Soldado PM- - Solução e Comentários

8/20/2019 Soldado PM- - Solução e Comentários

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Prova da Polícia Militar – CE 2012 – (CESPE)

Solução e Comentários de Matemática e Raciocínio Lógico – Professor Valdenilson

Caderno de Questões Tipo I

O batalhão de polícia militar de uma cidade constituída dos bairros B1, B2 e B3 será dividido em três

pelotões distintos de modo que cada um fique responsável pelo policiamento ostensivo de um desses bairros. As

populações

dos

bairros

B1,

B2

e

B3

são,

respectivamente,

iguais

a

60.000,

66.000

e

74.000

pessoas;

o

batalhão possui um efetivo de 4.000 militares dos quais 300 trabalham exclusivamente em uma central única de comunicação

e inteligência, não caracterizando atividade policial ostensiva; e todos os militares do batalhão residem na cidade.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.

41. Se todos os militares da central única de comunicação e inteligência trabalham com a mesma eficiência e se 5

deles atendem a 30 chamadas telefônicas a cada duas horas, então, para o atendimento de 36 chamadas a cada

hora, são necessários mais de 15 militares.

42. Se as quantidades de policiais do sexo feminino em cada um dos três pelotões são números que satisfazem à

inequação

2 520 64.000 0 x x− + < , então, no batalhão, há mais de 600 policiais do sexo feminino.

Solução:

Este item é sobre regra de três relacionando as seguintes grandezas:

Número de militares : que representaremos por nº

de

militares

Chamadas telefônicas: que representaremos por nº

de

chamadas

Horas: que representaremos por nº de horas

Seja x o número de militares necessários para atender 36 chamadas a cada hora.

Assim temos o seguinte diagrama:

nº de militares nº de chamadas nº de horas

5 30 2

36 1 x

↑ ↑ ↓

Analisando o comportamento das grandezas percebemos que nº de pessoas e nº de horas são inversamente

proporcionais, temos que inverter os resultados da coluna nº de horas e resolver a regra de três composta.

nº de militares nº de chamadas nº de horas5 36 2 1 0

5 30 130

36 2

x

x

× ×↑ ↑ ↑ ⇒ = =

36

3 0

× 3612

3 x= ⇒ =

São necessários apenas 12 militares, ou seja, a quantidade de militares não é mais de 15 militares.

Item Errado.

Solução:

Este item é sobre inequação do 2º grau. Vamos primeiramente encontrar os zeros, se existirem, da

função do 2º grau

2 520 64.000 y x x= − + ; para isso basta resolver a equação

2 520 64.000 0 x x− + =

cujos coeficientes são 1a = , 520b = − e 64000c = .

Sendo assim, estamos procurando dois números cuja soma é

520S = e cujo produto é 64000P = .

Tais números

são:

200

e 320 ,

pois

200 320 520+ =

e 200 320 64000× = .

Como 1 0a a= ⇒ >

, o que significa que a concavidade da parábola que representa graficamente a função

2 520 64.000 y x x= − + é voltada para cima, conforme a figura abaixo:



43. Considere que, em determinada manifestação política nessa cidade, os organizadores tenham estimado a

presença de 12.000 pessoas e a polícia militar tenha estimado a presença de 4.500 pessoas. Nessa situação, se a

estimativa da polícia correspondeu a 90% da quantidade de pessoas presentes à manifestação, então, para os

organizadores, a quantidade dos que faltaram à manifestação corresponde a mais de 150% dos presentes.

Como a inequação é

2 520 64.000 0 x x− + < , estamos à procura dos valores de x

para os quais é

2 520 64.000 y x x= − + é menor que zero, ou seja, onde y é negativa.

Olhando para o esboço do gráfico acima concluímos que

2 520 64.000 0 x x− + <

para todo

/ 200 320 x x∈ < < .

Sejam M , N e P os números de policiais do sexo feminino nos três pelotões, então satisfazem à

inequação

2 520 64.000 0 x x− + < , portanto podemos afirmar que 200 M > , 200 N >

e 200P > .

Se 200 M > , 200 N >

e 200P > ,então 200 200 200 600 M N P M N P+ + > + + ⇒ + + > .

Portanto, neste batalhão, há mais de 600 policiais do sexo feminino.

Item

Correto.

Solução:

Este item é de porcentagem.

Seja x

a quantidade de pessoas presentes à manifestação.

A polícia

estimou

4500

pessoas

e essa

estimativa

correspondeu

a 90%

da

quantidade

de

pessoas

presentes,

ou seja, 90% de 4500 x = . Resolvendo essa equação porcentagem temos:

% nº de pessoas450 0

90 4500

100

x

x

=↑ ↑ ⇒100

9 0

×

5

45=

0 100

9

×50 100 5000

1

x= × ⇒ =

Logo tivemos 5000 pessoas presentes na manifestação:

Os organizadores estimaram a presença de 12000 pessoas, ou seja, em sua estimativa o nº de faltosos é dado

por: 12000 5000 7000− = .

Seja p

o percentual de faltosos em relação ao número de presentes. Então temos:

% nº de pessoas7 00

100 5000

7000

p

p

⇒ =↑ ↑100

5 00

×

2

7 10×=

0

57 20 140

1

p= × ⇒ =

A quantidade de faltosos corresponde a 140%, ou seja, a quantidade dos que faltaram à manifestação

não corresponde a mais de 150% dos presentes.

Item Errado.



44. Considere que uma viatura policial adquirida por R$ 80.000,00 se desvalorize à taxa composta de 5% ao ano.

Nesse caso, considerando‐se 0,6 como valor aproximado para 0,9510, é correto afirmar que, 10 anos após a compra,

a viatura valerá menos de R$ 45.000,00.

45. Se o efetivo for dividido de forma diretamente proporcional às quantidades de habitantes dos bairros, então

mais de 1.200 militares ficarão responsáveis pelo policiamento ostensivo do bairro B2.

Acerca da

proposição

R :

“A

população

aprende

a votar

ou

haverá

novos

atos

de

corrupção”,

julgue

os

itens

seguintes.

46. A proposição “Enquanto a população não aprender a votar, haverá novos casos de corrupção” tem o mesmo

valor lógico da proposição R .

Solução:

Estamos diante de uma questão de desconto composto onde devemos calcular o valor atual da

viatura 10 anos após a compra, sabendo que a mesma se desvaloriza à taxa composta de 5% ao ano.

O problema

sugere

ainda

a seguinte

igualdade

100,95 0, 6= .

As variáveis do exercício são:

Taxa composta anual: 5% a.a.i =

período de desvalorização em anos: 10 anosn =

valor nominal na data da compra: 80000 N =

valor atual: ? A =

Para calcular o valor atual para o desconto comercial composto temos a seguinte relação:

10 10 10

0, 6

(1 ) 80000 (1 5%) 80000 (1 0, 05) 80000 (0,95)

80000 ( 0, 6 ) 8000 6 48000

n A N i

A A

= × − = × − = × − = ×

⇒ = × = × ⇒ =

O valor da viatura após 10 anos de desvalorização é R$ 48.000,00, ou seja, esta viatura não valerá

menos de R$ 45.000,00.

Item Errado.

Solução:

Este item exige conhecimentos de divisão proporcional.

Segundo o texto as populações dos bairros B1, B2 e B3 são, respectivamente, iguais a 60.000, 66.000

e 74.000 pessoas e o batalhão possui um efetivo de 4.000 militares.

Como o efetivo será dividido de forma diretamente proporcional às quantidades de habitantes dos

bairros, então vamos calcular o valor da constante proporcional K .

4000 4 000

60000 66000 74000K = =

+ + 200 000

4 1

200 50= =

Seja x a quantidade de militares no bairro B2; Calculando o valor de x temos:

n º d e p es so as e m B 2

1 6600 066000

50

K

x = × =

5 01320 x⇒ =

Portanto mais de 1.200 militares ficarão responsáveis pelo policiamento ostensivo do bairro B2.

Item

Correto.



47. Se P e Q forem, respectivamente, as proposições “A população aprende a votar” e “Haverá novos atos de

corrupção”, então a proposição R estará corretamente assim simbolizada: P Q∧ .

Solução:

Este item trata de equivalência lógica.

A proposição R é uma proposição composta que podemos escrever como a disjunção inclusiva de

duas simples, veja:

A população aprende a votar haverá novos atos de corrupçãoR

A Bou

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sendo assim, podemos dizer que R A Bou= , onde:

A: , B:A população aprende a votar haverá novos atos de corrupção

Agora vamos analisar a proposição “Enquanto a população não aprender a votar, haverá novos casos

de corrupção”.

Vamos chamar esta proposição de S e escrevê‐la também como duas simples.

a população não aprender a votar haverá novos casosEnqu

de cS , .

A

orru

Banto

pção=

¬

Que conectivo

está

sendo

usado

nesta

proposição?

É

o

condicional.

A proposição S

afirma que A população não aprender a votar

é uma condição suficiente para

haverá novos atos de corrupção .

Sendo assim, podemos dizer que Se entS A Bão= ¬ .

A equivalências imediatas do condicional são:

CONTRAPOSITIVA

Se entã1 - ( P Q ) ( Q P ) , 2 - ( P Q) ( P Qo Se então Se ent ou )ão= ¬ ¬ = ¬

Vamos utilizar a regra de equivalência 2 em S .

S A B S ( A) B S ASe então o B S R u ou= ¬ ⇒ = ¬ ¬ ⇒ = ⇒ =

Portanto a proposição “Enquanto

a

população

não

aprender

a

votar,

haverá

novos

casos

de

corrupção” tem o mesmo valor lógico da proposição R , visto que elas são equivalentes.

Item

Correto.

Solução:

Já vimos no item anterior que a proposição R é uma proposição composta que pode ser escrita da

seguinte forma:

A população aprende a votar haverá novos atos de corrupçãoR

P Qou

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sendo assim, podemos dizer que R P Qou= , onde:

P: , Q:A população aprende a votar haverá novos atos de corrupção

O símbolo P Q∧

significa a conjunção de P e Q , ou seja P Q P Qe∧ = , enquanto R significa a

disjunção inclusiva

P ou Q .

Portanto R não pode ser representada corretamente pelo símbolo P Q∧ .

Item Errado.



Para o policiamento ostensivo e ininterrupto de uma cidade, o comando local estabeleceu a escala de 24

horas de plantão por 48 horas de folga para cada policial local e, em cada plantão, por razões de segurança,

determinou que nenhum policial poderá trabalhar sozinho.

Com base nas informações da situação hipotética acima apresentada, julgue os itens que se seguem.

48. Caso o comando local disponha de 12 policiais e 4 deles devam estar de plantão a cada dia, então, nesse caso,

haverá mais de 500 maneiras distintas de se escolher a equipe que trabalhará no primeiro dia.

49. Para

que

a escala

atenda

ao

estabelecido,

o comando

local

necessita

de,

pelo

menos,

6 policiais.

Solução:

Problema de Análise Combinatória, devemos escolher 4 policiais dentre 12 disponíveis para compor a

escala de plantão no 1º dia.

Temos que tomar 4 decisões, abaixo segue o nº modos de tomar cada decisão:

1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão

12 11 10 9 importa a ordem? resposta nã: o

Então se trata de um problema de combinação, onde devemos fazer um ajuste após utilizar o

princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima. Veja:

1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão

5

12 11 10 9 12nº de combinações

4 3 2 1= × × × =

11 10× × 9

4

×

3× 2×11 5 9 495

1

1

= × × =×

Portanto o comando tem apenas 495 maneiras distintas de escolher a equipe do 1º dia, ou seja, não

haverá mais de 500 maneiras distintas de se escolher a equipe que trabalhará no primeiro dia.

Item Errado.

Solução:

Como no enunciado é declarado o quantificador “pelo menos”, vamos procurar o menor número de

policiais que atenda as seguintes exigências do texto:

1 – escala de 24 horas de plantão por 48 horas de folga para cada policial local;

2 – nenhum policial poderá trabalhar sozinho;

Agora vamos imaginar a pior situação possível para compor a escala de plantão obedecendo as

restrições listadas acima.

Para o 1º dia tenho que ter 2 policiais de plantão; digamos que sejam os policiais A e B, assim temos o

seguinte diagrama representativo.

1ª dia 2ª dia 3ª dia 4ª dia

A , B

Para o 2º dia tenho que ter 2 policiais de plantão que não sejam A ou B, pois estes devem folgar 48

horas, ou seja, 2 dias, digamos que sejam os policiais C e D, assim temos o seguinte diagrama representativo.


A , B C , D

Para o 2º dia tenho que ter 2 policiais de plantão que não sejam A ou B ou C ou D, pois neste

momento nenhum deles folgou as 48 horas previstas, digamos que sejam os policiais E e F, assim temos o

seguinte diagrama representativo.



50. Considere que, entre os 12 policiais do comando local, sejam sorteados dois prêmios distintos e que um mesmo

policial não receba os dois prêmios. Nesse caso, existem mais de 100 maneiras distintas de se distribuírem esses

prêmios.

Gabarito

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

E C E E C C E E C C

Solução:

Problema de Análise Combinatória, devemos escolher 2 policiais dentre 12 disponíveis para

receberem 2 prêmios distintos.

Temos que

tomar

2 decisões,

abaixo

segue

o

nº

modos

de

tomar

cada

decisão:

1ª prêmio 2ª prêmio

12 11 importa a ordem? resposta i: ms

Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no

diagrama de decisões acima. Veja:

nº de arranjos 12 11 132= × =

Portanto existem mais de 100 maneiras distintas de se distribuírem esses prêmios.

Item

Correto.


A , B C , D E , F

Notemos que 6 é o número mínimo de policiais necessários para as exigências do problema.

Portanto para que a escala atenda ao estabelecido, o comando local necessita de, pelo menos, 6

policiais.

Item

Correto.

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