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Método dos Elementos Finitos
SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO
1
Formulação pela Teoria da Elasticidade
Elementos de Barra
Prof Moniz de Aragão
Introdução do Método dos Elementos Finitos
Formulação pela Teoria da Elasticidade
...,,, 2211 yxNuyxNuyxu
...,,, 2211 yxNvyxNvyxv
2
2
1
1
21
21
00
00
v
u
v
u
NN
NN
v
u uN
Campo dos
deslocamentos:
deslocamentos nodais
funções de interpolação
Introdução do Método dos Elementos Finitos
Formulação pela Teoria da Elasticidade
v
u
xy
y
x
0
0
x
v
y
u
y
vx
u
xy
y
x
uNL
Deformações no plano:
operador diferencial aplicado
às funções de interpolação
B
Introdução do Método dos Elementos Finitos
Formulação pela Teoria da Elasticidade
D
xy
y
x
uBD Tensões no plano:
matriz constitutiva do
material
Estado plano de
deformações (EPD):
Estado plano de tensões (EPT):
Introdução do Método dos Elementos Finitos
Formulação pela Teoria da Elasticidade
Princípio dos Trabalhos Virtuais:
= campo de deslocamentos virtuais
= campo de deformações virtuais
Wext = Wintforças distribuídas
no contornoforças de volume
+
Introdução do Método dos Elementos Finitos
Formulação pela Teoria da Elasticidade
Considerando como trabalho externo apenas o das forças nodais, tem-se:
Wvirtual = Wint – Wext =0
0 Fu dVt
V
t
uBD
uB
0 FudV uBDBut
V
tt
Introdução do Método dos Elementos Finitos
Formulação pela Teoria da Elasticidade
0
FdV uBDBu
V
tt
0
FdV uBDB
V
t
FudV BDB
V
t
K Fu K
Fo
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De
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Matriz
de
Rigidez
Formulação pela Teoria da ElasticidadeElementos de Barra
0
AxAdx
dx
xdx x
xx
Elemento de barra uniaxial:
0 A
dx
xd x 0
dx
xdEA x
02
dx
xudEA x
PAx
PAx
Lxx
xx
0
Ref:
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Formulação pela Teoria da ElasticidadeElementos de barra
xNuxNuxu 2211 Elemento de barra uniaxial:
L
xxN 11
L
xxN 2
dx
dL
dx
dux
111
11
LL
x
dx
d
L
x
dx
d
LN LB
Formulação pela Teoria da ElasticidadeElementos de barra
Elemento de barra uniaxial:
LV
T Adx E L
dV B D BK 111
112
11
1111
1
12 L
EAdx
L
EA
L
11
11
L
EAK
Formulação pela Teoria da ElasticidadeElementos de barra
Elemento de Viga:
34
2321 xaxaxaau Elemento cúbico:
4
3
2
1
321
a
a
a
a
xxxu
4
3
2
1
2
32
2
32
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2/
2/|,
2/
4
3
2
1
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8/4/2/1
4/310
8/4/2/1
a
a
a
a
u
u
u
u
u
u
u
u
xx
x
xx
x
Formulação pela Teoria da ElasticidadeElementos de barra
Elemento de Viga:
32
1 231
L
x
L
xN
2
32
2 2L
x
L
xxN
32
3 23
L
x
L
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2
32
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L
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1
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2
32
32
4/310
8/4/2/1
4/310
8/4/2/1
1
u
u
u
u
xxxu
-1
Formulação pela Teoria da ElasticidadeElementos de barra
Elemento de Viga:
,dx
dyL
dx
vdyx
2
2
2
2
Formulação pela Teoria da ElasticidadeElementos de barra
Elemento de Viga:
2
42
2
32
2
22
2
12
dx
Nd
dx
Nd
dx
Nd
dx
NdyNLB
232222
6212664126
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LL
x
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22
22
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4626
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2646
612612
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LL
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LL
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