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sinais
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1
• Introdução
• Sinais discretos: Seqüências
• Sistemas discretos no tempo
• Sistemas lineares discretos no tempo - LTI
• Propriedades de sistemas LTI
• Equações diferença lineares com coeficiente constante
• Representação no domínio da freqüência
• Representação de seqüências por transformada de Fourier
• Propriedades de simetria transformada de Fourier
• Teoremas da transformada de Fourier.
Sinais e Sistemas Discretos no Tempo
2
2.0 Introdução
• Sinal: algo que contém informações sobre o estado ou
comportamento de um sistema físico, por exemplo sinal de voz.
• Sinais contínuos no tempo: definidos ao longo de um intervalo
de tempo contínuo e são representado por uma variável contínua
independente.
• Sinais discretos no tempo: definidos para tempo discreto, e são
representados como uma seqüência de números.
• Sistema de processamento de sinais
– Sistemas contínuos no tempo
– Sistemas discretos no tempo
3
Exemplo de sinais: a) Contínuo no tempob) Sequências de amostras obtidas para T = 125 s
Sinal discreto no tempo
4
• Sinais Digitais: sequências indexadas de números (reais ou
complexos). O índice n é usado como tempo discreto, tal como
o clock instantâneo de um processador digital.
• Função impulso unitário discreta: Sequência de uma única
amostra.
2.1 Sinais Discretos no Tempo: Sequências
0;0
0;1)(
n
nn
kn
knkn
;0
;1)(ou
)(n
0 1 2 3
)( kn
0 1 2 3 k k+1
1 1
5
• O impulso unitário segue as mesmas regras da função impulso
unitário ou função delta de Dirac.
• A propriedade da integração da função impulso envolvendo
deslocamento pode ser visto como a propriedade do somatório
de sequências unitárias deslocados.
Propriedade do deslocamento
• Uma seqüência discreta pode ser expressa como a soma de
impulsos unitários discretos, deslocados e multiplicados por um
peso:
• Outra interpretação usando convolução.
k
knkxnx )()()(
)(*)()( nnxnx
Impulso unitário ou sequência unitária
6
• Função degrau unitário
0;0
0;1)(
n
nnu
kn
knknu
;0
;1)(ou
)(nu
0 1 2 3
)( knu
0 1 2 3 k k+1
1 1
4 5 k+2
• Outra interpretação:
kn
m
mknu )()( )1()()( nunune
k+3
0
)()()(m
n
m
knmnu
7
Exponencial
nAnx ][
Senoidal
)cos(][ nAnx o
8
• Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente
como uma transformação ou um operador que mapeia uma
sequência de de entrada com valor x[n] em uma outra sequência
com valor y[n], isto é:
Classificação:
• Sistemas sem Memória
Exemplo:
y[n] = (x[n])2 + 2x[n] ;
y[n]=x[n]-x[n-1] , sistema com memória
Sistemas Discretos no Tempo
],........[][],[][ 1100 nynxnynx
]n[xe]n[y
9
Sistemas LinearesUm sistema é linear se ele obedece o teorema da superposição
Exemplo:
Sistemas Discretos no Tempo
]}[{]}[{]}[][{ 2121 nxbTnxaTnbxnaxT
n
k22
n
k11
n
k]k[x]n[y]k[x]n[y]k[x]n[y
n
k2
n
k1
n
k11
n
k33 ]k[xb]k[xa])k[bx]k[ax(]k[x]n[y
10
• Sistemas Invariante no Tempo
• Exemplo:
Sistemas Discretos no tempo
)nn(y)nn(x então ),n(y)n(x 00
n
k
nn
k01101
n
k11
nn
k0
0
0
]nn[y]k[x]nk[x]k[x]n[y
]k[x]nn[y
n
k]k[x]n[y
11
• Um sistema L é causal, se para qualquer no, os valores da
sequência de saída para n = no dependem somente dos valores da
sequência de entrada par n no, ou seja y(n) é uma função de {…,
x(n-2), x(n-1), x(n)} somente.
• Só depende de valores passados• Exemplos:
Causalidade
y[n]=x[n]-x[n+1] , não causal
Obs. Um sistema pode ser processado em tempo real (produzindo
uma saída imediata para cada instante de tempo n) se e somente se
o sistema é causal.
n
k]k[x]n[y ]1n[x]n[x]n[y
12
• Um sistema L é estável no sentido BIBO (bounded-input,
bounded-output stable) se somente se, para qualquer entrada
limitada a saída resultante é também limitada.
• Formalmente - O sistema L é estável se somente se para algum
AR, A>0, é verdadeiro que:
Então existe um BR, B>0, tal que:
onde
• Exemplo:
Sistema instável. Se x[n]=u[n]; saída infinita
Estabilidade
limitado) é ( todopara )( xnAnx
limitado) é ( todopara )( ynBny )].([L)( nxny ]n[xe]n[y
n
k]k[x]n[y
13
• Um sistema L é um processo de transformação de sinais.
• Um sistema L é linear se, para qualquer x(n), v(n) tal que
e qualquer constante , tem-se:
• Um sistema é invariante no tempo (ou invariante ao deslocamento) se para todo x(n) tal que , tem-se, para todo k, que :
Sistemas discretos lineares e invariante no tempo (LTI)
)]([L)( nxny )]([L)( nvnw e
Ly (n )= L [x (n )]
y(n)x(n)
Rba ,
)]()([L)()( nbvnaxnbwnay
)]([L)( nxny
)]([L)( knxkny
14
• A resposta ao impulso unitário de um sistema L é definida por:
• Se o sistema L é LTI, então
A resposta impulso unitário de um sistema LTI discreto no
tempo caracteriza um sistema da mesma forma que caracteriza
os sistemas LTI contínuos no tempo.
• Resposta ao impulso unitário Resposta a qualquer entrada
Resposta ao impulso unitário de um sistema linear
)]([L)( nnh
)]([L)( mnmnh
L]n[ ]n[h
15
• Para determinar a resposta para uma entrada arbitrária x(n), considere:
y[n]=L(x[n]). Mas, x[n], pode ser escrito um somatório de impulsos, ou seja:
Portanto:
Resposta de sistemas LTI a uma entrada qualquer
k]kn[]k[xL]n[xL]n[y
k]kn[L]k[x]n[y
k]kn[h]k[x]n[y
k
knkxnx )()()(
Convolução soma
16
• Se L é um sistema LTI com resposta impulso unitário h(n), ou seja:
e então
É a convolução soma ou convolução discreta que pode ser avaliada diretamente para cada n, por computador ou na mão.
• Exceto para certos sinais simples é difícil encontrar uma forma fechada para o resultado.
• A operação de convolução é representada por:
Convolução Soma
][L][ nxny
][*][][*][][ nxnhnhnxny
k]kn[h]k[x]n[y
k]kn[h]k[x]n[h*]n[x]n[y
17
Convolução Soma
Como calcular:1. Rebate-se um dos sinais, isto é, escrevendo x[-n] ou h[-n].2. Calcula-se y[n] para cada n deslocando-se x[n] sobre h[n], ou vice-versa.
Exemplo: x[n] 1 1 h[n] 2
k]kn[h]k[x]n[y
0 1 n 0 1 n
2
3
3
... -2 -1 0 1 2 3 k
1 1y[n]=0, n<0
18
0 1 n 0 1 n
2
3
3
... -2 -1 0 1 2 3 n
1 1
x[n] 1 1 2
y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3
y[n] = 0, n < 0;
19
0 1 n 0 1 n
2
3
3
... -2 -1 0 1 2 3 n
1 1
x[n] 1 1 2
y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3
y[n] = 0, n < 0;
y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5
20
0 1 n 0 1 n
2
3
3
... -2 -1 0 1 2 3 n
1 1
x[n] 1 1 2
y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3
y[n] = 0, n < 0;
y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5
y[2] = x[1]h[1] = 1x2= 2
21
0 1 n 0 1 n
2
3
3
... -2 -1 0 1 2 3 n
1 1
x[n] 1 1 2
y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3
y[n] = 0, n < 0;
y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5
y[2] = x[1]h[1] = 1x2= 2
y[n] = 2, n > 0;
22
• Teorema - Um sistema LTI com resposta impulso unitária h(n) é causal e e somente se:
• Teorema - Um sistema LTI é estável se somente se ele tem uma
resposta impulso unitário h(n) absolutamente somável, ou seja:
Causalidade e Estabilidade
.0n para 0)n(h
n
nh )(
k]kn[h]k[x]n[y
23
• Todos os sistemas LTI são descritos são descritos pela convolução soma.
• Comutativa:
• Distributiva:
Propriedades de Sistemas LTI
][*][][*][][ nxnhnhnxny
k]kn[h]k[x]n[y
][*][][*][])[][(*][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx
][nx ][1 nh ][ny
][nx ][ny][1 nh
][nx ][*][ 21 nhnh ][ny
Cascade connection of LTI Systems
][1 nh][2 nh
][2 nh ][2 nh
][nx ][ny
][nx ][][ 21 nhnh ][ny
Parallel connection of LTI Systems
24
• Retardo ideal
• Média móveis
• Acumulador
• Forward Difference
• Backward Difference
Exemplos de Sistemas LTI
0],[][ dd nnnnh
otherwise.,0
,1
1][
1
1][ 21
2121
2
1
MnMMMkn
MMnh
M
Mk
][0,0
0,1][][ nu
n
nknh
n
k
].[]1[][ nnnh
].1[][][ nnnh
25
• Um sistema LTI discreto pode ser caracterizado por uma equação
diferença linear com coeficientes constantes
• Ela pode ser visto como o análogo discreto de uma equação
diferencial linear com coeficientes constantes aplicada na teoria de
sistemas contínuos.
• Exemplo - Equação diferença genérica:
que é uma soma ponderada de saídas deslocadas expressa como
uma soma ponderada de entradas deslocadas para um dado instante
de tempo.
Equação Diferença Linear com Coeficientes Constantes
K
k
M
m
mnxmaknykb0 0
.)()()()(
26
• Se M=0, a(0)=1; K=2, b(0)=1, b(1)=1/2, b(2)=1/8, então a ED torna-se
Representação gráfica
• Dado um sistema descrito por uma equação diferença, a saída do sistema pode ser encontrada pela solução da equação no domínio do tempo ou da transformada Z.
Equação Diferença: Exemplo
)()2(8
1)1(
2
1)( nxnynyny
)(nx )(nyU n it
de lay
U n itde lay
)1( ny1 /2
1 /8)2( ny
+
- -
A D ig ita l F ilte r
27
• Considere a seguinte equação diferença:
• Encontre para dada:
– a condição inicial:
– entrada:
• Solução numérica:
• Deve-se encontrar uma forma fechada para a expressão de y(n).
Exemplo
)()2(9)( nxnyny
)(ny
nnnx 2)(
,...,0n
0)2()1( yy
20)1(9)3()3(
6)0(9)2()2(
2)1(9)1()1(
0)2(9)0()0(
yxy
yxy
yxy
yxy
28
Transformada de Fourier de Sinais Contínuos
de)(X2
1)t(xdte)t(x)(X tjtj
Define-se a transformada de Fourier de um sinal contínuo x(t)e a sua inversa pelas integrais:
A transformada de Fourier representa o conteúdo defrequência do sinal x(t). Em geral é complexo.
Notação:
)(X
)(X)t(x
29
Transformada de Fourier
Algumas propriedades importantes:
1. Linearidade:
2. Deslocamento no tempo:
3. Deslocamento na frequência:
4. Convolução no tempo
5. Produto no tempo:
)(bX)(aX)t(bx)t(ax 2121
0tj0 e)(G)tt(x
)(Ge)t(x 0tj 0
)(X)(X)t(x)*t(x 2121
)(X)*(X2
1)t(x)t(x 2121
30
dtded)t(x)(x)]t(x)*t(x[F tj
2121
ddtttFazendo
dded)(x)(x)]t(x)*t(x[F )(j
2121
)(X)(Xde)(xde)t(x)]t(x)*t(x[F 21j
2j
121
)(X)(X)t(x)*t(x 2121
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier da convolução de entre os dois sinais x1(t) e x2(t).
integral de convolução
d)t(x)(x)t(x)*t(x 2121
31
Exemplo de alguns pares de transformada
kk
000
000
)T
k2(
T
1)kTt(.6
)2/T(
)2/Tsen(AT)
2
T(ATsa)
T
t(Arect.5
)()(j)tcos(.4
)()()tcos(.3
)(21.2
1)t(.1
32
Amostragem Periódica
Um método típico de obter um sinal discreto é através da amostragemde um sinal contínuo no tempo, isto é: )()( sc nTxnx
33
Teorema da Amostragem
• Teorema da Amostragem descreve precisamente quanta informação é
retida quando uma função é amostrada ou, se uma função de banda
limitada pode ser exatamente reconstruída a partir de suas amostras.
• Demonstração: Suponha que é um sinal de banda
limitada no intervalo de frequência ou
Então x(t) pode ser exatamente reconstruída das amostras eqüidistantes
onde é a amostra periódica, é a frequência de
amostragem (amostras/segundo), é para radianos/seg.
)()( cc Xtx
cc , cX for 0)(
)(X
c c0
)/2()()( scsc nxnTxnx ss Tf /1
cs 2
ssT /2ss T/2
34
Representação Matemática da Amostragem
Conversão de trem de impulsos para
seqüência discreta)(txc
)(ts
)()( nTxnx c)(txs
)(modulação )()()()()(
nccs nTttxtstxtx
to)deslocamen do de(proprieda )()()(
ncs nTtnTxtx
.amostragem de taxaa é /2 onde )(2
)( TkT
jS sk
s
)(1
)(*)(2
1)( s
kccs kjX
TjSjXjX
21)(
T
k
TjX
TeX
kc
j
).()()( Tj
T
js eXeXjX
n
nTtts )()( Trem de impulsos
35
Espectro de xc(t)
Trem de impulsono domínio da frequência
Espectro do sinalamostrado, quando
Ns T 2 /2
Espectro do sinalamostrado, quando
Ns T 2/2
36
Reconstrução exata de um sinal contínuo a partir desuas amostras usando um filtro passa-baixa.
37
O efeito da aliasing na amostragem de uma função coseno
Aliasing : sobreposição de espectros
)cos()( oc tx
38
Exemplo: Amostragem do sinal contínuocom período de amostragem T = 1/6000 e taxa de amostragem
)4000cos()( ttxc
12000/2 Ts
39
• Definição: A transformada de Fourier (FT) de uma sequência x(n)
é dada por:
contanto que x(n) seja absolutamente somável:
• A somabilidade absoluta (ou quadrática) é condição suficiente
para a existência da FT.
• Definição: A transformada de Fourier Inversa (IFT) da função
é dada por:
• Obs: A transformada de Fourier de uma sequência pode ser
interpretada em termos da representação em série de Fourier.
Transformada de Fourier de Sequência
nj
n
j enxeX
)()(
.)(
n
nx
)( jeX.de)e(X
2
1)n(x njj
40
2.7.2 Interpretações da Transformada Fourier• Sinais: A transformada de Fourier de um sinal x(n)
descreve o conteúdo de frequência do sinal.
– Para cada frequência , o espectro de amplitude
descreve a importância daquela frequência contida no sinal.
– Para cada frequência , o Espectro de fase
descreve a localização (deslocamento relativo) daquela
componente de frequência do sinal.
• Sistemas: A resposta em frequência de um sistema linear
descreve como as frequências de entrada do sistema são modificadas
– Uma componente de frequência da entrada é amplificada ou
atenuada por um fator
– Uma componente de frequência da entrada é defasada por
uma quantidade
)( jeX
0 )( 0jeX
0 )( 0jeX
)( jeH
0.)( 0jeH
0
).( 0jeH
41
Exemplo: Filtro Passa-Baixa
• O sinal discreto h(n) cujo espectro de amplitude é é composto
principalmente por baixas frequências, isto é, frequências abaixo de uma
dada frequência de corte . Frequências mais altas ocorrem com baixa
amplitude.
• Um sistema discreto com espectro de amplitude como mostrado acima
deixa passar baixas frequência com um ganho maior que as altas.
• As frequências mais altas se aproximam de
c
)( 0jeH
0 22
Espectro de Amplitude de um filtro passa-baixa ou sistema passa-baixa
c
.)12( k
)( 0jeH
42
• Suponha que a entrada de um sistema linear real h(n), é
uma função senoidal
Mas
E então:
Como h(n) é real, , então
2.7.4 Resposta de um sistema linear a uma entrada senoidal
)cos()( 00 nAnx
)( jeH
)0( 0 A
)()(0
00
2
1)cos( njnj een
)()(2
)( 0000 )()(0 jnjjnj eHeeHeA
ny
)()( 00 * jj eHeH
*)()(0 )()(2
)( 0000 jnjjnj eHeeHeA
ny
)(Re 00 )(0
jnj eHeA
)sin()(Im)cos()(Re 000000 neHAneHA jj
)](cos[)( 0000
jj eHneHA
43
• A resposta a uma função senoidal com frequência não é
afetada pelo processo de filtragem, exceto por um ganho
(atenuação ou amplificação) e a fase por deslocamento
• Definições: Espectro de amplitude da transformada de Fourier
Espectro de Fase
• A transformada de Fourier pode ser expressa na forma:
2.7.5 Analise da resposta senoidal
)( 0jeH
0
)( 0jeH
2/1222/1* )()()()()( jI
jR
jjj eHeHeHeHeH
)(
)(tan)( 1
jR
jIj
eH
eHeH
)(Im)(
)(Re)(
jjI
jjR
eHeH
eHeH
onde,
)( 000 )()(
jeHjjj eeHeH
44
2.7.6 Exemplo: Função impulso
• Função impulso: )()( nAnx
)(nx
0 1 2 3
A
-1-2-3
n
njj enAeX )()(
AAe j 0
].,[
)( jeXA
n
45
2.7.6 Exemplo: Função “Comb”
• Função “Comb”:
else;0
1;)(
NnAnx
1
1
)(N
Nn
njj eAeX
)cos(1
)cos()]1(cos[
NN
A
].,[
)(nx
0
A
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeXA
46
2.7.6 Exemplo: Função pulso triangular
• Pulso triangular:
else;0
1)];1/(1[)(
NnNnAnx
1
1
1
1 1
1)(
N
Nn
njN
Nn
njj enN
eAeX
. que Note1
1
1
1
N
n
njN
n
nj ed
djne
)(nx
0
A
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeXA
47
2.7.6 Exemplo: Exponecial unilateral
• Exponencial unilateral:
else;0
0;)(
nanx
n
0
)(n
njnj eaeX ja-e
a
.,
)(nx
0
1
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeX
2
(a=2)
48
2.7.6 Exemplo: Exponencial bilateral
• Exponencial bilateral: )1( )( aanx n
n
njnj eaeX )(1)cos(2
12
2
a-a
a
., )(nx
0
1
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeX
3
(a=2)
49
• Definições:
– Qualquer x(n) pode ser expresso como a soma de um sequência
conjugada simétrica (x(n) real e par) com uma sequência conjugada
antisimétrica (x(n) real e ímpar):
onde,
• Similarmente, a transformada de Fourier pode ser expressa
como a soma de funções conjugadas simétricas e antisimétricas.
Onde,
2.8.1 Propriedades de Simetria da Transformada Fourier
)()( :simétrica sequência-conjugado * nxnx ee
)()()( 0 nxnxnx e
)()( :icaantisimétr sequência -conjugado * nxnx oo
)()()(
2
1)(
)()()(2
1)(
**
**
nxnxnxnx
nxnxnxnx
oo
ee
)( jeX
)()()( jo
je
j eXeXeX
)()()(
2
1)(
)()()(2
1)(
**
**
jo
jjjo
je
jjje
eXeXeXeX
eXeXeXeX
50
2.8.2 Propriedades de Simetria da Transformada de Fourier
)(* jeX
Sequência x(n) Transformada de Fourier )( jeX
)(* nx1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.
13.
)(* nx )(Re nx
)(Im nx)(nxe
)(nxo
)( realAny nx
)( realAny nx)( realAny nx
)( realAny nx))( (real )( nxnxe
)( realAny nx
))( (real )( nxnxo
)(* jeX)( j
e eX
)( jo eX
)(Re)( jjR eXeX
)(Im)( jjI eXjejX
)()( * jj eXeX )()( j
Rj
R eXeX )()( j
Ij
I eXeX )()( jj eXeX
)()( jI
j eXeX
)( jR eX
)( jI ejX
51
2.9 Teoremas da Transformada de Fourier
)()( jj ebXeaX
Sequence x(n) and y(n) Fourier Transform )( and )( jj eYeX
)(Linearity )()( nbynax 1.2.3.4.5.
6.7.
8.
9.
shifting) timeinteger, an ( )( dd nnnx
shifting) (frequency )(0 nxe nj
reversal) (time )( nx frequency) in iation(different )(nnx
theorem)on(convoluti )(*)( nynx theorem)(windowing )()( nynx
)( jnj eXe d
)( )( 0jeX)( jeX
d
edXj
j )(
)()( jj eYeX
deYeX jj )()(2
1 )(
Parseval’s Theorem
n
j deXnx
22)(
2
1)(
n
jj deYeXnynx
)()(2
1)()( **
.) thecalled is )((2
rumsity spectenergy deneX j
52
n
j deXnx
22)(
2
1)( :Proof
Exercício: Prova do Teorema de Parseval
n
njj
nn
deeXnxnxnxnx*
*2)(
2
1)()()()(
denxeXn
njj
)()(*
2
1
deX j2
)(2
1
n
njj deeXnx
)(*2
1)(
deXeX jj )()(*2
1
