1 Universidade Federal de Itajub Representao da Propagao de Erros de Medidas atravs de Proposies Condicionais Difusas lvaro Nunes de Magalhes Orientador: Prof. Dr. Germano Lambert Torres Co-orientador: Prof. Dr. Luiz Eduardo Borges da Silva Itajub-MG Outubro de 2009 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB PROGRAMA DE PS GRADUAO EM ENGENHARIA DE ENERGIA lvaro Nunes de Magalhes Representao da Propagao de Erros de Medidas atravs de Proposies Condicionais Difusas DissertaosubmetidaaoProgramadePs-Graduao em Engenharia da Energia como parte dosrequisitosparaobtenodoTtulodeMestre em Cincias em Engenharia de Energia. rea de Concentrao: Planejamento e Gesto de Sistemas Energticos Orientador: Germano Lambert-Torres Co-orientador: Luiz Eduardo Borges da Silva Outubro de 2009 Itajub - MG 3 Ao de Graas Bendito seja Deus, que me faz compreender que no h existncia, a no ser em seuseio.BenditosejaomeuCriador,quecomamorsemmedida,merevestiudasua Graa,medeumuitosdonsemeenviousuaobranova.Dougraas,pornadater faltadoemminhavida,sejaoalimento,otrabalho,asade...Peoperdopelasvezes em que eu, mesmo sendo assistido em tudo, falhei ao realizar a misso, duvidei do teu poder,eatmesmomedesmotiveiemcumprircomminhasobrigaesparacontigo. Contudo,mepermitisterealizarestecursodeMestrado.Agora,aorealizaracolheita dos frutos de um deste trabalho, que eu saiba partilhar com quem se dividiu de corao comigo, todos esses meses de trabalho, me apoiando, incentivando a continuar. A Jesus, meu Mestre, entrego os primeiros frutos deste trabalho. ParasemprelouvareiaoSenhorpelomeumaiortesouro:minhafamlia.O quarto mandamento me orienta a honrar, com palavras e aes de respeito, meus pais. A elesdevoomilagredaminhavida,oamoreocuidadoquemededicaram.Aosmeus paisBernabeleSolange,sougratopelaeducaoquerecebiaolongodavidaepor estaremcomigoemtodososmomentos,prestandoapoiomoralematerialparaqueeu me mantivesse focado nos estudos. Aos meus irmos Julieta e Bruno Vincius, obrigado por toda ajuda que deram. Aos meus avs todo o meu amor pela importante atitude que tiveramparacomaminhafamlia,nostrazendoparasuacasa.Quesejamtodos guardados pelo poderoso Pai, no corao do Nosso Senhor Jesus Cristo. SejalouvadotambmoSenhor,pelaspessoasqueacompanharammeus trabalhos, e em minha vida a realizaram boas obras: Tenham abundncia em suas vidas os senhores professores da Universidade Federal de Itajub, Germano Lambet-Torres e Luis Eduardo Borges, meus orientadores, cujas obras inspiraram este trabalho, para que possam cada vez mais proporcionar a tantos outros interessados em ingressar na carreira acadmicasuasexcelentesorientaes.SejamabenoadososSenhoresProfessoresda Universidade Federal de Rondnia Jlio Milito, pelo seu apoio e incentivo a ingressar nestecurso,eMarinaldoFelipepelasvalorosasopinies.Gratosou,pelocarinhoe amizade que as Professoras Maria das Graas e Dilclia Heckmann tm por mim e por minhafamlia,epelagenerosidadecomquecompartilhamseusconhecimentose experincias. Com elas, aprendi que o Limite o Cu. Retribui, Senhor Deus, segundo a 4 tua justia e tua generosidade, em bnos copiosas, toda a disponibilidade e gratuidade em servir que a Professora Slvia Rissino teve para comigo e com os colegas de curso. A ela sou grato por todas as vezes que agiu como minha procuradora, realizando minhas matriculas na UNIFEI, pelo empenho em agilizar a viagem de defesa e, principalmente, pela amizade demonstrada ao exprimir palavras de incentivo e motivao todos os dias desseperododeestudo.Elaine,eaoKiko,obrigadoportodasasconversas,os trabalhoseosrisos.Suacasasejarepletadeharmonia.Parabnspelavitria,minha amiga! Derramaoteupoder,Senhor,sobreascasasdosmeusamigosVanderlei, Elizngela,CnthiaLewis,JoiceGonzaga,JoiceCarvalho,RodrigoLewis,Maricleide Cruz,DaianneSevero,RaileiGarcia,Assis,SilasPaixo,AlessandraMouro,Iris Borges,GeorgeMrcio,MicheleOla,RicardoeReth,esobretodososmembrosde suas famlias. Faa felizes todos os meus amigos de trabalho do CREA-RO. Abenoe os pastores Roberto e Eliane Paul, pois me ensinaram a voar alto. Inspira, cada dia mais, os padresIvo,PauloTadeueRoque:aPalavradoSenhor,anunciadaporesseshomens especiais, me trouxe de volta e me mantm firme nos trabalhos na Igreja. Exaltar-te-ei,meuDeus,meuRei,portodasasgeraes,pelomilagrosoamor, queeuvivocarinhosamentecomaminhanoiva:MicheleMelo.Teuamor,quese manifesta em ns, me sustenta, me anima e que me d segurana. Michele sem dvida aminhajia,amaisdelicada,amaispreciosa.Comelacompartilhotodasas experincias que tenho em minha vida, todas as lutas e todas as vitrias. A ela entrego a minha juventude, meu olhar, meu carinho e minha lealdade.Parabns, meu amor!Que seja farta a colheita do Sr. Marcos Melo e sua esposa Helenice, do Sr. Cludio e Dona Helena,etodaessafamlia,poisportuavontade,ohPai,atravsdasmosgenerosas dessaspessoasadmirveis,asminhasfronteirasseexpandiram.Quehajapazemsuas casas e que tenham sucesso em todos os seus empreendimentos. Abenoe, oh Pai, todosestes, e meensina a retribuir conforme a tua lei e o teu agrado,todasasbnosquerecebipelasmosdessesmeusirmos.GlriaatiJesus, pelasgraasquerecebi,pelaspessoasquemeinspirasaamarepelotrabalhoqueme iluminas realizar. Que seja feita sempre a Tua vontade. Amm. 5 RESUMO Um tratamento de incerteza deve ser dado a um sistema quando um conjunto de dados de entrada pode levar a solues diferenciadas ou aproximadas. No uma tarefa trivial resolvercomputacionalmenteproblemasdepropagaodeerrosouestimaoda incertezademedio.Diantedisso,buscou-se,nodecorrerdestetexto,discutira aplicaodeproposiescondicionaisdifusascomoumaalternativacomputacional rpida e fcil, para a modelagem desse tipo de informao. A partir dos conhecimentos sobreocomportamentodeumamedida,dependentedeoutragrandeza,adaptou-seo SistemaDifusodeTakagi-SugenoeoMtododeRepresentaodeDadospor Proposies Condicionais Difusas Parbola-Parbola para o clculo e previso dos erros eseusefeitosquantopropagao.Soabordadosumaintroduoaosconceitosde fontesdeerrosemmedidas,aosfundamentosdaLgicaFuzzyparaamodelagemde dados experimentais, tendo por fim a descrio do algoritmo adotadas e a sua aplicao identificao e representao do acmulo de erros. PALAVRAS-CHAVE SistemasdeMedidas,PropagaodeErros.LgicaFuzzy.ProposiesCondicionais Difusas. 6 ABSTRACT Anuncertaintytreatmentneedstobedonetoasystemwhenadatasetcantaketo differentorapproachedsolutions.Itsnotatrivialtasktosolvecomputationallythe problemsoferrorpropagationofmeasurementortheuncertaintyestimation.Inthe courseofthistext,itwasdiscussedtheimplementationofFuzzyconditional propositionsasanalternativetoquicklyandeasilycomputationalmodellingofsuch information. From understanding the behavior of a variable dependent on another, it has adaptedtheTakagi-SugenoFuzzySystemandtheconditionalFuzzypropositions parable-parableforDataRepresentationMethodforcalculatingandforecastingerrors and their effects on the spread. Are covered an introduction to the concepts of sources of errorsinmeasurestoFuzzylogicfoundationsforexperimentaldatamodeling,having finallyembracedalgorithmdescriptionanditsapplicationtotheidentificationand representation of the accumulation of errors. KEYWORDS Measure Systems, Errors Propagation. Fuzzy logic. Fuzzy Conditional Propositions. 7 SUMRIO I. Lista de Figuras08 Captulo 1 Introduo09 1.1 Descrio do Trabalho11 Captulo 2 Medidas, Erros e Incertezas12 2.1 Medidas e Suas Caractersticas12 2.2 Conceitos13 2.3 Incertezas e Erros16 2.4 Propagao de Erros20 Captulo 3 Lgica Difusa22 3.1 Breve Histrico22 3.2 Conjuntos Difusos25 3.3 Operaes com Conjuntos Difusos28 3.4 Fundamentos da Modelagem Difusa32 3.5 Inferncia Difusa35 Captulo 4 Propagao de Erros por Proposies Condicionais Difusas39 4.1 Adaptao do Sistema TS para o Cmputo do ErroPropagado 41 4.2 Mtodo Alternativo de Representao de Dados por Proposies Condicionais Difusas 47 4.2.1 Adaptao do Mtodo para a Modelagem docomportamento da propagao de Erros 50 Captulo 5 Consideraes Finais61 5.1 Contribuies61 5.2 Sugestes para Trabalhos Futuros63 Referncias 66 8 I. LISTA DE FIGURAS Figura 1: Exemplos de Funes de Pertinncia Triangular e Trapezoidal.26 Figura 2: Exemplos de Funes de Pertinncia da forma Gaussiana.27 Figura 3: de Funes de Pertinncia da forma Sigmoidal. 27 Figura 4: Exemplos de Funes de Pertinncia na formas de Z, Pi e S.28 Figura 5: Operao de Unio.29 Figura 6: Operao de Interseco.29 Figura 7: Operao de Negao.30 Figura 8: Interpretao geomtrica do Produto Cartesiano entre conjuntos difusos.30 Figura 9: Diagrama demonstrativo de Inferncia Difusa.37 Figura 10: Nmeros Fuzzy.44 Figura11:Superfciegeradaapartirdepontosescolhidosaleatoriamenteno intervalo modelado. 45 Figura 12: Funes regredidas para as Conseqncias.50 Figura 13: Conjuntos difusos para as Premissas.51 Figura 14: Comportamento das medidas de y em um instrumento.53 Figura 15: Regresses para as conseqncias.54 Figura 16: Primeiros Conjuntos difusos para a representao da varivel erro.55 Figura 17: Primeiros Conjuntos difusos para a representao da varivel erro.55 Figura 18: Superfcie gerada a partir de pontos escolhidos aleatoriamente.58 Figura 19: Representao do comportamento do instrumento em relao ao valor da medida. 59 Figura 20: Representao do erro de medida emrelao ao valor da medida e ao comportamento do sistema59 9 Captulo 1 INTRODUO Todos os sistemas se afastam em maior ou em menor grau do comportamento idealprevistopelosmodelosmatemticoscomosquaisosprocuramosdescrever.Os sistemasquedefinemospadresdeconfiguraodosinstrumentosmedionose distanciamdessarealidade.Inmerassoasrefernciasexistnciadeincertezase imperfeiesnasmedies.Asimperfeiesprpriasdosequipamentoseas perturbaes no processo de aquisio de dados so as variveis de maior influncia na origemdoserrosnoresultadodamedio.Sendoassim,recomendadoreportarum indicativodequalidadedosresultadosmedidosparaquesepossatercertezadas respostas oferecidas pelo sistema de medio. [10] [74] Ointeressedeseindicarapossibilidadedeimperfeiodamedidasurgena constatao de que um modelo pode oferecer respostas que possam estar afetadas ou at mesmoerradasporcontadospequenoseimperceptveispossveiserrosnosvalores atribudos s variveis de entrada. Sem a informao sobre as imperfeies das medidas representadas,asdecisestomadasapartirdosresultadosobtidospodemestar incorretas. Associar ao resultado da medio um parmetro que caracterize a disperso dosvaloresquepodemseratribudosmedidapermiteaavaliaradimensoda consequncia desses erros, melhorando sua exatido. [10] Buscando a mxima exatido possvel nos processos de medida e modelagem de dados, tornou-se extremamente necessria, no mbito experimental, para a aquisio deconhecimento,aidentificaodefontesdeerrosquepodemafetaroprocessoea quantificaodainflunciadestessobreoresultadofinal.Nesseparadigma,os conceitos de erro e tolerncia, alicerados em rigorosos modelos matemticos e mtodos estatsticos objetivos, dominaram a metrologia no Sculo XX. [10] [74] 10 Poroutrolado,nomesmosculo,comodesenvolvimentoexponencialdo setortecnolgico,surgiuanecessidadedeobtersoluesdecontrolequepossamser implementadasdeformamaisrpidaecommenorcustocomputacionalefinanceiro. EntreassoluesmaisempregadasestaLgicaDifusaporquetemacapacidadede lidar e com impreciso e incertezas. Como disse John Maynard Keynes, melhor estar aproximadamente correto do que precisamente errado. [10] ALgicaDifusatrouxeumnovojeitoderepresentarsistemasedados matematicamente. A representao por meio de conceitos, e no em valores precisos, das variveis envolvidas, aproximando sistemas de forma parecida com a subjetividade do raciocnio humano. Umtratamentodeincertezadeveserdadoaumsistemaquandoumconjunto dedadosdeentradapodelevarasoluesdiferenciadasouaproximadas,comonos mtodosderepresentaodedadosdifusos.Apesardosucessoedetodaarobustez apresentadanasaplicaesenasrepresentaesdesistemas,dopontodevistada tolerncia a impreciso nas descries e nos mtodos, a Lgica Difusa no oferecia um parmetrodeavaliaodoquantoovalordasrespostas,oudasmedidas,podemestar desviadas da representao dos seus valores verdadeiros. [74] Istomotivouodesenvolvimentodemeiosdecalcularourepresentara propagaodeerroseimperfeiessobremedidas,decorrentesdaimprecisoeda incertezaimplcitanarepresentaoporconjuntosdifusos.Nessesentido,osgrausde pertinnciadosconjuntosdifusossoentendidoscomograusdeativaodeuma representao afetada pela incerteza. Aavaliaodamximadispersodosdadosrepresentadosporproposies condicionaisdifusosmedidasnoumtrabalhotrivialnempuramentematemtico: dependemdoconhecimentoempricodomensurandoedoprocessodeobtenodas medidas.Nesseprocessofundamentalobomsenso,opensamentocrticoea habilidadeeaexperinciaemseutratamento.AaplicaodaLgicaDifusaparaa modelagemdapropagaodeerrossobremedidassedaratravsdoismtodosde RepresentaoporProposiesCondicionaisDifusascomaintenodepossibilitaro desenvolvimento de uma ferramenta computacional prtica. 11 1.1 DESCRIO DO TRABALHO O primeiro captulo destina-se a consideraes gerais sobre a motivao deste trabalho,oferecendoaofinalumabrevedescriodostemasabordadosnoscaptulos que seguem. Assim sendo, so abordados no Captulo 2 os principais conceitos tangentes realizao de Medidas,algumas caractersticas estticas e dinmicas do processo. Com isso, introduzimos s definies deIncertezas e Erros, suas principais causas e a busca pelamedidamaisprximapossveldovalorverdadeiro.Aofinaldocaptulo, apresentamosdeformasimplificadaequaseintuitivaaLeiGeraldePropagaode Erros. NoCaptulo3,apresentadaaLgicaDifusa,apartirdeumbrevehistrico deevoluodoraciocniocomputacional.ApsadefiniodeConjuntosDifusos,so apresentadasasprincipaisoperaesLgicascomessesconjuntos,paraquehajauma melhor compreenso dos fundamentos da Modelagem Difusa e do sistema de inferncia de respostas. AdaptaesdastcnicasdemodelagemdeumSistemaFuzzydeTakagi-Sugeno, e de Representao de Dados atravs de Proposies Condicionais Difusas, em sua forma alternativa Parbola-Parbola, so demonstradas no Captulo 4, e aplicadas infernciadomximodesviodamedidadeumavarivelsensvelvariaodeoutra grandeza. Ao final, so tecidas consideraes a respeito da pesquisa realizada, bem como as sugestes para trabalhos futuros.12 Captulo 2 Medidas, Erros e Incertezas 2.1 MEDIDAS E SUAS CARACTERSTICAS Observaesecomparaesdedesempenhosevolutivos,juntamentecoma coletadedados,permitemqueseconheadeformaqualitativaequantitativa, fenmenos fsicos, atravs das medidas dos estados durante sua evoluo. Por meio de umaabordagemempricacombinadacomoracionalismo,podemosresumiros princpiosobservveis,emresultadosquantificveis,edamesmaforma,deduzirestes princpios a partir dos dados aferidos, relacionando as respostas aos possveis estmulos. [9] [22] [47] Depossedoconhecimentodeumeventopossvelodesenvolvimentode estratgiasparamonitorareintervirnosfenmenosatravsdocontroledesuas variveis,deformaaaproveitaradinmicadoeventoparaumfimtil,induzindoo sistema a responder com variaes proporcionais s entradas. [7] [43] Afinalidadedeumamedidadefinirovalordeumagrandezaespecfica.A quantificaodeumagrandeza,submetidamedio,deummodogeral,obtidapor meio de uma metodologia que envolve o uso de instrumentos de medio.Em geral, o resultado de uma medio uma aproximao ou estimativa do valor real, composta por fatoresquedependembasicamentedaprpriagrandeza,doinstrumentoedomtodo utilizado.Emmuitoscasos,oresultadodeumamediodeterminadocombaseem sriesdeobservaesobtidassobcondiesderepetitividade.Tratamos,portanto,de ummodelomatemticoquetransformaoconjuntodeobservaesrepetidasemum resultadonumrico.Essemodeloinfluenciadopelascaractersticasestticase dinmicas dos medidores e dos procedimentos adotados. [9] [60] 13 Paraisso,aseleodoconjuntodeequipamentosdemedidaparao acompanhamentodeumaseqnciadeoperaesdeveseatersprincipais caractersticasestticasedinmicasdosistema,deformaquesejamatendidasas demandas de medio, em sua aplicao correta. Essas caractersticas se apresentam nas especificaes de qualidade apresentadas pelo fabricante. [9] [12] [22] 2.2 CONCEITOS Mensurando uma grandeza submetida medio. O valor de uma grandeza a expressoquantitativasobaformadeumaunidademultiplicadaporumescalar.O processodemediosebaseiaemumaseqncialgicadeoperaesdescritas genericamente. [22] [70] Aexpressodagrandezadeveterassociadoaovalordomensurandoum parmetroqueassinalaadispersodosvaloresquepodemserimputadosao mensurando,avaliandoamelhorestimativadoseuverdadeirovaloretodosos componentesdeincerteza,abrangendoefeitossistmicosquecontribuemparaa disperso. [22] [60] comum a utilizao dos conceitos de Exatido e Preciso para assinalar o nvel de rigor com que uma medida efetuada. AExatidoumaespecificaodequalidade,determinadaatravsdoprocesso decalibraoesttica,quefazrefernciahabilidadequeuminstrumentotemem mostrar intensidades iguais ao valor legtimo dagrandeza medida. Em outras palavras, entende-sequesejaamaioroumenoraproximaoentreoresultadoobtidoeovalor verdadeiro.Acalibraotrata-sedeumaoperaoquetemporobjetivolevaro instrumentodemedioaumacondiodedesempenhoeausnciadeerros sistemticos, adequados ao seu uso. [10] [22] 14 Conformeexposto,aexatidoexpressaodesviomximoquepodeum instrumento pode apresentar ao aferir uma medida, quando empregado corretamente. A medidadeexatidopodeserexpressacomoumintervaloquecompreendeumafrao significativadosvaloresquepodemseratribudosaomensurando,quedeterminasua classe. Preciso a capacidade do instrumento de fornecer o mesmo resultado, para um dadovalormedido,independentementedacontigidadedovalorrealdagrandeza medida.Istodenotaacapacidadederepetibilidadedoinstrumento,ondeestauma avaliaodacompetnciadeuminstrumentoemrepetiramesmasada(medida)para um dado valor, quando a mesma entrada precisa aplicada vrias vezes. considerado oGraudeconcordnciaentreosresultadosdemediessucessivasdeummesmo mensurandoefetuadassobasmesmascondiesdemedio,eestassociada disperso dos valores resultantes da repetio das medies. [9] [22] [60] Acuidadeograudecertezacomqueavaliamosaprecisodasmedidaseo ajustedoprottipo.Edessaforma,aestimaoeavaliaodeincertezasrequerem esforosdemodelagem,matemticaecomputacional,cadavezmaissofisticadosem comparao utilizao de tcnicas convencionais de medio. [10] [22] ALinearidadedeumequipamentoumacaractersticaqueindicaoestadode imediaodesuacurvadeaferiocomumareta.Podeserexplicitadaapartirda estimaodamelhorreta,pelomtododosmnimosquadrados,procedentedosdados de entrada e sada do tal sensor para todo o intervalo de teste. [9] [22] [60] O intervalo de teste o espao entre os limites mnimos e mximos onde o valor da medida pode se alterar, e deve ser disposto de forma que se evitem leituras no incio enofinaldaescala,ondegeralmenteaconfiabilidadeficacomprometida.Deve-se evitarqueoinstrumentoproduzaleiturascomafaixaondeosensornoconsegue responderecomotemponecessrioparaaprimeiraresposta,denominados, respectivamente Zona Morta e Tempo Morto. [9] [22] 15 Asensibilidadeesttica,conhecidatambmcomofatordeescala,dadapela relaoentreavariaodasadadisponibilizadapeloinstrumentoeavariaoda entrada que a provocou. Isto pode ser expresso pela equao: [9] [22]

ax xadxdyx S== ) ( (2.2.1) Associadasensibilidadedeumaparelho,etoimportantequantoesta,aresoluo, que definida como a menor variao de entrada do sensor necessria para causar uma alterao comensurvel na sada, o que indica quo pequena uma variao na entrada de energia pode ser percebida por um sensor. Adiferenaderespostadoinstrumentoparaduasentradasidnticas,mascom sentidoinversodevariaodenominadaHisterese,esuaconseqncianotadaem sistemasquepossuemcondutasdiferentesparaentradacrescenteemrelaoentrada decrescente. [10] [60] A Velocidade de Resposta uma caracterstica dinmica de grande importncia, pois indica quo rpido o sistema de medida reage s variaes na grandeza de entrada. Especificada como uma grandeza tempo, ela demonstra o tempo de atraso do sistema. A resposta de um medidor a um sinal de entrada varivel no tempo diferente da resposta aumagrandezaconstantedevidopresenadeelementosarmazenadoresdeenergia. [1] [9] A energia armazenada pelo sistema em uma dada situao devolvida em outras afetandoamedida.Ascaractersticasdinmicasdossistemasvariamconformea quantidadedeelementosdearmazenagemcontidosnosistemaecomoelesinteragem. [43] 16 2.3 INCERTEZAS E ERROS A construo de um modelo para um evento dinmico fsico e de sua planta de interveno de controle em geral partem de uma observao das variveis envolvidas no processo,afimdequeelaspossamseridentificadas,relacionadas,aferidase controladas.Essaumafasedecrticadofenmeno,poisgeralmenteasobservaes incluemvriasgrandezasdeinflunciaquenosoexatamenteconhecidas.Assim,o controledoprocessodependedequoprecisoeexatoomodelodeprevisoequo eficienteomtododeintervenoadotado,bemcomoaacuidadedomodelo implementado. [9] [42] [43] Por maior cuidado que se tenha ao efetuar uma medio, mesmo que se utilizem instrumentosdeltimageraoesemantenhamascondiesdoambientebem controladas,devidoscaractersticasdinmicasdeumobjetodeestudoedomtodo paraacoletadedados,asmedidasrealizadasnorefletemcompletamenteaverdade absoluta dos fatos visualizados. Surgem, em diversos casos, variaes e diferenas entre as vrias medidas de um mesmo estado de uma varivel. [46] [47] Admitimosqueestasdiferenasconstatadasemmediesrepetidasaparecem porque as grandezas de influncia do evento e do processo de obteno do resultado da medidanoseconservamcompletamenteestveis,oquesemostraevidentena deterioraodoscomponentesdosistema.Istosedpelaexistnciadevriosfatores que afetam os resultados e incorrem em erros. [22] [42] [60] As diferenas derivam das condies ambientais (e dos impactos e modificaes deambientequeocorrem),dorelacionamentocomosistemaasercontroladoeda forma de interveno de controle adotada. Aliado a isso, na observao experimental e no acompanhamento do fenmeno em sua evoluo, o relacionamento entre as variveis envolvidas nem sempre aparente, principalmente quando h dificuldades em mensur-las.Assim,maisumfatorgeradordavariaoaimperfeiodosmtodosadotados para a coleta de informaes e medies. [42] [47] 17 Pormuitotempo,apalavraerrofoiutilizadaparadesignarafaltade perfeio,queatualmentedenominadaincerteza.Oserrossodescritos,hojeem dia,comoasmedidasdeafastamentoentreovalorobtidonodesempenhoemalguma atividadeeocorrespondentevalorverdadeiro,oqualemgeraldesconhecido.Esses desviosocorrememdesacordocomainteno,ouquandoaintenonoadequada, sendo, portanto, de origem informacional. Em muitos casos, so capazes de gerar dano aoproduto,aosfatoresdeproduoouaoplanejamentodoandamentodasdemais atividades. [10] [22] [42] [60] Nessecontexto,constatamosumaafinidadeentreerrosedefeitos,pois, normalmente,asdistoresacontecememdecorrnciadoempregoinadequadodeum, oumais,dosfatoresdecontroledaproduo.Istosed,muitasvezes,pelo entendimento incompleto do fenmeno que ocorre, principalmente, na compreenso da formacomqueasvariveisserelacionam(modelosmuitocomplexosecomgrande nmero de variveis tendem a se distanciar da realidade). [3] [22] OsErrosacontecem,tambm,porcontadainabilidadeempercebere discriminardiferentesvariaesdeestado,daprecisoimperfeitadosinstrumentos usados;dastransformaesdeunidadese/oucritriosdearredondamento;eoutros fatores,quefogempreviso.Estasinfluncias,noprocessodeaquisiode conhecimento, para aformulao de um modelo,promovem ambigidadee induzem indeciso, ocasionando uma impreciso intrnseca, dada descrio das propriedades do fenmeno. [3] [22] Porm, em uma rotina de operaes, a qualidade do modelo reside na avaliao daconfiabilidadedosresultadosqueesteapresenta.importanteconsiderara confiabilidadedeumamedio,principalmentequandoabrangemaexignciade tolerncias estreitas em condies risco sade e segurana. Para tanto, h de se adotar umamedidadeconfiabilidadequeexpresseomximodaincertezademedio, atendendo Acuidade exigida por algumas aplicaes. 18 Assim,tambm,amaioriadosinstrumentosno-convencionaisrequera utilizaointegradademtodosparaaseparaoeavaliaodeincertezas,deforma queamedioatendaprecisoeexatido,deformaquenoafetem significativamente o processo. Asformasdeerrosestticossoclassificadasdeformamaisgenricaemtrs categorias: de Escala, Sistemticos e Aleatrios. [22] [46] [47] OsErrosdeEscalasodevidosimperfeioresidenteemqualqueraparelho, mesmo o mais preciso deles. So erros nos valores dos dados. Podem ser causados, por exemplo,porincertezanamedida,porenganosnodetectados,oupelarepresentao dosnmeroscomumnmerofinitodedgitos,queocorrenoarredondamentode valores.Hdeseconsiderarquepodemocorrer,tambm,pelatruncaturadeum processo matemtico.[46][47] ErrosSistemticosapresentampoucavariaonaintensidadeeomesmosinal davarivelaferidaaolongodasmedies;tmefeitolatente,podendolevaralgum tempoparasemanifestar,dependendodasdefesasdosistema,einduzidosporuma causaque,quandodescoberta,possvelelimin-laoucompens-lapormeioda aplicao de um fator de correo, com efeito oposto ao do erro, sobre o resultado da medida.Originam-se,emgeral,deinstrumentosmalcalibrados,errosnametodologia ou na operao da medio, por falta de prtica do operador ou por fatores ambientais, entre outros. Assim, sua identificao demanda uma anlise crtica do procedimento de medida. [2] [10] [12] OsErrosAleatriossoimprevisveisnadeterminao,variamaoacasoetem origensmltiplase/ouincertas,sendo,paramuitosautores,consideradosacidentais. Ascaractersticasdeno-repetibilidadepodemindicarumapossvelimprecisodos aparelhos e/ou mtodos, o que pode gerar efeito imediato. Sua eliminao impossvel, poisderivamdeperturbaesinesperadas,pormpodemseramortecidoscustade maiorescuidadosnarealizaodosensaios.Osomatriodapolarizaodosdesviose da impreciso denota a incerteza total de uma medida. [10] [12] [22] 19 PodemospreverErrosdeescala,decorrentesdascaractersticasdeexatidodo instrumento, segundo dois critrios, que so peculiares a cada tipo aparelho de medio. Como j foi dito, esse erro inevitvel, visto que, por mais preciso que este instrumento seja, h sempre que considerar alguma imperfeio. [12] [47] Em instrumentos analgicos, podemos avaliar o erro que incide sobre algarismo duvidoso como sendo a metade da menor diviso de escala [47]. 2MDEEesc =(2.3.1) Eminstrumentosno-analgicos,oErrodeEscalaavaliadocomoamenor diviso de escala [47]. MDE Eesc =(2.3.2) Quandorealizamosoperaescomosvaloresobtidosemmedies,osErros individuaispresentesemcadamedidaexerceminflunciasobreacertezadovalorda grandezaresultante.Osresultadosdosclculosincorporameacumulam, necessariamente,osErrosdecorrentesdamediodecadavarivelenvolvidana operao. [22] [42] [47] A Incerteza uma avaliao que procura assinalar o intervalo de valores dentro do qual est o valor correto da grandeza medida. Essa avaliao deve ser realizada aps a eliminao de todas as componentes sistemticas de erro conhecidas. [22] [60] Em problemas deIncertezas, tm-se, em geral, adotado solues probabilsticas para modelar o comportamento de um evento dinmico cuja incerteza das variveis de naturezaaleatria.Oprocedimentomaiscomumparaessescasosaavaliaoda confiabilidade de um conjunto de n medidas e informaes de um Estado, intuindo uma margem de Incerteza provvel por meio do tratamento estatstico da informao. 20 2.4 PROPAGAO DE ERROS Freqentemente,necessrioexecutarclculosemqueoserrosmximos admissveis de diversos instrumentos sejam combinados. [22] [47] Chamaremos de Erro absoluto ao mdulo da diferena entre o valor exatoX e o valor aproximado medido x. Isso se traduz na expresso: x X x = A(2.4.1) DenominamosErrorelativodeumnmeroaproximadoxrazoentreoerro absolutox Adesse nmero e o mdulo do nmero exato X correspondente: Xx A= o(2.4.2) Podemos deduzir apropagao deerros de uma medida por meio da seguinte analogia com as Derivadas Parciais: [16] [47] [60] Seja y uma grandeza a medir. Podemos expressar a dependncia dessa grandeza em relao a outras, de forma que sua medida seja indireta, por: ) ,..., , (2 1 nx x x f y = (2.4.3) 21 Ondetodasasgrandezassodescritaspelasuadistribuiodeprobabilidade. DesenvolvendofconformeumaSriedeTaylordeprimeiraordemparapequenas variaes de y em torno de sua mdiay , em funo das pequenas variaes dos ixem torno de suas respectivas mdiasx , temos: [16] [N. Sousa] ( )i iniix xxfy y cc= =1 (2.4.4) Consideramosamdiadasmedidascomosendoovalormaisaproximadodo verdadeiro valor da grandeza, e os Erros como variaes infinitesimais das unidades de medida.Comisso,cabvelqueseafirmequeelessejamaDerivadadamedida.[42] [47] [60] Designamos,ento,y y y A = ex x x A = ,eexpressamosaacumulaode Erros da forma: [16] [47] nnxxfxxfxxfy Acc+ + Acc+ Acc= A ...2211 (2.4.5) NoesdeIncertezaseErrossoidiaspresentesemtodososcamposdo Clculo e da Modelagem de Sistemas. Considerando que os dados de um procedimento experimentaljnosoexatos,esimaproximadose,compreendendoqueoperaes realizadascombaseemvaloresinexatosacumulamepropagam,pormenoresque sejam,esseserrosaseusresultados,atualmente,comumarecorrnciaamtodosde modelagemqueprezempelaminimizaodosimpactoscausadospeloserros cometidos. [9] [12] 22 Captulo 3 Lgica Difusa 3.1 BREVE HISTRICO Aristteles,filsofogrego(384-322a.C.),foioprimeiroestudiosoapraticar umarepresentaodomtododepensamentohumano,atravsdasistematizaode regrasderaciocniolgico,estabelecendoumconjuntodenormasrgidasparaque concluses fossemaceitas como logicamentecorretas. A teoria diz que todo raciocnio lgico baseado em premissas e concluses,squais atribudo o valor de"verdade" safirmaes,classificando-ascomoverdadeirasoufalsas.Dessaforma,Aristteles fundaaLgicaClssica,denominadaatualmente,tambm,LgicaBivalenteque caracterizadapordoisprincpiosquesoaleidaLgicadanocontradioealeido terceiro excludo. Estes princpios dizem que nenhuma afirmao pode ser considerada verdadeiraefalsaaomesmotempoequeadeclaraotemquesernecessariamente verdadeira ou falsa. [44] [72] [73] WilliandeOckham,sculoXIV,procuravamodosdesimplificarummodelo criado a partir da natureza. Sua idia era cortar partes do modelo, de forma a simplific-lo.Paraisso,fezumaanalogiaaumanavalha,dandoorigemexpresso"Navalhade Ockham".Nasuaobra,utilizouumaLgicabaseadaeminformaesquenoeram "totalmenteverdadeiras,nemtotalmentefalsas".Porm,aformulaodomtodode raciocniolgicopermaneceucomoAristtelesestruturoudurantevriossculosato surgimento das Lgicas no clssicas, no sculo XIX. [44] [72] [73] George Boole reestruturou a lgica clssica, publicando suas idias, em 1847, no livro "The Mathematical Analysis of Logic". Esta obra evidencia que a Lgica pode ser manipulada algebricamente e que os resultados das operaes lgicas podem ser obtidos atravsdautilizaodetcnicasmatemticas,atribuindovaloresnumricosparaas 23 afirmaes:1(um)parapremissasverdadeiras,0(zero)parapremissasfalsas.Alm disso, instituiu uma forma de lgebra que estabelece operaes baseadas nesses valores. Praticamente,todaalgicatradicionaldecontrolee/oucomputaobaseadanas operaes da lgebra booleana, sendo uma grande contribuio na rea da computao. [44] [72] [73] BertrandRussell,autordeimportantestrabalhossobrelgicamatemticae filosofiaanaltica,naobra"PrinciplesofMathematics",em1903,mostrouquenem todososproblemaspoderiamserresolvidospelalgicabivalente,publicandoum problemaqueficoufamosocomoo"paradoxodeRussell".Oproblemanopodeser resolvido pela Lgica aristotlica. [44] [72] [73] JanLukasiewicz(1878-1956),em1920,introduziuasprimeirasnoesda lgicadosconceitosconflitantes(comoporexemplo:umcopomeiocheioumcopo novazio,enocheio).Olgicopolonsconsideravasuaformulaocontrria natureza psicolgica do homem, porm perfeitamente plausvel em termos matemticos, desde que osgraus de verdade no fossembivalentes. Apresentou a idia de conjuntos comgrausdepertinnciasendo0,e1comrespectivossignificados:no, possvel que seja, . Em torno de 1930, desenvolveu uma estrutura de Lgica multi-nvel,emcontrapartidalgicaaristotlica.Emsuaobra,Lukasiewiczapresentae discutealeidacontradioparacasosondeumadeterminadaafirmaopodeser verdadeira ou falsa, ao mesmo tempo. [44] [72] [73] Emmeioaosestudosdelgicasno-aristotlicasemmulti-nveis,surgea primeirapublicaosobreLgicaDifusa:TheFuzzySetsTheory,datadadoanode 1965,publicadoporLotfiAskerZadeh,professoremBerkeley,Universidadeda Califrnia.Zadehpesquisavasobreformasdemodelaralgunssistemasdenatureza industrial,biolgicaouqumica,quecompreendessemsituaesambguas,no passveisdeprocessamentoatravsdaLgicacomputacionalfundamentadanaLgica booleana. [44] [72] [73] AocombinarosconceitosdalgicaclssicaeosconjuntosdeLukasiewicz, definindo graus de pertinncia,Zadeh desenvolveu uma lgicaque violao conceito de que uma premissa totalmente verdadeira ou totalmente falsa, introduzindo uma teoria 24 delgica,capazdetratarinformaesconsideradasvagasouimprecisas.Apalavra Fuzzytemorigeminglesaesignificaincerto,vago,imprecisoentreoutros.Expressa exatamente os valores com que lida. [44] [72] [73] Entre1970e1980,asaplicaesindustriaisdaLgicaFuzzyaconteceramcom maiorimportncianaEuropae,aps1980,oJapoiniciouseuusocomaplicaesna indstria.Aprimeiraaplicaopblicafoiem1974quandooprofessorMandani,do QueenMaryCollege,daUniversidadedeLondres,implementouumcontroledeuma mquinaavapor,baseadoemLgicaFuzzy.Contemporaneamente,aplicaesforam desenvolvidasemumtratamentodeguafeitopelaFujiElectricem1983,epela Hitachi em um sistema de metr inaugurado em 1987. Por volta de 1990 que a Lgica Difusa despertou um maior interesse em empresas dos Estados Unidos. [72] [73] DevidoaodesenvolvimentoeasinmeraspossibilidadesprticasdosSistemas Fuzzyeograndesucessocomercialdesuasaplicaes,aLgicaFuzzyconsiderada hojeumatcnica"standard"etemumaamplaaceitaonareadecontrolede processos industriais. Apesar de os estudos tericos terem se desenvolvido na Europa e nosEstadosUnidos,asaplicaesnuncativeramlamesmanfasequetiveramno oriente, principalmente no Japo, que investiu muito no desenvolvimento de tecnologias baseadasnaTeoriaFuzzy.Hoje,diversasempresasdedesenvolvimentoindustrialtm procuradosoluesdiversasnessateoria.Ocontrolederefrigeradoresdebaixa potncia,transmissoautomotiva,emotoreseltricosdealtaeficciafazempartede suas linhas de pesquisa. [44] [72] [73]

O cmputo com idias vagas e imprecisas representa um grande passo na cincia dacomputao,nosentidodeauxiliarnasimulaoeimplementaodoprocessodo raciocnionamquina.SegundoBoole,oquenstemosqueexaminarsoasleisde uma das mais importantes faculdades mentais. A matemtica que temos que construir a matemtica do intelecto humano. O objetivo aproximar a deciso computacional da deciso humana, ou seja, que a deciso da mquina no fique restrita apenas a um sim ouno,mastambmtenhadecisesabstratas,como:umpoucomais,talvezsim.[44] [72] [73] 25 3.2 CONJUNTOS DIFUSOS A teoria clssica dos conjuntos, juntamente com a lgica clssica, admite apenas duas classificaes para a pertinncia de um elemento a um conjunto restrito por uma lei de formao: o elemento a somente pertence, ou no. Do mesmo modo, a veracidade de uma afirmao ou de um conceito percebido classificada somente por dois valores lgicos: verdadeiro ou falso. [48] Porm,apercepodequeomundonoconstitudodefatospuramente verdadeiros ou falsos, e de que existem conceitos vagos quanto sua prpria definio, conduzidiadequedoisfatosopostospodemexistirsimultaneamente.Assim,a veracidadedeumaproposiolgica,ouapertinnciadeumelementoaumconjunto passou a ser incerta. Dessa forma, a idia de Conjunto Difuso prope que um elemento podeseradmitidoparcialmenteemumconjunto,esuapertinnciaaele,bemcomoa verdade contida em uma afirmao, graduada. [36] [58] ConjuntosDifusosprocuramdescreverconceitosdoraciocniohumano, incorporando matematicamente noes intuitivas; conhecimentos subjetivos ou dbios; variveis lingsticas; entendimentos incompletos, fragmentados ou aproximados, sendo dessaforma,arepresentaomatemticadosvocbulosutilizadoscotidianamentena comunicao humana e no modo de explicar um acontecimento. Por exemplo: o motor estquente/morno/frio,onvelbaixo/mdio/alto,grandes/mdias/pequenas quantidades, entre outros. [19] [27] UmConjuntoDifusoTexpressomatematicamenteporumafunoque relacionaoselementosdeumdomnioqualquerdoUniversodeDiscursoUauma imagemnointervaloReal[0,1].Estafuno,denominadaFunodePertinnciado elemento,indicaograu) (uT comqueoelementoupertenceaoconjuntodifusoT. Essa expresso dada pelos pares ordenados)) ( , ( u uT . [27] [44] [58] Afuno) (uT definequaisdoselementosdoUniversodeDiscursoUfazem partedoconceitoquesepretenderepresentar,atribuindo-lhesumvalorqueinformao 26 graudeverdadedestapertinnciaaoconjunto.EstaFunodePertinnciaindica, tambm, que alguns elementos pertencem mais, ou menos, que outros. [32] [69] Quandoafirmamosque) (uT =0,correspondeno-pertinnciadoelemento aoconjuntoT;aafirmao) (uT =1indicaqueoelementopertenceplenamenteao conjunto, generalizando assim a teoria clssica dos conjuntos. OGrau dePertinncia ) (uT =0,5demonstraumparadoxo,indicandoumelementopodepertencer parcialmenteaoconjuntoequesuapertinnciaigualmenteverdadeiraefalsa.Desse modo,podemosentenderosconjuntosclssicos,denominadosapartirdeagora abruptos, apenas como casos especiais dos Conjuntos Difusos. [27] [36] [58] Deacordocomessenovoparadigma,podemosnecessariamenterepresentaras quantidadesdeinformaoqueumagrandezaofereceaoserrepresentadaporum vocbulo, indicando o grau de aproximao de um item em relao ao conceito descrito. Asfunesdepertinnciapodemserconjuntosdiscretosdepontosoufunes contnuasdentrodoUniversodeDiscursoU,definindovisualmentecurvasque representam a forma como cada elemento do domnio graduado. [36] [50] Ascurvasdasfunesdepertinnciapodemassumirdiversasformas.Asmais simples como as Triangulares e Trapezoidais so descritasapenas por linhas retas.Em geral,sodefcilconstruo,operaoeinferncia.Noentanto,deixamadesejarno quesito diferenciabilidade em todos os seus pontos. [19] [59] Figura 1: Exemplos de Funes de Pertinncia Triangular e Trapezoidal.Fonte: Primria 27 Curvas em forma de Distribuio de Gauss, ou simplesmente gaussianas, so to simples quanto as triangulares e trapezoidais. Tem como vantagem sobre as anteriores a condio de diferenciabilidade em todos os pontos, porm, no so recomendadas para mapear conceitos assimtricos. [19] [59] Figura 2: Exemplos de Funes de Pertinncia da forma Gaussiana.Fonte: Primria AsdeformatoSigmoidalsorecomendadasparaadescriodeassimetrias entre os elementos do conjunto. [19] [59] Figura 3: Exemplos de Funes de Pertinncia da forma Sigmoidal Fonte: Primria 28 Funes de pertinncia nos formatos Z, Pi e S tambm so recomendadas para o mapeamento de assimetrias. Apesar de semelhantes s sigmoidais, tm obrigatoriamente elementos cuja pertinncia) (uT = 0, e outros de pertinncia) (uT = 1. [19] [59] Figura 4: Exemplos de Funes de Pertinncia na formas de Z, Pi e S.Fonte: Primria Paraaconstruodeumconjuntodifuso,nohregrasenemformatos especficosquedevamserrigorosamenteseguidos.Anicacondioquedeveser satisfeita que a Funo de Pertinncia varie somente entre o intervalo real [0,1]. Sendo assim,podemosconstruirfunesdepertinnciasegundofunesmatemticas conhecidas,ecomissoabstrairmaiscompletamenteoutrasno-linearidadesdeum sistema. [29] [30] [32] 3.3 OPERAES COM CONJUNTOS DIFUSOS Algumasdasoperaesbsicasentreconjuntosdifusossoextensesdateoria clssicadosconjuntos.Estasoperaesdevemoferecer,portanto,resultadoscorretos quando apostasa conjuntos abruptos, j que estes so casos especiais dentro da Teoria dosConjuntosDifusos.Apresentamos,ento,asdefiniesdasoperaeseuma demonstrao grfica delas: [44] [48] [50] [58] 29 Sejam A e B subconjuntos de um mesmo Universo de Discurso: Definio3.3.1:U u u u mx B AB Ae =)}, ( ), ( { denominadaoperao de Unio. A unio implementada pelo conectivo lgico OU (OR), e pode ser ilustrada conforme a figura 5. Figura 5: Operao de unio Fonte: Primria Definio3.3.2:U u u u mn B AB Ae = )}, ( ), ( { denominadaoperao de I nterseco. EstaoperaoimplementadapeloconectivolgicoE(AND),ilustrada conforme a figura 6. Figura 6: Operao de interseco Fonte: Primria 30 Definio 3.3.3:)} ( 1 { u BB = chamado Complemento de B. Estaoperaoentendidacomoanegaodoconjuntodifuso,implementada pelo conectivo NO (NOT), e ilustrada na figura 7. Figura 7: Operao de negao.Fonte: Primria Seconsiderarmos,agora,doisConjuntosDifusosdefinidosemUniversosde Discursodiferentes:AemXeBemY,temosentoanoodeProdutoCartesiano entre Conjuntos Difusos. Definio 3.3.4: OProduto CartesianoentreosConjuntosDifusosAeBo Conjunto DifusoY y X x y x y x B AB Ae e = , )} , ( ), , {( . Entendendo que produto cartesianoB A uma Relao R contida no produto cartesianoY X , podemos expressa-lo como: [6]. Y X R B A c = (3.3.1) 31 Figura 8: Interpretao geomtrica do Produto cartesiano entre conjuntos difusos Fonte: Primria Enfim,asrelaesdecausaeconseqncia,fundamentalnatcnicade modelagemdesistemascombaseemLgicaFuzzy,definidaaoperaode Implicao Difusa e simbolizada por ( ). Considerando cada Relao R como uma Regra, que consiste em uma Premissa (conjunto A) e uma Conseqncia (conjunto B) da aplicao da operao de Implicao Difusa, a implicao definida como: Definio 3.3.5:) ( ) ( Y A B A B A = SejamosvaloresA xe eB y e ,AeBconjuntosdifusosdefinidos respectivamentenosUniversosdeDiscursoXeY.SemdiscordardaDefinio3.3.5, paraaRelaoDifusaB A R = ,soapresentadasasseguintesformasprticasde Implicao Difusa: [41] [67] Mamdani:| , | = =) ( ) ( min ) , ( ) , ( y x y x y xB A B A R (3.3.2) Lukasiewicz:| + | = =)) ( ) ( 1 ( , 1 min ) , ( ) , ( y x y x y xB A B A R (3.3.3) Soma Limitada:| + | = =)) ( ) ( ( , 1 min ) , ( ) , ( y x y x y xB A B A R (3.3.4) 32 Goguen:| | = =) ( / ) ( , 1 min ) , ( ) , ( x y y x y xA B B A R (3.3.5) 3.4 FUNDAMENTOS DA MODELAGEM DIFUSA UmsistemacaracterizadopornvariveispodesermodeladoporumMtodo Difusodeacordocomoentendimentoecomasexperinciasprticasdeumapessoa especializada em determinado assunto a respeito de como este sistema se desenvolve no decorrerdesuaobservaoeoperao.OssistemasmodeladossegundoaLgica Difusa so usualmente chamados de Sistemas Fuzzy. OsModelosDifusostmcomoprincipaiscaractersticasafacilidadede compreenso,porsuasimplicidadeestrutural.Emgeral,sodegrandedestrezaparaa soluo de problemas no-lineares e aproximao de comportamentos complexos, cujas variveis so pouco compreensveis. [19] [36] AconstruodeumSistemaFuzzyseiniciapelaidentificaodeVariveis Lingsticas que representam as variveis de entrada e sada do sistema. A idia central desobrigar-sedeboapartedospadresmatemticosrigorososparamensuraros estadosdasvariveisdeumsistemadinmico.Estasvariveis,quandoanalisadas durante a observao do comportamento, deixam de ser consideradas e aferidas somente deformanumricaexata,epassamaadmitirqueosseusestadossejamdescritos segundopalavras,usuaisnaformasubjetivadepensaredesecomunicardoser humano. [59] [61] [62] Os vocbulos, que transmitem um conhecimento incerto a respeito do estado de uma varivel, so abstrados e concebidos matematicamente por meio da construo de algunsConjuntosDifusos,osquaisrecebem,emgeral,onomedotermodevalor 33 lingsticoquerepresentam.Umconjuntodifusodenotadopor ixT denominado Termo Lingstico (Linguistic Term) da varivel x. [19] [28] [59] Definio 3.4.1:} ,..., , , { ) (2 1 0 nx x x xT T T T x T = o conjunto dos Termos Lingsticos que qualificam a varivel x. OsTermosLingsticos,emgeral,soadjetivos,empregadosparacaracterizar deformasubjetivaoestadodeumavarivel.Umexemplodidticocomumotermo ixT =Ambienteparaqualificarumavarivelx =Temperaturanafrase:temperatura ambiente ocorrem reaes que demandam 136 kcal. [29] [41] Definio3.4.2:UmaVarivelLingsticaXumaVariveldeEstadox associada um conjunto T(x). [44] [59] Novamente, tomando a varivel x como sendo TEMPERATURA, esta pode ser associada ao conjunto} , , { ) (3 2 1x x xT T T x T = , sendo 1xT = alta; 2xT = baixa; 3xT= ambiente, definidosestatisticamenteouintuitivamente,deacordocomoscritriosdeapreciao da varivel adotados (a partir de quantos graus Celsius a temperatura considerada alta? Ou baixa? Ou ambiente?). [19] [41] Partimos, assim, para a criao de um Sistema Especialista baseado emRegras LingsticasqueproponhamasRelaesFuzzyentreasidiaseosfatosdoevento observado com o enunciando de todas as proposies possveis entre os vocbulos, que resultar na representao do processo ao qual proposta a modelagem. SousadosTermosLingsticosparaproporumacaracterizaoaproximada parafenmenoscujosestadosdasvariveissomaldefinidosquantitativamente, transmitimos a expresso da semntica utilizada por pessoas. Essa transmisso se d por meiodeafirmaesverbaisnasquaisdeclaradaaassociaodavarivelcomcada termo lingstico que conota um estado seu: [19] [29] [41] 34 x ixT(3.4.1) AdescriodeumsistemapormeiodaLgicaDifusasedpormeiode conjecturaslgicasquedescrevemarelaoentresuasvariveis.Estasconjecturas mapeiamoselementosdeumUniversodeDiscursoX,deentradas,emoutro,Y,de sadas.Nelas,asleisdosistemasoimplementadassobaformadeProposies Condicionais1,ondeasvariveisdeentrada(x)estodispostasnaspremissasdas proposies e as de sada (y) esto nas conseqncias. [19] [59] ComousodeTermosLingsticosparaqualificarasvariveisdeumevento, soconferidas,sproposies,caractersticasDifusas.Devidoaestascaractersticas, taisconjecturassodenominadasProposiesCondicionaisDifusas,asquaissoa chave do mecanismo de funcionamento do Modelo Difuso. [36] [41][44] AsProposiesCondicionaisDifusasdescrevemRegrasdeControle Lingsticas(LinguisticControlRules)ousimplesmenteRegrasLingsticas,que implementamcomputacionalmenteaBasedeConhecimento(KnowledgeBase)do Sistema Especialista: [25] [26] [28] Se x ixTento y iyT(3.4.2) Para um sistema de mltiplas entradas e sadas, temos por extenso: Se x1 ixT1,..., e xn ixnT ento y1 iyT1,..., e yn iynT . (3.4.3)

1 Proposies Lgico-matemticas na forma Se ento (IF-THEN) 35 A base de conhecimento organizada conforme o modelo geral: R1) Se x1 ixT1,..., e (ou) xn ixnT , ento y1 iyT1,..., e (ou) yn iynT . R2) Se x1 ixT1,..., e (ou) xn ixnT , ento y1 iyT1,..., e (ou) yn iynT . . . . Rk) Se x1 ixT1,..., e (ou) xn ixnT , ento y1 iyT1,..., e (ou) yn iynT . (3.4.4) 3.5 INFERNCIA DIFUSA TomandoaBasedeRegrasenunciadasegundoaformageraldescrita, programamos um mecanismo deInferncia Difusaque avalie as regrase possibilite o usodomodeloparaaobtenoderespostasemsimulaesesinaisdecontrolepara decisoeautomao.AInfernciaomtododeraciocniolgicopeloqualobtemos concluses a partir dos fatos e proposies que a Base de Conhecimento de um Sistema Especialista oferece. Efetivamente, a Inferncia o uso do modelo para mapear o espao de entradas num espao de sadas. Dispondo as entradas e as sadas em uma linhalgica de causa-efeito, obtemos concluses a respeito da informao contida na Conseqncia por meio de analogias, indues ou dedues, a partir da Premissa. [13] [50] [59] H vrios mtodos para Inferncia Difusa em um Sistema Fuzzy, porm, o mais comumentreeles,paraaalocaodovetordesadas,oalgoritmodesenvolvidoe implementadoporMandani(Mandani-type).Odiagramaapresentadoaseguiroferece umanoodofuncionamentodestatcnica,demonstrando-aparaumsistemade mltiplasentradasenicasada(extensvelamltiplassadas),quesubdivididaem 36 cincoetapascrticas:aFuzzificaodasentradas,execuodasOperaesLgicas entreosConjuntosDifusos,aplicaodaImplicao,AgregaoeDefuzzificao, conforme segue. [50] [59] [67] ApartirdabasedeRegrasLingsticasquedescreveoprocesso,toma-seum vetordeentradas,quepodemserabruptasoudifusas;asentradasdevemserdispostas ordenadamente como a premissa de uma nova proposio condicional. [59] Efetua-seaFuzzificaodainformaocontidanovetordeentrada,conforme demonstrado (Figura 9),pelas linhas verticais, avaliando-se a compatibilidade entradas comasfunesdepertinnciadosTermosLingsticosdasvariveisdeentrada, ponderando o grau de pertinncia de cada estado medido das variveis de entrada. [59] Executam-seasOperaesLgicasE(AND)eOU(OR)entreos ConjuntosDifusosnaspremissas,conformedefinidosuasdefinies.Ento,deduz-se, atravsdaaplicaodaImplicao,qualograudepertinnciaqueainformaode entradafuzzificadainfluisobreosTermosLingsticosquedescrevemcadaumadas variveis de sada, como indicam as linhas horizontais (Figura 9). Assim, em cada regra, temoscomoconseqnciaconjuntosdifusos,decorrentesdosTermosLingsticosque expressam as sadas, com intensidades proporcionais Fuzzificao da entrada. [59] ParacadavariveldesadarealizadaaAgregaodosConjuntosDifusos, comoindicadopelassetasverticaisparabaixo(Figura9).Acomposioumclculo grficodaoperaodeUnioentretodososconjuntostruncadosnopassoanteriora qual resulta em um nico. [44] [67] ApartirdoConjuntoDifusoresultantedaAgregao,procede-sea Defuzzificao, onde este convertido em um valor numrico para as variveis de sada do sistema. Assim como em outras tcnicas de raciocnio incerto empregadas em projetos de sistemas especialistas, a Inferncia Difusa tenta estabelecer uma convico na concluso deumaregra,dadaaevidnciaavaliadanapremissadamesma.Essaconvicose concretizanoresultadodadefuzzificao,aqualequipaasefetivasrespostasdo 37 sistema. Deste modo, a escolha do critrio defuzzificador de fundamental importncia para a produo de respostas com a preciso necessria ao projeto [26] [27] [51] Figura 9: Diagrama demonstrativo de Inferncia difusa. Fonte: Primria ParaaDefuzzificao,existemvriosmtodos,taiscomo:Primeirodos Mximos(primeirovalordoUniversodeDiscursodasadaaatingiromaiorgraude pertinncia), Mdio entre os Mximos (mdia dos pontos que atingiram o maior grau de pertinncia), porm o mais utilizado o Centro de Gravidade. [44] [67] 38 OmtododoCentrodeGravidademtodomaiscomumentreossistemas Fuzzy.Nele,arespostadadapelaabscissadocentrodareadafiguraembaixoda curva resultante da Agregao dada por: }}=dx xdx x xy) () ( (3.5.1) 39 Captulo 4 Propagao de Erros por Proposies Condicionais Difusas Errosmuitopequenosgeralmentenocomprometemamodelagemdo comportamento global de um Sistema Dinmico. Em contrapartida, a acumulao deles duranteumprocessodecontrole,pareceevoluircomdinmicaprpria,oquepode comprometeraeficinciadoprojetoproposto,ocasionandofalhasmaisgravesemsua capacidade de previso do que a simples impreciso. [1] [43] [66] Observa-sequeocomportamentodoserrosinduzaumarpidapropagao, criandosituaesemqueesteserrospropagadoseacumuladosabremlacunasem determinadasfaixasdeoperao,oquepodeacarretaremperdasparaosistema.[10] [42] Quandosepodeidentificarqueapropagaodoserrosapresenta comportamentolinear,recamosemumerrosistemtico,facilmenteidentificvele compensvel.Emtodocaso,apropagaopodeassumirumacondutaaltamenteno-linear, o que nos leva, muitas vezes, crer que esta seja aleatria. [10] [16] [42] Podemosdescrevereanalisaressascaractersticasdocomportamentoevolutivo doserroscomousodeferramentasetcnicasFuzzy,asquaissocapazesdesugerir algumasobservaesinteressantesquetangemotimizaodomodeloproposto,com sua capacidade de abstrao de padres de difcil compreenso, como no-linearidades. Devidocarnciadeinformaesespecficasquedescrevamprecisamenteos estadoscomqueumsistemadeveriarespondersentradas,comsuasvariaese perturbaes,sefaznecessrioodesenvolvimentodeumaferramentacapazde manipulareoperarmatematicamenteosconceitossubjetivoseincertosdoquese entendeporerro,quenoprecisamserrigorosamenteverdadeirosoufalsos.Esses conceitos, que geralmente so fruto de experincias cotidianas, so bem compreendidos 40 pelo ser humano, quando transmitidos, sem que sejam necessariamente exatos. [26] [27] [36] ATeoriadosConjuntosDifusos,eastcnicasnelafundamentada,tm demonstradoserpoderosasferramentascapazesdecomputarcomconceitosenoes vagasarespeitodeumdeterminadoestado,deacordocomaelaboraodeumperfil matemticoparaestes.Arepresentaomatemticadeumainformaodifusafeita, qualitativamente, segundo graus de pertinncia com os quais expressam a verdade. Com isso, ao desvendar o relacionamento entre as variveis de um sistema cujas informaessovagamentequantificveis,programamosmodelosdifusospara descrev-lopormeiodeumabasederegrasqueincorporemmatematicamenteo conhecimento qualitativo do evento. [18] [27] O uso de mtodos de modelagem difusa tem comprovado bons efeitos e robustez narepresentaodesistemasfortementeno-lineares,principalmentequandonose temconhecimento,ouquandooconhecimentodocomportamentodeumsistema parcialmenteconhecido,ouaindaquandooconhecimentoapenassobreosaspectos qualitativos. Isso se deve facilidade de entendimento dos conceitos, que so baseados nacomunicaohumana,oquetornamaisfcilamodelagem.Otratamentodifuso atribuiaomodeloumasimplificaonaexposiodoprocessoemaiortolernciaa informaes mal aferidas, satisfazendo mltiplos objetivos de controle. [18] [19] [30] Sendoassim,objetiva-se,nestecaptulo,esboaraformacomqueaLgica Fuzzy pode ser empregada na modelagem do sistema de Propagao de Erros utilizando Conjuntos Difusos para abstra-los durante o uso de um modelo. Com isso, um sistema de controle difuso pode ser aplicado na deteco e correo de erros antes que se tornem efetivamente defeitos, buscando corrigir e eliminar prejuzos associados ocorrncia de anormalidade. 41 4.1ADAPTAODOSISTEMAFUZZYDETAKAGI-SUGENOPARAO CMPUTO DO ERRO PROPAGADO ParaoesboodaimplementaodeumSistemaEspecialistaDifusoque possibiliteaabstraodapropagaodeerrosdemedidaduranteaoperaodeum sistema,foiutilizadoprimeiramenteomtododesenvolvidoporTakagi-Sugeno.[3] [34] OsistemadifusoTakagi-Sugenopossuiacaractersticadeaproximaode funesreaiscontnuasmulti-variveisparaumamodelagemfortementeno-linear, possibilitando a incorporao de informaes qualitativas junto s quantitativas em um mesmomodelo,apartirdedadosdeentradaesadasdoprocessoquenecessitaser modelado. Sua praticidade se deve sua flexibilidade em descrever uma base de regras independentes entre si, as quais tm a seguinte forma geral: [41] [48] Regra i: Se y iyT , ento nnixxfxxfxxfy Acc+ + Acc+ Acc= A ...2211. (4.1.1) A aproximao do sistema dada por um mtodo de inferncia particular: [26] [28] [34] ==A= Aniinii iyy11 (4.1.2) Comonohprocedimentossistemticosrigorososparaaconstruodas RegrasLingsticas,omtodoTakagi-SugenosugerearepresentaodeumSistema DinmicoporProposiesCondicionaisDifusasondeosTermosLingsticosDifusos daspremissassoconjuntosdifusosdefunesdepertinnciadequalquerformato, 42 desdequecontnuas,easconseqnciasdasproposiessofunesdasvariveisde entrada. [55] Noprocessoproposto,amodelagemsebaseiaemdadoscoletados experimentalmente, observando o relacionamento entre as variveis sob o ponto de vista de uma nica entrada e uma nica sada. Sendo y uma varivel a ser medida dependente apenas de uma grandeza de entrada x, temos: ) (x f y =(4.1.3) Ametodologiafoitestadacomosseguintesdadosobtidosanaliticamente,a partir de uma funo linear de calibrao: XY 11 1,11,2 1,21,4 1,31,6 1,41,8 1,52 1,62,2 1,72,4 1,82,6 1,92,8 23 Tabela 1: Dados para teste, obtidos analiticamente. Fonte: Primria Avaliou-se o maior desvio dey emfuno da menor variao possvel dey em relaox,emtornododesviodex.Combasenosconceitosmatemticosdeerros descritos no Captulo 1, compomos a base de regras da seguinte maneira: [34] 43 ix , iy , i= (0, 1, 2, ..., n) so os valores das variaes das medidas das variveis. iyT denotaosconjuntosdifusostriangularesquerepresentamavarivelmedida expressandoograudepertinnciadovalormedido.Asregrasdosistemateroa seguinte forma geral: REGRA 0: Sey 0yT , entox a xx xy yy A = A= A00 10 1; Onde0yT = ))} ( , ( | ] , [ {01 0y y y y yyT e ; =01) (0 100y yy yyyT parapara outrosy y y ] , [1 0e (4.1.4) REGRA i: Se y iyT , entox a xx xy yyii ii iA = A= A + +1 11 1; Onde iyT = ))} ( , ( | ] , [ {1 1y y y y yiyTi i+ e ; =+01) (111i iii iiTy yy yy yy yyiy paraparapara

outrosy y yy y yi ii i] , [] , [11+ee (4.1.5) 44 REGRA n: Sey nyT , entox a xx xy yynn nn nA = A= A11; OndenyT = ))} ( , ( | ] , [ {1y y y y ynyTn ne ; =01) (11n nnTy yy yxny parapara outrosy y yn n] , [1 e (4.1.6) Figura 10: Nmeros Fuzzy. As funes de pertinncia foram ajustadas segundo o modelo de regra geral, com base nos dados da Tabela 1. Fonte: Primria Implementando computacionalmente o mtodo de inferncia, como definido em 4.1.2, temos: [34] 45 xa a aynn nA+ + ++ + += A ......1 01 1 0 0 (4.1.7) Queexpressaoerropropagadoparaumavariveldependentedeumanica grandezaponderandooscoeficientesdesensibilidadeapresentadosemcadaregra conforme o grau de pertinncia da medida ao intervalo. Encontraremos,paracadaintervalo[yi-1,yi],apsamanipulaoalgbricaa aproximao do sistema como [34]: ) )( (1111 + =ii ii iiy yy ya aadxdy (4.1.8) Figura 11: Superfcie gerada a partir de pontos escolhidos aleatoriamente no intervalo modelado. Fonte: Primria. 46 Dessa forma, so evitados exaustivos clculos de incerteza combinada, visto que estaexcedenasmargens.AoutilizarumSistemaTakagi-Sugenoparaauxiliarno processo de anlise de propagao de erro, o processo de verificao pode ser realizado emtemporeal,levandoemconsideraoqueasregrastemtimaadaptabilidadepara adicionar novos fatos instantaneamente. A incerteza na variao da margem de erro fica entoimplcitadifusidadedonmeroquerepresentaaquantidademedida,eno somente na margem de erro das variveis de influncia. importantenotarqueoerromximopropagadodiminuiconformeograude pertinnciaaoconjuntoquerepresentaovalordamedidaaumenta,conformeafigura 11, representando assim a possibilidade de certeza da menor propagao possvel. Paraverificaodavalidadedametodologia,foramescolhidospontos aleatoriamentenointervalomapeadopelosconjuntosdifusos.Calculamosoerrodey em funo de sua variao em relao ax, em torno da menor variao dex, por meio dametodologiaestatsticajconsagradaepormeiodaimplementaocomputacional darepresentaodosdadosporproposiescondicionaisdifusas,conformeomtodo proposto. xy y A*y A** 1.031,01 0,0640,06 1,141,201 0,08020,08 1,251,403 0,10,1 1,371,602 0,13920,14 1,441,803 0,08060,08 1,512,02 0,0360,02 1,622,202 0,04120,04 1,742,403 0,08060,08 1,832,602 0,06080,06 1,922,801 0,0403894740,04 1.992,98 0,0147368420,014737 Tabela2:Verificaodaeficinciadametodologia.*Erropropagadosobreyobtidopeloprocessode inferncia. ** Erro calculado manualmente, conforme o Teorema da Lei de Propagao dos Erros. Fonte: Primria Percebe-seque,aocombinaratcnicaclssicadepropagaodeerroscomo raciocnio da modelagem difusa, no h perda de eficincia no clculo. Dessa forma, o sistema difuso de Takagi-Sugeno, conforme a metodologia desenvolvida, tem condies 47 deauxiliarnodesenvolvimentodeumprocessodeautomatizaodacalibraode instrumentos, garantindo maior exatido das medidas. 4.2MTODOALTERNATIVOPARAAREPRESENTAODEDADOSPOR MEIO DE PROPOSIES CONDICIONAIS DIFUSAS Outratcnicaestudada,quesegueamesmalinhadetrabalhosdeTakagi-Sugeno,aRepresentaodeDadosAtravsdeProposiesCondicionaisDifusas propostaporLambert-Torres[27],aqualtambmpermitequesejamponderadas informaes difusas e no-difusas numa mesma base de regras. Esta tcnica consiste em enunciarumaproposiocondicionaldifusa,ponderarasdevidasavaliaes,erecair em uma equao do primeiro ou do segundo grau, a qual mapeia os limites de erro para uma determinada seqncia de estados. [26] [28] Cadavariveldeentrada(1x ,2x ,..., px )estassociadaaosconjuntosdifusos: retaouparbola.Paracadavariveldeentradaesada,seropropostos4modelos: reta-reta, reta-parbola, parbola-reta, parbola-parbola. Conhecendo cada componente de incerteza do instrumento/sistema de medida, possvelintuiraincertezatotaldamedida.Comisso,asregrasdifusaspresentesna mquinadeinferncia,levamemconsideraocadafatorquediretamenteinfluina calibrao do sistema de medio. Nessesentido,propostoqueasvariveisdeentradasejamascaractersticas estticasedinmicasdosistemademedio,comoporexemplo,aobedincia linearidade, sensibilidade esttica, a exatido e repetitividade, das medidas, entre outras. Avariveldesadayumafunodoprimeiroousegundograu,quemodelao comportamento da incerteza de medio com relao s medidas. A forma de Representao de Dados exposta tem a seguinte forma geral: [27] 48 Sex xT , ento y=22 1 0x a x a ai i i+ + . xT =+ +0022 1 0x m x m mi i iparaparapara 22 11ii iix xx x xx x>s s< (4.2.1) Onde ixT umconjuntodifusoquerelacionaumdomniodoUniversode Discurso, aqui admitido como o conjunto de nmeros Reais, a uma imagem no intervalo real de 0 a 1 pela funo de pertinnciaxT = 22 1 0x m x m mi i i+ +[28]. Para um sistema de mltiplas entradas e uma nica sada (por exemplo, de duas variveis), temos [28]: Ri) Se 1x ixT1e 2x ixT2 , ento y=22 3 2 322 1 1 01x a x a x a x a ai i i i i+ + + + . ixT =+ +0022 1 0x m x m mi i iparaparapara 22 11ii iix xx x xx x>s s< (4.2.2) Omodeloassimimplementadodevidosimplicidadecomqueumaequao linear ou quadrtica representa um sistema, o que o confere uma flexibilidade utilizando omenornmeroderegraspararepresent-lo.Dessaforma,possvelaabstrao computacional,dasrelaesaparentementeilgicasentreosvaloresdasvariveisde entrada e sada de um sistema, visualmente clara. Seguindoospassosdomtodoapresentado,deve-seconstruirumalista ordenada com os dados de entrada e sada. Em seguida, estabelecer uma tabela auxiliar que acrescente pouco a pouco os pontos da lista anterior fazendo regresses quadrticas at que o erro de regresso sempre menor do que o estabelecido no inicio, e quando esse 49 for maior que o erro pr-estabelecido pra, pois temos ento a primeira equao para a conseqncia. [25] [27] [28] De forma semelhante ao descrito no pargrafo acima, iniciamos uma nova tabela auxiliarincorporandopontos,poucoapouco,apartirdofinaldalistaordenada. Adicionamospontosregressodeformaqueoerrosejasempremenorqueo escolhido,equandooerroformaior,temosentoasegundaequaoparaa conseqncia. [26] [28] Ao verificar se h superposies dos intervalos regredidos, podemos nos deparar com a uma transio, entre as funes, sempre contnua e suave. Sendo assim, no so necessriasproposiesdifusasaomodelamento.Porm,bemmaiscomumqueisso noocorra,havendosempreumintervaloquenofoimodeladopornenhumaas regresses, o que nos indica a necessidade do uso das proposies condicionais difusas. [25][28] Essasproposiessoconstrudasescolhendopontosaleatoriamenteentreos listados.Osvaloresdosgrausdepertinnciadessespontossocalculadossegundoas tcnicasdeinfernciareversaFuzzy,que,narealidade,consisteemumsistemade diagnstico,ouseja,ummecanismodeintelignciaartificialcapazdeidentificar possveis causas a partir da anlise de seus efeitos. [37] Um algoritmo de inferncia que pode ser utilizado o Mx. Min., procedendo avaliaodomodeloapartirdaconclusoatobterapremissa.Emoutraspalavras, partindodaconclusoy,queovalordefuzificadodaresposta,aplicamosaoperao reversvel do mtodo do centro de gravidade equao y e chegamos ao conjunto difuso C=Max{GR(i):ie[1...r]},cujafunodepertinnciaomximodosvalores individuais em cada ponto. GR(i) o resultado do truncamento da funo genrica da conseqncia Gi no nvel do conjunto difuso genrico GT(i) na premissa para cada regra i, de onde obtemos os conjuntos difusos para cada premissa da base deregras [3] [44]. Assim,pormeiodaRepresentaodedadosporproposiescondicionais difusas, com regras nas formas Parbola-parbola, possvel modelar o comportamento sistemticodeerrosqueprejudicamamensuraodeumagrandezaapartirda 50 observao de sries bidimensionais que moldem o comportamento do sistema que essa grandezainfluencia,respeitandoaadaptaodavariaotemporal.Istopermitea arquiteturadeumarotinacomputacionalquesimulesituaesqueincorramemerros sistemticos, para previso e planejamento quantitativo, representando-os de forma mais simplificada, e prxima da compreenso humana. 4.2.1ADAPTAODOMTODOPARAAMODELAGEMDO COMPORTAMENTO DA PROPAGAO DE ERROS Combasenoscritriosdomtododescrito,umsistemafoiaproximadopela seguinterepresentao,parailustrao,consideramosarepresentaodasmedidasda varivelgenricaxapartirdocomportamentodosinaly.Ocomportamentoidealdo sinal y no decorrer do tempo representado pela figura 12. Figura 12: Funes regredidas para as Conseqncias. Fonte: Primria y = -0,4151t2+ 1,3026t - 0,0432y = 0,4101t2- 3,8644t + 8,1272-1,50-1,00-0,500,000,501,001,500,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,0051 Aps a regresso das parbolas que representam os dados do sinal y em relao aotempo,quesoasconclusesdasregras,pormeiodeumaInfernciaReversa, calculamos os conjuntos difusos que mapeiam as premissas. A base de regras comea a ser formada pelas seguintes proposies difusas, e os conjuntos difusos que representam a medida de x so representados graficamente conforme a figura 14: Figura13:ConjuntosdifusosparaasPremissas.Noeixohorizontalestodispostososvaloresdas medidas,enoeixoverticalosvaloresdosgrausdepertinnciadosconjuntosdifusos ix T1(emazul)e 12x T (em vermelho). Fonte: Primria R1) Se 1x 11x T , ento 24151 , 0 3026 , 1 0432 , 0 t t y + = . ix T1=+ 09508 , 1 3399 , 1 485 , 002x xparaparapara 11 00>s ss s s ss s s s s s s ss s s ss s s s s s s s s s s s s s. Acesso em: 17 set. 2008. 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