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Unidade C
Funções Conceitos Básicos
Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG
35
Funções
A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por exemplo, como escrevemos
o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado dependendo do tempo?
E se o móvel está em movimento retilíneo uniformemente variado? Como representar
o número de habitantes de uma cidade em função do tempo? E a quantidade de calor
transferido entre duas superfícies com temperaturas diferentes? Podemos
relacionar essas grandezas na forma de funções, o que nos permitirão traçar e
analisar gráficos, aprofundando o conhecimento sobre as grandezas que se
relacionam e como se relacionam. Estudaremos apenas as funções que relacionam
duas variáveis, geralmente usaremos x e y. Em que a variável x é chamada de
independente e y de dependente.
1. Definição de função.
Duas grandezas, x e y, em que x A e y B, A e B conjuntos não vazios, se relacionam como uma função se:
I – Todo x se relaciona com algum y B.
II – Cada x se relaciona com exatamente um y B.
O conjunto A chamamos de domínio da função, B contradomínio e se existir uma
expressão que relacione y a x, chamamos de lei da função.
Notação: f: A B
y = f(x)
1Exemplos: 1. Seja A o conjunto dos triângulos no plano e B o conjunto dos números reais. Se f relaciona o triângulo com a sua área,
f: A B é função? I – Todo triângulo tem área. II – Cada triângulo possui apenas UMA área. Essa área é um número real (B = ℝ). Logo é uma função!
2. Seja A o conjunto das mulheres e B o conjunto dos homens. Se f associa a mulher com quem possui relacionamento romântico,
f: A B é função? I – Nem toda mulher está num relacionamento romântico. Não satisfaz a primeira condição, não é função. II – Cada mulher pode ter mais de um relacionamento romântico. Não satisfaz a segunda condição, logo não é função. Basta não satisfazer algum dos critérios para não ser função. 3. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais. Se f associa cada pessoa com sua idade em anos, f: A B é
uma função? I – Toda pessoa tem idade. Mesmo considerando o que as pessoas responderiam ao serem questionadas, apenas a parte inteira de suas idades, teríamos problemas com alguns elementos do conjunto A. Se considerarmos bebês, cujas idades são contadas em meses, não teríamos um número natural para associar a eles. Por exemplo, um bebê de seis meses, em anos sua idade seria 0,5, mas o conjunto B = ℕ. Nesse sentido nem todas as pessoas tem idade associada a um número natural. II – Cada pessoa possui apenas um número que representa a sua idade num momento definido. Logo esse exemplo não é função, pois falha o primeiro critério. Poderíamos torna-lo em uma função se apenas alterássemos o conjunto B para B = ℝ.
4. Seja A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números reais. Se f associa cada equação com suas soluções,
f: A B é uma função? I – Toda equação possui solução? Como B = ℝ , a resposta é não. Por exemplo, as equações x2 + 1 = 0 e x2 + 2 = 0 não possuiu soluções reais. Por isso esse exemplo, não é uma função. II – Cada equação possui UMA solução? A resposta também é não, pois além das equações sem soluções nos reais, há aquelas que possuem duas soluções, ou seja, um mesmo x estaria associado a dois valores de y. Como, por exemplo, a equação x2 – 6x = 0, com as soluções x = 0 e x = 6!
1 A parte complementar nessa unidade tem o objetivo de aprofundar os conceitos abordados.
Assim, os conteúdos não deixarão de ser cobrados, pois serão vistos em aula, embora não
tão aprofundado.
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Observação:1 - O conjunto dos y B, tais que existem algum x relacionado a eles chama-se conjunto imagem. 2. Nosso objeto, nessa disciplina, é estudar funções
cujo domínio e contradomínio são conjuntos numéricos.
Exemplo: 1. Determine o conjunto imagem das funções entre os itens 1 a 4, anteriores?
Exemplo 1: Área de triângulos. Qualquer número real positivo está associado a área de algum triângulo. Por exemplo, existe
triângulos de área A = 2 , basta considerarmos um triângulo de base b = 22 e altura h = 1. Na verdade só não existem triângulos
com áreas negativas ou nulas. Logo Im = ℝ+∗ .
Exemplo 2: Não é função. Exemplo 3: Se considerarmos a adequação em que B = ℝ, então basta considerarmos que não existiriam idades negativas, até aqui
podemos considerar idades nulas, idades dos bebês no instante em que nascem, logo Im = ℝ+ . Exemplo 4: Não é função.
2. Considere A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números inteiros. Se f relaciona cada equação de
segundo grau com o número de soluções reais, f: A B é função? Caso afirmativo determine o conjunto imagem. Agora o exemplo se difere do exemplo 4 anterior. Agora cada equação está associada com o número de soluções que pode ter. Como a equação é de segundo grau sabemos que: pode não ter solução nos reais, podemos considerar que a equação possui zero soluções, pote ter uma solução, ou duas. Inclusive, sabemos o número de soluções de uma equação sem resolvê-la. Sabemos que
o número de soluções é zero se < 0, um se = 0 e duas se > 0. Cada equação possui apenas um desse tipo de . Logo, em qualquer caso: I – Toda equação possui um número inteiro de soluções. II – Cada equação tem definido apenas um número de soluções. Esse exemplo é uma função e Im = {0, 1, 2}.
3. Defina a função que relaciona a área de um quadrado com o seu lado. Determine
o conjunto imagem da função.
4. Defina a função que relaciona cada número real com o seu dobro. Determine o
conjunto imagem.
5. Defina a função que relaciona a ordenada com a abscissa dos pontos do plano
que pertencem à reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45º com o sentido
positivo do eixo x. Determine o conjunto imagem da função.
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2. Gráficos de funções.
Nesta disciplina estudaremos o gráfico de algumas funções especiais. Não
esboçaremos gráficos de outras funções. Aqui o objetivo é reconhecer o gráfico
de uma função e reconhecer quando temos gráficos que não são de funções. Também
poderemos definir domínio e imagem a partir do gráfico.
(a)
Domínio?
Imagem?
É função?
(b)
Domínio?
Imagem?
É função?
(c)
Domínio?
Imagem?
É função?
(d)
Domínio?
Imagem?
É função?
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(e)
Domínio?
Imagem?
É função?
(f)
Domínio?
Imagem?
É função?
Observação: Passaremos a estudar funções específicas focando um maior número de
detalhes. Geralmente se nada for dito, assume-se que o domínio e contradomínio
da função são os reais.
3. Domínio de uma função.
Se conhecemos apenas a lei de uma função podemos definir o domínio da mesma,
pensando qual o maior subconjunto dos reais que torna a expressão uma função.
Lembramos aqui a definição de uma função, se para algum elemento do A não existir
elemento y associado a ele não existe função. De maneira geral excluímos do
conjunto dos números reais aqueles que seria impossível calcular y, sobrando
aqueles valores de x que estão relacionados a apenas um valor de y.
Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função.
(a) f: A ℝ (b) f: A ℝ
xy x
1y
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Se pensarmos em domínios como subconjuntos dos números reais só existem duas
restrições:
I – Divisão por zero;
II – Radicando negativo em raiz de índice par.
Podemos ter combinações dessas restrições.
Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função.
(a) f: A ℝ (b) g: A ℝ
2xy 1²x
1y
(c) f: A ℝ (d) h: A ℝ
4x42xy
5x3
1y
(e) f: A ℝ (f) g: A ℝ
1x2²x
3xy
2x
1
1x
1y
Observação: Após estudar as funções básicas voltaremos a determinar domínios com
outras combinações destas restrições.
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Unidade D
Funções Tipos básicos
Débora Bastos IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG
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4. Função afim.
É todo função que pode ser escrita na forma:
f: ℝ ℝ y = ax + b
Em que a e b são constantes reais.
Já estudamos esta função como a equação reduzida da reta. Sabemos o significado
de a, coeficiente angular e b, coeficiente linear. Para completar o estudo
desta função veremos: estudo do crescimento, raiz da função e o estudo do
sinal.
4.1. Estudo do Crescimento.
Estudar o crescimento de uma função é indicar os valores de x em que a função é
crescente, decrescente ou constante.
Estudo do crescimento da função f, cujo gráfico está
ao lado:
f crescente:
f decrescente:
Agora, se a função for afim, ela não terá mudança no comportamento, ou ela é
sempre crescente, sempre decrescente ou constante.
Função crescente Função constante Função decrescente
0 < < 90º = 0 90º < < 180º
tan > 0 tan = 0 tan < 0 a > 0 a = 0 a < 0
Resumindo:
a > 0 função afim crescente x ℝ
a = 0 função afim constante x ℝ
a < 0 função afim decrescente x ℝ
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Exemplo: Determine o crescimento das funções afim, cujas leis são:
(a) 6x4
3y (b) 7xy
4.2 Raiz da função afim.
Em geral, raiz de uma função, é o valor de x em que y = 0. Assim se a função é
a afim:
y = ax + b ax + b = 0 a
bx
Não precisamos ter isso como uma fórmula. Apenas sabendo a definição de raiz,
chegamos na equação muito simples de resolver.
Exemplo: Determine a raiz das funções abaixo:
(a) f: ℝ-{2} ℝ (b) f: ℝ ℝ
2x
7x3y
y = 4x - 10
4.3. Estudo do sinal.
Estudar o sinal de uma função é indicar os
intervalos do domínio, ou seja, valores de x, em que
a função, ou seja, y, assume valores positivos,
negativos ou nulos. Observe o gráfico abaixo. As
regiões em rosa correspondem aos valores de x em que
o gráfico está acima do eixo ox, ou seja, y>0. As
regiões em azul correspondem aos valores de x em que
o gráfico está abaixo do eixo ox, ou seja, y < 0. E
os pontos estão no eixo ox, ou seja, y = 0.
Exemplo: Estudo do sinal da função do gráfico acima:
y > 0
y = 0
y < 0
Esquema simplificado do estudo do sinal: ___________________________
43
Se a função é afim, temos quatro possibilidades:
(a) a > 0 (b) a < 0
(c) a = 0 e b > 0 (d) a = 0 e b < 0
Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo:
(a) y = 2x – 4 (b) y = 4 – 8x
2. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função.
(a) f: A ℝ
x3
1xy
44
(b) g: A ℝ
8x31x4y
3. Resolva as inequações abaixo, em ℝ:
(a) 2 < 2x – 6 < 10
1x36
5x4
(b)
5. Função Quadrática
É todo função que pode ser escrita na forma:
f: ℝ ℝ y = ax² + bx + c
Em que a, b e c são constantes reais e a 0, caso contrário a função seria afim.
Observação: A parte complementar abaixo não é obrigatória, mas é determinante
para compreensão da relação da concavidade com o sinal de a, leia e se tiver
dúvida procure atendimento.
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1O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com a concavidade para cima ou para baixo. Pela definição de parábola presente na unidade B, é o conjunto dos pontos no plano, cuja distância para a uma reta diretriz é a mesma que para um ponto fixo, chamado foco. A concavidade será para cima, ou para baixo se a reta diretriz for horizontal. Lembre-se que a reta de simetria, agora vertical é perpendicular a essa reta. Para relacionar a equação da cônica com a lei da função quadrática começaremos pelo caso mais simples: Concavidade para cima, vértice na origem V(0,0), foco no eixo oy F(0, p), diretriz horizontal d: y + p = 0. Em que p = d(V,F) = d(V,d).
22
22
10
pyp)(y0)(x
222 pypyx x2 + y2 -2px + p2 = y2 + 2py + p2
x2 + -2px = 2py x2 = 4py
Analogamente se a concavidade for para baixo vértice na origem V(0,0), foco no eixo oy F(0, -p), diretriz horizontal d: y - p = 0. Em
que p = d(V,F) = d(V,d). Chegaremos na equação: x2 = - 4py
E finalmente se, considerando uma translação da parábola em que vértice no ponto V(x0,y0), foco em F(x0,y0 p)2, diretriz horizontal
d: y = y0 p. Em que p = d(V,F) = d(V,d). Chegaremos na equação: (x-x0)2 = 4p(y-y0)
Para relacionarmos com a lei da função, primeiro isolaremos y:
y – y0 = 2
0xx
4p
1 y = 2
0xx
4p
1 + y0
Agora desenvolveremos o quadrado e usaremos a propriedade distributiva.
y = 0
2
0
2 yxx2xx4p
1 = 0
2
002 y4p
xx
2p
xx
4p
1
Agora comparando com a lei y = ax2 + bx + c, tem-se:
4p
1a Podemos concluir daqui que se a > 0 a concavidade é para cima e a < 0 para baixo, já que p é sempre positivo.
p2
xb 0 e 0
2
0 y4p
xc . O sinal de b e de c não se relaciona com a concavidade, pois dependendo do sinal de x0 em b, ou do valor
de y0 o sinal proveniente da concavidade se altera.
5.1. Raízes e intersecção com o eixo oy.
As raízes são os valores de x em que a função assume y = 0 e vemos esses pontos
no gráfico como intersecções com o eixo ox. Ou seja, para encontrarmos as raízes
de uma função quadrática, temos que resolver....
ax2 + bx + c = 0
A velha e boa Bhaskara!
Já que o gráfico é uma parábola, podemos ter no máximo duas raízes, pois uma
parábola intersecciona no máximo duas vezes o eixo ox, mas pode interseccionar
uma vez, ou nenhuma.
Duas raízes. Uma raiz. Nenhuma raiz.
1 As partes complementares nesta unidade servem para aqueles que querem aprofundar os
conhecimentos teóricos, por isso os assuntos em si não deixarão de ser cobrados, pois
serão trabalhados em aula. Recomenda-se a leitura. 2 Soma-se ou subtrai-se p conforme a concavidade da parábola seja para cima ou para baixo.
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Intersecção com o eixo oy: Substituindo x = 0 na lei da função quadrática:
y = a.0² + b.0 + c y = c.
Na maioria dos casos, apenas com as raízes e a intersecção com o eixo oy
traçamos um bom esboço da função quadrática. Um ponto muito importante também é
o vértice, veremos adiante.
Exemplo: Esboce o gráfico da função quadrática: y = 2x² - 10x + 12.
5.2. Forma fatorada da função quadrática.
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (visto na disciplina de fundamentos), podemos
escrever a lei da função quadrática sendo conhecidos as raízes, x1 e x2, pois é
um polinômio de grau 2:
y = a(x – x1)(x – x2)
Exemplo: Determine a forma fatorada da lei da função quadrática:
(a) y = 2x² - 10x + 8
(b) y = 3x2 – 18x + 27
5.3. Vértice.
Para a função quadrática, o vértice é ponto de máximo ou
mínimo da função. A partir daí podemos determinar o conjunto
imagem da função e a reta de simetria da parábola.
5.3.1. Coordenadas do vértice: Pela reta de simetria,
percebemos que a abscissa do vértice é o ponto médio entre
as raízes da função. Sabemos da fórmula de Bhaskara, que as
raízes da função quadrática são:
a2
bx
1
e
a2
bx
2
Para definirmos a abscissa do vértice, façamos o ponto médio
das raízes:
2
a
b
2
a2
b2
2
a2
b
a2
b
xv
a2
bxv
Para encontrarmos a ordenada do vértice, substituímos xv na
equação da função quadrática:
a4
ac4²b2²bc
a2
²b
²a4
²bac
a2
bb
a2
bay
2
v
47
a4a4
²bac4yv
.
Logo o vértice tem coordenadas:
a4,
a2
bV
5.3.2. Equação da reta de simetria: A reta de simetria, ou reta focal, é vertical
passando pelo vértice logo: s: x – xv = 0.
5.3.3. Imagem da função quadrática: Se o vértice é o ponto de mínimo, todos os
y > yv estão relacionados com algum x do domínio, logo Im = [yv, + [ se a
concavidade for para cima. Se o vértice é o ponto de máximo, todos os y < yv
estão relacionados com algum x do domínio, logo Im = ]- , yv] se a concavidade
for para baixo.
Exemplo: Determine as coordenadas do vértice da função quadrática, o conjunto
imagem desta função e a equação do eixo de simetria do seu gráfico:
(a) cuja lei é y = 2x² – 10x + 12
(b) cuja lei é y = -3x² + 27x – 24.
5.4. Concavidade.
A parábola da esquerda (roxa) tem
concavidade para cima e a parábola da direita
(verde) tem concavidade para baixo. Como
diferenciar a concavidade conhecido a lei da
função quadrática y = ax² + bx + c?
Se relacionarmos a forma canônica da
parábola com a reta focal vertical
obtivemos: a = 4p
1 , em p é a distância do
vértice ao foco da parábola, ou do vértice
até a reta diretriz da parábola. Pela
definição p é sempre positivo, assim o sinal
positivo ou negativo depende diretamente da
concavidade da parábola.
Se a > 0, então o gráfico tem concavidade para cima.
Se a < 0, então o gráfico tem concavidade para baixo.
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Exemplos: Indique a concavidade das parábolas, definidas pelas funções abaixo:
(a) f(x) = - 3(x – 1)(2 – x)
(b) s(t) = s0 + v0t + (a/2)t2 s0, v0, a são constantes.
5.5. Estudo do Crescimento.
Independente do número de raízes, o estudo do crescimento é
definido pela concavidade e o vértice do gráfico da função
quadrática.
Com a concavidade para cima, a > 0 e V (xv,yv) é ponto de mínimo,
tem-se:
f é crescente: x ]xv, + [
f é decrescente: x ] , xv[
Com a concavidade para baixo, a < 0 e V(xv,yv)
ponto de máximo, tem-se:
f é decrescente: x ]xv, + [
f é crescente: x ] , xv[
Exemplos: Faça o estudo do crescimento para as seguintes
funções:
(a) f(x) = x2 – 8x + 7
(b) f(x) = 10 + 8x – 2x2
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5.6. Estudo do Sinal.
Para determinarmos os intervalos de x em que a função assume valores
positivos, negativos ou nulos, necessitamos saber a concavidade do gráfico e as
raízes da função. Com isso temos seis possibilidades.
a > 0 a < 0
Duas raízes. Duas raízes.
Esquema simplificado Esquema simplificado
do estudo do sinal: do estudo do sinal:
__________________ __________________
a > 0 a < 0
Uma raiz. Uma raiz.
Esquema simplificado Esquema simplificado
do estudo do sinal: do estudo do sinal:
__________________ __________________
a > 0 a < 0
Nenhuma raiz. Nenhuma raiz.
Esquema simplificado Esquema simplificado
do estudo do sinal: do estudo do sinal:
__________________ _____________________
Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo, usando o esquema
simplificado:
(a) y = -x²+ 3x + 4
(b) y = x² + 2
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2. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função.
(a) f: A ℝ
2x
6x5²xy
(b) g: A ℝ
4x3²x3xy
(c) h: A ℝ
16x²
3xx²y
51
3. Resolva as inequações abaixo, em ℝ:
03xx
96xx23
2
(a)
12x4x
13xx²
(b)
6. Função Composta
A ideia geral das funções compostas é aplicar duas funções consecutivamente.
Exemplo motivador: Seja f: ℝ-{1} ℝ* e g: [2,+[ [3, +[
1x
1f(x)
2xg(x) 3
Conseguimos definir uma função equivalente a aplicar g no resultado de f? Caso
afirmativo defina essa função, caso negativo justifique.
x ℝ-{1} f(x) ℝ* g(f(x)) se f(x) [2, +[
x = 2
3 f
2
3 = y = g(f
2
3) =
x = 3
4 f
3
4 = y = g(f
3
4) =
x = 7
8 f
7
8 = y = g(f
7
8) =
x = 0 f(0) = y = g(f(0))=
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Se para algum x D(f) não existir y = g(f(x)), g(f(x)) não é função, pois falha o primeiro critério, logo não existe a função composta na ordem solicitada.
Conseguimos definir uma função equivalente a aplicar f no resultado de g? Caso
afirmativo defina essa função, caso negativo justifique.
x [2, +[ g(x) [3,+[ f(g(x)) se g(x) ℝ-{1}
x = 38 g(38) = y = f(g(38)) =
x = 27 g(27) = y = f(g(27)) =
x = 18 g(18) = y = f(g(18)) =
x = 11 g(11) = y = f(g(11)) =
Como g (x) [3,+[ e [3,+[ ℝ-{1}, sempre conseguimos calcular f(g(x)).
x [ 2, + [ e y ℝ*
fog: [ 2, + [ ℝ* f(g(x)) =
Generalizando: Considere f: A B e g: C D. y= f(x) y= g(x) Para podermos aplicar a função f primeiro, e no seu resultado a função g, o conjunto B deve estar contido no conjunto C, pois caso
contrário, existirá x A que não possua y D relacionado a ele. f g
A B C D g(f(x))= gof(x) gof: A D y = g(f(x)) Para podermos aplicar a função g primeiro, e no seu resultado a função f, o conjunto D deve estar contido no conjunto A, pois caso
contrário, existirá x C que não possua y B relacionado a ele. g f
C D A B f(g(x))= fog(x) fog: C B y = f(g(x))
53
De modo geral para aplicarmos duas funções consecutivamente a condição de
existência da composta destas funções: O CONTRADOMÍNIO DA PRIMEIRA FUNÇÃO
APLICADA DEVE ESTAR CONTIDO NO DOMÍNIO DA SEGUNDA.
Exemplo: Verifique a existência das funções compostas fog e gof, no caso
afirmativo determine também a lei da função composta.
(a) f: ℝ ℝ g: ℝ ℝ y = x + 5 y = x²-3x+2
(b) f: ℝ [2,+[ g: [2,+[ ℝ+
y = x² + 2 2xy
54
2. Dada a função fog:ℝ −
2
3 ℝ∗
tal que f(x) = 2x – 1 e a função f: ℝ −{3}ℝ*
tal que f(x) = 3x
1
determine a função g.
3. Dada a função f0g: ℝ+∗ ℝ+
∗ tal que x2
1g(x)f0
e a função g: ℝ+ ℝ+ tal que
xg(x) , determine a função f.
7. Função inversa.
Uma função faz uma transformação na variável do domínio. Por exemplo, uma função
transforma um número no seu cubo e soma uma unidade define a função:
1xf(x)
:f
3
De modo intuitivo, se uma função é inversa da outra, o que uma “faz” a outra
“desfaz”. Essa relação deve ser recíproca, ou seja, se uma é inversa da outra,
a outra é inversa da uma, inversas entre si.
Seja f: A B. Dizemos que a função f possui inversa e é g: B A,
y=f(x) y= g(x)
se para todo par ordenado (a,b) f, ou seja, b=f(a); tem-se (b,a) g, ou seja, a = g(b) e g, com isso, ser uma função.
y x
(a , b) f (b , a) g x y
Pela definição, é consequência direta o fato de o domínio de uma ser imagem da
outra e a imagem da outra ser domínio da uma.
55
f: ℝ ℝ g: ℝ ℝ
y = 2x y = 2
x
(1,2) f (2,1) g
(3,6) f (6,3) g
1,
2
1 f
2
1,1 g
...
Ambas são funções, os gráficos de ambas são retas. Podemos dizer que f e g são
inversas entre si, ou g = f-1. Os gráficos são simétricos em relação à reta y=x.
Até a lei faz uma alusão ao inverso: a operação inversa de multiplicar por 2 é
dividir por 2. Infelizmente a maioria das funções não são tão simples para
enxergarmos esta correlação.
O gráfico de funções inversas possuem simetria em relação à reta y = x. Enxergamos
a simetria se “dobrarmos” o gráfico na reta y = x os gráficos da função f e g se
sobrepõe.
h: ℝ ℝ g: ℝ ℝ y = x² x = y²
(2,4) h (4,2) g
(3,9) h (9,3) g
4
1,
2
1 h
2
1,
4
1 g
...
Só que neste caso, g não é
função!!!
h é função, g satisfaz o critério
da operação inversa, mas g não é
função, então não podemos dizer que
g É FUNÇÃO INVERSA de h. Isso pelo
fato de na função h existir y’s
relacionados a dois valores de x, por exemplo, (-1,1) h e (1,1) h. Assim
como invertendo a ordem os pares ordenados pertenceriam à inversa (1, -1) g e
(1,1) g, ou seja, um x está relacionado com dois valores de y diferentes, logo não satisfaz o segundo critério de função.
Concluímos que para existir inversa de uma função, esta função deve ter para cada
y apenas um valor de x.
Em consequência da definição, se f e g são funções inversas entre si, temos:
fog: B B e gof: A A
y=fog(x)=x y= gof(x)=x
Seja (a,b) f, ou seja, b = f(a). Se g é a inversa de f, então (b,a) g, ou seja, a = g(b). Note que fog(b) = f(g(b))=f(a)=b, ou seja, para qualquer que seja b, fog(b) = b. Note ainda gof(a) = g(f(a))=g(b)=a, ou seja, para qualquer a, gof(a)=a. Trocando variáveis chegamos à lei das compostas.
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Exemplo: 1. Verifique se as funções abaixo são inversas entre si:
(a) f: ℝ ℝ g: ℝ ℝ
3
x21y
2
1x3y
(b) f: [1,+[ ℝ+ g: ℝ+ [1,+[
1xy 1²xy
2. Verifique a existência da função inversa de f, apenas baseado em seu gráfico.
Se existir, esboce seu gráfico e determine domínio e imagem.
(a) (b)
57
(d) (e)
3. Determine a função inversa das funções abaixo, se existirem.
(a) f: [-2,+[ [2,+[
x22y
(b) g: ℝ-{2} ℝ-
2
1
4x2
1xy
58
(c) h: ℝ ℝ+
y = |x-1|
8. Exercícios.
1- Determine o maior subconjunto dos reais que torna as expressões abaixo em
funções:
a 4x)x(f
lRA:f
b
1x2
3x2)x(g
lRA:g
c x212x)x(h
lRA:h
d
1²x
3xx)x(g
lRA:g
24
2- Determine o domínio de cada gráfico abaixo. Analise se os gráficos abaixo ;são
referentes a funções, considerando o seu domínio. Justifique sua resposta. No
caso de função determine o conjunto imagem.
a b
59
c d
3 Responda:
a. Uma função afim pode não ter raiz? Em que situação?
b. O gráfico de uma função afim é uma reta. E toda reta pode ser definida como
uma função afim?
4 Resolva as inequações abaixo, em ℝ:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
9. Exercícios.
Esboce o gráfico das funções f:ℝ ℝ abaixo, determinando as raízes, o vértice, a
intersecção com eixo oy e a concavidade da função.
1- y=x²-2x+4
2- y=3x-x²
3- y=2x²-10x+7
4- y=4x-x²
Resolva, em ℝ, as inequações abaixo:
5- (2x-3)(x²-7x+10) < 0 6- 20x-4x²-25 < 0
7- 0 < x² - 3x + 2 < 6 8- (1-4x²)(2x²+3x) > 0
9- (x²-2x+8)(x²-5x+6) < 0
02x3²x2
5x²x4
10- 0
2x3²x2
x32
11-
01x
x
1x
x
12- 1x
2x
3x
13-
60
10. Exercícios.
Determine as funções compostas fog ou gof, se existirem:
1x3)x(f
lRlR:f
1- e
1x3)x(f
lRlR:f
³x)x(f
lRlR:f
2- e
3x)x(g
lRlR:g
2
1x
x)x(f
1lR1lR:f
3- e
1x)x(g
lR,1:g
4 1x)x(f
lR,1:f
4- e
1x)x(g
,1lR:g
6
5- Sejam as funções reais f(x) = 3x – 5 e fog(x) = x2 – 3. Determine a lei da
função g.
6- Sejam as funções reais g(x) = 3x – 2 e fog(x) = 9x2 – 3x + 1. Determine a lei
da função f.
Determine a função inversa de cada função abaixo. Em caso negativo, justifique:
1xy
lRlR:f
5
7-
1x3y
lRlR:g
8-
x
2x4y
4lR*lR:f
9-
3x
3xy
1lR3lR:h
10- 3
2x4y
lRlR:g
11-
34xxy
lRlR:f
12-
Verifique se existe a função inversa das funções representadas pelos gráficos abaixo.
Em caso afirmativo, esboce o gráfico da inversa, em caso negativo, justifique:
13- 14- 15-
16- 17- 18-
11. Respostas dos exercícios item 8.
1-
(a) A = [4,+[
61
(b) A =
,
2
1
2
1,
2
3
(c) A =
2
1,2
(d) A = ℝ
2-
(a) A = ℝ. É função, porque qualquer reta vertical interseciona o gráfico apenas
uma vez, satisfazendo a definição de função. Im = ]0,+[.
(b) A = [6,6[. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o
gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im=[4,7[.
(c) A = ℝ. Não, há três intersecções com o eixo oy, ou seja, para x = 0 existem três valores de y relacionado a ele.
(d) A = ℝ - {1}. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o
gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im= ℝ.
3-
(a) Sim, no caso em que a = 0 (reta horizontal).
(b) Não, uma reta vertical não é função.
4-
(a)
3
1,S (b)
,
5
31,S (c)
,22
5,S
(d)
,6
3
4,
3
2S (e)
,
2
12,S (f)
,
2
3
3
2,S
(g) ,1S (h)
,32,
2
31,S
12. Respostas dos Exercícios item 9.
1- 2- 3- 4-
5,22
3,S
5-
6-
2
5lRS
7- 4,21,1S
62
8-
2
1,0
2
1,
2
3S
9- S = [2,3]
10-
,21,
2
1
4
5,S
11-
,
3
2
2
1,2S
12- 1,01,S
13- ,2S
13. Respostas dos exercícios do item 10.
1- ∄ gof e
x
3xy
lR*lR:fog
2-642 xx9x2727y
lRlR:fog
e
6x3y
lRlR:gof
3- ∄ gof e ∄ fog 4 - -
11xy
,1,1:gof
3
e
3xy
lRlR:fog
5 – g(x) = 3
2x2
6 – g(x) = x2 + 3x + 3.
7 - 55
1
1xy
lRlR:f
8-
3
1xy
lRlR:g 1
9-
4x
2y
lR4lR:f *1
10-
1x
3x3y
3lR1lR:h 1
11-
4
2xy
lRlR:g3
1
12- Não existe a inversa, pois para f, por exemplo, y=0, está relacionado com x= 0 e x
= -1. (0,0) f e (-1,0) f, ou seja, (0,0) f-1 e (0,-1) f-1, para f-1 temos dois y para o mesmo x, logo não é função.
13 a 15 e 18- Não existe, pois há mais de um x para o
mesmo y, assim na inversa teria mais de um y para o
mesmo x, não sendo função.
16- Existe, e o gráfico é idêntico. 17- Existe, gráfico ao lado em vermelho.
