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Sala de Apoio ao Estudo

Nome:  ____________________________________________________________  Ano:  ____  Turma:  ____  

Ficha  nº2  –  Exercícios  referentes  à  Introdução  à  Teoria  dos  Conjuntos  –  Matemática  A  –  10º  ano.  

1. Classifica  de  designação,  expressão  designatória,  proposição  ou  condição  as  seguintes  expressões:  

a. O  quadrado  de  um  número  natural.  

b. 𝑥! − 1 = 0  

c. A  soma  de  3  com  o  seu  simétrico  é  igual  a  zero.  

d. 3,14 − 𝜋  

2. Indica  o  valor  lógico  das  seguintes  condições,  considerando  𝑥 = !!:  

a. 𝑥! − !!𝑥 = !

!  

b. !!!!!= !

!  

3. Escreve  em  linguagem  simbólica  cada  uma  das  proposições  seguintes:  

a. Todo  o  número  racional  é  um  número  real.  

b. Qualquer  que  seja  o  número  real  negativo  x,  o  seu  valor  absoluto  é  positivo.  

c. Em  todos  os  quadriláteros  a  soma  dos  ângulos  opostos  é  igual  a  180º.  

4. Considerando  𝑈 = −1; 0;  !!; 3; 5 ,  indica  o  valor  lógico  de  cada  uma  das  proposições:  

a. ∀𝑥 ∈ 𝑈, 𝑥 ∈ ℤ  

b. ∀𝑥 ∈ 𝑈, 2𝑥 ∈ ℤ  

c. ∀𝑥 ∈ 𝑈, 2𝑥 ≥ 𝑥  

5. Classifica  em  ℚ  e  em  ℝ  as  seguintes  condições:  

a. 𝑥 + 2 = 0  

b. 𝑥! − 2 = 0  

c. 𝑥! + 2 = 0  

d. 𝑥 − 1 𝑥 + 𝜋 = 0  

e. 𝑥! − 1 > −2  

6. Indica,  em  ℝ,  se  é  universal,  possível  ou  impossível  cada  uma  das  condições:  

a. 3𝑥 − 1 = 0 ∨ −2𝑥 < 0  

b. !!> 𝑥 ∧ 𝑥! > − !

!"  

c. 𝑥! ≥ 0 ∧ 𝑥 ≠ 𝑥  

d. 𝑥! + 2𝑥 + 1 ≥ 0 ∨ 𝑥! − 9 = 0  

e. 𝑥! = −8 ∨ 2𝑥 − 1 = 3  

 

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7. Escreve  em  linguagem  simbólica  a  negação  das  proposições  seguintes:  

a. ∀𝑥, 𝑥! = 𝑥  

b. ∀𝑥, 𝑥 − 1 < 𝑥  

c. ∃𝑥:   −𝑥! ∈ ℤ  

d. ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥! > 0  

e. ∃𝑥 ∈ ℝ!: 𝑥 = 𝑥  

f. ∃𝑥 ∈ ℤ: 2 < 𝑥 < 𝜋  

g. ∀𝑥 ∈ ΙΝ,−𝑥 ∈ ℤ  

h. ∃𝑥 ∈ −1; 0; 1; 2; 3 : 2! < 0  

i. ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 2 ∨ 𝑥 ≤ 3  

j. ∃𝑥 ∈ ΙΝ: 𝑥 ∈]𝜋 − 1;  𝜋 + 1[  

8. Utiliza  um  contraexemplo  para  mostrar  que  as  proposições  seguintes  são  falsas:  

a. Todos  os  divisores  de  12  são  divisores  de  30.  

b. ∀𝑥 ∈ ΙΝ, 𝑛! > 𝑛  

c. ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ ΙΝ  

d. ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 + 1 ! > 𝑥!  

e. Todos  os  animais  que  voam  são  aves.  

9. Considera  os  conjuntos    

                                                                                                     𝐴 = −1; 1; 2; 3                                                          𝐵 = −1; 0; 1; 2; 3; 4  

a. Representa  em  extensão  o  conjunto:  

i. 𝐶 = 𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 𝑥! − 1 = 0  

ii. 𝐷 = 𝑥 ∈ 𝐵: 𝑥 𝑥! − 1 = 0  

b. Mostra  que  𝐶 ≠ 𝐷.  

10. Considera  os  conjuntos    

                 𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 𝑥! − 9 = 0                          𝐵 = 𝑥 ∈ ℤ:   𝑥 ≤ 2                        𝐶 = 𝑥 ∈ ΙΝ:   − 2 < 𝑥 ≤ 3    

e  representa  em  extensão  os  seguintes  conjuntos:  

a. A  

b. B  

c. C  

d. 𝐴 ∩ 𝐶  

e. 𝐴 ∪ 𝐵  

f. 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶  

 

 

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11. Considera  as  condições    

𝑎 𝑛 : "𝑛  é  𝑢𝑚  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜. "  𝑏 𝑛 : "𝑛  é  𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟  𝑑𝑒  24. "  𝑐 𝑛 : "𝑛  é  𝑢𝑚  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  í𝑚𝑝𝑎𝑟  𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟  𝑎  13. "    

definidas  em  ΙΝ  e  representa  em  extensão  cada  um  dos  seguintes  conjuntos:  

a. 𝑃 = 𝑛: 𝑎 𝑛 ∧ 𝑐 𝑛  

b. 𝑄 = 𝑛: 𝑏 𝑛 ∨ 𝑐 𝑛  

c. 𝑅 = 𝑛:  ~𝑎 𝑛 ∧ 𝑏 𝑛  

12. Considera  os  conjuntos  de  números  reais    

     𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ − 5                                    𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ:   − 2𝑥 + 1 > −9                                    𝐶 = 𝑥 ∈ ℝ:   𝑥 < 3    

Define,  sob  a  forma  de  intervalo  ou  de  união  de  intervalos  disjuntos,  os  seguintes  subconjuntos  de  ℝ:  

a. 𝐴 ∩ 𝐵  

b. 𝐴 ∪ 𝐶  

c. 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶  

d. 𝐴 ∖ 𝐵  

e. 𝐶 ∖ 𝐴 ∩ 𝐵  

13. Considera  os  conjuntos    

                                                       𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 0                                                                                        𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 2𝑥    

e  responde  às  seguintes  questões:  

a. Indica,  justificando,  o  valor  lógico  da  proposição  ∀𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴⟹ 𝑥 ∈ 𝐵  

b. Indica,  justificando,  o  valor  lógico  da  proposição  ∀𝑥, 𝑥 ∈ 𝐵⟹ 𝑥 ∈ 𝐴  

c. Verifica  se  A=B,  justificando  convenientemente.  

14. Considera  as  condições  𝑝 𝑥 :  !!≤ 1  e  𝑞 𝑥 :   𝑥 ≤ 4  e  responde  às  seguintes  questões:  

a. Mostra  que,  em  ΙΝ,  as  condições  𝑝 𝑥  e  𝑞 𝑥  são  equivalentes.  

b. Considera,  em  ℝ,  a  implicação  𝑞 𝑥 ⟹ 𝑝 𝑥 .  Demonstra  pelo  método  contrarrecíproco  que  a  

implicação  dada  é  universal  em  ℝ.  

 

 

Nota:  Podes  consultar  as  resoluções  no  link  abaixo:  

https://youtu.be/HnZtzSRbC0k?list=PLnx4ioejmfR2DPynEz42Rohan5mZeQFGd  

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           Boa  Sorte!!