Tatiene Correia de Souza / UFPB [email protected]/Disciplinas/2014.2/Slides/TesteHipotese.pdf · Introduc¸ao pr˜ atica aos testes de hip´ otese; ... de 300 minutos. Se voce

Teste de hipotese

Tatiene Correia de Souza / [email protected]

December 1, 2014

Souza () Teste de hipotese December 1, 2014 1 / 37

O que vamos aprender?

Introducao pratica aos testes de hipotese;Como estabelecer as hipotese nulas e alternativa;Teste monocaudal ou bicaudal;Como interpretar uma decisao baseada nos resultados dostestes;Escrever uma alegacao para o teste de hipotese.


Teste de hipotese

E um procedimento que usa estatıstica amostral para testar umaalegacao sobre o valor de um parametro populacional.

Exemplo:Suponha que um fabricante alegue que a vida media das pilhas AA ede 300 minutos. Se voce suspeitasse que a alegacao nao e valida,como poderia mostrar que ela e falsa?Voce poderia extrair uma amostra aleatoria de tamanho n = 100, porexemplo, calcular a media e o desvio padrao. Suponha que X = 294minutos e o desvio padrao s = 20 minutos. Isso indica que a alegacaodo fabricante e falsa?Para responder a esta pregunta voce fara algo incomum -voce supoeque a alegacao e correta.


cont. exemploVoce supoe que µ = 300 e examina a distribuicao amostral dasmedias amostrais (com n = 100) extraıdas de uma populacao na qualµ = 300 e σ = 20. Com base no Teorema Central do limite, temos quea distribuicao amostral de X e:

N (300,4).

Qual e a probabilidade de obter uma media amostral de 294 oumenor? O que voce acha da alegacao do fabricante?


cont. exemploVoce supoe que µ = 300 e examina a distribuicao amostral dasmedias amostrais (com n = 100) extraıdas de uma populacao na qualµ = 300 e σ = 20. Com base no Teorema Central do limite, temos quea distribuicao amostral de X e:

N (300,4).

Qual e a probabilidade de obter uma media amostral de 294 oumenor? O que voce acha da alegacao do fabricante?


Estabelecendo uma hipotese:

E preciso estabelecer cuidadosamente um par de hipotese, em queuma representa uma alegacao e a outra o seu complemento. Ahipotese que contem a afirmativa de igualdade e a hipotese nula- H0,e o seu complemento hipotese alternativa - H1.

Exemplo 1 - formular as hipotesesA UFPB alega que a proporcao de alunos formandos em quatroanos e de 82%H0 : p = 0.82 (

:::::::::alegacao) versus H1 : p 6= 0.82

Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo medio dotipo A e inferior a 2,5 galoes por minuto.H0 : µ ≥ 2.5 versus H1 : µ < 2.5 (

:::::::::alegacao)

Uma companhia que fabrica cereais alega que o peso medio doconteudo de suas caixas de cereais e e superior a 20 oncas.H0 : µ ≤ 20 versus H1 : µ > 20 (

:::::::::alegacao)


Estabeleca as hipoteses nula e alternativa e identifique qualdelas representa a alegacao.

Um fabricante de bateria para automoveis alega que a vida mediade um determinado modelo e de 74 meses.

Uma estacao de radio alega que sua proporcao de audiencialocal e maior do que 39%.Um advogado que e tambem consumidor suspeita que oengarrafamento de uma fabrica esta sistematicamente enchendoa menos suas garrafas de vinho de 750 ml. Uma amostra de 40garrafas e extraıda e o volume de vinho de cada garrafa e medido.Um pesquisador de saude publica acredita que homens emservicos administrativos tendem a ter vidas mais estressadas doque homens que trabalham como operarios de producao. Istocausaria pressao arterial em media mais alta nos funcionariosadministrativos. Amostras de 100 homens em cada categoriaforam extraıdas e suas pressoes arteriais foram medidas.


cont.Um pesquisador acredita que aprender uma lıngua estrangeiraparecida melhoraria a compreensao do ingles. Sessentaestudantes foram aleatoriamente divididos em duas classes de 30estudantes. O programa educacional de ambas as classes foi omesmo, exceto pelo fato de que uma classe estudou frances e aoutra recebeu aula de matematica. No fim do anos todos fizeramum teste de compreensao escrita.O processo de fabricacao esta com o alvo correto? O valor alvopara os diametros de rolamentos esfericos e 40 mm. Umaamostra de 50 rolamentos e extraıda e o diametro e o diametro decada um e medido.Uma moeda e viciada? Mil lancamentos sao feitos e a proporcaode caras e obtida.


Tipos de erros e nıvel de significanciaNao importando quais das hipotese representa a alegacao, vocecomecara sempre um teste de hipotese assumindo a condicao deigualdade na hipotese nula. Sendo assim, voce deve tomar duasdecisoes:1. Rejeitar a hipotese nula;2. Nao rejeitar a hipotese nula.

Tipos de erro:Erro tipo I: hipotese nula, H0, e rejeitada, quando e verdadeira;Erro tipo II: hipotese nula, H0, nao e rejeitada, quando e falsa.


Identificando os erros tipo I e tipo IIO limite do Departamento de Agricultura dos Estados Unidos paracontaminacao de salmonela em frangos e de 20% ou menos. Umagranja alega que seus frangos estao dentro do limite. Voce realiza umteste de hipotese para determinar se a alegacao da granja everdadeira. Quando ocorrerao os erros tipo I e II? Qual deles e maisgrave?

H0 : p ≤ 0.2 (:::::::::alegacao) e H1 : p > 0.2

Erro tipo I: se a proporcao real dos frangos contaminados for menorou igual a 0,2, mas voce decide rejeitar H0. Erro tipo II: se a proporcaoreal dos frangos contaminados for maior do que 0,2, mas voce naorejeita H0.


Identificando os erros tipo I e tipo IIO limite do Departamento de Agricultura dos Estados Unidos paracontaminacao de salmonela em frangos e de 20% ou menos. Umagranja alega que seus frangos estao dentro do limite. Voce realiza umteste de hipotese para determinar se a alegacao da granja everdadeira. Quando ocorrerao os erros tipo I e II? Qual deles e maisgrave?

H0 : p ≤ 0.2 (:::::::::alegacao) e H1 : p > 0.2

Erro tipo I: se a proporcao real dos frangos contaminados for menorou igual a 0,2, mas voce decide rejeitar H0. Erro tipo II: se a proporcaoreal dos frangos contaminados for maior do que 0,2, mas voce naorejeita H0.


cont. exemploErro tipo I: pode-se criar um medo de contaminacao e baixar asvendas do frango, apesar de estarem dentro dos limites doDepartamento de Agricultura dos EUA.

Erro tipo II: pode-se permitir que frangos que excederam oslimites de contaminacao sejam vendidos aos consumidores.Portanto, um erro do tipo II pode resultar em doenca e ate mesmomorte dos consumidores.


Exemplo:Uma companhia especializada na montagem de para-quedas alegaque a taxa principal de defeitos nos para-quedas nao passa de 1%.Voce realiza um teste de hipotese para determinar se a alegacao everdeira. Quando ocorrerao os erros tipo I e II? Qual e o mais grave?


Nıvel de significancia

E a probabilidade maxima permitida de ocorrer o erro tipo I. Denotadapor α. Estabelecendo o nıvel de significancia pequeno, voce estaraafirmando que deseja ser pequena a probabilidade de rejeitar ahipotese nula verdadeira. Os tres nıveis mais utilizados sao 10%, 5%e 1%.A probabilidade do erro tipo II e denotada por β.


Testes estatısticos e valores PSupondo que a hipotese nula seja verdeira, um valor P (valor daprobabilidade) de um teste de hipotese e a probabilidade de obteruma estatıstica amostral com valor mais extremo do que aqueledeterminado a partir dos dados da amostra.O valor p ou p-valor mede a forca da evidencia contra H0. Quantomenor o valor p, mais forte e a evidencia contra H0.

Natureza dos teste de hipoteseMonocaudal a esquerda;Monocaudal a direita;Bicaudal.


Exemplo:Para cada alegacao apresentada abaixo, estabeleca as hipotesesnulas e alternativas. Determine se o teste e monocaudal a esquerda,monocaudal a direita ou bicaudal. Esboce a distribuicao amostral esombrei a area para o valor P.

A universidade alega que a proporcao de estudantes que segraduaram em quatro anos e de 82%.

Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo medio de umdeterminado tipo de torneira e menor do que 2,5 gpm.

Uma companhia que fabrica cereais alega que o peso medio doconteudo de suas caixas de 20 oncas e maior do que 20 oncas.

Um fabricante de baterias para automoveis alega que a vidamedia de um determinado modelo e de 74 meses.

Uma estacao de radio alega que a proporcao da audiencia local emaior do que 39%.


Interpretando uma decisaoResultados possıveis:

Rejeitar a hipotese nula;Nao rejeitar a hipotese nula.

Tomando uma decisao - via valor pSe valor p ≤ α, rejeite H0.Se valor p > α, nao rejeite H0.

ExemploSuponha que voce realiza um teste de hipotese para a seguintealegacao: uma radio alega que a proporcao de audiencia local e maiordo que 39%. Interprete a sua decisao se voce: a) rejeitar a hipotesenula; b) nao rejeitar a hipotese nula.


ExemploUm fabricante de pilhas afirma que a vida media de suas pilhas AA ede 300 minutos. Voce trabalha para uma revista de defesa doconsumidor e deve testar a alegacao do fabricante. Do seu ponto devista, qual a das situacoes a seguir representa melhor a alegacao dofabricante? Justifique.

µ = 30;µ ≤ 300;µ ≥ 300.


Vamos lembrar....Se um valor admitido por hipotese de um parametro for correto, entao,a estimativa do parametro obtida a partir dos dados nao estara muitolonge de seu valor suposto. Podemos medir a distancia entre aestimativa e o valor do parametro em termos do numero de errospadrao da estimativa.Se esse numero fosse inaceitavelmente grande, rejeitarıamos o valoradmitido por hipotese. Para determinar o que e uma distanciainaceitavel, calculamos:

(estimador-verdadeiro valor do parametro)/ erro padrao


Obtendo um valor p para um teste de hipoteseApos ter determinado a estatıstica teste padronizada do teste dehipotese e area correspondente da estatıstica teste, proceda deacordo com uma das seguintes maneiras para obter o valo p.

Teste monocaudal a esquerda, valor p= area na cauda esquerda;Teste monocaudal a direita, valor p= area na cauda direita;Teste bicaudal, valor p= 2(area na cauda da estatıstica de teste).


ExemploDetermine o valor p para um teste de hipotese monocaudal aesquerda com uma estatıstica de teste igual a −2.23. Sendo o nıvelde significancia α = 0.01, decida se e possıvel rejeitar H0.

ExemploDetermine o valor p para um teste de hipotese bicaudal com umaestatıstica de teste igual a −2.14. Sendo o nıvel de significanciaα = 0.05, decida se e possıvel rejeitar H0.


Orientacoes geraisEstabeleca H0 e H1;Identifique α;Determine a estatıstica de teste padronizada;Obtenha o valor p;Tome a decisao: rejeitar ou nao rejeitar H0;Interprete a decisao.


Exercıcio 1Em um anuncio, uma pizzaria alega que o tempo medio de entrega einferior a 30 minutos. Uma selecao aleatoria de 36 tempos deentregas tem uma media amostral de 28,5 minutos e um desviopadrao de 3,5 minutos. Ha evidencias suficientes para confirmar aalegacao adotando α = 1%?

Exercıcio 2Moradores alegaram que a velocidade media de automoveis quetrafegam por suas ruas e maior do que o limite de velocidadepermitido 35 km/h. Uma amostra aleatoria de 100 automoveis temuma velocidade media de 36 km/h com desvio padrao 4km/h. Haevidencias suficientes para confirmar a alegacao adotando α = 5%?


A diferenca entre teste de hipotese e intervalo deconfianca

Intervalo de confianca: apresenta um conjunto de valores possıveispara um parametro considerando um dado nıvel de confianca fixado.

Teste de hipotese: Apenas um valor possıvel para o parametro,chamado de valor hipotetico e testado.


Regioes de rejeicao e valores crıticosRegiao de rejeicao (ou regiao crıtica) da distribuicao amostral e ointervalo de valores para os quais a hipotese nula nao e provavel. Umvalor crıtico z0 separa as regioes de rejeicao e de nao rejeicao.

ExemploObtenha o valor crıtico e a regiao de rejeicao para um testemonocaudal a esquerda com α = 0.01.

ExemploObtenha os valores crıticos e as regioes de rejeicao para um testebicaudal com α = 0.05.


Regiao de rejeicao para o teste zEstabeleca H0 e H1;Identifique α;Determine as regioes de rejeicao;Determine a estatıstica de teste;Tome uma decisao de rejeitar ou nao rejeitar H0;Interprete a decisao.


ExercıcioO presidente da empresa alega que o dia medio de trabalho doscontadores e menor do que 8,5 horas. Uma amostra ao acaso de 35contadores mostra que um dia de trabalho de 8,2 horas comdesvio-padrao de 0,5 hora. Adotando α = 0.01, teste a alegacao dopresidente da empresa.


ExercıcioUma companhia que fabrica refrigerantes cola afirma que o conteudomedio de cafeına por garrafa de 12 oncas e de 40 miligramas. Vocedeve testar a qualidade e verificar essa alegacao. Durante os testes,descobriu que uma amostra aleatoria de 30 garrafas de 12 oncastinha um conteudo medio de cafeına de 39,2 miligramas, com desviopadrao de 7,5 miligramas. A um nıvel de α = 0.01, voce pode rejeitara alegacao da companhia?


Teste de hipotese para media amostra pequenaDetermine o valor crıtico t0 para um teste unilateral a direita comα = 0.01 e n = 17.Determine os valores crıticos −t0 e t0 para um teste bilateralα = 0.05 e n = 9.


ExercıcioUm ambientalista estima que a media do lixo reciclado diariamentepor adulto no EUA supera uma libra por pessoa. Voce deseja testaressa alegacao. Para isso, determina que o lixo medio recicladodiariamente por pessoa para uma amostra aleatoria de 12 adultos nosEUA e de 1,2 libra, com desvio padrao de 0,1 libra. Sendo α = 0.05.Voce pode confirmar essa alegacao?


Teste de hipotese para proporcaoUm pesquisador alega que menos de 20% dos adultosnorte-americanos sao alergicos a um determinado medicamento. Emuma amostra aleatoria de 100 adultos, 15% disseram ter esse tipo dealergia. Teste a alegacao do pesquisador a um nıvel de α = 0.01.


E se quisermos comparar duas populacoes?Vamos lembrar de alguns resultados ja vistos anteriormente...


Exemplo - Respondendo sim ou naoPessoas que tem opiniao forte a respeito de uma questao em umapesquisa, tendem a responder rapidamente; se elas nao temnenhuma opiniao forte a priori acerca da questao, tenderao a levar umtempo maior pensando a respeito de sua resposta. La Barbera eMacLachlan (1979) divulgaram um estudo no qual, atraves de umapesquisa de opiniao por telefone, perguntou-se a uma amostraaleatoria de 143 pessoas: Supondo que seja conveniente para voce,voce espera obter uma injecao contra gripe suına?

Respondem sim Respondem naoTamanho amostral 100 43Media amostral 0.76 1.41Desvio padrao 0.50 0.72


Exemplo - filhosSera que uma mae cujo primeiro filho foi uma menina e mais provavelde ter uma menina (como segundo filho) do que uma mae cujoprimeiro filho foi um menino. Os dados amostrais estao apresentadosa seguir:

Segundo filhomenino menina total

Primeiro filho menino 3202 2776 5978menina 2620 2792 5412

total 5822 5568 11390


Por que testes devem ser suplementados por intervalos?O intervalo de confianca fornece uma amplitude de valores que saopossibilidades acreditaveis para o verdadeiro valor do parametro emum dado nıvel de confianca, enquanto que teste de hipotese forneceuma medida da forca da evidencia contra um unico valor admitido porhipotese de ser o verdadeiro valor do parametro.


Interpretacao da palavra significanteDados sobre todos os nascimentos ao lingo de um perıodo de 20 anosno Hospital Nacional de Mulheres de Auckland mostraram um excessomuito significante de meninos.

O que esta afirmacao lhe diz?Sera que voce pode concluir alguma coisa baseado na afirmacaodada?As evidencias de que o processo populacional produz maismeninos do que meninas e extremamente forte (p-valor< 10−6)








Dentre os 92.208 nascimentos, 47.824 dos bebes foram do sexomasculino. A porcentagem amostral e de 57.87% e o intervalo deconfianca de 95% de confianca para a verdadeira porcentagem demeninos produzidos pelo processo foi [51.5; 52.2]. Embora o resultadodo teste tenha sido altamente significante, o excesso do percentual demeninos e realmente bem pequeno.


SignificanciaQuando obtemos p-valor menor do que 5%, decidimos rejeitar ahipotese nula, chamamos esse procedimento de testar ao nıvelde significancia de 5%. O nıvel de significancia de tal teste e 5%.Se voce testa ao nıvel de significancia de 5%, a longo prazo, vocerejeitara uma vez em 20 uma hipotese nula verdadeira.Um teste bilateral de H0 : θ = θ0 e significante ao nıvel de 5%, sesomente se, θ0 cair fora de um intervalo de confianca de 95%para θ.Um resultado dito ser nao-significante nao implica que H0 sejaverdadeira.O nıvel de significancia e o erro tipo I.


Relacao entre fumo e derrame cerebralAbbott et al. [1986] examinaram a relacao entre fumo e derramecerebral. Os investigadores integrantes do Programa Cardıaco deHonolulu acompanharam um coorte de 8006 homens com ancestraisjaponeses, matriculado durante o perıodo de 1965 a 1968. Dosindivıduos que nao sofreram um derrame cerebral ao entrar no estudo,3435 eram fumantes de cigarro e 4437 eram nao fumantes. Ao longode 12 anos de acompanhamento, 171 fumantes e 117 nao fumantessofreram derrame cerebral. Isso fornece evidencia real de umaassociacao entre fumar e sofrer derrame cerebral? Qual o aumento(ou diminuicao) nos riso de sofrer um derrame cerebral ao longo doperıodo de 12 anos para fumantes?


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