Cálculo Numérico Unidade 1: Erros

Seção 1.2: Aritmética de Ponto Flutuante

Representação de Um Número Real

Você sabia que a representação de um número real no computador

pode ser feita de duas maneiras?

1. Ponto fixo

Seja 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 0, que será representado em ponto fixo por

𝑥 = ± 𝑥𝑖𝑏−𝑖

𝑛

𝑖=𝑘

Em que 𝑘, 𝑥𝑖 e 𝑛 são inteiros que satisfazem 𝑘 < 𝑛, 𝑘 ≤ 0, 𝑛 > 0 e 0 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏.

1. Ponto fixo

Exemplo: Representar (2886,15)10 em ponto fixo.

2886,15 = 𝑥𝑖𝑏−𝑖2

𝑖=−3

=2.103 + 8.102 + 8.101 + 6.100 + 1.10-1 + 5.10-2

2. Ponto Flutuante Um número real 𝑥 ≠ 0 pode ser representado em ponto flutuante por

𝑥 = ± 0, 𝑑1𝑑2…𝑑𝑡 × 𝑏𝐸

Em que:

𝑏: base

𝑡: número de dígitos na mantissa, 0 ≤ 𝑑𝑗 ≤ (𝑏 − 1), 𝑗 = 1,… , 𝑡

𝐸: expoente no intervalo [m, M].

Se 𝑑1 ≠ 0, diz-se que o sistema é NORMALIZADO.

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

• Esse sistema representa um número real em ponto flutuante normalizado na base b, com t dígitos significativos e com limites dos expoentes m e M.

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

• Um número em F(b, t, m, M) será representado por

±0, 𝑑1𝑑2…𝑑𝑡 × 𝑏

𝐸

Em que 𝑑1 ≠ 0 e 𝑚 ≤ 𝐸 ≤ 𝑀.

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

• Exemplo: Represente no sistema F(10, 3, -2, 2):

1. 0,65 = 0,650 100

2. 4,765 = 0,476 101 (vírgula se movimentou para a esquerda, sinal positivo no expoente da base).

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

• Exemplo: Represente no sistema F(10, 3, -2, 2):

3. 0,0145 = 0,14510-1 (vírgula se movimentou para a direita, sinal negativo no expoente da base).

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

• Exemplo: Represente no sistema F(10, 3, -2, 2):

4. 4321,6 = 0,432104 OVERFLOW

5. 0,0004 = 0,40010-3 UNDERFLOW

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

Exemplo: Considere o sistema F(2, 2, -1, 2). Quantos e quais os números representados por esse computador?

Cardinalidade(#) = 2 2 − 1 22−1 2 − −1 + 1 + 1

= 2.1.2.4 + 1

= 17 elementos

(8 números positivos, 8 negativos e o zero)

Quantidade

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

Exemplo: Considere o sistema F(2, 2, -1, 2). Quantos e quais os números representados por esse computador?

Os números são:

E o 0(zero), totalizando 17 números.

−0,10 × 2−1 0,10 × 2−1 −0,11 × 2−1 0,11 × 2−1

−0,10 × 20 0,10 × 20 −0,11 × 20 0,11 × 20

−0,10 × 21 0,10 × 21 −0,11 × 21 0,11 × 21

−0,10 × 22 0,10 × 22 −0,11 × 22 0,11 × 22

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

Exemplo: Considere o sistema F(2, 2, -1, 2). Quantos e quais os números representados por esse computador?

Convertendo para base 10, temos:

0,10 = 12-1 = ½

0,11 = 12-1 + 12-2 = ½ + ¼ = ¾

Representação de números no sistema F(b, t, m, M)

Exemplo: Considere o sistema F(2, 2, -1, 2). Quantos e quais os números representados por esse computador?

Com isso, os únicos números positivos representáveis nesse computador são:

Mantissa: ½ 2e e ¾ 2e, para e = 1, 0, 1, 2.

Então, os números que podem ser representados são: ¼, ½, 1, 2, 3/8, ¾, 3/2 e 3 e o número zero.

Exercícios INSTRUÇÕES

1. Os exercícios devem ser entregues, no máximo até: 17/03/2017 (ECA e Produção), 24/03/2017 (Elétrica).

2. Os exercícios devem ser entregues manuscritos, podendo colocar apenas o número da questão e a alternativa escolhida como CORRETA e UMA JUSTIFICATIVA dessa escolha.

3. Todas as folhas entregues devem conter: NOME, RA, SÉRIE, CURSO E DATA DE ENTREGA.

Exercício 1 Considere o sistema F(10, 3, -3, 3). Marque a alternativa cujo número não pode ser representado nesse sistema por OVERFLOW. Mostre os cálculos da alternativa escolhida.

a) -279,13

b) 1,25

c) 0,000056

d) 1234,45

e) 19,23456

Exercício 2 Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por base 2, 3 dígitos na mantissa (t=3) e expoentes no intervalo [-1, 2]. Encontre a cardinalidade, ou seja, quantos números são representados por esse computador.

a) 33 b) 10 c) 23 d) 21 e) 41

Exercício 3

Quais são o maior e o menor elementos positivos do sistema do Exercício 2?

Exercício 4

Quais números podemos representar no sistema do exercício 2?

Exercício 5 Sejam os seguintes números em base 10: 0,38; 5,3 e 0,15. Quais deles podem ser representados no sistema do exercício 2? Justifique sua resposta. a) Todos b) Apenas 0,38 c) 0,38 e 5,3 d) 0,15 e 5,3 e) Apenas 0,15