soluciones geometria

8/18/2019 soluciones geometria

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SOLUCIONES Página 133

SOLUCIONES

Ejercicio 1, página 19.

1) elipse, desplazada sobre el eje X y sobre el eje Y .

2) hipérbola, desplazada sobre el eje X y sobre el eje Y .

3) circunferencia, desplazada sobre el eje X y sobre el eje Y .

4) parábola , desplazada sobre el eje X , sobre el eje Y nada se puede decir y abre hacia el eje Y .

5) no es cónica.

6) parábola, desplazada sobre el eje Y , sobre el eje X nada se puede decir y abre hacia el eje X .

7) circunferencia, no está desplazada sobre ningún eje.

8) no es cónica.

9) hipérbola, desplazada sobre el eje X y sobre el eje Y .10) recta.


12) parábola, sin desplazar sobre el eje X , sobre el eje Y nada se puede decir y abre hacia el eje Y .

13) circunferencia, desplazada sobre el eje Y y no deplazada sobre el eje X .

14) recta.

15) elipse, sin desplazamiento sobre ningún eje.

16) no es cónica.


18) no es cónica.

19) elipse, sin desplazamiento sobre ningún eje.

20) hipérbola, sin desplazamiento sobre eje X , desplazada sobre el eje Y .

21) recta.

22) hipérbola, sin desplazamiento sobre ningún eje.

23) hipérbola, sin desplazamiento sobre eje X , desplazada sobre el eje Y .24) recta.

25) no es cónica.

26) circunferencia, desplazada sobre el eje Y y no deplazada sobre el eje X .

27) elipse, desplazada sobre el eje X y no desplazada sobre el eje Y .

28) no es cónica.

29) parábola, desplazada sobre el eje X , sobre el eje Y nada se puede decir y abre hacia el eje Y .

30) recta.

Ejercicio 2, páginas 32 y 33.

1) 2) 3)68 19.θ = 19 29.θ = 3

3

AD

BC

m

m

=

= −

4) 5) 6) CP = 53

5 BDm = −

3

4CP m = −

7) Q(4.03 ; 2.5) 8) 9)0 62m .= 0 30.θ =

10) m = 0.267 11) m = 6.313 12) m = 0.466

13) m = 0.218 14) d = 9.21 15) d = 10

16) d = 2 17) d = 5.65 18) (2, 1)


2/9


19) 20) C(8, 7) 21) y = 141

42

,

−

22)

7 617 61 Se trata de untriángulo isósceles

5 65

AB . AC .

BC .

=

=

=

23) mediana al lado AB: 24) mediana al lado AB:1

12

,

−

1 9

2 2 ,

mediana al lado BC: mediana al lado BC:( )2 3 , 15

22

,

mediana al lado AC: mediana al lado AC:3

02

,

77

2 ,

25) mediana al lado AB:9

22

,

− −

mediana al lado BC:5 7

2 2 ,

−

mediana al lado AC:1

52

,

−

26)4

13

longitud de sus lados4

13

AB

BD

CD

AC

d

d

d

d

=

=

= =

13 6longitud de sus diagonales

13 6

AD

BC

d .

d .

=

=

Por lo tanto, es un rectángulo

27) .5

5longitud de sus lados

5

5

AB

BC

CD

AD

d

d

d

d

=

=

= =

6longitud de sus diagonales

8

AC

BD

d

d

=

=

Por lo tanto, es un rombo.

28)13 92

13 92longitud de sus lados

13 92

13 92

AB

BC

CD

AD

d .

d .

d .

d .

=

=

= =

10longitud de sus diagonales

26

AC

BD

d

d

=

=

Por lo tanto, es un rombo


3/9


29) 30) (7, 2)mediana al lado AC 14 03

mediana al lado AB = 9 89

mediana al lado BC 10 63

.

.

.

=

=

31) Se calcula la distancia del punto de intersección de las diagonales a cada uno de los vértices y por comparacióndebe verse que las distancias son iguales en cada diagonal.


1) m = - 4 ; b = 2 2) m = - 4 ; b = - 8

3) m = - 3 ; b = - 2 4) m = 5 ; b = 61

5) m = - 9 ; b = 0 6) m = - 19 ; b = 0

7) m = 13 ; b = 0 8) m = - 4 ; b = - 11/2

9) m = - 3 ; b = - 21/5 10) m = 5/2 ; b = 33/2

11) m = -9/7; b = 19/7 12) m = - 3/2; b = 0

13) m = - 1 ; b = 0 14) m = 83/2; b = - 51/2

15) D = 3 ; E = - 1 ; F = 8 16) D = 7 ; E = 1 ; F = - 1

17) D = 5 ; E = - 1 ; F = - 13 18) D = 15 ; E = 1 ; F = 23

19) D = 5 ; E = - 7 ; F = 2 20) D = 4 ; E = - 9 ; F = - 12

21) D = 11 ; E = 14 ; F = - 2 22) D = 1 ; E = 24 ; F = 29

23) D = 1 ; E = 33 ; F = - 25 24) D = 17 ; E = - 14 ; F = 2

25) D = 10 ; E = 4 ; F = - 1 26) D = 10 ; E = - 11 ; F = 0

27) D = 130 ; E = 6 ; F = 5 28) D = 51 ; E = - 12 ; F = - 5


1) 7 x + y - 16 = 0 2) y = 6 x - 26 3) 2 x - y - 6 = 0

4) y = 2 x - 16 5) y = - x - 17 6)1 20

3 3 y x= +

7) 2 x + 3 y = 0 8) 3 x - 7 y - 80 = 0 9) 9 x + 5 y + 32 = 0

10) AB: 4 x + 5 y - 9 = 0 11) AB: 4 x - 11 y + 44 = 0

BC: 5 x + y + 15 = 0 BC: 7 x + y - 4 = 0

AC: x - 4 y + 3 = 0 AC: 11 x - 10 y - 41 = 0

12) 10 x - 8 y + 39 = 0 Se obtienen las coordenadas del punto medio de AB. Se calcula la pendiente del

lado AB y se traslada a la mediatriz por la condición de perpendicularidad. Con

punto y pendiente se obtiene la ecuación pedida.

13) x - 7 y + 3 = 0

14) 2 x - y + 6 = 0 Se obtienen las coordenadas del punto medio de AB. Con ese punto y las coorde-

nadas del vértice C, con dos puntos se obtiene la ecuación pedida.

15) 5 x - 7 y + 1 = 0

16) 5 x - 4 y + 15 = 0 Se calcula la pendiente del lado AB y se traslada a la altura por la condición de

perpendicularidad. Con el punto C y la pendiente se obtiene la ecuación pedida.


4/9


17) x - 7 y + 45 = 0

18) C(- 2, - 2) Se resuelven por simultáneas las ecuaciones de los lados AC y B C.

19) 3 x + 2 y - 4 = 0 Se calculan las coordenadas de los vértices resolviendo por simultáneas las ecua-

ciones de sus lados y luego se repite el proceso de los problemas 12 a 17.

20) 3 x - 5 y - 4 = 0 21) 3 x - y - 6 = 0 22) x - 5 y + 2 = 0

23) x - 5 y - 8 = 0 24) x + 2 y + 4 = 0

25) C( 16/7; 6/7) Se calculan las coordenadas de los vértices resolviendo por simultáneas las ecua-

ciones de sus lados. Se obtienen las ecuaciones de dos mediatrices con el proce-

dimiento de los problemas 12 y 13. Se resuelven por simultáneas éstas ecuacio-

nes.

26) B(4/3; 0) Se calculan las coordenadas de los vértices resolviendo por simultáneas las ecua-

ciones de sus lados. Se obtienen las ecuaciones de dos medianas con el procedi-

miento de los problemas 14 y 15. Se resuelven por simultáneas éstas ecuaciones.

27) d = 4.72 28) d = 5.63

Ejercicio adicional, página 61.

1) 2)( )2

6 33 x + − ( )2

5 32 x + −

3) 4)( )2

1 22 x − − ( )2

7 38 x − −

5) 6)( )2

11 113 x + − ( )2

8 96 x − −

7) 8)

21 43

2 3 x

+ +

23 43

2 4 x

− +

9) 10)

29 81

2 4 x

− −

27 49

2 4 x

+ −


1) ( x + 1)2 + ( y + 2)2 = 4 ; C(- 1; - 2) ; r = 2

2) ( x + 1)2 + ( y + 5)2 = 9 ; C(- 1; - 5) ; r = 3

3) ( x - 2)2 + ( y - 2)2 = 9 ; C( 2; 2) ; r = 3

4) ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1 ; C( 1; - 1) ; r = 1

5) ( x - 5)2 + ( y - 3)2 = 36 ; C( 5; 3) ; r = 6

6) ( x - 3)2 + ( y + 2)2 = 49 ; C( 3; - 2) ; r = 7

7) ( x - 7)2 + ( y + 1)2 = 1 ; C( 7; - 1) ; r = 1

8) ( x + 10)2 + ( y - 5)2 = 25 ; C( - 10; 5) ; r = 5

9) x2 + ( y - 8)2 = 112 ; C( 0; 8) ; r = 10.58


5/9


10) ( x + 9)2 + y2 = 16 ; C( - 9; 0) ; r = 4

11) x2 + y2 + 2 x + 18 y + 73 = 0 12) x2 + y2 + 14 x - 4 y + 4 = 0

13) x2 + y2 - 6 x + 24 y - 16 = 0 14) x2 + y2 + 20 x + 18 y + 100 = 0

15) x2

+ y2

+ 22 x - 2 y + 97 = 0 16) x2

+ y2

+ 26 x - 16 y + 229 = 017) x2 + y2 - 8 x + 6 y + 24 = 0 18) x2 + y2 - 4 x - 18 y + 49 = 0

19) x2 + y2 - 10 y + 9 = 0 20) x2 + y2 + 12 x - 364 = 0

21) D = - 4 ; E = 0 ; F = - 5 22) D = - 10 ; E = 2 ; F = 22

23) D = 12 ; E = - 20 ; F = 87 24) D = 0 ; E = 14 ; F = - 95

25) D = - 6 ; E = 8 ; F = 9 26) D = 16 ; E = 6 ; F = - 8

27) D = 18 ; E = - 2 ; F = - 114 28) D = 0 ; E = 0 ; F = - 64

29) D = - 22 ; E = - 8 ; F = - 32 30) D = - 14 ; E = - 14 ; F = 49

Ejercicio 7, página 87, 88 y 89.

1) x2 + y2 - 4 x - 8 y - 149 = 0 2) x2 + y2 + 2 x - 4 y - 164 = 0

3) x2 + y2 - 2 x - 224 = 0 4) x2 + y2 + 12 x + 8 y + 27 = 0

5) C(- 1 ; 2) Se obtienen las ecuaciones de dos mediatrices cualesquiera y se resuelven

por simultáneas.

6) C(0 ; 0)

7) 3 x - 4 y - 7 = 0 Se calcula la pendiente del radio CP y se traslada a la tangente por la con-

dición de perpendicularidad. Con punto C y pendiente se obtiene la ecua-

ción pedida.

8) 4 x - 3 y + 44 = 0 9) 4 x - 3 y + 35 = 0 10) 2 x - y - 27 = 0

11) ( x + 3)2 + ( y - 2)2 = 225 Se obtienen las coordenadas del punto medio del diámetro, que es el cen-

tro C. Con las coordenadas del centro y de uno de los puntos dados se cal-

cula la longitud del radio. Con centro y radio se deduce la ecuación parti-

cular de la circunferencia.

12) ( x + 5)2 + ( y + 7)2 = 25

13) ( x - 2)2 + ( y - 5)2 = 100 Se obtiene la ecuación del lado QR con la fórmula de dos puntos. La dis-

tancia del lado QR al centro es el radio. Esa distancia se calcula con la

fórmula de distancia entre un punto y una recta. Con centro (P) y radio se

deduce la ecuación particular de la circunferencia.

14) ( x - 4)2 + y2 = 169

15) x2 + ( y - 3)2 = 225 Se calcula la ecuación de la mediatriz al segmento PQ. Esta mediatriz pasa

por el centro (ver propiedad 2, página 8). Las coordenadas del centro de la

circunferencia son C(0, k) y como por allí pasa la mediatriz, se sustituyen

las coordenadas del centro en la ecuación de la mediatriz para obtener k.

Con las coordenadas del centro y de uno cualquiera de los dos puntos da-

dos se abtiene el radio. Con centro y radio se deduce la ecuación particular

de la circunferencia.


6/9


16) ( x - 4)2 + y2 = 25

17) ( x + 3)2 + y2 = 169 Se obtiene la ecuación del radio que pasa por P con la ecuación de punto-

pendiente (pendiente perpendicular a la tangente dada). Se obtiene la

ecuación de la mediatriz al segmento PQ. Resolviendo por simultáneas

estas dos ecuaciones se obtienen las coordenadas del centro. Se calcula elradio con la distancia del centro a uno de los dos puntos dados. Con centro

y radio se deduce la ecuación particular de la circunferencia pedida.

18) ( x + 1)2 + ( y - 3)2 = 25

19) 36 x2 + 36 y2 - 840 x -828 y + 5008 = 0 o bien

2 235 23

1003 2

x y

− + − =

Con el radio y la ecuación de una de las rectas se emplea la fórmula de distancia entre un punto y una recta,

resultando una ecuación con dos incógnitas h y k. Se repite lo anterior con la otra recta para obtener así dos

ecuaciones con dos incógnitas. Se resuelven por simultáneas para obtener h y k. Con centro y radio se dedu-

ce la ecuación particular de la circunferencia.

20)

2 222 21

253 4

x y

− + + =

21) Para que sean tangentes exteriores debe cumplirse que la suma de sus radios sea igual a la distancia entre sus

centros.


1) ( x + 3)2 = 4( y + 1) V(- 3; - 1) p = 1 f(- 3 ; 0)

2) ( x - 2)2 = 12( y + 5) V( 2; - 5) p = 3 f( 2 ; - 2)

3) ( x - 3)2 = - 8( y + 2) V( 3; - 2) p = - 2 f( 3 ; - 4)

4) ( y + 8)2 = 20( x + 1) V( - 1; - 8) p = 5 f( 4 ; - 8)

5) ( y - 6)2 = - 4( x - 3) V( 3; 6) p = - 1 f( 2 ; 6)

6) ( y - 3)2 = - 24( x + 1) V( - 1; 3) p = - 6 f( - 7 ; 3)

7) y2 = 8( x - 1) V( 1; 0) p = 2 f( 3 ; 0)

8) ( y + 2)2 = - 16 x V( 0; - 2) p = - 4 f( - 4 ; - 2)

9) x2 = - 12( y + 5) V( 0; - 5) p = - 3 f( 0 ; - 8)

10) ( x - 7)2 = 20 y V( 7; 0) p = 5 f( 7 ; 5)

11) x2 + 6 x - 24 y + 33 = 0 12) x2 + 14 x - 4 y + 93 = 0

13) x2 + 18 x + 8 y + 161 = 0 14) x2 - 2 x - 12 y + 49 = 0

15) x2 + 8 y + 80 = 0 16) y2 + 16 x - 12 y + 132 = 0

17) y2 + 20 x - 16 y + 84 = 0 18) y2 + 4 x - 24 y + 136 = 0

19) y2 + 28 x + 28 = 0 20) y2 + 40 x + 8 y + 16 = 0

21) ( y - 2)2 = 16( x - 2) 22) ( x - 2)2 = - 12( y + 2)

23) ( y + 1)2 = 12( x + 3) 24) ( y - 3)2 = - 24( x - 5)


7/9


25) ( x + 4)2 = 24( y + 2) 26) ( x - 9)2 = - 24( y - 1)

27) ( y - 1)2 = - 16( x - 3) 28) ( y - 5)2 = - 8( x - 2)

29) ( x + 3)2 = - 16 y 30) ( x + 2)2 = 4( y + 2)

31) ( y - 3)2 = 8( x - 7) 32) ( y + 2)2 = - 12( x - 3)

33) ( y - 3)2

= 16( x + 4) 34) ( x - 1)2

= - 12( y - 5)35) ( y - 7)2 = 3 x 36) ( y - 7)2 = 8( x + 2)

37) ( y - 1)2 = - 12( x - 4) 38) ( x + 3)2 = 16( y + 5)

39) ( x - 11)2 = - 4( y - 1) 40) ( x + 2)2 = - 8( y - 3)

41) ( x + 2)2 = - 12( y - 1) 42) ( y - 4)2 = 12( x + 5)

43) ( x - 1)2 = 20( y + 9) 44) ( x + 5)2 = 12( y + 9)

45) ( x - 1)2 = 4( y - 5) 46) ( x - 5)2 = 8( y + 1)

47) ( x - 6)2 = - 2( y + 2)


1) 2)( ) ( )

2 21 3

14 16

x y+ ++ =

( ) ( )2 2

3 11

4 25

x y− ++ =

3) 4)( ) ( )

2 22 4

136 9

x y+ ++ =

( ) ( )2 2

7 81

64 25

x y− ++ =

5) 6)( ) ( )

2 29 1

116 9

x y+ −+ =

( ) ( )2 2

11 31

25 1

x y− ++ =

7) 8)

( ) ( )2 2

2 1

136 25

x y+ +

+ =

( ) ( )2 2

6 7

15 80

x y− +

+ =

9) x2 + 4 y2 + 10 x + 16 y + 25 = 0 10) 9 x2 + 16 y2 + 18 x - 256 y + 889 = 0

11) x2 + 9 y2 - 8 x + 126 y + 421 = 0 12) 49 x2 + 25 y2 + 882 x - 50 y + 2769 = 0

13) 4 x2 + 9 y2 + 64 x - 72 y + 364 = 0 14) 4 x2 + 9 y2 - 88 x - 18 y + 457 = 0

15) x2 + 64 y2 + 12 x + 256 y + 228 = 0 16) x2 + 9 y2 + 10 x - 216 y + 1240 = 0

17) 18)( ) ( )

2 21 2

125 169

x y− ++ =

( ) ( )2 2

3 21

169 144

x y− −+ =

19) 20)( )

2 2

6 1100 64

x y−

+ = ( ) ( )

2 2

2 3 19 25

x y+ −

+ =

21) 22)( )

2 221

225 144

x y++ =

( ) ( )2 2

4 11

169 144

x y− −+ =

23) 24)( ) ( )

2 24 5

1256 400

x y− ++ =

( ) ( )2 2

1 11

9 25

x y− −+ =


8/9


25) 26)( ) ( )

2 25 2

1169 144

x y+ ++ =

2 2

141 16

x y+ =

27) 28)

( ) ( )2 2

3 1

1169 25

x y− +

+ =

( )2 21169 144

y x −

+ =

29) V1(1 ; 6) ; V2(1 ; - 4) 30) V1(- 18 ; - 2) ; V2(8 ; - 2)

31) V1(- 3 ; 23) ; V2(- 3 ; - 29) 32) V1(- 10 ; - 1) ; V2(16 ; - 1)

33) V1(- 10 ; 5) ; V2( 16 ; 5) 34)( ) ( )

2 23 2

115 64

x y− −+ =

35) 36)( ) ( )

2 21 4

181 45

x y+ −+ =

2 2

11521 225

x y+ =

37) 38)( )

22 21

48 64

y x ++ =

( ) ( )2 2

3 41

625 400

x y− −+ =

39)( ) ( )

2 23 8

145 20

x y− −+ =


1) 2)( ) ( )

2 21 3

14 16

x y+ +− =

( ) ( )2 2

3 11

4 25

x y− +− =

3) 4)( ) ( )

2 24 2

19 36

y x+ +− =

( ) ( )2 2

8 71

25 64

y x+ −− =

5) 6)( ) ( )

2 29 1

116 9

x y+ −− =

( ) ( )2 2

3 111

1 25

y x+ −− =

7) 8)( ) ( )

2 21 2

125 36

y x+ +− =

( ) ( )2 2

1 61

4 1

x y− +− =

9) x2 - 4 y2 + 10 x - 16 y - 7 = 0 10) 9 x2 - 16 y2 + 18 x + 256 y - 1159 = 0

11) x2 - 9 y2 - 8 x - 126 y - 461 = 0 12) 49 x2 - 25 y2 + 882 x + 50 y + 2719 = 0

13) 9 x2 - 4 y2 - 72 x - 64 y - 76 = 0 14) 9 x2 - 4 y2 - 18 x + 88 y - 439 = 0

15) 100 x2 - 49 y2 + 1400 x - 9800 = 0 16) 10 x2 - 24 y2 - 144 y - 456 = 0

17) 18)( ) ( )

2 22 1

1169 27

y x+ −− =

( ) ( )2 2

3 21

169 56

x y− −− =


9/9


19) 20)( )

2 261

100 69

x y−− =

( ) ( )2 2

3 21

25 39

y x− +− =

21) 22)( )

2 221

225 16

x y+− =

( ) ( )2 2

4 11

169 1

x y− −− =

23) 24)( ) ( )

2 25 4

1400 9

y x+ −− =

( )22 1

19 16

x y −− =

25) 26)( ) ( )

2 25 2

116 9

x y+ +− =

2 2

19 16

x y− =

27) 28)( ) ( )

2 23 1

125 144

x y− +− =

( )22 2

116 9

y x −− =

29) V1(1 ; 2) ; V2(1 ; - 8) 30) V1(- 9 ; - 2) ; V2(- 1 ; - 2)

31) V1(- 30 ; 0) ; V2(- 6 ; 0) 32) V1(13 ; - 1) ; V2(- 11 ; - 1)

33) V1( 12 ; 2) ; V2(- 12 ; 2)

34) 35)( )3

5 24

y x+ = ± + 3

4 x= ±

36) 37)( )5

1 312

y x+ = ± − 3

24

x− = ±

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