Sistemas Realimentados Projeto de Sistemas de Controle no Espaço de Estados

Sistemas Realimentados

Projeto de Sistemas de Controle no Espaço de Estados

Conteúdo

• Sistemas Reguladores e Sistemas de Controle• Projeto por Alocação de Polos;• Projeto de Servosistemas.

Sistemas Reguladores e Sistemas de Controle

Sistemas Reguladores: são sistemas onde o sinal de referência é constante, incluindo o zero.

Sistemas Controle: são sistemas onde o sinal de referência varia com o tempo.

Projeto Por Alocação de Polos

• Em projetos convencionais, alocamos apenas os pólos de malha-fechada dominantes;

• Nesta abordagem moderna, todos os polos de malha-fechada são alocadas;

• Condição necessária: O sistema original tem que ser de estado completamente controlável.


Considere o sistema de controle

Escolheremos o sinal de controle

Logo, o sinal de controle é determinado por um estado instantâneo.

Este esquema é denominado realimentação de estado.

A matriz K de ordem 1xn é denominada matriz de ganho de realimentação de estado.


Sistema Regulador!


Características do Sistema Regulador: Sistema de malha-fechada sem entradas; Equivalente a entradas de referência nulas; Objetivo de manter a saída nula; Distúrbios podem tornar a saída não-nula.


Substituindo a entrada de controle na equação do sistema de controle

temos:

Cuja solução é

onde x(0) é o estado inicial causado pelos distúrbios externos.


Logo, considerando a solução

A estabilidade e as características temporais do sistema são determinadas pelos autorvalores da matriz A-BK.

Logo, se a matriz K for corretamente escolhida, então a matriz A-BK poderá ser assintoticamente estável e, para todo x(0)≠0, será possível fazer x(t) tender a 0, à medida que t tende a infinito.


Condição necessária para alocação de polos

Sistema original deve ser de estado completamente controlável (prova apresentada no livro).


Determinação da matriz K através da matriz de transformação T

Suponha que o sistema seja definido por

e que o sinal de controle seja definido por

Então, a matriz de ganho K de realimentação que força os autovalores de A-BK a serem valores desejados pode ser determinada como segue:


Determinação da matriz K através da matriz de transformação T

Etapa 1) Verifique se o sistema é de estado completamente controlável;

Etapa 2) Determinar os coeficientes ai da equação característica


Determinação da matriz K através da matriz de transformação TEtapa 3) Determinar a matriz de transformação T que transforma a equação de estado do sistema na forma canônica controlável

Onde é a matriz de controlabilidade e


Determinação da matriz K através da matriz de transformação TEtapa 4) Com os autovalores desejados, escreva o polinômio característico desejado

e determine os αi.

Etapa 5)


Determinação da matriz K por substituição direta

Indicada para sistemas de baixa ordem (n≤3).

No caso de n=3, então

Logo

onde ambos os lados da equação são polinômios em s.


Exemplo 1: Considere o sistema regulador da figura abaixo, cuja planta é dada por

Onde

e

Desejamos que os polos

de malha-fechada sejam:

K=?


Solução: Primeiro precisamos verificar se o sistema é de estado completamente controlável.

Como |M|=-1, então o posto de M é igual a 3. Logo, o sistema é de estado completamente controlável e a alocação arbitrária de polos é possível.


Solução: Vamos aplicar os dois métodos apresentados para a determinação de K.

Método 1)


Método 1)

Logo, a equação característica desejada é

De modo que

Como

onde T=I para este caso, uma vez que a equação de estado é fornecida na forma canônica controlável.


Método 1) Então


Método 2) Definimos a matriz de ganho desejado

Equação característica desejada.


Método 2)

Logo

Projeto de Servossistemas

Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador

Suponha que a planta seja definida por

E um controle por realimentação de estado dado por




Logo

Supondo que a entrada de referência é uma função degrau, então

u



Definindo

Então, a dinâmica do erro é dada por

Logo, se o sistema for de estado completamente controlável, então poderemos definir autovalores desejados da matriz A-BK através da técnica de alocação de pólos.



No regime permanente (t=∞), temos que

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