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I N S T I T U T O D E P E S Q U I S A S E N E R G É T I C A S E N U C L E A R E S SECRETARIA DA INDÚSTRIA, COMÉRCIO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SAO PAULO
S O L U Ç Ã O D A E Q U A Ç Ã O D E T R A N S P O R T E L I N E A R , M O N O E N E R G É T I C A E M M U L T I - R E G I Õ E S C O M E S P A L H A M E N T O A N I S O T R Ó P I C O
A T R A V É S D O M É T O D O FN
Elizabeth May Braga DulIey Pontedeiro
Dissertação apresentada ao Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares como parte dos requisitos para a obtsnçfto do Grau de IMeatre • Área de Reatores Nucleares de Potência e Tecnologia do Combustivel Nuclear".
Orientador Dr. José Rubens Maiorino
Sâo Pauto 1982
INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES
SECRETARIA DA INDUSTRIA, COMÉRCIO, CIENCIA E TECNOLOGIA
AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SAO PAULO
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE TRANSPORTE LINEAR, MONOENERGÉTICA
EM MULTI-REGlOES COM ESPALHAMENTO ANISOTRÓPICO
ATRAVÉS DO MÉTODO
Elizabeth May Braga DulIey Pontedeiro
Orientador: Dr. José Rubens Maiorino
Dissertação apresentada ao Instituto de
Pesquisas Energéticas e Nudrares como
parte dos requisitos para a obtençio do
grau de "Mestre — Área de Reatora
Nucleares de Potência e Tecnologia do
Combustível Nuclear".
L 1 " '- '
A meus pais , Paul W.Dulley e Eunice B. Dulley e a meu marido Auro
AGRADECIMENTOS
- Ao Instituto de Pesquisas Energéticas e Nuclea
res pelo apoio material e financeiro.
- Ao PRONUCLEAR pelo apoio financeiro prestado.
- Ao Instituto da Radioproteção e Dosimetria, na
pessoa do Dr. Carlos Eduardo Veloso de Almeida, que possibi^
litou o término deste trabalho.
- Ao Dr. José Rubens Maiorino, pela amizade, in
centivo e valiosa orientação demonstrada na execução deste
trabalho.
- Ao colega Mitsuo Yamaguchi pela grande ajuda
na parte computacional.
- Ao Centro de Processamento de Dados do IPEN na
I pessoa do Sr. Gelson Toshio Otami pelas sugestões dadas. <*
- Aos colegas Arlindo Gilson Mendonça e José Luiz
Batis^ta pelo apoio e incentivo.
- Ao grupo de apoio computacional da CNEN pelo
auxílio computacional prestado.
- A Sra. Eliane Sarmento de Melo pelo trabalho de
datilografia.
- Aos colegas do Centro de Engenharia Nuclear pe
Io apoio, críticas e discussões.
Solução de Equação de Transporte Linear, Nfonoenergé-
tica em Milti-regi5es com Espalhamento Anisotropico
através do Método Fj .
ELIZABETH MAY BRAGA DULLEY PONTEDEIRO
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo a resolução da e
quação de transporte linear, em geometria plana, monoenergé
tica, com espalhamento anisotropico, em multi-regiões, atra
vês do método Fj^. Com esse intuito, um conjunto de equações
é derivado e um programa de computador, feito em linguagem
FORTRAN IV, é confeccionado a fim de se obter resultados nu
méricos.
O programa de computação (Modulo FNAM-1) possibi^
lita um número máximo de 20 regiões, com ordem máxima de a
proximação igual a 10. A ordem limite de espalhamento em
cada região é L=30 , e as condições de contorno permitidas
são (em ambas as faces) : superfície livre, incidência cos
senoidal, incidência isotropica, refletividade especular e
difusa e incidência monodirecional, sendo que esta última
somente para face esquerda.
Os dados de entrada necessários são : ordem da a
proximação Fj , número médio de partículas secundárias em
cada região, fontes externas, grau de anisotropia em cada
região, a espessura ótica da região, tipo de condição de
contorno nas faces externas e os coeficientes da função"trans^
ferência em cada região.
O modulo possibilita cálculos como albedo, fator
de transmissão, fluxo e corrente total, fluxo angular nas
I N S T I T U T O DE PE SQU -S Ag E RG É^ IC • « E N UCI P ARE S I. P E. N.
interfaces e fator de desvantagem térmica (no caso de cálcu
, los celulares), sendo que neste trabalho apresenta-se resu]^
tados numéricos para estas grandezas, usando-se o modulo ,
para vários problemas padrões.
Solution of the Linear Transport Equation, Monoener
getic, in Multiregions with Anisotropic Scattering
by the Method F^.
ELIZABETH MAY BRAGA DULLEY PONTEDEIP.O
ABSTRACT
This work has as a goal the resolution of the linear transport equation, in slab geometry, monoenergetic, with anisotropic scattering, in multiregions, by the method Fj . For this porpose , a group of equations is derivated and a computer program is made, in the FORTRAN-IV language, in order to get numerical results.
The computer program (FNAM-1 Module) makes possible a limit number of 20 regions, with the maximal apro ximation order equal to 10. The limit order of scattering in each region is L = 30 , and the permitted boundary condj^ tions are (in both sides) : free surface, cosine incidence, isotropic incidence, especular refletivity and difuse and monodirectional incidence, being this last one just to the left side.
The input data must be : Fj aproximation order, average number of secondary particles in each region, exter nal sources, level of anisotropy in each region, optical thickness of the region, type of boundary condition at the boundaries and coefficients of the transfer function in each region.
The program makes possible to calculate albedo, transmission factor, total flux and current, angular flux at the boundaries and the disadvantage factor (in the case of celular calculus). Numerical results to these factors are shown, using the FNAM-1 Module, for several standard problems in this work.
ÍNDICE
Pag,
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO 1
CAPÍTULO II
REVISÃO DE LITERATURA 10
CAPÍTULO III
OBJETIVOS E DIVISÃO DO TRABALHO 16
CAPÍTULO IV
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DESENVOLVIMENTO
ANALÍTICO 18
4.1 - Formulação do Problema 18
4.2 - Análise e Desenvolvimento 23
CAPÍTULO V
RESULTADOS NUMÉRICOS
5.1 - Problemas Padrão 43 5.2 - Análise de Resultados 62
CAPÍTULO VI
CONCLUSÃO E SUGESTÕES 64
BIBLIOGRAFIA 65
APÊNDICE A
A.l - Equação de Boltzmann 73
A. 2 - Autovalores 80
pâg,
A.3 - Modificação na computação dos po
linômios g^C"^) e das funções
A^^^ (v). B^^^ ( V ) para grandes
valores de v e dos coeficientes
contínuos A(± 87
A.4 - Desenvolvimento analítico das
funções de interesse no método
APÊNDICE B
B.l - Diagrama de bloco e dados de en
trada do FNAM-1 97
Manual de instruções para usuário. 100
B.2 - Listagem do programa e cartões de
controle 105
B.3 - Problemas Amostra e resultados
obtidos 146
I . S T I T U T O O E P e S O U ^ S . B E . E R G É T t C S E N U C L E A R E S
INDICE DE FIGURAS E GRÁFICOS
Pag.
Figura 1 19
Figura 2 34
Figura 3 44
Figura 4 45
Figura 5 45
Figura 6 47
Figura 7 ' 49
Figura 8 51
Figura 9. 53
Figura 10 56
Figura 11 56
Figura 12 58
Figura 13 61
Figura 14 146
Figura 15 ^46
GRÁFICO I 55
GRÁFICO II 55
GRÁFICO III 59
GRÁFICO IV 60
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
Teoria de Transporte é a descrição matemática da
migração de partículas, ou radiação, através de meios mate
riais. Uma vez que não se pode especificar a posição e velo
cidade de cada partícula individualmente, devido ao número
colossal destas, a equação de transporte baseia-se no com
portamento médio de uma população de partículas.
Os processos de transporte podem envolver diferen
tes tipos de partículas, tais como, neutrons, moléculas de
gâs, ions, elétrons, fotons ou ondas. Assim as principais a
plicações diretas da teoria de transporte são no estudo e
projeto de reatores nucleares, projetos de blindagens para
reatores, na astrofísica (difusão da luz em atmosferas es
trelares e penetração da luz em atmosferas planetárias) , di
nâmica dos gases rarefeitos (propagação do som e difusão de
moléculas nos gases) e física do plasma (teoria cinética do
plasma).
Historicamente a equação de transporte foi intro
duzida por Boltzmann em 1S72, sendo em sua forma mais ge
ral, uma equação integro-diferencial não linear. Contudo,pa
ra descrever o transporte de partículas não carregadas (co
mo fotons e neutrons), é possível utilizar-se a equação de
Boltzmann linearizada, a qual é adequada a esse tipo de pro
blema (vide Apêndice A-1).
Na primeira parte deste século investigações de
transferência da radiação através de atmosferas estrelares le
vou a estudos elementares da Equação de Transporte. Entre
tanto, nenhum progresso matemático realmente importante foi
feito até a solução do chamado "problema de Milne" por
Wiener e llopf em 1931 /7.y. Com a descoberta do neutron, o
interesse na teoria de transporte £oi estimulado devido a
necessidade do desenvolvimento dos reatores nucleares e da
grande urgencia de obter-se resultados numéricos da equação
de Boltzmann. Tal necessidade resultou em vários métodos de
solução "aproximada" da Equação de Transporte / 3/.
Uma vez que o comportamento de um reator nuclear
é governado pela distribuição no espaço, energia, direção e
tempo dos neutrons no sistema, o problema central da teoria
do reator é predizer essa distribuição.
Teoricamente o problema da teoria do reator pode
ria ser solucionado inserindo-se na equação de transporte um
conjunto completo de seções de choque apropriadas, as quais
representassem as probabilidades de interação do neutron com
o sistema, e usar-se um método de solução para obtenção de
resultados numéricos. Porém, na prática isto prova não ser
possível, uma vez que a variação das seções de choque do
neutron com a energia é extremamente complexa, o que difi
culta o tratamento matemático para a solução da Equação de
Transporte /13/.
Desta forma, alguns dos primeiros trabalhos em
Teoria de Transporte foram concebidos com a distribuição de
partículas somente no espaço e angulo, removendo-se a depen
dência energética por integração. Por essa razão, foi deno
minada teoria a uma velocidade. Essa aproximação, apesar de
não ser muito precisa, tem sua importância baseada no fato
que é um método conveniente para resolver problemas auxilia
res / 9/.
Para aplicação em projetos de reatores, desenvol^
veu-se inicialmente uma versão simplificada da Teoria de
Transporte, conhecida como Teoria de Difusão /38/. Nesta a
proximação considera-se os neutrons como um "fluído", des^
crevendo-se apenas a distribuição espacial dos mesmos, e im
pondo-se uma direção preferencial para as partículas atra
I N S t I T U T O ÒE P E S O U i S A S E \ E R ô É TlC 8 E N U C L F A f ? E S
I. P. E. N.
vês da Lei de Pick. A teoria de difusão oferece bons resuj^
tados para grandes distâncias, falhando para cálculos de
pequenos sistemas ou perto de fontes e fronteiras.
Contudo, para aplicação em cálculo do transporte
de radiação em blindagem (deep penetration problems) neces^
sita-se métodos mais precisos, baseados em considerações mais
exatas acerca da migração de neutrons. Assim, usa-se a E
quação de Boltzmann para esses cálculos, uma vez que neces^
sita-se conhecer a distribuição de partículas na superfí^
cie da blindagem. Desta forma, na medida em que a teoria
de difusão assume espalhamento isotropico e não leva em
consideração a componente angular do campo de radiação en
tão não ê conveniente na solução de problemas de transpor
te aplicados a blindagem, onde ê necessário levar-se em
conta a componente espalhada, a qual ê altamente anisotro
pica em problemas de penetração profunda.
No que concerne ã obtenção de soluções da Equa
ção de Transporte, vários métodos foram desenvolvidos. No
tratamento da dependência energética, pode-se tratar a ener
gia como uma variável contínua, o que dificulta a obtenção
de soluções rigorosas, uma vez que os parâmetros nucleares
possuem complicada dependência energética. Um procedimento
comum, nesse caso, é expandir-se os termos dependentes da
energia em polinómios, tendo o mesmo intervalo de variação
que a energia, isto é, de zero a infinito, e que sejam or
togonais, como por exemplo os polinomios de Hermite ou La
guerre / 1 , 21 /.
Outro método utilizado é o de "multigrupos", no
qual o intervalo de energia de interesse dos neutrons ê ài
vidido em um número finito de sub-intervalos (grupos). As
sume-se então que as seções de choque em cada grupo são
constantes, isto é, possuem um valor médio sobre o interva
lo de energia.
Para tratamento da dependência angular do fluxo,
expande-se este em um conjunto completo de funções elementa
res, tais como uma série de polinomios. Em geral usa-se har;
mônicos esféricos, mas no caso particular de geometria pia
na ou esférica tal expansão pode ser reduzida a polinomios
de Legendre. Dentre os métodos matemáticos que utilizam es
se tipo de aproximação pode-se citar o "método Pj^" /44/, o-
qual utiliza uma expansão finita de polinomios de Legendre
truncada na ordem (N+1). Neste método, a equação integro-
diferencial é transformada, devido a aproximação acima de¿
crita, em um conjunto de (N+1) equações diferenciais acopla
das para os coeficientes da expansão polinomial, as quais
são solucionadas por técnicas convenientes.
O método Pj apresenta bons resultados numéricos
quando aplicados a problemas simples, em geometria plana e
esférica. Em geral, contudo, apenas as aproximações de 0 £
dem ímpar são consideradas, por apresentarem melhores resul^
tados. Dentre os códigos que utilizam essa técnica, pode-
se citar o modulo MPN-í /74/, que soluciona a Equação de
Transporte em geometria plana, com multi-regiões e ordem de
espalhamento anisotropico geral.
Para obter-se soluções numéricas da equação de
Boltzmann pode-se usar o método de ordenadas discretas ou
Sj / 7/, o qual tem sido utilizado com frequência nos codj^
gos empregados em cálculos de reatores. A base essencial do
método é que a distribuição angular é calculada em um núm£
ro de direções discretas, ao invés de usar harmônicos esfé
ricos. Na solução de problemas práticos pela técnica de or
denadas discretas, uma variável discreta da energia é intro
duzida através da aproximação de multigrupo, e uma malha de
espaços discretos é usado para as coordenadas espaciais.Des^
ta forma, todas as variáveis independentes da Equação de
Transporte são tratadas como discretas.
O método Sj apresenta algumas vantagens, na medi
da em que pode ser utilizado para geometria esférica, plana
ou cilíndrica, e dependendo da sofisticação desejada, os
i N S r i T U l O DE P E S O U S * S E N . f R G È T l C ' ; 6 E N U C L F A R E !
I. P . E . N. '
cálculos Sj são fáceis de preparar. Os cálculos unidimensio
nais são mais rápidos (em tempo de computador) que o método
de Monte Cario. Entretanto, a convergencia do procedimento
terativo não é sempre uniforme e bem definida, necessitando
que se determine, apos cada iteração, o máximo erro no flu
xo escalar. Além disso, aberrações no fluxo são frequentemen
te observadas em duas dimensões , devido a fontes localizadas
e ã propagação de neutrons em direções discretas (ray effect )
/21/ .
Dentre os códigos computacionais que fazem uso da
técnica de ordenadas discretas e que utilizam método de mul^
tigrupos, pode-se citar o código ANISN / 2 2 / e o DTF-IV /+8/,
os quais podem ser usados diretamente para o transporte de
neutrons e gamas em geometria cilíndrica, esférica ou plana
unidimensional, com ordem de espalhamento anisotropico g£
ral, oferecendo uma grande variedade de opções de condição
de contorno e opções de fonte. A duas dimensões tem-se os
códigos DOT e TWOTRAN /49/, com características similares
aos citados acima.
Outro método numérico de solução da Equação de
Transporte que recentemente tem sido bastante usado, é o mé
todo de elementos finitos. Este método permite reduzir o nu
mero de pontos de malha e representar qualquer geometria com
plexa em detalhe, sem usar um número excessivo de nos na ma
lha.
A essência do procedimento , em elementos finitos, é
dividir a região sob consideração em um numero finito de
regiões , geometricamente simples, denominados "elementos f^
nitos". Adota-se, então, a técnica de Ritz-Galerkin / 5 1 /
com o funcional expandido em termos de funções bases, as
quais são polinómios contínuos por partes (definidos para
cada malha).
Inicialmente chamado TRIPLET, o TRIDENT / 2 1 / foi
o primeiro código a empregar o método de elementos finitos.
nie combina técnica de ordenadas discretas para o ângulo
com o esquema de elementos finitos para a varlaj^cl espacial.
Na solução do processo de transporte pode-se tam
bem aplicar o método de Monte Cario, que é a simulação de
um problema físico ou matemático, através da técnica de a
mostragem estatística. Em resumo, este consiste na amostra
gem aleatoria de eventos distribuidos de acordo com uma dis
tribuição de probabilidades, a qual usualmente representa uma
situação física, e através de técnicas estatísticas conve
nientes estima-se as respostas requeridas.
Em cálculos de transporte de neutrons, a aplicaba^
lidade da técnica de Monte Cario /7l/ vem do fato que a se
cao de choque macroscópica pode ser interpretada como uma
probabilidade de interação por unidade de distancia percor
rida pelo neutron. Assim, nesse método um conjunto de his^
tórias de neutrons é gerado, seguindo-se cada partícula in
dividualmente ao longo de sucessivas colisões. A técnica de
Monte Cario tem demonstrado ser poderosa principalmente em
geometrías complexas.
O método acima descrito apresenta incertezas, as
quais são devido ã limitação que existe no número de histó
rias examinadas, decorrentes das limitações na capacidade dos
computadores digitais / 21/. Em códigos que solucionam a Equa
ção de Transporte através de Monte Cario, pode-se citar o
MORSE, que é extremamente geral e flexível, capaz de descre
ver transporte de neutron e radiação gama ou neutron-gama a
copiados, em geometrías arbitrárias. Este código utiliza
ainda, técnica de multigrupo, e tem grande aplicação no cál^
culo de ambiente de radiação na contenção de reatores nu
cleares /40/.
Também há os códigos,TART, baseado no formato de
multi-grupo, embora um tratamento contínuo da energia, para
emissão de neutrons secundários, é incluido e o KENO-IV que
é próprio para cálculo de criticalidade, também baseado na
técnica de multigrupo.
O método dos momentos foi formulado por Spencer e
Fano e foi a primeira técnica a ser aplicada com sucesso pa
ra transporte de raios gama, com aplicação em blindagem. O
uso do método, na solução da Equação de Transporte, é limi
tado quanto a configuração de fontes e ã geometria da blin
dagem, sendo o método dos momentos usualmente aplicado em
meios homogêneos infinitos com fontes planas, pontuais ou
lineares / 73/.
A técnica acima citada permite o calculo dos fato
res de crescimento, que então podem ser usados para corri
gir a componente penetrante do fluxo. RENUPAK é um dos codi^
gos computacionais que usa o método dos momentos para solu
cionar a equação de Boltzmann em meio infinito homogêneo,ba
seado na técnica de multi-grupo, com fontes pontuais de fis^
são e em geometria esférica /21/.
A vantagem obtida pela solução aproximada da Equa
ção de Transporte em problemas complexos, é diminuida pela
precisão numérica conseguida. Além disso, é de importância
obter-se soluções rigorosas da equação de Boltzmann, mesmo
que restritas a problemas simples, na medida em que os re
sultados obtidos por soluções matematicamente exatas permi^
tem uma comparação entre os vários métodos aproximados, a
través de problemas padrão.
Soluções rigorosas da Equação de Transporte podem
ser obtidas através do método de Transformada de Fourier / 3/,
ou pelo método de Case /45/. A idéia básica deste último mé
todo é construir um conjunto completo de auto-funções ou
seja, a solução homogênea é expressa como uma combinação li
near de modos normais, e uma solução particular apropriada é
proposta para o termo não homogêneo de interesse. Os coefi
cientes da expansão são determinados de forma que a solução
completa satisfaça as condições de contorno para o problema ,
usando-se as propriedades de ortogonalidade destas auto-
funções.
O método de Case (ou de auto-funções singulares )
é também denominado método "exato", pois fornece soluções
analíticas do problema, servindo como teste de aproximações
da Teoria de Transporte. Além disso, o método fornece infor
mações sobre fenômenos que ocorrem na fronteira do reator ,
como a determinação precisa da "distância extrapolada".
Um outro método de solução de problemas de trans^
porte, conhecido como "invariant imbedding", foi introduzj^
do por Ambarzumian e Chandrasekhars/73/, com o intuito de
resolver problemas sobre a reflexão difusa da luz em atmos
fera estrelar. Esse método é radicalmente novo na formulação
de problemas de transporte, uma vez que não utiliza a equa
ção de Boltzmann. Em essência, consiste na formulação de e
quações integrais para as funções que descrevem a reflexão
e a transmissão da radiação com base nos princípios da inva
riança. Este foi generalizado para neutrons, devido ao tra
balho de Bellman e Kalaba / 4/. Um dos códigos que utiliza
essa técnica é o SLDN, específico para calculo de blindagem ,
utilizando método de multigrupos para uma dimensão. O meto
do também ê aplicável a outras radiações, como neutron e ga
ma, sendo utilizado na engenharia nuclear na solução de pro
blemas ligados a projetos de blindagem de reatores /21/.
Recentemente, Siewert e colaboradores desenvolve
ram um novo método aproximado, denominado método ¥^ (F de
fácil) / 4 V . O método usa parcialmente a técnica de Case pa
ra derivar um conjunto de equações singulares para as di£
tribuições angulares nos contornos, e então essas distribui^
ções são aproximadas por um polinomio de ordem N para deri^
var-se um conjunto de equações algébricas lineares para os
coeficientes da expansão polinomial.
O método acima descrito é de valor na resolução
de problemas de transporte de radiação, apresentando a van
tagem da análise matemática ser simples, apresentando resul^
I N S T I T U T O Oe P E S Q U S A S E'M E R G E^^tC • S E NUd . T A R E S
I. P . E, N.
tados numéricos tão precisos quanto as técnicas que forne
cem "soluções exatas". Contudo, como o ¥^ faz uso da técn^^
ca de Case para solucionar a Equação de Transporte, a sua
aplicação torna-se restrita a problemas com geometria pia
na ou a geometrias que possam ser reduzidas a geometria pia
na.
10
CAPITULO II
REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo uma revisão dos principais traba
Ihos em Teoria de Transporte é apresentado de maneira sucin
ta, dando-se ênfase maior aos trabalhos que utilizaram o mé
todo Fjj.
Os primeiros trabalhos referentes ã Teoria de
Transporte foram iniciados na primeira parte deste século ,
visando as aplicações no transporte da radiação luminosa em
atmosfera planetarias e estrelares (transferência radiati
va) . Dentre varios outros trabalhos, citam-se os de Milne /47/,
Ambarzumian / 2 / , Schwarzschild /58/, e o clássico trabalho
de Eddington /20/. Uma excelente revisão dos problemas clâs^
sicos, em transferência radiativa, e os métodos de solução
destes, pode ser encontrada no livro de Chandrasekhars /12/.
Com a construção dos primeiros reatores nuclea
res, resultados numéricos através da solução da equação de
Boltzman se fizeram necessários, dando origem aos métodos a
proximados. Dentre estes, o primeiro a ser usado foi a Teo
ria de Difusão, onde uma descrição geral e aplicações em fí
sica de reatores pode ser encontrada, entre outros, nos li
vros de Lamarsh /38/ , e Dudersdat /16/.
Outros métodos usados em Teoria de Transporte
foram desenvolvidos, tais como método Pj^/44/ devido a Mark ,
método DPj^ /76/ devido a Ivon, e o Sj / 7/ ou ordenadas dis
cretas, devido a Carlson. \M resumo destas e outras técnicas aproxi
madas de solução da equação de Boltzmann podem ser encontra
das nos livros de Bell e Glasstone /3/, Davison /13j e
Dudersdat e Martin /17/. Além destes textos básicos, uma ex
posição dos primeiros métodos usados em Teoria de Transpor-
11
te com aplicação na difusão de neutrons, pode ser encontra
da na monografia de Case, Hoffmann e Placzek/10/.
Soluções analíticas da equação de transporte fo
ram obtidas por Case /9 / em 1960. O método proposto con
siste em se construir um conjunto completo de auto-funções
ortogonais, sendo a solução do problema expressa.por uma
combinação linear destas auto-funções com coeficientes ar
bitrârios, que podem ser determinados a partir de condições
de contorno e de propriedades de ortogonalidade das auto-
funções. Uma excelente revisão da técnica de Case pode ser
encontrada nos livros de McCormick e KUscer /45/, e de Case
e Zweifel / H / .
A partir do trabalho de Case, centenas de pu
blicações foram feitas usando este método, visando a apli
cação e a generalização em diferentes geometrias, em pro
blemas dependentes do tempo e aplicação em multigrupo. Den
tre os vários trabalhos citam-se,em um grupo de energia ,
os de Zelcizny /77/, Pahor /53/, KUscer e 2,weifei/36/, Shure
e Natelson /59/, McCormick e KUscer /45/; em outras geome
trias diferentes da plana, citam-se os trabalhos de Mitsis/4o/
e Erdmann e Siewert /23/, em problemas dependentes do tempo
o de KUscer e Zweifel iZbl, e em multigrupos os de Metcalf
e Zweifel /46/ Reith e Siewert /Sb/, Siewert e Ishiguro/66/,
Ishiguro /32/, Ishiguro e Maiorino /35/ e Yoshimura e
Katsuragi /75/.
Um método aproximado da equação de transporte,
que possue semelhança com o método , é o denominado ,
introduzido por Benoist e Kavenoky / 5/, os quais aplica
ram este método em geometria plana e uma velocidade.
Em 1977, Ishiguro /33/, Ishiguro e Garcia /34/
resolveram o problema de multi-regiões para um e dois gru
pos de energia, em geometria plana, usando um novo método
(método da regularização das equações integrais singulares)
apresentando resultados para um e dois grupos de energia.
12
O método Fj £oi introduzido por duas publica
ções simultaneas, onde Siewert e Benoist /62/ apresenta
ram a teoria do método e em seguida Grandjeane Siewert/30/
aplicaram a técnica para resolver problemas básicos,co
mo o problema clássico do albedo e o problema da fonte con£
tante, bem como o cálculo do albedo para uma placa finita
Nesse mesmo ano, Siewert /61/ publicou um trabalho onde
problemas em transferência radiativa, com geometria plana
e espalhamento anisotropico são solucionados através des
sa técnica, porém sem publicar resultados numéricos.
Apos essas publicações, várias outras as se
guiram, onde o método F ^ foi utilizado para solucionar di
versos problemas em Teoria de Transporte.
Soluções da equação de Boltzmann com espalha
mento anisotropico, usando o Fj , foram apresentadas por
Siewert, Ishiguro, Grandjean e Devaux /14/, onde grande
zas como albedo e fator de transmissão foram calculados
para multi-regiões com geometria plana. Pela primeira vez
Maiorino e Siewert /67/ usaram a nova técnica a fim de
estabelecer a intensidade média de corrente, e fluxo no
interior de uma esfera finita com uma fonte puntual de ra
diação localizada no centro da esfera. Nesse mesmo ano ,
Siewert, Yuan e Devaux /15/ apresentaram o formalismo ne
cessãrio para solucionar, através do método problemas
em transferência radiativa sem simetria azimutal, em geo
metria plana. Nessa publicação, considerou-se apenas uma
região, com incidência monodirecional e resultados da dis^
tribuição angular nas interfaces foram tabulados.
A seguir, Neshat e Maiorino /50/ utilizaram
a nova técnica a fim de solucionar o problema de critica
lidade para um reator de placas planas com um refletor fi
nito. Resultados numéricos para espessura crítica e espe_s
sura do refletor são mostradas, para diferentes ordens de
aproximação e diferentes valores do número médio de neu
trons secundários por colisão. A seguir Maiorino e Siewert/41/
13
apresentaram resultados para o problema crítico num reator
a tres regiões e para o fator de utilização térmica também.
O método foi também aplicado a fim de se computar o
fluxo de calor líquido radiativo, relevante em transieren
cia de calor por radiação, em meios espalhadores anisotro
pico, em geometria plana e com reflexão especular e difusa
nos contornos, publicação feita por Siewert, Maiorino e
Ozisik /70/.
Maiorino e Siewert /43/ estabeleceram em seguj^
da, resultados numéricos básicos para estudos do transpor
te de luz polarizada em atmosferas finitas através da téc
nica Fj^. Fernandes e Ishiguro /24/ utilizaram o método pa
ra solucionar um problema em geometria plana, com tres re
giões para um e dois grupos de energia, embora os resulta
dos para dois grupos não tenham sido considerados satisfa
tórios .
Em 1980, Dunn e Maiorino /18/ investigaram cer
tas características da formulação inversa da equação de
Boltzmann com espalhamento anisotropico, em transferencia
radiativa. Especificamente, soluções aproximadas para o
problema direto foram construídas pelos métodos Fj e Monte
Carlo, sendo empregado diversos esquemas numéricos a fim
de demonstrar-se características computacionais para o cal
culo do problema inverso. Neste trabalho concluiu-se que o
albedo para espalhamento simples pode ser calculado com
precisão, mas para leis de espalhamento de alta ordem tor
na-se mais difícil de se obter bons resultados.
Nesse mesmo ano, Siewert e Maiorino fizeram duas
publicações, onde a técnica F-^ é usada para solucionar, de
maneira concisa, o problema completo concernente ã difusão
de luz polarizada em uma atmosfera planetária com espalha
mento tipo Rayleigh e isotropico /68/, assim como a solu
ção para um problema de uma atmosfera finita com refle
xão de Lambert nos contornos fóS/, onde valores do coefici
14
ente de reflexão são calculados bem como albedo para espa
lhamento simples (problema inverso).
cálculos para problema em multi-regiões, na teo
ria de difusão de neutrons , foram feitos por Garcia e
Siewert /28/, onde resultados do fluxo para um problema pa
drão de quatro regiões são apresentados, e comparados com
o método "exato".
No campo da dinâmica dos gases rarefeitos
Siewert, Garcia e Grandjean / 65/ usaram o método para
estabelecer uma solução concisa e precisa para o escoamen
to de um gás rarefeito entre dois planos paralelos. O mode
lo usado foi o de Bhatnagar, Gross e Krook (BGK), para
descrever o fenômeno físico, e resultados numéricos da ta
xa de fluxo foram apresentados para uma extensa faixa do
numero de Knudsen.
Solução e resultados numéricos foram estabel£
eidos por Siewert e Garcia /64/ para o albedo e distribui^
ção de radiação de fuga relevante para um meio espaço semó^
infinito com um albedo para simples espalhamento variando
exponencialmente. Nessa publicação, a aproximação ¥^ ini
cialmente introduzida foi modificada, a fim de se obter me
lhores resultados. Desta maneira, fazendo uso da nova apro
ximação, um trabalho foi publicado por Siewert, Garcia e
Pomraning /26/ aplicando o método em teoria cinética do
plasma. Assim sendo, o modelo linear da equação de Boltzmann
adequada ao transporte de átomos neutros de hidrogênio em
um plasma foi solucionada. As condições de contorno consi
deradas foram de reflexão nos contornos , com o termo de in
cidência considerado conhecido. Apresentou-se resultados nu
méricos para problema do meio espaço e placa finita.
Finalmente Siewert e Benoist / 63/ mostraram que
o método Fj pode ser aplicado a problemas de multigrupo
onde a teoria desenvolvida para moderação de neutrons, ou
transporte de radiação gama, reduzindo-se o problema acima
15
a uma seqüência de problemas a uma velocidade. Desta mane^^
ra, torna-se evidente a vantagem do Fj em relação a técni
cas de resolução da equação de transporte estritamente nu
méricas, pois o método citado não necessita incremento de
tempo de computador para solucionar problemas de multigru
po .
Complementando essa publicação, Garcia e
Siewert /27/ apresentaram resultados numéricos para fluxo
angular transmitido e refletido para uma placa plana, de
monstrando a precisão do método e o baixo custo computacio
nal requerido. Também um estudo dos aspectos computacio
nais foi realizado, assim como uma apreciação acerca de
auto-valores degenerados. Os resultados numéricos apresen
tados referem-se ao problema do albedo para o transporte
de raios gama em 16 e 19 grupos, os quais são comparados
com os resultados apresentados pelo código DTF 69 /57/.
Salienta-se que apesar de ter-se apresentado t£
dos os trabalhos referentes ao método Fj , que foram publi^
cados até o momento em que esta dissertação estava sendo
escrita, não se pretende que nesta revisão bibliográfica se
encontre todos os trabalhos referentes a teoria de trans
porte, mesmo porque existem na literatura excelentes revi
soes bibliográficas deste campo, como por exemplo, o recen
te livro de Dudersdat e Martin /17/ e o livro de McCormick
e KUscer /45/.
; ; - 7 : : ^ 0 E P E S O U S . S e . . R O É T , C ^ S E N U C L E A R E S
1. P . E . N .
16
CAPITULO iir
OBJET:VOS E DIVISÃO DO TRABALHO
A meta deste trabalho ê desenvolver o modulo FNAM-
1 (Método Fj , anisotropico, multi-região, 1 velocidade) ,que
é um programa de computação feito em linguagem FORTRAN, que
utiliza o método Fj para a solução da Equação de Transporte
linear e monoenergetica, em multi-regiões e meios espalhado
res anisotrõpicos.
O modulo possibilita escolha de ordem de aproxima
ção e número arbitrário de regiões, limitado apenas por ques
toes de memoria de computador. Além disso, o espalhamento a
nisotrépico em cada região é tratado por uma expansão em Po
linômios de Legendre de ordem L.
Apesar de limitado em geometria plana e um grupo
de energia (no caso de neutrons) ou, em uma frequência (no
caso de fotons), o programa permite cálculos preliminares em
projetos de blindagens, especialmente no cálculo de albedo e
fator de transmissão, assim como enquadra-se dentro de uma
filosofia de "Problemas Padrões", permitindo comparar resul^
tados com ANISN /22/, MPN-1 /74/, soluções exatas (quando
houver).
O desenvolvimento analítico do método empregado é
apresentado no Capítulo IV,onde se discute a solução geral
da Equação de Transporte linear e monoenergetica usando-se o
método Fj , bem como as condições de contorno permitidas. Os
resultados numéricos são apresentados no Capítulo V, onde
diferentes problemas são propostos.
Conclusões, sugestões e discussões são apresenta
das no Capítulo VI sendo que o Apêndice A contém desenvolvi^
mento da Equação de Boltzmann, discussão acerca da obtenção
17
de auto-valores e equações algébricas utilizadas. O Apêndi
ce B contém o procedimento computacional utilizado, um ma
nual de instruções para utilização do modulo, problemas pa
drões, bem como listagens dos mesmos.
18
CAPITULO IV
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO
4.1 - Formulação do Problema
Neste capítulo desenvolveu-se a analise que é usada,
através do método Fj para solucionar a Equação de Transporte
em 1 velocidade (ou freqüência), com geometria plana,espalha
mento anisotropico de ordem L, em multi-regiões.
A equação descrevendo o transporte de partículas em
cada região pode ser escrita como , (vide Apêndice A-1) :
W. ^i 3^ I.(x,u) . I. (x ,y ) = ^ (2U1) f.^^ P^ ( u ) .
P^ (y') I. (x,y') dy' H- 4^ , (4.1)
onde i refere-se ã região de interesse, x^é a variável o£
tica, y é o cosseno diretor de propagação da radiação medido
a partir do eixo x , I^ (x,y) é o fluxo angular, ê o nüm£
ro de partículas secundárias por colisão na região i,as con£
tantes f. . são os coeficientes da expansão da função trans
ferência em polinomios de Legendre, S. ê a intensidade da
fonte externa em cada região, a geometria do problema como
mostrado na Figura 1 , e L^ representa o grau de anisotropia.
i com : ^ ^
j=l ^
I^ (Ti,y) = I^^^ (.T.,y) ; y € (-1,1) e y O , (4.1.a.)
e as condições de contorno aqui consideradas :
^3
lc-1
< !
Figu
ra 1
: Ge
omet
ria
do p
robl
ema
cons
ider
ado.
20
X, \y 1
1(0,y) = f^Cy^) + 1(0,-y) + ^ / 1(0,-y')y' dy', y>0 ,
(4.1.b.)
I(T^,-y) = £^ (y^) . I(Tj^,y) + ^ í I(T^,y')y dy' , y>0 ,
o (4.1.C0
onde e representam os coeficientes de ref letividade
difusa e ^2 e À2 de refletividade especular /70/. As fun
ções Í Q ( V Q ) e • k ' k- dadas de acordo com as incidências
de radiação nos contornos, sendo que aqui se permite as se
guintes opções :
i) Incidência Monodirecional :
'o^%^ - 2 ¥ ^ ' -1 = 1 . (4.2.a.)
ii) Superfície livre :
(y^) = O , (4.3.a.)
e/ou
fj^(y^) = O , (4.3.b.)
iii) Incidência Isotropica
f^ (y^) = 1 , (4.4.a.)
e/ou
21
= 1 (4.4.b.)
iv) Incidência Cossenoidal
N 1 E d y
6=0 ^ (4.5.a.)
e/ou
N
3 = 0 c . y (4.5.b.)
0 problema como formulado acima permite sua aplica
ção no transporte de neutrons, ou de fotons (luz, raios ga
ma, etc), apenas com a diferença que no caso de neutrons ,
W. ê a razão da seção de choque de espalhamento para a se_
ção de choque total, enquanto que para fotons ê a razão
entre os coeficientes de espalhamento e total. Além disso ,
os coeficientes f. . retratam a lei de espalhamento que a _ 1 , X,
radiação sofre ao interagir com o meio, e portanto para ca
da tipo de radiação estes devem ser encontrados de acordo
com os mecanismos físicos de interação com a matéria. Assim
para neutrons, o espalhamento deve ser elástico, e inelastic
C O , e para fotons (no caso de luz) pode ser o espalhamento
Rayleigh ou do tipo MIE, e para gamas o espalhamento Compton.
Obviamente, por hipótese, pode-se assumir que os
mecanismos de espalhamento de radiação sejam isotropicos no
sistema laboratorio, ou seja, L. = O , f. r. = 1. Entretanto, 1 ' 1 , 0
tal suposição nem sempre pode ser aceita, principalmente no
rcMPRC - É T l C S E N U C L E A R E S
• ; ; r S T . T U T O O E P E S O U - , S > S E N E R C ^ ^
22
transporte de fotons e desta forma considerar-se-á, para o
problema proposto, qualquer grau de anisotropia.
A geometria do problema (multi-região) e as condi
ções de contorno utilizadas, permitem que esta formulação
seja aplicada a uma grande variedade de situação físicas ,
mesmo tendo-se em conta que aqui não se considera a dependen
cia energética do campo de radiação*. Assim, por exemplo ,
no caso de neutrons, problemas do tipo de interesse em blin
dagera (multi-regiões, fonte fixa e penetração profunda) po
dem ser simuladas pelo modelo acima, assim como problemas ce
lulares, necessárias ao cálculo do fator de desvantagens,de
utilidade na homogenização de seções de choque para cálcu
los de física de reatores, podem ser solucionados. Para tan
to, basta considerar, por exemplo, duas regiões onde uma é
combustível e outra o moderador, onde este último possui uma
fonte constante (que representa os neutrons produzidos no
combustível como rápidos mas que são moderados e portanto tor
nam-se térmicos no moderador) e condições de contorno de re
flexão total nos contornos , ou seja , sendo f^(y)=f,(y) =
= O , = ^ 2 = O e = = 1 . Finalmente, problemas
do transporte de luz na atmosfera podem ser consideradas ,
tais como o problema planetário, no quâl se tem radiação in
cidindo no topo da atmosfera , e esta sendo refletida difu
sámente pelo chamado coeficiente de D'Alembert no solo, po
de ser simulado considerando-se f especificado , X, e I o t -L
X2 sendo zero , f]^(y) = 0 , X-j = O e X2 = coeficiente
de D'Alembert.
Intzfizii&antíL òalZuntan. c^ae. m maltoò pfiohlmoa, de lnt2.Kzò_ ¿e. pKatlco (¿¿ta dzpzndzna^a não z mc&¿¿á.Ala. Ve.¿ta maneÃAa, e.6ta tquação podz/ila fi(Lph.z¿zntaft, pofi íxmpZo, o tKanòpofitd d<¿ ntutAonò Aapldoò, ou no caòo dz ^ladlaçao ¿aminora e co-nlizc-ido qaz aò ¿ntz^acoiL¿ não pAoduzm cittiLH.aq.ozo ¿tgn¿{¡¿ca tivaò . Alm dt¿¿,o, 2. Impofitantz IzmhKafi qaz qualquzM. pfioblz ma dz multtgHupo {dzpn.zzando-i> z zòpalkamznto pafia cima, ^ co_ mo ocoAAz com n.ato& gama) podz òzn. zncaKado como ama ¿'zn.tz dz pKoblzma& zm ixm gfiapo .
23
Varias são as aplicações de transferencia de calor
por radiação em meios participantes, nos quais condução e
convecção são desprezíveis. Por exemplo, em transferência
de calor através de materiais porosos tais como fibras ou
pos, tendo aplicação tanto em baixa quanto em alta tempera
tura, radiação é a forma dominante de transferência de e
nergia.
Em aplicação de foguetes, quando propulsores sõli^
dos aluminizados são queimados,, o gâs de escape contém um
número significante de micro-partículas as quais espalham
radiação. Assim sendo, transferência de calor no fluxo de
um gâs altamente turbulento a altas temperaturas contendo
partículas espalhadas é caracterizado como um problema de
radiação em um meio espalhador, emissor e absorvedor.
4.2 - Analise e Desenvolvimento
A solução geral da eq. 4.1 pode ser escrita em ter
mos das conhecidas auto-funções de Case /45/ e uma solução
particular Ip^(x,y) na forma ,
K.-l -x/v. I (x,y) = l C A (V ) <t>.iv y ) e ^'^ + 1 6=0 1 1 , p
A(-v.^g) ()). (-v.^3,y) e ^'^-] + A, (v) (í.,(v,y)e -1
1 ^ ^1
+ Ipi (x.y) , (4.6.)
S. onde I . (x, y) = - - - , para x ^ [j. x. , i = 1,2,3,.. .k,
4TT(1 - W^) ^"^ ^
e as auto-funções sendo dadas por /14/ :
24
(í..(v,y) = ^ v g - C v . i i ) P v C ^ ) + X.(v) 6(v-y) , [4.7.)
com
gi(v,y) = l C2A+1) fi,£gi,£(^) P¿ (^) . (4.8.)
£=0
A.(v) = 1 + V Pv ij^.(x) 1^ , (4.9.)
4^i(x) =1 W. g. (x,x) , (4.10.)
onde Pv indica que a integral sobre a função, deve ser reali^
zado no senso do valor principal de Cauchy /6(y, os polino
mios g. .(v) podendo ser gerados da seguinte maneira (vide
apêndice A.4.).
V
com
gi^o (v) = 1 e g. - (v) = v(l-W.) , (4.12.a,b.)
h.^^ = (.2£+l) (1 - W. f.^p . (4.13.)
As auto funções são dadas por :
25
9
•i'^i.e-^'' - ? "i «iO'i.g.»') C ^ ^ ) , (4.14.) 1 , P
onde V. são os zeros da função dispersão / 60/ (Vide Apên-
dice A.2) , V e(O.l) e A(± v. „) e A(v) são constantes
as quais devem ser determinadas a partir das condições de
contorno.
E conhecido que as auto-funções de Case são ortogo
nais /45/ para Ç = , ou Ç 6(-l,l) , ou seja :
1 / M (í)(Ç,y) W ,y) dy = O ; Ç ^' , (4.15.)
-1
= N(Ç); Ç = Ç' , (4.16.)
onde Ç e Ç' 6(-l,l) ou igual aos auto-valores discretos ,
e os fatores de normalização N(Ç) , dados por :
N(±v.) = |i W. g(v.^ V . ) A- ( V . ) (4.17.)
N ( ± o = ± KZx'a) + ji^'y^H'g' íí,02 > çe(-i,i) ,
(4.18.)
onde A' (Ç) ê a derivada da função dispersão /60/, (Vide A
pêndice A.2) e A(Ç) dado por :
^ (4.19.) A(.0 = 1 + Ç Pv / i|;(x) ^
26
e pode ser calculada por :
X(0 = 1 + Z (2JI+1) g^íO T^iO l o g ^ > (4.20.) 1+Ç
onde os polinomios são discutidos no Apêndice A.4 .
Desta forma, se a eq. (4.6.) for escrita para valo
res de X nos contornos e nas interfaces, multiplicada por
IJ (p(^X,v) ou y <í)(Ç,u) e integrada em y é(-l,l), pode-se de
senvolver um sistema de equações integrais singulares acopla
das para as distribuições angulares nas interfaces :
f y N * ! ^ - ? ' ^ ) 1^(0,y) - ct)^(Ç,y) 1-^(0,-y);] dy +
+ e -'/ / Ç Il) (Ç,y) I ^ ( T ^ , - y ) - <}) (-Ç,y) I^(T^,y);] dy =
-A
-1 / y (i) (-Ç,y) ClpiCo.^) e - Ip^d-L.y)^ dy , Ç 6
(4.21.)
/ y [])-^(-Ç,y) I ^ ( T ^ , - y ) - (j)-|^(Ç,y) I^(T-|^,y)^ d y +
+ e ^^/^ ^/^ y Q)^CÇ,P) 1^(0,]J) - 4)i(-Ç,y) 1^(0,-y);] dy
-1 / y 4)1(5,y) He lpi(0,y) - Ipi(T^,y)II dy , Ç e P^
(4.22.)
27
/ y [;<}). y) I.(T._py) - <t>^a,v) ^i^^i-l' -^^J dy -
- e / y[4 . . ( -Ç,y) I . ( T . , y ) - (Ç,y) I.(T . , - y J ] dy =
-A. y (^.(-Ç,y) ClpiC-Ti . i^y) - e I p i C ^ ^ . - y ) ! dy , Ç £ P. ,
(4.23.)
^ / y [;<!,. (-C, y) l iC-r^.-y) - í-^C^.y) I^ÍT- .y) ] ] dy +
-A.,^ 1 e ^ / yn< i(ç,y) r ( T ^ _ p y ) - *^(-ç,y) I^(T^_;^^-y)_] dy =
-1 / y (? ,y)
-A. ,
I-e Ipi(- i_i,v) - Ipi (T.,y)n dy , Ç G P. ,
(4.24.)
/ y [ j ) ^ ( Ç , y ) " 'Î 'k'^"^'^^ ^
+ e / yQ)^(-ç,y) l^CTj^.y) - 4)^(5,y) I],CTJ^,-i^I] dy
28
1
(4.25.)
+ e '^/^ / u[^j^a,y) i^cvi,»^) - *kf-^'^) k^Vi.-^a dy =
= \(Ç,y)Le"'^/? IpkfVl,y^ - Ipkf-k'^3 • (4.26)
onde P. = {v. „ U(0,1)}, e 1 1 > p
= - T ^ _ ^ , i = 1,2,.,. k .
Introduzindo as aproximações Fj^, para as
nas interfaces , ou seja ,
distribuições
N I (T. , -y) = E a. y"' , y > 0 ^ ^ a=0 ^'^
(4.27.)
i = 0,1, • • • f lC~X y
* e
>
O a=o y > 0
(4.28.)
5
29
onde o termo exponencial e a função usada para representar
a componente penetrante quando houver incidencia monodire
cional na face esquerda da placa, obtem-se o seguinte con
junto de equações algébricas acopladas para os coeficien
tes da aproximação polinomial ;
a, -A (1/Çt 1/p 1 , (4.29.)
' B f ^ C ) . ^ B ¿ " (O - A i " iOl a=o "'^ " 2TT(A+2) °
1 (1 - e 1/ ) 2TTW.
a. -A , -A,/y (4.30.)
N -A.
"a. B' '- (Ç) - b. A* "- iO • i ,A , A i , A A
S.
2ITW
-A.
30
-T.
o- ^ i-i/y,
(4.31 .)
N . . -A Z r{a. A* ^ (Ç) - b. B ^ ^ ( Ç)J+e / Fb- -, B* ^ ín -L"- i,ct a i,a a ^ - ^ ki-i^a a
S. -A.,^ ^ (1 - e ^ / ^ )
2TrW. 1
(4.32.)
N a=0 '' "
^ (O 2TÍ a „ 2 ,(k) , ^
+ e Ta , T A^^^ (O - k \, B* ^ ( Ç ) ! } 1 - k-l,a a k-l,a a ' . J-'
2TTW, (1 - ^ ''^ - *ktt.Po5 He"" / - '""-''-o - r^K-^
(4.33.)
31
N
A=0
^1 B^^^ rn ^2 (k) . . _ \ _ / V ç ^ ^ 2i " 2^(A+2) ^ ^ - ^ } - „ F L E ^
-k-l/y^ _ ;Vy„-A,/ç_^ ^
A , -Ar
^ ^2 "'i "k/C M rn + A _ R rn (4.34.)
onde as funções B^(Ç) e A^(C) podem ser calculadas por uma A
relação de recorrência /14/ dada por :
L..
411 = - ^ ^ A Í2£.l) f (-1)^ gi o(OA , (4.35.) ¿=0
com A^^^ = y""" (y) dy (4.36.)
A^^^ (O = 1 - C iJ^iíOlog (1 + 1/Ç) + i
N
+ E (2£ + l) f.^^ g.^^ a) N, (Ç) , i = 1,2, ... k , ¿=0
(4.37.)
32
(i) L.
1
com
^o'^ ( O = ^ - 2 + A ^ ^ ( O , i = 1, 2, . . . , k . (4.39)
Além do mais, os polinomios n^podem ser gerados (£>0) de :
(2£+i) Ç n ^ ( ç ) = í-if (2£+i) Aq^^+ (£+1) n¿^i ( 0 + ^ n ^ _ ^ ( Ü ,
(4.40)
com
= 1 e n., = I KU- 1/2)
(4.41.a,b,c)
e ainda ;
R„ (5) a.
27 ^ 1 ^ - ^ ' % ^
ou
^1 ^ rn o - V ^o^
a. = 1
I d A^^J (Ç) , a, ^ 3=0 ^ ^
= O
a, = o
(4.42)
(4.43)
(4.44)
S , ( 0 a -A /C
2¥ ^ 1 ^ ^ ' % ^ ^ a. = 1
w, Ç -A
o 2
(4.45)
e - / Z d„ B¿^^ ( O , a, = O (4.46) 2 B=0 ^ ^ ^
(Ç) , a- = O , (4.47)
33
^ 3 = 0 (4.48)
(4.49)
" 2
3=0
r A C. A. (3)
w k C 2~"
A (k) o
a) (4.50)
(4.51)
Assim sendo, pode-se gerar 2(N+l)k equações algébricas li
neares , onde N é a ordem da aproximação e k indica o nume
ro de regiões, utilizando 2(N+l)k valores de Ç 6 nas e
quações (4.29 a 4.34). O sistema de equações algébricas
lineares pode então ser solucionado por técnicas numéricas
convenientes , e as constantes a. e b. serem obtidas.
A matriz coeficiente que se obtém para esse sistema de equa
ções não é densa, constituindo-se de blocos não nulos, como
pode-se observar para o caso em que tem-se 3 regiões e or
dem de aproximação 2 (vide figura 2 ) .
Ê evidente, pelas equações (4.27) e (4.28) que
o método Fj^ fornece , em primeiro lugar, as distribuições an
guiares nas interfaces , para qualquer valor do cosseno di
retor y .
Para estabelecer a solução para as distribuições
angulares era qualquer ponto x, pode-se usar as propriedades
de ortogonalidade das funções 0 ^ ( Ç , y ) a fim de determinar-se
os coeficientes requeridos na equação (4.6). Desta forma
m S T i t U T O DE P E S Q U ' S A S E N E R G E T I C S E N U C L E A R E S
I. P . É .
^ Q X K X X K X
34
J
I K >í X st >< •<
¿ >« «C X M X
I I
I I
X X X > ^ X X X - K X
O
^ X X X X X X X X X X x X
r¿ x ^ x x x x X x » < x x * t
* I X X X X X X X X x ' W O o
x x x x X X X X X X X
X X j ( X X X X J t x X X
x x ^ t x X X X X X X X
X x X X K X X t C K ^ X
y j T X X X X « X X K «
X X X X X X o o
V
X »< V V X X
X X X X >« *ç ¿>— ¿ y
Csl II
a>
II
c <u
• H u
• H m
o o N
•H u +-)
s
BO • H
para uma região genérica i , tem-se :
35
1 1
/ I(T._^ , u)0. (C,y)ydy - / Ip. 0.(Ç,y)ydy=
-1 -1
-T .
= A.(Ç) N.(C) e i-l/í (4.52)
/ I ( T . , y ) 0 . ( - Ç , y ) y d y - / Ip. 0 . ( - Ç , y ) y d y =
-1 -1
T .
= A . ( - a N.(-Ç) e i/K (4.53)
Introduzindo as aproximações nas eq. (4.52) e (4.53), ob
tem-se as seguintes expre'ssoes para os coeficientes da ex
pansão.
+ ,2 , R(1) rn-i 4TT
w Ç N . . - 4 — 2 a A*---' (C)\ 2 o,a a ^-«J
onde
(4.54)
%(K) ^ 3=0 ^ ^
( O ,
4ïï 2 o ^
(4.55)
(4.56)
36
a-
2u ''l^^'^o «1 = 1 (4.57)
-T l/Ç- C N
— ^ ^^1 a ^a^^ ^ a = 0 - ' " a. B^ ^ ^ ( C ) )
al e 0 R-r y 1 + 1"] (4.58)
i ^ . ^ i e-^i-/^o ,^,,.,^3)
(4,59)
C S. UT - T - /
, ç Ê p^ , (4.60)
k-l/Ç , w. Ç ^ N (k)
Ç S , a, -T
4TT 27T 1 e ^"^/^o 0, (Cy^)] ,Ç 6 Pj^ , (4.61)
37
- T v / C k' ^ Ç S, a. -T
N,(0 471
k " 1
w, Ç N A (k) + - V - E b, (A*- ^ (Ç) - ^ B (n
a = 0 ' »°' 27T a ^ •' 27r(a+2) °
2TT 271 2 o e í / o _ ^ (O - (O J, C e Pj , (4.62)
onde
N,
j=0 C. BJ^^ (Ç)^
47T 2 " o '
(4.63)
(4,64)
Onde : N.(± v. ) e N.(±v) como definidos nas eqs. (4.17)
e (4.18) , respectivamente.
Determinados os coeficientes A(±v. ) e A(±v), po-1 , P
de-se reconstruir o fluxo angular. Embora a equação para se
obter os coeficientes discretos seja sempre regular, não acon
tece o mesmo com os coeficientes contínuos. Apesar das mes
mas operações serem aplicadas aos dois casos, o calculo de
A(±v) implica na resolução de integrais singulares, cujas
singularidades são removidas por técnicas convenientes. (Vi
de Apêndice A.3).
Para determinar-se uma expressão analítica para o
fluxo escalar, basta integrar a equação (4.6) de y=-l a y=l,
obtendo-se :
38
^ - 1 • . K I.(x) = E H A C v . J e ^ ' ^ / 0.(v y) dy +
-x/v .
AC - v . J e' '^' '^'^ / 0 . ( - v . „ , y ) dyH + / A. (Ç) e ' ' ' /^^^ 0 .(Ç,y)dydÇ 1,3 _i 1 1,3 Q 1 1
+ f A[-Oe^^^ f 0 .(-Ç,y)dydÇ + - - / dy , o -1 ^ 47TC1-W,) -1
(4.65)
sendo / 0(Ç,y)dy = 1 , reduz-se a expressão final a : -1
<-l I, (x) = Z [;A(v. 3) e + A(-v )
1 3 = 0 '
-x/v. „ e^^'i'M +
1 -x/Ç 1 + / A(Ç) e dÇ + / A(-Ç) e"' dÇ +
o o
. x / C ^i 27r(l-w.) '
onde C E ( 0 , L ) , (4.66)
Para o cálculo de corrente total, integra-se de y=-l
a y 1 em ydy a eq. (4.6) e obtem-se
J.(x) = E C A ( v ) e ^'^ / 0. (v. p,y) ydy + 1 3^^3 1,3 1 i,ts
x/v • A ( - v . J e"'^^ ^ / 0 . ( - v . „ ,y ) y d y l + / A(ç) e"""/ / 0. (Ç,y)ydydç
1,3 1 1 )P —' -1 o -1
/ A(-0 e^/^ / 0 . ( - C , y ) y d y + ^ ^ ^ ^ ^ ) / y d y , (4.67) S.
o -1 -1
INST ITUTO DE P E S Q U ^ ^ ^ ^
onde
39
/ 0.(-Ç,y)ydy = - a i - w . ) ,
-1
(4.68)
/ 0.(Ç,y)ydy =,Ç(l-w.) ,
-1
(4.69)
obtem-se
-x/v. J. (X) = Z [_Aiv ) e V n - w ) + 1 >- 1,3 1,6 1
^ A(-v,^3) e ^'^ v,^3 (l-w.)_ + / A(Ç) e~^/^ Ç(l-w.)dÇ
o
+ / A(-C) e""/^ Ç ( l - w . ) dÇ , (4.70)
Para computar o fator de desvantagem térmica, re
querido no cálculo de utilização térmica em células de rea
tores, pode-se também aplicar o método Fj , sendo esse fa
tor definido em geometria plana como :
Ç =
h 1 / dx / 4j^(x,y)dy
T, -1
/ dx / ijj, (x,y)dy o -1
(4.71)
40
onde o índice 1 refere-se ao combustível e o índice 2
ao moderador, da célula do reator, e "x^" e "x^" suas es
pessuras óticas, com A = X 2 - x^ .
O equacionamento básico para a célula é dada por:
9 -1 '1 '
-1
li j (x , y ' ) d y ' , O £ X <_ T-j (4.72)
9 w/^2 1
y 95 2*^^'^^ ^ 4 2* ' ^ = T ^q(2¿+1) £2^^ Pj (y) / P^(y') 4 2(x,y')dy'
4TT(1-wO - ll ^ 1^ 2 (4.73)
com as seguintes condições de contorno
i|; (o,y) = ^p^(0, -y) , y>0 , (4.74)
\¡J2 (T2 ,y) =4^2 ''2 ' "t ^ ' ^i^O (4.75)
(x-^,y) = 4/2(T^I-y) . y>o (4.76)
ip^C^i» -y) = 'í'2' 1 ' "^^ ' ' (4.77)
i N O T i T ' J l O DE P E S O U S A S E \ t R C - . É - M C S E N U C L E A R P S
I. P . E . N.
41
1
1
/ y ip^(T2,y) dy = O . (4.79)
-1
E com
^ 2 i|;2(x,y) = ^2^^^^^ " 4 7T(1-W2 ) ' ^^.80)
Assim, integrando-se as equações (4.72) e (4.73) de y = -1
a y = 1 ;
1 1
¿ / y ij;-^(x,y)dy + (1-w^) / i|;^(x,y) dy = O , (4.81)
-1 -1
1 2 S
^ _/ y 4^2f^.^)dy + ( 1 - W 2 ) _ / 4 ^ 2 ^ ^ ' ^ ) = '
(4.82)
Desta forma, integrando-se a equação (4.81) de O até e
a equação (4.82) de a T 2 , além de aplicar as condições
de contorno, obtem-se :
-1
/ y ijj-j^(0,y) dy = O (4,78)
42
(1-w^) / dx / i];^(x,y) dy =
-1
- / iJj(T-|^,y) y d y
-1
(4.83)
'2 1 (1-w ) / dx / i|;,(x,y)dy
2 -1 2 2Tr(l-wn *- 2 T ^ ) ' ^ ií^-,^(T-^,y)ydy
(4.84)
Introduzindo as aproximações F ^ , obtem-se a seguin
te expressão para o fator de desvantagem térmica :
Ç = T
( 1 - W , ) _ T S., N a , - b ^ , 1 I 1 • 2 ^ ^ 1 ,a 1 .cXj -3n
1 ( I - W 7 ) L~ A 2TT ( 2 a = 0
a + 2
(4.85) ,
onde representa uma fonte constante e isotropica resultan
te dos neutrons que são moderados na região do moderador.
43
CAPITULO V
RESULTADOS NUMÉRICOS
Com o propósito de demonstrar a confiabilidade do
Módulo FNAM-1 , uma serie de problemas foram solucionados e
seus resultados comparados com aqueles disponíveis na litera
tura ou obtidos através dos códigos disponíveis no IPEN.
Uma vez que os coeficientes Fj^ , são, obrigatória
mente, um dos valores iniciais a serem computados , grande
zas tais como albedo e fator de transmissão foram os primei^
ros resultados a serem tratados. Posteriormente, com o cálcu
lo dos coeficientes A(± ) e A(±v) , obteve-se valores pa
ra fluxo total, corrente total e fator de desvantagem térmi
ca (no caso de células). Assim, uma série de resultados são
s apresentados a seguir, a fim de demonstrar a precisão e apli^
cabilidade do Método , através do Módulo FNAM-1.
5.1 - Problemas Padrão
De acordo com uma das idéias básicas que norteou e£
te trabalho, no qual se pretendeu confeccionar um programa
que possibilitasse cálculos preliminares em blindagem de rea
tores, o primeiro teste realizado com o Módulo foi um "Pro
blema de Penetração Profunda" , cujos resultados foram com
parados com os obtidos pelo Método de Monte Cario e o código
ANISN / 55/.
Este problema (Problema 1) consiste de uma placa pía
na, com espessura de vinte livres caminhos médios, uma fonte
plana e monoenergetica incidindo na face esquerda, superfície
livre a direita, com espalhamento isotropico e seção de cho
que de espalhamento igual a de absorção. Os resultados obti^
dos encontram-se na Tabela 5.1 e a geometria do problema na
figura 3.
•*~™~~" ^ r a C - ir E N U n r A R E S H . S I I T U U I D E P E S O U í - v S E - R E ' C . E N U . .
I. P- E. N. _ _ _ _ _ _ _ _
44
L
S
VA;
0
. 0
Figura 3 : Geometria do Problema 1.
TABELA 5,1 : Resultados do problema de "penetração profunda".
Método ALBEDO F. Transmissão
14
ANISN
Monte Cario
Exato
0.1465
0.1470
0.1465
2.672 X 10"^
2.630 X 10"9
2.618xl0"9±l°ô
Os dois problemas seguintes foram feitos visando tes^
tar os resultados com uma publicação em transferência radia
tiva , que fez uso do Método F ^ , sendo de grande importân
cia para este trabalho, uma vez que serviu, em parte, de mo
delo para seu equacionamento /14/. O primeiro deles (Proble-
0.5
o2.0.0
45
ma 2 ) , trata-se de uma placa plana com incidencia isotropica
na face esquerda (vide figura 4) e o segundo caso ( Problema
3) , refere-se a um problema cora 6 regiões e incidencia eos
senoidal na face esquerda (vide Figura 5 ) . Nos dois casos
a face direita apresenta superfície livre ; na tabela 5.2
encontra-se a lei de espalhamento utilizada em ambos os ca
S O S , e nas tabelas 5.3 e 5.4 , os valores do Albedo e Fa
tor de Transmissão para os problemas 2 e 3 , respectivamen
te.
L = S
S = 0
O
Figura 4 : Geometria do Problema 2.
1(0.Híf^ 0 5 ^ 0
1í_=i i.O
S = O
w - .•)•
¿ = O
L = 8 5= o
L = 8
-ío.o
S= O
^ =.85
S
S = o
L a 8
W s . 5
6>
«- ° i " 3
Figura 5 : Geometria do Problema 3.
•'4
46
TABELA 5.2 : Lei de Espalhamento para os problemas 2 e 3
(.2£+lJ±^
0 1.0
1 2.00016
2 1.56339
3 0.67407
4 0.22215
5 0.04725
6 0.00671
7 0.00068
8 0.0
TABELA 5.3 : Resultados do Problema 2.
w • T
1 All edo F. de Tr£ nsmissáo
F4 Exato F4 Exato
0.9 1. 0. 17193 0.17192 0.65426 0.65427
0.9 10. 0. 29071 0.29070 0.03294 0.03294
0.99 1. 0. 22653 0.22662 0.75377 0.75368
0. 99 10. 0. 622106 0.62206 0.21078 0.21078
0.999 1 0. 23301 0. 23310 0.76491 0.76490
0. 999 10. 0. 70695 0. 70694 0.27344 0.27344
0.9999 1. 0. 23375 0.23376 0.76604 0.76604
a 9999 10. 0. 71691 0.71691 0.28109 0.28109
I N S m U i O DÉ P E S O U ¿At £ R L I C íbNU. Ak . :A
1. P . E . N .
47
TABELA 5.4 Resultados do Problema de 6 Regiões
6 L ALBEDO "FATORDE TRANSMISSÃO
Exato ANISN Exato ANISN
1 0 0.2148 0.2148 0.2148 0.7181(-6) 0.7180(-6) 0.7098(-6)
2 0 0.2079 0.207S 0.2079 0.7905(-6) 0.7906C-6) 0.7815(-6)
1 8 0.08058 0.08058 0.08059 0.8543(-4) 0.8543(-4) 0.8512(-4)
3 8 0.07051 0.07052 0.07051 0.9307(-4) 0.9707(-4) 0.9274(-4)
9
Os resultados apresentados a seguir referem-se ao
caso de uma placa com incidência monodirecional /42/, sendo
apresentados os resultados obtidos com o Modulo FNAM-1
MPN-1 e Exato. O Problema 4 ê relevante no sentido em que
utiliza uma lei dé espalhamento alta, usando para obter os
coeficientes dessa lei a função dada pela equação A. 51
A geometria ê apresentada na Figura 6 e os resultados na Ta
bela 5.5 .
S = O
±,0
Figura 6 : Geometria do Problema 4.
( V S T I T U T O D E P E , ^ p, N SQU
1
- G T L C V S E N U C L E A R E S
48
TABELA 5.5 : Resultados do Problema 4.
L ALBEDO FATOR DE TRANSMISSÃO
^15 P4 Pl5
4 0.2621 0.2604 0.6322 0.6315
6 0.2224 0.0.2226 0.6667 0.6666
8 0.1963 0.1951 0.6913 0.6921
10 0.1740 0.1737 0. 7121 0.7119
15 0.1363 0.1355 0.7471 0.7477
25 0.0918 0.0907 0.6552 0.6549
Exato Exato
30 0.07757 0. 07713. 0.6695 0.6700
O outro problema solucionado foi o de uma placa com
incidencia isotropica na face esquerda e refletividade ou
difusibilidade na face direita (Problema 5 ) . Os dados são
apresentados na Tabela 5.6 e a geometria considerada encon
tra-se na Figura 7 /52/.
49
L ^ o
Figura 7 : Geometria do Problema 5.
TABELA 5.6 : Resultados do Problema 5, usando refletividade
e difusibilidade na face direita.
ALBE DO FATOR DE TRANSMISSÃO
"l w
^1 ^2 P4 Exato P4 Exato
2 0.7 0.5 0.0 0.2721 0.2657 0.0917 0.0880
2 0.8 0.5 0.0 0.3564 0.3527 0.1183 0.1172
2 0.9 0.5 0.0 0.4842 0.4837 0.1702 0.1689
5 0.7 0.5 0.0 0.2607 0.2566 0.0074 0.0070
5 0.8 0.5 0.0 0.3512 0.3420 0.0148 0.013 7
5 0.9 0.5 0.0 0.4875 0.4783 0.0406 0.0349
2 0.7 0.0 1.0 0.2831 0.2827 0.0 0.0
2 0.8 0.0 1.0 0.4081 0.3859 0.0 0.0
2 0.9 0.0 1.0 0.5949 0.5626 0.0 0.0
5 0.7 0.0 1.0 0.2586 0.2567 0.0 0.0
5 0.8 0.0 1.0 0.3555 0.3425 0.0 0.0
5 0.9 0.0 1.0 0.4954 0.4818 0.0 0.0
50
A seguir considerou-se o problema celular (problema
6 ) , também solucionado pelos métodos B ^ S / ó / , E § M
/19/, L-S-V-K /37 / e MPN-1 / 74/ , onde considera-se a
célula básica de um reator constituida de 2 regiões, con
forme figura 8, onde o combustível é a região l e o mode
rador é a região 2 , com uma fonte de neutrons no moderador.
Na tabela 5.7 reportou-se fator de desvantagem térmica pa
ra meios espalhadores isotropicos, com v^^ = 0.55370 e
W 2 = 0.99163 , e na tabela 5.8 com espalhamento linearmen
te anisotropico no moderador.
[ Covo\:iü5trv;eL M Q de, Ra.olor.
1 5 z 0 S = i A
1
¡ 0\± Q
Figura 8 : Geometria do Problema Celular,
51
TABELA 5.7 : Resultados do F.D.T. para diferentes células
Método Célula 1 Célula 2 Célula 3 Célula 4
P-1 1.028 1.113 1.253 1.447
Difusão AssintÓtica /54/ 1.06 1.18 1.34 1.56
A-B-H Modificado /72/ 1.08 1.20 1.36 1.58
S-8 /41/ 1.090 1.231 1.410 1.632
Teoria T.Integral / 8 / 1.0979 1.2318 1.408 1.629
Ferziger e Robinson /25/ 1.094 1.227 1.401 1.623
B 5 S / 6/ 1.0978 1.2317 1.4077 1.6284
^6 1.0974 1.2317 1.4075 1.6284
As dimensões para as células da tabela acima são :
célula 1 : x = = 0.0717 T 2 = 0. 8872
Célula 2 : T = = 0.1434 -2 = 1- 7744
Célula 3 : T = = 0.2150 T 2 = 2. 6615
Célula 4 : T = = 0.2868 T 2 = 3. 5488
TABELA 5.8 : Tabela para problema celular
52
Método Coe£. Anisotropico
Célula 1 Célula 2 Célula 3 Célula 4
B 5 S 1.0970 1.2283 1.4001 1.6151
0.0333... 1.0963 1.2279 1.3999 1.6153
1.0968 1.2284 1.3999 1.6152
ho 1.0969 1.2284 1.3999 1.6152
B 5 S 1.0953 1.2215 1.3849 1.5885
0.1 1.0946
1.0951
1.2211
1.2215
1.3848
1.3847
1.5887
1.5885
ho 1.0952 1.2215 1.3847 1.5885
B a s 1.0927 1.2113 1.3621 1.5485
h ^8
0.2 1.0920
1.0925
1.2109
1.2113
1.3620
1.3620
1.5486
1.5485
^10 1.0926 1.2113 1.3619 1.5485
B a s 1.0901 1.2010 1.3392 1.5083
P4
^8
0.3 1.0894
1.0899
1.2006
1.2011
1.3391
1.3391
1.5085
1.5083
PlO 1.0900 1.2011 1.3391 1.5083
Finalmente na Tabela 5.9 encontra-se os valores do
£ator de desvantagem térmica para a célula 4 , calculado
por vários métodos, e com os coeficientes de expansão da
função transferência dados por f2 Q = 1.0 , f2 0.32362667
e f2 2 = 0.048856.
TABELA 5.9 : Resultados para o problema 6
53
Caso MPN-1
^15 E a M L-S-V-K
Célula 4 1.4984 1.5002 1.4049 1.5002
Apos os cálculos requeridos para obtenção das cons
tantes A(± V . o) e A(± Ç) , pode-se obter valores para flu
xo total e corrente total. Desta forma, nos problemas que
se seguem os resultados relacionados serão apenas referen
tes a fluxo e corrente total.
O primeiro problema, (Problema 7) da série, trata
se de uma placa com incidencia isotropica na face esquerda
e espalhamento linearmente isotropico, como mostrado na Fi
gura 9 e com resultados tabelados na tabela 5.10 /74/ .
L =-L
s = o
Vv/ - o. 8
L -0.333.. .
Figura 9 : Geometria do Problema 7.
TABELA 5.10 : Resultados do Problema 7.
54
POSIÇÃO FLUXO TOTAL
MPN-UP^g) FNAM-1 (F )
0.0 1.3104 1.3117
0.5 0.8264 0.8265
1.0 0.5747 0.5745
1.5 0.4040 0.4003
2.0 0.2698 0.2698
2.5 0.1516 0.1506
O caso seguinte (Problema 8) considerado,foi o de
3 regiões espalhadoras isotropicas, com uma fonte unitária
na região central, conforme ilustrado na Figura 10. Obvia
mente este problema é simétrico e pode-se solucioná-lo co
mo um problema de duas regiões, impondo-se a condição de
reflexão na face de simetria (X=0). Os resultados na Tabe
Ia 5.11 foram obtidos também pelo cédigo ANISN e pelo MPN-
1, cujo comportamento do fluxo total pode ser observado nos
gráficos I e II. / 74/ .
TABELA 5.11 : Resultados do Problema 8.
POSIÇÃO FLUXO TOTAL POSIÇÃO
MPN-1 ANISN '8
1 1.2206 1. 2193 1.1732
2 1.1780 1.1780 1.1475
3 1.0736 1.0624 1.0595
4 0.8733 0.8829 0.8720
5 0.7264 0.7267 0.7264
6 0.6120 0.6132 0.6101
7 0.5112 0.5124 0.5129
8 0.4167 0.4180 0.4165
9 0.3206 0.3181 n. 3 1 Q Í ;
55
1.5
.S
. 6
.1
.33 GRAFICO I Í..OO
1 1
. 6
ti
.33 GRAFICO II
i.oo 1.33
56
O terceiro problema (Problema 9 ) , trata-se de duas
regiões espalhadoras isotropicas, com uma fonte unitaria
na primeira região, e com incidência isotropica na face es
querda, como mostrado na Figura 11. Valores de fluxo to
tal e de corrente total encontram-se na Tabela 5.12, bem
como o comportamento dessas grandezas e ilustrado no grã
fico III . mi.
S a 0 S »|l 3 a 0
w a .g
4 5 6 ? 8 d ^
Figura 10 : Geometria do Problema 8.
s =1 S = 0 L -0
w =.8 w = . 5
«
Figura 11 : Geometria do Problema 9.
fl«iSTFfUTO D E P E S Q U ' S A S E \ ' E R ' É ^ I C ' S e N U C L E A R E S
I, P E . N.
57
TABELA 5.12 : Resultados para problema com fonte na primej^
ra região.
X FLUXO TOTAL CORRENTE TOTAL
X MPíN-1
^6 MPN-1
^6
0.0 2.7532 2.7436 -0.3803 -0.3799
0.5 3.3679 3.3652 -0.1929 -0.1925
1.0 3.5602 3.5653 -0.0415 -0.0406
1.5 3.5227 3. 5118 0.1026 0.1042
2.0 3.2529 3.2267 0.2617 0.2649
2.5 2.5791 2.5794 0.4642 0.4641
3.1 1.7078 1.7079 0.3390 0.3390
3.7 1.1182 1.1187 0.2532 0.2532
4.3 0. 7989 0.7989 0.1944 0.1944
4.9 0.5006 0.5006 0.1557 0.1557
5.5 0.2244 0.2230 0.1337 0.1337
A seguir, um problema (Problema 10), de quatro re
giões, com diferentes leis de espalhamento em cada uma de-
las , ê ilustrado na Figura 12, onde tem-se incidencia mo
nodirecional na face esquerda e superficie livre na face di
reita ; resultados de fluxo e corrente total são tabelados
na tabela 5.13 , juntamente com dados obtidos pelo MPN-1 ,
e o comportamento do fluxo total pode ser observado no gra
fico IV / 72/.
58
W = . 5 U = ±
v\/=
-Si
L = 3
Figura 12 : Geometria do Problema 10.
TABELA 5.13 : Resultados do Problema 10
X FLUXO TOTAL CORRENTE TOTAL
X MPN-1 ^6 MPN-1 • 6
0. 0 1.3656 1.3233 0.4226 0.4222 0. 5 0.5810 0.6049 0.2025 0.1859 1. 0 0.2775 0.2808 0.9974(-l) 0.8428(- 1) 1. 5 0.1340 0.1485 0.5058(-l) 0.4984(- 1) 2. 0 0.6745(-l) 0.7841(- 1) 0.2645(-l) 0.2548(- 1) 2. 5 0.373 (-1) 0.401 (-1) 0.1391(-1) 0.1019(- 1) 3. 0 0.251 (-1) 0.270 (-1) 0.967 (-2) 0.864 (- 2) 3. 5 0.162 (-1) 0.182 (- 1) 0.681 (-2) 0.550 (- 2) 4. 5 0. 860 (-2) 0.905 (- 2) 0.260 (-2) 0.243 (- 2) 5. 5 0.641 (-2) 0.732 (- 2) 0.184 (-2) 0.182 (- 2) 6. 5 0. 463 (-2) 0.490 (- 2) 0.129 (-2) 0.126 (- 2) 8. 0 0.318 (-2) 0.356 (- 2] 0.100 (-2) 0.094 (- 2) 9. 8 0.165 (-2) 0.175 (- 2) 0.783 (-3) 0.654 (- 3) 10 . 1 0.128 (-2) 0.138. C- 2) 0.761 C-3) 0.632 (- 3)
59
M P N - J .
F N
(o.O > . 0 Io
GRAFICO III
èû
Lo
.9
.6,
.4
.1
Gráfico IV
Finalmente, como último problema dessa série foi es
colhido um com duas regiões, incidência cossenoidal na face
esquerda e superfície livre na face direita. Os resultados
encontram-se na Tabela 5.14, onde são comparados com o Meto
do de Regularização, apresentado por Ishiguro /32/. A geome
tria é mostrada na Figura 13.
I N S T I T U T O D E P E S Q U ' P * S E M F R Õ É-T | C > S E N U C l F A R E S
I. "= F . f-J
61
i(o,>A,)=4r
Figura 13 : Geometría do Problema 11.
TABELA 5.14 : Resultados do Problema 11
. FLUXO TOTAL
X Caso 1 Caso 2 X
Ishiguro ^6 Ishiguro
^6
0.0 2.1129 2.1128 2.0932 2.0932
0.1 2.1924 2.1924 2.1683 2.1687
0.2 2.1605 2.1609 2.1329 2.1329
0.4 2.0167 2.0168 1.9823 1.9821
0.6 1.8331 1.8332 1.7919 1.7919
0.8 1.6350 1.6350 1.5866 1.5866
1.0 1.4221 1.4224 1.3662 1.3662
1.2 1.1846 1.1849 1.1537 1.1537
1.4 0.9832 0.9832 0.9719 0.9719
1.6 0.8009 0.8008 0.8057 0.8056
1.8 0.6286 0.6286 0.6468 0.6468
2.0 0.4389 0.4389 0.4675 0.4675
Caso 1 : £2 -j = 0 .0
Caso 2 : ¿ 2 1 " 0 . 5 / 3 .
62
5.2 - Analise de Resultados
Na seção anterior, uma série de problemas foram a
presentados com o intuito de demonstrar a confiabilidade do
Modulo FNAM-1. A escolha dos problemas foi feita procurando
abranger o maior número de casos disponíveis que testassem
as varias opções que o programa possue. E evidente que não
foram colocados todos os casos testados pelo Modulo, uma
vez que não apresentaram diferenças sensíveis de dados de
entrada, ou seja, sempre eles poderiam se enquadrar em um
dos casos aqui mostrados. Também é necessário salientar que
outros problemas, com novas opções, não foram testados de^;i
do ao exiguo número de publicações que apresentassem resul
tados em geometria plana e um grupo de energia.
Gom referência a um estudo detalhado de cálculo de
erro, quando da comparação com outros métodos, não foi fe¿
to, uma vez que seria necessário estudos mais cuidadosos quan
to aos resultados ; apenas pretendeu-se mostrar que o meto
do Fj , e consequentemente o programa FNAM-1 , apresenta re
sultados confiáveis dentro de uma precisão de 5%.
Em todos os problemas selecionados, a escolha dos
pontos Fj^(C) foi realizada através da formula :
^j+K-1 IW-^+l) ' J = 1. 2, ... , (N-K-1)
onde usou-se = ^1 3 ' ^ ~ ^' ' ^ °^ pontos re£
tantes como dados pela eq. (5.1) ,escolha essa consideradapor
Maiorino /4l/ como a qual converge mais rapidamente com a
ordem da aproximação.
Obviamente, como o programa está disponível em duas
versões diferentes, uma breve observação deve ser feita quan
to ao tempo gasto pela unidade central de processamento (U.
C.P.). Para um problema de 4 regiões, com qualquer ordem de
anisotropia, onde todos os cálculos anteriormente apresenta
dos foram feitos para uma dada aproximação, o tempo de U.C.
P. gasto no IBM/370 é da ordem de 2 minutos, enquanto que
63
no HB-GCOS/64 gastou-se 10 minutos.
Ê necessário ainda, ressaltar que os resultados que
apresentaram maior erro relativo, foram aqueles os quais fj^
zeram uso da condição de reflexão nos contornos, não sendo
ainda possível avaliar se devido a problemas com a estrutu
ra do programa ou se o método utilizado não é tão eficiente
nesses casos.
64
CAPÍTULO VI
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
De acordo com os resultados apresentados no Capí
tulo V, demonstrou-se que o método Fj apresenta boa preci
são, além de ser de fácil generalização. Até o presente mo
mento, o método mostra-se eficiente era geometria plana, com
um grupo de energia. Contudo, seria interessante fazer o
mesmo procedimento aqui utilizado aplicado a multi-grupos ,
ou a outras geometrías.
Quanto aos resultados apresentados pelo Modulo ,
seria necessário que um estudo futuro fosse feito em rela
ção aos erros percentuais apresentados, melhorar o tempo de
U.P.C. e testar, ainda, novas opções de condição de contor
no ou novos problemas.
Também sugere-se um estudo quanto ao problema de
reflexão nos contornos, para estabelecer assim , a total e_
ficiência do método nesses casos.
Em resumo, talvez uma frase de Jaynes (*) possa
melhor descrever o estado de arte do Método Fj :
"A introdução de qualquer novo método em ciência
introduz um transiente, o qual requer vários anos
para se estabilizar. No início ocorrem expectati^
vas e afirmações extravagantes sobre as possibi
lidades de aplicação do novo método, seguidas de
críticas e negativas daqueles que possuíam inte
resses nos métodos anteriores ; . . . , Eventualmen
te, atinge-se um ponto de reavaliação e possível^
mente, pode-se então fazer um julgamento objeti
vo acerca de exatamente o que o método pode e o
que não pode contribuir. Este ponto é raramente a
tingido em menos de 10 anos".
(*) - D A Y N E S , r . T . Trans. Inform. Theorv.1 EEE:.14 : 611,1968.
65
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73
APÊNDICE A
A.l - Equação de Boltzmann
A fim de melhor situar num contexto maior o probl£
ma que nesta dissertação foi abordado, faz-se necessário uma
breve explicação acerca da equação utilizada.
O objetivo maior da teoria de transporte ê a descri^
ção do comportamento médio de uma população de partículas
num meio material, e a obtenção de parâmetros de fenômenos
macroscopicamente observáveis a partir da descrição do pro
cesso microscópico de transporte. Desta forma, a teoria de
transporte ê um ramo da Mecânica Estatística. Cumpre desta
car que a Mecânica Estatística possui dois ramos distintos;
um que trata dos sistemas em equilíbrio (Termodinâmica) e
outro dos sistemas em não equilíbrio (Teoria Cinética). As
sim sendo, a teoria de transporte se enquadra nos objetivos
da teoria cinética , qual seja : o estudo e a derivação de
equações que descrevam a distribuição de partículas em va
rias situações físicas.
Tais "equações cinéticas" são exemplos típicos da
equação de Boltzmann para gases diluidos, transporte de neu
trons ou da equação de Vlasov para plasma, salientando-se que
um ramo muito restrito da teoria cinética é aquele ligado ã
solução de tais equações e sua aplicação ao estudo dos pro
cessos de transporte ou "equações de transporte". /3l/.
No caso particular de partículas não carregadas (neu
trons e fotons) , a descrição matemática do processo de
transporte assume uma forma linear. Entretanto no caso das
partículas poderem interagir entre elas, além de interagirem
com o meio no qual o processo de transporte se efetua, a
descrição matemática assume uma forma não linear extremamen
te complexa. O objetivo desta Seção é mostrar que é possível
derivar a equação utilizada neste trabalho (linear), a par
74
tir da equação mais geral (não linear).
A £im de derivar uma forma genérica da equação de
transporte, é necessário obter uma expressão exata para a
densidade no espaço de fases, caracterizando o processo de
perdas ou ganhos de partículas em um certo volume do espaço
de fases. Para tal çeja :
f - (r , V . , t) d r d" v. = função distribuição - provável nu
mero de partículas de espécie i ,
cujas coordenadas de posição "va
riam em d^r sobre r e de velocida
de em d' v sobre v^ , no tempo t .
F.(r , t) = forças externas por unidade de massa (acelera-
ção) .
Desta forma, com esta definição, tem-se :
f ( r + V. dt , V. + F. dt , t + dt) = f. (r , V. , t) , (A.l),
e se houver colisões
f.(r + V. dt , y. + F. dt , t + dt) = f. (r , y. , t) +
9f. dt
^ íyr^ colisões ° 2 )
Assim sendo, para derivar uma expressão para o ter
mo de colisão :
df. 3f. 3r. 8v.
( N S T I T U Í Ò D E P E S O U ' S A S E N Í F R C - É ' ^ I C ' S E N U C L E A R E S
I to p . N
75
onde V e v é o gradiente em relação as coordenadas w> i ^i
posição e velocidade , respectivamente , e sendo :
3r.
^ = V. (velocidade) (A.4)
^^i a
^ = F. (2. lei de Newton) , (A.5)
obtem-se :
9t colisão ) - = 4 ^ ifi ^ ^ h ^ Oh^l . V , , t) .
(A.6)
Definindo :
3f.
(• Y~) ^^-j^^^-^ como a taxa na qual a função distribuição de
velocidade altera-se através de colisões, pode-se definir :
d" r d^ v^ dt = número esperado de colisões ocorrendo du
rante o tempo t e t + dt na qual o es
tado final está em d^r d^ v^ ,ao redor
de r e v.
- 3 3
d r d v^ dt = numero esperado de colisões ocorrendo du
rante o tempo t e t + dt no qual o esta
do inicial esta em d" r d^ v^ , ao redor
de r e V .
Assim sendo :
3f.
(g- i ) dt_ = (r. - rT) dt . (A.7) colisão
Analisando a dinâmica do processo de colisão e u
sando as seguintes hipóteses :
76
- somente colisões binarias são consideradas, ou
seja, as partículas interagem somente duas a duas.
- as partículas são consideradas esféricamente simê
tricas.
- não há correlação entre as posições de duas partí^
cuias que colidem (meio amorfo).
Desta forma, pode-se obter uma expressão para o ter
mo de colisão, podendo a eq. (A.6) ser reescrita :
(Ir + V . . Vr + F. . V V . ) £-(r , V . , t) =
Z // (f! f: - f. f.) a (V. ,v./v: .yj) d^ v. dfi (A.8),
onde a(v., y./y^ , y!) representa a seção de choque dife
rencial .
E ainda
£2 = f(r, , t) , f¿ = f(r , y; , t)
Considerando, agora, que ha j a apenas dois tipos de
partículas, ou seja , f e f2 :
(^1' ^2 / ' ^ / d^/d' v^(f' fi - f^ f^) a(y^/y;) ,
(A.9)
77
ou
• ^ ' 1 / ^ 2 ' ^ ^d^^d^ ^ 2 ^ ^ 2 - h '^^l^ri')'
(A. 10)
A.1.1 - Derivação da Equação de Transporte de Neutrons a
partir da Equação de Boltzmann.
Para se derivar a equação de transporte de neutrons
a partir da equação de Boltzmann ê necessário fazer-se algu
mas hipóteses básicas. Supondo que haja apenas dois tipos de
partículas, tais como neutron (f- ) e partículas moderadoras
{í^^ > assume-se que :
- f-j ^ 2 ' seja, a densidade de partículas de
neutrons é menor que a densidade de partículas
moderadoras.
- o moderador está em estado de equilíbrio comple M M - ~ ~
to ( f 2 = f 2 ) , onde e a distribuição de
Maxwell - Boltzmann.
- Não há forças externas, ou seja, F E 0.
Assim sendo, a equação de Boltzmann torna-se
% ^ Y i • ^ 5 ^ 1 - ^ -i « i i L q f i - f i £ i _ j
+ / d^ V 2 w ^ 2 ^ 2 • ^1 ^ 2 ^ f^'^^^
onde w^j r e f e r e - s e a p r o b a b i l i d a d e de i n t e r a ç ã o da p a r t í c u
78
la i com j .
Assim, a equação para neutroiB torna-se
pois £^ << £ 2 , £-| ^ O O , onde :
n l '1 v Z V i "'iZ ^ 2 (A.13)
(A.14)
sendo V^(v^) a seção de choque total e E (v^ -> y-j) a seção
de choque de espalhamento.
De£inindo
V £(r, t)d y^ = i^r, E^, g , t) , (A.15)
í^l = v-j Í 2 ) com
d V ' = d V ' d = ¿ V ' dE- dÇl' v-l 1 i v , m l i ^ ' (A.16)
tem-se
L T r l t ^ 5i • ^ ^ ^ t f ^ i ^ ^ ^ f j ^ ' 1 ' í i '
= // d E ' d ü{ (E- , - E^ , Q^) Hr, E- , fi- , t) .
(A.17)
que é a equação £inal de Boltzmann para partículas não carre
79
gadas.
Supondo, agora, que a equação (A. 17) esteja em e_s
tado estacionãrio, e assim não havendo dependência temporal:
L^i ' \ ' h^-^i^ 3 ' 1 ' Si =
= // d E ' dü[ E C E ^ ' ^1 ' Sl *fl' ' ' (A-18)
onde ainda mais uma vez pode-se eliminar o parâmetro energê
tico , supondo-se que a equação final desejada seja mono£
nergêtica. Obviamente isto pode ser feito procedendo-se ã
integração da eq. (A.. 18) em todo espaço de energia (O-») ,
tornando-se :
^h. • \ ' h^h^^ "^^^^ 5i^ = Si ^(?i íi) •
. I | I ( r , Í Í ' ) ( A . 1 9 )
Expandindo-se a dependência angular em polinomios
de Legendre, e supondo-se que a dependência espacial seja a
penas em x , obtem-se :
i>ix,v) + 4^(x,y) = l (2 £ + 1) fj (y) •
5/"~ O
1 / P.(y') ^Pix,M') dy' , ( A . 2 0 )
•1 ^
a qual ê a Equação de Boltzmann linear, monoenergetica e em
geometria plana.
80
A.2 - Autovalores
todo F N
Para a solução dos problemas considerados, pelo mé-
, o cálculo dos autovalores discretos é essencial ,
desde que este ê sempre um ponto em que as equações Fj são
válidas. Uma vez que as equações Fj são fáceis de generali
zar e resolver, a computação dos autovalores discretos é ,
talvez, o aspecto mais difícil do método. Sendo assim, nes^
ta seção mostrar-se-á como essas quantidades são computadas.
Para o modelo de espalhamento isotropico, os auto-
valores requeridos são os zeros da função dispersão /60/ :
X (z) = 1 - I wz log 1^ , Z ^ (-1,1) , (A.21)
a qual possui somente um par de zeros IbOl- Para w < l , os
zeros são reais e para w 1 os zeros da função são i m a g i n a
rios purss.
Para obter-se , usa-se /60/
/ 1 - W ^ o ^ (A.22)
onde
6(t) = tan -1 pWTTt - 1
LixitlJ (A.23)
t é (0,1) com
X(t) = 1 - wt tanh -1
(t) (A.24)
Na tabela 7.1 , computou-se alguns valores de
para espalhamento isotropico. Todos os auto-valores apresen
tados foram refinados usando-se um esquema iterativo de
Newton-Raphson além do uso de 80 pontas de quadratura de
Gauss a fim de computar-se as integrais necessárias para ob
81
ter-se as soluções explícitas dos auto-valores.
TABELA 7.1 : Auto-valores refinados para espalhamento iso
trópico.
w V 0
W 1 ^
Ü.20 1.000090887 • 0.95 2.635148834
0.30 1.002592888 0.96 2.934020561
0.40 1.101458582 0.97 3.374031386
0.50 1.044382034 0.98 4.115520476
0.60 1.110213202 0.99 5.796729451
0.70 1.206804254 0.999 18.264725726
0.80 1.407634309
0.90 1.903204856
Para o modelo geral de espalhamento anisotropico,os
auto-valores discretos são os zeros da função dispersão :
A ( Z ) = 1 - Z /
-1
dx Z-x '
(A.25)
Z ^(-1,1) e onde
L i>ix) = 5 Z (2£ + 1) f^ g^(x) P^(x) , e a (A.26)
5/ O
função característica , com
(A. 27)
J N S T Í T U T O D E P E S O U I S A ^ H -P R C É - ^ l C S e N U C L E A R E S
82
e g ^ ( v ) = 1 , g ^ ( v ) = (1 - w ) V , (A.28 a,b)
sendo = (2£+l) ( 1 - w , (A.29),
e Pj^(x) os polinomios de Legendre.
Desta forma, obtem-se :
L
A (Z) = 1 + E (2£ + 1) g^(Z) r j z ) ^ — 1
- Z i|j(Z) l o g ^ l ^ , (A.30)
com
(2£ . 1) z r ^ ( Z ) = - 2 6^^Q H- (£.1) r , , , (Z) . £ r ^ _ ^ ( z ) ,
(A.31)
sendo :
r ^ ( Z ) = 0 e r ^ ( Z ) = 2 . (A.32.a.b).
Pode-se mostrar /60/ que J\_(Z) possui (K-1) pares de
raizes, sendo que o número de pares pode ser determinado por:
A fim de obter-se os auto-valores discretos, pode-se
usar as formulas dadas por Siewert /(,{}/. Desta maneira, para
K = 1 , tem-se :
Da mesma forma, se k = 2 usa-se
onde
com
83
2 1 r 2 dt -1 , "o C- ^ ^ eCt) - J , K = 1 (A.34)
com 0 (t) ^ -1 r"^ t i¡)it)
(A.35)
_ K M = n (1 - w f„) . 1 = 0 ^
C A . 3 6 )
= A . (A2-B)1/^ K = 2 (A.37)
= A - (A2-B)1/2 K = 2 (A.38)
, 1 L A = 1 - é / t 0(t)dt + 4 E f„ B,
O (A.39)
(2£.l) B,,^ = B, . (2i¿ + 5) (2JI + 3) 2£-l
(A.40)
com B = \ e B T = - | ^ h , o 3 1 5 o
(A.41.a,b)
e também (2£ + l) W -, = h^W^^ (A.42)
com W = 1 o
84
E ainda
B = 1 r 2 7 dt -r (A.43)
Finalmente, para o caso em que K = 3 , tem-se 3 equa
çoes :
2 2 2
^0 ^ ^2 = A R ^ exp C- i / 0(t) , K = 3 , (A.44)
2 . 2 ^ 2 3 - B t +
L
1 •ÃFT \ w (A.45)
- (Vg + V Q V2 + V2) = 3(1 - 0 ^ ) + 0 ^ + 4 0 ? + 3 2 "1
+ (3 -
onde
w
¿=0 (A.46)
0
a - / t" 0 (t) dt , ^ O
(A.47)
(2£.l) C^,, = ^ (2£ + 5) (2Ji + 3)
V
2£-l T £-1 '
(A.48)
( A .49) 2£+5 2£+ 7 2£+3
(A .9) .a,b)
85
A fim de demonstrar a precisão das soluções explicó^
tas dadas pelas equações acima para os casos de K = 1 , 2 e 3,
listou-se nas Tabelas 7.2 e 7.3 os auto-valores discre
tos obtidos para diferentes leis de espalhamento. Na Tabe
la 7.4 a lei de espalhamento que foi utilizada ê dada pela
formula /4l/ ; com L = 20 :
(2JI+1) f = ^ r £ f hil r " ' 2L L " "£-1
+ (2£+l) f\-^ +
+ (£+1) f L-1 -,
£ + 1 com (A. 51)
f^ = 1 e fo = O se £ > L . o £
TABELA 7.2 : (a) lei de espalhamento. (b) Auto-valores Discretos,
(a)
£ {21+1) f
0 1.00000
1 2.35789
2 2.76628
3 2.20142
4 1.24514
5 0.51215
6 0.16096
7 0.03778
8 0.00667
9 0.00081
10 0.00000
w V
o
0.2
0.8
0.95
1. 0630333
2.4371617
5. 347618
1.0519660
1,1490146
86
TABELA 7.3 : (a) Lei de espalhamento. (b) Auto-Valores Dis
cretos.
(a) (b)
l (2¿+l) £^
0 1.0
1 2.00916
2 1.56339
3 0.67407
4 0.22215
5 0.04725
6 0.00671
7 0.00068
8 0.00005
W V
o ^1
0.65
0.80
0.95
0.9999
1.548109
2.105221
4.440365
100.456833
1.00005
1.001131
TABELA 7.4 : L = 20
^0 ^2
w Explícito Refinado Explícito Refinado Explícito Refinado
0.1
0.5
0.95
1.030043
1.536814
7.480699
1.030042
1.536814
7.480699
1.054989
1.019561
1.054987
1.0195586 1.666787 1.666787
8-7
A.3 - Modificação na Computação dos Polinomios g^Cv) e
das funções A ' - (v) , B^^-^ (v) para grandes valores
de V e dos coeficientes continuos A(± Ç ) .
A principal dificuldade numérica encontrada nos pro
blemas apresentados no Capítulo IV foi a computação das fun
ções A^^-' (v) e ^^^^ quando w (número de partículas s£
cundarias) aproxima-se da unidade. De acordo com as equações
(4.11) e (4.12.a,b), as auto-funções g^C^) podem ser calcu
ladas através de uma formula de recorrência. Entretanto, es
sas formulas não fornecem resultados numéricos que reprodu
zem seu comportamento correto, quando |v. -|p3 ,especialmen
te para grandes valores de £ (onde v. , denota o maior auto
valor), devido a problemas de precisão numérica no computa
dor digital. Assim sendo, para contornar esse problema, e
baseando-se no fato que go(v. ,) tende a zero se v. , tende
a infinito, define-se para grandes valores de 2,, por exem
pio £ = 30 , as funções g* (v) = 0 e g^-^C^) = 1 > e u
sando-se a formula de recorrência dada pela equação (4.11)
de forma inversa, ou seja :
§£-1 = ^ ^£ §£ " f^^^^ §£ + 1 f" - f^-"^
e uma vez que g (v) = 1 , pode-se obter as funções g, (v) a O A/
traves de :
g.Cv) = ; £ = 0,1,2 ... . (A.53)
^ g* (v)
Outra dificuldade encontrada, quando w é perto da
unidade, é a computação das funções A ^ - (v^ ,) e B' " - ( v ^ , )
01 P , J- c p , 1
usando a relação de recorrência dada pela equações (4.35) e
(4.38). Para superar esse problema computacional, usou-se sé
ries truncadas as quais foram derivadas da definição origi
nal das equações de A*- - (v. ,) e B!- -' ( v . , ) . Oí. I j X CX I 9 X
Assim, da definição original de A ' -' (v. ,) e
a ^ 1 , 1 ^
88
^ (Vi,,) = / g(v,,,, -U) (A.54)
^ (Vi,l) = / y ' ^ g(v. ,,y) ^ . (A.55)
Desta forma, pode-se expandir -j— y em séries de po
tência a fim de obter-se , apos integração,
1 1 1
i,l i,l
(A.56)
"i,l t^.l' = . 1 f* 'aj. * ^ A
séries essas truncadas em uma determinada ordem conveniente.
Como já discutido no Capítulo IV, o cálculo dos coe
ficientes contínuos A(±v) requeridos na eq. (4.6) implica na
resolução de integrais singulares, cujas singularidades de
vem ser removidas. A fim de ilustrar o procedimento utiliza
do, seja a seguinte integral :
89
a i 1 „-x/Ç
o 1
onde 0i(C,y^) = I ^ ^ Py ^ F ^ ^ '
+ A. ( O 6(Ç - y ^ ) , ( A . 5 9 )
com Ç . y ^ e(0,l) .
-x / Ç Denominando-se F^ ' (Ç) - ^ - , (A . 60)
F r ( Ç ) = F . (Ç) * I w. Ç g. a, y ^ ) , ( A . 6 1 )
F p ( 0 = F. (Ç) . A. (Ç) , ( A . 6 2 )
inserindo essas equações na eq. (A.^58) , tem-se :
^ 1 p 1
I = T è ( O ^ ' + / F | * (Ç) Ô(Ç - y ^ ) D N ,
Z T T ^ r - y . o _ i o ^ ^0 o
(A.63)
Pode-se , assim, fazer
1 P ^ F - ( Ç ) - F* (y ) ^
n ° O O O
(A.64)
9 0
e sabendo-se que a segunda integral do lado direito da equa
ção pode ser calculada no senso do valor principal de Cauchy:
) log ^ , (A.65) x-c ^ c-a
a
obtem-se a forma final para o cálculo da integral da eq.
(A. 6 3 ) :
1 F ! ( 0 - FAm) * 1 - y
* *
(A.66)
lembrando ainda que as funções N^(Ç) e e^íK^V^) são as expl^^
citadas no Capítulo IV pelas eq. (4.18) e (4.11), respectif
vãmente.
A.4 - Desenvolvimento Analítico das Funções de Interesse
no Método F^.
Nesta seção, algumas considerações sobre quantidades
utilizadas no Capítulo IV serão feitas, uma vez que a forma
pela qual as constantes A - (Ç) e B^^-' (Ç) são apenas ci
tadas, um tratamento matemático mais rigoroso se faz necessa
rio.
Sabendo-se que :
^o''' ^ ^ ^ ^iC-^.Vi) dy , (A.67)
onde
91
L.
com
PoCy) = 1 e P^(y) = y . (A.71.a,b)
Substituindo-se as eqs. (A .68) , (A.69) e (A .70) na
equação ( A .67), obtem-se
L. 1
^ o ' ^ ( O = l (-1)^ £ . ^ ^ g . ^ ^ ( O / P,(y) ' £ = 0 Q
(A.72)
Usando a relação de recorrência dos Polinomios de
Legendre (eq. A . 7 0 ) , na equação acima, determina-se :
A^'^ U) = 1 - í l o g (1 + ) . | ; . (0 +
L. 1
" h,Z gi,£ ' (A.73)
onde as funções ^.(K) e ir. (Ç) são dadas no Capítulo IV.
Para determinar-se B^^-' (Ç) , tem-se
1
^o'^ f ^ = F I ^ 0 i (Ç.y)y dy , (a.74) ^ o
g i ( - Ç , y ) = (2£ ^ 1) f^^, (-1)' g . ^ , ( 0 P,(y) , (A.69)
92
ou então
1 1
^o'^ = TT ^ 0 i (S ,y ) ydy + f 0 . ( - Ç , y ) y d y ,
° (A.75)
onde a segunda integral da expressão acima pode ser substi
tuida por A^^^ ( Ç ) .
Desta maneira
1
^ o ' ' ' = F S 0 i(Ç ,y) ydy + A^^^ ( O , (A.76)
-1
onde
/ 0 . ( Ç , y ) y d y = Ç(l -w. ) , (A.77)
-1
ou seja
B^'^ U) = - 2 + A^i^ ( O . (A.78)
Para determinar-se uma expressão geral para B^(Ç) ,
usa-se a equação de transporte :
w ^i y ^ (x,y) + ip.(x,y) = -f E (2il+l) P^(y) g^iK)
ÍL 0 (A.79)
e substitui-se
ii;^Cx,y) = 0 . (Ç ,y) e • ( A .80)
93
Multiplicando-se a eq. (A.79), apos a substituição
proposta, por — e integrando-se em y 6 (0,1) , i
L.
(A.81)
Da mesma maneira, para conseguir-se uma expressão
para ^^(.K) , faz-se :
i|;.(x,y) = 0 - ( -Ç ,y) e""/^ . (A.82)
e substitui-se em (A . 79) . Procedendo-se da mesma fôrma em
relação a eq. (A. 82) , como descrito acima, obtem-se :
L. 1
A^^^ U) = - í A^i^ ( O + Z (-1)^ (2£+l) f g (Ç) A . Oí i,£ i,£ a 1,
(A.83)
Para gerar a relação de recorrência para gj (' ) . é
necessário partir-se da equação de transporte linear, mono
energética e em geometria plana. Seja :
y 4^(Z,y) + i|>(Z,y) = f / i|j(Z,y')dy' , (A.84)
-1
onde Z = X , pode-se solucionar esta equação, propondo
se :
^ 7 0 + 1
iii(Z,y) = Z 0 (Z) P (y) . (A.85) £ = 0 4TT ^ ^
Inserindo-se (A.85) em (A.84), obtem-se :
E (2£ + l)y P^(y) ^ 0^(Z) + E (2£ + l) 0JZ) P^(y) = w 0q(Z)
^ = 0 ^ = 0 (A.86)
94
Agora usando a relação de recorrência dos Polinomios
idre na equação acima, multi
e integrando em (-1,1) , obtem-se :
de Legendre na equação acima, multiplicando tudo por P^ (y)
4 ^£-1^^^ ^ t ^ ^ l ) éh.l^^^ ' (2£.l) 0 , ( z ) = c 0 , ( z ) 6^^, .
Para solucionar a equação acima, propõe-se :
0¿(z) = g^(v) e -x/v
(A. 8 7.)
(A.88)
e assim tem-se
(A.89)
onde
(A.90)
A f im de d e t e r m i n a r a r e l a ç ã o de r e c o r r ê n c i a dos p o -
; nu CÇ) , b a s t
eq . (A,67), f azendo :
linômios ndCÇ), basta partir da expressão de A^(Ç) dada na
£ = 0 (o) = = fi,0 Si,O ^
0 y+ç dy , (A.91)
e resolvendo a integral:
xf° = 1 - Ç log (1+1/Ç) . (A.92)
Para £ = 1 , X^^^ = - 3 Ç f^ g^(0 log (1+1/Ç) P^ÍO +
+ 3 f g^(Ç) n- (C) (A.93)
onde
I N S T I T U T O D E P E S Q U I S A S e ^ . ! F R G É T l C » S E N U C L E A R E S
1, P. E. N.
95
Jl^iO = Ç - 1/2 . (A. 94)
Para 1 = 2, tem-se :
n^W) = I - 1/2) . (A.95)
Assim sendo, usando sempre a relação de recorrência
dos Polinomios de Legendre, obtem-se :
(2£ + l) í n^(Ç) = (-1)^(2£ + 1)A^^^ + (£ + 1) Hj^^^CO + £ Ij^^CÇ).
(A.96)
Por último,ê necessário determinar-se a relação de
recorrência para os polinomios r^(Ç) . Assim, a partir da
expressão :
A C Z ) = 1 + Z / ^píix) 1^ , (A.97)
-1
onde
L
^PM =^ E (2£ + l) g^(x) P^(x) . (A.98)
£ = 0
Para £=0 , tem-se :
A(Z) . 1 . Z ? f„ g j z ) P j z ) _ / ^ , (A.S9)
e resolvendo a integral acima :
A(z) = 1 - Z 5 g^(z) P^(z) l o g ( ^ ) : (A.100)
Para £ = 1 :
96
A-^z) = 1 . Z I £^ g(Z) P(Z) log(F ) .
+ Z Ç / g^(x) P^(x) , ( A . 1 0 1 )
ou seja :
A(z) = 1 + 3 f E £ g (z) P (z) log(f^) + 3 f. g, (z) . 2 ,
( A . 1 0 2 ) onde
2 = r^(z) . (A.103)
Para 1 = 2 :
ACz) = 1 - z ? £, g,(z) P,(z) log (f^l) .
+ E £ g (z ) (2£+l) f Z , ( A . 1 0 4 )
onde
r2(z) = I z. ( A . 1 0 5 )
Desta maneira, usando as relações de recorrência dos
p o l i n o m i o s g^(z) e P^C^) , obtem-se :
( 2 £ + l ) z (z) = - Ô^^Q + ( £ + 1 ) r^^^ (z) + IY^_^ (z).
( A . 1 0 6 )
97
APÊNDICE B
Neste apêndice ê apresentado informações referen
tes ao programa computacional confeccionado. Primeiramente,
o diagrama de blocos base do módulo e um manual de instru
ções para o usuário ê mostrado. A seguir , uma listagem com
pleta ê anexada, bem como os cartões de controle utilizados
para procesar o módulo nas versões IBM 370/155 e HB-GCOá/64,
nas quais o programa se encontra disponível.
Também problemas previamente selecionados são e
xibidos , acompanhados de uma listagem contendo os dados de
entrada e saída requeridos.
B.l Diagrama de Bloco e Dados de Entrada do FNAM-1
Nesta seção apresenta-se de maneira geral, a s e q u e n
cia lógica utilizada no módulo FNAM-1 através de um diagra
ma de blocos simplificado. Além disso, um manual de instru
ções para utilização do programa é fornecido, onde procurou
se instruir o usuário de forma lógica e sucinta da maneira
mais conveniente de se obter os resultados desejados.
DIAGRAMA DE BLOCO
DADOS DE ENTRADA
JL Calculo e refinamento
dos autovalores
Condições de
Contorno
98
Calculo dos coeficientes
SAÍDAS
cálculo das constantes
Determinação das constantes
A(±v.^p) e A(±Ç)
SA DAS
r 1
FLUXO TOTAL CORRENTE TOTAL
ALBEDO
^ FATOR DE TRANSMISSÃO
FLUXO ANGULAR NAS
INTERFACES
FATOR DE DESVATAGEM TÉRMICA
FLUXOGRAMA DO FNAM - 1
I N S T I T U T O D E P E S Q U ' S A S E E R G É ' • ' I C « S E N U C Í E A R F S
99
Biblioteca de dados a serem gravados em unida-
de periférica (disco ou fita) os quais são utilizados pela
subrotina AMUFNl, a qual calcula os auto-valores. Esses da
dos devem ser gravados com o nome CP888. BUGGY. LIB , na u
nidade um.
10 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 S 9 7 Q 3 520 0 . 0 9 7 4 G 8 3 9 8 4 4 1 5 8 4 5 9 9 0 6 2 0 Ü . 9 S D C 530 0 . 0585C443715242 06 6 8 63 3 0 0 . 9 9 8 C 0 540 0 . 01 951 1 38325679399765 A O 0 . 9 9 9 8 D 0 550 0 . 001 1 4495000 31 8694 1 53 5 0 0 . 9 9 9 9 5 D 0 560 0 . 0 0 2 6 6 5 5 3 3 5 8 9 5 1 2 6 8 1 6 7 60 0 . 9 9 9 9 9 8 D C 570 0 . 0 0 4 1 8 0 3 1 3 1 2 4 6 9 4 8 9 5 2 1 70 0 . 9 9 9 9 9 9 R D G 58C 0 . 0 0 5 6 9 0 9 2 2 4 5 1 4 0 3 1 9 8 6 5 80 0 . 9 9 9 9 9 9 9 S C C 590 G . 0 0 7 1 9 2 9 0 4 7 6 8 1 1 7 3 1 2 7 5 90 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 D C 6C0 C . 00868 39452692608584 3
100 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 D 0 610 0 . 0 1 0 1 6 1 7 6 6 0 4 1 1 0 3 0 6 4 5 2 1 1 Ü 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 D C 620 C . 01 1 6241 1 4 1 2079782692 1 ?0 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 S D 0 630 C . 01306 8 7 6 1 5 9 2 4 0 1 3 3 9 2 9 130 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 D 0 640 0 . 01 4495508C405090761 2 1 t*Q 8G 650 0 . 0 1 5 8 9 6 1 8 3 5 8 3 7 2 5 6 8 8 0 4 150 0 . 9995538226516 3 06 2938 660 0 . 017274652C562 6 9306 160 G . 9 9 7 6 4 9 8 6 4 3 9 8 2 3 7 6 8 8 9 0 670 0 . 0 1 8 6 2 6 8 1 4 2 G 8 2 9 9 G 3 1 4 3 1 ?0 c . 9 9 4 2 2 7 5 4 G 9 6 5 6 8 8 2 7 7 8 9 68 0 0 . Ü 1 9 9 5 0 6 1 G 8 7 8 1 4 1 9 9 8 9 3 180 G . 9 8 9 2 9 1 3 0 2 4 9 9 7 5 5 5 3 1 0 3 690 0 . 0 2 1 2 4 4 0 2 6 1 1 5 7 S 2 0 0 6 3 9 190 G . 9 8 2 8 ^ 8 5 7 2 7 3 8 6 2 9 0 7 0 4 2 700 0 . Ü 2 2 5 C 5 0 9 0 2 4 6 3 3 2 4 6 1 9 3 200 G . 9 7 4 9 C 9 1 4 0 5 8 5 7 2 7 7 9 3 3 9 7 1 0 0 . 0 2 3 7 3 1 8 8 2 8 6 5 9 3 0 1 0 1 2 9 21C C . 9 Ó 5 4 8 5 Ü 8 9 C 4 3 7 9 9 2 5 1 4 5 7 2 0 0 . 0 2 4 9 2 2 5 3 5 7 6 4 1 1 5 4 9 1 1 1 2?G G . 9 5 4 5 9 0 7 6 6 3 4 3 6 3 4 9 0 5 4 9 73 0 0 . 0 2 6 0 7 5 2 3 5 7 6 7 5 6 5 1 1 7 9 0 ?3Ü 0 . 94224276130 9 8 7267475 7 4 0 G . 0 2 7 1 8822 750048638067 2 A 0 G , 9 2 8 4 5 9 8 7 7 1 7 2 4 4 5 7 9 5 9 5 750 0 . 0 2 8 2 5 9 8 1 6 0 5 7 2 7 6 8 6 2 4 0 250 G . 9 1 3 2 6 3 1 0 2 571757654 1 6 7 6 0 C . 0 2 9 2 8 S 3 6 9 5 8 3 2 6 7 8 4 7 6 9 26C G . 8 9 6 6 7 5 5 7 9 4 5 8 7 7 0 6 8 3 1 9 770 0 . 0 3 0 2 7 2 3 2 1 7 5 9 5 5 7 9 8 0 6 6 270 0 . 8 7 8 7 2 2 5 6 7 6 7 8 2 1 3 8 2 8 7 0 780 C . 03121017418 8114 70 164 280 G . 8 5 9 4 3 1 4 0 6 6 6 3 1 1 1 0 9 6 9 8 790 0 . 032 1G04986734877731 5 290 C . 83883 147358025527562 300 G . 0 3 2 9 4 1 9 3 9 3 9 7 6 4 5 4 0 1 3 8 300 G . 8169541386 8146347037 81 0 0 . 0 3 3 7 3 3 2 1 4 9 8 4 6 1 1 5 2 2 8 2 310 0 . 7 9 3 8 3 27175046 0 5449 9 5 820 0 . 0 3 4 4 7 5 1 2 C 4 5 1 7 5 3 9 2 8 7 9 3 20 G . 7 6 9 5 C 2 4 2 Q 1 3 5 Ü 4 1 3 7 3 3 7 830 0 . 0 3 5 1 6 0 5 2 9 G 4 4 7 4 7 5 9 3 5 0 3 30 C . 7 4 4 C C n 2 9 7 5 8 3 5 9 7 2 7 2 3 2 840 0 . 0 3 5 7 9 4 5 9 3 9 5 3 4 1 6 0 5 4 6 0 3 40 G . 7 1 7 3 6 5 1 8 5 3 6 2 0 9 9 8 8 0 2 5 850 G . 0 3 6 3 7 3 7 4 9 9 0 5 8 3 5 9 7 8 0 4 350 0 . 6 8 9 6 3 7 6 4 4 3 4 2 0 2 7 6 0 0 7 7 860 0 . 0 3 6 8 9 7 7 1 4 6 3 8 2 7 6 0 0 8 8 4 560 G . 6 6 G 8 5 9 S 9 8 9 8 6 1 1 9 8 0 1 7 4 870 0 . 0 3 7 3 6 5 4 9 0 2 3 8 7 3 0 4 9 0 0 3 370 G . Ò 3 1 C 7 5 7 7 3 C 4 6 8 7 1 9 6 6 2 5 880 0 . 0 3 7 7 7 6 3 6 4 3 6 2 0 0 1 3 9 7 4 9 380 0 . 6 0 C 3306 2282 97 5 1 7 4 3 1 5 890 0 . 0 3 8 1 2 9 7 1 1 3 1 4 4 7 7 6 3 8 3 4 3 90 0 . 5 6 8 6 7 1 2 6 8 1 2 2 7 0 9 7 8 4 7 3 9C0 0 . 0 3 8 4 2 4 9 9 3 C 0 6 9 5 9 4 2 3 1 9 400 C . 53 6 14592GS97131932C2 910 0 . 0 3 8 6 6 1 7 5 9 7 7 4 0 7 6 4 6 3 3 3 410 0 . 5028 0 4 1 1 1 8 8 8 7 8 4 9 8 7 5 9 920 0 . 0 3 8 8 3 9 6 5 1 C 5 9 0 5 1 9 6 8 9 5 420 0 . 4 6 869661517 0 5444 7 70 4 930 0 . 0 3 8 9 5 3 3 9 5 9 6 2 7 6 9 5 3 1 2 0 430 0 . 4 3 3 8 7 5 5 7 0 8 3 1 7 5 6 0 9 3 0 6 940 C . 03901781365630665481 4 4 0 0 . 3 9 8 3 9 3 4 0 5 8 8 1 9 6 9 2 2 7 0 2 950 5 450 0 . 362 3C4 7 534994 8731 5 61 960 - 0 . 5 D 0 460 G . 3 2 5 6 6 4 3 7 0 7 4 7 7 0191462 970 • 0 . DC 4 70 0 . 2 8 8 5 2 8 0 5 4 8 8 4 5 1 1 8 5 3 1 1 980 + C . 5DC 4 8 0 0. 25C95235 8 39227212 0 4 9 4 9 0 0. 2 1 2 9 9 4 5 0 2 8 5 7 6 6 6 1 3 2 5 7 500 0 . 1747122 9183264681256 510 C , 1 3 6 1 6 4 0 2 2 8 0 9 1 4 3 8 8 6 5 6
MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUÁRIO
CARTÃO
NOME
COLUNA
FORMATO
DESCRIÇÃO
1
TITLE
1-72
18A4
TITULO DO PROBLBIA
2
NOP
1-3
13
= 0
rodar somente para a aproximação N
(N^^ = 10)
> 0
rodar para todos os N < 10
NA
4 - 6
13
ordem de aproximação do método (caso NOP=0)
K
7-9
13
número de regiões (K
=20)
max
3
LM
1 - . 72
13.
ordem da lei de espalhamento para cada região (K ele
mentos^
4
LEO
1-3
13
= 0
0 próprio programa calcula os coeficientes da ex
pansão em polinomios de Legendre fnão é necessá
rio 0 Cartão 8).
> 0 0 usuario devera fornecer os coeficientes (vide
instruções LE)
LE
4 .- . 6 . • . .
13-
Lei de espalhamento da seção choque.
= 0 -> espalhamento isotropico (não é necessário cartão
8)
> 0 lei de espalhamento igual para todas as regiões
(fornecer no cartão 8 apenas para uma região)
< 0 •> lei de espalhamento diferente para as
regiões
(Obs: caso LEO = 0 , fazer LE = 0)
IE
7-9
13
tipo de condição de contorno na face esquerda
= 0
superfície livre ou fluxo incidente (ver cartão
9)
o o
MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUÁRIO
CARTÃO
NOME
COLUNA
FORMATO
DESCRIÇÃO
> 0 -> somente refletividade e/ou difusibilidade (ver
cartão
10
1 <
0 fluxo incidente com reflexão e/ou difusibilida
de fver cartões 9 e
10
1 Obs: caso lE >
0 , fazer NFE =
0
ID
10-12
13
tipo de condição de contorno
na face direita
= 0
superfície livre ou fluxo incidente (ver cartão
> 0
somente refletividade e/ou difusibilidade
(ver
rart
ãn
1
21 fcaso ID >
0. faser NFD
=01
< 0
fluxo incidente com refletividade e/ou difusibi
lidade fver cartões 11 e
12
1
5
W
1-72
6D12
.0
número médio de partículas secundárias (K elemen-
tosl.
6
S
1-72
6D12
.0
fontes externas normalizadas (K elementos)
7
TAU
. . . .1-72. .....
6D12
.0
espessura ética (para cada região)
8
F
1-72. .. . ,
6D12
.0
coeficientes da exgansão em polinomios de Legendre da
função de transferencia fver LE do cartão
41
(N+1 elementos para cada região, cada região começando
com um novo cartãol
9
NFE
1-3
13
= 0 -> superficie livre ou feixe isotropico (.i^iv) =
• ••"
t
Ni
g
> 0
incidencia cossenoidal (f
(y)
= „
1, d3
y
) 0
p
—J
-
< 0 ->• incidência monodirecional (fgda) -
(5
(y-y
))
Obs: caso IE>0 , fazer NFE=0
•9
MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUÁRIO
CARTÃO
NOME
COLUNA
FORMATO
DESCRIÇÃO
Nl
4-6
13
valordeN,(N^^^ = 4)
Dl
7-16
DIO.O
valor de d
D2
17-26
DIO.O
valor de d2
D3
27-36
DIO.O
valor de d^
D4
37-46
DIO.O
valor de d.
FEIX,
47-56
D10.0
valor de 1(1
=0.0
, caso superfície livre)
COSE
57-66
D10.0
valor de
10
CFl
1-12
D12.0
valor do coeficiente de reflexão (A^)
CF2
13-24
• ^
.D12.0
valor do coeficiente de difusibilidade
(A
2)
11
, NFD
1-3 , ... . .
13
=0 superfície livre ou feixe isotropico(f]ç(y)=
I2
)
N^
>0 -> incidencia cossenoidal(f. (y) = .Z, C. y.)
Obs.: caso ID>0 , fazer NFD=0
N2
4-6
13
Cl
7-16
DIO.O
valor de C-j
C2
17-26
DIO.O
valor de
C2
o
N
MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUÁRIO
CARTÃO
NOME
COLUNA
FORMATO
DESCRIÇÃO
C3
27-36
DIO.O
valor de C^
C4
37-46
DIO.O
valor de C^
FEIX
2 47-56. .• ...
DIO.O
valor de
I2
O-^O , caso superfície livre)
12
CFIL
1-12
. .
.
D1
2.0
. valor do coeficiente de reflexão (X^)
CF2
L
13-24
. D
12
.0,
valor do coeficiente de difusibilidade
(X
2)
13
LI
1-3
13.
. .
inprime albedo se >
0
NPl
4-6
13
. .
< 0
albedo da face esquerda
= 0
albedo da face direita
> 0
albedo das
2 faces
L2
7-9- •
• .
13
uiqjrime fator de transmissão se >
0
• N
P2
10-1
2 13
< 0
-y fator de transmissão da face esquerda
= 0
fator de transmissão da face direita
> 0
- fator de transmissão das duas faces
14
NP3
1
-3
13
imprime fluxo total se >
0
NP4
4-6
13
imprime corrente total se >
0
MANUAL DE INSTRUÇÕES PARA USUARIO
CARTÃO
NOME
COLUNA
FORMATO
DESCRIÇÃO
NPX
7-9
13
= 0 calcula fluxo total e corrente total somente em
um ponto "x" dado (vide cartão 15)
> 0
calcula fluxo e corrente total de acordo com o
numero desejado de divisões de cada região ívi-
de cartão 15)
15
XP
1-12
D12,0
se NPX = 0 valor do ponto onde se deseja calcular
fluxo ou corrente total
15
ND
1-60
2013
se NPX > 0 número de divisões (< 20) de cada região,
para a impressão do fluxo total e da corrente total
(K elementos).
Obs.: Cartão 15 deve ser fornecido somente se NP3 ou
NP4>0
16
NP5
1-3
13
imprime fluxo angular se > 0
NP6
13
inçrime o fator de desvantagem térmica (para o caso
de células) se > 0
Obs.: no caso de células , o problema deve ter apenas
2 regiões, onde a região leo combustível
de
meia espessura ética TAU(l) e a região 2 é
o
moderador com espessura TAU (2)
o
O Modulo permite solucionar varios problemas, cada problema iniciando com um novo cartão 1.
105
B.2 - Listagem do Programa e Cartões de Controle
Cartões de Controle Versão IBM 370/155
MEMBER NAME MONTA
/ / 0 0 1 0 ) , • , T I M E = 0 0 Q 5 » C L A S S = A **************
/ / * MCNTAGEM DE A R Q U I V O DA F I T A PARA D I S C O
//:<t*!(t:(!«««« ******************
/ /
/ / S Y S P R I N T DD / / S Y S I N / / S Y S U T l / / / / S Y S U T 2 / / / /
E X E C P G M = I E B G E N E R S Y S 0 Ü T = A
OD DUMMY DO DSNAME = fiUGGY,LIB,LA6ÉL=(lySL) • V O L = ( , R E T A I N t S E R = I T B U G G ) , U N I T = T A P E , D I S P = ( O L D » K E E P ) 00 D S N A M E = C P 8 8 8 . B U G G y , L I B , D I S P = ( N E W » C A T L G ) , L A B E L = R £ T P O = ? , U N I T = S Y S S E M , V Q L = S E R = T R A 8 0 5 , S P A C e = ( T R K , { 1 0 , 5 ) , R L S E J
/ / «
/ / * MGNTAGEM DE MODULO DE C A R G A DA FITA PARA C I S C O
/ / E X E C PGM=IEBCaPY / / S Y S P R I N T DO S Y S O U T = A / / E N T R A D A DO O S N A M E ^ B U G G Y . L C A O , L A B E L = t 2 , S L ) , 0 I S P = ( O L C , K E E P > , / / U N I T = T A P E , V O L = S E R = I T G U G G / / S A I D A DD 0SNAME = C P 8 8 8 . B U G G Y . L O A D , O I S P = (NEk^,CATLG) » / / L A B E L - = R E T P D = 7 , U N I T = S Y S S E M , V 0 L = S E R = T R A B 0 5 » / / S P A C E = t T R K , ( 4 0 , 2 0 , I ) , R L S E ) / / S Y S I N DC *
C O P Y I N D D = E N T R A D A , Q U T D D = S A I C A / *
MEMBER NAME E X E C / / 0 0 7 0 ) , ' * * « ' * ' * * * * « * • , T IME= 0 0 6 0 , C L A S S = K
/ / « / / * / / *
C A R T C E S OE E X E C U Ç Ã O
:^ ,5c , « ^ ^ jj, ^
/ / E X E C P G M = B U G G Y , R E G I C N = 1 5 0 0 K , T I M E = 6 0 / / S T E P L I 8 DD D S N A H E = C P 8 e 8 .B U G G Y . L O A D , D I S P = S H R / / F T O l F O O l DO D S N A M E - C P S a a .B U G G Y , L I B , D I S P = S H R / / F T 0 6 F 0 0 I DD S Y S C U T = A / / F T 0 5 F 0 0 1 OD *
C A R T Õ E S DE D A D O S
/ *
106
Cartões de Controle versão HB-GCOS/64
'£. <t
CC o
CX Q. O
00
LU II
s :
o n
u. UJ UJ o CC LO
Q CC • %
V • S o l_>
< - 00 II
O LT II »—« Là-«I «t II O LU LO II
» ^ Q. ~> LJ rvl U. 57 13 • 1/5 »—* LA CC l—I «r u. • L/1 O o
LU (— t-J 1— u_ X < O Lu •— u
lU Li_ »— CC 1— LU \ cr ¿i. £; CC < - 1— o II M \
«t a O LJ LJ O II PD > ~ > O
< «i f l rvj •Si « > II V ro
CC CL O LU H- LTl II
<t <X \ Lu rsj L/1 LU a. '~> ír\ •-• LT» fvl
_l LO • <- OO Ll_ »—1
LiJ • s •i¿ 3 CO o CD >- _l 11 O V
<t < £C LJ O iTi II _J C5 o CO > «t CU _í II II t— \
;>r 3 UJ Z3 O C/1 r~ O <i ü t/i LU UJ ill LL O LU o; 1/1 -J cn •—* II
LU • * :i; o. <i; s. P-H _l LU K Li Ln L3 ^ II 1 r-si Q. li o rc L^ LU LO S • L3 —•
o Li- < J - Q «I 1-1 3 1/1 U1 cr •-I Ll-\— < ra CJ
UJ • :f: lC- II CC CC LU o _i UJ >- LU LU • LU L-> Q cr c > LU <— r-Nj ^ II .—
V < LO O —1 II LU II _J >- —1 ct < •-" l.O UJ _l L4-
LJ :r Llj - _l •~' r—< UJ LO i.j 11 II CD 1 1 II U. : J II a¡ c:5 CO >— u. h- 1—
UJ -w 3 7T. 3 3 - ( - « _) -J - ni ;D UJ O UJ * \ •-" v; cr Cr Q •
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o
o
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LU o • % o. _J o CJ 1 «t II C/O L3
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1— LU 3
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APRANJC DOS ELEM, 0 0 200 1«1,N
TQ 20 5 A EM ORDEM CRESCENTE.
118
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206
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PRO O RAÍ'ADOR - ELIZA UfTH OULLtr ORIFnTAOOR - OR JOSE OUilCNS MAIORINO IPfN - SAO PAULO - 3RASIL (1981)
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CALCULO OE 8 - A L F A £ A - A L F A PARA AUTOVALORES CONTÍNUOS
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132
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CALCULO PARA DUAS RtCIOES
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CALCULO PARA DUAS REGIÕES
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0 0 55 52 f'JNC I •'•( ' i f i i ; . ( ; , ) 0 0 3 5 5 i I l ' P L l C I T R E A L « ' 3 ( A - H , 0 - ? ) » I N T E 6 E i ; « 4 ( I - N ) 00350 4 C O l ' - J l i / u L ' J C K l / . C . f ( 0 5 ) 3C3 555 Mf U l i = CF L O » T ( 2 « r i - I ) • ( 1 . O Ü - W C • F ( N ) ) 00 3 5 51 P E I O R l i 0035 5? £ f.D 0 0 3 5 56 f U N C T I C f . F X ( » ) 0 0 3 5 5 V I 1 P L I C I T R E A L - ; ( A - H , 0 - 7 ) . I I ) T E G E R « 4 ( I - N )
GO 3 5 6-) C O ^ / I - . 7 r L 0 C " . I 7^iC >f (65 ) 0 0 3 5 6 1 C ' j : ' ' ' " ) ; ; / 0 L 0 C x 2 / f O M E / N ;j 0 5 5 6 2 C O f l C V / S A I O A 1 7 » H Ï ( 3 ) » N 7 0 0 5 5 6 5 5 A •> I l . 0 0 ( ) l i 3 5 6 i . D'J 6 I » 2 . l t 003565 SA > 5A » a r L O A I ( 2 • I - 1 ) ' F ( 1 ) ' G f U N ( t . I ) « G A M i y , I ) 0 o 3 5 < 6 6 C C f . F I l .U f
00 35 6 ? S ' I » 0 . 0 0 00' 01. ? I • 1 , N Û 0 3 5 6 V 5 f = S'I • Û f L O A T ( 2 « 1 -1 ) • f ( 1 ) « C f UN( y . I) « P O L E C ( y , I ) 0 0 ! 5 ? i , 7 C C M l V O t 00 35 ?1 SC » 0 . 0 n
'10 ! 5 ?2 a L/ ? I • 2 . IL O 0 3 5 73 5 t = se • O f L Û A I < 2 « I - 1 ) « F ( I ) « C f U N ( » , I ) « O G A M A C y , I ) UC '.5 ?4 t tCMl'.UE 00 35 7 5 se = O .CO 00 3 5 ? ! 00 V 1 = 2 , fi
00 35 7 7 S 3 = SO • D f L 0 A T ( 2 ' I - 1 ) ' f ( I ) « D C f l J f J ( y , I ) « O A H ( y , l ) 0 0 3 ? 6 V COMÍ MIT 0 0 ! 5 7 V S i . = 0 . 0 0 0 0 ! 5 6 0 DO 10 1 = 1 , M 0 0 1 5 6 1 S t = s t • O f L O A T ( 2 « I - 1 ) • f ( I ) « G f U N ( y , I ) • O O L E G ( y , 1 ) B O î l " 2 10 l o f . i m u t O C 3 5 - 3 S i = i ; . D O 0 0 ) 5 - 4 00 11 1 = 1, IL 00 55 65 5F t SF • O F L O A 1 ( 2 - 1 - 1 ) • F ( I ) . P O L t S ( y , I ) • O C F U N C Y , I ) C C 3 5 > 6 1 1 Cum ii.oe O C ! 5 - 7 F c I = c • U . 5 0 0 • ( s E • S F ) O O S V ^ c 5 I L Í ; ' = U « 0 . 5 0 0 « ( S A « y « S C « y * S O ) - W C « 0 . 5 0 0 « S H » Í D L O G ( ( » » 1 . 0 0 ) / ( y - 1 . 0 ü ) 00 35 ' . V • ) - y « 2 . c i / ( y « « 2 - i . o o ) ) - F D l « y « C L O G ( ( » « l . û U ) / ( y - l . o u ) ) C C 3 5 V 0 SP = O . D Ü Ü 0 3', V I D v 1 2 1 = 1,N O 0 3 5 V 2 Si = 5 « » Of L O A T ( 2 « 1 - 1 ) • f ( 1 ) . G f U f K y , 1 ) « P O L £ G ( Y , 1 ) C 0 3 t v ; 12 C O M Í V U E 003 5 V 4 1« ' 0 . 5 D 0 « W C • ( y • ' 2 ) • S 'M ' .D f L AM C0 5 5 V 5 P t l U P l i 0 0 3 5 V I ( v u
0 0 3 5 V 7 f u f U I I O n O G A H A ( y , N ) 0 0 3 5 v > I i ' P L I C I T R t A f 6 ( A - M , 0 - 7 ) C 0 5 5 V V D l P t n S I C I I 00 ( 33)
1
145
JL M t ( 1 ) = C . ü l ; IJLV.M 0 ' ; ( 2 ) = 0 . 0 1 ; i ; C . ! f , 0 2 l f d . , L E . ? ) 00 10 1 O O J ' . C i DC 2 l=J,IJ O O J f . i i . r. « 1-1 Ü O J t O i D G ( I ) » ( D f L O U T (2«<-1)•X«OC ( I -1) • CO ; » , l ; i , •!,( LC« 1 (K-1 ) ' O G i I - 2 ) ) / D F L O A I (K )
o o ; c 0 7 2 C C M l ' . u i . O O J t O t 1 O O A . - À ' » 0 0 ( 1 . ) 0 0 S',1 V t E I u>- 'I' 0 Ü 5 M 0 EIIL 0 0 5 ( , ! 1 R l l f .C T 101. O C f U I . ( Y , l l )
o o î t i ? i i i " L l c l i iifal«î;(a-h,o-7) Ù 0 J 6 I ! (1 I f CI. 3 10 : . O C f ( J J ) O O Î Î , 14 D i f ( 1 ) » 0 . 0 0 00-'tis C C f ( 2 ) » i t f U N d ) 0 O Î 6 U I f Cl.Lu . 2 ) GO T O 1 C 0 î t 1 7 DC 2 1=5,Il O U Î o l i i X • 1-1 C 0 - ' ( . 1 i ; Cr.f( l) « ( Mf UN( 1-1 ) • ( Y « D G f ( I -1 ) • (10 ! 2 0 • D 0 1 ( I - 2 ) ) / 0 f L 0 A T ( H ) 0 0 5 6 2 1 2 C O M l ' a i t 0 0 5 6 2 2 1 D C F l J ' i = OCf(IJ) 0 0 5 6 2 5 oiTLHIi 0 0 56 2«. t i . D O 0 i < 2 V f u l . C T I O ' . 0 O L E G ( Y , N ) 0 0 Í 6 2 6 l l l ' I . I C M f ' tAL'!'(A -M,0-7) O O î ' , 2 2 O l ' t n ' . i n - . D O ( 5 5 ) 00 ;6'"' O'.i ( 1 ) " 0 . 0 0 0 0 J 6 ¿ ' , 3 C ( 2 ) " 1 . 0 0 0 0 5'. '.0 l f ( l . .LL.2) GO 10 1 OC 56 5 1 00 2 l " i , N 00 56 52 < . 1-1 0 0 5 6 53 00 ( 1 ) » ( D f L O A T ( 2 « K - 1 ) » ( Y ' D O ( 1 - 1 ) 0 0 36 56 . f i l 1 - 2 ) ) / O F L Ü A I (K) 0 0 S 6 35 2 C O M l o o t 0 0 5 6 3 6 1 O ' J L t C » D O ( N ) 0 0 36 3 7 i l i T C l .
0 0 3 6 :2; tt .o
O f L O A T ( 2 « K - 1 ) » G A N i Y , I - 1 )
G f t H ( Y , l - 1 ) ) - O f L C A I ( K - l ) «
• P 0 L E G ( Ï , I - 1 ) ) - O f L O A T ( K - l ) .
146
B.3 - Problemas Amostra e Resultados Obtidos
A fim de ilustrar o correto procedimento na utiliza
ção do modulo, dois problemas amostras foram selecionados com
o intuito de facilitar a compreensão do manual de instru
ções .
O Problema l.B refere-se a tres regiões de espessu
ras óticas T-j^ > e com incidência isotropica na face
esquerda e superfície livre na face direita, como ilustrado
na Figura 14,
5 = 0 5 = o S = O
W - o . 5 w -0.7 w =o.8ô
.5.8
L - i L z 3 L - 5
>
Obs.: Os coeficientes £^ são calculados pelo programa.
Figura 14: Geometria do Problema l.B.
O Problema 2.B considerado é uma célula básica de
um reator constituido de duas regiões, o combustível (regi^
ão 1) e o moderador (região 2 ) , com uma fonte de neutrons
no moderador, conforme ilustrado na Figurais. Além disso
considerou-se espalhamento isotropico para a i- região . 1
' Corr,BUST R V Ü L
; s ^ 0
1 ^A/ = 0.5
5 = i
W =0.95 1 L -- 0 L z X
1 a.=0.38
I - 0.5
b =3.5
1-, ° ^
Figura 1 5 : Geometria do Problema 2.B .
147
Dados de entrada dos Problemas 1 e 2
1 Ü P R O B L E M A A M O S T R A 1 ¿Ü G fe 7
-J
3 0 1 5 5 ¿C 0 -¿ G G
5C (J. 5 0 C 0 . 7 D Ü 0 . & 5 D 0
6 0 0. D 0 7Ü '¿.5 DO 1 . 3 D 0 ¿'. 0 0 E Û G 0 0. DO 0. DO 0 .DO
'yQ O.DÜ Ü . DO 1 ÜO 0 0 0 . DG 0. DO O.DO 1 1 Û G . D 0 O.DO 1 2 0 1 - 1 1 0
1 30 1 1 1
U O 5 5 u 1 5 0 Ü G
10 PROBLEMA AMOSTRA Z 2 0 0 7 2
3 0 0 1
4 0 1 - 2 1 1
5Ü 0. 5DC 0 .95D0
6 0 0 . DO 1 .DO
7 0 0 . 9 8 D 0 3 . 5 D 0
8 0 1 . DO
9 0 1 .DO . 3 D 0
1 0 0 0 0 0. DO 0.00
1 1 0 1 .DO O.DO
1 2 0 0 0 0. DO 0. DO
130 1 .DO O.DÜ
1 4 0 0 0 0 0
150 0 G 1
160 1 1
1 70 0 1
G' . O O 1 . O C O.DO
C.DO O.DO
Ü.DC O.DO 0 , 0 0 O.DO
O.DO O.DC O.DO
148
Dados de saída dos Problemas 1 e 2
P R O B L E M A A M O S T R A 1
O R O E M DE A P R O X I M A Ç Ã O « 6 N U M E R O D E R E G I Õ E S • 3
N U M E R O D E ' P A R I I C U L A S S E C U N D A R I A S • O . S C 0 0 0 0 0 C O * O C f O N I E S E X T E R K A S ' C . O O Ü O O O O O D • 0 0 E S P E S S U R A ( L C M ) « 0 . 2 5 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1
C O E F I C I E N T E S O t E X P A N S Ã O F I O ) f « N ) " 0 . 1 D 0 Ü 0 O 0 O 0 + C 1 0 . 3 33 3 3 3 3 3 0 * 0 0
R E G I Ã O 2 N U M E R O DE P A R T Í C U L A S S E C U N D A R I A S « 0 . 7 0 0 0 0 0 0 0 D * 0 0 / O N I E S E X I E R N A S ' 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 E S P E S S U R A ( L C M ) • 0 . 1 3 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 C O E F I C I E N T E S OE E X P A N S Ã O F Í O ) f í M -
C . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 0 . 6 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 2 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 2 8 5 7 1 4 2 9 0 - 0 1
R E G I A C 3 N U M E R O OE P A R T Í C U L A S S E C U N D A R I A S • 0 . 6 5 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 F O N T E S E X - T E R N A S s 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 E S P É S S U R A C t C M ) « 0 . 2 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 C O E F I C I E N T E S DE E X P A N S Ã O F ( 0 ) f ( N ) -
0 - 1 0 C 0 C 0 C 0 D * C 1 0 . 7 1 4 2 8 5 7 1 0 * 0 0 0 . 3 5 7 1 4 2 8 6 0 * 0 0 0 . 1 1 9 0 4 7 6 2 0 * 0 0 0 . 2 3 8 0 9 5 2 4 0 - 0 1 0 . 2 1 6 4 5 0 2 2 0 - 0 2
C O N D I Ç Ã O DE C C N T O R N O DA F A C E E S C U E R O A O E F L E T I O A • C . C D Ü O O D + O C D I F U S A •= 0 . 0 0 0 0 0 0 * 0 0
C O N D I Ç Õ E S DE C O N T O R N O - F A C E E S C U E R O A O O C . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 C . O O O O O O O l
, C O N D I Ç Ã O D f C O N T O R N O OA F A C E D I R E I T A ^ R E F L E T I D A • 0 . 0 0 0 0 0 0 * 0 0
; D I F U S A >= 0 . 0 0 0 0 0 0 * 0 0
C O N D I Ç Õ E S DE C C K T O R N C - F A C E D I R E I T A o o 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0
A U T O V A L O R E S »
C S K D » 0 . 1 1 1 7 5 1 8 4 0 1 6 5 7 6 4 0 * 0 1
A U T O V A L O R E S R E F I N A D C S
C S I < 1 > = 0 . 1 1 1 7 5 1 6 9 9 4 1 2 3 0 4 0 * 0 1 A U I O V A L O R E S »
C S K D » 0 . 1 5 9 2 0 1 6 9 6 5 7 8 9 0 7 0 * 0 1
A U T O V A L O R E S R E F I N A D O S
C S K D » 0 . 1 5 9 2 0 1 5 3 1 0 9 6 3 5 8 0 * 0 1 A U T O V A L O R E S »
C S K D » 0 . 2 5 8 8 0 7 1 8 0 5 7 3 8 4 7 0 * 0 1
A U T O V A L O R E S R E F I N A D O S
C S K D » 0 . 2 5 6 8 0 7 1 5 2 7 1 3 2 6 0 6 * 0 1
A L B E D O OA F A C E E S Q U E R D A " 0 . 1 0 4 2 4 5 4 2 8 0 * 0 0
F A T O R OE T R A N S M I S S Ã O D A F A C E D I R E I T A » 0 . 1 7 0 7 9 4 9 5 1 0 - 0 1
F L U X O T O T A L
R E G I Ã O 1
' Í ^ - O Q Q . 5 Ü 1 . C 0 1 . 5 0 J . C C F L U X O C X ) 0 . 1 2 0 3 3 0 9 0 0 * 0 1 0 . 5 5 8 8 2 1 0 3 0 * 0 0 0 . 3 1 7 3 3 9 9 7 0 * 0 0 0 . 1 8 8 8 4 29 3 0 * 0 0 0 . 1 1 5 1 6 2 9 5 0 * 0 0
R E G I Ã O 2
' ^ - 5 0 2 . 7 6 3 . 0 2 3 . 2 8 3 . 5 4 F L U X O I X ) 0 . 7 8 7 S 5 5 5 1 0 - 0 1 0 . 6 7 0 4 9 8 3 5 0 - O 1 0 . 5 7 1 2 6 3 8 0 0 - 0 1 0 . 4 8 7 6 8 6 5 2 0 - 0 1 C . 4 1 8 C 4 1 2 4 D -O 1
R E G I Ã O 3
' 3 . 8 0 4 . 3 0 4 . 8 0 5 . 3 0 5 80 F L U X O ( X ) 0 . 3 9 8 0 1 1 2 5 0 , 0 1 0 . 3 0 5 4 8 2 6 5 0 - Ü . 1 0 . 2 4 92 7 8 6 4 0 - 0 1 0 . 1 9 6 6 6 8 7 2 0 - 0 1 0 . 1 3 6 3 4 1 66 0 - 0 1
C O R R E N T E T O T A L
149
R E G I Ã O 1 « 0 . 0 0 C O R R E f i I E í x ) 0 . 4 6 5 5 9 8 2 0 0 * 0 0
R E G I Ã O 2 « 2 . 5 0 C O R R E N I E I X ) 0 , 3 7 3 2 0 4 2 9 0 - 0 1
• E G I A O 3 X 3 . 8 0 C O R R E t i T E Í X ) Q . 3 2 8 3 T 0 4 1 0 - 0 1
0 . 5 0 0 . 2 6 5 1 5 3 6 7 B . O O
2 . 7 6 0 . 3 1 6 4 5 5 5 0 0 - 0 1
4 . 3 0 0 . 1 3 5 5 9 0 2 2 0 - 0 1
1 . 0 0 0 . 1 5 9 0 7 6 3 4 0 . 0 0
3 . 0 2 0 . 2 6 8 1 3 5 8 5 0 - 0 1
4 . 8 0 0 . 1 1 4 8 0 9 7 0 0 - 0 1
1 . 5 0 0 , 9 7 5 4 7 6 6 4 0 - 0 1
3 , 2 8 0 , 2 2 6 9 3 1 7 9 0 - 0 1
5 , 3 0 0 , 9 8 1 0 3 1 2 4 0 - 0 2
2 . 0 0 0 . 6 0 1 6 3 1 4 4 D - Ü 1
3 . 5 4 0 . 1 9 1 6 9 5 4 3 0 - 0 1
5 . 8 0 . 0 . 8 5 3 9 6 5 0 5 0 - " '
P R O B L E M A A M O S T R A 2.
O R O E M O E A P R O X I M A Ç Ã O = 7
N U M E R O OE R E G I Õ E S •• 2
R E G I Ã O T N U M E R O O E P A R T Í C U L A S S E C U N D A R I A S ' 0 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0
f O N T E S E X T E R N A S = 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 E S P E S S U R A < L C M ) » 0 . 9 8 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 C O E f I C I E N T E S OE E X P A N S Ã O f í Q ) f < N ) -
0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1
R E G I Ã O 2 N U M E R O O E P A R T Í C U L A S S E C U N D A R I A S ' 0 . 9 5 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0
f O N I E S E X T E R N A S = 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1 E S P E S S U R A Í L C M ) » 0 . 3 5 0 0 0 0 0 0 0 * 0 1
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