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Análise numérica do campo acústico gerado por corpos com grandes amplitudes de oscilação. Simulação acústica e CFD, além de análise analítica.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA
MECNICA
Marcos Akira Hattori
SIMULAO DE NO LINEARIDADES NO CAMPO
ACSTICO GERADO POR CORPOS COM GRANDES
AMPLITUDES DE DESLOCAMENTO
Florianpolis
2012
Marcos Akira Hattori
SIMULAO DE NO LINEARIDADES NO CAMPO
ACSTICO GERADO POR CORPOS COM GRANDES
AMPLITUDES DE DESLOCAMENTO
Dissertao submetida ao
Programa de Ps-Graduao da
Universidade Federal de Santa Catarina
para a obteno do Grau de Mestre em
Engenharia Mecnica
Orientador: Prof. Arcanjo Lenzi, Dr.
Florianpolis
2012
Ficha de identificao da obra elaborada pelo autor, atravs do
Programa de Gerao automtica da Biblioteca Universitria UFSC.
A ficha de identificao confeccionada pela Biblioteca
Central.
Tamanho: 7 cm x 12 cm.
Fonte: Time New Roman 9,5
Maiores informaes em:
http://www.bu.ufsc.br/design/Catalogacao.html
Marcos Akira Hattori
Simulao de no linearidades no campo acstico gerado por corpos
com grandes amplitudes de deslocamento
Esta dissertao foi julgada adequada para obteno do
Ttulo de Mestra em Engenharia Mecnica, rea de concentrao
em Vibraes e Acstica, e aprovada em sua forma final pelo
Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica.
Florianpolis, 21 de dezembro de 2012.
________________________
Prof. Jlio Cesar Passos, Dr.
Coordenador do Curso
________________________
Prof. Arcanjo Lenzi, Dr.
Orientador
Universidade Federal de Santa Catarina
Banca Examinadora:
________________________
Prof. Cesar Jos Deschamps, Dr.
Universidade Federal de Santa Catarina
________________________
Prof. Erasmo Felipe Vergara, Dr.
Universidade Federal de Santa Catarina
________________________
Dr. Vitor Litwinczik
Aos meus pais.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, ao meu pai, Shu Hattori, e minha me, Miyako
Hattori, pela educao, carinho, amor e incentivo aos estudos.
Ao prof. Arcanjo Lenzi, pela orientao, auxlio durante toda
execuo deste trabalho, e por me manter sempre motivado
principalmente nos momentos mais difceis.
minha namorada, Valmara, pela compreenso referente a
minha ausncia principalmente na reta final do mestrado, e tambm por
me tornar uma pessoa melhor.
Ao Claudio Pellegrini e Emilio Hulse, pelo grande incentivo
dado na execuo deste trabalho. Sem este apoio dificilmente este
trabalho seria concludo.
Aos amigos de trabalho, em especial, Carlos Eduardo,
Cristiano, Daniel, Mannes e Mikio pelos muitos conselhos e
ensinamentos.
Aos amigos de laboratrio, Garricha, Daniel Cataln, Danilo,
Leandro, Olavo, Zinho, Paulo, Gustavo Martins, Myrria entre muitos
outros que me ajudaram nos momentos de dificuldades.
Embraco, por ter financiado o projeto e pela oportunidade de
trabalho. CAPES, pela bolsa recebida durante o mestrado.
E a todos aqueles que, embora no mencionados contriburam
para a realizao deste trabalho, o meu muito obrigado.
Ter boa vontade e boa
inteno no basta para se viver a vida
humana com rendimento
evolutivo. Urge ter discernimento
Waldo Vieira.
RESUMO
Compressores lineares possuem em seu principio de funcionamento
molas helicoidais as quais vibram com grandes amplitudes de
movimento. O objetivo deste trabalho modelar, simular e caracterizar
o campo acstico gerado atravs da vibrao de um componente de
seo circular com grandes deslocamentos. A incluso dos efeitos de
grandes deslocamentos eleva a complexidade para soluo analtica do
problema. Neste trabalho foram inicialmente criados dois modelos
numricos para descrever o campo acstico gerado por estas fontes. A
primeira abordagem consiste em um modelo acstico em Elementos
Finitos que considera o meio fluido linear em combinao com a
abordagem Euleriana-Lagrangeana Arbitrria para a malha mvel. O
segundo modelo consiste em uma abordagem de dinmica dos fluidos
computacional (CFD) para descrever o campo acstico gerado. Os
efeitos de grandes deslocamentos da fonte tambm so considerados
para este caso. A validao destes dois mtodos foi realizada utilizando
dados experimentais disponveis na literatura. Por fim, um terceiro
modelo foi desenvolvido atravs da implementao equao da onda
no linear de acstica onde so mostradas as influncias dos efeitos no
lineares presentes no fluido. A comparao dos resultados obtidos
mostra boa concordncia entre o modelo acstico linear e o modelo
CFD. Constata-se que para nmero de Mach pequeno a oscilao
senoidal de uma fonte com grande amplitude de deslocamento gera um
campo acstico contendo harmnicas da frequncia fundamental de
oscilao, as quais se devem s no linearidades geomtricas.
Palavras-chaves: Acstica no-linear, compressores hermticos;
grandes deslocamentos.
ABSTRACT
Linear compressors operate with helical springs that vibrate with large
amplitude of motion. The objective of this work is to model, simulate
and characterize the sound field generated by vibration of a circular
section component with large displacements. The inclusion of large
displacement effects makes the analytical solution too complex. Two
numerical models were developed to describe the sound pressure field
generated by the source. The first approach consists of a Finite Element
acoustic model which considers the linear description to the fluid
medium and combines the Arbitrary Lagrangian-Eulerian approach to
the moving mesh. The second model consists of a computational fluid
dynamics approach (CFD) to describe the generated sound field. The
effects of sources large displacement are also considered. The
validation of these two methods was performed using experimental
results available in the literature. Finally, a third model was developed
by implementing the nonlinear wave equation where are shown the
influence of nonlinear effects present in the fluid. A comparison of
results shows good agreement between the linear acoustic model and
CFD model. Was observed that for small Mach numbers a sinusoidal
oscillation from a source with large amplitude displacement generates
an acoustic field containing harmonics of the fundamental frequency of
oscillation, which is due to the geometrical non-linearities.
Keywords: Nonlinear acoustics, hermetic compressor, large
displacement.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Compressor hermtico do tipo linear. ................................... 34
Figura 2 - Sistemas de coordenadas utilizadas para o problema de esfera
oscilante. Fonte: FROST e HARPER (1975) ........................................ 39
Figura 3 - Modelo idealizado da cavidade acstica, placa e esfera. Fonte:
ROOZEN, RUTJES e NIJMEIJER (2010). .......................................... 40 Figura 4 - Configurao do experimento, com a placa, esfera de
poliestireno, microfone e vibrmetro a laser. Fonte: ROOZEN, RUTJES
e NIJMEIJER (2010). ............................................................................ 41
Figura 5 - Exemplo de malha no deformada e deformada com as
coordenadas de referncia e espacial. Fonte: COMSOL USER GUIDE
(2012). ................................................................................................... 42
Figura 6 - Condio de entrada do movimento da placa,
deslocamento, --- velocidade, acelerao. Fonte: ROOZEN,
RUTJES e NIJMEIJER (2010). ............................................................ 43
Figura 7 - Espectro de frequncia do sinal de entrada. Fonte: ROOZEN,
RUTJES e NIJMEIJER (2010). ............................................................ 43
Figura 8 - Configurao esquemtica do experimento para anlise
acstica do movimento da placa. Fonte: ROOZEN, RUTJES e
NIJMEIJER (2010). .............................................................................. 44
Figura 9 - Comparao entre o auto espectro de presso sonora
experimental e numrica na posio do microfone. .............................. 45
Figura 10 - Formao da onda de choque em um tubo pela teoria no
linear de acstica. Fonte: WALSH (2010). ........................................... 46
Figura 11 - Comparao da presso sonora em uma cavidade sendo
excitada na frequncia de ressonncia, utilizando teoria linear e no
linear de acstica. Fonte: WALSH (2010). ........................................... 47 Figura 12 - Comparao da Perda de Transmisso (Transmission Loss)
entre o resultado numrico em CFD com resultado experimental. Fonte:
MIDDELBERG ET. AL. (2004). ........................................................... 48 Figura 13 - Exemplo de malha no deformada (a) e deformada (b),
mantendo o arranjo estrutural dos elementos. ....................................... 55
Figura 14 - Domnios utilizados na formulao ALE. .......................... 57
Figura 15 - Configurao do escoamento ao redor de um cilindro em
funo de Reynolds. Fonte: LIENHARD (1966). ................................. 63
Figura 16 - Fluxograma esquemtico da interao unidirecional. ........ 65
Figura 17 - Estrutura tpica do volume de controle utilizada no mtodo
dos volumes finitos. .............................................................................. 66
Figura 18 - Balano de massa no volume finito. ................................... 67
Figura 19 - Representao de elemento Hexadrico. Fonte: REZENDE
(2005). ................................................................................................... 69
Figura 20 - Exemplo de utilizao de esquema de difuso de
deslocamento. a) Malha original no deformada. b) Malha com
Esquema de Difuso de Deslocamento padro. c) Malha com esquema
de Difuso de Deslocamento meshdisp com fator 3. ............................ 70
Figura 21 - Consideraes do modelo acstico de Roozen, Rutjes e
Nijimeijer (2010). ................................................................................. 71 Figura 22 - Condies de contorno do modelo acstico FEM. ............. 73
Figura 23 - Condies de contorno do modelo numrico CFD. ........... 76
Figura 24 - Configurao de malha do modelo laminar CFD. .............. 77
Figura 25 - Espectro de velocidade de placa oscilante. ......................... 77 Figura 26 - Espectro de presso na posio do microfone. ................... 78
Figura 27 - Modelo bidimensional representativo do caso simplificado
de mola. ................................................................................................. 79
Figura 28 - Geometria do modelo e posies de pontos referentes
medio de presso. ........................................................................... 80
Figura 29 - Configurao de malha utilizada no modelo acstico FEM.
.............................................................................................................. 81 Figura 30 - Configurao de malha utilizada no modelo laminar CFD. 81
Figura 31 - Condio imposta de movimento do corpo oscilante.
Acelerao e deslocamento. .................................................................. 83
Figura 32 - Funo excitao em termos de acelerao aplicada nos
contornos acstico do corpo oscilante................................................... 85
Figura 33 - Simulao do campo de presso sonora gerado pelo
movimento do corpo variando da posio de extrema esquerda para
extrema direita, no perodo entre 1,35 a 1,354 segundos. ..................... 86
Figura 34 - Presso sonora no ponto A e acelerao do corpo oscilante.
.............................................................................................................. 87
Figura 35 - Resposta simulada da presso sonora no ponto A com e sem
no linearidade geomtrica. ................................................................... 87
Figura 36 - a) modelo com no linearidade geomtrica com a fonte
partindo da posio central. b) modelo linear com a fonte deslocada 8
para esquerda. c) modelo linear com a fonte deslocada 8 para
direita .................................................................................................... 88
Figura 37 - Predio numrica da presso sonora no Ponto A. ............. 88
Figura 38 - Comparao entre o modelo no linear e o linear do espectro
de presso no ponto A. .......................................................................... 89
Figura 39 - Comparao do espectro de presso nas posies A, B e C.
............................................................................................................... 90
Figura 40 - Comparao da reposta de presso no tempo nas posies A,
B e C. ..................................................................................................... 90
Figura 41 - Funo de entrada do corpo oscilante em termos de
deslocamento. a) Auto espectro da funo de entrada, e b) variao com
o tempo. ................................................................................................. 91
Figura 42 - Comparao do espectro de presso na posio entre as
abordagens CFD e acstica FEM. ......................................................... 92
Figura 43 - Comparao da resposta de presso acstica na posio A ao
longo do tempo entre as abordagens CFD e acstica FEM. .................. 92
Figura 44 - Regies do domnio para construo da malha semi-
estruturada. ............................................................................................ 93
Figura 45 - Configurao de malha (A) utilizada no modelo CFD. ...... 94 Figura 46 - Configurao de malha (B) utilizada no modelo CFD. ...... 95
Figura 47- Configurao de malha (C) utilizada no modelo CFD. ....... 95
Figura 48 - Configurao de malha (D) utilizada no modelo CFD. ...... 96
Figura 49 - Comparao do espectro de frequncia calculada
considerando regime laminar e o modelo de turbulncia k . ............ 96
Figura 50 - Ampliao da Figura 49 na regio de interesse. ................. 97
Figura 51 - Comparao da resposta de presso no domnio do tempo
considerando regime laminar e o modelo de turbulncia k . ............ 97
Figura 52 - Representao da onda senoidal e distribuio de densidade
ao longo da onda. .................................................................................. 99 Figura 53 - Distoro da onda devido diferena de velocidade de
partcula no momento da compresso e rarefao. .............................. 100
Figura 54 - Representao do modelo de tubo com formulao de
Westervelt. .......................................................................................... 105
Figura 55 - Presso acstica radiada na posio x=1 m. ..................... 106
Figura 56 - Presso acstica radiada na posio x=9 m. ..................... 107
Figura 57 - Presso acstica radiada em na posio x=16m .............. 107
Figura 58 - Espectro de frequncia da presso radiada na posio x=1 m.
............................................................................................................ 108
Figura 59 - Espectro de frequncia da presso radiada na posio x=9 m.
............................................................................................................ 108
Figura 60 - Espectro de frequncia da presso radiada na posio x=16
m. ........................................................................................................ 109
Figura 61 - Presso acstica ao longo do tubo. ................................... 110 Figura 62 - Presso acstica em x=16 m com excitao P=10 Pa. ..... 110
Figura 63 - Posio do ponto A em relao ao centro da circunferncia
oscilante. ............................................................................................. 111
Figura 64 - Presso sonora no ponto A. Comparao entre a abordagem
no linear de Westervelt e linear. ........................................................ 112
Figura 65 - Espectro de frequncia da presso sonora no ponto A.
Comparao entre a abordagem no linear de Westervelt e linear. .... 112 Figura 66 - Geometria B com duas fontes oscilantes. ......................... 114
Figura 67 - Configuraes de malhas utilizadas nos modelos CFD. (a)
uma fonte. (b) duas fontes. .................................................................. 115 Figura 68 - Espectro da presso no ponto A calculada para diferentes
amplitudes de deslocamento da fonte. ................................................ 117
Figura 69 - Resposta de presso no domnio do tempo para diferentes
amplitudes. .......................................................................................... 117
Figura 70 - Espectro de presso no ponto A calculada para diferentes
frequncias de oscilao da fonte. ....................................................... 118
Figura 71 - Resposta de presso no domnio do tempo para diferentes
amplitudes. .......................................................................................... 118
Figura 72 - Espectro de presso no ponto A calculada para diferentes
fluidos. ................................................................................................ 119
Figura 73 - Resposta de presso no domnio do tempo para diferentes
fluidos. ................................................................................................ 119
Figura 74 - Espectro de presso no ponto A considerando uma e duas
fontes. .................................................................................................. 120
Figura 75 - Resposta de presso no domnio do tempo para os casos com
uma e com duas fontes. ....................................................................... 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Propriedades do ar. ............................................................... 75
Tabela 2- Caractersticas das malhas computacionais. .......................... 94
Tabela 3 - Incremento de tempo de cada frequncia de excitao para ar.
............................................................................................................. 116
Tabela 4 - Propriedades dos fluidos de trabalho. ................................ 116
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CFD Computational Fluid-Dynamics
FEM Finite Element Method
ALE Arbitrary Lagrangean Eulerian
DNS Direct Numerical Method
LES Large Eddy Simulation
DES Detached Eddy Simulation
RANS Reynolds-Average Navier-Stokes
APE Acoustic Perturbation Method
FVM Finite Volume Method
CV Control Volume
NRBC Non-Reflecting Boundary Condition
LISTA DE SMBOLOS
Nmero de Mach
Amplitude
Comprimento caracterstico
Nmero de onda fundamental
Velocidade do som no meio
Integral das foras atuantes
Componente normal da fora
Massa
Deslocamento
Presso sonora
Direo normal
Presso total
Presso do meio
Densidade local
Densidade do meio
Entropia do meio
- Tempo
Velocidade de partcula do fluido
Domnio material
Domnio de referncia
Domnio espacial
Funo transformao
Funo transformao
Nmero de Reynolds
Velocidade mdia relativa entre o objeto e o fluido
Dimenso caracterstica
Viscosidade dinmica
Viscosidade turbulenta
Taxa de dissipao de energia cintica turbulenta
Nmero de Prandtl
Pontos de integrao do volume finito de massa
Rigidez da malha
Deslocamento relativo aos locais anteriores da malha
Frequncia angular
Frequncia de amostragem
Frequncia mxima de interesse
Amplitude
Potencial de velocidade
Parmetro no linear
Razo entre os calores especficos
Absoro linear no fluido
Coeficiente de no linearidade
Difusividade do som
- Distncia de formao da onda de choque
Funo de Bessel
Fonte dipolo
Fonte monopolo
SUMRIO
1. INTRODUO ........................................................................... 33
1.1. Objetivos ............................................................................... 35
2. REVISO BIBLIOGRFICA ................................................... 36
2.1. Introduo .............................................................................. 36
2.2. Modelo de Frost e Harper ...................................................... 37
2.3. Modelo de Roozen, Rutjes e Nijmeijer ................................. 40
2.4. Acstica no linear em fluidos .............................................. 45
2.5. Abordagem CFD em acstica ................................................ 47
3. ABORDAGENS NUMRICAS DO CAMPO ACSTICO
GERADO POR GRANDES AMPLITUDES DE
DESLOCAMENTO ............................................................................ 51
3.1. Introduo .............................................................................. 51
3.2. Formulao pela acstica clssica ......................................... 52
3.2.1. Equao do estado ......................................................... 52
3.2.3. Equao da quantidade de movimento .......................... 54
3.2.4. Equao da onda linear .................................................. 54
3.2.5. Abordagem Euleriana-Lagrangeana Arbitrria ............. 54
3.3. Formulao pela dinmica dos fluidos computacional .......... 59
3.3.3. Acoplamento fluido-estrutura ........................................ 64
3.3.4. Metodologia numrica ................................................... 65
3.3.4.1. Acoplamento presso-velocidade .................................. 67
3.3.4.2. Funes de forma .......................................................... 68
3.3.4.3. Fronteiras mveis .......................................................... 69
3.4. Validao de resultados ......................................................... 70
3.4.1. Configurao do modelo numrico acstico FEM ........ 71
3.4.2. Simulaes em CFD ...................................................... 75
3.4.3. Resultados ...................................................................... 77
3.5. Anlise dos efeitos das grandes amplitudes de
deslocamento para o caso simplificado de mola ................................ 78
3.5.2. Definio do incremento de tempo ................................ 81
3.5.3.1. Condies de contorno .................................................. 82
3.5.3.2. Fronteira mvel .............................................................. 84
3.6. Resultados .............................................................................. 85
3.6.1. Resultados do modelo acstico FEM .................................... 85
3.7. Simulao CFD com modelo de turbulncia ............... 92
4. ACSTICA NO LINEAR EM FLUIDOS .............................. 98
4.1. Introduo .............................................................................. 98
4.2. Equaes da acstica no linear .......................................... 100
4.3. Soluo de Fubini ................................................................ 103
4.4. Aplicao numrica e verificao da equao de
Westervelt ........................................................................................ 104
5. AVALIAO POR CFD DO CAMPO ACSTICO
GERADO POR UM DISCO TPICO DE UMA MOLA DE
COMPRESSOR ................................................................................. 114
5.1. Introduo ............................................................................ 114
5.2. Geometria e malha ............................................................... 114
5.3. Condies de contorno e iniciais ......................................... 115
5.4. Anlises ............................................................................... 115
5.5. Resultados ............................................................................ 116
6. CONCLUSES .......................................................................... 122
6.1. Sugestes para trabalhos futuros ......................................... 123
7. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................... 123
33
1. INTRODUO
Em um mercado industrial de alta competitividade o contnuo
desenvolvimento e aperfeioamento tecnolgico tm papel fundamental
na sobrevivncia das empresas. Diante disso, as preocupaes com o
comportamento acstico de equipamentos tm crescido a cada dia e o
sucesso ou o fracasso de um produto pode ser fortemente afetado pelos
nveis de rudo gerados pelo mesmo.
Um importante equipamento que conhecido por ser um
emissor de rudo o compressor. Nos ltimos 30 anos diversos estudos
foram realizados a respeito deste produto. Sangoi (1983) apresenta um
estudo das fontes de rudo e vibraes em compressores hermticos
dando incio a vrios outros trabalhos, entre os quais podem ser citados
Diesel (2000), Carmo (2001), Santos (2003) e Lopes (2006), que
contriburam para melhorar as caractersticas acsticas dos mesmos.
Dentre suas diversas aplicaes tem-se o uso em sistemas de
refrigerao que utilizam a compresso mecnica do vapor como
mtodo de refrigerao. De forma geral, os compressores podem ser
classificados em dois tipos: mquinas de deslocamento positivo e
mquinas roto-dinmicas. As mquinas roto-dinmicas se caracterizam
por fornecerem quantidade de movimento ao fluido atravs do
movimento rotativo de um rotor provido de vrias ps. O compressor de
deslocamento positivo por sua vez submete o fluido a uma variao de
volume. Durante seu funcionamento, uma cavidade se abre
possibilitando a entrada do fluido atravs de um orifcio. Em seguida a
cavidade se fecha e aprisiona o fluido, o qual conduzido a um orifcio
de sada em um processo de reduo de volume. Desta forma, todo
compressor de deslocamento positivo produz um escoamento peridico
ou pulsante (PREZ-SEGARRA e RIGOLA, 2005). Dentro da
classificao de compressores de deslocamento positivo pode-se citar o
compressor linear que opera atravs do movimento de um pisto ao
longo de uma trajetria linear para comprimir o gs. Um exemplo de um
compressor hermtico fabricado pela Empresa Brasileira de
Compressores S/A mostrado na Figura 1.
34
Figura 1 - Compressor hermtico do tipo linear.
Dentre as fontes de rudo de um compressor tem-se:
escoamento pulsante do gs de refrigerao, foras de compresso do
gs no cilindro, impacto entre partes mveis e foras geradas pelo
campo eletromagntico. Dentre as vrias fontes de rudo e vibrao, este
trabalho foi motivado pela necessidade de conhecimento mais profundo
do rudo gerado por uma mola helicoidal usada em alguns modelos de
compressores, a qual vibra com grandes amplitudes.
Ainda que sejam conhecidos diversos mtodos gerais de
controle de rudo, realizar uma investigao criteriosa de modo a obter
uma maior compreenso deste problema especfico pode se tornar uma
opo importante por se tratar de um produto de alta competitividade no
mercado. Para tanto, a modelagem do componente mola vibrando com
grandes amplitudes apresenta como uma poderosa ferramenta neste
processo investigatrio de compreenso do comportamento acstico
gerado pelo mesmo.
O objetivo de estudar o campo acstico gerado pela vibrao de
molas helicoidais consiste em conhecer seu comportamento a fim de
posteriormente determinar solues adequadas para atenuar ou inibir o
rudo gerado por este componente.
No Captulo 2 ser apresentada uma breve reviso bibliogrfica,
destacando dois principais trabalhos relacionados gerao de campo
acstico por fontes com grandes amplitudes de deslocamento. Alm
35
disso, so apresentados tambm alguns trabalhos que abordam a
formulao da equao da onda no linear e aplicaes de CFD
(Computational Fluid-Dynamics) em problemas de acstica. O Captulo 3 apresenta e discute dois procedimentos numricos
utilizados para descrever o campo acstico gerado por fontes com
grandes amplitudes de deslocamento. Ainda neste captulo feita a
anlise do efeito gerado por este tipo de fonte.
O quarto captulo apresenta os efeitos da no linearidade
presente no fluido, mostrando possveis contribuies ao campo acstico
para o caso analisado.
No Captulo 5 feita uma anlise numrica atravs da
abordagem CFD verificando a influncia de alguns parmetros comuns
aplicao de compressores.
Finalmente no Captulo 6 so apresentadas as concluses e
sugestes para trabalhos futuros.
1.1. Objetivos
Este trabalho, em mbito geral, objetiva modelar, simular e
caracterizar o campo acstico gerado pela vibrao de um componente
de seo circular com grandes deslocamentos em movimento de
translao.
Os objetivos especficos so:
conhecer o comportamento acstico causado por oscilao de objetos com grandes amplitudes de deslocamento;
desenvolver e verificar um modelo numrico por FEM bidimensional que represente satisfatoriamente os efeitos de
grandes amplitudes de deslocamento da fonte;
desenvolver um modelo numrico em CFD, bidimensional, que represente as flutuaes de presso acstica no fluido causada
pela oscilao com grandes deslocamentos da fonte;
analisar possveis contribuies de no linearidades do fluido presente ao campo acstico;
avaliar efeitos de parmetros comuns aplicao de compressores no campo acstico gerado pelas grandes
amplitudes de deslocamento da fonte.
36
2. REVISO BIBLIOGRFICA
2.1. Introduo
O objetivo principal deste captulo apresentar o estado da arte
no que diz respeito ao estudo do campo acstico gerado por fontes com
grandes amplitudes de deslocamento. Pode-se afirmar que a literatura
tcnica referente a este assunto no vasta.
A radiao acstica de corpos oscilantes usualmente tratada
como um fenmeno linear onde as amplitudes de vibrao dos corpos
so pequenas comparadas s suas dimenses. Entretanto, no caso em
que as amplitudes de vibrao dos corpos no podem ser consideradas
em um sistema fixo de coordenadas, surgem efeitos de no linearidade
no campo acstico.
Na literatura clssica de acstica, as fontes sonoras so
normalmente consideradas tendo pequena amplitude de deslocamento, o
que resulta em um campo acstico relacionado linearmente com a
amplitude de movimento. Para fontes acsticas considerando os efeitos
de grandes amplitudes, foram encontrados poucos estudos que abordam
tal tema. Devido a isto, esta seo ir expor os resultados de dois artigos
que abordam este assunto. O primeiro trabalho foi publicado por Frost e
Harper (1975) com uma abordagem fundamentada na soluo da
equao de movimento, vlida para um limite de pequeno nmero de
Mach. Nesta abordagem foram usadas aproximaes assintticas, e no
foram considerados os efeitos das no linearidades do fluido. A
distoro harmnica se deve inteiramente s grandes amplitudes de
movimento do objeto. O segundo trabalho, publicado recentemente por
Roozen, Rutjes e Nijmeijer (2010), apresenta uma abordagem numrica
e experimental do mesmo fenmeno (grandes deslocamento de fonte)
tambm para nmero de Mach pequeno. Roozen et. al (2010) chama o
efeito da distoro harmnica de no linearidade acstica geomtrica. A
abordagem numrica feita atravs do Mtodo dos Elementos Finitos
(FEM Finite Element Method), utilizando comportamento linear para o fluido em combinao com o mtodo da malha mvel. Uma anlise
experimental demonstra a validade da tcnica de anlise para o
fenmeno de no linearidade acstica geomtrica. Os estudos apresentados nestas publicaes sero abordados
mais detalhadamente em funo da afinidade com o tema desta
dissertao. Grande parte dos estudos relacionados acstica no linear
focada em fenmenos onde a no linearidade causada pelo fluido,
37
efeito conhecido tambm por fenmeno de amplitude finita (finite
amplitude wave).
2.2. Modelo de Frost e Harper
Frost e Harper (1975) analisaram a radiao sonora de
superfcies oscilando com grandes amplitudes e pequeno nmero de
Mach. O efeito de no linearidade acstica discutido aqui se refere ao campo acstico gerado o qual no corresponde exatamente ao
movimento da fonte, ou seja, uma fonte que apresenta um movimento
senoidal gera um campo acstico no proporcional a este movimento.
Tal fenmeno possvel devido s grandes amplitudes de deslocamento
da fonte. Ao ser tratado como grande deslocamento significa que o
movimento no pode ser adequadamente especificado como uma
pequena perturbao no espao fixo de coordenadas.
importante salientar que as no linearidades acsticas
geomtricas so diferentes das no linearidades presentes na equao do
movimento e equao do estado. As no linearidades das duas equaes
citadas devem-se aos efeitos do fluido e constituem a maior parte da
literatura de acstica no linear. Efeito conhecido tambm por
fenmenos de amplitude finita.
O trabalho de Frost e Harper demonstra atravs de uma anlise
assinttica que para pequenos valores de nmero de Mach o movimento
harmnico simples de um corpo rgido gera um campo acstico rico em
harmnicas quando a amplitude de oscilao grande. Os autores
mostram estes efeitos atravs de dois exemplos de movimentos
harmnicos de uma esfera impermevel. Trata-se de uma esfera de raio
pulsando com amplitude e uma esfera tambm de raio oscilando com amplitude . Estes dois movimentos representam fontes sonoras do tipo monopolo e dipolo, respectivamente. Segundo os autores, o
contedo espectral rico em harmnicas atribudo fundamentalmente ao
movimento da condio de contorno e no s no linearidades no fluido.
Os resultados de Frost e Harper foram obtidos utilizando o
mtodo das expanses assintticas combinadas (Matched Asymptotic Expansions), para fazer a conexo entre o campo acstico distante da
fonte e o campo prximo fonte, que por sua vez apresentam
comportamentos distintos. Ou seja, o mtodo aplicvel para problemas
de irradiao acstica de fontes com grandes deslocamentos e pequeno
nmero de Mach, e adequado para separar os efeitos de grandes
deslocamentos dos efeitos de no linearidade no fluido.
38
A formulao considera que a estrutura gera um campo acstico
que se deve a um movimento harmnico simples do corpo
tridimensional, onde o movimento ocorre em um fluido sem viscosidade
e em repouso. Considera tambm que a amplitude do movimento da
estrutura da ordem do comprimento caracterstico do corpo. A
restrio de um nmero de Mach pequeno leva a considerar que em todos os pontos do fluido a velocidade de partcula pequena em
comparao com a velocidade do som . Esta restrio est diretamente relacionada com a amplitude e frequncia da superfcie oscilante. Para
os casos clssicos de problemas de acstica, trabalha-se com uma faixa
ampla de frequncias, porm a amplitude do movimento da fonte
suficientemente pequena para justificar tal restrio. O interesse da
pesquisa apresentada neste trabalho, entretanto, est no fenmeno onde
a amplitude de oscilao da fonte da mesma ordem de sua dimenso
caracterstica. Em tais casos a equao do movimento linearizada ainda
vlida desde que respeitado a restrio do nmero de Mach. O nmero de Mach na superfcie oscilante, Mc, dado por
(
) ( ) (2.1)
onde representa a amplitude de oscilao, o comprimento
caracterstico do corpo, o nmero de onda fundamental
e a
velocidade do som no meio.
Considera-se o limite quando
( ) e (
) (2.2)
ou ainda
(2.3)
De forma geral os autores propem a obteno de uma soluo
assinttica da equao no linear do movimento sujeita a uma condio
de contorno dependente do tempo e associado ao movimento da superfcie radiante.
A caracterstica incomum deste problema refere-se condio
de contorno no ser linearizada, ou seja, no pode ser considerada como
uma pequena amplitude de deslocamento e aproximada como uma
superfcie fixa no espao. Em cada instante de tempo a componente
39
normal de velocidade do fluido deve ser igual componente normal de
velocidade da superfcie rgida em cada ponto da superfcie oscilante.
A partir da equao de movimento, so definidas variveis
adimensionais e duas regies de interesse para construir a expanso
assinttica:
a) Regio prxima: a regio da ordem da dimenso caracterstica do corpo.
b) Regio distante: a regio da ordem de grandeza do comprimento de onda.
Dividindo a abordagem em duas regies so obtidas solues
especficas para cada uma delas. A soluo obtida a partir da
aproximao da regio prxima consiste em uma relao no linear
entre o movimento do corpo rgido e o fluido circundante. A construo
da abordagem na regio distante feita com o objetivo de obter uma
soluo que apresente a forma pela qual as distores harmnicas da
soluo interna se propagam no campo acstico distante da fonte.
A soluo aplicada para o caso da uma esfera oscilante tendo
um sistema de coordenadas fixo no espao e outro fixo em relao ao
corpo (Figura 2).
Figura 2 - Sistemas de coordenadas utilizadas para o problema de esfera
oscilante. Fonte: FROST e HARPER (1975)
Atravs de mtodos assintticos os autores obtm uma
formulao dada em termos do potencial de velocidade que define a
ordem de grandeza da varivel acstica em posies afastadas da fonte.
Para o caso da esfera oscilante com grandes amplitudes, os autores
concluem que em um ponto localizado no eixo de oscilao distante da
40
fonte, o sinal de mxima intensidade a da frequncia fundamental de
oscilao da fonte. No entanto, no plano de simetria normal ao eixo de
oscilao da fonte, o sinal de maior intensidade a segunda harmnica
da frequncia fundamental.
2.3. Modelo de Roozen, Rutjes e Nijmeijer
Roozen et al. (2010) apresentam um estudo da radiao sonora
de corpos rgidos oscilantes com grandes amplitudes e baixo nmero de
Mach. Este trabalho foi aplicado visando compreender os efeitos fsicos
da no linearidade geomtrica de uma placa em movimento harmnico.
Um modelo em elementos finitos (Figura 3) foi desenvolvido e validado
por meio de experimentos (Figura 4) no qual foi medida a presso
sonora irradiada pela placa oscilando com grandes amplitudes de
deslocamento. A resposta de uma esfera de poliestireno pendurada
prxima placa, sendo excitada pelas ondas sonoras radiadas pela placa,
tambm medida. O objetivo deste experimento foi demonstrar a
validade do modelo em elementos finitos para predizer o campo acstico
no linear quanto excitao de estruturas secundrias prximas ao
corpo vibrante.
Figura 3 - Modelo idealizado da cavidade acstica, placa e esfera. Fonte:
ROOZEN, RUTJES e NIJMEIJER (2010).
41
Figura 4 - Configurao do experimento, com a placa, esfera de poliestireno,
microfone e vibrmetro a laser. Fonte: ROOZEN, RUTJES e NIJMEIJER
(2010).
A partir desta configurao de experimento os efeitos de no
linearidade geomtrica so estudados em detalhe, tanto
experimentalmente quanto numericamente.
O modelo de elementos finitos desenvolvido descreve a
radiao acstica de corpos oscilando com grandes amplitudes de
deslocamento. As grandes amplitudes causam efeitos de no linearidade
geomtrica que resultam em campos acsticos ricos em harmnicas,
embora o fluido ainda se comporte linearmente. A abordagem numrica
utilizou a formulao Lagrangeana-Euleriana Arbitrria para representar
os efeitos da no linearidade geomtrica, por meio da malha mvel
adaptativa. Desta forma, os efeitos no lineares se concentram na no
linearidade geomtrica da grande amplitude do corpo e admite-se o
fluido como modelo linear.
Segundo os autores, a aplicabilidade deste modelo somente
vlida para pequenos nmeros de Mach acstico, de forma anloga ao trabalho de Frost e Harper (1975). Para que as no linearidades do fluido
possam ser desconsideradas admite-se que o valor do nmero de Mach
acstico seja muito menor que um.
Portanto, o domnio acstico do modelo que compreende o
volume de ar ao redor do corpo oscilante calculado utilizando a
equao harmnica de Helmholtz no domnio do tempo.
A estrutura secundria representada pela esfera de poliestireno
no experimento modelada como um corpo rgido. A equao utilizada
para calcular o deslocamento global da estrutura
(2.4)
42
onde a massa do corpo rgido, ( ) so os deslocamentos globais em cada direo e a integral das foras que atuam na superfcie da estrutura secundria. A forca componente normal da fora dada por
(2.5)
onde representa a direo normal superfcie e , a presso sonora. Para permitir o movimento do corpo com grande deslocamento
utilizado neste modelo o mtodo da Malha Mvel. Consiste em
redefinir a malha ao longo do tempo, adaptando-se s caractersticas da
nova geometria. Uma malha deformada pode ser til no caso do limite
do seu domnio computacional estar movendo-se com o tempo, ou
deformando-se com uma funo. Neste caso, a formulao
Lagrangeana-Euleriana Arbitrria usada para permitir a resoluo do
problema envolvendo grandes deslocamentos.
A tcnica utilizada neste modelo fez uso de uma coordenada
espacial ( ) e outra coordenada do n da malha na condio inicial no deformada ( ). Para descrever a coordenada espacial ( ) no mesmo n da malha na configurao deformada aps um instante so utilizadas as seguintes funes,
( ) ( ) ( ) (2.6)
Essas funes fazem a transformao de coordenadas para
relacionar os dois quadros. Na Figura 5 so representadas as duas
coordenadas na condio no deformada e deformada.
Figura 5 Exemplo de malha a) no deformada e b) deformada com as
coordenadas de referncia e espacial. Fonte: COMSOL USER GUIDE (2012).
O movimento da placa dado na forma de condio de
contorno de acelerao prescrita no contorno do domnio acstico. O
sinal de entrada do modelo representado na Figura 6.
a) b)
43
Figura 6 - Condio de entrada do movimento da placa, deslocamento, ---
velocidade, acelerao. Fonte: ROOZEN, RUTJES e NIJMEIJER (2010).
Observa-se que o sinal mostrado na Figura 7 representa uma
composio de harmnicas e no de um sinal tonal. O sinal de
deslocamento que aparenta ser uma funo senoidal pura no domnio do
tempo perde a forma de uma onda pura medida que derivado para
velocidade e acelerao. O sinal de acelerao usado como entrada para
representar o movimento da placa representa uma composio de
harmnicas mpares conforme a caracterstica do prprio sinal de
entrada, sendo a frequncia fundamental do movimento 3,52Hz. Esta
condio pode ser observada no espectro de frequncia do sinal,
mostrado na Figura 7.
Figura 7 - Espectro de frequncia do sinal de entrada. Fonte: ROOZEN,
RUTJES e NIJMEIJER (2010).
44
Os resultados da simulao foram validados atravs de dados
experimentais obtidos na bancada mostrada de forma esquemtica na
Figura 8.
Figura 8 Configurao esquemtica do experimento para anlise acstica do
movimento da placa. Fonte: ROOZEN, RUTJES e NIJMEIJER (2010).
As simulaes foram realizadas utilizando a condio de
entrada da placa mostrada na Figura 7. A acelerao aplicada no
contorno do domnio acstico que por sua vez fora o deslocamento da
placa sobre a malha. Nas simulaes, foi calculado o campo de presso
sonora em volta da placa em movimento, assim como o movimento da
esfera.
O resultado obtido pelos autores apresentado na Figura 9, que
mostra o espectro de presso sonora na posio do microfone obtido
atravs da simulao no linear e pelo experimento. Nota-se a presena
de harmnicas pares que no fazem parte do sinal de entrada. O
surgimento dos novos harmnicas atribudo no linearidade
geomtrica. Devido grande amplitude de deslocamento, as superfcies
que geram a presso sonora encontram-se em posies distintas em
relao ao microfone durante a acelerao e desacelerao. Segundo os
autores, isso causa diferenas no comportamento da presso medida
durante a compresso e rarefao ao longo do tempo. O sinal da resposta
obtida uma funo assimtrica no tempo que s pode ser descrito por
meio de harmnicos pares e mpares. O pico que se encontra entre o
terceiro e quarto harmnico na resposta experimental, segundo os
45
autores, se trata de rudo de fundo, uma vez que o mesmo captado
tambm quando no h movimento da placa.
Figura 9 Comparao entre o auto espectro de presso sonora experimental e
numrica na posio do microfone.
Em ambos os trabalhos apresentados nesta Seo, a anlise
limitada pela condio de pequeno nmero de Mach. Anlises em que o
nmero de Mach ultrapassa a condio imposta exigem uma formulao mais completa da equao da onda considerando os efeitos cumulativos.
2.4. Acstica no linear em fluidos
Fenmenos acsticos onde a teoria linear da onda no mais
representa satisfatoriamente o problema devido a elevados nveis de
presso sonora so conhecidos como ondas de amplitude finita (finite
amplitude wave). As teorias para propagao de ondas de amplitude finita foram inicialmente discutidas no sculo 18 e incio do sculo 19
por Euler, Poisson e Lagrange (HAMILTON e BLACKSTOCK, 1998).
A partir de ento o interesse pela acstica no linear vem crescendo
expressivamente.
Um dos fenmenos no lineares mais importantes na
propagao de ondas de amplitudes finitas a deformao da onda. Esse
efeito mais acentuado quanto maior a frequncia das ondas, portanto, o
estudo da no linearidade acstica tem se tornado importante em
aplicaes de alta frequncia como o caso de ultrassom. No trabalho de
Liu et. al (2000) foram estudadas os efeitos no lineares na propagao
46
de ondas de amplitude finita em frequncias e amplitudes de aplicaes
biomdicas de equipamentos de ultrassom. Observou-se que devido aos
efeitos no lineares a distncia de alcance das ondas do equipamento era
reduzida. Outros trabalhos como os realizados por Cai e degard (2000)
e Hoffelner et. al (2001) fazem uma abordagem no linear em
problemas envolvendo ultrassom utilizando a equao de Kuznetsov
(KUZNETSOV, 1971). No entanto, as no linearidades no se limitam
somente s altas frequncias. A gerao de ondas de amplitude finita
ocorre tambm em campos acsticos onde ocorrem ressonncias, como
o caso de uma cavidade, podendo tambm estar presente na propagao
de ondas a longas distncias.
Walsh (2007) aplicou a equao da onda no linear de
Kuznetsov e demonstrou numericamente a diferena entre a abordagem
linear e no linear no caso de um tubo com comprimento suficiente
longo para formao da onda de choque (Figura 10). O autor apresenta
uma comparao da presso sonora radiada em uma cavidade quando
excitada na frequncia de ressonncia usando a formulao linear e no
linear (Figura 11). Atravs da soluo analtica de Fubini (HAMILTON
e BLACKSTOCK, 1998) feita a validao do modelo numrico.
Figura 10 Formao da onda de choque em um tubo pela teoria no linear de
acstica. Fonte: WALSH (2010).
47
Figura 11 Comparao da presso sonora em uma cavidade sendo excitada na
frequncia de ressonncia, utilizando teoria linear e no linear de acstica.
Fonte: WALSH (2010).
Rasmussen (2009) faz uma anlise detalhada comparando
diferentes modelos de equao da onda no linear aplicados para gases
perfeitos e outros fluidos. A fim de avaliar a preciso das equaes de
onda, suas solues so comparadas s formulaes lineares das quais
elas derivam.
2.5. Abordagem CFD em acstica
A utilizao de CFD (Computational Fluid-Dynamics) na
abordagem de problemas de acstica tem sido largamente utilizada nas
ltimas dcadas. Diversas teorias bastante conhecidas como a Analogia
Acstica de Lighthill e suas variaes vm sendo aplicadas com sucesso
no campo da acstica. No entanto, observa-se que o foco das aplicaes
de CFD na rea de acstica est mais especificamente no campo da
aeroacstica, onde a fonte sonora est relacionada ao desprendimento de
vrtices no escoamento. Publicaes relacionadas aeroacstica so
inmeras, na qual podem ser citados os trabalhos de Liu (2012), Wu
(2011), Carlos (2010) e Verhoeven (2011), que procuram predizer o
rudo gerado pelo escoamento de um fluido interagindo com uma
estrutura associada.
48
Middelberg et al. (2004) utilizaram a abordagem CFD para
predizer o comportamento acstico de mufflers (silenciadores ou filtros
acsticos). Ao fluxo de entrada do filtro aplicada uma flutuao de
presso na faixa de frequncia de interesse observando, assim, o quanto
a presso atenuada na sada do filtro. Utilizou o modelo de turbulncia
para predizer os efeitos de turbulncia no fluido. O resultado obtido comparado aos resultados experimentais de Selamet e Radavich
(1997) mostrando que a abordagem de CFD pode ser utilizada para
predizer o comportamento acstico de mufflers com diferentes
configuraes de volume (Figura 12). Observou-se que a concordncia
entre a abordagem CFD e a experimental melhor para frequncias
abaixo de 1 .
Figura 12 - Comparao da Perda de Transmisso (Transmission Loss) entre o
resultado numrico em CFD com resultado experimental. Fonte:
MIDDELBERG ET. AL. (2004).
Entende-se que a simulao numrica por meio de CFD para
predio de irradiao acstica de estruturas no interessante em boa
parte dos casos devido maior complexidade computacional envolvida.
A abordagem utilizando teorias da prpria acstica baseada na equao
da onda so mais prticas e computacionalmente menos onerosas.
A propagao de ondas sonoras e o rudo gerado pelo
escoamento pode muito bem ser representado pelas equaes
fundamentais de continuidade, de conservao da quantidade de
movimento e de energia combinados com a equao do estado. Estas
49
equaes do origem s equaes de Navier Stokes. A grande vantagem
da abordagem CFD a capacidade de considerar fontes de rudo
oriundas do escoamento. No entanto, sua utilizao para abordar
problemas com fontes de origem mecnica continua sendo vlida,
exemplo disso so os problemas considerando acoplamento fluido-
estrutura.
50
51
3. ABORDAGENS NUMRICAS DO CAMPO ACSTICO GERADO POR GRANDES AMPLITUDES DE
DESLOCAMENTO
3.1. Introduo
Este captulo apresenta a anlise do efeito das grandes
amplitudes de deslocamento no campo acstico gerado. Neste problema
as no linearidades concentram-se nas condies de contorno, uma vez
que o meio fluido tratado de forma linear. A anlise deste efeito
realizada por meio de duas abordagens numricas diferentes. A primeira
abordagem em um modelo acstico baseado na equao da onda. A
representao do campo acstico gerado por fontes oscilando com
grandes deslocamentos baseada na abordagem utilizada por Roozen e
Nijmeijer (2010). Neste modelo numrico utilizou-se o Mtodo dos
Elementos Finitos, sendo o domnio acstico modelado apresentando
comportamento linear e atravs da ferramenta numrica do mtodo da
malha mvel, so considerados os efeitos de grandes deslocamentos. O
segundo modelo numrico consiste na utilizao da teoria de dinmica
dos fluidos computacional (CFD) para predizer o campo de presso
gerado. Em ambos os casos tem-se interesse no campo acstico prximo
da fonte.
Inicialmente, so descritas a fundamentao terica e
particularidades do modelo acstico FEM e do modelo CFD. Para a
anlise acstica so detalhadas a obteno da equao da onda linear e a
formulao Euleriana Lagrangeana Arbitrria, que permite a
considerao das grandes amplitudes de deslocamento da fonte. Em
seguida, ser descrita a utilizao da abordagem CFD para problemas de
acstica, alm de mtodos computacionais para CFD, o modelo de
turbulncia , entre outras consideraes sobre a metodologia numrica adotada.
Na etapa seguinte, os resultados numricos e experimentais de
Roozen e Nijmeijer (2010) so utilizados para efeitos de comparao
para verificao das abordagens numricas. E, finalmente, as duas
abordagens so utilizadas para analisar os efeitos das grandes
amplitudes de deslocamento da fonte no caso simplificado de uma mola.
52
3.2. Formulao pela acstica clssica
Pode-se afirmar que a formulao para acstica clssica que
descreve a propagao de uma onda j foi estudada exaustivamente no
meio acadmico. Entretanto, a deduo da equao linear da onda ser
aqui reapresentada salientando as condies e consideraes limitantes
da equao da onda.
A equao da onda clssica permite a obteno da presso no
fluido gerada por uma fonte de vibrao respeitando as devidas
restries impostas na sua formulao.
A obteno da equao da onda se d por meio das equaes
do estado, de conservao da massa e da conservao da quantidade de
movimento. Para obteno da formulao da equao da onda clssica,
so feitas algumas consideraes:
O fluido no apresenta comportamento viscoso
A propagao da onda um processo adiabtico
A amplitude de onda sonora relativamente pequena, de modo que as variaes de densidade do meio so pequenas quando
comparadas ao seu valor de equilbrio.
Essas hipteses so consideradas no desenvolvimento da
equao da onda vlida para comportamento linear com a amplitude, e
sem perdas. Trata-se de tima aproximao para ondas de pequenas
amplitudes e baixos nveis de presso sonora.
3.2.1. Equao do estado
A equao do estado uma equao termodinmica que
descreve o estado da matria sob um conjunto de condies fsicas.
Trata-se de uma equao constitutiva a qual prov uma relao entre
funes do estado associados com a matria, tais como temperatura,
presso, densidade, energia interna, entropia e entalpia.
Observando que os processos acsticos considerados nesse
equacionamento so aproximadamente isentrpicos, a troca de energia
trmica entre camadas adjacentes do fluido e as perdas viscosas so
desprezadas. Nessas condies, a entropia do fluido permanece
aproximadamente constante. Desta forma, pode-se escrever uma relao
entre a presso sonora e a densidade, considerando entropia constante
utilizando uma expanso em srie de Taylor
53
(
)
( )
(
)
( ) (3.1)
sendo e a presso total e do meio, respectivamente, a densidade local, e a densidade do meio e a entropia do meio. As derivadas parciais desta expanso so constantes
determinadas para compresso isentrpica e expanso do fluido em
torno de sua densidade de equilbrio.
Considerando acstica linear, apenas os termos de primeira
ordem da expanso so considerados. Obtm-se assim, uma relao
linear entre a flutuao de presso e a mudana de densidade. Na Seo
3.2 o desenvolvimento da equao da onda feito considerando termos
adicionais da expanso de Taylor, onde o processo de compresso e
rarefao na onda acstica tem relao no linear com a presso.
A primeira derivada da presso em relao densidade
representa o quadrado da velocidade do som no meio.
(3.2)
3.2.2. Equao da Continuidade
Tambm conhecida por equao da conservao da massa, a
equao da continuidade relaciona a taxa de variao da massa no
interior de um elemento de volume infinitesimal. Esta fornece uma
relao entre a velocidade de partcula do fluido com sua densidade instantnea, dada por
( ) . (3.3)
A introduo da equao da continuidade na obteno da
equao da onda linear se d pela linearizao das grandezas acsticas
que apresentam pequenas variaes em torno dos valores de equilbrio.
Neste caso, a variao de densidade na perturbao acstica
considerada pequena o suficiente para ser desprezada e a equao da
continuidade pode, ento, ser escrita na forma
(3.4)
54
Atravs da relao termodinmica do Estado com entropia
constante, uma variao infinitesimal da presso pode ser expressa por
(3.5)
e a equao da continuidade assume a seguinte forma:
. (3.6)
3.2.3. Equao da quantidade de movimento
As equaes da conservao da quantidade de movimento so
deduzidas a partir de um balano de foras/quantidade de movimento
referente a um volume infinitesimal de fluido. Desprezando as foras de
campo e as viscosas, estas equaes podem ser escritas na forma
. (3.7)
Desprezando os termos convectivos da derivada da velocidade
de partcula, , em relao ao tempo e para pequenas variaes de densidade em relao do meio, obtm-se
(3.8)
3.2.4. Equao da onda linear
A fim de se eliminar o termo das equaes 3.6 e 3.8, aplicam-se as derivadas cruzadas obtendo-se, assim, a equao da onda
linearizada,
. (3.9)
3.2.5. Abordagem Euleriana-Lagrangeana Arbitrria
Anlises de objetos vibrantes com grandes amplitudes
necessitam ser tratados como problema de fronteira mvel, em que a
superfcie do domnio movimenta-se induzindo uma modificao
geomtrica do domnio ao longo do tempo. No presente trabalho, a
estratgia adotada consiste em modificar unicamente a posio dos ns
55
ao longo do tempo sem alterar o arranjo estrutural de elementos que
constituem a malha. Esta abordagem mostrada na Figura 13. Nesse
contexto, estabelecida uma formulao que considera um algoritmo de
malha mvel.
Figura 13 Exemplo de malha no deformada (a) e deformada (b), mantendo o
arranjo estrutural dos elementos.
As equaes diferenciais que regem o comportamento de um
fenmeno fsico so normalmente formuladas ou em um sistema de
coordenadas espacial com eixo de coordenadas fixo no espao, ou em
sistemas de coordenadas materiais fixados no material com suas
configuraes de referncia e acompanhando a deformao do material.
Este primeiro caso se refere formulao Euleriana, e o segundo conhecido como formulao Lagrangeana. No entanto, para permitir a
representao de grandes amplitudes de deslocamentos da fonte
utilizada a abordagem conhecida como formulao Euleriana-
Lagrangeana Arbitrria (ALE - Arbitrary Lagrangean-Eulerian) que
combina as vantagens das abordagens Euleriana e Lagrangeana.
56
Entre a abordagem Lagrangeana, citam-se, por exemplo, os
mtodos onde a malha move-se juntamente com o escoamento. Nesta
formulao define-se uma regio material formada por um conjunto de
partculas de fluido, denominado volume de controle Lagrangeano, ou
uma regio do material. Alm de problemas de escoamentos de fluido,
esta abordagem utilizada tambm em modelos de mecnica estrutural
que abordam uma possvel anisotropia de materiais, normalmente
slido, que so mais convenientes de simular usando coordenadas
materiais. A formulao Lagrangeana faz com que as propriedades
anisotrpicas do material sejam independentes da orientao espacial do
material (COMSOL USER GUIDE, 2012).
J na formulao Euleriana, define-se uma regio fixa no
espao que no se deforma em relao ao tempo onde o comportamento
do domnio ser estudado. Um problema inerente formulao
puramente Euleriana refere-se ao fato de que esta no pode tratar do
movimento dos limites do domnio, uma vez que as grandezas fsicas
referem-se a pontos fixos no espao enquanto que o conjunto de pontos
espaciais dentro dos limites do domnio muda com o tempo. Portanto,
para permitir o movimento das fronteiras a equao Euleriana necessita
ser reescrita de forma a descrever todas as grandezas fsicas em
funo de um sistema de coordenadas em que as fronteiras so fixas, no
caso, as coordenadas da malha. No sistema de coordenadas da malha, o
domnio fixo e h um mapa de uma-a-uma coordenada da malha para a
atual coordenada espacial do domnio. Caso contrrio, o sistema de
coordenadas da malha poderia ser definido livremente e separado de
ambos os sistemas espaciais e materiais.
Reescrevendo a equao desta maneira, em uma malha
movimentando-se livremente, resulta no mtodo Euleriano-Lagrangeano
Arbitrrio. No caso especial onde o mapa da coordenada da malha para
a coordenada espacial segue a deformao do material, o mtodo
Lagrangeano restaurado. De modo semelhante, quando o mapa o
mapa identidade, o mtodo ALE se torna inteiramente Euleriano.
O mtodo ALE , desta forma, um mtodo intermedirio entre o
Lagrangeano e o Euleriano que combina os melhores recursos dos dois.
Permite o movimento dos limites sem a necessidade do movimento da
malha para seguir o material. Basicamente, o mtodo consiste em
reescrever as equaes de movimento do fluido de modo a compreender
a movimentao da geometria e, por consequncia, da malha. Esta
reformulao feita por meio de um remapeamento do domnio,
partindo de uma configurao inicial para uma configurao final,
ocorrida em um dado perodo.
57
Antes de fundamentar matematicamente a formulao ALE
vlido ressaltar as seguintes definies:
Domnio espacial o domnio comum, fixo, global, definido pelo sistema de coordenadas global. Na formulao ALE o
sistema de coordenadas espaciais em si fixo, embora a
coordenada espacial de um n ou de uma malha possa ser
funo do tempo.
Domnio material definido pelo sistema de coordenadas que identifica pontos materiais por suas coordenadas espaciais em
uma configurao de referncia.
Domnio referencial define os pontos da geometria original atravs do sistema de coordenada espacial.
Baseando-se em Fortes (2008) ser descrita a variao no tempo
das propriedades macroscpicas do fluido em um referencial movendo-
se com velocidade arbitrria e utilizando a formulao ALE.
Considerando os domnios, material como , de referncia como e espacial como , mostrados na Figura 14, na formulao ALE os domnios e apresentam movimento, enquanto est fixo.
Figura 14 Domnios utilizados na formulao ALE.
Quando uma partcula de fluido que ocupa o domnio se move para um ponto em um dado instante de tempo no domnio espacial, o movimento de um fluido pode ser descrito por uma
transformao tal que ( ). Define-se, assim, a velocidade da partcula do fluido no domnio espacial como
58
|
( ). (3.10)
De forma anloga, seja a transformao que descreve o movimento de um ponto no domnio para um ponto no domnio , tal que a velocidade do ponto no domnio espacial pode ser definida como
|
( ). (3.11)
Define-se agora uma propriedade expressa como funo de ( ) ou ( ), ou seja, expressa atravs de uma descrio material (Lagrangeana) ou espacial (Euleriana). A expresso como funo de ( ) chamada de descrio referencial na formulao ALE. Considerando as seguintes derivadas temporais
( )|
( ( ) )|
|
( )
| ( ) ,
(3.12)
( )|
( ( ) )|
|
( )
| ( )
(3.13)
subtraindo (3.13) de (3.12), obtm-se
|
| (( ) ) (3.14)
que consiste na derivada material, ou substantiva, da propriedade em um referencial que se move com velocidade . Nota-se que na formulao Lagrangeana o domnio referencial
se desloca com a mesma velocidade do domnio material, ou seja, e, portanto, a variao no tempo da propriedade nos domnios referencial e material a mesma.
Na descrio Euleriana tem-se que o domnio referencial est
fixo em relao ao domnio espacial, tal que, e, portanto, a expresso da variao no tempo de no domnio material dada por
59
|
| ( ) , (3.15)
a qual corresponde derivada material de utilizando-se uma descrio Euleriana.
3.3. Formulao pela dinmica dos fluidos computacional
De forma geral, o fenmeno acstico ou aeroacstico pode ser
expresso por meio das equaes de conservao da massa, da
quantidade de movimento e energia combinada ao estado inicial. No
entanto, segundo Wu (2011), a abordagem de problemas acsticos por
meio de CFD no deve ser feita simplesmente utilizando os cdigos de
dinmica dos fluidos computacional e resolvendo as equaes
incompressveis de Navier Stokes. Existem distines entre o
comportamento acstico prximo e distante da fonte. Alm disso,
algumas caractersticas e objetivos do problema acstico costumam ser
diferentes da maioria das abordagens encontradas em CFD.
A abordagem fluidodinmica no problema da gerao de rudo
implica na capacidade de resolver problemas de turbulncia com uma
considervel preciso. Por definio, o modelamento de problemas
acsticos por meio das equaes de Navier Stokes dependente do
tempo e o seu tratamento deve ser feito considerando a devida escala de
tempo relevante anlise sonora. Uma vez que se est interessado na
resposta acstica, as simulaes devem considerar uma resoluo
prpria para a faixa do espectro de interesse. Em aeroacstica,
normalmente necessria a abordagem envolvendo toda a faixa do
espectro de frequncia sensvel ao ouvido humano.
Outro desafio na predio numrica da onda sonora deve-se ao
fato de que estas possuem muito menos energia que as flutuaes do
escoamento do fluido. Segundo Biswas e Ohtomi (2008), a energia
sonora irradiada consideravelmente menor que a energia mecnica de
um problema de escoamento. O procedimento numrico necessrio para
resolver problemas de escoamento aliado ao campo acstico deve ter
uma preciso considervel a fim de se evitar rudo numrico na resposta.
A irradiao de energia acstica para um campo distante da
fonte tambm pode se tornar um desafio neste tipo de modelagem. As
perturbaes do fluido em uma anlise de escoamento geralmente
decaem rapidamente medida que se afastam da fonte geradora,
enquanto que as ondas acsticas possuem um decaimento lento
atingindo os contornos do domnio acstico (WU, 2011). A modelagem
60
numrica de tais fenmenos requer tambm a introduo de fronteiras
artificiais para evitar as reflexes de ondas sonoras que retornam ao
domnio de clculo e que poderiam contaminar a soluo.
De forma geral, pode-se definir a abordagem de problemas
acsticos em dois tipos: a abordagem direta e a hbrida. A abordagem
direta resolve simultaneamente o escoamento do fluido e o campo
acstico. Comumente utilizada em problemas de aeroacstica, a
abordagem direta requer grandes recursos computacionais. J a
abordagem hbrida, amplamente utilizada a fim de simplificar tais
solues dividindo artificialmente o problema em campo prximo e
campo distante.
Dentre os principais mtodos computacionais utilizados para a
resoluo de escoamentos turbulentos tem-se o Mtodo Numrico
Direto (Direct Numerical Method DNS), Large Eddy Simulation (LES),
Detached Eddy Simulation (DES) e o Reynolds-Averaged Navier-
Stokes (RANS). As fontes acsticas obtidas podem tambm ser
aplicadas a uma segunda soluo a qual envolve a radiao e
propagao em campos distantes atravs dos mtodos das equaes de
FW-H (FFOWCS e HAWKINGS, 1969), equaes linearizadas de
Euler (LEE) (CHEN, HUANG e ZHANG, 2009) ou Acoustic
Perturbation Method (APE) (EWERT e SCHRDER, 2003). Em
seguida ser apresentado um resumo de alguns dos mtodos citados.
I. DNS (Direct Numerical Simulation): A DNS ou a Simulao Numrica Direta a simulao em dinmica dos fluidos
computacional onde as equaes de Navier Stokes so
resolvidas sem o acoplamento de nenhum outro modelo,
inclusive modelos de turbulncia. Este mtodo representa uma
valiosa ferramenta no estudo e entendimento das propriedades
fundamentais da turbulncia. Entretanto, para resoluo de
todos os parmetros faz-se necessria uma discretizao
suficientemente refinada da malha. Alm disso, requer uma
resoluo numrica extremamente alta devido ampla faixa de
comprimentos de onda e escala de tempo. Wesseling (2000)
demonstra que a quantidade de elementos de malha
proporcional a aproximadamente , ou seja, para um escoamento com nmero de Reynolds da ordem de 10
5 so
necessrias cerca de 1010
clulas de malha, que uma
quantidade insustentvel para a infraestrutura computacional
atual usualmente disponvel nos laboratrios de pesquisa. Este
fator limita sua aplicao a problemas com nmeros de
Reynolds moderados e geometrias simplificadas, sendo,
61
portanto, invivel para a maioria das aplicaes prticas da
engenharia.
II. LES - Large Eddy Simulation: A formulao LES uma abordagem capaz de modelar fluxos turbulentos baseada na
teoria de Kolmogov. A teoria de Kolmogov calcada na
condio onde o comportamento do fluido passa a ser universal
e a homogeneidade e isotropia so assumidas. Nesse processo, a
energia cintica transferida em forma de cascata das grandes
escalas s menores onde finalmente a energia passa a ser
dissipada por efeitos viscosos (FREIRE, ILHA e COLAO,
2006). A abordagem LES se torna prtica para resolver somente
problemas com grandes escalares. Segundo Liu (2012), a regio
de parede nesse caso necessita uma representao de malha
extremamente fina, no somente na direo perpendicular, mas
tambm paralela parede. Em funo desta caracterstica a
formulao LES, apesar de ser menos onerosa que a DNS em
termos de recurso computacional, ainda demanda considervel
custo quando comparada ao RANS (Reynolds Averaged Navier-
Stokes). III. Equaes Mdias de Reynolds (RANS): Na soluo de
problemas de escoamento, quando se observam escalas de
tempo muito superiores s escalas das flutuaes turbulentas, o
escoamento pode exibir caractersticas mdias. Em geral, estes
modelos de turbulncia procuram modificar as equaes
originais de Navier Stokes, introduzindo quantidades mdias e
flutuantes, produzindo assim as Equaes Mdias de Reynolds
(RANS). Estas equaes resolvem as quantidades mdias do
escoamento enquanto modelam os efeitos da turbulncia sem
necessariamente resolver as flutuaes da mesma
(WESSELING, 2000). Os modelos de turbulncia baseados nas
equaes mdias de Reynolds so conhecidos como modelos
estatsticos devido ao procedimento empregado na obteno do
sistema de equaes. O mtodo RANS reduz drasticamente o
esforo computacional, quando comparado simulao
numrica direta (DNS) e simulao de grandes escalas (LES),
sendo, por este motivo, empregada na maioria dos clculos
prticos de engenharia. Contudo, este procedimento introduz
termos adicionais desconhecidos, contendo produtos das
flutuaes de turbulncia. Estes termos, chamados de tenses
turbulentas ou tenses de Reynolds, so desconhecidos e devem
ser modelados por equaes adicionais, de quantidades
62
conhecidas. Isto implica na existncia de um nmero suficiente
de equaes para todos os termos desconhecidos, incluindo o
tensor de tenses de Reynolds. As equaes utilizadas no
processo de fechamento definem o tipo de modelo de
turbulncia (CFX V.10 MANUAL GUIDE, 2005).
3.3.1. Nmero de Reynolds
A determinao do regime de um escoamento frequentemente
feita atravs do nmero de Reynolds. Este nmero adimensional
relaciona as foras de inrcia com as foras viscosas, definido por
(3.16)
sendo a densidade, a velocidade caracterstica, dimenso caracterstica e a viscosidade. No entanto, no caso analisado aqui, no h um escoamento propriamente dito. O fluido sofre perturbaes
devido vibrao de uma fonte oscilando com grandes amplitudes de
deslocamento. No estudo de escoamento atravs de um cilindro
definem-se diversas condies de regime para diferentes faixas de
Reynolds, conforme Figura 15. Porm, esta anlise no se aplica no caso
estudado nessa dissertao para determinao do regime operante, uma
vez que a estrutura oscila dentro de um fluido em repouso. Adotou-se a
considerao regime laminar para descrever o comportamento fluido.
No decorrer do trabalho mostrado uma comparao considerando
regime laminar e a utilizao do modelo de turbulncia com uma configurao de malha de maior refino.
63
Figura 15 - Configurao do escoamento ao redor de um cilindro em funo de
Reynolds. Fonte: LIENHARD (1966).
3.3.2. O modelo de turbulncia
O modelo um dos modelos de turbulncia mais utilizados para aplicaes industriais. Sua implementao est presente
na maioria dos cdigos CFD de uso geral e, atualmente, o modelo
padro usado na indstria, principalmente pelas caractersticas de
estabilidade, robustez numrica e capacidade de predio comprovada.
Para simulaes generalizadas mostra-se robusto e preciso (CFX V.10
MANUAL GUIDE). Por estes motivos adotou-se o modelo de
turbulncia na realizao das simulaes deste trabalho. Neste modelo, representa a energia cintica turbulenta e definida como a soma das energias cinticas dos componentes normais
do tensor de Reynolds, ou seja, ( ) . a taxa de dissipao turbulenta. A viscosidade turbulenta modelada conforme
a seguinte equao:
(3.17)
onde uma constante, semelhante a , que vale .
A equao de transporte da energia cintica ( ) dada por
64
( )
( ) *(
) + (
)
(3.18)
A equao de transporte
( )
( ) *(
) +
(
)
(3.19)
sendo e so constantes que valem 1,44 e 1,92, respectivamente. Pr o nmero de Prandlt turbulento igual a 1 para a energia cintica
( ) e 1,3 para a taxa de dissipao ( ).
3.3.3. Acoplamento fluido-estrutura
A aplicao do acoplamento fluido-estrutura est dividida em
duas metodologias de soluo, a particionada (one-way) e a monoltica (two-way) (TEIXEIRA, 2001). Na metodologia particionada, as equaes governantes do meio fluido e estrutura so
integradas no tempo alternadamente, de forma isolada. J na monoltica,
os campos so tratados como uma nica anlise, permitindo avano
simultneo para os dois domnios.
Neste trabalho, foi utilizada a metodologia particionada que
considerada a mais simples. A troca de informaes se d apenas em
uma direo. As solues da simulao estrutural so calculadas, e em
seguida, servem de condio de contorno para a simulao
fluidodinmica. A comunicao entre as anlises realizada atravs da
superfcie onde ocorre a interao de ambos os modelos, obedecendo
somente um sentido, o da estrutural para a fluidodinmica. Na Figura 16
apresentado um fluxograma esquemtico da dinmica de interao
one-way.
65
Figura 16 - Fluxograma esquemtico da interao unidirecional.
A grande maioria das simulaes envolvendo acoplamento
fluido-estrutura segue o sentido contrrio do mostrado na Figura 16, ou
seja, os resultados da anlise fluidodinmica so utilizados como
entrada para a anlise estrutural. Neste trabalho, o acoplamento
utilizado a fim de facilitar a aplicao de deslocamento, velocidade ou
acelerao no contorno da superfcie de interface.
3.3.4. Metodologia numrica
A soluo analtica das equaes de Navier-Stokes torna-se
invivel para grande parte dos problemas prticos de engenharia. Para
obteno dos resultados de flutuao de presso ou escoamentos em
condies no triviais, uma aproximao numrica pode ser adotada
com o intuito de resolver o conjunto de equaes algbricas que
descrevem o fenmeno.
O cdigo CFD empregado nesta simulao adota a aproximao
pelo Mtodo dos Volumes Finitos (FVM Finite Volume Method) para a discretizao das equaes governantes, resolvendo-as para pequenos
domnios denominados volumes de controle (CV).
A aproximao realizada pelo mtodo numrico envolve a
discretizao do domnio espacial em volumes de controle finitos
utilizando-se de uma malha computacional. As equaes governantes
so integradas para cada volume de controle, de forma que as variveis
relevantes, como massa e energia, sejam conservadas discretamente para
cada volume de controle. No mtodo FVM o volume de controle
formado pelo somatrio dos sub volumes de controle adjacentes que
envolvem o n.
Na Figura 17 mostrada uma estrutura tpica de malha com
espessura unitria. A superfcie do volume de controle finito
66
representada pela rea hachurada, sendo que as solues das variveis e
propriedades do fluido ficam armazenadas nos ns.
Figura 17 Estrutura tpica do volume de controle utilizada no mtodo dos
volumes finitos.
Sendo a equao diferencial da conservao da massa (equao
da continuidade), dada por:
( )
( )
(3.20)
para se chegar aproximao numrica atravs da integrao no volume
finito, realiza-se a integrao sobre o volume mostrado na Figura 18,
obtendo-se
* ( )
( )
+
(3.21)
[ | | ]
[ | ]
(3.22)
sendo e so os pontos de integrao.
67
Figura 18 - Balano de massa no volume finito.
Considerando que o fluxo de massa avaliado no meio da face do
volume de controle representa a mdia de variao na face, pode-se
escrever a equao aproximada para o volume :
| |
|
|
(3.23)
Nos tpicos seguintes sero apresentados detalhes, obtidos de
ANSYS (2012), a respeito da obteno das equaes governantes e
abordagem de soluo numrica.
3.3.4.1. Acoplamento presso-velocidade
Na resoluo numrica de uma nica equao diferencial a
incgnita localizada no centro do volume de controle, porm, no caso
de mais de uma equao existem diferentes mtodos disponveis para o
acoplamento das incgnitas. Segundo Coelho (2006) o desafio do estudo
do acoplamento entre presso e velocidade consiste em determinar um
campo de presses que quando inserido nas equaes do movimento,
origine um campo de velocidades que satisfaa a equao da
conservao da massa, ou seja, existe um forte acoplamento entre a
presso e a velocidade, causando assim dificuldades para a soluo do
sistema de equaes.
Entre os mtodos de acoplamento mais difundidos destaca-se a
famlia de algoritmos SIMPLE. Baseia-se na utilizao de uma relao
entre correes de velocidade e presso de forma a reorganizar a
68
equao da continuidade em termos de um clculo de correo de
presso (MENDES, 2007). No cdigo comercial CFX, uma estratgia
similar adotada considerando as alteraes propostas por Rie e Chow
(1982) para a discretizao dos fluxos de massa, evitando o
desacoplamento e as modificaes de Majumdar (1988) para remover a
dependncia da soluo em estado estacionrio em relao aos passos de
tempo (CFX V.14 MANUAL GUIDE, 2012).
3.3.4.2. Funes de forma
Segundo Rezende (2005), funes de forma, ou funes de
peso, so funes que descrevem como uma determinada propriedade
varia em cada elemento, sendo contnuas e diferenciveis no mesmo. A
varivel varia em relao a um elemento de controle da seguinte forma:
(3.24)
onde representa a funo de forma para o n de ndice e o valor de no n , considerando o somatrio sobre todos os ns de um elemento. As propriedades principais de uma funo de forma incluem:
no n {
. (3.25)
No software Ansys CFX utilizado neste trabalho, as funes de forma implementadas so funes trilineares e so utilizadas para
calcular diversas variveis geomtricas. A Equao 3.24 e a Figura 19
ilustram um exemplo da funo de forma para um elemento hexadrico.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) (3.26)
69
Figura 19 - Representao de elemento Hexadrico. Fonte: REZENDE (2005).
As funes de forma so tambm empregadas no clculo de
diversas outras variveis, como vetores e reas de superfcies.
3.3.4.3. Fronteiras mveis
A condio essencial para a representao numrica transiente
de campo acstico gerado por fontes com grandes amplitudes de
deslocamento a utilizao de malhas mveis. Esta condio
necessria uma vez que o domnio computacional encontra-se em
constante mudana devido ao movimento da fonte.
O problema envolvendo movimento da fronteira abordado
atravs da metodologia de malha deformada (deformed mesh). No
cdigo comercial ANSYS CFX o movimento pode ser imposto ou pode
ainda ser uma parte implcita da simulao acoplada de interao fluido-
estrutura. A especificao de movimento dos ns nas regies de
contorno, ou subdomnios da malha, pode ser imposta por funes. O
movimento do restante dos ns determinado pelo modelo de
movimento de malha, que neste caso limitado pelo modelo conhecido
como Difuso de Deslocamento (Displacement Diffusion) (ANSYS,
2012). Por meio deste modelo o deslocamento aplicado sobre os limites
do domnio difundido para outros pontos da malha atravs da seguinte
relao
( ) (3.27
70
em que o deslocamento relativo aos locais anteriores da malha e a rigidez da malha, que determina o grau com que as regies dos ns se movem. Esta equao resolvida no incio de cada passo de
iterao ou tempo de estado estacionrio.
A definio inadequada de um esquema numrico para soluo
da equao de difuso de deslocamento da malha pode acarretar
situaes onde a malha se dobre gerando valores de volume negativo ou tambm malhas de cantos afiados. A Figura 20 mostra um exemplo
do uso de dois esquemas diferentes difuso de deslocamento para a
malha.
Figura 20 - Exemplo de utilizao de esquema de difuso de deslocamento. a)
Malha original no deformada. b) Malha com Esquema de Difuso de
Deslocamento padro. c) Malha com esquema de Difuso de Deslocamento
meshdisp com fator 3.
3.4. Validao de resultados
Os resultados numrico e experimental do trabalho de Roozen, Rutjes e Nijmeijer (2010) sero usados para verificao das duas
abordagens numricas utilizadas neste trabalho. Os modelos numricos
tm como objetivo predizer o rudo gerado por corpos com grandes
amplitudes de oscilao. A descrio do problema de Roozen foi
abordada em detalhes na Seo 2.3. O mesmo problema reproduzido
71
pelas abordagens, acstica FEM e CFD, e os resultados confrontados
com a anlise experimental e tambm numrica.
Os modelos considerados nesta dissertao so todos modelos
2D. Estudos mostram que a considerao da geometria 2D para modelos
simtricos apresentam boa concordncia com resultados experimentais.
Takahashi et. al. (2010) mostrou que podem ser obtidos resultados
bastante prximos ao serem utilizados modelos 2D e 3D na predio do
rudo aerodinmico de bordas (edge tones), concluindo que a aproximao 2D adequada na determinao de rudos tonais. Liu
(2012) tambm fez uma anlise comparativa das abordagem 2D e 3D na
anlise do rudo gerado por um apito utilizando a abordagem CFD. Seus
resultados indicam boa concordncia com o modelo experimental, e o
autor recomenda a abordagem 2D em funo dos ganhos em tempo e
custo computacional.
A Figura 21 mostra as consideraes do modelo numrico
acstico de Roozen. Com exceo da base, todas as paredes do modelo
so definidas como parede no reflexiva. A base foi definida como
parede rgida. Foram utilizadas as propriedades do ar
e .
Figura 21 Consideraes do modelo acstico de Roozen, Rutjes e Nijimeijer
(2010).
