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Sphaier - Hidrodinâmica II
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Programa de Engenharia Oceanica
COPPE / UFRJUniversidade Federal do Rio de Janeiro
Hidrodinamica II
SH Sphaier
Marco de 2005
Conteudo
1 Escoamento Laminar 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 A experiencia de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Pressao hidrostatica e pressao dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Efeito de altos e baixos numeros de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 A equacao de Bernoulli e o conceito de perda de carga . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Solucoes para Escoamentos Laminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.1 Escoamento entre duas placas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.2 Escoamento de Hagen-Poiseuille em um Tubo . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.3 Escoamento entre dois cilindros concentricos . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.4 Processos de difusao no tempo pela viscosidade . . . . . . . . . . . . . 14
2 Camada Limite Laminar 27
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Equacao de Camada Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 As Diversas Definicoes de Espessura de Camada Limite . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Espessura δ99 para vx = 0.99U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Espessura de Deslocamento δ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Espessura de Momentum θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Camada Limite Laminar em Placa Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 A integral de von Karman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Esquema de Pohlhausen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 Aplicacao para o Caso da Camada Limite em uma Placa Plana . . . . . . . . 44
2.8 Efeito do Gradiente de Pressao: Separacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana 53
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Equacoes de Transporte Promediadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 O problema do fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Subdivisao da Camada Limite Turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
i
ii Texto Preliminar, SH Sphaier
3.5.1 Resistencia friccional de placas utilizadas pelo ATTC e pelo ITTC . . . 63
3.5.2 Lei de Potencia para Resistencia de Placa em Escoamento Turbulento . 64
4 Escoamento em torno de um Cilindro Circular 69
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Influencia do Numero de Reynolds no Regime do Escoamento . . . . . . . . . 70
4.3 Forca de Arrasto e Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Escoamento Retilıneo Oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Escoamento Incidindo sobre Cilindro com Base Elastica . . . . . . . . . . . . . 89
5 Movimento em Vortice 93
5.1 Cinematica do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Teorema de Thomson da Permanencia da Circulacao . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Dinamica do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5 Teoremas de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.1 Da Convervacao da Linha de Vortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.2 Da Convervacao da Intensidade de um Tubo de Vortice . . . . . . . . . 99
5.6 Velocidade Induzida - Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7 Construcao Simplificada de um Vortice Assumindo um nucleo de Rotacao Con-
stante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.8 Distribuicao de Pressao nas Vizinhancas de um Vortice . . . . . . . . . . . . . 106
6 Perfis 109
6.1 Sustentacao e Arrasto (Lift e Drag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Coeficientes de Arrasto e Sustentacao; Analise Dimensional . . . . . . . . . . . 110
6.3 Distribuicao de Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4 Introducao ao Fenomeno de Cavitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5 Relacao entre Sustentacao e Circulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.6 Circulacao em torno de um Hidrofolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.7 Experimento sobre Aparecimento dos Vortices de Partida e de Corpo . . . . . 122
6.8 Geracao de Perfis Utilizando-se Transformacao Conforme . . . . . . . . . . . . 132
6.8.1 Transformacao de um Cırculo em um Segmento de Reta . . . . . . . . 133
6.8.2 Transformacao de um Cırculo em um Arco de Cırculo . . . . . . . . . . 133
6.8.3 Transformacao de um Cırculo em um Perfil Simetrico . . . . . . . . . . 134
6.8.4 Transformacao de um Cırculo em um Perfil nao Simetrico . . . . . . . . 135
6.9 Escoamento em torno de um Perfil nao Simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7 Asas 139
7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Velocidade Induzida e Resistencia Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Texto Preliminar, SH Sphaier iii
7.3 Campo de Velocidades Induzidas Considerando-se o Vortice de Corpo . . . . . 142
7.4 Distribuicao de Circulacao ao longo da Asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.5 Distribuicao de Circulacao, de Velocidade Induzida e de Arrasto Induzido . . . 145
7.6 Aplicacao na Analise do Comportamento de Propulsores . . . . . . . . . . . . 148
8 Ondas de Gravidade 151
8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Problema de Valor de Contorno para Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . 152
8.3 Linearizacao do Problema de Valor de Contorno Bidimensional . . . . . . . . . 154
8.4 Solucao por Separacao de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.5 Teoria Linear de Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.5.1 A Equacao de Dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.5.2 Campos de Velocidade e de Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.5.3 Orbitas das Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.5.4 Distribuicao de Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.6 Aguas Profundas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.7 Aguas Rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.8 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.8.1 Fluxo de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.8.2 Energia de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.8.3 Fluxo de Energia e Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.8.4 Onda Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.9 Resumo das Principais Expressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.9.1 Aguas Intermediarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.9.2 Aguas Profundas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.9.3 Aguas Rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.10 Batedor de Ondas do Tipo Pistao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.10.1 Obtencao do Potencial de Velocidades Solucao do Problema . . . . . . 186
8.10.2 Batedor de Ondas Tipo Flap e Outros Tipos . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.11 Hipotese de Froude-Krylov para o Calculo de Forca de Onda . . . . . . . . . . 192
8.11.1 Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares . . . . . . . . . . 194
8.11.2 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em um Retangulo . . . . . . 197
8.11.3 Extensao da expressao de Froude-Krylov para o caso de um Navio com
fundo plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.11.4 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Semi-submersıveis198
8.12 Ondas de Gravidade: Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.12.1 O Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.12.2 Princıpios Basicos para Expansao em Ordens . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.12.3 Aplicacao ao Problema de Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . . . 204
8.12.4 Mudanca de Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
iv Texto Preliminar, SH Sphaier
8.12.5 Equacao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.12.6 Condicao de Contorno no Fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.12.7 Condicao de Contorno Cinematica na Superfıcie Livre . . . . . . . . . . 207
8.12.8 Condicao de Contorno Dinamica na Superfıcie Livre . . . . . . . . . . . 208
8.12.9 Potencial de Ondas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.12.10Potencial de Ondas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Lista de Figuras
1.1 A Experiencia de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Escoamento entre duas Placas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Escoamento laminar em um tubo de secao circular . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Escoamento laminar entre dois cırculos concentricos . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Escoamento Laminar em um Domınio Semi-Infinito sobre uma Placa Plana
com Movimento Impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Escoamento ocasionado por uma folha de vortice . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Decaimento de um vortice com o tempo por efeito viscoso . . . . . . . . . . . 22
1.8 Perfıs de velocidades ao longo do tempo devidos ao movimento oscilatorio de
uma placa plana infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Camada limite sobre uma placa plana I: Espessura e Regime . . . . . . . . . . 32
2.2 Camada limite sobre uma placa plana II: Espessura e Regime . . . . . . . . . 33
2.3 Camada limite sobre uma placa plana III - Espessuras . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Camada limite sobre uma placa plana IV: Perfil de Velocidades . . . . . . . . 36
2.5 Camada limite sobre uma placa plana II: Perfil de Velocidades . . . . . . . . . 37
2.6 Camada limite sobre uma placa plana III: Perfil de Velocidades . . . . . . . . 38
2.7 Distribuicao de velocidade vertical na camada limite laminar . . . . . . . . . . 40
2.8 Comparacao de perfıs de velocidade horizontal nas camadas limite laminar e
turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9 Escoamento em torno de um cilindro circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.10 Influencia do Gradiente de Pressao na Separacao I . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.11 Influencia do Gradiente de Pressao na Separacao II . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.12 Evolucao do escoamento em torno de um cilindro circular I . . . . . . . . . . . 49
2.13 Evolucao do escoamento em torno de um cilindro circular II . . . . . . . . . . 50
2.14 Coeficiente de Arrasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Influencia da parede e da turbulencia no perfil de velocidades e na tensao . . . 58
3.2 Extrapoladores do ITTC e do ATTC, representativos da resistencia friccional . 64
3.3 Perfil de velocidades para escoamento turbulento em um duto em funcao do
numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Aproximacoes de Prandtl e Blasius para Placa Plana . . . . . . . . . . . . . . 67
v
vi Texto Preliminar, SH Sphaier
4.1 Escoamento em torno de um cilindro circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Mecanismo de Separacao alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Numero de Strouhal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Cm e Cd de uma Secao Circular para Baixos Numeros de Reynolds em um
Escoamento Oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Cd de uma Secao Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilatorio . . . 82
4.6 Cm de uma Secao Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilatorio . . . 83
4.7 Cd de uma Secao Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilatorio . . . 84
4.8 Cm de uma Secao Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilatorio . . . 85
4.9 Cd de uma Secao Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilatorio . . . 86
4.10 Cm de uma Secao Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilatorio . . 87
4.11 Regioes de Validade da Formulacao de Morison . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.12 Esquema da Experiencia realizada por Feng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.13 Resultados obtidos por Feng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1 Linha de vortice, Superfıcie e Tubo de Vortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Circulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Superfıcie de Vortice envolvendo um Tubo de Vortice. Circulacao em torno de
um tubo de vortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5 Linha de Vortice Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 Vorticidade fluindo atraves de um nucleo fluido girando como corpo rıgido . . 104
5.7 Superposicao de escoamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.8 Distribuicoes de pressao e velocidade induzida em torno de um vortice . . . . . 107
6.1 Hidrofolio em um escoamento retilıneo; Grandezas caracterısticas . . . . . . . 110
6.2 Coeficientes de sustentacao e arrasto para um perfil NACA I . . . . . . . . . . 112
6.3 Coeficientes de sustentacao um perfil NACA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4 Coeficientes de arrasto um perfil NACA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.5 Coeficientes de sustentacao um perfil NACA III . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.6 Coeficientes de arrasto um perfil NACA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.7 Distribuicao de pressoes ao longo de um perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.8 Comparacao entre resultados calculados e experimentais para os coeficientes
CL e CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.9 Superposicao de escoamentos para representar a presenca de um vortice em
torno de um perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.10 Evolucao do escoamento em torno de um perfil no tempo . . . . . . . . . . . . 122
6.11 Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida I . . . . . . 124
6.12 Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida II . . . . . . 125
6.13 Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida III . . . . . 127
6.14 Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida IV . . . . . 128
Texto Preliminar, SH Sphaier vii
6.15 Sequencia de fotos mostrando a liberacao do vortice de corpo I . . . . . . . . . 130
6.16 Sequencia de fotos mostrando a liberacao do vortice de corpo II . . . . . . . . 131
6.17 Transformacao de um cırculo em um segmento de reta . . . . . . . . . . . . . 132
6.18 Transformacao de um cırculo em um arco de cırculo . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.19 Transformacao de um cırculo em um perfil simetrico . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.20 Transformacao de um cırculo em um perfil nao simetrico . . . . . . . . . . . . 135
6.21 Escoamento em torno de um perfil nao simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1 Vortices devidos ao movimento de asas em um meio fluido . . . . . . . . . . . 140
7.2 Velocidades induzidas devidas aos vortices de ponta . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 Distribuicao de velocidades induzidas por um vortice de ponta em uma secao
da asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4 Velocidade devida ao vortice de corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.5 Composicao de velocidades devidas a vortices de corpo e de ponta . . . . . . . 143
7.6 Velocidades e forcas atuantes em um perfil de asa . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.7 Variacao da circulacao ao longo da asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.8 Fluxo de vortices livres ao longo da asa. Observando-se a asa por tras, no
plano da asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.9 Modelo tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.10 Diagrama de velocidades e forcas em um propulsor . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.1 Perfil da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.2 Solucao grafica da equacao de dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.3 Onda propagando-se em fundo plano inclinado I . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.4 Onda propagando-se em fundo plano inclinado II . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.5 c/c∞, L/L∞ e cg/c∞ em funcao de d/L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.6 Obtencao grafica dos autovalores mj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.7 Perfil da onda e perfis de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.8 Perfil da onda e perfis de aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.9 Orbitas das partıculas Fluidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.10 Distribuicao da pressao em ondas, com a profundidade . . . . . . . . . . . . . 173
8.11 Energia potencial de uma fatia vertical em uma onda . . . . . . . . . . . . . . 177
8.12 Grupo de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.13 H/H∞ em funcao de d/L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.14 Gerador de Ondas em Forma de Pistao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.15 Cancelamento em Formas Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.16 Cancelamento em Estruturas Semisubmersıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Capıtulo 1
Escoamento Laminar
1.1 Introducao
Embora tenhamos nos dedicado em varios capıtulos anteriores ao estudo de escoamentos
potenciais, nao deve se entender que haja fluidos nao viscosos. Tratamos, na realidade, de
escoamentos onde os efeitos viscosos sao desprezıveis. No presente capıtulo vamos estudar
escoamentos em que os efeitos da viscosidade sao importantes, apresentando inicialmente a
experiencia de Reynolds, em que pode diferenciar as caracterısticas de um escoamento quando
se observa a acao das forcas viscosas em comparacao com as forcas inerciais, classificando
os regimes laminar, transitorio e turbulento. Vamos nos concentrar no estudo de alguns
escoamentos laminares enfocando a influencia da difusao dos efeitos viscosos a partir de uma
parede em contato com um fluido em movimento. Como os fluidos com que lidamos em
engenharia naval e oceanica sao em geral a agua e o ar, que tem baixa viscosidade, vamos
observar que o processo de difusao e bastante lento.
Como vimos anteriormente, as leis que regem o escoamento de um fluido incompressıvel num
campo de forcas de corpo gravitacional sao:
- conservacao da massa, expressa na equacao da continuidade,
∇ · v = 0 (1.1)
- conservacao da quantidade de movimento, representada pela equacao de Navier-Stokes,
ρD
Dtv = ρg −∇p+ µ∇2v (1.2)
1
2 Texto Preliminar, SH Sphaier
- impenetrabilidade nas superfıcies que delimitam o domınio fluido, com vetor normal n,
dada por:
v · n = 0. (1.3)
Com a consideracao da viscosidade, uma condicao adicional tem que ser imposta ao problema
que e:
- aderencia das partıculas fluidas junto a paredes.
v · t = 0 (1.4)
onde t e o vetor tangencial as superfıcies que delimitam o domınio fluido.
A solucao deste sistema de equacoes e o grande desafio da mecanica dos fluidos. Nao se
conhece uma solucao fechada do problema. Particularidades em alguns escoamentos, como
por exemplo o fenomeno de turbulencia, tornam o problema bastante mais complexo.
Para que possamos desenvolver o conhecimento sobre o problema, introduzimos algumas
hipoteses simplificadoras levando a situacoes menos complexas, cujas solucoes, acompanhadas
de observacoes de escoamentos reais nos levam a uma maior compreensao dos fenomenos
envolvidos.
1.2 A experiencia de Reynolds
Osborne Reynolds em 1883 conduziu uma experiencia mostrando os diversos regimes de es-
coamento de um fluido em um tubo. Utilizou um reservatorio com fluido em repouso tendo
na regiao inferior um tubo horizontal dotado de uma torneira, conforme mostrado na figura
(1.1). Abrindo a torneira deixava o fluido escoar e introduzindo um filete de tinta no escoa-
mento, com a ajuda de um tubo bem fino cuja extremidade era colocada junto a entrada do
tubo horizontal, observou que inicialmente a tinta escoava ao longo do tubo sem perturbacao
e que apos um certo trecho comecam a aparecer perturbacoes no filete de tinta, provocando
oscilacoes, movimentos no sentido vertical. Essas perturbacoes, que no inıcio nao se manifes-
tavam, aumentavam gradativamente a medida que o fluido avancava no tubo, ate alcancar um
regime de escoamento totalmente agitado. Com esta experiencia, caracterizou tres regimes
distintos de escoamento, aos quais deu o nome de laminar, transitorio e turbulento.
Texto Preliminar, SH Sphaier 3
Figura 1.1: A Experiencia de Reynolds
Podemos dizer que no regime laminar, as forcas viscosas, ordenadoras, nao permitem que as
partıculas de tinta ‘saiam de suas laminas’, suplantando as forcas de inercia. Com o avanco as
forcas de inercia vao crescendo e, gradativamente, superando as forcas viscosas, acarretando
crescentes perturbacoes no escoamento, que vao se tornando mais frequentes ate que dominam
o escoamento.
O parametro que traduz essa relacao entre forcas inerciais e viscosas e o numero de Reynolds:
Re =ρUL
µ
onde ρ e a massa especıfica; U a velocidade caracterıstica; L o comprimento caracterıstico e
µ a viscosidade dinamica,
1.3 Pressao hidrostatica e pressao dinamica
Podemos expressar a pressao p como a soma de duas contribuicoes, a pressao hidrostatica ps
e a pressao dinamica pd:
p = ps + pd
4 Texto Preliminar, SH Sphaier
em que a pressao hidrostatica corresponde a parcela da contribuicao para o caso do fluido em
repouso, isto e, deve-se as forcas gravitacionais:
ρg −∇ps = 0
Assim, a equacao de Navier-Stokes pode ser escrita como:
ρD
Dtv = −∇pd + µ∇2v
e a pressao dinamica sera devida aos efeitos dinamicos do movimento do fluido.
1.4 Efeito de altos e baixos numeros de Reynolds
A equacao de Navier-Stokes mostra um relacao entre as forcas inerciais, as forcas devidas
as pressoes dinamicas e aos efeitos viscosos. As caracterısticas do escoamento resultante
depende da participacao de cada uma dessas forcas. Para fazermos uma analise da ordem de
contribuicao de cada parcela recorremos ao estudo da equacao na forma normalizada. Com o
uso de
v = Uv′, r = Lr
′, pd = ρU2p
′e t =
L
Ut′.
na equacao de Navier-Stokes (1.2), obtemos:
∂v′
∂t′+ v
′ · ∇′v
′= −∇′
p′+
1
Re
∇′2v′
(1.5)
A partir desta forma da equacao podemos dizer, a princıpio, que a equacao de Navier-Stokes,
na forma original, para altos numeros de Reynolds, pode ser aproximada por:
∂v
∂t+ ρv · ∇v = −∇pd (1.6)
Esta e a equacao de Euler para escoamentos com efeitos viscosos desprezıveis, ou em outras
palavras, a equacao que rege o escoamento de um fluido invıscito.
Esta primeira aproximacao e, entretanto, incorreta, pois os efeitos viscosos nao podem ser
desconsiderados totalmente em todas as partes do escoamento. No caso de altos numeros
de Reynolds, os efeitos viscosos junto a paredes ou superfıcies de corpos imersos, nao sao
desprezıveis como veremos no estudo de camada limite. Lembramos aqui do ’Paradoxo de D’
Alembert’ quando observamos o resultado obtido no calculo da forca de arraste em um cilindro
circular utilizando a teoria potencial. Integramos as pressoes obtidas atraves da integral
da equacao de Euler, que resulta da equacao acima (1.6), sob a condicao de escoamento
Texto Preliminar, SH Sphaier 5
irrotacional. A forca de arraste, para regime permanente e nula, o que nao corresponde a
nossa experiencia real.
No caso de baixos numeros de Reynolds observamos que analisando a equacao (1.5), chegamos
a
∇′2v′= 0
que nao faz sentido. Observando, na equacao original dimensional (1.2) que o termo convectivo
e de ordem O(U2), podemos ter a expectativa que ele seja desprezıvel em relacao aos outros
dois termos, indicando que as forcas viscosas equilibrem as forcas devidas ao gradiente de
pressao. Assim, nao podemos normalizar a pressao com ρU2, porem com Uµ/L. Assim
procedendo, obtemos:
Re(∂v
′
∂t′+ v
′ · ∇′v
′) = −∇′
p′+∇′2v
′(1.7)
Para pequenos valores do numero de Reynolds os termos inerciais sao desprezıveis e a equacao
de Navier-Stokes pode ser simplificada, assumindo a forma:
−∇p+ ν∇2v = 0 (1.8)
Este regime de escoamento e conhecido como ”creeping flow”.
1.5 A equacao de Bernoulli e o conceito de perda de
carga
Introduzindo na equacao de Navier-Stokes (1.2) a expressao
D
Dtv =
∂v
∂t+ (v · ∇)v =
∂v
∂t− ρv × ξ +∇(
1
2v · v)
e, como as forcas de corpo derivam de um campo gravitacional, a expressao:
ρg = −ρgk = −∇(ρgz),
obtemos:
ρ∂v
∂t− ρv × ξ = −∇(
1
2ρ | v |2 +p+ ρgz) + µ∇2v (1.9)
Considerando que o regime e permanente, as linhas de corrente coincidem com as trajetorias
das partıculas fluidas. Eliminando o termo da derivada local na equacao (1.9) e multiplicando
pelo elemento de linha de corrente ou trajetoria, ds = vdt, obtemos:
∇(1
2ρ | v |2 +p+ ρgz) · ds = ρv × ξ · ds + µ∇2v · ds
6 Texto Preliminar, SH Sphaier
e lembrando que
(v × ξ) · v = 0
temos:
∇(1
2ρ | v |2 +p+ ρgz) · ds = µ∇2v · ds = ∇τ · ds
O primeiro termo e uma diferencial exata, assim a integral ao longo da trajetoria entre dois
pontos 1 e 2 conduz a:∫ 2
1
∇(1
2ρ | v |2 +p+ ρgz) · ds =
∫ 2
1
d(1
2ρ | v |2 +p+ ρgz) =
[1
2ρ | v |2 +p+ ρgz
]2
1
=
∫ 2
1
∇τ · ds
Isto e a diferenca entre a soma das energias cinetica, potencial e de pressao entre esses dois
pontos deve-se a perda por efeito viscoso. Caso os efeitos viscosos sejam desprezıveis chegamos
a classica equacao de Bernoulli. Nao sendo desprezıveis a diferenca entre a soma das energias
e a perda de carga.
Esta expressao e empregada no projeto de redes de abastecimento, em que lidamos com
escoamentos internos em dutos. Conduzimos experiencias em laboratorios, com escoamentos
em tubos, unioes, reducoes, valvulas, etc..., medindo a velocidade, a pressao e a posicao
vertical das extremidades da peca e entao avaliando a perda de carga. Tabelando esses
resultados, criamos condicoes para, posteriormente, dimensionarmos redes.
Linha piezometrica
Linha de Energia
Linhas para o caso em que o diametro do tubo e constante, vazao constante, velocidade media
constante.
Linhas para o caso real para vazao constante e caso real. Perda de carga.
1.6 Solucoes para Escoamentos Laminares
1.6.1 Escoamento entre duas placas planas
Consideremos o escoamento bidimensional laminar de um fluido contido entre duas placas
planas infinitas paralelas, distando 2b entre si. Uma das placas permanece parada, enquanto a
outra pode deslocar-se. Alem disto, pode agir um gradiente de pressao no sentido longitudinal.
Texto Preliminar, SH Sphaier 7
Como, devido ao atrito, as velocidades tangenciais do fluido junto as placas sao iguais as
velocidades das placas, havera uma retencao do fluido junto a placa que nao se movimenta, e
um arraste do fluido junto a placa que se move.
A acao do gradiente de pressao tambem cria um movimento do fluido entre as placas, atuando
como uma bomba.
O escoamento e bidimensional, na direcao Ox, o eixo Oy perpendicular as placas, e assim as
derivadas em z, ∂/∂z e ∂2/∂z2, sao nulas. O escoamento se repete para qualquer x, isto e,
e invariante com x, portanto ∂vx/∂x = 0. Assim, com a equacao da continuidade, obtemos
∂vy/∂y = 0 e como junto as paredes vy = 0, entao vy = 0 em todo o domınio fluido. Isto
e, o escoamento e paralelo a Ox e as equacoes de conservacao da quantidade de movimento
tomam a forma:
0 = −1
ρ
∂p
∂x+ ν
∂2vx
∂y2
0 = −1
ρ
∂p
∂y
A segunda equacao mostra que a pressao nao e uma funcao de y. Consequentemente na
primeira equacao temos que o primeiro termo e funcao exclusiva de x, enquanto o segundo
termo e funcao exclusiva de y, isto e, a variacao das tensoes com y e constante
d p
d x= µ
d2 vx
d y2=d τ
d y; → d p
d xd y = d τ = µd
[d vx
d y
]A integracao do segundo termo leva entao a:
0 =y2
2
dp
dx+ µvx + Ay +B
Para a determinacao das constantes, devemos usar as condicoes de contorno. No limite
inferior, y = 0, a condicao vx = 0 exige que B = 0. No limite superior, y = 2b, temos vx = U
e entao A = bdp/dx− µU/(2b). Assim, o campo de velocidades e dado por:
vx =Uy
2b− y
µ
dp
dx(b− y
2) (1.10)
e a tensao cisalhante por:
τ =µU
2b− dp
dx(b− y) (1.11)
A vazao volumetrica sera entao:
Q =
∫ 2b
0
udy = Ub[1− 2b2
3µU
dp
dx] (1.12)
8 Texto Preliminar, SH Sphaier
e a velocidade media
vx =Q
2b=U
2[1− 2b2
3µU
dp
dx] (1.13)
A figura (1.2) mostra diversas possibilidades de escoamento, dados pela expressao da solucao
do problema (1.10. Essas solucoes dependem dos valores do gradiente de pressao e das veloci-
dades das placas. Entre eles apresentamos os escoamentos de Couette e escoamento plano de
Hagen-Poiseuille.
Figura 1.2: Escoamento entre duas Placas Planas
Escoamento de Couette
Chamamos de escoamento de Couette a um caso particular do escoamento entre duas placas
que se deve unicamente ao movimento da placa superior, sem a imposicao de um gradiente de
pressao. A solucao, obtida a partir da expressao (1.10) desprezando-se o gradiente de pressao,
conduz a uma distribuicao linear de velocidade.
vx =Uy
2b
com tensoes
τ = µdvx
dy=µU
2b
uniformemente distribuidas em y.
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
Escoamento Plano de Hagen-Poiseuille
Este e outro caso de escoamento entre duas placas planas, em que a placa superior nao se
movimenta e somente o gradiente de pressao atua para movimentar o fluido. A expressao do
campo de velocidades e obtida da expressao (1.10), eliminando a velocidade da placa superior.
O campo de velocidade na direcao Ox e dado por:
vx = −yµ
dp
dx(b− y
2)
que e uma equacao quadratica em y, isto e, descreve uma parabola.
As tensoes sao dadas por:
τ = µdvx
dy= (b− y)
dp
dx
variando linearmente com y e se anulando entre as duas placas.
1.6.2 Escoamento de Hagen-Poiseuille em um Tubo
Vamos agora estudar o caso de um escoamento laminar permanente em um duto de secao
circular. Trata-se de um escoamento tridimensional axial. Para descrever o escoamento
empregamos coordenadas cilındricas (r, θ, x). Neste caso a equacao da continuidade e dada
por:1
r
∂
∂r(r vr) +
1
r
∂
∂θvθ +
∂
∂xvx = 0
As equacoes de Navier-Stokes sao dadas por:
∂vr
∂t+ (v · ∇)vr −
v2θ
r= −1
ρ
∂p
∂r+ ν
(∇2vr −
vr
r2− 2
r2
∂vθ
∂θ
)∂vθ
∂t+ (v · ∇)vθ −
vθvr
r= − 1
rρ
∂p
∂θ+ ν
(∇2vθ −
vθ
r2+
2
r2
∂vr
∂θ
)∂vx
∂t+ (v · ∇)vx = −1
ρ
∂p
∂x+ ν∇2vx
O escoamento e suposto ser axissimetrico, e invariante com x. Entao, utilizando a equacao
da continuidade obtemos:1
r
∂vr
∂r= 0 ⇒ rvr = constante
e como vr = 0 para o raio do tubo, r = R, chegamos a:
vr = 0
10 Texto Preliminar, SH Sphaier
Como o escoamento e permanente e a velocidade axial e a unica componente diferente de
zero, a equacao na direcao radial reduz-se a
0 = −∂p∂r
e a equacao na direcao axial x a:
0 = −dpdx
+µ
r
d
dr
(rdvx
dr
)
Como p e funcao somente de x, e vx funcao somente de r, ambos termos da equacao acima
sao constantes. Integrando duas vezes essa equacao chegamos a:
vx =r2
4µ
dp
dx+ A ln r +B
como vx tem que ser finito para r = 0 entao A tem que ser nulo. Junto a parede a velocidade
tem que ser nula, isto e, para r = a temos vx = 0, com isto B = −(a2/4µ)(dp/dx). Assim, a
solucao e dada por:
vx =r2 − a2
4µ
dp
dx
Este resultado mostra que o perfil de velocidades e parabolico, como mostrado na figura 1.3.
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
Figura 1.3: Escoamento laminar em um tubo de secao circular
1.6.3 Escoamento entre dois cilindros concentricos
Estudaremos agora o escoamento bidimensional laminar permanente de um fluido contido
entre dois cırculos concentricos, que podem girar em torno de seu centro. Isto e, trata-
se do escoamento no interior de um disco circular em que suas fronteiras podem executar
movimentos de rotacao. O cilindro interno tem raio R2 e velocidade angular ω2. No cilindro
externo esses valores sao R2 e ω2.
O estudo deste tipo de escoamento apresenta um interesse bastante grande para o entendi-
mento de escoamentos que ocorrem na natureza como e o caso de um ciclone, redemoinho,
vortices em esteiras, etc ...
Para efetuar o estudo e mais conveniente utilizarmos coordenadas polares para descrever o
escoamento. Assim, a equacao da continuidade e expressa por:
1
r
∂
∂r(r vr) +
1
r
∂
∂θvθ = 0 (1.14)
12 Texto Preliminar, SH Sphaier
As equacoes de Navier-Stokes sao:
∂vr
∂t+ vr
∂vr
∂r+vθ
r
∂vr
∂θ− v2
θ
r= −1
ρ
∂p
∂r+ ν
(∇2vr −
vr
r2− 2
r2
∂vθ
∂θ
)(1.15)
∂vθ
∂t+ vr
∂vθ
∂r+vθ
r
∂vθ
∂θ+vθvr
r= − 1
ρr
∂p
∂θ+ ν
(∇2vθ −
vθ
r2+
2
r2
∂vr
∂θ
)(1.16)
Com as hipoteses de que o escoamento se da em laminas, e e permanente, entao vr = 0 que
usada na equacao da continuidade, (1.14), acarreta que ∂vθ/∂θ = 0.
Assim, a equacao (1.15) reduz-se a:
−v2θ
r= −1
ρ
dp
dr
A segunda equacao, (1.16) fica reduzida a
0 = µd
dr
[1
r
d
dr(rvθ)
]O coeficiente de viscosidade pode ser eliminado nesta equacao. Vemos assim que embora
pelo efeito da viscosidade, impusemos velocidades nulas junto aos cilindros e seu efeito seja
responsavel pela difusao do movimento, a solucao independe de seu valor, e e dada por:
vθ = Ar +B
r
As constantes A e B sao obtidas com as condicoes de contorno
- sobre o cilindro interno a velocidade tangencial vθ do fluido e igual a velocidade do
cilindro, isto e, quando r = R1 a velocidade e vθ = ω1R1
- sobre o cilindro externo a velocidade tangencial vθ e igual a velocidade do cilindro, isto
e, quando r = R2 a velocidade e vθ = ω2R2
Nessas condicoes:
A =ω2R
22 − ω1R
21
R22 −R2
1
B =(ω1 − ω2)R
21R
22
R22 −R2
1
Entao:
vθ =1
1− (R1/R2)2
[ω2 − ω1(R1/R2)
2]r +
R21
r(ω1 − ω2)
(1.17)
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
A figura (1.4) mostra a distribuicao de velocidades em um fluido contido entre dois cilindros
concentricos, de acordo com a expressao (1.17).
A seguir vamos analisar as solucoes isoladas quando temos somente um cilindro interno e
quando temos somente um cilindro externo.
Figura 1.4: Escoamento laminar entre dois cırculos concentricos
Escoamento externo a um cilindro
Para analisarmos o escoamento externo a um cilindro com movimento de rotacao, basta que
no problema anterior consideremos que o raio do cilindro externo seja infinito e sua velocidade
angular seja nula. Isto e, ω2 = 0 e R2 →∞. Nestas condicoes obtemos, a partir da expressao
(1.17):
vθ =R2
1ω1
r=vθ(R1)R1
r=a
r
onde a = vθ(R1)R1, isto e, uma constante. Observemos que, embora tenhamos considerado
os efeitos viscosos do fluido, nossa solucao equivale a um vortice potencial, e independe do
coeficiente de viscosidade.
14 Texto Preliminar, SH Sphaier
Escoamento interno a um cilindro
Analisemos agora o escoamento interno a um cilindro com movimento de rotacao. Neste caso,
devemos considerar que na solucao do problema do escoamento entre dois cilindros, o raio do
cilindro interno e sua velocidade angular sejam nulos. Assim, se ω1 = 0 e R1 = 0 obtemos, a
partir da expressao (1.17):
vθ = ω2r
Concluımos assim que, com a hipotese de escoamento laminar, o fluido no interior do cilindro
comportar-se-a como um corpo rıgido, girando em torno do centro geometrico do cırculo.
1.6.4 Processos de difusao no tempo pela viscosidade
Na secao anterior estudamos alguns escoamentos permanentes laminares. Entre outros resul-
tados, vimos que o escoamento externo a um cilindro circular comporta-se como um vortice
potencial. Vamos agora estudar problemas dependentes do tempo, com a finalidade de de-
screvermos o processo de difusao de vorticidade por efeitos viscosos.
Escoamento sobre uma placa plana infinita partindo do repouso impulsivamente
Consideremos um domınio fluido bidimensional inicialmente em repouso. Nele encontra-se
uma placa plana infinita localizada sobre o eixo Ox. O eixo Oy e perpendicular a placa. A
velocidade inicialmente e nula em t = 0. Em t = 0+ ha um movimento impulsivo da placa
que assume a velocidade U . Junto a placa a velocidade do fluido e igual a sua velocidade.
Inicialmente, a uma distancia mınima da placa, a velocidade do fluido e nula. Isto significa
um salto brusco no escoamento, e podemos dizer que aparece uma vorticidade, que entao,
por difusao, vai se propagar na direcao perpendicular a placa. Com o passar do tempo a
velocidade vai variar continuamente de U a 0, na direcao perpendicular a placa formando
uma camada onde os efeitos viscosos estao concentrados, cuja espessura aumentara com o
tempo.
Assumindo mais uma vez a hipotese de escoamento laminar e como a placa e infinita, a
velocidade horizontal para qualquer x e a mesma. Entao ∂vx/∂x = 0. Pela equacao da
continuidade ∂vy/∂y = 0. Como a velocidade vy e nula sobre a placa ela sera nula para
qualquer valor de y. Introduzindo essas conclusoes nas equacoes de Navier-Stokes obtemos:
ρ∂vx
∂t= −∂p
∂x+ µ
∂2vx
∂y2
0 = −∂p∂y
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
Pela segunda equacao a pressao nao varia na direcao perpendicular a placa, so podendo variar
na direcao Ox. Entretanto como a placa e infinita e o escoamento se repete para todo x, a
pressao tambem nao e funcao de x. Portanto, podemos desprezar a pressao nas equacoes
acima obtendo:
ρ∂vx
∂t= µ
∂2vx
∂y2
que dividindo por ρ conduz a:∂vx
∂t= ν
∂2vx
∂y2(1.18)
Esta equacao e a equacao de difusao da velocidade das partıculas fluidas junto a placa para o
meio atraves dos efeitos viscosos. Aplicando o operador rot = ∇× a equacao (1.18) obtemos
a equacao de difusao da vorticidade:
∂ξ
∂t= ν
∂2ξ
∂y2(1.19)
Como podemos ver estas equacoes, (1.18) e (1.19), sao equivalentes, e tem o mesmo agente
responsavel pela difusao que e a viscosidade do fluido. Estas equacoes sao similares as equacoes
de difusao de calor, a partir da lei de Fourier, um processo difusivo, e da equacao de difusao
de uma concentracao em um fluido, obtida a partir da lei de Fick.
Para resolvermos a equacao (1.18) sao necessarias condicoes de contorno e uma condicao
inicial. Estas refletem o que ocorre no inıcio do processo e durante o processo, junto a placa
e longe desta.
- para o instante t = 0
vx(y, 0) = 0
- junto a placa, para qualquer instante
vx(0, t) = U
- longe da placa, para qualquer instante.
vx(y →∞, t) = 0
Da analise das diversas variaveis do problema que influenciam o comportamento da velocidade
vx, podemos dizer que ela e uma funcao de U , ν, y e t.
vx = φ(U, y, t, ν)
16 Texto Preliminar, SH Sphaier
Recorrendo a analise dimensional podemos dizer que vx e funcao de quatro variaveis e duas
dimensoes fundamentais estao envolvidas, espaco e tempo. Entao podemos formar dois grupos
adimensionais:vx
U= g(
y√νt,Uy
ν)
Porem o problema e linear com U , logo a relacao vx/U tem que ser independente de U :
vx
U= f(y, t, ν) = g(
y√νt
) = g(η)
onde η = y/(2√νt)
Com vx = Ug(η) obtemos as derivadas de vx:
∂vx
∂t= U
∂g
∂t= U
dg
dη
∂η
∂t= −U dg
dη
y
4√νt3/2
= −U dgdη
η
2t
∂vx
∂y= U
∂g
∂y= U
dg
dη
∂η
∂y= U
dg
dη
1
2√νt
∂2vx
∂y2=
U
2√νt
d2g
dη2
∂η
∂y=
U
4νt
d2g
dη2
Substituindo essas expressoes na equacao de difusao e nas condicoes de contorno e iniciais,
obtemos o seguinte problema: ∣∣∣∣∣∣−2η dg
dη= d2g
dη2
g(η →∞) = 0
g(0) = 1
A equacao acima pode ser entao escrita na forma:
dg′
g′ = −2ηdη
onde g′= dg/dη, que integrada fornece o seguinte resultado:
ln g′= −η2 + C ou
dg
dη= ae−η2
Com isto podemos ver que a funcao g e dada por:
g = a
∫ η
0
e−z2
dz + b
Utilizando as condicoes de contorno obtemos as constantes a e b. Fazendo η = 0 temos:
g(0) = a
∫ 0
0
e−z2
dz + b = 1 ⇒ b = 1
Texto Preliminar, SH Sphaier 17
Fazendo o limite quando η →∞ temos:
g(η →∞) = A
∫ η→∞
0
e−z2
dz + 1 =A√π
2+ 1 = 0 ⇒ a = − 2√
π
Com os valores de a e b temos entao a solucao para g e portanto para vx
vx
U= 1− erf
[y
2√νt
](1.20)
onde erf e a funcao erro, cuja expressao e:
erf(x) =2√π
∫ x
0
e−z2
dz
A figura (1.5) mostra a forma da solucao, dada pela expressao (1.20). Como vimos pelo
desenvolvimento, trata-se do escoamento laminar em um domınio semi-infinito sobre uma
placa plana, inicialmente em repouso, que executa um movimento impulsivo. Nesta figura
podemos verificar que a velocidade alcanca uma pequena fracao da velocidade da placa para
η = 2. Adotando este valor como valor limite da camada de influencia viscosa, podemos
avaliar o tempo necessario para que os efeitos viscosos alcancem uma certa distancia δ da
parede:
δ ≈ 4√νt
18 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.5: Escoamento Laminar em um Domınio Semi-Infinito sobre uma Placa Plana com
Movimento Impulsivo
Para se fazer uma avaliacao da espessura desta camada, consideremos que e decorrido um
tempo de 10 minutos apos a placa ter iniciado seu movimento e a temperatura ambiente e
de 20 graus Celsius. Como os coeficientes de viscosidade cinematica do ar e da agua sao
iguais a 1.5× 10−5 e 1.0× 10−6 respectivamente, obtemos que as espessuras no ar e na agua
sao iguais a 0.0948 metros e 0.0245 metros respectivamente. Apos uma hora essas espessuras
serao iguais a 0.232 metros e 0.06 metros. Isto mostra que o processo de difusao dos efeitos
viscosos e bastante lento, particularmente na agua.
Escoamento em torno de uma folha de vortice
Este problema e bastante similar ao problema visto acima da placa plana. Neste caso temos
que, no inıcio do escoamento, em t = 0+, para y positivo a velocidade vx e positiva, enquanto
para y negativo a velocidade vx e negativa. O modulo da velocidade em todos os pontos do
escoamento e igual a 1. Nosso objetivo e analisar o que ocorre a partir desta situacao.
A equacao diferencial cuja solucao descreve o campo de velocidades do escoamento e a equacao
Texto Preliminar, SH Sphaier 19
de difusao:
∂vx
∂t= ν
∂2vx
∂y2
A condicao inicial a ser satisfeita pela velocidade em todo o domınio e dada por:
- vx(y > 0, 0) = 1
- vx(y < 0, 0) = −1
A condicao de contorno que diz respeito ao que acontece para grandes distancias da linha
y = 0 ao longo do tempo e:
- vx(y →∞, t) = 1
- vx(y → −∞, t) = −1
Como o problema se assemelha ao problema anteriormente descrito do escoamento devido
ao movimento de uma placa plana, nao entraremos em detalhes sobre o procedimento para
obtencao da solucao, porem utilizando-o obtemos:
vx
U= erf
[y
2√νt
](1.21)
De forma similar podemos dizer que a espessura da camada viscosa variavel com o tempo e
8√νt. A vorticidade em qualquer ponto em qualquer instante e:
ξ =∂vx
∂y=
U√πνt
e−y2/4νt
Integrando-se a vorticidade entre y = −∞ e y = ∞ obtemos o valor 2U , que e o salto inicial
e que e uma constante ao longo do tempo. Isto e, ha uma difusao da vorticidade inicialmente
concentrada em y = 0.
A figura (1.6) mostra o perfil de velocidades dado pela equacao (1.21). Este representa o que
ocorre com o tempo a partir de um escoamento que inicialmente e dado por uma folha de
vortice, quando os efeitos viscosos difundem o diferencial de velocidades sobre a folha.
20 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.6: Escoamento ocasionado por uma folha de vortice
Convem comparar a solucao para o problema da placa plana infinita com movimento impulsivo
a partir do repouso, expressao (1.20), com a solucao para o problema da folha de vortice,
expressao (1.21). Enquanto a velocidade normalizada do primeiro caso e igual a 1 menos a
funcao erro, a outra e igual a funcao erro. Isto ocorre porque no primeiro caso o movimento
da placa, mantendo o movimento, aumenta a velocidade das partıculas fluidas ao longo do
tempo, enquanto no segundo caso a velocidade do escoamento inicial normalizada tem modulo
unitario em qualquer ponto, salvo sobre a descontinuidade, e a viscosidade faz com que a
velocidade diminua com o tempo.
Escoamento em torno de uma linha de vortice
Prosseguindo com o estudo de escoamentos que nos mostram o processo de difusao devido
aos efeitos viscosos, vamos apresentar dois casos de grande interesse. Sao casos relacionado
com o desenvolvimento do escoamento a partir de um vortice com carater potencial, em que
introduzimos uma condicao inicial que pode ser entendida como a quebra do mecanismo que
”mantem”um vortice. A velocidade junto ao nucleo torna-se nula e com o tempo a velocidade
vai diminuindo em todo o domınio fluido. O segundo exemplo e o caso inverso, em que em um
fluido em repouso introduzimos em um ponto um nucleo de dimensao infinitesimal que impoe
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
um comportamento de vortice potencial. Neste caso com o decorrer do tempo, a viscosidade
propaga este comportamento. No limite, quando o tempo decorrido torna-se infinito todo o
escoamento tem o comportamento de um vortice potencial.
Decaimento de um vortice
Temos inicialmente um escoamento que comporta-se como um vortice potencial. A equacao de
Navier-Stokes em coordenadas polares para o escoamento em que vr = 0, vθ 6= 0 e ∂vθ/∂θ = 0
e dada por:∂vθ
∂t= ν
∂
∂r
[1
r
∂
∂r(rvθ)
]No instante inicial temos uma circulacao em torno do centro do escoamento, e o campo de
velocidades e dado por:
vθ(r, 0) =Γ
2πr
Entretanto, a partir do instante t = 0+ a velocidade no centro vai a zero:
vθ(0, t) = 0
Consequentemente a descontinuidade da velocidade no centro do vortice desaparece.
Para grandes distancias do centro a velocidade comporta-se como induzida por um vortice
livre. Assim, temos o seguinte comportamento para o campo de velocidades:
vθ(r →∞, t) =Γ
2πr
A velocidade e funcao da distancia ao centro r, do tempo t e da viscosidade ν.
vθ = g(r, t, ν)
Empregando a analise dimensional, podemos dizer que:
vθ
Γ/(2πr)= f
(r2
4νt
)onde η = r2/4νt.
Substituindo na equacao de difusao e nas condicoes de contorno e iniciais, obtemos o seguinte
problema: ∣∣∣∣ f ′′ + f ′ = 0f(η →∞) = 1
f(0) = 0
22 Texto Preliminar, SH Sphaier
A solucao e dada por:
f = 1− e−η
ou em termos das variaveis originais:
vθ =Γ
2πr
[1− e−r2/4νt
](1.22)
Observamos que existe um nucleo (r << 2√νt) no qual a velocidade tem um comportamento
similar ao da velocidade de um corpo rıgido, porem nao varia linearmente com o raio. Quando
nos afastamos do corpo (r >> 2√νt) a velocidade se comporta como em um vortice potencial
(ver figura 1.7).
Figura 1.7: Decaimento de um vortice com o tempo por efeito viscoso
Texto Preliminar, SH Sphaier 23
Desenvolvimento de um Vortice
Nesta caso temos o fluido inicialmente em repouso e entao introduzimos um vortice na origem.
Agora, a condicao inicial e as condicoes de contorno sao:
vθ(r, 0) = 0
vθ(δ, t) =Γ
2πδ
onde δ e muito pequeno.
Aplicando o mesmo procedimento utilizado no problema estudado acima obtemos:
vθ =Γ
2πre−r2/4νt (1.23)
Observemos neste caso que quando o tempo cresce o campo vθ tem como limite
vθ =Γ
2πr
isto e, um vortice potencial.
A comparacao enter os dois casos, decaimento do vortice (eq. (1.22)) e desenvolvimento do
vortice (eq. (1.23)), e similar a comparacao que fizemos entre o decaimento da folha de vortice
e o desenvolvimento do escoamento a partir do movimento impulsivo da placa plana infinita.
Placa Plana com Movimento Oscilatorio
Consideremos um domınio fluido bidimensional inicialmente em repouso. Uma placa plana
infinita localizada sobre o eixo Ox, com eixo Oy perpendicular a ela, esta em repouso, em
t = 0. Em t = 0+ a placa inicia um movimento oscilatorio U(t) = U0 cos(ωt). De forma similar
ao caso da placa com velocidade constante, no inıcio, sao arrastadas somente as partıculas
fluidas localizadas junto a placa. Assim, junto a placa, a velocidade do fluido e igual a
velocidade da placa, porem a uma mınima distancia da placa a velocidade ja e nula. Com o
passar do tempo, por difusao, as partıculas adjacentes vao sendo arrastadas. Estas arrastam
outras, e assim sucessivamente. Os dois problemas diferem pela condicao de contorno.
A equacao que rege o movimento, e mais uma vez a equacao de difusao.
∂vx
∂t= ν
∂2vx
∂y2(1.24)
As condicoes de contorno e inicial sao:
24 Texto Preliminar, SH Sphaier
- para todo o domınio, antes da placa iniciar seu movimento
vx(y, 0) = 0 (1.25)
- junto a placa, para qualquer instante
vx(0, t) = U(t) (1.26)
- longe da placa, para qualquer instante
vx(y, t) = 0 → ∞ (1.27)
- no inıcio do movimento
vx(0, 0+) = U(t) (1.28)
Como a velocidade da placa e harmonica, teremos um comportamento harmonico para o
campo de velocidades
U(t) = U0 cos(ωt) (1.29)
⇒ vx(y, t) = R[f(y)eiωt] (1.30)
Substituindo esta expressao na equacao (1.24) obtemos:
iωf = νd2f
dy2(1.31)
cuja solucao e da forma:
f = Aeky +Be−ky (1.32)
substituindo na equacao (1.31)
iω(Aeky +Be−ky) = νk2(Aeky +Be−ky)
que pode ser rearranjada na forma:
(iω − νk2)Aeky + (iω − νk2)Be−ky = 0
⇒ iω
ν= k2.
Como
i = eiπ/2 ⇒√
i = eiπ/4 =1 + i√
2
e entao
k = ±√
i
√ω
ν= ±1 + i√
2
√ω
ν= ±
√ω
2ν± i
√ω
2ν(1.33)
Texto Preliminar, SH Sphaier 25
Substituindo (1.33) em (1.32)
f = Ae√
ω2ν
yei√
ω2ν +Be−
√ω2ν
ye−i√
ω2ν (1.34)
Como a condicao de contorno (1.27) impoe que o campo de velocidades decresca a medida
que nos afastamos da placa e necessario que a constante A seja nula.
Com a condicao de contorno junto a placa (1.26) e a forma do movimento oscilatorio (1.29)
obtemos B = U0.
Finalmente, substituindo A e B em (1.34) e este resultado em (1.30) obtemos a expressao do
campo de velocidades:
vx(y, t) = U0e−√
ω2ν
y cos[
√ω
2νy − ωt]
A figura (1.8) mostra o comportamento desta solucao. Observemos que a distribuicao de
velocidades mesmo na forma adimensional depende do tempo, diferindo seu comportamento
do resultado para o caso da placa com movimento impulsivo.
Figura 1.8: Perfıs de velocidades ao longo do tempo devidos ao movimento oscilatorio de uma
placa plana infinita
26 Texto Preliminar, SH Sphaier
Esta diferenca pode ser entendida se fizermos uma analise dimensional do problema para
reduzi-lo a um problema adimensional com variaveis adimensionais. Os parametros que gov-
ernam o fenomeno sao cinco U , ν, ω, t e y. Isto e, comparado com o caso da movimento
impulsivo, aparece agora a frequencia do movimento. Com essas variaveis formamos dois gru-
pos adimensionais yω/(2ν) e ωt, e a velocidade normalizada e funcao agora de duas variaveis:
vx
U= f(y
ω
2ν, ωt)
Observando a figura (1.8) vemos que para y = 4√
νω
obtemos u = Ue(−4√
2) ≈ 0.05U . Isto e,
se adotarmos como o limite da camada viscosa a distancia para a qual a velocidade alcancou o
valor de 5% da velocidade da placa, temos a seguinte estimativa para a espessura da camada
viscosa
δ ≈ 4
√ν
ω
Capıtulo 2
Camada Limite Laminar
2.1 Introducao
Em 1904 Ludwieg Prandtl (1875, 1953) introduziu o conceito de camada limite. Segundo sua
hipotese, em escoamento de um fluido em torno de um corpo nele imerso, com altos numeros
de Reynolds, isto e, em que as forcas inerciais prevalecem sobre as forcas viscosas, os efeitos
viscosos se concentram em uma fina pelıcula junto ao corpo, chamada camada limite. Nela
temos um grande gradiente de velocidades de tal forma que junto ao corpo a velocidade e
nula e imediatamente afastado do corpo a velocidade alcanca o valor do escoamento externo.
Reunindo este novo conceito com a experiencia de Reynolds, podemos prever que, ao acom-
panharmos o escoamento sobre uma placa plana semi-infinita e nos ativermos a regiao do
escoamento junto a placa, logo apos o escoamento incidente encontrar a placa, as forcas vis-
cosas, forcas ordenadoras, vao superar as forcas inerciais e o escoamento inicialmente sera
laminar. Com o movimento do fluido avancando ao longo da placa, a camada limite ira
engrossar, porem ainda sendo apenas uma fina pelıcula. Com a vorticidade se difundindo
perpendicularmente a placa, as velocidades comecam a variar mais fortemente, ha inducao
de um comportamento rotacional e as forcas de inercia comecam a superar as forcas viscosas,
desagregando a estrutura laminar. O regime entra na fase transitoria. Perturbacoes contin-
uam aparecendo no fluido, principalmente pelo carater rotacional imposto pela distribuicao
de velocidades, de forma tal que as forcas inerciais continuam aumentando e dominando as
forcas viscosas. O escoamento passa entao da fase de transicao para a fase turbulenta.
Na engenharia oceanica, dois fenomenos sao de grande importancia. O atrito junto a parede
de um corpo em movimento e as consequencias da separacao do escoamento. Assim, daremos
enfase no presente capıtulo ao escoamento na camada limite em uma placa plana buscando
obtermos uma lei que nos forneca a resistencia por atrito. Alem disto, justificaremos a origem
27
28 Texto Preliminar, SH Sphaier
do fenomeno de separacao da camada limite. Suas consequencias no caso do escoamento
em torno de um cilindro circular sera tratado em um capıtulo a parte. Posteriormente vamos
enfocar a questao da camada limite turbulenta, entao daremos enfase a conceitos preliminares
e princıpios basicos da teoria de turbulencia.
2.2 Equacao de Camada Limite
Vamos agora desenvolver as equacoes de camada limite para um escoamento bidimensional
permanente incidindo sobre uma placa plana localizada sobre o eixo Ox em que a velocidade
do escoamento longe da placa e v = U i. Estudaremos o escoamento em uma regiao distando
L da extremidade de ataque da placa. Assim, tomemos as equacoes de Navier-Stokes nas
direcoes Ox e Oy eliminando a derivada local.
vx∂vx
∂x+ vy
∂vx
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν(
∂2vx
∂x2+∂2vx
∂y2)
vx∂vy
∂x+ vy
∂vy
∂y= −1
ρ
∂p
∂y+ ν(
∂2vy
∂x2+∂2vy
∂y2)
Alem destas equacoes temos que satisfazer a equacao da continuidade:
∂vx
∂x+∂vy
∂y= 0
Seguindo a aproximacao de Prandtl podemos dizer que as variacoes ao longo da placa sao
menores que as variacoes transversais, isto e:
∂
∂x≤ ∂
∂y
∂2
∂x2≤ ∂2
∂y2
As variacoes da velocidade na direcao Ox sao da mesma ordem que a relacao entre a velocidade
incidente, longe da placa e seu comprimento. Assim,
∂vx
∂x≈ U∞
L
Por outro lado a variacao da velocidade na direcao vertical e da ordem da relacao da veloci-
dade no escoamento longe do corpo e a espessura da camada limite. Portanto, o termo que
caracteriza as tensoes cizalhantes e de ordem:
ν∂2vx
∂x2≈ ν
U∞δ2
Texto Preliminar, SH Sphaier 29
Considerando o resultado obtido para a avaliacao da espessura da camada de influencia vis-
cosa para uma placa plana partindo impulsivamente do repouso, visto no capıtulo anterior,
podemos escrever:
δ ≈√νL
U∞
Sabemos tambem que vx >> vy e podemos supor que as variacoes de vy com δ sao da mesma
ordem que as variacoes de vx com o comprimento L, isto e:
U∞/L ≈ vy/δ
ou
vy ≈ δU∞/L
Como os efeitos viscosos estao concentrados numa fina camada junto a placa, o campo de
pressoes nao e afetado por esses efeitos, podemos dizer que a pressao e dada pelas carac-
terısticas potenciais do escoamento externo a camada limite e que as forcas de pressao sao da
mesma ordem que as forcas inerciais
p ≈ ρU2∞
Vamos agora normalizar as equacoes de Navier-Stokes e da continuidade para analisar com-
parativamente os termos da equacao em uma forma adimensional, com o comprimento adi-
mensional da placa da mesma ordem que a espessura adimensional da camada limite. Assim,
introduzimos as seguintes variaveis adimensionais:
x′ = x/L, y′ = y/δ, v′x = vx/U,
v′y = vy/(δU/L), p′ = p/U2∞
Substituindo as variaveis dimensionais pelas adimensionais nas tres equacoes que regem o
escoamento obtemos:
v′x∂v′x∂x′
+ v′y∂v′x∂y′
= −∂p′
∂x′+
1
Re
∂2v′x∂x′2
+1
ε2Re
∂2v′x∂y′2
1
Re
(v′x∂v′y∂x′
+ v′y∂v′y∂y′
) = − 1
ε2∂p′
∂y′+
1
R2e
∂2v′y∂x′2
+1
ε2Re
∂2v′y∂y′2
∂v′x∂x′
+∂v′y∂y′
= 0
onde Re = ρUL/µ e o numero de Reynolds e ε = δ/L.
Para estimar as relacoes entre os diversos termos da equacao normalizada, necessitamos ter
uma avaliacao dos valores de Re e ε. O primeiro adimensional, o numero de Reynolds, depende
de quatro grandezas conhecidas. Duas delas dizem respeito as propriedades do fluido e as
30 Texto Preliminar, SH Sphaier
outras duas sao dadas pelo escoamento e o tamanho da placa. O segundo adimensional
depende da espessura da camada limite, que pode ser obtida como resultado. Entretanto,
usando resultados obtidos anteriormente, sabemos que a espessura na posicao x da placa e da
ordem O(√νtx), em que tx e o tempo que as partıculas externas a camada limite levam para,
apos alcancarem a aresta de ataque da placa, chegar a posicao x. Assim, podemos estimar
que:
ε =δ
L= O
(√νtx)/L = O[
(√νL/U
)/L] = O
(√ν/LU
)= O[R−1/2
e ]
e em nossa analise tomar ε = R−1/2e .
Uma analise da primeira equacao indica que para altos numeros de Reynolds, Re, o termo do
segundo membro contendo a derivada segunda da velocidade na direcao x e pequeno diante
dos outros termos, uma vez que Re aparece no denominador.
Na segunda equacao temos termos de tres distintas ordens para altos numeros de Reynolds.
O primeiro membro e de ordem O(R−1e ). No segundo membro o termo de pressao e de ordem
O(Re), enquanto o segundo e terceiro termos sao de ordem R−2e e R−1
e , respectivamente. No
limite quando Re →∞ temos as equacoes de camada limite na forma adimensional:
v′x∂v′x∂x′
+ v′y∂v′x∂y′
= −∂p′
∂x′+∂2v′x∂y′2
(2.1)
0 = −∂p′
∂y′(2.2)
∂v′x∂x′
+∂v′y∂y′
= 0 (2.3)
Aplicando analise dimensional ao problema original, temos que
vx = f(x, y, U, ρ, µ)
que pela aplicacao do teorema de Bukingham, com x, U e ρ como variaveis fundamentais, nos
fornecevx
U= F (
y
x,xU
ν) = F (
y
x,
y√νx/U
) = F (εy′
x′, εR1/2
e
y′√x′
)
que, como ε ≈ R−1/2e
vx
U= F (
1
R1/2e
y′
x′,y′√x′
)
Entretanto, concluımos acima que as equacoes adimensionais aproximadas independem do
numero de Reynolds, e com isto
vx
U= F (
y′√x′
) = F (η)
Texto Preliminar, SH Sphaier 31
onde:
η =y′√x′
=y
δ
√L
x=
y√νL
√U
√L
x= y
√U
νx
Para obtermos a forma da componente de velocidade na direcao y, integramos a equacao da
continuidadevy
δ= −
∫ y′
0
∂v′x∂x′
dy′ =1
2x
′3/2
∫ y′
0
F ′(y′√x′
)y′dy′
=1
2x
′−1/2
∫ y′
0
F ′(y′√x′
)y′
x′1/2
dy′
x′1/2=
1
2x
′−1/2
∫ (y′/x′1/2)
0
F ′(η)ηdη
⇒ vy
δ=
1
2x
′−1/2Φ(y′√x′
)
Destas relacoes observamos ainda que:
Φ′(η) =1
2ηF ′(η) (2.4)
Esta analise nos permite avaliar a relacao de grandeza dos diversos termos das equacoes, bem
como indicar a forma esperada das funcoes para descrever as velocidades.
Retornando as coordenadas naturais, e desprezando os termos de ordem superior, obtemos
como as equacoes de camada limite:
vx∂vx
∂x+ vy
∂vx
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν
∂2vx
∂y2(2.5)
0 = −∂p∂y
(2.6)
∂vx
∂x+∂vy
∂y= 0 (2.7)
e que as funcoes que descrevem vx e vy sao da forma
vx(x, y) = UF (η) e vy(x, y) =
√νU
xΦ(η) (2.8)
A pressao nao e obtida a partir dessas equacoes, porem e prescrita. Alem disto a equacao
(2.6) mostra que
p = p(x)
32 Texto Preliminar, SH Sphaier
2.3 As Diversas Definicoes de Espessura de Camada
Limite
Na camada limite o campo de velocidades paralelas a placa varia de zero, junto a placa, ate U ,
quando muito afastado da placa. Porem, mesmo proximo da placa, a uma pequena distancia,
a velocidade vx ja alcanca o valor U . Na camada limite esta variacao de vx de zero ate U
e inicialmente muito acentuada para que posteriormente se aproxime de U assintoticamente,
isto e, a taxa de variacao de vx com y e muito grande bem junto a placa. As figuras 2.1, 2.2 e
2.3 mostram esquematicamente como variam os perfıs de velocidade ao longo do comprimento
da placa. A ultima figura mostra a variacao das espessuras de deslocamento e de momentum.
Na tentativa de se caracterizar uma espessura para a camada limite algumas definicoes sao
utilizadas.
Figura 2.1: Camada limite sobre uma placa plana I: Espessura e Regime
Texto Preliminar, SH Sphaier 33
Figura 2.2: Camada limite sobre uma placa plana II: Espessura e Regime
Figura 2.3: Camada limite sobre uma placa plana III - Espessuras
2.3.1 Espessura δ99 para vx = 0.99U
Esta primeira definicao tem um carater puramente geometrico baseado na comparacao da
velocidade com um percentual da velocidade do escoamento livre da influencia da placa.
34 Texto Preliminar, SH Sphaier
Dizemos que a espessura da camada limite e medida pela distancia a placa do ponto onde a
velocidade vx alcanca um valor igual a 99 % da velocidade U .
2.3.2 Espessura de Deslocamento δ∗
Uma segunda definicao de espessura da camada limite baseia-se na consideracao de um deslo-
camento δ∗ a ser dado na posicao da placa, de forma que obtivessemos o mesmo fluxo de
massa, caso o escoamento mantivesse a velocidade igual ao do fluxo nao perturbado pelos
efeitos viscosos. A expressao desta definicao e dada por:
limh→∞
∫ h
0
vxdy = U(h− δ∗) (2.9)
Assim:
δ∗ = limh→∞
∫ h
0
(1− vx
U)dy (2.10)
2.3.3 Espessura de Momentum θ
Uma terceira definicao de espessura da camada limite utilizada, baseia-se na consideracao da
perda de quantidade de movimento. De forma similar define-se a espessura que corresponde
a perda de quantidade de movimento (momentum)
θ = limh→∞
∫ h
0
vx
U(1− vx
U)dy (2.11)
Em princıpio essas definicoes sao aparentemente artificiais. Entretanto, veremos mais adiante
que elas aparecem como elementos da teoria de camada limite.
2.4 Camada Limite Laminar em Placa Plana
Apresentaremos nesta secao a solucao de Blasius para a camada limite laminar em uma placa
plana.
As equacoes que regem o escoamento na camada limite, para um fluido newtoniano, em que
as forcas de corpo derivam de um potencial, foram estabelecidas acima. As equacoes (2.5),
(2.6) e (2.7), apresentam a forma dimensional das equacoes de camada limite, enquanto as
equacoes (2.1), (2.2) e (2.3) estabelecem a forma adimensional. Desprezando o gradiente de
Texto Preliminar, SH Sphaier 35
pressoes temos entao a equacao da continuidade e a equacao da quantidade de movimento em
x como as equacoes de camada limite
∂vx
∂x+∂vy
∂y= 0 (2.12)
vx∂vx
∂x+ vy
∂vx
∂y= ν
∂2vx
∂y2(2.13)
Na forma adimensional as velocidades sao funcoes do parametro η (2.8),
vx(x, y) = UF (η)
vy(x, y) =
√νU
xΦ(η)
e que existe uma relacao entre Φ e F dada por (2.4):
Φ′(η) =1
2ηF ′(η).
Introduzindo a funcao φ dada por:
φ(η) =
∫ η
0
F (η)dη
tal que φ′(η) = F (η) e φ(0) = 0, temos:
Φ′(η) =
1
2ηφ
′′=
1
2(ηφ
′ − φ)′
e
Φ(η) =1
2(ηφ
′ − φ)
uma vez que Φ(0) = 0.
Substituindo essas equacoes nas equacoes de camada limite, obtemos:
−1
2ηFF
′+ ΦF
′= F
′′
ou
φ′′′
+1
2φφ
′′= 0
com as condicoes de contorno φ(0) = φ′(0) = 0 e limη→∞ φ
′(η) = 1. A solucao pode ser obtida
integrando-se numericamente a equacao, por exemplo, usando-se o metodo de Runge-Kutta
e esta apresentada nas figuras 2.4, 2.5 e 2.6.
36 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.4: Camada limite sobre uma placa plana IV: Perfil de Velocidades
Texto Preliminar, SH Sphaier 37
Figura 2.5: Camada limite sobre uma placa plana II: Perfil de Velocidades
38 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.6: Camada limite sobre uma placa plana III: Perfil de Velocidades
Com a funcao φ e sua derivada podemos determinar as velocidades paralela e transversal a
placa a partir das relacoes acima apresentadas:
vx = Uφ′(η)
vy =1
2
√νU
x(ηφ′ − φ)
A velocidade vy nao se anula a medida que y → ∞. Isto e natural uma vez que temos que
satisfazer o princıpio de conservacao da massa, e seu valor limite e:
limη→∞
vy
U= 0.865Re,x = 0.865
√νUx
A espessura da camada limite ate a velocidade igual a 95 % da velocidade do escoamento
incidente e:
δ = 4.9
√νx
U
Texto Preliminar, SH Sphaier 39
ou
δ
x=
4.9√Rex
As espessuras δ∗ e θ sao dadas por:
δ∗ = 1.72(νx/U)1/2
θ = 0.664(νx/U)1/2
A tensao tangencial a parede e:
τ = µ∂vx
∂y= µUF ′(0)
√U
νx=
0.332ρU2
√Rex
O coeficiente de friccao, definido pela relacao entre a tensao tangencial e 0.5ρU2 e:
cf =τ
0.5ρU2=
0.664√Rex
Integrando as tensoes obtemos o arraste:
D =
∫ L
0
τdx =1
2U2
∫ L
0
cfdx
cuja expressao dividida por 12U2 fornece o coeficiente de arraste:
Cd =D
12U2L
=1
L
∫ L
0
cfdx =1.33√ReL
A figura 2.7 mostra a distribuicao de velocidade vertical na camada limite, segundo a solucao
de Blasius. A figura 2.8 mostra uma comparacao dos perfıs de velocidade horizontal nas
camadas limite laminar e turbulenta, sendo que a turbulenta indica uma media.
40 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.7: Distribuicao de velocidade vertical na camada limite laminar
Texto Preliminar, SH Sphaier 41
Figura 2.8: Comparacao de perfıs de velocidade horizontal nas camadas limite laminar e
turbulenta
2.5 A integral de von Karman
A solucao das equacoes de camada limite obtida por Blasius, e restrita a placas e regime
laminar, sem gradiente de pressao externo. Uma forma alternativa para tratar as equacoes
de camada limite foi introduzida por von Karman. Trata-se de uma analise integral, em que
a equacao de quantidade de movimento e integrada verticalmente da superfıcie solida ate a
42 Texto Preliminar, SH Sphaier
extremidade da camada limite.∫ δ
0
(vx∂vx
∂x+ vy
∂vx
∂y)dy = −
∫ δ
0
1
ρ
∂p
∂xdy + ν
∫ δ
0
∂2vx
∂y2dy (2.14)
Lembrando que fora da camada limite o escoamento tem um carater potencial, a pressao pode
ser obtida utilizando a equacao de Euler, e as caracterısticas da velocidade externa a camada
limite, localmente.1
ρ
∂p
∂x= U(x)
∂U
∂x(2.15)
Substituindo (2.15) em (2.14) obtemos:∫ δ
0
(vx∂vx
∂x+ vy
∂vx
∂y− U(x)
∂U
∂x)dy = ν
∫ δ
0
∂2vx
∂y2dy
= ν(∂vx
∂y)|y=δ − ν(
∂vx
∂y)|y=0 = −τxy
ρ(2.16)
O integrando do primeiro membro em (2.16) pode ser rearranjado:
vx∂vx
∂x+ vy
∂vx
∂y− U(x)
∂U
∂x= vx(
∂vx
∂x− ∂U
∂x) + vy(
∂vx
∂y− ∂U
∂y) + (vx − U(x))
∂U
∂x
Assim ∫ δ
0
[vx(
∂vx
∂x− ∂U
∂x) + vy(
∂vx
∂y− ∂U
∂y) + (vx − U(x))
∂U
∂x
]dy = −τxy
ρ(2.17)
O ultimo termo da integral conduz a δ∗, espessura de deslocamento:∫ δ
0
(vx − U(x))∂U
∂xdy = −Uδ∗dU
dx(2.18)
Desenvolvendo a integral do segundo termo obtemos:∫ δ
0
vy(∂vx
∂y− ∂U
∂y)dy = [vy(vx − U)]δ0 −
∫ δ
0
(vx − U)∂vy
∂ydy =
∫ δ
0
(vx − U)∂vx
∂xdy (2.19)
Substituindo (2.18) e (2.19) e reunindo este resultado com o primeiro termo em (2.17) obtemos:
Uδ∗dU
dx+
∫ δ
0
[vx(
∂U
∂x− ∂vx
∂x) + (U − vx)
∂vx
∂x
]dy =
τxy
ρ(2.20)
e entao:
Uδ∗dU
dx+
d
dx
∫ δ
0
vx(U − vx)dy =τxy
ρ(2.21)
A integral que aparece em (2.21) e a espessura de momentum θ∗ mutiplicada pelo quadrado
da velocidade. Assim, a equacao que expressa a integral de quantidade de movimento e:
Uδ∗dU
dx+
d
dx(θ∗U2) =
τxy
ρ(2.22)
Texto Preliminar, SH Sphaier 43
2.6 Esquema de Pohlhausen
Vamos agora descrever uma aplicacao da integral de von Karman para obtencao aproximada
da solucao de camada limite laminar em presenca de um gradiente de pressao. Este esquema
foi inicialmente utilizado por Pohlhausen. Supomos que o perfil de velocidades da camada
limite possa ser descrito por um polinomio do quarto grau em funcao da relacao entre a
posicao vertical y e a espessura local da camada δ:
vx
U= a0 + a1(
y
δ) + a2(
y
δ)2 + a3(
y
δ)3 + a4(
y
δ)4
As condicoes de contorno sao:
1. vx = 0 para y = 0.
2. junto a parede, y = 0 vale a equacao de camada limite
1
ρ
∂p
∂x= ν
∂2vx
∂y2= −U dU
dx
3. sobre o limite da camada
vx = U,∂vx
∂y= 0 e
∂2vx
∂y2= 0
Com estas condicoes podemos obter os coeficientes
a0 = 0, a1 = 2 +Λ
6, a2 =
Λ
2,
a3 = −2 +Λ
2, e a4 = 1 +
Λ
6.
com
Λ =δ2
ν
dU
dx
As espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento sao:
δ∗ =
∫ δ
0
(1− vx
U)dy = δ(
3
10− Λ
120)
θ =
∫ δ
0
vx
U(1− vx
U)dy = δ(
37
315− Λ
945− Λ2
120)
τxy = µ(∂vx
∂y)y=0 =
µU
δ(2 +
Λ
6)
44 Texto Preliminar, SH Sphaier
Introduzindo esses resultados em (2.22), obtemos:
dΛ
dx=dU
dx
f(Λ)
U+d2U/dx2
dU/dxg(Λ) (2.23)
onde:
f(Λ) =7257.6− 1336.32Λ + 37.92Λ2 + 0.8Λ3
213.12− 5.76Λ− Λ2
g(Λ) =213.12Λ− 1.92Λ2 − 0.2Λ3
213.12− 5.76Λ− Λ2
2.7 Aplicacao para o Caso da Camada Limite em uma
Placa Plana
Neste caso a velocidade externa a camada limite e considerada constante U = 0, logo Λ = 0
e entaou
U= 2η − 2η3 + η4
e
δ∗ =3
10δ
θ =37
315δ
τ =2µU
δ
A equacao de von Karman torna-se:
U2 37
315δ′ − 2
νU
δ= 0
ou
δδ′ =2 · 315
37
ν
δou
U37
315δdδ − 2νdx = 0
integrando-se esta equacao temos:
U37
315
δ2
2− 2νx = 0
e entao:
δ2 =1260
37
νx
U
Texto Preliminar, SH Sphaier 45
e
τ = 0.343
√ρµU3
x= 0.343
U2ρ√Rex
Este resultado aproximado e muito proximo ao anteriormente obtido.
2.8 Efeito do Gradiente de Pressao: Separacao
Quando estudamos escoamentos potenciais planos, determinamos o campo de velocidades
para o caso de um escoamento retilıneo permanente incidindo sobre um cırculo. Concluımos
que a velocidade tangencial ao longo do contorno do cırculo e dada por
vθ = −2U sin θ,
isto e, ha dois pontos de estagnacao um para θ = π, a montante, e o outro para θ = 0, a
juzante. A velocidade maxima e alcancada em θ = π/2 e θ = 3π/2, e seu valor e o dobro
da velocidade do escoamento incidente. Utilizando-se o teorema de Bernoulli, tem-se que a
pressao e dada por
pd = pd,∞ +1
2(U2 − u2
θ)
Nos pontos de estagnacao a pressao e maxima
pd(θ = π) = pd(θ = 0) = pd,∞ +1
2U2
e nos pontos onde a velocidade e maxima, a pressao e mınima:
pd(θ = π/2) = pd(θ = 3π/2) = pd,∞ +1
2(U2 − (2U)2)
= pd,∞ −3
2U2
Com o efeito da viscosidade, caracterizado pelo aparecimento da camada limite e de sua sep-
aracao junto ao cilindro, o campo de pressao e altamente modificado dependendo do numero
de Reynolds.
A figura 2.9 mostra a distribuicao de pressoes para um escoamento potencial, e as distribuicoes
de pressao para dois casos de escoamentos reais para dois numeros de Reynolds distintos. Um
referente a um escoamento laminar e o outro turbulento.
Estes resultados mostram que uma partıcula fluindo proxima ao cırculo, deslocando-se de
θ = π para θ = π/2, ao passar pelo primeiro ponto de estagnacao desloca-se, tendo um
gradiente de pressao favoravel, aumentando assim sua velocidade. Ao passar pelo ponto
46 Texto Preliminar, SH Sphaier
θ = π/2 enfrenta um gradiente de pressao desfavoravel reduzindo sua velocidade. No caso de
escoamentos potenciais nao ha perdas e o ganho de energia cinetica no segundo quadrante e
usado para vencer o gradiente adverso de pressao no primeiro quadrante.
Figura 2.9: Escoamento em torno de um cilindro circular
No caso de escoamentos reais isto nao e mais possıvel. Os efeitos viscosos por menores que
sejam, sao acentuados na camada limite, e nela a velocidade junto a parede e nula. Assim, as
particulas na camada limite nao acumulam energia cinetica no segundo quadrante para vencer
o gradiente adverso do primeiro quadrante. Ha a separacao do escoamento, transformando a
distribuicao ao longo do cırculo, no primeiro e quarto quadrantes. As distribuicoes de pressao
apresentadas na figura 2.9 mostram as diferencas acentuadas para os tres casos.
As distribuicoes de pressao mostram claramente que os pontos de mınima pressao estao lo-
calizados proximos aos pontos θ = π/2 e θ = 3π/2. As regioes das esteiras nos escoamentos
reais tornam-se regioes de baixa pressao, entretanto, sem que fiquem abaixo da pressao dos
Texto Preliminar, SH Sphaier 47
pontos θ = π/2 e θ = 3π/2. Nos tres casos apresentados, a distribuicao de pressao na face
de ataque, pouco se modifica. Enquanto na face de fuga as diferencas sao acentuadas. A
integracao das pressoes fornecem as forcas atuando sobre o cırculo. Com as distribuicoes de
pressao observa-se que no caso de escoamento de fluido invıscito, a forca resultante (devida
as pressoes) e nula, enquanto, para fluido real, devido a separacao do escoamento, essa forca
e diferente de zero. Na realidade esta contribuicao de forca, nao somente e diferente de zero,
como supera bastante a contribuicao das tensoes cisalhantes na camada limite.
Como vimos no caso do escoamento de Couette e Poisseuille, a superposicao de um gradiente
de pressao desfavoravel ao efeito viscoso, aparece um retorno no escoamento. Observemos
que no caso da camada limite temos o efeito viscoso causando a reducao da velocidade, e
uma distribuicao de pressao que so dependera da situacao externa a camada limite. Se esta
distribuicao de pressao externa a camada limite gerar um gradiente de pressao desfavoravel
no sentido da camada limite podera haver uma inversao do escoamento. Lembrando que, ao
longo do comprimento a camada limite vai engrossando e o angulo que o perfil de velocidades
faz com a parede aumenta, e possıvel que, sujeito a um gradiente adverso, o escoamento
alcance uma situacao em que haja um retorno do escoamento. Isto quer dizer que havera
um ponto de estagnacao, e consequentemente um linha divisoria de duas regioes, uma em
que o escoamento tem que avancar e outra em que ha um retorno. Assim, o escoamento que
tem que avancar e obrigado a deixar a parede. A esta situacao chamamos de separacao do
escoamento. Devemos lembrar que um escoamento viscoso com alto numero de Reynolds em
torno de um corpo, estara sujeito a separacao, caso haja um gradiente de pressao adverso.
No ponto onde a separacao do escoamento ocorre a tensao cisalhante e nula, e as velocidades
normal e tangencial a parede sao nulas. Considerando um sistema de referencia localizado na
regiao de separacao temos:
1
ρ
∂p
∂x= ν(
∂2vx
∂x2+∂2vx
∂y2)
e por outro lado admitindo que a pressao fora da camada limite e regida pela caracterıstica
potencial do escoamento, temos portanto pela equacao de Euler
1
ρ
∂p
∂x= U(x)
∂U
∂x
ν(∂2vx
∂x2+∂2vx
∂y2) = U(x)
∂U
∂x
As figuras 2.10 e 2.11 mostram a influencia do gradiente de pressao na separacao da camada
limite.
48 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.10: Influencia do Gradiente de Pressao na Separacao I
Figura 2.11: Influencia do Gradiente de Pressao na Separacao II
Texto Preliminar, SH Sphaier 49
As figuras 2.12 e 2.13 mostram a fotos com a evolucao do escoamento e sua separacao, em
torno de um cilindro circular com o tempo.
Figura 2.12: Evolucao do escoamento em torno de um cilindro circular I
50 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 2.13: Evolucao do escoamento em torno de um cilindro circular II
A seguir a figura 2.14 mostra o coeficiente de arrasto para um cilindro circular.
Texto Preliminar, SH Sphaier 51
Figura 2.14: Coeficiente de Arrasto
52 Texto Preliminar, SH Sphaier
Capıtulo 3
Camada Limite Turbulenta em Placa
Plana
3.1 Introducao
Tratamos neste texto das equacoes representativas dos prıncipios da conservacao de massa e
de quantidade de movimento, para escoamentos de fluidos incompressıveis, com o objetivo de
se desenvolver equacoes de transporte para escoamentos turbulentos para massa, quantidade
de movimento, energia cinetica, vorticidade e tensoes de Reynolds.
Consideremos inicialmente as equacoes que expressam os princıpios de conservacao da massa,
equacao da continuidade e da conservacao da quantidade de movimento para um fluido in-
compressıvel, equacao de Navier-Stokes em notacao tensorial:
∂ui
∂xi
= 0
∂ui
∂t+ uj
∂ui
∂xj
=1
ρ
∂ωij
∂xj
= −1
ρ
∂p
∂xi
+ ν∂2ui
∂xj∂xj
onde:
t - tempo
xi(i = 1, 2, 3) - coordenadas espaciais
ui(i = 1, 2, 3) - componente da velocidade do escoamento na direcao i
53
54 Texto Preliminar, SH Sphaier
ρ - a massa especıfica,
ωij = −pδij + 2νsij - tensor das tensoes,
sij = −1/2(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi) - tensor das deformacoes
δij - delta de Dirac
µ - viscosidade dinamica
ν = µ/ρ - viscosidade cinematica
p - pressoes no escoamento medio
3.2 Equacoes de Transporte Promediadas
O estudo da turbulencia em um escoamento exige que possamos considerar as flutuacoes em
relacao ao escoamento medio. Por outro lado temos a impossibilidade de lidar com as equacoes
exatas de movimento, equacoes de Navier-Stokes, de modo a se obter solucoes fechadas. Con-
hecemos somente algumas solucoes de casos simplificados. Alem disto a turbulencia tem
um carater altamente instavel com intensas flutuacoes aleatorias em suas velocidades e out-
ras propriedades. Desta forma, torna-se imperativo que seja enfocada de forma estatıstica.
Reynolds(1895) propos tratar as equacoes atraves de uma promediacao temporal das variaveis
do problema, que no caso de fluidos incompressıveis sao velocidade, pressao e tensao. Assim,
decompomos as variaveis instantaneas em quantidades medias e flutuacoes:
f = f + f′
onde : f valor medio da variavel; f′flutuacoes;
f =1
t2 − t1
∫ t2
t1
f dt
em que t2 − t1 e um intervalo de tempo suficientemente grande, de forma que, as flutuacoes
turbulentas das variaveis do problema sejam anuladas no processo de promediacao. Devemos
lembrar que, alem das flutuacoes turbulentas o escoamento pode conter outras frequencias
que nao sao produtos da turbulencia. Um intervalo de tempo finito deve ser utilizado na
promediacao, tal que seja bem maior que a escala das flutuacoes turbulentas, e bem menor
que o perıodo de oscilacao que desejamos atribuir ao escoamento medio.
Assim,
ui = ui + u′
ωij = ωij + ω′
ij p = p+ p′
Texto Preliminar, SH Sphaier 55
Para as derivadas obtemos:
∂ui
∂t=∂ui
∂t;
∂ui
∂xi
=∂ui
∂xi
;∂p
∂xi
=∂p
∂xi
;∂ωij
∂xj
=∂ωij
∂xj
∂u′i
∂t=∂p′
∂xi
=∂ω
′ij
∂xj
= 0
Para o tensor das tensoes obtemos
ωij = −(p+ p′)δij + µ(
∂(ui + u′i)
∂xj
+∂(uj + u
′j)
∂xi
)
= −pδij + µ(∂ui
∂xj
+∂uj
∂xi
)− p′δij + µ(
∂u′i
∂xj
+∂u
′j
∂xi
)
= −pδij + µsij︸ ︷︷ ︸ωij
−p′δij + µs
′
ij︸ ︷︷ ︸ω
′ij
onde:
ωij tensor das tensoes do escoamento medio;
ω′ij tensor das tensoes das flutuacoes;
sij taxa de deformacao do escoamento medio;
s′ij taxa de deformacao das flutuacoes.
Decompondo a velocidade do escoamento instantaneo u em componentes media u e de flu-
tuacao u′na equacao da continuidade,
u = u+ u′
e aplicando o procedimento de promediacao de Reynolds, obtemos:
∂ui
∂xi
=∂(ui + u
′i)
∂xi
=∂ui
∂xi
+∂u
′i
∂xi
onde o ultimo termo e nulo, como visto anteriormente.
Assim, a equacao da continuidade do escoamento turbulento de um fluido incompressıvel e
expressa em termos da velocidade media do escoamento
∂ui
∂xi
= 0
Decompondo as variaveis na equacao de quantidade de movimento numa soma do valor medio
e da flutuacao, conforme indicado acima, e aplicando a media temporal de Reynolds, obtemos:
56 Texto Preliminar, SH Sphaier
∂(ui + u′i)
∂t+ (uj + u
′j)∂(ui + u
′i)
∂xj
=1
ρ
∂(ωij + ω′ij)
∂xj
e usando a equacao da continuidade:
∂(ui + u′i)
∂t+∂(uj + u
′j)(ui + u
′i)
∂xj
=1
ρ
∂(ωij + ω′ij)
∂xj
Utilizando as expressoes acima, o primeiro termo do primeiro membro e o segundo membro
podem ser escrito na forma:
∂(ui + u′i)
∂t=∂ui
∂t
1
ρ
∂(ωij + ω′ij)
∂xj
=1
ρ
∂ωij
∂xj
respectivamente, e a equacao de quantidade de movimento promediada assume a forma:
∂ui
∂t+∂(uj + u
′j)(ui + u
′i)
∂xj
=1
ρ
∂ωij
∂xj
O termo convectivo pode ser decomposto em:
uiuj = (ui + u′i)(uj + u
′j)
= uiuj + uiu′j + uju
′i + u
′iu
′j
O primeiro termo do segundo membro e igual a uiuj, pois a media de um produto de medias
e simplemente o produto das medias, enquanto, o segundo e terceiro termos sao nulos, ja que
a media da flutuacao e nula. Assim, a expressao fica reduzida a:
uiuj = uiuj + u′iu
′j
O ultimo termo, chamado de tensoes de Reynolds, trata da correlacao entre as componentes
das flutuacoes das velocidades, isto e, u′i correlacionada com u
′j ou vice versa. O grau de
correlacao e medido pelo coeficiente de correlacao:
cij =u
′iu
′j
u′2i u
′2j
Texto Preliminar, SH Sphaier 57
Se | cij |= 1 entao as variaveis sao totalmente correlacionadas. Por outro lado, se cij = 0,
entao nao existe correlacao entre elas.
Reunindo esses resultados, a equacao de quantidade de movimento promediada no tempo,
que descreve os efeitos da turbulencia sobre o escoamento medio, e expressa como:
∂ui
∂t+∂ujui
∂xj
+∂u
′ju
′i
∂xj
=1
ρ
∂ωij
∂xj
ou∂ui
∂t+∂ujui
∂xj
=1
ρ
∂(ωij − ρu′iu
′j)
∂xj
= −1
ρ
∂p
∂xi
+∂
∂xj
(ν∂ui
∂xj
− ρu′iu
′j)
O ultimo termo do segundo membro na ultima expressao representa o transporte medio das
flutuacoes de quantidades de movimento pelas flutuacoes de velocidade. Podemos interpretar
esse termo como um agente que produz tensoes no escoamento medio, e observar que tem
caracterıstica inercial. Alem disto, devemos dizer que as tensoes de Reynolds sao bem maiores
que as tensoes viscosas, excetuando uma pequena regiao junto a paredes, dentro da camada
limite.
Essa equacao e exata, mas introduz uma nova incognita, o termo do transporte medio das
flutuacoes de quantidade de movimento, ou, a correlacao entre componentes das flutuacoes
de velocidade, que dao origem a tensoes adicionais, chamadas tensoes de Reynolds.
3.3 O problema do fechamento
Acima apresentamos as equacoes diferenciais exatas para representar os princıpios de con-
servacao de massa e quantidade de movimento. Para levar em consideracao os efeitos da
turbulencia, introduzimos tambem a representacao das variaveis atraves de somas de termos
medios e termos de flutuacao.
A consideracao da turbulencia trouxe uma dificuldade adicional pois, introduziu inicialmente
duas incognitas, o valor medio e a flutuacao, para cada variavel. Com a promediacao essas
flutuacoes aparecem nas equacoes como termos em forma de correlacoes das flutuacoes das
variaveis consideradas. e possıvel desenvolvermos novas equacoes para essas correlacoes, en-
tretanto, assim procedendo, sao sempre introduzidas correlacoes de mais alta ordem e assim
sucessivamente, impedindo que tenhamos um sistema de equacoes fechado.
A este termo adicional, −ρu′iu
′j, da-se o nome de tensao de Reynolds e esta associado ao
transporte de quantidade de movimento dos termos de flutuacao. Se conhecessemos este
58 Texto Preliminar, SH Sphaier
termo poderıamos resolver o problema, de forma analoga as solucoes apresentadas acima
para a equacao de Navier-Stokes laminar. Porem nao se conhece nenhum procedimento para
expressar esse termo em funcao das outras variaveis do problema. O tratamento do problema
passa, entao, pela utilizacao de metodos empıricos para estimar ou expressar este termo.
3.4 Subdivisao da Camada Limite Turbulenta
Na camada limite turbulenta podemos observar uma sub-camada laminar associada funda-
mentalmente a tensao na parede. Na regiao mais superior da camada limite turbulenta o
escoamento e dependente das tensoes de Reynolds, que se devem aos termos de flutuacao.
Para se desenvolver expressoes que fornecam os campos de velocidade e as forcas na camada
turbulenta ha que se usar resultados experimentais, analises qualitativas e muita intuicao
fısica.
Seguindo essas linha convem trabalhar com dois modelos distintos um para a camada interna
e outro para a mais externa. Finalmente busca-se uma forma de compatibiliza-las atraves de
um modelo para a camada intermediaria.
A figura 3.1 mostra a variacao da tensao com a distancia da parede, e indica a diferenca
de contribuicao de cada uma das camadas. A figura 3.1 mostra ainda o comportamento da
velocidade adimensional u/u∗ em funcao da distancia adimensional da parede yu∗/µ.
Figura 3.1: Influencia da parede e da turbulencia no perfil de velocidades e na tensao
Texto Preliminar, SH Sphaier 59
A equacao de movimento do regime turbulento para velocidades medias e dada por:
DUi
Dt= −1
ρ
∂P
∂xi
+∂
∂xj
[ν∂Ui
∂xj
− uiuj]
onde pode-se definir uma tensao que englobe a tensao devida a viscosidade molecular bem
como a perda de energia pelos termos de flutuacao:
τij =∂
∂xj
[ν∂Ui
∂xj
− uiuj]
No caso de um escoamento totalmente desenvolvido em um canal esta expressao torna-se:
0 = −∂P∂x
+∂τ
∂y
τ = µ[∂u
∂y− ρuiuj]
onde
∂P/∂x = f(x)
∂τ/∂y = f(y)
Isto e, podemos dizer que:
∂P/∂x = ∂τ/∂y = C
onde C e uma constante.
Longe da parede τ e dominado pelas tensoes de Reynolds, porem proximo a parede a con-
tibuicao viscosa domina.
Para a subcamada viscosa utiliza-se a abordagem de Prandtl. Inicialmente diz-se que a
velocidade e dada como uma funcao
u = f(ν, τp, ρ, y) (3.1)
onde:
µ - viscosidade dinamica
τp - tensao na parede
ρ - massa especıfica
60 Texto Preliminar, SH Sphaier
y - distancia da parede
Atraves da analise dimensional tem-se
u
u∗= f(
y u∗
ν) (3.2)
onde
u∗ = (τpρ
)1/2
Para a camada turbulenta mais externa utiliza-se abordagem de von Karman, em que se supoe
que a perda de velocidade e dada pela relacao:
U − u
u∗= g(
y
δ) (3.3)
onde
U - velocidade do escoamento externo
δ - espessura da camada limite
E possıvel dizer que ha uma expressao que compatibiliza esses duas expressoe na camada
intermediaria, como sera mostrado. Trata-se da lei logarıtmica de Milikan para a camada
intermediaria.u
u∗=
1
κln(
y u∗
µ) +B (3.4)
Para dutos com paredes lisas
κ = 0.41
B = 5.0
3.5 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana
Como numa camada limite de placa plana nao existe um gradiente de pressao, entao:
ρU∂U
∂x+ ρV
∂U
∂y=∂τ
∂y
Considerando agora que o escoamento junto a parede U independe de U∞
U = U(ρ, τp, ν, y)
Texto Preliminar, SH Sphaier 61
e
µdU
dy= τp
logo
U =yτpµ
Da analise dimensional segue que:
U√τp/ρ
= f(y√τp/ρ
ν) = f(
yu∗
ν) = f(y)
em que definimos, como acima,
u∗ =√τp/ρ
que tem dimensao de velocidade e e chamado de velocidade de friccao.
U
u∗= f(y)
Esta e a chamada lei da parede, como visto para dutos.
As experiencias mostram que embora haja flutuacoes proximo a parede as tensoes de Reynolds
sao pequenas.
Por causa da pouca espessura da subcamada viscosa a tensao pode ser considerada uniforme
dentro dela e igual a tensao junto a parede, conforme mostrado para o caso do escoamento
em dutos.
Na regiao externa o escoamento e pouco viscoso porem as tensoes de Reynolds geram uma
perda de velocidade U∞−U , que deve ser proporcional a friccao da parede caracterizada por
u∗U∞ − U
u∗= F (
y
δ) = F (ξ)
esta e entao a lei de perda de velocidade
Assim, vemos que diferentes leis governam o escoamento proximo e longe da parede. A questao
agora e compatibiliza-las como foi feito para o caso de dutos, onde apresentamos a expressao
de Milikan para a camada intermediaria.
Das duas leis segue quedU
dy=u∗ν
df
dy
dU
dy=u∗δ
dF
dξ
62 Texto Preliminar, SH Sphaier
e na regiao intermediaria essas expressoes devem se igualar, isto e serem igual a uma mesma
constante 1/k, onde k e a constante de von Karman.
ξdF
dξ= y
df
dy=
1
k
Assim, podemos escrever as seguintes equacoes diferenciais para f e F :
ydf
dy=
1
k
ξdF
dξ=
1
k
cujas solucoes sao da forma
f(y) =1
kln y + A
F (ξ) =1
kln ξ +B
As constantes A, B e k compatibilizam as duas equacoes e devem ser obtidas experimental-
mente. Experiencias mostram que A = 5.0, B = −1.0 e k = 0.41.
A soma das duas leis conduz a lei da camada intermediaria:
U
u∗= C0 ln(
u∗δ
ν) + (C1 + C2) (3.5)
Entretanto uma segunda equacao e necessaria uma vez que temos duas incognitas u∗ e δ
Com o objetivo de se ter uma segunda equacao observamos que a integral de von Karman foi
obtida a partir da equacao de quantidade de movimento laminar.
E possıvel mostrar que a mesma equacao e valida para camada limite turbulenta incluindo
as tensoes de Reynolds, admitindo-se que as flutuacoes tenham um carater isotropico. Isto e,
u′2 = v′2. Com esta condicao adicional e desprezando o gradiente de pressao na integral de
von Karman
τp = ρU2 dθ
dx= ρu∗2 (3.6)
onde empregamos
u∗ = [τxy(x, 0)/ρ]1/2 = (τp/ρ)1/2
e θ denota a espessura de momento. A espessura da camada limite pode ser calculada em
termos de duas integrais:
I =
∫ 1
0
f2(y/δ)d(y/δ) ≈∫ 1
0
U − u
u∗d(y/δ) (3.7)
Texto Preliminar, SH Sphaier 63
J =
∫ 1
0
[f2(y/δ)]2d(y/δ) ≈
∫ 1
0
(U − u
u∗)2d(y/δ) (3.8)
Das definicoes de espessura obtemos:
δ∗
δ= I(u∗/U) (3.9)
θ
δ= I(u∗/U)− J(u∗/U)2 (3.10)
As equacoes (3.5), (3.6), e (3.10) formam um problema de tres equacoes com tres incognitas em
u∗, δ e θ. Podem ser resolvidas sem nenhuma hipotese adicional, utilizando-se as constantes
obtidas experimentalmente.
Um dos principais resultados e o coeficiente de arrasto de friccao local cf = τp/(.5ρU2) que
satisfaz a equacao:1√cf
=1√2A ln(Re,xcf ) + C3
onde Re,x = Ux/ν e o numero de Reynolds local. Com este coeficiente pode-se determinar o
arrasto total:
CF =1
l
∫ l
0
cf (x)dx
3.5.1 Resistencia friccional de placas utilizadas pelo ATTC e pelo
ITTC
Deve-se mencionar a expressao desenvolvida por Schoenherr que e utilizada pelo ATTC,
Conferencia Americana de Tanques de Prova:
1√Cf
= 1.739 ln(ReCf )
Ja o ITTC, a Conferencia Internacional de Tanques de Prova, em 1957, recomendou a seguinte
formulacao:
Cf =0.075
(log10Re− 2)2
A figura 3.2 apresenta essas curvas, de resistencia friccional utilizadas pelo ITTC e pelo ATTC,
como extrapoladores para calculo da resist encia de navios a partir de testes com modelos.
64 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 3.2: Extrapoladores do ITTC e do ATTC, representativos da resistencia friccional
3.5.2 Lei de Potencia para Resistencia de Placa em Escoamento
Turbulento
Observando perfis de velocidade em dutos verifica-se que este pode ser descrito em funcao da
distancia a parede por uma lei de potencia (ver figura 3.3) na forma
V/Vmax = (y/Raio)1/n
Texto Preliminar, SH Sphaier 65
Figura 3.3: Perfil de velocidades para escoamento turbulento em um duto em funcao do
numero de Reynolds
Baseado nestes resultados e na integral de von Karman, Prandtl apresentou uma formulacao
para a camada limite turbulenta utilizando uma aproximacao para o perfil de velocidades com
66 Texto Preliminar, SH Sphaier
n = 7.
A partir desta aproximacao e da forma integral de von Karman, Prandtl assumiu que
cf ∼ δ−14
Desconsiderando-se o gradiente de pressao tem-se que:
cf = 2dθ
dx(3.11)
Com o perfil de velocidades assumido pode-se agora obter:
θ ≈δ
10
Assim de (3.11)
δ−1/4 dδ
dx⇒ δ = x4/5 ⇒ cf ∼ x−1/5
chegando-se as seguintes relacoes:
δ
x≈ 0.37R−1/5
e,x
θ
x≈ 0.036R−1/5
e,x
δ∗
x≈ 0.0046R−1/5
e,x
cf ≈ 0.0592R−1/5e,x
Cf ≈ 0.072R−1/5e,l
A figura 3.4 mostra uma comparacao entre as resistencias de placa plana segundo as aprox-
imacoes laminar, solucao de Blasius, e a aproximacao de Prandtl utiloizando lei de potencia.
Texto Preliminar, SH Sphaier 67
Figura 3.4: Aproximacoes de Prandtl e Blasius para Placa Plana
68 Texto Preliminar, SH Sphaier
Capıtulo 4
Escoamento em torno de um Cilindro
Circular
4.1 Introducao
Quando estudamos escoamentos potenciais planos, determinamos o campo de velocidades
para o caso de um escoamento retilıneo permanente incidindo sobre um cırculo. Concluımos
que a velocidade tangencial ao longo do contorno do cırculo e dada por
vθ = −2U sin θ,
isto e, ha dois pontos de estagnacao um para θ = π, a montante, e o outro para θ = 0, a
juzante. A velocidade maxima e alcancada em θ = π/2 e θ = 3π/2, e seu valor e o dobro
da velocidade do escoamento incidente. Utilizando-se o teorema de Bernoulli, tem-se que a
pressao e dada por
pd = pd,∞ +1
2(U2 − u2
θ)
Nos pontos de estagnacao a pressao e maxima
pd(θ = π) = pd(θ = 0) = pd,∞ +1
2U2
e nos pontos onde a velocidade e maxima, a pressao e mınima:
pd(θ = π/2) = pd(θ = 3π/2) = pd,∞ +1
2(U2 − (2U)2)
= pd,∞ −3
2U2
69
70 Texto Preliminar, SH Sphaier
Com o efeito da viscosidade, caracterizado pelo aparecimento da camada limite e de sua sep-
aracao junto ao cilindro, o campo de pressao e altamente modificado dependendo do numero
de Reynolds.
A figura 2.9 mostra a distribuicao de pressoes para um escoamento potencial, e as distribuicoes
de pressao para dois casos de escoamentos reais para dois numeros de Reynolds distintos. Um
referente a um escaomento laminar e o outro turbulento.
Estes resultados mostram que uma partıcula fluindo proxima ao cırculo, deslocando-se de
θ = π para θ = π/2, ao passar pelo primeiro ponto de estagnacao desloca-se, tendo um
gradiente de pressao favoravel, aumentando assim sua velocidade. Ao passar pelo ponto
θ = π/2 enfrenta um gradiente de pressao desfavoravel reduzindo sua velocidade. No caso de
escoamentos potenciais nao ha perdas e o ganho de energia cinetica no segundo quadrante e
usado para vencer o gradiente adverso de pressao no primeiro quadrante.
No caso de escoamentos reais isto nao e mais possıvel. Os efeitos viscosos por menores que
sejam, sao acentuados na camada limite, e nela a velocidade junto a parede e nula. Assim, as
particulas na camada limite nao acumulam energia cinetica no segundo quadrante para vencer
o gradiente adverso do primeiro quadrante. Ha a separacao do escoamento, transformando a
distribuicao ao longo do cırculo, no primeiro e quarto quadrantes. As distribuicoes de pressao
apresentadas na figura 2.9 mostram as diferencas acentuadas para os tres casos.
As distribuicoes de pressao mostram claramente que os pontos de mınima pressao estao lo-
calizados proximos aos pontos θ = π/2 e θ = 3π/2. As regioes das esteiras nos escoamentos
reais tornam-se regioes de baixa pressao, entretanto, sem que fiquem abaixo da pressao dos
pontos θ = π/2 e θ = 3π/2. Nos tres casos apresentados, a distribuicao de pressao na face
de ataque, pouco se modifica. Enquanto na face de fuga as diferencas sao acentuadas. A
integracao das pressoes fornecem as forcas atuando sobre o cırculo. Com as distribuicoes de
pressao observa-se que no caso de escoamento de fluido invıscito, a forca resultante (devida
as pressoes) e nula, enquanto, para fluido real, devido a separacao do escoamento, essa forca
e diferente de zero. Na realidade esta contribuicao de forca, nao somente e diferente de zero,
como supera bastante a contribuicao das tensoes cisalhantes na camada limite.
4.2 Influencia do Numero de Reynolds no Regime do
Escoamento
Quando um cilindro circular encontra-se submetido a um escoamento retilıneo unidirecional
ha efetivamente o aparecimento de uma reacao na direcao do escoamento fruto da diferenca
de pressoes em torno do cilindro motivada pelo desprendimento de vortices. Uma pequena
contribuicao adicional existe por causa do atrito.
Texto Preliminar, SH Sphaier 71
O desprendimento de vortices tem sua origem na separacao do escoamento na camada limite,
cujo comportamento e funcao do numero de Reynolds. O numero de Reynolds caracteriza
a relacao de predominancia de forcas viscosas ou inerciais. Obtido atraves de estudos de
semelhanca entre modelos reduzido e prototipo, pela analise dimensional, ou normalizacao
dos termos da equacao de Navier-Stokes, pode-se dizer que quanto maior o seu valor maior a
importancia das forcas inerciais. Contrariamente as forcas viscosas, que tem um carater or-
denador forcando o fluido a escoar em laminas, as forcas inerciais garantem a possibilidade de
transferencia de quantidade de movimento no sentido transversal as laminas fluidas de forma
desordenada. Para valores de Re muito baixos, menores que 5 o escoamento e extremamente
viscoso e governado pela forcas de pressao e as forcas viscosas. O regime do escoamento e
conhecido por escoamento lento ou como conhecido em ingles creeping flow.
Desconsiderando-se o caso de escoamento lento, com Re < 5, existe uma significativa diferenca
entre os regimes para numeros de Reynolds superiores e inferiores a 40. Esta diferenca reside
no fato de nao haver desprendimento de vortices para 5 < Re < 200 e haver um desprendi-
mento alternado de vortices para Re > 200. Este desprendimento se da de forma alternada
fazendo com que a apareca uma forca transversal alternada, excitando oscilacoes transver-
sais no caso de estruturas cilındricas circulares flexıveis, como e o caso de risers, linhas de
trasmissao, estruturas esbeltas, etc. Mesmo na direcao do escoamento ha uma componente
da forca de arraste com carater oscilatorio com uma frequencia igual ao dobro da frequencia
da oscilacao transversal. Tratando-se de uma estrutura flexıvel, quando a frequencia de de-
sprendimento iguala-se a uma frequencia natural da estrutura, esta esta sujeita a um ampli-
ficacao da vibracao.
A figura 4.1, retirada do livro de Blevins mostra os diversos regimes de separacao para difer-
entes numeros de Reynolds. A seguir sao apresentadas as figuras 4.2 e 4.3 que mostram
oo processo em que um vortice lateral invade a regiao do outro lado do cilindro forcando a
separacao alternada, o numero de Strouhal.
72 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 4.1: Escoamento em torno de um cilindro circular
Texto Preliminar, SH Sphaier 73
Figura 4.2: Mecanismo de Separacao alternada
Figura 4.3: Numero de Strouhal
Re0 < Re < Re1 Distingui-se os seguintes regimes:
• Re < Re0 em que Re0 ≈ 5 e o limite de ”creeping flow”. Neste regime observa-se que o
escoamento nao apresenta nenhuma regiao recirculacao.
74 Texto Preliminar, SH Sphaier
• Para numeros de Reynolds na faixa Re0 < Re < Re1 em que Re1 ≈ 40 dois vortices
aparecem na regiao a juzante. Este regime circulatorio e estavel e nao ha liberacao de
vortices.
• Faixa de numeros de Reynolds entre Re1 < Re < Re2 em que Re2 ≈ 200. Para numeros
de Reynolds superiores a 40, a linha de simetria separando os dois vortices e alem dos
mesmos na esteira, apresentam um carater ondulatorio dada a instabilidade do regime
originando consequentemente a separacao alternada dos dois vortices. Entretanto a
esteira permanece com comportamento laminar.
• Faixa de numeros de Reynolds entre Re2 < Re < Re3 em que Re2 ≈ 3×105. A camada
limite junto ao corpo e laminar, existe o desprendimento alternado de vortices, mas o
regime da esteira e turbulento.
• Faixa de numeros de Reynolds entre Re3 < Re < Re4 em que Re4 ≈ 3× 106. Esta e a
fase de transicao do escoamento na camada limite, passando de laminar a turbulento.
O desprendimento dos vortices e desordenado e a esteira e turbulenta.
• Faixa de numeros de Reynolds entre Re4 < Re A camada limite junto ao corpo e
turbulenta e volta a existir o desprendimento alternado de vortices. Naturalmente o
regime da esteira e turbulento.
4.3 Forca de Arrasto e Transversal
A partir de um certo numero de Reynolds observa-se a separacao da camada limite com
uma liberacao alternada de vortices e distribuicao de pressoes flutuante em torno de um valor
medio. A integracao das pressoes fornece as forcas longitudinal (in-line) e transversal atuando
no cilindro. Consequentemente a forca longitudinal tem um valor medio diferente de zero em
torno do qual ha uma flutuacao da forca. Ja a forca transversal tem valor medio nulo e em
torno dele oscila.
Atraves de procedimentos experimentais as forcas sao medidas e usando os princıpios da
analise dimensional pode-se identificar os principais parametros intervenientes que caracter-
izam o fenomeno e determinar os grupos adimensionais a serem utilizados para conduzir
as experiencias. Assim, testando-se um cilindro liso de secao circular com comprimento L,
diametro D em um fluido com densidade ρ e viscosidade dinamica µ escoando com velocidade
U , as forcas, funcoes dos parametros acima descritos, sao dadas por:
FD,L = fD,L(L,D, ρ, µ, U)
Texto Preliminar, SH Sphaier 75
e sao escritas na forma adimensional:
CD,L =FD,L
0.5ρDU2= gD,L(
ρUD
µ,L/D)gD,L(Re, L/D)
Utilizando estas conclusoes, conduz-se a experimentacao para obtencao das forcas hidrodinamicas
de arrasto fD e transversal, ou de sustentacao (lift) fL. Com o desprendimento alternado de
vortices observa-se uma flutuacao nas forcas, que dependera do parametro L/D, e as forcas
sao entao escritas na forma:
FD =ρ
2DU |U |(CD + CD sin(2ωs + ψs))
FL =ρ
2DU |U |(CL sin(ωs + φs))
onde:
CD - Coeficiente de arrasto medio funcao do numero de Reynolds.
CD - Amplitude do coeficiente de arrasto oscilatorio funcao do numero de Reynolds.
CD - Amplitude do coeficiente de sustentacao funcao do numero de Reynolds.
ωs - Frequencia de desprendimento de vortices numero de Reynolds.
A frequencia de desprendimento depende da forma do corpo e do escoamento, isto e, da
forma do corpo e do numero de Reynolds. Define-se como numero de Strouhal a relacao
adimensional:
St =ωsD
2πU
O numero de Strouhal St e entao obtido experimentalmente para cilindros circulares em
funcao do numero de Reynolds. A figura 4.3 apresenta resultados experimentais que indicam
uma pequena variacao do numero de Strouhal em funcao do numero de Reynolds Re para o
regime subcrıtico. No regime crıtico ha uma dispersao dos valores enquanto para o regime
poscrıtico o numero de Strouhal volta a variar pouco com o numero de Reynolds.
A figura 2.14 apresenta a curva de CD em funcao do Numero de Reynolds para o caso de um
cilindro rıgido. Observa-se claramente a brusca variacao na regiao de transicao do escoamento.
Enquanto para a forca media in-line os resultados apresentados na figura 2.14 sao amplamente
aceitos e nao apresentam aspectos de dispersao, o mesmo nao ocorre com os resultados para
a forca transversal. Esta dispersao fica bem caracterizada pela figura ?? compilada por
Pantazopoulos de diversas publicacoes. Pode-se extrair as seguintes principais conclusoes:
76 Texto Preliminar, SH Sphaier
Re < 104
O rms (valor medio quadratico) do coeficiente de sustentacao, CL,rms varia entre 0.4 e
0.6
104 < Re < 105
Acima de 104 ha um acrescimo consideravel no valor de CL,rms chegando a valores entre
0.4 e 1.3
em torno do regime crıtico 105 < Re < 106
No regime crıtico a liberacao de vortices e desordenada tendo como consequencia que
a forca transversal se torna pequena. O valor medio quadratico do coeficiente de sus-
tentacao tem seus valores na faixa 0.05 < CL,rms < 0.3
106 < Re
Os poucos resultados experimentais apresentados nesta faixa indicam CL,rms > 0.4
Posteriormente Pantazopoulis separa os resultados obtidos em tunel de vento e em tanque
com agua.
Ao lado deste conjunto de dados reunidos por Pantazopoulis destaca-se o trabalho conduzido
por Schewe. Os resultados por ele apresentados estao reunidos nos graficos da figura ??. que
dizem respeito as variacoes de CD, St e CL,rms em funcao do numero de Reynolds. Destes
resultados pode-se observar que para Re = 2× 105 os coeficientes de arrasto e de sustentacao
valem CD = 1.1 e CL,rms ≈ 0.33. Quando o numero de Reynolds alcanca o valor Re ≈ 4×104
ambos coeficientes sofrem um aumento: CL,rms ≈ 0.38 e CD = 1.25. Com o aumento do
numero de Reynolds o coefiente de arrasto diminui suavemente ate o limite da transicao. O
coeficiente de sustentacao tambem apresenta um decrescimo porem mais acentuado. Em toda
esta faixa de numero de Re o numero de Strouhal St permanece igual a 0.2. No limite do
regime crıtico o numero de Strouhal tem um salto para 0.33. Para este Re a sustentacao
e dada por um valor medio distinto de zero e uma contribuicao oscilatoria. Um pequeno
aumento no numero de Reynolds faz com que o numero de Strouhal salte para 0.5 e que a
forca de sustentacao volte a oscilar em torno de zero. O valor medio da forca de sustentacao
diferente de zero no inıcio da transicao tem sua explicacao com base no fato de a camada
limite de somente um dos lados entrar na transicao. Na faixa de transicao os coeficientes
de sustentacao e de arrasto situam-se em torno de 0.2 e 0.3 respectivamente. Nesta faixa o
numero de Strouhal cai desde ≈ 0.5 ate 0.4. Apos a transicao o coeficiente de sustentacao
cresce ate se situar em torno de 0.5. O numero de Strouhal cresce linearmente com o logaritmo
do numero de Reynolds ate 0.3 para Re = 7× 106. O coeficiente de arrasto chega a 0.55.
Texto Preliminar, SH Sphaier 77
4.4 Escoamento Retilıneo Oscilatorio
Esta secao concentra-se no estudo do escoamento em torno de um cilindro circular. Dos
capıtulos anteriores pode-se dizer que a forca exercida por um escoamento potencial plano
acelerado sobre um cilindro circular e dada por:
f = CMρπD2
4u = (1 + 1)ρ
πD2
4u = (1 + CAD)ρ
πD2
4u = 2ρ
πD2
4u (4.1)
onde: ρ e a massa especıfica, D e o diametro do cilindro, u e a aceleracao das partıculas fluidas
devida as ondas, no centro da secao e |CM | e o coeficiente de inercia, e CAD e o coeficiente de
massa adicional, neste caso igual a 1. Para um escoamento uniforme com velocidade incidente
constante a forca e dada por
f = CDρ
2Du|u| (4.2)
onde o coeficiente CD e o coeficiente de arrasto e e uma funcao do numero de Reynolds, u e
a velocidade das partıculas fluidas e |u| e o seu modulo.
Admitindo-se possıvel a superposicao desses dois efeitos no caso de um escoamento real com
velocidade variavel, pode-se esperar que a forca seja expressa pela soma das duas expressoes,
porem com alteracao dos valores do coeficiente CAD devido aos efeitos viscosos:
f = fI + fD (4.3)
Observando-se os efeitos de camada limite e seu descolamento, as caracterısticas do escoa-
mento potencial ficam consideravelmente modificadas. Porem, o efeito da forma do corpo
continua causando perturbacoes na massa fluida fora da regiao da camada limite. Da mesma
forma que anteriormente, ira provocar sobre o corpo pressoes hidrodinamicas responsaveis
por uma forca resultante diferente de zero. Neste caso, entretanto, essas pressoes sofrerao
efeitos da viscosidade e do descolamento da camada limite. Esta interacao de efeitos pode ser
considerada fazendo CM depender do numero de Reynolds Re, de tal forma que
f = CM(Re)ρπD2
4u+ CD(Re)
ρ
2Du|u| (4.4)
Para a determinacao dos valores de CM e CD, para o calculo das forcas devidas as ondas,
outros parametros devem ser considerados, os quais representam a rugosidade da superfıcie
do cilindro e o movimento oscilatorio das partıculas fluidas.
A expressao acima pode ser aplicada tambem para o caso de tubos flexıveis, considerando as
velocidades e aceleracoes locais do tubo v e v:
78 Texto Preliminar, SH Sphaier
f = CMρπD2
4u+ (CM − 1)ρ
πD2
4v + CD
ρ
2D(u− v)|u− v| (4.5)
Esta abordagem foi proposta em 1950 por Morison et al. para o calculo da forca por unidade
de comprimento atuante em um pilar cilındrico vertical em ondas, perpendicular ao eixo do
cilindro:
f = CDρ
2Du|u|+ CMρ
πD2
4u (4.6)
onde:
ρ - Massa especıfica
D - Diametro do Pilar
u - Velocidade das partıculas fluidas devida as ondas, no centro da secao
u - Aceleracao das partıculas fluidas devida as ondas, no centro da secao
|u| - Modulo da velocidade
Desde a apresentacao da formula de Morison muitos esforcos vem sendo desenvolvidos no
sentido de se definir esquemas que permitam avaliar valores dos coeficientes CM e CD, para
se poder determinar as forcas de onda com seguranca.
No desenvolvimento original, os resultados obtidos pela formula de Morison foram comparados
com resultados obtidos experimentalmente para um cilindro vertical, posicionado desde o
fundo ate a superfıcie livre, ultrapassando a crista da onda. O perfil da onda no cilindro, e a
forca da onda, foram registrados simultaneamente durante as experiencias. As velocidades e
as aceleracoes das partıculas foram avaliadas atraves da teoria linear de ondas de gravidade,
ou teoria de Airy. Na determinacao dos valores dos coeficientes CM e CD, os valores da forca
em fase com a aceleracao foram medidos para velocidades nulas, e os valores da forca em fase
com a velocidade para aceleracao nula.
Keulegan e Carpenter conduziram algumas experiencias para o calculo de forcas de onda,
atuando em um cilindro, em 1958. O cilindro de teste foi colocado horizontalmente abaixo
da superfıcie livre numa posicao correspondente a um nodo de uma onda estacionaria, de
comprimento de onda suficientemente grande em comparacao com a profundidade. As ex-
periencias foram conduzidas para numeros de Reynolds variando entre 4 × 103 e 3 × 104,
tendo como base a velocidade maxima da ”corrente”senoidal gerada, uma vez que d < L.
Nessas experiencias nao foi observada nenhuma correlacao entre os valores de CM e CD com o
numero de Reynolds. Foi determinada, entretanto, a dependencia de CM e CD com o perıodo
Texto Preliminar, SH Sphaier 79
de oscilacao. Os valores medios de CM e CD sao funcoes do numero de Keulegan-Carpenter,
KC, definido por
KC =UmT
D(4.7)
onde:
Um - e a velocidade maxima da corrente,
T - e o perıodo da corrente e
D - e o diametro do cilindro.
Nas experiencias o numero de Keulegan-Carpenter variava entre 2 e 120. A comparacao de
forcas medias em cilindros calculadas atraves da teoria linear indicou uma concordancia muito
boa, exceto para KC = 15, onde foram verificadas diferencas da ordem de 20%.
Outros trabalhos de interesse foram elaborados atraves de experiencias de laboratorios para
numeros de Reynolds baixos, apontando para a dependencia dos coeficientes CM e CD no
numero de Keulegan-Carpenter. Como as medicoes em laboratorio e no campo estavam
associadas a presenca de ondas os resultados de CM e CD dependiam da teoria de onda
utilizada para representar os campos de velocidade e aceleracao. Alem disto, nao se conseguia
varrer uma faixa significativa de numeros de Reynolds e de Keulegan-Carpenter.
80 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 4.4: Cm e Cd de uma Secao Circular para Baixos Numeros de Reynolds em um
Escoamento Oscilatorio
Texto Preliminar, SH Sphaier 81
A figura 4.4 gerada a partir de experimentos por Sarpkaya, para baixos nımeros de Reynolds,
retrata bem o que foi obtido por Keulegan e Carpenter.
Tentando eliminar os problemas expostos acima, Sarpkaya e varios colaboradores desen-
volveram experiencias em laboratorio para cilindros com varias rugosidades colocadas em
escoamento oscilatorio, utilizando tubos em U, verticais. Nestas experiencias foi feita uma
ampla variacao dos numeros de Reynolds, de 104 a 7 x 105 e de Keulegan-Carpenter, de 0 a
200. Os resultados obtidos para CM e CD mostram pouca dispersao. CM varia entre 0.7 e 2.1,
sendo funcao do numero de Reynolds, do numero de Keulegan-Carpenter, e da rugosidade
relativa. CD e funcao dos mesmos numeros adimensionais, e alcanca valores ate 2.1. As forcas
calculadas mostram excelente concordancia com medicoes, a menos de valores compreendidos
entre 10 e 20, para o numero de Keulegan-Carpenter.
As figuras 4.5 a 4.10 apresentam alguns resultados experimentais obtidos por Sarpkaya e seus
colaboradores para os coeficientes Cm e CD.
82 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 4.5: Cd de uma Secao Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilatorio
Texto Preliminar, SH Sphaier 83
Figura 4.6: Cm de uma Secao Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilatorio
84 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 4.7: Cd de uma Secao Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilatorio
Texto Preliminar, SH Sphaier 85
Figura 4.8: Cm de uma Secao Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilatorio
86 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 4.9: Cd de uma Secao Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilatorio
Texto Preliminar, SH Sphaier 87
Figura 4.10: Cm de uma Secao Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilatorio
A formula de Morison esta focada em escoamentos oscilatorios incidindo sobre cilindrso circu-
lares, que e o caso de estruturas oceanicas em ondas. Entretanto, de acordo com o diametro
da estrutura, a altura da onda e seu comprimento, pode-se ou nao empregar a expressao de
Morison, pois se o diametro for muito grande em relacao ao comprimento da onda, a onda
sofre difracao e as partıculas fluidas tem movimentos bem menores que a estrutura. De forma
similar, se as alturas forem pequenas em relacao ao diametro, as orbitas das partıculas sao
pequenas em relacao ao diametro e a formula de Morison nao se aplica. A figura 4.11 mostra
um esquema das regioes de aplicacao da formulacao de Morison.
88 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 4.11: Regioes de Validade da Formulacao de Morison
Texto Preliminar, SH Sphaier 89
4.5 Escoamento Incidindo sobre Cilindro com Base E-
lastica
Acima foi dito que o desprendimento de forma alternada provoca uma forca transversal alter-
nada, excitando oscilacoes transversais no caso de estruturas cilındricas circulares flexıveis,
como e o caso de risers, linhas de trasmissao, estruturas esbeltas, etc. No sentido de se ter
um maior conhecimento do fenomeno e interessante relatar a experiencia realizada por Feng.
Um cilindro de secao circular com eixo colocado no plano horizontal foi submetido a um
escoamento na direcao perpendicular a seu eixo. Uma mola tranversal ao eixo do cilindro
foi utilizada para liga-lo ao solo permitindo. A velocidade foi aumentada gradativamente. A
figura 4.12 mostra um esquema da experiencia desenvolvida. Observou-se que a medida que
a velocidade aumentava a frequencia de desprendimento de vortices aumentava mantendo-se
o numero de Strouhal constante em torno de 2. Quando a frequencia de desprendimento
de vortices alcancava a frequencia natural de vibracao da estrutura esta apresentava uma
amplificacao do movimento e mesmo aumentando-se a velocidade do escoamento a frequencia
de desprendimento de vortices deixava de crescer sintonizando-se na frequencia da estrutura.
Convem ressaltar que no caso de estruturas rıgidas a frequencia de desprendimento continuaria
a aumentar mantendo-se o numero de Strouhal em torno de 2.
A figura 4.13 mostra os resultados da experiencia de Feng indicando a amplificacao nos valores
de CD com a variacao da velocidade reduzida. A velocidade reduzida e dada pela relacao
U/(f · D) onde U e a velocidade do escoamento incidente, f e a frequencia de oscilacao do
cilindro e D e o diametro.
A experiencia de Feng, associada a outras similares, destaca algumas questoes interessantes
que merecem ser comentadas:
1. O cilindro tem sua oscilacao transversal amplificada a medida que a frequencia de de-
sprendimento de vortices iguala-se a sua frequencia de oscilacao. A esta ocorrencia de
sintonizacao da frequencia da-se o nome de lock-in. Diversas outras expressoes sao
utilizadas na literatura. Diz-se, por exemplo, que a frequencia da vibracao do cilin-
dro captura e controla a frequencia de desprendimento de vortices, passando a reger o
fenomeno de desprendimento.
2. As condicoes de contorno modificam-se junto do cilindro podendo a sequencia de de-
sprendimento ser modificada. Observa-se que a frequencia de desprendimento sintoniza
na frequencia da oscilacao, Embora a velocidade incidente possa variar, ha uma variacao
da frequencia natural porem mantendo a frequencia de desprendimento controlada (sin-
tonisada).
90 Texto Preliminar, SH Sphaier
3. A frequencia de desprendimento nao fica sintonizada em um unico valor. O fenomeno se
da para uma faixa de velocidades. Uma vez que a frequencia e a raiz quadrada da relacao
do coeficiente de mola pela soma da massa do corpo mais a massa adicional e a massa
adicional e uma integracao de pressoes que dependem das caracterısticas do escoamento,
a frequencia natural nao e fixa, e sera sensıvel a relacao entre a massa adicional e a massa
do corpo. E, no caso, a massa adicional depende somente da densidade do fluido, da
forma do corpo e da frequencia da oscilacao, que influencia no fenomeno de separacao,
e de certa forma da amplitude da oscilacao.
4. A frequencia de liberacao de vortices sofre a influencia da sintonizacao ou nao com a da
frequencia natural do cilindro. Para uma estrutura flexıvel existe uma serie de possıveis
frequencias naturais de vibracao. A cada vez que uma esta sintonizada com a frequencia
de liberacao de vortices a estrutura tende a ter o modo de vibracao correspondente
amplificado.
5. Com a sintonizacao da vibracao, ha tambem um acrescimo do coeficiente de arrasto o
que traz danos estruturais.
6. A sintonizacao a frequencia de liberacao de vortices na frequencia do movimento transver-
sal, no caso a frequencia natural do sistema, esta vinculada a amplitude do movimento
transversal. Existe um valor mınimo para haver sintonia. Existe um valor a partir do
qual a frequencia do movimento nao controla a frequencia de liberacao de vortices.
Texto Preliminar, SH Sphaier 91
Figura 4.12: Esquema da Experiencia realizada por Feng
92 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 4.13: Resultados obtidos por Feng
Capıtulo 5
Movimento em Vortice
5.1 Cinematica do Movimento
O teorema de Stokes estabelece que∫S
∇× vdS =
∮vds (5.1)
Isto e, a circulacao em torno de uma linha fluida fechada esta ligada ao fluxo de vorticidade
atravessando o interior da linha.
Vimos que ∇×v e uma medida de rotacao das partıculas fluidas e que num regime potencial
ele e zero em todo o domınio fluido, exceto possivelmente em pontos singulares. Estudaremos
neste capıtulo escoamentos para os quais ∇× v 6= 0 em pontos ou partes do escoamento.
Como vimos anteriormente, o vetor velocidade angular de cada particula fluida e dado por
w =1
2∇× v
Se aplicarmos o operador divergente obtemos:
∇ ·w =1
2∇ · ∇ × v = 0
e podemos dizer que o vetor w obedece as mesmas leis que o vetor v num escoamento de um
fluido incompressıvel, pois neste caso a equacao da continuidade e div v = 0.
Pela lei do divergente temos a correspondencia de linhas de corrente com linhas de vortice,
que por definicao sao linhas em que cada um de seus pontos e tangente ao vetor vorticidade
93
94 Texto Preliminar, SH Sphaier
naquele ponto. Da mesma forma que uma linha de corrente nao pode acabar ou comecar
no meio fluido as linhas de vortice tambem nao podem. Com base na definicao de linha de
corrente sua equacao e dada pordx
wx
=dy
wy
=dz
wz
oudx
ξx=dy
ξy=dz
ξz
Pelo teorema de Stokes (5.1) podemos dizer que se tomarmos um elemento de area dS e
calcularmos a circulacao em torno do contorno deste elemento de area obteremos
dΓ = 2w · dS
Devemos chamar a atencao para o fato de podermos ter o caso em que o escoamento e
irrotacional a nao ser na linha de vortice, que tem uma determinada circulacao em torno de
si.
Definimos acima linha de vortice, como uma linha em que cada um de seus pontos e tangente
ao vetor vorticidade naquele ponto.
Consideremos um conjunto de linhas de vortices. Se este conjunto forma uma superfıcie
contınua, dizemos que esta e uma superfıcie de vortices. Da definicao de linha de vortices
segue que os vortices tangenciam a superfıcie de vortices.
Se este conjunto forma um tubo, ocupando nao mais uma superfıcie porem um volume,
continuamente preenchido por linhas de vortices, chamamos este volume de tubo de vortice.
Naturalmente todo tubo de vortice, por ser um volume no espaco, sera circundado por uma
superfıce de vortices. Esta formada uma ”parede”limitando o tubo de vortices.
A figura 5.1 mostra exemplos de linha de vortice, superfıcie e tubo de vortice.
5.2 Teorema de Thomson da Permanencia da Circulacao
O teorema de Thomson estabelece que para um fluido perfeito, barotropo, onde as forcas
de corpo derivam de um potencial, a circulacao ao longo de uma linha material fechada e
constante ao longo do tempo.
Para derivar este teorema relembremos inicialmente a definicao de circulacao cuja aplicacao
segue o esquema mostrado na figura 5.2.
Texto Preliminar, SH Sphaier 95
Figura 5.1: Linha de vortice, Superfıcie e Tubo de Vortice
96 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.2: Circulacao
tracemos uma linha fluida fechada no domınio fluido e estudemos a variacao do valor da
circulacao ao longo desta linha com o passar do tempo.
D
DtΓ =
D
Dt
∮v · ds
Como o contorno independe do tempo podemos fazer
D
Dt
∮v · ds =
∮D
Dt(v · ds) =
∮Dv
Dt· ds +
∮v · Dds
Dt
O primeiro integrando representa o produto escalar do vetor aceleracao das partıculas fluidas
e o vetor do elemento de linha. Da equacao do movimento
Dv
Dt= F− 1
ρ∇p
O segundo integrando pode ser escrito na forma
v · DdsDt
= v · dDs
Dt= v · dv = d
v2
2
Texto Preliminar, SH Sphaier 97
LogoD
Dt
∮v · ds =
∮F · ds−
∮∇p · dsρ
+
∮dv2
2
Aplicando esta expressao entre dois pontos quaisquer A e B da linha, temos:
D
Dt
∫ B
A
v · ds =
∫ B
A
F · ds−∫ B
A
∇p · dsρ
+
∫ B
A
dv2
2(5.2)
Consideremos que as forcas de corpo derivam de um potencial tal que
F = ∇U
logo
dU = ∇U · ds
e que o fluido seja barotropo, isto e, que a massa especıfica seja funcao somente da pressao e
exista uma funcao P tal que:
P =
∫dp
ρ
o que implica em
∇P =1
ρ∇p
e
dP = ∇P · ds
Assim a equacao (5.2) pode ser reescrita na forma
D
Dt
∫ B
A
v · ds = −∫ B
A
dU −∫ B
A
dP +
∫ B
A
dv2
2=
[−dU − dP + d
v2
2
]B
A
Caso os pontos A e B coincidam, isto e, a integral e avaliada atraves de um percurso fechado
entao DDt
Γ e nulo, como querıamos mostrar.
5.3 Dinamica do Movimento
Consideremos um conjunto de linhas de vortices formando um tubo de vortices. Se aplicarmos
o teorema de Thomson para um elemento de area dA da parede do tubo, teremos que a
circulacao em torno de dA e igual a zero, e consequentemente concluımos que nao ha fluxo
atraves da parede. Se estendermos a integracao para toda a parede teremos entao como
resultado que o fluxo de vorticidade ao longo da parede e nulo, e que todo elemento fluido que
98 Texto Preliminar, SH Sphaier
num tempo t forma um tubo de vortice sempre formara um tubo de vortice. As partıculas
de um tubo de vortice permanecerao num tubo de vortice. Podemos afirmar tambem que
uma linha fluida que circunda um vortice sempre o circundara. Pelo teorema de Thomson
a circulacao ao longo de uma linha fechada e constante, logo a circulacao em torno de uma
linha de vortice e constante tanto no tempo como no espaco.
5.4 Teorema de Lagrange
O Teorema de Lagrange estabelece que se assumirmos que o fluido e ideal, as forcas de corpo
agindo por unidade de massa derivam de um potencial e a densidade e funcao somente da
pressao entao, se para um instante inicial nao ha vortices numa certa parte do fluido, esta
parte nunca conteve nenhum vortice no passado nem contera nenhum vortice no futuro.
Para prova-lo vamos recorrer ao teorema de Stokes:
Γ =
∮c
v · ds =
∫ ∫A
(∇× v) · n dA =
∫ ∫A
ξ · n dA
A figura 5.3 apresenta a epresentacao grafica da expressao acima.
Figura 5.3: Teorema de Stokes
A seguir assumimos que ξ = 0 em uma regiao fluida para um certo instante. Tomando uma
linha material fechada nesta regiao fluida teremos que a circulacao e nula ao longo desta linha,
pois:
Γ =
∮c
v · ds =
∫ ∫A
(∇× v) · ndA = 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 99
Pelo teorema de Thomson a circulacao sempre sera nula, logo a integral da vorticidade sempre
sera nula
∫ ∫A
(∇× v) · ndA = 0
o que implica em ∇× v = 0 sempre, como querıamos demonstrar.
Como ∇×v = 0 implica em existencia de uma funcao potencial de velocidades φ, poderemos
dizer que se em um certo instante existir uma funcao potencial de velocidades, esta sempre
existira.
5.5 Teoremas de Helmholtz
5.5.1 Da Convervacao da Linha de Vortice
Sob as mesmas imposicoes consideradas para o teorema de Lagrange sobre o fluido, as forcas
de corpo e o escoamento, podemos dizer que as partıculas de fluido que para um certo instante
formam uma linha de vortice sempre formarao uma linha de vortice.
Para demonstra-lo consideremos uma superfıcie de vortice, isto e, uma superfıcie para a qual
o vetor vorticidade ξ = ∇ × v tangencia esta superfıcie. Como vimos anteriormente nao ha
fluxo de vorticidade atraves desta superfıcie, assim a circulacao ao longo do contorno de um
elemento infinitesimal sera zero. Se considerarmos toda parede contorno da linha de vortice,
nao havera fluxo de vorticidade por esta area. Concluimos que o conjunto de partıculas que
esta no interior da superfıcie num instante t permanecera sempre no interior desta superfıcie
ou em outras palavras: uma vez uma linha de vortice, sempre uma linha de vortice.
5.5.2 Da Convervacao da Intensidade de um Tubo de Vortice
Constancia com o Tempo
A intensidade de um tubo de vortice em um instante t e determinada exatamente pela cir-
culacao ao longo de um contorno fechado que, pelo teorema de Thomson, sera constante ao
longo do tempo.
100 Texto Preliminar, SH Sphaier
Constancia com o Espaco
Consideremos um tubo de vortice. Tracemos uma linha fechada contida na superfıcie do
vortice AA′′B
′′B(ver figura 5.4). Como a area interior a esta linha contorno pertence a
superfıcie de vortice tera fluxo de vorticidade nulo, e entao:
Γ =
∮AA′′B′′B
v · ds = 0
e
Γ =
∮AA′′B′′B
v · ds =
∫AA′′
v · ds +
∫A′′B′′
v · ds
+
∫B′′B
v · ds +
∫BA
v · ds = 0
Figura 5.4: Superfıcie de Vortice envolvendo um Tubo de Vortice. Circulacao em torno de
um tubo de vortice
Fazendo A coincidir com A′′
e B com B′′, a circulacao e uma constante ao longo do tubo de
vortice.
∫A
′′B
′′v · ds = −
∫BA
v · ds
∫AA′′
v · ds =
∫I
v · ds = ΓI
Texto Preliminar, SH Sphaier 101
∫BB′′
v · ds =
∫II
v · ds = −ΓII
Assim
∮AA′′B′′B
v · ds = ΓI −∫
BA
v · ds− ΓII +
∫BA
v · ds = ΓI − ΓII = 0
Logo
ΓI = ΓII
5.6 Velocidade Induzida - Lei de Biot-Savart
Quando estudamos o escoamento devido a um vortice livre observamos que ha um movimento
circulatorio em torno de um ponto fixo, de tal modo que, para qualquer ponto do domınio
fluido, o produto do modulo da velocidade e a distancia ao centro do vortice e constante, e a
velocidade e dada por:
vθ =Γ
2πrvr = 0
A expressao acima representa o resultado obtido para o caso bidimensional. Analogamente ao
caso de um condutor eletrico, uma linha de vortice num domınio fluido tridimensional induz
um campo de velocidades em torno de sı. Pode-se mostrar que este campo de velocidade e
descrito pela lei de Biot-Savart.
102 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.5: Linha de Vortice Tridimensional
Considerando entao uma linha de vortice num meio fluido como indicado na figura 5.5, a
velocidade induzida num ponto P devida a um elemento de linha ds, a uma distancia r da
linha, e dada por
dv =Γds sin θ
4πR2
Admitindo agora que a linha de vortice e retilınea o campo de velocidades deste escoamento
sera dado pela expressao acima com
R = r sin θ s = r cos θ = Rcos θ
sin θ= R cot θ
ds = R
1
sin θ(− sin θdθ) + cos θ
1
sin2 θ(− cos θdθ)
= R
−dθ − cos2 θ
sin2 θdθ
= −R
sin2 θ + cos2 θ
sin2 θ
= − Rdθ
sin2 θ
Assim
Texto Preliminar, SH Sphaier 103
v =
∫ θ=0
θ=π
dv =
∫ 0
π
Γ sin θ
4πr2
− Rdθ
sin2 θ
=
Γ
4π
∫ 0
π
sin θR2
sin2 θ
R
sin2 θdθ
=Γ
4πR
[−∫ 0
π
sin θdθ
]=
Γ
2πR
O mesmo resultado pode ser obtido tomando um plano perpendicular a linha de vortice e
determinando a circulacao atraves da integral de linha
Γ =
∮v · dl
Como v e paralelo a dl entao
v · dl =| v | | dl |= vθ dl
e
Γ =
∮v · dl = 2πvθR
5.7 Construcao Simplificada de um Vortice Assumindo
um nucleo de Rotacao Constante
A distribuicao de velocidades induzidas por um vortice mostram um crescimento a medida
que nos aproximamos do centro. Tentando fazer uma aproximacao para um caso real vamos
assumir que junto ao ponto central haja um nucleo fluido circular, com raio r1 e dotado de
rotacao constante como um corpo rıgido com um escoamento potencial em torno de sı.
Se o nucleo tem rotacao constante, ele gira como um corpo rıgido, e entao todos seus pontos
estao dotados da mesma vorticidade. Ver a figura 5.6.
No nucleo as partıculas fluidas terao velocidade radial nula e componente tangencial
v = Ω× r → | v |=| Ω | | r |
No extremo do nucleo a velocidade sera entao
| v1 |=| Ω1 | | r1 |= Ω r1
104 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 5.6: Vorticidade fluindo atraves de um nucleo fluido girando como corpo rıgido
Fora do nucleo teremos um escoamento potencial, assim
vθ =Γ
2πr
onde
Γ =| ξ | πr21 =| ∇ × v | πr2
1 = 2Ω π r21
igualando os valores da circulacao Γ obtidos atraves do fluxo de vorticidade no nucleo e da
integral de linha ao longo do cırculo de raio r1 temos
Γ = 2Ω π r21 = 2πr1vθ,1
Texto Preliminar, SH Sphaier 105
Com isto temos entao a velocidade no exterior
vθ =Γ
2πr=
Ω r21
r
Para exercitar a visualizacao de uma linha de vortice que se move com um escoamento
propomos como desenhar o campo de velocidade resultante da superposicao dos escoamentos
mostrados na figura 5.7.
Figura 5.7: Superposicao de escoamentos
106 Texto Preliminar, SH Sphaier
5.8 Distribuicao de Pressao nas Vizinhancas de um Vor-
tice
Considerando que o regime e permanente e que as forcas de corpo sao nulas o movimento das
partıculas fluidas e regido pela equacao de Euler
v · ∇v = −∇pρ
Como o movimento fluido e circulatorio obtemos
v · ∇v = −v2θ
rir
e entao
−∇pρ
= −v2θ
rir
ou∂p
∂r= ρ
v2θ
r
indicando que a pressao somente varia com o raio, isto e,
1
ρ
dp
dr=v2
θ
r
logo
dp = ρv2
θ
rdr
e ∫ ∞
r
dp =
∫ ∞
r
ρv2
θ
rdr =
∫ ∞
r
ρ1
r
(Γ
2πr
)2
dr
Resolvendo a integral acima temos
p = p∞ −ρΓ2
8π2r2
Devemos observar que se utilizassemos a Integral de Euler obterıamos o mesmo resultado.
A velocidade no interior do nucleo e dada por
vθ = Ωr =Γ
2πr21
r
Texto Preliminar, SH Sphaier 107
e entao1
ρ
∂p
∂r=
(Γ
2πr21
)21
r=
Γ2 r
4π2r41
e a pressao
p1 − p =
∫ r1
r
ρv2
θ
rdr =
ρΓ2
4π2r41
∫ r1
r
rdr =ρΓ2(r2
1 − r2)
8π2r41
A pressao p1 atuante no limite do nucleo pode ser obtida a partir da expressao obtida acima
para a regiao externa ao nucleo, e entao a pressao e dada por:
p = p1 −ρΓ2(r2
1 − r2)
8π2r41
= p∞ −ρΓ2
8π2r21
− ρΓ2(r21 − r2)
8π2r41
= p∞ −ρΓ2(2r2
1 − r2)
8π2r41
Devemos observar que a Integral de Euler nao pode ser aplicada para obtencao da pressao no
interior do nucleo, pois o regime e rotacional.
A partir da expressao acima vemos que a pressao no centro do nucleo e dada por:
pc = p∞ −ρΓ2
4π2r21
A figura 5.8 mostra as distribuicoes de velocidade e pressao induzidas por um vortice.
Figura 5.8: Distribuicoes de pressao e velocidade induzida em torno de um vortice
108 Texto Preliminar, SH Sphaier
Capıtulo 6
Perfis
6.1 Sustentacao e Arrasto (Lift e Drag)
Quando um corpo simetrico movimenta-se com velocidade constante, na direcao do eixo de
simetria, atraves de um fluido viscoso, devera vencer uma resistencia na direcao contraria ao
movimento. Em caso de corpos nao simetricos ou em que o escoamento nao incida segundo a
direcao do eixo de simetria, a afirmacao acima deixa de ser, em parte, verdadeira. Observa-se
neste caso que a forca resultante agindo sobre o corpo, nao atuara na direcao contraria ao
movimento. A forca resultante fornece duas componentes, uma na direcao do movimento,
a resistencia ao avanco, e outra perpendicular a esta direcao, atuando lateralmente. Tendo
isto em vista, poderemos escolher corpos com formas tais que a forca lateral gerada seja
sobremaneira superior a de resistencia. Um exemplo classico disto e projeto de asas na aviacao.
A acao do fluido sobre a asa gera uma componente de forca perpendicular ao movimento que
sustenta o peso do aviao no voo. Os motores deverao imprimir uma forca igual a componente
de resistencia ao avanco.
Isto nos leva a concepcao de forca de sustentacao. A devida escolha das formas de um
corpo pode ser aproveitada em engenharia, de modo que ao movimentar o corpo num meio
fluido possamos sustentar seu peso. A estes corpos chamamos de perfis hidrodinamicos ou
hidrofolios. Quando o fluido, em que o perfil esta imerso, e o ar, chamamos de aerofolios.
Em engenharia naval veremos aplicacoes de hidrofolios em projeto de propulsores, lemes,
aerobarcos etc...
109
110 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 6.1: Hidrofolio em um escoamento retilıneo; Grandezas caracterısticas
6.2 Coeficientes de Arrasto e Sustentacao; Analise Di-
mensional
Para estudarmos as forcas atuantes sobre um hidrofolio em um escoamento retilıneo uniforme
atraves de modelos fısicos, necessitamos inicialmente identificar as grandezas caracterısticas.
A figura 6.1 mostra um hidrofolio em um escoamento retilıneo uniforme. A primeira carac-
terıstica que devemos mencionar e a forma. Admitindo uma certa forma geometrica podemos
ter uma infinidade de perfis semelhantes diferindo somente pelo tamanho. A partir de uma
unica dimensao podemos entao identificar cada um dos perfis. Escolhemos para esta identi-
ficacao a corda. O fluido e caracterizado pela massa especıfica e a viscosidade dinamica ou
cinematica. A geometria do problema hidrodinamico so fica completamente determinada se
identificarmos o angulo de ataque. A cinematica do movimento e caracterizada pela veloci-
dade do escoamento incidente. A dinamica do fenomeno e determinada pelas forcas inerciais
e forcas viscosas.
Observemos que o fenomeno em estudo nao e regido por forcas gravitacionais. Assim a
aceleracao da gravidade nao e um parametro importante pois nao caracteriza nenhuma par-
ticularidade geometrica, cinematica ou dinamica. A forca resultante atuante sobre o perfil
pode ser dividida em duas componentes, um na direcao do movimento, forca de arrasto, e
Texto Preliminar, SH Sphaier 111
a outra perpendicular a esta direcao, forca de sustentacao. Reunindo as quantidades que
caracterizam o fenomeno temos:
c - corda, a distancia entre os pontos extremos do perfil;
α - angulo de ataque, medido a partir da linha de base do perfil;
v - velocidade do escoamento
ρ - massa especıfica do fluido
µ - viscosidade dinamica
D - forca de arrasto
L - forca de sustentacao
R - forca resultante
A forca resultante, e por conseguinte cada uma de suas componentes, podem ser escritas em
funcao dos parametros c, v, ρ, µ, isto e,
R = f(c, v, ρ, µ, forma)
Com estes parametros e utilizando analise dimensional, ou leis de semelhanca, podemos formar
os seguintes grupos adimensionais:
CR =R
ρ V 2 c
Re =ρV c
µα
onde CR e o coeficiente de forca e Re e o numero de Reynolds.
De forma semelhante teremos os coeficientes de forca de sustentacao CL e de forca de arrasto
CD
CL =L
ρ V 2 c
CD =D
ρ V 2 c.
Com os grupos adimensionais formados acima podemos escrever
112 Texto Preliminar, SH Sphaier
CL =L
ρ V 2 c= f1(Re, α)
CD =D
ρ V 2 c= f2(Re, α)
A obtencao das funcoes f1 e f2 e conseguida desenvolvendo-se testes experimentais para
pequenos perfis. Isto permite entao extrapolar resultados para perfis de tamanho grande.
Desenvolvendo experiencias em laboratorio podemos escolher formas adequadas que fornecam
grandes forcas de sustentacao e pequenas forcas de arrasto, e aproveitar esta propriedade na
engenharia. Com os resultados experimentais e formando os adimensionais acima podemos
montar graficos como o da figura 6.2.
As figuras 6.3 e 6.4 mostram as curvas de coeficientes de sustentacao e coeficientes de arrasto
para um perfil NACA-63-422 obtidos do livro de Abbott e Doenhoff, Theory of wing sections.
Figura 6.2: Coeficientes de sustentacao e arrasto para um perfil NACA I
Texto Preliminar, SH Sphaier 113
Figura 6.3: Coeficientes de sustentacao um perfil NACA II
114 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 6.4: Coeficientes de arrasto um perfil NACA II
Texto Preliminar, SH Sphaier 115
As figuras 6.5 e 6.6 tambem mostram as curvas de coeficientes de sustentacao e coeficientes
de arrasto para um perfil NACA-63-412 apresentadas por Newman, Marine Hydrodynamics,
e obtidas a partir do livro de Abbott e Doenhoff, Theory of Wing Sections.
Figura 6.5: Coeficientes de sustentacao um perfil NACA III
116 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 6.6: Coeficientes de arrasto um perfil NACA IV
Observa-se destes resultados que:
1. Para altos numeros de Reynolds os coeficientes de sustentacao e de arrasto quase nao
se alteram com variacoes do numero de Reynolds nesta faixa.
Para o coeficiente de sustentacao esta independencia, em relacao ao numero de Reynolds
e bem mais forte, podendo-se dizer que e somente funcao do angulo de ataque.
2. O coeficiente de sustentacao e proporcional ao angulo de ataque.
Esta relacao e aproximadamente dada por CL = 2π α. Este e o resultado obtido ana-
liticamente para perfis de espessura muito pequena.
3. O fenomeno nao e estavel a partir de angulos de ataque em torno de 15o.
4. O coeficiente de arrasto CD e muito inferior ao coeficiente de sustentacao CL.
Isso deve-se a forma do corpo. Chamamos de perfis hidrodinamicos ou hidrofolio a
corpos cuja forma acarreta que a componente de forca de sustentacao resulta ser muito
superior a componente de arrasto.
Texto Preliminar, SH Sphaier 117
5. Ha valores de CL maiores que zero, isto e, ha forca de sustentacao, para angulos de
ataque negativos, o que era esperado uma vez que o perfil nao e simetrico. O criterio
de escolha do angulo de ataque como o que foi feito e puramente geometrico, nao
nos levando a afirmar que para α = 0 deverıamos ter sustentacao nula. Poderıamos
definir um angulo hidrodinamico de ataque medido a partir de uma linha basica, tal
que, quando o escoamento incidisse nesta direcao a forca de sustentacao seria nula.
Definimos tambem bordo de ataque e de fuga como as regioes mais a montante e a
jusante do perfil respectivamente.
6.3 Distribuicao de Pressao
Um outro modo de observarmos que quando um hidrofolio e colocado em um escoamento,
aparecera uma forca de sustentacao sobre ele, e observarmos a distribuicao de pressao em seu
contorno. Se pensarmos que as velocidades na regiao superior, dorso do hidrofolio, alcancarao
maiores valores que na regiao inferior, face do hidrofolio, acarretando entao uma forca de
sustentacao. Medidas de pressao ao longo da face e do dorso de perfis, para varios angulos
de ataque fornecem diagramas como os da figura 6.7.
Figura 6.7: Distribuicao de pressoes ao longo de um perfil
118 Texto Preliminar, SH Sphaier
Se entao tomarmos a integral da distribuicao de pressao acharemos a sustentacao e a forca
de arrasto, observando que no caso da forca de arrasto estamos deixando de considerar a
contribuicao de tensao cisalhante.
A figura 6.8 mostra uma comparacao entre resultados calculados atraves da integracao da
pressao e obtidos diretamente da experiencia, para os coeficientes CL e CD em funcao do
angulo de ataque. Observamos que ha coincidencia entre os valores obtidos para os coeficientes
de sustentacao. Ha uma diferenca quanto aos coeficientes de arrasto. Isto pode ser explicado
pelo fato de termos deixado de considerar a parte referente ao atrito, o que nao ocorre na
medida da balanca do tunel onde e medida a resistencia total.
Figura 6.8: Comparacao entre resultados calculados e experimentais para os coeficientes CL
e CD
6.4 Introducao ao Fenomeno de Cavitacao
A distribuicao de pressao ao longo do perfil nos deixa observar que no dorso, a pressao
diminui sensivelmente em relacao ao valor da pressao no escoamento para uma regiao fluida
distante do hidrofolio e portanto nao afetada pelo hidrofolio. Sendo o fluido em consideracao
a agua, a pressao podera alcancar valores tao baixos, iguais a pressao de evaporacao para
a temperatura ambiente, verificando-se entao a vaporizacao do fluido nesta regiao. A este
fenomeno chamamos de cavitacao.
Texto Preliminar, SH Sphaier 119
6.5 Relacao entre Sustentacao e Circulacao
Teoricamente o estudo da forca de sustentacao torna-se mais facil que o estudo de forca de
arrasto, tendo em vista esta ultima estar intrinsicamente ligado a efeitos viscosos. E possıvel
entao utilizar a teoria de fluidos ideais para tal estudo levando-nos a resultados satisfatorios.
A forca de sustentacao em hidrofolio nao tem sua origem atraves de efeitos viscosos, porem de
forma. A forca de sustentacao tambem nao e fortemente afetada pelos efeitos da viscosidade.
Como vimos, a forca de sustentacao deve-se a existencia de uma regiao de baixa pressao no
dorso do hidrofolio e uma de alta pressao em sua face. A equacao integral de Euler indica
que teremos no dorso, velocidades mais alta que na face. Este comportamento podera ser
representado se fizermos a superposicao de um escoamento retilıneo em torno do corpo com
um escoamento apresentando um regime circulatorio em torno do perfil como indicado na
figura 6.9.
Apresentaremos aqui uma forma simplificada de observarmos este resultado. Vamos aproxi-
mar o problema do escoamento em torno do perfil ao caso de uma placa plana inclinada em
um escoamento retilıneo.
Figura 6.9: Superposicao de escoamentos para representar a presenca de um vortice em torno
de um perfil
Podemos observar que a superposicao gera um ponto de estagnacao no bordo de fuga e
velocidades no dorso mais altas que na face. Este comportamento que corresponde ao caso real
e entao alcancado pela consideracao do escoamento circulatorio em torno da placa. Chamamos
a atencao para o fato que longe do corpo o escoamento observado e retilıneo uniforme. Assim,
este escoamento circulatorio tem o comportamento de um vortice. Como veremos adiante,
este regime deve-se exatamente a presenca de um vortice em torno do hidrofolio.
120 Texto Preliminar, SH Sphaier
A forca de sustentacao por unidade de comprimento da placa sera dada pela integral da
pressao
L =
∫ B
A
(pf − pd)dx
Assumindo que uf = ud e utilizando a equacao integral de Euler teremos:
L =ρ
2
∫ B
A
[(V + uf )
2 − (V − ud)2)]dx =
ρ
2
∫ B
A
[2V (uf − ud) + u2
f − u2d
]dx
Lembramos que no regime circulatorio nao ha forca agindo sobre o hidrofolio, isto e:
L = −ρ2
∫ B
A
[u2
f − u2d
]dx = 0
obtemos:
L = −ρ V[−∫ B
A
ufdx+
∫ B
A
uddx
]= −ρ V
[−∫ B
A
ufdx−∫ A
B
uddx
]= ρ V Γ
Vemos que se tivermos um escoamento devido a um vortice em presenca de um escoamento
retilıneo agira sobre o nucleo do vortice uma forca de sustentacao tal que L = ρ V Γ.
Esta conclusao e a mesma que obtivemos quando analisamos, de forma exata, o escoamento de
um corpo de forma circular em um escoamento retilıneo uniforme permanente, providenciando
a existencia de um vortice em torno do corpo.
Observemos que partimos da integracao das pressoes e concluimos que existe uma forca de
sustentacao e que esta ligada a existencia de uma circulacao em torno do corpo.
6.6 Circulacao em torno de um Hidrofolio
Nossa experiencia indica que se colocarmos uma placa plana inclinada em um escoamento
retilıneo observaremos uma forca de sustentacao. Como indicado acima, a representacao
matematica deste escoamento e obtida atraves da superposicao de um escoamento retilıneo
em torno de uma placa plana inclinada, com um escoamento circulatorio.
Texto Preliminar, SH Sphaier 121
Estendendo este estudo ao caso de perfis vamos analisar no caso real a origem do aparecimento
deste regime circulatorio em torno do corpo.
Suponhamos que em um instante inicial temos um fluido em repouso e um hidrofolio nele
imerso. Como as velocidades sao nulas nao havera circulacao em torno do hidrofolio. Se o
fluido for posto em movimento de translacao com respeito ao hidrofolio, e admitindo que os
efeitos viscosos sejam desprezıveis, isto e, adotando a hipotese de fluido ideal, a circulacao em
torno do hidrofolio devera permanecer sempre nula, de acordo com o teorema de Thomson.
Consequentemente nao devera haver forca de sustentacao. Aparentemente, a afirmacao acima
nao condiz com a realidade. Pois se observarmos o que acontece no caso de um fluido real
e um hidrofolio, apos um certo tempo realmente observamos a presenca de um vortice no
escoamento. Alem disto, podemos medir uma forca de sustentacao atuando no corpo. Se
entretanto, acompanharmos o desenvolvimento do escoamento no decorrer do tempo, a medida
que o fluido comeca a transladar, observamos inicialmente um escoamento igual ao potencial
em torno do hidrofolio (caso real = caso ideal) onde a circulacao e nula, com ponto de
estagnacao localizado fora da aresta de fuga do perfil. As velocidades na aresta de fuga
tornam-se muito altas e, devido tambem a forma, surge uma superfıcie de descontinuidade.
Esta superfıcie de descontinuidade na aresta de fuga, da origem a um vortice que e transferido
para o meio, a medida que o fluido escoa. O ponto de estagnacao e deslocado para a aresta
de fuga. A figura 6.10 apresenta a evolucao do escoamento no tempo.
Pelo teorema de Helmholtz a este vortice estara associado sempre o mesmo conjunto de
partıculas, logo deslocar-se-a com o escoamento. Considerando uma linha material fechada
envolvendo o corpo desde o instante inicial, pelo teorema de Thomson, a circulacao per-
manecera sempre nula em torno desta linha material. Uma vez que aparece no escoamento o
vortice de partida que se desloca para o infinito, devera haver neste conjunto um vortice de
mesma intensidade mas de sentido contrario ao primeiro.
Se alguns segundos apos o inıcio do movimento, quando o vortice de partida ainda esta
proximo ao corpo, pararmos o movimento vemos se desprender do corpo para o meio um
outro vortice em sentido contrario ao de partida. Ambos deslocam-se paralelamente em linha
reta. Com isto podemos dizer que as velocidades induzidas sobre cada um pelo outro sao
iguais, e consequentemente as intensidades dos vortices tambem o sao.
Ressaltamos que este segundo vortice so se desprende para o meio a medida que o escoamento
e parado. Enquanto o fluido escoar, o vortice nao se desprende.
122 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 6.10: Evolucao do escoamento em torno de um perfil no tempo
Assumindo que, quando o vortice de partida aparece, forma-se um vortice em torno do corpo,
com mesma intensidade que o de partida e sentido inverso, havera alteracao das velocidades
em torno do corpo, com aumento no dorso e decrescimo na face, queda da pressao no dorso
e aumento na face e aparecimento de forca de sustentacao. Alem disto, esta sendo satisfeito
o teorema Thomson. A este vortice damos o nome de vortice de corpo. Wilhelm Kutta,
em 1902, propos que a intensidade do vortice de corpo devera ser tal que desloque o ponto
de estagnacao para o bordo de fuga, o que e uma constatacao da observacao do fenomeno.
Assim, introduziu uma forma de determinacao da intensidade do vortice de corpo.
Cabe aqui ressaltar que o que chamamos acima de movimento circulatorio em torno do perfil,
e tinha as caracteristicas de um escoamento provocado por um vortice, nada mais e que a
contribuicao do vortice de corpo no escoamento
6.7 Experimento sobre Aparecimento dos Vortices de
Partida e de Corpo
Acima apresentamos uma serie de argumentos fısicos e justificativas teoricas para explicar o
aparecimento do vortice de partida e do vortice de corpo. Nesta secao vamos mostrar uma serie
Texto Preliminar, SH Sphaier 123
de fotos, tomadas em laboratorio e publicadas por Prandtl, evidenciando o que mostramos
acima. Particularmente, a existencia do vortice de corpo, que quando ha movimento relativo
fluido-perfil, nao e simples de ser observado, fica clara nesta sequencia quando, pouco apos a
liberacao do vortice de partida, interrompe-se o movimento relativo.
As figuras 6.11 e 6.12 apresentam uma sequencia de fotos mostrando o aparecimento do vortice
de partida, sua evolucao e seu deslocamento para o escoamento.
124 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 6.11: Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida I
Texto Preliminar, SH Sphaier 125
Figura 6.12: Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida II
126 Texto Preliminar, SH Sphaier
As figuras 6.13 e 6.14 apresentam duas fotos mostrando o inıcio do escoamento imediatamente
apos a partida, nao podendo ainda se observar perfeitamente o vortice de partida, e em seguida
quando o vortice de partida deixa a superfıcie do perfil.
Texto Preliminar, SH Sphaier 127
Figura 6.13: Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida III
128 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 6.14: Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida IV
Texto Preliminar, SH Sphaier 129
A figura 6.15 mostra as fotos tomadas para as mesmas situacoes apresentada na segunda foto
da figura 6.11 e a segunda foto da figura 6.13.
130 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 6.15: Sequencia de fotos mostrando a liberacao do vortice de corpo I
A figura 6.16 mostra uma foto similar a segunda foto da figura 6.13 porem com o perfil dotado
Texto Preliminar, SH Sphaier 131
de um angulo de ataque mais pronunciado. O vortice de partida torna-se mais intenso. Em
seguida o escoamento para e toma-se a segunda foto. Observa-se entao o desprendimento do
vortice de corpo para o meio fluido.
Figura 6.16: Sequencia de fotos mostrando a liberacao do vortice de corpo II
132 Texto Preliminar, SH Sphaier
6.8 Geracao de Perfis Utilizando-se Transformacao Con-
forme
No estudo de escoamentos bidimensionais considerando os efeitos viscosos desprezıveis, o
escoamento irrotacional e o fluido incompressıvel, buscamos a determinacao de uma funcao φ,
potencial de velocidades, solucao da equacao de Laplace sujeita a uma condicao de contorno
na forma ∂φ/∂n que representa a condicao de impenetrabilidade ou inexistencia de fluxo
atraves do perfil. Uma maneira de resolver o problema, envolve o metodo de transformacao
conforme. No domınio (x, y) definimos a variavel complexa
z = x+ iy
Utilizando uma transformacao conforme
ζ = ξ + iη = f(z) (6.1)
transformamos o perfil em um cırculo. No novo dominio (ξ, η) determinamos o potencial
complexo wζ
wζ(ζ) = φζ(η, ξ) + iψζ(η, ξ)
onde φζ(η, ξ) e ψζ(η, ξ) sao respectivamente a funcao potencial de velocidades e a funcao de
corrente no plano ζ. Utilizando a transformacao conforme (6.17), retornamos ao problema
original
wz(z) = wζ(f(z)) = φz(x, y) + iψz(x, y)
onde φz(x, y) e ψz(x, y) sao respectivamente a funcao potencial de velocidades e a funcao de
corrente no plano z.
Figura 6.17: Transformacao de um cırculo em um segmento de reta
Texto Preliminar, SH Sphaier 133
O metodo tem uma dificuldade intrınsica no que se refere a determinacao da funcao de
transformacao conforme. No presente texto apresentaremos a chamada transformacao de
Joukowsky. Esta transformacao permite que, no caminho inverso, transformemos cırculos do
plano (ξ, η) em retas, arcos de cırculo e perfil no plano (x, y). Esta transformacao e dada por
z = ζ +b2
ζ(6.2)
6.8.1 Transformacao de um Cırculo em um Segmento de Reta
Consideremos um cırculo no plano ζ com centro na origem e raio b. Como o cırculo e dado
por ζ = beiθ onde θ esta indicado na figura 6.18, entao os pontos sobre o cırculo serao
transformados em pontos sobre a reta
z = beiθ + be−iθ = 2b cos θ
Observemos que pontos sobre a parte superior do cırculo, com θ variando de 0 ate π sao
transformados em pontos sobre o segmento de reta de 2b a −2b, enquanto pontos localizados
na parte inferior do cırculo com θ variando de π ate 2π sao transformados em pontos sobre o
segmento de reta de −2b a 2b.
Figura 6.18: Transformacao de um cırculo em um arco de cırculo
6.8.2 Transformacao de um Cırculo em um Arco de Cırculo
Desloquemos agora o cırculo verticalmente, de tal forma que corte o eixo Oξ nos pontos A e
B localizados em (η = 0, ξ = −b) e (η = 0, ξ = b), conforme indicado na figura 6.19. O raio
134 Texto Preliminar, SH Sphaier
do cırculo e igual a a. A transformacao agora e
z = Reiθ +b2
Re−iθ
com partes real e imaginaria
x = (R +b2
R) cos θ
y = (R− b2
R) sin θ
Eliminando a variavel R obtemos
x2 sin2 θ − y2 cos2 θ = 4b sin2 θ cos2 θ
Podemos mostrar que esta equacao corresponde a linha
x2 + (y + 2b cot 2β)2 = (2b csc 2β)2
Isto e, o cırculo no plano ζ e transformado em um arco de cırculo no plano z, cujo centro esta
localizado na posicao (x = 0, y = 2b cot 2β) e cujo raio e igual a 2b csc 2β.
6.8.3 Transformacao de um Cırculo em um Perfil Simetrico
Agora, ao inves de deslocarmos o centro do cırculo na direcao vertical, desloquemos na direcao
horizontal. Isto e, o centro fica localizado no eixo Oξ em (η = 0eξ = −b). O raio do cırculo e
dado por a = b(1+ e). Utilizando-se a transformacao de Joukowsky obtemos a transformacao
do cırculo em um perfil simetrico em relacao ao eixo Ox. Seu comprimento e um pouco maior
que 4b.
Figura 6.19: Transformacao de um cırculo em um perfil simetrico
Texto Preliminar, SH Sphaier 135
6.8.4 Transformacao de um Cırculo em um Perfil nao Simetrico
O cırculo que temos usado como ponto de partida para nossa transformacao, agora e deslocado
tanto para a esquerda, como na direcao vertical. Seu raio agora e maior que a. Seu centro
tem coordenada x = −be e a = b(1 + e). A reta que liga o ponto de corte do cırculo com o
eixo Ox, ponto A, ao centro do cırculo forma um angulo β com o eixo Ox, conforme indicado
na figura 6.20. Apos a aplicacao da transformacao de Youkowsky obtemos um perfil nao
simetrico como mostrado na figura.
Figura 6.20: Transformacao de um cırculo em um perfil nao simetrico
6.9 Escoamento em torno de um Perfil nao Simetrico
O conjugado da velocidade complexa e dado por
v∗ = vx − ivy =dw
dz=d(φ+ iψ)
d(x+ iy)=
∂φ
∂x− i
∂φ
∂y=∂ψ
∂y+ i
∂ψ
∂x
onde∂φ
∂x=∂ψ
∂ye
∂φ
∂y= −∂ψ
∂x
sao conhecidas como condicoes de Cauchy-Riemann.
Se wz = φz + iψz e wζ = φζ + iψζ sao respectivamente os potenciais complexos nos planos z e
ζ, entao os conjugados das velocidades complexas v∗z e v∗ζ nos planos z e ζ estao relacionadas
por:dwz
dz=dwζ
dζ
dζ
dz
136 Texto Preliminar, SH Sphaier
Utilizando a expressao da transformacao conforme de Joukowsky (6.2) teremos
dwz
dz=dwζ
dζ
ζ2
ζ2 − b2(6.3)
Consideremos agora a transformacao de um cırculo em um perfil de Youkowsky, conforme
indicado na figura 6.21. Consideremos que incide sobre o cırculo um escoamento com um
angulo α em relacao ao eixo Ox. Na ausencia de circulacao, os pontos C e E sao os pontos
de estagnacao junto ao cırculo. Neste caso no ponto B a velocidade e diferente de zero. Pela
expressao (6.3) o termo ζ2/(ζ2− b2) indica que a velocidade no ponto B′, dwz/dz, assume um
valor infinito. Para que tenhamos a velocidade neste ponto nula, ou finita, e necessario que a
velocidade dwζ/dζ seja nula.
Sabemos que a velocidade ao longo do cırculo e dada por
vθ = −2U sin θ − Γ
2πa
onde o angulo θ e medido em relacao a semi-reta QE no sentido anti-horario.
Como queremos que o ponto de estagnacao fique localizado no ponto B, isto e, vθ = 0 em
θ = −(α+ β), temos que impor uma circulacao
Γ = 4πUa sin(α+ β)
Assim
L = ρUΓ = 4πρU2a sin(α+ β)
Assim o coeficiente de sustentacao e dado por
CL =L
1/2ρU2c= 4πρU2a sin(α+ β)/(1/2ρU2c)
Como para pequenos valores de α e de β temos c ≈ 4a e sin(α+ β) ≈ (α+ β) entao
CL ≈ 2π(α+ β) = a0 + 2πα (6.4)
Este resultado e similar ao que obtemos experimentalmente, embora a influencia da viscosi-
dade possa trazer pequenas alteracoes. Vemos que deve existir sustentacao para α = 0 e que
o coeficiente de sustentacao varia linearmente com o angulo de ataque.
Caso tenhamos o angulo β = 0, teremos um perfil simetrico no plano ζ e a0 = 0 em (6.4).
Texto Preliminar, SH Sphaier 137
Figura 6.21: Escoamento em torno de um perfil nao simetrico
138 Texto Preliminar, SH Sphaier
Capıtulo 7
Asas
7.1 Introducao
Passamos agora ao estudo de asas num escoamento tridimensional, isto e, asas de comprimento
finito. Nos concentraremos nos casos em que a asa tem um plano longitudinal de simetria.
Observamos da experiencia que quando corpos com tais formas sao colocados diante de um
escoamento retilıneo com certo angulo de ataque, aparece uma forca de sustentacao agindo
sobre o mesmo. Logo deve aparecer uma diferenca de pressao da parte inferior para a parte
superior do corpo. Fazendo-se medidas de pressao ao longo do corpo, observamos que na
regiao inferior as pressoes sao altas enquanto na regiao superior baixas pressoes. Assim sendo,
observamos que nas pontas das asas temos uma diferenca de pressoes acarretando um fluxo
de partıculas da regiao inferior para a regiao superior. Este fluxo origina um movimento de
rotacao que se transfere para o meio fluido dando origem a dois vortices agindo nas pontas
das asas. Temos agora mais dois vortices em nosso estudo totalizando quatro vortices: vortice
de partida, vortice de corpo e dois vortices de ponta ou livres. De acordo com o teorema de
Helmholtz as partıculas que formam um vortice sempre formarao um vortice. Assim, estes
vortices de ponta prolongar-se-ao pelo meio fluido. Sabemos tambem que um vortice nao
pode comecar ou acabar no meio fluido. Logo o vortice de corpo nao podera acabar na ponta
da asa. Se fizermos os vortices de ponta como continuacao dos vortices de corpo o nosso
modelo se torna coerente. Nas extremidades dos vortices de corpo e de partida colocamos o
inıcio e o termino dos vortices de canto e ficaremos com o sistema como mostrado na figura
7.1.
139
140 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 7.1: Vortices devidos ao movimento de asas em um meio fluido
7.2 Velocidade Induzida e Resistencia Induzida
A presenca de vortices de ponta acarretara o aparecimento de velocidades induzidas perpen-
diculares ao plano das linhas de vortices. Logo, sobre a asa, tambem vao incidir velocidades
induzidas perpendiculares ao vortice de corpo. Convem observar que o vortice de partida
tambem induz velocidades sobre o sistema, mas ao se deslocar para o infinito, sua contribuicao
sera tao pequena que nao sera levada em consideracao.
O teorema de Kutta-Joukowsky diz que se incidir sobre um vortice, um escoamento, entao
atuara sobre o nucleo uma forca. Observando a direcao da velocidade induzida e o sentido do
vortice de corpo vemos que aparecera uma forca de arrasto induzida devida a presenca dos
vortices de ponta. A figura 7.2 mostra um diagrama das velocidades induzidas devidas aos
vortices de ponta.
Consideremos a velocidade induzida vi sobre uma secao da asa incidindo sobre o nucleo do
vortice de corpo. A resistencia induzida sera dada por
Di = ρ vi Γ.
Como L = ρ v Γ entao
Di =vi
vL
Texto Preliminar, SH Sphaier 141
Figura 7.2: Velocidades induzidas devidas aos vortices de ponta
No capıtulo referente a movimento em vortices, determinamos a velocidade que uma linha de
vortice infinita induz sobre um ponto do meio fluido. No caso o vortice estendia-se de −∞ ate
+∞. No presente caso o vortice de ponta estende-se da asa ate o infinito. Para calcularmos
a velocidade induzida por um vortice de ponta sobre a asa, devemos modificar os limites de
integracao. Assim procedendo, obtemos, para a velocidade induzida sobre a asa, a metade
do valor que obtemos para um ponto a jusante, infinitamente longe da asa. A montante a
velocidade induzida decresce ate se anular para um ponto infinitamente longe do perfil. A
figura 7.3 mostra a distribuicao de velocidades induzidas por um vortice de ponta em uma
secao da asa.
142 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 7.3: Distribuicao de velocidades induzidas por um vortice de ponta em uma secao da
asa
E facil concluirmos que em qualquer plano perpendicular ao vortice de corpo, o compor-
tamento da velocidade sera similar e dependera da distancia do plano ao vortice de ponta.
Quanto mais afastado da ponta menores serao as velocidades induzidas no plano. Observemos
que se levassemos em consideracao os dois vortices de ponta, obterıamos o mesmo tipo de
comportamento, com a ressalva que o plano com menores velocidades induzidas seria o plano
cortando a asa ao meio.
7.3 Campo de Velocidades Induzidas Considerando-se
o Vortice de Corpo
Como sabemos, o vortice de corpo cria um movimento circulatorio em torno da asa. Tomando
inicialmente o caso bidimensional teremos somente as velocidades induzidas pelo vortice do
corpo. Se tomarmos como nucleo do vortice de corpo a regiao que contem o perfil, a dis-
tribuicao de velocidade sera similar a de um corpo rıgido no interior do nucleo, e na regiao
externa tera uma distribuicao hiperbolica como ja foi estudado anteriormente. A figura 7.4
mostra a velocidade devida ao vortice de corpo.
Considerando-se agora o caso tridimensional devemos considerar a influencia dos vortices de
ponta. A velocidade induzida resultante sera obtida pela superposicao das duas distribuicoes
de velocidades. Teremos uma distribuicao na qual a velocidade sobre o ponto central do vortice
de corpo e a metade da velocidade induzida no infinito. Esta composicao de velocidades esta
mostrada na figura 7.5.
Texto Preliminar, SH Sphaier 143
Figura 7.4: Velocidade devida ao vortice de corpo
Figura 7.5: Composicao de velocidades devidas a vortices de corpo e de ponta
Uma vez que a distribuicao de velocidades mostra que a medida que nos afastamos da aresta
de fuga do perfil as velocidades induzidas aumentam, e tambem sabendo que cada vortice de
ponta induz velocidade sobre o outro, nao mais podemos afirmar que a velocidade induzida
sobre o perfil e perpendicular a direcao da velocidade do escoamento, pois os vortices nao
mais formam um plano paralelo a direcao do escoamento. Para que conhecamos qual a
direcao da velocidade induzida, pensemos no seguinte. Sobre o perfil agem duas velocidades,
uma devida ao escoamento incidente v e a velocidade induzida vi, originando assim uma
144 Texto Preliminar, SH Sphaier
velocidade resultante vr. Como os vortices de ponta serao carregados pelo escoamento, nao
se alinharao com o escoamento incidente, mas com a velocidade resultante da composicao
entre velocidade incidente e velocidade induzida. A velocidade induzida sera perpendicular a
velocidade resultante. As velocidades e as forcas de sustentacao e arrasto induzido obedecerao
regras semelhantes. A figura 7.6 apresenta o diagrama de velocidades e forcas atuantes em
uma secao da asa. Note que nao esta sendo considerada a resistencia viscosa.
Figura 7.6: Velocidades e forcas atuantes em um perfil de asa
7.4 Distribuicao de Circulacao ao longo da Asa
A superposicao do escoamento incidente e de um vortice de corpo permitiu que pudessemos
explicar o aparecimento da forca de sustentacao, bem como a localizacao do ponto de es-
tagnacao na aresta de fuga. Explicamos tambem a existencia de uma regiao de alta pressao
na face e uma de baixa pressao no dorso. No inıcio deste capıtulo, mostramos que para uma
asa tridimensional, esta diferenca de pressao junto as pontas das asas, ocasiona um fluxo de
massa da regiao de alta pressao para a regiao de baixa pressao formando os vortices de ponta.
Devido ao deslocamento de massa da regiao de alta pressao para a de baixa pressao, obter-se-a
uma distribuicao de forca na qual o valor maximo aparecera no meio da asa. Nas pontas esta
forca sera nula, isto porque a maxima diferenca de pressao se dara no meio da asa, enquanto
que nas extremidades nao havera diferenca de pressao.
Texto Preliminar, SH Sphaier 145
A medida que nos aproximamos da ponta da asa pela parte superior a pressao, que antes
era constante e baixa, agora cresce, pois houve passagem de partıculas de alta pressao para
regiao de baixa pressao. Semelhante fato acontecera na regiao de alta pressao. Obedecendo
o teorema de Kutta-Joukowsky somos levados a admitir que a distribuicao de circulacao nao
e constante ao longo da asa para o caso tridimensional.
7.5 Distribuicao de Circulacao, de Velocidade Induzida
e de Arrasto Induzido
Para determinarmos a variacao da circulacao ao longo de uma asa, consideremos a superfıcie
contida na linha que liga o ponto A ao ponto B, contornando a asa passando por C, e entao
liga o ponto B ao ponto A envolvendo o vortice de ponta passando por D, conforme mostrado
na figura 7.7.
Figura 7.7: Variacao da circulacao ao longo da asa
A circulacao ao longo da linha ACBDA e nula, pois nao ha fluxo de vorticidade atraves da
146 Texto Preliminar, SH Sphaier
superfıcie interior a linha, envolvendo a ponta da asa. Fazendo o ponto A aproximar-se de B
teremos dois contornos distintos ACB e BDA. Atraves de cada area interior aos contornos
ha fluxo de vorticidade. Como a circulacao ao longo de ACBDA e nula e
ΓACBDA = ΓACB + ΓBDA = 0
entao as circulacoes ao longo de cada contorno sao iguais com sinais contrarios.
ΓACB = −ΓBDA = ΓADB
Isto nos leva a afirmar que, se tomarmos a circulacao em torno da asa a uma distancia h da
ponta, esta sera igual ao fluxo de vorticidade atraves da regiao interior ao contorno ADB,
isto e, desde a ponta ate a posicao a distancia h. Como a circulacao varia ao longo da asa,
devera haver fluxo de vorticidade em todo plano atras da asa.
Consideremos agora um asa com uma distribuicao de circulacao variavel e, vista de tras
tracemos o contorno AA”B”BA conforme indicado na figura 7.8. Como nao ha fluxo de
vorticidade atraves da area interior a este contorno a circulacao e nula.
Figura 7.8: Fluxo de vortices livres ao longo da asa. Observando-se a asa por tras, no plano
da asa
Texto Preliminar, SH Sphaier 147
Fazendo A confundir-se com A′′
e B com B′′
podemos escrever
ΓAA′′B′′BA = ΓAA′′ − ΓBB′′ − ΓA′′B′′BA = 0
ou
ΓAA′′ − ΓBB′′ = ΓA′′B′′BA
Este resultado mostra que havera fluxo de vorticidade junto ao bordo de fuga da asa sempre
que a circulacao ao longo da asa variar. Nao havera um unico vortice de ponta saindo da
ponta da asa. Mas ao longo da asa varios vortices de ponta se desprenderao.
Para determinarmos a velocidade induzida teremos que considerar todos os vortices liberados
pela asa. Para tal consideremos a asa da figura 7.9 com comprimento b. A velocidade induzida
por um vortice localizado em x sobre um ponto da asa em x0, sera
dvi(x, x0) =1
4π(x− x0)
∂Γ
∂xdx
onde a variavel x tem origem no centro da asa.
Figura 7.9: Modelo tridimensional
A velocidade induzida total sera
vi(x0) =
∫ b/2
−b/2
1
4π(x− x0)
∂Γ
∂xdx
148 Texto Preliminar, SH Sphaier
A resistencia induzida e dada por
dDi(x0) =vi(x0
vdL(x0)
como
dL(x0) = ρΓ(x0)vdx0
entao
Di =
∫b
dDi(x0) =
∫b
Γ(x0) ρ vi(x0) dx0
Di = ρ
∫b
Γ(x0)
[∫b
1
4π(x− x0)
∂Γ(x)
∂xdx
]dx0
7.6 Aplicacao na Analise do Comportamento de Propul-
sores
Uma das formas de analisarmos o comportamento de propulsores e admitirmos que a acao
de cada uma das pas esta toda concentrada na acao do perfil localizado a um raio r igual a
aproximadamente 0.7 vezes o raio do propulsor. Imaginemos um cilindro de secao circular
com eixo coincidindo com o eixo do propulsor e com raio r. O corte deste cilindro com as pas
do propulsor destacara o perfil que forma a pa. Expandindo este cilindro, teremos na base
uma linha de extensao igual a 2πr, como mostrado na figura 7.10. Marcando um passo da
helice sobre a qual esta assentado o perfil, observaremos que esta forma uma linha reta com
inclinacao definida pelo passo.
Consideremos o triangulo retangulo formado pelos catetos iguais ao passo P e 2πr e cuja
hipotenusa e a helice expandida. Se multiplicarmos os lados pela rotacao n, formamos escalas
de velocidade ao longo dos catetos. Particularmente, a base representa a velocidade de entrada
do fluxo incidente sobre o perfil devida a rotacao do propulsor. Tracando sobre o cateto
do passo o vetor velocidade do fluxo incidente na direcao axial Va, compomos a velocidade
resultante incidindo sobre o perfil Vr. A acao desta velocidade gera uma forca de sustentacao
L sobre o perfil, perpendicular a velocidade Vr. Decompondo esta forca em duas componentes,
uma na direcao axial e outra na direcao da velocidade 2πrn, teremos respectivamente a forca
de empuxo do propulsor T e a forca que devemos aplicar para movermos o perfil Q/r, onde Q e
o torque. A sustentacao, o empuxo do propulsor e o torque, aqui apresentados, correspondem
a situacao de escoamento ideal. Outro aspecto a se considerar e que cada pa do propulsor
atua como uma asa de comprimento finito, desprendendo vortices de canto. Estes vao criar
velocidades induzidas u/2 sobre o perfil, perpendiculares a velocidade Vr. Compondo Vr e
u/2 formamos a velocidade Vri e como acima, teremos uma sustentacao Li, um empuxo do
propulsor Ti e um torque Qi. Teremos tambem o arrasto induzido Di. A consideracao dos
Texto Preliminar, SH Sphaier 149
efeitos viscosos introduz o arrasto viscoso D e, consequentemente, aumento no torque e queda
no empuxo do propulsor.
A associacao dos resultados experimentais, CLi(α) e CDi(α) ao diagrama de forcas e veloci-
dades, permite que analisemos o comportamento de propulsores. Algumas indicacoes sao:
1. Se aumentarmos a velocidade Va estamos diminuindo o angulo de ataque α e aumentando
os angulos hidrodinamicos β e βi. O decrescimo do angulo de ataque diminui a forca de
sustentacao, e por conseguinte o empuxo do propulsor e o torque.
2. Efeito similar ocorrera se diminuirmos a rotacao n ou, mantendo Va e n constantes,
diminuirmos o passo do propulsor.
3. Se diminuirmos a velocidade Va, ou aumentarmos o passo teremos um aumento da
sustentacao e entao do empuxo do propulsor e do torque. Entretanto temos um aumento
do arrasto viscoso e perigo de perda de sustentacao (‘stall’ para grandes angulos).
4. Das conclusoes acima podemos afirmar que se simultaneamente variarmos a velocidade
Va e a rotacao n, mantendo J = Va /n d constante, havera um acrescimo de Vr, Vi e Vri
na mesma proporcao que o acrescimo em Va e n, os angulos de α, αi, β e βi permanecerao
constantes. Havera um acrescimo nas forcas com o quadrado de Va, porem em termos
adimensionais, na mesma forma que CL(α), nada mudara. J e o coeficiente de avanco
e d o diametro.
A partir dessas conclusoes definimos o coeficiente CT de forca de propulsao T na forma similar
ao coeficiente CL para uma asa, isto e:
CT =T
(1/2)ρV 2a d
2
e a partir deste adimensional construimos
CT J2 =
T
(1/2)ρV 2a d
2
V 2a
n2 d2= 2
T
ρn2d4= 2KT
onde
KT =T
ρn2d4
Recomendamos, como exercıcio que o leitor, reunindo as conclusoes acima, o diagrama de
forcas e as curvas de CL e CD para o perfil NACA-63-422 faca uma estimativa das curvas de
KT em funcao de J . Para o torque Q pode-se tambem construir uma curva para
KQ =Q
ρn2d5
150 Texto Preliminar, SH Sphaier
em funcao de J . Recomendamos que o leitor tambem o faca.
Figura 7.10: Diagrama de velocidades e forcas em um propulsor
Capıtulo 8
Ondas de Gravidade
8.1 Introducao
A hidrodinamica do navio e de estruturas oceanicas esta intimamente ligada a fenomenos de
ondas de gravidade devidas a superfıcie livre, a qual e uma parte do contorno do domınio
fluido e esta sujeita a um campo de pressao constante dado pela pressao atmosferica. Nesta
superfıcie nao ha restricao geometrica de movimento, estando o fluido livre para se movi-
mentar, modificando sua forma. Ha condicoes a serem satisfeitas, que sao imposicoes de leis
fısicas envolvendo aspectos cinematicos e dinamicos.
Chamamos de ondas de gravidade ao movimento oscilatorio de um fluido devido a efeitos
gravitacionais ocasionados pela presenca de superfıcie livre. Qualquer perturbacao que oca-
sione uma variacao da pressao do fluido proximo a superfıcie livre, acarreta um movimento da
massa fluida em busca do equilıbrio com a pressao atmosferica e com isto mudanca de forma
desta superfıcie. O perfil de uma onda regular e mostrado na figura 8.1.
151
152 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 8.1: Perfil da Onda
No estudo de ondas de gravidade assumimos as hipoteses de que o fluido e incompressıvel
e ideal, que o escoamento e irrotacional e que as forcas de corpo derivam de um potencial
gravitacional. Com as hipoteses de fluido incompressıvel e escoamento irrotacional podemos
dizer que o campo de velocidades e dado pelo gradiente de uma funcao, que satisfaz a equacao
de Laplace em todo o domınio fluido. Essas hipoteses impoem tambem que seja satisfeita a
Integral de Euler em todo o domınio fluido. Como na superfıcie livre a pressao e constante
e igual a pressao atmosferica, devemos aplicar sobre ela a Integral de Euler com a pressao
igual a pressao atmosferica. A superfıcie livre e descrita pelo movimento das partıculas fluidas
no contorno em contato com a atmosfera, sendo entao desconhecida. Seu movimento e uma
das incognitas a serem determinadas. Sabemos que e formada sempre pelo mesmo grupo de
partıculas fluidas. Se definirmos a funcao que descreve a superfıcie livre entao sua derivada
substantiva devera ser sempre nula.
8.2 Problema de Valor de Contorno para Ondas de
Gravidade
Para equacionar o problema exposto acima utilizaremos um sistema de coordenadas Oxyz,
com origem na superfıcie livre em repouso, eixo Oz apontando para cima. O problema acima
exposto e representado pelo problema de valor de contorno para a funcao φ, cujo gradiente
representa o campo de velocidades:
1. em todo o domınio fluido deve ser satisfeita a equacao de Laplace, uma vez que supomos
Texto Preliminar, SH Sphaier 153
que o fluido e incompressıvel e o escoamento irrotacional
∇2φ(x, y, z, t) = 0
2. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao cinematica imposta pelo movimento
afim das partıculas fluidas e a forma da superfıcie livre. Definindo a forma da equacao
da superfıcie livre por:
Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0
teremosD
DtFsl(x, y, z, t) =
D
Dt(z − ζ(x, y, t)) = 0
ouD
Dtz − D
Dtζ(x, y, t) = 0
Desenvolvendo esta expressao obtemos
vz(x, y, z = ζ, t)−[∂ζ(x, y, t)
∂t+ (v(x, y, z = ζ, t) · ∇) ζ(x, y, t)
]=
vz(x, y, z = ζ, t)−[∂ζ(x, y, t)
∂t
+vx(x, y, z = ζ, t)∂ζ(x, y, t)
∂x+ vy(x, y, z = ζ, t)
∂ζ(x, y, t)
∂y
]=
∂φ(x, y, z = ζ, t)
∂z− ∂ζ(x, y, t)
∂t
−∂φ(x, y, z = ζ, t)
∂x
∂ζ(x, y, t)
∂x− ∂φ(x, y, z = ζ, t)
∂y
∂ζ(x, y, t)
∂y=
∂φ
∂z− ∂ζ
∂t− ∂φ
∂x
∂ζ
∂x− ∂φ
∂y
∂ζ
∂y= 0
3. na superfıcie livre Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0 deveremos satisfazer a condicao
dinamica imposta pela pressao atmosferica, uma vez que supomos que o fluido e ideal e
incompressıvel, o escoamento irrotacional e as forcas de corpo derivam de um potencial;
entao pela Integral de Euler
patm = p(x, y, z = ζ, t) = −ρ[∂φ(x, y, z = ζ, t)
∂t+
1
2| ∇φ(x, y, z = ζ, t) |2 +gz
]4. no fundo, em z + d = 0
∂φ
∂z= 0
154 Texto Preliminar, SH Sphaier
8.3 Linearizacao do Problema de Valor de Contorno
Bidimensional
A partir do problema de valor de contorno tridimensional apresentado acima vamos estudar
aqui o fenomeno de ondas de gravidade como se sua propagacao fosse na direcao Ox conser-
vando todas suas caracterısticas para todos os planos y = constante. Assim podemos estudar
o problema no plano Oxz independentemente de y. No plano Oxz, y = 0, deve ser satisfeita
a equacao de Laplace,
∇2φ(x, z, t) = 0
A equacao da superfıcie livre e entao dada por:
Fsl(x, z, t) = z − ζ(x, t) = 0
Nesta superfıcie devem ser satisfeitas a condicao cinematica e a condicao dinamica:
∂φ(x, z = ζ, t)
∂z− ∂ζ(x, t)
∂t− ∂φ(x, z = ζ, t)
∂x
∂ζ(x, t)
∂x= 0
patm = p(x, z = ζ, t) = −1
ρ
[∂φ(x, z = ζ, t)
∂t+
1
2| ∇φ(x, z = ζ, t) |2 +gz
]Observando estas duas condicoes de contorno, verificamos duas dificuldades:
1. temos um termo nao linear em cada uma delas, a saber:
∂φ(x, z = ζ, t)
∂x
∂ζ(x, t)
∂xe
1
2| ∇φ(x, z = ζ, t) |2
2. estas condicoes devem ser satisfeitas em z = ζ(x, t) sendo ζ uma incognita do problema.
Temos que avaliar∂φ(x, z = ζ, t)
∂t,
∂φ(x, z = ζ, t)
∂xe
1
2(| ∇φ(x, z = ζ, t) |)2
sem que conhecamos a superfıcie
Fsl(x, z, t) = z − ζ(x, t) = 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 155
Estas duas dificuldades impedem uma solucao fechada do problema. Faremos algumas sim-
plificacoes para podermos obter uma solucao aproximada. Admitindo que as ondas sao de
pequenas amplitudes, as velocidades das partıculas fluidas tambem o serao. No limite, se
as amplitudes forem nulas o movimento das partıculas fluidas e nulo. Podemos ver que nas
duas condicoes de contorno os termos nao lineares serao entao produtos de parcelas peque-
nas. Cometendo um certo erro podemos despreza-los. O erro sera tanto menor quanto menor
forem as amplitudes das ondas. Teremos entao:
∂φ
∂z− ∂ζ
∂t= 0 em z = ζ(x, t)
∂φ
∂t+ gζ +
patm
ρ= 0 em z = ζ(x, t)
Expandindo os termos a serem avaliados em z = ζ em serie de Taylor em torno de z = 0
podemos escrever:
∂φ(x, z = ζ, t)
∂t=∂φ(x, z = 0, t)
∂t+ ζ
∂2φ(x, z = 0, t)
∂z∂t+ . . .
∂φ(x, z = ζ, t)
∂z=∂φ(x, z = 0, t)
∂z+ ζ
∂2φ(x, z = 0, t)
∂2z+ . . .
Da hipotese de pequenas amplitudes podemos aqui considerar que ao substituirmos
∂φ(x, z = ζ, t)
∂t=∂φ(x, z = 0, t)
∂t
∂φ(x, z = ζ, t)
∂z=∂φ(x, z = 0, t)
∂z
estaremos cometendo um erro que sera tanto menor quanto menor for a amplitude da onda.
Considerando que a pressao atmosferica e nula, teremos agora nosso problema dado por
∇2φ(x, z, t) = 0 em todo o domınio fluido (8.1)
∂φ
∂z− ∂ζ
∂t= 0 em z = 0 (8.2)
∂φ
∂t+ gζ = 0 em z = 0 (8.3)
∂φ
∂z= 0 em z = −d (8.4)
Temos entao estabelecido o problema de valor de contorno para determinacao da funcao φ.
Neste problema temos entretanto outra incognita que e a funcao que descreve a forma da
superfıcie livre ζ(x, t). Esta funcao pode ser escrita em termos da funcao φ. A condicao
156 Texto Preliminar, SH Sphaier
de contorno dinamica (8.3), que e a Integral de Euler linearizada aplicada a superfıcie livre,
relaciona ζ e φ. Dela podemos obter a equacao da superfıcie livre
ζ = −1
g
∂φ(x, 0, t)
∂t(8.5)
Combinando esta expressao com a condicao cinematica (8.2) teremos
∂φ
∂z+
1
g
∂2φ(x, 0, t)
∂t2= 0 em z = 0 (8.6)
Reunindo as equacoes (8.1), (8.6) e (8.4) temos entao o problema de valor de contorno linear
para determinacao da funcao potencial de velocidades
∇2φ(x, z, t) = 0 em todo o domınio fluido
∂φ
∂z+
1
g
∂2φ(x, 0, t)
∂t2= 0 em z = 0
∂φ
∂z= 0 em z = −d
Em casos de profundidade infinita esta ultima condicao e modificada para
limz→−∞
∂φ
∂z= 0 (8.7)
8.4 Solucao por Separacao de Variaveis
O metodo de solucao por separacao de variaveis, baseia-se em supor que a solucao da equacao
de Laplace, pode ser escrita como o produto de funcoes a uma unica variavel. Assim admitimos
que a funcao φ, funcao a tres variaveis, pode ser escrita como o produto de tres funcoes, F ,
G e H, funcoes a uma unica variavel, respectivamente de x, z e t.
A equacao de Laplace e expressa de diferentes maneiras para diferentes sistemas de coorde-
nadas. De acordo com o problema em estudo podemos utilizar o sistema mais conveniente e
aproveitar o metodo de separacao de variaveis para expandir a funcao em serie de autofuncoes
para obtermos sua solucao.
Para apresentacao do metodo aplicado a alguns problemas de escoamentos em presenca de
superfıcie livre nos ateremos a um sistema de coordenadas retilıneo bidimensional.
Adotamos um sistema Oxz, com eixo Ox horizontal na superfıcie livre e Oz voltado para
cima.
Texto Preliminar, SH Sphaier 157
A equacao de Laplace e dada por∂2φ
∂x2+∂2φ
∂z2= 0
Aplicando entao o metodo de separacao de variaveis de forma tal que
φ(x, z, t) = F (x)G(z)H(t)
e substituindo na equacao de Laplace obtemos:
F′′GH + FG
′′H = 0
ou entaoF
′′
F= −G
′′
GComo o primeiro membro e uma funcao exclusiva de x e o segundo membro e funcao somente
de z, a igualdade so e possıvel se:
F′′
F= −G
′′
G= ±m2
k (8.8)
onde mk e uma constante.
A partir da expressao (8.8) podemos fazer o seguinte quadro de solucoes de acordo com o
valor de m2k, se positivo ou negativo.
Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z
−m2k F
′′+m2
kF = 0 G′′ −m2
kG = 0 cosmkx ; sinmkx exp(±mkz)
+m2k F
′′ −m2kF = 0 G
′′+m2
kG = 0 exp(±mkx) cosmkz ; sinmkz
Utilizando a forma complexa
Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z
−m2k F
′′+m2
kF = 0 G′′ −m2
kG = 0 exp(±imkx) exp(±mkz)
+m2k F
′′ −m2kF = 0 G
′′+m2
kG = 0 exp(±mkx) exp(±imkz)
onde i e o unitario imaginario, i =√−1
A escolha do sinal associado a m2k e por conseguinte da forma das solucoes em x e z dependera
das condicoes de contorno.
Analisemos alguns casos:
158 Texto Preliminar, SH Sphaier
1. Ondas em um domınio com profundidade infinita.
Principais conclusoes:
(a) Nao podemos admitir solucoes que crescam para x → ±∞, isto e, nao podemos
aceitar
F (x) = exp(±mkx)
uma vez que pela equacao (8.5) a onda assumiria uma elevacao infinita para grandes
valores de x.
(b) Nao podemos aceitar solucoes do tipo
G(z) = exp(−mkz)
isto e, nao podemos aceitar solucoes que crescam com a profundidade,ver equacao
(8.7).
(c) A solucao devera ser do tipo
φ =∞∑
k=0
Hk(t) exp(mkz) [ack cos(mkx) + as
k sin(mkx)]
ou na forma complexa
φ =∞∑
k=0
Hk(t) exp(mkz)[a+
k exp(imkx) + a−k exp(−imkx)]
(8.9)
onde ack, a
sk, a
+k e a−k sao coeficientes a serem determinados.
2. Ondas em um domınio com profundidade finita d.
(a) Nao podemos admitir solucoes do tipo
F (x) = exp(±mkx)
pelas mesmas razoes acima citadas em (1.a).
(b) No fundo G′(z = −d) = 0 e a solucao em G(z) deve ser uma combinacao
G(z) = b1 exp(mkz) + b2 exp(−mkz) (8.10)
Usando a condicao de contorno no fundo G′(z = −d) = 0 nesta expressao temos
G′(−d) = mk [b1 exp(−mkd)− b2 exp(mkd)] = 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 159
e entao
b1 exp(−mkd) = b2 exp(mkd) =1
2b
com esta igualdade e a equacao (8.10) entao
G(z) = b1 exp(mkz) + b2 exp(−mkz)
= b1 exp(mkz) exp(mkd) exp(−mkd) + b2 exp(−mkz) exp(−mkd) exp(mkd)
= b1 exp(−mkd) exp[mk(z + d)] + b2 exp(mkd) exp[−mk(z + d)]
= b1
2exp[mk(z + d)] + exp[−mk(z + d)]
e finalmente
G = b cosh[mk(z + d)] (8.11)
(c) A solucao e dada por
φ =∞∑
k=0
Hk(t) cosh[mk(z + d)][ack cos(mkx) + as
k sin(mkx)]
ou em forma complexa
φ =∞∑
k=0
Hk(t) cosh[mk(z + d)][a+k exp(imkx) + a−k exp(−imkx)] (8.12)
8.5 Teoria Linear de Ondas de Gravidade
A expressao (8.12) e a solucao geral da equacao de Laplace satisfazendo a condicao de contorno
no fundo e condicoes sobre o comportamento para x→ ±∞, e representa a solucao do prob-
lema de ondas de gravidade. Vamos agora supor que temos uma unica onda monocromatica.
Assim temos:
φ = H(t) cosh[k0(z + d)]a exp(−ik0x) (8.13)
Como a solucao e uma funcao harmonica em x o parametro k0 representa a periodicidade em
x, de forma tal que se L e o comprimento da onda entao:
k0L = 2π
A este parametro chamamos numero de onda.
Nao impuzemos ainda a condicao de contorno na superfıcie livre. Utilizando a expressao geral
proposta para a funcao φ nesta condicao, temos:
H′′
H= −gG
′(z = 0)
G(z = 0)
160 Texto Preliminar, SH Sphaier
Da equacao (8.11) temos
−gG′(z = 0)
G(z = 0)= −gk0 tanh k0d
onde g, k0 e a tangente hiperbolica sao sempre valores positivos, logo podemos escrever:
ω2 = gk0 tanh k0d (8.14)
e
H′′
+ ω2H = 0 (8.15)
A solucao desta equacao diferencial (8.15) e dada por
H = a+ exp(iωt) + a− exp(−iωt)
Esta funcao e harmonica e o parametro ω representa a periodicidade em t, de forma tal que
se T e o perıodo da onda entao:
ωT = 2π
Admitindo a+ = ia e a− = 0, sendo a real, teremos entao
φ = ia cosh[k0(z + d)] exp[i(ωt− k0x)] (8.16)
A equacao (8.14) e a equacao da dispersao e relaciona o comprimento da onda L com o perıodo
T de acordo com a profundidade d. Voltaremos a esta equacao em outra secao.
A condicao de contorno dinamica, a ser satisfeita na superfıcie livre, impoe uma relacao entre
a funcao definindo o perfil da superfıcie livre e o potencial de velocidades.
ζ = −1
g
∂φ(x, 0, t)
∂t
Desta equacao resulta
ζ =ω
ga cosh(k0d) exp[i(ωt− k0x)]
ou considerando somente a parte real
ζ =ω
ga cosh(k0d) cos(ωt− k0x)
o que sugere
ζ = ζ0 cos(ωt− k0x) (8.17)
onde ζ0 = (ω/g)a cosh(k0d) e a amplitude da onda.
Utilizando este resultado em (8.16) chegamos a:
φ = iζ0g
ω
cosh(k0(z + d))
cosh(k0d)exp[i(ωt− k0x)] (8.18)
Texto Preliminar, SH Sphaier 161
Utilizando a equacao da dispersao (8.14) teremos:
φ = iζ0ω
k0
cosh(k0(z + d))
sinh(k0d)exp[i(ωt− k0x)]
A equacao (8.17) descreve o perfil da onda, tanto no tempo quanto no espaco. Um ponto
do perfil com elevacao ζ1 desloca-se ao longo do tempo ocupando diversas posicoes x, com
velocidade igual a velocidade do perfil, chamada celeridade da onda. Os valores de x estao
relacionado com o tempo de tal forma que
ωt− k0x = constante
Derivando esta expressao em relacao ao tempo teremos
k0c− ω = 0
onde c e a celereridade da onda; assim
c =ω
k0
=L
T
Com os resultados obtidos ate entao, podemos dizer que o perfil da superfıcie livre tem a forma
de uma senoide e desloca-se na direcao do eixo x positiva. Como frizamos anteriormente a
solucao da equacao (8.1) sujeita a (8.6), admitindo que mk igual a um valor constante negativo
deve ser ignorada, pois implicaria em uma solucao do potencial de velocidades, indicando que
haveria um crescimento do perfil da superfıcie livre e, como sera visto abaixo, dos campos de
velocidade e aceleracao com o valor de x, o que fisicamente nao e razoavel. Outro aspecto
a se considerar e que de acordo com a escolha das constantes nas solucoes gerais de F e H
obterıamos perfis da onda nas formas:
ζ = ζ0 cos(±ωt± k0x± δc)
ou
ζ = ζ0 sin(±ωt± k0x± δs)
onde δc e δs sao angulos de fase. A escolha da forma e dos sinais depende da forma da onda
em relacao a origem e direcao de propagacao.
8.5.1 A Equacao de Dispersao
A equacao de dispersao e dada por (8.14):
ω2 = gk0 tanh k0d
162 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 8.2: Solucao grafica da equacao de dispersao
A figura 8.2 apresenta uma forma grafica de obtencao do valor de k0. Reescrevemos a equacao
(8.14) na forma
y =ω2d
g
1
k0d= tanh k0d
e buscamos a intersecao da equacao das curvas
y1 =ω2d
g
1
k0de y2 = tanh k0d
encontramos o valor de k0 que satisfaz a equacao (8.14).
A equacao da dispersao (8.14) pode ser reescrita em termos da celeridade da onda na forma
(2π
T
)2
= g
(2π
L
)tanh k0d
ou
c = g
(1
ω
)tanh k0d (8.19)
Texto Preliminar, SH Sphaier 163
Observando as duas formas da equacao da dispersao, (8.14) e (8.19), vemos que o numero
de onda, o comprimento de onda e a celeridade da onda dependem da profundidade. Isto e,
ondas com diferentes perıodos propagam-se com diferentes velocidades, celeridade da onda.
Para grandes profundidades o argumento da tangente hiperbolica cresce muito e entao a
tangente tende para o valor 1 (um):
limd→∞
tanh k0d = 1
e por conseguinte, para aguas profundas,
ω2 = gk0 =2π
L∞g (8.20)
Figura 8.3: Onda propagando-se em fundo plano inclinado I
164 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 8.4: Onda propagando-se em fundo plano inclinado II
Observemos agora o que ocorre com uma onda monocromatica que se propaga em um fundo
plano levemente inclinado de aguas profundas para aguas rasas (ver figuras 8.3 e 8.4). Trace-
mos dois planos verticais, um situado em aguas profundas A e outro em aguas mais rasas B.
Podemos dizer que o numero de ondas que em um certo intervalo de tempo passa por A e o
mesmo que o numero de ondas que no mesmo intervalo de tempo passa por B. Isto quer dizer
entao que o perıodo da onda e imutavel. Consequentemente ω2/g e um parametro constante
para uma mesma onda. Usando entao este argumento na equacao de dispersao (8.14) e o
limite de aguas profundas podemos escrever:
ω2
g=
2π
L∞=
2π
Ltanh(
2πd
L) (8.21)
ouω2d
2πg=
d
L∞=d
Ltanh(
2πd
L) (8.22)
Destas relacoes temos
L∞ =2πg
ω2=
2πg(2πT
)2 =gT 2
2π(8.23)
T
L∞=T
Ltanh(
2πd
L) (8.24)
ou
c = c∞ tanh(2πd
L) (8.25)
Com estas expressoes podemos entao escrever a celeridade e o comprimento da onda em funcao
da profundidade e a partir de seus valores em aguas profundas.
c
c∞= tanh(
2πd
L) (8.26)
Texto Preliminar, SH Sphaier 165
L
L∞= tanh(
2πd
L) (8.27)
A hipotese feita acima de o fundo ser um plano inclinado implica que em um mesmo com-
primento de onda a profundidade local varia, e a equacao de dispersao foi obtida para fundo
constante. Assim, o estudo que estamos fazendo tem suas limitacoes. Estamos incorrendo em
um erro, que sera tao menor quanto menor for a inclinacao do fundo.
Com as equacoes (8.26) e (8.27) podemos fazer um grafico representativo da variacao de c/c∞e L/L∞ em funcao d/L∞ ver figura 8.5.
Figura 8.5: c/c∞, L/L∞ e cg/c∞ em funcao de d/L∞
Para pequenos valores de d, tendemos ao caso conhecido como de aguas rasas. Na reali-
dade quem define esta tendencia e a relacao d/L e nao somente a profundidade d. Teremos
aguas rasas quando a profundidade relativa for pequena em relacao ao comprimento de onda.
Nesta situacao o argumento da tangente hiperbolica e pequeno e a tangente hiperbolica e
aproximadamente igual ao argumento resultando que a equacao de dispersao torna-se
ω2
g= k2
0d
Desta relacao vemos que o numero de onda e por conseguinte o comprimento de onda contin-
uam variando com a profundidade, porem
ω2
k20
=
(2π
T
)2(L
2π
)2
=
(L
T
)2
= c2
e entao
c =√gd
166 Texto Preliminar, SH Sphaier
Observamos deste ultimo resultado que a celeridade tem um valor fixo para aguas rasas e o
comprimento da onda e proporcional ao perıodo em aguas rasas.
L = T√gd
Retornando a equacao (8.14) lembramos que esta foi obtida da substituicao da solucao na
forma de cosseno hiperbolico em z na condicao de contorno na superfıcie livre. Se utilizarmos
a solucao em cosseno simples em z na condicao de contorno na superfıcie livre, obteremos
ω2 = −gmk tanmkd (8.28)
A figura 8.6 apresenta uma forma grafica de obtencao do valor de mj, obtida reescrevendo a
equacao (8.28) na forma
y = −ω2d
g
1
mjd= tanmjd
e buscando a intersecao da equacao do primeiro e do segundo membros.
Figura 8.6: Obtencao grafica dos autovalores mj
As tabelas 8.1, 8.2 e 8.3 apresentam as variacoes da relacao comprimento de onda / profun-
didade em funcao do perıodo, em forma adimensional, atraves da equacao da dispersao.
Texto Preliminar, SH Sphaier 167
Tabela Auxiliar - Equacao da Dispersao I
d/L k0d tanh(k0d) ω2d/g d/L∞ L∞/L n
0.001 0.006283 0.006283 0.000039 0.000006 159.157013 0.999987
0.002 0.012566 0.012566 0.000158 0.000025 79.581650 0.999947
0.003 0.018850 0.018847 0.000355 0.000057 53.057922 0.999882
0.004 0.025133 0.025127 0.000632 0.000101 39.797108 0.999789
0.005 0.031416 0.031406 0.000987 0.000157 31.841454 0.999671
0.006 0.037699 0.037681 0.001421 0.000226 26.538385 0.999527
0.007 0.043982 0.043954 0.001933 0.000308 22.751078 0.999356
0.008 0.050265 0.050223 0.002524 0.000402 19.911118 0.999159
0.009 0.056549 0.056488 0.003194 0.000508 17.702728 0.998936
0.010 0.062832 0.062749 0.003943 0.000627 15.936430 0.998686
0.015 0.094248 0.093970 0.008856 0.001410 10.641727 0.997051
0.020 0.125664 0.125006 0.015709 0.002500 7.999591 0.994775
0.025 0.157080 0.155800 0.024473 0.003895 6.418472 0.991869
0.030 0.188496 0.186294 0.035116 0.005589 5.367848 0.988350
0.035 0.219911 0.216434 0.047596 0.007575 4.620353 0.984236
0.040 0.251327 0.246166 0.061868 0.009847 4.062298 0.979549
0.045 0.282743 0.275442 0.077879 0.012395 3.630526 0.974314
0.050 0.314159 0.304216 0.095572 0.015211 3.287136 0.968556
Tabela 8.1: Comprimento de onda em funcao da profundidade - Aguas rasas
168 Texto Preliminar, SH Sphaier
Tabela Auxiliar - Equacao da Dispersao II
d/L k0d tanh(k0d) ω2d/g d/L∞ L∞/L n
0.050 0.314159 0.304216 0.095572 0.015211 3.287136 0.968556
0.055 0.345575 0.332446 0.114885 0.018285 3.008011 0.962305
0.060 0.376991 0.360092 0.135751 0.021605 2.777071 0.955590
0.065 0.408407 0.387119 0.158102 0.025163 2.583183 0.948444
0.070 0.439823 0.413498 0.181866 0.028945 2.418393 0.940900
0.075 0.471239 0.439200 0.206968 0.032940 2.276868 0.932990
0.080 0.502655 0.464202 0.233334 0.037136 2.154232 0.924751
0.085 0.534071 0.488487 0.260886 0.041521 2.047139 0.916215
0.090 0.565487 0.512037 0.289550 0.046083 1.952984 0.907418
0.095 0.596903 0.534842 0.319249 0.050810 1.869711 0.898394
0.100 0.628319 0.556893 0.349906 0.055689 1.795676 0.889175
0.125 0.785398 0.655794 0.515060 0.081974 1.524869 0.841285
0.150 0.942478 0.736359 0.694002 0.110454 1.358034 0.792958
0.175 1.099557 0.800340 0.880020 0.140060 1.249469 0.746922
0.200 1.256637 0.850134 1.068310 0.170027 1.176285 0.704926
0.225 1.413717 0.888281 1.255777 0.199863 1.125770 0.667871
0.250 1.570796 0.917152 1.440660 0.229288 1.090331 0.636015
0.275 1.727876 0.938804 1.622138 0.258171 1.065185 0.609185
0.300 1.884956 0.954931 1.800002 0.286479 1.047196 0.586958
0.325 2.042035 0.966880 1.974403 0.314236 1.034254 0.568790
0.350 2.199115 0.975701 2.145678 0.341495 1.024904 0.554102
0.375 2.356194 0.982193 2.314239 0.368322 1.018129 0.542336
0.400 2.513274 0.986963 2.480508 0.394785 1.013210 0.532983
0.425 2.670354 0.990461 2.644881 0.420946 1.009631 0.525596
0.450 2.827433 0.993024 2.807708 0.446861 1.007025 0.519795
0.475 2.984513 0.994900 2.969291 0.472577 1.005127 0.515261
0.500 3.141593 0.996272 3.129881 0.498136 1.003742 0.511734
Tabela 8.2: Comprimento de onda em funcao da profundidade - Aguas intermediarias
Texto Preliminar, SH Sphaier 169
Tabela Auxiliar - Equacao da Dispersao III
d/L k0d tanh(k0d) ω2d/g d/L∞ L∞/L n
0.500 3.141593 0.996272 3.129881 0.498136 1.003742 0.511734
0.550 3.455752 0.998009 3.448873 0.548905 1.001994 0.506886
0.600 3.769912 0.998938 3.765906 0.599363 1.001063 0.504007
0.650 4.084070 0.999433 4.081755 0.649632 1.000567 0.502316
0.700 4.398230 0.999698 4.396899 0.699788 1.000303 0.501331
0.750 4.712389 0.999839 4.711628 0.749879 1.000161 0.500761
0.800 5.026548 0.999914 5.026115 0.799931 1.000086 0.500433
0.850 5.340708 0.999954 5.340462 0.849961 1.000046 0.500245
0.900 5.654867 0.999976 5.654728 0.899978 1.000025 0.500139
1.000 6.283185 0.999993 6.283142 0.999993 1.000007 0.500044
Tabela 8.3: Comprimento de onda em funcao da profundidade - Aguas profundas
8.5.2 Campos de Velocidade e de Aceleracao
Uma vez determinada a funcao potencial de velocidades podemos determinar o campo de
velocidades atraves de:
v = ∇φ = i∂φ
∂x+ k
∂φ
∂z= ivx + kvz
isto e, as componentes vx e vz sao dadas por
vx = <(∂φ
∂x
)=ζ0ω cosh[k0(z + d)]
sinh(k0d)cos(ωt− k0x) (8.29)
vz = <(∂φ
∂z
)= −ζ0ω sinh[k0(z + d)]
sinh(k0d)sin(ωt− k0x) (8.30)
Observando a equacao (8.29) podemos afirmar que quando ζ e maximo, vx e maximo. Por
outro lado, vz e maximo quando ζ e nulo e decrescente com x. Estas conclusoes podem ser
observadas mais claramente na figura (8.7).
170 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 8.7: Perfil da onda e perfis de velocidades
Para determinarmos as aceleracoes devemos inicialmente lembrar que com a linearizacao do
problema de valor de contorno, desprezamos o termo v2 na Integral de Euler, cuja origem e o
termo convectivo da aceleracao. Para sermos consistentes devemos entao desprezar o termo
convectivo e a aceleracao e dada somente pela derivada local, logo:
ax = <(∂vx
∂t
)= −ζ0ω
2 cosh[k0(z + d)]
sinh(k0d)sin(ωt− k0x) (8.31)
az = <(∂vz
∂t
)= −ζ0ω
2 sinh[k0(z + d)]
sinh(k0d)cos(ωt− k0x) (8.32)
A aceleracao horizontal ax e maxima quando ζ e nulo e decrescente. A aceleracao vertical e
maxima quando ζ e mınimo (ver figura 8.8).
Figura 8.8: Perfil da onda e perfis de aceleracao
Texto Preliminar, SH Sphaier 171
8.5.3 Orbitas das Partıculas
A observacao das orbitas das partıculas exige que acompanhemos uma partıcula, isto e, esta
e uma observacao Lagrangeana. Como temos campos de velocidades descritos na forma
Euleriana podemos escrever:
xf (t) = x0 +
∫ t
0
vx(xf , zf , t)dt
zf (t) = z0 +
∫ t
0
vz(xf , zf , t)dt
A dificuldade de solucionar estas equacoes deve-se a termos que integrar estas funcoes vx e
vz ao longo da trajetoria que e desconhecida. Lembrando entretanto das aproximacoes feitas
anteriormente temos, para sermos consistentes, que admitir que as orbitas das partıculas
permanecem nas proximidades do ponto inicial. Expandindo as funcoes vx e vz em series de
Taylor em torno da posicao media temos
vx(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t) + (xf − x0)∂vx
∂x(x0, z0, t) + (zf − z0)
∂vx
∂z(x0, z0, t) + . . .
vz(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t) + (xf − x0)∂vz
∂x(x0, z0, t) + (zf − z0)
∂vz
∂z(x0, z0, t) + . . .
pode-se verificar que para mantermos a consistencia com o desenvolvimento anterior podemos
fazer
vx(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t)
vz(xf , zf , t) = vz(x0, z0, t)
Assim sendo as orbitas sao definidas por
x− x0 =
∫ t
0
∂φ
∂x(x0, z0, t)dt =
∫ t
0
dt
[ζ0ω cosh[k0(z0 + d)]
sinh(k0d)cos(ωt− k0x0)
](8.33)
=ζ0 cosh[k0(z0 + d)]
sinh(k0d)sin(ωt− k0x0)
z − z0 =
∫ t
0
∂φ
∂z(x0, z0, t)dt =
∫ t
0
−dt[ζ0ω sinh(k0(z0 + d))
sinh(k0d)sin(ωt− k0x0)
](8.34)
=ζ0 sinh[k0(z0 + d)]
sinh(k0d)cos(ωt− k0x0)]
Com as expressoes acima obtemos
(x− x0)2
(cosh[k0(z0 + d)])2+
(z − z0)2
(sinh[k0(z0 + d)])2=
ζ0
sinh(k0d)
2
172 Texto Preliminar, SH Sphaier
Esta expressao indica que as orbitas das partıculas sao elıpticas. Das equacoes (8.33) e (8.34)
podemos observar que para z0 = 0 temos a equacao da superfıcie livre. No fundo podemos
observar que
x− x0 =ζ0
sinh(k0d)sin(ωt− k0x0)
z + d = 0
isto e, a partıcula executa um movimento harmonico horizontal.
A visualizacao das orbitas pode ser observada na figura 8.9.
Figura 8.9: Orbitas das partıculas Fluidas
8.5.4 Distribuicao de Pressao
Uma vez obtido o potencial de velocidades podemos determinar a pressao em qualquer ponto
do escoamento:
p = −ρ∂φ∂t− ρgz
Sob a superfıcie z = 0 temos
p = −ρ∂φ(z = 0)
∂t= ρgζ
Isto e, a pressao dinamica na superfıcie z = 0 e igual a pressao hidrostatica de uma coluna de
agua correspondente a elevacao da superfıcie livre local. Este resultado e fısicamente razoavel.
Entretanto, nao e preciso. Senao vejamos. Sobre a superfıcie livre instantanea a pressao e
p = −ρ∂φ∂t− ρgz = ρgζek0z − ρgz = ρgζek0ζ − ρgζ
Aproximando a exponencial por ek0ζ ≈ 1 + k0ζ a pressao na superfıcie livre torna-se
p = ρgζek0ζ − ρgζ = ρgζ(1 + k0ζ)− ρgζ = ρgk0ζ2
Texto Preliminar, SH Sphaier 173
isto e, a pressao na superfıcie livre nao e nula. Este e um erro que vem da linearizacao do
problema que acarreta a transferencia da posicao para se impor a condicao de contorno. Em
termos de aplicacao pratica e conveniente assumir uma distribuicao de pressao dinamica linear
entre a superfıcie z = 0 e a superfıcie livre, em que na superfıcie z = 0 assume-se pdin = ρgζ.
A figura 8.10 mostra o diagrama de pressoes conforme discutido acima.
Figura 8.10: Distribuicao da pressao em ondas, com a profundidade
8.6 Aguas Profundas
Convem salientar que se tivessemos considerado o caso de aguas profundas, z →∞, terıamos
G(z) = a exp(k0z)
com istoH
′′
H= −gG
′(z = 0)
G(z = 0)= −gk0
logo a equacao da dispersao e escrita na forma
ω2 = gk0
O potencial de velocidades resultante seria
φ = iζ0ω
k0
exp(k0z) exp[i(ωt− k0x)]
Nas expressoes das velocidades, aceleracoes e movimentos orbitais teremos
limd→∞
cosh[k0(z + d)]
sinh(k0d)= exp(k0z)
174 Texto Preliminar, SH Sphaier
limd→∞
sinh[k0(z + d)]
sinh(k0d)= exp(k0z)
Neste caso as orbitas das partıculas serao circulares
(x− x0)2 + (z − z0)
2 = ζ20e
2k0z0
A celeridade da onda que e dada por
c =L
T=ω
k0
=
√g
k0
tanh(k0d)
tem como limite para aguas profundas
c =
√g
k0
Convenciona-se que o limite de aguas profundas se da quando L/d = 2.
8.7 Aguas Rasas
Outro limite importante e o de aguas rasas, isto e, quando k0d << 1. Neste caso temos como
limites para o seno hiperbolico e o cosseno hiperbolico respectivamente o argumento da funcao
e o valor 1:
limk0d→ε
sinh(k0d) = k0d
limk0d→ε
sinh[k0(z + d)] = k0(z + d)
limk0d→ε
cosh[k0(z + d)] = 1
Deve-se notar que 0 ≤ z ≤ d.
Neste caso limite as velocidades, aceleracoes e a celeridade assumem entao as expressoes
vx =ζ0ω
k0dcos(ωt− k0x)
vz = −ζ0ω(1 +z
d) sin(ωt− k0x)
ax = −ζ0ω2
k0dsin(ωt− k0x)
az = −ζ0ω2(1 +z
d) cos(ωt− k0x)
Texto Preliminar, SH Sphaier 175
e
c =√gd =
ω
k0
Observemos que esta equacao impoe uma celeridade constante para qualquer perıodo de onda,
perdendo a caracterıstica de dispersividade, embora a equacao derive da equacao de dispersao.
Lembrando que
ζ = ζ0 cos(ωt− k0x)
obtemos entao
vx =ω
k0dζ =
√gdζ
d= c
ζ
d=
√g
dζ
Destes resultados podemos verificar que no caso de aguas rasas a velocidade na direcao x
e constante com a profundidade, e bem maior que a componente da velocidade na direcao
z, podendo ate alcancar valores muito grandes. A celeridade da onda, por outro lado e fixa
independentemente do perıodo da onda. No caso das orbitas das partıculas temos
(x− x0)2
A2+
(z − z0)2
B2= 1
onde
A =ζ0k0d
B = ζ0(1 +z
d)
Convenciona-se aceitar que o limite de aguas rasas se da quando L/d = 20.
8.8 Outras Propriedades
8.8.1 Fluxo de Massa
Anteriormente determinamos as orbitas das partıculas fluidas, concluindo que em aguas pro-
fundas sao circulares. Para tal aproximamos as velocidades instantaneas pela pela veloci-
dades das partıculas na posicao de repouso das partıculas. Entretanto se considerarmos que
as partıculas quando se encontram acima da posicao de repouso tem maiores velocidades
que quando passam pela posicao inferior, podemos concluir que em media, ao longo de um
perıodo, elas avancam na direcao de propagacao da onda.
O fluxo de massa medio e igual a:
F =1
L
∫ x+L
x
∫ ζ
−d
ρvxdzdx
176 Texto Preliminar, SH Sphaier
onde:
vx =g k0
ω
ζ cosh[k0(d+ z)]
cosh[k0(d)]
A avaliacao do fluxo e feita integrando-se inicialmente na vertical:
F =ρ
L
∫ x+L
x
g ∗ ζ(x, t) sinh[k0(d+ ζ(x, t))]
ωcosh(k0d)dx
Para a avaliacao da integral em x expandimos as exponenciais em torno de k0d e −k0d,
F =ρ
L
∫ x+L
x
g ∗ ζ(x, t)2ωcosh(k0d)
[ek0d(1 + k0ζ(x, t))− e−k0d(1− k0ζ(x, t))]dx
A integral acima tem como resultado:
F =ζ20ρgk0
2ω
Assim resulta que ha um fluxo medio de massa, que e um efeito de segunda ordem.
8.8.2 Energia de Onda
Para avaliar a energia que uma onda carrega consigo, consideremos uma fatia vertical da onda
(ver figura 8.11). A energia potencial na fatia e dada por:
d (Ep) = ρgzmdx(d+ ζ)
onde dx e a largura da fatia e zm e a altura media da fatia
zm =d+ ζ
2
Texto Preliminar, SH Sphaier 177
Figura 8.11: Energia potencial de uma fatia vertical em uma onda
A energia potencial de uma onda por comprimento de onda e dada por:
Ep =1
L
∫ x+L
x
d(Ep) =1
L
∫ x+L
x
ρg(d+ ζ)2
2dx =
ρgd2
2+ρgH2
16
onde H = 2a e a altura da onda.
A contribuicao media de energia devida unicamente ao movimento ondulatorio e entao
Ep =ρgH2
16
A energia cinetica dEc de um elemento (de uma partıcula elementar) e dada por:
dEc =dm
2| ∇φ |2= ρ
dx dz
2
(v2
x + v2z
)onde dm = ρdxdz.
Integrando ao longo da altura e ao longo do comprimento, e entao dividindo pelo comprimento
de onda L, temos a energia cinetica media por comprimento de onda
Ec =1
L
∫ x+L
x
∫ 0
−d
ρ
2
(v2
x + v2z
)dxdz
178 Texto Preliminar, SH Sphaier
que apos substituicao de vx e vy e executados os calculos, nos fornece:
Ec =ρgH2
16
Com estes resultados temos entao que a energia total por comprimento de onda e
Et = Ep + Ec =ρgH2
8
8.8.3 Fluxo de Energia e Velocidade de Grupo
A forca exercida sobre um elemento dz de uma parede vertical fluida pode ser escrita como:
dF = pdz = (pdin + ρgz)dz
O fluxo de energia atraves do elemento dz da ”parede” e dado por
dG = vxpdz
Integrando o fluxo elementar de energia do fundo ate a superfıcie livre obtemos o fluxo total
atraves da respectiva ”parede”:
G =
∫ ζ
−d
vxpdz
O fluxo medio temporal e entao dado por:
G =1
T
∫ t+T
t
∫ ζ
−d
vxpdtdz =ρgω
4k0
(H
2
)2(2k0d+ sinh(2k0d)
sinh(2k0d)
)= Etcn
onde
n =1
2
(1 +
2k0d
sinh(2k0d)
)A partir desta expressao podemos dizer que a energia total da onda por unidade de compri-
mento de onda propaga-se com uma velocidade cg, velocidade de grupo, diferente da celeridade
e dada por
cg = cn
Texto Preliminar, SH Sphaier 179
e
G = Etcn =ρgH2
8cg
Consideremos agora duas ondas progressivas propagando-se na mesma direcao com mesmas
alturas H e perıodos levemente diferentes, T1 e T2. O perfil resultante desta superposicao e
dado por:
ζ = ζ1 + ζ2 =H
2cos(ω1t−m0,1x) + cos(ω2t−m0,2x) (8.35)
onde
ω1 = ω − 4ω2
ω2 = ω +4ω2
m0,1 = k0 −4k0
2
m0,2 = k0 +4k0
2
Desenvolvendo a expressao (8.35) acima temos:
ζ = H cos
[1
2(ω1 + ω2)t− (m0,1 +m0,2)x
]cos
[1
2(ω1 − ω2)t− (m0,1 −m0,2)x
]
= H cos (ωt− k0x) cos
[4k0
2
(4ω4k0
t− x
)]Este resultado mostra que o perfil da onda resultante e equivalente ao de uma onda frequencia
ω e altura modulada, variando com o tempo de acordo com
H = H cos[1
2(4ωt−4k0x)]
Isto e, a superposicao das ondas apresenta um perfil envoltorio H(t, x) que se propaga com
velocidade
cenvoltoria =4ω4k0
No limite quanto 4ω e 4k0 vao a zero obtemos
lim4ω→0
cenvoltoria =dω
dk0
= cg =c
2
(1 +
2k0d
sinh(2k0d)
)
180 Texto Preliminar, SH Sphaier
A figura 8.12 mostra a propagacao de um grupo de ondas. Um perfil envoltorio viaja com a
velocidade de grupo cg menor que a celeridade das ondas (ver figura 8.5) que se propagam
dentro desta envoltoria, com amplitude variavel dada pelo perfil da envoltoria. Este fenomeno
e conhecido como batimento.
Figura 8.12: Grupo de ondas
Retornemos agora ao problema da propagacao da onda monocromatica apresentado na secao
anterior. A onda monocromatica pode ser vista como uma onda cujo perfil da envoltoria
tem comprimento infinito e por conseguinte amplitude ”modulada”constante. O perfil ”en-
voltorio”propaga-se com velocidade cg e a onda com velocidade c. Assim a energia da onda
transmite-se com a velocidade de grupo cg. Observando as figuras 8.3 e 8.4, podemos dizer
que toda a energia que entra pela secao A tem que sair pela secao B, entao:
cgH2 = cg,∞H
2∞
onde os subscritos∞ representam as propriedades em aguas profundas. Esta expressao mostra
que, para mantermos um fluxo constante de energia, a altura da onda tem que variar a medida
que o comprimento, a celeridade e a velocidade de grupo variam com a profundidade. Assim,
obtemos: (H∞H
)2
=cgcg,∞
=
(tanh
2πd
L
)(1 +
2k0d
sinh(2k0d)
)
A figura (8.13) mostra a variacao da relacao de H/H∞ em funcao de d/L∞).
Texto Preliminar, SH Sphaier 181
Figura 8.13: H/H∞ em funcao de d/L∞
8.8.4 Onda Estacionaria
A superposicao de duas ondas progressivas de mesmas alturas propagando-se em direcoes
opostas nos fornece o seguinte resultado para o perfil resultante:
ζ = ζ1 + ζ2 =H
2cos(ωt− k0x) + cos(ωt+ k0x) = H cos(ωt) cos(k0x) (8.36)
O potencial de velocidades associado a este perfil e dado por
φ = −gζ0ω
cosh(k0(z + d))
cosh(k0d)cos(k0x) sin(ωt)
Observamos que este tambem satisfaz o problema de valor de contorno resolvido para ondas
progressivas. Observamos tambem, de (8.36), que os zeros do perfil de onda nao ”viajam”,
Os campos de velocidades e as orbitas das partıculas sao dadas por:
vx =∂φ
∂x=ζ0ω cosh(k0(z + d))
sinh(k0d)sin(k0x) sin(ωt)
182 Texto Preliminar, SH Sphaier
vz = −∂φ∂z
=ζ0ω sinh(k0(z + d))
sinh(k0d)cos(k0x) sin(ωt)
x− x0 = −ζ0 cosh(k0(z0 + d))
sinh(k0d)cos(k0x0) sin(ωt)
z − z0 =ζ0 sinh(k0(z0 + d))
sinh(k0d)sin(k0x0) sin(ωt)
Observemos que as partıculas fluidas deslocam-se ao longo de uma reta, e nao mais ao longo
de uma elipse como no caso de uma onda progressiva. Da mesma forma que duas ondas pro-
gressivas superpostas geraram uma onda estacionaria, duas ondas estacionarias superpostas
geram um onda progressiva.
8.9 Resumo das Principais Expressoes
φ = AF (z)ei(ωt−k0x)
ζ = <−1
g
∂φ
∂t|z=0 = <−1
gAiωF (0)ei(ωt−k0x)
= <−1
gAiωF (0)ei(ωt−k0x)
Θ = ωt− k0x
ζ = ζ0 cos(Θ)
A = igζ0
ωF (0)
φ = igζ0
ωF (0)F (z)eiΘ
vx = <∂φ∂x
= <igζ0
ωF (0)F (z)(−ik0)e
iΘ
=k0g
ωF (0)F (z)ζ0 cos(Θ)
vz = <∂φ∂z
= <igζ0
ωF (0)F
′(z)eiΘ
=g
ωF (0)F
′(z)ζ0(− sin(Θ))
ax =∂vx
∂t=
k0g
ωF (0)F (z)ζ0(−ω) sin(Θ)
Texto Preliminar, SH Sphaier 183
az =∂vz
∂t=
g
ωF (0)F
′(z)ζ0(−ω cos(Θ))
pz = −ρ∂φ∂t
= −ρ∂φ∂t|z=0F (z) = ρgζF (z)
8.9.1 Aguas Intermediarias
F (z) = cosh[k0(z + d)]
F (0) = cosh(k0d)
ω2 = k0g tanh(k0d)
F′(z) = k0 sinh[k0(z + d)]
8.9.2 Aguas Profundas
F (z) = ek0z
F (0) = 1
ω2 = k0g
F′(z) = k0e
k0z
8.9.3 Aguas Rasas
F (z) = limk0d→ε
cosh[k0(z + d)] = 1
F (0) → 1
tanh(k0d) ≈ k0d
ω2 = k20gd
F′(z) = lim
k0d→εk0 sinh[k0(z + d)] ≈ k2
0d
184 Texto Preliminar, SH Sphaier
8.10 Batedor de Ondas do Tipo Pistao
No capıtulo anterior estudamos o problema de ondas de gravidade propagando-se em um
domınio infinito −∞ < x < ∞. Vamos agora estudar ondas geradas por um pistao hori-
zontal. Com o movimento do pistao sao induzidas velocidades as partıculas fluidas, e conse-
quentemente sao geradas ondas que se radiam a partir do corpo. Nosso objetivo nesta secao
nao e somente de estudar o problema do batedor de ondas, mas muito mais de introduzir os
conceitos de massa adicional e amortecimento inerentes ao problema de radiacao.
O pistao horizontal esta dotado de um movimento harmonico com amplitude s0 e frequencia
ω
s = s0 sinωt
sobre o qual aplicamos uma forca horizontal F para vencer a reacao fluida Fh(ver figura
refFig-ICF-02).
Figura 8.14: Gerador de Ondas em Forma de Pistao
Utilizando a lei de Newton podemos descrever o movimento do corpo por
ms = F + Fh
onde Fh e a reacao hidrodinamica. Assim
F = ms− Fh
Nosso objetivo e determinar a reacao hidrodinamica sobre o batedor, o que nos permitira
determinar a forca a ser aplicada ao batedor. Para determinar a reacao hidrodinamica temos
que determinar a pressao atraves da Integral de Euler, o que nos exige determinar o poten-
cial de velocidades. Enfim, temos que resolver o problema de valor de contorno geral da
Texto Preliminar, SH Sphaier 185
hidrodinamica aplicado ao caso presente. Trata-se de um escoamento bidimensional em uma
regiao com profundidade finita em que os efeitos viscosos sao desprezıveis, o fluido e incom-
pressıvel, o escoamento pode ser considerado irrotacional e as forcas de corpo derivam de
um potencial. Do ponto de vista do fluido o pistao pode ser visto como uma parede vertical
dotada de um movimento harmonico. Ondas sao formadas nesta regiao e transmitem-se para
o fluido. A este fenomeno damos o nome de radiacao, uma vez que ondas se radiam do corpo
para o infinito. Temos neste caso um domınio semi infinito em x. Definimos um sistema de
coordenadas Oxz colocado junto a superfıcie do pistao e sobre a superfıcie livre e consider-
amos que o movimento do pistao e de pequenas amplitudes. De forma semelhante ao que
fizemos no problema anterior as condicoes de contorno na superfıcie livre sao linearizadas e
aplicadas na posicao media. Junto ao pistao faremos uma aproximacao semelhante aplicando
a condicao de contorno na posicao media do pistao.
Podemos escrever o seguinte problema de valor de contorno para determinacao do potencial
de velocidades φ, que rege o movimento do fluido.
∇2φ = 0 (8.37)
em todo domınio fluido
∂2φ
∂t2+ g
∂φ
∂z= 0 (8.38)
na superfıcie z = 0
∂φ
∂z= 0 (8.39)
em z = −d
<(∂φ
∂x
)= s0ω cosωt (8.40)
em x = 0.
Alem destas condicoes devem ser impostas condicoes de radiacao para limx → ∞. Neste
caso, esta condicao estabelece que longe do corpo uma unica onda progressiva propague-se
carregando a energia cedida ao fluido pelo batedor a cada ciclo.
Notemos que a quarta condicao, valida na parede do corpo esta sendo aproximada, a medida
que vamos aplica-la na posicao media do corpo.
186 Texto Preliminar, SH Sphaier
8.10.1 Obtencao do Potencial de Velocidades Solucao do Problema
Para a obtencao da solucao do problema vamos aplicar o metodo de separacao de variaveis,
de forma similar ao que fizemos anteriormente.
Assim, aplicando-se o metodo de separacao de variaveis a equacao de Laplace, dada por
∂2φ
∂x2+∂2φ
∂z2= 0
de forma tal que
φ(x, z, t) = F (x)G(z)H(t)
obtemos:
F′′GH + FG
′′H = 0
ou entaoF
′′
F= −G
′′
G
Como observado anteriormente, o primeiro membro e uma funcao exclusiva de x e o segundo
membro e funcao somente de z, a igualdade so e possıvel se:
F′′
F= −G
′′
G= ±m2
k (8.41)
onde mk e uma constante.
A partir desta expressao, podemos mais uma vez repetir o quadro de solucoes de acordo com
o valor de m2k, se positivo ou negativo.
Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z
−m2k F
′′+m2
kF = 0 G′′ −m2
kG = 0 cosmkx ; sinmkx exp(±mkz)
+m2k F
′′ −m2kF = 0 G
′′+m2
kG = 0 exp(±mkx) cosmkz ; sinmkz
ou, utilizando a forma complexa
Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z
−m2k F
′′+m2
kF = 0 G′′ −m2
kG = 0 exp(±imkx) exp(±mkz)
+m2k F
′′ −m2kF = 0 G
′′+m2
kG = 0 exp(±mkx) exp(±imkz)
em que i e o unitario imaginario, i =√−1
Texto Preliminar, SH Sphaier 187
A escolha do sinal associado a m2k e por conseguinte da forma das solucoes em x e z dependera
das condicoes de contorno.
Lembrando que no presente caso, nao temos mais um domınio infinito para a variavel x, uma
vez que a parede do batedor limita o domınio fluido, temos um caso a mais para analisar alem
do que vimos anteriormente. Alem disto a profundidade e finita, isto e, o domınio vertical, o
domınio da variavel z e finito.
Admitindo que o batedor de ondas oscila harmonicamente com frequencia ω, uma possıvel
solucao e dada por:
φ = a0cosh(k0(z + d))
cosh(k0d)exp[i(ωt− k0x)] (8.42)
= a0Z0(k0z)F0(k0x)eiωt
Alem desta solucao, que equivale ao caso:
F′′
+ k20F = 0
G′′ − k2
0G = 0
temos que incorporar as solucoes que decrescem com x indo para infinito, F = exp(−mjx),
isto e solucoes para o par
F′′ −m2
jF = 0
G′′
+m2jG = 0
que, associado as condicoes de contorno no fundo definem
Gj(mjz) = cos[mj(z + d)]
que substituıda na condicao de superfıcie livre, equacao 8.38, geram
Fj(x)Gj(z = 0)∂2H(t)
∂t2+ gFj(x)H(t)
∂Gj(z)
∂z|z=0 = 0
−ω2Gj(z = 0) + g∂Gj(z)
∂z|z=0 = 0
ω2 = −gmk tan(mkd)
Reunindo essas duas solucoes, a forma geral da solucao da equacao de Laplace bidimensional
em um domınio semi-infinito, em coordenadas cartesianas satisfazendo as condicoes (8.38),
(8.39) e as condicoes de radiacao e
φ =∞∑
j=0
ajGj(mjz)Fj(mjx)eiωt
188 Texto Preliminar, SH Sphaier
onde, para j = 0 temos uma onda progressiva tal que:
G0(k0z) = cosh[k0(z + d)]
F0(k0x) = e−ik0x
e para j 6= 0 temos os modos evanescentes, com:
Gj(mjz) = cos[mj(z + d)]
Fj(mjx) = e−mjx
aj sao coeficientes a serem determinados e k0 e o numero de onda solucao da equacao de
dispersao
ω2 = gk0 tanh(k0d)
e mj sao as solucoes da equacao
ω2 = −gmj tan(mjd)
Observemos que conhecemos a frequencia da oscilacao do batedor e a profundidade local.
Com estes dois parametros podemos determinar o numero de onda k0, autovalor da solucao
representando a onda progressiva, e mj os autovalores dos modos evanescentes. Temos ainda a
determinar os coeficientes aj e tambem nao fizemos uso da condicao de contorno na superfıcie
do pistao.
A obtencao dos coeficientes aj e conseguida aplicando-se a equacao (8.40)
∂φ
∂x= −ik0a0G0(k0z)F0(0) +
∞∑j=1
−mjajGj(mjz)Fj(0)eiωt = ωs0eiωt (8.43)
ou
−ik0a0G0(k0z)−∞∑
j=1
mjajGj(mjz) = ωs0 (8.44)
Utilizaremos a seguir a propriedade de ortogonalidade das funcoes Gj no intervalo−d < z < 0,
estabelecendo que ∫ 0
−d
GiGjdz =
0 para i 6= j
Nj para i = j
onde
Nj =
∫ 0
−d
G2j(mjz)dz =
sinh(2k0d) + 2k0d
4k0para j = 0
sin(2mjd) + 2mjd4mj
para j 6= 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 189
Assim multiplicando-se a equacao (8.44) pela funcao Gi e integrando a equacao no intervalo
−d < z < 0 temos
−ik0a0
∫ 0
−d
G0Gidz −∞∑
j=1
mjaj
∫ 0
−d
GjGidz = ωs0
∫ 0
−d
Gidz (8.45)
com a propriedade de ortogonalidade das funcoes Gj, descrita acima, resulta entao para i = 0
−ik0a0N0 = s0ω
∫ 0
−d
G0(k0z)dz (8.46)
e para i 6= 0
−miaiNi = s0ω
∫ 0
−d
Gi(miz)dz (8.47)
ou
a0 = iA0s0ω
para i = 0 e para i 6= 0
ai = −Ais0ω
onde
Ai =
∫ 0
−d
Gj(mjz)dz1
mjNj
(8.48)
Podemos agora calcular a pressao hidrodinamica atuante sobre o corpo a partir da Integral
de Euler linearizada
p = −ρ∂φ∂t
(x = 0) = −iωρ∞∑
j=0
ajGj(mjz)eiωt = s0ω
2ρ
(A0G0 + i
∞∑j=1
AjGj
)eiωt
e entao a forca hidrodinamica
Fx =
∫ 0
−d
pnxdz =
∫ 0
−d
−pdz =
s0ω2ρ
[−A0
∫ 0
−d
G0dz − i∞∑
j=1
Aj
∫ 0
−d
Gjdz
]eiωt
porem, como ∫ 0
−d
Gjdz = mjAjNj
temos
Fx = s0ω2ρ
[−A2
0k0N0 − i∞∑
j=1
A2jmjNj
]eiωt
190 Texto Preliminar, SH Sphaier
e entao
Fh = <(Fx) = −ρωA20k0N0[s0ω cos(ωt)] + ρ
∞∑j=1
A2jmjNj[s0ω
2 sin(ωt)]
Os termos entre colchetes sao a velocidade e a aceleracao do corpo
s = s0ω cos(ωt)
s = −s0ω2 sin(ωt)
Definindo
m11 = ρ∞∑
j=1
A2jmjNj
n11 = ρωA20k0N0
Assim a forca e entao dada por
Fh = −m11s− n11s
Este resultado mostra que a forca hidrodinamica atuante sobre o pistao e composta de dois
termos, um proporcional a aceleracao e o outro proporcional a velocidade do corpo. De forma
semelhante ao que vimos anteriormente, o primeiro termo e a massa adicional que esta ligada
aos modos evanescentes, que nao contribuem na propagacao de energia. O outro termo,
que nao apareceu anteriormente, quando nao consideramos a presenca de superfıcie livre, esta
relacionado ao modo progressivo que, ao contrario dos modos evanescentes, transmite energia.
Por ser entao um termo dissipativo, damos o nome de coeficiente de amortecimento.
Lembrando agora que para grandes valores de x os modos evanescentes desaparecem, o perfil
da onda a grandes distancias sera dado unicamente pela onda progressiva, cujo potencial e
φ = a0G0(k0z)F0(k0x)eiωt = iA0s0ωG0(k0z)F0(k0x)e
iωt
O perfil da onda nesta regiao e dado por
ζ = −1
g∂φ/∂t =
A0
gs0ω
2G0(k0z)ei(ωt−k0x)
Logo a amplitude de onda ζ0 e dada por
ζ0 =A0
gs0ω
2G0(0)
e obtemos para o coeficiente de amortecimento
n11 =ρ g N0
ω tanh(k0d)
(ζ0s0
)2
Texto Preliminar, SH Sphaier 191
Deve ser notado que a amplitude da onda varia linearmente com a amplitude do movimento
do corpo, e e funcao da frequencia ω.
Embora tenhamos trabalhado aqui com um caso de um corpo que se estende desde a superfıcie
livre ate o fundo, que tem uma forma reta e so pode executar movimento horizontal o resultado
obtido pode ser generalizado.
Todo corpo oscilando junto a superfıcie livre gera ondas que se radiam do corpo
para o meio fluido e, devido a estas ondas, sofre uma forca de reacao hidrodinamica
composta de dois termos. Um proporcional a aceleracao relacionado com os modos
evanescentes e outro proporcional a velocidade relacionado com a energia que se
propaga com a onda progressiva.
8.10.2 Batedor de Ondas Tipo Flap e Outros Tipos
Acima consideramos que o Batedor atuava como um pistao. Vejamos agora que alteracoes
devem ser introduzidas no procedimento acima se, ao inves de um batedor que se desloca
igualmente em toda sua vertical, tenhamos um batedor que atua com distintas velocidades
ao longo da vertical.
Consideremos por exemplo que o batedor e do tipo flap em que na linha d’agua, em z = 0,
ele tem velocidade
s(z = 0, t) = s0ω cos(ωt) (8.49)
e no fundo
s(z = −d, t) = 0 (8.50)
Isto e, a velocidade horizontal do batedor varia linearmente com z:
s(z, t) = s0(d+ z
d)ω cos(ωt) (8.51)
Assim, aplicando-se uma aproximacao linear para a condicao de contorno de igualdade da
componente da velocidade do corpo na direcao da normal a superfıcie corpo e da componente
da velocidade das partıculas fluidas na direcao da mesma normal a superfıcie do corpo, teremos
que, as velocidades horizontais das partıculas fluidas em x = 0 ao longo da vertical, deverao
ser iguais as velocidades instantaneas do batedor na direcao horizontal, porem aplicadas na
posicao media do batedor, x = 0:
∂φ(x = 0, z, t)
∂x= s0ω (
d+ z
d) exp iωt (8.52)
192 Texto Preliminar, SH Sphaier
Com isto havera alteracoes em relacao ao que vimos para o caso anterior, refletidas nas
equacoes (8.45), (8.46) e (8.47) de tal maneira que, para o presente problema teremos:
−ik0a0
∫ 0
−d
G0Gidz −∞∑
j=1
mjaj
∫ 0
−d
GjGidz = ωs0
∫ 0
−d
(d+ z
d)Gidz (8.53)
Cujo resultado e, termpo para i = 0
−ik0a0N0 = s0ω
∫ 0
−d
(d+ z
d)G0(k0z)dz (8.54)
e para i 6= 0
−miaiNi = s0ω
∫ 0
−d
(d+ z
d)Gi(miz)dz (8.55)
ou
a0 = iA0s0ω
para i = 0 e para i 6= 0
ai = −Ais0ω
onde
Ai =1
mjNj
∫ 0
−d
(d+ z
d)Gj(mjz)dz (8.56)
Com isto podemos generalizar estes resultados dizendo que, se o batedor oscila em torno de
uma vertical com pequenas amplitudes
s(z, t) = s0(z)ω cos(ωt) (8.57)
as alteracoes acima se refletem na determinacao dos coeficientes Ai:
Ai =1
mjNj
∫ 0
−d
s0(z)Gj(mjz)dz (8.58)
8.11 Hipotese de Froude-Krylov para o Calculo de Forca
de Onda
Vimos acima o problema de radiacao. Um corpo oscila junto a superfıcie livre gera ondas
que se propagam carregando energia. Determinamos a solucao para o caso de um batedor de
Texto Preliminar, SH Sphaier 193
ondas como exemplo basico. Originalmente nao existiam ondas no meio fluido. Vamos agora
estudar o problema da acao de ondas em um corpo fixo junto a superfıcie livre.
Consideremos um retangulo flutuando na superfıcie livre e determinemos a forca de onda
atuante sobre ele segundo a hipotese de Froude-Krylov, isto e, a forca devida a onda inci-
dente. Segundo a hipotese de Froude-Krylov, as forcas hidrodinamicas atuando em um corpo
flutuante devem-se unicamente a acao da onda incidente. Despreza-se o efeito da difracao das
ondas incidentes.
A forca hidrodinamica e calculada integrando-se as pressoes devidas as ondas in-
cidentes atuando sobre a superfıcie imaginaria dada pela posicao instantanea a
ser ocupada pelo corpo.
A pressao e dada pela Integral de Euler linearizada
p = −ρ∂φ∂t− ρgz
e a forca e entao
F = Fd + Fe = −ρ∫
S0
(∂φ
∂t+ gz
)nds
onde Fd representa a contribuicao dinamica
Fd = −ρ∫
S0
(∂φ
∂t
)nds
e Fe representa a contribuicao estatica
Fe = −ρ∫
S0
(gz)nds
Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a onda incidente:
φ = φinc = iA(z) ei(ωt−k0x)
onde, para aguas profundas:
A(z) =ζ0g
ωek0z
Entao
pd = −ρ∂φinc
∂t= −ρiA(z)iωei(ωt−k0x)
= ωρA(z)[cos(ωt− k0x) + i sin(ωt− k0x)]
194 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 8.15: Cancelamento em Formas Retangulares
8.11.1 Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares
A figura (8.15) mostra o retangulo na superfıcie livre. O centro do retangulo encontra-se
localizado em x0, tem boca b, calado T e pontos extremos A,B,C e D. As normais voltadas
para fora do meio fluido estao indicadas em cada trecho do contorno. O trecho S1 e limitado
pelos pontos A e B, S2 e limitado pelos pontos B e C e S3 pelos pontos C e D.
Texto Preliminar, SH Sphaier 195
Observando a figura (8.15) podemos escrever a expressao da forca hidrodinamica na forma
Fd = ωρ
∫ D
A
A(z) ei(ωt−k0x)nds
Fd = ωρ
∫ B
A
A(z) ei(ωt−k0x)i(−dz)
+ωρ
∫ C
B
A(z) ei(ωt−k0x)k(dx)
+ωρ
∫ D
C
A(z) ei(ωt−k0x)(−i)(dz)
Escrevendo as componentes em x e em z separadamente teremos:
Forca Horizontal
Fd,x = ωρ
∫ −T
0
A(z) ei[ωt−k0(x0−b/2)](−)dz −∫ 0
−T
A(z) ei[ωt−k0(x0+b/2)]dz
Fd,x = ωρ
ei[ωt−k0(x0−b/2)] − ei[ωt−k0(x0+b/2)]
∫ 0
−T
A(z)dz
= ωρ
ei[(ωt−k0x0)+k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)−k0b/2]∫ 0
−T
A(z)dz
= ωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0)
ei(k0b/2) − ei(k0b/2)
= 2iωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)
e assim
Fd,x = 2iωρ
∫ 0
−T
A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)
Como, para aguas profundas
A(z) =ζ0g
ωek0z
resolvendo a integracao obtemos:
Fd,x = ρgb[1− e−k0T ]sin(k0b/2)
(k0b/2)[i ei(ωt−k0x0)] (8.59)
196 Texto Preliminar, SH Sphaier
Para ondas longas
[1− e−k0T ] → 0
e a forca anula-se.
Observemos o caso em que x0 e nulo. A forca horizontal tem intensidade:
Fd,x,0 = ρgb[1− e−k0T ]sin(k0b/2)
(k0b/2)
e assim pode ser escrita como:
Fd,x = Fd,x,0 [i ei(ωt)] = Fd,x,0 ei(ωt−π/2) (8.60)
Podemos tambem observar que a forca horizontal e regida pelo seno de ωt. A forca horizontal
horizontal tem seu maximo defasado do maximo da onda. Vemos que a forca horizontal e
maxima quando temos um no com zero descendente em x0.
Forca Vertical
Fd,z = ωρ
∫ C
B
A(z) ei(ωt−k0x)dx = ωρA(−T )
∫ x0+b/2
x0−b/2
ei(ωt−k0x)dx
= ωρA(−T )i ei(ωt−k0x)
k0
|x0+b/2x0−b/2
=ωρA(−T )
k0
i ei[ωt−k0(x0+b/2)] − ei[ωt−k0(x0−b/2)]
=ωρA(−T )
k0
i ei[(ωt−k0x0)−k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)+k0b/2]
=ωρA(−T )
k0
i ei(ωt−k0x0) e−ik0b/2 − eik0b/2
e finalmente
Fd,z = 2ωρA(−T )
k0
ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (8.61)
Podemos observar que a forca vertical e regida pelo cosseno de ωt. Isto e, a forca vertical
passara por um maximo sempre que a amplitude da onda passar por um maximo em x0.
Lembrando que em grandes profundidades A(z) = ζ0 g ek0z/ω entao:
Fd,z = ρ g ζ0e−k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)
k0/2
Texto Preliminar, SH Sphaier 197
Multiplicando e dividindo por b obtemos:
Fd,z = ρ g ζ0be−k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)
k0b/2
= ρ g b ζ(t, x0) e−k0T sin(k0b/2)
k0b/2
Esta expressao indica que a forca esta em fase com a elevacao da onda em x0 e tem uma forma
similar a uma forca hidrostatica como se o corpo afundasse o que a onda se eleva corrigida
de:
1. o efeito do decaimento da pressao dinamica com a profundidade
2. da variacao da forma da onda e da pressao com o cosseno de k0x
Caso a onda seja muito longa
k0b/2 = 2πb/2/L0 → 0,
e−k0T = e−2πT/L0 → 1
esin(k0b/2)
k0b/2=
sin(w)
w→ 1
Assim,
Fd,z = ρ g ζ0b ei(ωt−k0x0) = ρ g b ζ(t, x0)
e a forca atuante tem uma semelhanca com uma forca hidrodstatica com variacao de afunda-
mento igual a ζ(t) no ponto x0.
8.11.2 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em um Retangulo
Acima obtivemos as seguintes expressoes para as forcas de Froude-Krylov sobre um retangulo:
Fd,x = ρgb[1− e−k0T ]sin(k0b/2)
(k0b/2)i ei(ωt−k0x0)
Fd,z = ρ g ζ0be−k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)
k0b/2
Vemos que ambas expressoes contem o termo
sin(k0b/2)
k0b/2
198 Texto Preliminar, SH Sphaier
Comok0b
2=
2πb
2L0
=πb
L0
onde L0 e o comprimento da onda, a relacao entre a boca do retangulo e o comprimento da
onda podera, por um efeito de forma acarretar que a amplitude da forca seja nula. Assim as
forcas horizontal e vertical terao amplitudes nulas se
b
L= n n = 1, 2, ....
8.11.3 Extensao da expressao de Froude-Krylov para o caso de um
Navio com fundo plano horizontal
Digamos que temos agora um navio com fundo chato em que as ondas se propagam na direcao
do eixo longitudinal do navio. O problema e semelhante ao anterior, porem a boca torna-se
o comprimento do navio e ao longo da boca, para um x fixo a pressao e constante. O sistema
de referencia agora e Oxyz com Ox na direcao longitudinal e Oy na direcao transversal. O
navio tem boca B e comprimento L. A expressao da forca vertical e dada por:
Fd,z = ωρ
∫S
A(z) ei(ωt−k0x)dxdy
como a pressao nao varia com a boca
Fd,z = ωρA(−T )B
∫L
ei(ωt−k0x)dx
A exponencial no tempo pode ser retirada da integral e entao:
Fd,z = ωρA(−T ) eiωt
∫L
B(x) eik0xdx
= ωρA(−T ) eiωt
∫L
B(x)[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx
No caso de um casco em forma de caixa B(x) e constante e entao:
Fd,z = ωρA(−T )B eiωt
∫L
[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx
8.11.4 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em Estruturas
Semi-submersıveis
Vimos que e possıvel cancelar as forcas e ou os momentos hidrodinamicos em estruturas
flutuantes do tipo retangular. Outro tipo de cancelamento se da para estruturas em que alguns
Texto Preliminar, SH Sphaier 199
membros afloram da superfıcie livre e outros tem suas extremidades localizadas totalmente
no meio fluido, quando as ondas sao longas.
A figura 8.16 apresenta o esquema de uma estrutura semi-submersıvel em um plano. As
colunas estao indicadas com C1 e C2 e o pontoon com PON. O fundo da estrutura esta na
cota z2. A parte superior do pontoon esta na cota z1. As bases das colunas tem comprimento
l1 e o comprimento do pontoon tem comprimento l2.
Figura 8.16: Cancelamento em Estruturas Semisubmersıveis
200 Texto Preliminar, SH Sphaier
A pressao e composta por duas parcelas, estatica e dinamica. A essas soma-se a pressao
atmosferica, que normalmente e assumida ser igual a zero.
p = patm + pest + pdin
A pressao estatica e dada por:
p = ρgz
e com ela obtem-se que a forca de empuxo e o peso do volume imerso. Nas colunas a forca
de empuxo e:
E =
∫S
pestndS =
∫S
ρgz2(2l1 + l2)k−∫
S
ρgz1(l2)k
A pressao na parte superior do pontoon e menor que na parte inferior. Assim o pontoon sofre
uma forca para cima. A pressao dinamica e dada por:
pdin = −ρ∂φ(x, z, t)
∂t= −ρ∂φ(x, 0, t)
∂tek0z
e como o perfil da onda e dado por:
ζ = −1
g
∂φ(x, 0, t)
∂t= ζ0 cos(ωt− k0x)
entao∂φ(x, 0, t)
∂t= −gζ0 cos(ωt− k0x)
e
pdin = ρgζ0 cos(ωt− k0x)ek0z
[Obs: o mais correto seria trabalhar com a forma exponencial, incluindo a parte imaginaria
na analise e somente no final pegar o modulo e a fase. Entretanto as conclusoes seriam as
mesmas]
Na situacao em que a crista de uma onda longa passa pelo centro geometrico da plataforma,
toda a plataforma estara sujeita a pressoes como se estive toda ela em situacao de crista. A
situacao em que a crista passa pelo centro da estrutura localizado na posicao x0, corresponde
a
Θ = ωt0 − k0x0 = ωt0 −2π
Lx0 = n · 2 · π
onde n e um inteiro. Se a onda e longa em relacao ao tamanho da estrutura, e a crista se
localiza no centro da estrutura, entao
l1 + l2 + l1L
<< 1
Texto Preliminar, SH Sphaier 201
Θ = ωt− k0x = ωt− k0x0 − 2πx− x0
L≈ 1− 2π
x− x0
Lem toda a regiao da estrutura, e
pdin ≈ ρgζ0ek0z(1− 2π
x− x0
L)
Com a pressao dinamica determina-se agora as forcas nas colunas e no pontoon
fC1 =
∫l1
pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1
fC2 =
∫l1
pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1
fPON =
∫l2
pdin(z2)dx−∫
l2
pdin(z1)dx ≈ l2ρgζ0(ek0z2 − ek0z1)
Como z1 e z2 tem valores negativos e o modulo de z2 e maior que o de z1 entao a forca
dinamica no pontoon aponta para baixo.
Para efeito de projeto pode-se determinar mais precisamente as cotas e as dimensoes da
estrutura resolvendo-se as integrais das pressoes exatamente. Inicialmente com o volume, a
area de linha dagua e o formato da estrutura determina-se a massa adicional e a frequencia
natural. Tenta-se fazer com que este o perıodo natural nao venha a estar contido na faixa de
frequencia de excitacao do mar. A seguir determina-se o comprimento da onda cujo perıodo
coincida com o perıodo natural da estrutura. Para este comprimento ajusta-se as dimensoes
principais. Caso as premissas impostas a volume, area de linha da agua e formato nao sejam
satisfeitas, faz-se um ajuste na geometria e retorna-se ao inıcio do problema.
8.12 Ondas de Gravidade: Segunda Ordem
O problema a ser tratado neste capıtulo e o de propagacao de ondas de gravidade e seus efeitos,
quando encontram um corpo de grandes dimensoes. Trata-se da determinacao do potencial
de velocidades, resolvendo-se a equacao de Laplace em um domınio em que as fronteiras
superfıcie livre e superfıcie do corpo sao moveis e desconhecidas. Alem desta dificuldade, as
condicoes cinematica e dinamica na superfıcie livre contem termos nao lineares, bem como a
condicao cinematica na superfıcie do corpo.
Uma forma classica de se abordar o problema, em hidrodinamica de corpos flutuantes, da-se
atraves da linearizacao do problema. Para a onda incidente recai-se na solucao de Airy, en-
quanto para o problema de movimentos do corpo flutuante tem-se o capıtulo da hidrodinamica
conhecido como Comportamento de Sistemas Flutuantes no Mar. Com o avanco do conhec-
imento sofre as influencias de segunda ordem no problema e a necessidade de considera-las,
202 Texto Preliminar, SH Sphaier
este antigo capıtulo passou a ser chamado de Teoria de Primeira Ordem do Comportamento
de Corpos Flutuantes.
Neste capıtulo concentramo-nos nos efeitos de segunda ordem. Tratamos o potencial de ve-
locidades, a superfıcie livre, os movimentos do corpo flutuante como a soma de duas parcelas,
que chamamos uma de primeira ordem e a outra de segunda ordem. Podemos dizer que as
grandezas de primeira ordem tem ”intensidades da mesma ordem”que a relacao entre a ampli-
tude da onda incidente dividida pelo comprimento da mesma onda. As grandezas de segunda
ordem tem ”intensidades da ordem”do quadrado da relacao amplitude de onda - comprimento
de onda. Como veremos o problema para obtencao das propriedades de primeira ordem, cor-
respondente ao problema de primeira ordem, e identico ao problema linearizado. No presente
capıtulo nos concentramos no problema de segunda ordem.
8.12.1 O Problema de Valor de Contorno
Para equacionar o problema utilizaremos um sistema de coordenadas Oxyz, com origem na
superfıcie livre em repouso, eixo Oz apontando para cima. O problema acima exposto e
representado pelo problema de valor de contorno para a funcao φ, cujo gradiente representa
o campo de velocidades:
1. em todo o domınio fluido deve ser satisfeita a equacao de Laplace, uma vez que supomos
que o fluido e incompressıvel e o escoamento irrotacional
∇2φ(x, y, z, t) = 0 (8.62)
2. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao cinematica imposta pelo movimento
afim das partıculas fluidas e a forma da superfıcie livre:
D
DtFsl(x, y, z, t) =
D
Dt(z − ζ(x, y, t)) = 0 (8.63)
onde
Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0 (8.64)
e a equacao que define a superfıcie livre. Assim, a condicao cinematica na superfıcie
livre e dada por:
∂φ(x, y, z = ζ, t)
∂z−∂ζ(x, y, t)
∂t−∂φ(x, y, z = ζ, t)
∂x
∂ζ(x, y, t)
∂x−∂φ(x, y, z = ζ, t)
∂y
∂ζ(x, y, t)
∂y= 0
(8.65)
Texto Preliminar, SH Sphaier 203
3. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao dinamica imposta pela pressao at-
mosferica, uma vez que supomos que o fluido e ideal e incompressıvel, o escoamento ir-
rotacional e as forcas de corpo derivam de um potencial; entao pela Integral da Equacao
de Euler
patm = p(x, y, z = ζ, t) = −ρ[∂φ(x, y, z = ζ, t)
∂t+
1
2| ∇φ(x, y, z = ζ, t) |2 +gz
](8.66)
4. no fundo, em z + d = 0∂φ
∂z= 0 (8.67)
5. na superfıcie do corpo deveremos satisfazer a condicao cinematica que traduz a afinidade
dos movimentos do corpo e das partıculas fluidas:
D
DtFc(x, y, z, t) = 0 (8.68)
onde
Fc(x, y, z, t) = 0 (8.69)
e a equacao que define a superfıcie do corpo.
Esta condicao corresponde a igualdade entre as componentes das velocidades do fluido
e do corpo na direcao da normal a superfıcie do corpo:
∂φ
∂n= vn = v · n = u · n = un (8.70)
O domınio fluido e limitado por −∞ < x <∞, −∞ < y <∞ e −∞ < z ≤ ζ excetuando-se
o interior do domınio limitado por Fc = 0.
8.12.2 Princıpios Basicos para Expansao em Ordens
Com a finalidade de se introduzir os conceitos de ordem de forma aplicada atemo-nos inicial-
mente ao tratamento de ondas de gravidade.
Supomos inicialmente que o potencial de velocidades, a elevacao da superfıcie livre e a pressao
sao somas de potencial, elevacoes da superfıcie livre e pressoes de diferentes ordens:
φ = φ1 + φ2 + φ3 + ..... (8.71)
ζ = ζ1 + ζ2 + ζ3 + ..... (8.72)
204 Texto Preliminar, SH Sphaier
p = p1 + p2 + p3 + ..... (8.73)
Dizemos que φ1 e ζ1 sao de ordem ε, onde ε e a ordem da perturbacao do problema inicial
do sistema em equilıbrio estatico, em que as partıculas fluidas estao em repouso. Podemos
raciocinar como se ε fosse igual a relacao H/L, onde H e a altura da onda e L e o comprimento
da onda.
Assim, se ε = H/L e pequeno, os movimentos das partıculas fluidas sao pequenos e o problema
pode ser linearizado. Caso ε nao seja tao pequeno nao podemos mais linearizar o problema, e
temos que levar em consideracao esta influencia. A ideia da metodologia e admitir que haja
uma pequena influencia de segunda ordem dada pelo potencial φ2, que gera um movimento de
segunda ordem da superfıcie livre ζ2. Essas grandezas de segunda ordem sao supostas serem
de ordem ε2. Alem disto, nao se objetiva resolver um problema nao linear, porem resolver
um novo problema linear que corrija a solucao abandonando os efeitos de terceira ordem ε3
e superiores. Caso os efeitos de terceira ordem sejam importantes, temos entao que ir ate a
terceira ordem, abandonando efeitos de quarta ordem e superiores.
Aqui estamos estabelecendo a forma das ordens dos termos, mas em geral e possıvel obter
automaticamente as ”intensidades”das ordens superiores, a partir da primeira ordem, de
acordo com as equacoes que regem o problema.
Dizemos que duas funcoes f e g sao da mesma ordem (com notacao f = o(g)) se:
limε→0
f
g= 1
e que f e de ordem superior a g (com notacao f = O(g)) se
limε→0
f
g= 0
Uma outra questao que deve ser observada e o fato de termos funcoes que devem ser avaliadas
em superfıcies moveis. Nestes casos expandimos essas funcoes em torno da posicao media em
series de Taylor.
8.12.3 Aplicacao ao Problema de Ondas de Gravidade
Assim por exemplo se queremos avaliar o potencial de velocidades, sua derivada em relacao
ao tempo ou sua derivada em relacao as variaveis x e z na superfıcie livre fazemos:
φ(x, z = ζ, t) = φ(x, z = 0, t) + ζ∂φ(x, z = 0, t)
∂z+ . . . (8.74)
Texto Preliminar, SH Sphaier 205
∂φ(x, z = ζ, t)
∂t=∂φ(x, z = 0, t)
∂t+ ζ
∂2φ(x, z = 0, t)
∂z∂t+ . . . (8.75)
∂φ(x, z = ζ, t)
∂z=∂φ(x, z = 0, t)
∂z+ ζ
∂2φ(x, z = 0, t)
∂2z+ . . . (8.76)
∂φ(x, z = ζ, t)
∂x=∂φ(x, z = 0, t)
∂x+ ζ
∂2φ(x, z = 0, t)
∂z∂x+ . . . (8.77)
Introduzindo as expansoes (8.71) e (8.72) teremos:
φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .
+(ζ1 + ζ2 + ζ3 + . . .)∂(φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .)
∂z
+1
2(ζ1 + ζ2 + ζ3 + . . .)2∂
2(φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .)
∂z2+ . . .
que desenvolvendo leva a:
φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t)
+ζ1∂φ1(x, z = 0, t)
∂z+ ζ1
∂φ2(x, z = 0, t)
∂z+ ζ1
∂φ3(x, z = 0, t)
∂z
+ζ2∂φ1(x, z = 0, t)
∂z+ ζ2
∂φ2(x, z = 0, t)
∂z+ ζ2
∂φ3(x, z = 0, t)
∂z
+ζ3∂φ1(x, z = 0, t)
∂z+ ζ3
∂φ2(x, z = 0, t)
∂z+ ζ3
∂φ3(x, z = 0, t)
∂z
+1
2ζ21
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z2+
1
2ζ21
∂2φ2(x, z = 0, t)
∂z2+
1
2ζ21
∂2φ3(x, z = 0, t)
∂z2
+ζ1ζ2∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z2+ ζ1ζ2
∂2φ2(x, z = 0, t)
∂z2+ ζ1ζ2
∂2φ3(x, z = 0, t)
∂z2
+1
2ζ22
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z2+
1
2ζ22
∂2φ2(x, z = 0, t)
∂z2+
1
2ζ22
∂2φ3(x, z = 0, t)
∂z2+ . . .
e reagrupando por ordem:
φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t)+
φ2(x, z = 0, t) + ζ1∂φ1(x, z = 0, t)
∂z
+φ3(x, z = 0, t) + ζ1∂φ2(x, z = 0, t)
∂z+ ζ2
∂φ1(x, z = 0, t)
∂z+
1
2ζ21
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z2+ . . . (8.78)
Utilizando procedimento similar tem-se:
206 Texto Preliminar, SH Sphaier
• para a derivada em t∂φ(x, z = ζ, t)
∂t=∂φ1(x, z = 0, t)
∂t+
∂φ2(x, z = 0, t)
∂t+ ζ1
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z∂t
+∂φ3(x, z = 0, t)
∂t+ ζ1
∂2φ2(x, z = 0, t)
∂z∂t+ ζ2
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z∂t+
1
2ζ21
∂3φ1(x, z = 0, t)
∂z2∂t+ . . .
(8.79)
• para a derivada em x∂φ(x, z = ζ, t)
∂x=∂φ1(x, z = 0, t)
∂x+
∂φ2(x, z = 0, t)
∂x+ ζ1
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z∂x
+∂φ3(x, z = 0, t)
∂x+ ζ1
∂2φ2(x, z = 0, t)
∂z∂x+ ζ2
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z∂x+
1
2ζ21
∂3φ1(x, z = 0, t)
∂z2∂x+ . . .
(8.80)
• para a derivada em z∂φ(x, z = ζ, t)
∂z=∂φ1(x, z = 0, t)
∂z+
∂φ2(x, z = 0, t)
∂z+ ζ1
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂2z
+∂φ3(x, z = 0, t)
∂z+ ζ1
∂2φ2(x, z = 0, t)
∂z2+ ζ2
∂2φ1(x, z = 0, t)
∂z2+
1
2ζ21
∂3φ1(x, z = 0, t)
∂z3+ . . .
(8.81)
8.12.4 Mudanca de Notacao
Utilizamos ate aqui a notacao classica de derivadas parciais, utilizamos um subescrito para
denotar ordem e explicitamos as variaveis independentes. Com esta notacao a vizualizacao
das equacoes torna-se confusa. Tentando melhorar esta vizualizacao vamos usar a seguinte
notacao.
• Ordem
utilizaremos um superescrito entre parenteses
φ(1), φ(2), ζ(1), ζ(2)
Texto Preliminar, SH Sphaier 207
• Derivadas
utilizaremos um subescrito
∂φ1(x, z, t)
∂x= φ(1)
x
∂φ2(x, z, t)
∂z= φ(2)
z
∂ζ1(x, z, t)
∂x= ζ(1)
x
etc.
8.12.5 Equacao de Laplace
Substituindo a expressao (8.71) na equacao de Laplace (8.62) podemos verificar que cada um
dos potenciais φi tem que satisfazer a equacao de Laplace, porem num domınio levemente
alterado:
∇2φ(1)(x, y, z, t) = 0 (8.82)
∇2φ(2)(x, y, z, t) = 0 (8.83)
No domınio −∞ < x <∞,−∞ < y <∞,−∞ < z ≤ 0.
8.12.6 Condicao de Contorno no Fundo
Substituindo a expressao (8.71) na condicao de contorno no fundo teremos:
∂φ
∂z=∂(φ(1) + φ(2) + . . .)
∂z= 0 (8.84)
e assim∂φ
∂z=∂φ(1)
∂z= 0 (8.85)
∂φ
∂z=∂φ(2)
∂z= 0 (8.86)
em z = −d.
8.12.7 Condicao de Contorno Cinematica na Superfıcie Livre
A equacao (8.65) representa a condicao de contorno cinematica a ser satisfeita na superfıcie
livre. Substituindo as expressoes (8.81), (8.80) e (8.72) em (8.65) obtemos a expressao da
condicao cinematica que deve valer em z = 0 contendo termos ate a segunda ordem:
ζ(1)t − φ(1)
z + ζ(2)t − φ(2)
z + φ(1)x ζ(1)
x − ζ(1)x φ(1)
zz +O(ε3) = 0 (8.87)
208 Texto Preliminar, SH Sphaier
a ser satisfeita em z = 0, onde os termos foram agrupados por ordem.
A separacao por ordem nao e tao automatica como na equacao de Laplace e na condicao no
fundo, e sera feita adiante.
8.12.8 Condicao de Contorno Dinamica na Superfıcie Livre
A equacao (8.66) representa a condicao de contorno dinamica a ser satisfeita na superfıcie
livre. Substituindo as expressoes (8.81), (8.81), (8.80) e (8.72) em (8.66) obtemos a condicao
a ser satisfeita em z = 0 com termos ate a segunda ordem:
φ(1)t + gζ(1) + φ
(2)t + gζ(2) + ζ(1)φ
(1)tz +
1
2[(φ(1)
x )2 + (φ(1)z )2] +O(ε3) = 0 (8.88)
onde os termos foram agrupados por ordem.
Neste caso tambem a separacao por ordem nao e tao automatica como na equacao de Laplace
e na condicao no fundo, e sera feita adiante.
8.12.9 Potencial de Ondas de Primeira Ordem
Se separarmos o problema de primeira ordem, teremos o problema de valor de contorno obtido
quando linearizamos o problema. Buscamos a funcao potencial de velocidades φ1 tal que em
todo o domınio fluido (com −∞ < z ≤ 0) temos que satisfazer a equacao de Laplace:
∇2φ(1)(x, z, t) = 0
Na superfıcie z = 0 devem ser satisfeitas a condicao cinematica e a condicao dinamica:
φ(1)z − ζ
(1)t = 0
ζ(1) = −1
gφ
(1)t
Combinando estas expressoes tem-se
φ(1)z +
1
gφ
(1)tt = 0 em z = 0 (8.89)
e no fundo, em z = −dφ(1)
z = 0
Em casos de profundidade infinita esta ultima condicao e modificada para
limz→−∞
φ(1)z = 0 (8.90)
Texto Preliminar, SH Sphaier 209
A solucao deste problema de valor de contorno e dada por:
φ1 = iζ01g
ω
cosh(k0(z + d))
cosh(k0d)exp[i(ωt− k0x)] (8.91)
com
k0c1 − ω = 0
onde c1 e a celereridade da onda; assim
c1 =ω
k0
=L1
T
A superfıcie livre e definida por:
ζ(1) = ζ(1)0 cos(ωt− k0x)
A relacao entre a frequencia (temporal) e o numero de onda (frequencia espacial) e dada pela
equacao da dispersao:
ω2 = gk0 tanh k0d
e a pressao em qualquer ponto do meio fluido e dada por:
p(1) = −ρ[φ
(1)t + gz
]deve ser observado que assumimos que o numero de onda, a celeridade e o comprimento da
onda sao tambem expandidos em ordens.
Para sermos mais precisos devemos dizer que a pressao hidrostatica e de ordem zero. Assim,
p(0) = −ρgz
p(1) = −ρφ(1)t
8.12.10 Potencial de Ondas de Segunda Ordem
O potencial de primeira ordem satisfaz a equacao de Laplace, assim o de segunda ordem
tambem ira satisfazer
∇2φ(2) = φ(2)xx + φ(2)
zz = 0 (8.92)
De forma similar no fundo temos:
φ(2)z = 0 (8.93)
Na superfıcie livre temos as condicoes cinematica e dinamica. Utilizando-se as condicoes de
contorno na superfıcie livre (8.87) e (8.88), eliminando os termos de primeira ordem e de
ordens superiores a segunda, essas condicoes sao escritas na forma:
ζ(2)t − φ(2)
z = −φ(1)x ζ(1)
x + ζ(1)x φ(1)
zz (8.94)
210 Texto Preliminar, SH Sphaier
φ(2)t + gζ(2) = −ζ(1)φ
(1)tz −
1
2[(φ(1)
x )2 + (φ(1)z )2] (8.95)
A pressao hidrodinamica de segunda ordem e dada por:
p(2) = −ρφ(2)t − ρ
2[(φ(1)
x )2 + (φ(1)z )2] (8.96)
Da condicao dinamica de segunda ordem temos que o perfil da onda de segunda ordem e dado
por:
ζ(2) =1
g−φ(2)
t − ζ(1)φ(1)tz −
1
2[(φ(1)
x )2 + (φ(1)z )2] (8.97)
Combinando as equacoes (8.94) e (8.95) chegamos a:
φ(2)tt + gφ(2)
z = −g(ζ(1)φ(1)zz − φ(1)
x ζ(1)x )− ζ
(1)t φ
(1)tz − ζ(1)φ
(1)tzt − φ(1)
x φ(1)xt − φ(1)
z φ(1)zt (8.98)
Substituindo o potencial de primeira ordem e o perfil da onda na expressao acima obtemos
φ(2)tt + gφ(2)
z = 3ζ(1)0 gω
k0ζ(1)0
sinh(2k0d)ei2(ωt−k0x) (8.99)
que sugere que a solucao seja da forma
φ(2) = a cosh[2k0(z + d)]ei2(ωt−k0x) (8.100)
Deve ser observado que a equacao (8.99) torna-se homogenea para o caso de aguas profundas.
Isto quer dizer que nao ha um potencial de segunda ordem.
φ(2)tt + gφ(2)
z = 0 (8.101)
Porem, mesmo assim, a superfıcie livre sofre uma deformacao de segunda ordem dada por:
ζ(2) =1
g−ζ(1)φ
(1)tz −
1
2[(φ(1)
x )2 + (φ(1)z )2] (8.102)