ROTEIRO PARA ABORDAGEM DE CONTEÚDOS DE FÍSICA NA

EXPERIMENTAÇÃO - A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO ESTATÍSTICO DE

REGRESSÃO, ATRAVÉS DE SOFTWARE, NO ENSINO MÉDIO

Thales Cerqueira Mendes

Produto Educacional apresentado ao Programa

de Pós-Graduação em Ensino de Física da

Universidade Federal do Vale do São Francisco

(UNIVASF) no Curso de Mestrado Nacional

Profissional de Ensino de Física (MNPEF),

como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Mestre em Ensino de

Física.

Orientador:

Prof. Dr. Alessandro Pereira Moisés

Juazeiro - BA

Julho de 2016

ii

Sumário

Introdução ................................................................................................................................ 1

1. Abordagem teórico-computacional da Regressão .................................................................. 1

1.1 Sobre a Regressão Linear Simples .................................................................................... 1

1.2 Pré-requisitos .................................................................................................................. 2

1.3 Material utilizado ............................................................................................................ 2

1.4 Procedimentos ................................................................................................................ 2

1.5 Considerações finais dessa abordagem ............................................................................ 6

2. Experimentando com a Lei de Hooke .................................................................................... 6

2.1 Sobre os conteúdos abordados........................................................................................ 6

2.1.1 Lei de Hooke ............................................................................................................. 6

2.1.2 Erros instrumentais e propagação de erros ............................................................... 8

2.2 Pré-requisitos .................................................................................................................. 8

2.3 Material utilizado ............................................................................................................ 9

2.4 Procedimentos ................................................................................................................ 9

2.5 Considerações finais para essa experimentação ............................................................ 12

3. Outras possibilidades de abordagem ................................................................................... 13

Referências bibliográficas ....................................................................................................... 14

1

Introdução

Diante de uma proposta de Iniciação Científica para o Ensino Médio, esse Produto

Educacional se configura como uma estratégia de ensino. Possui foco na experimentação

e na utilização de um software para facilitar o ensino, por parte do professor, e a

aprendizagem, por parte do aluno. A ideia é que ele possa ser aplicado em sala de aula,

ou no laboratório didático, por outros professores.

Dessa forma, o objetivo é apresentar um roteiro para abordagem de conteúdos de

Física na experimentação, com a utilização do método estatístico de regressão, através de

software, no Ensino Médio1.

Primeiramente, expõe-se um tratamento qualitativo do método estatístico de

regressão de forma teórica, com a utilização de um software. Depois, descreve-se uma

aplicação com a Lei de Hooke, proposta para aproximar o aluno com o método estatístico

utilizado, dando aplicabilidade ao conteúdo exposto de forma teórica. Posteriormente,

segue um breve resumo sobre outras possibilidades de aplicação, com outros conteúdos

de Física.

1. Abordagem teórico-computacional da Regressão2

Ressalta-se que a aplicação dessa atividade tem como objetivo a abordagem do

método estatístico de regressão com a utilização de um software, numa abordagem

qualitativa.

1.1 Sobre a Regressão Linear Simples

A regressão linear simples é um modelo matemático que tenta explicar a relação

entre duas variáveis. Dessa forma, através de dados (x e y) é possível criar um modelo

matemático através de uma equação.

Y=A.X+B (1)3

As constantes A e B da equação 1 podem expressar funções (a exemplo das

polinomiais, exponenciais, logarítmicas) que provem da solução de um sistema de

1 Esse roteiro está disponível em: https://goo.gl/MK2OnX. 2 Um vídeo com a manipulação do Excel está disponível em: https://youtu.be/SP8ivbRFTXM. 3 Essa referência (1) será utilizada para denotar equações. Dessa forma, essa é equação 1. (2) refere-se à

equação 2 e assim sucessivamente.

2

equações de uma combinação linear. Essa equação pode servir para fazer projeções para

o futuro ou pode servir para entender a relação entre variáveis em um determinado

fenômeno [1].

O coeficiente de determinação, R2, é um indicador de medida da qualidade do

ajustamento de uma linha de regressão. Ou seja, de que forma, em que proporção, a

variável dependente é explicada pela variável independente. Esse coeficiente varia de

zero até um [1].

A correlação (dado pelo coeficiente de correlação, R) é uma medida estatística que

tem por objetivo verificar o grau de associação entre duas variáveis (uma variável

independente e outra dependente), é um valor que irá oscilar entre -1 e 1. Esse valor pode

dar zero quando não há correlação entre as variáveis ou quando a regressão não for linear

[1].

1.2 Pré-requisitos

Manipular fórmulas, tabelas e gráficos no Microsoft Office Excel® (Excel);

Conteúdo de equações lineares e quadráticas.

1.3 Material utilizado

Excel instalado em computador.

1.4 Procedimentos

Antes de abordar o assunto com o aluno, é necessário que o professor tenha

familiaridade com o programa e com o método de regressão. Segue a sequência da

atividade.

Insira uma tabela com 10 pares ordenados (x,y) no Excel.

x y

1 9

2 11

3 13

4 15

5 17

6 19

7 21

8 23

9 25

10 27

Tabela 1. Exemplo de tabela com valores, proposta ao aluno.

3

Os valores de x aleatórios e de y imposto por uma equação linear (exemplo:

y=2x+7). Explore a utilização de fórmulas no programa;

No programa copie e cole a tabela somente com valores. Esse procedimento é para

que o aluno perceba que não há registro da equação utilizada para gerar os valores de

y na tabela;

Selecione a tabela e insira um gráfico de dispersão;

Figura 1. Gráfico de dispersão com os pontos propostos (y por x).

Questione o aluno a relacionar os pontos a um alinha imaginária que passe por eles

(uma reta). E se fosse uma curva pouco acentuada, não levaria a pensar que é uma

reta? E mesmo que fosse uma curva acentuada, ao se observar um infinitésimo dela,

também pareceria uma reta?

Insira uma linha tendência linear;

Figura 2. Gráfico da linha de tendência linear (y por x).

4

Insira outras linhas de tendência como a quadrática, exponencial, logarítma. É

importante o aluno perceber a distância dos pontos para as curvas e as diferenças

entre elas – somente algumas se ajustam;

Figura 3. Gráfico da linha de tendência exponencial (y por x).

Com a linha de tendência linear, insira, através da “formatação de linha de tendência”

no programa, a equação da reta e o coeficiente de determinação, R2. Uma primeira

situação importante nesse momento é o retorno da equação inicial que foi retirada do

programa. Discuta como o programa “conseguiu achar” a equação – o papel da

regressão. A outra situação, natural, se ao aluno nunca viu ou estudou o termo, é a

pergunta: e o R? Não conceitue, por enquanto;

Figura 4. Gráfico da regressão, equação e R2 (y por x).

Solicite uma alteração em qualquer par ordenado e observe o gráfico. Para exemplo,

o par (1,9) foi trocado por (1,10) na tabela do programa. Como resultado, a equação

e o R2 muda. Mais importante o ponto “desalinha” da reta;

5

Figura 5. Gráfico com a alteração da equação e R2 (y por x).

Questione o aluno: como foi colocado uma unidade mais em y (de 9 passou a ser 10)

se tirar uma unidade em algum lugar, deve votar ao “normal” (o que era antes)? Retire

essa unidade - a exemplo o par (3,13) foi trocado por (3,12) na tabela do programa.

Constata-se que o valor do R2 diminui mais e os pontos estão mais distantes da curva;

Figura 6. Gráfico com a diminuição no valor do R2 (y por x).

Permita que o aluno manipule e modifique outros números até que ele consiga

relacionar o R2 com o alinhamento dos pontos. Nesse momento, conceitue o R2 como

coeficiente de determinação e a sua representação percentual.

R2=1=100% (2)

6

Significa que todos os pontos plotados se adequam a reta de tendência na regressão

utilizada). Falando em variáveis, esse coeficiente dá ideia do quanto a equação

encontrada representa os dados inseridos de x e y.

1.5 Considerações finais dessa abordagem

Aqui foi utilizado o Excel para realizar essa exposição. Caso o professor tenha

dificuldade de acesso a esse programa, poderá utilizar o LibreOffice Calc.

As situações didáticas se distinguem em alguns aspectos – os métodos do ensino

dependem dos questionamentos dos alunos, as vezes não visualizados pelo professor.

Porém, o que se tentou descrever aqui foi o padrão percebido na execução dessa atividade

com alunos.

De fato, o tratamento qualitativo (uma vez que não há exposição das equações da

regressão) dos dados foi facilitado pelo programa (Excel). Ajudou no tempo de aplicação

e na visualização, principalmente no momento da alteração dos dados na tabela, pois a

mudança provoca uma animação quase que imediata no gráfico.

2. Experimentando com a Lei de Hooke

O objetivo dessa experimentação é aplicar o método estatístico de regressão, numa

situação real, para determinar a constante elástica de uma mola. Essa abordagem

apresenta-se mais quantitativa que a anterior. Quando possível, na abordagem do

conteúdo, que segue, procurou-se referências bibliográficas do Ensino Médio, já que o

foco está nesse nível.

2.1 Sobre os conteúdos abordados

2.1.1 Lei de Hooke

Quando aplicamos uma força em um ponto material, o efeito que observamos se

associa com a aceleração. Quando aplicamos uma força em um corpo extenso, podemos

observar outro efeito além da aceleração: a deformação do corpo. Há vários fenômenos

nos quais o efeito mais importante é a deformação, como no caso das molas. As molas

tendem a se deformar ao receber uma força em sua extremidade [2].

Seja uma mola helicoidal, como a ilustrada na figura 7. Aplicando-se uma força à

extremidade livre da mola, ela tem uma deformação x. Observa-se que, dentro de certos

7

limites, a deformação x é diretamente proporcional à força aplicada à extremidade livre

da mola (força Peso da massa m).

Figura 7. Deformação da mola.

A força elástica, Fel, é de restauração e por consequência, na posição de equilíbrio

(força resultante é nula) tem valor igual ao da citada força. Essa lei de proporcionalidade

foi enunciada pelo cientista Robert Hooke e é analiticamente representada por:

|𝐹𝑒𝑙| = 𝑘. |𝑥| (3)

Onde, k é a constante elástica da mola. A constante da mola depende de ela ser mais ou

menos rígida, ou seja, depende de suas características físicas (19). Outra notação comum

para a força elástica, em uma dimensão, é:

𝐹𝑒𝑙 = −𝑘. 𝑥 (4)

Para essa notação: x=0 é o ponto de equilíbrio da mola (não há deformação); x>0

são valores quando se estica a mola em relação a ponto de equilíbrio (elongação); x<0

são valores quando se comprime a mola em relação ao ponto de equilíbrio (compressão).

O valor negativo da força tem significado físico e representa que a força elástica é de

restauração à posição de equilíbrio. Está sempre contrária ao sentido de x [2].

8

2.1.2 Erros instrumentais e propagação de erros

Todas as medidas têm um erro associado. Para minimizar esse erro, pode-se realizar

um número maior de medidas, diminuindo a incerteza sobre o valor da medida. Enquanto

a incerteza é um parâmetro que mostras a dispersão dos valores medidos em relação ao

esperado, o erro é a diferença entre o valor medido e o valor esperado. Existem erros

causados pela imprecisão dos aparelhos de medição ou na metodologia utilizada pelo

observador e afetam a exatidão das medidas – erros sistemáticos. Outros se devem a

fatores imprevisíveis e afetam a precisão das medidas - erros aleatórios [3].

Ao utilizar um instrumento de medição, deve-se associar o erro a ele vinculado:

x ± Δx (5)

Onde x é o valor associado a leitura e Δx o erro inerente a instrumento. Em geral, para

aparelhos analógicos se utiliza como erro instrumental a metade da menor medida e para

aparelhos digitais, a menor medida [3].

Ao fazer operações matemáticas com essas medidas, os erros se propagam. Em

geral, utiliza-se as derivadas parciais para determinação desses erros propagados. Para

uma função de variáveis independentes

f(x1, x2, ..., xn) (6)

o valor do erro propagado é dado por

∆𝑓 = √∑(𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑖)2

. ∆𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

(7)

e o valor encontrado expresso como

f ± Δf (8)

2.2 Pré-requisitos

Manipular fórmulas, tabelas, gráficos e funções de linha de tendência no Excel;

9

Conteúdo de erros instrumentais, propagação de erros e Gravitação.

2.3 Material utilizado

Kit experimental da Olimpíada Brasileira de Física das Escolas Públicas –OPFEP

(figura 8)4:

1 mola;

5 arruelas;

1 gancho para segurar as arruelas;

1 régua;

Figura 8. Kit experimental.

Balança digital;

Computador com software Excel.

2.4 Procedimentos

Faça uma avaliação prévia com o aluno sobre a Lei de Hooke. Se necessitar,

intervenha em conceitos errôneos que não possam ser dirimidos na execução da

atividade;

Exponha o objetivo do experimento para o aluno, antes do início da experimentação;

Determine o erro instrumental da régua;

Meça o comprimento inicial do conjunto mola e gancho com a régua (l0);

Coloque uma massa (arruela 1) no sistema e meça com a régua o comprimento final

da mola (l1). Depois, coloque outra massa (arruela 2) junto com a primeira, e meça o

comprimento (l2). Repita, no mínimo, para 5 arruelas;

4 Esse aparato experimental é simples de ser montado, mesmos na ausência do Kit. Uma variação é utilizar

elástico feito para segurar dinheiro no lugar da mola. Se for utilizar esse elástico, é importante esticá-lo

antes, como se faz antes de soprar balões de aniversário, para diminuir a rigidez elástica. Aliás, esse é um

bom ponto de discussão com os alunos.

10

Com um balança digital verifique as massas das arruelas e seu erro;

Construa uma tabela no Excel com os dados coletados e erros;

i li ± 0,05 cm mi ± 0,1 g

0 1,60 -

1 1,62 7,6

2 3,65 7,3

3 6,10 7,6

4 8,35 7,7

5 10,90 7,5

Tabela 2. Exemplo de tabela com os valores coletados.

Para determinar a Força Elástica (que nesse caso é aproximadamente igual a força

gravitacional sobre as arruelas no gancho) é necessário o valor da aceleração da

gravidade local. Nesse cálculo, utilize a Lei da Gravitação de Newton5:

𝑔 =𝐺.𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎

(𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 + ℎ)2 (9)

É um bom momento para discutir a aceleração da gravidade local e sua influência

com a altitude. Peça ao aluno para buscar as informações para realizar o cálculo nessa

equação (a constante gravitacional, a massa e o raio da Terra e a altitude local).

Calcule e discuta o valor de g encontrado;

Constante Gravitacional [3] G 6,67 x 10-11 𝑵.𝒎𝟐

𝑲𝒈𝟐

Massa da Terra [3] MTerra 5,98 x 1024 𝐾𝑔

Raio Médio da Terra [3] RTerra 6,37 x 106 𝑚

Altitude local6 h 532 𝑚

Tabela 3. Exemplo de tabela com os dados para o cálculo de g local.

5 O valor de g pode ser verificado diretamente no site do Observatório Nacional. Disponível em:

<http://www.on.br>.

6 Altitude para Senhor do Bonfim –BA. Fonte: Instituto de Meteorologia – INMET. Disponível em:

<http://www.inmet.gov.br/portal/index.php?r=estacoes/estacoesautomaticas>.

11

A intensidade da força elástica será determinada pela comparação com a intensidade

da força peso (Fel = P = m.g), para correspondência linear da equação 10. Nessa

comparação: y = Fel, A = k, x é a própria elongação (x) e B=0. Discuta essa relação

linear;

(10)

Retome os dados da tabela 2. A deformação da mola, x, em cada repetição, é dada

pela subtração do comprimento final e inicial, a massa no gancho é dada pela soma

com a massa anterior. Coloque as unidades no Sistema Internacional de Unidades

(SI) e elabore uma tabela para correspondência linear da equação 10. Utilize as

fórmulas do programa para fazer esses cálculos;

x ± 0,07.10-2 (m) Fel ± 0,01.10-1 (N)

2,00.10-4 7 7,47.10-2

2,05.10-2 1,46.10-1

4,50.10-2 2,21.10-1

6,75.10-2 2,97.10-1

9,30.10-2 3,71.10-1

Tabela 4. Exemplo dos dados para a regressão (Fel por x).

Insira um gráfico de dispersão no programa de Fel por x. Depois, aplique as fórmulas

no programa para tendência linear no gráfico e determinação do coeficiente de

determinação (R2);

7 O valor encontrado (2,00.10-4 m) é inferior ao erro propagado (7.10-4 m), embora o valor da força elástica

(7,47.10-2 N) esteja maior que seu erro (0,1.10-2 N). Nesse caso, é coerente coletar outra medida. Devido

ao valor de x. Discuta essas questões com o aluno.

12

Figura 9. Gráfico do resultado da regressão de Fel por x.

Faça análise qualitativa e quantitativa desses resultados. Exemplo: o R2 significa

quanto os dados coletados se adequam ao modelo de regressão escolhido e esse valor

é, aproximadamente, 99,9%; o coeficiente de inclinação da equação linear é a

constate elástica da mola, k = 3,19 N/m. O coeficiente de interceptação deveria ser

zero e seu valor foi 0,08.

Insira um outro conceito: o do coeficiente de correlação. Para determinação do

coeficiente de correlação8, R, foi calculada a raiz quadrada do R2. Assim, esse

coeficiente tem valor +0,999. Embora esse valor seja o mesmo que o coeficiente de

determinação, tem significado diferente. Ele representa a correlação entre as

variáveis, nesse caso a força elástica e a elongação da mola. O sinal positivo é teórico

(correlação positiva), uma vez que a raiz quadrática pode ser positiva ou negativa e

esse coeficiente também.

2.5 Considerações finais para essa experimentação

Buscou-se mostra que embora os pontos pareçam alinhados, não estão. É

importante discutir se uma outra equação, ao invés da linear utilizada, poderia gerar um

resultado satisfatório para o R2, a exemplo de uma polinomial de ordem maior que 1.

Embora a prática utilizada aluda a verificação da constante elástica da mola, em

primeiro olhar, o objetivo principal não é sua obtenção. Ele está nos passos necessários

8 O símbolo R é intencional e relacionado como o R2.

13

para atingir seu valor em um conjunto de operações (no sentido cognitivo) que permita e

facilite uma aprendizagem significativa para os alunos.

De outra forma, o tema permite uma abordagem no cotidiano do aluno e juntamente

com a experimentação, as idealizações e generalizações das fórmulas experimentais

geram discussões quanto aplicabilidade do método científico. A ideia primordial surgiu

do não acoplamento dos pontos a reta de regressão, que difere da fórmula teórica e

aproxima o aluno ao mundo da real.

3. Outras possibilidades de abordagem

O foco desse roteiro na Lei de Hooke é intencional. A abordagem dessa Lei é

simples, tanto para o professor como para o aluno. Dessa forma, indica-se em um primeiro

momento, para familiarizar esses protagonistas como o método de regressão no software.

Porém, o professor deve procurar, criar e adaptar, novas possibilidades. Neste

sentido, apresenta-se um resumo de outras possibilidades de aplicação da regressão,

inclusive com outras tendências, além da linear9:

Caso o professor tenha no laboratório didático de Física um dilatômetro poderá

utilizá-lo para determinar o coeficiente de dilatação linear pela regressão, com

tendência linear;

Através de um experimento de pêndulo simples, pode determinar a aceleração da

gravidade local. No tratamento dos dados, pode-se realizar uma regressão com

tendência quadrática, mas se recomenda a utilização da linear, reduzindo a equação

quadrática à linear;

Com a utilização de um simulador de planetário para coleta de dados, poderá

determinar os dias de Sol a pino entre os trópicos de Câncer e Capricórnio, com a

utilização de regressão com tendência pronominal de quarta ordem;

Poderia solicitar os alunos que construam um calorímetro e determinem a capacidade

térmica do mesmo, aplicando uma regressão com tendência linear;

Através da construção de um calorímetro de combustão indireta, compararia a

eficiência energética de óleos (poder de queima), com a utilização de regressão com

tendência polinomial de quarta ordem.

9 Descrição completa de outras possibilidades de abordagem. Disponível em: https://goo.gl/VQS8CD.

14

Referências bibliográficas

[1] J. C. LAPPONI, Estatística Usando Excel, Rio de Janeiro: Elsevier, 2005.

[2] J. L. SAMPAIO e C. S. CALÇADA, Universo da Física - Mecânica, 2 ed., São

Paulo: Atual Editora, 2005.

[3] J. B. GONÇALVES, Sistemas de medição, erros e calibração, 1ª ed., Rio de Janeiro:

Ciência Moderna, 2014.

[4] D. HALLIDAY, R. RESNICK e J. WALKER, Fundamentos de Física, vol. 2, Rio

de Janeiro: LTC, 2009.