Apresentao do PowerPoint

Simulao de Monte Carlo

Adricia Fonseca MendesModelagem Probabilstica e Simulao de Sistemas de Produo/Engenharia da Qualidade.

IntroduoOs conceitos abordados sero fundamentais para a modelagem e simulao de sistemas de produo tendo em vista que o referido mtodo permite realmente simular um sistema real. A simulao de sistemas discretos repousa amplamente no mtodo de Monte Carlo. A Simulao de Monte Carlo, por ser esta uma tcnica capaz de recriar totalmente o funcionamento de um sistema real dentro de um modelo terico.

2SistemaDefinio: Grupo de objetos que esto juntos em alguma interao ou interdependncia, objetivando algo em comum.

Elementos:

Entidade;Atributo;Atividade;Estado;Evento.

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SistemaModos de estudar um sistema

4SimulaoDefinio: Simulao a imitao da operao de um processo ou sistema real ao longo do tempo para fazer inferncias relativas s caractersticas do sistema real em estudo.

5SimulaoA Simulao permite:

Capturar o comportamento do sistema real;Anlise da pergunta E se...?;Representar sistemas complexos de natureza dinmica e aleatria.

6reas de aplicao da simulaoProduo: Manufatura e montagem, Movimentao de peas e matria prima, Alocao de mo-de-obra, reas de armazenagem, Layout, etc;Transporte e Estocagem: Redes de distribuio, Armazns e entrepostos, Frotas, etc;Computacionais: Redes (computadores e comunicao), Servidores de redes, Arquitetura de computadores, sistemas operacionais, etc;Administrativos: Seguradoras, Operadores de Crdito e Financeiras, etc;Prestao de servios: Hospitais, Bancos, Restaurantes, Servios de emergncia, Servios de assistncia jurdica, etc.

7Vantagens da simulaoAltamente indicada para modelos complexos;Cenrios alternativos podem ser analisados e comparados com pouca, ou nenhuma interferncia no sistema real;Permite o controle total de todas as variveis, endgenas ou exgenas;Permite o estudo do comportamento a longo prazo de um sistema em pouco tempo de simulao.

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Desvantagens da SimulaoRestrio a um dado conjunto de parmetros;Os estudos so em geral caros e demandam tempo para serem desenvolvidos;Tendncia a confiana exagerada. Deve-se ressaltar que os resultados de um modelo invlido no possuem qualquer significado.

9Simulao de Monte CarloDentre uma variedade de mtodos de simulao, merece destaque a Simulao de Monte Carlo, por ser esta uma tcnica capaz de recriar totalmente o funcionamento de um sistema real dentro de um modelo terico.

Definio: Mtodo capaz de transformar um conjunto de nmeros aleatrios em outro conjunto de variveis aleatrias, com a mesma distribuio da varivel considerada.

10Simulao de Monte CarloHistricoDurante a segunda guerra mundial, o matemtico hngaro americano John Von Neumann, em seu trabalho no projeto Manhattan (bomba atmica) criou o conceito denominado Simulao de Monte Carlo. O trabalho consistia na simulao de problemas probabilsticos relacionados a Fsica Nuclear.

11Simulao de Monte CarloHistrico

A designao deve-se a similaridade da simulao estatstica com jogos de azar simbolizados nas roletas do cassino de Monte Carlo na capital do principado de Monaco.

12Simulao de Monte CarloCaracterizao da simulao de Monte Carlo:

Contnua ou discreta;Probabilstica;Esttica (no considera o tempo);Exemplos: Clculo de integrais complexas, gerao de distribuies de probabilidade, finanas, Fsica, Computao Grfica...

13Simulao de Monte Carlo

Exemplo ilustrativo

14Etapas da Simulao de Monte Carlo15A base da simulao de Monte Carlo a experimentao com os elementos probabilsticos por meio de amostras aleatrias. A tcnica pode ser decomposta em cinco etapas:

AleatoriedadePode-se observar que a chave para simular eventos aleatrios discretos a gerao de nmeros aleatrios.Na prtica necessrio uma fonte de aleatoriedade que gere a ocorrncia aleatria de eventos;

16Propriedades de nmeros aleatrios Uma sequncia de nmeros aleatrios precisa ter: uniformidade e independncia;Em cada intervalo de [0,1] ser evidenciada a relao N / n, onde N corresponde ao nmero total de observaes e n ao nmero de classes;A probabilidade de observar o valor em um intervalo particular independente de um valor escolhido anteriormente.

17Nmeros pseudo-aleatriosDefinio: So nmeros gerados deterministicamente, mas que aparentam ser aleatrios, pois passam nos testes estatsticos. Em geral, so gerados facilmente por uma equao ou algoritmo e so tratados como aleatrios.Ateno: Eles devem estar bem prximos daspropriedades estatsticas ideais de uniformidade eindependncia.

18Gerao de nmeros aleatriosAteno: Geradores de nmeros aleatrios no devem ser escolhidos aleatoriamente.

Como produzir nmeros aleatrios? Dispositivos fsicos (ex. dados, roleta, moeda e etc.);Tabela de nmeros aleatrios (livros);Processos matemticos.

19Mtodos de Gerao de nmeros aleatrios

Mtodo do Meio Quadrado

Sequncia gerada (76, 77, 92, 6, 11, 12, 14,...) Quando resultar em 0, deve-se utilizar outra semente.

Mtodo da Congruncia

x0 a semente do nmero aleatriomod a funo mdulo = mostra o resto da diviso inteira. Ex.: 10 mod 6 = 4

20Mtodos de Gerao de nmeros aleatrios

Mtodo da CongrunciaGerar nmeros aleatrios pelo mtodo da congruncia, com a =9, c=1, m=17 e x0=7.

21Gerador ExcelO Excel tem mais de 90% do mercado e largamente utilizado na simulao de modelos de pequeno e mdio porte. Desta forma, o gerador embutido do Excel tem sido objeto de muitos estudos de avaliao da sua qualidade estatstica. O seu gerador baseado no mtodo da congruncia. Inmeros trabalhos tcnicos mostram que o gerador do Excel de boa qualidade e suas funes responsveis pela gerao de variveis aleatrias so:

22Testes para variveis aleatriasVia de regra deve-se utilizar geradores de nmeros aleatrios que tenham sido amplamente testados. Tambm deve-se fugir de geradores cuja frmula de gerao seja desconhecida.Para assegurar que as propriedades de uniformidade e independncia sejam alcanadas, um nmero de testes podero ser executados.23Testes para variveis aleatrias1. Teste de frequncia. Utiliza os testes Kolmogorov-Smirnov eQu-quadrado para comparar a distribuio do conjunto denmeros gerados com uma distribuio uniforme;2. Teste de execuo. Compara os resultados obtidos com osesperados;3. Teste de autocorrelao. Testa a correlao entre os nmeros aleatrios e compara a correlao da amostra com a correlao esperada de zero;24Testes para variveis aleatrias4. Teste de Gap. Conta o nmero de dgitos que aparecem entre as repeties de um dgito particular e ento usa Kolmogorov-Smirnov teste para comparar com um esperado nmero de Gaps;5. Teste Poker. Trata nmeros agrupados juntos como um mo de Poker. Ento, as mos obtidas so comparadas com o que for esperado utilizando o teste Qu-quadrado.25Verificao e Validao para simulao de Monte CarloO processo de verificao envolve determinar se o modelo computacional internamente consistente e se segue a lgica do modelo conceitual. A validao o processo de comparar o modelo com o sistema real que ele representa para assegurar que ele acurado. Dever ser realizada a conferncia das distribuies apropriadas de probabilidade.

A indagao dever ser: ns construmos o modelo certo ?

26Fatores importantes para a simulao de Monte CarloDistribuies de probabilidade;H algum estudo anterior com os dados?Verifique os valores mnimo, mximo e mais provvel;Certifique-se que a distribuio escolhida est bem prxima da distribuio real;

Quantidade de simulaes Quanto mais melhor, sugere-se mais de 10000 simulaes, a fim de tentar representar melhor o sistema real;

Propriedades das variveis aleatrias

Ficar atento o a uniformidade e independncia das variveis

Gerador de QualidadeUtilizar geradores de aleatoriedade de boa qualidade, de preferencia, que j foram largamente testados;27Aplicao prtica - Exemplo 1O gestor da empresa ENPRO que fabrica e vende produtos feitos a partir de material plstico reciclado deseja projetar a Margem de Contribuio Unitria Esperada (MCUE) de seus produtos (ALFA e BETA) para o ms de xxx/2015 com o intuito verificar qual dos produtos contribuir mais para o resultado econmico da empresa. Como os custos e as despesas no so dados de forma determinstica, o gestor realizou um levantamento histrico de dados consolidados dos doze ltimos meses acerca dos gastos na forma de distribuio de frequncia e dos preos de venda, como mostra o quadro a seguir:2828Aplicao prtica - Exemplo 1Com base nos dados abaixo: Pede-se: projetar a MCU esperada de cada produto utilizando Simulao de Monte Carlo.

29Aplicao prtica - Exemplo 1 1 passo: Para o clculo da MCU de cada produto, em cada simulao, faz-se o uso da frmula apresentada a seguir :

30Aplicao prtica - Exemplo 12 passo: Aps a aplicao das simulaes, deve-se determinar Margem de Contribuio Unitria Esperada (MCUE) de cada produto para o perodo em anlise. Para tal, projetam-se as MCUs apontadas em cada simulao para a aplicao de estatstica descritiva. A estatstica utilizada a mdia das MCUs. Assim, para efeito deste estudo, o valor da MCU esperada de cada produto pode ser descrito:

31Aplicao prtica - Exemplo 1Segue Tabela com parte dos resultados obtidos na simulao.

32Aplicao prtica - Exemplo Suponhamos que uma empresa deseja simular sua demanda diria de determinado produto do estoque: Para tanto preciso que inicialmente se identifiquem as frequncias relativas das demandas dirias, conforme mostra a Tabela abaixo.

33RefernciasCAETANO, M.A.L. Teorias, Tcnicas e Simulaes em Processos Aleatrios. Disponvel em: Acesso em: 15 Abr. 2015.MOORE, J.; WHEATHERFORD, L. Tomada de Deciso em Administrao com planilhas eletrnicas, Brasil: Bookman, 6. ed. 2005.Morn, W. Apostila de Modelagem Probabilstica e Simulao de Sistemas de Produo. Notas de aulas. Abrao Freires Saraiva JniorNotas de aulas. Aneirson Silva. Notas de aulas. David Custdio de Sena

34RefernciasNotas de aulas. Marco Antonio Leonel Caetano.Notas de aulas. Statmeup.Notas de aulas. Thomas Edson E. Gonalo.PRADO, Darci Santos do. Teoria das Filas e da Simulao. 4. ed. Minas Gerais: Instituto de Desenvolvimento Gerencial S.a., 2009. 2 v. (Pesquisa Operacional).Rubinstein R.Y.; Kroese, D. P. Simulation and the Monte Carlo Method. John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA, 2008.RENDER, B.; STAIR, R.; HANNA, M. Anlise Quantitativa para Administrao, Brasil: Bookman, 10. ed. 2010.

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