Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

6.a Aula: Relação entre a Equação de Estado e a Transformada de Laplace

Se A é uma matriz n x n , onde e b é um vetor coluna com n elementos,

a solução da equação (1):

.x Ax bu

2n

(1)

Com as condições iniciais (2):

0 0( )x x t

Será dada por (3):

(2)

(3)

Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais (Resposta Temporal)

0

( )0( ) ( )

tAt A tx t e x e bu d

Aplicação em Análise de Circuito1) Dado o circuito RLC série. Determine a corrente iL(t) no indutor e a tensão

vC(t) no capacitor. Condições iniciais são dadas:

Dados:

0 ( ) 111/ 44 / 3

S

S

S

S

V t VRL HC F

Condições iniciais:

i (0 ) 0

(0 ) 0.5L

Cv V

1. Equação de estado, calculada anteriormente:

.

1 10.

22

4 4 4( )

3 / 4 0 0x x

txx

2. Matriz de Transição, também calculada anteriormente:

3 3

3 3

` 0.5 1.5 2 23 3 1.5 0.58 8

t t t t

Att t t t

e e e ee

e e e e

3. Solução da equação com as condições iniciais dada:

4 43 / 4 0

A

4. Tem-se:

0

(0) 0(0) 1/ 2

L

C

ix

v

40

b

5. Calculando-se o primeiro termo da equação (3):

(3)

3 3

0 3 3

` 0.5 1.5 2 2 03 3 1/ 21.5 0.58 8

t t t t

Att t t t

e e e ee x

e e e e

0

( )0( ) ( )

tAt A tx t e x e bu d

6. Primeiro termo da equação (3):

3

0 30.75 0.25

t tAt

t t

e ee x

e e

6. Caculando-se a Integral (Int) do segundo termo da equação (5):

4 14

0 0b

0

( ) 3( ) ( ) 3( )

( ) 3( ) ( ) 3( )

` 0.5 1.5 2 2 143 3 01.5 0.5

8 8

t t t tt

t t t t

e e e eInt d

e e e e

7. Integral em relação a :

3

3

0.5 0.5 0.5 0.54 4

0.375 0.125 0.375 0.125

t t

t t

e eInt

e e

( ) 3( )

( ) 3( )0

0.5 0.54

0.375 0.125

tt t

t t

e eInt

e e

0

( ) 3( )

( ) 3( )

0.5 1.543 3

8 8

t tt

t t

e eInt d

e e

Substituindo-se os valores encontrados na equação (3) Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais:

31

32 1 0.75 0.25

t t

t t

x e ex e e

0

( )0( ) ( )

tAt A tx t e x e bu d (3)

3

3

0.5 0.54

0.25 0.375 0.125

t t

t t

e eInt

e e

3 31

3 32

0.5 0.54

0.75 0.25 0.25 0.375 0.125

t t t t

t t t t

x e e e ex e e e e

Assim sendo:

31

t tLx i e e

a) Corrente no indutor iL(t):

b) Tensão no capacitor vC(t):

32 1 0.75 0.25t t

Cx v e e

Outros valores podem ser computados, como por exemplo :

c) Tensão no indutor vL(t):

3 31 1 3( )4 4 4

t t t tLL

di dv L e e e edt dt

d) Use um script no MATLAB para determinar a curva da tensão no capacitor vC(t):

Solução:

e) Obter a curva de tensão anterior, no SIMULINK, utilizando o bloco

“State-Space”, o bloco de função “unit step” como entrada e o bloco

“Scope” para visualizar a forma de onda. Parametrizar o bloco “State-

Space” com:

:[ 4 -4; 3/4 0]B: [4 0]'

: [0 1]D: [0]Initial conditions: [0 0.5]

A

C

Solucao:

2) Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema. Onde u(t) é a funcao

degrau unitário ocorrendo t=0, ou u(t) = 1t.

.

1 1

.2

2

0 1 0[ ]

2 3 1x x

xx

Solucao:

0 12 3

A

01

B

Calculando a matriz de transicao de estado:

2 2

2 2

22 2 2

t t t tAt

t t t t

e e e ee

e e e e

A resposta á entrada degrau unitário é entao obtida como:

( ) 2( ) ( ) 2( )

0 ( ) 2( ) ( ) 2( )0

02( ) [1]

12 2 2

t t t t tAt

t t t t

e e e ex t e x d

e e e e

22 21 1

2 222 2

1 1( ) (0)22 2

( ) (0)2 2 2

t tt t t t

t t t tt t

x t x e ee e e ex t xe e e e e e

Ate

0

t

Se o estado inicial é zero, ou x(t) = 0. Entao, x(t) pode ser simplificado:

21

22

1 1( )2 2

( )

t t

t t

x t e ex t

e e

2.o Método da Computação da Matriz de Transição de Estado

Considere a equação de estado (1):

A matriz de estado pode ser computada a partir da Transformada Inversa

de Laplace.

Ate

.x Ax bu

Aplicando-se Laplace em ambos os lados da equação de estado dada:

( ) (0) ( ) ( )sX s x AX s bU s

( ) ( ) (0) ( )sI A X s x bU s

(1)

(5)

(6)

Multiplicando-se ambos os lados da equação por : 1( )sI A

1 1( ) ( ) (0) ( ) ( )X s sI A x sI A bU s

Comparando-se (7) com a Solução da Equação de Estado com

Condições Iniciais (3): :

(7)

(3)0

( )0( ) ( )

tAt A tx t e x e bu d

Por similaridade observa-se que o lado direito da equação (7) é a

Transformada de Laplace da Solução da Equação de Estado com

Condições Iniciais (3). :

Assim pode-se computar a matriz de transição de estado

diretamente da Transformada Inversa de : 1( )sI A

(8) 1 1( ) )Ate L sI A

Exercício:

1) Obtenha a matriz de transição de estado do sistema abaixo. Obtenha

também a inversa da matriz de transição de estado: .

1 1

.2

2

0 12 3

x xxx

Solucao:

0 12 3

A

1 1( )Ate L sI A

1 0 0 1 10 1 2 3 2 3

ssI A s

s

Como:

A inversa será dada por:

1 3 11( )2( 1)( 2)

ssI A

ss s

3 1( 1)(( 2) ( 1)( 2)

2( 1)( 2) ( 1)( 2)

ss s s s

ss s s s

A matriz de transicao será dada por:

2 2

2 2

22 2 2

t t t tAt

t t t t

e e e ee

e e e e

A inversa da matriz de transicao será :

2 2

2 2

22 2 2

t t t tAt

t t t t

e e e ee

e e e e