Seminário Individual de Matemática - Vestibular 2011

Natal, 04 de abril de 2011

Ciências da Natureza, Matemática e suas

Tecnologias - MATEMÁTICA

A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) é um projeto realizado

com alunos do Ensino Básico que tem como objetivo estimular o estudo da Matemática por

meio de resoluções de problemas motivantes, que despertem o interesse e a curiosidade de

professores e alunos.

O Quadro abaixo apresenta dados da OBMEP referentes aos anos em que o Programa está

em vigor.

Admitindo que, para a aplicação das provas, cada escola utilize 20 pessoas como pessoal de

apoio e que a população do Brasil seja de aproximadamente 192.870.418 pessoas, pode-se

afirmar que, em 2009, o número de

A) alunos, somado ao de pessoal de apoio, foi superior a 10% da população brasileira.

B) alunos, somado ao de pessoal de apoio, foi inferior a 10% da população brasileira.

C) escolas participantes foi 10% maior que em 2008.

D) alunos participantes foi 10% maior que em 2008.

(%) de respostas na alternativa:

NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

37

A

A 48,6

B 29,4

C 9,6

D 12,3

DUPLAS OU BRANCAS 0,0

ÍNDICE DE ACERTO (%) 48,6

Em um experimento, uma aranha é colocada dentro de uma caixa, sem tampa, em um ponto A

e estimulada a caminhar até o ponto B, onde se encontra um alimento. O seu trajeto, sempre

em linha reta, é feito pelas paredes e pelo piso da caixa, passando pelos pontos P e Q,

conforme ilustra a Figura 1. A Figura 2 mostra a mesma caixa recortada e colada sobre uma

mesa.

De acordo com a Figura 2, onde AB é um segmento de reta, pode-se afirmar que a trajetória

A) utilizada pela aranha é a menor possível.

B) correspondente ao segmento AB é a menor possível.

C) utilizada pela aranha é a maior possível.

D) correspondente ao segmento AB é maior que a utilizada pela aranha.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

38

B

A 12,8

B 52,0

C 18,0

D 17,1



José, professor de Matemática do Ensino Médio, mantém um banco de dados com as notas

dos seus alunos. Após a avaliação do 1º bimestre, construiu as Tabelas abaixo, referentes à

distribuição das notas obtidas pelas turmas A e B do 1º ano.

Ao calcular a média das notas de cada turma, para motivar, José decidiu sortear um livro entre

os alunos da turma que obteve a maior média.

A média da turma que teve o aluno sorteado foi

A) 63,0. B) 59,5. C) 64,5. D) 58,0.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

39

A

A 41,7

B 16,5

C 30,8

D 10,9



Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre uma mesa

um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com dimensões

medindo 20cm x 30cm x 40cm. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões

40cm x 20cm, o nível da água ficou a 25cm de altura.

Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20cm x 30cm, a altura da

água, mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente,

A) 16cm. C) 33cm.

B) 17cm. D) 35cm.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

40

C

A 16,4

B 24,8

C 35,5

D 23,1



A presença de nitrogênio sob a forma de nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e

deixa a água imprópria para o consumo humano, ou seja, não potável. Uma Portaria do

Ministério da Saúde limita a concentração de nitrato em, no máximo, 10 mg/L. Quando essa

concentração ultrapassa tal valor, uma maneira de reduzi-la é adicionar água limpa, livre de

nitrato. Uma análise feita na água de um reservatório de 12.000L constatou a presença de

nitrato na concentração de 15mg/L.

Com base em tais informações, a quantidade mínima de litros de água limpa que se deve

acrescentar para que o reservatório volte aos padrões normais de potabilidade é

A) 6.000L. C) 12.000L.

B) 4.000L. D) 18.000L.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

41

A

A 47,9

B 23,8

C 12,9

D 15,3



A Figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 são

paralelas entre si.

Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até à posição B.

Se a escala de representação for de 1:50.000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer

será de, aproximadamente,

A) 1.333.

B) 750.

C) 945.

D) 3.000.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

42

A

A 34,1

B 28,6

C 19,2

D 17,9



Para se tratar de uma doença, Dona Cacilda toma, por dia, os remédios A e B. Esses

medicamentos são vendidos em caixas de 30 e 28 comprimidos, respectivamente. O

medicamento A é ingerido de oito em oito horas e o B, de doze em doze horas.

Ela comprou uma quantidade de caixas de modo que os dois tipos de comprimidos acabassem

na mesma data e iniciou o tratamento às 7 horas da manhã do dia 15 de abril, tomando um

comprimido de cada caixa.

A quantidade de caixas dos remédios A e B que Dona Cacilda comprou foi, respectivamente,

A) 5 e 5.

B) 5 e 7.

C) 7 e 5.

D) 7 e 7.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

43

C

A 7,6

B 27,7

C 57,8

D 6,8



Na construção de antenas parabólicas, os fabricantes utilizam uma curva, construída a partir

de pontos dados, cujo modelo é uma parábola, conforme a Figura abaixo.

Uma fábrica, para construir essas antenas, utilizou como modelo a curva que passa pelos

pontos de coordenadas (00), (4,1), (-4,1).

Outro ponto que também pertence a essa curva tem coordenadas


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

44

B

A 16,2

B 28,0

C 29,4

D 26,2



A Figura 1 abaixo representa o Globo Terrestre. Na Figura 2, temos um arco AB sobre um

meridiano e um arco BC sobre um paralelo, em que AB e BC têm o mesmo comprimento. O

comprimento de AB equivale a um oitavo (1/8) do comprimento do meridiano.

Sabendo que o raio do paralelo mede a metade do raio da Terra e assumindo que a Terra é

uma esfera, pode-se afirmar que o comprimento do arco BC equivale a

A) metade do comprimento do paralelo.

B) um quarto do comprimento do paralelo.

C) um terço do comprimento do paralelo.

D) um oitavo do comprimento do paralelo.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

45

D

A 12,1

B 41,6

C 18,8

D 27,3



Os modelos matemáticos que representam os crescimentos populacionais, em função do

tempo, de duas famílias de microorganismos, B1 e B2, são expressos, respectivamente, por

meio das funções para t >= 0

Com base nestas informações, é correto afirmar que,

A) após o instante t = 2, o crescimento populacional de B1 é maior que o de B2.

B) após o instante t = 2, o crescimento populacional de B1 é menor que o de B2.

C) Quando t varia de 2 a 4, o crescimento populacional de B1 aumenta 10% e o de B2

aumenta 90%.

D) Quando t varia de 4 a 6, o crescimento populacional de B1 cresce 20 vezes menos que o de

B2.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

46

B

A 18,2

B 33,5

C 24,5

D 23,7



Um empresário contribui financeiramente para uma instituição filantrópica e a visita

semanalmente, sendo o dia da semana escolhido aleatoriamente.

Em duas semanas consecutivas, a probabilidade de a visita ocorrer no mesmo dia da semana é :

A) três vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.

B) um terço da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.

C) seis vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.

D) um sexto da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

47

D

A 15,9

B 23,2

C 20,7

D 40,0



A Figura abaixo representa uma torre de altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos

L1 e L2, fixados nos pontos C e D, respectivamente.

Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a medição das distâncias entre esses pontos.

Apenas com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro calculou

a quantidade de cabo (L1+ L2) que usou para fixar a torre.

O valor encontrado, usando

A) 54,6m.

B) 44,8m.

C) 62,5m.

D) 48,6m.


NÚMERO DA QUESTÃO

ALTERNATIVA CORRETA

48

A

A 38,1

B 24,1

C 21,2

D 16,4



(%) de

respostas na

alternativa:

NÚMERO DA QUESTÃO ALTERNATIVA CORRETA

37

A

38

B

39

A

40

C

41

A

42

A

43

C

44

B

45

D

46

B

47

D

48

A

A 48,6 12,8 41,7 16,4 47,9 34,1 7,6 16,2 12,1 18,2 15,9 38,1

B 29,4 52,0 16,5 24,8 23,8 28,6 27,7 28,0 41,6 33,5 23,2 24,1

C 9,6 18,0 30,8 35,5 12,9 19,2 57,8 29,4 18,8 24,5 20,7 21,2

D 12,3 17,1 10,9 23,1 15,3 17,9 6,8 26,2 27,3 23,7 40,0 16,4

DUPLAS OU

BRANCAS 0,0 0,0 0,0 0,1 0,0 0,0 0,1 0,1 0,0 0,0 0,1 0,0

ÍNDICE DE

ACERTO (%) 48,6 52,0 41,7 35,5 47,9 34,1 57,8 28,0 27,3 33,5 40,0 38,1

PROVA DISCURSIVA DE MATEMÁTICA

Matilda saiu de casa para fazer compras. Passou em um supermercado e numa

farmácia, gastando um total de R$ 110,00.

Se suas despesas no supermercado foram superiores às despesas na farmácia

em R$ 94,00, quanto ela gastou em cada estabelecimento?

QUESTÃO 01 – O QUE ESPERAR?

COMPETÊNCIA: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas

ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

HABILIDADE/SUB-HABILIDADE: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva

conhecimentos algébricos.

CONTEÚDO CONCEITUAL: Sistemas lineares.

QUESTÃO 01 - EXPECTATIVA DE

RESPOSTA

SOLUÇÃO 01

Sejam x o valor gasto no supermercado e y o valor gasto na farmácia. Assim, x

+ y = 110. Como a despesa no supermercado superou em R$94,00, a despesa

na farmácia, então x = y + 94 ou x – y = 94.

Portanto, Matilda gastou R$ 102,00 no supermercado e R$ 8,00 na farmácia.


RESPOSTA

SOLUÇÃO 02

Construção de uma tabela em que uma das condições é fixada.

Fixando a soma R$110,00:

Portanto, as despesas foram de R$ 102,00 no supermercado e de R$ 8,00 na farmácia.

Fixando a diferença R$ 94,00:


Supermercado 90,00 100,00 102,00

Farmácia 20,00 10,00 8,00

Diferença 70,00 90,00 94,00

Farmácia 10,00 9,00 8,00

+94,00 94,00 94,00 94,00

Supermercado 104,00 103,00 102,00

Farmácia + Supermercado 114,00 112,00 110,00


RESPOSTA

SOLUÇÃO 03

110 – 94 = 16 e 16/2 =8.

94 + 8 = 102 ou 110 – 8 = 102.



RESPOSTA

SOLUÇÃO 04

110 + 94 = 204 e 204/2 = 102.

110 – 102 = 8 ou 102 + 8 = 110.



RESPOSTA

SOLUÇÃO 05

Seja x o gasto na farmácia e x + 94 o gasto no supermercado.

x + x + 94 = 110.

2x = 16 e x = 8.

8 + 94 = 102.


VESTIBULAR 2011 - CORREÇÃO EFETIVA - MATEMÁTICA

NOTA NA QUESTÃO 1

Nota

De

nsid

ad

e

Média = 5.09

D. Padrão = 4.63

Mínimo = 0

Máximo = 10

Provas = 7717

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

36.7 % ( 2832 )

1.9 % ( 148 )

9 % ( 691 )

0.6 % ( 50 )1.5 % ( 112 )

0.5 % ( 38 )

1.9 % ( 146 )

0.7 % ( 51 )

1.8 % ( 140 )

4 % ( 308 )

41.5 % ( 3201 )

A análise do gráfico deverá ser

feita da seguinte forma:

Para a primeira barra, o valor

acumulado é a nota 0. A

segunda barra o valor

acumulado é a nota 1, e assim

sucessivamente para o eixo X.

NÚMERO DA QUESTÃO - -> QUESTÃO 01

Nº de candidatos (%)

Nota: 0,00 (zero) 2862 36,4

Nota: 0,01 - 0,25 900 11,4

Nota: 0,26 - 0,50 230 2,9

Nota: 0,51 - 0,75 231 2,9

Nota: 0,76-1,0 3648 46,3

NOTA MÉDIA 0,51

QUESTÃO 02 - PERGUNTA

Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes

massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada

cidade litorânea , a altura da maré é dada pela função ,

onde t é medido em horas a partir da meia noite.

Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto,

precisa conhecer o movimento das marés.

Desse modo,

A) qual a altura máxima atingida pela maré?

B) em quais horários isto ocorre no período de um dia?


COMPETÊNCIA: Utilizar noções de variação de grandezas para a

compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

HABILIDADE/SUB-HABILIDADE: Interpretar informações envolvendo a variação

de grandezas.

SUB-HABILIDADE: Calcular máximo e mínimo de função trigonométrica.

CONTEÚDO CONCEITUAL: Funções trigonométricas.


RESPOSTA


NOTA NA QUESTÃO 2

Nota

De

nsid

ad

e

Média = 1.93

D. Padrão = 3.24

Mínimo = 0

Máximo = 10

Provas = 7717

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6 59.3 % ( 4578 )

12.1 % ( 935 )

3.6 % ( 279 )

1.8 % ( 137 ) 1.7 % ( 129 )2.9 % ( 220 )

4.7 % ( 365 )

2.2 % ( 173 ) 2 % ( 152 ) 1.9 % ( 146 )

7.8 % ( 603 )










Nota: 0,00 (zero) 4606 58,5

Nota: 0,01 - 0,25 1303 16,6

Nota: 0,26 - 0,50 485 6,2

Nota: 0,51 - 0,75 641 8,1

Nota: 0,76-1,0 836 10,6

NOTA MÉDIA 0,20


Uma família é composta por cinco pessoas: os pais, duas meninas e um

menino. No aniversário de casamento dos pais, uma foto foi “tirada” com os

filhos em pé e os pais sentados à frente dos filhos.

Mantendo-se os pais à frente dos filhos,

A) qual a quantidade máxima de fotos diferentes que podem ser tiradas,

com relação à ordem de localização das pessoas na foto?

B) dentre as diferentes fotos obtidas, qual a probabilidade do pai estar à

esquerda da mãe e o menino ficar entre as duas meninas?


COMPETÊNCIA: Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos

naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para o cálculo de probabilidade e

interpretação de informações.

HABILIDADE/SUB-HABILIDADE: Interpretar propostas de intervenção na realidade

utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.

CONTEÚDO CONCEITUAL: Principio de contagem e probabilidade.


RESPOSTA

A) Para a posição dos pais temos 2 possibilidades.

Para os filhos temos possibilidades. 6 !3

Logo, pelo princípio fundamental da contagem, teremos: 2x6=12 posições

diferentes para a foto.

B) Das 12 posições possíveis, em seis o pai está à esquerda da mãe.

Dessas posições, em apenas duas o filho está entre as meninas.


NOTA NA QUESTÃO 3

Nota

De

nsid

ad

e

Média = 4.04

D. Padrão = 4.04

Mínimo = 0

Máximo = 10

Provas = 7717

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

39.2 % ( 3028 )

6 % ( 465 )

4.6 % ( 356 )

1.3 % ( 102 )

3.4 % ( 266 )

1.4 % ( 107 )

7.5 % ( 580 )

5 % ( 384 )

10.8 % ( 834 )

5.1 % ( 397 )

15.5 % ( 1198 )










Nota: 0,00 (zero) 3059 38,9

Nota: 0,01 - 0,25 878 11,2

Nota: 0,26 - 0,50 485 6,2

Nota: 0,51 - 0,75 1121 14,2

Nota: 0,76-1,0 2328 29,6

NOTA MÉDIA 0,40


Para comemorar o aniversário de independência, o Governo da Guiana

comprou um lote de bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1

representa a bandeira e a Figura 2, as características geométricas desta.


COMPETÊNCIA: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a

representação da realidade e agir sobre ela.

HABILIDADE/SUB-HABILIDADE: Resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de comprimento e área de figuras planas.

CONTEÚDO CONCEITUAL: Comprimento e área de figuras planas.


RESPOSTA


RESPOSTA


RESPOSTA


NOTA NA QUESTÃO 4

Nota

De

nsid

ad

e

Média = 1.21

D. Padrão = 2.37

Mínimo = 0

Máximo = 10

Provas = 7717

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

55.7 % ( 4299 )

25.2 % ( 1945 )

4 % ( 312 )3.3 % ( 254 )

2 % ( 156 )1.2 % ( 93 ) 0.8 % ( 63 ) 1.1 % ( 84 )

2 % ( 157 )2.9 % ( 220 )

1.7 % ( 134 )










Nota: 0,00 (zero) 4361 55,4

Nota: 0,01 - 0,25 2400 30,5

Nota: 0,26 - 0,50 436 5,5

Nota: 0,51 - 0,75 198 2,5

Nota: 0,76-1,0 476 6,0

NOTA MÉDIA 0,12

PROVA DISCURSIVA DE MATEMÁTICA

Desempenho Geral

NÚMERO DA

QUESTÃO - ->

QUESTÃO 01 QUESTÃO 02 QUESTÃO 03 QUESTÃO 04

Nº de

candidatos (%)

Nº de

candidatos (%)

Nº de

candidatos (%)

Nº de

candidatos (%)

Nota: 0,00 (zero) 2862 36,4 4606 58,5 3059 38,9 4361 55,4

Nota: 0,01 - 0,25 900 11,4 1303 16,6 878 11,2 2400 30,5

Nota: 0,26 - 0,50 230 2,9 485 6,2 485 6,2 436 5,5

Nota: 0,51 - 0,75 231 2,9 641 8,1 1121 14,2 198 2,5

Nota: 0,76-1,0 3648 46,3 836 10,6 2328 29,6 476 6,0

NOTA MÉDIA 0,51 0,20 0,40 0,12

Nota média na prova (por item): 0,31

Nota média na prova (total):1,23

Total de candidatos: 7.871


NOTA NA PROVA

Nota

Nú

me

ro d

e c

an

did

ato

s

Média = 1.23

D. Padrão = 1.11

Mínimo = 0

Máximo = 4

Provas = 7717

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

05

00

10

00

15

00

A análise do gráfico deverá

ser feita da seguinte forma:

Para a primeira barra, o

valor acumulado é a nota 0.

A segunda barra o valor

acumulado é a nota 0,5, e

assim sucessivamente para

o eixo X.

Arquivo disponível no sítio da COMPERVE:

www.comperve.ufrn.br

Observatório da Vida do Estudante Universitário:

www.comperve.ufrn.br/conteudo/observatorio

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