Seleção de estrutura ótima de controle usando o método

Branch and Bound bidirecionalDisciplina de Otimização

Aluno: Cristhian A. C. Cortez

Motivação

Problema combinatorial

Critério formal para o pareamento entre controladas e manipuladas

!!.

!

nnm

mN

Função de perda Valor de z

Função de perda

ndGJJGGJz dduuuuu *1*12/1* ..

~ ~1

min

TT TL H G HYY H H G

* 1 *uu du d d eY GJ J G W W

~* 1/2uuG GJ

optJJdL )(

Seja função de perda

Expandindo a função J

Função de perda

)()(

2

1

)(),(),(

* duuJduu

duuJdduJduJ

opt

T

uuT

opt

optTuopt

2

2

*

2

1..

2

1, zeJeduL u

T

uuTu

Branch and Bound Bidirecional – Estrutura da árvore de busca

Árvore descendente Elementos fixos Retirada de elementos

Árvore ascendente Elementos fixos Inserção de elementos

Branch and Bound Bidirecional

Poda rápida Matrizes hermitianas

Ordenamento dos autovalores

T

 bA

b a

1 1 1 1...p p p p A  A A Â

Branch and Bound Bidirecional Poda rápida - descendente

...

1 11f f f fM F M F i

min

0.5( )fM F

B

0.5det ( ) 0f fM F I

B

Sendo

Complemento de Schur

1

0.5det ( )

0.5 0.5det ( )

f f

i f f

M F i IB

M F IB B

0.5

0.5

f f i

T T Ti i i

M F I DdP Z BEK S

d D d dB

1det det .detE P S KP Z

0.5 0.5mini

f

M F ifB B

L F i B

1

0.5T Ti i i i f f id d d D M F I Dd

B

Branch and Bound Bidirecional Poda rápida - ascendente

Seja

Inversão de Banachiewicz

Complemento de Schur

1 1\nu f c nu f cM F C i M F C 1

1 \ \ \

\

T TY Y Y YiS i S i S iT S S SY YS S T TS S Y Y Y Yi i iS iS

1

1

1\ 1

\

0

0 0

11

1

S S

S

S

TS S

TS i i T

i S ii

QY Y

Q Y YY Y Q

~ ~1

~ ~1

\ \ \

S S S S

S S

T Ts S S S S

T TT i i i iS i S i s

i i

N S G Y Y G

x x x xG Q G N S i

0.5det \

0.5det

0.5det

N S i Is nuB

Tx xi iN S Is nuB i

N S Is nu iB

1

0.51 T i

i i s nui

xx N S I

B

0.50 det \ 0i s nuN S i I

B

min

0.50 \

\

i s

S

N S iB

L S i B

Algoritmo e Ramificação

Ramificação no sentido que possui o maior número de nós

Ascendente Seleção do nó com maior ou

menor

Descendente Seleção do nó com menor ou

maior

ii

ii

Estudo de Caso UPGN

Número de combinações possíveis 31824

Ponto ótimo de operação Otimização utilizando SQP nativa

do PRO-II Função objetivo

Sujeito às seguintes restrições

01 02 03 lg 01T T gas T n F gasJ m m P m P m P

_ 5496.91 /gás ricoQ lb mol h

_ 01 _ 02 1000 /óleo absT óleo absTQ Q lb mol h

FraçãoC2LGN 0.04FraçãoC3GasProdutoT01 0.003FraçãoC3GasProdutoT02 0.03

Estudo de Caso Pré-seleção das variáveis

controladas

Perturbações selecionadas

Manipuladas disponíveis

Candidatas Y1 Fração de C3 no topo da T-01 Y2 Fração de C3 no topo da T-02 Y3 Fração de C2 no destilado da T-03 Y4 Fração de óleo de absorção no topo da T-03 Y5 Fração de C5 no fundo da T-03 Y6 Fração de C2 no fundo da T-02 Y7 Fração de C2 no fundo da T-01 Y8 Temperatura de entrada de carga na T-01 Y9 Temperatura de entrada de carga fria na T-02 Y10 Temperatura de entrada da carga vaporizada

na T-02 Y11 Temperatura de entrada de carga na T-03 Y12 Temperatura de topo da T-01 Y13 Temperatura de topo da T-02 Y14 Temperatura de topo da T-03 Y15 Temperatura do prato sensível da T-02 Y16 Temperatura de fundo do T-03 Y17 Temperatura do óleo de absorção após o P-

02 Y18 Temperatura do óleo de absorção na entrada

da T-01

Manipuladas Estado U1 Vazão de óleo de absorção

da T-01 Estático

U2 Vazão de óleo de absorção da T-02

Estático

U3 Vazão de refluxo da T-03 Estático U4 Vazão de carga fria para a

T-02 Estático *

U5 Vazão de carga quente para a T-02

Estático *

U6 Vazão de óleo pelo refervedor de fundo da T-02 (P-03)

Estático

U7 Vazão de óleo pelo pré-aquecedor de carga da T-03

Estático

U8 Carga térmica forno F-01 Estático U9 Vazão de fundo da T-01 Dinâmico

(controle de nível)

U10 Vazão de fundo da T-02 Dinâmico (controle de nível)

U11 Vazão de fundo do V-03 Dinâmico (controle de nível)

U12 Vazão de retirada do V-05 Dinâmico (controle de nível)

U13 Vazão de retirada de fundo V-02

Dinâmico (controle de nível)

P1 Vazão de carga da

unidade P2 Fração de propano na

carga da unidade

Estudo de Caso Cálculo da matriz de ganhos em relação às variáveis

manipuladas

Cálculo da matriz de ganhos em relação às perturbações

Cálculo das derivadas nas proximidades do ponto ótimo

Perturbações selecionadas

Aplicação no algoritmo branch and bound bidirecional Pareamento resultante entre

controladas e manipuladas

Aparecimento de relações utilizadas pela operação da unidade Fração de etano topo da T-03 x Óleo de

absorção da T-02 Relações esperadas

Refervedor de fundo T-03 x Fração de óleo de absorção no LGN

Temperatura de topo T-03 x Carga térmica do forno

*d

cG

d d

*

cG

u u

*,

i j

J u u u u J u u J u u Ji i j j i i j jJu u

u ui j

Pareamento Manipuladas Controladas 1 U1 Y2 2 U2 Y3 3 U3 Y4 4 U4 Y5 5 U6 Y6 6 U7 Y9 7 U8 Y14

Questões