Síntese e Análise de Mecanismo de Quatro Barrasrepositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/330980/1/Shiino... · À FEM/Unicamp pela educação e infraestrutura. Ao CNPq, pelo suporte

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

ELINE TIEMI SHIINO

Síntese e Análise de Mecanismo

de Quatro Barras

CAMPINAS

2017

ELINE TIEMI SHIINO


de Quatro Barras

Orientadora: Profa. Dra. Katia Lucchesi Cavalca Dedini

CAMPINAS

2017

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO

FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELA

ALUNA ELINE TIEMI SHIINO, E ORIENTADA PELA

PROFA. DRA. KATIA LUCCHESI CAVALCA

DEDINI.

.......................................................................

ASSINATURA DO(A) ORIENTADOR(A)

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade

de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual

de Campinas como parte dos requisitos exigidos

para obtenção do título de Mestra em Engenharia

Mecânica, na Área de Mecânica dos Sólidos e

Projeto Mecânico.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INTEGRADOS

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO


de Quatro-barras

Autora: Eline Tiemi Shiino

Orientadora: Katia Lucchesi Cavalca Dedini

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Profª. Drª. Katia Lucchesi Cavalca Dedini

Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP

Prof. Dr. Gilberto Pechoto de Melo

Faculdade de Engenharia - UNESP

Prof. Dr. Pablo Siqueira Meirelles

Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida

acadêmica do aluno.

Campinas, 07 de dezembro de 2017.

Agradecimentos

Este trabalho não poderia ser concluído sem a ajuda de diversas pessoas às quais presto

minha homenagem:

Aos meus pais, Lina e Janio, pelo apoio incondicional em todas as etapas e decisões

tomadas até o momento.

Às minhas irmãs, Luciene e Luiza, pela amizade e companheirismo.

Aos amigos de longa data, que mesmo à distância, se fazem presentes.

À Professora Katia, pela orientação e paciência prestadas ao longo destes anos de

trabalho.

Aos colegas do LAMAR pelas conversas e trocas de experiências.

Aos amigos da graduação, pelo companheirismo.

A todos os professores e colegas do departamento, que ajudaram de forma direta e indireta

na conclusão deste trabalho.

À FEM/Unicamp pela educação e infraestrutura.

Ao CNPq, pelo suporte financeiro (Processo CNPq 134623/2016-9).

Resumo

O método estudado neste trabalho enquadra-se na síntese dimensional de mecanismos de

quatro barras pelo método dos pontos de precisão. Utilizam-se as equações lineares de loop dos

mecanismos de quatro-barras, em sua forma complexa, sendo posteriormente arranjados em sua

forma matricial. A solução desse sistema retorna os comprimentos das barras dos mecanismos.

Em seguida, aplicam-se os conceitos de análise cinemática e cinética dos mecanismos

sintetizados, obtendo, assim, uma completa caracterização do comportamento desses

mecanismos. Da parte cinemática, retornam os gráficos de deslocamento, velocidade e

aceleração angulares do acoplador e da segunda manivela em função da variação do ângulo de

entrada na primeira manivela. Na parte cinética, analisam-se os efeitos da aplicação de uma

força no acoplador. Como resultados, o algoritmo retorna gráficos de força, deslocamento,

velocidade e aceleração em função do tempo.

Desenvolveu-se uma interface gráfica para fácil utilização dos algoritmos de síntese e de

análise dinâmica para mecanismos de quatro-barras, utilizando o toolbox GUIDE do

MATLAB. Além da resposta gráfica, o algoritmo permite o salvamento dos arquivos de entrada

e saída, e a visualização de uma animação simulando o movimento do mecanismo, tanto na

análise cinemática quanto na análise cinética, quando o sistema é submetido a uma força

externa.

Finalmente, simulou-se o mecanismo de quatro-barras sintetizado, posicionando uma

mola e um amortecedor transversalmente ao mesmo. Foram feitas as análises cinemática e

cinética após a aplicação de uma força externa ao centro de massa do acoplador e a otimização

do coeficiente de elasticidade da mola e do coeficiente de amortecimento, buscando minimizar

diferentes funções objetivo, sendo estas a curva de deslocamento do ponto de interesse no

acoplador, a curva de velocidade, e a curva de aceleração, aplicando diferentes restrições a cada

caso particular. O objetivo é oferecer uma ferramenta genérica, de síntese, análise e otimização

de um mecanismo de quatro-barras, auxiliando o projetista de máquinas na obtenção da melhor

solução possível de um problema.

Palavras-chave: Síntese de mecanismo, mecanismo - projeto, cinemática - análise, cinética,

otimização.

Abstract

The method studied in this work fits in the dimensional synthesis of four-bar mechanisms

by the method of the precision points. The linear loop equations of the four-bar mechanisms

are used in their complex form and later arranged in their matrix form. The solution of this

system returns the lengths of the bars of the mechanism.

Then, the concepts of kinematic and kinetic analysis of the synthesized mechanisms are

applied, thus obtaining a complete characterization of the behavior of these mechanisms. From

the kinematic part, the angular displacement, velocity and acceleration graphs of the coupling

and the second crank are returned as a function of the variation of the input angle in the first

crank. In the kinetic part, the effects of the application of a force on the coupler are analyzed.

As results, the algorithm returns graphs of force, displacement, velocity and acceleration as a

function of time.

A graphical interface was developed to enable easier user utilization of the synthesis and

dynamic analysis algorithms for four-bar mechanisms, using the MATLAB GUIDE toolbox.

In addition to the graphical response, the algorithm allows saving of the input and output files

and the visualization of an animation simulating the movement of the mechanism, both in the

kinematic analysis and in the kinetic analysis, when the system is subjected to an external force.

Finally, the synthesized four-bar mechanism was simulated, positioning a spring and a

damper transversely to the mechanism. Kinematic and kinetic analyzes were performed after

the application of an external force to the center of mass of the coupler and the optimization of

the coefficient of elasticity of the spring and the damping coefficient, aiming to minimize

different objective functions, which are the displacement of the point of interest in the coupler,

the velocity curve, and the acceleration curve, applying different restrictions to each particular

case. The goal is to offer a generic tool for the synthesis, analysis and optimization of a four-

bar mechanism, helping the machine designer to obtain the best possible solution to a problem.

Keywords: Mechanism synthesis, mechanism - project, kinematic - analysis, kinetic,

optimization.

Lista de Ilustrações

Figura 3.1: Mecanismo de quatro-barras............................................................................ 33

Figura 3.2(a): Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento. Duas

posições.............................................................................................................................. 35

Figura 3.2(b): Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento.

Mecanismo finalizado........................................................................................................ 35

Figura 3.3: Síntese de mecanismo para três posições. Geração por movimento............... 39

Figura 3.4: Síntese de mecanismo para quatro posições. Geração por movimento.......... 43

Figura 3.5: Solução geométrica para a equação 3.109...................................................... 46

Figura 3.6: Síntese de mecanismo de quatro-barras para cinco posições. Geração por

movimento......................................................................................................................... 50

Figura 4.1: Mecanismo quatro barras genérico................................................................... 56

Figura 4.2: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo

de entrada teta. Manivela-oscilador com dois pontos de precisão....................................... 57

Figura 4.3: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................... 58


de entrada teta. Manivela-oscilador com três pontos de precisão....................................... 59



de entrada teta. Manivela-oscilador com quatro pontos de precisão................................... 61



de entrada teta. Manivela-oscilador com cinco pontos de precisão..................................... 64


Figura 4.10: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano

cartesiano........................................................................................................................... 65


de entrada teta. Oscilador-oscilador com dois pontos de precisão...................................... 67

Figura 4.12: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 67


de entrada teta. Oscilador-oscilador com três pontos de precisão....................................... 69



de entrada teta. Oscilador-oscilador com quatro pontos de precisão................................... 71



de entrada teta. Oscilador-oscilador com cinco pontos de precisão.................................... 73



cartesiano........................................................................................................................... 74


de entrada teta. Manivela-manivela com dois pontos de precisão....................................... 76



de entrada teta. Manivela-manivela com três pontos de precisão....................................... 78



de entrada teta. Manivela-manivela com quatro pontos de precisão................................... 80



de entrada teta. Manivela-manivela com cinco pontos de precisão..................................... 82



cartesiano........................................................................................................................... 83

Figura 5.1: Mecanismo de 4 barras genérico...................................................................... 85

Figura 5.2: Análise do ponto de interesse em mecanismo 4 barras..................................... 87

Figura 5.3: Transformação de coordenadas dos eixos cartesianos...................................... 100

Figura 5.4: Gráfico de força constante................................................................................ 101

Figura 6.1: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado).................... 103

Figura 6.2: Sensibilidade à frequência de vibração de diferentes partes do corpo humano.

Fonte: Rao S., Vibrações Mecânicas, 2011........................................................................ 106

Figura 7.1: Mecanismo de 4 barras genérico...................................................................... 111

Figura 7.2: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q........ 112

Figura 7.3: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada

q......................................................................................................................................... 113

Figura 7.4: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada

q......................................................................................................................................... 113


de entrada q. ..................................................................................................................... 114

Figura 7.6: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo

de entrada q. ..................................................................................................................... 115

Figura 7.7: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de

entrada q. ........................................................................................................................... 115


Figura 7.9: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q........ 117

Figura 7.10(a): Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de

entrada q. ........................................................................................................................... 117

Figura 7.10(b): Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de

entrada q. ........................................................................................................................... 118


de entrada q. ...................................................................................................................... 118


de entrada q. ...................................................................................................................... 119

Figura 7.13: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo

de entrada q. ...................................................................................................................... 119


Figura 7.15: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q..... 121


q. ........................................................................................................................................ 122


q. ........................................................................................................................................ 122


de entrada q. ...................................................................................................................... 123


de entrada q. ...................................................................................................................... 124

Figura 7.20: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo

de entrada q. ...................................................................................................................... 124



Figura 7.23: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado).................... 127

Figura 7.24: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q..... 128


q. ........................................................................................................................................ 129


q. ........................................................................................................................................ 129

Figura 7.27: Deslocamento do centro de massa da barra C2 em função do tempo.............. 131

Figura 7.28: Velocidade do centro de massa da barra C2 em função do tempo................... 131

Figura 7.29: Aceleração do centro de massa da barra C2 em função do tempo.................. 132

Figura 7.30: Mecanismo quatro barras resultante da síntese e análise cinemática e

dinâmica. ........................................................................................................................... 133

Figura 7.31: Variação do máximo pico da curva de resposta do sistema (deslocamento

resultante do centro de massa do acoplador) em função do coeficiente de amortecimento

da mola e do coeficiente de elasticidade da mola................................................................ 134

Figura 7.32: Deslocamento do centro de massa do acoplador............................................. 135

Figura 7.33: Velocidade do centro de massa do acoplador................................................. 137

Figura 7.34: Aceleração do centro de massa do acoplador................................................. 138

Figura A.1: Norma ISO 2631............................................................................................. 145

Lista de Tabelas

Tabela 3.1: Relação do número de pontos de precisão e o número de soluções

disponíveis......................................................................................................................... 34

Tabela 4.1: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 2 pontos de

precisão.............................................................................................................................. 57


precisão.............................................................................................................................. 59


precisão.............................................................................................................................. 61


precisão.............................................................................................................................. 63

Tabela 4.5: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 2 pontos de

precisão.............................................................................................................................. 66


precisão.............................................................................................................................. 68


precisão.............................................................................................................................. 70


precisão.............................................................................................................................. 72

Tabela 4.9: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico - 2 pontos de

precisão.............................................................................................................................. 75

Tabela 4.10: Dados de entrada e saída para manivela - manivela genérico - 3 pontos de

precisão.............................................................................................................................. 77


precisão.............................................................................................................................. 79


precisão.............................................................................................................................. 81

Tabela 7.1: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela –

oscilador............................................................................................................................ 112

Tabela 7.2: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo oscilador -

oscilador............................................................................................................................ 116

Tabela 7.3: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela –

manivela............................................................................................................................ 120

Tabela 7.4: Dados de entrada e saída para mecanismo oscilador – oscilador..................... 126


oscilador............................................................................................................................ 127

Tabela 7.6: Coordenadas cartesianas dos centros de massa das barras............................... 130

Tabela 7.7: Massa e momentos de inércia das barras móveis do mecanismo................... 130

Tabela 7.8: Definição dos limites dos parâmetros a serem otimizados............................. 134

Tabela 7.9: Resultados da otimização – Deslocamento...................................................... 135

Tabela 7.10: Resultados da otimização – Velocidade........................................................ 136

Tabela 7.11: Resultados da otimização – Aceleração........................................................ 137

Lista de Abreviaturas e Siglas

Letras Latinas

𝐏𝟏 Posição de um ponto de interesse na trajetória do acoplador

𝐏𝟐 Posição de um segundo ponto de interesse na trajetória do acoplador

R1 Vetor posição com respeito a um sistema cartesiano XY até P1

R2 Vetor posição com respeito a um sistema cartesiano XY até P2

P21 Vetor deslocamento entre os pontos P1 e P2

G Vetor da barra fixa

W Vetor da barra de entrada

V Vetor da barra acopladora

Z Vetor que define a parte esquerda da barra acopladora

S Vetor que define a parte direita da barra acopladora

U Vetor da barra de saída

C Comprimento de barra

A Ângulo de orientação da barra

q Coordenada generalizada – ângulo de orientação da barra de entrada

g Ângulo de orientação da barra fixa

K Coeficientes cinemáticos de velocidade

J Matriz jacobiana

L Coeficientes cinemáticos de aceleração

up Coordenada do eixo paralelo à barra acopladora de sistema móvel solidário ao

acoplador

vp Coordenada do eixo perpendicular à barra acopladora de sistema móvel

solidário ao acoplador

Vp Velocidade do ponto de interesse

Ap Aceleração do ponto de interesse

Ec Energia cinética

M Massa da barra

Vcm Velocidade do centro de massa

Icm Momento de inércia do centro de massa

W Trabalho

Q Força generalizada

F Força

V Função potencial

h Passo do método Runge-Kutta

m Inclinação estimada do método Runge-Kutta

t Tempo

k Constante elástica da mola

c Coeficiente de amortecimento do amortecedor

s Variável de folga

h Restrição de igualdade

g Restrição de desigualdade

L Função lagrangeana

H Hessiana do lagrangeano

Letras Gregas

θ Ângulo de orientação inicial da barra

β Ângulo de variação angular da barra

𝜑 Ângulo de orientação inicial do vetor Z

α Variação angular do vetor Z

δ Ângulo de orientação do vetor P21

σ Ângulo de orientação inicial da barra

γ Ângulo de variação angular da barra

ψ Ângulo de orientação do vetor S

Δ Cofator

ω Velocidade angular

ℐ Inércia generalizada

ℭ Coeficiente centrípeto

ζ Fator de amortecimento

𝜇 Parâmetro de barreira

𝜆 Vetor multiplicador de Lagrange

Λ Matriz que utiliza o vetor λ em sua diagonal principal

Superescritos

Primeira derivada

Segunda derivada

c Conservativa

nc Não conservativa

Subscritos

x Projeção do vetor na coordenada X

y Projeção do vetor na coordenada Y

p Ponto de interesse

Sumário

Agradecimentos...............................................................................................................5

Resumo............................................................................................................................6

Abstract............................................................................................................................7

Lista de Ilustrações..........................................................................................................8

Lista de Tabelas.............................................................................................................12

Lista de Abreviaturas e Siglas.......................................................................................14

1 Introdução...................................................................................................................20

2 Revisão da Literatura - Perspectiva Histórica............................................................24

3 Síntese Analítica.........................................................................................................33

3.1. Síntese analítica para duas posições..............................................................34

3.2. Síntese analítica para três posições................................................................39

3.3. Síntese analítica para quatro posições...........................................................43

3.4. Síntese analítica para cinco posições.............................................................49

4 Resultados da Síntese.................................................................................................56

4.1. Manivela – Oscilador.....................................................................................56

4.1.1. Manivela - oscilador genérico com dois pontos de precisão.............56

4.1.2. Manivela - oscilador genérico com três pontos de precisão..............58

4.1.3. Manivela - oscilador genérico com quatro pontos de precisão..........60

4.1.4. Manivela - oscilador genérico com cinco pontos de precisão...........62

4.1.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - oscilador.......65

4.2. Oscilador – oscilador.....................................................................................66

4.2.1. Oscilador - oscilador genérico com dois pontos de precisão .............66

4.2.2. Oscilador - oscilador genérico com três pontos de precisão..............68

4.2.3. Oscilador - oscilador genérico com quatro pontos de precisão.........70

4.2.4. Oscilador - oscilador genérico com cinco pontos de precisão...........72

4.2.5. Comparação entre os mecanismos do tipo oscilador - oscilador.......74

4.3. Manivela – manivela......................................................................................74

4.3.1. Manivela - manivela genérico com dois pontos de precisão.............75

4.3.2. Manivela - manivela genérico com três pontos de precisão..............77

4.3.3. Manivela - manivela genérico com quatro pontos de precisão..........79

4.3.4. Manivela - manivela genérico com cinco pontos de precisão...........81

4.3.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - manivela.......83

5 Fundamentação teórica da dinâmica dos mecanismos...............................................84

5.1. Análise Cinemática........................................................................................84

5.1.1. Análise de posição.............................................................................84

5.1.2. Análise da velocidade........................................................................85

5.1.3. Análise da aceleração.........................................................................86

5.1.4. Análise do ponto de interesse associado ao acoplador......................87

5.1.5. Solução numérica para sistema de equações não-lineares.................89

5.2. Análise Cinética.............................................................................................91

5.2.1. Energia Cinética de um sistema de corpos rígidos............................92

5.2.2. Forças generalizadas..........................................................................94

5.2.3. Equação de movimento de Eksergian................................................95

5.2.4. Representação de forças conservativas..............................................97

5.2.5. Solução numérica da equação geral de Eksergian.............................98

5.3. Especificidades do algoritmo de análise cinemática e cinética...................100

5.3.1. Matriz de transformação de coordenadas.........................................100

5.3.2. Força Externa...................................................................................101

6 Problema de Otimização...........................................................................................102

6.1 Modelagem matemática do problema...........................................................103

6.2 Método de otimização...................................................................................107

7 Resultados da análise cinemática e cinética.............................................................111

7.1. Mecanismos sintetizados.............................................................................111

7.1.1. Mecanismo manivela – oscilador.....................................................111

7.1.2. Mecanismo oscilador – oscilador.....................................................116

7.1.3. Mecanismo manivela – manivela.....................................................120

7.2. Síntese e simulação cinemática e cinética de um mecanismo de quatro-

barras...........................................................................................................................125

7.2.1. Cinemática.......................................................................................127

7.2.2. Cinética............................................................................................130

7.2.3. Resultados do problema de otimização............................................133

8 Conclusão.................................................................................................................139

Referências..................................................................................................................141

ANEXO A – Norma ISO 2631....................................................................................145

20

1 INTRODUÇÃO

O mecanismo plano constituído por quatro barras em uma cadeia cinemática fechada,

com o formato de um quadrilátero, é muito versátil e, portanto, comumente encontrado em

vários dispositivos mecânicos. A variedade de movimentos que podem ser gerados por esse

tipo de mecanismo inclui uma linha aproximadamente reta (acoplamento de Watt e Scott

Russel), curvas fechadas e até círculos (mecanismo de Galloway).

Muitos problemas de design de máquinas requerem a criação de um mecanismo (síntese)

com um movimento particular. Erdman e Sandor (1997) definem três tipos de síntese

cinemática, ou geração: por função, trajetória e movimento. (ERDMAN, A.G., E SANDOR G.

N., 1997)

• A geração por função é definida como a correlação entre o movimento de entrada e o

movimento de saída em um mecanismo;

• A geração por trajetória é definida como o controle de um ponto no plano de forma que

este siga uma trajetória pré-definida;

• A geração por movimento é definida como o controle de uma linha no plano de forma

que esta assuma alguma sequência de posições determinadas.

A síntese dimensional de um mecanismo é a determinação das proporções dos

acoplamentos de modo a realizar os movimentos desejados. A técnica mais simples para o

dimensionamento de um mecanismo de quatro barras é a gráfica. Porém, esta técnica funciona

bem para até três posições. Para um número maior, opta-se pela utilização do método analítico.

Durante os últimos anos, foram desenvolvidos vários métodos analíticos para a síntese

dimensional de mecanismos. Norton divide estes métodos em três categorias, sendo

denominadas: precisão, equação e otimização. (NORTON, 2011)

Os métodos de precisão englobam aqueles que procuram sintetizar um mecanismo que

passará exatamente pelos pontos definidos previamente, sem, no entanto, se preocupar com a

trajetória, ou com um eventual erro estrutural do mecanismo entre estes pontos. Os métodos de

pontos de precisão possuem um número máximo de pontos que podem ser previamente

definidos, que representam a quantidade de parâmetros independentes que definem um

mecanismo. Para um mecanismo de quatro barras, o número máximo de pontos de precisão é

nove, sendo que destes nove parâmetros independentes, quatro representam os comprimentos

das barras, dois referem-se às coordenadas do ponto de interesse no acoplador, e os últimos três

21

parâmetros dizem respeito à localização e à orientação da barra fixa no sistema cartesiano

global.

Para até cinco pontos de precisão em um mecanismo de quatro barras, as equações podem

ser solucionadas de forma fechada, sem iteração. Contudo, utilizando de seis a nove pontos de

precisão necessita-se de um método iterativo para encontrar a solução do sistema de equações

não lineares, o que pode levar a problemas de não convergência, ou convergência que induz a

soluções imaginárias, ou seja, no campo complexo. Independentemente do número de pontos

de precisão, pode-se ainda encontrar soluções inviáveis, tais quais: problemas de ordem, nos

quais o mecanismo sintetizado passa pelos pontos de precisão, porém não na sequência correta;

problemas de circuito, para os quais o mecanismo não consegue se mover entre os pontos de

precisão sem mudar a sua configuração de montagem; ou ainda os problemas em que ocorrem

posições singulares, também chamadas de ponto morto, entre duas posições sucessivas,

resultando no travamento da movimentação do mecanismo.

Os métodos de equação se referem à solução da equação da curva tricircular trinodal de

grau seis do acoplador, de modo a encontrar o mecanismo que mais se aproxime da trajetória

do ponto de interesse no acoplador, satisfazendo determinados pontos na curva.

Por último, os métodos de síntese analítica denominados “métodos de otimização”

referem-se aqueles que utilizam um processo iterativo de otimização, visando minimizar uma

função objetivo. A função objetivo pode ser obtida de várias formas, seja pelo método dos

mínimos quadrados, através da diferença entre as posições calculadas e desejadas do ponto de

interesse do acoplador, ou mesmo pelas equações de loop do mecanismo. Emprega-se uma

estimativa inicial para os valores dimensionais do mecanismo, e a cada iteração novas

dimensões são calculadas, buscando a minimização da função objetivo escolhida. Os métodos

de otimização permitem a definição de um número maior de pontos de precisão do que os

próprios métodos de precisão, sendo limitados somente pela capacidade de processamento

computacional e os erros de arredondamento do mesmo. No entanto, nenhum dos pontos de

precisão desejados serão exatamente iguais aos pontos calculados, sendo suficientemente

precisos, contudo, para a maioria das aplicações em engenharia.

Dentre as aplicações da síntese de mecanismos de quatro-barras, pode-se citar

Dimarogonas e Mourikis (1980), que desenvolveram um método para a síntese de mecanismos

de quatro barras capaz de prover o movimento adequado a placas solares, seguindo assim o

movimento do sol em um lugar específico. Este método utiliza, como parâmetros de projeto,

pontos de precisão da altitude do sol em função da hora no local, gerando assim uma estimativa

inicial para as dimensões do mecanismo. Por meio de métodos de otimização, o design original

22

é aprimorado, minimizando o erro e otimizando as características estruturais do mecanismo,

requerendo apenas simples ajustes sazonais. (DIMAROGONAS, A. D., MOURIKIS A., 1980)

Outra aplicação de mecanismos de quatro barras pode ser citada no campo das

suspensões. Em 2008, Wongratanaphisan e Cole analisaram um mecanismo de quatro barras

compensado gravitacionalmente por uma suspensão de molas. A análise é baseada no campo

da energia potencial. O mecanismo proposto pode ser utilizado em sistemas mecânicos a baixas

ou altas velocidades, sob aplicação de altas cargas e operando a acelerações da ordem de

grandeza da aceleração gravitacional. (WONGRATANAPHISAN, T., COLE, M. O. T., 2008)

Em 2010, McDonald e Agrawal desenvolveram um design de asas para micro veículos

aéreos, inspirado nas asas de insetos e pássaros. Evidencia-se a necessidade de projeto de

componentes extremamente leves, capazes de reproduzir os padrões de movimentos das asas

dos animais, usando poucos atuadores, ou eventualmente um único. Utiliza-se, então, a síntese

analítica de mecanismos para desenvolver um design otimizado de um mecanismo de quatro

barras esférico, sendo este escolhido por possuir boa modelagem aerodinâmica. (MCDONALD,

M., AGRAWAL, S. K., 2010)

O método estudado neste trabalho enquadra-se na síntese dimensional de mecanismos de

quatro barras pelo método dos pontos de precisão. Esta teoria foi introduzida por Freudenstein

e Sandor (1959), sendo posteriormente desenvolvida por Sandor e Erdman (1997). Utilizam-se

as equações lineares de loop dos mecanismos de quatro-barras, em sua forma complexa, sendo

posteriormente arranjados em sua forma matricial. A solução desse sistema retorna os

comprimentos das barras dos mecanismos. (FREUDENSTEIN, F., SANDOR, G. N., 1959)

(ERDMAN, A. G., E SANDOR, G. N., 1997)

Desenvolveu-se também um algoritmo computacional em MATLAB para o cálculo dos

comprimentos das barras, a partir da aplicação da teoria de síntese analítica a ser explicitada no

capítulo 3. O algoritmo retorna também gráficos de deslocamento do ponto de interesse no

acoplador em função do ângulo de entrada, para o mecanismo sintetizado, assim como o cálculo

do erro entre o ponto de interesse desejado e o obtido pela síntese. Pode-se obter, ainda, gráficos

da variação do ângulo de rotação do acoplador e da segunda manivela em função do ângulo de

entrada.

Através da utilização em conjunto com o programa de análise desenvolvido por Saint

Martin (2014), permite-se a análise cinemática e cinética do mecanismo sintetizado, ou de outro

mecanismo de quatro-barras qualquer, sendo, neste caso, necessário informar dados adicionais

ao programa. Da parte cinemática, retornam os gráficos de deslocamento, velocidade e

aceleração angulares do acoplador e da segunda manivela em função da variação do ângulo de

23

entrada na primeira manivela. Na parte cinética, analisam-se os efeitos da aplicação de uma

força no acoplador, ou um momento aplicado à manivela de entrada. Como resultados, o

algoritmo retorna gráficos de força, deslocamento, velocidade e aceleração em função do

tempo. (SAINT MARTIN, L. B., 2014)

Desenvolveu-se uma interface gráfica para fácil utilização dos algoritmos de síntese e de

análise dinâmica para mecanismos de quatro-barras, utilizando o toolbox GUIDE do

MATLAB. Além da resposta gráfica, o algoritmo permite o salvamento dos arquivos de entrada

e saída, e a visualização de uma animação simulando o movimento do mecanismo, tanto na

análise cinemática quanto na análise cinética, quando o sistema é submetido a uma força

externa.

Finalmente, simulou-se o mecanismo de quatro-barras sintetizado, posicionando uma

mola e um amortecedor transversalmente ao mesmo. Foram feitas as análises cinemática e

cinética após a aplicação de uma força externa ao centro de massa do acoplador e a otimização

do coeficiente de elasticidade da mola e do coeficiente de amortecimento, buscando minimizar

diferentes funções objetivo, sendo estas a curva de deslocamento do ponto de interesse no

acoplador, a curva de velocidade, e a curva de aceleração, aplicando diferentes restrições a cada

caso particular. O objetivo é oferecer uma ferramenta genérica, de síntese, análise e otimização

de um mecanismo de quatro-barras, auxiliando o projetista de máquinas na obtenção da melhor

solução possível de um problema.

24

2 REVISÃO DA LITERATURA – PERSPECTIVA HISTÓRICA

O desenvolvimento do mecanismo de quatro barras, a partir da manivela, ocorreu em duas

etapas. Primeiramente, a barra de conexão foi acoplada à manivela, de modo a substituir o

antebraço humano, formando assim uma díade. Esta etapa foi sucedida pela adição da quarta

barra, fechando deste modo o mecanismo de quatro barras. As primeiras ilustrações de

mecanismos de quatro barras do tipo manivela oscilador surgiram na China, por volta de 500

D.C., em um moinho em rotação, posto em movimento por meio de um pino e uma vara. Na

Europa, este mecanismo só apareceu por volta de 1440 D.C., porém a primeira aplicação bem-

sucedida e documentada de um mecanismo deste tipo foi em 1582, na London Bridge

Waterworks, construída por Peter Moris. (NOLLE, 1973)

Em 1784, Watt utilizou o acoplador de um mecanismo de quatro barras para promover

movimento aproximadamente linear a uma biela em um motor a vapor, evidenciando-se a partir

deste momento a importância do estudo do movimento de um mecanismo. Análises

matemáticas do movimento destes mecanismos, no entanto, passaram a ser intensamente

estudadas somente por volta de 1860, enquanto as investigações a respeito da síntese de tais

mecanismos foram publicadas tardiamente 20 anos depois. (NOLLE, 1973)

No século XVIII, Poinsot e Chasles realizaram progressos significativos no tratamento

geométrico do movimento de corpos rígidos. Todavia, seu estudo não abrangia o movimento

de corpos cujas restrições são definidas em termos da geometria de um conjunto de corpos

articulados. Reuleaux baseou seus argumentos em cinemática pura, e desenvolveu, no processo,

a síntese por tipo, agrupando os diferentes mecanismos de acordo com seu propósito. Na

segunda metade do século XIX, após a publicação dos trabalhos de Chebyshev e Burmester, os

métodos analíticos e geométricos aproximados para síntese por geração de movimento, nos

quais o mecanismo move-se por uma linha aproximadamente reta, se desenvolveram

rapidamente. Chebyshev estudou o mecanismo de Watt e mecanismos de quatro barras em

geral, empregando métodos puramente analíticos, formulando uma série de funções cujos

coeficientes eram parâmetros do mecanismo. Burmester, por outro lado, empregou apenas

argumentos geométricos na síntese, desenvolvendo relações cinemáticas para um corpo em

movimento plano, assumindo três, quatro e cinco posições distintas. Disto, Burmester descobriu

que certos pontos de interesse em um corpo se localizam em arcos de circunferência, sendo

denominados assim de circle points. A abordagem de Burmester não requer conhecimento

25

algébrico da curva do acoplador, visto que busca a definição do mecanismo através da

localização das barras de entrada e saída relacionando-as ao movimento do plano do acoplador.

A geração de movimento precisamente linear por um mecanismo foi desenvolvida por

Peaucellier em 1864. (NOLLE, 1973)

Em 1875, Samuel Roberts publicou as primeiras propriedades algébricas de curvas para

mecanismos de quatro barras planares, para as quais afirmava que a trajetória de um ponto em

um acoplador formaria uma curva tricircular de grau seis. Expressões analíticas para a trajetória

de um ponto na linha de centro do acoplador foram posteriormente desenvolvidas por Johnson

W. W., em 1876. Já em 1903, Somov desenvolve expressões para a curva do acoplador, cujas

formas permitiram o conhecimento da influência dos parâmetros do mecanismo nas possíveis

mudanças de trajetória do acoplador. (NOLLE, 1973)

Como mencionado anteriormente, Burmester em 1888, introduziu uma técnica

geométrica para síntese de mecanismos, denominada por este motivo de teoria de Burmester,

sendo aplicável a até 5 diferentes posições de uma barra. Seu trabalho serviu de referência para

os estudos de Muller, em 1892, que estabeleceu inúmeros teoremas a respeito de colinearidade,

ordem de contato, simetria e localização dos pontos de Burmester, todos relacionados ao

deslocamento infinitesimal. Além disso, Muller estabeleceu as relações algébricas existentes

entre as evolutas de pontos em uma trajetória e seus respectivos centros de curvatura. Allievi,

em 1895, foi o primeiro a aplicar a teoria de Burmester para mecanismos de quatro-barras, no

final do século XIX. (NOLLE, 1973)

No século XX, várias teorias se desenvolveram para a síntese de mecanismos, das quais

poucas possuem forma fechada, e muitas necessitam de solução numérica iterativa, facilitada

após o surgimento dos computadores. Os vários métodos desenvolvidos a partir desta época

podem ser divididos em 3 categorias distintas, a saber: pontos de precisão, equação da curva do

acoplador e otimização. Os métodos de pontos de precisão, utilizados neste trabalho, buscam

soluções nas quais o mecanismo passará precisamente nos pontos designados, mas podem se

desviar da trajetória desejada entre os mesmos. Os métodos de equação da curva do acoplador

solucionam a curva do acoplador tricircular trinodal de sexto grau, de modo a encontrar um

mecanismo que passará pela trajetória completa do acoplador. Por último, os métodos de

otimização referem-se aos procedimentos iterativos de otimização que buscam minimizar uma

função objetiva, como por exemplo, o método do desvio dos mínimos quadrados, entre os

pontos desejados e os calculados na trajetória do acoplador. (NORTON, 2011)

Os métodos de pontos de precisão são limitados pelo número de equações independentes

que definem o mecanismo. Para um mecanismo de quatro barras, o número máximo de pontos

26

de precisão possível é nove. Para até 5 pontos, as equações podem ser resolvidas em sua forma

fechada. De 6 até 9 pontos de precisão, as equações são não lineares, e necessitam de métodos

iterativos para sua solução. (NORTON, 2011)

Freudenstein (1955), posteriormente associado a Sandor (1959), está entre os primeiros a

publicar um trabalho direcionado à síntese de mecanismos com o método de pontos de precisão,

utilizando-se das equações lineares de loop, para até cinco pontos de precisão. Este método é

descrito em detalhes no capítulo 3 deste trabalho, sendo posteriormente aplicado no

desenvolvimento de uma ferramenta computacional. (FREUDENSTEIN, F., 1955)

(FREUDENSTEIN, F. E SANDOR, G. N., 1959)

Suh e Radcliffe (1966) apresentam uma abordagem similar à de Freudenstein (1955),

utilizando-se de equações de loop. Este método também se enquadra na categoria de síntese

analítica dos pontos de precisão. No entanto, este método leva a um sistema de equações não

lineares, aplicável para até 5 posições distintas, utilizando-se o método numérico de Newton-

Raphson. Esta abordagem leva, porém, a problemas de não convergência, ou ainda,

convergência que pode resultar em soluções inviáveis. Seu método se diferencia pela introdução

da matriz de deslocamentos associada a posições múltiplas de um corpo rígido, para síntese de

mecanismos planares ou tridimensionais. Para um mecanismo de quatro barras com acoplador,

a matriz de deslocamento é função da rotação relativa (ângulo de rotação entre a primeira e a

enésima posição) do acoplador, e dos pontos de precisão. (SUH, C. H. E RADCLIFFE, C. W.,

1966).

Nolle e Hunt, utilizando um método da categoria de otimização, derivam em 1971

expressões analíticas para a síntese ótima de mecanismos de quatro barras planares. Seu método

leva a um sistema de dez equações lineares não homogêneas, cuja solução gera valores ótimos

para todas as variáveis independentes do problema, utilizando-se do método dos mínimos

quadrados para a minimização da função erro. Devido à utilização de equações lineares, o

método utiliza pouco tempo computacional, permitindo seu uso diversas vezes nos casos onde

não há uma boa estimativa inicial. Em termos de tempo, leva-se um segundo a cada iteração,

resultando em uma convergência rápida. Mostra-se ainda a possibilidade de aplicação deste

método a mecanismos de 6 ou mais barras, e mecanismos tridimensionais para os quais a

solução ótima é obtida após uma única iteração. (NOLLE, H. E HUNT, K. H., 1971)

Posteriormente, Suh (1973), aprimorando seus estudos na área de síntese analítica através

do método dos pontos de precisão, publicou métodos matemáticos para solução de equações

não lineares por meio do uso de sistemas matriciais e do método dos mínimos quadrados. O

algoritmo dos mínimos quadrados publicado por Powell foi implementado, o que proporcionou

27

rápida convergência de funções residuais provenientes da função objetivo e das restrições dos

mecanismos. Sua efetividade é demonstrada por meio de exemplos da síntese por otimização

de mecanismos, no caso da geração por função, pela posição do acoplador, e no caso da geração

por meio de uma curva espacial. Não só o algoritmo apresentou resultados válidos, como ainda

se mostrou de fácil implementação. (SUH, C. H., 1973)

Loerch, Erdman e Sandor (1979), desenvolveram um método de síntese utilizando pontos

de precisão, demonstrando um método gráfico, no qual são obtidas soluções para mecanismos

de quatro barras com três pontos de precisão, nos quais quaisquer deslocamentos rotacionais

podem ser estabelecidos. Além disso, são discutidos casos nos quais são determinadas duas

posições e uma velocidade. As soluções são representadas por círculos formados pelas

diferentes localizações de um ponto de interesse no acoplador, derivadas das equações

analíticas baseadas em transformações bi lineares. Demonstra-se, ainda, uma solução para

quatro pontos de precisão, utilizando-se da superposição de duas soluções, para o caso de três

pontos de precisão. (LOERCH, R. J., ERDMAN A. G., SANDOR G. N., 1979).

Já em 1981, Erdman introduziu a expressão dos mecanismos de quatro barras por meio

de números complexos, padronizando as equações para geração por função, geração por

trajetória e geração por movimento. Diferentes estratégias para a síntese foram descritas,

sugerindo a melhor solução para cada escolha de parâmetros iniciais. Recomenda-se considerar

as vantagens e desvantagens do emprego de uma técnica específica para um determinado

problema. Por fim, foram reproduzidas técnicas computacionais para os casos de síntese com

três ou quatro pontos de precisão. (ERDMAN, A. G., 1981)

Posteriormente, Sandor e Erdman (1997) publicaram o livro “Mechanism Design:

Analysis and Synthesis”, baseado nos estudos de Freudenstein (1955), e nas equações de loop,

utilizando notação complexa, introduzidas por Erdman. Estes métodos de síntese analítica

buscaram a determinação de um mecanismo que passe por pontos previamente determinados,

sendo assim denominados métodos dos pontos de precisão. (ERDMAN, A. G., E SANDOR, G.

N., 1997)

Em 1985, Midha e Zhao, discutiram a síntese de mecanismos de oito barras planares por

meio das equações de loop e de equações não lineares. Este método, portanto, se enquadrou na

categoria dos pontos de precisão, baseando-se na teoria desenvolvida por Freudenstein (1955)

e, posteriormente, por Erdman e Sandor (1997). O método de Newton-Raphson foi utilizado

para a solução destas equações não lineares. (MIDHA, A., ZHAO, Z.-L., 1985)

Blechschmidt e Uicker, em 1986, desenvolveram um método para a síntese de

mecanismos de quatro-barras utilizando a curva algébrica do movimento de um ponto de

28

interesse no acoplador. Este método baseou-se na teoria de Burmester, pois a curva algébrica

formada pelo ponto de interesse é um polinômio de sexto grau, do tipo tricircular trinodal. Deste

modo, este método entra na categoria dos métodos de síntese analítica pelo uso da equação

polinomial citada. Demonstrou-se que dada uma série de pontos na qual o ponto de interesse

no acoplador deve passar, os coeficientes do polinômio podem ser encontrados. Os coeficientes

do polinômio são funções não lineares dos parâmetros do mecanismo. O sistema de equações

não lineares resultante pode ser resolvido por meio de técnicas de iteração ou otimização,

determinando-se assim as dimensões das barras do mecanismo. (BLECHSCHMIDT, J. L.,

UICKER, J. J., 1986)

Morgan e Sommese, em 1987, e Wampler, em 1990 solucionaram o mecanismo de quatro

barras para 5 posições distintas e pivôs fixos, utilizando-se das equações de loop e dos métodos

de continuação, enquadrando-se nos métodos de síntese analítica dos pontos de precisão. Neste

trabalho, demonstrou-se que, para um mecanismo passando por 5 pontos de precisão, os

parâmetros de design devem satisfazer um sistema de equações polinomiais de quarto grau,

com quatro incógnitas, e este sistema deve apresentar no máximo 36 soluções reais. No entanto,

nem todas as soluções podem se apresentar utilizáveis, podendo ocorrer 3 tipos de soluções

indesejáveis, a saber: as de solução complexa, com defeito de ordem (order defect), na qual o

mecanismo sintetizado não consegue passar pelos pontos de precisão na ordem designada, ou

soluções com defeito de continuidade (branch defects), em que o mecanismo precisa mudar sua

configuração de montagem, ou forma, para satisfazer todos os pontos de precisão. (MORGAN,

A. P. E A. J. SOMMESE, 1987) (MORGAN, A. P., E WAMPLER, C. W., 1990)

Subbian e Flugrad, em 1991, estenderam este estudo para pivôs móveis, enquadrando-se,

portanto, na classe dos métodos de síntese analítica dos pontos de precisão. Apresentou-se uma

diferente abordagem para a síntese por trajetória de mecanismos de quatro-barras, utilizando o

método de continuação para solucionar o sistema de equações não lineares proveniente das

equações de loop. Demonstrou-se, ainda, que o método de Newton pode ser aplicado na solução

do sistema não-linear, sendo, no entanto, impossível assegurar um conjunto completo de

soluções. Portanto, o método da continuação seria o mais confiável matematicamente. No

entanto, dentre as soluções obtidas por este método, encontram-se as soluções reais, as soluções

complexas e as soluções no infinito, das quais somente as reais são utilizáveis na síntese.

(SUBBIAN, T. E FLUGRAD, J. D. R., 1991)

Já em 1992, Wampler, continuando os estudos anteriores de síntese analítica pelos pontos

de precisão, utiliza uma combinação de redução de equação analítica e o método da continuação

para exaustivamente computar todas as soluções (provou-se que há um máximo de 4326)

29

possíveis e genéricas para o problema de nove pontos de precisão, buscando, assim, controle

máximo sobre a curva do acoplador. Vale ressaltar que nove é o número máximo de pontos de

precisão possíveis de serem determinados previamente na síntese de mecanismos de quatro

barras. Este método, contudo, não elimina os mecanismos fisicamente impossíveis ou com

problemas como posições de alternância. (WAMPLER, C. W., 1992)

Em 1994, Tylaska e Kazerounian desenvolveram um método para síntese de mecanismos

de quatro barras para 7 pontos de precisão (método de síntese analítica pelos pontos de

precisão). Seu método era capaz de encontrar uma solução para qualquer conjunto de

parâmetros iniciais, sendo, portanto, um avanço sobre outros métodos iterativos, que possuem

certas restrições a respeito de suas estimativas iniciais. Uma particularidade deste método é a

extensão do mesmo ao mecanismo de seis barras de Watt. (TYLASKA, T. E KAZEROUNIAN

K., 1994)

Também em 1994, Avilés, Navalpotro, Amezua e Hernández, publicaram um método de

síntese analítica de mecanismos planares através da otimização, tanto para geração por

movimento, geração por trajetória, ou geração por função, ou seja, aplicável a todas as sínteses

cinemáticas. Os mecanismos são discretizados em elementos finitos, visando facilitar a

computação da matriz geométrica, que é uma matriz de rigidez. A função erro é baseada na

energia elástica acumulada pelo mecanismo, quando este é forçado a satisfazer exatamente os

dados da síntese. Portanto, durante o processo iterativo, considera-se que os elementos dos

mecanismos são deformáveis. O sistema de equações não lineares de equilíbrio resultante é

solucionado utilizando a matriz geométrica e o vetor força do sistema deformado. A

minimização da função erro é obtida pelo método de Newton de segunda ordem, com uma

abordagem semi-analítica. Provou-se que este método é muito estável para uma grande

variedade de passos da iteração, apresentando convergência mesmo quando a solução inicial da

iteração se apresenta distante da solução real. (AVILÉS, R., NAVALPOTRO, S., AMEZUA,

E. E HERNÁNDEZ, A., 1994)

Bawab, et al. (1997), apresentaram um método de síntese mecânica baseado na teoria de

otimização e na síntese retificada. Utilizaram a geração por movimento, na qual o mecanismo

passa por dois, três, ou quatro posições. Apresentaram, ainda, técnicas para síntese automática,

implementadas no software RECSYN (RECtified SYNthesis), buscando tornar o processo de

otimização mais eficiente em termos de velocidade. Comparativamente, em um processo

manual, necessita-se de tempo e conhecimentos de cinemática consideráveis para desenvolver

uma solução iterativa aceitável. O algoritmo apresentado consumiu no máximo seis segundos

para gerar uma solução. Isso foi possível devido à eliminação imediata de mecanismos

30

inviáveis, através do uso de ferramentas de retificação. Sendo assim, o método apresentado uniu

aspectos da síntese analítica pelos pontos de precisão, de síntese cinemática pelo uso da geração

por movimento, e de técnicas de otimização, eliminando soluções de mecanismos não viáveis.

(BAWAB, S., SABADA, S. SRINIVASAN, U., KINZEL, G.L. E WALDRON, K. J., 1997)

Já em 1999, Liu e Yang sugeriram uma nova abordagem para a síntese analítica de

mecanismos por otimização. Foram apontadas duas limitações nestes métodos de síntese, sendo

estas: as estimativas iniciais são de difícil determinação e a solução ótima global é de árdua

obtenção. Propôs-se, assim, uma metodologia que extingue a necessidade de estimativa inicial,

de modo a não impedir a obtenção de todas as soluções possíveis. Utilizando-se das equações

de loop do mecanismo, e buscando a minimização da função objetivo do sistema por meio das

derivadas parciais das equações de loop, obteve-se um sistema de equações polinomiais

solucionável pelo método da continuação. (LIU, A.-X. E YANG, T. -L., 1999)

Em 2001, Vasiliu e Yannou propuseram um método para a síntese analítica de

mecanismos planares, cuja função era a geração de uma determinada trajetória. A maioria dos

métodos para a síntese analítica e gráfica para geração por trajetória exige a especificação da

mesma por meio de uma série de coordenadas de pontos, ao invés da especificação de uma

forma geométrica. A respeito dos métodos de síntese por otimização, os mesmos mostram-se

lentos, e sua convergência depende da solução inicial. Alternativamente, foi apresentada uma

abordagem diferenciada pelo uso de uma rede neural. Este método enquadrou-se nos métodos

de síntese analítica por otimização. O primeiro passo consistia na geração de um grande número

de casos por meio da simulação cinemática de mecanismos, para valores aleatórios de

comprimentos de barra, em um processo de orientação da rede neural. No segundo passo,

durante sua utilização, a rede neural possibilitava a obtenção imediata de uma solução

aproximada para o problema de síntese, através da interpolação de casos instalados na memória

da rede. Concluiu-se que as duas maiores vantagens da utilização deste método são a capacidade

do mesmo de levar em conta especificações de formato geométrico da trajetória, dificilmente

concebível em métodos tradicionais, e a compilação preliminar da base de casos, usando a

interpolação com a rede neural, o que acarreta em grande redução da base de dados. Entretanto,

a implementação deste método requer um grande número de simulações cinemáticas, exigindo

assim a utilização de um software. (VASILIU, A., YANNOU, B., 2001)

Wu e Chen, em 2005, desenvolveram um software de análise de mecanismos de quatro

barras planares. O software realizava a análise cinemática completa do mecanismo, ilustrando,

através de animações, seus movimentos. Sendo assim, permitia-se a rápida e fácil determinação

de soluções para as variáveis do acoplador. (WU, T.-M., CHEN, C.-K., 2005)

31

Shariati e Norouzi, em 2010, descreveram um método de síntese analítica por otimização

para mecanismos de quatro barras, com o objetivo de gerar uma função matemática definitiva.

A função objetivo foi definida em termos dos mínimos quadrados dos erros entre a função

gerada e a função desejada. Devido a não linearidade da função objetivo e das restrições do

mecanismo, utilizou-se o método Sequential Quadratic Programming (SQP) para minimizar a

função objetivo, de modo a encontrar o mecanismo ótimo. Este método é iterativo, e utilizado

na otimização de equações não lineares, no qual a função objetivo e as restrições são

diferenciadas duas vezes. No caso de não haver restrições para o problema, este se reduz ao

método de Newton, determinando um ponto onde o gradiente da função objetivo é nulo. No

caso de haver uma restrição, o método equivale ao método de Newton de primeira ordem com

condições ótimas, ou condições de Karush-Kuhn-Tucker (K.K.T.). Este método está incluído

em diversos pacotes computacionais, entre eles o MATLAB. (SHARIATI, M., NOROUZI, M.,

2010).

Aoustin e Hamon, em 2013, utilizaram um mecanismo de quatro-barras para a concepção

de um joelho para utilização em um robô bípede. Utilizaram, como parâmetros iniciais, as

dimensões de uma perna humana característica, obtidas por radiografia. Estas dimensões foram

otimizadas pelo método apresentado no artigo, de modo a produzir uma referência ótima para

trajetórias percorridas pelo robô ao caminhar. Observou-se que o design mostrou-se ruim para

baixas velocidades, porém eficiente para velocidades mais elevadas, o que demonstrou que

estes mecanismos poderiam representar uma boa tecnologia a ser implementada para o aumento

da velocidade de robôs bípedes. (AOUSTIN Y., HAMON, A., 2013)

Zhao, Yan e Ye, em 2014, aplicaram a teoria de Burmester no design das asas de um robô,

propondo uma formula unificada para a síntese de mecanismos de quatro barras com um

número qualquer de posições pré-definidas. As asas de um pássaro usualmente executam um

movimento periódico, e definem-se 8 posições críticas pelas quais as asas devem passar.

Utilizaram-se as coordenadas da circunferência na posição inicial como variáveis de design

para estabelecer as equações de restrição, que foram posteriormente utilizadas na determinação

das posições sucessivas através da matriz de transformação. Expandindo-se as equações

quadráticas, e eliminando os itens quadráticos das coordenadas do centro da circunferência, foi

obtido um sistema de equações lineares. A matriz de coeficientes aumentada, constituída pelas

coordenadas do ponto no centro da circunferência na posição inicial, foi então utilizada para

formar uma matriz 3 x 3. Igualando a matriz a zero, foram encontradas as soluções para o

problema. O método provou-se suficientemente preciso para até quatro posições, utilizando-se

32

o método dos mínimos quadrados para otimização da solução. (ZHAO, J.-S., YAN, Z.-F. E YE,

L., 2014)

Neste contexto, integrando-se técnicas de síntese analítica utilizando os pontos de

precisão de mecanismos de quatro-barras, a análise cinemática e cinética dos mecanismos

sintetizados, e finalmente, o estudo de técnicas de otimização, busca-se um estudo completo

dos mecanismos de quatro-barras.

33

3 SÍNTESE ANALÍTICA

A construção gráfica para duas e três posições é de fácil realização. No entanto,

problemas mais complexos, que possuem restrições quanto ao tamanho das barras, posição das

barras e pivôs fixos, ângulos de transmissão e outros, requerem a repetição do método diversas

vezes para encontrar uma solução ótima. A síntese analítica torna-se, portanto, necessária, já

que o método gráfico se torna muito oneroso. A síntese analítica é essencialmente algébrica,

tornando-a adequada para utilização em métodos computacionais.

As mesmas técnicas utilizadas para a síntese analítica de duas e três posições podem ser

estendidas para quatro e cinco pontos de precisão, escrevendo mais equações de loop, uma para

cada ponto de precisão. A tabela 3.1 mostra o número de variáveis escalares e prescritas (dados

do problema), o número de equações escalares provenientes das equações de loop (para cada

díade), e o número de variáveis disponíveis para livre escolha, em função do número de pontos

de precisão escolhido. A figura 3.1 ilustra a localização destas variáveis.

Figura 3.1: Mecanismo de quatro-barras.

34

Tabela 3.1: Relação do número de pontos de precisão e o número de soluções disponíveis.

Nº de

pontos de

precisão

Nº de

variáveis

escalares

(total)

Nº de

equações

escalares

Nº de variáveis

prescritas (dados

de entrada)

Nº de livres escolhas

(condições iniciais

para coordenada

generalizada 𝒒, ��, ��) 2 8 2 3 3

3 12 4 6 2

4 16 6 9 1

5 20 8 12 0

Utilizando as equações de loop para a solução do problema de síntese do mecanismo de

quatro barras, o sistema de equações pode ser solucionado diretamente, sem iterações, para até

cinco pontos de precisão. Para seis ou mais pontos de precisão, necessita-se de um método

iterativo para solucionar as equações não-lineares, o que pode levar a problemas de não

convergência, ou convergência para soluções imaginárias. Neste capítulo, serão apresentados

os equacionamentos para síntese analítica para dois, três, quatro e cinco pontos de precisão de

mecanismos de quatro barras.

3.1 Síntese analítica para duas posições

Por ser o mecanismo mais versátil, diversos métodos foram criados para a solução de

problemas utilizando o mecanismo de quatro barras. Os métodos analíticos aqui citados foram

desenvolvidos por Erdman e Sandor (1997), sendo posteriormente aprimorados por Kaufman e

Loerch. (ERDMAN, A.G., E SANDOR G. N., 1997)

A geração por movimento, definida como o controle de uma linha em um plano de modo

que esta assuma uma sequência de posições previamente definidas, é comumente obtida

utilizando um mecanismo quatro barras do tipo manivela ou duas manivelas. Nestes, um ponto

no acoplador passa pela trajetória desejada, e o mecanismo também controla o ângulo no

acoplador que possui a linha de interesse. O procedimento é descrito a seguir (Figura 3.2)

35

(a) Duas posições (b) Mecanismo finalizado

Figura 3.2: Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento.

Definem-se os dois pontos de precisão no plano com respeito a um sistema cartesiano

global XY utilizando dois vetores de posição R1 e R2. A mudança no ângulo α2 do vetor Z indica

a rotação desejada para o acoplador. O vetor P21, que define a diferença de deslocamentos entre

a posição P1 e P2, é definido como:

𝑃21 = 𝑅2 − 𝑅1 (3.8)

Os vetores em sequência W1Z1 definem a metade esquerda do mecanismo. Já U1S1 define

a metade direita do mecanismo. A equação que relaciona Z1 a S1 é:

𝑉1 = 𝑍1 − 𝑆1 (3.9)

A barra 1 (fixa), é definida em termos de dois pares de vetores.

36

𝐺1 = 𝑊1 + 𝑉1 −𝑈1 (3.10)

Portanto, ao determinar os vetores W1, Z1, U1 e S1, ter-se-á um mecanismo que satisfaz

as especificações iniciais. Faz-se um loop na parte esquerda do mecanismo, começando com

W2.

𝑊2 + 𝑍2 − 𝑃21 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.11)

Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes:

𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽2) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.12)

A soma dos ângulos dos expoentes pode ser reescrita como:

𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽2 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼2 − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.13)

Simplificando e arranjando:

𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽2 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 (3.14)

Separando as partes real e imaginária:

Parte real:

[𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) − [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1)

− [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝛿2

(3.15)

Parte imaginária:

[𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) + [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1)

+ [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2

(3.16)

Há oito variáveis nestas duas equações: 𝑤, 𝜃, 𝛽2, 𝑧, 𝜑, 𝛼2, 𝑝21𝛿2. Pode-se resolver apenas

para duas. Três destas variáveis foram definidas no inicio, 𝛼2, 𝑝21, 𝛿2. Das cinco restantes,

37

𝑤, 𝜃, 𝛽2, 𝑧, 𝜑, deve-se assumir o valor de três para que seja possível resolver para as outras duas.

Assume-se o valor dos três ângulos, 𝜃, 𝛽2, 𝜑, de modo a obter como resultado a magnitude de

w e z. Simplificando as equações e substituindo alguns termos por constantes:

𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃(𝑐𝑜𝑠 𝛽2 − 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝛽2 (3.17)

𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝜑(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.18)

𝐶 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝜑2 (3.19)

𝐷 = 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝛽2 (3.20)

𝐸 = 𝑠𝑖𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.21)

𝐹 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.22)

As equações da parte real e imaginária ficam:

𝐴𝑤 + 𝐵𝑧 = 𝐶 (3.23)

𝐷𝑤 + 𝐸𝑧 = 𝐹 (3.24)

Resolvendo ambas as equações simultaneamente:

𝑤 = 𝐶𝐸 − 𝐵𝐹

𝐴𝐸 − 𝐵𝐷

(3.25)

𝑧 = 𝐴𝐹 − 𝐶𝐷

𝐴𝐸 − 𝐵𝐷

(3.26)

Repetindo o procedimento para o lado direito do mecanismo:

Equação do loop:

𝑈2 + 𝑆2 − 𝑃21 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.27)

Reescrevendo na sua forma complexa:

𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾2 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 (3.28)

Parte real:

38

𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜎 (𝑐𝑜𝑠𝛾2 − 1) − 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2 + 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜓 (𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) − 𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝛼2

= 𝑝21 𝑐𝑜𝑠 𝛿2

(3.29)

Parte imaginária:

𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝜎 (𝑐𝑜𝑠𝛾2 − 1) + 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2 + 𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝜓 (𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) + 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝛼2

= 𝑝21 𝑠𝑖𝑛 𝛿2

(3.30)

Assumindo os valores dos ângulos σ, ψ e γ2, e lembrando que os valores de p21, α2 e δ2

estão definidos, e substituindo os termos das equações pelas seguintes constantes:

𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝜎(𝑐𝑜𝑠 𝛾2 − 1) − 𝑠𝑖𝑛 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2 (3.31)

𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝜓(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.32)

𝐶 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝛿2 (3.33)

𝐷 = 𝑠𝑖𝑛𝜎(𝑐𝑜𝑠𝛾2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜎𝑠𝑖𝑛𝛾2 (3.34)

𝐸 = 𝑠𝑖𝑛𝜓(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.35)

𝐹 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.36)

As equações da parte real e imaginária ficam:

𝐴𝑢 + 𝐵𝑠 = 𝐶 (3.37)

𝐷𝑢 + 𝐸𝑠 = 𝐹 (3.38)

Resolvendo ambas as equações simultaneamente:

𝑢 = 𝐶𝐸 − 𝐵𝐹

𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (3.39)

𝑠 = 𝐴𝐹 − 𝐶𝐷

𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (3.40)

Assim, o mecanismo está definido.

39

3.2. Síntese analítica para três posições

Para três pontos de precisão, o procedimento é muito similar. No entanto, para encontrar

as dimensões das barras, necessitam-se de duas equações de loop para a parte direita do

mecanismo, e duas para a parte esquerda. O procedimento será exemplificado a seguir, para um

problema similar ao descrito anteriormente (Figura 3.3).

Figura 3.3: Síntese de mecanismo para três posições. Geração por movimento.

As equações de loop da parte esquerda, para a segunda e terceira posições, em relação à

posição inicial, são:

𝑊2 + 𝑍2 − 𝑃21 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.41)

𝑊3 + 𝑍3 − 𝑃31 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.42)




40


𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽2 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼2 − 𝑝21𝑒𝑗𝜑2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.45)

𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽3 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼3 − 𝑝31𝑒𝑗𝜑3 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.46)




Separando as partes real e imaginária:

Parte real:



(3.49)



(3.50)

Parte imaginária:



(3.51)



(3.52)

Estão presentes doze variáveis nestas equações. Destas, seis são definidas no início do

problema: α2, α3, p21, p31, δ2 e δ3. Das outras seis, duas devem ser assumidas, para que se possa

encontrar as outras quatro. Assumindo os valores de β2 e β3, resta determinar as magnitudes e

os ângulos dos vetores W e Z (w, θ, z e φ). Para simplificar a solução, utilizam-se as

componentes cartesianas dos vetores W e Z, ao invés de suas coordenadas polares.

𝑊1𝑥 = 𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3.53)

𝑊1𝑦 = 𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (3.54)

41

𝑍1𝑥 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑 (3.55)

𝑍1𝑦 = 𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑 (3.56)

Substituindo nas equações:

𝑊1𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛽2 − 1) −𝑊1𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + 𝑍1𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1) − 𝑍1𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 (3.57)

𝑊1𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛽3 − 1) −𝑊1𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛽3 + 𝑍1𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1) − 𝑍1𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 = 𝑝31 𝑐𝑜𝑠 𝛿3 (3.58)

𝑊1𝑦(𝑐𝑜𝑠 𝛽2 − 1) +𝑊1𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + 𝑍1𝑦(𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1) + 𝑍1𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21 𝑠𝑖𝑛 𝛿2 (3.59)

𝑊1𝑦(𝑐𝑜𝑠 𝛽3 − 1) +𝑊1𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + 𝑍1𝑦(𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1) + 𝑍1𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 = 𝑝31 𝑠𝑖𝑛 𝛿3 (3.60)

Define-se o seguinte conjunto de constantes para simplificar as equações:

𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽2 − 1 (3.61)

𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 (3.62)

𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1 (3.63)

𝐷 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 (3.64)

𝐸 = 𝑝21 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 (3.65)

𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽3 − 1 (3.66)

𝐺 = 𝑠𝑖𝑛 𝛽3 (3.67)

𝐻 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1 (3.68)

𝐾 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 (3.69)

𝐿 = 𝑝31 𝑐𝑜𝑠 𝛿3 (3.70)

𝑀 = 𝑝21 𝑠𝑖𝑛 𝛿2 (3.71)

𝑁 = 𝑝31 𝑠𝑖𝑛 𝛿3 (3.72)

Substituindo essas constantes nas equações (3.57) a (3.60):

𝐴𝑊1𝑥 − 𝐵𝑊1𝑦 + 𝐶𝑍1𝑥 − 𝐷𝑍1𝑦 = 𝐸 (3.73)

𝐹𝑊1𝑥 − 𝐺𝑊1𝑦 +𝐻𝑧1𝑥 − 𝐾𝑍1𝑦 = 𝐿 (3.74)

𝐵𝑤1𝑥 + 𝐴𝑊1𝑦 +𝐷𝑍1𝑦 + 𝐶𝑍1𝑦 = 𝑀 (3.75)

𝐺𝑊1𝑥 + 𝐹𝑊1𝑦 + 𝐾𝑍1𝑥 + 𝐻𝑍1𝑦 = 𝑁 (3.76)

Colocando o sistema na forma matricial:

42

[

𝐴 −𝐵𝐹 −𝐺

𝐶 −𝐷𝐻 −𝐾

𝐵 𝐴𝐺 𝐹

𝐷 𝐶𝐾 𝐻

](

𝑊1𝑥𝑊1𝑦𝑍1𝑥𝑍1𝑦

) = [

𝐸𝐿𝑀𝑁

] (3.77)

Pode-se facilmente encontrar a solução deste sistema, através da inversão da matriz 4x4.

O mesmo procedimento é realizado para a parte direita do mecanismo. As equações de loop

são:

𝑈2 + 𝑆2 − 𝑃21 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.78)

𝑈3 + 𝑆3 − 𝑃31 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.79)

Substituindo por seus equivalentes complexos, simplificando e rearranjando:

𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾2 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛽2 (3.80)

𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾3 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼3 − 1) = 𝑝31𝑒𝑗𝛽3 (3.81)

Assumem-se os valores para γ2 e γ3, e define-se o seguinte conjunto de constantes:

𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝛾2 − 1 (3.82)

𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝛾2 (3.83)

𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1 (3.84)

𝐷 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 (3.85)

𝐸 = 𝑝21 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 (3.86)

𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 𝛾3 − 1 (3.87)

𝐺 = 𝑠𝑖𝑛 𝛾3 (3.88)

𝐻 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1 (3.89)

𝐾 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 (3.90)

𝐿 = 𝑝31 𝑐𝑜𝑠 𝛿3 (3.91)

𝑀 = 𝑝21 𝑠𝑖𝑛 𝛿2 (3.92)

𝑁 = 𝑝31 𝑠𝑖𝑛 𝛿3 (3.93)

Escrevendo o sistema linear resultante na forma matricial:

43

[

𝐴 −𝐵𝐹 −𝐺

𝐶 −𝐷𝐻 −𝐾

𝐵 𝐴𝐺 𝐹

𝐷 𝐶𝐾 𝐻

](

𝑈1𝑥𝑈1𝑦𝑆1𝑥𝑆1𝑦

) = [

𝐸𝐿𝑀𝑁

] (3.94)

Desta forma, projeta-se o mecanismo de quatro barras. Resta verificar a sua

funcionalidade, através da construção de um modelo.

3.3. Síntese analítica para quatro posições

Para quatro pontos de precisão, são utilizadas três equações de loop para a parte esquerda

do mecanismo, bem como três para a parte direita. O procedimento será exemplificado a seguir,

para um problema similar ao descrito anteriormente (Figura 3.4). (ERDMAN, A.G.; SANDOR,

G. N., 1984)

Figura 3.4: Síntese de mecanismo para quatro posições. Geração por movimento.

44

As equações de loop da parte esquerda, para a segunda, terceira e quarta posições, em

relação à posição inicial, são:

𝑊2 + 𝑍2 − 𝑃21 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.95)

𝑊3 + 𝑍3 − 𝑃31 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.96)

𝑊4 + 𝑍4 − 𝑃41 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.97)








𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽4 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼4 − 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 −𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.103)

Simplificando e rearranjando:




As equações (3.104), (3.105) e (3.106) são equações lineares, complexas e não

homogêneas. Para este sistema de equações possuir uma solução simultânea para Z e W, uma

das equações complexas deve satisfazer certas relações de compatibilidade. Escrevendo estas

equações em sua forma matricial:

[𝑒𝑗𝛽2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1𝑒𝑗𝛽3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1𝑒𝑗𝛽4 − 1 𝑒𝑗𝛼4 − 1

] {𝑤𝑒𝑗𝜃

𝑧𝑒𝑗𝜑} = {

𝑝21𝑒𝑗𝛿2

𝑝31𝑒𝑗𝛿3

𝑝41𝑒𝑗𝛿4

} (3.107)

45

Há dezesseis variáveis nestas equações. Destas, nove são definidas no início do problema:

α2, α3, α4, p21, p31, p41, δ2, δ3 e δ4. Das outras sete, uma deve ser assumida, para que se possa

encontrar as outras seis. Assumindo o valor de β2, resta determinar as magnitudes e os ângulos

de orientação dos vetores W e Z (w, θ, z e φ) e as rotações β3 e β4. Este sistema só terá solução

se o rank da matriz aumentada dos coeficientes for 2. A matriz aumentada é formada

adicionando a matriz coluna do lado direito do sistema à matriz de coeficientes do lado esquerdo

do sistema. É necessário que o determinante da matriz aumentada do sistema seja nulo (3.108).

𝐷𝑒𝑡 [

𝑒𝑗𝛽2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒𝑗𝛿2



] = 0 (3.108)

A equação 3.108 é uma equação complexa, contendo duas equações linearmente

independentes, e devem ser solucionadas para as duas rotações desconhecidas, β3 e β4.

Observando que ambas as incógnitas estão situadas na primeira coluna, e utilizando-se o

Teorema de Laplace da álgebra linear para o cálculo do determinante desta matriz, obtém-se a

equação (3.109).

Δ2𝑒𝑖𝛽2 + Δ3𝑒

𝑖𝛽3 + Δ4𝑒𝑖𝛽4 + Δ1= 0 (3.109)

Onde:

Δ1= − Δ2 − Δ3 − Δ4 (3.110)

E os Δ𝑗 , 𝑗 = 2, 3, 4, são os cofatores dos elementos da primeira coluna:

Δ2= [𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒

𝑗𝛿3

𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4] (3.111)

Δ3= −[𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒

𝑗𝛿2

𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4] (3.112)

Δ4= [𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒

𝑗𝛿2

𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒𝑗𝛿3] (3.113)

46

Os Δ𝑗 são conhecidos, pois contém apenas dados de entrada do problema. Simplificando

a equação 3.109:


𝑖𝛽4 = −Δ (3.114)

Onde:

−Δ = −Δ1 − Δ2𝑒𝑖𝛽2 (3.115)

Na equação (3.114), o termo Δ3 aparece multiplicado por 𝑒𝑖𝛽3, que representa uma

rotação, assim como o termo Δ4. Esta equação indica que, quando Δ3 sofre uma rotação β3, e Δ4

uma rotação β4, os dois vetores formam um loop fechado com Δ. A equação (3.109) pode ser

interpretada como uma equação de loop de um mecanismo de quatro-barras, com a barra fixa

Δ1, e barras móveis Δ2, Δ3, e Δ4, e rotações das barras β2, β3 e β4, medidas a partir da posição

inicial. Assim, pode-se utilizar de equações trigonométricas para a determinação dos ângulos

de rotação do sistema.

Figura 3.5: Solução geométrica para a equação 3.109

Utilizando a lei dos cossenos ao triângulo formado pelas barras de comprimento Δ4, Δ3 e

Δ, ilustrado na figura 3.5, obtém-se a equação 3.116.

47

𝑐𝑜𝑠 𝜃3 =Δ42 − Δ3

2 − Δ2

2Δ3Δ (3.116)

Através da equação fundamental da trigonometria, determina-se a equação 3.117.

𝑠𝑒𝑛 𝜃3 = |√1 − (𝑐𝑜𝑠 𝜃3)2| ≥ 0 (3.117)

Fazendo o arco tangente, dividindo sen(θ3) por cos(θ3), pode-se obter o valor de θ3

(Equação 3.118). A figura 3.5 mostra a barra de comprimento Δ2 em linhas cheias, e após uma

rotação angular 𝛽2, em linhas tracejadas. As posições correspondentes das barras Δ3 e Δ4 após

a rotação também são apresentadas em linhas tracejadas. No entanto, a equação 3.109 também

pode ser satisfeita pelas posições das barras apresentadas em linhas ponto-traço, com rotações

β3 e β4. Destaca-se aqui que, em geral, para cada valor assumido de β2, podem-se determinar

dois conjuntos de soluções, sendo β3, β4, β3, β4.

��3 = 2𝜋 − 𝜃3 (3.118)

O ângulo de rotação β3 é obtido pela equação 3.119:

𝛽3 = 𝑎𝑟𝑔 Δ + 𝜃3 − 𝑎𝑟𝑔 Δ3 (3.119)

𝛽3 = 𝑎𝑟𝑔 Δ + ��3 − 𝑎𝑟𝑔 Δ3 (3.120)

Onde arg é o argumento do número complexo. De maneira análoga, β4 é calculado pelas

seguintes equações:

𝑐𝑜𝑠 𝜃4 =Δ32 − Δ4

2 − Δ2

2Δ4Δ (3.121)

𝑠𝑒𝑛 𝜃4 = |√1 − (𝑐𝑜𝑠 𝜃4)2| ≥ 0 (3.122)

𝜃4 = atan (𝑠𝑒𝑛𝜃4𝑐𝑜𝑠𝜃4

) (3.123)

��4 = −𝜃4 (3.124)

𝛽4 = 𝑎𝑟𝑔 Δ − 𝜃4 − 𝑎𝑟𝑔 Δ4 (3.125)

𝛽4 = 𝑎𝑟𝑔 Δ + 𝜃4 − 𝑎𝑟𝑔 Δ4 + 𝜋 (3.126)

48

Após o cálculo dos ângulos de rotação, β3, β4 e β3, β4, pode-se calcular os valores de W

e Z, substituindo ou o conjunto β2, β3, β4, ou, β2, β3, β4 em duas das três equações do sistema

linear (3.107). Este procedimento resulta em um lado do mecanismo de quatro-barras. Resta

repetir o procedimento descrito para obter o outro lado do mecanismo. As equações de loop da

parte direita, para a segunda e terceira posições, em relação à posição inicial, são:

𝑈2 + 𝑆2 − 𝑃21 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.127)

𝑈3 + 𝑆3 − 𝑃31 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.128)

𝑈4 + 𝑆4 − 𝑃41 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.129)

Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes, simplificando e

rearranjando as equações:




As equações (3.130), (3.131) e (3.132) são equações lineares, complexas e não

homogêneas. Para este sistema de equações possuir uma solução simultânea para U e S, uma

das equações complexas deve satisfazer certas relações de compatibilidade. Escrevendo estas

equações em sua forma matricial:

[𝑒𝑗𝛾2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1𝑒𝑗𝛾3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1𝑒𝑗𝛾4 − 1 𝑒𝑗𝛼4 − 1

] {𝑢𝑒𝑗𝜎

𝑠𝑒𝑗𝜓} = {

𝑝21𝑒𝑗𝛿2

𝑝31𝑒𝑗𝛿3

𝑝41𝑒𝑗𝛿4

}

(3.133)

Há dezesseis variáveis nestas equações, das quais nove são definidas no início do

problema, sendo elas: α2, α3, α4, p21, p31, p41, δ2, δ3 e δ4. Das sete restantes, assume-se o valor de

uma para que se possa encontrar as outras seis. Assumindo o valor de β2, restam determinar as

magnitudes e os ângulos de orientação dos vetores U e S (u, σ, s e ψ) e as rotações β3 e β4. Este

sistema só terá solução se o rank da matriz aumentada dos coeficientes for 2. A matriz

aumentada é formada adicionando a matriz coluna do lado direito do sistema à matriz de

49

coeficientes do lado esquerdo do sistema. É necessário que o determinante da matriz aumentada

do sistema seja nulo (3.134).

𝐷𝑒𝑡 [

𝑒𝑗𝛾2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒𝑗𝛿2



] = 0 (3.134)

A equação 3.134 é uma equação complexa, contendo duas equações linearmente

independentes, que devem ser solucionadas para as duas rotações desconhecidas, β3 e β4.

Observando que ambas as incógnitas estão situadas na primeira coluna, e utilizando-se o

Teorema de Laplace da álgebra linear para o cálculo do determinante desta matriz, obtém-se a

equação (3.135).

Δ2𝑒𝑖𝛾2 + Δ3𝑒

𝑖𝛾3 + Δ4𝑒𝑖𝛾4 + Δ1= 0 (3.135)

Onde Δ𝑗 , 𝑗 = 1, 2, 3, 4, são os mesmos definidos anteriormente pelas equações (3.110),

(3.111), (3.112) e (3.113). Os Δ𝑗 são conhecidos, pois contém apenas dados de entrada do

problema. Novamente, para solução desta equação, utiliza-se a figura 3.4 para obtenção dos

ângulos de rotação, 𝛾3, 𝛾4, ��3 e ��4 do sistema. Calculadas as rotações, resta apenas determinar

os comprimentos u e s e as respectivas orientações σ e ψ. Para isto, substituem-se em duas das

três equações presentes no sistema linear (3.133) o conjunto de rotações 𝛾2, 𝛾3, 𝛾4 ou 𝛾2, ��3 e

��4. Define-se, assim, completamente o mecanismo de quatro-barras.

3.4 Síntese analítica para cinco posições

Para cinco pontos de precisão, escrevem-se quatro equações de loop para a parte esquerda

do mecanismo, bem como quatro para a parte direita. A solução analítica será demonstrada a

seguir, para um mecanismo como o apresentado na figura (3.6).

50

Figura 3.6: Síntese de mecanismo de quatro-barras para cinco posições. Geração por

movimento.

As equações de loop da parte esquerda, para as quatro posições, em relação à posição

inicial, são:

𝑊2 + 𝑍2 − 𝑃21 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.136)

𝑊3 + 𝑍3 − 𝑃31 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.137)

𝑊4 + 𝑍4 − 𝑃41 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.138)

𝑊5 + 𝑍5 − 𝑃51 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.139)




𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽4) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼4) − 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 −𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.142)

51

𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽5) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼5) − 𝑝41𝑒𝑗𝛿5 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 −𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.143)











A matriz aumentada do sistema é:

𝑀 =

[ 𝑒𝑗𝛽2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒

𝑗𝛿2



𝑒𝑗𝛽5 − 1 𝑒𝑗𝛼5 − 1 𝑝51𝑒𝑗𝛿5]

(3.152)

Para o sistema da equação (3.152) possuir soluções simultâneas para as cinco posições

prescritas, o rank da matriz aumentada M deve ser 2. Portanto, há duas equações de

compatibilidade que devem ser satisfeitas simultaneamente para as cinco posições prescritas.

𝐷𝑒𝑡 |




| = 0

(3.153)

𝐷𝑒𝑡 |




| = 0 (3.154)

52

A segunda e a terceira colunas dos determinantes, nas equações (3.153) e (3.154) contém

apenas variáveis conhecidas. As incógnitas do problema são as rotações β𝑗, 𝑗 = 2, 3, 4 e 5

presentes na primeira coluna. Portanto, não há variáveis de livre escolha para ajudar a resolver

essas duas equações complexas, não-lineares e transcendentais. Expandindo os determinantes

em função dos termos da primeira coluna tem-se:


𝑖𝛽3 + Δ4𝑒𝑖𝛽4 − Δ1= 0 (3.155)

Δ′2𝑒𝑖𝛽2 + Δ′3𝑒

𝑖𝛽3 + Δ4𝑒𝑖𝛽5 − Δ′1 = 0 (3.156)

Onde:

Δ1= − Δ2 − Δ3 − Δ4 (3.157)

Δ′1 = − Δ′2 − Δ′3 − Δ4 (3.158)

E os Δ𝑗 , 𝑗 = 2, 3, 4, e Δ′𝑗 , 𝑗 = 2, 3, são os cofatores dos elementos da primeira coluna:

Δ2= [𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒

𝑗𝛿3

𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4]

(3.159)

Δ3= −[𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒

𝑗𝛿2


(3.160)

Δ4= [𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒

𝑗𝛿2


(3.161)

Δ′2 = [𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒

𝑗𝛿3


(3.162)

Δ′3 = −[𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒

𝑗𝛿2


(3.163)

Os complexos conjugados destas equações de compatibilidade são definidos por:

53

Δ2𝑒−𝑖𝛽2 + Δ3𝑒

−𝑖𝛽3 + Δ4𝑒−𝑖𝛽4 − Δ1= 0 (3.164)

Δ′2𝑒−𝑖𝛽2 + Δ′3𝑒

−𝑖𝛽3 + Δ4𝑒−𝑖𝛽5 − Δ′1 = 0 (3.165)

Multiplicando-se a equação (3.155) pela (3.164) para eliminar as rotações 𝛽4 e 𝛽5, resulta-

se em:

Δ4Δ4 = Δ1Δ1 − Δ1Δ2𝑒−𝑖𝛽2 − Δ1Δ3𝑒

−𝑖𝛽3 − Δ2Δ1𝑒𝑖𝛽2 + Δ2Δ2

+ Δ2Δ3𝑒𝑖𝛽2𝑒−𝑖𝛽3 − Δ3Δ1𝑒

𝑖𝛽3 + Δ3Δ3𝑒𝑖𝛽3𝑒−𝑖𝛽2 + Δ3Δ3

(3.166)

Esta equação pode ser escrita de maneira mais compacta:

𝐶1𝑒𝑖𝛽3 + 𝑑1 + 𝐶1𝑒

−𝑖𝛽3 = 0 (3.167)

Onde:

𝐶1 = Δ3(−Δ1 + Δ2𝑒−𝑖𝛽2) (3.168)

𝑑1 = −Δ1Δ2𝑒𝑖𝛽2 − Δ1Δ2𝑒

−𝑖𝛽2 − Δ4Δ4 + Δ1Δ1 + Δ2Δ2 + Δ3Δ3 (3.169)

𝐶1 = Δ3(−Δ1 + Δ2𝑒𝑖𝛽2) (3.170)

Similarmente, multiplicando-se a equação (3.156) pela (3.165):

𝐶2𝑒𝑖𝛽3 + 𝑑2 + 𝐶2𝑒

−𝑖𝛽3 = 0 (3.171)

Onde C2, 𝐶2

𝐶2 = Δ′3(−Δ′1 + Δ′2𝑒−𝑖𝛽2) (3.172)

𝑑2 = −Δ′1Δ′2𝑒𝑖𝛽2 − Δ′1Δ′2𝑒

−𝑖𝛽2 − Δ4Δ4 + Δ′1Δ′1 + Δ′2Δ′2 + Δ′3Δ′3 (3.173)

𝐶2 = Δ′3(−Δ′1 + Δ′2𝑒𝑖𝛽2) (3.174)

A eliminação dos expoentes 𝑒𝑖𝛽3 é feita utilizando um método chamado eliminação da

matriz de Sylvester. Multiplicando as equações (3.167) e (3.171) por 𝑒𝑖𝛽3 criam-se duas

equações adicionais:

54

𝐶1𝑒𝑖2𝛽3 + 𝑑1𝑒

𝑖𝛽3 + 𝐶1 = 0 (3.175)

𝐶2𝑒𝑖2𝛽3 + 𝑑2𝑒

𝑖𝛽3 + 𝐶2 = 0 (3.176)

As equações (3.167), (3.171), (3.175) e (3.176) formam um sistema linear e homogêneo.

Para que sejam encontradas soluções simultâneas para as quatro incógnitas, o determinante E

da matriz dos coeficientes do sistema deve ser zero (equação 3.177).

𝐸 = ||

0 𝐶1 𝑑1 𝐶10 𝐶2 𝑑2 𝐶2𝐶1 𝑑1 𝐶1 0

𝐶2 𝑑2 𝐶2 0

|| = 0 (3.177)

Expandindo o determinante, obtém-se uma equação polinomial em função de 𝑒𝑖𝛽2

(equação 3.178).

∑𝑎𝑚𝑒𝑖𝑚𝛽2 = 0 (3.178)

Onde m = 0, 1, 2, 3, e todos os coeficientes 𝑎𝑚 são funções das quantidades prescritas 𝛿𝑗

e 𝛼𝑗 (j = 2, 3, 4 e 5). Os coeficientes a-k e ak (k = 1, 2 e 3) são complexos conjugados, e a0 é um

número real. Assim, o determinante E é um número real, e portanto, sua parte imaginária foi

eliminada. Esta parte real pode ser escrita como:

∑[𝑝𝑚 cos(𝑚𝛽2) + 𝑞𝑚 sin(𝑚𝛽2)] = 0, 𝑚 = 0, 1, 2, 3

𝑚

(3.179)

Onde pm e qm são números reais conhecidos. Utilizando as identidades trigonométricas, a

equação 3.179 pode ser reescrita em uma forma contendo potências de senos e cossenos de β2,

e reestruturada em um polinômio:

∑𝐴𝑛𝜏𝑛 = 0

6

0

(3.180)

55

Onde 𝜏 = tan (𝛽2 2⁄ ). Sabendo-se que 𝛽2 = 0 é uma solução trivial, 𝜏 = 0 é uma raiz

trivial. Assim, a equação 3.180 pode ser reduzida para um polinômio de quinto grau. Dos

determinantes obtidos pelas equações 3.153 e 3.154, 𝛽𝑗 = 𝛼𝑗 , 𝑗 = 2, 3, 4, 5, (neste caso, 𝛽2 =

𝛼2) também é uma solução trivial. Dividindo a raiz por [𝜏 − tan(𝛼2 2⁄ )] escreve-se a equação

3.181.

𝜏4 + 𝜆3𝜏3 + 𝜆2𝜏

2 + 𝜆1𝜏 + 𝜆0 = 0 (3.181)

A equação 3.181 terá zero, duas ou quatro raízes reais, sendo portanto, quatro, duas ou

zero raízes complexas, respectivamente. Cada raiz real resulta em um valor de 𝛽2 que pode ser

substituído na equação 3.175 ou 3.176 para obter os valores de 𝛽4 e 𝛽5. Não considera-se as

raízes complexas para obtenção das rotações 𝛽4 e 𝛽5. Com estas rotações, pode-se calcular W

e Z utilizando-se duas das quatro equações de loop (3.148) a (3.151). O mesmo procedimento

é utilizado para a parte direita do mecanismo, calculando ao fim U e S.

Além do procedimento analítico para solução do sistema de equações formado pelas

quatro equações de loop (3.148) a (3.151), pode-se utilizar um método numérico de busca para

solução do sistema de equações, como por exemplo, o método de Newton-Raphson, para

determinar os comprimentos de barra do mecanismo.

56

4 RESULTADOS DA SÍNTESE

4.1. Manivela - Oscilador

O mecanismo de quatro barras do tipo manivela-oscilador possui movimento

caracterizado pela rotação completa de 360° de uma das manivelas, e uma oscilação numa faixa

angular inferior a 360° da outra, neste caso, chamada oscilador. Estas barras são ligadas por um

acoplador e fixas ao solo por uma de suas extremidades, de modo que a quarta barra, barra fixa,

é formada por uma linha que liga os centros de rotação da manivela e do oscilador.

4.1.1. Manivela - oscilador genérico com dois pontos de precisão

Para a síntese do mecanismo de quatro-barras com dois pontos de precisão, retoma-se

aqui a figura 4.1 anteriormente apresentada no capitulo 3.

Figura 4.1: Mecanismo quatro barras genérico.

57

Os dados de entrada necessários à síntese de dois pontos de precisão, são dados na tabela

4.1, bem como os comprimentos de barras obtidos a partir da síntese.

Tabela 4.1: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 2 pontos de precisão

Entrada Saída

α2 = 22° W = 20.0377

P21 = 20.8087 Z = 0.4122

δ2 = 8° U = 229.1621

θ = 66.7407° S = 427.1344

β2 = 63° V = 426.8905

φ = -59° G = 225.1549

σ = 57°

ψ = 67.3°

γ2 = 47°

O gráfico apresentado na figura 4.2 ilustra o deslocamento do ponto P nas coordenadas x

e y em função do ângulo de entrada teta da manivela, para dois ciclos completos do mecanismo.

A figura 4.3, por sua vez, ilustra a trajetória do mesmo ponto.

Figura 4.2: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do

ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com dois pontos de precisão.

Deslo

cam

ento

58

Figura 4.3: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.

4.1.2. Manivela - oscilador genérico com três pontos de precisão

Acrescentando um terceiro ponto à trajetória anterior, e utilizando o método analítico para

síntese de mecanismos do tipo manivela-oscilador com três pontos de precisão, estimam-se as

dimensões da manivela, do acoplador, do oscilador e da barra fixa. A tabela 4.2 apresenta os

dados de entrada, assim como os comprimentos de barra obtidos, e seus respectivos ângulos de

orientação.

59

Tabela 4.2: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 3 pontos de precisão

Entrada Saída

α2 = -12° W = 20.0373

α3 = 22° θ = 66.7407°

P21 = 10.4440 Z = 0.4113

P31 = 20.8087 φ = -58.9168°

δ2 = -8° U = 14.1687

δ3 = 8° σ = 56.8677°

β2 = 30° S = 4.3517

β3 = 63° ψ = 67.2805°

γ2 = 47° V = 4.6066

γ3 = 85.6° G = 2.5360

A trajetória do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta na

manivela pode ser visualizada na figura 4.4.


ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com três pontos de precisão.

Deslo

ca

me

nto

60


4.1.3. Manivela - oscilador genérico com quatro pontos de precisão

Novamente, buscando sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas com a

síntese de 2 e 3 pontos de precisão, escolheram-se 4 pontos de precisão. Seguindo a metodologia

explicitada na seção 3.2, e os dados de entrada presentes na tabela 4.3, obtiveram-se os

comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do ponto

P do acoplador está descrita na figura 4.7.

61

Tabela 4.3: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico

Entrada Saída

P21 = 10.4440 W = 19.9945

P31 = 26.7755 θ = -113.3143°

P41 = 20.8087 Z = 0.4897

δ2 = -8.0913º φ = 111.0714°

δ3 = 18.7801º U = 18.8483

δ4 = 8.1223º σ = -139.2985°

α2 = -12° S = 28.6684

α3 = 4° ψ = -141.8049°

α4 = 22° V = 28.8164

β2 = 30° G = 31.1798

γ2 = 47°

A trajetória do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta

na manivela pode ser visualizada na figura 4.6.

Figura 4.6 Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do

ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com quatro pontos de precisão.

Deslo

ca

me

nto

62


4.1.4. Manivela - oscilador genérico com cinco pontos de precisão

Finalmente, realizou-se a síntese para cinco pontos de precisão, novamente, buscando

sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas anteriormente. Seguindo a

metodologia explicitada na seção 3.4, e os dados de entrada presentes na tabela 4.4, obtiveram-

se os comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do

ponto P do acoplador está descrita na figura 4.9.

63

Tabela 4.4: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico

Entrada Saída

P21 = 16.5124 W = 19.8443

P31 = 30.2912 θ = 65.8172°

P41 = 38.4553 Z = 4.0258

P51 = 39.4027 φ = -52.9259°

δ2 = -65.2617º U = 100

δ3 = -39.7415º σ = 61.1665°

δ4 = -14.5024º S = 99.8123

δ5 = 10.6027º ψ = 66.1171°

α2 = -10° V = 101.8275

α3 = -5° G = 181.6186

α4 = 0°

α5 = 5°

A trajetória do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta

na manivela pode ser visualizada na figura 4.8.

64


ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com cinco pontos de precisão.


Deslo

ca

me

nto

Y

X

65

4.1.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - oscilador

Com o intuito de comparar as diferentes metodologias de síntese, mais especificamente,

as sínteses para 2, 3, 4 e 5 pontos de precisão, apresenta-se o gráfico da figura 4.10. Observa-

se que para os diferentes métodos foram obtidas trajetórias similares entre si. Particularmente,

pode-se considerar que as trajetórias obtidas pela síntese de 2, 3 e 4 pontos de precisão se

assemelham. Neste caso, a curva que apresenta discrepâncias mais significativas em relação às

demais é aquela obtida para 5 pontos de precisão, uma vez que possui mais restrições no seu

método de resolução. Os mecanismos sintetizados são similares entre si, com uma variação de

comprimento na primeira casa decimal e, portanto, as trajetórias apresentadas também são

similares.


cartesiano.

66

4.2. Oscilador - oscilador

Mecanismos do tipo oscilador-oscilador possuem duas barras conectadas por uma de suas

extremidades à barra fixa que não possuem rotação completa, apenas oscilam.

4.2.1. Oscilador - oscilador genérico com dois pontos de precisão

Utilizando a teoria de síntese para geração por movimento apresentada na seção 3.1.2

desenvolveu-se um mecanismo de quatro barras que passa pela trajetória ilustrada na figura

4.12, com os dados de entrada apresentados na tabela 4.5. As componentes X e Y da trajetória

do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta podem ser visualizadas

na figura 4.11.

Tabela 4.5: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico

Entrada Saída

α2 = 40° W = 2.4184

P21 = 2.4212 Z = 1.4807

δ2 = 163.8121° U = 1.5015

θ = 71.6° S = 1.0435

β2 = 38.4° V = 1.6180

φ = 26.5° G = 1.7852

σ = 15.4°

ψ = 104.1°

γ2 = 85.6°

67


ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com dois pontos de precisão.

Figura 4.12 Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.

Deslo

ca

me

nto

68

4.2.2. Oscilador - oscilador genérico com três pontos de precisão

Utilizando os mesmos valores numéricos da seção 4.2.1., de modo a obter um mecanismo

que passasse pela mesma trajetória, realizou-se uma nova síntese. Seguindo a metodologia


comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais, para um terceiro

ponto inserido entre os dois anteriores. As componentes X e Y da trajetória do ponto de interesse

no acoplador em função do ângulo de entrada teta podem ser visualizadas na figura 4.13. A

figura 4.14 ilustra a trajetória do ponto de interesse no acoplador.


Entrada Saída

α2 = 38° W = 2.8503

α3 = 43.3° θ = 74.3083°

P21 = 1.53 Z = 1.1749

P31 = 2.416 φ = 10.7585°

δ2 = 150° U = 1.6274

δ3 = 165.2° σ = 29.9469°

β2 = 19.2° S = 0.3080

β3 = 38.4° ψ = 78.1595°

γ2 = 50° V = 1.0941

γ3 = 85.6° G = 1.9039

69


ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com três pontos de precisão.


Deslo

ca

me

nto

70

4.2.3. Oscilador - oscilador genérico com quatro pontos de precisão





P do acoplador no plano cartesiano está descrita na figura 4.16, enquanto a figura 4.15 ilustra a

trajetória do ponto de interesse em função do ângulo de posição da barra de entrada.


Entrada Saída

P21 = 0.5954 W = 1.9145

P31 = 2.4224 θ = 62.5935°

P41 = 3.1624 Z = 1.9272

δ2 = 32.2808º φ = -108.4148°

δ3 = 5.3058º U = 1.3835

δ4 = -11.3988º σ = -6.0163°

α2 = 30° S = 3.6922

α3 = 45° ψ = -132.6665°

α4 = 65° V = 2.0907

β2 = 30° G = 3.0684

γ2 = 130°

71


ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com quatro pontos de precisão.


Deslo

ca

me

nto

72

4.2.4. Oscilador - oscilador genérico com cinco pontos de precisão

Finalizando, realizou-se a síntese para cinco pontos de precisão, novamente, buscando

sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas previamente. Seguindo a





Entrada Saída

P21 = 0.3473 W = 1.8401

P31 = 0.5954 θ = 65.5379°

P41 = 2.4224 Z = 1.8872

P51 = 3.1624 φ = -107.7975°

δ2 = 30.2565º U = 1.3649

δ3 = 32.2808º σ = -4.6616°

δ4 = 5.3058º S = 3.6777

δ5 = -11.3988º ψ = -132.2108°

α2 = 45° V = 2.0907

α3 = 52° G = 3.0684

α4 = 65°

α5 = 70°

73


ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com cinco pontos de precisão.


Deslo

ca

me

nto

74

4.2.5. Comparação entre os mecanismos do tipo oscilador - oscilador

Com o intuito de comparar os diferentes resultados de síntese, mais especificamente, para

2, 3, 4 e 5 pontos de precisão, foi gerado o gráfico da figura 4.19. É possível perceber que para

os diferentes métodos foram obtidas trajetórias diferentes entre si. As trajetórias para 2 e 3

pontos de precisão são mais próximas, o mesmo ocorrendo para as sínteses de 4 e 5 pontos de

precisão. Isso se deve aos comprimentos das barras dos mecanismos sintetizados.

Figura 4.19: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano cartesiano.

4.3. Manivela – manivela

Mecanismos do tipo manivela-manivela possuem duas barras conectadas por uma de suas

extremidades à barra fixa, que possuem rotação completa.

75

4.3.1. Manivela - manivela genérico com dois pontos de precisão

Utilizando a teoria de síntese para geração por movimento apresentada na seção 3.1.2

desenvolveu-se um mecanismo de quatro barras que passa pela trajetória ilustrada na figura

4.21, com os dados de entrada apresentados na tabela 4.9. A trajetória do ponto de interesse no

acoplador em função do ângulo de entrada teta na manivela, nas coordenadas X e Y, pode ser

visualizada na figura 4.20.

Tabela 4.9: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico

Entrada Saída

α2 = 131° W = 2.5634

P21 = 1.75 Z = 1.8301

δ2 = -101° U = 2.2068

θ = 84.8172° S = 2.3628

β2 = 220° V = 2.1811

φ = -37.4552° G = 1.6610

σ = 165.8361°

ψ = 23.6817°

γ2 = 160°

76


ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com dois pontos de precisão.


Deslo

ca

me

nto

77

4.3.2. Manivela - manivela genérico com três pontos de precisão

Utilizando os mesmos valores numéricos da seção 4.2.1., de modo a obter um mecanismo

que passe pela mesma trajetória, realizou-se uma nova síntese. Seguindo a metodologia


comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais, para um terceiro

ponto inserido entre os dois anteriores. A trajetória do ponto de interesse no acoplador nas

coordenadas X e Y em função do ângulo de entrada teta na manivela pode ser visualizada na

figura 4.22. Já a figura 4.23 ilustra a trajetória do ponto de interesse no acoplador.

Tabela 4.10: Dados de entrada e saída para manivela - manivela genérico

Entrada Saída

α2 = 131° W = 2.5497

α3 = 187° θ = 84.7465°

P21 = 1.75 Z = 1.8155

P31 = 3.9491 φ = -37.4525°

δ2 = -101° U = 11.5738

δ3 = -131° σ = 15.0426°

β2 = 220° S = 12.8249

β3 = -160° ψ = 33.6748°

γ2 = 160° V = 12.3576

γ3 = 220° G = 3.4482

78


ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com três pontos de precisão.


Deslo

ca

me

nto

79

4.3.3. Manivela-manivela genérico com quatro pontos de precisão





P do acoplador no plano cartesiano está descrita na figura 4.25, enquanto a figura 4.24 ilustra a

trajetória do ponto de interesse em função do ângulo de posição da barra de entrada nas

coordenadas X e Y.


Entrada Saída

P21 = 1.7489 W = 2.5666

P31 = 2.9480 θ = 84.8172°

P41 = 3.9491 Z = 1.8341

δ2 = -101º φ = -37.4552°

δ3 = -129º U = 2.2105

δ4 = -131º σ = 165.8361°

α2 = 130.9° S = 2.3667

α3 = 157.2° ψ = 23.6817°

α4 = 187° V = 2.1850

β2 = 220° G = 1.7494

γ2 = 160°

80


ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com quatro pontos de precisão.


Deslo

ca

me

nto

81

4.3.4. Manivela-manivela genérico com cinco pontos de precisão

Finalmente, realizou-se a síntese para cinco pontos de precisão, novamente, buscando

sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas nas outras sínteses. Seguindo a





Entrada Saída

P21 = 0.7569 W = 2.5640

P31 = 1.7489 θ = 84.8172°

P41 = 2.9480 Z = 1.8324

P51 = 3.9491 φ = -37.4552°

δ2 = -101º U = 2.2155

δ3 = -129º σ = 165.8361°

δ4 = -131º S = 2.3696

δ5 = -131º ψ = 23.6817°

α2 = 120° V = 2.1838

α3 = 130.9° G = 1.7041

α4 = 157.2°

α5 = 187°

82


ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com cinco pontos de precisão.


Deslo

ca

me

nto

83

4.3.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - manivela

Com o intuito de comparar as diferentes metodologias de síntese, mais especificamente,

as sínteses para 2, 3, 4 e 5 pontos de precisão, foi gerado o gráfico da figura 4.28. Observa-se

que foram obtidas trajetórias satisfatoriamente similares entre si, particularmente pelas sínteses

de 2, 4 e 5 pontos de precisão. A curva discrepante das demais foi a obtida para 3 pontos de

precisão, na qual a trajetória situada no quadrante inferior direito tomou uma forma diferente

das demais trajetórias, como consequência das dimensões das barras. Os mecanismos

sintetizados para 2, 4 e 5 pontos de precisão são concordantes e similares entre si, com uma

variação de comprimento na primeira casa decimal e, portanto, apresentam trajetórias similares.

O mecanismo sintetizado com 3 pontos de precisão apresentou comprimentos das barras W e Z

próximos aos demais, porém, os comprimentos das barras U e S divergiram.

Figura 4.28: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano cartesiano.

84

5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA DINÂMICA DOS

MECANISMOS

A dinâmica é o estudo do movimento de partículas ou corpos. A mesma divide-se em

duas principais vertentes, sendo estas a cinemática e a cinética. Na análise cinemática, o

enfoque é dado ao estudo do movimento em si, sem preocupar-se com as forças que causam

este movimento. A análise dos efeitos causados pelas forças nos mecanismos é realizada na

cinética. Neste capítulo, apresenta-se a teoria para compreensão das análises cinemática e

cinética no plano, aplicada aos mecanismos de quatro-barras, desenvolvida por Doughty.

(DOUGHTY, 1987)

5.1. Análise Cinemática

Na análise cinemática de um mecanismo, são usualmente desenvolvidas as equações que

descrevem a posição, a velocidade e a aceleração para qualquer ponto de interesse no

mecanismo. Nesta seção, as mesmas serão obtidas através do desmembramento das equações

de loop do mecanismo de quatro barras, e suas devidas projeções nas coordenadas cartesianas

X e Y, em termos do movimento da manivela de entrada.

5.1.1. Análise de posição

Sejam especificadas as dimensões das barras do mecanismo e o ângulo de entrada da

primeira manivela q, bem como a inclinação do mecanismo com relação ao eixo cartesiano

inercial XY, como se pode visualizar na figura 5.1. As variáveis cinemáticas incógnitas são as

posições angulares do acoplador (A2) e da segunda manivela (A3). As quais podem ser obtidas

através das equações de loop descritas pelas equações 5.1 e 5.2.

85

Figura 5.1: Mecanismo de 4 barras genérico.

As equações de posição de loop do mecanismo podem ser escritas como:

𝑓1(𝑞, 𝐴2, 𝐴3) = 𝐶1 cos(𝑞) + 𝐶2 cos(𝐴2) − 𝐶3 cos(𝐴3) − 𝐶4cos (𝑔) = 0 (5.1)

𝑓2(𝑞, 𝐴2, 𝐴3) = 𝐶1 sen(𝑞) + 𝐶2 sen(𝐴2) − 𝐶3 sen(𝐴3) − 𝐶4 sen(𝑔) = 0 (5.2)

Para obter os valores angulares de A2 e A3, utiliza-se usualmente o método numérico de

Newton-Raphson, descrito na seção 5.1.5. Diferenciando parcialmente as equações 5.1 e 5.2,

com relação aos ângulos A2 e A3, obtém-se a matriz jacobiana para este sistema, dada por:

[ 𝜕𝑓1𝜕𝐴2

𝜕𝑓1𝜕𝐴3

𝜕𝑓2𝜕𝐴2

𝜕𝑓2𝜕𝐴3]

= [𝐽] = [− 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)

𝐶2cos (𝐴2) − 𝐶3cos (𝐴3)] (5.3)

5.1.2. Análise da velocidade

A partir da diferenciação das equações de posição definidas em 5.1 e 5.2, determinam-

se as equações de velocidade. Colocando as mesmas na forma matricial, e ressaltando que o

ângulo 𝑔 é constante, observa-se o seguinte sistema de equações lineares:

86

[− 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)

𝐶2cos (𝐴2) − 𝐶3cos (𝐴3)] ∗ [

𝐴2𝐴3] = �� [

𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)− 𝐶1cos (𝑞)

] (5.4)

Nota-se que a primeira matriz corresponde à matriz jacobiana obtida anteriormente pela

derivação parcial. Para dados valores de 𝑞 e ��, pode-se facilmente solucionar o sistema de

equações para obtenção das velocidades angulares 𝐴2 e 𝐴3. Os coeficientes de velocidade 𝐾2 e

𝐾3 são determinados dividindo ambos os lados da equação por �� e pré-multiplicar por J-1.

{𝐾2𝐾3} = {

𝐴2 ��⁄

𝐴3 ��⁄} = [𝐽]−1 ∗ [

𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)

− 𝐶1cos (𝑞)] (5.5)

5.1.3. Análise da aceleração

Do mesmo modo, diferenciando-se as equações de velocidade com relação ao tempo,

obtêm-se as equações de aceleração. Após rearranjar as equações na forma matricial, pode-se

escrever:

[𝐽] ∗ [𝐴2𝐴3] + 𝐴2

2[− 𝐶2𝑐𝑜𝑠(𝐴2)

− 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2)] + 𝐴3

2[ 𝐶3𝑐𝑜𝑠(𝐴3)

− 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)]

= �� [𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)− 𝐶1cos (𝑞)

] + ��2 [𝐶1cos (𝑞)

𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)]

(5.6)

Substituindo os termos dos coeficientes de velocidade na equação, é possível simplificar

o sistema de equações que representa a aceleração:

[𝐴2𝐴3] = [𝐽]−1 ∗ (�� [

𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)− 𝐶1cos (𝑞)

]

+ ��2 [𝐶1 cos(𝑞) + 𝐾2

2𝐶2 cos(𝐴2) − 𝐾32𝐶3cos (𝐴3)

𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞) + 𝐾22𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) + 𝐾3

2𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)])

(5.7)

Vale ressaltar que a multiplicação da inversa da matriz jacobiana e o coeficiente de ��

resulta nos coeficientes cinemáticos de velocidade, 𝐾2 e 𝐾3. Definindo os coeficientes de

87

aceleração 𝐿2 e 𝐿3, que podem ser obtidos pela derivação dos coeficientes de velocidade 𝐾2 e

𝐾3 com relação à 𝑞, obtém-se o coeficiente que multiplica o termo ��2. Substituindo os

coeficientes na equação 5.7, simplifica-se o sistema de equações que representam a aceleração

do mecanismo, como apresentada na equação 5.8.

[𝐴2𝐴3] = �� {

𝐾2𝐾3} + ��2 {

𝐿2𝐿3} (5.8)

5.1.4. Análise do ponto de interesse associado ao acoplador

Após a determinação dos ângulos 𝐴2 e 𝐴3 pelo método de Newton-Raphson, é possível

avaliar a posição, velocidade e aceleração de um ponto específico no acoplador através da

análise desenvolvida nesta seção. A figura 5.2 ilustra um mecanismo de quatro barras genérico,

com um ponto de interesse P associado ao acoplador.

Figura 5.2: Análise do ponto de interesse em mecanismo 4 barras.

Para a descrição de um específico ponto de interesse P, define-se inicialmente um sistema

de coordenadas (U,V) fixo ao acoplador, de modo que o sistema move-se com este corpo. Deste

88

modo, o ponto de interesse ficará definido pelos valores de Up e Vp constantes. As equações

de posição deste ponto no acoplador, em X e Y, serão:

𝑋𝑝 = 𝐶1 ∗ cos(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ cos(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ sen(𝐴2) (5.9)

𝑌𝑝 = 𝐶1 ∗ sen(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ sen(𝐴2) + 𝑉𝑝 ∗ cos(𝐴2) (5.10)

Novamente, derivando-se as equações de posição com relação ao tempo, definem-se as

equações de velocidade em X e Y, bem como os coeficientes cinemáticos de velocidade Kpx e

Kpy.

𝑉𝑝𝑥 = −�� ∗ 𝐶1 ∗ sen(𝑞) − 𝐴2 ∗ 𝑈𝑝 ∗ sen(𝐴2) − 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝 ∗ cos(𝐴2) (5.11)

𝑉𝑝𝑦 = �� ∗ 𝐶1 ∗ cos(𝑞) + 𝐴2 ∗ 𝑈𝑝 ∗ cos(𝐴2) − 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝 ∗ sen(𝐴2) (5.12)

𝐾𝑝𝑥 = −𝐶1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑞) − 𝑈𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ cos (𝐴2) (5.13)

𝐾𝑝𝑦 = 𝐶1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ sen(𝐴2) (5.14)

Para encontrar os termos de aceleração, necessita-se de uma nova diferenciação no tempo

dos termos da velocidade. A equação 5.15 define a velocidade em termos dos coeficientes

cinemáticos de velocidade Kpx e Kpy. A mesma é utilizada na diferenciação em prol da

determinação da aceleração.

𝑉𝑝 = �� ∗ (𝒊 ∗ 𝐾𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐾𝑝𝑦) (5.15)

𝐴𝑝 = ��(𝒊 ∗ 𝐾𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐾𝑝𝑦) + ��2(𝒊 ∗ 𝐿𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐿𝑝𝑦) (5.16)

Os termos cinemáticos de aceleração Lpx e Lpy podem ser encontrados através da

diferenciação dos termos cinemáticos de velocidade Kpx e Kpy, com relação ao ângulo de

entrada q, como mostram as equações 5.17 e 5.18.

𝐿𝑝𝑥 = −𝐶1cos(𝑞) − 𝑈𝑝𝐿2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) − 𝑈𝑝𝐾22 cos(𝐴2)

− 𝑉𝑝𝐿2 cos(𝐴2) + 𝑉𝑝𝐾22𝑠𝑒𝑛(𝐴2)

(5.17)

𝐿𝑝𝑦 = −𝐶1 sen(𝑞) + 𝑈𝑝𝐿2𝑐𝑜𝑠(𝐴2) − 𝑈𝑝𝐾22 sen(𝐴2)

− 𝑉𝑝𝐿2 sen(𝐴2) − 𝑉𝑝𝐾22𝑐𝑜𝑠(𝐴2)

(5.18)

89

Quando se propõe estudar o projeto de um mecanismo, torna-se importante determinar a

trajetória do ponto de interesse situado no acoplador, bem como sua velocidade e aceleração

em cada ponto que define a trajetória do mesmo. A trajetória é prontamente definida através do

gráfico das posições Xp e Yp em função do ângulo de entrada da primeira manivela.

5.1.5. Solução numérica para sistema de equações não-lineares

O método de Newton-Raphson é uma técnica vastamente utilizada na solução de sistemas

de equações não-lineares. Neste trabalho, tal método é necessário para a obtenção dos ângulos

𝐴2 e 𝐴3 na análise cinemática de posição. Inicialmente, será feita uma descrição geral do

método, aplicável a qualquer sistema de equações não-lineares. Posteriormente, aplica-se o

método ao sistema aqui estudado. Suponha um sistema de equações não-lineares, tal qual:

𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) = 0

𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) = 0

⋮

𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) = 0

(5.19)

Ou na forma matricial:

𝐹(𝑥) = [

𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 )

𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 )⋮

𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 )

] (5.20)

Expandindo a função 𝐹(𝑥) em torno de 𝑥∗ por sua série de Taylor, sendo 𝑥∗ uma

aproximação para a solução de 𝐹(𝑥) = 0, e desprezando os termos de ordem superior:

𝐹(𝑥) ≈ 𝐹(𝑥∗) + 𝐹′(𝑥∗)(𝑥 − 𝑥∗) (5.21)

90

Torna-se necessário, neste momento, a determinação da derivada primeira da função,

obtendo deste modo a matriz jacobiana, formada pela derivação parcial das componentes de

𝐹(𝑥).

𝐹′(𝑥) = 𝐽 =

[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1

⋯𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1

⋯𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛]

(5.22)

Assim, visto que as funções da equação 5.19 devem ser nulas, o método de Newton-

Raphson para sistemas de equações será dado pela seguinte iteração:

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝐽−1(𝑥𝑛). 𝐹(𝑥𝑛) (5.23)

Os critérios de convergência utilizados podem ser de três tipos, sendo:

Quando o valor residual se reduzir a um valor suficientemente pequeno

(neste caso, 10-6), a ponto de ser considerado aproximadamente zero;

Quando o valor do erro absoluto do ajuste se reduzir a um número pequeno

a ponto de não influenciar o valor da estimativa calculada;

Quando o número máximo de iterações for atingido, indicando que o

processo não está convergindo ou que converge lentamente.

Aplicando o método na solução do sistema de equações não-lineares obtido na análise de

posição, para a obtenção dos vetores de posição angular 𝐴2 e 𝐴3:

𝐹(𝐴2, 𝐴3) = [𝐶1 cos(𝑞) + 𝐶2 cos(𝐴2) − 𝐶3 cos(𝐴3) − 𝐶4 cos(𝑔)

𝐶1 sen(𝑞) + 𝐶2 sen(𝐴2) − 𝐶3 sen(𝐴3) − 𝐶4 sen(𝑔)] = 0 (5.24)

Derivando parcialmente a matriz para encontrar a matriz jacobiana:

[𝐽] = [− 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)

𝐶2cos (𝐴2) − 𝐶3cos (𝐴3)] (5.25)

91

Substituindo estes termos na equação:

[𝐴2⟨𝑖 + 1⟩, 𝐴3⟨𝑖 + 1⟩]

= [𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩] − [𝐽−1(𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩). 𝐹(𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩)]

(5.26)

Onde ⟨𝑖⟩ representa o número correspondente à iteração. A primeira estimativa, para a

iteração inicial, utiliza os valores iniciais de posição angular do mecanismo. As iterações

seguintes são utilizadas para o cálculo dos ângulos 𝐴2 e 𝐴3, a cada valor da coordenada

generalizada 𝑞. Os critérios de parada utilizados no algoritmo computacional foram: 1) Quando

o valor absoluto das equações que compõem a matriz 𝐹(𝐴2, 𝐴3) for menor que 10-6; 2) Quando

o modulo do valor do produto da matriz jacobiana inversa 𝐽−1(𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩) pela matriz

𝐹(𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩) for inferior a 10-6; 3) Quando o número máximo de iterações, a critério do

usuário, for atingido.

Deste modo, torna-se possível a obtenção dos vetores de posição angular 𝐴2 e 𝐴3,

dentro da variação da coordenada generalizada 𝑞, que corresponde ao ângulo de entrada na

primeira manivela, imposta pelo usuário do programa.

5.2. Análise Cinética

A cinética é o estudo das forças que causam o movimento do sistema. Este assunto é

muito estudado pelo engenheiro e projetista mecânico, pois, ao desenvolver um projeto de

máquina ou mecanismo, especialmente para um mecanismo de quatro-barras, deve-se

inicialmente estudar o movimento, e posteriormente as forças que criam o movimento para,

com base nessas análises, dimensionar sistemas e materiais adequados de forma que a máquina

funcione adequadamente.

92

5.2.1. Energia Cinética de um sistema de corpos rígidos

A energia cinética de um único corpo rígido pode ser separada em dois termos, sendo que

um depende da velocidade de translação do centro de massa, e o outro que depende da

velocidade angular do corpo. Para a análise de um mecanismo, a energia cinética total será a

soma das energias cinéticas de cada componente individualmente, como descreve a equação

5.27.

𝐸𝑐,𝑇 =∑𝐸𝑐,𝑖

𝑛

𝑖=1

(5.27)

A energia cinética de uma única barra pode ser descrita pela equação 5.28.

𝐸𝑐,𝑖 = 0.5 ∗ 𝑀𝑖 ∗ 𝑉𝑖𝑐𝑚2 + 0.5 ∗ 𝐼𝑖𝑐𝑚 ∗ 𝜔𝑖

2 (5.28)

Na equação, 𝑀𝑖 é a massa da i-ésima barra, 𝑉𝑖𝑐𝑚 a velocidade do centro de massa da barra,

𝐼𝑖𝑐𝑚 o momento de inércia e 𝜔𝑖 a velocidade angular, todos obtidos no sistema de coordenadas

inercial. Utilizando-se a equação 5.27 para o mecanismo de quatro barras, a energia cinética do

sistema será dada pela equação 5.29.

𝐸𝑐,𝑇 = 𝐸𝐶1 + 𝐸𝐶2 + 𝐸𝐶3 + 𝐸𝐶4 (5.29)

Utiliza-se a figura 5.2 como referência para a nomenclatura das variáveis descritas na

dedução das equações de energia para cada barra. Aplicando a equação 5.28 para a barra 1:

𝐸𝐶1 = 0.5(𝑀1𝑉1𝑐𝑚2 + 𝐼1𝑐𝑚𝜔1

2) (5.30)

A velocidade pode ser escrita em termos da velocidade angular da barra 1, 𝜔1 = �� como:

𝑉1𝑐𝑚2 = (��1𝑐𝑚

2 + ��1𝑐𝑚

2) = ((

𝑑𝑋1𝑐𝑚𝑑𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑡)2

+ (𝑑𝑌1𝑐𝑚𝑑𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑡)2

)

= (𝐾1𝑥��)2 + (𝐾1𝑦��)

2

(5.31)

93

Assim, pode-se reescrever a equação 5.32:

𝐸𝐶1 = 0.5��2(𝑀1(𝐾1𝑥

2 + 𝐾1𝑦2 ) + 𝐼1𝑐𝑚) (5.32)

Já para as barras 2 e 3, é necessário escrever as velocidades angulares destas com relação

à velocidade angular da barra 1 de entrada.

𝜔2 =𝑑𝐴2𝑑𝑡

=𝑑𝐴2𝑑𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝐾2��

(5.33)

𝜔3 =𝑑𝐴3𝑑𝑡

=𝑑𝐴3𝑑𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝐾3�� (5.34)

Logo, a energia cinética das barras 2 e 3 é reescrita como:

𝐸𝐶2 = 0.5��2(𝑀2(𝐾2𝑥

2 + 𝐾2𝑦2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2

2) (5.35)

𝐸𝐶3 = 0.5��2(𝑀3(𝐾3𝑥

2 + 𝐾3𝑦2 ) + 𝐼3𝑐𝑚𝐾3

2) (5.36)

Utilizando o teorema dos eixos paralelos, que permite o cálculo do momento de inércia

de um sólido rígido relativo a um eixo O de rotação, desde que sejam conhecidas a massa, o

momento de inércia a um eixo paralelo à O e a distância d entre os dois eixos, pode-se

simplificar as equações de energia cinética das barras 1 e 3, que possuem movimento de rotação

em torno de um ponto fixo.

𝐼𝑜 = 𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑑2 (5.37)

No caso das barras 1 e 3, d será a distância entre o centro de massa da barra e o seu

respectivo ponto de fixação. Uma vez conhecida a geometria, pode ser considerada dado por:

𝑑 =𝑣

𝜔 (5.38)

𝑑2 =𝑣2

𝜔2=��2(𝐾𝑖𝑥

2 +𝐾𝑖𝑦2 )

𝐾𝑖2��2

=(𝐾𝑖𝑥

2 + 𝐾𝑖𝑦2 )

𝐾𝑖2

(5.39)

94

Para a barra 1, 𝐾1 é 1, pois 𝜔1 = ��. Assim a equação da energia cinética para a barra 1 se

simplifica para:

𝐼1𝑜 = 𝐼1𝑐𝑚 +𝑀1(𝐾1𝑥2 + 𝐾1𝑦

2 ) (5.40)

𝐸𝐶1 = 0.5��2(𝑀1(𝐾1𝑥

2 + 𝐾1𝑦2 ) + 𝐼1𝑐𝑚) = 0.5𝐼1𝑜��

2 (5.41)

Quanto a barra 3, a equação da energia cinética se torna:

𝐼3𝑜 = 𝐼3𝑐𝑚 +𝑀3(𝐾3𝑥

2 + 𝐾3𝑦2 )

𝐾32

(5.42)

𝐸𝐶3 = 0.5��2(𝑀3(𝐾3𝑥

2 + 𝐾3𝑦2 ) + 𝐼3𝑐𝑚𝐾3

2) = 0.5𝐼3𝑜𝐾32��2 (5.43)

A barra 4 estacionária, não possui energia cinética. De posse das equações individuais de

energia cinética, pode-se obter a energia total do sistema.

𝐸𝑐,𝑇 = 0.5𝐼1𝑜��2 + 0.5��2(𝑀2(𝐾2𝑥

2 + 𝐾2𝑦2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2

2) + 0.5𝐼3𝑜𝐾32��2 (5.44)

𝐸𝑐,𝑇 = 0.5��2(𝐼1𝑜 + (𝑀2(𝐾2𝑥

2 + 𝐾2𝑦2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2

2) + 𝐼3𝑜𝐾32) (5.45)

O termo que multiplica 0.5��2 é conhecido como inércia generalizada ℐ(𝑞) para o

mecanismo de quatro barras. A inércia generalizada é claramente dependente do ângulo de

entrada 𝑞, aplicado à primeira manivela, visto que os coeficientes cinemáticos de velocidade

𝐾2𝑥, 𝐾2𝑦, 𝐾2, 𝐾3 são função de 𝑞.

5.2.2. Forças generalizadas

As forças e momentos que atuam no mecanismo são os responsáveis pela resposta

dinâmica do mesmo. Nesta seção, busca-se a determinação de uma única força 𝑄, denominada

força generalizada, que ao atuar no sistema, produzirá um trabalho virtual 𝑄 𝛿𝑞, cujo valor é

idêntico à soma do trabalho virtual das forças e torques que produzem o deslocamento real do

mecanismo.

95

Considerando-se uma força externa 𝐹𝑖 aplicada a um ponto definido pelo vetor posição

𝑟𝑖, bem como momentos 𝑀𝑗 que causam deslocamentos angulares 𝐴𝑗, o trabalho virtual destas

forças no sistema é definido como:

𝛿𝑊 =∑𝐹𝑖𝑖

. 𝛿𝑟𝑖 +∑𝑀𝑗𝑗

. 𝛿𝐴𝑗 (5.46)

Os deslocamentos virtuais são funções da coordenada generalizada 𝑞, e portanto podem

ser reescritos em termos da mesma:

𝛿𝑟𝑖 =𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞. 𝛿𝑞

(5.47)

𝛿𝐴𝑗 =𝑑𝐴𝑗

𝑑𝑞. 𝛿𝑞 (5.48)

Substituindo essas expressões na equação (5.46) de trabalho virtual, resulta-se em:

𝛿𝑊 = 𝛿𝑞 (∑𝐹𝑖𝑖

.𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞+∑𝑀𝑗

𝑗

.𝑑𝐴𝑗

𝑑𝑞) (5.49)

O trabalho virtual 𝛿𝑊 é equivalente à 𝑄. 𝛿𝑞, então a equação da força generalizada é

definida por:

𝑄 =∑𝐹𝑖𝑖

.𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞+∑𝑀𝑗

𝑗

.𝑑𝐴𝑗

𝑑𝑞 (5.50)

5.2.3. Equação de movimento de Eksergian

Um dos teoremas da mecânica clássica, conhecido como Teorema do Trabalho-Energia

atesta que o trabalho realizado por um sistema mecânico se iguala à variação da energia

96

mecânica do sistema. Em termos matemáticos, define-se potência como a taxa temporal de

trabalho realizado:

Δ𝑊 = Δ𝐸𝑐 𝑑𝑒𝑟⇒ 𝑑𝑊

𝑑𝑡=𝑑𝐸𝑐𝑑𝑡

(5.51)

Para um sistema de um grau de liberdade, a potência pode ser escrita como:

𝑑𝑊

𝑑𝑡=∑(𝐹𝑥𝑖𝑋𝑖 + 𝐹𝑦𝑖𝑌�� +𝑀𝑖𝐴𝑖 )

𝑖

=∑(𝐹𝑥𝑖𝐾𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑖𝐾𝑦𝑖 +𝑀𝑖𝐾𝐴𝑖)

𝑖

�� = 𝑄�� (5.52)

Onde 𝑄 é a força generalizada. Já a energia cinética pode ser definida como:

𝐸𝑐 = 0.5 ∗ ℐ(𝑞) ∗ ��2 (5.53)

Diferenciando a equação da energia cinética no tempo, e substituindo os termos na

equação 5.51, obtém-se:

0.5 ∗𝑑ℐ

𝑑𝑞∗ �� ∗ ��2 + ℐ ∗ �� ∗ �� = 𝑄 ∗ �� (5.54)

Eliminando a velocidade angular ��, simplifica-se a equação (5.54) e tem-se a equação do

movimento generalizada aplicável a todos os sistemas com um grau de liberdade.

0.5 ∗𝑑ℐ

𝑑𝑞∗ ��2 + ℐ ∗ �� = 𝑄 (5.55)

O termo 0.5 ∗ 𝑑ℐ 𝑑𝑞⁄ é conhecido como coeficiente centrípeto, cujo símbolo é ℭ(𝑞). Para

o mecanismo de quatro barras, é conhecida a inércia generalizada ℐ(𝑞) da equação (5.45).

Diferenciando-se a inércia com relação ao ângulo de entrada 𝑞, obtém-se:

ℭ(𝑞) = 0.5 ∗𝑑ℐ

𝑑𝑞= 0.5(𝑀2(𝐾2𝑥𝐿2𝑥 + 𝐾2𝑦𝐿2𝑦 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2𝐿2 + 𝐼3𝑜𝐾3𝐿3) (5.56)

97

Assim, a equação de movimento de Eksergian para um mecanismo quatro barras (1 GDL)

é dada pela equação diferencial ordinária do segundo grau (5.57).

(𝐼1𝑜 + (𝑀2(𝐾2𝑥2 + 𝐾2𝑦

2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾22) + 𝐼3𝑜𝐾3

2) ∗ �� + 0.5

∗ (𝑀2(𝐾2𝑥𝐿2𝑥 + 𝐾2𝑦𝐿2𝑦 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2𝐿2 + 𝐼3𝑜𝐾3𝐿3) ∗ ��2 = 𝑄

(5.57)

5.2.4. Representação de forças conservativas

Visando uma maior generalização da equação de Eksergian, nesta seção, apresenta-se o

equacionamento da energia potencial que englobará as forças conservativas, enquanto as forças

não conservativas são expressas pelo termo de força generalizada.

Considere uma força agindo no sistema no ponto 𝑟𝑖, que consiste de duas partes, sendo

uma conservativa e outra não conservativa. A força conservativa pode ser escrita como o

gradiente negativo da função potencial associada.

𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝑐 + 𝐹𝑖

𝑛𝑐 = −∇𝑉𝑖 + 𝐹𝑖𝑛𝑐 (5.58)

Esta forma pode ser utilizada para a determinação da força generalizada, resultando em

também dois termos:

𝑄 =∑𝐹𝑖 .𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞

𝑖

=∑(−∇𝑉𝑖 + 𝐹𝑖𝑛𝑐)

𝑖

.𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞

(5.59)

𝑄 = −∑𝑑𝑉𝑖𝑑𝑞+∑𝐹𝑖

𝑛𝑐

𝑖𝑖

.𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞= −

𝑑𝑉

𝑑𝑞+ 𝑄𝑛𝑐 (5.60)

Substituindo este termo de força generalizada, que engloba as forças conservativas e

não conservativas, na equação geral de Eksergian, encontra-se:

ℐ ∗ �� + ℭ(𝑞) ∗ ��2 +𝑑𝑉

𝑑𝑞= 𝑄𝑛𝑐 (5.61)

98

Esta equação é útil em casos que envolvem energia potencial elástica e/ou gravitacional,

que limitam e mudam a direção de movimento do mecanismo à medida que o mesmo se move.

5.2.5. Solução numérica da equação geral de Eksergian

Para a solução da equação geral de Eksergian, que é diferencial ordinária do segundo

grau, com coeficientes variáveis, utilizou-se, neste trabalho, o método numérico de quarta

ordem de Runge-Kutta. Este método utiliza-se de pontos previamente definidos e de quatro

avaliações da segunda derivada da função a cada passo, para o cálculo de novos pontos,

buscando a determinação de uma curva. A expressão da equação de movimento pode ser

expressa por:

�� = 𝑓(𝑡, 𝑞, ��) (5.62)

Em termos dos valores previamente definidos, os novos valores para 𝑡, 𝑞 e �� serão obtidos

por meio do seguinte equacionamento:

𝑞𝑛+1 = 𝑞𝑛 + ℎ[��𝑛 +1

6(𝑚1 +𝑚2 +𝑚3)] (5.63)

��𝑛+1 = ��𝑛 +1

6(𝑚1 + 2𝑚2 + 2𝑚3 +𝑚4)]

(5.64)

𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ (5.65)

Onde ℎ será o passo previamente determinado, e os valores de m serão obtidos por:

𝑚1 = ℎ𝑓(𝑡𝑛, 𝑞𝑛, ��𝑛) (5.66)

𝑚2 = ℎ𝑓(𝑡𝑛 +ℎ

2, 𝑞𝑛 +

ℎ

2𝑞�� +

ℎ

4𝑚1, ��𝑛 +

𝑚12) (5.67)

𝑚3 = ℎ𝑓(𝑡𝑛 +ℎ

2, 𝑞𝑛 +

ℎ

2𝑞�� +

ℎ

4𝑚2, ��𝑛 +

𝑚22) (5.68)

𝑚4 = ℎ𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑞𝑛 + ℎ𝑞�� +ℎ

2𝑚3, ��𝑛 +𝑚3) (5.69)

99

𝑚1 é a inclinação no início do intervalo;

𝑚2 é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação 𝑚1 para a

determinação do valor de 𝑦 no ponto 𝑡𝑛 +ℎ

2 através do método de Euler;

𝑚3 é a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora utilizando a inclinação 𝑚2

para determinar o valor de 𝑦;

𝑚4 é a inclinação no final do intervalo, com seu valor de 𝑦 determinado usando 𝑚3.

Utilizando agora o método descrito acima na solução da equação de Eksergian, deve-se

primeiramente reescrever a equação, da seguinte forma:

�� =1

ℐ(𝑞)[𝑄(𝑡) − ℭ(𝑞)��2] (5.70)

Onde ℐ(𝑞) representa a inércia generalizada, 𝑄(𝑡) a força generalizada, e ℭ(𝑞) o

coeficiente centrípeto, cujas expressões foram deduzidas anteriormente e serão reapresentadas

abaixo:

ℐ(𝑞) = 𝐼1𝑜 + (𝑀2(𝐾2𝑥2 + 𝐾2𝑦

2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾22) + 𝐼3𝑜𝐾3

2 (5.71)

𝑄(𝑡) = −𝑑𝑉

𝑑𝑞+ 𝑄𝑛𝑐 (5.72)

ℭ(𝑞) = 0.5(𝑀2(𝐾2𝑥𝐿2𝑥 +𝐾2𝑦𝐿2𝑦 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2𝐿2 + 𝐼3𝑜𝐾3𝐿3) (5.73)

Vale lembrar que estes termos são dependentes dos coeficientes cinemáticos de

velocidade (K) e aceleração (L), obtidos utilizando as equações fornecidas pela análise

cinemática. A força aplicada ao mecanismo pode ser composta por um termo conservativo

(como uma força potencial elástica), e um termo não conservativo (podendo ser uma força

linear, um momento, ou mesmo uma força dissipativa causada pela inserção de um

amortecedor). Sendo assim, após obtenção destes termos, utiliza-se o método de Runge-Kutta

para o cálculo da curva de aceleração de ��.

100

5.3. Especificidades do algoritmo de análise cinemática e cinética

Os algoritmos de síntese e de análise foram estruturados separadamente, e portanto

possuem algumas assimetrias, como por exemplo, a referência adotada para o desenvolvimento

do equacionamento. Na síntese, o algoritmo foi baseado na teoria desenvolvida por Norton,

enquanto que na análise, o algoritmo foi construído utilizando-se a teoria desenvolvida por

Doughty. Nesta seção, serão destacadas essas diferenças, e explicitadas certas nomenclaturas

utilizadas no equacionamento do algoritmo.

5.3.1. Matriz de transformação de coordenadas

A teoria apresentada neste capítulo foi estruturada considerando-se um sistema inercial

cartesiano XY, tal como ilustrado na figura 5.3. O programa de análise cinemática e cinética,

no entanto, utiliza como referência um eixo cartesiano X1Y1, rotacionado de um ângulo θ em

relação ao eixo XY. O eixo X1Y1 refere-se ao posicionamento da barra fixa do mecanismo, e

por isso foi escolhido como referência para o equacionamento. Assim, torna-se necessária a

inserção de uma matriz de transformação de coordenadas, ou matriz de rotação, descrita na

equação 5.74. A aplicação dessa matriz tem o efeito de mudar a direção do vetor, mas não a sua

magnitude.

Figura 5.3: Transformação de coordenadas dos eixos cartesianos

𝑇 = [cos (𝜃) −𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos (𝜃)

] (5.74)

101

O ângulo θ é positivo no sentido horário, e negativo no sentido anti-horário, caso a rotação

ocorra do sistema X1Y1 para o sistema XY. No algoritmo, aplicou-se a matriz de rotação na

conversão dos vetores que descrevem a posição, velocidade e aceleração do ponto de interesse

associado ao acoplador e dos centros de massa das barras.

5.3.2. Força Externa

Esta seção se trata da modelagem da força aplicada no mecanismo durante a análise

cinética. Considerou-se uma força constante tal como pode ser visualizado na figura 5.4. O

algoritmo implementado pede como dados de entrada a amplitude da força, o ângulo que

direciona o vetor de aplicação da força, e os tempos inicial e final de aplicação.

Figura 5.4: Gráfico de força constante.

102

6 PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

O conceito de otimização apresentado neste trabalho refere-se ao estudo de problemas

nos quais busca-se minimizar ou maximizar uma função, buscando valores dentro de uma

região factível, que podem, de alguma maneira, serem considerados ótimos. Tais problemas

podem ser categorizados em problemas lineares ou não-lineares, sendo sujeitos ou não a

restrições (lineares ou não- lineares).

Problemas de otimização lineares, como o nome indica, são aqueles sujeitos a funções

lineares, e também restrições lineares de igualdade ou desigualdade. Podem ser aplicados em

diversos campos de estudo, tais como problemas de transporte, energia, telecomunicações e

manufatura, modelando problemas de planejamento, design, logística, alocação de recursos,

entre outros. (LUENBERGER, 2016). Para a solução deste tipo de problema, o método mais

comumente utilizado é o algoritmo simplex, criado por Dantzig (1941). Outros métodos

utilizados para solução de problemas de otimização lineares são os métodos dos pontos

interiores, como por exemplo o método do elipsoide (Khachiyan, 1979) e o algoritmo de

Karmarkar (1984).

A otimização de problemas irrestritos trata de minimização ou maximização de uma

função não sujeita a qualquer restrição. Há métodos matemáticos para a otimização de funções

sujeitas a uma ou mais variáveis. Embora a maioria dos problemas práticos possua restrições,

muitos algoritmos solucionam problemas de otimização restrita convertendo os mesmos em

uma série de problemas irrestritos, utilizando por exemplo, os multiplicadores de Lagrange, ou

os métodos das penalidades ou da barreira. Podem-se citar como exemplo de métodos de

otimização irrestrita a busca dicotômica, método Fibonacci e o método de Newton para funções

de uma única variável. Para os casos de otimização irrestrita multivariável, podem-se citar os

métodos descendentes baseados no gradiente, como o método do máximo descenso e o método

de Newton, o método dos gradientes conjugados e o método Quase-Newton.

Por último, os métodos de otimização restrita solucionam a maioria dos problemas

encontrados na prática. Como exemplo de métodos de otimização de problemas desta categoria,

estão os métodos das penalidades e da barreira, o método do lagrangeano aumentado, e a

programação quadrática sequencial.

Neste trabalho, buscou-se a determinação de parâmetros ótimos do coeficiente elástico

da mola e do coeficiente de amortecimento de um amortecedor posicionados transversalmente

103

ao mecanismo de quatro-barras sintetizado, como ilustrado na figura 6.1. Buscou-se a

minimização do deslocamento, da velocidade ou da aceleração da barra acopladora do

mecanismo, sujeitando a mesma a diferentes restrições. O intuito de trabalhar com diferentes

funções objetivo foi oferecer a mais ampla gama de opções ao projetista, tornando assim o

programa o mais genérico possível. Sendo assim, este problema enquadra-se na categoria dos

problemas de otimização restritos e não-lineares, e utiliza-se de um algoritmo baseado no

método dos pontos interiores para a determinação dos parâmetros ótimos do sistema.

Figura 6.1: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado).

6.1 Modelagem matemática do problema:

Inicialmente, apresenta-se aqui a função objetivo do problema de otimização na equação

(6.1), a minimização do deslocamento resultante da barra acopladora. Retomam-se aqui as

equações apresentadas no capítulo 5 para descrever o deslocamento do ponto de interesse na

barra acopladora, dadas pelas equações (5.9) e (5.10).

𝑋𝑝 = 𝐶1 ∗ cos(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ cos(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ sen(𝐴2) (5.9)

𝑌𝑝 = 𝐶1 ∗ sen(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ sen(𝐴2) + 𝑉𝑝 ∗ cos(𝐴2) (5.10)

𝑓(𝑥) = √𝑋𝑝2 + 𝑌𝑝2 (6.1)

104

Vale lembrar que o deslocamento do ponto de interesse no acoplador é obtido após a

solução da equação de movimento de Eksergian. O caso simulado neste trabalho refere-se à

resposta do mecanismo à aplicação de uma força externa linear e constante, como deduzido no

final do capítulo 5.

Derivando-se as equações de posição com relação ao tempo, definem-se as equações de

velocidade em X e Y, bem como os coeficientes cinemáticos de velocidade Kpx e Kpy. Essas

equações também já foram apresentadas no capítulo 5. A equação (6.2) é a função objetivo para

a minimização da velocidade do ponto de interesse na barra acopladora.

𝑉𝑝𝑥 = −�� ∗ 𝐶1 ∗ sen(𝑞) − 𝐴2 ∗ 𝑈𝑝 ∗ sen(𝐴2) − 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝 ∗ cos(𝐴2) (5.11)

𝑉𝑝𝑦 = �� ∗ 𝐶1 ∗ cos(𝑞) + 𝐴2 ∗ 𝑈𝑝 ∗ cos(𝐴2) − 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝 ∗ sen(𝐴2) (5.12)

𝐾𝑝𝑥 = −𝐶1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑞) − 𝑈𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ cos (𝐴2) (5.13)

𝐾𝑝𝑦 = 𝐶1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ sen(𝐴2) (5.14)

𝑉𝑝 = �� ∗ (𝒊 ∗ 𝐾𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐾𝑝𝑦) (5.15)

𝑓(𝑥) = √𝑉𝑝𝑥2 + 𝑉𝑝𝑦2 (6.2)

Para encontrar os termos de aceleração, necessita-se de uma nova diferenciação no tempo

dos termos da velocidade.

𝐴𝑝 = ��(𝒊 ∗ 𝐾𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐾𝑝𝑦) + ��2(𝒊 ∗ 𝐿𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐿𝑝𝑦) (5.16)

Os termos cinemáticos de aceleração Lpx e Lpy podem ser encontrados através da

diferenciação dos termos cinemáticos de velocidade Kpx e Kpy, com relação ao ângulo de

entrada q, como mostram as equações 5.17 e 5.18. A equação (6.3) define a função objetivo

para minimização da aceleração do ponto de interesse da barra acopladora.

𝐿𝑝𝑥 = −𝐶1cos(𝑞) − 𝑈𝑝𝐿2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) − 𝑈𝑝𝐾22 cos(𝐴2)

− 𝑉𝑝𝐿2 cos(𝐴2) + 𝑉𝑝𝐾22𝑠𝑒𝑛(𝐴2)

(5.17)

𝐿𝑝𝑦 = −𝐶1 sen(𝑞) + 𝑈𝑝𝐿2𝑐𝑜𝑠(𝐴2) − 𝑈𝑝𝐾22 sen(𝐴2)

− 𝑉𝑝𝐿2 sen(𝐴2) − 𝑉𝑝𝐾22𝑐𝑜𝑠(𝐴2)

(5.18)

105

𝑓(𝑥) = √𝐴𝑝𝑥2 + 𝐴𝑝𝑦2 (6.3)

Foram adicionadas três restrições ao problema, sendo:

Frequência natural amortecida constante;

Faixa do fator de amortecimento;

Tempo de estabilização.

A ISO 2631, norma internacional para avaliação da exposição humana a vibrações de corpo

inteiro, define valores numéricos para limites de exposição a vibrações ao corpo humano na

amplitude de frequência de 1 a 80 Hz. São definidos três critérios para a preservação do

conforto, eficiência de trabalho e segurança ou saúde, sendo denominados na norma,

respectivamente, como: “Nível de conforto reduzido”, “Nível de eficiência reduzida (fadiga) ”

e “Limite de exposição”.

Por exemplo, onde a preocupação primordial é manter a eficiência de trabalho de um

motorista de veículo ou operador de máquina, o "nível de eficiência reduzida (fadiga)" deve ser

usado como ponto de referência para especificar a vibração ou efetuar medidas de controle

vibratório, enquanto que, num projeto de banco para passageiros, deve ser levado em

consideração o "nível de conforto reduzido”.

De acordo com os critérios mencionados, estes limites estão especificados em termos de

frequência vibratória, grandeza de aceleração, tempo de exposição e a direção da vibração em

relação ao tronco. Esta direção é definida de acordo com os eixos anatômicos do corpo humano,

com origem na localização do coração. O eixo x vai das costas ao peito, o eixo y do lado direito

ao lado esquerdo, e o eixo z dos pés à cabeça.

Neste trabalho, o critério levado em consideração foi o “nível de eficiência reduzido”. Os

limites de vibração recomendados pela ISO 2631 encontram-se no Anexo A. A figura

apresentada no anexo A ilustra o nível de eficiência reduzido (fadiga) em função da frequência

e tempo de exposição na direção longitudinal, para tempos de exposição diária de 1 minuto a

24h. Para utilizar os demais critérios, fatores de correção devem ser aplicados aos valores do

gráfico do anexo A.

Observa-se que foi considerada aqui a tolerância à vibração de corpo inteiro correspondente

à faixa de frequências de 4 a 8 Hz, a mesma da massa pélvica (RAO, 2011), e que a tolerância

106

à vibração decresce em função do aumento do tempo de exposição. A figura 6.2 ilustra a

sensibilidade de diferentes partes do corpo humano a diferentes faixas de vibrações.

Figura 6.2: Sensibilidade à frequência de vibração de diferentes partes do corpo

humano. Fonte: Rao S., Vibrações Mecânicas, 2011

Quanto a restrição da faixa do fator de amortecimento, utilizou-se a faixa entre 0.2 e 0.4

(GILLESPIE, 1992).

A última restrição considerada no problema foi o tempo de estabilização do sistema. O

tempo de estabilização é definido como o tempo necessário para o sistema atingir e permanecer

dentro de uma faixa aceitável ao redor do equilíbrio estático. Considera-se aqui, que o sistema

estabilizou quando a resposta atinge valor menor do que 2% do valor de pico inicial.

107

6.2 Método de otimização:

Para a solução dos problemas de otimização apresentados na seção 6.1, utilizou-se o

toolbox de otimização do MATLAB, e a função fmincon. Esta função é utilizada na solução de

problemas de otimização de funções não-lineares, restritas (podendo ser de igualdade ou

desigualdade) e multivariáveis. O método dos pontos interiores aplicado à minimização restrita

resume-se à solução de uma sequência de problemas de minimização aproximados. (BYRD, R.

H.; GILBERT, J. C.; E NOCEDAL, J, 1999 e 2000) O problema original, generalizado, está

descrito na equação 6.2.

min𝑓(𝑥)

(6.2) 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 ℎ(𝑥) = 0

𝑔(𝑥) ≤ 0

Onde h representa as restrições de igualdade do problema, e g, as restrições de

desigualdade. No método dos pontos interiores, necessita-se reescrever a função a ser

minimizada em sua forma penalizada. O problema penalizado correspondente está descrito na

equação 6.3.

𝑓𝜇(𝑥) = min 𝑓(𝑥) − 𝜇∑ln(𝑠𝑖)

𝑚

𝑖=1

(6.3) 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 ℎ(𝑥) = 0

𝑔(𝑥) + 𝑠 = 0

Onde 𝜇 > 0 é o parâmetro de barreira, e si é a variável de folga. A variável de folga é

introduzida no problema para aproximar uma restrição de desigualdade por uma de igualdade.

Portanto, o número de variáveis de folga 𝑠𝑖 é igual ao número de restrições de desigualdade g.

Além disso, as variáveis de folga devem ser estritamente positivas de modo a garantir que ln(𝑠𝑖)

mantenha-se dentro da região factível. À medida que 𝜇 (parâmetro de barreira) se aproxima de

zero, o mínimo de 𝑓𝜇 deve ser aproximar do mínimo de 𝑓. O termo logarítmico acrescentado à

função de minimização é chamado de função barreira.

108

O problema aproximado descrito pela equação 6.3 é uma sequência de problemas restritos

por equações de igualdade. Estes são mais simples de solucionar do que o problema original

restrito por desigualdades. Para resolver estes problemas aproximados, o algoritmo utiliza um

dos seguintes passos a cada iteração:

Solução das equações de KKT (Karush-Kuhn-Tucker) para o problema aproximado.

As condições de KKT são condições necessárias para garantir a otimização de um

problema sujeito a restrições. Se o problema for um problema convexo, as condições de KKT

são necessárias e suficientes para garantir um ponto de ótimo global.

Seja a função lagrangeana associada ao problema de otimização definida pela equação

(6.4):

𝐿(𝑥, 𝜆) = 𝑓(��) + 𝜆𝑡𝑔(��) (6.4)

Onde L é a função lagrangeana, x as variáveis otimizadas, f é a função objetivo do

problema de otimização, 𝜆 o vetor dos multiplicadores de Lagrange, e g é a função das restrições

do problema. Neste trabalho, as variáveis otimizadas (x) são o coeficiente de elasticidade da

mola e o coeficiente de amortecimento. As restrições do problema são, por sua vez, as equações

6.5 e 6.6, que descrevem as condições de KKT.

∇𝑥𝐿(𝑥, 𝜆) = 0 (6.5)

𝜆𝑔,𝑖𝑔𝑖(𝑥) = 0, ∀𝑖 (6.6)

A solução das equações de KKT formam a base de muitos algoritmos de programação

não-linear. Estes algoritmos calculam os multiplicadores de Lagrange de forma direta.

Utilizando um lagrangeano linearizado para resolver as equações 6.5 e 6.6, obtém-se a equação

6.7.

[ 𝐻 0 𝐽ℎ

𝑇 𝐽𝑔𝑇

0 𝑆Λ 0 −𝑆𝐽ℎ 0 𝐼 0𝐽𝑔 −𝑆 0 𝐼 ]

{

Δ𝑥Δ𝑠−Δ𝑦−Δ𝜆

} = −

{

∇𝑓 − 𝐽ℎ

𝑇𝑦 − 𝐽𝑔𝑇𝜆

𝑆𝜆 − 𝜇𝑒ℎ

𝑔 + 𝑠 }

(6.7)

109

Onde H, a hessiana do lagrangeano de 𝑓𝜇, é dada pela equação 6.8:

𝐻 = ∇2𝑓(𝑥) +∑𝜆𝑖𝑖

∇2𝑔𝑖(𝑥) +∑𝜆𝑗𝑗

∇2ℎ𝑗(𝑥) (6.8)

𝐽𝑔 denota o jacobiano da função de restrição g, 𝐽ℎ denota o jacobiano da função de

restrição h, 𝑆 é uma matriz que utiliza o vetor s em sua diagonal principal, 𝜆 denota o vetor

multiplicador de Lagrange associado às restrições g, Λ é uma matriz que utiliza o vetor 𝜆 em

sua diagonal principal, 𝑦 denota o multiplicador de Lagrange associado a ℎ, e 𝑒 é o vetor

formado apenas por 1, de mesma dimensão de 𝑔.

Para resolver esta equação para (Δ𝑥, Δ𝑠), os tamanhos dos passos do algoritmo a cada

iteração, faz-se uma decomposição LDL da matriz, onde L é a matriz triangular inferior e D é

uma matriz diagonal. A decomposição LDL é uma variação da decomposição de Cholesky.

Como resultado da decomposição, determina-se se a Hessiana da matriz é positivo definida ou

não. Se não for, aplica-se o gradiente conjugado para determinar o próximo passo.

Gradiente conjugado:

O método do gradiente conjugado utiliza-se de uma minimização de uma aproximação

quadrática do problema aproximado em uma região de confiança, sujeito a restrições

linearizadas. O algoritmo obtém os multiplicadores de Lagrange resolvendo, aproximadamente,

as equações de KKT:

∇𝑋𝐿 = ∇𝑋𝑓(𝑥) +∑𝜆𝑖∇𝑔𝑖(𝑥) +∑𝑦𝑗∇ℎ𝑗(𝑥) = 0

𝑗𝑖

(6.9)

Utilizando os mínimos-quadrados, sujeito a um 𝜆 positivo, assume-se um passo de

dimensão (Δ𝑥, Δ𝑠) para resolver a equação:

min∇𝑓𝑇Δ𝑥 +1

2Δ𝑥𝑇∇𝑋𝑋

2 𝐿Δ𝑥 + 𝜇𝑒𝑇𝑆−1Δ𝑠 +1

2Δ𝑠𝑇𝑆−1ΛΔ𝑠

(6.10)

sujeito às restrições linearizadas:

110

𝑔(𝑥) + 𝐽𝑔Δ𝑥 + Δ𝑠 = 0 (6.11)

ℎ(𝑥) + 𝐽ℎΔ𝑥 = 0 (6.12)

Para resolver a equação 6.10, o algoritmo busca minimizar a norma das restrições

linearizadas dentro de uma região de confiança. Assim, a equação 6.10 pode ser resolvida com

as restrições, correspondendo ao resíduo da solução das equações 6.11 e 6.12, permanecendo

dentro da mesma região de confiança anterior, mantendo s estritamente positivo.

111

7 RESULTADOS DA ANÁLISE CINEMÁTICA E CINÉTICA

7.1. Mecanismos sintetizados

Aplicando-se a teoria descrita no capítulo 5 aos mecanismos sintetizados e apresentados

no capítulo 4, apresentam-se a seguir os resultados obtidos através da análise cinemática.

Reproduziu-se a figura 5.1 (Figura 7.1) utilizada no desenvolvimento das equações para facilitar

a identificação das variáveis descritas nas tabelas.

Figura 7.1: Mecanismo de 4 barras genérico

7.1.1. Mecanismo manivela - oscilador

Para o mecanismo manivela – oscilador genérico sintetizado para 5 pontos de precisão a

partir dos resultados obtidos na seção 4.1.4, realizou-se a análise cinemática. A tabela 7.1.

contém os comprimentos das barras do mecanismo, e os respectivos ângulos iniciais de posição

de cada barra com referência no sistema inercial, a variação do ângulo de entrada q, e a

velocidade e aceleração da manivela de entrada.

112

Tabela 7.1: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela-

oscilador

Comprimentos das barras Ângulos de orientação das barras Parâmetros adicionais

C1 = 19.8443 g = 115.4624º Δ𝑞 = 360º

C2 = 101.8275 q = 65.8172º �� = 1 rad/s

C3 = 100 A2 = -111.9021º �� = 0 rad/s2

C4 = 181.6186 A3 = 61.1665º

A partir dos comprimentos das barras definidos no processo da síntese, e definido o

ângulo de orientação da barra fixa, pode-se obter, através das equações de loop e do método de

newton-raphson, os ângulos de orientação das barras de saída A3 e do acoplador A2. A variação

desses ângulos em função do ângulo de entrada q da manivela está ilustrada na figura 7.2. Pode-

se notar a repetitividade das posições angulares, tanto da barra de saída quanto da barra

acopladora, para os dois ciclos da manivela de entrada.

Figura 7.2: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.

113

As figuras 7.3 e 7.4 ilustram, respectivamente, as velocidades e acelerações angulares em

função da variação do ângulo de entrada da manivela. Também aqui, visualiza-se o caráter

cíclico do movimento para os dois ciclos da manivela.

Figura 7.3: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.

Figura 7.4: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.

114

Para um ponto de interesse localizado no acoplador, cuja localização é dada pelo

comprimento do vetor Z = 4.0258 e seu ângulo de orientação ϕ = -52.9259º medido a partir da

abscissa do referencial inercial (Figura 7.1), plotaram-se os gráficos de posição, velocidade e

aceleração em função do ângulo de entrada da manivela q, ilustrados nas figuras 7.5, 7.6 e 7.7,

respectivamente. A figura 7.8 mostra a trajetória do ponto de interesse no plano.

Figura 7.5: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de

entrada q.

115

Figura 7.6: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de

entrada q.


entrada q.

116


7.1.2. Mecanismo oscilador – oscilador

Para o mecanismo oscilador – oscilador genérico sintetizado para cinco pontos de

precisão e apresentado na seção 4.2.4., realizou-se a análise cinemática do mecanismo. A tabela

7.2. contém os comprimentos das barras do mecanismo, e os respectivos ângulos iniciais de

posição de cada barra com referência no sistema inercial, a variação do ângulo de entrada q e

do ângulo de saída A3, e a velocidade e aceleração da barra de entrada.


oscilador

Comprimentos das barras Ângulos de orientação das

barras Parâmetros adicionais

C1 = 1.8401 g = -62.8779º Δ𝑞 = 60º

C2 = 2.0907 q = 65.5379º �� = 1 rad/s

C3 = 1.3649 A2 = 25.0846º �� = 0 rad/s2

C4 = 3.0684 A3 = -4.6616º

117

Assim como para o mecanismo manivela-oscilador, a partir dos comprimentos das barras

definidos durante a síntese, e definido o ângulo de orientação da barra fixa, pode-se obter,

através das equações de loop e do método de newton-raphson, os ângulos de orientação das

barras de saída A3 e do acoplador A2. A variação desses ângulos em função do ângulo de entrada

q da manivela está ilustrada na figura 7.9. Por ser um mecanismo oscilador-oscilador, as barras

não completam o giro de 360º, e por isso, a variação do ângulo de entrada é de apenas 60º.


A figura 7.10 ilustra as velocidades e acelerações angulares da barra acopladora e da barra

de saída em função da variação do ângulo de entrada da manivela.

118

(a) Velocidade angular (b) Aceleração Angular

Figura 7.10: Velocidades e acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de

entrada q.



abscissa do referencial inercial, plotaram-se os gráficos de posição, velocidade e aceleração em

função do ângulo de entrada da manivela q, ilustrados nas figuras 7.11, 7.12 e 7.13,



entrada q.

119


entrada q.


entrada q.

120


7.1.3. Mecanismo manivela - manivela

Para o mecanismo manivela – manivela genérico com 5 pontos de precisão sintetizado e

apresentado na seção 4.3.4., realizou-se a análise cinemática do mecanismo. A tabela 7.3.

contém os comprimentos das barras do mecanismo, e os respectivos ângulos iniciais de posição

de cada barra com referência no sistema inercial, a variação do ângulo de entrada q e do ângulo

de saída A3, e a velocidade e aceleração da manivela de entrada.

Tabela 7.3: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela-

manivela


barras Parâmetros adicionais

C1 = 2.5640 g = 1.7494º Δ𝑞 = 360º

C2 = 2.1838 q = 84.8172º �� = 1 rad/s

C3 = 2.2155 A2 = -109.0017º �� = 0 rad/s2

C4 = 1.7041 A3 = 165.8361º

121

A partir dos comprimentos das barras definidos durante a síntese, e definido o ângulo de

orientação da barra fixa, pode-se obter, através das equações de loop e do método de newton-

raphson, os ângulos de orientação das barras de saída A3 e do acoplador A2. A variação desses

ângulos em função do ângulo de entrada q da manivela está ilustrado na figura 7.15.


As figuras 7.16 e 7.17 ilustram, respectivamente, as velocidades e acelerações angulares

em função da variação do ângulo de entrada da manivela.

122



123



abscissa do referencial inercial, plotaram-se os gráficos de posição, velocidade e aceleração em

função do ângulo de entrada da manivela q, ilustrados nas figuras 7.18, 7.19 e 7.20,



entrada q.

124


entrada q.


entrada q.

125


7.2. Síntese e simulação cinemática e cinética de um mecanismo de quatro-barras:

Sintetizando um mecanismo de quatro-barras semelhante ao de Peres (2012), submete-se

o mesmo à análise cinemática e à análise cinética desenvolvidos no decorrer deste trabalho,

para avaliação dos resultados. Para a síntese, utiliza-se o método com cinco pontos de precisão,

de modo a obter um mecanismo de quatro-barras do tipo oscilador-oscilador. Seguindo a




126

Tabela 7.4: Dados de entrada e saída para mecanismo oscilador-oscilador

Entrada Saída

P21 = 0.0101 W = 0.1558

P31 = 0.0201 θ = 80.7826°

P41 = 0.0272 Z = 0.2219

P51 = 0.0325 φ = 32.9718°

δ2 = -1.1344º U = 0.1573

δ3 = -3.4166º σ = 100.5374°

δ4 = -5.0610º S = 0.2450

δ5 = -6.1844º ψ = 151.6060°

α2 = 0.5059° V = 0.4017

α3 = 1.02° G = 0.4554

α4 = 1.395°

α5 = 1.68°


127

7.2.1. Cinemática

O mecanismo oscilador – oscilador está ilustrado na figura 7.23. As dimensões do mesmo

são apresentadas na tabela 7.5., ou seja, os comprimentos das barras do mecanismo, e os

respectivos ângulos iniciais de posição de cada barra com referência no sistema inercial, a

variação do ângulo de entrada q e do ângulo de saída A3, e a velocidade e aceleração da

manivela de entrada.

Figura 7.23: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado).

Tabela 7.5: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo oscilador-

oscilador


barras

Parâmetros adicionais

C1 = 155.8 g = -0.4219º Δ𝑞 = 70º

C2 = 401.7 q = 80.7826º �� = 1 rad/s

C3 = 157.3 A2 = 0.6076º �� = 0 rad/s2

C4 = 455.4 A3 = 100.5374º

Nota-se que a barra fixa do sistema, C4, e a barra acopladora C2 são inicialmente paralelas

entre si, e as barras de entrada e de saída estão posicionadas de maneira simétrica. A variação

do ângulo de entrada foi restringida pelos parâmetros geométricos do mecanismo, sendo que

para ângulos superiores a 70º, o método numérico não convergiu. Sendo assim, assumiu-se uma

variação angular da barra de entrada para modelagem cinemática de 70º. Foi aplicada uma

velocidade à barra de entrada de 1 rad/s, resultando em um velocidade e aceleração nas barras

acopladoras e de saída.

128

A partir destes valores numéricos pode-se obter, através das equações de loop e do método

de newton-raphson, os ângulos de orientação das barras de saída A3 e do acoplador A2. A

variação desses ângulos em função do ângulo de entrada q da manivela está ilustrada na figura

7.24.


As figuras 7.25 e 7.26 mostram, respectivamente, as velocidades e acelerações

angulares em função da variação do ângulo da barra de entrada.

129



130

7.2.2. Cinética

Para a análise cinética, necessitam-se, além dos comprimentos de barra do mecanismo, e

dos seus respectivos ângulos iniciais de orientação, outros dados apresentados a seguir. As

coordenadas cartesianas dos centros de massa das barras C1, C2 e C3 no sistema inercial, são

apresentadas na tabela 7.6. Vale ressaltar que a barra C4 é a barra fixa do sistema, e por isso

suas coordenadas cartesianas não estão apresentadas na tabela.

Tabela 7.6: Coordenadas cartesianas dos centros de massa das barras

Coordenadas cartesianas

Xcm1 = 0.25 Ycm1 = 0.77

Xcm2 = 0.225 Ycm2 = 0.154

Xcm3 = 0.90 Ycm3 = 0.77

A tabela 7.6 apresenta as informações das massas e momentos de inércia em relação aos

respectivos centros de massa de cada barra, conforme retratado por Peres (2012). Pode-se notar

que as barras C1 e C3, que são idênticas e posicionadas simetricamente, possuem a mesma massa

e momentos de inércia.

Tabela 7.7: Massa e momentos de inércia das barras móveis do mecanismo

Massas Momentos de inércia

M1 = 0,525 kg Icm1 = 0,057 kg.m2

M2 = 1,05 kg Icm2 = 0,011 kg.m2

M3 = 0,525 kg Icm3 = 0,057 kg.m2

Por último, os valores dinâmicos utilizados para a simulação cinética são k = 45000 N/m,

o coeficiente elástico da mola, e c = 500 N.s/m, que é o coeficiente de amortecimento do

amortecedor, posicionados transversalmente ao mecanismo de quatro-barras, como ilustrado na

figura 7.23. A seguir apresentam-se os gráficos obtidos na simulação cinética. A força externa

aplicada verticalmente ao mecanismo de quatro barras é constante e igual a 2500 N. As figuras

7.27, 7.28 e 7.29 ilustram o deslocamento, a velocidade e a aceleração do centro de massa da

barra acopladora em função do tempo. Em azul, apresenta-se o deslocamento em X, e em

vermelho, o deslocamento em Y, de acordo com o referencial definido na figura 7.23.

131

Figura 7.27: Deslocamento do centro de massa da barra C2 em função do tempo.

Figura 7.28: Velocidade do centro de massa da barra C2 em função do tempo.

132

Figura 7.29: Aceleração do centro de massa da barra C2 em função do tempo.

Nota-se que após a aplicação da força externa, o tempo de estabilização do sistema é de

aproximadamente 0,2 s. Pode-se verificar, que o deslocamento do centro de massa da barra

acopladora, onde ocorre a aplicação da força externa ao sistema, sofre um deslocamento

máximo de 70 mm, e que devido às forças elástica e de amortecimento, a posição é restituída

em um intervalo de tempo de 0,1 s. Esta resposta é importante pois está relacionada às condições

gerais de projeto. Neste caso, a frequência natural amortecida é de 1,35 Hz.

O mecanismo resultante está ilustrado na figura 7.30. A barra estacionária é C4, e as

barras de entrada (C1), acopladora (C2) e de saída (C3). O ponto de interesse do acoplador, neste

caso igual ao seu centro de massa, está destacado no acoplador.

133

Figura 7.30: Mecanismo quatro barras resultante da síntese e análise cinemática e dinâmica.

7.2.3. Resultados do problema de otimização

Na otimização, busca-se a determinação dos parâmetros ótimos do coeficiente elástico da

mola e do coeficiente de amortecimento do amortecedor, posicionados transversalmente ao

mecanismo de quatro-barras. Considera-se aqui a mesma força externa aplicada na análise

cinética, possibilitando a comparação dos resultados obtidos anteriormente e os resultados

otimizados. Como descrito no capítulo 6, o objetivo da otimização é a minimização das funções

deslocamento, velocidade e aceleração resultante da barra acopladora, dependendo da aplicação

do mecanismo.

Considerando as restrições apresentadas no capítulo 6, impõe-se uma frequência natural

amortecida desejada constante e igual a 4 Hz (anexo A), uma faixa do fator de amortecimento

entre 0.2 e 0.4, e utilizam-se as equações 7.1 e 7.2 apresentadas a seguir, para obter as faixas de

variação para o coeficiente elástico da mola e para o amortecimento, lembrando que a amplitude

da força externa é de 2500 N.

𝑘 =𝜔𝑑2𝑚

(1 − 𝜁2)

(7.1)

𝑐 = 2𝜁√𝑘𝑚 (7.2)

Força Externa

134

Tabela 7.8: Definição dos limites dos parâmetros a serem otimizados

Limite inferior Limite superior 𝜔𝑑[𝐻𝑧]

𝜁 0,2 0,4

K [N/m] 164493 187992 4

C [N.s/m] 2565 5484 4

A figura 7.31 ilustra a variação do máximo deslocamento (overshoot do sistema) em

função da variação do coeficiente elástico da mola e do coeficiente de amortecimento. Nota-se

que, considerando apenas essas restrições, o menor pico é atingido para os valores máximos

das variáveis otimizadas. Ou seja, estas restrições não são suficientes, e torna-se necessário a

inserção de uma nova restrição ao problema, neste caso, o tempo de estabilização. Caso

contrário, o menor valor do overshoot do sistema sempre seria atingido quando o problema de

otimização atingisse os limites superiores definidos no início do problema para as variáveis

otimizadas.

Figura 7.31: Variação do máximo pico da curva de resposta do sistema (deslocamento

resultante do centro de massa do acoplador) em função do coeficiente de amortecimento da

mola e do coeficiente de elasticidade da mola.

135

Considerando diferentes valores de tempo de estabilização, e utilizando sempre o

mesmo ponto inicial na otimização, assim como os mesmos valores para os limites inferiores e

superiores das variáveis a serem otimizadas, obtiveram-se os valores apresentados na tabela

7.8. O ponto inicial escolhido é próximo dos valores do limite inferior para os parâmetros

iniciais definidos na tabela 7.8.

Tabela 7.9: Resultados da otimização

Tss [s] Ponto inicial [k0; c0]

[N/m; N.s/m]

Ponto ótimo [k; c] [N/m;

N.s/m]

Pico máximo

[m]

0,075 [164500; 2566] [170348; 3526] 0,0119

0,15 [164500; 2566] [185284; 4730] 0,0135

A figura 7.32 ilustra o deslocamento do centro de massa no acoplador, para diferentes

valores otimizados. Analisando a figura 7.34 e a tabela 7.9, nota-se que o tempo de estabilização

e o pico de máximo do sistema são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior

o tempo de estabilização, menor o pico máximo do sistema.

Figura 7.32: Deslocamento do centro de massa do acoplador.

136

Comparando as curvas otimizadas com a curva do sistema original, nota-se que o pico

de máximo deslocamento foi reduzido em 80%. Ainda, a frequência natural amortecida e o fator

de amortecimento mantiveram-se dentro das restrições estabelecidas.

Modificando a função objetivo do processo de otimização, agora para a velocidade,

adicionando uma restrição de modo que a velocidade seja reduzida em no mínimo 50% do valor

original, e mantendo os limites inferiores e superiores dos parâmetros a serem otimizados,

realizou-se uma nova otimização do sistema. Os valores para diferentes tempos de estabilização

e pontos iniciais estão apresentados na tabela 7.10.



[N/m; N.s/m]


N.s/m]

Pico máximo

[m/s]

0,075 [164500; 2566] [176211; 4278] 0,5473

0,15 [164500; 2566] [180604; 4763] 0,3755

A figura 7.33 ilustra a velocidade do centro de massa no acoplador, para diferentes valores

otimizados. Analisando a figura 7.33 e a tabela 7.10, nota-se que o tempo de estabilização e o

pico de máxima velocidade são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o

tempo de estabilização, menor o pico máximo do sistema. Devido à restrição do fator de

amortecimento, valores maiores de tempo de estabilização não foram possíveis, pois as

variáveis otimizadas atingiam os limites superiores definidos antes da convergência.

137

Figura 7.33: Velocidade do centro de massa do acoplador.


de máxima velocidade foi reduzido em 78% a 85%, dependendo do tempo de estabilização.

O último caso de otimização simulado foi para o caso da utilização da aceleração do

ponto de interesse na barra acopladora como função objetivo. A tabela 7.11 apresenta os valores

obtidos no processo de otimização.



[N/m; N.s/m]


N.s/m]

Pico máximo

[m/s2]

0,075 [164500; 2566] [169922; 3465] -33.53

0,15 [164500; 2566] [187992; 5484] -22.89

A figura 7.34 ilustra a aceleração do centro de massa no acoplador, para diferentes valores

otimizados. Novamente, assim como nos casos de otimização da velocidade e a do

deslocamento, nota-se que o tempo de estabilização e o pico de máximo do sistema são

138

grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o tempo de estabilização, menor

o pico máximo do sistema.

Figura 7.34: Aceleração do centro de massa do acoplador.


de máxima aceleração foi reduzido em 45% a 60% do valor inicial, dependendo do tempo de

estabilização.

139

8 CONCLUSÃO

O desenvolvimento do presente estudo possibilitou a criação de um software, integrando

ferramentas de síntese de mecanismos de quatro-barras, análises cinemática e cinética do

mecanismo sintetizado, e por último a otimização de parâmetros dinâmicos associados ao

mesmo. O intuito é prover ao projetista mecânico uma ferramenta genérica e abrangente, que

permita uma rápida síntese mecânica e análise dinâmica dos mecanismos.

Utilizando-se o software MATLAB, criou-se um algoritmo capaz de utilizar as

formulações descritas no capítulo 3 (síntese analítica) para a obtenção dos comprimentos de

barra de mecanismos do tipo quatro-barras, bem como a trajetória no plano cartesiano do ponto

de interesse e a variação do ângulo da 2ª manivela e do acoplador em função do ângulo de

entrada no mecanismo (1ª manivela). Os métodos analíticos de síntese garantem que o

mecanismo passará pelos pontos de precisão especificados, porém não garantem que o mesmo

possa se movimentar continuamente entre dois pontos de precisão sucessivos. Dessa forma, a

utilização do software possibilita uma rápida alteração dos parâmetros do mecanismo para que

o mesmo funcione na operação desejada, diferentemente da síntese gráfica, que exige a

construção de um mecanismo diferente para cada parâmetro modificado.

Integrando o programa de síntese ao de análise desenvolvido por Saint Martin (2014),

implementou-se a análise cinemática e cinética para mecanismos de quatro-barras. Utilizando-

se as duas ferramentas conjuntamente, é possível detectar possíveis pontos de singularidade do

mecanismo, e rapidamente refazer o processo da síntese, de modo a obter novo mecanismo que

atenda às especificações de projeto.

Finalmente, propôs-se a otimização do coeficiente elástico da mola e do coeficiente de

amortecimento, buscando a minimização dos máximos das funções deslocamento, velocidade

ou aceleração da barra acopladora do mecanismo de quatro-barras simulado. O objetivo da

implementação de diferentes funções objetivo foi tornar o algoritmo o mais genérico possível,

e possibilitar ao projetista a variação das funções de acordo com a utilização desejada do

mecanismo. Ainda, consideraram-se como restrições aos problemas de otimização, uma faixa

do fator de amortecimento entre 0.2 e 0.4, o tempo de estabilização do sistema, e uma frequência

natural amortecida desejada constante e igual a 4 Hz (anexo A). Nota-se que, para as diferentes

otimizações, o tempo de estabilização e o pico de máximo do sistema são grandezas

inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o tempo de estabilização, menor o pico

140

máximo do sistema. O coeficiente de amortecimento é a variável com maior influência nas

curvas de resposta, de tal forma que o seu aumento resulta na redução do pico de máximo do

sistema e no tempo de estabilização. Por outro lado, o aumento no valor do coeficiente de

elasticidade da mola também resulta em redução dos picos de máximo, e possui maior

influência na variação das frequências naturais do sistema. Os valores ótimos para o coeficiente

elástico da mola e o coeficiente de amortecimento dependem das necessidades de projeto, tais

como aplicação, esforços aos quais o mecanismo é submetido, transmissibilidade de vibrações,

e o orçamento disponível.

Como sugestão para próximos trabalhos, citam-se a integração de outras metodologias de

síntese de mecanismos de quatro-barras, tornando possível também a implementação de

métodos com síntese de mecanismos tridimensionais.

141

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ANEXO A – NORMA ISO 2631

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