um outro objetivo para esta
atividade era observar, qual seria a inferência do aluno quanto à preferência do
docinho por um aluno desconhecido “Imaginário”: utilizariam os dados
apresentados ou os dados advindos de sua realidade?
2) Observando este gráfico, respondam: a) Qual o docinho preferido de Fernando? _______________________________________ b) Qual o total de cajuzinhos consumidos por este grupo de alunos? __________________ c) Qual o docinho preferido por estes alunos?____________________________________ d) Quantos docinhos Fabio consumiu?__________________________________________ e) Quantos brigadeiros Laura consumiu? ________________________________________ f) Se o “Imaginário” chegasse na classe, qual seria o docinho escolhido por ele?__________
Por que? __________________________________________________________________ g) Qual a média de docinhos por aluno? __________________________________________
Figura 4.18: Atividade 6B da intervenção de ensino
Com o banco de dados ATDOCE.TDB construam um gráfico que mostre a quantidade de cada tipo de docinho que cada aluno consome.
117
A expectativa era que os alunos apresentassem dificuldades para
determinar a média, tendo em vista que neste tipo de gráfico ficam explícitas as
duas variáveis. Desta forma, acreditávamos que os alunos pudessem computar o
total de docinhos, ficando em dúvida por quanto este total deveria ser dividido,
caso não recorressem a estratégia da redistribuição.
4.2.3.2.8. FICHA 8
Esta foi a última ficha desenvolvida na fase de intervenção de ensino. A
mesma compõe-se de duas atividades, nas quais utilizamos o contexto de Festa
Junina que envolvia toda a escola no momento. A ficha tinha por objetivo retomar
a leitura do gráfico de freqüência, assim como algumas propriedades de média já
trabalhadas em outros encontros.
Atividade 7A
O objetivo da atividade era retomar a leitura do gráfico de freqüência e
observar se eles ainda apresentavam a concepção de média como soma dos
valores do conjunto. Outro objetivo importante era observar se o aluno faria uso
da média para realizar a previsão solicitada.
118
No banco de dados PRENDA.TDB estão organizadas as prendas arrecadadas por um grupo de alunos da 4a. série B para a Festa Junina da escola. As prendas desta classe foram brinquedos.
a) Qual criança deste grupo trouxe mais prendas?__________Quantas? ____
b) Qual criança deste grupo trouxe menos prendas?_______Quantas? ______
c) Podemos dizer que a média de prendas trazidas pelos alunos do grupo foi 30?____________
Por que?________________________________________________________
d) Sabendo que a 4a.B tem 35 alunos, quantas prendas esta classe poderá arrecadar?________
Figura 4.19: Atividade 7A da intervenção de ensino
Atividade 7B
O objetivo para esta última atividade era observar qual o
procedimento utilizado pelos alunos para responder à esta questão. Recorreriam
à redistribuição ou utilizariam o algoritmo? Se opção fosse o uso do algoritmo,
incluiriam o Imaginário para determinar a média ou permaneceriam com os
mesmos elementos apresentados no gráfico?
1) Construam um gráfico no tabletop, que ajude vocês a responderem as questões abaixo. Depois, ajudem o professor Rogerio a prever a quantidade de prendas que será recolhida pela classe toda.
119
Observando este novo gráfico, respondam: a) Qual a nova media de prendas por aluno?
aluno?
Figura 4.20: Atividade 7B da intervenção de ensino
Uma vez apresentado e detalhado o conjunto das atividades aplicadas
no pré-teste, na intervenção de ensino e no pós-teste, passaremos, a seguir, a
análise dos resultados da pesquisa.
Bom dia! Me desculpem pelo atraso. Meu relógio não despertou de novo, mas eu trouxe minhas prendas
1. Imaginário chegou atrasado, mas trouxe
doze prendas. Inclua o Imaginário no gráfico da
atividade anterior.
CAPÍTULO V
ANÁLISE DO EXPERIMENTO
5.1. Introdução
Neste capítulo, apresentamos a análise dos resultados do experimento
que foi desenvolvida em dois tipos: quantitativa e qualitativa.
Na análise quantitativa, os dados foram obtidos do uso dos resultados
dos protocolos do pré e do pós-teste. A qualitativa baseou-se em cinco fontes:
nos protocolos do pré e do pós-teste, nas fichas de atividades, nos arquivos
eletrônicos trabalhados pelos alunos na intervenção de ensino, na transcrição das
fitas gravadas e nas anotações devidamente registradas pela pesquisadora e ou
observadores presentes, no decorrer dos dez encontros constituintes das três
fases do estudo.
O emprego desses diversos instrumentos permitiu estabelecer um olhar
ampliado sobre a problemática em estudo e refletir a respeito das diversas
perspectivas, que vão além de uma visão limitada a dois extremos, quer seja a
visão restrita ao acerto e ao erro no estudo da Matemática.
121
Os resultados tanto na análise quantitativa como na qualitativa
obedeceram ao esquema de análise proposto no Quadro 5.1, a seguir. A escolha
deste caminho pautou-se no objetivo de detalhar os critérios empregados na
análise, assim como as categorias construídas, conforme o material do estudo.
Esta opção baseou-se na intenção de enriquecer a reflexão sobre os percursos
dos conteúdos e nas dificuldades demonstradas no decorrer do estudo como um
todo.
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123
5.2. Análise Quantitativa dos Resultados
A análise quantitativa subdividiu-se em função do conteúdo proposto em
três questões constituintes do pré e do pós-teste: leitura e interpretação de
gráficos, e média aritmética conforme a síntese apresentada no Quadro 5.1.
Quanto à análise das questões relativas à leitura e interpretação de
gráficos, consideramos conveniente subdividi-la por tipo de gráfico, ou seja,
gráfico de barra e gráfico de dupla entrada, tendo em vista que cada gráfico
apresenta especificidades e supõe categorias de análise distintas. Salientamos
que esta subdivisão dos conteúdos foi usada em três dos quatro momentos da
análise quantitativa, que se encontram descritos a seguir.
A análise quantitativa foi realizada, considerando o percentual de acerto
de todo conteúdo de cada um dos grupos participantes da presente pesquisa –
GE e GC – tanto no pré como no pós-teste.
No segundo momento, a análise quantitativa foi feita considerando o
percentual de acerto total por conteúdo de cada um dos grupos – GE e GC –
porém, agora, restringimo-nos a apresentar apenas o resultado do pré-teste que
permitiu a observação dos conteúdos, que os alunos dos dois grupos
apresentaram dificuldades. Os resultados contribuíram para adequação das
atividades de intervenção de ensino realizadas no grupo experimental.
No terceiro momento, a análise quantitativa considerou o percentual de
acerto total por conteúdo dos dois grupos, focando só os resultados obtidos no
pós-teste, o que tornou possível refletir a respeito dos possíveis efeitos da
intervenção de ensino, usando o software Tabletop no grupo experimental.
124
No quarto momento, preocupamo-nos, especificamente, pelo
desempenho dos alunos constituintes do GE. Nesta etapa, foi feita uma análise
quantitativa, considerando o percentual de acerto total, também, por conteúdo só
do GE no pré e no pós-teste.
A síntese dos principais resultados da análise quantitativa é apresentada
ao final de cada um dos momentos supracitados para subsidiar as considerações
finais mostradas no final do estudo.
Conforme citamos no capítulo IV, procedemos o uso dos critérios
previamente estabelecidos quanto à correção de cada uma das questões, tanto
no pré como no pós-teste.
Para facilitar a compreensão do processo de análise, consideramos
importante retomar os critérios de correção utilizados, separando-os por
conteúdo, pois sua análise será feita sob esta perspectiva.
As três questões do pré-teste, nos itens “1a", “1b”, “2a", “2b”, “2c”, “2d”,
“3a", “3b” e “3c” que se referem à leitura de gráficos foram consideradas corretas,
só quando forneceram o valor exato e foi sob esta perspectiva que a análise foi
feita.
Quanto ao conceito de média aritmética, os itens “1c”, “1d”, “2e”, e “3d”
foram considerados corretos ou incorretos, de acordo com a justificativa
apresentada. No caso do aluno apresentar um valor correto, mas não justificar
sua resposta de modo que pudesse expressar o conceito de média aritmética,
esta resposta foi considerada incorreta, tendo em vista ser este o conceito de
interesse da presente investigação.
125
Na análise qualitativa, os itens “1c”, “2e” e “3d” serão retomados para
discutir as diversas concepções do conceito de média apresentadas pelos alunos.
O emprego do critério de correção adotado no pré e no pós-teste
permitiu que, em uma primeira aproximação, identificássemos as situações de
entendimento dos alunos. Todavia os não-acertos levaram-nos a buscar
compreender por meio de uma análise detalhada o tipo de dificuldade encontrada
pelos alunos quanto à leitura de gráficos e à média aritmética. Estes aspectos
serão discutidos na seção 5.3 que trata da análise qualitativa.
5.2.1. Desempenho Geral dos Dois Grupos no Pré e no Pós-testes
A finalidade desta primeira análise consiste na apresentação dos
resultados sob o ponto de vista do desempenho geral dos alunos dos dois grupos.
Estes resultados foram obtidos com base no que foi efetivamente escrito pelos
alunos nos protocolos do pré e pós-teste.
O número total de acertos possíveis para cada grupo foi obtido
multiplicando-se o número de alunos do grupo pelo total de itens (13) constituintes
das três questões aplicadas. Sendo assim, o GE composto por 23 alunos teria a
possibilidade de contabilizar 299 acertos e o GC composto por 25 alunos, a
possibilidade de acertos foi de 325.
Apoiados nessas considerações, apresentamos a seguir o gráfico que
fornece o desempenho geral obtido pelos dois grupos participantes da presente
pesquisa - GE e GC - no pré e no pós-teste.
126
.
Quantidade de acertos total
Grupo Pré-testeI� ����������
Experimental GE
126/299 42,14%
177/299 59,20%
Controle
GC
161/325 49,54%
180/325 55,38%
Figura 5.1: Acertos totais do GE e do GC no pré e no pós-teste.
Pelo gráfico apresentado na Figura 5.1, é possível observar que houve
um aumento do número de acertos do pré-teste para o pós-teste nos dois grupos
participantes da pesquisa. Além disso, este gráfico nos permite visualizar que,
embora o GE tenha tido um percentual de acertos menor que o GC no pré-teste,
ele superou o percentual de acertos desse grupo no pós-teste.
Em relação ao número de acertos entre o pré e o pós-teste, percebemos
que o GE teve um aumento de 17,06% e o GC, de 5,84%. Os resultados podem
refletir a influência da intervenção de ensino aplicada em ambiente computacional
no GE.
Embora a análise geral dos dois grupos nos indique uma ligeira melhora
no desempenho do grupo GE entre o pré e pós-teste, ela não é suficiente para
esclarecer quais são os conteúdos de maior ou menor número de acertos do pré-
teste.
Desse modo, na seção seguinte, apresentamos com detalhes, uma
análise mais específica por conteúdo, considerando apenas o pré-teste com
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Pré-teste Pós-teste
Percentual de acertos total
GE GC
127
objetivo de identificar os itens que os alunos desses dois grupos apresentaram
maior dificuldade.
5.2.2. Desempenho Geral dos Dois Grupos no Pré-teste
Na Fase 1 conforme descrevemos na metodologia, foi aplicado um pré-
teste nos grupos controle e experimental com o objetivo de analisar a
compreensão dos alunos da leitura e interpretação dos gráficos de barras e dupla
entrada, assim como as concepções de média apresentadas por eles. Por isso,
subdividimos esta seção em três partes para facilitar a observação do
desempenho do GE e GC em cada um desses conteúdos, conforme o esquema
descrito no Quadro 5.2.
Quadro 5.2: Relação entre conteúdos matemáticos, tipo de gráfico e
questões do pré-teste.
CONTEÚDO MATEMÁTICO
LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICO
GRÁFICOS DE BARRA
MÉDIA ARITMÉTICA
3a 3b 3c
1c 1d 2e 3d
DUPLA ENTRADA
TIPO DE GRÁFICO
ITENS DO PRÉ-TESTE
PARTE 1 PARTE 2 PARTE 3
1a 1b 2b 2c 2d 2a
128
Na seqüência, apresentamos a análise quantitativa do desempenho dos
alunos dos grupos GE e GC obtido no pré-teste, conforme descrito no Quadro 5.2.
5.2.2.1. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos de barras
Neste item, apresentamos os resultados do desempenho dos alunos de
cada um dos grupos, GE e GC no que tange à leitura e interpretação dos gráficos
de barra. A seguir, destacamos o gráfico do desempenho específico do referido
conteúdo obtido pelo GE e GC no pré-teste, segundo os critérios previamente
estabelecidos para esta análise.
Quantidade de acertos por item
Invariantes Item ��� � ���� �Mínimo 1a 22 25 Máximo 1b 22 25
Soma dos valores do conjunto
2a 2 02
Máximo 2b 17 24 Mínimo 2c 0 02
Localização de um dado a partir de seu
valor
2d 17 24
Figura 5.2: Acertos por item de leitura dos gráficos de barra do
GE e do GC no pré-teste.
Pelo gráfico apresentado na Figura 5.2, observamos que tanto os alunos
do GE como os do GC obtiveram um percentual de acertos elevado nos itens 1a23
e 1b24, tendo em vista que, para esses dois itens, o primeiro grupo obteve 95,6%
de acertos e o segundo, 100%. Os resultados indicam que os alunos desses
23 Item “1a": Em qual mês “seu Chico” vendeu mais minigames? 24 Item “1b”: Em qual mês “seu Chico” vendeu menos minigames?
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
1a 1b 2a 2b 2c 2 d
Itens relativos aos gráf icos de barras
P erc entual de ac ertos por item
G E
G C
129
grupos foram capazes de fazer a “leitura dos dados” (CURCIO, 1987),
apresentando facilidade para localizar os pontos de máximo e mínimo do conjunto
de dados representado graficamente, cujos valores encontravam-se explícitos no
eixo.
Estes dados confirmaram nossas expectativas iniciais que tiveram por
base os resultados da investigação de Santos e Gitirana (1999), no qual 94% dos
alunos acertaram a leitura do valor máximo na interpretação de gráficos de barras
com variáveis ordinais com base nos problemas do cotidiano.
Além disso, os resultados da pesquisa de Guimarães, Ferreira, Roazzi
(2001), também indicam que a leitura pontual em gráfico de barra, quanto ao
máximo, mínimo e localização de freqüência é uma tarefa fácil para sujeitos de
nove e dez anos de idade, faixa etária semelhante aos sujeitos do presente
estudo.
A análise da 2ª questão mostrou um maior grau de dificuldade, que pode
ter ocorrido sobretudo em razão do tipo de escala, pois, diferente da 1ª questão, o
gráfico da questão 2 continha uma escala graduada de duas em duas unidades,
com dados cujos valores não estavam explicitados no eixo. Nesta questão, os
itens “2b”, “2c” e “2d” foram classificados no nível “ler os dados” de compreensão
de gráfico e apenas o item “2a" foi classificado no nível “ler entre os dados”
(CURCIO, 1987).
Quanto ao item “2b25”, podemos dizer que o desempenho do GC (96%)
foi consideravelmente maior que o do GE (73,9%), o que parece indicar maior
25 Item “2b”: Em que dia o consumo de pães foi maior?
130
dificuldade dos alunos do GE em relação à leitura dos dados, neste tipo de
gráfico. Nesta questão, o resultado obtido pelo GE nos surpreendeu, pois, embora
o gráfico apresente uma escala não-unitária, trata-se de uma leitura pontual do
gráfico que requer do aluno a localização do ponto de máximo, pois as pesquisas
apontam que as crianças são capazes de fazê-la (SANTOS e GITIRANA, 1999;
GUIMARÃES, FERREIRA, ROAZZI, 2001).
Os resultados obtidos pelos dois grupos no item “2c26” indicam que os
alunos mostraram grande dificuldade para determinar o ponto de mínimo neste
tipo de gráfico, quando ele é zero. De fato, a grande maioria (87%) dos alunos do
GE respondeu que o menor consumo ocorreu na segunda-feira, o que
corresponde ao dado de menor valor dentre as barras visíveis no gráfico. Estes
resultados contrastam com o percentual de acerto dos mesmos alunos no item
“1b” que também solicitava a localização do ponto de mínimo, mas, neste caso,
ele correspondia a um valor diferente de zero.
Entendemos que, na representação gráfica, parece que os alunos não
consideram o menor valor, quando ele é zero. Entretanto, o baixo índice de
acertos no item “2c” pode também ser interpretado apoiado na expressão utilizada
na questão: “menor consumo”. Os alunos podem ter considerado que o menor
consumo só poderia estar associado a algum consumo, sendo assim, ele não
poderia ser zero. Pode ser que para esses alunos responderem que o menor
consumo é zero, corresponde que não existe consumo e não significa tratar-se do
menor consumo.
26 Item “2c”: Em que dia, o consumo de pães foi menor?
131
Sob esta ótica, tendemos a acreditar que se o item “2d” tivesse sido
formulado da seguinte forma: “Teve algum dia da semana em que o consumo de
pães foi zero?” Talvez os alunos tivessem feito uma leitura matemática
relacionando os dados dos itens “2c” e “2d” e daí a resposta zero seria entendida
como consumo menor.
Considerando a forma apresentada, acreditamos que os alunos
realizaram a comparação entre os valores somente quando o consumo foi
diferente de zero. No caso do valor zero, houve o entendimento de que se tratava
de uma outra variável, ou seja, a de não-consumo.
Neste sentido, Selva (2003) realizou um estudo utilizando gráficos de
barras com crianças em fase de alfabetização na primeira série do Ensino
Fundamental, e observou que as questões relacionadas à origem constituem
fonte de dificuldades às crianças com implicações, também, no trabalho com
gráficos.
O perfil de desempenho dos alunos dos dois grupos foi semelhante nos
itens “2b” e no item “2d27”, no qual podemos observar novamente que o
desempenho do GC (96%) foi consideravelmente maior que do GE (73,9%).
É interessante destacar que os alunos foram capazes de localizar um
dado com base em seu valor quando este era zero; entretanto, ao compararmos o
resultado deste item com o item “2c”, parece indicar que a dificuldade do aluno
não consiste em ler a quantidade zero representada em uma das categorias (dias
27 Item “2d”: Teve algum dia, nessa semana, em que não houve consumo de pão pela família do seu Chico?
132
da semana) do gráfico de barras, mas considerá-lo como ponto de mínimo na
representação gráfica, como discutido antes.
A Figura 5.2 revela que o desempenho apresentado no item “2a28” foi
baixo nos dois grupos – GE = 8,7% e GC = 8%. Estes resultados indicam uma
grande dificuldade dos alunos em relação à “leitura entre os dados” em gráfico de
barra com escala não-unitária, no qual o valor dos dados não se encontra
explícito no eixo.
Esta dificuldade pode estar relacionada ao fato de que nem todas as
barras coincidiam com valores apresentados explicitamente no eixo vertical, o que
dificultou aos alunos a integração dos dados exigida na “leitura entre os dados”
solicitada no item.
Como apontam Friel; Curcio; Bright (2001, p.130):
Os estudantes experimentam pouca dificuldade com as questões
para ’ler os dados’, mas fazem erros quando encontram questões
para ‘ler entre os dados’. [...] Estes erros podem estar
relacionados ao conhecimento da matemática, erros de
leitura/linguagem, erros de escala ou erros de leitura dos eixos.
A dificuldade apresentada por mais de 90% dos dois grupos parece
indicar que os alunos não conseguiram associar os conhecimentos implícitos
fundamentais, tais como: a idéia de proporcionalidade existente no eixo vertical
expressa por meio da distância entre dois pontos e associá-la à idéia de
seqüência numérica para estimar o valor que não estava explicitamente escrito no
eixo.
28 Item “2a": Qual o total de pães consumidos por essa família, nessa semana?
133
No item “2a", os resultados obtidos pelos alunos dos dois grupos
correspondem às nossas expectativas iniciais, pois, nesse item nem todos os
dados possuíam valores representados explicitamente no eixo. Estes resultados
assemelham-se aos obtidos em pesquisas recentes que têm apontado
dificuldades mostradas por crianças quanto ao uso de escala (GUIMARÃES, 2002).
Neste estudo, a autora citada destacou a dificuldade dos alunos para identificar
um valor intermediário na escala, quando o mesmo não está explícito no eixo.
A resolução dos itens “1a" e “2c” requer o uso dos mesmos invariantes,
qual seja a localização do ponto de mínimo. Entretanto, o contraste observado no
desempenho obtido pelos dois grupos nesses itens, pode estar relacionado às
características peculiares do tipo de gráfico das questões: No item “1a", o gráfico
apresentava escala unitária, mas os valores de seus dados estavam explícitos no
eixo e no item “2c” o gráfico foi apresentado com escala não-unitária. Alguns dos
valores dos dados estavam de forma implícita no eixo vertical e possuíam maior
quantidade de dados, além do ponto de mínimo solicitado referir-se a zero. A
influência desses fatores na compreensão de gráficos é apontada por Friel;
Curcio; Bright (2001).
5.2.2.2. Itens relativos à leitura e interpretação do gráfico de dupla entrada
Neste item, destacamos os resultados do desempenho obtido pelos
alunos de cada um dos grupos, GE e GC referentes à leitura e interpretação do
gráfico de dupla entrada. A seguir, mostramos o gráfico do desempenho obtido
pelos dois grupos especificamente no pré-teste.
134
Quantidade de acertos por item
Invariantes Item ��� � ���� �
Quantificação/comparação dos dados
3a 21 25
Quantificação/comparação dos dados
3b 10 14
Soma dos valores do conjunto
3c 15 19
Figura 5.3: Acertos por item de leitura do gráfico de dupla entrada do
GE e do GC no pré-teste
A questão 3 diferente das duas primeiras baseia-se em um gráfico de
dupla entrada, gerado pelo Tabletop, contendo duas variáveis: no eixo horizontal
que situa a variável dias e no eixo vertical, a variável refrigerantes. Desta forma, a
leitura do gráfico pode ser realizada no sentido horizontal ou vertical, dependendo
da questão demandada na situação.
Os resultados apresentados na Figura 5.3 apontam que o desempenho
dos dois grupos teve o mesmo perfil, sendo o item “3b” o mais difícil e o item “3a"
o mais fácil para ambos os grupos. Entretanto, os alunos do GC apresentaram um
percentual de acertos sempre acima do obtido pelos alunos do GE.
O item “3a29” solicitava que o aluno identificasse o dado (marca de
refrigerante) do eixo vertical que representasse a menor quantidade de latas
recolhidas na semana. Para isso, era preciso que o aluno percebesse que a
quantificação dos dados deveria ser realizada no sentido horizontal e, então,
29 Item “3a": Qual a marca de refrigerante foi menos recolhida pelo grupo durante a semana?
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
3a 3b 3cItens relativos ao gráfico de
dupla entrada
Percentual de acertos por item
GE
GC
135
estabelecer uma comparação entre eles. No pré-teste, a resposta correta do item
encontrava-se na primeira linha horizontal (de cima para baixo), o que pode ter
facilitado sua resolução. Os percentuais de 91,3% e 100% nos grupos GE e GC,
respectivamente, indicam facilidade dos alunos dos dois grupos na resolução
deste item.
Os alunos dos dois grupos apresentaram maior dificuldade no item “3b30”
e o GE teve um percentual de acertos de 43,48%, enquanto o GC obteve 56% de
acertos no mesmo item. Os resultados confirmam nossas expectativas quanto à
dificuldade prevista para este item, tendo em vista a questão ter sido apresentada
de forma indireta, era exigido do aluno a localização do dado (dias) de menor
valor, apoiado na afirmação inicial, sugerindo a comparação dos dados
apresentados no eixo horizontal.
Quanto ao item “3c”, o grupo experimental mostrou um bom percentual
de acertos, qual seja: 65,22%. Entretanto, o grupo-controle obteve desempenho
superior ao do grupo-experimental, também, neste item, obtendo um percentual
de 76% de acertos.
De forma geral, o desempenho apresentado pelos alunos dos dois
grupos, sobretudo, nos itens “3b” e “3c”, confirmam nossas expectativas iniciais
de que os alunos encontrariam dificuldades para realização da questão 3, pois, o
gráfico de dupla entrada trabalha com duas variáveis e requer para sua
compreensão o estabelecimento de uma relação entre elas. Resultados
semelhantes foram encontrados por Santos (2003) em seu trabalho que
30 Item “3b”: Carlos acha que no 2o. dia foram trazidas menos latas de refrigerantes. Você concorda com ele?
136
identificou dificuldades da professora, sujeito de sua investigação para a leitura do
gráfico de dupla entrada, visto que esta realizava a leitura deste tipo de gráfico
como se os eixos estivessem invertidos.
5.2.2.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética
Para finalizar a análise quantitativa dos dois grupos no pré-teste,
apresentamos graficamente o desempenho obtido pelos grupos GE e GC,
focando o conteúdo de média aritmética, seguido de considerações baseadas nos
dados apresentados na Figura 5.4.
Quantidade de acertos por item
Item ��� � ���� �1c 0 0
1d 0 0
2e 0 0
Média
aritmética
3d 0 1
Figura 5.4: Acertos por item de média aritmética do GE e do GC no pré-teste
Os resultados do pré-teste revelam um desconhecimento por parte dos
alunos do conceito de média aritmética. Pelos dados apresentados, no gráfico
exposto na Figura 5.4, podemos considerar que, no início do estudo, os alunos
dos dois grupos pesquisados, possivelmente, não haviam ainda estudado o
conteúdo de média aritmética. Entretanto, esses dados, não nos fornece
evidência alguma sobre a natureza das dificuldades dos alunos, tão pouco quanto
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
1c 1d 2e 3d
Itens relativos à média aritmética
Percentual de acertos por item
GEGC
137
à concepção desses alunos em relação ao referido conceito. Pelo fato, destas
questões serem fundamentais para nosso estudo, mostraremos as diversas
concepções sob a perspectiva de uma análise qualitativa na seção 5.3 do
presente capítulo. A seguir, apresentamos uma síntese dos resultados obtidos
pelo GE e GC no pré-teste.
Quadro 5.3: Síntese do Desempenho dos dois grupos no Pré-teste
A síntese apresentada no quadro 5.3 constitui um indicador importante que
permitiu explicitar a existência de dificuldades apresentadas pelos alunos em
relação à média aritmética no pré-teste e constituiu-se em um fator decisivo para
• GE e GC localizaram os pontos extremos em gráfico que apresentava dados com valores explícitos no eixo.
• Desempenho do GC superou o do GE na identificação do ponto de máximo e localização de um dado a partir do seu valor em gráfico que apresentava dados com valores implícitos no eixo.
• GE e GC apresentaram baixíssimo desempenho na localização do ponto de mínimo quando o mesmo foi “0”.
• GE e GC apresentaram dificuldades quanto à soma dos valores dos dados no gráfico em que os valores apresentavam-se de forma implícita no eixo.
Leitura e
interpretação de gráfico de
barras
Gráfico de dupla entrada
• GC apresentou melhor desempenho que GE em todos os itens relativos a este tipo de gráfico. • Os dois grupos apresentaram grande dificuldade em comparar dados representados no eixo horizontal para localizar o menor deles.
Média Aritmética
• Os resultados apresentados pelos dois grupos indicam a dificuldade deste conteúdo pelos alunos desta série escolar.
138
que pudéssemos adequar as atividades de intervenção na busca de propor um
caminho que contribuísse para a formação deste conceito.
5.2.3. Análise do Desempenho dos Dois Grupos no Pós-teste
A intervenção de ensino nos moldes propostos pela pesquisadora foi
realizada após a aplicação do pré–teste e das respectivas análises que se
seguiram a esta etapa do projeto de pesquisa, conforme apresentadas na seção
anterior, sendo feita com os alunos do grupo experimental em oito encontros,
conforme a metodologia descrita no capítulo IV.
Esta seção apresenta a análise dos resultados obtidos no pós-teste dos
dois grupos, após a intervenção de ensino com Tabletop pela pesquisadora no
GE. Vale salientar que o conteúdo de média aritmética também foi trabalhado no
GC, porém, o mesmo foi realizado pela professora dos alunos que utilizou sua
própria metodologia, conforme seu planejamento.
O pós-teste teve por objetivo investigar as novas concepções
apresentadas pelos alunos em relação aos dois conteúdos abordados neste
estudo, de forma que pudéssemos analisar as possíveis contribuições da
intervenção de ensino proposta somente para o GE, utilizando o software
Tabletop. Neste momento, é pertinente salientarmos que as questões propostas
no pós-teste foram semelhantes às do pré-teste, conforme já apresentadas no
capítulo IV.
Sendo assim, subdividimos também esta seção em três partes para
facilitar a análise do desempenho do GE e GC em cada um desses conteúdos, só
139
que agora em relação somente ao pós-teste, conforme o esquema descrito no
Quadro 5.4.
Quadro 5.4: Relação entre os conteúdos matemáticos e as questões do pós-teste
A seguir, apresentamos com detalhes a análise quantitativa da parte 1
especificada no Quadro 5.4, para na seqüência descrevermos a análise das
partes 2 e 3.
5.2.3.1. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos de barras
Neste item, trataremos, especificamente, dos itens que indicam o
desempenho dos alunos dos dois grupos referentes ao conteúdo de leitura e
interpretação de gráfico de barras obtido pelo GE e GC no pós-teste. Os itens “1a"
e “1b” foram suprimidos desta análise, tendo em vista que no pré-teste os alunos
dos dois grupos haviam apresentado um resultado bastante satisfatório de
CONTEÚDO MATEMÁTICO
LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICO
GRÁFICOS DE BARRA
MÉDIA ARITMÉTICA
3a 3b 3c
1c 1d 2e 3d
DUPLA ENTRADA
TIPO DE GRÁFICO
ITENS DO PÓS-TESTE
PARTE 1 PARTE 2 PARTE 3
2b 2c 2d 2a
140
praticamente 100% de acertos em ambos os itens. A seguir, apresentamos o
gráfico que fornece o desempenho específico ao conteúdo de leitura e
interpretação do gráfico de barra obtido pelo GE e GC no pós-teste.
Quantidade de acertos por item
Invariantes Item ��� � ���� � Soma dos valores do conjunto
2a
10
04
Máximo 2b 22 25 Mínimo 2c 05 03
Localização de um dado a partir de seu
valor
2d 20 25
Figura 5.5: Acertos por item de leitura do gráfico de barra do GE e do GC no pós-teste.
Pela Figura 5.5, é possível observar que, apesar do baixo desempenho apresentado
pelos dois grupos nos itens “2a" e “2c”, o desempenho obtido pelo GE foi maior
que o GC nesses itens.
No item “2a", o GE teve um percentual de acertos de 43,48%, o GC
apresentou para o mesmo um percentual de acerto de 16%, indicando uma
diferença de 27,48% entre os dois grupos.
Quanto ao item “2c”, os percentuais de acertos foram de 21,74% e 12%
respectivamente, nos grupos GE e GC. Isso implica a diferença de 9,74% em
favor do GE. Neste item, é importante salientar que o GE não obteve nenhum
acerto no pré-teste (0%), ao passo que o GC apresentou 8% de acertos no
mesmo teste. Os resultados sugerem que o melhor desempenho apresentado
pelos alunos do GE no pós-teste pode ser decorrente das atividades de
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
2a 2b 2c 2d
Itens relativos aos gráficos de barras
Percentual de acertos por item
GEGC
141
intervenção desenvolvidas em ambiente computacional na segunda fase do
estudo.
Nos itens “2b” e “2d”, é possível observarmos pelo gráfico que o
desempenho obtido pelos alunos do GE mostra-se em um patamar um pouco
abaixo do desempenho obtido pelos alunos do GC. Entretanto, salientamos que,
no pré-teste, os alunos do GC já haviam apresentado 96% de acertos nesses
itens, e os alunos do GE, inicialmente, obtiveram apenas 73,9%, o que revela um
crescimento no desempenho dos alunos do GE nos dois itens.
Os resultados sugerem que o trabalho com gráficos realizado durante a
intervenção de ensino proposta neste estudo, associada ao emprego do software
Tabletop no decorrer da segunda fase do estudo pode ter contribuído para
favorecer a compreensão dos alunos do GE quanto à leitura de gráfico de barra
com escala não-unitária, cujos dados mostram valores expressos implicitamente
no eixo vertical.
5.2.3.2. Itens relativos à leitura e interpretação de gráfico de dupla entrada
O gráfico seguinte apresenta o desempenho obtido pelo GE e GC no
pós-teste, especificamente, em relação ao conteúdo de leitura e interpretação de
gráfico de dupla entrada.
142
Quantidade de acertos por item
Invariantes Item ������� ������Quantificação/comparação dos dados
3a 17 20
Quantificação/comparação dos dados
3b 17 17
Soma dos valores do conjunto
3c 16 23
Figura 5.6: Acertos por item de leitura do gráfico de dupla entrada do
GE e do GC no pós-teste
Dos três itens referentes à leitura e interpretação de gráficos de dupla
entrada, observamos pelo gráfico acima que o desempenho obtido pelos alunos
do grupo experimental foi superior ao do grupo controle apenas no item “3b”.
Dentre os itens referentes à leitura e interpretação de gráficos
apresentados na questão três, este foi o item, no qual os alunos dos dois grupos –
GE e GC haviam encontrado maior dificuldade no momento do pré-teste. Vale
lembrar que os alunos do grupo GC obtiveram um desempenho superior nesses
três itens já no pré-teste.
5.2.3.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética
Para encerrar a análise quantitativa dos dois grupos no pós-teste, o
gráfico, a seguir, apresenta o desempenho obtido pelos grupos GE e GC focando
o conteúdo de média aritmética.
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
3a 3b 3c
Itens relativos ao gráfico de dupla entrada
Percentual de acertos por item
GE
GC
143
Quantidade de acertos por item
Item ������� ������
1c 7 3
1d 4 3
2e 4 2
Média aritmética
3d 8 5
Figura 5.7: Acertos por item de média aritmética do GE e do GC no pós-teste
Na Figura 5.7, os resultados apresentados apontam que o desempenho
dos alunos dos dois grupos teve o mesmo perfil, sendo o item “3d” o mais fácil e o
“2e” o mais difícil para ambos; o que pode estar relacionado ao tipo de gráfico
usado em cada item.
Percebemos que os alunos do GE obtiveram melhor desempenho que
os do GC em todos os itens relativos à média aritmética.
Analisando os dados deste gráfico, notamos que o percentual de acertos
dos dois grupos foi baixo. No item “3d”, com um maior número de acertos nesse
conteúdo, os alunos do grupo experimental obtiveram quase 35% de acerto,
nesse mesmo item, o grupo controle alcançou 20% de acertos. Nesta análise,
vale ressaltar que foram consideradas apenas as respostas exatas.
Se considerássemos o raciocínio apresentado pelos alunos quanto à
determinação da média, desconsiderando os não-acertos quanto à leitura e
interpretação de gráficos e as operações matemáticas envolvidas, o desempenho
dos alunos do GE teria alcançado 52% de acerto no item “3d”.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1c 1d 2e 3d
Itens relativos à Média Aritm ética
Percentual de acertos por item
G E
G C
144
• GE e GC identificaram ponto de máximo e localizaram um dado a partir do seu valor em gráfico que apresentava dados com valores implícitos no eixo, sendo o desempenho do GC, ligeiramente superior ao GE.
• GE e GC apresentaram baixo desempenho na localização do ponto de mínimo quando o mesmo foi “0”, entretanto o GE mostrou um desempenho superior ao GC. • O desempenho apresentado pelo GE foi, consideravelmente, superior ao GC quanto à soma dos valores dos dados no gráfico, cujos valores apresentavam-se de forma implícita no eixo.
Leitura e
interpretação de gráfico de
barras
Gráfico de dupla entrada
• GE apresentou melhor desempenho que GC ao quantificar e comparar os dados representados no eixo horizontal.
• O GC apresentou melhor desempenho que o GE na quantificação e comparação dos dados representados no eixo vertical, assim como na totalização dos valores dos dados representados neste eixo.
Média Aritmética
• Em todos os itens relativos a este conteúdo, o desempenho apresentado pelos alunos do GE superou o do GC.
Os resultados parecem indicar contribuições da intervenção de ensino
aplicada no GE, tendo em vista os resultados do grupo terem sido relativamente
maiores que o GC.
Neste sentido, uma aproximação das respostas dos alunos tornou-se
imperativa, como estratégia para conhecer os percursos por eles utilizados na
intervenção de ensino na relação direta com as atividades e seus sentidos.
Retornaremos a esta questão na análise qualitativa.
A escolha visa a contemplar nossa compreensão de que a Matemática
está além de uma visão dual de acerto e erro, pois apresenta um desafio para a
construção do conhecimento.
Quadro 5.5: Síntese do Desempenho dos dois grupos no Pós-teste
145
5.2.4. Análise do Desempenho do GE no Pré e no Pós-teste
Nesta seção, mostramos uma análise do desempenho obtido apenas
pelos alunos participantes do GE em dois momentos distintos, quais sejam: pré e
pós-teste. A análise permitiu relacionar o desempenho obtido pelos alunos do
referido grupo antes e depois da intervenção de ensino, buscando suas possíveis
contribuições no que tange aos conteúdos apresentados neste estudo.
A seguir, o gráfico abaixo fornece o desempenho geral obtido pelos
alunos do grupo experimental no pré e no pós-teste. Assim, é possível observar
que houve uma evolução do percentual de acertos do pré para o pós-teste nesse
grupo.
Quantidade de acertos total
Grupo �� ������
�� ������
Experimental
GE
126/299 42,14%
177/299 59,2%
Figura 5.8: Acertos totais do GE no pré e no pós-teste.
Pelos resultados apresentados na Figura 5.8, observamos que a
variação ocorrida no desempenho dos alunos do GE do pré para o pós-teste foi
de 17,06%. O pós-teste foi realizado, após a aplicação da intervenção de ensino,
assim, acreditamos que os resultados acima possam indicar possíveis
contribuições da referida intervenção.
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Pré-teste Pós-teste
Desempenho Geral do G E
Pré-teste Pós-teste
146
Entretanto, para identificarmos estas contribuições, consideramos
importante subdividir esta seção também em três partes e, para isto nos
baseamos no mesmo esquema descrito no Quadro 5.2, considerando, porém,
questões do pré e pós-teste do grupo experimental.
5.2.4.1. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos de barras
Neste item, analisamos o desempenho do GE quanto à leitura e
interpretação dos gráficos de barra no pré e pós-teste. Para proceder à análise,
apresentamos a Figura 5.9:
Quantidade de acertos por item - GE
Invariantes Item �� ������
�� ������
Mínimo 1a 22 23 Máximo 1b 22 23
Soma dos valores do conjunto
2a 2 10
Máximo 2b 17 22 Mínimo 2c 0 05
Localização de dado a
partir de seu valor
2d 17 20
Figura 5.9: Acertos por item de leitura de gráfico de barras do GE no pré e no pós-teste.
Pelo gráfico acima, observamos uma considerável evolução no
desempenho dos alunos do GE, do pré para o pós-teste, sobretudo, nos itens
relativos à questão 2, nos quais o gráfico apresentava uma escala não-unitária
com dados, cujos valores não estavam explicitados no eixo.
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
1a 1b 2a 2b 2c 2dItens relativos aos gráficos de
barras
Percentual de acertos por item
Pré-testePós-teste
147
Os dados sugerem que a intervenção de ensino desenvolvida em
ambiente computacional, utilizando o software Tabletop, pode ter favorecido a
compreensão desse conteúdo pelos alunos do GE.
Quanto aos itens “1a" e “1b”, os alunos haviam mostrado um ótimo
desempenho já no pré-teste, o que confirmou nossas expectativas iniciais, visto
que pesquisas recentes apontam que os alunos não apresentam dificuldade para
localizar pontos extremos (SANTOS E GITIRANA, 1999; GUIMARÃES, FERREIRA E
ROAZZI, 2001).
Os dados da Figura 5.9 revelam que, apesar do baixo desempenho
apresentado no item “2a", houve uma considerável evolução entre o pré-teste e o
pós-teste, com 8,7% e 43,48% de acertos respectivamente.
No momento, vale salientar que apenas consideramos as respostas
exatas. Nesse item, se considerássemos a correta leitura dos dados com os não
acertos quanto à operação (adição), o percentual aumentaria para 56,5%. No
entanto, esta análise será realizada detalhadamente na seção 5.3 deste capítulo.
No decorrer da segunda fase do estudo, os alunos construíram gráficos,
usando diferentes escalas, o que parece ter favorecido a compreensão de
conhecimentos implícitos fundamentais à leitura e interpretação de gráficos, tais
como a idéia de proporcionalidade existente no eixo vertical expressa pela
distância entre dois pontos e associá-la à idéia de seqüência numérica para
estimar o valor que não estava explicitamente representado no eixo, facilitando a
“leitura entre os dados” (CURCIO, 1987).
148
Embora tenha havido evolução dos alunos do GE no item “2a", nossos
dados confirmam resultados de outras pesquisas que apontam a dificuldade dos
alunos quanto à “leitura entre os dados”, pois como já exposto, pode estar
relacionada ao conhecimento da Matemática, erros de escala ou erros na leitura
dos eixos (FRIEL; CURCIO; BRIGHT, 2001).
Quanto ao item “2c”, embora os alunos tenham apresentado melhores
resultados no pós-teste (21,74% de acerto) que no pré-teste (0% de acerto),
acreditamos que o baixo desempenho nesse item, possivelmente, esteja
relacionado mais com a expressão usada “Em que dia o consumo de frutas foi
menor?” do que em relação à localização do ponto de mínimo. Como já discutido
no item 5.2.2.1, os alunos possivelmente, considerem que o consumo não poderia
ser zero, buscando, assim, o menor valor diferente de zero. De fato, também no
pós-teste a grande maioria dos alunos do GE (69,57%) considerou terça-feira
como o dia em que houve o menor consumo de frutas, o que corresponde ao
menor valor diferente de zero representado no gráfico.
Quanto ao item “2b”, observamos que houve uma considerável evolução
no desempenho dos alunos entre o pré e o pós-teste. Embora as pesquisas
indiquem que a localização do ponto de máximo consiste em tarefa simples para
crianças da mesma faixa etária do presente estudo (SANTOS E GITIRANA, 1999;
GUIMARÃES, FERREIRA, ROAZZI, 2001), observamos que os alunos do GE
apresentaram um bom índice de acertos no pré-teste (73,9%), o mesmo havia
ficado aquém de nossas expectativas iniciais que se baseavam nos estudos já
citados.
149
No entanto, o percentual de acerto apresentado no pós-teste (95,6%)
sugere que o trabalho realizado no decorrer da segunda fase deste estudo pode
ter favorecido a compreensão de gráficos dos alunos do grupo experimental no
que tange à localização do ponto de máximo no tipo de gráfico usado nesta
questão.
Ao analisar o gráfico apresentado na Figura 5.9, observamos que os
alunos do GE apresentaram no pós-teste um melhor desempenho também no
item “2d” que exigia a localização de um dado com base em seu valor.
Neste item, a variação percentual do desempenho dos alunos do GE
apresentada entre o pré e o pós-teste foi 13,05%. Estes dados sugerem que as
atividades aplicadas no decorrer da intervenção de ensino podem ter favorecido a
leitura e interpretação dos gráficos de barras, no que se refere à “leitura dos
dados” dos alunos desse grupo Curcio (1987).
5.2.4.2. Itens relativos à leitura e interpretação do gráfico de dupla entrada
A seguir, apresentamos o gráfico que fornece o desempenho do GE nos
itens relativos à leitura e interpretação do gráfico de dupla entrada no pré e pós-
teste. Apoiados, na análise desse gráfico, teceremos algumas considerações
sobre a evolução ou não do desempenho obtido pelos alunos nos dois testes.
150
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
3a 3b 3cItens re la tiv os ao gráf ico
de dup la entrada
P ercen tua l de acertos por item
Pré-testePós-teste
Quantidade de acertos por item
Invariantes Item �� ������
�� ������
Quantificação/comparação dos dados
3a 21 17
Quantificação/comparação dos dados
3b 10 17
Soma dos valores do conjunto
3c 15 16
Figura 5.10: Acertos por item de leitura do gráfico de dupla entrada do
GE no pré e no pós-teste
Analisando o gráfico acima, notamos que houve considerável evolução
no desempenho dos alunos entre o pré e o pós-teste exatamente no item “3b”, no
qual haviam obtido, inicialmente, um menor desempenho.
Este item exigia dos alunos a comparação entre os dados (dias da
semana) representados no eixo horizontal. Era necessário que comparassem o
total de agasalhos (no pós-teste) de cada dia da semana, com o total recolhido na
terça-feira, identificando, assim, se nesse dia havia sido recolhida menor
quantidade de agasalhos.
Pelo gráfico, podemos observar uma ligeira evolução no desempenho
dos alunos entre o pré e o pós-teste – 65,22% e 69,57% – respectivamente, no
item “3c”.
No gráfico da Figura 5.10, podemos observar que houve um pequeno
declínio no desempenho dos alunos do GE entre o pré e pós-teste no item “3a",
151
qual seja: Qual o tipo de agasalho que foi menos recolhido pelo grupo durante a
semana?
Embora o pré-teste e o pós-teste tenham sido semelhantes, por
inexperiência da pesquisadora, temos por hipótese que duas modificações
realizadas do primeiro para o segundo, podem ter influenciado os resultados, as
quais são apresentadas a seguir.
Quanto ao item “3a", a resposta correta no pré-teste apresentou-se mais
evidente no gráfico, localizando-se já na primeira linha horizontal do gráfico (de
cima para baixo).
A resposta desse item no pós-teste, por sua vez, aparece na terceira
linha horizontal (de cima para baixo), estando, assim, menos evidente que no pré-
teste. Outro fator que pode ter influenciado no desempenho dos alunos nos dois
itens “3a" e “3c” do pós-teste, consiste na diferenciação das formas dos ícones
entre os dois testes. No pré-teste, os ícones de cada tipo de refrigerante
diferenciavam-se apenas pela cor e no pós-teste os agasalhos foram
diferenciados pela cor e forma, em que cada ícone foi apresentado pelo desenho
do respectivo agasalho.
Pelos resultados apresentados pelos alunos no pré-teste neste tipo de
gráfico, consideramos ter sido insuficiente o número de atividades (duas)
desenvolvidas com o gráfico de dupla entrada no decorrer da fase de intervenção
de ensino. Entretanto, é pertinente esclarecer que optamos trabalhar nas demais
atividades (12) com o gráfico de barras, tendo em vista ser um dos gráficos mais
usados no cotidiano.
152
5.2.4.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética
Para finalizar a análise quantitativa do desempenho obtido pelos alunos
do GE no pré e pós-teste, apresentamos o gráfico com os resultados dos itens
relativos à média aritmética, com base nos quais tecemos considerações sobre a
evolução ou não do desempenho obtido pelos alunos nestes itens.
Quantidade de acertos por item Grupo
Experimental Item �� ������
�� ������
1c 0 7 1d 0 4 2e 0 4
Média aritmética
3d 0 8
Figura 5.11: Acertos por item de média aritmética do GE no pré e no pós-teste
Pelos resultados apresentados no gráfico acima, observamos que, em
todos os itens relativos à média aritmética, os alunos obtiveram um percentual de
acertos no pós-teste superior ao obtido no pré-teste (0%).
Pelos dados disponíveis no gráfico da Figura 5.11, os alunos obtiveram
melhor desempenho nos itens “3d” e “1c” no conteúdo referente à média
aritmética e o menor desempenho no item “2e”. Os dados sugerem que o tipo de
gráfico da questão 2 (escala não-unitária com valores de alguns dos dados
apresentados implicitamente no eixo), parece ter influenciado na determinação da
média aritmética.
Nesta análise, foram consideradas apenas as respostas exatas, embora
o maior percentual de acerto obtido no conteúdo de média aritmética tenha sido
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
1c 1d 2e 3d
Itens relativos à Média Aritmética
Percentual de acertos por item
Pré-testePós-teste
153
de quase 35% no item “3d”, salientamos que se, tivéssemos aqui, considerado o
raciocínio apresentado pelos alunos, quanto à determinação da média,
desconsiderando os não-acertos referentes a outros conhecimentos matemáticos,
o percentual de acerto dos alunos do GE teria alcançado 52,17% nesse item. Na
seqüência, mostramos uma síntese dos resultados do GE no pré e pós-teste.
Quadro 5.6: Síntese do Desempenho do GE no Pré e Pós-teste
Para observar as possíveis contribuições da intervenção de ensino, na
seqüência apresentamos a análise qualitativa, de alguns dos itens já discutidos na
análise quantitativa, com o objetivo de compreender o caminho percorrido pelos
alunos no decorrer das três fases da pesquisa.
• GE apresentou uma considerável evolução do pré para o pós-teste nos itens relativos à compreensão deste tipo de gráfico, sobretudo, na questão 2.
• O desempenho superior a 43% de acerto observado no item “2a" sugere que a soma dos valores dos dados no gráfico, em que os valores apresentavam-se de forma implícita no eixo parece ser complexa aos alunos dessa faixa etária.
Leitura e
interpretação de gráfico de
barras
Gráfico de dupla entrada
• O desempenho do GE no pós-teste foi superior a 73% de acerto nos itens ” 3a" e “3b “ e igual a 69,5% no item “3c”. • GE apresentou uma evolução de 30% de acerto do pré para o pós-teste no item “3b”
Média Aritmética
• Em todos os itens relativos este conteúdo, o desempenho obtido pelos alunos do GE no pós-teste superou o desempenho obtido no pré-teste.
154
5.3. Análise Qualitativa
Nesta seção, conforme apresentado na introdução deste capítulo,
analisamos as observações feitas no decorrer das três fases constituintes do
estudo de campo, que foram devidamente registradas apoiadas nas anotações e
gravações transcritas.
As respostas dos alunos aos protocolos do pré e do pós-teste foram
utilizadas, assim como as atividades feitas na intervenção de ensino e os arquivos
eletrônicos das tabelas e gráficos trabalhados pelos alunos participantes do GE.
Desse modo, procedemos à análise qualitativa, iniciando pela leitura e
interpretação de gráficos para depois apresentar a análise qualitativa, focando a
média aritmética.
A escolha para trabalhar com vários instrumentos de análise prendeu-se
a nossa intenção de promover uma inter-relação entre os dados e as estratégias
de enfrentamento dos problemas presentes no experimento, apresentados pelos
alunos.
Assim sendo, enquanto para a abordagem quantitativa empregamos o
critério de exatidão centrado no acerto, na abordagem qualitativa tendemos
sempre a considerar as justificativas e a estrutura da resolução de problemas
utilizada pelos alunos que foi feita baseada no uso de categorias.
Para preservar a identidade dos alunos participantes do GE, estes serão
denominados por “Al”, seguido do número de identificação de seus respectivos
protocolos desde o pré-teste.
155
5.3.1. Análise Relativa à Leitura e Interpretação de Gráficos
Nesta seção, tal como procedemos na análise quantitativa, também
separamos as questões relativas aos dois tipos de gráfico: gráfico de barras e
gráfico de dupla entrada em razão das especificidades de cada um.
A seguir, apresentamos o quadro que indica as categorias definidas para
a análise dos resultados relativos à leitura e interpretação de gráficos e as
respectivas fontes para sua realização.
Quadro 5.7: Estrutura da análise qualitativa da leitura e interpretação de gráficos
CONTEÚDO MATEMÁTICO
TIPOS DE GRÁFICOS
CATEGORIAS
ITENS DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE → Itens X
ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO → At. X
GRÁFICO X
REALIDADE
NÍVEIS DE LEITURA E
INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICO
LEITURA E INTERPRETAÇÃO
DE GRÁFICOS
EXTRAPOLAÇÃO
Itens 1a, 1b
At. 2B, 5B
GRÁFICO
DE BARRAS
GRÁFICO DE DUPLA ENTRADA
Nível I Itens 1a,
1b, At. 2A, 3A
Nível II Item 2a
Nível III Item 1e
At. 6B Item 2f
ARTICULAÇÃO TABELA
X GRÁFICO
At. 1A, 1C, 2A
156
5.3.1.1. Gráfico de barras
Os resultados apresentados pelos alunos, propiciaram a formação de
três categorias de análise para leitura e interpretação do gráfico de barras: gráfico
x realidade, articulação tabela x gráfico, níveis de leitura e interpretação de
gráficos.
Na primeira categoria, analisamos o tipo de justificativa dos alunos na
leitura do gráfico de barras apresentado no pré e no pós-teste. Na segunda,
discutimos como ocorreu a articulação entre representações tabular e gráfica em
duas situações distintas quais sejam: construção de gráfico baseada na coleta de
dados e, na construção do gráfico apoiado no banco de dados previamente
organizado. Por último, analisamos algumas questões relativas aos três níveis de
leitura e interpretação de gráficos propostos por Curcio (1987).
5.3.1.1.1. Gráfico x realidade
Pelos resultados obtidos no pré e pós-teste, passamos a analisar
qualitativamente as respostas dos alunos do GE, no que tange à leitura e
interpretação do gráfico de barra.
Para discutir a categoria, gráfico x realidade, foram usadas as
justificativas apresentadas pelos alunos nos itens “1a" e “1b” do pré e pós-teste.
Primeiro, fizemos um levantamento de todos os tipos de respostas para,
em seguida, agrupá-las, classificando-as por categorias. Assim, descrevemos a
seguir, as categorias de respostas utilizadas para esta análise.
157
LEGENDA DA CATEGORIA
DESCRIÇÃO DA CATEGORIA
R
Justificativas relacionadas à crenças ou experiências pessoais dos alunos, baseadas em sua Realidade.
G
Justificativas baseadas nas informações advindas da representação Gráfica.
O
Consideramos as respostas que não apresentaram justificativas, como Outros.
Quadro 5.8: Categorias de análise dos itens “1a" e “1b” do pré e do pós-teste.
A seguir, expomos a justificativa fornecida no protocolo de dois alunos
no pré-teste para exemplificar as duas primeiras categorias descritas no Quadro
5.8, quanto ao tipo de justificativa apresentada pelos alunos ora pela realidade,
ora pelo gráfico.
Figura 5.12: Respostas ao protocolo de Al-07 e Al-05 no pré-teste
Analisando os protocolos apresentados na Figura 5.12, observamos que
para o mesmo tipo de questão mostrada no pré-teste: “Por que você acha que ele
vendeu mais/menos minigames neste mês?” os alunos apresentaram,
inicialmente, dois tipos de justificativa.
a) Al-07 b) Al-05
158
Na Figura 5.12a), observamos que a justificativa da aluna “porque ele
tinha minigames legais”, parece considerar sua experiência em relação a vender,
mais ou menos, minigames, tendo em vista que esta informação não pode ser
extraída dos dados mostrados no gráfico.
Dados semelhantes foram encontrados no estudo de Guimarães (2002),
conforme destaca, apesar dos alunos demonstrarem habilidades para ler o
gráfico, preferem aceitar como resposta do problema suas experiências de vida.
Embora a questão sugerisse uma resposta pragmática, outros alunos mostraram
justificativas baseadas nos dados do gráfico como: “porque é o maior mês que
tem nestes gráfico”, nas quais entendemos que o aluno centrou sua justificativa
nas informações apresentadas no gráfico.
Acreditamos ser pertinente apresentar dois momentos de discussão dos
alunos na fase de intervenção, assim, observamos os dois tipos de justificativa
que estamos analisando.
Um desses momentos ocorreu no decorrer do segundo encontro, mais
especificamente, na realização da atividade 2B. Os alunos encontravam-se em
uma situação desafiadora, quando foi proposto que auxiliassem Camila a oferecer
a mesma quantidade de balas a todas as crianças do grupo.
Para solucionar o problema proposto, em um determinado momento,
todos os grupos na tentativa de mudar a bala de Pâmela ou Artur para João,
observaram que a mesma retornava a seu lugar, conforme transcrição a seguir:
P: Se ela é da Pâmela, por que ela não vai para João?
Al-22: ela vai..., mas ela volta!
P: Por que que ela volta?
Al-22: “Por que ela não quer dar”
Al-06: “Porque ela acha que tem pouca!”
159
Analisando a discussão, percebemos que as alunas Al-22 e Al-06
elaboraram uma leitura da situação, relacionando-a com suas crenças, pois a
representação gráfica ora apresentada não lhes fornecia informação às
justificativas dadas pelas alunas. Aliás, a resposta “Porque ela acha que tem
pouca!”, contrasta com a leitura do gráfico em questão, no qual a quantidade de
balas de Pâmela era a maior quantidade representada no gráfico.
No quinto encontro, ocorreu o outro momento, durante o
desenvolvimento da Atividade 5A. Assim, a situação proposta era que os alunos
construíssem o gráfico de freqüência, a partir do qual foram trabalhadas a leitura
e interpretação de gráfico e a média aritmética.
No encontro, percebemos uma mudança quanto ao tipo de resposta
para justificar a leitura dos dados apresentados no gráfico, conforme o fragmento
transcrito, a seguir:
P.: Quem consome mais salgadinhos?
Al-05: Luís
P: Como vocês leram isso?
Al-05 e Al-06: Olhando no gráfico.
Neste outro fragmento, os alunos elaboraram uma leitura da situação
relacionando-a com a representação gráfica, pois sua justificativa pautou-se no
gráfico diferente das alunas citadas no fragmento anterior.
É provável que o trabalho desenvolvido no decorrer da intervenção de
ensino, na qual os alunos realizaram atividades pautadas nas várias situações
empregando a representação gráfica, possam ter auxiliado o aluno a se remeter à
160
representação gráfica para justificar suas respostas, conforme observamos no
protocolo da aluna Al-7 no momento do pós-teste, exposto a seguir:
Figura 5.13: Respostas ao protocolo de Al-07 no pós-teste
Neste protocolo, ao analisar as respostas do pós-teste, observamos que
a aluna Al-07 passa a tomar como referência os dados do gráfico: “por que se
olharmos no gráfico, março vendeu 11, fevereiro 9, e janeiro 4.” , demonstrando
uma leitura mais detalhada desses dados.
A seguir, na tabela, temos a evolução apresentada pelos alunos entre o
pré-teste e o pós-teste nas justificativas dos itens “1a" e “1b”, para isso utilizamos
as categorias descritas no Quadro 5.7. Salientamos que, neste momento, o uso
do termo evolução foi compreendido por nós, como uma mudança na concepção
da leitura e interpretação de gráficos dos alunos entre o pré e o pós-teste.
161
EVOLUÇÃO DAS RESPOSTAS DO PRÉ PARA O PÓS-TESTE
Justificativa Realidade Gráfico Outras
Itens Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste
1a 13 05 08 16 02 02
1b 13 05 08 16 02 02
Tabela 5.1: Distribuição das justificativas apresentadas na leitura de gráficos no pré e no pós-teste.
Pelos dados apresentados na Tabela 5.1, notamos que houve um
aumento de 100% do número de alunos, cujas justificativas passaram a focar o
gráfico em detrimento da realidade após a fase da intervenção de ensino;
conforme pode ser observado nos resultados do pós-teste. Percebemos uma
redução do número de alunos que, inicialmente, centravam suas justificativas
baseadas na realidade.
A evolução apresentada pelos alunos do grupo experimental em relação às
justificativas dadas à leitura dos dados no gráfico de barras, pode ter ocorrido em
função das diversas situações propostas na fase de intervenção de ensino.
Nestas situações, eles foram solicitados a trabalhar com os diversos invariantes
constituintes do Campo Conceitual relativo à leitura e interpretação de gráficos,
assim como usar as distintas representações simbólicas lá inseridas.
162
5.3.1.1.2. Articulação das representações: tabela x gráfico
No decorrer da intervenção de ensino, os alunos realizaram atividades
que solicitavam a construção de gráficos no Tabletop, que eram construídos com
base em um banco de dados previamente organizado por nós ou apoiado em
banco de dados construído pelos alunos, após a coleta que realizaram.
No primeiro encontro, as atividades propostas tiveram por objetivo
favorecer a familiarização dos alunos com o software Tabletop. Para isso, na
atividade 1A, os alunos partiram de uma coleta de dados, inicialmente, no
contexto de papel e lápis. Assim, inseriram esses dados no banco de dados do
Tabletop, salvando-o como FAMI-COL.TDB, visto que este encontro destinava-se
à familiarização dos alunos com o Tabletop, foi, portanto, um dos momentos que
os orientamos quanto ao emprego dos ícones constituintes do menu principal,
quais sejam: File, Save as, Close, Open.
Para realizarem o registro dos dados coletados na folha que havia sido
entregue, os alunos não mostraram dificuldades, entretanto, oito dos dez grupos
participantes solicitavam constantemente à pesquisadora para auxiliar na
digitação. O fato deu-se pela pouca familiaridade desses alunos com o ambiente
computacional, pois, muito deles estavam tendo seu primeiro contato nesse
ambiente com o software Tabletop.
Nesse encontro, foi possível perceber que os alunos disputavam
constantemente o teclado com os colegas, quando começavam a digitar, não
queriam “sair do computador”. De forma geral, as crianças demonstraram grande
interesse em utilizar este recurso. O fato pode ser observado na discussão
gravada no grupo dez, conforme transcrevemos, a seguir:
163
Al-04 – Eu acho melhor o mouse...
Al-08 – Eita! Olha o que você fez!!!
Al-03 – Deixa de conversar com ele e deixa ele escrever!
(...)
Al-03 – Deixa eu escrever?
Al-04 – Profa. Agora é o Al-02
Neste fragmento, os alunos pareciam fiscalizar o tempo que cada um
ficava à frente do computador, ou seja, no teclado. Apesar de sugerir uma
organização prévia dos alunos, quanto ao uso do teclado no início de cada
encontro, discussões semelhantes a esta ocorriam também nos demais grupos.
Vale salientar que este tipo de discussão pode ter acontecido sobretudo
em função do número de alunos por computador, visto que a princípio, seis
grupos compunham-se de três alunos, três grupos de quatro e um grupo de dois.
Ao finalizar esta atividade, explicamos aos alunos que os dados que eles
haviam digitado, poderiam ser guardados, constituindo-se em um arquivo que,
neste caso, era denominado banco de dados. Para isto, deveríamos nomear o
banco de dados criado e salvá-lo, conforme orientações dadas inicialmente.
Assim, percorremos cada um dos grupos para auxiliar na tarefa, pois
como já dissemos, poucos alunos tinham familiaridade com o ambiente
computacional.
164
• Articulação tabela x gráfico com base na coleta de dados – AT 1C
No primeiro encontro, os alunos construíram o gráfico de freqüência,
baseando-se na coleta de dados realizada por eles. Na seqüência, fizeram a
leitura dos dados, mostrando facilidade, tanto em sua construção como na leitura
dos dados.
No encontro, notamos que os alunos realizavam a leitura dos dados,
contando cada um dos ícones que representava o dado sem se remeter à escala.
Ao final da atividade, solicitamos que alunos de diferentes grupos expusessem,
como realizaram a leitura do gráfico, para que os outros pudessem comparar as
distintas estratégias utilizadas pelos colegas. Nesse momento, a pesquisadora fez
as devidas intervenções, pautada no que era apresentado pelos grupos.
Depois de concluída a intervenção na Atividade 1B, entregamos para
cada grupo o protocolo da atividade 1C, com a seguinte questão: 1) “Imaginário”
gostaria de entrar em seu grupo. Como ficaria o gráfico com esse novo aluno
sabendo que ele mora sozinho?”
Iniciamos a atividade 1C com uma discussão geral, pois ao terminar a
leitura da 1C, retomamos a questão e os alunos começaram a responder
oralmente, conforme fragmento transcrito, a seguir:
P: Como ficaria esse gráfico?
Al-01, Al-07, Al-10: Aumenta o gráfico com o Imaginário lá!
P: Aumenta o gráfico com o Imaginário lá?
Alunos: É.
P: Como é que eu faço para aumentar o Imaginário aí! No gráfico
de vocês?
Al-08: voltaria lá, onde a gente digitamos, digitava o nome dele.
165
Entendemos que ao ser questionada sobre o que deveria ser feito para
”aumentar o gráfico, incluindo o Imaginário”, a aluna Al-08 compreendeu a
necessidade de retornar à tabela, na qual havia digitado os dados dos colegas
para incluir também os dados do Imaginário no gráfico.
A aluna entendeu que a inclusão do Imaginário no gráfico não poderia
ser feita diretamente no mesmo, mas poderia ser baseada em sua inclusão na
tabela. Neste momento, percebemos que, ela observou a relação existente entre
os dados representados no gráfico e na tabela.
Esta observação pode estar associada ao fato do gráfico ter sido
construído apoiado na coleta de dados feita pelos próprios alunos. Neste primeiro
encontro, as crianças trabalharam duas situações distintas: a coleta e a
organização dos dados, seguida da construção do respectivo gráfico. Além disso,
empregaram dois tipos de representação: a tabular e a gráfica.
• Articulação tabela x gráfico com base em um banco de dados – AT 2A
Neste segundo encontro, diferente do anterior, o banco de dados
ANIVBALA.TDB utilizado na atividade 2A foi fornecido por nós, pois não partimos
da coleta realizada pelos alunos.
Após todos os grupos localizarem o arquivo ANIVBALA.TDB, lemos a
atividade e, em seguida, solicitamos que procurassem, inicialmente, a melhor
forma para responder às questões propostas. Nesta atividade, o objetivo era
desenvolver a leitura e interpretação de gráficos e introduzir o conceito de média
aritmética.
166
Após a discussão da atividade entre os alunos de cada grupo, abrimos
um debate com a classe, conforme transcrito a seguir:
P: Eu quero saber quantas balas cada aluno pegou.O que vocês
sugerem?
Al-06: clicar na mesinha
P: Por que você sugere clicar na mesinha Al-06?
Al-06 – Pra entrar no gráfico para saber quantas balas cada um
pegou.
P: E pelo gráfico dá para fazer isso?
Al-03-17-20: Dá!
P: Por que dá para saber isso?
Al-06: Porque lá tem a quantidade!
P: Qual grupo teria uma outra sugestão? (...)
No fragmento exposto, notamos que, no segundo encontro, as crianças
já apresentavam certa familiaridade para lidar com o software Tabletop, pois, a
sugestão da aluna Al-06 para clicar na mesinha indica implicitamente a
construção do gráfico, como a própria aluna explicou. Entretanto, analisando a
fala dessa mesma aluna “Porque lá tem a quantidade”, percebemos que,
possivelmente, os alunos parecem entender que a quantidade solicitada só pode
ser encontrada no gráfico.
Na análise desse fragmento, entendemos que os alunos parecem não
ter entendido que a quantidade solicitada poderia também ser verificada na
própria tabela.
167
Desse modo, aguardei alguns minutos e repeti a última pergunta
transcrita no fragmento, tendo em vista não ser esta a única forma de saber a
quantidade de balas. Aguardava que algum aluno pudesse ter observado que
esta quantidade poderia também ser obtida na própria tabela.
Os alunos conversavam, mas não apresentavam nenhuma sugestão.
Solicitamos que discutissem com o grupo a melhor forma de responder às
questões propostas na atividade e buscassem desenvolvê-la. Observamos que
todos os grupos construíram o gráfico para determinar a quantidade de balas que
cada aluno havia pego.
Embora tenha solicitado a construção do gráfico de freqüência
ANIVBALA.TT, para responder às questões propostas na Atividade 2A, a
ausência de outras sugestões parece indicar que, na situação proposta, os alunos
ainda não haviam percebido a relação existente entre gráfico e tabela, já que a
quantidade solicitada poderia ser obtida também pela representação tabular.
Nas discussões realizadas no decorrer das atividades 1C e 2A, chamou
a atenção, conforme descrito nos fragmentos correspondentes a essas atividades,
que o reconhecimento da relação existente entre representação gráfica e tabular
parece ter ocorrido com maior facilidade na situação desenvolvida com base na
coleta de dados – Atividade 1C.
No entanto, a mesma relação não foi notada tão facilmente na atividade
2A, o que pode ter ocorrido em razão da situação proposta nesta atividade ter
sido desenvolvida baseada em um banco de dados previamente estabelecido por
nós.
168
Analisando o desenvolvimento das duas atividades, percebemos que a
composição das duas situações do Campo Conceitual leitura e interpretação de
gráficos, isto é, a construção de gráfico apoiada na coleta e organização dos
dados parece ter auxiliado os alunos na compreensão da relação existente entre
as representações gráfica e tabular do que simplesmente a construção do gráfico
baseada em um banco de dados previamente organizado.
O fato parece revelar a importância da participação ativa do aluno como
fonte de conhecimento, como já apontado por Healy e Hoyles (1994). As autoras
destacaram a importância do envolvimento do aluno na construção do banco de
dados. Esta observação assemelha-se aos resultados obtidos na pesquisa de
Magina e Gitirana (1998) “Interpretação de gráficos e diagramas em ambiente
computacional de manipulação de dados”31 que, considerando a manipulação de
dados em duas fases: coleta de dados e análise de dados, estudou esta última
apoiada em duas situações: (A) dados estruturados pelos estudantes, (B) banco
de dados fornecido ao aluno.
5.3.1.1.3. Níveis de Leitura e Interpretação de gráficos
Ler os dados – Nível I
Neste item, destacamos algumas observações feitas na fase de
intervenção de ensino que parecem ser relevantes à leitura e interpretação de
gráficos, no que tange ao Nível I de compreensão de gráficos, segundo Curcio
(1987).
31 Trata-se de um projeto de pesquisa sob coordenação da Profa. Dra. Sandra Magina, financiado pelo CNPq no. 521446/95-3
169
Após a construção do gráfico de freqüência para que respondessem à
atividade 2A, solicitamos alguns minutos para expor a respeito do recurso do
Tabletop que consiste em alterar a ordem dos dados da variável que, neste caso,
eram os alunos. Conhecer este recurso torna-se relevante, visto que a troca da
ordem das categorias pode auxiliar na leitura dos dados do gráfico, já que estas
podem se aproximar ou afastar-se do eixo vertical que contém a escala.
Depois desta intervenção, a maioria dos grupos passou a alterar a
ordem dos dados e, cada aluno do grupo sugeria uma disposição diferente dos
demais colegas. Assim, sete grupos organizaram a posição das categorias em
ordem decrescente da quantidade de balas, dois em ordem crescente e, apenas
um considerou a posição das categorias de forma mista em relação à quantidade
de balas.
A seguir, destacamos os protocolos de dois desses grupos para
exemplificar as posições crescentes (Grupo 02) e, decrescentes (Grupo 06)
indicadas acima.
Figura 5.14: Gráficos construídos pelos grupos 02 e 06 na atividade 2A - ANIVBALA.TT
170
O uso deste recurso na construção dos gráficos auxiliou os alunos na
leitura dos dados, pois, no primeiro encontro, os alunos contavam os ícones
referentes a cada dado um a um sem se remeter à escala.
A seguir, apresentamos fragmentos de uma discussão da atividade 3A,
ocorrida no grupo dez, na qual os alunos haviam alterado a ordem das categorias
dispondo-as em ordem decrescente.
Al-02: Qual o total de balas que este grupo de alunos pegou?
Al-03: Um, dois, três, quatro, ..., 16.
Al-08: 16!
Inicialmente, a aluna Al-03 conta um a um os ícones de cada um dos dados
apresentados no gráfico. Neste momento, fica nítida a não utilização da escala.
Diante desta fala, questionamos o grupo, buscando investigar se haveria outra
forma de determinar o total de balas. Procuramos observar se os alunos remeter-
se-iam à leitura dos dados, empregando a leitura do eixo vertical. A seguir,
transcrevemos a continuidade da discussão ocorrida nesse grupo:
P: Deixa eu fazer uma pergunta prá vocês. Só tem este jeito para
encontrar esse total? Como você fez Al-03 para encontrar o 16?
Al-02: Ela contou as balinhas de cada criança.
(....)
P: E será que tem outro jeito de achar o total?
Al-04: Tem! Olhando aqui, oh!
Nesse momento, o aluno Al-04 apontou os números representados no
eixo vertical, querendo explicar que poderia ser usado o total de cada dado,
empregando o valor correspondente nesse eixo. Continuamos a questioná-lo para
observar se ele seria capaz de ler os dados, cujos valores não estavam explícitos
171
no eixo vertical, tendo em vista que, neste gráfico, a escala apresentava-se
graduada de três em três unidades. Segue abaixo o fragmento que conclui a
discussão:
P: Tem? Olhando na escala? E, então, como é que você olha na
escala?
Al-04: Aqui oito.
P: E aqui na Isabela?
Al-04: Cinco (corria o dedo até o cinco que não estava
representado explicitamente no eixo vertical, pois a escala
apresentava-se como múltiplo de três)
No último fragmento, percebemos que o aluno foi capaz de realizar a
leitura dos dados, tendo iniciado sua leitura pelo dado que estava mais próximo
do eixo vertical (Paula-8).
A possibilidade oferecida pelo software para alterar a ordem dos dados,
parece ter favorecido aos alunos para usarem a escala para fazer a leitura dos
dados representados no gráfico.
Em nossa análise dos arquivos salvos em disquete, na atividade 3A,
tivemos apenas um grupo que dispôs os dados em ordem crescente, dois grupos
usaram a ordem mista dos dados e os demais organizaram os dados em ordem
decrescente.
Este recurso pode ter auxiliado os alunos, no que se refere à leitura da
escala não-unitária, pois, embora os dados do gráfico estivessem representados
por ícones e não em barras, observamos, no sexto encontro durante o
desenvolvimento da atividade 6A que os alunos passaram a se voltar com maior
172
facilidade à escala do que a contagem dos ícones, conforme demonstra o
fragmento, a seguir:
P: Então quanto o Luís consumiu? Al-05: 12 P: e o Fernando? Al-05: Dez P.: Por que é dez e não oito 8 ? Al-05: porque que está mais perto do 12!!
Analisando o fragmento, percebemos que a leitura de cada um dos
dados da variável passou a ser feita remetendo-se à escala. Neste encontro,
notamos que alguns alunos faziam ainda a contagem dos ícones e, na maioria
dos grupos, os alunos usavam a escala para fazer a leitura dos dados.
No decorrer da segunda fase, solicitamos que buscassem alternativas
distintas das já apresentadas pelos colegas do grupo para leitura dos dados.
No final dos encontros, discutíamos as sugestões apresentadas pelos
grupos. O emprego de diferentes escalas nas situações propostas pode ter
contribuído para a compreensão da leitura de gráficos dos alunos, visto que vários
estudos apontam que muitos dos erros de “leitura entre os dados” estão
relacionados à dificuldade da leitura de escala (FRIEL, CURCIO, BRIGHT, 2001).
Ler entre os dados – Nível II
Neste tópico, tecemos algumas considerações sobre o item “2a" do pré e
do pós-teste que exigia dos alunos uma “leitura entre os dados”, segundo Curcio
(1987).
173
Para a presente análise, a escolha do item “2a" deu-se com base nas
dificuldades demonstradas pelos alunos no pré-teste.
Este item exigia que o aluno totalizasse os dados da variável. Para isso,
deveria fazer uma leitura correta de cada um dos dados da variável (dias da
semana), mas os valores de alguns desses dados não se apresentavam
explicitamente no eixo. Nesta análise, buscamos demonstrar as dificuldades
apresentadas pelo aluno no pré-teste e analisar as possíveis contribuições da
intervenção de ensino.
Desse modo, na análise do item “2a" não nos restringiremos apenas aos
acertos ocorridos após a intervenção, mas, discutiremos também o tipo de erro
ocorrido antes e depois da intervenção.
Para analisar este item, fizemos um levantamento de todos os tipos de
respostas apresentadas para, em seguida, agrupá-las, classificando por
categorias. A seguir, descrevemos, as categorias de respostas utilizadas para
esta análise.
LEGENDA DESCRIÇÃO DA CATEGORIA
LCC Respostas com Leitura dos dados e Cálculos Corretos.
LCCE Respostas com Leitura Correta dos dados, mas, Cálculo Errado.
LED Respostas com Leitura Errada dos Dados e cálculo correto ou incorreto.
DIQ Respostas que indicassem Dificuldade quanto à Interpretação da Questão.
O Respostas que não se encaixassem em nenhuma das categorias apresentadas, foram classificadas como Outros.
Quadro 5.9: Categorias de análise do item “2a" do pré e do pós-teste
174
Apresentamos fragmentos do protocolo do pré e pós-teste de três
alunos, pelos quais podemos observar o tipo de resposta classificada em cada
uma das categorias estabelecidas no Quadro 5.9.
Tomamos, como exemplo, a aluna Al-21 cujas respostas foram
consideradas incorretas no momento do pré e pós-teste da análise quantitativa. O
fragmento do pré-teste da aluna está apresentado na figura 5.15, a fim de facilitar
a compreensão de nossa análise.
Figura 5.15: Resposta ao protocolo de Al-21 no pré-teste
Analisando a resposta do fragmento acima, observamos que a aluna
mostrou pouco entendimento na “leitura entre os dados” (CURCIO, 1987) no
momento do pré-teste. O tipo de resposta dada foi classificado como DIQ.
Conforme nosso entendimento, a aluna parece ter interpretado a questão como “o
total de dias em que houve consumo de pães pela família nessa semana”.
Embora não tenhamos realizado entrevista com os alunos, é possível
observar que, no pré-teste, a aluna Al-21 pode ter interpretado a questão,
restringindo-se ao eixo horizontal, totalizando a quantidade de dias,
desconsiderando o domingo por não apresentar nenhuma “barra”.
175
Possivelmente, a interpretação incorreta do que foi solicitado na
questão, influenciou para que a aluna fizesse uma “leitura dos dados” incorreta,
dificultando, assim, sua integração, que é exigida, para a “leitura entre os dados”.
Por outro lado, embora a aluna Al-21 tenha fornecido uma resposta
incorreta também no pós-teste, notamos um avanço em sua compreensão quanto
à “leitura dos dados”, pois parece que agora ela se utilizou da grade de linha
exposta no gráfico. A seguir, apresentamos o protocolo do pós-teste da aluna Al-
21:
Figura 5.16: Resposta ao protocolo de Al-21 no pós-teste
A aluna considerou a medida das barras apresentada entre duas linhas
de grade horizontal, atribuindo-lhe valor 1, tendo considerado esse mesmo valor
também para a metade da referida medida. Este tipo de resposta situou-se na
categoria LED, conforme já especificado.
Assim, apesar da aluna ainda ter feito a “leitura entre os dados”
incorreta, notamos que ela mostrou uma sensível melhora quanto à “leitura dos
dados”, pois passou a reconhecer não apenas os valores expressos na linha
horizontal, mas também a “altura de cada uma das barras”, ou seja, ela identificou
176
os distintos valores de cada uma das barras, o que demonstra uma aproximação
no que se refere à “leitura dos dados”.
A seguir, apresentamos o protocolo do pré-teste da aluna Al-27 que
indica um tipo de resposta classificado na categoria LED.
Figura 5.17: Resposta ao protocolo de Al-27 no pré-teste
Analisando a Figura 5.17, observamos que a aluna Al-27, inicialmente,
apresenta uma leitura dos dados, considerando a medida das barras apresentada
entre duas linhas de grade visivelmente expostas no gráfico, como uma unidade
(atribuiu valor 1).
É interessante observar que a aluna faz a leitura da terça-feira como três
pães, o que sugere que ela tenha considerado o mesmo valor para medidas
diferentes. A conta apresentada no protocolo, confirma nosso entendimento do
caminho por ela percorrido, conforme ilustramos, a seguir:
177
Figura 5.18: Resposta ao protocolo de Al-27 no pré-teste
No pós-teste, a aluna Al-27 passou a realizar uma correta “leitura dos
dados” no item “2a", visto que foi capaz de integrar os dados para proceder à
“leitura entre os dados”, conforme apresentado no protocolo, a seguir:
Figura 5.19: Resposta ao protocolo de Al-27 no pós-teste
As duas análises que acabamos de apresentar, confirmam os dados
obtidos em outras pesquisas que apontam as dificuldades dos alunos desta faixa
etária em relação à leitura de dados, cujos valores não são apresentados
explicitamente no eixo (GUIMARÃES, 2002; SELVA, 2003).
Nesta análise podemos ainda, observar que a “leitura dos dados” e a
“leitura entre os dados” poderiam ser melhor compreendidas, partindo de uma
construção contínua da leitura e interpretação de gráficos em distintos níveis de
178
profundidade. Assim, constatamos a importância da organização do currículo em
espiral conforme proposto por Bruner (1978).
A seguir, apresentamos o protocolo do pré e pós-teste de outra aluna
que mostrou um tipo de resposta classificado na categoria LCCE, no pós-teste,
sua resposta foi considerada errada, de acordo com os critérios estabelecidos
para fins de análise quantitativa.
Pré-teste – Al-06 – item “2a"
Pós-teste – Al-06 – item”2a"
Figura 5.20: Respostas aos protocolos de Al-06 no pré e no pós-teste
Pelos protocolos acima, foi possível analisar que, embora a resposta
apresentada pela aluna tenha sido considerada errada, tanto no pré como no pós-
teste em função dos critérios preestabelecidos, é interessante destacar que, no
pré-teste, ela não tinha ainda compreensão quanto a leitura dos valores dos
dados implicitamente representados na escala (2, 5, 3, 3, 5, 10, 0).
No pré-teste, a aluna lia os valores intermediários ora acima, ora abaixo
dos valores explícitos no eixo vertical. No pós-teste, observamos que a aluna Al-
06 descreveu corretamente os valores dos dados representados de modo
implícito na escala tendo, contudo, mostrado um erro de cálculo.
179
Salientamos que, embora este tipo de resposta tenha sido considerado
errado por não apresentar uma resposta exata, é importante observar que os
alunos com este tipo de erro foram também capazes de “ler os dados”, tanto
quanto aos que obtiveram a resposta exata. No entanto, a não integração correta
desses dados exigida para a posterior “leitura entre os dados” deu-se em função a
um erro de cálculo.
Para concluir a análise do item “2a", apresentamos uma tabela com o
resumo da evolução ocorrida entre as respostas encontradas no pré e no pós-
teste para este item.
Tabela 5.2: Comparação entre as respostas ao item “2a" do pré para o pós-teste
Embora os resultados apresentados na análise quantitativa indiquem um
percentual de 43,48% de acertos no pós-teste, podemos observar pelos dados da
tabela que a intervenção de ensino realizada no GE pode ter contribuído para
minimizar a dificuldade dos alunos em relação à interpretação da questão, visto
que dos oito alunos com este tipo de dificuldade no pré-teste, quatro foram
capazes de superá-la.
Para finalizar a análise desta seção, salientamos que ao comparar os
resultados das alunas Al-21 e Al-27 apresentados, inicialmente, pudemos
COMPARAÇÃO DAS RESPOSTAS DO PRÉ PARA O PÓS-TESTE
Categoria LCC LCCE LED DIQ O
Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós
Item 2a 2 10 2 3 9 5 8 4 2 1
180
perceber a influência da intervenção de ensino no processo de aprendizagem
desses alunos.
Parece ser pertinente destacar a relevância de retomar os conteúdos
ano após ano, aprofundando-os cada vez mais, como proposto por Bruner (1978)
e Vergnaud et al (1990).
NÍVEL III – LER ALÉM DOS DADOS
Neste item, procuramos analisar qualitativamente os resultados obtidos
pelos alunos do GE no item “1e” constituinte do pré e pós-teste. Este foi o único
item da questão que exigiu dos alunos uma “leitura além dos dados” (Curcio,
1987).
Assim, o item sugeriu uma extrapolação na leitura do gráfico ao exigir
que o aluno elaborasse uma previsão baseada nos dados do gráfico. Para
analisar este item, fizemos um levantamento de todos os tipos de respostas
apresentadas nas justificativas para, em seguida, agrupá-las, classificando-as por
categorias. A seguir, descrevemos as categorias obtidas que utilizamos nesta
análise.
LEGENDA DESCRIÇÃO DA CATEGORIA
SVDG Respostas que indicassem a Soma dos Valores dos Dados do Gráfico.
ACMVE
Respostas que indicassem um Aumento nas vendas, Considerando o Maior Valor apresentado no Eixo vertical - 13
PTCG
Respostas em que a Previsão baseou-se na Tendência de Crescimento apresentada entre os dados do Gráfico, ou uso da média aritmética.
O Consideramos na categoria Outros, as respostas que não se encaixassem em nenhuma das anteriores.
Quadro 5.10: Categorias de análise do item “1e” do pré-teste e do pós-teste
181
A seguir, mostramos o protocolo do pré-teste de uma aluna, cuja
resposta foi classificada na categoria SVDG para na seqüência fazermos sua
análise.
Figura 5.21: Resposta ao protocolo de Al-05 no pré-teste
Ao analisar a resposta apresentada na Figura 5.21, percebemos que a
aluna utiliza-se da soma dos valores dos dados do conjunto para indicar a
possível venda do mês de abril.
Segundo nosso entendimento, isso demonstra uma compreensão de
que para fazer uma previsão, a aluna considerou ser preciso somar todos os
valores apresentados.
A seguir, destacamos o protocolo do pós-teste desta mesma aluna, cuja
resposta foi classificada na categoria PTCG.
Figura 5.22: Resposta ao protocolo de Al-05 no pós-teste
No protocolo apresentado na Figura 5.22, observamos que no pós-teste,
embora a aluna indique uma previsão ainda utilizando a soma, esta já não é de
todos os valores do conjunto de dados. No pós-teste, a Al-05 passou a somar o
maior e o menor valor, o que demonstra uma análise mais detalhada dos dados
para realizar a previsão solicitada.
182
Assim, a aluna estabeleceu uma relação entre os dados do gráfico, não
observada no momento do pré-teste.
A seguir, a tabela apresenta a quantidade de respostas em cada uma das
categorias estabelecidas para a análise do item “1e” no pré e no pós-teste.
COMPARAÇÃO DAS RESPOSTAS DO PRÉ PARA O PÓS-TESTE
Categoria SVDG ACMVE PTCG O
Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós
Item 1e 4 3 7 4 7 12 5 4
Tabela 5.3: Comparação entre as respostas ao item “1e” do pré para o pós-teste
Pelos dados da Tabela 5.3, observamos um considerável avanço no que
se refere a “ler além dos dados”.
No pré-teste, dos sete alunos que faziam a previsão, considerando o
maior valor, mostrado no eixo, apenas quatro apresentam esse entendimento no
pós-teste.
Outro dado importante é o crescimento do número de alunos que passa
a se basear na tendência apresentada pelos dados do gráfico para realizar a
previsão (PTCG). No pós-teste, alguns alunos utilizaram a média aritmética para
resolução desse item, o que entendemos como extrapolação na leitura de
gráficos, segundo Curcio (1987).
183
5.3.1.2. Gráfico de Dupla Entrada - Extrapolação
Nesta categoria, apresentamos uma breve análise do que denominamos de
extrapolação na atividade 6B, utilizamos para isso fragmentos dos protocolos
dessa atividade.
No sétimo encontro, na atividade 6B foi proposto que os alunos
construíssem um gráfico com a quantidade de cada tipo de docinho consumido
pelos alunos, utilizando as informações contidas no banco de dados
ATDOCE.TDB.
A partir da construção do gráfico pelos alunos, foram trabalhadas questões
relativas à leitura e interpretação do gráfico e, também, de média. O item que
consideramos como extrapolação da leitura de gráficos, exigia que o aluno fizesse
uma previsão, qual seja: “Se o Imaginário chegasse na classe, qual seria o
docinho escolhido por ele?”
Nesta atividade, os alunos testaram diferentes variáveis nos eixos vertical e
horizontal, procurando obter um gráfico que auxiliasse na resolução das questões
propostas. Entretanto, após a discussão em grupo sobre o que havia sido
proposto, todos os grupos construíram um gráfico semelhante ao apresentado a
seguir:
184
Figura 5.23: Gráfico gerado pelo grupo-08 na Atividade 6B
Alguns grupos optaram por indicar “alunos” no eixo vertical e “doce” no eixo
horizontal. Mas, considerando que nossa análise para esta atividade focou a
questão da extrapolação, observamos que embora tenhamos trabalhado durante
os últimos cinco encontros com leitura e interpretação de gráficos e conceito de
média aritmética, os alunos utilizaram-se do conceito de moda para realizar a
previsão solicitada no item “2f” da atividade 6B, como pode ser observado pelo
fragmento da transcrição de uma discussão ocorrida em um dos grupos:
Al-18: Eu acho o beijinho. O que eu contei, né, o beijinho tem
mais!!
Al-22: Eu preferia brigadeiro
Al-23: Eu também
Al:18: Se o Imaginário chegasse na sala qual o docinho que ele...
Al-22 e Al-23: Brigadeiro
Al-22: Porque é mais gostoso!!!
Analisando o fragmento, notamos que as alunas realizaram a previsão
de duas formas distintas. A Al-18 usou os dados apresentados no gráfico,
considerando que o beijinho poderia ser o doce escolhido pelo Imaginário,
justificou por ser este o doce mais consumido, de acordo com o gráfico de dupla
185
entrada, o que demonstra que a aluna utilizou-se do conceito de moda para
realizar a previsão solicitada.
Por outro lado, as alunas Al-22 e Al-23 tomaram por base suas
experiências pessoais ao considerarem que o doce a ser escolhido pelo
Imaginário seria o brigadeiro, por ser o mais gostoso.
Ao se fundamentarem em suas experiências, as alunas também
utilizaram o conceito de moda para fazerem a previsão, visto que optaram pelo
brigadeiro por ser o “mais gostoso”, pois tratou-se de uma escolha centrada na
moda a partir do universo dos alunos do grupo.
Figura 5.24: Resposta ao protocolo do grupo-02 na Atividade 6B
A seguir, apresentamos o protocolo de um outro grupo que também
mostrou, ainda que, intuitivamente, o conceito de moda, apoiando-se, nos dados
apresentados no gráfico:
Figura 5.25: Resposta ao protocolo do grupo 05 na Atividade-6B
Pela resposta apresentada na Figura 5.25, notamos que os alunos desse
grupo, assim como outros, também, empregaram o conceito de moda para fazer a
186
previsão proposta na atividade. Entretanto tomaram por base os dados do gráfico,
que apresentava maior quantidade de beijinhos.
5.3.2. Análise Relativa ao Conceito de Média Aritmética
Nesta seção, faremos à análise qualitativa, referente às questões
trabalhadas sobre média aritmética. A seguir, apresentamos o quadro que indica
as categorias definidas para a análise dos resultados relativos à média aritmética.
Quadro 5.11: Estrutura da análise qualitativa para média aritmética.
CONTEÚDO MATEMÁTICO
CATEGORIAS
CONCEPÇÃO
PREVISÃO
SOMA DOS VALORES DA VARIÁVEL E
QUANTIDADE DE VALORES
PROPRIEDADES
INVARIANTES OPERATÓRIOS
MÉDIA
ARITMÉTICA
ITENS DO PRÉ e PÓS-TESTE → Itens X
ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO → At. X
At. 3C, 3D e 5A
Itens 1c, 2e, 3d
At. 2B, 5A
Item 3d
At. 5A
Item 1e
At. 5A
187
5.3.2.1. Concepções atribuídas à média
Após os resultados obtidos no pré e no pós-teste, passamos a analisar
qualitativamente as respostas fornecidas pelos alunos do GE, no que se refere às
concepções de média.
Inicialmente, fizemos um levantamento de todos os tipos de respostas
para, em seguida agrupá-las, classificando por categorias. A seguir, descrevemos
as categorias de respostas usadas para esta análise.
CONCEPÇÃO DE MÉDIA APRESENTADA PELOS ALUNOS DO GE
Legenda Descrição da Categoria
SVC
Respostas que os alunos consideraram a média como Soma dos Valores do Conjunto.
VC
As respostas em que os alunos apresentam uma concepção próxima do conceito de mediana, procurando um Valor Central para representar o conjunto de dados.
SVC/2
Respostas nas quais os alunos consideraram a média como (Soma dos Valores do Conjunto)/2
MA
Respostas nas quais os alunos identificam os invariantes: soma dos valores do conjunto e o número total de valores do conjunto, relacionando-os ao algoritmo da Média Aritmética, ainda que apresentassem erro quanto à leitura de gráficos/operações.
O
Respostas que não se encaixavam em nenhuma das categorias anteriores, dentre elas: ponto de mínimo, ponto de máximo, ou sem justificativa, foram classificadas como Outras.
Quadro 5.12: Categorias de análise das concepções de média apresentadas
pelos alunos do GE.
Tomando por base as categorias das concepções de média descritas no
Quadro 5.12 apresentamos a tabela com a freqüência das respostas dos alunos
do grupo experimental em cada uma delas nos itens “1c”, “2e” e “3d” do pré-teste
e do pós-teste.
188
CONCEPÇÃO DE MÉDIA DOS ALUNOS DO GE NO PRÉ E NO PÓS-TESTE
Categoria SVC VC SVC/2 MA O
Itens Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós
1c 07 10 05 01 00 00 00 07 11 05
2e 07 01 00 00 02 00 00 15 14 07
3d 08 03 01 01 02 00 00 12 12 07
Total (69) 22 14 06 02 04 00 00 34 37 19
Total (%) 31,8 20,3 8,7 2,9 5,8 0 0 49,3 53,5 27,5
Tabela 5.4: Concepções de média apresentadas pelos alunos do GE no
pré e no pós-teste
Pelos dados da Tabela 5.4, observamos que nos três itens que exigiam
a determinação da média, a maioria dos alunos (31,8%) apresentou no pré-teste a
concepção de média como soma dos valores do conjunto.
Segundo Stella (2003), esta concepção foi também apresentada por
50% dos alunos da 8a série do Ensino Fundamental que realizaram provas do
SAEB(2001).
Entretanto, após a fase de intervenção de ensino, percebemos
diminuição (de 22 para 14) no número de respostas mostrando a concepção de
média como soma dos valores do conjunto (SVC) e um aumento significativo (de
0 para 34) nas respostas com a concepção de média, na qual os alunos
passaram a utilizar a soma dos valores do conjunto e o número total de valores,
relacionando-os com o algoritmo da média aritmética (MA).
189
Considerando os resultados do pré-teste, verificamos que 31,8% dos
alunos já indicavam um dos invariantes necessários para a determinação da
média: soma dos valores do conjunto. No entanto, seria preciso que eles
identificassem outro invariante envolvido no conceito de média aritmética: número
total de valores do conjunto.
Desse modo, consideramos que o uso da estratégia de redistribuição
dos dados para trabalhar inicialmente a situação de quantidade eqüitativa poderia
favorecer a identificação dos dois invariantes envolvidos no conceito de média
aritmética.
Para Vergnaud (1993), o reconhecimento dos invariantes é essencial
para formação do conceito. Assim, ao utilizar o conhecimento prévio apresentado
pelo aluno para introduzir o conceito de média aritmética, decidimos trabalhar com
a estratégia de redistribuição que, segundo Lopes (1998), é proposta também
pelo currículo francês para crianças de faixa etária semelhante às do presente
estudo.
A seguir, mostramos o protocolo de uma aluna que ilustra o tipo de
resposta classificada como SVC, na Tabela 5.4.
Figura 5.26: Resposta ao protocolo de Al-23 no item “1c” pré-teste
190
Analisando a resposta dada pela Al-23 no pré-teste, verificamos que,
inicialmente, ela apresentava a concepção de média como soma dos valores da
variável, visto que descreve explicitamente a soma dos valores dos três meses
apresentados no gráfico e conclui que o resultado desta soma é a venda média
mensal.
Outra concepção de média apresentada, inicialmente, pelos alunos,
pode ser ilustrada pelo fragmento do protocolo que apresentamos a seguir:
Figura 5.27: Resposta ao protocolo de Al-12 no item “1c” do pré-teste
O protocolo do pré-teste apresentado na Figura 5.27, ilustra uma das
respostas classificadas na categoria VC - Média como valor central. Analisando a
resposta do aluno Al-12 no item “1c”, notamos que embora tenha indicado “A
resposta de seu rui que é de Fevereiro” que considera uma venda média mensal
de seis minigames, entendemos que o aluno tinha a concepção de média como
mediana, visto que ao justificar sua resposta descreve a venda realizada nos três
meses, destacando que “o do meio é 6”, o que parece ter feito sua escolha em
função da ordem dos valores apresentados no gráfico.
A seguir, destacamos alguns protocolos e fragmentos das discussões
realizadas no decorrer do segundo encontro, para exemplificar as situações de
191
quantidade eqüitativa, nas quais os alunos empregavam a estratégia de
redistribuição dos dados do conjunto.
Na atividade 2A, os alunos construíram o gráfico de freqüência usando o
banco de dados ANIVBALA.TDB. A seguir, mostramos a tabela do banco
ANIVBALA.TDB fornecida por nós e o gráfico construído por um dos grupos, com
base no qual foram propostas as questões sobre leitura do gráfico.
Figura 5.28: Tabela ANIVBALA.TDB e gráfico ANIVBALA.TT construído pelo grupo 05
Após trabalhar a leitura do gráfico, na atividade 2B propusemos uma das
situações que envolveram a média como quantidade eqüitativa. Assim, a questão
foi: “Como ficaria o gráfico se cada aluno ficasse com a mesma quantidade de
balas? Construam esse gráfico. Salvem-no como ANI-JOÃO.TT.”
A atividade proporcionou um momento muito rico de discussão entre os
alunos de todos os grupos. Ao passar pelos grupos, percebemos que dois deles
afirmavam que cada uma das crianças deveria receber cinco balas, porém, não
sabiam como “dar” estas balas às crianças, visto que na tentativa de mudar a
192
posição da bala de uma criança para a outra, esta retornava para sua posição
inicial. Os demais grupos não comentavam sobre quantas balas cada criança
deveria receber, mas também tentavam passar as balas de uma criança para
outra, arrastando os ícones no próprio gráfico.
A tentativa de alterar a posição das balas no gráfico foi descoberta pelos
alunos, que parecem ter se apoiado na alteração das categorias (alunos), que
eles já haviam trabalhado na atividade 2A. A situação proposta na atividade 2B
parece ter sido desafiadora, visto que percebemos o envolvimento dos alunos na
pesquisa dos recursos do Tabletop, ainda não conhecidos, para solucionar o
problema proposto.
A seguir, apresentamos a transcrição de um fragmento da gravação feita
no decorrer do segundo encontro, quando os alunos realizavam a atividade 2B,
assim, podemos observar a procura de recursos do Tabletop para resolução da
questão proposta.
P: O que vocês estão fazendo para que Pâmela, Camila, Artur e
João recebam a mesma quantidade de balas?
Al-18: Eu sei! A gente clica é aqui.... é na balinha....
P: A balinha mexe?
Al-18, Al-22, Al-27: Mexe!
P: E aí? Então vocês vão dar a balinha pro João?
Al-18, Al-22, Al-27: Não dá! Ela volta!
P: Não dá? Mas o João quer mais balinhas! O que podemos fazer?
Neste momento, os alunos estavam manipulando os dados
apresentados no próprio gráfico, tentando refazê-lo. Para isso, tentavam passar a
bala de uma das crianças a outra. Alguns grupos tentaram, inclusive, mudar a
criança da qual iriam retirar a bala, para resolver o problema, ou seja, procuraram
193
transferir a bala de “Artur” que voltava, buscaram, então, transferir a bala de
“Pâmela”, que, também, voltava.
Em outro momento, os alunos do grupo dez que demonstravam grande
satisfação, pois pensavam ter conseguido resolver o problema nos chamaram,
conforme ilustramos no fragmento seguinte:
Al-4: Rosana! Apertando duas vezes na balinha aparece a Pâmela
e a gente apaga.
P: Entendo!!! E como vocês apagam aí?
Al-8: Conseguimos!!!
Al-4: Ichi! Não dá!
Al-3: Aperta o delete
O aluno Al-4 tenta apagar o nome “Pâmela" usando o delete várias
vezes, mas não consegue, pois ao clicar duas vezes em cima do ícone o que
aparece é uma janela com as informações contidas no banco de dados sobre
este ícone, que só se modificam com base nas alterações realizadas no banco de
dados, isto é, na tabela.
Outros grupos também haviam percebido que, ao clicar duas vezes na
bala, aparecia o nome da criança e, então, queriam alterar aquele nome. Apesar
de pesquisarem os diversos recursos oferecidos pelo Tabletop, para solucionar a
questão, era necessário que notassem que os dados representados no gráfico
eram originários dos dados da tabela. Nesse momento, consideramos pertinente
uma intervenção, conforme descrito no fragmento seguinte:
P: Bem: Vamos clicar duas vezes na balinha da Pâmela?
Al- (vários): Vamos!
P: O que aconteceu?
194
Al- (vários): Apareceu Aluno: Pâmela
P: Entendo! Então, essa balinha é de quem?
Al- (vários).: É da Pâmela
P: Se ela é da Pâmela, por que ela não vai para João?
Al-22: ela vai..., mas ela volta!
P: Por que ela volta?
Al-22: Porque ela não quer dar
Al-06: Porque ela acha que tem pouca!
No fragmento acima, notamos que, embora os alunos tenham clicado
duas vezes no ícone e percebido a quem a bala pertencia, eles justificaram o
retorno da bala à sua posição inicial baseados em suas experiências pessoais.
Verificamos que, pesquisando diversas estratégias para solucionar a questão,
eles apresentavam certa dificuldade para estabelecer uma relação entre
representação gráfica e tabular, o que pode ter ocorrido pelo fato das informações
não terem sido coletadas por eles.
Houve muitas e muitas tentativas dos alunos para mudar as balas no
próprio gráfico, até que, em um determinado momento, o aluno Al-30 do grupo
cinco percebeu a necessidade de retornar à tabela, conforme descrito no seguinte
fragmento:
P: E então? Pra que a bala de Pámela vá para João e não volte, o
que tem que acontecer?
Al-30: Tem que ir na tabela.
Al-08: Ah, já entendi! Tem que ir na tabela, apagar. Mudar o nome
e colocar Camila.
Após essa discussão, os alunos voltaram à tabela para alterar a
quantidade de balas por aluno, fazendo sua redistribuição entre os alunos.
195
Entendemos que esta situação proporcionou uma motivação intrínseca
aos alunos em função de sua participação em uma experiência significativa, na
qual foram desafiados a encontrar a relação entre tabela e gráfico, já que a
pesquisadora não ofereceu a informação necessária, mas discutia as alternativas
apresentadas. Em nossa análise, consideramos esta situação como um
experimento do método da descoberta de Bruner.
A redistribuição foi feita de forma diferente pelos grupos, pois só três
grupos, notaram que Pâmela e Artur precisariam apenas fornecer balas e não
receber. Entretanto, os demais grupos foram distribuindo as balas de “Pâmela” e
“Artur” para “Camila” e “João”, que acabaram ficando com mais balas, precisando
devolver algumas, posteriormente.
A seguir, apresentamos um dos gráficos construídos após a
redistribuição dos dados realizada na tabela.
Figura 5.29: Gráfico de freqüência construído pelo grupo 05 na atividade 2A
196
A Figura 5.29 mostra um gráfico construído pelos alunos, após a
redistribuição, no qual puderam observar e determinar a quantidade recebida por
criança, caso coubesse a todas a mesma quantidade, ou seja, a quantidade
eqüitativa, que foi identificada como média aritmética.
No decorrer do quinto encontro, durante a realização da atividade 5A,
verificamos diferentes concepções de média apresentadas pelos alunos
participantes do estudo. Nesta atividade, o banco de dados ATNENA.TDB,
fornecia a quantidade de salgadinhos consumida por seis alunos, cuja soma era
42.
A seguir, apresentamos os fragmentos das discussões ocorridas em dois
grupos, no que se refere à questão: ”Qual a quantidade média de salgadinhos
consumida pelos alunos desse grupo?”
Após a construção do gráfico de freqüência ATNENAF.tt, um dos grupos
havia indicado a soma dos salgadinhos dos seis alunos (42) apresentada no
gráfico como resposta para a média solicitada. Nesse momento, buscamos
questioná-los, e apresentamos a seguir o fragmento da discussão ocorrida:
P: O que vocês entenderam por média?
Al-11: É 42
P: O que é o 42?
Al-11: é o total
Analisando a fala do aluno Al-11, foi possível observar que no encontro,
o mesmo tinha a concepção de média como soma dos dados da variável, visto
que apresenta 42 como média, e, ao ser questionado sobre “o que é o 42?”,
identifica o valor como sendo o total.
197
No mesmo encontro, notamos que outros grupos já possuíam outra
concepção de média. Ao presenciar a discussão dos alunos de um dos grupos,
que havia encontrado sete como média nessa questão, questionamo-los, para
melhor compreender o caminho percorrido. A seguir, apresentamos o fragmento
da outra discussão:
P: A média, vocês estão me dizendo que seria sete.
P: Como é que a gente obtém a média de salgadinhos por aluno
desse grupo?
Al-04: Eu peguei as crianças todas aí eu peguei o total. Aí é 42. Aí
dá pra ver quanto vai da pra cada uma.
P: Por que você quer ver quantas cada uma vai ganhar?
Al-03: Pra saber a média.
P: Então, o que é a média?
Al-03: A média é a quantidade que todo mundo vai receber igual.
Pela fala dos alunos desse outro grupo, entendemos que a quantidade
sete determinada inicialmente (Al-04), parece ter se baseado na situação de
média como algoritmo, cuja situação já havia sido trabalhada na atividade quatro
no quarto encontro. Entretanto, ao questionar o grupo, “por que você quer ver
quantas balas cada um vai ganhar?”, a resposta dada pela aluna “pra saber a
média” e a explicação dada “a média é a quantidade que todo mundo vai receber
igual” parece indicar que a aluna Al-03 pode ter encontrado a média sete,
baseando-se nas situações de quantidade eqüitativa, que também já havia sido
trabalhada em outras atividades.
Dentre as respostas do pós-teste, apresentamos a seguir o fragmento do
protocolo da aluna Al-22 classificado como MA:
198
Figura 5.30: Resposta ao protocolo de Al-22 no item “3d” no pós-teste
Analisando a resposta da aluna, notamos que ela explicita cada um dos
invariantes identificados: soma dos valores do conjunto “então, eu peguei o total
que é 35” e o número de dados do conjunto “pelo dia da semana que é 5”,
demonstrando dar um significado a esses valores.
Ao analisar o protocolo da Al-22, observamos que a aluna escolhe
corretamente a variável (dias) para realizar a mediação solicitada. Assim,
entendemos que ela parece ter estabelecido uma relação entre “média diária” e a
variável “dias”, ao explicitar em sua resposta “dividir pelo o dia da semana que é
5”
Nesta questão, os dados estavam representados no gráfico de dupla
entrada que continha duas variáveis: agasalhos no eixo vertical e dias no eixo
horizontal. Assim sendo, neste tipo de gráfico, a quantificação do número total de
dados poderia ser feita, tanto no eixo vertical como no horizontal. Observamos
que, neste tipo de gráfico, a escolha da variável pela qual a soma dos dados
deveria ser distribuída, parece não se consistir em uma tarefa fácil, visto que dois
alunos apresentaram no pós-teste o seguinte tipo de resposta classificada como
O:
199
Figura 5.31: Resposta ao protocolo de Al-06 no item “3d” do pós-teste
A aluna Al-06 havia mostrado no pré-teste uma concepção de média
como soma dos valores do conjunto. Observando sua resposta no pós-teste, é
interessante destacar que, apesar da resposta apresentar-se incorreta em função
do que foi solicitado, parece ter ocorrido uma mudança na concepção de média
para esta aluna.
Para Al-06, a soma dos valores do conjunto compreendido como média
no pré-teste, passa a ser reconhecida como um dos invariantes necessários para
a determinação da média aritmética no pós-teste.
Desconsiderando o não acerto na leitura do gráfico (o total de agasalhos
era 35), observamos que a dificuldade apresentada pela aluna em relação à
determinação da média, consistiu na identificação da variável, pela qual a
distribuição dos dados deveria ser feita: “porque eu fiz tem quatro coisas para
doar”. A aluna compreendeu a necessidade de uma totalização dos dados para
realizar a distribuição, entretanto parece ter encontrado dificuldade na
interpretação da questão: “Qual a média diária de agasalhos trazidos nesta
semana?”, que pode estar relacionada ao tipo de gráfico, por apresentar
variáveis, tanto no eixo horizontal como no vertical, diferente do gráfico de
freqüência.
200
Apoiados, nas discussões feitas nesta seção, percebemos que as
diferentes situações apresentadas utilizando os distintos tipos de representação
ao longo da intervenção de ensino parecem ter favorecido o desenvolvimento de
diferentes concepções de média desses alunos. Observamos que a média
aritmética vista, inicialmente, como um valor absoluto no momento do pré-teste,
passa a ser observada como um valor relativo, entre soma dos valores do
conjunto e o número total de valores, no pós-teste.
5.3.2.2. Invariantes Operatórios da Média Aritmética
As diversas situações trabalhadas durante a intervenção de ensino,
exigiram dos alunos a identificação dos distintos invariantes envolvidos no
conceito de média. Nesta seção, apresentaremos algumas discussões ocorridas
no decorrer da intervenção, nas quais notamos o reconhecimento desses
invariantes pelos alunos, destacando as propriedades C, F e G de média
aritmética propostas por Strauss e Bichler (1988).
• PROPRIEDADES C E F DE MÉDIA ARITMÉTICA
Na atividade 3D32 trabalhada no quarto encontro, foi proposta aos alunos
uma situação, na qual deveriam alterar um dos dados do conjunto representado
no gráfico para, na seqüência, determinar a média desse novo conjunto de dados.
Nesta atividade, retomamos a propriedade C da média aritmética que já havia
sido introduzida na atividade anterior: “A média é influenciada por valores
32 Nesta atividade, a soma dos dados do conjunto era 8 e o número total de dados era 4, e o valor de um desses dados era 0. (Paula – 0 balas) Quanto à atividade 3C, a soma dos dados do conjunto era 12 e o número total de dados era 4.
201
diferentes da média”. Entretanto, ao diminuir o valor de um dos dados na
atividade 3D, este valor passou a ser zero e, assim, introduzimos a propriedade F:
“Quando se calcula a média, o valor zero, se aparecer deve ser considerado”.
A seguir, apresentamos um fragmento da discussão ocorrida no decorrer
da realização desta atividade, na qual os alunos tentavam determinar a média do
conjunto de dados, cujo valor de um dos dados era zero, sendo solicitada a
determinação da média de balas por aluno desse grupo:
Al-08: Qual o total de balas do grupo?
Al-02, Al-04: Oito, oito.
Al-02: Eu que faço. Qual o total de alunos do grupo?
Al-03 e Al-02: Quatro.
Al-08: Não, mas sem contar.. A é! Mas não sei se agora conta com
a Paula ou não!!!
Al-02: Conta com a Paula, ela ainda está no grupo.
Al-08: O tia!! Aqui a gente conta com a Paula ou sem a Paula?
P: O que você acha [Al-08]?
Al-08: Eu acho que é sem a Paula.
Analisando a discussão transcrita, verificamos que os alunos Al-03 e Al-
02 incluíram o dado de valor nulo para determinar o total de crianças do grupo
que afirmam ser “quatro”. Entretanto, a Al-08 discordando dos colegas,
questionou sobre a inclusão ou não de “Paula”, para obter o total de crianças;
segundo esta aluna o dado de valor nulo não entraria para determinar o total de
crianças do grupo: “Eu acho que é sem Paula”.
O questionamento da Al-08 deu-se em função do não entendimento de
uma das propriedades da média: “Quando se calcula a média, o valor zero, se
202
aparecer deve ser considerado”, e, neste caso, “Paula“ era um dos dados do
conjunto cujo valor era zero.
A seguir, destacamos a continuidade da discussão desse grupo de
alunos, na qual observamos a argumentação dos colegas na tentativa de
convencer a aluna Al-08 sobre a quantidade total de crianças que deveria ser
usada para a determinação da média.
Al-02 e Al-03: Mas, ela continua no grupo!
P: O que aconteceu com a Paula [Al-08]? Ela continua ou não no
Grupo?
Al-08: Não
Neste momento, solicitamos aos alunos desse grupo que explicassem
porque consideravam quatro, como total de crianças nesta questão.
Al-02: Porque ela não saiu do grupo. Ela simplesmente guardou
para os irmãos dela todas as balas. Ela não saiu do grupo.
Al-08: Concordo....
Apesar dos colegas tentarem convencer a aluna Al-08, ela parecia sentir
dificuldade para compreender porque “Paula” continuava no grupo, visto que ao
ser questionada sobre a continuidade ou não de “Paula” no grupo, inicialmente,
ela afirmou que “não”. Entendemos aqui que a aluna Al-08 parece ter associado o
valor do dado – quantidade de balas - (0) ao próprio dado (Paula), já que a Al-08
teve um início de concordância para considerar que “Paula” não havia saído do
grupo, só após a argumentação do Al-02: “Ela, simplesmente, guardou para os
irmãos dela todas as balas. Ela não saiu do grupo”. Nesta explicação, o Al-02
parece ter tido a intenção de fazê-la compreender que a quantidade de balas de
203
“Paula” era zero, mas, “Paula” fazia parte do grupo e deveria ser contada como
uma das crianças do conjunto.
Apoiando-se nesta análise, percebemos a influência da compreensão
das propriedades da média aritmética na construção desse conceito, que,
segundo Strauss e Bichler (1988), o conhecimento das propriedades de média
pelo sujeito denota o domínio do conceito.
Nesta situação, salientamos que para determinação do invariante -
número total de valores do conjunto - era necessário que o aluno percebesse,
também, outro invariante: “Quando se calcula a média, o valor zero, se aparecer
deve ser considerado”. O não reconhecimento desse último invariante pode levar
o aluno a determinação incorreta do número total de valores do conjunto, e,
conseqüentemente, à determinação incorreta da média.
Neste mesmo encontro, também, foi trabalhada a propriedade C: “A
média é influenciada por valores diferentes da média” Na atividade 3D,
solicitamos que os alunos discutissem sobre o que havia ocorrido com a média
obtida, pois houve a redução do valor de um dos dados do conjunto. A seguir,
apresentamos o fragmento de uma das discussões, no qual observamos a
identificação da propriedade C por parte dos alunos do grupo:
Al-03: O que que aconteceu com a média?
Al-02: diminuiu
Al-04: Abaixou...
P: Por que será...[os alunos interrompem]
Al-08: Porque tava 3 e agora tá 2.
Al-04: Porque a Paula não tem mais..
204
Pela discussão apresentada neste fragmento, notamos que os alunos
desse grupo perceberam que, com a redução do valor de um dos dados, a média
também seria reduzida. Pela justificativa da Al-08, “Porque tava 3 e agora tá 2”,
parece que a aluna baseia-se na comparação entre média anterior e atual, para
justificar a diminuição ocorrida de uma para outra. Mas, na fala de Al-04 “Porque a
Paula não tem mais”, o aluno pode ter associado o fato de “Paula” não ter mais
balas à diminuição da soma dos valores do conjunto o que, conseqüentemente,
diminuiria a média nesta situação, visto que a quantidade de dados do conjunto
não tinha sido alterada.
• PROPRIEDADE G – Média como Valor representativo
Na atividade 5A, os alunos construíram o gráfico de freqüência
ATNENAF33.tt, a partir do qual foram solicitados a determinar a média de
salgadinhos consumidos por aluno.
Após a determinação da média (que era 7), foi proposta, dentre outras, a
seguinte questão: “Se for possível fazer a previsão, quantos salgadinhos, ela
precisará fazer para uma classe com 30 alunos?” A seguir, descrevemos
fragmentos da discussão ocorrida no grupo 10, na qual observamos o caminho
percorrido pelos seus componentes para realizar esta previsão:
Al-03: 42 salgadinhos para 30 alunos ainda vai sobrar....
Al-08: Ah! Pode sobrar para a outra festa...
P: Mas não tem gente que come mais de um salgadinho?
Al-08: Tem...
P: E então? Como é que faz...
Al-08: Aí pode colocar outro número no lugar do 42. Não precisa
colocar 42. Podia ser 90! Vai dar 3 para cada um...
33Neste gráfico, a soma dos salgadinhos era 42, e, a quantidade de alunos, seis.
205
Analisando a fala da Al-03, percebemos em uma primeira tentativa de
fazer a previsão que a aluna considera a quantidade de salgadinhos consumida
por seis crianças pode ser também usada para uma festa com 30 crianças. Ela
parece considerar que cada criança recebe um salgadinho e, ainda, sobra.
Entretanto, ao questioná-los sobre a possibilidade do consumo de
salgadinhos ser maior que um, a aluna Al-08 sugere aumentar a quantidade de
salgadinhos e determinar a média por aluno: “Podia ser 90! Vai dar três para cada
um ...” Entendemos que a aluna baseou-se nas relações envolvidas na
propriedade C de média aritmética para solucionar a questão, por ter observado
que, para aumentar a média de salgadinhos por aluno, ela deveria aumentar a
quantidade de salgadinhos. Na continuidade da discussão, os alunos continuam
fazendo tentativas nesse sentido, conforme podemos notar no fragmento
seguinte:
P: E o aluno que come mais de 3 salgadinhos, como é que fica?
Al-08: É... 200! [a aluna al-08 faz 200 : 30, e a al-03 faz 180: 30]
Al-03: dá 6 pra cada um!
Analisando as falas das alunas Al-08 e Al-03, observamos que, para
realizar a previsão solicitada, elas aumentavam o total de salgadinhos buscando
encontrar a média (7) ao invés de utilizá-la diretamente. Assim, a compreensão da
propriedade C de média aritmética parece auxiliar no entendimento da
propriedade G. Esta situação pode ter favorecido o reconhecimento da
propriedade G de média aritmética que, segundo Strauss e Bichler (1988), é
considerada o aspecto central da média.
206
No decorrer da realização desta atividade, um dos alunos do grupo, o Al-
04, sugeriu multiplicar 200 por 30 e ao apresentar 6.000 como resultado a Al-03
discordou do colega:
Al-08: Não!!!! Isso não!!!
Com essa discordância da aluna Al-03, em relação ao resultado obtido
pelo colega, parece que ela percebeu certa incoerência entre o resultado obtido e
a situação proposta. Assim, percebemos que os alunos ao refletirem sobre a
situação, buscam estratégias diversas, mas procuravam também validá-las para
que façam algum sentido.
O caminho percorrido pelas alunas mostra que o entendimento da
propriedade G, parece não ser tão simples para esta faixa etária. Mostra também
a possibilidade de trabalharmos questões de inferência com alunos das séries
iniciais, visto que observamos neste fragmento que os alunos procuram uma
relação coerente entre o resultado obtido e a situação proposta.
Este tipo de situação trabalhada, na fase de intervenção, pode ter
favorecido o entendimento dessa propriedade, já que obtivemos no pós-teste,
respostas na questão “1e”, nas quais alguns alunos chegaram a empregar a
média como valor representativo do conjunto de dados para realizar a previsão
proposta nesse item, conforme protocolo, a seguir:
Figura 5.32: Resposta ao protocolo de Al-23 no item “1e” no pós-teste
207
A resposta apresentada pela aluna Al-23, leva a entender que ela usou a
média como um valor representativo do conjunto de dados. Além disso, ao somar
8 (média anterior) a soma dos valores do conjunto (24), ela demonstra ter
compreendido a propriedade C da média aritmética, observando que, ao
acrescentar um novo dado (abril), para manter a mesma média, o dado a ser
acrescentado, deveria ter o mesmo valor da média anterior.
Com base nestas análises, observamos que a utilização das diferentes
situações propostas no decorrer da intervenção de ensino proporcionou aos
alunos a articulação entre o conjunto de invariantes e das representações
simbólicas do conceito de média aritmética, o que segundo Vergnaud (1993)
contribui para a construção de um conceito significativo.
Diante da análise apresentada, passaremos ao capítulo VI que trata da
conclusão do presente trabalho.
CAPÍTULO VI
CONCLUSÃO
6.1. Introdução
A presente pesquisa teve por objetivo investigar a introdução do conceito
de média aritmética, com base no uso de gráficos, em alunos da 4ª série do
Ensino Fundamental. Para isso, desenvolvemos uma intervenção de ensino com
apoio do ambiente computacional, no qual usamos o software Tabletop. Com
vistas a atingir nosso objetivo, planejamos um percurso, descrito no Capítulo I, o
qual teve início com a apresentação dos motivos que nos levaram a elaborar esta
pesquisa, bem como a delimitação da problemática, dos objetivos e a questão de
pesquisa a ser investigada.
Definida nossa questão de pesquisa, no capítulo II procedemos a uma
discussão sobre a média dos pontos de vista epistemológicos e históricos, para,
em seguida, descrevermos as principais medidas de tendência central: Média
aritmética, Mediana e Moda. Na seqüência, buscamos subsídios teóricos que
pudessem nos auxiliar, tanto na elaboração do experimento como em sua análise.
Ao trabalhar o conceito de média, utilizando as representações gráficas,
209
consideramos dois objetos de estudo: conceito de média aritmética e leitura e
interpretação de gráficos.
Quanto ao conceito de média aritmética, destacamos o estudo realizado
por Strauss e Bichler (1988), cujo objetivo foi determinar o desenvolvimento da
compreensão de sete propriedades de média aritmética em crianças de 8, 10, 12
e 14 anos. A escolha das sete propriedades relaciona-se ao fato de que estas
exploram três aspectos do conceito de média aritmética, a saber: o estatístico, o
abstrato e o aspecto representativo de um grupo de valores individuais. Esse
estudo ofereceu subsídios para elaborarmos as atividades de intervenção, nas
quais abordamos cinco das sete propriedades de média aritmética usada por
esses autores.
No que se refere à leitura e interpretação de gráficos, usamos os níveis
de compreensão de gráficos segundo a perspectiva de Curcio (1987), quais
sejam: “ler os dados” (nível I), “ler entre os dados” (nível II) e “ler além dos dados”
(nível III).
O primeiro nível refere-se a questões simples que requerem a extração
dos dados que se encontram explícitos no gráfico. As questões do segundo nível
solicitam a interpretação e integração dos dados extraídos do gráfico, envolvendo
o uso de conceitos matemáticos. Por fim, as questões do terceiro nível, exigem a
realização de previsões e inferências apoiadas nos dados sobre as informações
que não são observadas diretamente no gráfico.
No Capítulo III, apresentamos a fundamentação de nosso estudo,
pautada na Teoria dos Campos Conceituais, proposta por Vergnaud, que define
conceito como uma terna de conjuntos: C=(S, I, R), e S é um conjunto de
210
situações, I um conjunto dos invariantes operatórios e R um conjunto de
representações simbólicas.
Apoiando-nos na definição de Campo Conceitual apresentada por
Vergnaud consideramos Tratamento da Informação, como um Campo Conceitual
e especificamos os elementos da terna C=(S, I, R) envolvidos para cada um dos
dois objetos de estudo: conceito de média aritmética, leitura e interpretação de
gráficos.
Destacamos as idéias de Bruner (1978) no que se referem à
organização do currículo em espiral, e ao método da descoberta no qual o
professor deve desafiar os alunos, incentivando-os à procura de sua motivação
intrínseca.
De posse do nosso quadro teórico definido, assim como das leituras
sobre as pesquisas relacionadas ao presente estudo, traçamos a metodologia do
trabalho de campo (Capítulo IV), a qual se constituiu de três fases: na primeira,
aplicamos o pré-teste em dois grupos pesquisados – o grupo experimental (GE) e
o grupo controle (GC) –; na segunda, realizamos uma intervenção de ensino
apenas com o GE e na terceira fase os dois grupos GE e GC foram submetidos
ao pós-teste.
A intervenção de ensino realizada com o GE baseou-se na resolução de
problemas propostos por meio de fichas de atividades, todas elaboradas para
serem desenvolvidas em ambiente computacional, utilizando o Tabletop, um
software educacional que consiste em um pacote estatístico destinado à
organização e manipulação de dados.
211
O Tabletop permite inserir etapas de construção e análise do banco de
dados. Os dados são organizados, inicialmente, na representação tabular
podendo ser tratados e visualizados sob diferentes representações gráficas. O
GC não teve intervenção em ambiente computacional, entretanto a professora da
classe abordou o conceito de média aritmética, seguindo o cronograma normal de
seu planejamento.
Concluído o estudo de campo, procedemos à análise dos dados,
apoiando-nos nas respostas dos alunos às questões do pré-teste, pós-teste e das
atividades realizadas na intervenção de ensino, assim como das transcrições de
discussões ocorridas durante a segunda fase do estudo e dos arquivos
eletrônicos construídos no decorrer das atividades desta fase.
Pautados no conjunto dessas análises, chegamos à conclusão do
estudo. Por isso, consideramos conveniente retomar a análise, apresentando uma
síntese dos resultados, tanto no que diz respeito à média aritmética quanto à
leitura e interpretação dos gráficos para, em seguida, responder às questões de
pesquisa que impulsionaram nosso estudo. Fecharemos este capítulo olhando
para o futuro e, assim, a partir da nossa conclusão, será possível propormos
estudos que possam avançar no tema aqui estudado.
6.2. Síntese dos Principais Resultados
Para destacar os principais resultados deste estudo, dividimos esta seção
em duas partes. A primeira descreverá os resultados referentes ao conceito de
212
média aritmética e a segunda, os resultados referentes, à leitura e interpretação
de gráficos.
6.2.1. Média Aritmética
Considerando a complexidade do conceito de média aritmética e sua
intrínseca relação entre saberes da vida cotidiana e “saberes eruditos”, como
destacam Lavoie e Gattuso (1998), fazer dialogar estes universos constituí-se em
uma importante etapa aos alunos nesta fase de escolarização. Diante da
novidade deste conteúdo para esse grupo de alunos, percebemos que o ambiente
computacional constituiu-se em um universo interessante e capaz de estimular a
participação nas atividades de intervenção de ensino.
Quanto à concepção do conceito de média aritmética, observamos que
31,8% dos alunos apresentaram no pré-teste uma concepção de média, como
soma dos valores do conjunto. Após a intervenção de ensino, constatamos que
49,3% dos alunos passaram a utilizar esta soma como um dos invariantes
necessários à determinação da média. É importante destacar que, embora os
alunos apresentem erros de cálculo, o que se apreendeu desse fato é que eles
passaram a mostrar a concepção de média aritmética, como uma relação entre a
soma dos valores do conjunto e o total destes valores.
Quanto às propriedades da média aritmética, no decorrer da intervenção
de ensino, observamos que a maior dificuldade dos alunos estava nas
propriedades F e G do referido conceito.
213
Interpretamos que a complexidade que os alunos sentiram para
compreender a propriedade F – quando se calcula a média, se um dos dados do
conjunto for zero, ele deve ser considerado – deveu-se ao fato da tendência que
eles apresentavam a desconsiderar este dado no cálculo da média. O fato levou-
os ao erro na identificação do outro invariante, qual seja, o número total de dados
do conjunto. No caso da propriedade G − O valor médio é representativo dos
valores, cuja média foi calculada – nas atividades, que sugeria o uso da média
para realizar algum tipo de previsão, percebemos que poucos alunos utilizavam-
na diretamente, entretanto notamos a necessidade desses alunos avaliarem a
coerência entre o valor obtido e os dados da situação.
Quanto à introdução do conteúdo de média aritmética, à medida que os
alunos realizavam as diversas situações propostas na intervenção de ensino,
passavam a serem capazes de identificar os invariantes, tais como: soma dos
valores do conjunto, o número total de valores, as propriedades da média
aritmética.
A identificação desses invariantes deu-se em função das diversas
situações propostas na fase de intervenção de ensino; que desafiavam os alunos
a refletirem sobre cada uma delas, favorecendo também a mobilização de outros
conceitos já conhecidos por eles. Segundo Vergnaud et al (1990) um problema
matemático consiste de situações nas quais o resultado não se encontra
disponível de imediato. Assim, compreendemos que várias das atividades
propostas constituíram-se em problema matemático, uma vez que exigiam
reflexões dos alunos, sobretudo, nas questões de extrapolação da leitura de
gráficos.
214
Neste sentido, é importante retomarmos o outro objeto de estudo, leitura
e interpretação de gráficos, a partir do qual o conceito de média aritmética foi
trabalhado.
6.2.2. Leitura e Interpretação de Gráficos
Quanto à leitura e interpretação de gráficos, observamos que durante o
desenvolvimento das atividades, na fase de intervenção, os alunos demonstraram
maior facilidade para compreender que os dados representados no gráfico
relacionavam-se com os da tabela, quando eles partiram da coleta de dados.
Conseqüentemente, o estabelecimento da relação entre gráfico e tabela
apresentou maior dificuldade, quando o gráfico era construído baseado em um
banco de dados já estabelecido. Neste sentido, Healy e Hoyles (1994) e Magina
(1998) apontam a importância da participação do aluno na construção do banco
de dados. Para Vergnaud citado por Guimarães, Ferreira, Roazzi (2001), os
exercícios que permitem passar de uma representação gráfica para tabela e vice-
versa são importantes pedagogicamente, visto que contribuem, tanto para
atividades lógico-matemáticas como para as classificatórias.
Outro aspecto que gostaríamos de destacar dos resultados, foi a
pertinência de uso dos níveis de Curcio (1987) para a análise proposta, já que nos
permitiram problematizar os diversos aspectos que constituem o conceito de
média aritmética.
No que diz respeito à leitura e interpretação do gráfico de barras
especificamente, observamos que as justificativas dos alunos apresentaram no
215
pós-teste maior ênfase nos dados do gráfico do que em suas experiências
pessoais, o que denota uma influência positiva da intervenção de ensino, quanto
à leitura desse tipo de gráfico.
No gráfico de barras com escala unitária, cujos valores dos dados
mostravam-se explícitos no eixo, os alunos não demonstraram dificuldades no pré
e no pós-testes, para identificar os invariantes: pontos de máximo e de mínimo.
Quanto ao gráfico de barras com escala não-unitária, houve uma
melhora no desempenho dos alunos em relação à identificação do ponto de
máximo no pós-teste. Embora também tenham melhorado o desempenho quanto
à identificação do dado de valor zero no pós-teste, poucos alunos consideraram-
no como ponto de mínimo.
No que se refere à “leitura entre os dados”, os alunos novamente
apresentaram um melhor desempenho no pós-teste, minimizando os erros de
leitura em gráficos com escala não-unitária, cujos valores dos dados eram
apresentados implicitamente no eixo.
No que tange à “leitura além dos dados” observamos que no pós-teste,
os alunos basearam-se na tendência de crescimento apresentada no gráfico para
realizar a previsão proposta no item “1e” passando a extrapolar o valor máximo
representado no eixo vertical. Destacamos, que alguns alunos utilizaram a média
aritmética para realizar essa previsão.
Quanto à leitura e interpretação do gráfico de dupla entrada, embora o
mesmo tenha sido trabalhado em apenas dois dos oito encontros da fase de
intervenção, os alunos não demonstraram grandes dificuldades quanto à sua
216
leitura no pós-teste. Outro resultado que vale a pena ressaltar foi o conceito de
moda ter aparecido de forma intuitiva em vários dos alunos do GE ao longo da
intervenção de ensino. Estes se baseavam tanto nos dados representados no
gráfico como nas experiências pessoais para justificar a previsão realizada nas
atividades.
Este tipo de gráfico (dupla entrada) parece dificultar a identificação do
invariante – Total dos valores do conjunto - utilizado na determinação da média,
uma vez que apresenta variável nos dois eixos: vertical e horizontal. Assim, exige
que o aluno identifique qual a variável que deve ser usada para obter o invariante
Total dos valores do conjunto.
6.3. Respostas às Questões de Pesquisa
Considerando os resultados obtidos em nosso estudo, analisado
detalhadamente no Capítulo V e apresentado de maneira resumida na seção
anterior, sentimo-nos aptos a responder as questões de pesquisa, as quais
retomamos abaixo:
Quais as contribuições da intervenção de ensino proposta para a
introdução do conceito de média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino
Fundamental, com o uso do ambiente computacional?
Para responder a esta questão, optamos inicialmente, por responder as
outras duas questões de pesquisa mais específicas e com base nos subsídios
fornecidos por essas respostas, voltamo-nos à questão mais ampla do estudo. A
seguir, apresentaremos e responderemos às questões específicas de pesquisa.
217
Qual a relação existente entre leitura e interpretação de gráficos e o
conceito de média aritmética neste estudo?
Este estudo teve por objetivo investigar a introdução do conceito de
média aritmética apoiada na utilização da representação gráfica. Neste sentido, a
determinação da média era diretamente influenciada pela leitura e interpretação
dos dados representados graficamente.
Para trabalhar o conceito de média aritmética na situação de quantidade
eqüitativa graficamente, observamos que era essencial que os alunos
compreendessem que os dados representados no gráfico originavam-se da
tabela. Desta forma, apreender a relação entre duas representações distintas
(VERGNAUD,1985), fez-se necessário, para que pudéssemos trabalhar o conceito
de média aritmética. Neste caso, a estrutura do software Tabletop parece ter
favorecido a descoberta da relação tabela e gráfico pelos alunos (BRUNER apud.
GIACAGLIA, 1980), pois foi possível observar que estes se sentiram desafiados a
solucionar a questão, o que os levou a buscar vários recursos ainda
desconhecidos do software.
Estabelecida a relação entre tabela e gráfico, percebemos que a leitura e
a interpretação dos gráficos influenciaram diretamente na introdução do conceito
de média aritmética, já que os invariantes necessários para sua obtenção – soma
dos valores do conjunto e número total de valores do conjunto – precisariam ser
extraídos dos dados da representação gráfica.
Sendo assim, neste estudo, a leitura e a interpretação de gráficos
constituiu-se em um elemento fundamental para a introdução do conceito de
218
média aritmética, pois, para a obtenção desses invariantes, era necessária uma
correta leitura dos dados representados graficamente.
Assim, o Campo Conceitual que envolve a leitura e interpretação de
gráficos, e o conceito de média aritmética favoreceu o estabelecimento de
relações entre os elementos constituintes de cada um desses objetos, uma vez
que a determinação da média aritmética nas diversas situações propostas
demandava a extração dos dados representados graficamente.
Quais foram as dificuldades apresentadas pelos alunos na
introdução de média aritmética, com o uso da representação gráfica?
Quanto à leitura e interpretação de gráficos, podemos destacar algumas
especificidades que defendemos ter interferido na construção do conceito de
média aritmética no presente estudo.
Uma delas é a leitura dos valores dos dados, que se apresentavam
implícitos, no eixo vertical. Esta dificuldade para realizar a leitura dos dados
influenciou na integração deles, o que, conseqüentemente, dificultou a
identificação do invariante - soma dos valores do conjunto -, identificação esta
fundamental para determinação da média.
Outra dificuldade gerada com base nos problemas de leitura de gráfico,
diz respeito à compreensão da propriedade F de média aritmética – quando se
calcula a média, se aparecer um valor zero, deverá ser considerado. De fato, a
determinação correta do invariante – número total de valores do conjunto –
relacionava-se à identificação do dado de valor nulo como um dos dados do
conjunto aos quais a soma dos dados seria redistribuída.
219
No que se refere ao gráfico de dupla entrada, a escolha da variável pela
qual a soma dos valores deveria ser mediada, foi um fator que influenciou na
determinação da média, visto que o não acerto dessa escolha poderia implicar o
não acerto da identificação do invariante – número total dos valores – o que
poderia levar a obtenção incorreta da média aritmética.
Apoiados nas considerações feitas, podemos citar que no presente
estudo, a média aritmética esteve o tempo todo relacionada à leitura e
interpretação de gráficos, uma vez que sua determinação foi em diversos
momentos influenciada pelos fatores acima apresentados, tanto durante a
intervenção de ensino como no pré-teste e no pós-teste.
De posse das respostas das questões específicas, retomaremos agora à
questão geral do estudo.
Quais as contribuições da intervenção de ensino proposta para a
introdução do conceito de média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino
Fundamental, com o uso do ambiente computacional?
Considerando as relações entre leitura e interpretação de gráficos e o
conceito de média aritmética, assim como as dificuldades apresentadas pelos
alunos, já discutidas em nossas questões específicas, podemos concluir que
nossa intervenção de ensino, proposta em ambiente computacional, proporcionou
condição aos alunos para a descoberta dos diferentes invariantes envolvidos no
conceito de média aritmética.
A inter-relação entre leitura e interpretação de gráficos e o conceito de
média aritmética presentes neste estudo, nos remetem a Vergnaud (1982) que
220
considera que o conhecimento está organizado em campos conceituais. Notamos
que as situações propostas na intervenção de ensino favoreceram o
estabelecimento de importantes relações dos invariantes e das representações
entre os dois objetos de estudo, constituintes do Campo Conceitual Tratamento
da Informação usado nesta pesquisa.
Neste sentido, as atividades propostas na intervenção de ensino
contribuíram para que o aluno construísse seu conhecimento por meio de
situações variadas em detrimento da simples definição do conceito. Acreditamos
que a articulação entre conjunto de invariantes e de representações promoveu um
maior interesse na busca da solução das situações propostas.
Salientamos que os resultados obtidos foram favorecidos pelo uso do
ambiente computacional que oferecia a possibilidade de exploração de um
mesmo conjunto de dados, usando distintas representações. Entretanto, um
último aspecto que gostaríamos de destacar, refere-se à insuficiente
disponibilidade de computadores para os alunos, cuja proporção foi de 1x4 e 1x3.
Julgamos que a melhora da proporção computador x aluno poderia
constituir-se em um fator capaz de otimizar os resultados da intervenção de
ensino. Entendemos como Borba e Penteado (2001) que o acesso à informática
deve ser visto, como um direito, tanto nas instituições de ensino público como nas
particulares.
Pelas conclusões aqui expostas, obtidas com base na análise dos
resultados deste estudo, sugerimos que, ao trabalhar o conceito de média
aritmética, os professores ofereçam aos alunos situações distintas e explorem
propriedades do referido conceito desde a 4ª série do Ensino Fundamental.
221
Quanto à leitura e interpretação de gráficos, recomendamos o uso de escalas
não-unitárias, nas quais os dados apresentem-se implicitamente no eixo, assim
como o uso do gráfico de dupla entrada desde as séries iniciais do Ensino
Fundamental.
6.4. Sugestões para Futuras Pesquisas
Ao finalizar este trabalho, julgamos oportuno propor outros estudos que
poderão contribuir para a discussão ora motivada e que se relacionem com a
presente pesquisa.
Um primeiro estudo a ser sugerido, seria a replicação de nossa
intervenção de ensino em uma menor quantidade de sujeitos, de forma que o
pesquisador pudesse observar mais profundamente as estratégias utilizadas
pelas crianças durante o desenvolvimento das atividades.
Acreditamos que trabalhar a intervenção com oito crianças, utilizando
um computador por dupla poderia oferecer dados preciosos ao pesquisador e ao
ensino.
Outra sugestão seria a aplicação de uma intervenção de ensino em
ambiente computacional na 4ª série, abordando as três medidas de tendência
central: média aritmética, mediana e moda, visto que estes conceitos estiveram
presentes de forma intuitiva no decorrer das três fases desta pesquisa. O estudo
poderia também contribuir para entender como os sujeitos relacionam esses três
conceitos aos saberes da vida cotidiana.
222
Pela complexidade do conceito de média aritmética já discutida, parece-
nos pertinente uma pesquisa abordando as sete propriedades deste conceito
propostas por Strauss e Bichler (1988), nas 5ª ou 6ª séries do Ensino
Fundamental. Para isso, sugerimos o uso do ambiente computacional, porém
partindo da coleta de dados realizada pelos sujeitos da pesquisa com vistas a
avaliar os resultados dessa forma de introdução ao conceito nestas séries.
Por fim, considerando que os professores de 1ª a 4ª séries,
necessariamente não possuem formação específica em Matemática, seria
oportuno questionar, quais seriam as concepções dos professores do Ensino
Fundamental sobre média aritmética. Julgamos que um estudo sobre estas
concepções acompanhado de uma formação para trabalhar estes conceitos traria
contribuições relevantes à área. Igualmente importante seria investigar como se
daria o uso das atividades de intervenção, por parte de um professor não
especialista.
Ao descrever as sugestões apresentadas nesta seção, entendemos que
embora o trabalho chegue ao seu final, acreditamos ter sido, na verdade, apenas
o início de um longo caminho a ser percorrido, já que, mediante as respostas
encontradas, muitas questões surgiram no decorrer do estudo.
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ANEXOS
Anexo 1
Atividades de Gráfico
Nome:___________________________________________________ 4a._______
1.Chico vende mini-games na praça da República. No gráfico abaixo está representado a quantidade de mini-games que ele vendeu nos meses de janeiro, fevereiro e março.
0123456789
10111213
Janeiro Fevereiro Março
Qua
ntid
ade
de m
ini-g
ames
a) Em Qual mês “seu Chico” vendeu mais mini-games? __________________________________________
Por que você acha que ele vendeu mais mini-games neste mês? __________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ b) Em Qual mês “seu Chico” vendeu menos mini-
games? ___________________________________
Por que você acha que ele vendeu menos mini-games neste mês? __________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________
c) “Seu Chico” pediu para seu netinho Luis determinar qual foi sua venda média mensal de
mini-games nesses meses. Luis pediu ajuda para seus colegas que responderam:
RESPOSTA DE LUIS: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 2 MINI-GAMES. RESPOSTA DE ALBERTO: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 12 MINI-GAMES. RESPOSTA DE PAULO: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 4 MINI-GAMES. RESPOSTA DE RUI: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 6 MINI-GAMES. RESPOSTA DE CARLOS: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 18 MINI-GAMES.
E para você, qual é a resposta correta? ____________________________________________
Como você faria para convencer “seu Chico” que sua resposta está correta? ______________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
d) Se “seu Chico” tivesse vendido 7 mini-games no mês de março, sua venda média mensal
nesse período seria a mesma?_________________________ ���� Se você acha que SIM, explique porquê nas linhas abaixo. ���� Mas se você acha que NÃO escreva nas linhas abaixo qual seria a nova média.
____________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) Observe com atenção o gráfico acima novamente e diga quantos mini-games você acha que “seu Chico” deverá vender em Abril?_______________________ Como você chegou a esta conclusão?___________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividades de Gráfico
Nome:___________________________________________________ 4a._______
2) O gráfico abaixo informa o consumo de pães, da família de “seu Chico” durante uma semana.
0
2
4
6
8
10
12
2a 3a. 4a. 5a. 6a. sábado domingo
Dias da semana
Qua
ntid
ade
de p
ães
Lendo as informações no gráfico, responda as seguintes questões:
a) Qual o total de pães consumidos por essa família nessa semana?________
b) Em que dia o consumo de pães foi maior? _________
c) Em que dia o consumo de pães foi menor?________
d) Teve algum dia nessa semana em que não houve consumo de pão pela família do seu Chico?_____________________________ Se sim, qual foi esse dia?_________________
e) Qual o consumo médio diário de pães dessa família? ____________.
f) Que conta você fez para achar esse valor? __________________
Espaço para fazer as contas
Atividades de Gráfico
Nome:_______________________________ Idade: ___________ 4a._______
3) As crianças da 5a. série da escola Caetano de Campos fizeram uma campanha de reciclagem de latinhas de refrigerante. O grupo de Cristina marcou no gráfico abaixo, as latinhas que conseguiram trazer em cada um dos cinco dias da semana.
a) Qual a marca de refrigerante foi menos recolhida pelo grupo durante a semana? ________________________________________________________________________ O que fez você saber que foi essa a marca menos recolhida?_______________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Carlos acha que no 2º dia foram trazidas menos latas de refrigerantes. Você concorda com ele?_________________________________________________________________ Por que? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Qual o total de latas de refrigerantes trazidas na semana?_______________________ Se alguém disser que sua resposta está errada, como você prova que ela está certa? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ d) Qual a média diária de latas trazidas nesta semana? ___________________________ Como você chegou a esta resposta? __________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
Anexo 2 Ficha 1
ATIVIDADE 1A GRUPO _________ DATA: __________ NOME___________NOME_________________NOME_____________________
1) Vocês irão desenvolver várias atividades neste grupo durante alguns encontros. O que vocês acham de se conhecerem melhor? Anotem na tabela abaixo os dados das pessoas que formam as famílias de todos os alunos de seu grupo. Anotem, também se a pessoa é adulto ou criança e o seu sexo. Não se esqueçam que vocês também fazem parte de suas próprias famílias!
ALUNO NOME DO FAMILIAR ADULTO/CRIANÇA SEXO F/M
2) Digitem estes dados na tabela do tabletop FAMI-COL.TDB. Não se esqueçam de salvar esses dados após a digitação.
ATIVIDADE 1B GRUPO _________ DATA: __________ NOME___________NOME_________________NOME_____________________
1) Com os dados desta tabela, façam um gráfico com o auxílio do tabletop que represente a quantidade de pessoas que pertencem à família de cada aluno do seu grupo. Não se esqueçam de salvar este gráfico como: FAMI-COL.TT Observando o gráfico que vocês fizeram, respondam às questões abaixo:
a) A família de qual aluno do seu grupo tem mais pessoas?_________________ Quantas pessoas têm nessa família?__________________________________
b) A família de qual aluno do seu grupo tem menos pessoas?_________________ Quantas pessoas tem nessa família?___________________________________ c) Há colegas do seu grupo que têm a mesma quantidade de pessoas na família? _______________________________________________________________________
Se houver, quais são os alunos com a mesma quantidade de pessoas na família? ________________________________________________________________ Agora vocês já conhecem um pouco mais sobre seus coleguinhas!
Bom dia! Me desculpem pelo atraso. Meu relógio não despertou e acabei me
ATIVIDADE 1C GRUPO _________ DATA: __________ NOME___________NOME_________________NOME_____________________
Como vocês puderam observar, acabou de chegar um aluno um pouco atrasado! Seu nome é “Imaginário”! 1) “Imaginário” gostaria de entrar no seu grupo. Como ficaria o gráfico com esse novo aluno, sabendo que ele mora sozinho?
Construa esse gráfico e salve-o como FAMI-IMA.TT
FICHA 2 ATIVIDADE 2A
GRUPO _________ DATA: __________ NOME___________NOME_________________NOME_____________________ Na festa dos aniversariantes do mês de abril da classe da Professora Carla tinha um
“bexigão” cheio de balas. Ao estourar o “bexigão”, cada aluno pegou algumas balas. O
banco de dados ANIVBALA.TDB fornece a quantidade de balas pegas por quatro alunos
dessa classe.
1) Utilizando os dados do ANIVBALA.TDB, construam um
gráfico que mostre a quantidade de balas que cada um
destes alunos pegou. Salvem este gráfico com o nome de
ANIVBALA.TT
Utilizem este gráfico para responder as questões abaixo:
a) Qual aluno pegou mais balas?______________________
Quantas balas ele pegou?________________________________________________
b) Qual aluno pegou menos balas?___________________________________________
Quantas balas ele pegou?________________________________________________
c) Houve alunos que pegaram a mesma quantidade de balas?______________________
Se sim, quais foram esses alunos?_________________________________________
d) Quantas balas foram pegas, no total, por estes quatro alunos?___________________
e) Quantas balas pegou João?______________________________________________
VAMOS AJUDAR A CAMILA?
ATIVIDADE 2B GRUPO _________ DATA: ________ NOME__________________NOME_______________NOME_________________
Camila ficou triste porque João conseguiu apenas duas balas. Ela propôs aos alunos de seu grupo que seria mais justo que todos ficassem com a mesma quantidade de balas.
1) Como ficaria o gráfico se cada aluno ficasse com a mesma quantidade de balas? Construam esse gráfico. Salvem-no como ANI-JOÃO.TT
2) De acordo com a proposta de Camila, com quantas balas cada aluno ficaria?______________
Essa quantidade de balas com que cada aluno ficaria é chamada de média dessas quatro quantidades. No dia-a-dia, vocês já devem ter ouvido expressões do tipo:
• Em média eles ganham... • A média de gols... • A média de filhos por família é...
Sendo assim, podemos dizer que a média
dessas quatro quantidades é 5 balas.
Obrigado por terem ajudado a Camila!
FICHA 3 ATIVIDADE 3A
GRUPO _________ DATA: __________ NOME___________NOME_________________NOME_____________________
Na festa dos aniversariantes do mês de abril da professora Carla havia outros alunos. O banco de dados PAULA.TDB fornece a quantidade de balas que os alunos do grupo de Paula pegaram ao estourar o “bexigão”. 1)Utilizando este banco de dados, construa o gráfico de freqüência.
2) Observando este gráfico respondam: a) Qual o total de balas que este grupo de alunos pegou? _________ b) Qual o total de alunos deste grupo? _________________ c) Se cada aluno ficasse com a mesma quantidade de balas, com quantas balas cada um ficaria? _____________________________ d) Como é chamada essa quantidade que vocês encontraram na pergunta c)? __________________________________________________________________
GRÁFICO 3A
ATIVIDADE 3B
GRUPO _________ DATA: __________ NOME___________NOME_________________NOME_____________________
Paula tinha se esquecido de contar as 4 balas que havia guardado em seu bolso. Portanto, ela pegou 12 balas. 1) Refaçam o gráfico acrescentando as balas que Paula encontrou em seu bolso. (PAULAB.TT) 2) Observando este novo gráfico respondam: a) O total de balas mudou? ____________________________________________ Se sim, qual é o novo total de balas? _________________________________ b) O total de alunos mudou? __________________________________________ Se sim, qual é o novo total de alunos? ________________________________ c) Antes de Paula encontrar as balas em seu bolso, cada aluno ficaria com 4 balas. Acrescentando as balas que Paula achou, a média de balas por aluno vai mudar? ____ Se sim, qual será a nova média? ____________________________________ Essa nova média é maior ou menor que a média anterior?_________________
GRÁFICO 3B
FICHA 4 ATIVIDADE 3C
GRUPO ________ DATA: _________________ NOME______________ NOME ________________ NOME_____________ NOME______________
Paula pensou em guardar para seus irmãos, 8 das balas que tinha pego. Os colegas do grupo concordaram. 1) Refaçam o gráfico, retirando as 8 balas que Paula guardou. (PAULAC.TT) 2) Respondam, observando este último gráfico feito: a) Qual o total de balas do grupo? ______________________________________ b) Qual o total de alunos do grupo? _____________________________________ c) Qual a média de balas por aluno? ____________________________________ d) O que aconteceu com a média? ______________________________________ e) Se vocês fossem do grupo de Paula, vocês concordariam com que ela guardasse as 8 balas? __________________________________________________________________ Porque? ________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
GRÁFICO 3C
ATIVIDADE 3D
GRUPO ________ DATA: _________________ NOME____________NOME______________NOME___________NOME_______ 1) Supondo que Paula tivesse guardado todas as suas balas, como ficaria o gráfico? Faça-o no Tabletop. (PAULAD.TT) 2) Observando este último gráfico, respondam: a) Qual o total de balas do grupo? ____________________________________________ b) Qual o total de alunos do grupo? ___________________________________________ c) Qual a média de balas por aluno? __________________________________________ d) O que aconteceu com a média? ___________________________________________ e) Seria melhor para Paula guardar todas as suas balas ou não?____________________ Por que? ________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
GRÁFICO 3D
ATIVIDADE 4
GRUPO ________ DATA: _________________ NOME____________NOME_____________NOME___________NOME________ No gráfico de freqüência BRUNA.TT, está representada a quantidade de balas que cada aluno do grupo de Bruna pegou, na festa da classe da professora Carla. 1) Observando este gráfico e, sem modificá-lo, respondam: a) Havia alguém que não conseguiu pegar nenhuma bala? _________ Quem? ________________________________________ b) Se cada aluno ficasse com a mesma quantidade de balas, com quantas balas cada um ficaria? _____________________________ c) Como é chamada essa quantidade que vocês encontraram na pergunta b)? ________________________ d) Qual o total de balas pegas pelo grupo? _____________ e) Qual o total de alunos deste grupo? __________________________ f) Vocês saberiam calcular a média utilizando o total de balas pegas pelo grupo e o total de alunos deste grupo? _____________________ Se sim, que conta vocês fariam? g) Bruna não ficou muito contente ao perceber que Tiago ficaria com a mesma quantidade de balas que todos do grupo, afinal ele não tinha pego nenhuma bala. Vocês concordam com Bruna? Por que? ________________________________________________________________ h) Para encontrar a média de balas por aluno precisamos incluir Tiago ou não? ________
Espaço para fazer a conta
Estou preparando uma festa! Vocês podem me ajudar?
FICHA 5 ATIVIDADE 5A
GRUPO ________DATA:_______________ NOME__________ NOME _____________NOME__________NOME__________
1) Observando este gráfico, respondam: a) Qual a quantidade média de salgadinhos consumida pelos alunos deste grupo?________________ b) Quem consome mais salgadinhos? ____________________________________ Quantos?_____________________ c) Quem consome menos salgadinhos?________________________________ Quantos?_____________________ d) Tem algum aluno do grupo, que consome mais salgadinhos que a quantidade média de salgadinhos consumida pelos alunos do grupo? __________________ Quem?____________________________________________________________
e) Tem algum aluno do grupo, que consome menos salgadinhos que a quantidade média de salgadinhos consumida pelos alunos do grupo?____________________ Quem?____________________________________________________________ f) Tem algum aluno do grupo, que consome a mesma quantidade da média de salgadinhos consumida pelos alunos do grupo?___________________________ Quem?____________________________________________________________
g) Vocês acham que com esses dados, a Tia Nena pode fazer uma previsão de quantos salgadinhos ela deverá preparar para a classe toda?________________ Por que?__________________________________________________________ __________________________________________________________________ h) Se for possível fazer a previsão, quantos salgadinhos ela precisará fazer para uma classe com 30 alunos?___________________________________________ Como vocês chegaram a este resultado? _______________________________
a
FICHA 6 ATIVIDADE 5B
Tia Nena está preparando uma festa para os alunos da 4a. série. Para isso ela precisa saber qual a média de salgadinhos consumida por essas crianças. O banco de dados ATNENA.TDB fornece a quantidade de salgadinhos consumida por seis alunos da 4a.série onde será a festa. Utilizando o tabletop, construam o gráfico de freqüência ATNENAF.TT.
Espaço para fazer a conta
VAMOS CONSTRUIR UM GRÁFICO QUE AJUDE A TIA NENA?
FICHA 6 ATIVIDADE 5B
GRUPO ________ DATA: _________________ NOME__________NOME_____________NOME___________NOME__________
1) Utilizando o banco de dados da atividade anterior, construam com o auxílio do tabletop, um gráfico de dupla entrada que possa ajudar Tia Nena. Salve-o como ATNENAD.TT. 2) Observando este gráfico, respondam: a) Qual o total de salgadinhos consumidos pelas meninas? __________________ b) Qual o total de salgadinhos consumidos pelos meninos? ___________________ c) Vocês concordam que as meninas deste grupo consomem mais salgadinhos que os meninos?________ Por que?__________________________________________________________ d) Qual a quantidade média de salgadinhos consumida por estes alunos? __________________________________________________________________ e) Podemos afirmar que todos os alunos deste grupo consumiram exatamente _____ salgadinhos?_______ Por que?__________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________
Tia Nena quer saber se é verdade que, nesta classe, as meninas consomem mais salgadinhos que os meninos.
ATIVIDADE 6A
GRUPO ________ DATA: ____________________ NOME______________ NOME ________________ NOME_____________ NOME______________
Tia Nena pretende também fazer docinhos para a festa que está preparando. Os alunos da 4a. série fizeram uma pesquisa com 5 coleguinhas para ajudar tia Nena. O banco de dados ATDOCE.TDB fornece os dados obtidos nesta pesquisa. 1) Utilizando o tabletop, construam um gráfico que possa ajudá-lo a responder as seguintes questões:
a) Quem comeu mais docinhos?______________________________________ Quantos docinhos esta criança comeu?__________________________________ b) Quem comeu menos docinhos?______________________________________ Quantos docinhos esta criança comeu?__________________________________ c) Qual a média de docinhos consumidos por aluno?________________________ d) A quantidade média de docinhos consumidos pode ser maior que a quantidade de quem comeu mais docinhos?________________________________________ e) A quantidade média de docinhos consumidos pode ser menor que a quantidade de quem comeu menos docinhos?______________________________________ f) Quantos docinhos tia Nena precisará fazer, sabendo que a 4a. série tem 30 alunos?____________
Espaço para fazer a conta
Tia Nena precisa saber o docinho preferido das crianças. Vamos ajuda-la?
FICHA 7 ATIVIDADE 6B
GRUPO ________ DATA: ____________________ NOME____________NOME_____________NOME___________NOME________ 2) Observando este gráfico, respondam: a) Qual o docinho preferido de Fernando? _______________________________ b) Qual o total de cajuzinhos consumidos por este grupo de alunos? ___________ c) Qual o docinho preferido por estes alunos?____________________________ d) Quantos docinhos Fabio consumiu?__________________________________ e) Quantos brigadeiros Laura consumiu? ________________________________ f) Se o “Imaginário” chegasse na classe, qual seria o docinho escolhido por ele? Por que? ______________________________________________________ g) Qual a média de docinhos por aluno? _________________________________
Com o banco de dados ATDOCE.TDB construam um gráfico que mostre a quantidade de cada tipo de docinho que cada aluno consome.
Deixem suas contas aqui!!!
FICHA 8
ATIVIDADE 7A
GRUPO ________ DATA: ____________________ NOME___________ NOME _________NOME___________NOME____________ No banco de dados PRENDA.TDB estão organizadas as prendas arrecadadas por um grupo de alunos da 4a. série B para a Festa Junina da escola. As prendas desta classe foram brinquedos.
a) Qual criança deste grupo trouxe mais prendas?__________Quantas? ____
b) Qual criança deste grupo trouxe menos prendas?_______Quantas? ______
c) Podemos dizer que a média de prendas trazidas pelos alunos do grupo foi 30?____________ Por que?________________________________________________________ _______________________________________________________________ d) Sabendo que a 4a.B tem 35 alunos, quantas prendas esta classe poderá
arrecadar?________ ____________________________________________________________________
1) Construam um gráfico no tabletop, que ajude vocês a responderem as questões abaixo. Depois, ajudem o professor Rogerio a prever a quantidade de prendas que será recolhida pela classe toda.
Bom dia! Me desculpem pelo atraso. Meu relógio não despertou de novo, mas eu trouxe minhas prendas
ATIVIDADE 7B
GRUPO ________ DATA: ____________________ NOME__________NOME___________NOME____________NOME___________ Observando este novo gráfico, respondam: a) Qual a nova média de prendas por aluno?______
Imaginário chegou atrasado, mas trouxe doze prendas. Inclua o Imaginário no gráfico da atividade anterior.
Deixem suas contas aqui!!!
Anexo 3
Atividades de Gráfico
Nome: _______________________________________Idade: _________________ 4a._______
2. Maria vende relógios na praça da Sé. No gráfico abaixo está representada a quantidade de relógios que ela vendeu nos meses de janeiro, fevereiro e março.
0123456789
10111213
Janeiro Fervereiro Março
Qua
ntid
ade
de r
elóg
ios
a) Em qual mês Maria vendeu menos relógios? _______________________________________
Por que você acha que ele vendeu menos relógios neste mês? _______________________________________ _______________________________________ b) Em qual mês Maria vendeu mais relógios? _______________________________________
Por que você acha que ela vendeu mais relógios neste mês? ___________________________________ _______________________________________ _______________________________________
c) Maria pediu para sua sobrinha Renata determinar qual foi sua venda média mensal de relógios nesses meses. Renata pediu ajuda para suas colegas que responderam:
RESPOSTA DE JOANA: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 4 RELÓGIOS. RESPOSTA DE SONIA: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 8 RELÓGIOS. RESPOSTA DE CARMEM: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 11 RELÓGIOS. RESPOSTA DE SILVIA: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 9 RELÓGIOS. RESPOSTA DE CARINA: SUA VENDA MÉDIA MENSAL É 24 RELÓGIOS.
E para você, qual é a resposta correta? _____________________________________
Como você faria para convencer Maria que sua resposta está correta? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) Se Maria tivesse vendido 6 relógios no mês de fevereiro, sua venda média mensal
nesse período seria a mesma?_________________________
���� Se você acha que SIM, explique porquê nas linhas abaixo. ���� Mas se você acha que NÃO escreva nas linhas abaixo qual seria a nova média.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) Observe com atenção o gráfico acima novamente e diga quantos relógios você acha que Maria poderá vender em Abril?_______________________ Como você chegou a esta conclusão?_______________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________
Deixem suas contas aqui!!!
Atividades de Gráfico
Nome:________________________________________________________ 4a._______
1. O gráfico abaixo informa o consumo de frutas, da família de Maria durante uma semana.
0
2
4
6
8
10
12
2a 3a. 4a. 5a. 6a. sábado domingo
Dias da semana
Qua
ntid
ade
de fr
utas
Lendo as informações no gráfico, responda as seguintes questões:
a) Qual o total de frutas consumidas por essa família nessa semana?________ b) Em que dia o consumo de frutas foi maior? _________ c) Em que dia o consumo de frutas foi menor?________ d) Teve algum dia nessa semana em que não houve consumo de frutas pela família de
Maria?_____________________________ Se sim, qual foi esse dia?_________________
e) Qual o consumo médio diário de frutas dessa família? ____________. f) Que conta você fez para achar esse valor? __________________
Atividades de Gráfico
Nome:_______________________________________ Idade: ___________ 4a._______
3. Os alunos da 5a. série da escola Caetano de Campos organizaram a Campanha do Agasalho para ajudar às crianças da comunidade. O grupo de Patrícia marcou no gráfico abaixo, os agasalhos que conseguiram trazer em cada um dos cinco dias da semana.
a) Qual o tipo de agasalho que foi menos recolhido pelo grupo durante a semana?________________________ O que fez você saber que foi esse o tipo de agasalho menos recolhido?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) João acha que na 3a.feira foram recolhidos menos agasalhos. Você concorda com ele?___________________ Por que? __________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Qual o total de agasalhos trazidos na semana?__________________________ Se alguém disser que sua resposta está errada, como você prova que ela está certa? ____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ d) Qual a média diária de agasalhos trazidos nesta semana? ________________ Como você chegou a esta resposta? ____________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
