SALVADOR-BA Formando pessoas para transformar o mundo. 3ª ... · O número de habitantes P de uma cidade a cada ano, ... Quantos mil habitantes essa cidade tinha em 1986? 01) 525

SALVADOR-BAFormando pessoas para transformar o mundo.

Tarefa:RESOLUÇÃO DA 1ª AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA

ALUNO(A): ______________________________________________3ª série

do ensino médio

Turma: ___Nº: ______

Elaboração: Prof. Octamar Marques Resolução: Profa. Maria Antônia Gouveia Unidade: III

QUESTÃO 01.Numa sala estão reunidos 64 jovens.Sabe-se que:

I) O número de rapazes que falam Inglês é 10.II) O número de moças que não falam Inglês excede em 6, o número de rapazes que, também não

falam Inglês.III) O número de moças que falam Inglês é dois terços do número de rapazes que, também não

falam Inglês.Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um desses jovens ocorra uma moça

01) 52,46% 02) 48,04% 03) 56,25% 04) 58,20% 05) 45,20%

RESOLUÇÃO:

18x1448x

483

2x2x643

2x6xx10

=⇒=

⇒=+⇒=++++

Existem, então 36 moças.

A probabilidade pedida ë 0,56256436 = .

RESPOSTA: Alternativa 03.

QUESTÃO 02.

A soma das raízes da equação 3

144x8x

2

3

−=−+ é igual a

01) 38− 02) 3 03) 0 04)

21

05) 2

RESOLUÇÃO:

38S

0168x3x2)14(x4)2x3(x3

142)2)(x(x

4)2x2)(x(x3

144x8x 22

2

2

3

−=⇒

=−+⇒−−=+−⇒−=−+

+−+⇐−=−+


RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado

QUESTÃO 03.

Na figura, AB representa um poste de altura 6m, sustentado pelos cabos CB e BD de comprimentos iguais a 10m. Sabendo que o ângulo DB̂C formado por esses cabos é igual a 60o, calcule o cosseno do ângulo CÂD

01) 114

02) 327

03) 125

04) 169

05) 94

RESOLUÇÃO:

O triângulo BCD é eqüilátero. O segmento AB é perpendicular ao plano determinado pelos pontos A, C e D. Então: x2 = 100 – 36 ⇒ x = 8.

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACD, temos: 100 = 64 + 64 – 2 × 8 × 8 × cosα ⇒

128 cosα = 28 ⇒ cosα = 327


QUESTÃO 04.

O pagamento de uma dívida deve ser feito em 30 prestações mensais sucessivas.No primeiro mês o pagamento foi de R$ 52,00, no segundo mês R$ 60,00, no terceiro mês R$ 68,00 e assim, sucessivamente.Calcule a soma das 30 prestações.

01) R$ 4.200,00 02) R$ 4.840,00 03) R$ 4.960,0004) R$ 5.040,00 05) R$ 5.160,00

RESOLUÇÃO:

A seqüência 52, 60, 68, 76, P30 constitui uma P.A. com 1o termo 52 e razão 8. Assim P30

= 52 + (30 – 1)×8 = 52 + 232 = 284.

Então a soma das 30 prestações é: ( ) 5040

23028452 =×+

reais.


RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 2

QUESTÃO 05.

Uma dívida deve ser paga em 10 prestações, sendo que cada prestação é igual a anterior acrescida de 20%.A terceira prestação foi de R$ 144,00.Calcule a soma das 10 prestações, considerando 5,161,29 = .

01) R$ 1.890,00 02) R$ 1.964,00 03) R$ 2.026,0004) R$ 2.426,00 05) R$ 2.596,00

RESOLUÇÃO:

P1 = x; P2 = 1,2x; P3 = 1,22x = 144; ; P10 = 1,29x. Esta seqüência é uma P.G. de razão 1,2 e primeiro termo P1 = x.

De 1,22x = 144, temos que x = 10044,1

144 = .

A soma dos termos de uma P.G. pode ser calculada pela fórmula: Sn = ( )

1q1qa n

1

−−

.

Assim S10 = ( ) ( ) ( ) 2596116,52,1500

2,012,12,1001

12,112,1001 910

=−×=−×=−

−reais.


QUESTÃO 06.

A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é igual a 2n6n − ; n ∈ N*.Qual o valor do décimo termo dessa seqüência?

01) –13 02) –11 03) –9 04) –7 05) –5

RESOLUÇÃO:

Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é igual a 2n6n − ; n ∈ N*, fazendo n = 1, nessa relação, temos o valor de a1 = 6 – 1 = 5.Para n = 2, temos: a1 + a2 = 12 – 4 = 8 ⇒ aa = 3.A seqüência é, então: 5, 3, 1, ......... que é uma P.A. de razão – 2, logo a10 = 5 + 9× (–2) = –13.



QUESTÃO 07.

Numa P.G. de termos positivos o quinto termo é igual a m e o nono igual a n..Determine o valor do décimo primeiro termo.

01) mnm 02)

mnn 03)

nmn 04)

nmm 05) m

nm

RESOLUÇÃO:

Numa P.G. temos a9 = a5 × q9 – 5 = a5 × q4 ⇒ n = m × q4 ⇒ q = 4mn .

Assim a11 = a9 × q11 – 9 = a9 × q2 = n × 2

4mn

= n

mn


QUESTÃO 08.

Sendo 1x

2)x(+

=f , determine p de modo que )p)(( ffο = 1.

01) 31

02) 31− 03)

21− 04) 1 05)

21

RESOLUÇÃO:

)p)(( ffο = 1 ⇒ 1))p((( =ff ⇒ 11p

2 =

+

f ⇒ 1

11p

22 =

++

⇒ 211p

2 =++ ⇒

11p

2 =+ ⇒ p + 1 = 2 ⇒ p = 1.


QUESTÃO 09.

Considere a função

≤<−≤≤−−

=4x2 se ,3x2x2 se x,

(x)f

Qual o número de soluções da equação 1 x(x) −=f ?

01) 5 02) 4 03) 3 04) 2 05) 1


RESOLUÇÃO:

Analiticamente temos:

( )

≤<−±=−≤≤−=

⇒

≤<−=−≤≤−−=−

⇒

≤<−≤≤−−

=− 4x2 se ,1 3x

2x2 se ,124x2 se ,3x1

2x2 se x,14x2 se ,3x2x2 se x,

1x x

xxx

⇒ 21x

4x2 se ,213x

2x2 se,21

=⇒

≤<=⇒+−=−

≤≤−=

xx

x

Graficamente temos

RESPOSTA:Nos dois tipos de resolução vemos que existe apenas uma única solução:

Alternativa 05.

QUESTÃO 10.

O comprimento de uma barra metálica é função do 1o grau de sua temperatura, medida em graus centígrados.

Sabe-se que, quando T = 50o o comprimento da barra é = 200cm e quando T1 = 110o,

1 = 200,40cm.Qual o comprimento dessa barra, em centímetros, quando a temperatura for igual a 180o.

01) 200,67 02) 200,77 03) 200,87 04) 200,95 05) 201,01


RESOLUÇÃO:

(T) = aT + b.

Pelos dados do problema temos: ⇒

=

=+

==

=⇒

=+=+

3599b

200b150

150 e

1501

60,00,4a

0,4060a

200,40b110a200b50a

3599T

1501(T) += ⇒ (T) = 87,200

153013

3599

56

3599801

1501 ==+=+×


QUESTÃO 11.

O número de habitantes P de uma cidade a cada ano, é determinada pela função P = bta(1,5) .Em 1980, quando t = 0, o número de habitantes era igual a 200.000. Em 1982 passou a ser 300.000.Quantos mil habitantes essa cidade tinha em 1986?

01) 525 02) 550 03) 575 04) 600 05) 675

RESOLUÇÃO:

200.000a200.000a(1,5)0 =⇒= ⇒ P = bt5)200.000(1, .

Fazendo t = 2, 000.3005)200.000(1, 2b = ⇒ ( ) 5,1(1,5)5,1(1,5) b2b =⇒=

Assim P = ( ) t1,5200.000 .

Na igualdade P = ( ) t1,5200.000 substituindo t por 6 temos a população da cidade em 1986: P =

( ) ( ) 000.6755,1000.200\1,5200.000 36=×=

RESPOSTA: Alternativa 05

QUESTÃO 12.

Determine a área do triângulo ABC, onde C é o centro da circunferência x2 + y2 – 10x – 10y + 24 = 0 e os pontos A e B são os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo dos x.

01) 5u.a 02) 4,5u.a 03) 5,5u.a 04) 6u.a 05) 6,5u.a


RESOLUÇÃO:

x2 + y2 – 10x – 10y + 24 = 0 ⇒ (x2– 10x + 25)+ (y2 – 10y +25) + (24 – 25 – 25) = 0 ⇒(x – 5)2 + (y – 5)2 = 26 que é a equação de uma circunferência de centro C=(5,5) e raio 26 .

Pela figura temos: 26 = 25 + x2 ⇒ x = 1 ⇒ AB = 2.

Logo a área do triângulo ABC é 52

52 =×


QUESTÃO 13.

Determine a equação da reta r, mediatriz do segmento de extremidades A = (–2, 4) e B = (8, 2).

01) x +y – 6 = 0 02) 2x – y – 3 = 0 03) 3x – 2y – 3 = 004) 3x + 2y – 4 = 0 05) 5x – y – 12 = 0

RESOLUÇÃO:

A reta r, mediatriz do segmento AB é perpendicular à reta suporte deste segmento e passa pelo seu ponto médio M = ( 3,3).

O coeficiente angular da reta AB é a = 51

8224 −=

−−−

⇒ que o coeficiente angular da reta r é igual a 5.

Logo a equação de r é y = 5x + b. Como ela passa pelo ponto M = ( 3,3), 3 = 15 + b ⇒ b = – 12 ⇒ y = 5x – 12 ⇒ 5x – y – 12 = 0.



QUESTÃO 14.

Seja α um plano perpendicular ao plano β.É verdade que:

1) Toda reta de β é perpendicular a α.2) Toda reta de β é paralela a α.3) Se A ∈ α e B ∈ β, a reta AB é reversa à reta s = α ∩ β, de interseção de

α e β.4) Se a reta t, não contida em α nem em β, é paralela à reta s = α ∩ β, então t // α e

t //β.5) Se uma reta é perpendicular a α e outra é perpendicular a β, então essas são ortogonais.

RESOLUÇÃO:

1) FALSO.Na figura vemos as retas s e u que pertencem a β e não são perpendiculares a α.

2) FALSO.

Na figura temos a reta r que pertence a β e não é paralela a α.

3) FALSO.Na figura A ∈ α e B ∈ β, mas a reta AB coincide com a reta s = α ∩ β, de interseção de α e β.

4) VERDADEIRO.Na figura vemos que a reta t, não contida em α nem em β, é paralela à reta s = α ∩ β, então t // α e t //β.

5) FALSO.Na figura a reta r é perpendicular a α e a reta v é perpendicular a β, e elas são perpendiculares e não ortogonais.


QUESTÃO 15.

Um obelisco é formado por um cubo encimado por uma pirâmide quadrangular regular.A aresta do cubo é igual ao triplo da altura da pirâmide. Determine a área lateral da pirâmide, em metros quadrados, sabendo que o volume é 240,00m3.01) 1312 02) 158 03) 194

04) 212 05) 78

RESOLUÇÃO:

Pelos dados do problema podemos considerar, AB = 3x, VO = x, OC = 2

3x e VC = a.

Como o volume de o obelisco é 240,00m3, ( ) ( ) 240x3x313x 23 =××+ ⇒

2 x 8 x 2403x27x 333 =⇒=⇒=+ ⇒ AB = 6, VO = 2 e OC = 3.No triângulo retângulo VOC, VC2 = VO2 + OC2 ⇒ a2 = 4 + 9 ⇒ a = 13A área lateral da pirâmide é igual ao produto do semiperímetro da sua base pela medida do segmento VC .S = 2 × 6 × 13 = 12 13 .


QUESTÃO 16.

A figura representa o gráfico do polinômio p(x) do terceiro grau.Calcule p(4)01) –18 02) –20 03) –24

04) –28 05) –30


RESOLUÇÃO:

Um polinômio p(x) pode ser escrito em função de suas raízes: p(x) = a(x – x’)(x – x’’)(x – x”’)(x – x’’’’).........No caso em questão o polinômio é do terceiro grau cujas raízes são – 2, –1 e 3, podemos escrever: p(x) = a(x +1)(x +2)(x – 3).O gráfico do polinômio passa no ponto (0,6) ⇒ p(0) = a(1)(2)(– 3) = 6 ⇒ a = –1.Logo p(x) = – (x +1)(x +2)(x – 3) ⇒ p(4) = – 5 × 6 × 1 = –30.


QUESTÃO DISCURSIVA

Se B é a inversa da matriz A =

211112101

. Calcule o elemento b12 de B.

RESOLUÇÃO:

Se B é a inversa da matriz A =

211112101

, então B é uma matriz de ordem 3, tal que:

211112101

× B =

100010001

. Considerando B =

ihgfedcba

, onde b = b12, temos:

211112101

×

ihgfedcba

=

100010001

. Como o elemento b12 de B é um elemento da primeira linha e da

segunda coluna, para a solução da questão basta multiplicar as linhas daprimeira matriz pela segunda coluna da segunda matriz e igualar os resultados aos elementos da segunda coluna da matriz produto.

−=

=

=

⇒

=+−=+

⇒

=−+=−+

−=⇒

=++=++

=+

21h

21e

21b

0eb1eb

02beb1be2b

hb

02heb1he2b

0hb

RESPOSTA: O elemento b12 = 21

.


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