Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo …pos.dees.ufmg.br/docs/projetoyuri.pdf · Milione, Y. O.; Barros, F. B. 3 Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013

1 Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013

Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método

dos Elementos Finitos Generalizados

Solution of Linear Dynamical Structural Problems via Generalized

Finite Elements Method

Yuri Oselieri Milione1; Felício Bruzzi Barros

2

1Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais;

[email protected] 2Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais;

[email protected]

Resumo

Este artigo trata do estudo e adequação de implementação do método dos elementos finitos generalizados (MEFG)

para solução de problemas estruturais de dinâmica linear, em um ambiente de programação orientada a objetos

(POO). Neste ambiente as bases, tanto para análises dinâmicas pelo método dos elementos finitos (MEF) quanto para

análises estáticas lineares pelo MEFG, já encontram-se previamente implementadas. O trabalho inicia-se com uma

sucinta abordagem sobre a importância da implementação computacional de métodos numéricos para solução de

problemas de engenharia, salientando-se o papel do MEF e do MEFG, e a necessidade de constante evolução desses

núcleos numéricos. A seguir é delineada uma revisão teórica sobre análises dinâmicas estruturais via MEF,

abordando-se todos os seus aspectos mais importantes, tais como os métodos de sobreposição modal e os métodos de

integração direta, que são métodos para solução da equação matricial do sistema dinâmico discretizado. Então parte-

se à uma breve descrição do ambiente computacional de POO envolvido, o INSANE (INterative Structural ANalysis

Environment), que é implementado em Java e desenvolvido no Departamento de Estruturas da Universidade Federal

de Minas Gerais. Por fim é apresentado o projeto de viabilização de análises dinâmicas lineares via MEFG no sistema

INSANE, dividido em duas etapas: uma etapa de verificações, visando garantir o correto funcionamento do ambiente

quanto à dinâmica linear nas bases do MEFG, e uma etapa de testes, buscando conclusões importantes quanto à

precisão dos resultados, desempenho do núcleo numérico e entendimento mais profundo dos fenômenos físicos

relacionados à dinâmica estrutural.

Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos Finitos Generalizados. Programação

Orientada a Objetos. Java. INSANE. Análises Dinâmicas Lineares.

Abstract

This article regards the study and adequacy of generalized finite elements method (GFEM) implementation for

solution of linear dynamics structural problems, in an objects oriented programming (OOP) environment. In this

environment the bases, both for dynamic analysis via finite elements method (FEM) and for linear static analysis via

GFEM, are already implemented. The work starts with a succinct approach on the importance of computational

implementation of numeric methods to engineering problems solution, pointing out the role of FEM and GFEM, and

the need of constant evolution of these numerical cores. Following it is exposed a theoretical review on the structural

analysis via FEM, addressing all of its most important aspects, such as the modal superposition methods and the

direct integration methods, that are methods to solve the matrix equation of the discretized dynamic system. Then it is

is made a brief description of the involved OOP computational environment, the INSANE (INterative Structural

ANalysis Environment), which is implemented in Java and developed at the Department of Structural Engineering of

the Federal University of Minas Gerais. Finally it is presented the project that aims to enable the linear dynamic

analysis performing via GFEM on the INSANE system, divided in two stages: a stage of verifications, seeking to

assure the correct working of the environment on the GFEM based linear dynamics, and a stage of tests, seeking

important conclusions on the results precision, numerical core performance and deeper understanding of the physical

phenomena related to the structural dynamics.

Key words: Finite Elements Method. Generalized Finite Elements Method. Object Oriented Programming. Java.

INSANE. Linear Dynamic Analysis.

Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados

2

Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013

1 Introdução

Os diversos campos da engenharia contam, atualmente,

com a ampla e constante utilização de avançados recursos

computacionais para análise de problemas das mais

diversas categorias. Dentre esses recursos computacionais

destacam-se os softwares baseados em métodos numéricos,

tais como o método dos elementos finitos; softwares esses

solidamente consolidados e de aplicação cada vez mais

intensa, tanto no meio acadêmico quanto no meio

industrial. Diante dessa realidade, torna-se clara a

necessidade da constante busca pela melhoria dessas

ferramentas, tanto em nível de desempenho quanto em nível

de precisão de resultados. Isso se alcança, principalmente,

através do desenvolvimento e evolução dos núcleos

numéricos envolvidos.

O método dos elementos finitos (MEF) é, de maneira

bem sucinta, um método numérico que busca representar de

forma aproximada fenômenos regidos por equações

diferenciais, e no caso da mecânica estrutural, o

comportamento mecânico dos corpos contínuos,

discretizados em elementos e seus nós. Uma das maneiras

de se apresentar o método é pelo princípio dos trabalhos

virtuais. Dessa forma, as equações diferenciais do

movimento embasadas pela mecânica do contínuo são

traduzidas em sistemas de equações matriciais, buscando-se

a solução das grandezas desejadas apenas nos nós do

modelo. Tais resultados são usados como base para a

obtenção dos resultados em todo o domínio contínuo,

através de interpolações guiadas por funções de

aproximação características dos elementos do modelo. Esse

método é o cerne dos softwares de simulação virtual mais

largamente utilizados por todo o mundo, pois possibilita a

solução de problemas estruturais extremamente complexos,

de solução inviável via métodos analíticos.

O método dos elementos finitos generalizados (MEFG) é

uma variação do MEF convencional. Sua importância

encaixa-se perfeitamente no contexto referente à

necessidade de evolução constante dos núcleos numéricos

dos softwares de simulações virtuais. Suas características o

tornam mais interessante que o MEF para alguns tipos de

análises, tais como a propagação de trincas ou casos onde

ocorrem grandes deformações localizadas.

O trabalho em questão tem como objetivo principal a

adequação do MEFG para solução de problemas estruturais

dinâmicos lineares, em um ambiente computacional de

programação orientada a objetos (POO), onde já se

encontram implementadas as bases para a aplicação do

MEFG em análises estáticas e também as bases para

análises dinâmicas em geral via MEF. Esse ambiente

computacional, de nome INSANE (INteractive Structural

ANalysis Environment), é implementado na linguagem de

programação Java e desenvolvido no Departamento de

Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais.

Salienta-se também como objetivo a realização de uma

série de testes no âmbito da dinâmica estrutural linear

embasada pelo MEFG, tais como o comparativo de

soluções com diferentes tipos de amortecimento, tratamento

diferenciado da matriz de massa ou o paralelo entre

resultados MEF e MEFG.

É dentro do já mencionado contexto de constante

evolução dos núcleos numéricos das plataformas de

simulação virtual que se busca, com o presente trabalho,

contribuir para tornar o INSANE cada vez mais confiável,

robusto e versátil.

2 Análise Dinâmica Estrutural via

MEF

As equações do movimento para análise dinâmica

estrutural pelo MEF podem ser obtidas através da aplicação

do princípio dos trabalhos virtuais, conforme demonstrado

a seguir.

Definindo-se as grandezas, todas variáveis com o tempo,

envolvidas em um problema estrutural dinâmico para um

elemento finito submetido a cargas nodais e cargas de

corpo:

- Vetor de deslocamentos genéricos:

( ) , - (1)

- Vetor de deslocamentos nodais (i é o índice do nó no

elemento):

( ) , ( )- (2)

( )

, - (3)

- Vetor de forças de corpo:

( ) , - (4)

- Vetor de forças nodais:

( ) , ( )- (5)

( ) , - (6)

Definindo-se agora as relações entre as grandezas

genéricas e os deslocamentos nodais, bem como as matrizes

características do MEF envolvidas:

- Deslocamentos:

( ) ( ) (7)

N – matriz das funções de forma

- Deformações:

( ) ( ) ( ) (8)

L – matriz operador de derivação

- Tensões:

( ) ( ) ( ) (9)

E – matriz de propriedades elásticas do material

Aplicando-se o princípio dos trabalhos virtuais (Se uma

estrutura em equilíbrio dinâmico sofre pequenos

deslocamentos virtuais com um estado de deformações

Milione, Y. O.; Barros, F. B.

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compatível, o trabalho virtual das forças externas é igual à

energia de deformação virtual das tensões internas

(WEAVER JR., JOHNSTON, 1987)) a um elemento finito:

(10)

sendo a energia de deformação virtual das tensões

internas e o trabalho virtual das forças externas.

Define-se então o vetor de pequenos deslocamentos

virtuais:

, - (11)

, - (12)

A energia de deformações virtual das tensões internas é

dada por:

∫ ( )

(13)

O trabalho virtual externo, como soma dos trabalhos

virtuais das forças de corpo e nodais, é dado por:

( ) ∫ ( )

∫

(14)

sendo a densidade do material e o vetor de acelerações.

Substituindo (13) e (14) em (10):

∫ ( )

( ) ∫ ( )

∫

(15)

Agora definindo

(16)

e realizando-se as devidas substituições das relações

características do MEF em (15), obtém-se:

∫

( ) ∫ ( )

∫

(17)

Rearranjando-se (17) tem-se:

( ) ( ) (18)

que corresponde ao sistema de equações de movimento,

desconsiderando-se efeitos de amortecimento. M é a matriz

de massa consistente e K é a matriz de rigidez do elemento

finito, enquanto o vetor ( ) é o vetor de forças nodais

equivalentes às cargas de corpo.

∫

(19)

∫

(20)

( ) ∫ ( )

(21)

2.1 Amortecimento

O amortecimento é um fenômeno responsável por

dissipação de energia mecânica em um sistema dinâmico. A

física extremamente complexa relacionada à simultaneidade

dos diversos mecanismos de amortecimento, tais como o

atrito, torna impraticável a descrição analítica do fenômeno.

É bastante usual idealizar o amortecimento como viscoso

linear, de forma a traduzir seu efeito em sistemas dinâmicos

como uma força dissipativa, calculada da seguinte maneira:

(22)

onde C é a matriz de amortecimento do sistema.

Incluindo-se a força dissipativa em (18), obtém-se o

sistema de equações de movimento em forma mais

completa:

( ) ( ) (23)

Existem algumas maneiras distintas de se obter a matriz

C, conforme demonstrado a seguir.

- Amortecimento Modal:

[ ] (24)

onde, com relação ao i-ésimo modo vibracional

considerado, i representa sua razão de amortecimento e i

representa o seu autovalor, enquanto ij é o delta de

Kronecker.

- Amortecimento de Rayleigh:

(25)

sendo M a matriz de massa do sistema (apresentada na

equação (20)), K a matriz de rigidez do sistema

(apresentada na equação (19)), e e constantes,

chamadas coeficientes de Rayleigh. Esses coeficientes,

conforme Chopra (1995), podem ser obtidos da seguinte

maneira:

(

) (

) (26)

onde corresponde à razão de amortecimento dos modos i

e j.

- Amortecimento do Material:

∫

(27)

onde é uma constante do material que representa seu

amortecimento viscoso linear.

2.2 Solução do Problema de Autovalor

O conhecimento dos autovalores e autovetores de um

sistema estrutural em análise é extremamente importante


4


por si só, além de ser necessário como base para as

soluções de sistemas dinâmicos pelos métodos de

sobreposição modal.

Considerando-se um sistema mecânico em vibração livre,

sem atuação de forças dissipativas, o sistema de equações

de movimento genérico se reduz a:

(28)

Assume-se a seguinte solução harmônica:

( ) (29)

onde é um escalar (chamado de autovalor) e Y é um vetor

(chamado de autovetor), ambos a serem calculados.

Substituindo-se (29) em (28), chega-se a:

( ) (30)

(31)

sendo (30) o problema de autovalor generalizado do

sistema.

Existem diversos métodos para a solução de (30), sendo

dois deles tratados a seguir: o método da iteração inversa e

o método da iteração no subespaço.

2.2.1 O Método da Iteração Inversa

Normalizando-se o autovetor Y em relação à matriz de

massa do sistema, chega-se a:

(32)

√

⁄

(33)

onde i é o i-ésimo autovetor normalizado.

Substituindo-se (32) em (30) e rearranjando-se a equação,

obtém-se:

(34)

Partindo-se da arbitragem de um autovalor inicial em

(34), apresentam-se as equações básicas do método, na

sequência em que devem ser resolvidas a cada iteração:

(35)

(36)

(37)

(38)

onde D é a matriz dinâmica do sistema. A ideia é avaliar o

autovalor na equação (38), buscando que se iguale ao

autovalor , conforme a tolerância estabelecida. Caso tal

tolerância seja atendida, obtém-se como autovalor e

como autovetor do sistema. Caso a tolerância não seja

atendida, procede-se a uma nova iteração, aplicando-se

como autovetor inicial.

O método da iteração inversa como apresentado converge

sempre para o modo fundamental do sistema, mas pode ser

adaptado para obtenção de modos superiores através de

algumas técnicas existentes. Uma delas é a deflação de

matriz, que consiste na ortogonalização da matriz dinâmica

em relação aos autovetores previamente calculados,

conforme a equação:

(39)

onde Dn é a matriz dinâmica, n é o autovalor e n é o

autovetor, todos referentes ao n-ésimo modo. Dn+1 é a

matriz dinâmica referente ao autovalor e autovetor a serem

calculados, a ser aplicada durante o processo iterativo nas

equações (35), (36) e (38).

2.2.2 O Método da Iteração no Subespaço

Configurando-se o problema de autovalor generalizado

(30) de forma condensada, tem-se:

(40)

(41)

sendo a matriz composta pelos autovetores normalizados

do sistema. Considerando-se uma quantidade limitada de

modos do sistema, ou seja, um truncamento modal, tem-se:

(42)

O método de iteração no subespaço busca obter os N

autovetores contidos em por meio de operações em um

espaço de dimensão N (denominado ), de bases

ortogonais e (os autovetores são ortogonais em

relação às matrizes de massa e rigidez do sistema).

De maneira semelhante ao método da iteração inversa,

arbitra-se um como conjunto inicial de N autovetores e

apresentam-se as equações do método, na sequência em que

devem ser resolvidas a cada iteração:

(35)

(43)

(44)

(45)

( ) (46)

(47)

(48)


5


Caso a equação (48) seja verdadeira (dentro da tolerância

estabelecida), obtém-se e como o conjunto dos N

autovalores e autovetores procurados, respectivamente.

Caso a tolerância não seja atendida, procede-se a uma nova

iteração, aplicando-se como conjunto de autovetores

inicial.

Ressalta-se que converge para os N primeiros

autovetores do sistema, desde que não esteja incluído em

nenhum autovetor ortogonal aos procurados.

É importante observar que a equação (46) trata-se de um

problema de autovalor (que pode ser resolvido pelo método

da iteração inversa) interno ao problema de autovalor

inicial. Tal fato incorre em um custo computacional de cada

incremento significativamente maior, em comparação com

o método da iteração inversa. Contudo, como o método da

iteração no subespaço calcula N modos enquanto o método

da iteração inversa calcula apenas um modo, com uma

quantidade semelhante de incrementos, conclui-se que

quanto maior o problema maior a eficiência relativa do

método da iteração no subespaço.

2.3 Métodos de Análise Modal

A solução de problemas dinâmicos pelos métodos de

análise modal demanda que inicialmente se resolva o

problema de autovalor do sistema avaliado, através de

métodos como os elucidados no item 2.2. Em situações

práticas, sempre que possível, aplica-se a técnica do

truncamento modal. Em problemas de dinâmica estrutural,

geralmente a resposta do sistema é predominantemente

constituída de componentes de baixa frequência, sendo

necessários poucos modos para a representação fiel da

solução; o que torna os métodos de análise modal atrativos.

É importante salientar que, por se basearem na

combinação linear de soluções modais, os métodos de

análise modal não são adequados para a análise de sistemas

que apresentem quaisquer tipos de não-linearidades.

Os passos adicionais necessários são explanados a seguir,

na descrição dos dois métodos de análise modal abordados:

método de superposição de deslocamentos modais e método

de superposição de acelerações modais.

2.3.1 Método de Superposição de

Deslocamentos Modais

Admitindo-se o vetor F como a soma das forças nodais e

forças nodais equivalentes às cargas de corpo, a equação

(23) torna-se:

(49)

Agora, com base na solução harmônica proposta em (29),

inicialmente determina-se uma variável auxiliar 𝜂i:

𝜂 ( ) (50)

Para o autovetor normalizado i, tem-se (considerando amortecimento modal):

(51)

(52)

(53)

Assume-se:

𝜂 (54)

Ao se multiplicar ambos os lados de (49) por e

substituindo-se (54), (53), (52) e (51) na equação resultante,

chega-se a:

𝜂 𝜂 𝜂 (55)

(56)

Observa-se que a solução assumida em (54) corresponde

apenas a uma parcela da solução total de d, parcela essa

referente à contribuição do i-ésimo modo do sistema. A

variável auxiliar 𝜂i é chamada fator de participação modal,

ou deslocamento modal, função característica de cada

modo.

Considerando-se a contribuição dos n modos do sistema

na resposta, obtém-se a solução exata do problema:

∑ 𝜂

(57)

Conforme já mencionado, é usual aplicar-se a técnica do

truncamento modal para solução desse tipo de problema

dinâmico, uma vez que os primeiros modos de vibração do

sistema são os de maior influência na resposta total.

Selecionando-se então N autovetores de maior relevância,

obtém-se a solução truncada:

∑ 𝜂

(58)

Multiplicando-se ambos os lados de (49) por e

substituindo-se (58), (53), (52) e (51) na equação resultante,

chega-se a:

�� (59)

(60)

(61)

(62)

(63)

Nota-se que (59) é um sistema de equações desacoplado,

uma vez que e são matrizes diagonais. Esse sistema

consiste em N equações (55), que podem ser resolvidas

individualmente de forma a se obter o fator de participação

modal, 𝜂i, através da integral de Duhamel (CRAIG JR.,

1987), explicitada a seguir:

𝜂

∫

( ) , ( )- (64)


6


De posse de e 𝜂i pode-se por fim calcular os

deslocamentos nodais do sistema através de (58).

2.3.2 Método de Superposição de

Acelerações Modais

A velocidade modal, �� , pode ser obtida derivando-se a

equação (64) em relação ao tempo:

��

∫

* , ( )-

, ( )-+

(65)

A aceleração modal, �� , pode ser obtida rearranjando-se

os termos da equação (55):

𝜂 𝜂 𝜂 (66)

Considera-se:

∑ ��

(67)

∑ ��

(68)

Isolando-se d na equação (49) e substituindo-se (67) e

(68) na equação resultante, além de algumas manipulações,

obtém-se, para uma base modal truncada:

⁄ (69)

(70)

Para a solução do sistema pelo método da superposição

de acelerações modais, inicialmente resolve-se o problema

de autovalor do sistema, através de algum método tal como

os descritos no item 2.2. A seguir calculam-se os

deslocamentos modais e as velocidades modais através das

equações (64) e (65), respectivamente. Então pode-se

calcular as acelerações modais com a equação (66). De

posse de todos esses resultados procede-se, por fim, ao

cálculo dos deslocamentos nodais do sistema, por meio da

equação (69), que é a expressão geral relacionada a esse

método.

Observa-se que , parte da resposta na equação (69),

corresponde à resposta do sistema estático. Devido a esse

fato, o método de superposição de acelerações modais

fornece resultados exatos para sistemas submetidos a

carregamentos estáticos.

2.4 Métodos de Integração Direta

No âmbito da análise estrutural, os métodos de integração

direta, diferentemente dos métodos de análise modal, não

impõem nenhum tipo de transformação das equações

dinâmicas em outra forma antes da integração, tal como o

desacoplamento das equações de equilíbrio explicitado

anteriormente.

O sistema de equações representado por (49) é integrado

por um procedimento numérico direto executado passo a

passo. As soluções são obtidas somente em alguns instantes

de tempo distintos do intervalo onde ocorre o fenômeno

dinâmico. Os resultados de deslocamentos, velocidades e

acelerações nodais entre os instantes calculados são obtidos

por alguma lei de variação determinada.

Os métodos de integração direta podem ser do tipo

explícito ou implícito. Nos métodos explícitos calcula-se o

deslocamento no instante corrente com base nos valores de

deslocamentos, velocidades e acelerações obtidos no

instante anterior. Os métodos implícitos o deslocamento no

instante corrente é função também de suas derivadas no

instante corrente. A seguir são explanados alguns métodos

de integração direta típicos.

2.4.1 Método da Diferença Central

O método da diferença central é um método de integração

explícita que se baseia nas seguintes aproximações para a

velocidade e a aceleração no instante de tempo corrente i:

( ) (71)

( ) ( ) (72)

( ) (73)

Repetindo-se a equação (49):

(49)

Substituindo-se (71) e (72) em (49) e rearranjando-se os

termos, obtém-se:

(74)

( )

(75)

(

( )

)

(

( ) )

(76)

Consideram-se conhecidos os deslocamentos e as

velocidades iniciais, e , respectivamente. As

acelerações iniciais podem ser determinadas com base na

equação (49):

( ) (77)

No passo inicial, busca-se calcular , sendo necessários

(condição inicial) e , calculado como se segue:

( )

(78)


7


Observa-se que o deslocamento corrente é calculado a

partir de deslocamentos obtidos em passos anteriores, e que

a matriz de rigidez efetiva, , não é função direta da matriz

de rigidez do sistema. Essas são características intrínsecas

aos métodos de integração explícitos.

Contudo, o método da diferença central é

condicionalmente convergente, requerendo que o passo de

tempo utilizado seja inferior a um valor crítico para

garantir a convergência. Conforme Weaver Jr. e Johnston

(1987):

(79)

sendo a maior frequência angular natural do sistema e

o correspondente menor período natural vibracional.

2.4.2 Método Newmark-β

Para o método da aceleração média, considera-se a

aceleração média no intervalo de tempo , obtendo-se uma

aproximação de primeira ordem, conforme demonstrado a

seguir:

( ) (80)

Integrando-se (80) duas vezes, chega-se a:

( ) (81)

( )

( ) (82)

Reescrevendo-se (49) para um intervalo de tempo:

(83)

Combinando-se as equações (81), (82) e (83), obtém-se:

(84)

( )

(85)

(

) (86)

De posse da variação de deslocamento calculada em

(84), pode-se calcular a variação de velocidade e

consequentemente a variação de aceleração :

(87)

( )

(88)

Para o método da aceleração linear, considera-se a

aceleração variando linearmente no intervalo de tempo , obtendo-se uma aproximação de segunda ordem, conforme

demonstrado a seguir:

( ) (89)

( )

( ) (90)

(91)

( )

(92)

(

)

(

)

(93)

De posse da variação de deslocamento calculada em

(91), pode-se calcular a variação de velocidade e

consequentemente a variação de aceleração :

(94)

( )

(95)

Ambos os métodos de aceleração média e aceleração

linear podem ser sumarizados em um único conjunto de

equações, demonstrado a seguir:

[( ) ] (96)

[(

) ]

(97)

(98)

( )

(99)

(100)

(101)

(

) (102)

(103)

( ) (104)

Observa-se que a matriz de rigidez efetiva, , é função

direta da matriz de rigidez do sistema, o que é uma

característica intrínseca aos métodos de integração

implícitos.

O método de Newmark-β busca obter o melhor

compromisso entre estabilidade numérica e precisão de


8


resultados. Para tanto, os coeficientes e são alterados

livremente até que se obtenha o panorama desejado.

Observa-se que para o método da aceleração média,

e =1/2, enquanto que para o método da

aceleração linear e =1/2.

Com relação à ideia de compromisso entre estabilidade

numérica e precisão de resultados, aplicando-se ,

que corresponde à inserção de um amortecimento numérico

no sistema, observa-se um decréscimo na precisão dos

resultados. Contudo, esse amortecimento numérico

contribui na redução dos efeitos espúrios dos modos de

mais alta frequência em sistemas com baixo amortecimento

ou não amortecidos (COOK et al., 1989). Para que se

obtenha amortecimento numérico positivo, deve ser

maior que 1/2.

O método de Newmark-β possibilita precisão máxima de

segunda ordem. Para quaisquer valores atribuídos aos

coeficientes e diferentes de 1/6 e 1/2, respectivamente,

a precisão obtida será inferior à de segunda ordem (COOK

et al., 1989).

O método de Newmark-β pode ser incondicionalmente ou

condicionalmente convergente, ou também divergente,

conforme a escolha dos coeficientes e . Para a

convergência incondicional, conforme Zienkiewicz e

Taylor (2000), devem ser garantidas as seguintes relações:

(

)

(105)

(106)

Caso ocorra instabilidade condicional em decorrência do

par e selecionado, pode-se garantir a convergência do

método através da seguinte relação envolvendo o intervalo

de tempo :

√ ( ) (107)

sendo o menor período natural vibracional do sistema.

2.4.3 Método Hilber-Huges-Taylor

Considerando-se a aceleração variando quadraticamente e

cubicamente no intervalo de tempo , e sumarizando os

resultados obtidos para ambos os casos em um único

conjunto de equações (de forma semelhante ao explanado

no item 2.4.2), Hilber et al. (1977) obtiveram as seguintes

equações:

(108)

(109)

(110)

O método Hilber-Huges-Taylor, ou método HHT, é

similar ao método Newmark-β, mas a introdução do

coeficiente permite que uma precisão de até quarta ordem

seja alcançada. Da mesma forma que no método Newmark-

β, o método HHT busca variar livremente seus coeficientes

(no caso, , β e γ) no intuito de se obter o melhor

compromisso entre precisão de resultados e instabilidade

numérica.

Weaver Jr. e Johnston (1987) indicam, para um caso

geral, =-0,1, β=0,3025 e γ=0,6 como valores ótimos.

2.4.4 Método Wilson-θ

Wilson et al. (1973) consideraram a aceleração

variando linearmente em um intervalo de tempo , sendo

a aceleração incremental nesse intervalo.

(111)

(112)

A aproximação utilizada no método Wilson-θ busca

estender o método da aceleração linear (explanado no item

2.4.2), no intuito de torna-lo incondicionalmente

convergente.

O parâmetro deve ser sempre maior que 1, e caso seja

igual a 1 o método Wilson-θ reduz-se ao método da

aceleração linear. Para que a solução seja

incondicionalmente convergente, deve ser maior ou igual

a 1,37. Conforme Weaver Jr. e Johnston (1987), o valor

ótimo de é de 1,42.

As considerações do método Wilson-θ acarretam o

surgimento de amortecimento numérico nos modos mais

altos do sistema, o que leva a grandes erros na solução

quando tais modos são relevantes, além da não satisfação

das equações de equilíbrio. Em decorrência desses

inconvenientes, Wilson (2006) não recomenda o uso desse

método.

A seguir as equações relativas ao método Wilson-θ:

( ) (113)

( )

( ) (114)

(115)

( )

(116)

(

)

(

)

(117)


9


(118)

(119)

( )

( )

(120)

2.5 Integração Numérica pela Quadratura

de Gauss

A seguir são repetidas as equações integrais inerentes à

análise dinâmica estrutural através do MEF:

∫

(19)

∫

(20)

∫

(27)

( ) ∫ ( )

(21)

𝜂

∫

( ) , (

)-

(64)

��

∫

* , ( )-

, ( )-+

(65)

Observa-se que são necessários cálculos trabalhosos na

avaliação direta das integrais para a obtenção das matrizes

básicas do sistema e também para a avaliação dos

deslocamentos e velocidades modais, através da integral de

Duhamel. Dada essa considerável dificuldade de se

solucionar analiticamente tais integrais, é de grande

interesse lançar mão de métodos alternativos para a tarefa.

A integração numérica pela quadratura de Gauss é o

processo mais largamente utilizado para soluções das

integrais envolvidas nos cálculos relativos ao MEF.

Basicamente, o método aproxima o cálculo de uma integral

por um somatório. Uma determinada quantidade de pontos

é selecionada, e a função no integrando é avaliada em cada

um dos pontos envolvidos. São também atribuídos pesos a

cada um desses pontos. Somando-se todos os produtos entre

a função avaliada no ponto e o peso relativo a esse ponto

chega-se ao resultado da integral numérica. Equacionando-

se:

∫ ( )

∑ ( )

(121)

sendo n o número de pontos de integração (pontos de

Gauss) selecionado, ( ) a função no integrando avaliada

no ponto selecionado e Wi o peso relativo ao ponto.

O método é generalizado fixando-se o intervalo de

integração entre -1 e 1, sendo necessária a mudança de

variáveis para que o domínio de integração se adeque. Essa

é a forma do método mais adequada quando a malha do

sistema analisado é composta de elementos finitos

parametrizados. Alterando-se a equação (121) conforme o

exposto, tem-se:

∫ ( )| |

∑ ( )| |

(122)

sendo ( ) a função no integrando, que foi atualizada

conforme a mudança de variáveis, avaliada no ponto

selecionado e a matriz jacobiana , responsável pela

transformação do domínio x para o domínio .

Transformando as equações (19), (20), (27), (21), (64) e

(65) para o domínio parametrizado, tem-se:

∫ ∫ ∫ | |

(123)

∫ ∫ ∫ | |

(124)

∫ ∫ ∫ | |

(125)

( )

∫ ∫ ∫ ( )| |

(126)

𝜂

∫

( ) ( ) , (

( ))-

(127)

��

∫

( ) ( )

(128)

[ ( ( ))]

[ ( ( ))]

(129)

Os subscritos e nas equações (123) a (126), como em ,

indicam o cálculo da matriz ou vetor referente a um

elemento finito paramétrico. De posse das coordenadas e

pesos dos pontos de Gauss, aplica-se a equação (122)

(sucessivamente para as integrais triplas) para a resolução

das integrais (123) a (128).


10


3 O Método dos Elementos Finitos

Generalizados No MEF as funções interpoladoras (funções de forma)

são polinomiais e características de cada tipo de elemento.

Portanto, na solução das equações de movimento de um

determinado sistema discretizado, para que se obtenha uma

solução mais precisa, pode ser necessário que se alterem os

tipos de elementos da malha desse sistema para casos

diferentes de carregamentos e/ou condições de contorno

desse mesmo sistema. Além disso, a natureza polinomial

das funções de forma do MEF pode impossibilitar a

representação fiel da solução real para casos em que o

campo de tensões apresenta alguma singularidade,

incorrendo em imprecisão de resultados. A solução usual

para esses inconvenientes é a redução do tamanho dos

elementos, ou refinamento da malha, que, contudo, leva a

um incremento muitas vezes considerável do custo

computacional da análise.

O método dos elementos finitos generalizados (MEFG)

pode ser entendido como uma forma não convencional do

MEF básico. Diferentemente do MEF, o MEFG não se

vincula à necessidade de alteração do tipo de elemento para

que se obtenham diferentes estratégias de aproximação da

solução.

As funções de forma no MEFG são obtidas a partir da

multiplicação de funções de partição da unidade, ou

funções PU (para mais detalhes sobre as bases matemáticas

do método da partição da unidade, consultar o trabalho de

Arndt, M. (2009)) por funções de enriquecimento. As

funções de forma convencionais do MEF são aplicadas

como funções PU no MEFG, o que é vantajoso por se

aproveitar características do MEF, facilitando a aplicação

do método e garantindo a estabilidade do problema

analisado.

É importante elucidar o conceito de nuvem de elementos

na aplicação do MEFG. Referenciando-se um nó em uma

malha bidimensional de elementos finitos, por exemplo, a

nuvem de elementos relativa a esse nó é formada por

todos os elementos que o contêm. O conjunto das funções

PU do nó referente a cada elemento da nuvem compõe a

função PU ( ) desse nó em relação à nuvem, de forma

que:

∑

(130)

A Figura 1 exemplifica as funções PU, de enriquecimento

e de forma em uma nuvem de uma malha bidimensional.

Figura 1: Estratégia de enriquecimento da nuvem

(BARROS, 2002)

As funções de enriquecimento, ou funções de

aproximação local, variam conforme o problema analisado,

podendo ser polinomiais ou não. Definindo-se o conjunto

de funções de aproximação local:

{ ( ) ( ) ( )} { ( )}

(131)

sendo ( ) e o número de funções linearmente

independentes definidas para cada nó . As funções ( )

não precisam ter suporte compacto, pois o resultado de sua

multiplicação pelas funções PU herda o suporte compacto

dessas funções PU. O enriquecimento não precisa

necessariamente ser o mesmo em todas as nuvens, o que

não viola o critério de conformidade dos elementos.

Na solução pelo MEFG de problemas de continuidade

C0, usualmente são utilizadas malhas de elementos finitos

de primeira ordem e suas funções de forma como funções

PU, uma vez que aproximações polinomiais de ordens

superiores podem ser obtidas através do enriquecimento

nodal.

Definidas as funções PU e as funções de aproximação

local, é possível a construção das funções de forma do

MEFG. Conforme exemplificado na Figura 1, atrelada à

nuvem (Figura 1a) estão a função PU (Figura 1b) e a

função de enriquecimento (Figura 1c), e o produto dessas

funções gera a função de forma ( ) (Figura 1d),

conforme a equação a seguir:

{ }

( ) { ( )}

(sem somatório em j) (132)

A aproximação dos resultados de deslocamento pelo

MEFG é obtida pela equação:


11


( ) ∑

( ) { ∑

( ) } (133)

onde se refere aos deslocamentos nodais calculados com

base nas funções de forma do MEF e se refere aos

parâmetros nodais calculados com base nas funções de

forma do MEFG. Os parâmetros surgem em decorrência

do enriquecimento nodal, que adiciona graus de liberdade

numéricos ao sistema.

Quando as funções de enriquecimento ( ) são

polinomiais, Duarte et al. (2000), no intuito de minimizar

erros computacionais de arredondamento, sugere a seguinte

transformação da coordenada x:

(134)

onde corresponde ao diâmetro do maior elemento finito

dentre os que compõem a nuvem .

A aplicação do MEFG é interessante em análises onde se

dispõe de solução analítica conhecida com funções

especiais, como, por exemplo, para o caso de singularidades

envolvidas na avaliação da propagação de trincas. O

enriquecimento das funções PU via funções de

aproximação local com a função conhecida possibilita a

obtenção de boa aproximação de resultados, o que, para

esse caso, é extremamente difícil de conseguir através do

MEF convencional.

Outra vantagem importante do MEFG é a menor

dependência dos resultados em relação à distorção dos

elementos da malha, uma vez que as funções de

enriquecimento, e consequentemente as funções de forma

do MEFG, são desenvolvidas nas coordenadas físicas do

problema. Isso possibilita a obtenção de boa aproximação

de resultados em problemas como propagação de trincas ou

grandes deformações localizadas. A resolução de tais

problemas via MEF (quando possível), além de ser de

difícil convergência, demanda que a malha seja

constantemente reconfigurada ao longo da análise, o que

acarreta em grande custo computacional.

Um inconveniente que decorre da estratégia de

enriquecimento do MEFG é a possibilidade de se ter um

conjunto de funções linearmente dependentes constituindo

as funções de forma em cada nó, quando se enriquece com

monômios uma PU polinomial. Caso a possibilidade se

confirme, as matrizes do sistema serão positivas semi-

definidas. No caso de análises estáticas, isso incorre na

impossibilidade de se solucionar a equação de equilíbrio do

sistema pelos mesmos métodos numéricos usualmente

aplicados no MEF. Nesse caso a resolução do problema

pode ser conseguida com a aplicação do procedimento

Babuska, conforme denominado por Barros (2002), um

procedimento numérico proposto e delineado por

Strouboulis et al. (2000).

É parte dos objetivos do presente trabalho realizar a

investigação de como o fato das matrizes do sistema serem

positivas semi-definidas influencia os métodos de solução

das equações de movimento em análises estruturais

dinâmicas lineares via MEF, métodos esses explanados no

item 2.

4 O Sistema INSANE O INSANE (INteractive Structural ANalysis

Environment) é um ambiente computacional desenvolvido

no Departamento de Estruturas da Universidade Federal de

Minas Gerais (UFMG), (PITANGUEIRA et al., 2008). O

INSANE é implementado em linguagem Java e utiliza o

paradigma da Programação Orientada a Objetos (POO). A

plataforma foi concebida com o objetivo de ser um sistema

segmentado, amigável e que possa suportar novas

implementações sem grandes modificações. Além disso,

cabe aqui ressaltar a portabilidade deste sistema, pois tendo

sido desenvolvido em Java pode ser executado sem

adaptações em diversos sistemas operacionais e arquiteturas

de máquina.

Em linhas gerais, o INSANE pode ser dividido em três

grandes aplicações: pré-processador, processador e pós-

processador. O pré-processador é uma aplicação gráfica

interativa que fornece ferramentas para a construção das

diversas representações discretas de um problema

estrutural. O pós-processador também é uma aplicação

gráfica interativa, dotado de ferramentas para visualização

de resultados. O processador é a aplicação mais importante

do ambiente e representa o núcleo numérico do sistema,

que é responsável pela obtenção dos resultados das análises.

Atualmente o sistema é capaz de resolver problemas

utilizando a teoria clássica dos Métodos dos Elementos

Finitos (MEF), conforme ilustrado nos trabalhos de Fuina

(2010) e Penna (2011). A resolução de problemas pelo

Método dos Elementos de Contorno (MEC), implementado

por Anacleto et al. (2011) ou pelos Métodos sem Malha

(MM), implementado por Silva et al. (2012), também é

possível. A implementação do Método dos Elementos

Finitos Generalizados (MEFG) foi efetivada para análises

estáticas, conforme demonstrado no trabalho de Alves

(2012). Vale ressaltar que está também incorporada ao

núcleo numérico do sistema a solução via MEF de

problemas estruturais dinâmicos lineares (conforme

ilustrado no trabalho de Germanio (2005)) e não-lineares

(conforme ilustrado no trabalho de Fonseca (2008)).

4.1 Visão Geral do INSANE

A estrutura do núcleo numérico é formada por interfaces

e classes abstratas que representam as diversas abstrações

da solução por modelos discretos. Sua organização é

centrada nas relações entre as interfaces Assembler, Model,

e Persistence, além da classe abstrata Solution. Através do


12


diagrama de classes em Unified Modeling Language

(UML) explicitado na Figura 2 é possível identificar estes

módulos, bem como a relação entre eles.

Figura 2: Organização do núcleo numérico do INSANE

A interface Assembler é a responsável pela montagem do

seguinte sistema matricial de segunda ordem, que

representa genericamente a forma discreta de um problema

de valor de contorno ou de valor inicial:

(135)

onde X é o vetor solução, A, B e C são matrizes e D é um

vetor.

A classe abstrata Solution é quem desencadeia o processo

de solução e possui os recursos necessários para solução do

sistema matricial (135), seja este linear ou não-linear.

A interface Model contém os dados do modelo discreto e

é capaz de fornecer para Assembler todas as informações

necessárias para a montagem da equação (135).

Model e Solution se comunicam com a interface

Persistence, que interpreta os dados de entrada e fornece os

dados de saída para outras aplicações, sempre que

modificações no estado do modelo discreto forem

realizadas.

5 Projeto de Viabilização de Análises

Estruturais Dinâmicas Lineares via

MEFG no INSANE O projeto de viabilização da execução de análises

estruturais dinâmicas lineares por meio do MEFG no

sistema INSANE será estruturado, basicamente, em duas

etapas: verificações (etapa 1) e testes (etapa 2).

Na etapa de verificações buscar-se-á investigar os

potenciais pontos problemáticos da resolução de problemas

dinâmicos lineares através do MEFG conforme atualmente

implementado no núcleo numérico do sistema. Testes

simples serão realizados buscando a identificação de

incoerências e erros. Uma inspeção de cada classe

implementada que se relacione com o contexto será

efetuada. No intuito de sanar eventuais inconformidades,

classes já implementadas poderão sofrer modificações ou

reformulações, e caso necessário novas classes poderão ser

incorporadas ao ambiente. Tal abordagem é também

extremamente vantajosa no sentido de proporcionar um

entendimento mais aprofundado da estrutura de

funcionamento do INSANE e até mesmo da linguagem de

programação Java em si.

Após concluída a etapa 1, o sistema estará habilitado a

solucionar problemas estruturais dinâmicos lineares através

do MEFG. A etapa seguinte é então a etapa de testes, onde

diversas análises de complexidade variada serão executadas

para averiguação tanto da precisão quanto do desempenho

do sistema, nos variados métodos de solução dinâmica

através do MEFG. A ideia principal na etapa de testes é a

comparação de resultados, tanto em confrontos entre

análises via MEF e análises via MEFG quanto em

confrontos entre diferentes análises pelo MEFG. Resultados

obtidos na etapa 2 podem eventualmente indicar

inconformidades no núcleo numérico, sendo necessário o

retorno à etapa 1 para adequação da implementação.

5.1 Etapa 1: Verificações De modo a se determinar as verificações iniciais a serem

efetuadas na etapa 1, atenta-se às relações das classes

essenciais do INSANE (Assembler, Model, Persistence e

Solution) com as etapas de pré-processamento,

processamento e pós-processamento, mantendo-se em

mente o que já encontra-se implementado no sistema a

nível de MEFG e dinâmica estrutural.

Na fase de pré-processamento, que diz respeito

diretamente à interface Model, todas as informações

necessárias para a análise dinâmica via MEFG podem ser

obtidas das classes já implementadas no ambiente, graças à

versatilidade do paradigma de POO. Portanto não se

percebem, a princípio, potenciais problemas nesse estágio.

Já na fase de processamento, envolvida com a interface

Assembler e a classe abstrata Solution, é onde se enxergam

os principais problemas em potencial. O primeiro ponto a

se atentar é que dentre as matrizes do sistema dinâmico a

serem construídas, apenas a matriz de rigidez tem um

processo de montagem testado e funcionando, conforme

demonstrado no trabalho de Alves (2012) e ilustrado na

Figura 3. Deve-se garantir a correta configuração também

das matrizes de massa e amortecimento do sistema, sejam

quais forem as formulações adotadas para essas matrizes.

As classes FemAssembler e GFemAssembler, responsáveis

por montar as matrizes e vetores do sistema em modelos do

MEF e do MEFG, respectivamente, serão avaliadas para

verificação do correto funcionamento de seus métodos

relacionados à obtenção das matrizes A e B da equação


13


(135). Será também verificada a completude e

funcionalidade dos métodos relativos à obtenção dessas

mesmas matrizes na classe GFemParametric, derivada de

SolidMech, que por sua vez deriva de ProblemDriver. A

função de ProblemDriver é repassar as informações de cada

elemento ao Assembler durante a montagem das matrizes e

vetores do sistema. As classes mencionadas são marcadas

em cor vermelha na Figura 4 (hierarquia de classes de

Assembler) e na Figura 5 (hierarquia de classes de

ProblemDriver).

Figura 3: Diagrama de sequência para montagem da matriz de

rigidez (ALVES, 2012)

Figura 4: Herança de classe de Assembler – classes foco de

verificações marcadas em cor vermelha

Figura 5: Herança de classe de ProblemDriver – classe foco de

verificações marcada em cor vermelha

Outro ponto importante é o possível surgimento de

matrizes do sistema positivas semi-definidas, para o caso de

enriquecimento de funções PU polinomiais com monômios.

Deve-se garantir que o ambiente seja capaz de solucionar o

sistema de equações para análises dinâmicas mesmo

quando tal condição ocorrer. Para o caso dos métodos de

integração direta, deve ser verificado se o procedimento

numérico implementado para solução do sistema em

análises estáticas via MEFG (procedimento Babuska) pode

também ser aplicado. Para a solução do problema de

autovalor e para os métodos de superposição modal,

investigações mais profundas devem ser realizadas. As

classes diretamente relacionadas com as mencionadas


14


verificações são marcadas em vermelho na Figura 6

(hierarquia de classes de Solution). Salienta-se que também

são focos de verificações a classe LinearEquationSystems

(uma vez que contém os métodos para solução de sistemas

pelo procedimento Babuska) e as classes EigenValueSolver,

InverseIteration e SubspaceIteration (as duas últimas são

derivadas de EigenValueSolver).

Figura 6: Herança de classe de Solution – classes foco de

verificações marcadas em cor vermelha

Por fim, quanto à fase de pós-processamento, relacionada

com a interface Persistence (interface que também se

relaciona com a etapa de pré-processamento), é importante

que se verifique a manutenção da persistência de todos os

resultados pertinentes às variadas análises dinâmicas.

Salienta-se que no decorrer do desenvolvimento do

trabalho poderão surgir outras questões que demandem

verificações, a serem eventualmente incluídas no escopo

dessa etapa.

5.2 Etapa 2: Testes Determinam-se os testes iniciais a serem realizados:

- Reprodução pelo MEFG de exemplos numéricos de

análises dinâmicas, previamente desenvolvidos em outros

trabalhos, buscando a validação dos cálculos e comparação

quanto a níveis de precisão e desempenho do MEFG;

- Confronto de soluções via MEFG de sistemas

dinâmicos com diferentes formulações de matriz de massa;


dinâmicos com diferentes formulações de matriz de

amortecimento;

- Confronto de soluções via MEFG do problema de

autovalor por diferentes métodos;


dinâmicos por diferentes métodos de superposição modal;


dinâmicos por diferentes métodos de integração direta.

No decorrer do desenvolvimento do trabalho outros testes

de interesse poderão surgir, sendo eventualmente incluídos

no escopo dessa etapa.

6 Considerações Finais Ao fim do presente trabalho almeja-se a conclusão total

de todo o escopo proposto, além do estudo e

desenvolvimento de conteúdos adicionais de interesse que

certamente surgirão no decorrer do processo, dada a ampla

gama de questões a serem avaliadas no âmbito da dinâmica

estrutural associada ao MEFG.

O desenvolvimento do presente trabalho proporcionará

um entendimento cada vez mais aprofundado dos diversos

campos do conhecimento envolvidos, seja a nível de

métodos numéricos, linguagem de programação ou

mecânica estrutural. Esse conjunto de disciplinas vem

gradualmente transformando-se de diferencial para

essencial à base de conhecimentos do engenheiro de

estruturas.

Vale salientar o quão importante é a compreensão da

estrutura de funcionamento de uma plataforma de

simulações virtuais sustentada por métodos de numéricos

de discretização, dada a ampla utilização de softwares

baseados nesses métodos, principalmente no MEF, nos

diversos setores industriais e acadêmicos por todo o mundo.

Tal conhecimento proporciona ao usuário uma utilização

mais correta e otimizada desse tipo de software, de modo a

transcender cada vez mais a condição de simples operador

da ferramenta.

Como trabalho futuro relacionado, enfatiza-se a

necessidade de adaptação do sistema INSANE também para

a realização de análises estruturais dinâmicas não-lineares

pelo MEFG.


15


Referências

ALVES, P. D. Estratégia global-local aplicada ao método dos

elementos finitos generalizados. Dissertação (Mestrado) —

Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG,

Brasil, maio 2012.

ANACLETO, F. E. S., RIBEIRO, T. S. A., RIBEIRO, G. O.,

PITANGUEIRA, R. L. S., BARROSO, L. F., RESENDE, C. B.

An object-oriented boundary element method software.

CILAMCE, 2011.

ARNDT, M. O método dos elementos finitos generalizados

aplicado à análise de vibrações livres de estruturas reticuladas.

Tese (Doutorado) — Universidade Federal do Paraná, Curitiba,

PR, Brasil, 2009.

BARROS, F. B. 2002. Métodos Sem Malha e Métodos dos

Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de

Estruturas. Tese (Doutorado) — EESC - USP, São Carlos, SP,

Brasil, 2002.

COOK, R. D., MALTHUS, D. S., PLESHA, M. E. Concepts and

Applications of Finite Element Analysis, 3a Edição, John Wiley &

Sons Inc., Madison, EUA, 1989.

CRAIG JR., R. R. Structural Dynamics, an Introduction to

Computer Methods. John Wiley & Sons Inc., Nova York, EUA,

1987.

FONSECA, F. Sistema computacional para análise dinâmica

geometricamente não-linear através do método dos elementos

finitos. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Minas

Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil, agosto 2008.

FUINA, J. S. Formulações de Modelos Constitutivos de

Microplanos para Contínuos Generalizados. Tese (Doutorado) —

Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG,

Brasil, abril 2009.

GERMANIO, L. Implementação orientada a objetos da solução

de problemas estruturais dinâmicos via método dos elementos

finitos. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Minas

Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil, agosto 2005.

HILBER, H. M., HUGHES, T. J. R. E TAYLOR, R. L. Improved

numerical dissipation for time integration algorithms in structural

dynamics. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, v.

5(3), p. 283–292, 1977. Citado por WEAVER JR., JOHNSTON

(1987).

PENNA, S. S. Formulação Multipotencial para Modelos de

Degradação Elástica: Unificação Teórica, Proposta de Novo

Modelo, Implementação Computacional e Modelagem de

Estruturas de Concreto. Tese (Doutorado) — Universidade

Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil, novembro

2011.

PITANGUEIRA, R. L. S., FONSECA, F. T., FUINA, J. S.,

CAMARA, L., FERREIRA, R. L., MOREIRA, R. N., PENNA, S.

S., SALIBA, S. S., FONSECA, M. T. Insane - versão 2.0. XXVII

Latin American Congress on Computational Methods, 2008.

RAYLEIGH, J. W. S. Theory of Sound - Volume 1. Dover

Publications, Nova York, EUA, 1945. Citado por WEAVER JR.,

JOHNSTON (1987).

SANTOS A. L., SILVA F. F. A., BARROS F. B.,

PITANGUEIRA R. L. S. Desempenho de Métodos Direto e

Iterativo para Extração da Solução do Sistema de Equações do

Método dos Elementos Finitos Generalizados. Nono Simpósio de

Mecânica Computacional, 2010.

SILVA, R. P., PITANGUEIRA, R. L. S. E BARROS, F. B.

Métodos sem malha para modelagem de meios parcialmente

frágeis. SIMMEC - Simpósio de Mecânica Computacional, (1), p.

13, 2012.

STROUBOULIS, T., BABUSKA, I. E COPPS, K. The design and

analysis of the generalized finite element method. Computer

Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 181(1-3), p.

43-69, 2000.

TORII, A. J. Análise dinâmica de estruturas com o método dos

elementos finitos generalizado. Tese (Doutorado) — Universidade

Federal do Paraná, Curitiba, PR, Brasil, 2012.

WEAVER JR., W. E JOHNSTON, P. R. Structural Dynamics by

Finite Elements. Prentice-Hall, Nova Jersey, EUA, 1987.

WILSON, E. L., FARHOOMAND, I. E BATHE, K. J. Nonlinear

dynamic analysis of complex structures. Earthquake Engineering

and Structural Dynamics, v. 1(3), p. 241–252, 1973. Citado por

WEAVER JR., JOHNSTON (1987).

WILSON, E. L. Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis

of Structures: A Physical Approach with Emphasis on Earthquake

Engineering. Computers and Structures Inc., Berkeley, EUA,

2006.

ZIENKIEWICZ, O. C. E TAYLOR, R. L. The Finite Element

Method, 5a Edição, Volumes 1, 2 e 3. Butterworth-Heinemann,

Oxford, Inglaterra, 2000.

Documents

Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo …pos.dees.ufmg.br/docs/projetoyuri.pdf · Milione, Y. O.; Barros, F. B. 3 Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013