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Os docentes de Matemática têm vindo a estudar as alterações do Programa Nacional em vigor até agora, relativamen-te ao novo Programa de Matemática do Ensino Básico e a elaborar várias tarefas matemáticas. Numa O!cina de For-mação de Formadores (Álgebra) para o Novo Programa de Matemática do Ensino Básico, elaborou-se uma tarefa, por quatro professores diferentes, para uma aula, de duração de "# minutos, do $o ano de escolaridade, conforme o tema

«Sequências e Regularidades», tendo sido aplicada em contexto de sala de aula em quatro turmas diferentes, duas do novo programa e duas do programa em vigor na altura. Apresenta-se a tarefa e analisam-se as respostas dos alunos, apre-sentando-se as conclusões da sua aplicação. Com base na perspectiva de Orton e Orton (%""") de que a exploração de padrões ajuda os alunos a desenvolver as suas capacidades de raciocínio algébrico, abordamos o ensino e aprendizagem da Álgebra partindo da procura e iden-ti!cação de padrões pela tarefa «Construir rectângulos».

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Ao longo dos três ciclos do Ensino Básico, o Programa de Matemática estrutura- se em quatro grandes temas: Números e operações, Álgebra, Geometria e Organização e tratamento de dados, para além das Capacidades transversais: Reso-

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES: UMA TAREFA PARA A SALA DE AULA

Patrícia Alexandra da Silva Ribeiro SampaioEscola Profissional de Fermil, Celorico de Bastopatisampaio@gmail.com

R!"#$%.—A Álgebra é um dos temas fundamentais ao longo dos três ciclos do Ensino Básico, tendo merecido especial atenção nas sucessivas reformulações do Programa de Matemática. No âmbito da O!cina de Formação de Formadores para o novo Programa de Matemática do Ensino Básico, &o ciclo (Álgebra), durante os meses de Novembro e Dezembro de '##", elaborou-se uma tarefa para uma aula de "# minutos, para o $o ano de esco-laridade segundo o tema «Sequências e Regularidades», a qual foi aplicada em contexto de sala de aula. Esta tarefa foi concebida por quatro docentes de Matemática e aplicada em quatro turmas diferentes, duas do novo programa e duas do programa em vigor na altura. Elaborou-se uma tarefa denominada «Construir rectângu-los»{%} dividida em duas partes: uma relativa ao cálculo das áreas dos rectângulos e outra relativa ao cálculo dos perímetros, com diferentes níveis de complexidade. Fez-se uma análise qualitativa e interpretativa da resolução da tarefa por estes alunos, procurando compreender: os tipos e os processos de raciocínio matemático usados; como é que esta tarefa pode servir de suporte à aprendizagem de métodos formais algébricos. Veri!cou- se que apesar de os alunos conseguirem formular conjecturas, por vezes, com facilidade, não sentem necessidade de as testar ou justi!car; evidenciam di!culdades na tradução entre a linguagem natural e a linguagem algébrica. Sa-lienta-se ainda a importância do papel do professor aquando da comparação de diferentes raciocínios obtidos pelos alunos, de forma a orientá-los a não fornecer respostas pouco re(exivas, fazendo-os compreender que há distintas formas de pensar sobre uma mesma situação.

P)*)+,)--./)+0.—Pensamento algébrico, Sequências e regularidades.

{%} Tarefa elaborada e aplicada por Berta Alves, Eduarda Pereira, Patrícia Sampaio e Raúl Gonçalves.

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lução de problemas, Raciocínio matemático e Comunicação matemática. A Álgebra como grande tema deste Programa só surge de forma independente nos 'o e &o ciclos. No entanto, são vários os aspectos de carácter algébrico que são tra-balhados logo no %o ciclo. Segundo Ponte et al ('##$, p. $), «as ideias algébricas aparecem logo no %o ciclo no trabalho com sequências, ao estabelecerem-se relações entre números e entre números e operações, e ainda no estudo de proprie-dades geométricas como a simetria». O estudo da Álgebra pode ter o seu início, simplesmente, pelo estudo de padrões desde muito cedo. Através da comunicação na sala de aula, usando as suas próprias palavras/simbologias, de um modo intuitivo, os alunos devem ser estimulados para desenvolverem o pensamento algébrico. O termo Álgebra surge com o trabalho Al-Jabr wa-al-Muqabilah de al- Khwarizmi (século IX), matemático nascido na Pérsia. A palavra Álgebra derivou da palavra Al-jabr que signi!ca reunião, conexão ou complementação. No século XII, Robert de Chester traduziu o título árabe para o latim, como Liber Algebrae et almucabala. No século XVI, entra-se na era da Álgebra simbólica com François Viète, que é con!gurada na forma actual por René Descartes (século XVII) (Struik, %""$ [%"12]). Para Ponte, Branco e Matos ('##", p. %#-%%), «o pensamento algébrico incluiu três vertentes: representar, raciocinar e resolver problemas». Estamos perante a vertente da representação quando se traduz informação representada simbo-licamente para outras formas de representação, isto é, se utilizam diferentes sistemas de representação. Já passamos para a vertente do raciocínio quando se relacionam e analisam propriedades, efectuando generalizações e deduções. Por !m, a vertente da resolução de problemas abarca o uso de diversas representações algébricas (equações, inequações, funções ...) na interpretação e resolução de problemas, modelando situações. Para Ponte, Branco e Matos ('##", p. %&), «símbo-los, expressões algébricas, equações, sistemas, inequações e funções continuam a ter um papel central no currículo da Álgebra escolar», mas «os alunos precisam de entender os conceitos algébricos, as estruturas e princípios que regem as manipulações simbólicas e como estes símbolos podem ser utilizados para traduzir ideias matemáticas» (Vale, Palhares, Cabrita & Borralho, '##3, p. %"&).

T-#+2-: «C$!."#&/# R+1"3!*&)$.»

A tarefa foi elaborada no âmbito do tema «Sequências e Regularidades», para o $o ano de escolaridade, visando os tó-picos: «Termo geral de uma sequência numérica», «Representação» e «Expressões Algébricas». Foi pensada como uma tarefa introdutória ao tema, com o intutito de entranhar algumas noções destes tópicos. Inicialmente a tarefa apre-senta uma sequência de três rectângulos com alguns dados (!gura %), dividindo-se posteriormente em duas explorações: a das áreas dos rectângulos e a dos perímetros. Apresenta como propósito principal de ensino (Ponte et al, '##$, pp. 44):

«Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébricos, bem como a capacidade de interpretar, representar e resolver problemas usando procedimentos algébricos e de utilizar estes conhecimentos e capacidades na exploração e modelação de situações em contextos diversos.»

F567,) %.—Excerto da tarefa»Construir Rectângulos».

Esta tarefa foi aplicada por professores/investigadores de Matemática que observaram o seu emprego em quatro turmas de agrupamentos diferentes (Famalicão, Felgueiras, Guimarães e Valongo), duas já com o Novo Programa da Matemá-tica e duas com o Programa ainda em vigor (tabela %), não tendo considerado relevante esta diferença visto que o Novo Programa só tinha sido introduzido há pouco mais de dois meses. A aplicação da tarefa foi numa aula de "# minutos do $o ano de escolaridade.

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T)80*) %.—Pequena descrição das turmas.

A tarefa foi dividida em cinco segmentos, um destinado à organização física da mesma pela composição e disposição dos grupos de trabalho, dois momentos de realização da tarefa em grupo e dois momentos de discussão no grupo turma so-bre as re(exões obtidas em cada grupo. Efectuou-se uma previsão de cerca de '# minutos para a primeira parte da tarefa, sobre a exploração da área dos rectângulos (!gura '), resolvida em grupo pelos alunos e com a orientação do professor quando solicitado. Esperava-se que os alunos conseguissem realizar a tarefa com sucesso e com relativa facilidade. No momento de síntese relativa à primeira parte da tarefa salienta-se o papel fundamental do professor que deve aproveitar o trabalho realizado nos grupos, o qual deverá ser expresso pelos seus elementos, para introduzir os conceitos de ordem, termo e termo geral de uma sequência. Tinha-se previsto que este período de discussão durasse cerca de %4 minutos.

F567,) '.—Excerto da tarefa»Construir Rectângulos» relativa à exploração da área.

De seguida tem-se um momento de exploração do perímetro dos rectângulos (!gura &) com uma duração de cerca de &# minutos destinado à resolução da segunda parte da tarefa, em grupo, seguido de um período de síntese de cerca de %4 minutos, novamente. O aumento da durabilidade relativamente à primeira parte da tarefa, sobre a área, deve-se à maior complexidade da mesma, saliente pela nova sequência a tratar e sobretudo na última questão. Neste caso, já se esperava que os alunos conseguissem realizar a segunda parte da tarefa com sucesso, mas com algumas di!culdades na determi-nação do termo geral e possivelmente só alguns conseguiriam comparar diferentes termos gerais, mesmo que parcial-mente. Por !m, a comparação dos raciocínios da Neusa e da Ana com o dos alunos envolve um nível de abstracção ain-da mais elevado, tornando-se seguramente na questão mais complexa de toda a tarefa, pois além de envolver diferentes expressões algébricas há a necessidade que o aluno se envolva num processo metacognitivo no sentido de «pensar pelo outro» e que não é esperado que esteja desenvolvido em todos os alunos da mesma forma. De qualquer modo, prevê-se que seja realizado algum trabalho parcial no sentido da interpretação das expressões e que nas discussões dentro dos grupos se possam obter informações importantes para desenvolver no momento seguinte de síntese já com toda a turma.

F567,) &.—Excerto da tarefa»Construir Rectângulos» relativa à exploração do perímetro.

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Para !nalizar a aula, espera-se que o professor aproveite o trabalho realizado nos grupos, o qual deverá ser expresso pelos seus elementos, para discutir as produções da segunda parte da tarefa e reforçar os conceitos de ordem, termo e termo geral de uma sequência. Prevê-se que este período de discussão dure cerca de %4 minutos. Salienta-se que o papel do professor é muito importante aquando da discussão da última questão da tarefa, que compara diferentes raciocínios para representar a mesma sequência, pois deve conseguir orientá-la sem fornecer respostas pouco re(exivas, isto é, os alunos devem re(ectir e opinar sobre as diferentes expressões, compreendendo que há distintas formas de pensar sobre uma mesma situação e por conseguinte desenvolverem o pensamento algébrico. O pensamento algébrico deve ser trabalhado desde os primeiros anos e integrado na exploração dos outros temas. De facto, o pensamento algébrico constitui um dos eixos fundamentais no desenvolvimento do ensino e aprendizagem da Matemática ao longo dos três ciclos. Sendo assim, embora a Álgebra seja introduzida como tema programático apenas nos 'o e &o ciclos, é no %o ciclo que se inicia o pensamento algébrico, em particular, na investigação de regularidades em sequências numéricas e padrões geométricos. De acordo com as indicações curriculares dadas pelo Programa, neste ciclo, os alunos deverão procurar regularidades estabelecendo conexões entre a geometria e a aritmética. Ao efectuar este tra-balho com regularidades generalizáveis, e de acordo com regras que podem ser formuladas pelos próprios alunos, estará a contribuir-se para o desenvolvimento da sua capacidade de abstracção, contribuindo assim para o desenvolvimento do pensamento algébrico. O Programa prevê ainda que, no «'.o ciclo, ampliam e aprofundam esse trabalho, exploran-do padrões, determinando termos de uma sequência a partir da sua lei de formação e uma lei de formação pelo estudo da relação entre os termos» (Ponte et al, '##$, p. 1#). Espera-se também neste ciclo que os alunos desenvolvam «a ca-pacidade de identi!car relações e de usar a linguagem simbólica para as descrever» (ibidem). Os padrões são a base do pensamento algébrico e o trabalho com padrões solicita aos alunos a identi!cação de relações, efectuando generaliza-ções (NCTM, '##$).

A4)/1-'($ %- "-#+2-

A aula foi estruturada em cinco momentos essenciais descritos na tabela ', onde também se encontra registada a forma como decorreu a implementação da tarefa em cada uma das quatro turmas onde foi aplicada:

T)80*) '.—Tempos registados nos vários momentos da implementação da tarefa.

Pela análise dos tempos utilizados para os diferentes momentos que haviam sido propostos, pode veri!car-se que a pri-meira turma demorou um tempo relativamente elevado para se organizar em grupos.9uanto à proposta de '# minutos para a exploração da área dos rectângulos, depreende-se que os alunos necessitariam de um pouco de mais tempo, ten-do apenas a turma & conseguido realizar a actividade no tempo previsto e a turma 1 excedido-se um pouco, já que de-morou mais do dobro do tempo estipulado. Na discussão relativa a esta parte inicial da tarefa obteve-se um tempo mé-dio de %' minutos. Já na segunda parte da tarefa, relativa à exploração dos perímetros dos rectângulos, todas as turmas respeitaram o tempo previsto de &# minutos. Na discussão !nal, como as turmas % e 1 necessitaram de mais tempo para realizarem as propostas anteriores, somente as turmas ' e & conseguiram efectuá-la e a turma % apenas começou. Deste modo, se a turma % fosse um pouco mais organizada na distribuição dos grupos, as primeiras três turmas teriam conse-guido realizar a tarefa na íntegra. 9uanto à turma 1, a docente responsável pela mesma considerou que os alunos não estavam a compreender bem a tarefa inicialmente e decidiu dar bastante mais tempo para eles se ambientarem com a mesma. Uma nova possível estrutura da aula, mais exequível, seria:

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%. Início da aula, organização dos grupos de trabalho e introdução à tarefa – %# minutos;'. Exploração, em pequeno grupo, da primeira parte da tarefa, sobre as áreas dos rectângulos – &# minutos;&. Apresentação, discussão e sistematização de resultados com toda a turma – %# minutos;1. Exploração, em pequeno grupo, da segunda parte da tarefa, sobre os perímetros dos rectângulos – &# minutos;4. Apresentação, discussão e sistematização de resultados com toda a turma – %# minutos.

Relativamente à primeira parte da tarefa que explora a área dos rectângulos da sequência, quase todos os grupos desem-penharam com sucesso as primeiras quatro questões, mas surgiram diversas dúvidas quanto ao signi!cado da «n-ésima !gura». Para a construção do 1o rectângulo da sequência, os alunos adoptaram três racicocínios distintos: o acréscimo de % cm' à área, de um quadrado ao rectângulo ou de % cm ao comprimento do rectângulo. Todos os alunos responde-ram com sucesso a esta questão, mas alguns não justi!caram, salientando alguma di!culdade na comunicação matemá-tica. Seguidamente, era-lhes pedido que determinassem a medida das áreas dos &o e 1o rectângulos e eles repetiram os raciocínios anteriores. Já na determinação das medidas das áreas dos 2o e '4o rectângulos, alguns grupos decidiram calcular todas as medi-das das áreas até à do '4o, ainda não conseguindo uma abstracção. Em todas as turmas, houve um grupo que utilizou a

«regra de três simples», também conhecida como «regra milagrosa», para resolver a questão, já que esta regra é «so-lução» para tudo. Por outro lado, já houve diversos grupos a determinarem as medidas das áreas pedidas através de uma generalização pela ordem quer pelo raciocínio n+% (!gura 1) quer pelo raciocínio '+(n-%) (!gura 4).

Na determinação da posição de um rectângulo de %'# cm', bastantes grupos responderam correctamente, embora qua-se todos não tenham apresentado qualquer justi!cação. Em todas as turmas houve quem não conseguisse chegar à po-sição %%"o, tendo simplesmente não respondido ou realizado um racicocínio de proporcionalidade directa tal como na questão anterior. Os poucos grupos que apresentaram uma justi!cação realizaram um raciocínio inverso ao que tinham efectuado nas alíneas anteriores (!gura 3). Salienta-se ainda um grupo que não conseguiu realizar este raciocínio inver-so, tendo aumentado % como nas alíneas anteriores.

Figura 1.—Generalização para n+% (turma ')

F567,) 4.—Generalização para '+(n-%) (turma 1)

F567,) 3.—Raciocínio inverso (turma 1)

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Todos os grupos solicitaram o professor para a última questão em todas as turmas, pois não percebiam o que signi!-cava «n-ésima» posição. Foram dadas explicações sucintas e informais sobre o signi!cado de n como representação de um qualquer número natural. No entanto, muitos grupos simplesmente não responderam à questão ou apresentaram um exemplo concreto, não considerando a «n-ésima» posição. Alguns grupos descreveram, utilizando apenas lingua-gem natural, a generalização implícita nesta situação (!gura $), alguns escreveram o termo geral n+% (!gura 2) e outros o termo geral n+%x% (!gura "). Convém ainda referir que um grupo apresentou uma resposta não numérica, através de uma representação geométrica (!gura %#).

F567,) $.—Linguagem natural (turma 1)

F567,) 2.—Termo geral n+% (turma %)

F567,) ".—Termo geral n+%x% (turma %)

F567,) %#. —Representação geométrica (turma 1)

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Após a realização da primeira parte da tarefa sobre as áreas dos rectângulos, em grupo, passou-se para a apresentação e discussão dos resultados obtidos. Neste momento, era o papel do professor gerir os diálogos e a participação dos vários alunos. Em duas turmas, o professor questionou quem queria responder, tendo-se partido da resposta apresentada por um grupo para que os outros acrescentassem apenas os diferentes raciocínios. Nas outras duas turmas, o professor deci-diu que cada grupo devia expôr o seu raciocínio através de um porta-voz. Em qualquer um dos casos, foi uma apresen-tação oral bastante rápida. Inicialmente, alguns alunos estavam um pouco inseguros, mas rapidamente confrontaram as suas ideias com as dos colegas. As primeiras duas questões não geraram qualquer polémica, tendo sido respondidas muito rapidamente. Nas duas questões seguintes ocorreu uma maior variedade de raciocínios, embora só o raciocínio proporcional tenha gerado um pouco mais de confusão. Finalmente, após terem sido discutidas as primeiras quatro questões com a introdução, informal e apenas oral, do signi!cado de ordem, termo e termo geral, procedeu-se à correcção da última questão sobre as áreas dos rectângulos que tinha levantado imensas dúvidas relativamente ao signi!cado da «n-ésima» !gura. Vários grupos não tinham con-seguido chegar ao termo geral da sequência, mas após o confronto com as respostas dos colegas, muitos a!rmaram que já sabiam que era sempre «mais um», não sabiam era como escrever essa ideia. Após esta discussão que permitiu introduzir alguns conceitos sobre sequências, os alunos começaram a resolver a se-gunda parte da tarefa, agora relativa aos perímetros dos rectângulos. Na determinação da medida do perímetro dos pri-meiros três rectângulos não ocorreu qualquer dúvida, assim como na dos %#o e $&o rectângulos. Para a determinação das medidas dos perímetros destes últimos rectângulos, os alunos adoptaram cinco racicocínios distintos: (n+%)+%+(n+%)+%, n+n+1, determinação de todas as medidas dos perímetros até ao $&o rectângulo, raciocínio proporcional efectuado apenas por um grupo da turma 1. Salienta-se que um grupo da turma 1 confundiu as noções de área e perímetro tendo considerado que se um quadrado tem % cm' de área, então a medida do comprimento de cada lado é #,'4cm. Na veri!cação da existência ou não de dois rectângulos cujas medidas do perímetro eram %#% cm e '&' cm, a maio-ria dos grupos simplesmente respondeu sim ou não, sem qualquer justi!cação, alguns grupos apresentaram respostas baseadas em rectângulos que não satisfaziam as condições iniciais da sequência, outros justi!caram o raciocínio com a paridade (!gura %%) e muito poucos determinaram correctamente as dimensões dos rectângulos de forma a respeitar as condições iniciais (!gura %').

Na determinação do termo geral da sequência, poucos grupos acertaram e os que responderam correctamente não justi-!caram. Surgiram diferentes raciocínios: (n+%)+(n+%)+%+%, sendo o mais predominante, '(n+%)+', (n+n)+1, '(n+'), 'n+1. Salienta-se uma resposta errada baseada no raciocínio correcto de que a sequência avança sempre de dois em dois (!gura %&).

F567,) %%.—Raciocínio relacionado com a paridade (turma ')

F567,) %'.—Determinação das dimensões dos rectângulos (turma &)

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F567,) %&.—Raciocínio incorrecto na determinação do termo geral da sequência (turma &)

Para !nalizar a tarefa era-lhes fornecido dois possíveis termos gerais para a sequência, que eles deveriam veri!car se es-tavam correctos. Pois bem, esta questão não foi respondida por muitos grupos, a!rmando na discussão que não tinham entendido a questão ou que não tiveram tempo. Acrescenta-se que alguns grupos, em todas as turmas, questionaram o professor sobre o signi!cado de '(n+%) ou '(n-%), pelo facto de não saberem o que «um número seguido de um pa-rêntesis, sem sinal entre eles» signi!cava. Esta última pergunta da tarefa era bastante mais complexa que as restantes. Exigia dos alunos uma comparação de raciocínios diferentes, levando-os a compreender que não há uma solução única para o mesmo problema. Apresentam-se algumas respostas dadas pelos alunos: uma explicação do raciocínio da Neusa (!gura %1) e um início de explicação do raciocínio da Ana (!gura %4).

F567,) %1.—Raciocínio que explica o termo geral '(n+%)+' (turma &).

F567,) %4.—Raciocínio que explica o termo geral 3+'(n-%) (turma &)

Para terminar a aplicação da tarefa procedeu-se à discussão da segunda parte tendo o professor da turma % aproveitado o raciocínio adoptado por um grupo que determinou todas as medidas dos perímetros dos rectângulos e cometeu um pequeno erro, não conseguindo chegar ao valor correcto para o $&o rectângulo, o que se tornou muito proveitoso já que a ideia de um raciocínio mais generalista ser mais vantajoso foi reforçada. Por falta de tempo, as turmas % e 1 só ter-minaram a discussão na aula seguinte. Orton e Orton (%""") referem que encontrar termos numa sequência torna-se progressivamente mais difícil, mui-tos alunos têm mais facilidade em continuar um padrão do que explicá-lo e torna-se mais simples explicar uma regra de uma sequência oralmente do que por escrito, o que vem de encontro à aplicação desta tarefa. Para que os estudantes possam compreender alguns aspectos substanciais da Álgebra é importante que tenham ex-periências algébricas informais que envolvam a análise de padrões e relações numéricas, da sua representação e generali-zação por meio, sempre, de diferentes processos. A realização de tarefas que envolvam o estudo de padrões permite que os alunos compreendam a noção de variável e a procura de relações próximas e distantes, envolvendo generalizações, entre termos promove o pensamento algébrico (Borralho & Barbosa, '##", p. ').

C$!1)&.($

Os professores têm o difícil papel de seleccionar um conjunto de tarefas que motivem os alunos para a aula e, em parti-cular, para a Matemática. Apresenta-se um exemplo de uma tarefa relevante para a sala de aula no âmbito do tema «Se-quências e Regularidades», tendo sido aplicada em quatro turmas do $o ano de escolaridade, numa tentativa de desen-

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volver o pensamento algébrico dos alunos. Nunes e Alves ('##4, p. '44) a!rmam que, «os problemas de raciocínio algé-brico têm caminhos de solução múltiplos, e permitem abordagens criativas pelo que os alunos deveriam ser encorajados a explorar métodos de solução alternativos». Orton e Orton (%""") acrescentam que os padrões são um dos caminhos possíveis para a introdução da Álgebra e o desenvolvimento do pensamento algébrico. Através desta experiência de ensino constatamos que a realização de tarefas exploratórias são actividades desa!ado-ras para os alunos, que, em particular, envolvendo padrões, são um bom ponto de partida para trabalhar o pensamento algébrico, já que a procura e identi!cação de padrões faz sobressair a exploração/investigação e a conjectura com justi-!cação/prova.

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