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Sistemas de numeraçãoç
Os números podem ter uma representaçãoOs números podem ter uma representação
simbólica, como no sistema romano, ou terem um
exadecimal
peso de acordo com a posição que ocupam, como
no sistema árabe, que usamos normalmente.tal\Base He
no sistema árabe, que usamos normalmente.
ria\Base Oct
Porque anatomicamente os seres humanos dispõem de 5
dedos, em cada mão, torna-se natural que a contagem
l\Base Biná
envolva 10 símbolos ou dígitos, ou seja, um sistema de
ã b dDecimal
numeração com uma base dez
Base D
Cada um dos símbolos de 0 a 9 representa umaCada um dos símbolos de 0 a 9 representa uma
certa quantidade. Com este dez dígitos, podemos
exadecimal
representar, utilizando dois ou mais dígitos,qualquer grandeza superior a nove. A posição de
tal\Base He
cada dígito no número diz-nos que grandezarepresenta.r
ia\Base Oct
p
Se, por exemplo, pretendemos representar a grandeza 53 usamos o dígito 5 paral
\Base Biná
grandeza 53, usamos o dígito 5 para representar a quantidade cinquenta e o dígito 3 para representar a quantidade trêsD
ecimal
para representar a quantidade três.
Base D
A posição de cada dígito num númeroA posição de cada dígito num númerodecimal indica a amplitude daquantidade representada e pode sere
xadecimal
quantidade representada e pode serdesignada por PESO.
tal\Base He
ria\Base Oct
Os pesos são potências de 10 e aumentam da
direita para a esquerda iniciando se em 100 = 1l\Base Biná
direita para a esquerda, iniciando-se em 10 = 1.
Decimal
Base D
O número decimal 286 podeO número decimal 286 pode representar-se numa expressão polinomial como se indica:e
xadecimal
polinomial, como se indica:
200 = 2 *102
tal\Base He
80 = 8 *101
6 = 6 *100ria\Base Oct
6 6 10
286 = 2*102 + 8*101 + 6*100 = N(10)
l\Base Biná
Decimal
Base D
No caso do número 12696 (10) é constituído pelaNo caso do número 12696 (10) é constituído pela
combinação de 5 algarismos. O primeiro seis
exadecimal
(mais à direita) não tem o mesmo valor do
segundo seis o que nos demonstra que o valor dotal\Base He
segundo seis, o que nos demonstra que o valor do
algarismo está relacionado directamente com a
ria\Base Oct
posição que ocupa
l\Base Biná
Demonstre como é obtido o número 12696 (10)
Decimal
Base D
Resolução: (Alternativa 1)
6 --- 6* 101-1 = 6 *1 6
Resolução: (Alternativa 1)
exadecimal
9 --- 9* 102-1 = 9 *10 90
tal\Base He
6 --- 6* 103-1 = 6 *100
2 --- 2* 104-1 = 2 *1000
600
2000ria\Base Oct
2 --- 2 10 2 1000
1 --- 1* 105-1 = 1 *10000
2000
10000
l\Base Biná
+
12696 (10)Decimal
696 (10)
Base D
Resolução: (Alternativa 2)Resolução: (Alternativa 2)Peso:(5) (4) (3) (2) (1)
exadecimal
Número: 1 2 6 9 6(10)
tal\Base He
= 1*105-1 + 2*104-1 + 6*103-1 + 9*102-1 + 6*101-1
=ria\Base Oct
== 1*104 + 2*103 + 6*102 + 9*101 + 6*100 =
= 1*10000 + 2*1000 + 6*100 + 9*10 + 6*1 =l\Base Biná
= 1*10000 + 2*1000 + 6*100 + 9*10 + 6*1 =
= 12696(10)
Decimal
Base D
O valor mais à direita e o menosO valor mais à direita e o menossignificativo ( LSD – Least Significant
exadecimal
Digit) e tem peso 1.
tal\Base He
O valor mais à esquerda é o mais
ria\Base Oct
significativo ( MSD – Most Significant
Di it) t d ú d dí itl\Base Biná
Digit) e tem peso do número de dígitos
que constitui o algarismo.
Decimal
q g
Base D
Exemplo:Exemplo:
Para um número inteiro
exadecimal
198710 = 1*103 + 9 *102 + 8*101 + 7*100
tal\Base He
Em relação ao seu peso:
ria\Base Oct
1987100 1
1987
l\Base Biná
101
102
103
101001000
Decimal
MSD LSD
Base D
Exemplo:Exemplo:
Para um número fraccionário
exadecimal
1987,6510 = 1*103 + 9 *102 + 8*101 + 7*100 + 6*10 -1 + 5*10-2
tal\Base He
Em relação ao seu peso:
ria\Base Oct
1987,65100
10-1
10-2
10,1
0,01
l\Base Biná
101
102
103
101001000
Decimal
Base D
1987,65
exadecimal
MSDtal\Base He
MSDLSD
O dígito mais à direita na parte fraccionária de número éria\Base Oct
O dígito mais à direita na parte fraccionária de número éo LSD – Menos significante dígito
l\Base Biná
O dígito mais à esquerda na parte fraccionária denúmero é o MSD – Mais significante dígito
Decimal
Base D
Sistema BinárioTal como o sistema decimal, trata-se de umsistema pesado, isto é, onde cada dígitocomparticipa na formação do número com umx
adecimal
p p çpeso, determinado pela posição que ocupa nonúmero.a
l\Base Hex
ú e o
ia\Base Oct
Binári
A diferença é que agora apenas existem dois dígitos: o 0 e o 1. Os dígitos nos números
al\Base
binários são vulgarmente chamados de bits (Binary Digits). Ao agrupamento de oito bits h B t
Base Decim chama-se Byte
Para melhor percebemos a formação dos números neste sistema
vejamos previamente como se efectua a contagem em decimal:xadecimal
C 0 d f
al\Base Hex
Começamos em 0 e contamos de forma crescente
até 9; então recomeçamos, agora com um 1 à
ia\Base Oct
esquerda, e obtemos o 10, 11 … até 99. Esgotadas
que estão todas as combinações com dois dígitos Binári
que estão todas as combinações com dois dígitos,
torna-se necessário um terceiro, para se efectuar a
t d 100 999 i di tal\Base
contagem de 100 a 999 e assim por diante
Base Decim
Uma situação análoga acontece neste sistema binário.
I i i t 0 1 C t dí itxadecimal
Iniciamos a contagem 0,1. Como se esgotaram os dígitosúnicos, inclui-se um segundo dígito (à esquerda) e continua-sea contar 10, 11.
al\Base Hex
Como se esgotaram as combinações possíveis comdois dígitos necessitamos de um terceiro. A contagem
ia\Base Oct
g gcontinua, 100, 101, 110 e 111.
N it í d t dí it ti Binári
Necessitaríamos agora de um quarto dígito para continuara contagem e assim sucessivamente
al\Base
Base Decim
Uma maneira fácil de recordarmos o modo de escrever uma sequencia de números em binário, por exemplo, para cinco dígitos, é a seguinte:
xadecimal
1 – A posição mais à direita do número começa com um zero e muda
al\Base Hex
por cada número
2 – A posição seguinte começa com dois zeros e muda por cada dois númerosi
a\Base Oct
números.
3 – A posição seguinte começa com quatro zeros e muda por cada quatro números.
Binári
q
4 – A posição seguinte começa com oito zeros e muda por cada oito números.5 A i ã i t d i d da
l\Base
5 – A posição seguinte começa com dezasseis zeros e muda por cada dezasseis números.
Base Decim
Exercícios
Construa a tabela binária até 50Construa a tabela binária até 50
xadecimal
al\Base Hex
ia\Base Oct
Binári
al\Base
Base Decim
Conversão binário decimal
Para exprimirmos no seu equivalentePara exprimirmos no seu equivalentedecimal uma determinada grandezabinária basta multiplicar cada bit pelo seux
adecimal
binária, basta multiplicar cada bit pelo seupeso e adicionar os respectivos produtos.
al\Base Hex
ia\Base Oct
O bit da direita é o menos significativo (LSD) e temum peso de 20 = 1 para os números inteiros,
Binári
aumentando o peso da direita para a esquerda, empotências de dois por cada bit.
al\Base
Base Decim
Converter o número binário 110101 emConverter o número binário 110101 em decimal.
xadecimal
Peso Binário 25 24 23 22 21 20
al\Base Hex
Valor do Peso 32 16 8 4 21i
a\Base Oct
Número Binário 1 1 0 1 0 11
Binári
=1 *32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 =
=32 + 16 + 0 + 4 + 0 +1 =al\Base
32 16 0 4 0 1 =5310
Base Decim
Converter o número binário 100101,11 em decimal.Converter o número binário 100101,11 em decimal.100101,112 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2 1 1*2 2x
adecimal
1*2-1 + 1*2-2
Em relação ao seu peso:
al\Base Hex
100101,112-2 = 0,25i
a\Base Oct
,2-1 = 0,5
20 = 121 = 2 22 = 4
Binári
2 423= 8
24 = 1625 = 32a
l\Base
Base Decim
Um valor frequentemente utilizado em binário é o 1024 Trata-seUm valor frequentemente utilizado em binário é o 1024. Trata se
de 210 , que, por ser o valor mais próximo de 1000, foi
xadecimal
designado por K (Kilo).
Assim 1 Kbit = 1024 bitsal\Base Hex
Assim 1 Kbit 1024 bits.
ia\Base Oct
Binári
al\Base
Base Decim
Sistema Octal
Na base octal cada dígito equivale a um númeroNa base octal, cada dígito equivale a um número
com 3 dígitos. A base octal utiliza oito algarismos
xadecimal
ou dígitos:
al\Base Hex
0,1,2,3,4,5,6,7
10 11 12 13 14 15 16ia\Base Oct
10,11,12,13,14,15,16,17
Binári
Neste sistema também se diz que cada dígito tem um valor posicional
al\Base
Base Decim
Para obtermos o equivalente decimal do númeroPara obtermos o equivalente decimal do número1234 na base octal temos que executar asseguintes operações:
12348 = 1*83 + 2*82 + 3*81 + 4*80
Em relação ao seu peso:
123480 1
82
83
864512
81
P ú f i á iPara um número fraccionário
1234 56 = 1*83 + 2 *82 + 3*81 + 4*80 + 5*8 -1 + 6*8-21234,568 = 1 8 + 2 8 + 3 8 + 4 8 + 5 8 + 6 8
Em relação ao seu peso:ç p
1234,5680
8-2
10,125
0,015625
8-1
81
82
83
64512
8
Exemplo: Converter o número 43701(8) em decimal.
Peso:(5) (4) (3) (2) (1)
Número: 4 3 7 0 1(8)
= 4*85-1 + 3*84-1 + 7*83-1 + 0*82-1 + 1*81-1 =
= 4*84 + 3*83 + 7*82 + 0*81 + 1*80 =
= 16384 + 1536 + 448 + 0 + 1 == 16384 + 1536 + 448 + 0 + 1 =
= 18369(10)
Sistema Hexadecimal
A base hexadecimal tem mais vantagens que aA base hexadecimal tem mais vantagens que a octal, pois representa um número com grande
tid d d bit f i lquantidade de bits, numa forma simples e reduzida, por exemplo:
O número binário 1001110100110110(2) = 9D36(16)
A letra “D” não é
engano do Professor
Como a base hexadecimal é formada por 16pelementos e como a base decimal só possui até10 elementos os restantes 6 elementos são10 elementos, os restantes 6 elementos sãorepresentados pelas 6 primeiras letras do nossolf b t (A B C D E F)alfabeto (A, B, C, D, E, F).
E como se conta em Hexadecimal depois de se alcançar o F?alcançar o F?
Do mesmo modo que nos outros sistemasDo mesmo modo que nos outros sistemas estudados, iniciamos a nova coluna em:
10,11,12,13,14,15,16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F
20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,2A,2B,2C,2D,2E,2F
Exemplo: Converter o número 9D36(16) em decimal
Peso:(4) (3) (2) (1)
Número: 9 D 3 6(16)
= 9*164-1 + 13*163-1 + 3*162-1 + 6*161-1 =
= 9*163 + 13*162 + 3*161 + 6*160 =
= 36864 + 3328 + 48 + 6 == 36864 + 3328 + 48 + 6 =
= 40246(10)
Para obtermos o equivalente decimal do número1234 na base hexadecimal temos que executaras seguintes operações:
123416 = 1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160
1234160 1
163
2564096
161
162
16
P ú f i á iPara um número fraccionário
1234 56 = 1*163 + 2 *162 + 3*161 + 4*160 + 5*16 -1 + 6*16-21234,5616 = 1 16 + 2 16 + 3 16 + 4 16 + 5 16 + 6 16
Em relação ao seu peso:ç p
1234,5616-2
10,0625
0,003926525
16-1
160
161
162
163
25616
4096
Após termos feito uma apresentação destas
quatro bases de numeração e a respectiva
conversão de cada base para decimalconversão de cada base para decimal,
apresentamos uma tabela com a equivalência
entre as quatro bases de numeração
Até este ponto, estivemos a analisar a conversão das quatrop , q
bases para a base decimal, mas é possível fazer a
conversão inversa da base decimal para cada uma dasconversão inversa, da base decimal para cada uma das
outras três bases, e directa entre as restantes bases.
Binária
Decimal
Octal Hexadecimal
Conversão binária – hexadecimal e vice versavice-versa
O método utilizado aproveita o princípioO método utilizado aproveita o princípiode que para escrever um dígito emhexadecimal chegam 4 dígitos em bináriohexadecimal chegam 4 dígitos em binário(4 bit), dada a relação entre as basesrespectivas ser a potência de 4, isto é, 16= 24.
Por exemplo dado o número 1101101(2) podemosPor exemplo, dado o número 1101101(2), podemos
efectuar a seguinte conversão:
11010110
1*2(4 1) 1*2(3 1) 0*2(2 1) 1*2(11*2(4-1) + 1*2(3-1) + 0*2(2-1) + 1*2(1-
1) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20
0*2(4-1) + 1*2(3-1) + 1*2(2-1) + 0*2(1-
= 13 (D)
0*2(4 1) + 1*2(3 1) + 1*2(2 1) + 0*2(1
1) = 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20
6= 6
=6D=6D
Fazendo a operação inversa, partindo do número, na base hexadecimal, 24A8(16)
2 A4 8
1000
Hexadecimal
01001010
0010Binário
24A8 (16) = 10010010101000(2)
Conversão octal – hexadecimal e vice-versaversa
O ét d tili é ãO método que vamos utilizar é a conversão
da base octal para binário e de seguida dada base octal para binário e de seguida da
base binária para a hexadecimalbase binária para a hexadecimal
No caso do número 1726(8), vamos separar cada dígito
O segundo passo é realizar a conversão deO segundo passo é realizar a conversão de
binário para hexadecimal. O processo utilizado
é o agrupamento de 4 dígitos e fazer a
correspondência a cada conjunto de 4 bit ocorrespondência a cada conjunto de 4 bit o
valor em hexadecimal.
0011 1101 0110 binário
3 D 6hexadecimal3 D 6