Solido em Revolução

Ensino Superior

4. Volume de Slidos Integral Simples

Amintas Paiva Afonso

Clculo 2

Slidos de Revoluo

Slidos de Revoluo

Para isso usaremos ainda sees transversais e tomaremos como eixo orientado o eixode rotao (a reta r).

Introduo:
Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma regio R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o slido de revoluo gerado pela rotao da regio R em torno da reta r.
a

Volume de Slidos

Volume de um slido quando conhecida a rea de qualquer seco transversal.

Exemplo 1:

Usando o Clculo Integral, mostre que o volume de uma pirmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirmide

Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular base da pirmide reta, passando pelo centro, temos:

Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a seco obtida um quadrado, paralelo base, cuja rea (2x)2.

Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhana de tringulos, podemos escrever:

e da

Volume de Slidos

2x

Volume de Slidos

Exemplo 1:

Logo, o volume da pirmide dado por:

e da

Exemplo 2:

Usando o Clculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base um crculo de raio r, V = r2h.

Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular base do cilindro, temos:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a seco obtida um crculo, paralelo base, cuja rea r2.

Logo, o volume do cilindro dado por:

Volume de Slidos

h

Slidos de Revoluo

Exemplo 3: Considere a regio delimitada por , o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O slido originado uma esfera de raio a. Mostre que seu volume .

O volume da esfera gerada :

Slidos de Revoluo

Exemplo 3:

Exemplo 4:

Usando o Clculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base um crculo de raio r, V = r2h/3.

Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vrtice do cone e o eixo x seja perpendicular base do cone, temos:

Volume de Slidos

Exemplo 4:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a seco obtida um crculo, paralelo base, cuja rea y2.


Volume de Slidos

e da

ou seja, a rea de cada seco transversal .

Logo, o volume do cilindro dado por:

Slidos de Revoluo

Exemplo 5: Seja o tringulo R, dado na figura abaixo. Calcular o volume do cone gerado pela rotao de R em torno do eixo OY.

Para cada y [0,1] a seo transversal ao eixo OY um crculo gerado pela rotao do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui rea A = x2 e o volume do cone igual a:

Usando semelhana de tringulos temos:

Portanto:

Slidos de Revoluo

Exemplo 6: Seja a regio R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do slido obtido com a rotao de R em torno do eixo de OX.

A interseco da curva com o eixo OX dada por:-x2 + 1 = 0.:x2 = 1.: x = 1.

Para cadax [-1, 1] a seo transversal ao eixo OX um crculo gerado pela rotao do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui rea A = y2 e o volume do slido igual a:

Portanto:

y

Slidos de Revoluo

Exemplo 7: Seja a regio R do plano limitada pelo eixo OY e pelas curvas

Determinar o volume do slido obtido com a rotao de R em torno do eixo de OY.

Na figura temos representada a regio R. Como R simtrica em relao OY, uma das duas regies R1 ou R2 girando em torno de OY gera todo o slido. Vamos considerar a regio R1.

Para cada y [1/4, 4] a seo transversal ao eixo OY um crculo gerado pela rotao do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui rea A = x2 e o volume do slido igual a:

Slidos de Revoluo

Exemplo 7:

Portanto:

Slidos de Revoluo

Exemplo 8: Seja a ciclide de equaes paramtricas

8.1. Esboce a curva.

Usando as derivadas

obteremos a curva abaixo.

Slidos de Revoluo

8.2. Seja R a regio do plano limitada pela ciclide e pela reta y = -1. Determinar uma expresso em integrais que represente o volume do slido obtido com a rotao de R em torno do eixo de OX.

Seja a funo y = f(x) tal que seu grficoa ciclide.Para cadax[-4, 0] a seo transversal ao eixo OX um anel circular de raio interno igual a 1 e raio externo igual a y. Logo possui rea igual a:

A = y2 - .12 = y2 - e o volume do slido igual a:

Slidos de Revoluo

Substituindo x em funo de t na integral anterior temos:

Slidos de Revoluo

8.3. Determinar uma expresso em integrais que represente o volume do slido obtido com a rotao de R em torno da reta x = 1. Sejamasfunes x1 = x1(y)ex2 = x2(y), funes cujos grfico so respectivamente os arcos da ciclide obtidos para t [ , 2 ] e para t [0, ]. Para cada y [-5 , -1] a seo transversal ao eixo OY um anel circular de raio externo respectivamente 1 - x1 e 1 x2.

Slidos de Revoluo

Logo, a seo transversal tem rea A = (1- x1)2 - (1- x2 )2 e o volume do slido igual a:

Substituindo y em funo de t nas integrais acima temos:

Slidos de Revoluo

Exemplo 9: Calcular o volume do slido gerado pela rotao, em torno do eixo OY, do crculo de raio 1 e centro em (4,0).

Tomemos as equaes paramtricas do crculo:

Sejam x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funes cujos grfico so respectivamente os semicrculos obtidos para t [-/2, /2] e para t [/2, 3/2]. Para cada y [-1 , 1] a seo transversal ao eixo OY um anel circular de raios externo e interno respectivamente iguais a x1(y) e x2(y). Logo, a seo transversal tem rea A = .x12 - x2 2 e o volume do slido igual a:

Volume de Slidos

ou usando simetria

Substituindo por t temos:

Nesses problemas observamos que temos um slido compreendido entre dois planos paralelos e que conhecida a rea da seco transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, ento o volume do slido dado por


conforme a seco transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente.

Volume de Slidos

Essa uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um slido, quando a rea de qualquer seco transversal conhecida.

ou

Volume de Slidos

Volume de um slido de revoluo, obtido pela rotao em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

Slidos de Revoluo

Slidos de Revoluo

Clculo do volume

Seja f uma funo contnua num intervalo [a,b], sendo f(x) 0 para todo x, tal que a x b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o grfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.

Seja B o slido obtido atravs da rotao do conjunto A em torno do eixo x:

A

x1=a

x2=b

B

Slidos de Revoluo

Clculo do volume

Considerando uma partio P do intervalo [a,b]: P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, seja:

Slidos de Revoluo

Clculo do volume

- Seja ainda xi = xi xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1 , xi].

- Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci.

- Para cada i, i = 1, ..., n, construmos um retngulo Ri, de base xi e altura f(ci).

- Fazendo cada retngulo Ri girar em torno do eixo dos x, o slido de revoluo obtido um cilindro, cujo volume dado por:

Slidos de Revoluo

Clculo do volume

A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn, dada por:

Slidos de Revoluo

Clculo do volume
A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do slido B.
Definio
Seja y = f(x) uma funo contnua no negativa em [a,b]. Seja R a regio sob o grfico de f de a at b. O volume do slido B, gerado pela revoluo de R em torno do eixo x, definido por:

Slidos de Revoluo

Clculo do volume
A soma que aparece no slide anterior pode ser substituda pelo smbolo de integral, uma vez que a funo contnua no intervalo e o limite existe. Logo:Vamos analisar agora o volume de alguns slidos
em certas situaes especiais.

A

x1=a

x2=b

B

Slidos de Revoluo

Slidos de Revoluo

Quando a funo f(x) negativa em alguns pontos de [a,b].

- A frmula do volume permanece vlida, pois |f(x)| = (f(x))2.

O slido gerado pela rotao da figura (a)

o mesmo gerado pela rotao da figura (b).

(b)

(b)

(a)

Slidos de Revoluo

Exerccio 1: Se f(x) = x2, determine o volume do slido gerado pela revoluo, em torno do eixo x, da regio sob o grfico de f no intervalo [1, 2].

De acordo com a definio:

Slidos de Revoluo

Exerccio 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do slido gerado ela revoluo, em torno do eixo x, da regio sob o grfico de f no intervalo [-1, 1].

- De acordo com a definio:

Slidos de Revoluo

Exerccio 3: Seja f(x) = sen x, x [a, b]. Calcule o volume do slido gerado pela rotao do grfico de f, ou seja pela rotao da regio delimitada pelo eixo x, o grfico de f e as retas x = 0 e x = .

O volume do slido dado por:

0

0

Integral Indefinida

Sejam as identidades trigonomtricas:

Assim,

Reviso

INTEGRAO DE POTNCIAS QUADRTICAS DAS

FUNES TRIGONOMTRICAS SEN(X) E COS(X)

*

Slidos de Revoluo

Quando, ao invs de girar ao redor do eixo dos x, a regio A gira em torno do eixo dos y.

- Neste caso, temos:

Slidos de Revoluo

Slidos de Revoluo

Exerccio 4: Calcule o volume do slido que se obtm por rotao da regio limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.

Slidos de Revoluo

Exerccio 5: Considere a regio do plano delimitada pelo eixo x, o grfico de y = x, para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois slidos gerados.

A regio do plano delimitada pelo eixo x, o grfico de , para
girada ao redor do eixo x:

0

2

0

2

Slidos de Revoluo

Exerccio 5:


b) A regio do plano delimitada pelo eixo x, o grfico de , para

girada ao redor do eixo y:

2

0

2

0

Slidos de Revoluo

Exemplo 6: Calcule o volume de um slido de revoluo obtido pela rotao ao redor do eixo x da regio compreendida pelo grfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule tambm o volume do slido obtido ao girar a mesma regio ao redor do eixo y.

a)

1

1

1/2

3

S1

S2

V1

V2

Slidos de Revoluo

Logo, o volume do slido :

Efetuando os ltimos clculos, temos:

Exemplo 6:

Slidos de Revoluo

Exemplo 6:

b)

1

1

1/2

3

S1

S2

Slidos de Revoluo

Nesse caso, o volume do slido gerado, calculado pelo mtodo das cascas, :

Efetuando os ltimos clculos, temos:

Slidos de Revoluo

Quando a regio A est entre os grficos de duas funes f(x) e g(x) de a at b:

Supondo f(x) g(x), para qualquer x que pertena ao intervalo [a, b], o volume do slido B, gerado pela rotao de R em torno do eixo x, dado por:

Volume de Slidos

Slidos de Revoluo

Slidos de Revoluo

Exerccio 6: Calcule o volume do slido que se obtm por rotao da regio limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.

Slidos de Revoluo

Exerccio 7: Calcular o volume do slido gerado pela rotao, em torno do eixo dos x, da regio limitada pela parbola

e pela reta

De acordo com a definio:

Slidos de Revoluo

Exerccio 7:

Slidos de Revoluo

Slidos de Revoluo

Exerccio 8: A regio limitada pela parbola cbica y = x3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do slido de revoluo obtido. De acordo com a definio:

Slidos de Revoluo

Quando a rotao se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

Se o eixo de revoluo

for a reta y = L, temos:

L

a

b

y = f(x)

A

Slidos de Revoluo

Quando a rotao se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

Se o eixo de revoluo

for a reta x = M, temos:

M

c

d

y = f(x)

A

Slidos de Revoluo

Volume de Slidos

Volume de um slido pelo mtodo dos invlucros cilndricos.

Slidos de Revoluo

Clculo do volume

Podemos imaginar o slido como sendo constitudo por cascas cilndricas.

O volume de cada uma das cascas dado por:

ou ainda, colocando e ,

Slidos de Revoluo

Clculo do volume

Seja f uma funo contnua num intervalo [a,b], com a x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o grfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.

Suponhamos que a regio gira ao redor do eixo y, gerando um slido D, cujo volume queremos calcular.

onde

indica o raio de cada invlucro

e indica sua altura.

Slidos de Revoluo

Exerccio 10: Atravs do mtodo dos invlucros cilndricos encontre o volume do slido gerado pela rotao da regio do plano delimitada pelo eixo x, o grfico de y = x , para 0 x 2, ao redor do eixo y.

Usando o mtodo dos invlucros cilndricos, temos:

Slidos de Revoluo

Exemplo 11: Encontre o volume do slido obtido pela rotao da regio compreendida entre os grficos de y = x3 e y = x, para 0 x 1, ao redor do eixo y.

As duas funes se encontram

nos pontos (0,0) e (1,1).

O volume do slido pode ser

calculado pelo mtodo das

cascas e, portanto, igual a:

Slidos de Revoluo

Exemplo 12: Calcule o volume do slido obtido pela rotao, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 x y e x2 + y2 2.

Slidos de Revoluo

Inicialmente, para obter a regio do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a interseco da reta com a circunferncia, sendo x 0:

Logo, x = 1:

Assim, a variao de x ocorre no intervalo e o volume procurado dado por:

Slidos de Revoluo

Exemplo 13: Calcule o volume do slido obtido pela rotao, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y 2) 1.

Aps a rotao, obtemos o seguinte slido, que denominado toro.

Slidos de Revoluo

Inicialmente, a regio pode ser encarada como delimitada pelos grficos das funes:

Logo, a integral que nos fornece o volume do slido ser:

Slidos de Revoluo

Vamos calcular o mesmo volume pelo mtodo dos invlucros cilndricos:

Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral:

.

3

1

2

h

b

2

2

4

)

2

(

)

(

x

x

y

A

=

=

[

]

i

i

base

x

c

f

V

altura

A

V

D

=

=

.

)

(

.

2

p

=

D

=

D

+

+

D

+

D

=

n

i

i

i

n

n

n

n

x

c

f

V

x

c

f

x

c

f

x

c

f

V

1

2

2

2

2

2

1

2

1

)]

(

[

)]

(

[

...

)]

(

[

)]

(

[

p

p

p

=

D

D

=

n

i

i

i

x

mx

n

x

c

f

V

i

1

2

0

)]

(

[

lim

p

dx

x

f

V

b

a

n

=

2

)]

(

[

p

dx

x

f

V

b

a

=

2

)]

(

[

p

15

56

1

3

2

5

1

1

3

2

5

1

3

2

5

1

)

1

2

(

]

1

[

1

1

3

5

1

1

2

4

1

1

2

2

p

p

p

p

p

=

-

-

-

-

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

-

-

-

x

x

x

dx

x

x

dx

x

V

C

4

2x

sen

2

x

x

sen

2

+

-

=

=

p

p

0

2

dx

x

sen

V

2

4

0

2

4

2

2

2

0

0

2

p

p

p

p

p

p

p

=

-

=

-

=

=

x

sen

x

dx

x

sen

V

-

+

=

+

2

sen2x

2

1

1

0

x

2

1

1

0

C

u

sen

2

1

du

u

cos

2

1

dx

cos2x

dx

2

du

2

dx

du

2x

u

dx

cos2x

+

=

=

=

=

=

-

=

-

=

dx

cos2x

2

1

dx

2

1

dx

2

cos2x

1

dx

x

sen

2

2

cos2x

1

x

cos

2

cos2x

1

x

sen

2

2

+

=

-

=

dy

y

g

V

d

c

)]

(

[

2

=

p

(

)

=

2

0

4

2

0

2

2

dy

y

dy

y

[

]

[

]

{

}

dx

x

g

x

f

x

V

b

a

)

(

)

(

)

(

2

2

-

=

p

[

]

[

]

2

2

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

A

p

p

-

=

dx

x

g

x

f

V

b

a

-

=

2

2

)]

(

[

)]

(

[

p

dx

x

x

V

}

)]

5

(

2

1

[

)]

13

(

4

1

{[

2

2

2

1

3

+

-

-

=

-

p

)

13

(

4

1

2

x

y

-

=

)

5

(

2

1

+

=

x

y

dx

x

x

x

x

V

]}

4

25

4

10

4

[

)]

16

16

26

16

169

(

{[

2

4

2

1

3

+

+

-

+

-

=

-

p

dx

x

x

x

x

V

]}

16

100

40

4

26

169

{[

1

3

2

4

2

-

-

-

-

+

-

=

p

dx

x

x

x

V

]

16

69

40

30

[

1

3

2

4

-

+

-

-

=

p

dx

x

x

x

V

)

69

40

30

(

16

1

3

2

4

-

+

-

-

=

p

)

3

(

)

1

(

|

69

2

40

3

30

5

16

1

3

2

3

5

-

-

=

+

-

-

=

-

F

F

x

x

x

x

V

p

=

+

-

-

=

-

1

3

2

3

5

|

69

20

10

5

16

x

x

x

x

V

p

-

+

-

-

-

-

-

-

+

-

-

=

)

3

(

69

)

3

(

20

)

3

(

10

5

)

3

(

69

20

10

5

1

16

2

3

5

p

V

-

-

+

-

-

+

-

=

207

180

270

5

243

69

30

5

1

16

p

V

+

+

+

=

117

5

243

39

5

1

16

p

V

+

=

156

5

244

16

p

V

+

=

5

780

244

16

p

V

80

1024

5

1024

16

p

p

=

=

V

dy

y

g

V

d

c

.

)]

(

[

2

=

p

dy

y

V

.

]

[

8

0

2

3

=

p

dy

y

V

.

8

0

3

2

=

p

)

0

(

)

8

(

|

5

3

.

8

0

3

5

F

F

y

V

-

=

=

p

5

96

5

32

.

3

5

)

2

(

3

5

8

3

0

)

8

.(

5

3

3

3

5

3

5

3

5

p

p

p

p

p

=

=

=

=

=

-

=

V

dx

L

x

f

V

b

a

]

)

(

[

2

-

=

p

dy

M

y

g

V

d

c

]

)

(

[

2

-

=

p

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