SIMULAÇÃO DA PARTIDA A FRIO DE ÓLEOS ... - app.uff.brapp.uff.br/riuff/bitstream/1/508/1/Projeto Final_Luan_Laurindo.pdf · Abstract The gelation of wax crude oils is an issue that

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO

CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO

SIMULAÇÃO DA PARTIDA A FRIO DE ÓLEOS PARAFÍNICOS A BAIXAS

TEMPERATURAS

MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO

LUAN CRISTIAN DE SALES LAURINDO

Niterói, 2014







TEMPERATURAS

Monografia apresentada ao

Curso de Engenharia de Petróleo

da Universidade Federal

Fluminense, como requisito

parcial para a obtenção do grau

de Bacharel em Engenharia de

Petróleo.

Orientador: Roney Leon Thompson

Orientador: Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio

Niterói

2014

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

L385 Laurindo, Luan Cristian de Sales

Simulação da partida a frio de óleos parafínicos a baixas temperaturas / Luan Cristian de Sales Laurindo. – Niterói, RJ : [s.n.], 2014. 57 f. Trabalho (Conclusão de Curso) – Departamento de Engenharia

Química e de Petróleo – Universidade Federal Fluminense, 2014. Orientadores: Roney Leon Thompson, Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio.

1. Engenharia de petróleo. 2. Óleo parafínico. 3. Reologia. 4. Método dos volumes finitos. I. Título.

CDD 665.5







TEMPERATURAS

Monografia aprovada em ____/____/____ para obtenção do título de Engenheira de

Petróleo

Banca Examinadora:

_______________________________________

Roney Leon Thompson - Orientador

_______________________________________

Luiz Eduardo Bittencourt - Orientador

_______________________________________

Geraldo de Souza Ferreira

_______________________________________

João Felipe Mitre de Araújo

AGRADECIMENTOS

Agradeço em primeiro lugar ao Senhor Todo-Poderoso, criador dos céus e da

terra, por ter me sustentado todos esses anos por meio da sua bondosa e generosa

Graça, concedida a mim por meio do Seu Filho Jesus Cristo. Agradeço também por

todo consolo que me foi concedido por meio do Espírito Santo do Senhor nos

momentos de ansiedade e preocupação.

Agradeço também a minha esposa Fernanda, que em tudo têm me apoiado e

estimulado nos dias tão intensos de produção deste projeto. Agradeço por seu amor,

carinho e paciência comigo por cada dia que temos passado juntos.

Agradeço aos meus pais, Marcelo e Márcia, por tudo o que fizeram por mim,

não somente nos anos de faculdade, mas durante todo a minha vida, pois são

responsáveis pelo que sou hoje.

Agradeço a Santa Igreja do Senhor, que tem me coberto com as suas

orações e tem oferecido consolo nos momentos difíceis. Agradeço em especial aos

meus pastores, John McAlister e Marcelo Maia, por todos os anos de ensino e

discipulado na Palavra.

Agradeço a toda equipe da IesBrazil, especialmente aos meus chefes e ao

pessoal da sala técnica. Aos meus chefes pela compreensão e por me

proporcionarem condições e ferramentas para produzir a minha monografia e ao

pessoal da sala técnica por me ajudarem em muitas dificuldades.

Agradeço aos meus orientadores, Roney Thompson e Luiz Sampaio, pela

paciência, pelos momentos de dedicação e pelo ensino.

"Ó profundidade da riqueza da

sabedoria e do conhecimento de

Deus! Quão insondáveis são os seus

juízos e inescrutáveis os seus

caminhos. Quem conheceu a mente

do Senhor? Ou quem foi seu

conselheiro? Quem primeiro Lhe deu

para que Ele o recompense? Pois

d’Ele, por Ele e para Ele são todas

as coisas, a Ele seja a Glória para

sempre, amém."

Romanos 11:33-36

Resumo

A gelificação de óleos parafínicos é uma questão que, apesar de já estar

sendo estudada há algumas décadas, ainda é um assunto que precisa ser muito

bem desenvolvido e aprofundando.

Uma vez que o cenário atual de produção de petróleo, principalmente o

brasileiro, está se concentrando cada vez mais em regiões onde este tipo de óleo é

presente, há uma crescente necessidade de um estudo aprofundado.

Os petróleos parafínicos são normalmente encontrados em reservatórios

localizados em água profunda e ultra profunda, onde a temperatura do leito marinho

é muito baixa. Quando, por qualquer motivo, a produção for interrompida e o

escoamento parar, o óleo que está na região do duto localizado no fundo do mar

troca calor com o ambiente. A troca de calor ocasiona precipitação dos cristais e

posterior gelificação com consequente mudança na reologia do óleo.

A questão é complexa pelo fato de a reologia do petróleo adquirir um

comportamento não newtoniano com dependência da temperatura após a

gelificação.

O objetivo do presente trabalho foi simular numericamente o escoamento de

um fluido viscoplástico de Bingham com um modelo capaz de representar a

dependência da reologia com a temperatura. O modelo é baseado na equação de

Arrhenius e foi implementado em um software livre chamado OpenFoam. Neste

programa, foi definida uma malha 2D que representasse um duto com comprimento

e raio bem definidos.

As simulações envolveram a aplicação de um gradiente de pressão durante

um tempo de 80 segundos. Foi feito uma amostragem a partir dos resultados obtidos

a partir da simulação e os dados foram plotados em programa livre chamado

Pyxplot.

Os resultados demostraram uma coerência muito boa do modelo de acordo

com o que era esperado. As regiões de Plug-flow características do material de

Bingham ficaram bem definidas. Também foi possível observar como essas regiões

variam com a tensão de cisalhamento e com o gradiente de pressão.

Os gráficos obtidos ilustraram bem a relação da viscosidade com a

temperatura e tensão de cisalhamento, mostrando claramente como o aumento

dessas grandezas diminuem os valores de viscosidade.

Por fim, foi construído também um gráfico considerando a influência da

variação do índice de potência na velocidade.

Palavras-chave: Óleos parafínicos, temperatura inicial de aparecimento de cristais,

temperatura de gelificação, reologia e volumes finitos.

Abstract

The gelation of wax crude oils is an issue that needs to be very well developed

and deepened, despite already being studied for several decades.

Since the current oil production scenario, mainly in Brazil, is focusing more

and more in regions where this type of oil is common, there is an increasing need of

a deeper study.

The wax crude oils are usually found in reservoirs located where the water is

deep or ultra-deep and the temperature are very low. When, for any reason, the

production is interrupted and the flow stops, the oil in the region of the pipe located

on the seabed heat exchange with the environment. This heat exchange causes the

precipitation of the wax and then the gelation of the material change rheology.

The issue is complex by the fact of the oil become non-newtonian with

temperature dependence after the gelation.

The goal of the present work was numerically simulate the flow of viscoplastic

Bingham material with a model capable to represent temperature dependency in

rheology. The model was based on the Arrenhius equation and implemented in a free

software called OpenFoam. In this program was defined a 2D mesh to represent a

pipe with length and radius well-defined.

The simulation involved the application of a pressure gradient during a time of

80 seconds. It was made a sampling from the results of the simulation and the data

was plotted using a free program called Pyxplot.

The results displayed a good coherence of the model in accordance with what

was expected. The Plug-flow regions typical of Bingham material have been well

defined. It was also possible observe how this regions change with shear stress and

the pressure gradient.

The graphs also displayed the viscosity relation with shear stress and

temperature, showing that the increasing of these magnitudes causes low viscosity

values.

Lastly, it was constructed a graph considering variation power-law index

influence on velocity.

Key-words: Wax crude oils, wax appearance temperature, gelation

temperature, rheology and finite volume.

Sumário

1 Introdução ............................................................................................................... 1

1.1 Apresentação do tema ..................................................................................... 1

1.2 Propriedades dos fluidos parafínicos ............................................................ 2

1.2.1 Estrutura cristalina ................................................................................................................... 2

1.2.2 Dependência com a temperatura ............................................................................................ 3

1.2.3 Influência do histórico de cisalhamento e resfriamento. ......................................................... 5

1.3 Trabalhos de simulação numérica ................................................................. 6

1.3 Fluidos não newtonianos ................................................................................ 9

1.3.1 Fluidos newtonianos ..............................................................................................................11

1.3.2 Power-law ..............................................................................................................................11

1.3.3 Bingham ................................................................................................................................13

1.3.4 Herschel Bulkley ....................................................................................................................13

1.3.5 Regularização .......................................................................................................................13

1.4 Objetivo do trabalho....................................................................................... 15

2 Modelo matemático .............................................................................................. 15

2.1 Equações governantes .................................................................................. 15

2.2 Modelo constitutivo ....................................................................................... 18

2.3 Solução analítica para escoamento interno em dutos ............................... 23

3 Método dos volumes finitos ................................................................................ 28

3.1 Operador gradiente ........................................................................................ 30

3.1 Operador divergente ...................................................................................... 31

3.2 Operador laplaciano ...................................................................................... 32

3.3 Derivada temporal .......................................................................................... 32

3.4 Esquemas de interpolação ............................................................................ 33

4 Resultados obtidos a partir das simulações ..................................................... 34

4.1 Parâmetros adotados na simulação ............................................................. 35

A tabela 4.3 descrever a malha adotada. ........................................................... 36

4.1 Resultados obtidos ........................................................................................ 36

5 Conclusão e sugestão de trabalhos futuros ...................................................... 48

5.1 Conclusão ....................................................................................................... 48

5.2 Sugestões para trabalhos futuros ................................................................ 49

6. Bibliografia ........................................................................................................... 49

Sumário de Figuras

Figura 1.1 – Dependência da viscosidade com a temperatura sob uma taxa de

cisalhamento de 3Pa para diferentes misturas de óleo leve, considerando

porcentagem em peso. ................................................................................................ 4

Figura 1.2 – Relação entre a tensão aplicada(𝜏) e a deformação(𝛾) para diferentes

valores de temperatura. .............................................................................................. 4

Figura 1.3 – (a) Efeito da taxa de cisalhamento durante o resfriamento b) Efeito da

taxa de esfriamento. .................................................................................................... 6

Figura 1.4 – Comportamento reológico de fluidos pseudoplástico, newtoniano e

dilatante. .................................................................................................................... 10

Figura 1.5 – Comportamento Reológico de um fluido com tensão limite de

escoamento. .............................................................................................................. 10

Figura 1.7 – Modelo Power-law 𝜏 x 𝛾- Influência do n. .............................................. 12

Figura 1.8 – Modelo Power-law – 𝜂 x 𝛾- Influência do n. ........................................... 12

Figura 1.9 – Comparação entre modelo de Bingham e Regularização de

Papanastasiou. .......................................................................................................... 14

Figura 2.1 – Esquema ilustrativo da nomenclatura para condução de um cilindro

vazado. ...................................................................................................................... 19

Figura 2.2 – Influência do coeficiente 𝑆𝜏 na variação da tensão limite de escoamento

em relação a temperaturas menores que TIAC. ........................................................ 21

Figura 2.3 – Influência do coeficiente 𝑘𝜏 na variação da tensão limite de escoamento

em relação a temperaturas menores que TIAC. ........................................................ 22

Figura 2.4 – Variação da viscosidade cinemática em relação à temperatura e a

influência do coeficiente 𝑆𝜈. ...................................................................................... 23

Figura 2.5 – Volume de controle diferencial. ............................................................. 24

Figura 2.6 – Perfil de velocidades para um material de Bingham. ............................ 26

Figura 3.1 – Discretização nos domínios de espaço e tempo. .................................. 29

Figura 3.2 – Parâmetros na discretização por volumes finitos. ................................. 29

Figura 4.1 – Perfis de velocidade ao longo do duto para diversas posições em r e

t=80s. ........................................................................................................................ 37


t=60s. ........................................................................................................................ 38


t=30s. ........................................................................................................................ 38


t=0s. .......................................................................................................................... 39

Figura 4.5 – Perfis de velocidade ao longo do raio para diversas posições em z e

t=80s. ........................................................................................................................ 40

Figura 4.6 – Perfis de velocidade ao longo do raio para diversas posições em z e

t=60s. ........................................................................................................................ 40

Figura 4.7 – Perfis de velocidade ao longo do raio para diversas posições em z em

t=30s. ........................................................................................................................ 41

Figura 4.8 – Perfis de velocidade ao longo do raio para diversas posições em z em

t=0s. .......................................................................................................................... 41

Figura 4.9 – Perfis de velocidade ao longo do raio e do tempo em z=0.6m. ............. 42

Figura 4.11 – Perfis de velocidade ao longo do raio e do tempo em z=0m. .............. 43

Figura 4.12 – Perfis de viscosidade ao longo do duto para diversas posições em r

em t=80s. .................................................................................................................. 44

Figura 4.13 – Perfis de temperatura ao longo do duto para diversas posições em r e

t=80s. ........................................................................................................................ 45

Figura 4.14 – Perfis de viscosidade ao longo do duto para diversas posições em r e

t=60s. ........................................................................................................................ 45


t=30s. ........................................................................................................................ 46


t=0s. .......................................................................................................................... 46

Figura 4.17 – Perfis de velocidade considerando diversos valores de n para z=0.6m

e t=80s. ..................................................................................................................... 47

Sumário de Tabelas

Tabela 3.1 – Esquemas de derivada temporal utilizados no OpenFoam. ................. 33

Tabela 4.1 – Parâmetros de transporte. .................................................................... 35

Tabela 4.2 – Parâmetros de fluxo ............................................................................. 36

Tabela 4.3 – Malha adotada. ..................................................................................... 36

Nomenclatura

TIAC Temperatura inicial de aparecimento de cristais.

Twat Wax appearence temperature

𝜇 Viscosidade dinâmica.

T Temperatura.

𝜏 Tensão de cisalhamento.

�̇� Taxa de deformação.

TD Temperatura inicial de dissolução de cristais.

𝑘 Índice de consistência.

n Índice de potência.

𝜏0 Tensão limite de escoamento.

𝜌 Massa específica.

𝑎 Aceleração.

𝑔 Aceleração da gravidade.

𝑭𝑷 Força de pressão.

𝑭𝒖 Força viscosa.

𝑭𝒄 Força de compressão.

𝝉 Tensor das tensões.

T Tensão total.

P Pressão.

W Tensor vorticidade.

A Área.

𝑡𝑖 Temperatura interna.

𝑡𝑒 Temperatura externa.

𝒄 Condutividade térmica.

𝑟𝑖 Raio interno.

𝑟𝑒 Raio externo.

𝐶𝑝 Calor específico.

𝛼 Difusidade térmica.

𝑆𝜏 Parâmetro de ajuste para tensão.

𝑘𝜏 Parâmetro de ajuste para índice de consistência.

𝑆𝜇 Parâmetro de ajuste para viscosidade. Parâmetro de correção para tensão.

𝜈 Viscosidade cinemática.

𝜏0𝑇𝐼𝐴𝐶 Tensão limite de escoamento na TIAC.

𝑘𝑇𝐼𝐴𝐶 Índice de consistência na TIAC.

𝑆𝜏 Parâmetro de correção para tensão.

𝑟0 Raio de Plug-flow.

𝑈 Velocidade do escoamento desenvolvido em dutos.

d Vetor do centroide P até o centroide N.

𝑺𝒇 Vetor perpendicular à área da face f.

𝜙 Variável arbitrária.

𝑈𝑒0 Velocidade na entrada em 0 segundo.

𝑈𝑠0 Velocidade na saída em 0 segundo.

𝑃𝑒0 Pressão na entrada em 0 segundo.

𝑃𝑒𝑓 Pressão na entrada em 80 segundos.

∀ Volume de controle

𝑚 Massa.

𝑞 ̇ Fluxo de calor.

1

1 Introdução

1.1 Apresentação do tema

Os óleos parafínicos são caracterizados, em geral, pela presença de n-

parafinas de cadeia molecular longa. Quando o material se encontra em uma

condição de alta temperatura, as parafinas ficam dissolvidas e formam uma solução.

Essa mistura homogênea possui uma reologia extremamente sensível à variação de

temperatura, de modo que, na medida em que ela diminui, ocorre a precipitação do

material sólido dissolvido no fluido, começando pelo mais pesado até o mais leve,

conforme ocorre o resfriamento (Sampaio et al., 2013).

Quando o fluido está sendo resfriando, atingindo a wax appearence

temperature (Twat) ou temperatura inicial de aparecimento de cristais (TIAC), os

primeiros cristais começam a precipitar. Neste momento a reologia ainda não mudou

de forma significativa, o seu comportamento ainda pode ser considerado

newtoniano. Na medida em que continua a resfriar, é alcançada a temperatura de

gelificação (TG), onde a reologia da substância muda e ela adquire uma

característica de gel, cujo comportamento é não newtoniano (Visiting et al., 2005).

Esse processo de gelificação ocorre principalmente quando há uma parada

no escoamento e a produção é interrompida. Quando isto ocorre, desencadeia-se

uma precipitação de cristais no interior do duto na região próxima ao leito marinho.

Estes elementos sólidos adquirem tamanho e unem-se entre si, formando o gel que

bloqueia a passagem (Sampaio et al., 2013).

Esse tipo de óleo é usualmente encontrado em reservatórios localizados em

regiões com lâminas de água profunda e ultra profunda. Nesta região, a temperatura

do leito marinho é particularmente baixa, cerca de 4°C (Sampaio et al., 2013).

Nesta seção do presente trabalho, serão discorridos alguns tópicos

importantes para melhor compreensão da substância em questão, tais como

estrutura cristalina, comportamento reológico e influência do histórico de

temperatura e cisalhamento. Também será comentado acerca de alguns trabalhos

na área de simulação.

2

1.2 Propriedades dos fluidos parafínicos

1.2.1 Estrutura cristalina

O comportamento dos cristais de parafina é tão complexo que ainda há muita

controvérsia sobre o seu processo de cristalização, embora haja mais de 80 anos de

estudo. Isso acontece em função de problemas relacionados, principalmente, à

dificuldade de repetitividade das amostras, medições e condições de cristalização.

Segundo Visitin et al, ao citar (apud Ronningsen et al., 1991), uma solução

composta por um solvente e n-parafina apresenta uma forte transição na força gel

ao alcançar a TG. Entretanto, ao avaliar-se um óleo cru, como uma composição bem

mais complexa, percebe-se que o aumento na força gel ocorre de forma bem mais

gradual. Isto deve ser levado em consideração quando se planeja construir um

modelo para representar um óleo parafínico, visto que uma representação muito

simples pode levar a erros significativos na avaliação desses fluidos. A força gel

consiste na resistência que um fluido apresenta para reiniciar o fluxo após um tempo

parado.

No que se refere ao material sólido dissolvido, está presente uma

considerável quantidade de parafinas ramificadas e cíclicas, superando inclusive, em

alguns casos, as n-parafinas (Visitin et al., 2005). Estas variam entre C18 e C60

(Suppeah et al., 2012). Vale ressaltar também a presença de outros cristais, tais

como aromáticos, naftenos, asfaltenos e resinas.

O primeiro cristal visualizado por meio de microscópio corresponde a 0,1% da

fase sólida, enquanto que os efeitos na curva de viscosidade são sentidos por volta

de 0,3-0,4%(Cazaux et al., 1998). Através de differential scanning calorimetry (DSC)

e outras técnicas, foi mostrado que a gelificação dos óleos parafínicos ocorre

quando uma pequena quantidade de sólidos, como 1-6%, precipita (Visitin et al.,

2005).

A extrema complexidade dos aspectos composicionais entre os diferentes

óleos crus cria um grande desafio para os estudiosos e sugere uma expectativa de

que os diferentes tipos de petróleo apresentem diferenças na sua estrutura

agregada e no seu comportamento físico. Em termos de TG, alguns materiais

3

gelificam em temperaturas altas, em torno de 30°C, enquanto que outros sofrem

esse fenômeno somente abaixo de -20°C (Visitin et al., 2005).

1.2.2 Dependência com a temperatura

Um dos maiores problemas enfrentados, quando se estuda o fluido em

questão, é a dependência da sua reologia com a temperatura. O material, quando

dentro de um reservatório de petróleo, encontra-se a aproximadamente 60°C, o que

lhe confere uma reologia newtoniana (Sampaio et al., 2013). Ao escoar pela coluna

de produção e chegar ao riser, a substância encontra-se em uma região de troca de

calor com um ambiente de 4°C. Nessa situação, caso ocorra a interrupção da

produção por qualquer motivo que seja, o fluxo de calor entre as regiões dentro e

fora da coluna de produção gera um resfriamento. Este processo permite que a Twat

seja atingida e a precipitação dos cristais se inicie. Conforme o fenômeno continua,

é atingida a TG e o comportamento do fluido torna-se não newtoniano (Hou, 2012).

A compreensão da reologia é de suma importância pelo fato de afetar

diretamente as propriedades relacionadas ao escoamento. A reologia não

newtoniana faz com que o fluido desenvolva características tais como tesão limite de

escoamento, viscoelasticidade e tixotropia (Hou , 2012). Além destes fatores, há o

aumento rigoroso da viscosidade, que diminui proporcionalmente com a

temperatura. Esta última é considera uma das propriedades físicas mais importantes

(Wardhaughet al., 1988).

Dimitriou et al (2011), propuseram um modelo de fluido parafínico no intuito

de fazer experimentos e verificar propriedades reológicas. O sistema proposto era

formado por um óleo mineral (leve ou pesado) como fase majoritária e contínua e

por cera parafínica em diferentes quantidades. Os testes realizados ilustram bem a

relação entre composição, viscosidade e temperatura, conforme a figura 1.1.

Observando as curvas, é fácil notar que o aumento da temperatura causa

redução da viscosidade, pois isso proporciona a dissolução dos cristais, de tal modo

que, acima de 50°C, todas as curvas assumem valores parecidos e um

comportamento linear. Nota-se que a redução dessa propriedade também ocorre

pela diminuição da massa de cera em solução.

4

Figura 1.1 – Dependência da viscosidade com a temperatura sob uma taxa de cisalhamento de

3Pa para diferentes misturas de óleo leve, considerando porcentagem em peso.

Fonte - Dimitriou et al., 2011 – Adaptado.

Sampaio et al (2013), utilizaram equações que modelam com boa

precisão o comportamento viscoplástico em questão, construíram um gráfico que

mostra a relação entre a tensão aplicada (𝜏) e a deformação (�̇�) para diferentes

valores de temperatura, conforme mostra a figura 1.2.

Figura 1.2 – Relação entre a tensão aplicada(𝜏) e a deformação(�̇�) para diferentes valores de

temperatura.

Fonte: Sampaio et al., (2013).

5

Para valores de 309,15 à 333,15K o comportamento é claramente

newtoniano, o que indica que a TG do material tratado pelos autores era certamente

menor que 309.15K (ou 36ºC). Neste tipo de situação, não há tensão limite de

escoamento. Entretanto, essa grandeza manifesta-se para valores mais baixos,

entre 277.15 e 301.15. A transição entre o patamar e a reta inclinada revela o valor

da tensão necessária para causar deformação significativa. Nota-se que quanto

menor a temperatura, maior será o cisalhamento necessário para alcançar o limite

para escoamento.

1.2.3 Influência do histórico de cisalhamento e resfriamento.

Marchesini et al (2010) desenvolveram uma pesquisa com o objetivo de

estudar a influência dos históricos de temperatura e de taxa de cisalhamento nas

propriedades reológicas de um óleo parafínico a baixas temperaturas, bem como

estabelecer uma metodologia confiável para realizar medições reológicas.

A figura 1.3 registra dois gráficos contendo cinco curvas cada um. Elas

representam o processo de resfriamento e aquecimento para diferentes taxas de

cisalhamento (a) e de resfriamento (b), de tal modo que os pontos das curvas que

marcam a transição entre a reologia newtoniana e não-newtoniana são dados pela

Twat e pela temperatura de dissolução dos cristais (TD). A primeira marca a

transição na direção de aumento da viscosidade e é a menor entre as duas. A

segunda refere-se ao processo de aquecimento, diminuindo a viscosidade.

6

Figura 1.3 – (a) Efeito da taxa de cisalhamento durante o resfriamento b) Efeito da taxa de esfriamento.

Fonte: Marchesini et al, 2010

Assim, nota-se que o ponto de precipitação da parafina não é o mesmo que o

de dissolução dela. Consequentemente, seria necessário fornecer maior calor para

dissolver o material do que o perdido na decantação.

A figura 1.3(a) mostra, como era esperado, que a aplicação de altas taxas de

cisalhamento geram níveis muito menores de viscosidade, devido a quebra das

microestruturas. Entretanto, a Twat e TD não se alteram. A conclusão foi um pouco

diferente quando se tratou de resfriar a amostra, como mostrado na figura 1.3(b). O

aumento da taxa de resfriamento tem influencia sobre Twat e TD, de modo a diminui-

las.

Assim, percebemos que as condições sob as quais o material gelifica torna o

reinício do fluxo mais fácil ou mais difícil. A tendência é que quanto maior forem as

taxas, tanto de cisalhamento quanto de resfriamento, menores serão os patamares

de viscosidade, reduzindo a pressão que deve ser aplicada para restabelecer o

fluxo.

1.3 Trabalhos de simulação numérica

O comportamento viscoplástico é bem representado por modelos clássicos

como Bingham e Herschel-Bulkley, pois ambos levam em consideração a tensão

7

limite de escoamento. Entretanto, eles não refletem a dependência reológica com a

temperatura. É neste último fato que reside a maior dificuldade. Qualquer ênfase na

importância desse fato não é exagero, uma vez que a distribuição inicial de

temperaturas determina a distribuição inicial dos parâmetros reológicos, fundamental

para a reestabelecimento do escoamento (Sampaio et al, 2013).

Vinay et al (2005), simularam numericamente o fluxo transiente não

isotérmico de um fluido viscoplástico em um duto. A situação considerada foi o

congelamento do escoamento de óleos parafínicos devido às condições severas do

ambiente externo. O modelo usado foi uma extensão de Bingham, no qual a

viscosidade e a tensão limite de escoamento possuem dependência térmica.

𝜏 = 2 ∙ 𝜇(𝜃) ∙ 𝑫 + 𝜏0(𝜃) ∙

𝑫

‖𝑫‖ , se ‖𝜏‖ ≥ 𝜏0(𝜃)

(1.1)

𝑫 = 0, 𝑠𝑒 ‖𝜏‖ < 𝜏0(𝜃)

(1.2)

Onde 𝜏, 𝜏0(𝜃), 𝜇(𝜃),D e 𝜃 são tensão aplicada, tensão limite de escoamento,

viscosidade, tensor taxa de deformação e temperatura, respectivamente.

Um dos problemas no modelo é o fato das dependências térmicas da reologia

não serem resolvidas simultaneamente na simulação do escoamento. Ou seja, a

dependência da viscosidade é resolvida isoladamente da tensão limite de

escoamento. Isso faz com que o modelo se aproxime pouco da realidade.

Para resolver as equações governantes foi proposto o decoupled transiente

solution algorithm. Neste algoritmo, para cada passo de tempo, o problema

velocidade-pressão e temperatura são resolvidos sequencialmente. As equações de

massa, momento, e energia foram discretizadas usando o método dos volumes

finitos.

Os resultados não isotérmicos destacaram uma forte sensibilidade térmica no

padrão de escoamento. A conclusão principal dos autores foi que para situações de

escoamentos em dutos onde os parâmetros de Bingham possuem dependência

térmica, logo que o campo de temperatura varia na direção principal do fluxo, não há

formação de uma região de Plug-flow. O conceito de Plug-flow será mais bem

explicado no capítulo 2, porém, para compreensão deste ponto, é suficiente saber

8

que quando este fenômeno ocorre, há uma região do duto em que a velocidade não

varia radialmente.

Também foi relatado que valeria apena usar correlações mais realistas, como

Arrhenius, o que é feito no trabalho de Sampaio et al (2013).

Como a malha usada era 2D, o tempo de processamento era muito alto. Mais

tarde porém, em outro artigo (Vinay et al 2007), os autores descrevem uma malha

1D, que apesar da simplicidade era capaz de simular bem um reinício de

escoamento, além de reduzir o tempo de processamento.

Sampaio et al (2013) em seus estudos, procuraram investigar o

comportamento dos fluidos parafínicos em uma situação de reinício do escoamento,

após uma parada na produção de petróleo em uma tubulação localizada em um

poço off shore. A lâmina de água em questão é profunda e a temperatura do leito

marinho considerada foi de 4ºC. No problema proposto, a interrupção do

escoamento permitiu uma troca de calor entre o óleo e o ambiente, levando à

gelificação do material e bloqueando a seção transversal do tubo na região de saída

do reservatório de petróleo.

O material modelado foi o material de Bingham. O modelo usado para uma

boa representação numérica do fluido viscoplástico em questão é o VFTH (Vogel –

Fulcher – Tammann – Hesse). Ele consegue representar a equação de Arrhenius

para valores acima da TIAC e é descrito pela seguinte equação:

𝜏 = 𝜏𝑦(𝑇) + 𝑚(𝑇) ∙ �̇�𝑛(𝑇) + 𝜂00(𝑇) ∙ �̇�

(1.1)

Onde 𝜏𝑦(𝑇),𝑚(𝑇), 𝑛(𝑇), �̇� e 𝜂00 são a tensão, o índice de consistência, o

índice power-law ou de potência, deformação e patamar de viscosidade sob uma

alta tensão de cisalhamento, respectivamente. Vale notar a dependência térmica dos

parâmetros. Apesar de registrado na equação, o índice de potência foi utilizado sem

a dependência com a temperatura.

Para a modelagem foi usado o software livre chamado OpenFoam®,

responsável por simular os balanços de massa, momento e energia, utilizando o

9

método dos volumes finitos. O campo inicial de temperaturas foi obtido a partir da

solução de estado estacionário do balanço de energia quando há escoamento.

Os autores observaram um comportamento de extrema relevância para o

reinício da produção de óleo. Primeiramente foi possível observar que o escoamento

do fluido só ocorreria após a aplicação de uma determina pressão, para superar a

tensão limite de escoamento, o que já era esperado. Entretanto, observou-se

também que, uma vez em fluxo, a pressão necessária para manter o fluido em

movimento é menor do que a tensão incialmente aplicada para fazê-lo movimentar-

se. Isso foi explicado pelos autores, como sendo resultado da influência da

temperatura do fluido que sai do reservatório. Uma vez reiniciado o escoamento, o

óleo que sai de dentro do reservatório chega com grande intensidade de calor,

reduzindo a tensão limite de escoamento necessária para manter o fluido em

movimento. Dessa forma, os autores chegaram à conclusão de que seria uma boa

estratégia aplicar uma pressão alta para quebrar o tampão gerado no interior da

coluna e manter o fluxo com uma menor pressão aplicada, mas suficiente.

Vale a pena ressaltar que ambos os trabalhos relatados demonstraram uma

preocupação peculiar com a influência térmica na reologia.

1.3 Fluidos não newtonianos

Esse tipo de material é largamente utilizado na indústria do petróleo. No setor

de perfuração, por exemplo, os fluidos utilizados necessitam de características

específicas para desempenhar funções como carrear cascalhos até a superfície do

poço e exercer pressão hidrostática. Desta forma, eles são tratados com aditivos

que os fazem adquirir características não newtonianas, tais como tensão limite de

escoamento, viscoplasticidade e pseudoplaticidade.

Este tipo de substância é caracterizado pela não linearidade da taxa de

deformação, isto é, a viscosidade não é constante. Dependendo como for a

variação, a substância pode ser dilatante (shear thickening) ou pseudoplástica

(shear thinning), seguindo o padrão da figura 1.4.

10

Figura 1.4 – Comportamento reológico de fluidos pseudoplástico, newtoniano e dilatante.

Fonte: Sargentini, 2013.

Os pseudoplásticos são aqueles cuja viscosidade do fluido diminui com o

aumento da taxa de deformação, já os dilatantes são aqueles onde a viscosidade do

fluido aumenta com o aumento da taxa de deformação.

Os fluidos viscoplásticos possuem uma tensão limite de escoamento ou de

cedência. Isso significa que o material precisa estar sujeito a uma tensão mínima

para que escoe. Os modelos mais comumente usados para representa-los são

Bingham e Herschel Bulkley.

Figura 1.5 – Comportamento Reológico de um fluido com tensão limite de escoamento.


11

Vale notar que Herschel Bulkley também possui um comportamento shear

thinning, que será explicado em 1.3.4

1.3.1 Fluidos newtonianos

São classificados por possuírem uma relação linear entre a tensão aplicada e

a taxa de deformação, sendo a viscosidade (µ) a constante de proporcionalidade. A

fórmula é a seguinte:

𝜏 = 𝜇�̇� (1.4)

Dentre os materiais que comumente se comportam desta maneira estão a

água, a gasolina e a maioria dos gases.

1.3.2 Power-law

Também conhecido como fluido de potência, foi elaborado com o objetivo de

representar os comportamentos pseudoplástico e dilatante. Parte-se do princípio que

a viscosidade do fluido é função da sua taxa de deformação - 𝜂(�̇�). Assim, a

viscosidade é representada de acordo com a equação 1.5, sendo o modelo de 2

parâmetros.

𝜂(�̇�) = 𝑘�̇�𝑛−1

(1.5)

Os termos k e n são conhecidos, respectivamente, como índice de

consistência e índice power-law ou de potência, sendo este último adimensional.

A equação 1.6 define a relação entre a tensão e a taxa de deformação.

𝜏 = 𝑘�̇�𝑛

(1.6)

O tipo de escoamento é modificado com a mudança do valor de n. Desta

forma, têm-se pseudoplástico para n menor que 1 e dilatante para n maior que 1.

12

As figuras 1.7 e 1.8 representam a variação do índice power-law para um

fluido hipotético.

Figura 1.7 – Modelo Power-law 𝜏 x �̇�- Influência do n.


Figura 1.8 – Modelo Power-law – 𝜂 x �̇�- Influência do n.


13

1.3.3 Bingham

Este modelo foi idealizado por Bingham em 1922, com o objetivo de

representar fluidos viscoplásticos, isto é, que possuem tensão limite de escoamento

(Sargentini, 2013). As equações 1.7 e 1.8 exibem o descrito:

𝜏 = 𝜏0 + µ�̇�, 𝑠𝑒 𝜏 ≥ 𝜏0

(1.7)

(1.8) �̇� = 0, 𝑠𝑒 𝜏 < 𝜏0

1.3.4 Herschel Bulkley

Surgiu posteriormente ao de Bingham, em 1926 (Sargentini, 2013), tornando

possível a representação de uma substância que seja, ao mesmo tempo,

viscoplástica e pseudoplástica ou dilatante. O modelo é representado pelas

equações 1.9 e 1.10.

𝜏 = 𝜏0 + 𝑘�̇�𝑛, 𝑠𝑒 𝜏 ≥ 𝜏0

(1.9)

�̇� = 0, 𝑠𝑒 𝜏 < 𝜏0

(1.10)

Para valores de n superiores a 1, o comportamento observado é o dilatante e para

menores que 1, pseudoplástico. No caso de n=1, o modelo é o de Bingham.

1.3.5 Regularização

Apesar dos modelos de Bingham e Herschel Bulkley representarem de forma

fiel os parâmetros reológicos típicos de fluidos não newtonianos, há certa dificuldade

na sua implementação para simulação numérica em CFD. Porém, em 1987,

Papanastasiou introduziu uma regularização para o modelo de Bingham, de modo

que sua implementação em CFD fosse facilitada. A equação 1.11 mostra essa

regularização.

14

𝜏 = (1 − 𝑒(−𝑚∙�̇�))𝜏0 + 𝑘�̇�

(1.11)

A equação é dividida em duas partes, uma para a tensão de cisalhamento

menor que a tensão limite de escoamento e outra para uma tensão de cisalhamento

acima do limite.

A figura 3.6 mostra como o parâmetro m é fundamental para um bom

alinhamento do modelo com o de Bingham. Para m igual a 1000, a equação de

Papanastasiou mostra uma excelente aproximação. Quando m tende ao infinito, o

alinhamento é exato tanto para 𝜏 ≥ 𝜏0 quanto para 𝜏 < 𝜏0.

Figura 1.9 – Comparação entre modelo de Bingham e Regularização de Papanastasiou.


O modelo de Herschel-Bulkley também se vale deste recurso, sendo

observada a mesma relação para m tendendo ao infinito. A regularização é

representada pela equação 1.9.

𝜏 = (1 − 𝑒(−𝑚∙�̇�))(𝜏0 + 𝑘�̇�𝑛)

(1.12)

15

1.4 Objetivo do trabalho

O objetivo do presente trabalho foi simular numericamente o reinício do

escoamento não isotérmico de um fluido viscoplástico de Bingham com um modelo

capaz de representar a dependência da reologia com a temperatura. O modelo é

baseado na equação de Arrhenius e é capaz de representar o comportamento

descrito pelo modelo Herschel-Bulkley, sendo possível a simulação de escoamentos

de materias pseudoplásticos ou dilatantes..

2 Modelo matemático

2.1 Equações governantes

O presente trabalho usará o mesmo modelo e condições usados por

Sargentini (2013). Dessa forma, as equações apresentadas neste capítulo foram

retiras do trabalho deste autor.

Será considerado um escoamento não isotérmico. Para a modelagem

matemática, faz-se necessário definir algumas leis fundamentais que vão reger o

comportamento do fluxo. São elas as leis da conservação de massa e quantidade de

movimento, bem como as equações constitutivas que descrevem a relação entre a

tensão e a deformação em um fluido.

A lei de conservação de massa pode ser definida de acordo com a equação

2.1, conforme a equação da continuidade:

𝑑𝑚

𝑑𝑡= 0

(2.1)

Sendo para um volume de controle infinitesimal (𝑑∀):

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝜌𝑑∀∀

= ∫ [𝜕𝜌

𝜕𝑡+ ∇. (𝜌𝑽)] 𝑑∀

∀

= 0 (2.2)

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ ∇. (𝜌𝑽) = 0

(2.3)

16

Onde 𝜕𝜌

𝜕𝑡 é a variação da massa específica do fluido com o tempo e ∇. (𝜌𝑽) é

o divergente do fluxo mássico.

Como o regime considerado em questão é o permanente, segue:

∇. (𝜌𝑽) = 0 (2.4)

O fluido é tratado como incompressível:

∇. 𝑽 = 0 (2.5)

Com o balanço de forças para um volume infinitesimal, segue:

𝜌𝒂 = 𝑭𝑷 + 𝑭𝝁 + 𝑭𝑪 (2.6)

Sendo 𝑭𝑷, 𝑭𝝁 e 𝑭𝑪 as forças de pressão, viscosa e compressível,

respectivamente. Todas estas atuando sobre o corpo.

Para a quantidade de movimento linear, segue a equação 2.7:

𝜌

𝐷(𝑽)

𝐷𝑡= 𝜌𝒈 − ∇𝑃 + ∇𝜏

(2.7)

Sendo 𝐷(𝑽)

𝐷𝑡 a derivada material do vetor velocidade, 𝜌 a massa específica do

fluido, g a aceleração da gravidade, ∇𝑃 o gradiente de pressão e ∇. 𝝉 o divergente

do campo tensorial.

A tensão total no fluido 𝑻 vem da equação 2.8:

𝑻 = −𝑃𝑰 + 𝝉 (2.8)

Onde P é pressão mecânica, 𝑰 é a identidade da parte esférica e 𝝉 a tensão

de desvio que surge para o fluido em movimento.

Sendo a pressão mecânica:

𝑃 = −1

3𝑡𝑟𝑻

(2.9)

Em coordenadas cartesianas retangulares, temos:

𝑻 = [−𝑃 0 00 −𝑃 00 0 −𝑃

] + [

𝝉𝒙𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛

𝝉𝒚𝒙 𝝉𝒚𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒛𝒛

]

(2.10)

Seja ∇𝝂 o gradiente do vetor velocidade do fluido, em coordenadas

cartesianas, teremos:

𝑽 = 𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂ + 𝑤�̂� (2.11)

17

Sendo:

∇𝑽 =

[ 𝜕𝒖

𝜕𝑥

𝜕𝒗

𝜕𝑥

𝜕𝒘

𝜕𝑥𝜕𝒖

𝜕𝑦

𝜕𝒗

𝜕𝑦

𝜕𝒘

𝜕𝑦𝜕𝒖

𝜕𝑧

𝜕𝒗

𝜕𝑧

𝜕𝒘

𝜕𝑧 ]

(2.12)

Onde:

𝑳 = ∇𝑡𝑽 (2.13)

Como 𝑳 é a transposta do gradiente das velocidades:

𝑳 =1

2(∇𝑡𝑽 + ∇𝑽) +

1

2(∇𝑡𝑽 − ∇𝑽)

(2.14)

Tomando-se a parte simétrica como 𝑫 e a assimétrica como 𝑾:

𝑾 =1

2(∇𝑡𝑽 − ∇𝑽)

(2.15)

𝑾 =

[ 0

1

2(𝜕𝒖

𝜕𝑦−

𝜕𝒗

𝜕𝑥)

1

2(𝜕𝒖

𝜕𝑧−

𝜕𝒘

𝜕𝑥)

1

2(𝜕𝒗

𝜕𝑥−

𝜕𝒖

𝜕𝑦) 0

1

2(𝜕𝒗

𝜕𝑧−

𝜕𝒘

𝜕𝑦)

1

2(𝜕𝒘

𝜕𝑥−

𝜕𝒖

𝜕𝑧)

1

2(𝜕𝒘

𝜕𝑦−

𝜕𝒗

𝜕𝑧) 0

]

(2.16)

O termo 𝑾 é chamado tensor vorticidade.

Sendo:

𝑫 =1

2(∇𝑡𝑽 + ∇𝑽)

(2.17)

𝑾 =

[

𝜕𝒖

𝜕𝑥

1

2(𝜕𝒖

𝜕𝑦+

𝜕𝒗

𝜕𝑥)

1

2(𝜕𝒖

𝜕𝑧+

𝜕𝒘

𝜕𝑥)

1

2(𝜕𝒖

𝜕𝑦+

𝜕𝒗

𝜕𝑥)

𝜕𝒗

𝜕𝑦

1

2(𝜕𝒗

𝜕𝑧+

𝜕𝒘

𝜕𝑦)

1

2(𝜕𝒖

𝜕𝑧+

𝜕𝒘

𝜕𝑥)

1

2(𝜕𝒗

𝜕𝑧+

𝜕𝒘

𝜕𝑦)

𝜕𝒘

𝜕𝑧 ]

(2.18)

Para um fluido newtoniano, segue a equação 2.19:

𝝉 = 2𝜇𝑫 (2.19)

Sendo:

18

�̇� = 2𝑫 (2.20)

𝝉 = 𝜇�̇� (2.21)

Onde �̇� é o tensor da taxa de deformação, sendo sua intensidade

representada por:

�̇� = √1

2𝑡𝑟(�̇�2)

(2.22)

Para um fluido não newtoniano:

𝝉 = 2𝜂(�̇�)𝑫 (2.23)

Onde a viscosidade 𝜂 é função da taxa de deformação.

2.2 Modelo constitutivo

Para a simulação, foi utilizado o modelo implementado por Sampaio et al

(2013), que é o mesmo usado por Sargentini (2013). O fluido considerado foi o de

Bingham. Como apresentado no capítulo 1, este fluido é não newtoniano e

viscoplástico, com uma tensão limite de escoamento e uma dependência linear entre

a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação. O modelo leva em consideração

o efeito da temperatura e também permite análises com Herschel-Bulkley.

O fluido é considerado incompressível:

∇. 𝑽 = 0 (2.5)

Para o material de Bingham é dado:

𝜏 = 𝜏0 + 𝑘�̇�, 𝑠𝑒 𝜏 ≥ 𝜏0

(1.7)

(1.8)

�̇� = 0, 𝑠𝑒 𝜏 < 𝜏0

Considerando um cilindro para representar um duto, o gradiente de

temperatura é representado na direção radial, onde a condutibilidade térmica será

19

chamada de 𝑐 e a área externa do cilindro de 𝐴. Esse esquema é bem representado

pela figura 2.1.

𝐴 = 2𝜋𝑅𝐿 (2.24)

�̇� = −𝑐2𝜋𝑅𝐿

𝑑𝑇

𝑑𝑟

(2.25)

�̇� =

(𝑇𝑖 − 𝑇𝑒)2𝜋𝑐𝐿

ln (𝑟𝑒𝑟𝑖

)

(2.26)

Figura 2.1 – Esquema ilustrativo da nomenclatura para condução de um cilindro vazado.

Fonte: Sargentini,2013.

O fluxo de calor é representado de acordo com a forma diferencial da lei de

Fourier de condução térmica:

�̇� = −𝑐∇𝑇 (2.27)

20

Sendo 𝑐 a condutância térmica e ∇𝑇 o gradiente de temperatura.

No que se refere ao efeito das trocas de calor, pode ser considerada a

equação de Fourier para um fluxo de calor difusivo. Na equação 2.28, 𝛼 é a

difusividade térmica e 𝐶𝑃 é o calor específico à pressão constante:

�̇� = −𝜌𝐶𝑃𝛼∇𝑇 (2.28)

A equação da conservação de energia térmica é dada por 2.29, onde 𝜙𝜇

representa o trabalho das forças viscosas e 𝑢 a energia interna:

𝜌

𝐷𝑢

𝐷𝑡= −𝑃(∇. V) + 𝜙𝜇 + ∇. (𝜌𝐶𝑃𝛼∇𝑇)

(2.29)

Considerando:

𝑢 = 𝑐𝑣𝑇 (2.30)

(2.31)

𝑃 = 𝜌𝑅𝑇

𝑐𝑝 − 𝑐𝑣 = 𝑅 (2.32)

Usando as equações 2.30, 2.31, 2.32 e 2.3, pode-se escrever:

−𝑃(∇. 𝑉) =

𝑃

𝜌

𝐷𝜌

𝐷𝑡≈

𝑃

𝜌(𝜕𝜌

𝜕𝑇)

𝑃

𝐷𝑇

𝐷𝑡= −

𝑃

𝑇

𝐷𝑇

𝐷𝑡= −𝜌(𝑐𝑝 − 𝑐𝑣)

𝐷𝑇

𝐷𝑡

(2.33)

Usando os resultados das equações 2.29 e 2.33, segue:

𝜌𝐶𝑃

𝐷𝑇

𝐷𝑡= 𝜙𝜇 + ∇. (𝜌𝐶𝑃𝛼∇𝑇)

(2.34)

Admitindo que o aumento da temperatura devido ao trabalho das forças

viscosas seja desprezível, utilizando a lei de Fourier e supondo que a difusividade

térmica é uniforme e o fluido sendo incompressível:

21

𝐷𝑇

𝐷𝑡=

𝜕𝑇

𝜕𝑡+ (𝑉. ∇)𝑇 = 𝛼∇²T

(2.35)

A dependência com a temperatura foi considerada não somente em relação

ao tempo e a difusividade do fluido, mas também ao cisalhamento, ao índice de

consistência 𝑘 e a viscosidade. Para este efeito sobre a tensão limite de escoamento

foi utilizado um coeficiente 𝑆𝜏, responsável pelo ajuste desta tensão em relação a

sua dependência com a temperatura.

No modelo utilizado, equação 2.36 será responsável por representar essa

dependência, tendo como referência a TIAC. Abaixo desta temperatura, o fluido

apresentará uma tensão limite de escoamento.

As equações 2.36 e 2.37 foram desenvolvidas a partir de uma equação de

Arrhenius, com o objetivo de representar o efeito não newtoniano destes fluidos.

Acima da TIAC, o comportamento será newtoniano, devido à logica

implementada no programa para desconsiderar termos negativos, retornando um

valor nulo.

𝜏0 = 𝜏0𝑇𝐼𝐴𝐶 (𝑒

𝑆𝜏(1𝑇− 1

𝑇𝐼𝐴𝐶)− 1)

(2.36)

A figura 2.2 apresenta a dependência da tensão limite de escoamento com a

temperatura, bem como a influência do 𝑆𝜏.

Figura 2.2 – Influência do coeficiente 𝑆𝜏 na variação da tensão limite de escoamento em relação

a temperaturas menores que TIAC.

Fonte – Sargentini, 2013.

22

Um ajuste semelhante foi adotado para o índice de consistência, 𝑘,

através do coeficiente 𝑘𝜏.

𝑘 = 𝑘0𝑇𝐼𝐴𝐶 (𝑒

𝑘𝜏(1𝑇− 1

𝑇𝐼𝐴𝐶)− 1)

(2.37)

A figura 2.3 mostra o índice de consistência 𝑘 em relação à temperatura na

fase não newtoniana e a influência do parâmetro 𝑘𝜏.

Figura 2.3 – Influência do coeficiente 𝑘𝜏 na variação da tensão limite de escoamento

em relação a temperaturas menores que TIAC.


A dependência da viscosidade em relação à temperatura é tratada de forma

similar a tensão limite de escoamento e ao índice de consistência, conforme a

equação 2.38:

𝜈𝑖𝑛𝑓 = 𝜈𝑟𝑒𝑓𝑒(𝑆𝜈(

1𝑇− 1

𝑇𝑟𝑒𝑓))

(2.38)

Sendo 𝑆𝜈 o coeficiente de ajuste e 𝜈𝑟𝑒𝑓 a viscosidade de referência em uma

determinada temperatura (𝑇𝑟𝑒𝑓). A viscosidade 𝜈𝑖𝑛𝑓 é a viscosidade do fluido sob a

influência da temperatura, seja acima ou abaixo da TIAC.

23

A figura 2.4 mostra a representação da variação de viscosidade em relação à

temperatura do fluido e da sua constante 𝑆𝜈.

Figura 2.4 – Variação da viscosidade cinemática em relação à temperatura e a influência do coeficiente 𝑆𝜈.


A equação 2.39 permite a obtenção da viscosidade do fluido considerando-se

a influência da temperatura por meio dos valores obtidos nas equações 2.36, 2.37 e

2.38.

𝜂 =𝜏0

�̇�+ 𝑘�̇�(𝑛−1) + 𝜂𝑖𝑛𝑓 (2.39)

Onde 𝜂𝑖𝑛𝑓 representa 𝜈𝑖𝑛𝑓 multiplicado por 𝜌.

2.3 Solução analítica para escoamento interno em dutos

No escoamento de um fluido no interior de um duto, as tensões de

cisalhamento são função da posição radial dentro do duto, de forma que a

proximidade com a parede gera tensões maiores. Assim, as perdas de carga são

função do atrito entre o fluido e parede da tubulação.

24

A viscosidade do fluido é proporcional à tensão de cisalhamento pela lei de

Newton da viscosidade (FOX, R.W. et al).

𝝉𝒙𝒚 = 𝜂

𝑑𝑢

𝑑𝑦

(2.40)

Na equação 2.40, 𝝉𝒙𝒚 é a tensão de cisalhamento gerada devido ao

escoamento do fluido, sendo 𝑢 a componente longitudinal da velocidade de

escoamento e 𝑦 a coordenada transversal ao mesmo.

Para um material de Bingham:

𝑟 ≥ 𝑟0 → 𝜏 = 𝜏0 + 𝜇 |

𝑑𝑼

𝑑𝑟|

(2.41)

A figura 2.5 ilustra um volume de controle no espaço anular sob a ação de

forças normais e cisalhantes:

Figura 2.5 – Volume de controle diferencial.


Executando o somatório das forças e considerando o equilíbrio do volume,

segue:

25

−(𝑃 +𝜕𝑃

𝜕𝑥𝑑𝑥) 2𝜋𝑟𝑑𝑟 − 𝜏𝑟𝑥2𝜋𝑟𝑑𝑟 + 𝑃2𝜋𝑟𝑑 +

[𝜏𝑟𝑥 +𝑑𝝉𝒓𝒙

𝑑𝑟] 2𝜋(𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑𝑥 = 0

(2.42)

Dividindo a equação 2.42 por 2𝜋𝑟𝑑𝑟𝑑𝑥:

𝑟𝜕𝑃

𝜕𝑥=

𝑑(𝑟𝝉𝒓𝒙)

𝑑𝑟

(2.43)

𝑟𝝉𝒓𝒙 =

𝑑𝑃

𝑑𝑥

𝑟²

2+ 𝐶

(2.44)

𝝉𝒓𝒙 =

1

2

𝑑𝑃

𝑑𝑥𝑟

(2.45)

Considerando o fluido com sendo um material de Bingham:

𝑟 ≥ 𝑟0 → 𝜏 = 𝜏0 + 𝜇 |

𝑑𝑼

𝑑𝑟|

(2.41)

1

2

𝑑𝑃

𝑑𝑥𝑟 = 𝜏0 + 𝜇 |

𝑑𝑼

𝑑𝑟|

(2.46)

Considerando o escoamento plenamente desenvolvido, é admitido que:

𝑑𝑃

𝑑𝑥=

∆𝑃

∆𝑥=

∆𝑃

𝐿

(2.47)

1

2

∆𝑃

𝐿𝑟 = 𝜏0 + 𝜇 |

𝑑𝑼

𝑑𝑟|

(2.48)

1

2𝜇

∆𝑃

𝐿𝑟 −

𝜏0

𝜇= |

𝑑𝑼

𝑑𝑟|

(2.49)

26

Sendo ∆𝑃 a diferença entre a pressão na saída e na entrada.

Um dos comportamentos característicos do fluxo de um fluido de Bingham é a

presença de uma região do escoamento em que a velocidade não sofre variação ao

longo do raio do duto. Essa região é chamada de Plug-flow. A figura 2.6 ilustra esse

comportamento:

Figura 2.6 – Perfil de velocidades para um material de Bingham.


O raio 𝑟0 delimita radialmente a região em que o plug-flow acontece, isto é,

onde a velocidade não varia com o raio.

As equações para esse caso são resolvidas, a começar pela hipótese de que 𝜏 > 𝜏0.

Considerando a evolução do perfil de velocidade até a parede do duto:

𝑑𝑼

𝑑𝑟=

𝜏0

𝜇−

1

2𝜇

∆𝑃

𝐿𝑟

(2.50)

Considerando a região de plug-flow, segue:

𝑑𝑼

𝑑𝑟= 0 , 𝑟 < 𝑟0

(2.51)

Para 𝑟 = 𝑟0:

27

𝜏0

𝜇−

1

2𝜇

∆𝑃

𝐿𝑟 = 0

(2.52)

𝑟0 =

2𝜏0

∆𝑃𝐿

(2.53)

Assim, pela equação 2.53, nota-se que o raio que delimite o Plug-flow é

diretamente proporcional ao dobro da tensão limite de escoamento e inversamente

proporcional à razão entre a diferença de pressão e o comprimento do duto.

As equações de velocidade são encontradas resolvendo a equação 2.50:

𝑑𝑼

𝑑𝑟=

𝜏0

𝜇−

1

2𝜇

∆𝑃

𝐿𝑟

(2.50)

𝑼 =𝜏0

𝜇𝑟 −

1

2𝜇

∆𝑃

𝐿

𝑟2

2+ 𝐶

(2.54)

Condição de não deslizamento na parede do duto U(R)=0.

Segue:

𝑼 =

𝜏0

𝜇𝑟 −

1

2𝜇

∆𝑃

𝐿

𝑟2

2

(2.55)

𝑼 =

1

4𝜇

∆𝑃

𝐿

(𝑅² − 𝑟²)

2−

𝜏0

𝜇(𝑅 − 𝑟)

(2.56)

Para 𝑟 < 𝑟0:

𝑼 =

1

4𝜇

∆𝑃

𝐿

(𝑅² − 𝑟0²)

2−

𝜏0

𝜇(𝑅 − 𝑟0)

(2.57)

As equações 2.56 e 2.57 mostram, respectivamente, o perfil desenvolvido de

velocidades para um material de Bingham na região fora do Plug-flow e no Plug-

flow.

28

As deduções com as suas respectivas explicações iram auxiliar na

compreensão dos resultados obtidos no presente trabalho.

3 Método dos volumes finitos

A utilização deste método é fundamental quando se trata de simulações

numéricas, como é o caso do presente trabalho. A importância se dá pelo fato de

não ser possível resolver derivadas computacionalmente tratando o domínio de

interesse como contínuo, sendo necessário fazer uma discretização.

O termo “discretização” se refere à aproximação de um problema em um

domínio contínuo por elementos discretos (Silva, 2008). Desta forma, o domínio é

divido em volumes de controle muito pequenos, adjacentes entre si, formando uma

partição conhecida como malha, onde as equações de conservação são aplicadas.

O fluxo de uma grandeza f é a quantidade dessa grandeza que atravessa as

fronteiras de área A que divide os elementos presentes nas malhas. A quantidade

líquida de f que atravessa é calculada através da integração, sobre as fronteiras, da

diferença entre o fluxo que sai e que entra. Os valores das variáveis são

armazenados nos centróides de cada volume de controle (Sargentini, 2013).

A discretização é feita no domínio do espaço físico e temporal, conforme

mostra a figura 3.1. A primeira é responsável pela construção da malha

computacional e a segunda é aplicada em problemas transientes partindo de uma

condição inicial e subdividindo o domínio em número finito de intervalos de tempo

(Silva, 2008).

29

Figura 3.1 – Discretização nos domínios de espaço e tempo.

Fonte: RUSCHE, 2012.

Para a resolução de equações diferenciais parciais, a discretização pode ser

feita de diversas maneiras, entretanto será descrito aqui apenas a forma como ela é

feita no OpenFoam, uma vez que este é o software proposto no presente trabalho.

A figura 3.2 exibe uma representação do resultado da discretização de um

domínio onde o ponto P é o centróide do elemento de interesse e N o centróide da

célula vizinha. O vetor que une esses pontos é representado por d, enquanto que Sf

representa o vetor perpendicular à face que divide os dois elementos em questão.

Figura 3.2 – Parâmetros na discretização por volumes finitos.

Fonte: RUSCHE, 2012.

30

As equações que serão apresentadas no capítulo 3 também foram retiradas

de Sargentini (2013).

O centroide XP da célula de interesse, localizado no ponto P, possui a

seguinte definição:

∫(𝑋 − 𝑋𝑃)

𝑉𝑝

𝑑𝑉 = 0

(3.1)

Sendo VP volume da célula referida. O centro das faces das células é definido

da seguinte forma:

∫ (𝑋 − 𝑋𝑓)𝑆𝑓

𝑑𝑆 = 0 (3.2)

Onde o vetor da face f é definido como d=𝑃𝑁̅̅ ̅̅ , sendo Sf o vetor da face com

magnitude igual à área da face.

𝑺𝒇 = ∫ 𝑛𝑑𝑆

𝑆𝑓

(3.3)

3.1 Operador gradiente

Quando se trata de volumes finitos, o operador gradiente, que é explicito,

pode ser representado de três maneiras diferentes, conforme a necessidade do

usuário. São elas a Integração Gaussiana, método dos mínimos quadrados e o

método gradiente normal à superfície.

A integração Gaussiana segue o método de integração apresentado pela

equação 3.4:

∫ ∇ϕdV = ∫ 𝑑𝑆𝜙 = ∑ 𝑺𝒇

𝑓𝑆V

𝜙𝑓 (3.4)

Onde Φ é uma variável qualquer e o sub-índice f faz referência à face da

célula, sendo esta forma usada no modelo.

31

Para compreensão do método dos mínimos quadrados, deve-se

retornar à figura 3.2. O valor do ponto P pode ser extrapolado para o seu vizinho N

usando o gradiente em P. A intenção é comparar o valor extrapolado de N com o

original, obtendo assim a diferença, sendo a mesma o erro.

A discretização descrita acima é feita através do cálculo do valor do tensor G

em todos os pontos P, pela soma dos seus vizinhos N.

𝑮 = ∑ 𝑊𝑁2𝑑𝒅

𝑁

(3.5)

Sendo a função peso descrita pela equação 3.6:

𝑊𝑁 =

1

|𝑑|

(3.6)

O gradiente será:

∇𝜙𝑃 = ∑ 𝑊𝑁𝐺−1𝑑(𝜙𝑁 − 𝜙𝑃)

𝑁

(3.7)

No método do gradiente normal à superfície, tem-se que 𝑛𝑓(∇𝜙𝑓) pode ser

avaliado nas células de acordo com a equação 3.8:

(3.8)

∇𝜙𝑓 = 𝜙𝑁 − 𝜙𝑃

|𝑑|

3.1 Operador divergente

Por ser um termo explícito, a integração do operador divergente no volume de

controle ocorre da seguinte maneira:

∫ ∇ ∙ ϕdV = ∫ 𝑑𝑆 ∙ 𝜙 = ∑𝑆𝑓

𝑓𝑆V

∙ 𝜙𝑓 (3.9)

O termo convectivo, porém, é resolvido implicitamente:

32

∫ ∇ ∙ (𝜌𝑈𝜙)dV = ∫ 𝑑𝑆 ∙ (𝜌𝑼𝜙) = ∑𝑺𝒇

𝑓𝑆V

∙ (𝜌𝑼)𝑓𝜙𝑓 = ∑𝐹𝜙𝑓

𝑓

(3.10)

3.2 Operador laplaciano

Consiste na integração no volume de controle, conforme a equação 3.11:

∫ ∇ ∙ (Γ∇𝜙)𝑑𝑉 = ∫ 𝑑𝑆 ∙ (ΓV𝜙)

𝑉𝑉

= ∑Γ𝑓𝑺𝒇

𝑓

(∇𝜙)𝑓 (3.11)

Considerando o vetor d é ortogonal ao plano da face, segue-se a equação

3.12:

𝑺𝒇∙(∇𝜙)𝑓 = |𝑆𝑓∙|

𝜙𝑁 − 𝜙𝑃

|𝑑|

(3.12)

3.3 Derivada temporal

Para uma derivada temporal de primeira ordem, 𝜕𝜙

𝜕𝑡, a integração no volume é

representada da seguinte maneira:

𝜕 ∫ 𝜌𝜙𝑑𝑉𝑉

𝜕𝑡

(3.13)

Assim, a discretização no tempo é feita utilizando-se 𝜙 = 𝜙(𝑡 + Δ𝑡) para o

passo de tempo que está sendo resolvido, 𝜙−1 = 𝜙(𝑡) para o passo anterior e

𝜙−2 = 𝜙(𝑡 − Δ𝑡) para o antecessor e assim por diante.

Desta forma, para primeira ordem, temos a equação 3.14 e 3.15, como

seguem:

𝜕𝜙

𝜕𝑡=

𝜙𝑛 − 𝜙𝑛−1

Δt

(3.14)

33

∫

𝜕𝜙

𝜕𝑡𝑑𝑉

𝑉

=𝜙𝑛 − 𝜙𝑛−1

Δt𝑉𝑝

(3.15)

Para segunda ordem, são usados dois passos de tempo anteriores, conforme

as equações 3.16 e 3.17:

𝜕𝜙

𝜕𝑡=

32

𝜙𝑛 − 2𝜙𝑛−1 +12

𝜙𝑛−2

Δt

(3.16)

∫𝜕𝜙

𝜕𝑡𝑑𝑉

𝑉

=

32

𝜙𝑛 − 2𝜙𝑛−1 +12

𝜙𝑛−2

Δt𝑉𝑝

(3.17)

No OpenFoam, são utilizadas alguns esquemas, conforme a tabela 3.1:

Tabela 3.1 – Esquemas de derivada temporal utilizados no OpenFoam.

Fonte: Manual do OpenFoam.

No presente trabalho, o esquema utilizado foi o Crank-Nicholson.

3.4 Esquemas de interpolação

Esta seção será dedicada em expor os principais esquema de interpolação

usados pelo OpenFoam. Eles são importantes que se fala em análise por volumes

finitos.

Diferenças Centradas (CD) – É um esquema de segunda ordem que está

sujeito a oscilações na solução (sistema não limitado), dependendo das condições

de escoamento.

34

𝜙𝑓 = 𝑓𝑥𝜙𝑃 + (1 − 𝑓𝑥)𝜙𝑁

(3.18)

Sendo:

𝑓𝑥 =

𝑓𝑁̅̅ ̅̅

𝑃𝑁̅̅ ̅̅

(3.19)

Sendo 𝑓𝑁̅̅ ̅̅ e 𝑃𝑁̅̅ ̅̅ as distâncias entre o ponto 𝑓 e o centro da célula N e entre os

centros das células P e N, respectivamente.

Upwind (UD) – Este esquema, de primeira ordem, não produz oscilações

(limitado). O valor da variável é determinado na face 𝜙𝑓 e vai depender da direção

do fluxo.

𝜙𝑓 = {

𝜙𝑃 , 𝐹 ≥ 0𝜙𝑁 , 𝐹 < 0

(3.20)

Diferenças Mistas (BD) – Esquema de alta ordem que pondera um valor entre

o Upwind e o esquema de Diferenças Centrais.

O esquema de interpolação utilizado foi o Upwind.

4 Resultados obtidos a partir das simulações

Para a simulação, foram definidos alguns parâmetros que estão registrados

nas tabelas 4.1, 4.2 e 4.3. As equações descritas nos capítulos 2 e 3 foram, bem

como os parâmetros das tabelas mencionadas, foram utilizados no software livre

chamado OpenFoam. Este programa é capaz de simular escoamentos a partir de

uma malha e das condições inicial e contorno bem definidas.

O modelo adotado para as simulações no OpenFoam considerou uma malha

2D axissimétrica para representar o escoamento do fluido. A vantagem desse tipo de

malha é a redução no tempo de processamento. O modelo considerava um duto

com 50 mm de raio e 1000 mm de comprimento.

As simulações envolveram a aplicação de um gradiente de pressão durante

um tempo de 80 segundos. Foi feito uma amostragem a partir dos resultados obtidos

a partir da simulação e os dados foram plotados em programa livre chamado

Pyxplot.

35

4.1 Parâmetros adotados na simulação

Os parâmetros de transporte utilizados estão listados na tabela 4.1.

Tabela 4.1 – Parâmetros de transporte.

Descrição Sigla Unidades Valor

Viscosidade cinemática 𝜈 m²/s 0.000055145

Viscosidade cinemática

para 𝜏0

𝜈0

m²/s

20000

Viscosidade de referência 𝜈𝑟𝑒𝑓 m²/s 0.008

Difusividade 𝛼 m²/s 0.01

Tensão limite de

escoamento

TIAC

𝜏0𝑇𝐼𝐴𝐶

Pa

0.002

Índice de consistência

TIAC

𝐾𝑇𝐼𝐴𝐶

m²/s

0.0055145

Índice de potência n Adimensional 1

Temperatura inicial de

aparecimento de cristais

TIAC

K

306.5

Temperatura de referência 𝑇𝑟𝑒𝑓 K 333.15

Temperatura externa 𝑇𝑒𝑥𝑡 K 277.15

Coeficiente de ajuste para

𝜏

𝑆𝜏

Adimensional

3000


K

𝑆𝐾

Adimensional

3000


𝜈

𝑆𝜈

Adimensional

2845

Massa específica 𝜌 Kg/m³ 1000

Note que o valor do índice de potência escolhido revela a utilização de um

material de Bingham. O caso considerado é o reinicio de escoamento após uma

36

parada na produção e consequente gelificação do óleo. O modelo não leva em

consideração a quebra da microestrutura. Desta forma, ele funciona como se a

quebra ocorresse de forma instantânea quando a pressão é aplicada.

Foi utilizada uma rampa de pressão, partindo de um valor nulo na entrada e

aumentando seu valor conforme a aplicação de um gradiente de pressão ao longo

de um tempo de 80s. A tabela 4.2 mostra os parâmetros de fluxo.

Tabela 4.2 – Parâmetros de fluxo

Descrição Sigla Unidades Valor

Pressão na entrada em

t=0

Pe0 Pa 0

Gradiente de pressão dPinlet Pa 0.01

Pressão na entrada em

t=80 s

Pe𝑓 Pa 0.8

Velocidade na entrada em

t=0

Ue0 m/s ∇𝑛𝑈 = 0

Velocidade na saída em

t=0

U𝑆0 m/s ∇𝑛𝑈 = 0

A tabela 4.3 descrever a malha adotada. Tabela 4.3 – Malha adotada.

Dimensões de malha(mm)

Divisões

Total de

células

∆x

∆z

∆𝑥

∆𝑧

x y z x y z

50 2,18 1000 80 1 200 16000 0,625 5 0,125

O passo de tempo utilizado foi de 0,01 s, porém o tempo registrado para ser

analisado foi de 10,0s.

4.1 Resultados obtidos

Antes de iniciar a apresentação dos resultados, é necessário deixar claro que

o comprimento do duto será representado pelo eixo z. Esta notação é usada nas

legendas dos gráficos. Entretanto, os eixos dos gráficos estão nomeados como r(m),

indicando o raio em metros e L(m), indicando comprimento em metros. A letra t

indica tempo.

37

Os resultados obtidos ilustram bem o comportamento que se espera no caso

considerado. Foi possível observar a presença de uma região plug flow, comum à

escoamentos com fluido de Bingham, bem como foi observado a redução da

viscosidade para altas temperaturas e em regiões do duto onde o cisalhamento é

maior. Os perfis de velocidade também foram avaliados. A figura 4.1mostra os perfis

de velocidade ao longo do duto para quatro posições ao longo do raio no tempo de

80s.

Figura 4.1 – Perfis de velocidade ao longo do duto para diversas posições em r e t=80s.

O gráfico ilustra com clareza que os maiores valores de velocidade são

obtidos no centro da tubulação, decrescendo à medida que se aproxima da parede,

representada pela posição r=0.05m, onde o valor é zero. Isso é um bom sinal de

coerência do modelo implementado, pois já é conhecido o fato de que a velocidade

dos fluidos na superfície de um sólido é igual a zero.

As figuras 4.2, 4.3 e 4.4 mostram a mesma situação para t=60, t=30 e t=0s

respectivamente. Comparando estes gráficos com o apresentado na figura 4.1, é

possível ver como o perfil de velocidades varia não somente ao longo do duto para

diversas posições no raio, como também ao longo do tempo.

38



39


Vale notar que em t=30s não se observa patamares estabilizados ao longo do

duto. Isto também pode ser explicado pelo não estabelecimento do escoamento,

pois uma vez estabelecido, as velocidades em um determinado tempo são iguais ao

longo de todo o duto, excetuando-se na sua entrada, isto é, em z=0. Isso é bem

ilustrado pelas próximas figuras apresentadas, a começar pela 4.5.

40

Figura 4.5 – Perfis de velocidade ao longo do raio para diversas posições em z e t=80s.

Fica claro pelo gráfico que as velocidades em cada ponto do raio não variam

consideravelmente ao longo do duto, excetuando-se a entrada do mesmo, algo que

ficou evidente também nas figuras 4.1-4.4. As figuras 4.6, 4.7 e 4.8 ilustram a

mesma situação para os tempos t=60, t=30 e t=0s respectivamente.

Figura 4.6 – Perfis de velocidade ao longo do raio para diversas posições em z e t=60s.

41

Figura 4.7 – Perfis de velocidade ao longo do raio para diversas posições em z em t=30s.

Figura 4.8 – Perfis de velocidade ao longo do raio para diversas posições em z em t=0s.

Analisando os gráficos das figuras 4.5-4.8, é possível ver que o padrão está

de acordo com 4.1-4.4, de modo que, para t=80 e t=60s, as curvas de velocidade

42

são coincidentes, porém o mesmo não acontece para t=30s em todos os pontos do

raio, somente em parte deles. Apesar de o fenômeno ser mais bem observado a

partir de r=0.02m, ele já é notado desde r=0m.

Uma vez mostrado que após o pleno estabelecimento do escoamento o perfil

de velocidade ao longo do raio é constante por todo o duto, exceto na entrada do

duto, pode-se escolher uma posição específica em z para analisar a

desenvolvimento da região Plug flow no tempo. Isto é observado na figura 4.9.

Figura 4.9 – Perfis de velocidade ao longo do raio e do tempo em z=0.6m.

O gráfico mostra que o raio que delimita a região de Plug flow diminui à

medida que o tempo se aproxima de t=80s. Como foi mostrado no capítulo 2, pela

equação 2.53, o raio que delimita a região Plug-flow é diretamente proporcional ao

dobro da tensão limite de escoamento e inversamente proporcional à razão entre a

queda pressão e o comprimento do duto. Como a tensão limite de escoamento é a

mesma para todos os tempos, o fenômeno é explicado pela diferença de pressão

entre a entrada e a saída do duto. Como a pressão na entrada aumenta com o

tempo, tempos maiores geram maiores pressões, reduzindo o Plug-flow.

43

Vale notar que o comportamento da curva t=20s registra a transição entre o

não estabelecimento e o estabelecimento do escoamento. O valor negativo para

esta curva entre r=0.045m e r=0.05 provavelmente ocorre devido à instabilidade do

modelo implementado no OpenFoam ao simular com esse momento de transição.

Entretanto não é necessária uma preocupação com isso, pois além do módulo da

velocidade nessa região ser muito pequeno, a curva t=20s não é importante para as

análises.

A figura 4.10 mostra os perfis dispostos da mesma forma que 4.9, porém na

posição z=0m.

Figura 4.11 – Perfis de velocidade ao longo do raio e do tempo em z=0m.

Enquanto que em z=0.6m o raio que determina o Plug chega a passar da

metade do raio do duto dependendo do tempo, em z=0m esse raio não existe. Ainda

que possa parecer que existe um Plug perto de r=0m, uma observação atenta da

figura 4.11 mostra que, mesmo nessa região, existe inclinação nas curvas de

velocidade.

A figura 4.12 mostra o perfil de viscosidade ao longo do duto para diversas

posições no raio em t=80s.

44

Figura 4.12 – Perfis de viscosidade ao longo do duto para diversas posições em r em t=80s.

Nota-se que para r=0m os valores de viscosidade ao longo da tubulação são

bem superiores quando comparados aos valores das outras posições, a não ser no

início do duto, onde os valores de viscosidade em todas as posições em r coincidem.

Para explicar esse fenômeno é preciso entender a relação da viscosidade com a

taxa de cisalhamento e com a temperatura. Quanto maior a temperatura e quanto

maior a taxa de cisalhamento, menor a viscosidade.

O perfil de viscosidade elevado no centro do duto aproximadamente a partir

de z=0.1 m é explicado pelo fato de as taxas de cisalhamento serem muito baixas no

centro da tubulação. À medida que se aproxima da parede as taxas ficam cada vez

maiores e a viscosidade cai consideravelmente.

Dessa forma, a baixa viscosidade em r=0m no começo do duto é explicada

não pela taxa de cisalhamento, mas pela alta temperatura nessa região, conforme a

figura 4.13 mostra.

45

Figura 4.13 – Perfis de temperatura ao longo do duto para diversas posições em r e t=80s.

Nota-se que é exatamente na região de z bem próximo da entrada que os

valores de temperatura são mais altos. Desta forma, a figura 4.13 ilustra com clareza

o porquê de valores tão baixos de viscosidade no início do duto para r=0m, apesar

de taxas de cisalhamento baixas.

As figuras 4.14, 4.15 e 4.16 mostram os perfis de viscosidade para t=60, t=30

e t=0s, respectivamente.

Figura 4.14 – Perfis de viscosidade ao longo do duto para diversas posições em r e t=60s.

46



A figura 4.16 ilustra a influência da temperatura com ainda mais clareza. Em

t=0s, não houve ainda aplicação de pressão, logo não houve cisalhamento. Com

isso, todas as curvas de viscosidade encontram-se no valor máximo. Porém, na

47

região bem próxima da entrada do duto, onde a temperatura é mais alta, é possível

notar valores de viscosidade inferiores a 0.04 m²/s.

A figura 4.15 mostra um comportamento na viscosidade semelhante ao

demostrado na figura 4.3 pela velocidade. Foi observado nesta última que pelo fato

de o escoamento não estar plenamente estabelecido, não foi possível observar

patamares indicando velocidades constantes ao longo do duto. A figura 4.15 mostra

uma transição em que as curvas de viscosidade estão começando adquirir a forma

de patamares. Nota-se que as curvas r=0.05 e r=0.04m apresentam comportamento

mais próximo do que é apresentado em t=80s, quando o escoamento já está

plenamente desenvolvido. O mesmo é observado para a figura 4.3. As curvas de

velocidade em r=0.05 e r=0.04m apresentam um comportamento mais próximo do

apresentado em t=80s, porém com valores de velocidade inferiores.

Além das simulações realizadas para o índice de potência igual 1, também

foram simulados casos com n inferior a 1, com o intuito de comparar as curvas de

velocidade entre os diferentes valores do índice power-law. O range de variação foi

0.5-1, com um intervalo de 0.1 entre cada valor de n admitido. A figura 4.17 ilustra

essa comparação para z=0.6m e t=80s.

Figura 4.17 – Perfis de velocidade considerando diversos valores de n para z=0.6m e t=80s.

Observa-se que para todos os valores de índice de potência, há uma região

de Plug-flow e o raio que a delimita é aproximadamente o mesmo para todos. Isso

48

ocorre porque não há variação na tensão limite de escoamento, assim como não há

no gradiente de pressão. Também é possível notar que valores menores de índice

de potência geram velocidades menores.

5 Conclusão e sugestão de trabalhos futuros

5.1 Conclusão

Os resultados demostraram que o modelo consegue simular coerentemente o

reinício do escoamento de um óleo parafínico, após sua gelificação. Os gráficos de

velocidade mostraram com fidelidade a presença de uma região Plug-flow, típica de

um material de Bingham que foi proposto para o modelo.

Foi possível perceber também a dependência da viscosidade com a

temperatura e com a taxa de cisalhamento. Para a posição r=0m do duto, foi

possível observar valores de viscosidade baixos e altos ao longo do comprimento.

Notou-se que os valores altos de temperatura são responsáveis pelos baixos valores

de viscosidade, enquanto que as baixas taxas de cisalhamento foram responsáveis

pelos altos valores de viscosidade. Com esses resultados, levanta-se a possibilidade

de aquecer a região gelificada com o intuito de induzir menores valores de

viscosidade e assim necessitar de menos pressão aplicada. Entretanto, é necessário

verificar e economicidade da proposta.

Também ficou bem claro nos gráficos o comportamento dos perfis de

velocidade com relação à posição dentro do duto. Radialmente os valores diminuem

à medida que se aproximam da parede da tubulação. Na direção axial, os valores

são mantidos constantes, excetuando-se na região bem próxima a entrada.

Foi observado também que os padrões de velocidade descritos acima

ocorrem quando o escoamento está plenamente desenvolvido. Porém, já é possível

observar a tendência de valores constantes ao longo do duto em regiões mais

próximas do centro mesmo quando o escoamento ainda não está estabelecido.

A mudança do valor do índice de potência causa variação na velocidade,

porém sem causar mudança considerável no raio que delimita o Plug-flow.

49

5.2 Sugestões para trabalhos futuros

Para trabalhos futuros baseados nesse mesmo modelo, é interessante avaliar

as diferenças causadas pela variação do n não somente na velocidade, mas

também na viscosidade e na temperatura. Vale notar que uma vez que o índice

power law é um expoente da taxa de cisalhamento e esta, por sua vez, está sendo

multiplicada pelo índice de consistência, este último tem influência nos resultados

causados pela variação de n. Assim, um trabalho futuro poderia analisar como a

variação índice de consistência influência a mudança causada pelo índice power-

law.

Também é interessante construir gráficos que mostrem o comportamento das

taxas de cisalhamento e deformação ao longo do raio do duto.

No presente trabalho, não foi avaliado a influência da mudança do valor da

tensão de cisalhamento, sendo assim um objeto a ser estudado ainda com este

modelo. A variação na tensão de cisalhamento vai mostrar uma variação no Plug-

flow, conforme foi dito no capítulo 2.

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