S ries Temporais e Modelos Din micos em Econometria - PUC Rio › marcelomedeiros › eco2aula12.pdf · Percentual de rejeic¸ao da hip´otese H0: β1 = 0 ao n´ıvel de 5%: 92.15%

Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria

Cointegracao

Series Temporais e Modelos Dinamicos em

Econometria

Marcelo C. Medeiros

Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro

Aula 12

Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos


Cointegracao

Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias

Considere tres processos estocasticos definidos pelas seguintesvariaveis aleatorias

yt = µt + εt ,

xt = µt + νt ,

µt = µt−1 + ηt ,

onde µ0 = 0 e :

{εt , t = 1, . . . ,T} ∼ NID(0, σ2ε)

{νt , t = 1, . . . ,T} ∼ NID(0, σ2ν)

{ηt , t = 1, . . . ,T} ∼ NID(0, σ2η)

εt , νt e ηt sao variaveis aleatorias independentes para qualquerinstante de tempo t.



Cointegracao


Considere a regressao

yt = β0 + β1xt + ut ,

onde as variaveis yt e xt foram definidas na transparenciaanterior.

Qual o valor de β0 e β1?

O que pode ser dito a respeito dos estimadores de mınimosquadrados ordinarios (MQO) β0 e β1?



Cointegracao


Simulacao2000 amostras com 1000 observacoes de yt e xtPara cada amostra, β0 e β1 foram calculados por MQ0Veja o histograma dos estimadores

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

150

200

250

0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.020

50

100

150

200

250

Média: 0.0019

Média: 0.9893

Media do R2 para as 2000 amostras: 0.9788Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos


Cointegracao


Considere agora a regressao

zt = β0 + β1xt + ut ,

onde a variavel xt foi definida anteriormente e

zt = 1.5 + 5.3xt + wt .





Cointegracao


Simulacao2000 amostras com 1000 observacoes de yt e ztPara cada amostra, β0 e β1 foram calculados por MQ0Veja o histograma dos estimadores

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

50

100

150

200

250

5.28 5.285 5.29 5.295 5.3 5.305 5.31 5.315 5.32 5.3250

50

100

150

200

250

Media do R2 para as 2000 amostras: 0.9996Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos


Cointegracao


Considere agora a regressao

yt = β0 + β1zt + ut ,

onde a variavel yt foi definida anteriormente e zt segue umpasseio aleatorio independente de yt , ou seja,

zt = zt−1 + wt .





Cointegracao


Simulacao

2000 amostras com 1000 observacoes de yt e ztPara cada amostra, β0 e β1 foram calculados por MQ0Veja o histograma dos estimadores

−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 800

50

100

150

200

−4 −3 −2 −1 0 1 2 30

50

100

150

200

250

Média: 0.1026

Média: 0.0134

Media do R2 para as 2000 amostras: 0.2375

Percentual de rejeicao da hipotese H0 : β1 = 0 ao nıvel de 5%: 92.15%



Cointegracao


Simulacao (continuacao)

Histograma do coeficiente de correlacao amostral entre yt e zt .

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

250



CointegracaoResultado Principal

O Mecanismo Gerador dos Dados (MGD)

Vamos considerar o seguinte modelo:

yt = yt−1 + ut , ut ∼ IID(0, σ2u)

xt = xt−1 + et , et ∼ IID(0, σ2e ),

onde E(utes) = 0, ∀ t, s.

Agora vamos supor que a seguinte regressao tenha sidoestimada por MQO:

yt = β0 + β1xt + vt .

β0 e β1 sao estimadores consitentes para β0 e β1?




O Estimador de MQO

Vamos considerar o caso de β1 primeiro:

β1 =

[T∑

t=1

yt(xt − x)

][T∑

t=1

(xt − x)2

]−1

=

[T−2

T∑

t=1

ytxt − T−1y x

][T−2

T∑

t=1

(xt − x)

]−1

=

[T−2

T∑

t=1

ytxt − T−1/2yT−1/2x

][T−2

T∑

t=1

x2t − T−1x2

]−1

.




O Estimador de MQO

Vamos lembrar que:

T−1/2y = T−3/2T∑

t=1

yt ⇒ σu

∫ 1

0

Wu(r)dr ,

T−1/2x = T−3/2T∑

t=1

xt ⇒ σe

∫ 1

0

We(r)dr ,

T−2T∑

t=1

x2t ⇒ σ2e

∫ 1

0

We(r)2dr .




O Estimador de MQO

Tambem podemos mostrar que

T−2T∑

t=1

ytxt ⇒ σuσe

∫ 1

0

Wu(r)We(r)dr .

Portanto,

β1 ⇒σuσ

−1e

[∫ 10Wu(r)We(r)dr −

∫ 10Wu(r)dr

∫ 10We(r)dr

]

∫ 10We(r)2dr −

[∫ 10We(r)dr

]2 .




O Estimador de MQO

Vamos ver agora o que acontece com β0.

Sabemos que

T−1/2β0 = T−3/2T∑

t=1

yt − βT−3/2T∑

t=1

xt .

Portanto,

T−1/2β0 ⇒ σu

[∫ 1

0

Wu(r)dr − ξ

∫ 1

0

We(r)dr

],

onde

ξ =

∫ 10Wu(r)We(r)dr −

∫ 10Wu(r)dr

∫ 10We(r)dr

∫ 10 We(r)2dr −

[∫ 10 We(r)dr

]2 .



Cointegracao

O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado

O Mecanismo Gerador dos Dados (MGD)

Vamos considerar o seguinte modelo:

yt = βxt + ut , ut ∼ IID(0, σ2u)

xt = xt−1 + et , et ∼ IID(0, σ2e ),

onde E(utes) = δtsσue e

δts =

{1 se t = s,

0 caso contrario.

Vamos encontrar a distribuicao de T(β − β

).



Cointegracao


O Estimador de MQO

Podemos escrever

T(β − β

)=

(T−2

T∑

t=1

x2t

)−1(T−1

T∑

t=1

xtut

).

Sabemos que

T−2T∑

t=1

x2t ⇒ σ2e

∫ 1

0

We(r)2dr .



Cointegracao


O Estimador de MQO

Vamos escrever ut = γet + vt , onde γ = σue

σ2ee σ2

v = σ2u −

σue

σ2e.

Por construcao E(etvs) = 0, ∀, t, s.

Portanto,

T−1T∑

t=1

xtut = T−1T∑

t=1

(γet + vt)

= γT−1T∑

t=1

xt−1et + γT−1T∑

t=1

e2t

+ T−1T∑

t=1

xt−1vt + T−1T∑

t=1

etvt .



Cointegracao


O Estimador de MQO

Ja sabemos que:

T−1T∑

t=1

xt−1et ⇒σ2e

2

[We(1)

2 − 1]= σ2

e

∫ 1

0

We(r)dWe(r)

T−1T∑

t=1

etvtp

−→ 0.



Cointegracao


O Estimador de MQO

Podemos mostrar tambem (mas nao e tao simples) que

T−1T∑

t=1

xt−1vt ⇒ σeσv

∫ 1

0

We(r)dWv (r)

≡ σeσvN

[0,

∫ 1

0

We(r)2dr

].



Cointegracao


O Estimador de MQO

Finalmente,

T(β − β

)⇒

{γσ2e

2

[We(1)

2 − 1]+ σeσvN

[0,

∫ 1

0

We(r)2dr

]}

×

[σ2e

∫ 1

0

We(r)2dr

]−1

.

Sob H0 : β = β∗, a distribuicao da estatıstica-t e dada por:

tβ ⇒γσe

2σu

[We(1)

2 − 1]×

[∫ 1

0

We(r)2dr

]−1/2

+σv

σuN(0, 1).

Caso γ = 0,

tβd

−→ N(0, 1).



Cointegracao


O Estimador de MQO

Sob endogeneidade e/ou autocorrelacao dos erros, oestimador de MQO, apesar de consistente, nao seraassintoticamente normal.

Para corrigimos este problema uma solucao e o estimador deMQO dinamico. A ideia e estimar β na seguinte regressao:

yt = βxt + δ0∆xt +

K∑

k=−K

δk∆xt−k + vt .

Neste caso inferencia usual podera ser utilizada.

Os resultados anteriores permanecem validos caso xt ∈ Rk ,

k > 1.



Cointegracao


Cointegracao

Definicao

Suponha que zt ∈ Rn seja um vetor de variaveis integradas de

ordem d , zt ∼ I(d). Dizemos que zt e cointegrado de ordens(d ,b), caso exista um vetor β tal que β′zt ∼ I(d − b).

Em geral d = b = 1 e dizemos simplesmente que zt e umvetor de variaveis cointegradas.

β e chamado de vetor de cointegracao.



Cointegracao


Cointegracao

Seja xt um passeio aleatorio vetorial tal que:

xt = xt−1 + et ,

onde E(et) = 0 e E(ete′

t) = Σ.

Suponha queyt = β0 + β′xt + ut ,

onde E(ut) = 0 e ut ∼ I(0).

Dizemos que (yt , x′

t)′ sao variaveis cointegradas com vetor de

cointegracao β.



Cointegracao


Cointegracao e o Modelo de Correcao de Erros

O modelo anterior pode ser escrito na forma de correcao deerros:

αp(L)∆yt = α0 + βp(L)′∆xt − α(yt−1 − β′xt−1) + vt ,

∆yt︸︷︷︸Movimentos de curto-prazo

= α0 +

p∑

i=1

αi∆yt−1 + βp−1(L)′∆xt

− α (yt−1 − β′xt−1)︸︷︷︸Desvio em relacao ao equilıbrio de longo-prazo

+ vt ,

onde vt e um processo diferenca martingal.

A ordem p esta relacionada com a estrutura de dependenciaem ut .



Cointegracao


Cointegracao e o Modelo de Correcao de Erros

O modelo de correcao de erros tambem pode ser derivado apartir de um modelo ARDL envolvendo variaveis integradas:

yt = α0 + β′

0xt + · · ·+ β′

kxt−k + ut ,

onde xt ∼ I(1) e ut ∼ I(0).



Cointegracao


A Metodologia de Engle-Granger

Suponha que zt = (yt , x′

t)′.

Considere a seguinte regressao de interesse

yt = β0 + β′xt + ut .

Para sabermos se esta e uma regressao valida ou naopodemos proceder da seguinte forma:

1 Teste se yt e xt sao I(1).2 Em caso afirmativo, estime β0 e β por MQO ou por MQO

dinamico.3 Teste se ut e estacionario ou nao. Note que voce esta

aplicando o teste nos resıduos e nao nos erros do modelo!Desta forma os valores crıticos dos testes ADF e PP devem sercorrigidos!



Cointegracao


O Caso Multivariado

Caso zt possua n variaveis I(1), podem existir ate n − 1relacoes (vetores) de cointegracao linearmente independentes.

A metodologia de Engle-Granger e mais adequada quando haapenas uma relacao de cointegracao.

Suponha que zt ∼ I(1) siga um VAR nao-estacionario deordem p:

zt = φDt + C1zt−1 + · · ·+ Cpzt−p + vt ,

onde Dt sao termos determinısticos.

Podemos mostrar que

∆zt = Πzt−1 + Γ1∆zt−1 + · · ·+ Γp−1∆zt−p+1 + vt ,

onde Π = −(I−∑p

i=1Ci

)e Γj =

∑pi=j+1Ci .



Cointegracao


O Caso Multivariado

O modelo

∆zt = Πzt−1 + Γ1∆zt−1 + · · · + Γp−1∆zt−p+1 + vt

e desbalanceado pois ∆zt ∼ I(0) mas zt ∼ I(1)!

Solucao: Π = αβ′, onde β′zt ∼ I(0) ⇒ cointegracao!

zt ∈ Rn, Π ∼ (n × n), α ∼ (n × k) e β′ ∼ (k × n).

k e o posto de cointegracao = numero de relacoes decointegracao linearmente independentes.

k = 0 ⇒ Π = 0 ⇒ Nao ha cointegracao e o VAR em primeiradiferenca deve ser considerado.k = n ⇒ Todas as variaveis sao estacionarias e o VAR emnıvel pode ser estimado.0 < k < n ⇒ Cointegracao.



Cointegracao


O Caso Multivariado

Caso o VAR associado ao modelo

∆zt = Πzt−1 + Γ1∆zt−1 + · · · + Γp−1∆zt−p+1 + vt

seja nao estacionario

∣∣∣∣∣I−p∑

i=1

Ci

∣∣∣∣∣ = 0

⇒ |Π| = 0

⇒ Π e singular!



Cointegracao


Estimacao

Nosso objetivo e estimar os parametros do modelo

∆zt = αβ′zt−1 + Γ1∆zt−1 + · · ·+ Γp−1∆zt−p+1 + vt .

Regressao com posto reduzido (RRR) de ∆zt em ztcontrolando para:

Termos determinısticos: constante, tendencia determinıstica,etc.Defasagens de ∆zt .



Cointegracao


Estimacao: O Teorema de Frisch-Waugh

Vamos considerar a seguinte regressao: zt = A′xt +ΦDt + vt .

Resıduos das regressoes de zt e xt em Dt :

Rzt = zt −MzDM−1DD

Dt

Rxt = xt −MxDM−1DD

Dt

Portanto,Rzt = A′Rxt + vt .

Estimacao de A:

A′

= MRztRxtM−1

RztRzt



Cointegracao


Estimacao

Seja∆zt = αβ′zt−1 + Γ1∆zt−1 +ΦDt + vt ,

onde vt ∼ NID(0,Σv).

Sejam R0,t e R1,t os resıduos das regressoes de ∆zt e zt−1 em∆zt−1 tal que R0,t = αβ′R1,t + vt .

Funcao de Verossimilhanca:

L =1

|Σv|T/2exp

[−1

2

T∑

t=1

(R0,t −αβ′R1,t

)′

Σ−1v

(R0,t −αβ′R1,t

)].

Estimacao de α com β fixo.

Como estimar β?



Cointegracao


Estimacao: VECM(1)

Vamos definir as correlacoes quadraticas:

Si j =1

T

T∑

t=1

RitR′

jt .

Portanto,

α(β) = S01β(β′S11β

)−1

Σv(β) = S00 − S01β(β′S11β

)−1

β′S10

L−

T2

max(β) =∣∣∣Σv(β)

∣∣∣ =∣∣∣S00 − S01β

(β′S11β

)−1

β′S10

∣∣∣

= |S00||β′(S11 − S10S

−100 S01

)β|

|β′S11β|.



Cointegracao


Estimacao

Para escrevermos

L−

T2

max(β) =∣∣∣Σv(β)

∣∣∣ =∣∣∣S00 − S01β

(β′S11β

)−1

β′S10

∣∣∣

= |S00||β′(S11 − S10S

−100 S01

)β|

|β′S11β|.

utilizamos a igualdade

|C−B′A−1B| =|A− BC−1B′||C|

|A|.

A maximizacao da verossimilhanca com respeito ao parametroβ e equivalente na minimizacao de

|S00||β′(S11 − S10S

−100 S01

)β|

|β′S11β|

com respeito a β.



Cointegracao


Estimacao

Para encontramos β devemos resolver o seguinte problema deautovalor

|S10S−100 S01 − λS11| = 0,

pois o mınimo de

|S00||β′(S11 − S10S

−100 S01

)β|

|β′S11β|

e dado pela maior raız caracterıstica de |S10S−100 S01 − λS11|.

As raizes da equacao acima sao as k correlacoes canonicasentre R0t e R1t .



Cointegracao


Estimacao

Primeiro note que se λi e um autovalor de A, entao 1− λi eum autovalor de (I− A).

Portanto,

L−

T2

max(β) = |S00|

n∏

i=1

(1− λi).

Os autovetores associados sao as relacoes de cointegracao.

Para identificacao precisamos impor restricoes nosautovetores: ortonormalidade.

Como determinar o numero de relacoes de cointegracao?Posto de Π.

Testes do traco e do maximo autovalor.



Cointegracao


Teste do Traco

Vamos definir

λtraco(k) = −T

n∑

k+1

ln(1− λi ).

Hipotese de interesse: k ≤ n.

Procedimento sequencial de teste.



Cointegracao


Teste do Maximo Autovalor

Vamos definir

λmax(k , k + 1) = −T ln(1− λk+1).

Hipotese de interesse: k ≤ n.

Procedimento sequencial de teste.


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