Rumo ao

Por que passar no BNB?

Por que passar no BNB?

Por que passar no BNB?

Por que passar no BNB?

Por que passar no BNB?

Por que passar no BNB?

DIAGRAMA DOS CONJUNTOSN = {0, 1, 2, 3, 4, ... }Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Exemplos Irracionais 0,212112111... 1,203040...

R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø

União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos

Conjunto ComplementarConsidere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A. Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por AC

Assim o complementar de um subconjunto A se refere a elementos quenão estão no conjunto A. Normalmente, o complementar se trata demaneira relativa à um conjunto universo U, sendo o conjunto AC o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

Conjunto Complementar

Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjuntocomplementar.

Considere o conjunto A={0,2,4,6,8,10,…} Veja como fica se o conjunto universo no nosso contexto for N (números naturais).

AC=N−A={1,3,5,7,9…}

B) Conjunto universo U=ZAgora, se o conjunto universo no nosso contexto for Z (números inteiros):

AC =Z−A={…,−3,−2,−1,1,3,5,7,9…}

Complemento RelativoSe A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , tambémconhecido como diferença de B e A (B – A) é o conjunto de elementos de B que não estão emA.

A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou também B-A .Assim: B \ A = { x ∈ B/ x ∉ A}

Exemplos{1,2,3}\{2,3,4}={1} {2,3,4}\{1,2,3}={4}

COMO A BANCA CESPE

COBRA ISSO?

Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B.

Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que segue.Se 11 passageiros estiveram em B, então mais de 15 estiveram em A.CertoErrado

Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B.

Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que segue.Considere que, separando-se o grupo de passageiros selecionados que visitou o país A, o

grupo que visitou o país B e o grupo que visitou o país C, seja verificado, em cada um desses grupos, que pelo menos a metade dos seus componentes era do sexo masculino. Nessa situação, conclui-se que o grupo de 30 passageiros selecionados tem, no máximo, 14 mulheres.

Certo Errado

O resultado de uma pesquisa acerca da satisfação de 200 papiloscopistas, no que diz respeito às tarefas por eles executadas de identificação de vítimas e de descobertas de crimes de falsificação, foi o seguinte:• 30 papiloscopistas sentem-se igualmente satisfeitos ao executar qualquer uma dessas tarefas;• 180 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executar pelo menos uma dessas tarefas.

Considerando que todos os 200 papiloscopistas responderam à pesquisa, julgue o item seguinte.

Menos de 30 papiloscopistas não se sentem satisfeitos ao executar alguma das duas tarefas mencionadas.

CertoErrado

O resultado de uma pesquisa acerca da satisfação de 200 papiloscopistas, no que diz respeito às tarefas por eles executadas de identificação de vítimas e de descobertas de crimes de falsificação, foi o seguinte:• 30 papiloscopistas sentem-se igualmente satisfeitos ao executar qualquer uma dessas tarefas;• 180 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executar pelo menos uma dessas tarefas.

Considerando que todos os 200 papiloscopistas responderam à pesquisa, julgue o item seguinte.

A quantidade de papiloscopistas que se sentem satisfeitos ao executar exatamente uma das referidas tarefas é superior a 100.

Certo Errado

O resultado de uma pesquisa acerca da satisfação de 200 papiloscopistas, no que diz respeito às tarefas por eles executadas de identificação de vítimas e de descobertas de crimes de falsificação, foi o seguinte:

• 30 papiloscopistas sentem-se igualmente satisfeitos ao executar qualquer uma dessas tarefas;• 180 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executar pelo menos uma dessas tarefas.

Considerando que todos os 200 papiloscopistas responderam à pesquisa, julgue o item seguinte.

Nessa situação, as informações dadas permitem inferir que exatamente 75 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executarem a tarefa de identificação de vítimas.

Certo Errado

RAZÃO E PROPORÇÃO

• A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quocienteentre dois números, A e B, denotada por A/B.

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4, pois 12/3 = 4.

Razão

• Já a palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ouseja, é uma igualdade entre duas razões.

Exemplo: 6 = 10 , a proporção 6 é proporcional a 10 .3 5 3 5

Proporção

• Dada a proporção x = 12, qual é o valor de x?

3 9

logo 9.x=3.12 → 9x=36 e portanto x=4

Exemplo:

DICA: Observe a ordem com que os valores são enunciadospara interpretar corretamente a questão.Exemplos: A razão entre a e b é a/b e não b/a!!!

• Grandezas diretamente proporcionaisA definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser

medido ou contado. Como exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, idade, etc.

As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que, à medida que uma grandeza aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional.

Regra de Três Simples

• Grandezas inversamente proporcionaisEntendemos por grandezas inversamente proporcionais as situações em

que ocorrem operações inversas, isto é, se dobramos uma grandeza, a outra é reduzida à metade.

São grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Percebemos que, variando uma delas, a outra varia na razão inversa daprimeira.

Regra de Três Simples

COMO A BANCA CESPE

COBRA ISSO?

Acerca de números inteiros, divisibilidade, números racionais e reais, julgue o item subsequente.Considere que a densidade demográfica — quantidade de habitantes por km² — de uma região A seja igual a 4/5 , Nesse caso, se em uma região B houver 12 habitantes em cada 15 km², então as regiões A e B possuem a mesma densidade demográfica.

Certo Errado

CESPE

Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de extensão em 30 dias, julgue o item que segueSe, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de uma segunda equipe, com 90 operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe inicial, então a estrada será concluída em menos de 1/5 do tempo inicialmente previsto.

Certo Errado

CESPE

• A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duasgrandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para não vacilar, temosque montar um esquema com base na análise das colunas completas emrelação à coluna do “x”.• Usaremos um método simples e direto que ao contrário dos métodos

tradicionais não analisa se as grandezas são diretamente ou inversamenteproporcionais.• E a Regra é clara:

O sinal indica quem fica no NUMERADOR da fração, ou seja, se aparecer o sinal de + fica o MAIOR valor da coluna, se aparecer o sinal de – fica o MENOR valor da coluna.

Regra de Três Composta

COMO A BANCACESPE COBRA

ISSO?

Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios.Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.CertoErrado

Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios.Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.

Em um mesmo dia, 8 desses operadores, trabalhando durante 7 horas, carregam mais de 15 navios.

Certo Errado

• Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL como uma forma de divisão na qual se determinam valores que, divididos por quocientespreviamente determinados, mantêm-se uma razão constante (que nãotem variação).• Iremos estudar os principais casos de Divisão Proporcional que caem em

prova.

Divisão Proporcional

Caso 1: Dividir em partes diretamente proporcionais à valores inteiros.Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2,3 e 4.

Divisão Proporcional

Caso 2: Dividir em partes diretamente proporcionais com algum valor fracionário.

Dividir o número 405 em partes diretamente proporcionais a 2/3 , 3/4 e 5/6.

Divisão Proporcional

Caso 3: Dividir em partes inversamente proporcionais.Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 2 e 5.

Divisão Proporcional

COMO A BANCACESPE COBRA

ISSO?

Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente proporcionais às suas idades.Nessa situação hipotética,um dos irmãos receberá metade da herança.Certo

Errado

Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente proporcionais às suas idades.Nessa situação hipotética, Jonas receberá 50% a mais que Saulo.CertoErrado

PORCENTAGEM

• A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando “porcento”, “a cada centena”) é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores(um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominadoré 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem).

Definição

•Sendo assim:

X % = X / 100 e vice-versa,ou seja, toda porcentagem é uma fração de denominador 100 e toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem.

PORCENTAGEM

• Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxaunitária.• A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em

matemática financeira.

• Taxa Unitária

• É muito importante sabermos calcular os valores básicos de 1% e 10% .

• 1% : basta movimentar a vírgula duas casas para a esquerda.Ex: 1% de 170 = 1,7 1% de 354 = 3,54

1% de 456,7 = 4,567

• 10% : basta movimentar a vírgula uma casa para a esquerda.Ex: 10% de 170 = 17,0 10% de 354 = 35,4

10% de 456,7 = 45,67

DICA

Calcule:a)20% de 430

b)30% de 350

Exemplos

c)40% de 520

d)75% de 150

Exemplos

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto?

Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo:

O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial.Como vimos no tópico anterior (taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.• O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu

produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar.

FATOR DE CAPITALIZAÇÃO

120Fator de Capitalização = 1,2

100=

• COMO FAZER:

FATOR DE CAPITALIZAÇÃO

Acréscimo de 30% 1,3

Acréscimo de 15% 1,15

130 = 100% + 30% = 130% =

100115

= 100% + 15% = 115% = 100

103 = 1Acréscimo de 3% 1,03

Acréscimo de 20

00% + 3% = 103% = 100

300 = 100% + 200% = 30 00% =

0% 3

1 0

=

=

=

=

Agora vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto?

Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo

O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial.

Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar.

• O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar.

FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO

80Fator de Descapitalização = 0,8

100=

• COMO FAZER:

FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO

Desconto de 30% 0,7

Desconto de 15% 0,85

70 = 100% 30% = 70% =

10085

= 100% 15% = 85% = 100

97 = 1Desconto de 3% 0,97

Desconto de

00% 3% = 97% = 100

50 = 100% 50% = 50% =

10050% 0,5

- =

- =

- =

- =

COMO A BANCA CESPE COBRA

ISSO?

122225. Ao passar com seu veículo por um radar eletrônico de medição de velocidade, o condutor

percebeu que o velocímetro do seu carro indicava a velocidade de 99 km/h. Sabe-se que a velocidade mostrada no velocímetro do veículo é 10% maior que a velocidade real, que o radar mede a velocidade real do veículo, mas o órgão fiscalizador de trânsito considera, para efeito de infração, valores de velocidade 10% inferiores à velocidade real.

Nessa situação, considerando que a velocidade máxima permitida para a via onde se localiza o referido radar é de 80 km/h,o condutor não cometeu infração, pois, descontando-se 20% da velocidade mostrada no velocímetro de seu veículo, o valor de velocidade considerada pelo órgão fiscalizador será de 79 km/h.

Certo Errado

122258. Com relação a matemática financeira, cada um do item a seguir apresenta uma situação

hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada.Para liquidar o estoque de determinado produto, o lojista ofereceu um desconto de 10% no preço de venda. Passados alguns dias, para o estoque remanescente, o lojista concedeu novo desconto, agora de 20% sobre o preço já com primeiro desconto. Nessa situação, o valor do desconto que é equivalente a um único desconto aplicado sobre o preço do produto é igual a 28%.

CertoErrado

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum (excetuando-se o “0”) pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30:M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, .... M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...Logo o MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60.Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns. Observe: 20 = 2 . 2 . 5 = 2² . 5 e 30 = 2 . 3 . 5 = 2 . 3 . 5 logo

MMC (20; 30) = 2² . 3 . 5 = 60

Definição

A terceira e melhor opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

Dica: Apenas números naturais tem M.M.C

Um método rápido e fácil para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a FATORAÇÃO.Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que ao menos um deles possa ser dividido pelo fator primo apresentado, até que não sobrem valores maiores que 1.O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Mínimo Múltiplo Comum.

Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar os números 6, 8 e 12 como exemplo.

MÉTODO PRÁTICO

Da fatoração destes três números temos:

O M.M.C será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição dos valores dados.

Logo: M.M.C (6 , 8 , 12) = 2.2.2.3 = 24

MÉTODO PRÁTICO

Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números.

Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 2 , 5 e 6 são exatamente os múltiplos positivos de 30 (m.m.c. (2 ,5 , 6) = 30), ou seja, são 30 , 60, 90,...

PROPRIEDADE

CUIDADOApesar do nome Mínimo Múltiplo Comum é equivocado pensar que o “mínimo” indica um número pequeno, talvez menor que os valores apresentados. Na verdade ele é o menor dos múltiplos e quase sempre maior que todos esses valores de quem se busca o cálculo do M.M.C.

Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia?

MÁXIMO DIVISOR COMUM

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30:D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. e D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método.20 = 2 . 2 . 5 = 2² . 5 e 30 = 2 . 3 . 5 = 2 . 3 . 5Logo MDC (20; 30) = 2 . 5 = 10

Definição

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea e conjunta dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

Logo o M.D.C (20 , 30) = 10

Como identificar questões que exigem o cálculo do M.D.C?

Para não ficar em dúvida quanto à solicitação da questão, M.M.C ou M.D.C, basta entender que o M.D.C por ser um “divisor comum”, é um número sempre será menor ou igual ao menor dos valores apresentados , logo sempre um valor aquém dos valores dados, dando ideia de corte, fração.Já o M.M.C por ser um “múltiplo comum”, é um número sempre será maior ou igual ao maior dos valores apresentados , logo sempre um valor além dos valores dados, criando uma ideia de “futuro”.

CUIDADOApesar do nome MÁXIMO Divisor Comum, é equivocado pensar que esse “máximo” indica um número grande. Na verdade ele é o maior dos divisores apresentados mas por ser divisor é quase sempre menor que todos os valores de quem se busca o cálculo do M.D.C.

Em uma arvore de natal, três luzes piscam com frequência diferentes. A primeira pisca a cada 4 segundos, a segunda a cada 6 segundos e a terceira a cada 10 segundos. Se num dado instante as luzes piscam ao mesmo tempo, após quantos segundos voltarão, a piscar juntas?a) 24b) 40c) 60d) 80e) 100

Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmonúmero de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos ositens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi:

a) 74b) 88c) 96d)102e)112

Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? a) 3 e 78b) 5 e 78c) 6 e 65d) 65 e 6e) 78 e 5