1

Sistemas Dicotmicos

- INTRODUO

O mundo em que vivemos apresenta situaes com dois estados apenas, que mutuamente se excluem algumas das quais tabelamos a seguir:

1 0 Sim No Dia Noite Preto Branco Ligado Desligado

H situaes como morno e tpido, diferentes tonalidades de vermelho etc. que no se apresentam como estritamente dicotmicas, ou seja, com dois estados excludentes bem definidos.

A Lgica comeou a desenvolver-se com Aristteles (384-322 a.C.) e os antigos filsofos gregos passaram a usar em suas discusses sentenas enunciadas nas formas afirmativa e negativa, resultando assim grande simplificao e clareza, com efeito de grande valia em toda a Matemtica. Por volta de 1666, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) usou em vrios trabalhos o que chamou calculus ratiotinator ou logica mathematica ou logstica. Estas idias nunca foram teorizadas por Leibniz, porm seus escritos trazem a idia da Lgica Matemtica.

No sculo XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a representao grfica das relaes entre sentenas ou proposies, mais tarde ampliada por John Venn (1834-1923). E. W. Veitch em 1952 e M. Karnaugh em 1953. Em 1847, Augustus DeMorgan (1806-1871) publicou um tratado Formallogic envolvendo-se em discusso pblica com o filsofo escocs William Hamilton (que nada tinha a ver com o matemtico William Rowan Hamilton). conhecido por sua averso Matemtica, o qual, entre outras coisas escreveu: "A Matemtica congela e embota a mente; um excessivo estudo da Matemtica incapacita a mente para as energias que a filosofia e a vida requerem." George Boole (1815-1864), ligado pela amizade a DeMorgan, interessou-se pelo debate entre o filsofo e o matemtico, escrevendo The mathematical analysis of logic (1848) em defesa de seu amigo; mais tarde

2

publicou um livro sobre lgebra de Boole, chamado An investigation of the laws of thought (1854) e em 1859 escreveu Treatise on differential equations no qual discutiu o mtodo simblico geral. O trabalho de George Boole foi ampliado por Lewis Carrol (1896), Whitehead (1898), Huntington (1904 e 1933), Sheffer (1913) e outros. Este perodo de desenvolvimento da Lgica culminou com a publicao do Principia mathematica por Alfred North-Whitehead (1861-1947) e Bertrand Russell (1872-1970), que representou grande ajuda para completar o programa sugerido por Leibniz, que visava dar uma base lgica para toda a Matemtica.

A lgebra de Boole, embora existindo h mais de cem anos, no teve qualquer utilizao prtica at 1937, quando foi feita a primeira aplicao anlise de circuitos de rels por A. Nakashima, que no foi bem-sucedido, pois, ao invs de desenvolver a teoria j existente, tentou desenvolver a lgebra Booleana por conceitos prprios. Em 1938 Claude E. Shannon mostrou, em sua tese de mestrado no Departamento de Engenharia Eltrica do MIT (Massachusetts Institute of Technology), a aplicao da lgebra de Boole na anlise de circuitos de rels, usando-a com rara elegncia, o que serviu de base para o desenvolvimento da teoria dos interruptores.

O assunto deste curso, ainda que elementar, visa mostrar as aplicaes da lgebra de Boole ou lgebra Lgica no s no processamento automtico de dados (computao), como tambm na automatizao da produo industrial, mediante a utilizao desta teoria aplicada aos fluidos.

- INTERRUPTORES

Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito eltrico, que pode assumir um dos dois estados: fechado (1) ou aberto (0). Quando fechado, o interruptor permite que a corrente passe atravs do ponto, enquanto aberto nenhuma corrente pode passar pelo ponto.

3

Representao:

Neste caso, somente conheceremos o estado do interruptor se tivermos a indicao de que a = 1 ou a = 0. Conhecendo-se o estado de um interruptor a, poderemos denotar tambm por a qualquer outro interruptor que apresente o mesmo estado de a, isto , aberto quando a est aberto e fechado quando a est fechado.

Um interruptor aberto quando a est fechado e fechado quando a est aberto chama-se complemento (inverso ou negao) de a, e denota-se por a'. Sejam a e b dois interruptores ligados em paralelo. Numa ligao em paralelo, s passar corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado, isto , apresentar o estado 1.

- PROJETO DE CIRCUITOS

A analogia existente entre a lgebra das proposies e as chaves eltricas ser vista a seguir. Considere os circuitos abaixo. Em cada caso, quando que a lmpada ficar acesa?

4

Sejam (A) e (B) interruptores eltricos. No caso (a) a lmpada s ficar acesa no caso dos dois interruptores (A) e (B) estarem ligados.

No caso (b) a lmpada ficar acesa se pelo menos um dos interruptores (A) ou (B) estiver ligado.

Portanto, A B designa um circuito ligado em srie e A B designa um circuito ligado em paralelo.

Designando por A um interruptor com a propriedade de estar desligado quando o interruptor A est ligado e vice-versa, teramos o circuito equivalente ao da lgebra das proposies. Um circuito eltrico significa, portanto, um arranjo de fios e interruptores que pode ser montado com o uso repetitivo de combinaes em srie e paralelo.

5

EXERCCIOS

1 Descreva os circuitos abaixo usando expresses:

2 Construa um circuito correspondente s expresses:

a) ( ) ( )[ ]BABABA b) ( ) ( )CBACBA