SUELLEN RIBEIRO PARDO Suellen Ribeiro Pardo.pdf · Figura 4.9 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 10 m2/h..... 69 Figura 4.10 – Evolução das

SUELLEN RIBEIRO PARDO

UMA MODELAGEM DO TRANSPORTE E REACÕES

DOS CICLOS DO CARBONO E DO NITROGÊNIO NO

LAGO IGAPÓ 1 - LONDRINA, PARANÁ

Londrina 2009





Dissertação de mestrado, apresentada a Universidade Estadual de Londrina, como parte dos requisitos necessários para a conclusão do curso de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional (PGMAC). Orientador: Prof. Dr. Paulo Laerte Natti, Co-Orientador: Prof. Dr. Neyva Maria Romeiro Lopes,

Londrina 2009





Dissertação de mestrado, apresentada a Universidade Estadual de Londrina, como parte dos requisitos necessários para a conclusão do curso de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional (PGMAC).

BANCA EXAMINADORA

Prof. Paulo Laerte Natti (Orientador) UEL – Londrina – PR

Prof. Luci Harue Fatori UEL – Londrina – PR

Prof. Rigoberto Gregorio Sanabria Castro UENF

Londrina, 6 de março de 2009.

Aos meus pais,

Antônia e Claúdio.

AGRADECIMENTOS

Á Deus por toda força concedida e por estar sempre ao meu lado.

Á minha mama Antônia, ao meu papito Claúdio e ao meu irmão Rafa. por

serem, além de meus pais e irmão, os meus melhores amigos, os meus maiores incentivadores

e aqueles que acreditam em mim sempre.

Aos familiares tia Celina, tio Manoel, Ado. , Paula e Júnior, e para aqueles

que enchem minha vida de carinho e esperança, meu afilhado José Luiz e minha priminha

Maria Clara, o meu muito obrigada, por todo apoio e atenção.

Ao Dr. José Roberto Nogueira, meu professor de graduação, por ter sido

grande exemplo para mim.

Ao meu orientador Paulo pela paciência tendendo ao infinito, por estar

sempre presente e pela sua dedicação nessa dissertação e á Neyva, minha co-orientadora, pela

atenção sem limites.

Ao professor Eliandro, que foi fundamental neste trabalho, por ter fornecido

a malha do lago Igapó e ajudado muito na construção do modelo hidrodinâmico.

Aos grandes amigos de infância e da FCT/UNESP, que mesmo distantes,

torceram muito por este trabalho.

Aos amigos que fiz em Londrina, que muitas vezes, foram minha família.

A todos do departamento de matemática da UEL e do PGMAC,

principalmente aos meus colegas de mestrado, pois, com eles dividi minhas inquietações,

minhas derrotas e minhas conquistas.

Ao Alex, Stela e Thiago pelo companheirismo durante as disciplinas, e á

Michelle, pelo companheirismo e convivência diária durante esses dois anos.

Ao meu querido João Roberto por estar ao meu lado.

PARDO, Suellen Ribeiro. Uma modelagem do transporte e reações dos ciclos do carbono e do nitrogênio no lago Igapó 1 – Londrina, Paraná. 2009. 94 f. Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada e Computacional) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2009.

RESUMO

A presente dissertação é uma contribuição para um melhor entendimento do efeito que uma descarga de poluentes pode causar no corpo d' água do lago Igapó 1, localizado na região central da cidade de Londrina, Paraná. Para simular a dinâmica da concentração dos poluentes em todo o corpo d' água do lago Igapó 1, propomos um modelo bidimensional, na horizontal. Para gerar a geometria do lago Igapó 1, utilizamos uma discretização estruturada, juntamente com os métodos de diferenças finitas e Gauss-Seidel. Assim, modelamos o escoamento hidrodinâmico, na geometria discretizada do lago Igapó 1, por meio das equações de Navier-Stokes e da pressão, fornecendo o campo vetorial bidimensional de velocidades da água no lago. Estas equações foram resolvidas numericamente, também por meio do método de diferenças finitas, associado ao procedimento de Runge-Kutta de quarta ordem no caso das equações de Navier-Stokes, e ao procedimento de Gauss-Seidel no caso da equação da pressão. O escoamento das espécies reativas, sobre este uso hidrodinâmico, é descrito por um modelo de transporte e reações. Neste ultimo, o transporte das espécies reativas e realizado pela composição dos campos vetoriais de velocidades hidrodinâmica (advectiva) e difusiva, enquanto as reação, restritas ao ciclo carbono-nitrogênio, são descritas pelo modelo de Ambrose na forma linearizada. O modelo de transporte e reações foi resolvido numericamente pelo método de elementos finitos estabilizados, através de uma formulação semi discreta. Uma análise qualitativa das simulações numéricas realizadas, em função do coeficiente de difusão, proporcionou uma melhor compreensão da dinâmica dos processos envolvidos no escoamento de espécies reativas, tais como, a dinâmica do processo de nitrificação, da demanda bioquímica de oxigênio e do nível de oxigênio dissolvido no corpo d' água. Como resultado principal das simulações numéricas realizadas, vericamos que as maiores concentrações de nitrito e de nitrato ocorrem nos vórtices do lago, caracterizando-os como regiões muito poluídas. Palavras-chave: Poluentes. Igapó. Lago Paraná. Transporte. Modelagem matemática

PARDO, Suellen Ribeiro. A modeling of transport and reactions of carbon and nitrogen in the lake Igapó 1 – Londrina, Paraná. 2009. 94 f. Dissertation (Master in Applied and Computational Mathematics) - Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2009.

ABSTRATC

This dissertation is a contribution to a better understanding of the e effect that a discharge of pollutants can cause in the water body of the Igapó 1 lake, located in the central region of the city of Londrina, Paraná. To simulate the dynamics of pollutants concentrations in all water body of the Igapó 1 lake, we propose a horizontal, two-dimensional model. To generate the geometry of the Igapó 1 lake, we use a structured discretization, together with methods of finite differences and Gauss-Seidel. Thus, we model the hydrodynamic flow, in the discretized geometry of the Igapó 1 lake, by the Navier-Stokes and pressure equations, providing the two-dimensional vector field of water velocities in the lake. These equations were solved numerically, also using the finite differences method, linked to the procedure of Runge-Kutta, from fourth order, in the case of the Navier-Stokes equations, and to the procedure of Gauss-Seidel in the case of the pressure equation. The flow of reactive species, on the hydrodynamic flow, it is described by a transport-reactions model. In the latter, the transport of reactive species is performed by the composition of the hydrodynamic and diffusive velocities vector fields, while the reactions, restricted to the carbon-nitrogen cycle, are described in the Ambrose model in the linearized form. The transport-reactions model was solved numerically using the stabilized finite element method, through a semi discrete formulation. A qualitative analysis of numerical simulations carried out, depending on the coeffient of diffusion, provided a better understanding of the dynamics of the processes involved in the flow of reactive species, such as the dynamics of the nitrification process, of the biochemical oxygen demand and of the level of oxygen dissolved in the water body. As a main result of numerical simulations carried out, we show that the higher concentrations of nitrite and nitrate found in the lake vortices, characterizing them as highly polluted regions. Key-words: Pollutants. Igapó. Lake Paraná. Transportation. Mathematical modeling

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Alguns parâmetros indicadores de qualidade de água segundo a

CETESB ........................................................................................................ 23

Tabela 3.2 – Saturação do oxigênio dissolvido (OD) em mg=L........................................ 25

Tabela 3.3 – Valores das constantes do modelo descrito por AMBROSE, et al.

(2001) a temperatura fixa de 20ºC (AMBROSE, et al. (2001)...................... 50

Tabela 4.1 – Valores dos parâmetros do modelo de transporte e reação á

temperatura de20ºC ....................................................................................... 57

Tabela 4.2 – Valores mínimos e máximos das concentrações das espécies reativas,

em mg=L, considerando todos os pontos da malha da geometria do

lago Igapó 1, para D = 10 m2=h .................................................................... 58

Tabela 4.3 – Valores mínimos e máximos das concentrações das espécies reativas,

em mg=L, considerando todos os pontos da malha da geometria do

lago Igapó 1, em função da difusão D, para t = 300 horas ............................ 60

Tabela A.1 – Peso atribuído a cada parâmetro do IQA....................................................... 80

Tabela A.2 – Categorias para a qualidade da água segundo a CETESB............................. 83

Tabela A.3 – Concentração de oxigênio dissolvido encontrada nas amostras do lago

Igapó ............................................................................................................. 83

Tabela A.4 – Concentração de coliforme fecal encontrada nas amostras do lago

Igapó ............................................................................................................. 84

Tabela A.5 – O potencial hidrogeniônico das amostras do lago Igapó .............................. 84

Tabela A.6 – A demanda bioquímica de oxigênio encontrada nas amostras do lago

Igapó ............................................................................................................. 84

Tabela A.7 – Concentração de nitrogênio Kjeldahl total encontrada nas amostras do

lago Igapó ..................................................................................................... 85

Tabela A.8 – Concentração de fósforo total encontrada nas amostras do lago Igapó ........ 85

Tabela A.9 – A turbidez encontrada nas amostras do lago Igapó ...................................... 85

Tabela A.10 – Concentração de sólido total encontrada nas amostras do lago Igapó ....... 85

Tabela A.11 – Temperatura da água encontrada nas amostras do lago Igapó ................... 86

Tabela A.12 – Relatório de IQA no CAM 10 (passagem do lago Igapó sob a Av.

Higienópolis) .............................................................................................. 86

Tabela A.13 – Relatório de IQA no CAM 11 (barragem do lago Igapó 1)......................... 86

Tabela B.1 – Nó 540 ........................................................................................................... 87

Tabela B.2 – Nó 1080 ......................................................................................................... 87

Tabela B.3 – Nó 1620 ......................................................................................................... 88

Tabela B.4 – Nó 2160 ......................................................................................................... 88

Tabela B.5 – Nó 2700 ......................................................................................................... 88

Tabela B.6 – Nó 3240 ......................................................................................................... 88

Tabela B.7 – Nó 3780 ......................................................................................................... 89

Tabela B.8 – Nó 4320 ......................................................................................................... 89

Tabela B.9 – Nó 4860 ......................................................................................................... 89

Tabela B.10 – Nó 5400 ....................................................................................................... 89

Tabela B.11 – Nó 5940 ....................................................................................................... 90

Tabela B.12 – Nó 6480 ....................................................................................................... 90

Tabela B.13 – Nó 7020 ....................................................................................................... 90

Tabela B.14 – Nó 7560 ....................................................................................................... 90

Tabela B.15 – Nó 8100 ....................................................................................................... 91

Tabela B.16 – Nó 8640 ....................................................................................................... 91

Tabela B.17 – Nó 9180 ....................................................................................................... 91

Tabela B.18 – Nó 9720 ....................................................................................................... 91

Tabela B.19 – Nó 10260 ..................................................................................................... 92

Tabela B.20 – Nó 10800 ..................................................................................................... 92

Tabela B.21 – Nó 11340 ..................................................................................................... 92

Tabela B.22 – Nó 11880 ..................................................................................................... 92

LISTA DE FIGURA

Figura 2.1 – Escoamento de um fluido entre placas paralelas ........................................... 18

Figura 2.2 – Classificação do fluido como função da tensão de cisalhamento e da

taxa de deformação.......................................................................................... 18

Figura 3.1 – Os lagos Igapó 1, 2, 3 e 4 (Google Earth) ..................................................... 33

Figura 3.2 – Domínio físico do lago Igapó 1 (Google Earth) ............................................ 33

Figura 3.3 – Modelagem da geometria discreta do lago Igapó ....................................... 38

Figura 3.4 – Fluxo de massa através de um volume de controle ....................................... 39

Figura 3.5 – Descrição da conservação de massa de uma espécies reativa na

direção x ...................................................................................................... 47

Figura 3.6 – Esquemas de reações e ciclos do carbono (C) e nitrogênio (N),

vermelho e azul, respectivamente, descritos pelo modelo deWoll et

al. (2001) linearizado................................................................................... 49

Figura 4.1 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 0; 001 m2=h. ...................... 61

Figura 4.2 – Continuação da figura 4................................................................................. 62

Figura 4.3 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 0; 01 m2/h. ......................... 63

Figura 4.4 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 0; 01 m2/h. ......................... 64

Figura 4.5 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 0; 1 m2/h. ........................... 65

Figura 4.6 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 0; 1 m2/h. ........................... 66

Figura 4.7 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 1 m2/h. ............................... 67

Figura 4.8 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 1 m2/h. ............................... 68

Figura 4.9 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 10 m2/h. ............................. 69

Figura 4.10 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 10 m2/h. ......................... 70

Figura 4.11 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 100 m2/h. ....................... 71

Figura 4.12 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 100 m2/h. ....................... 72

Figura 4.13 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 1000 m2/h. ..................... 73

Figura 4.14 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 1000 m2=h. ................... 74

Figura 4.15 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 10000 m2/h. ................... 75

Figura 4.16 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 10000 m2/h. ................... 76

Figura A.1 – Curva média de variação do coliforme fecal. ................................................ 80

Figura A.2 – Curva média de variação do pH. ................................................................... 80

Figura A.3 – Curva média de variação da DBO ................................................................. 81

Figura A.4 – Curva média de variação do nitrogênio......................................................... 81

Figura A.5 – Curva média de variação do fósforo.............................................................. 81

Figura A.6 – Curva média de variação da temperatura. ..................................................... 81

Figura A.7 – Curva média de variação da turbidez. ........................................................... 82

Figura A.8 – Curva média de variação dos sólidos totais................................................... 82

Figura A.9 – Curva média de variação do OD ................................................................... 82

SUMÁRIO

1 Introdução ................................................................................................................... 12

2 Conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos .................................................... 16

2.1 Propriedades e classificação dos fluidos ...................................................................... 16

2.2 Fluidos em movimento ................................................................................................. 19

2.2.1 Descrição do movimento dos fluidos ....................................................................... 20

2.2.2 Classificação dos escoamentos ................................................................................. 20

3 Modelo de qualidade de água .................................................................................... 22

3.1 Parâmetros indicadores de qualidade de água .............................................................. 22

3.1.1 Parâmetros físicos...................................................................................................... 23

3.1.2 Parâmetros químicos ................................................................................................. 24

3.1.3 Parâmetros biológicos ............................................................................................... 30

3.2 Classificação da qualidade de água .............................................................................. 30

3.2.1 Classe especial .......................................................................................................... 30

3.2.2 Classe......................................................................................................................... 30

3.2.3 Classe II .................................................................................................................... 31

3.2.4 Classe III ................................................................................................................... 31

3.2.5 Classe IV .................................................................................................................. 32

3.3 Modelo hidrodinâmico ................................................................................................. 32

3.3.1 Modelagem da geometria do lago Igapó 1 ............................................................... 32

3.3.2 Equação de Navier-Stokes ........................................................................................ 38

3.4 Modelo de transporte e reações .................................................................................... 46

3.4.1 Equações do transporte advectivo-difusivo-reativo ................................................. 46

3.4.2 Equações do modelo de reações ................................................................................ 48

3.4.3 Solução numérica do modelo de transporte e reações .............................................. 50

4 Análise dos resultados numéricos ............................................................................. 54

5 Conclusões ................................................................................................................... 77

Apêndice A Medições do índice de qualidade de água do lago Igapó 1 ..................... 79

Apêndice B Estudo local das concentrações das espécies reativas ............................. 87

Referência........................................................................................................................... 93

Capıtulo 1

Introducao

A agua e componente vital no sistema de sustentacao da vida na Terra. A crescenteexpansao demografica e industrial, observada nas ultimas decadas, trouxe como con-sequencia a poluicao hıdrica, que pode ser causada, entre outras formas, pelo despejode esgotos industriais e domesticos. Com o comprometimento das aguas dos rios, lagos ereservatorios, cada vez mais se exige sofisticacao no tratamento desse recurso. Um questio-namento importante e ate que momento os metodos de tratamento de agua serao viaveisdos pontos de vista tecnico e economico. Por isso, a necessidade de sua preservacao deveser sentimento comum da sociedade.

A poluicao hıdrica pode ser definida como a introducao num corpo d’agua de qual-quer materia ou energia que venha a alterar as propriedades fısico-quımicas dessa agua,afetando, consequentemente, a saude das especies de animais ou vegetais que dependemdela ou com ela tenham contato. Alguns tipos de fontes poluidoras sao os agrotoxicos,os esgotos domesticos (falta de saneamento basico), os resıduos industriais e os metaispesados como o mercurio, chumbo, alumınio, zinco, etc.

Observa-se, principalmente nas proximidades de grandes cidades e metropoles, quea capacidade de autodepuracao dos corpos d’agua nao e suficiente para reverter o quadrode poluicao devido aos inumeros despejos. Uma forma de compreender essa problematicae buscar uma solucao e analisar a relacao entre as fontes poluidoras e os mecanismos dedegradacao dessas. Para isso utilizam-se os modelos de qualidade de agua.

O modelo matematico de qualidade de agua, atraves de simulacoes, proporcionaprevisoes para a compreensao do comportamento dos processos de degradacao envolvidos,obviamente dentro de uma faixa de incertezas. A base desse modelo esta nas equacoes deconservacao de massa e de quantidade de movimento e nas equacoes dos processos reativosenvolvidos. Atraves destas equacoes e possıvel descrever a dinamica do escoamento de umcorpo d’agua, retratar fenomenos como os ciclos do nitrogenio (N), fosforo (P) e carbono(C) e por fim analisar o impacto de uma descarga de efluentes por meio de simulacaonumerica (ROMEIRO, 2003).

O transporte de uma substancia num corpo d’agua, ao longo do tempo e do espaco,esta sujeito a processos fısicos, quımicos e biologicos e ocorre devido aos fenomenos deadveccao, difusao e dispersao no corpo d’agua. A adveccao de um fluido e o movimentodeste, resultante do escoamento hidrodinamico do fluido. A difusao de uma substancia

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num fluido e o movimento das regioes de alta concentracao para as regioes de baixaconcentracoes. A dispersao de uma substancia num fluido e o movimento turbulentodesta, gerado por diferencas nas velocidades em caminhos de fluxos paralelos. Quandoexistem partıculas que escoam com velocidade diferente da media, existe acao dispersivano escoamento e na concentracao da substancia (TUCCI, 1998). Alem destes fenomenosde transporte, as substancias no corpo d’agua estao sujeitas as reacoes, as quais ocorreminternamente ao corpo d’agua e sao denominadas cineticas, sendo descrito por um modelode reacoes, que juntamente com o modelo de transporte, descrevem as variacoes dasconcentracoes das substancias, chamadas especies reativas, no corpo d’agua.

A escolha de um modelo matematico depende das caracterısticas do sistema a sersimulado, do nıvel de precisao desejado e dos dados disponıveis para representar os pro-cessos. A complexidade de um modelo de qualidade de agua esta relacionada com onumero de equacoes e com o numero de termos de reacoes cineticas acopladas no modelode transporte. Para modelos simples e possıvel encontrar solucoes analıticas, ja para mo-delos complexos utilizam-se metodos numericos para o calculo de solucoes aproximadas.Os modelos podem ser classificados de acordo com suas dimensoes espaciais. Os modelosunidimensionais simulam processos considerando apenas uma dimensao sendo utilizados,por exemplo, para estudar o fluxo em um rio. Os modelos bidimensionais se dividem emdois casos, os horizontais e os verticais. O modelo 2DH (bidimensional horizontal) consi-dera as direcoes longitudinal e transversal, desprezando a direcao vertical. Tais modelossao utilizados em estuarios de poucos estratos, ja que nestes casos ha uma homogeneidadevertical do corpo d’agua. O modelo 2DV (bidimensional vertical) despreza as variacoes dosprocessos na direcao transversal ao fluxo, considerando relevante as variacoes nas direcoeslongitudinal e vertical. Aplica-se esse tipo de modelo a corpos com grande variacao dedensidade na coluna d’agua. Finalmente, os tridimensionais, representam variacoes nastres dimensoes e podem ser aplicados em qualquer situacao (TUCCI, 1998).

Segundo Chapra (1997), o historico da modelagem de qualidade de agua pode serapresentado em quatro fases. Comecou a evoluir no seculo XX e teve como marco ini-cial o modelo proposto por Streeter e Phelps em 1925. Este modelo descreve o processodo consumo de oxigenio e a capacidade de reaeracao do corpo d’agua por meio de duasequacoes ordinarias de primeira ordem, considerando o escoamento permanente e uni-forme. Devido a falta de ferramentas computacionais, os modelos das decadas de 20 a 60eram unidimensionais e limitavam-se ao tratamento primario de efluentes em corregos ouestuarios, com cinetica linear e geometrias simples, apresentavam solucoes analıticas.

Na decada de 60, o grande avanco tecnologico permitiu abordagens numericas comgeometrias mais complexas. O enfoque passou a ser o tratamento primario e secundariodos efluentes e o transporte de poluentes em corregos e estuarios, modelados bidimen-sionalmente. Destaca-se a proposta de O’Connor e Dobbins, em 1967, que por meio deequacoes diferenciais de segunda ordem, adicionava o tratamento da demanda bentonicae da fotossıntese ao modelo de Streeter e Phelps.

Na decada de 70, em vez de se concentrar sobre os efeitos locais de uma fonte depoluicao, o corpo d’agua passou a ser observado como um todo e o processo de eutro-fizacao, proliferacao excessiva de algas provocada por nutrientes excedentes, era o foco dosmodelos, ou seja, representacoes dos processos biologicos comecaram a ser estudadas em

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corregos, lagos e estuarios. A cinetica nao-linear e modelos tridimensionais comecaram aser estudados por meio de simulacoes numericas. Nesta decada, a populacao comecou ase preocupar com o meio ambiente e movimentos ecologicos nasceram em alguns setoresda sociedade. Em 1971, a Texas Water Development Board (TWDB) criou o modelounidimensional, conhecido por QUAL-I, que permitiu a descricao do transporte advectivoe dispersivo de poluentes em corpos dágua. No ano seguinte, o QUAL-I foi melhoradopela United State Environmental Protection Agency (USEPA) e denominado QUAL-II,com aplicacao em rios de maior profundidade, simulando ate 13 especies de parametrosindicadores de qualidade de agua. No final da decada de 70, o foco da pesquisa passoua ser o destino de substancias toxicas e sua atuacao na cadeia alimentar. A preocupacaocom os danos ambientais se intensificou e muitos paıses em desenvolvimento comecaram areconhecer a necessidade de estrategias para controlar a poluicao, mantendo o crescimentoeconomico.

No inıcio da decada de 80 foi organizado pela International Association on WaterQuality (IAWQ) um grupo de cientistas e tecnicos, denominado Task Group on RiverWater Quality, que padronizou os modelos e os manuais, revisando os modelos ja existen-tes e tracando metas para o futuro. A USEPA, em 1985, desenvolveu o Water AnalysisSimulation Program (WASP), que simula processos unidimensionais, bidimensionais e tri-dimensionais de poluentes convencionais e toxicos. Este modelo foi modificado inumerasvezes e sua versao atual e o WASP7 (AMBROSE; WOOL; MARTIN, 2006). Paralela-mente, em 1987, devido a varias modificacoes no QUAL-II, este modelo unidimensional foirenomeado QUAL2E, simulando ate 15 especies, admitindo fontes pontuais e nao-pontuaise fluidos tanto de regime permanente como nao-permanente (BROWN et al., 1987). Ou-tros inumeros modelos de qualidade de agua sao encontrados na literatura, tais como oASM1, ASM2 e o ASM3, desenvolvidos pelo IAWQ (HENZE et al., 2000); o RWQM1,tambem desenvolvido pelo IAWQ (SHANAHAN et al., 2001), o HSPF, desenvolvido pelaUSEPA, (BICKNELL et al., 2001), entre outros.

Neste contexto, este trabalho e uma contribuicao para um melhor entendimento doefeito que uma descarga de poluentes pode causar em um corpo d’agua, em particular, nolago Igapo 1, Londrina, Parana. Para simular esta descarga de poluentes no corpo d’aguado lago Igapo 1, supomos um modelo 2DH, onde o escoamento da agua, na geometria dis-cretizada do lago, e descrito pelas equacoes de Navier-Stokes e da continuidade, e que otransporte das especies reativas, e dado pela velocidade do escoamento (advectiva) e peladifusao. As reacoes do ciclo carbono-nitrogenio, que surgem durante o transporte, saodescritas pelo modelo apresentado por Ambrose, et al. (2001), em sua versao linearizada,modeladas acopladamente ao transporte. Assim, esta dissertacao encontra-se organizadada seguinte forma. No Capıtulo 2, conceitos fundamentais sao discutidos como proprieda-des dos fluidos, sua classificacao e seus tipos de escoamentos. No Capıtulo 3 descrevemoso modelo de qualidade de agua de nosso estudo, composto pelos modelos hidrodinamicoe de transporte e reacoes, bem como os parametros que indicam o ındice de qualidade deagua, classificada por padroes definidos em legislacao. Ainda neste capıtulo, descrevemoso metodo de discretizacao estruturada, utilizado na geracao da malha computacional dolago Igapo 1, o metodo de diferencas finitas, utilizado na discretizacao do modelo hi-drodinamico, e o metodo de elementos finitos, utilizado na discretizacao do modelo de

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transporte e reacoes. No Capıtulo 4 apresentamos as simulacoes numericas do modelo2DH de transporte advectivo-difusivo-reativo dos ciclos do carbono e nitrogenio no lagoIgapo 1 e fazemos uma analise qualitativa da poluicao no lago. Finalmente, no Capıtulo5, apresentamos nossas conclusoes sobre as simulacoes realizadas e as perspectivas parafuturos estudos.

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Capıtulo 2

Conceitos fundamentais de mecanicados fluidos

Neste capıtulo apresentamos alguns conceitos fundamentais de mecanica dos fluidos ne-cessarios a descricao do transporte de poluentes em meios aquaticos.

2.1 Propriedades e classificacao dos fluidos

Discutiremos alguns conceitos de mecanica necessarios das modelagens presentes nestadissertacao, tais como tensao normal e de cisalhamento, viscosidade e compressibilidade(FOX; MCDONALD, 1998, POTTER; SCOTT, 2007).

Consideremos um fluido submetido a uma forca ∆~F que age em uma determinadaarea. Essa forca pode ser decomposta em uma componente normal, ∆ ~Fn, e em umacomponente tangencial, ∆~Ft. Chamamos de tensao a forca dividida pela area na qual elaage, ou seja, se tomarmos as componentes da forca, temos a tensao normal e a tensaotangencial ou de cisalhamento. Consideramos tambem que os fluidos, lıquidos e gases,movem-se sob acao de uma tensao tangencial. A esse movimento da-se o nome de escoa-mento. Matematicamente, as tensoes normal e de cisalhamento, respectivamente, podemser descritas por

σ = lim∆A→0

∆Fn

∆A(2.1)

e

τ = lim∆A→0

∆Ft

∆A. (2.2)

Como a forca e uma quantidade vetorial, podemos considerar as tensoes atuando emplanos cujas normais, orientadas para fora, estao nas direcoes dos eixos x1, x2 e x3.Definimos as tres componentes da tensao utilizando ındice duplo, onde o primeiro ındiceindica o plano no qual a tensao atua e o segundo indica a direcao na qual a forca atua.Matematicamente, na direcao x1, temos

σ11 = lim∆Ax1

→0

∆Fx1

∆Ax1

, τ12 = lim∆Ax1

→0

∆Fx2

∆Ax1

e τ13 = lim∆Ax1

→0

∆Fx3

∆Ax1

. (2.3)

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Analogamente, tomando o eixo x2, definimos as componentes τ21, σ22 e τ23 e, por fim,tomando o eixo x3, temos τ31, τ32 e σ33. Para simplificar a notacao denotaremos τij porσij para i 6= j, portanto, a tensao num ponto e especificada por nove componentes,

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

.

Quanto a viscosidade, ela representa a tensao tangencial interna entre as camadasadjacentes de um fluido, ou seja, e uma resistencia ao cisalhamento. Essa propriedade eimportante no estudo do escoamento, pois, quando as camadas adjacentes de um fluidoestao se movendo relativamente, o movimento e amortecido pela viscosidade (forcas deatrito), o que reduz as velocidades relativas. Newton (1642-1727), postulou que, no mo-vimento retilıneo de um fluido, entre planos paralelos, a tensao entre duas camadas dofluido e proporcional a diferenca de velocidades na direcao perpendicular a essas camadas.Assim, a lei de Newton da viscosidade e dada, para o escoamento unidimensional, por

σ21 = µ∂u1

∂x2

, (2.4)

onde a constante de proporcionalidade µ e a viscosidade do fluido, u1 e a velocidade dofluido na direcao x1 e a derivada da velocidade pode ser entendida como uma taxa dedeformacao.

A figura 2.1 mostra o atrito sob as camadas de um lıquido homogeneo compreendidoentre duas placas paralelas, uma estacionaria e a outra movel. Na figura 2.1, a molecula dofluido em contato com a placa estacionaria, tem a mesma velocidade da placa, ou seja, naose desloca, no entanto, a molecula em contato com a placa movel tem a mesma velocidadedesta. Isso significa que o gradiente de velocidade, para qualquer molecula entre as placas,depende da distancia das moleculas as placas consideradas, no caso apresentado na figura2.1 esta dependencia e linear. Os fluidos podem ser classificados, de modo geral, de acordocom a relacao entre tensao de cisalhamento e a taxa de deformacao. Os fluidos nos quais atensao de cisalhamento e diretamente proporcional a taxa de deformacao, como na figura2.1, sao chamados newtonianos, caso contrario, nao-newtonianos. Fluidos como a agua,ar e gasolina, por exemplo, sao newtonianos.

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Figura 2.1: Escoamento de um fluido entre placas paralelas.

Dentre os fluidos nao-newtonianos podemos citar os dilatantes que tornam-se maisresistentes ao movimento a medida que a taxa de deformacao aumenta, por exemplo, aareia movedica e a lama. E os pseudoplasticos, que tornam-se menos resistentes ao movi-mento com o aumento da taxa de deformacao. Os plasticos ideais (fluidos de Bingham)requerem tensao tangencial mınima para provocar movimento. O comportamento dosfluidos nao-newtonianos podem ser vizualizados na figura 2.2.

Figura 2.2: Classificacao do fluido como funcao da tensao de cisalhamento e da taxa dedeformacao.

Discutiremos agora o conceito de compressibilidade em fluidos. Vimos anteriormenteque um fluido e deformado angularmente devido a tensao tangencial. Por outro lado,um fluido tambem pode ser deformado volumetricamente. Essa deformacao volumetricaresulta das variacoes de pressao. Seja uma porcao de fluido num recipiente, de volume V ,submetida a uma pressao p, a uma temperatura constante. Aplicando sobre este fluidouma pressao adicional ∆p, ocorrera uma variacao de volume ∆V , de sinal contrario ao de

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∆p, ou seja, para um acrescimo de pressao ocorrera um decrescimo de volume e vice-versa.A essa relacao da-se o nome de modulo de elasticidade volumetrica ε, que e uma maneirade descrever a compressibilidade de um fluido. Matematicamente, temos (BASTOS, 1983)

ε = − dpdVV

, (2.5)

onde dV/V e a variacao relativa do volume. O coeficiente de compressibilidade e o inversodo modulo de elasticidade volumetrica, ou seja,

c =1

ε= −

dVV

dp. (2.6)

Todo fluido que for elevado a alta pressao, tende a se comprimir, aumentando sua densi-dade, porem, em alguns fluidos e necessario uma pressao alta para provocar uma mudancavolumetrica pequena. Esses fluidos sao ditos incompressıveis. A agua, por exemplo, e in-compressıvel, pois, seu modulo de elasticidade volumetrica e de 2, 07x104 Kgf/cm2, logo,seu coeficiente de compressibilidade e de aproximadamente 5x10−5 cm2/Kgf (BASTOS,1983).

2.2 Fluidos em movimento

A base do estudo de mecanica dos fluidos e formada por tres leis de conservacao. Aprimeira e a lei de conservacao de massa, ou seja, a materia nao pode ser criada, nemdestruıda. A segunda e a lei de conservacao de quantidade de momento, linear e angular.A lei de conservacao de quantidade de momento linear diz que esta quantidade permanececonstante se nenhuma forca externa esta agindo sobre o sistema. Note que essa lei e asegunda lei de Newton, isto e, a soma de todas as forcas externas agindo em um sistemae igual a taxa de variacao da quantidade de momento linear do sistema em relacao a umintervalo de tempo. A lei de conservacao de quantidade de momento angular e analoga,envolvendo os conceitos de torque e momento angular. A terceira lei e a lei de conservacaode energia, tambem conhecida como a primeira lei da termodinamica, que postula quea energia total de um sistema isolado permanece constante. Caso o sistema esteja emcontato com uma vizinhanca, ocorre transferencia de energia, de modo que, a energia deum deles aumenta na mesma quantidade que o outro perde.

As tres leis acima descrevem as equacoes do movimento de um fluido que, em geral,sao difıceis de serem resolvidas. Uma estrategia utilizada e, dependendo das propriedadesdo fluido, fazer algumas hipoteses que simplifiquem essas equacoes. Por exemplo, emalguns casos, a viscosidade do fluido nao afeta consideravelmente o escoamento, ou seja,pode ser desprezada, simplificando as equacoes e nao alterando significativamente os re-sultados. Para que essas hipoteses sejam feitas de maneira a nao alterar significativamenteos resultados, devemos conhecer as caracterısticas do fluido. Na proxima secao faremosum breve estudo sobre os diferentes tipos de escoamentos dos fluidos.

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2.2.1 Descricao do movimento dos fluidos

A descricao do movimento de um fluido considera as partıculas em movimento. Essemovimento das partıculas e uma funcao das coordenadas de espaco e de tempo. No estudoem que a atencao e focada para as partıculas individuais, o movimento e observado comouma funcao do tempo. Contudo, o numero de partıculas no escoamento de um fluido emuito alto, o que praticamente inviabiliza este tipo de descricao.

Mais conveniente seria um outro enfoque, baseado na observacao do escoamento deum conjunto de partıculas passando por um local especıfico, ou seja, fazer com que aspropriedades de escoamento sejam funcoes do espaco e do tempo.

A primeira abordagem e a descricao lagrangeana, onde, a posicao, a velocidade, e aaceleracao de cada partıcula sao apresentadas como r(X, t), u(X, t) e a(X, t), sendo X umponto fixo onde a partıcula inicia o movimento. Outra abordagem, a mais conveniente, ea descricao euleriana, onde seleciona-se pontos no espaco e observa-se as velocidades daspartıculas passando por esses pontos, determinando a taxa de mudanca da velocidade, ouseja,

∂u

∂x1

,∂u

∂x2

e∂u

∂x3

. (2.7)

A regiao onde se encontra os pontos selecionados e chamada de campo de escoamento. Afuncao velocidade em cada ponto do campo de escoamento e expressa como u(x1, x2, x3, t)(ROSMAN, 1997).

2.2.2 Classificacao dos escoamentos

Quanto as dimensoes espaciais, o escoamento pode ser unidimensional, bidimensionalou tridimensional. No caso geral, quando o vetor velocidade depende de tres coordena-das espaciais, o escoamento tridimensional nao apresenta solucoes analıticas, requerendosimulacoes numericas com grande quantidade de processamento e alto desempenho com-putacional. No entanto, um escoamento tridimensional, pode ser aproximado por umescoamento bidimensional. Isso pode ser implementado desde que essa simplificacao sejacoerente com as caracterısticas do fluido e do escoamento. Por exemplo, em corpos d’aguaonde a largura e muito maior do que a profundidade, pode-se considerar apenas as va-riacoes nas direcoes longitudinal e transversal. Enfim, um escoamento unidimensionale um escoamento no qual o vetor velocidade depende apenas de uma coordenada espa-cial. Estes ocorrem em dutos longos e retos, ou ate mesmo em rios, devido a velocidadedo fluxo ser predominante na direcao longitudinal. Quanto a variacao no tempo, o es-coamento pode ser permanente ou nao-permanente (transitorio). O escoamento e ditopermanente quando qualquer propriedade pode variar de ponto a ponto no campo de es-coamento mas permanecem constantes com o tempo, em cada ponto, ou seja, o gradienteda velocidade e da densidade sao nulos. Sao ainda subdivididos em uniformes, no qualo vetor velocidade, em modulo, direcao e sentido, e identico em todos os pontos, em uminstante qualquer, e nao-uniforme, se o vetor velocidade variar de ponto a ponto, numinstante qualquer. O escoamento nao-permanente considera a variacao no tempo e noespaco das variaveis que o retratam.

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Uma outra classificacao dos fluidos envolve a viscosidade. Embora nao exista fluidoscom viscosidade nula, ha muitos problemas nos quais as forcas viscosas podem ser despre-zadas, simplificando o estudo e levando a resultados significativos. Assim, um escoamentopode ser dito viscoso ou nao-viscoso (invıscidos). Nos lıquidos, em particular na agua, aviscosidade decresce com o aumento de temperatura, isso significa que se a temperaturafor aproximadamente constante, a viscosidade tambem sera. Um escoamento viscoso podeser laminar ou turbulento. No regime laminar, o movimento das partıculas e ordenado emlaminas ou camadas e o fluido escoa sem mistura significativa das partıculas. No regimeturbulento ha irregularidade no escoamento, os movimentos sao aleatorios e as partıculasse misturam. Para determinar se um escoamento e laminar ou turbulento existem tresparametros a serem combinados. O primeiro e referente a escala de comprimento, o se-gundo a velocidade e o terceiro a viscosidade. Estes tres parametros definem o numerode Reynolds, Re (POTTER; SCOTT, 2007). O numero de Reynolds e um parametroadimensional dado por

Re =V L

ν, (2.8)

onde L e V sao comprimento e velocidade caracterısticas do fluido e ν = µ/ρ e viscosidadecinematica. Em geral, escoamentos com alto numero de Reynolds sao turbulentos, casocontrario sao laminares. O numero de Reynolds, a patir do qual o escoamento passaa ser turbulento e chamado de Reynolds crıtico, Recrıt. Assim, se Re < Recrıt entao oescoamento e laminar, caso Re > Recrıt, o escoamento e turbulento. Se o Re ≈ Recrıt, oescoamento pode ser laminar e turbulento, o que e denominado escoamento intermitente.

A ultima classificacao a ser considerada e quanto ao escoamento ser incompressıvelou compressıvel. Nos escoamentos incompressıveis as variacoes na massa especıfica saodesprezıveis, ou seja, a densidade dos componentes do fluido permanece relativamenteconstante durante o escoamento, assim,

∂ρ

∂t= 0 . (2.9)

Mas, isso nao significa exigir que a massa especıfica seja a mesma em qualquer pontodo fluido, por exemplo, em escoamentos que envolvem camadas adjacentes de agua docee salgada, sao exemplos de escoamentos incompressıveis, nos quais a massa especıficavaria. Quando as variacoes de massa especıfica nao sao desprezıveis, o escoamento e ditocompressıvel.

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Capıtulo 3

Modelo de qualidade de agua

A base dos modelos de qualidade de agua e o modelo hidrodinamico, o modelo de trans-porte advectivo-difusivo e as equacoes dos processos das reacoes. Por meio destas equacoese possıvel representar a dinamica do escoamento do corpo d’agua e estudar o comporta-mento das especies reativas (poluentes ou substancias) durante o transporte. Em geral,as concentracoes das especies dos poluentes dependem do campo de velocidades do fluido,obtido a partir do modelo hidrodinamico. As equacoes dos processos das reacoes retra-tam fenomenos como o ciclos do nitrogenio (N), carbono (C) e fosforo (P), considerandoos termos de fontes e decaimentos que ocorrem internamente e externamente ao corpod’agua.

Neste capıtulo, estudaremos o transporte e as reacoes internas no corpo d’agua dolago Igapo 1, em Londrina, Parana, considerando os ciclos do carbono (C) e nitrogenio (N).Para uma melhor compreensao das reacoes, inicialmente descrevemos as caracterısticasdas especies reativas bem como suas interacoes. Em seguida, apresentamos o modelo dequalidade de agua e os procedimentos numericos utilizados na discretizacao deste.

3.1 Parametros indicadores de qualidade de agua

Para realizar o controle da poluicao em corpos d’agua, utilizam-se os parametros de qua-lidade de agua, que definem os limites fısicos, quımicos e biologicos que cada substan-cia ou organismo, presente na agua, deve obedecer. Dentre os inumeros parametros,a Companhia de Tecnologia de Saneamento Ambiental (CETESB), selecionou 35 deles,apresentados na tabela 3.1, que tem maior representatividade nos monitoramentos.

Dos parametros apresentados na tabela 3.1, nove deles compoem o ındice de qua-lidade de agua (IQA). O valor do IQA e o resultado de uma formula definida pela CE-TESB, que relaciona os seguintes parametros: o oxigenio dissolvido (OD), a demandabioquımica de oxigenio (DBO), os coliformes fecais, a temperatura da agua, o potencialhidrogenionico (pH), o nitrogenio Kjeldahl total, o fosforo total, os solidos totais e a tur-bidez. No Apendice A apresentamos medicoes do ındice de qualidade da agua do lagoIgapo 1, realizadas pelo Instituto Ambiental do Parana (IAP), pelo Conselho Municipaldo Meio Ambiente (CONSEMMA), pela Universidade Estadual de Londrina (UEL) e pelo

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Tabela 3.1: Alguns parametros indicadores de qualidade de agua segundo a CETESB.

Alumınio Demanda Bioquımica de Oxigenio (DBO 5,20) Oxigenio Dissolvido (OD)

Bario Ferro Total Ortofosfato Soluvel

Cadmio Fosforo Total pH

Chumbo Manganes Resıduo Nao Filtravel

Cloreto Mercurio Solido Total

Clorofila-a / Feofitina-a Microtox Surfactantes

Cobre Nıquel Temperatura da Agua

Coliformes Fecais Nitrogenio Amoniacal Temperatura do Ar

Coloracao da Agua Nitrogenio Kjeldahl Total Teste de Toxicidade Cronica

Condutividade Especıfica Nitrogenio Nitrato Turbidez

Cromo Total Nitrogenio Nitrito Zinco

Demanda Quımica de Oxigenio (DQO) Fenois

Clube de Engenharia e Arquitetura de Londrina (CEAL) nos anos de 2007 e 2008 (TISOLUTION, 2009).

Para uma melhor compreensao do modelo utilizado neste trabalho, a seguir discuti-remos os parametros que compoem o IQA e mais alguns dos 35 parametros selecionadospela CETESB.

3.1.1 Parametros fısicos

De uma maneira geral, as caracterısticas fısicas sao analisadas em funcao dos solidos que seencontram suspensos, dissolvidos ou em forma de coloides (substancia que em dissolucao,se difunde com extraordinaria lentidao atraves das membranas vegetais e animais) nocorpo d’agua. Os parametros fısicos da agua afetam os sentidos humanos e dentro destaclassificacao estao parametros como a turbidez, temperatura, coloracao e resıduo total.

Turbidez

Turbidez e a funcao que relaciona a quantidade de luz que penetra na agua como funcaoda profundidade. Quanto maior for a quantidade de material suspenso, maior sera a difi-culdade para a penetracao da luz. A turbidez e devido a presenca de solidos em suspensao,tais como partıculas inorganicas (areia, argila, silte, etc.) e de detritos organicos (algas ebacterias, plancton em geral, etc.).

Alta turbidez reduz a fotossıntese da vegetacao enraizada submersa e de algas, su-primindo a produtividade de peixes. Logo, a turbidez tem influencia nas comunidadesbiologicas aquaticas. A unidade de medida utilizada e a Unidade Nefelometrica de Tur-bidez (UNT).

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Temperatura

O corpo d’agua apresenta variacoes diurnas e sazonais de temperatura, bem como estra-tificacao vertical. A elevacao local da temperatura em um corpo d’agua geralmente eprovocada por despejos industriais. Fontes poluidoras despejam materiais em suspensao,aumentando a turbidez, impedindo a penetracao da luz solar, influenciando diretamentena temperatura do corpo d’ agua. A morte de microorganismos e outro fator que altera atemperatura do corpo d’agua, pois a decomposicao da materia organica eleva a turbidez.

As elevacoes de temperatura no meio aquatico tem com consequencia o aumento dataxa de reacoes quımicas e biologicas, a diminuicao da solubilidade e aumento da taxa detransferencia dos gases. A unidade de medida utilizada e a escala de graus Celsius C.

Coloracao

A coloracao da agua pode indicar fenomenos naturais, como a lavagem do solo pelasenxurradas, ou a agressao causada pelo homem, como a eutrofizacao devido ao lancamentode esgotos ricos em nutrientes compostos de fosforo e nitrogenio. A eutrofizacao e ofenomeno causado pelo excesso de nutrientes em corpos d’agua, o que leva a proliferacaoexcessiva de algas. As algas, por sua vez, ao entrarem em decomposicao, levam ao aumentodo numero de microorganismos e a consequente deterioracao da qualidade da agua. Amedida da cor de uma agua e feita pela comparacao com solucoes conhecidas de platina-cobalto ou com discos de vidro corados calibrados com a solucao de platina-cobalto.

Solidos totais

Os solidos totais nas aguas correspondem a toda materia que permanece como resıduo,apos evaporacao, secagem ou calcinacao. As medicoes em balancas de precisao forneceminformacoes sobre a quantidade total de solidos no meio. Tais elementos solidos, aosedimentar no leito dos rios, podem destruir os organismos vegetais, ou prejudicar a desovade peixes. Assim, a decomposicao anaerobica de possıveis bacterias e organismos vegetais,alem dos resıduos que ficam retidos pelos solidos aumentam a poluicao do corpo d’agua.A quantificacao de solidos totais e, em geral, dada em miligramas por litro (mg/L).

3.1.2 Parametros quımicos

Os parametros quımicos descrevem as modificacoes quımicas em funcao da interacao doscomponentes quımicos. Esses parametros resultam de ciclos e processos que ocorrem naagua. Alguns desses parametros indicadores sao o oxigenio dissolvido (OD), a demandabioquımica de oxigenio (DBO), a demanda quımica de oxigenio (DQO), o potencial hi-drogenionico (pH), o nitrogenio, o fosforo, os metais pesados, tais como o mercurio, ochumbo, o cadmio, o cromo, entre outros.

Oxigenio dissolvido (OD)

O parametro oxigenio dissolvido indica a quantidade de gas oxigenio contido na agua.Pode ser oriundo da dissolucao, natural ou artificial, do oxigenio atmosferico e tambem

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da producao liberada por alguns microorganismos da agua como algas e bacterias. Onıvel de OD em um corpo d’agua depende do balanco entre a quantidade consumidade oxigenio e a quantidade produzida de oxigenio. O consumo de oxigenio e realizadopelos seres aerobicos, como peixes e algumas bacterias, enquanto a producao de oxigenioe oriunda de seres fotossinteticos, com as algas, alem do processo de aeracao.

A concentracao saturacao de OD e funcao da altitude e da temperatura do corpod’agua. E medida, em geral, em miligramas por litro (mg/L). Por exemplo, ao nıvel domar e a temperatura de 20C, a concentracao de saturacao de OD e de 9,2 mg/L, comopode ser observado na tabela 3.2 abaixo.

Tabela 3.2: Saturacao do oxigenio dissolvido (OD) em mg/L

Temperatura Altitude (m)(C) 0 250 500 750 1000

0 14,6 14,2 13,8 13,3 12,94 13,1 12,7 12,3 12,0 11,68 11,9 11,5 11,2 10,8 10,510 11,3 11,0 10,7 10,3 10,015 10,2 9,9 9,5 9,3 9,020 9,2 8,9 8,6 8,4 8,125 8,4 8,1 7,9 7,6 7,430 7,6 7,4 7,2 7,0 6.7

Fonte: ROMEIRO (2003) obtido em DERIZIO (1992).

Em aguas poluıdas, a decomposicao dos compostos organicos por atividade bacte-riana (microorganismos heterotroficos) leva a liberacao de sais minerais no meio, especi-almente os de nitrogenio e fosforo, que sao utilizados como nutrientes pelas algas. Esteefeito pode ”mascarar”a avaliacao do grau de poluicao de um corpo d’agua, quando setoma por base apenas a concentracao de oxigenio dissolvido. Sob este aspecto, aguaspoluıdas sao aquelas que apresentam baixa concentracao de oxigenio dissolvido, devidoao seu consumo na decomposicao de compostos organicos, enquanto que as aguas limpasapresentam concentracoes de oxigenio dissolvido elevadas, um pouco abaixo da concen-tracao de saturacao. No entanto, uma agua eutrofizada (superpopulacao de algas) podeapresentar concentracoes de oxigenio bem superiores a 10 mg/L, mesmo em tempera-turas superiores a 20C, caracterizando uma situacao de supersaturacao. Isto ocorreprincipalmente em lagos de baixa velocidade, onde crostas verdes de algas se formam nasuperfıcie. Nesse processo, a materia organica e decomposta pelos microorganismos hete-rotroficos que, por sua vez, produzem gas carbonico que e materia prima para o processofotossintetico, produzindo oxigenio.

Outra fonte de oxigenio e o processo de aeracao, que pode ser definido como reoxige-nacao da agua com ajuda do ar. Para restituir a uma agua poluıda o oxigenio dissolvido,ou para alimentar o processo de biodegradacao das materias organicas consumidoras deoxigenio, e preciso favorecer o contato da agua e do ar. A taxa de aeracao superficialdepende das caracterısticas hidraulicas e e proporcional a velocidade do corpo dágua, ou

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seja, quanto maior a velocidade, maior a capacidade de reaeracao. Isso significa que emuma cascata, a taxa de aeracao e maior do que a de um rio, que por sua vez, apresenta taxade aeracao superior a de uma represa. A aeracao tambem pode ser feita artificialmente,onde aeradores superficiais eletro-mecanicos, ou maquinas sopradoras de ar em tubulacoes,contendo difusores para a reducao dos tamanhos das bolhas sao empregados no corpod’agua. Novos sistemas de aeracao vem sendo continuamente desenvolvidos.

Portanto, o OD e um dos principais parametros de caracterizacao dos efeitos dapoluicao das aguas, pois pode indicar presenca de materia organica (valores de OD infe-riores ao valor de saturacao) ou crescimento anormal de algas (valores de OD superioresao valor de saturacao).

Demanda bioquımica de oxigenio (DBO)

A demanda bioquımica de oxigenio determina indiretamente a concentracao de materiaorganica biodegradavel, por meio da demanda de oxigenio exercida por microrganismosatraves da respiracao, por ser a quantidade de oxigenio necessaria para estabilizar biolo-gicamente o sistema. E medida, em geral, em miligramas por litro (mg/L).

A materia organica e formada por compostos como proteınas, carboidratos, ureia,surfactantes (detergentes), gorduras, oleos, fenois, pesticidas, etc. Esta materia, car-bonacea, pode ser biodegradavel, ou nao, e se encontrar dissolvida ou em suspensao.Medindo a quantidade de oxigenio consumida pelas bacterias oxidantes, determinamosindiretamente a quantidade da materia organica biodegradavel presente no corpo d’agua.Em suma, uma DBO elevada significa presenca de poluicao atraves de materia organicabiodegradavel de origem domestica ou industrial.

A DBO5 e um teste padrao, realizado a uma temperatura constante de 20C edurante um perıodo de incubacao tambem fixo, de 5 dias. Neste teste uma amostra ecoletada em duplicata. Em uma das amostras e medido o oxigenio dissolvido apos acoleta; o oxigenio da outra amostra e medido apos 5 dias, perıodo em que a amostrafica em uma incubadora a uma temperatura de 20C. A diferenca de concentracao deoxigenio nas amostras representa a demanda bioquımica de oxigenio (oxigenio consumidopara oxidar a materia organica via respiracao dos microrganismos no perıodo de 5 dias).Esta medida e um indicador estimativo, ja que no corpo d’agua, ocorrem fenomenos deturbulencia, aeracao, insolacao e etc., que alteram dinamicamente o valor da medidaestatica.

A DBO em esgotos domesticos e em torno de 300 mg/L, ou seja, 300 miligramasde oxigenio sao consumidos em 5 dias, pelas bacterias oxidantes, a uma temperatura de20C, em 1 litro de esgoto.

Demanda quımica de oxigenio

A demanda quımica de oxigenio e a quantidade de oxigenio necessaria para oxidacao damateria organica atraves de um agente quımico. Um valor de DQO alto indica umagrande concentracao de materia organica oxidavel e baixo teor de oxigenio. O aumentoda concentracao de DQO num corpo d’agua se deve principalmente a despejos de origemindustrial. Este parametro tambem fornece uma estimativa da concentracao de materia

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organica em termos de oxigenio consumido. A principal vantagem da DQO e a rapidezda medicao, que pode ser realizada em pouco mais de duas horas, enquanto que a DBOleva 5 dias. Como os parametro OD e DBO, a DQO e tambem quantificada, em geral,em miligramas por litro (mg/L).

Potencial hidrogenionico (pH)

O potencial hidrogenionico e a concentracao relativa dos ıons de hidrogenio numa solucaosendo calculado como o logaritmo negativo de base 10 da concentracao de ıons de hi-drogenio, em moles por litro. Se o pH assume valor 7, dizemos que a solucao esta neutra.Valores inferiores a 7 indicam acidez e superiores a alcalinidade. Quando as condicoesde pH nao sao favoraveis as especies de peixes, eles correm o risco de sofrerem irritacoesdermicas, hemorragias, hipersecrecao de muco, patologias branquiais e ate mesmo a morte.Essas modificacoes tambem levam os peixes ao estresse, deixando-os suscetıveis a outrasdoencas.

Nitrogenio

O nitrogenio manifesta-se no meio ambiente sob diversas formas, como o nitrogenio mo-lecular (N2), que se encontra livre na atmosfera; o nitrogenio organico, que se encontradissolvido e em suspensao no corpo d’agua; a amonia, que pode ser livre (NH3) ou ionizada(NH+

4 ); o nitrito (NH2) e o nitrato (NO3).No corpo d’agua, o nitrogenio oriundo de esgotos, esta quase todo na forma de

proteınas (substancia formada por nitrogenio, carbono, oxigenio, fosforo, enxofre e ferro)e ureia (composto organico cristalino, incolor, produto final da excrecao do nitrogenionos mamıferos). Nos esgotos domesticos frescos, predomina o nitrogenio em forma deamonia e o organico, e nos esgotos antigos predomina o nitrogenio em forma de nitrato.O nitrogenio em forma de amonia livre e altamente toxico aos peixes, enquanto na formaionizada e nao toxico. Em meios aquaticos, para valores de pH menores que 8, a amoniase apresenta na forma ionizada.

A quantificacao do nitrogenio, que e dada em miligramas por litro (mg/L), no corpod’agua e importante, porque esta intimamente ligada ao consumo de OD. Essa ligacaoocorre, pois, as bacterias consomem oxigenio ao realizar o processo de nitrificacao, queconsiste em transformar amonia em nitrito e este em nitrato. No fim desse processo denitrificacao, o nitrato gerado e utilizado por algas ou outras plantas para formar proteınas.O nitrato, em altas concentracoes, pode trazer varios problemas de intoxicacao, tanto noser humano como nos animais.

As algas tem no nitrogenio um elemento vital para o seu crescimento. O crescimentodescontrolado das algas (floracao das aguas) pode acarretar a eutrofizacao. A eutrofizacaoconsiste no seguinte processo: com a floracao, as algas submersas deixam de fazer afotossıntese em taxa adequada e morrem; a taxa de geracao de oxigenio se reduz; asalgas mortas sao decompostas por microorganismos; e a DBO aumenta. Portanto, aeutrofizacao acarreta a morte de seres aerobicos.

O nitrogenio pode ser quantificado pela forma Kjeldahl (NTK), que mede predomi-nante o nitrogenio dos esgotos domesticos brutos e daı sua importancia como parametro

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quımico de qualidade das aguas. Consiste na soma dos nitrogenios organico e amonia-cal. Esse parametro e importante nao so porque constata a presenca de esgotos lancadosrecentemente no corpo d’agua, mas tambem como um futuro indicador do consumo deoxigenio e um possıvel crescimento de algas.

Fosforo

O fosforo e um nutriente fundamental para o crescimento e multiplicacao das bacterias quesao responsaveis pelos mecanismos bioquımicos de estabilizacao da materia organica, porisso, sua presenca nos corpos d’agua e indispensavel. Esse parametro nao traz problemasde ordem sanitaria para a agua, porem, em alta quantidade contribui para a proliferacaode algas, que podem acelerar o processo de eutrofizacao.

A quantidade de fosforo na agua pode ter origem no solo, nos despejos domesticose/ou industriais, nos detergentes, nos excrementos de animais e nos fertilizantes. A quan-tificacao do fosforo e, em geral, dada em miligramas por litro (mg/L).

Mercurio

O mercurio em corpos d’agua provem de mineracao e de uso de derivados na industria eagricultura. Acumula-se nos organismos dos seres aquaticos durante toda a vida, repre-sentando um perigo para os homens que se alimentam de peixes ou aves desse ecossistema.

O mercurio e altamente toxico ao homem, sendo que doses superiores a 3 gramassao fatais. A intoxicacao por mercurio e caracterizada por nauseas, vomitos, dores abdo-minais, diarreia, danos nos ossos e morte. A intoxicacao cronica afeta glandulas salivares,rins e altera as funcoes psicologicas e psicomotoras. O padrao de potabilidade e de 0,001mg/L.

Chumbo

Presente nos corpos d’agua devido as descargas de efluentes industriais, como aquelas deindustrias de baterias automotivas, de metalurgicas e no despejo de materiais de cons-trucao a base de chumbo. Dissolvido em aguas superficiais naturais, a sua concentracaogeralmente encontra-se em quantidade baixa. Seu padrao de potabilidade e de 0,03 mg/L.Nos peixes, as doses fatais, em geral, variam de 0,1 a 0,4 mg/L. A toxicidade do chumbo,quando aguda, e caracterizada pela sede intensa, sabor metalico, inflamacao gastrointes-tinal, vomitos e diarreias.

Cadmio

O cadmio e obtido como subproduto nos processos de fundicao e refinacao de metais comozinco, chumbo e cobre. Derivados de cadmio sao utilizados em pigmentos e pinturas,baterias, solda, acumuladores, estabilizadores de PVC, reatores nucleares e nos processosde galvanoplastia. Ele e tambem utilizado como inseticida.

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Caracterizado com metal de elevado potencial toxico, que se acumula em organismosaquaticos, a acao do cadmio sobre a fisiologia dos peixes e semelhante a do chumbo. Opadrao de potabilidade esta fixado por volta de 0,005 mg/L.

Cromo

O cromo III (forma trivalente) e elemento fundamental para o funcionamento de or-ganismos vivos, por ser essencial ao metabolismo de carboidratos, lipıdeos e proteınas.Entretanto, o cromo IV (forma tetravalente) e toxico e carcinogenico. As concentracoesde cromo em agua doce sao muito baixas, sendo o padrao de potabilidade 0,05 mg/L.

O excesso deste metal nos corpos dágua pode ter origem domestica ou industrial,sendo resıduos na producao de alumınio anodizado, aco inoxidavel, tintas, pigmentos,explosivos, papel, entre outros produtos.

3.1.3 Parametros biologicos

Os parametros biologicos descrevem as caracterısticas biologicas sob o ponto de vista pa-tologico da vida animal, vegetal e de organismos unicelulares (algas) presentes no corpodágua. Os organismos patogenicos se dividem em coliformes e comunidade planctonica.A bacteria coliforme total e utilizada como primeira referencia para constatar conta-minacao do meio aquatico, enquanto a clorofila e utilizada para indicar a presenca dealgas.

Coliformes

As bacterias do grupo coliforme sao consideradas os principais indicadores de conta-minacao fecal. O grupo coliforme e formado por bacterias que inclui os generos Klebsiella,Escherichia, Serratia, Erwenia e Enterobacteria. As bacterias coliformes fecais (restritasao trato intestinal de animais de sangue quente) mostra-se como um indicador mais sig-nificativo para evidenciar o nıvel de contaminacao por esgotos domesticos em um corpod’agua do que o uso da bacteria coliforme ”total”.

O parametro coliforme indica possibilidade da existencia de microorganismos pa-togenicos, responsaveis por doencas tais como febre tifoide, febre paratifoide, disenteriabacilar e colera. A contaminacao fecal e geralmente medida em numero mais provavel(NMP) de coliformes por cem mililitros de agua amostrada (NMP/100 ml). Por meiodesse indicador os orgaos publicos avaliam as condicoes do corpo d’agua para banho,classificando-a como excelente, muito boa, satisfatoria ou impropria. A essa classificacaoda-se o nome de balneabilidade.

Clorofila-a

A clorofila e um dos pigmentos responsaveis pelo processo fotossintetico. A clorofila-a ea mais comum das clorofilas (a, b, c, e d) e representa, aproximadamente, de 1 a 2% dopeso seco do material organico em todas as algas planctonicas e e, por isso, um indicadorda biomassa algal. A quantidade de clorofila, medida em microgramas por litro (µg/L) da

29

amostra d’agua, permite estimar a capacidade de reoxigenacao das aguas no seu propriomeio e avaliar a massa de nutrientes presentes.

O crescimento anormal de algas no meio aquatico e devido ao excesso de nutrientes(nitrogenio e fosforo) oriundos de esgotos domesticos e industriais. Um desses vegetaisaquaticos sao os fitoplanctons. Algumas especies de fitoplanctons produzem toxinas quepodem levar a morte dos seres aquaticos. Quando os fitoplanctons morrem, eles sao con-sumidos pelas bacterias, as quais, no processo de oxidacao biologica, utilizam o oxigeniocontido na agua. Dependendo da quantidade de materia organica presente, este pro-cesso de oxidacao biologica pode esgotar a quantidade de oxigenio dissolvida no corpodágua, interferindo na respiracao dos peixes e de outros seres aerobicos, levando-os amorte. Enfim, como as algas se localizam na superfıcie dos corpos d’agua, elas dificultama penetracao da luz, o que prejudica o desenvolvimento das plantas que se encontram emprofundidade, reduzindo a diversidade biologica.

3.2 Classificacao da qualidade de agua

Os padroes dos parametros de qualidade de agua, citados anteriormente, foram definidospor legislacao variando de acordo com a classificacao da agua. Segundo a Resolucaon 357 de 17 de marco de 2005 do Conselho Nacional do Meio Ambiente (CONAMA,2005), a agua pode ser classificada como doce (salinidade igual ou superior a 0,5%),salobra (salinidade de 0,5% a 30%) e salina (salinidade igual ou superior a 30%). Quantoas aguas doces, apresentam-se em cinco classes: especial, classes I,II, III e IV.

Especificamente, neste trabalho, vamos estudar a qualidade de aguas doces. Dasaguas doces, segundo (CONAMA, 2005), sao observados os seguintes usos e as seguintescondicoes de qualidade descritos nas subsecoes abaixo.

3.2.1 Classe especial

Essa classe de agua e utilizada para abastecimento da populacao sem previo tratamento,ou desinfectacao. Nas aguas de classe especial deverao ser mantidas as condicoes naturaisdo corpo dágua.

3.2.2 Classe I

As aguas da classe I sao destinadas ao abastecimento para consumo humano, apos tra-tamento simplificado; a protecao das comunidades aquaticas; a recreacao de contatoprimario, tais como natacao, esqui aquatico e mergulho e a irrigacao de hortalicas ede frutas.

Sobre as condicoes de qualidade da agua de classe I, nao devemos verificar efeitostoxicos cronicos nos organismos aquaticos, comprovado pela realizacao de ensaio eco-toxicologico padronizado. Materiais flutuantes, inclusive espumas nao-naturais, oleos egraxas, substancias que comuniquem gosto ou dor, corantes e resıduos solidos, estao au-sentes. Quanto aos coliformes termotolerantes (fecais), estes nao deverao exceder o limite

30

de 200 coliformes por 100 mililitros, em 80% ou mais de pelo menos 6 amostras coleta-das durante o perıodo de um ano, com frequencia bimestral. A DBO5 a 20C deveraser limitada a 3 mg/L, ou seja, a demanda bioquımica de oxigenio em 5 dias, a 20C,deve ser no maximo de 3 miligramas para a estabilizacao da materia organica carbonaceabiodegradavel presente em um litro de esgoto. Quanto a quantidade de OD, em qual-quer amostra, nao podera ser inferior a 6 mg/L. A turbidez e limitada a 40 unidadesnefelometrica de turbidez (UNT) e o pH limitado entre 6,0 a 9,0.

3.2.3 Classe II

Assim como as aguas de classe I, estas tambem sao destinadas ao abastecimento paraconsumo humano apos tratamento convencional. Elas sao destinada a protecao das co-munidades aquaticas; a recreacao de contato primario, tais como natacao, esqui aquaticoe mergulho; a irrigacao de hortalicas, plantas frutıferas e de parques, jardins, campos deesporte e lazer com os quais o publico possa vir a ter contato direto, a aquicultura e aatividade de pesca.

Aplicam-se as mesmas condicoes de qualidade da classe I, com excecao que serapermitida a presenca de corantes, exceto aqueles provenientes de fontes antropicas quenao sejam removıveis por processo de coagulacao, sedimentacao e filtracao convencionais.Quanto aos coliformes termotolerantes (fecais), nao deverao exceder um limite de 1.000coliformes por 100 mililitros, em 80% ou mais de pelo menos 6 (seis) amostras coletadasdurante o perıodo de um ano, com frequencia bimestral. A cor do corpo dágua e limitadaate 75 mg Pt/L, a turbidez ate 100 UNT, a DBO5 a 20C, ate 5 mg/L, o OD, em qualqueramostra, nao inferior a 5 mg/L, a clorofila-a ate 30 µ g/L, a densidade de cianobacterias(classificadas como algas) ate 50000 cel/mL (celulas por mililitro) e o fosforo total ate0,030 mg/L, em ambientes lenticos, onde as aguas tem movimento lento ou estagnado, comtempo de permanencia superior a 40 dias e, ate 0,050 mg/L, em ambientes intermediarios,onde as aguas tem tempo de permanencia entre 2 e 40 dias.

3.2.4 Classe III

Para o abastecimento do consumo humano, se faz necessario tratamento convencionalou avancado. As aguas desta classe sao destinadas a irrigacao de culturas arboreas,cerealıferas e forrageiras; a pesca amadora; a recreacao de contato secundario e a desse-dentacao (sacio da sede) de animais.

Quanto as condicoes de qualidade da agua de classe III, nao devemos verificar efei-tos toxicos agudos nos organismos aquaticos, comprovado pela realizacao de ensaio eco-toxicologico padronizado. Materiais flutuantes, inclusive espumas nao-naturais; oleos egraxas; substancias que comuniquem gosto ou odor e resıduos solidos objetaveis; estaoausentes. E assim como nas aguas da classe II, nao sera permitida a presenca de corantesprovenientes de fontes antropicas que nao sejam removıveis por processo de coagulacao,sedimentacao e filtracao convencionais.

Os coliformes termotolerantes, para o uso de recreacao de contato secundario, naodeverao exceder o limite de 2500 coliformes por 100 mililitros, em 80% ou mais de pelo

31

menos 6 amostras, coletadas durante o perıodo de um ano, com frequencia bimestral. Paradessedentacao de animais confinados nao devera ser excedido o limite de 1000 coliformespor 100 mililitros, em 80% ou mais de pelo menos 6 amostras coletadas durante o perıodode um ano, com frequencia bimestral. Para os demais usos, nao devera ser excedido umlimite de 4000 coliformes por 100 mililitros em 80% ou mais de pelo menos 6 amostrascoletadas durante o perıodo de um ano, com periodicidade bimestral.

Os valores de densidade de cianobacterias para dessedentacao de animais nao deveraoexceder 50.000 cel/ml. A DBO5, a 20C, ate 10 mg/L, o OD, em qualquer amostra, naoinferior a 4 mg/L, a turbidez ate 100 UNT , a cor ate 75 mg PT/L e o pH entre 6,0 a 9,0.

3.2.5 Classe IV

As aguas pertencentes a esta classe sao destinadas a navegacao e a harmonia paisagıstica.Nesta classe materiais flutuantes, inclusive espumas nao-naturais, encontram-se ausentes,assim como substancias facilmente sedimentaveis que contribuam para o assoreamento decanais de navegacao. Sao tolerados oleos e graxas e o OD deve ser superior a 2 mg/L emqualquer amostra. O pH deve ser entre 6 e 9.

3.3 Modelo hidrodinamico

Nas secoes precedentes deste capıtulo estudamos a importancia de alguns parametros nocontrole do nıvel de poluicao em corpos dágua. Em nossa modelagem vamos supor que,as substancias que consideramos, descritas na secao (3.1.2), fluem com a mesma veloci-dade do escoamento do corpo dágua, de modo que o campo de velocidades das especiesreativas sera tomado como identico aquele do corpo dágua. Esta hipotese permite desa-coplar o calculo do escoamento do corpo dágua do escoamento de cada especie reativa,pois basta calcular o escoamento do corpo dágua que teremos o campo de velocidades detodas especies reativas consideradas. O objetivo desta secao e construir o modelo hidro-dinamico e os procedimentos numericos que permitirao a descricao do escoamento (campode velocidades e pressao) do corpo dágua do lago Igapo 1, em Londrina, Parana.

3.3.1 Modelagem da geometria do lago Igapo 1

O lago Igapo foi criado em 10 de dezembro de 1959, por meio do represamento do RibeiraoCambe, como uma solucao para o problema de drenagem, dificultada por uma barragemnatural de pedra. O lago artificial tem aproximadamente 3,5 mil metros de extensao e 200metros de largura media e se subdivide em Igapo 1, Igapo 2, Igapo 3 e Igapo 4. A figura3.1 mostra essa subdivisao por meio de uma imagem hıbrida de satelite. Na regiao ondese encontram os lagos Igapo (1, 2, 3 e 4) a altitude varia de 580 a 550 metros, resultandonuma diferenca altimetrica de 30 metros. Quanto a profundidade media do lago Igapo1, ela e de 2 metros. Tais caracterısticas permitem simplificar o escoamento da agua nolago Igapo 1 por meio de um modelo 2DH, ou seja, podemos interpretar o fluxo dinamicono domınio geometrico do lago Igapo 1 por meio de um modelo bidimensional horizontaldevido a caracterıstica laminar deste corpo d’agua.

32

Figura 3.1: Os lagos Igapo 1, 2, 3 e 4 (Google Earth).

O lago Igapo 1 recebe despejos de poluentes e despejos clandestinos, nao tratados,dos lagos Igapo 4, Igapo 3, Igapo 2 e afluentes, que o poluem. Para analisar o impactoque esses despejos podem causar no lago Igapo 1, tambem consideraremos algumas sim-plificacoes na geometria deste. Por meio da figura 3.2, vemos que a agua do lago Igapo2 escoa para o Igapo 1, na passagem da Avenida Higienopolis, caracterizando a entrada.A saıda trata-se de uma barragem fısica com passagem controlada de agua por adutorase rampas. A margem esquerda e uma regiao de vegetacao rasteira e no alto existe umcanal por onde o lago recebe agua. A margem direita possui propriedades particulares etambem tem um canal de recebimento de agua em sua parte-media inferior.

Figura 3.2: Domınio fısico do lago Igapo 1 (Google Earth).

Em nossa modelagem da geometria do lago Igapo 1, nao consideraremos fontes esorvedouros no lago, exceto a entrada e a saıda do escoamento.

33

Para gerar o interior da geometria do lago Igapo I optamos pela discretizacao es-truturada, pois esse metodo permite a implementacao otimizada de muitos metodos desolucao e porque este sistema permite que a malha computacional seja coincidente coma geometria fısica (CIRILO; DE BORTOLI, 2006). A transformacao numerica entre osistema de coordenadas cartesianas (x1, y1) do domınio fısico e o sistema de coordenadasgeneralizado (ξ, η) do domınio computacional foi dada por

α(x1)ξξ + γ(x1)ηη − 2β(x1)ξη +1

J2(P (x1)ξ + Q(x1)η) = 0 (3.1)

α(y1)ξξ + γ(y1)ηη − 2β(y1)ξη +1

J2(P (y1)ξ + Q(y1)η) = 0 , (3.2)

onde x1 e y1 sao as coordenadas cartesianas do domınio fısico, ξ e η sao as coordenadasgeneralizadas do domınio computacional, P (ξ, η) e Q(ξ, η) sao os termos fonte, que saoresponsaveis ou permitirao a concentracao de linhas onde forem requeridas, dados por

P (ξ, η) = −nj∑

j=1

ajsign(ξ − ξj)e−cj |ξ−ξj | −

ni∑

i=1

bisign(ξ − ξi)e−di

√(ξ−ξi)

2+(η−ηi)2

(3.3)

Q(ξ, η) = −nj∑

i=1

ajsign(η − ηj)e−cj |η−ηj | −

ni∑

i=1

bisign(η − ηi)e−di

√(ξ−ξi)

2+(η−ηi)2

. (3.4)

Os ındices dos somatorios ni e nj representam todas as linhas nas direcoes ξ e η,respectivamente, e aj, bi, cj e di sao constantes ajustadas numericamente com o objetivode atrair as linhas ξ e η para as linhas ξi e ηi (MALISKA, 1995; DE BORTOLI, 2000).Enfim, J e o jacobiano definido por

J = [(x1)ξ(y1)η − (x1)η(y1)ξ]−1 (3.5)

e

α = (x1)2η + (y1)

2η, β = (x1)η(x1)ξ + (y1)η + (y1)ξ, γ = (x1)

2ξ + (y1)

2ξ , (3.6)

com (x1)ξ, (x1)η, (y1)ξ e (y1)η denotando derivadas parciais. O sistema de equacoesdiferenciais parciais elıptico (3.1)-(3.2), sujeito a condicoes iniciais e de contorno, fornecea linhas ξ e η que superpostas, formam a malha computacional (CIRILO, 2001).Reescrevendo o sistema (3.1)-(3.2) segundo uma variavel φ generica temos (DE BORTOLI,2000; MALISKA, 1995)

αφξξ + γφηη − 2βφξη +1

J2(Pφξ + Qφη) = 0 (3.7)

34

As derivadas parciais que aparecem em (3.7) foram discretizadas utilizando a formulade Taylor infinitesimal, que afirma: para uma dada funcao f : I → < n vezes diferenciavelno ponto x ∈ I, entao para qualquer h tal que (x + h) ∈ I tem -se

f(x + h) = f(x) + hf ′(x) +1

2h2f ′′(x) +

1

6h3f ′′′(x) + ... (3.8)

f(x − h) = f(x) − hf ′(x) +1

2h2f ′′(x) − 1

6h3f ′′′(x) + ... (3.9)

onde h ∈ < (LIMA, 1992). Somando as equacoes (3.8) e (3.9) e negligenciando termosO(h4) obtemos

f(x + h) + f(x − h) ∼= 2f(x) + h2f ′′(x) , (3.10)

ou seja, a derivada de segunda ordem podem ser aproximada por

d2f(x)

dx2∼= f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)

h2. (3.11)

Subtraindo as equacoes (3.8) e (3.9) e negligenciando termos O(h3) obtemos a seguinteaproximacao para a derivada de primeira ordem

df(x)

dx∼= f(x + h) − f(x − h)

2h. (3.12)

Estas aproximacoes sao denominadas diferencas centrais. Analogamente, utilizando asequacoes (3.8) e (3.9), podemos encontrar as aproximacoes

df(x)

dx∼= f(x + h) − f(x)

h(3.13)

edf(x)

dx∼= f(x) − f(x − h)

h, (3.14)

denominadas para frente e para tras, respectivamente. Para a variavel φ = (ξ, η), con-siderando ∆ξ = ∆η = 1, (i, j) os pontos do domınio computacional e aproximacoes pordiferencas centrais, temos

(∂2φ

∂ξ2

)

i,j

=φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j

(∆ξ)2 = φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j , (3.15)

(∂2φ

∂η2

)

i,j

=φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j

(∆η)2 = φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j , (3.16)

(∂φ

∂ξ

)

i,j

=φi+1,j − φi−1,j

2∆ξ=

φi+1,j − φi−1,j

2e (3.17)

(∂φ

∂η

)

i,j

=φi+1,j − φi−1,j

2∆η=

φi+1,j − φi−1,j

2. (3.18)

35

Para a derivada temporal de φ, utilizamos a aproximacao para frente, ou seja,

(∂φ

∂t

)

i,j

=φk+1

i,j − φki,j

∆t, (3.19)

onde k + 1 e o tempo atual, k o tempo anterior e ∆t e o incremento no tempo.Para as derivadas cruzadas de segunda ordem, utilizamos aproximacao por diferencas

centrais, assim

(∂2φ

∂ξ∂η

)

i,j

=

φi+1,j+1−φi−1,j+1

2∆η− φi−1,j+1−φi−1,j−1

2∆η

2∆ξ=

φi+1,j+1 − φi+1,j−1 − φi−1,j+1 + φi−1,j−1

4∆ξ∆η

(3.20)

(∂2φ

∂η∂ξ

)

i,j

=

φi+1,j+1−φi−1,j+1

2∆ξ− φi−1,j+1−φi−1,j−1

2∆ξ

2∆η=

φi+1,j+1 − φi+1,j−1 − φi−1,j+1 + φi−1,j−1

4∆η∆ξ.

(3.21)A equacao (3.7) resulta em um sistema linear da forma Aφ = b, dado por

φi,j =1

ai,j

(ai+1,jφi+1,j+) + ai−1,jφi−1,j + ai,j+1φi,j+1 + ai,j−1φi,j−1 (3.22)

+ ai+1,j+1φi+1,j+1 + ai−1,j+1φi−1,j+1 + ai+1,j−1φi+1,j−1 + ai−1,j−1φi−1,j−1 ,

onde

aij = 2α + 2γ ai+1,j = α +P

2J2

ai−1,j = α − P

2J2ai,j+1 = γ +

Q

2J2

ai−1,j−1 = ai+1,j+1 ai+1,j+1 = −β

2(3.23)

ai+1,j−1 = ai−1,j+1 ai,j−1 = γ − Q

2J2

ai−1,j+1 = −ai+1,j+1 .

Este sistema linear foi resolvido pelo metodo de Gauss-Seidel. As margens foram obti-das com interpolacao polinomial via spline cubico parametrizado,pois sua implementacaocomputacional nao e complicada e as imposicoes feitas sobre o polinomio interpolador mi-nimizam as oscilacoes, de modo que o contorno modelado seja representativo em relacaoao contorno real (CIRILO; DE BORTOLI, 2006). Considerando ((x1)n, (y1)n), os pontosdo contorno, em n + 1 pontos, os mesmos podem ser ajustados via polinomios cubicosparametrizados em t, conforme as expressoes

(x1) (h) =3∑

k=0

akt(h − t)k (3.24)

36

(y1) (h) =3∑

k=0

bkt(h − t)k , (3.25)

onde a variavel h e ajustada na medida que se deseja efetuar, ou nao, a concentracao depontos a esquerda ou a direita de um ponto base parametrizado em t. Considerando ometodo spline cubico natural, os coeficientes akt

e bktsao determinados via resolucao dos

seguintes sistemas lineares (RUGGIERO; LOPES, 1996)

g(x1)k−1 + 4g

(x1)k + g

(x1)k+1 = m

(x1)k (3.26)

g(y1)k−1 + 4g

(y1)k + g

(y1)k+1 = m

(y1)k (3.27)

para k = 2, ..., n, onde

m(x1)k = 6((x1)k+1 − 2(x1)k + (x1)k−1)

(3.28)

m(y1)k = 6((y1)k+1 − 2(y1)k + (y1)k−1) .

Logo, os coeficientes akte bkt

em (3.10) e (3.11) sao dados por

a3k=

1

6

(

g(x1)k − g

(x1)k−1

)

b3k=

1

6

(

g(y1)k − g

(y1)k−1

)

a2k=

1

2g

(x1)k

b2k=

1

2g

(y1)k (3.29)

a1k= (x1)k − (x1)k−1 +

1

3g

(x1)k +

1

6g

(x1)k−1

b1k= (y1)k − (y1)k−1 +

1

3g

(y1)k +

1

6g

(y1)k−1

a0k= (x1)k

b0k= (y1)k .

Pelo fato de que os sistemas lineares (3.10)-(3.11) sao tridiagonais, num primeiro momento,eliminamos os termos abaixo da diagonal principal e, num segundo momento, substituimosordenadamente os termos encontrados, calculando o valor dos termos presentes no vetorincognita. Este metodo e denominado TriDiagonal Matrix Algorithm (TDMA) e reduzconsideravelmente o tempo de memoria (DE BORTOLI, 2000). Outro fato relevante e autilizacao da tecnica multiblocos (DE BORTOLI, 2000), que consiste em, primeiramente,fazer uma analise de quais e quantas sub-malhas (blocos) a malha inteira seria composta.Apos a definicao dos sub-blocos, para cada um deles, defini-se o contorno e seu interior.Ao final, os blocos sao lidos e gravados em um arquivo referente a malha inteira. A juncao

37

dos sub-blocos que formam a malha e feita a partir da leitura dos pontos extremos comunsentre os blocos (CIRILO; DE BORTOLI, 2006).

Tais procedimentos foram adotados devido ao seu desempenho computacional eainda pela rapida similaridade obtida com a geometria fısica, a partir de poucos pontosconhecidos do domınio. Deste modo, a modelagem da geometria discretizada do lagoIgapo 1 e apresentada na figura 3.3, onde foram considerados 839 pontos espacados aolongo das margens esquerda e direita e 35 pontos espacados nos contornos de entrada esaıda.

Figura 3.3: Modelagem da geometria discreta do lago Igapo 1

3.3.2 Equacoes de Navier-Stokes

A partir das consideracoes sobre a geometria e as caracterısticas do lago Igapo 1, apre-sentadas na secao precedente, iniciamos a modelagem do escoamento do corpo d’agua.Sendo as equacoes que governam o modelo hidrodinamico as equacoes de conservacao dequantidade de movimento e continuidade. Supomos que o fluido seja incompressıvel eque esteja em equilıbrio hidrostatico. Neste caso, a equacao da continuidade, na formaintegral, para qualquer fluido (viscoso ou ideal, compressıvel ou incompressıvel, com ousem transferencia de calor) e dada por (FOX; MCDONALD, 1998)

∫

S

ρ~U.dS = − ∂

∂t

∫

V

ρdV , (3.30)

onde ρ e a densidade ~U = (u1, u2, u3) e o campo de velocidades do fluido; ambos nointerior do elemento de volume V , limitado por uma superfıcie de controle S.

Fisicamente, a equacao (3.30) diz que, a vazao, em massa, para fora da superfıcie decontrole S e igual ao decrescimo de massa no interior do volume de controle V na unidadede tempo. Supondo que o volume de controle V , tenha dimensoes fısicas ∆x1, ∆x2 e ∆x3,e que neste volume, ρ seja espacialmente constante, entao o segundo membro da equacao(3.30) pode ser reescrito como

38

−∂ρ

∂t

∫

V

dV = −∂ρ

∂t

∫ x3+∆x3

x3

∫ x2+∆x2

x2

∫ x1+∆x1

x1

dx1dx2dx3 = −∂ρ

∂t∆x1∆x2∆x3 . (3.31)

Figura 3.4: Fluxo de massa atraves de um volume de controle.

De modo analogo, observando a figura 3.4, o primeiro membro da equacao (3.30) podeser reescrito como

∫

S

~Ud ~A = ρ(− u1|x1

+ u1|x1+∆x1

)∆x2∆x3 + ρ

(− u2|x2

+ u2|x2+∆x2

)∆x1∆x3

+ ρ(− u3|x3

+ u3|x3+∆x3

)∆x1∆x2 . (3.32)

Substituindo as equacoes (3.31) e (3.32) em (3.30) e dividindo a igualdade pelo volumede controle arbitrario ∆x1∆x2∆x3 obtem-se

ρ

[u1|x1+∆x1

− u1|x1

∆x1

+u2|x2+∆x2

− u2|x2

∆x2

+u3|x3+∆x3

− u3|x3

∆x3

]

= −∂ρ

∂t. (3.33)

Tomando o limite ∆x1 → 0, ∆x2 → 0 e ∆x3 → 0 e reordenando os termos em (3.33)segue

∂ρ

∂t+ ρ

(∂u1

∂x1

+∂u2

∂x2

+∂u3

∂x3

)

= 0 , (3.34)

ou ainda, em notacao vetorial,

∂ρ

∂t+ ρ~∇.~U = 0 . (3.35)

39

A equacao (3.35) e a forma diferencial da equacao da continuidade, admitindo ρ espaci-almente constante. Como o escoamento do lago e incompressıvel, ρ tambem e temporal-mente constante, logo, a equacao da conservacao de massa (3.35) reescreve-se como

∂u1

∂x1

+∂u2

∂x2

+∂u3

∂x3

= 0 , (3.36)

ou seja, ~∇.~U = 0. A equacao da conservacao da quantidade de movimento, em sua formaintegral, e deduzida a partir da segunda lei de Newton, ou seja, a soma de todas asforcas externas ~F atuando sobre o sistema e igual a taxa de variacao, no tempo, da suaquantidade de movimento linear ~P (FOX; MCDONALD, 1998)

~F =d~P

dt

∣∣∣∣∣sistema

. (3.37)

Na sua forma mais geral, uma lei de conservacao estabelece que a razao de mudancade uma propriedade contınua L, definida em todo volume de controle, deve ser igual aquiloque e perdido atraves das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento dofluido, mais o que e criado/consumido pelas fontes e sorvedouros Q dentro do volume decontrole, ou seja,

∂

∂t

∫

V

LdV = −∫

S

L~U.d ~A +

∫

V

QdV . (3.38)

Se L = ~Uρ e ~F = forcas externas, temos

∫

V

QdV = ~F =d~P

dt

∣∣∣∣∣sistema

=∂

∂t

∫

V

ρ~UdV +

∫

S

~Uρ(~U.d ~A) . (3.39)

Portanto, a equacao (3.39) fornece a formulacao da segunda lei de Newton, para umvolume de controle,

~F = ~FS + ~FB =∂

∂t

∫

V

ρ.~UdV +

∫

S

~Uρ(~U.d ~A) , (3.40)

onde ~FS descreve as forcas de superfıcie e ~FB as forcas de campo no elemento de volume.Consideramos um fluido escoando sem atrito. A partir das tensoes normal e de

cisalhamento, definidas em (2.1-2.4), temos que σij = 0 para i 6= j (nao existem tensoes decisalhamento) e que σij = −p para i = j, ou seja, as tensoes normais tem o mesmo modulo,mas sentido contrario das pressoes externas. Da equacao integral (3.40), considerando as

tensoes que compoem a forca externa ~FS, ou seja, quando

~FS = −~∇p e ~FB = ρ~f ,

40

o balanco da quantidade de movimento, para fluidos sem viscosidade, escreve-se nasdirecoes x1, x2 e x3 como

∂ (ρu1)

∂t+

∂ (ρu1u1)

∂x1

+∂ (ρu1u2)

∂x2

+∂ (ρu1u3)

∂x3

= − ∂p

∂x1

+ ρf1

∂ (ρu2)

∂t+

∂ (ρu2u1)

∂x1

+∂ (ρu2u2)

∂x2

+∂ (ρu2u3)

∂x3

= − ∂p

∂x2

+ ρf2 (3.41)

∂ (ρu3)

∂t+

∂ (ρu3u1)

∂x1

+∂ (ρu3u2)

∂x2

+∂ (ρu3u3)

∂x3

= − ∂p

∂x3

+ ρf3

ou ainda, na forma compacta

∂ (ρui)

∂t+

∂ (ρuiuj)

∂xj

= − ∂p

∂xi

+ ρfi . (3.42)

A equacao (3.42) e a classica equacao de Euler do movimento. Salientamos que es-tas equacoes modelam escoamentos cujas tensoes de cisalhamento sao consideradas des-prezıveis, ou seja, escoamentos nao-viscosos.

No caso de fluidos viscosos gerais, de acordo com o teorema de Stokes, as relacoesmais gerais entre tensoes normais σii e taxas de deformacao sao (FOX; MCDONALD,1998)

σ11 = −p + λ~∇.~U + 2µD11

σ22 = −p + λ~∇.~U + 2µD22 (3.43)

σ33 = −p + λ~∇.~U + 2µD33 ,

onde p e o campo de pressao no fluido, µ e a viscosidade do fluido, λ e o parametro deStokes e as taxas de deformacao normais Dii sao dadas por

D11 =∂u1

∂x1

, D22 =∂u2

∂x2

e D33 =∂u3

∂x3

. (3.44)

As relacoes entre as tensoes de cisalhamento σij e as taxas de deformacao de cisa-lhamento γij sao

σ12 = µγ12 = σ21 , σ23 = µγ23 = σ32 e σ13 = µγ13 = σ31 , (3.45)

onde as taxas de deformacao de cisalhamento γij podem ser escritas como

γ12 =

(∂u1

∂x2

+∂u2

∂x1

)

, γ23 =

(∂u2

∂x3

+∂u3

∂x2

)

e γ13 =

(∂u3

∂x1

+∂u1

∂x3

)

. (3.46)

Enfim, nas equacoes dadas pelo sistema (3.43), o parametro λ, denominado segundocoeficiente de viscosidade, devido a hipotese feita por Stokes em 1845, deve satisfazer arelacao (SCHLICHTING, 1968)

41

3λ + 2µ = 0 ⇒ λ = −2

3µ . (3.47)

Substituindo (3.44) e (3.47) no sistema (3.43) temos

σ11 = −p − 2

3µ∇.~V + 2µ

∂u1

∂x1

σ22 = −p − 2

3µ∇.~V + 2µ

∂u2

∂x2

(3.48)

σ33 = −p − 2

3µ∇.~V + 2µ

∂u3

∂x3

,

enquanto que a substituicao de (3.46) na equacao (3.45) fornece

σ12 = µ

(∂u1

∂x2

+∂u2

∂x1

)

= σ21

σ23 = µ

(∂u2

∂x3

+∂u3

∂x2

)

= σ32 (3.49)

σ13 = µ

(∂u3

∂x1

+∂u1

∂x3

)

= σ31 .

As expressoes (3.48) e (3.49) para as tensoes normais e de de cisalhamento, res-pectivamente descrevem os chamados fluidos newtonianos. Nestes fluidos, na situacao deequilıbrio, temos σij = −pδij. Os fluidos newtonianos sao invariantes rotacionalmente, demodo que, cristais lıquidos, por exemplo, nao pode ser descrito pelas leis constitutivas(3.48) e (3.49). Enfim, se substituirmos as equacoes (3.48) e (3.49) no sistema (3.41), ob-temos as equacoes fundamentais para o escoamento de um fluido viscoso e compressıvel,do tipo newtoniano, denominadas equacoes de Navier-Stokes, ou seja,

∂ (ρu1)

∂t+

∂ (ρu1u1)

∂x1

+∂ (ρu1u2)

∂x2

+∂ (ρu1u3)

∂x3

= − ∂p

∂x1

+ ρf1

+∂

∂x1

[

µ

(

2∂u1

∂x1

− 2

3~∇.~V

)]

+∂

∂x2

[

µ

(∂u1

∂x2

+∂u2

∂x1

)]

+∂

∂x3

[

µ

(∂u3

∂x1

+∂u1

∂x3

)]

∂ (ρu2)

∂t+

∂ (ρu2u1)

∂x1

+∂ (ρu2u2)

∂x2

+∂ (ρu2u3)

∂x3

= − ∂p

∂x2

+ ρf2

(3.50)

+∂

∂x1

[

µ

(∂u1

∂x2

+∂u2

∂x1

)]

+∂

∂x2

[

µ

(

2∂u2

∂x2

− 2

3~∇.~V

)]

+∂

∂x3

[

µ

(∂u2

∂x3

+∂u3

∂x2

)]

∂ (ρu3)

∂t+

∂ (ρu3u1)

∂x1

+∂ (ρu3u2)

∂x2

+∂ (ρu3u3)

∂x3

= − ∂p

∂x3

+ ρf3

+∂

∂x1

[

µ

(∂u3

∂x1

+∂u1

∂x3

)]

+∂

∂x2

[

µ

(∂u2

∂x3

+∂u3

∂x2

)]

+∂

∂x3

[

µ

(

2∂u3

∂x3

− 2

3~∇.~V

)]

.

42

Para modelar o escoamento no Lago Igapo I, devido a sua caracterıstica tipo laminar,considera-se um modelo hidrodinamico do tipo 2DH (bidimensional horizontal), onde asequacoes de Navier-Stokes estao presentes para u1 e u2. Ainda, devido as caracterısticasdo escoamento do corpo d’agua, considera-se o fluido incompressıvel, ~∇.~U = 0, logo ρ econstante, em regime nao-permanente. Consideramos que a acao do vento e as trocas decalor do lago com o meio externo nao sao expressivas, de modo que forcas de campo estaoausentes, ou seja, f1 = f2 = 0. Nao considerando variacoes no contorno do lago, na massado fluido e na area do espelho d’agua ao longo do tempo, as equacoes de Navier-Stokes eda continuidade para o nosso modelo hidrodinamico bidimensional tornam-se

∂u1

∂t+ u1

∂u1

∂x1

+ u2∂u1

∂x2

= −1

ρ

∂p

∂x1

+µ

ρ

(∂2u1

∂x12

+∂2u1

∂x22

)

(3.51)

∂u2

∂t+ u1

∂u2

∂x1

+ u2∂u2

∂x2

= −1

ρ

∂p

∂x2

+µ

ρ

(∂2u2

∂x12

+∂2u2

∂x22

)

(3.52)

∂u1

∂x1

+∂u2

∂x2

= 0 . (3.53)

As equacoes (3.51) - (3.53) descrevem o movimento bidimensional, horizontal, de fluidosnewtonianos incompressıveis, estabelecendo as mudancas nos momentos e nas aceleracoesdo fluido como resultado de mudancas na pressao e nas forcas viscosas dissipativas (cisa-lhamento), atuantes no interior do fluido. Note que no caso simples de um fluido ideal(viscosidade nula), a aceleracao a que o fluido e submetido e proporcional a derivada dapressao interna no fluido. Por conveniencia, manipularemos as equacoes (3.51) - (3.53)para obter a equacao para o campo de pressoes na forma de uma equacao de Poisson.Para isto, consideremos as equacoes de Navier-Stokes (3.51) - (3.52) e da continuidade(3.53) em suas formas adimensionais.

∂u1

∂t+ u1

∂u1

∂x1

+ u2∂u1

∂x2

= − ∂p

∂x1

+1

Re

(∂2u1

∂x12

+∂2u1

∂x22

)

(3.54)

∂u2

∂t+ u1

∂u2

∂x1

+ u2∂u2

∂x2

= − ∂p

∂x2

+1

Re

(∂2u2

∂x12

+∂2u2

∂x22

)

(3.55)

∂u1

∂x1

+∂u2

∂x2

= 0 , (3.56)

onde Re e o numero de Reynolds. Para tornar as equacoes adimensionais, as coordenadasxi foram divididas por um comprimento de referencia l e as velocidades u1 e u2 por umavelocidade de referencia U∞, que usualmente e tomada como a velocidade da corrente livre.A pressao adimensional e obtida dividindo-a por ρU2

∞. Com o objetivo de simplificar anotacao, mantivemos as notacoes u1, u2 e ρ para as variaveis nas equacoes (3.54) - (3.56).

As equacoes (3.54)-(3.56) nao estao em um formato conveniente para a imple-mentacao de um procedimento numerico. Assim, diferenciando a equacao (3.54) em

43

relacao a variavel x1 e a equacao (3.55) em relacao a variavel x2, somando-as e utili-zando a equacao da continuidade, obtem-se uma equacao do tipo Poisson para o campode pressoes (GRESHO, 1987),

∇2p = −∂2u12

∂x12− ∂2u1u2

∂x1x2

− ∂2u22

∂x22− ∂d

∂t+

1

Re

(∂2d

∂x12

+∂2d

∂x22

)

, (3.57)

onde d e o divergente da velocidade definido por

d =∂u1

∂x1

+∂u2

∂x2

. (3.58)

Enfim, as equacoes (3.54) - (3.55) e (3.57) constituem o nosso modelo hidrodinamicobidimensional na horizontal para o escoamento da agua no lago Igapo 1. Este sistemade EDP’s acoplado fornece o campo de velocidades e de pressoes do fluxo de agua nageometria do lago modelado.

O sistema (3.54) - (3.55) e (3.57) foi resolvido numericamente, utilizando coordena-das generalizadas, por meio do metodo de diferencas finitas, descrito na secao anterior.A discretizacao destas equacoes foi feita da seguinte maneira: considerando as equacoes(3.54) e (3.55) escritas na forma de coordenadas generalizadas, ou seja,

∂u1

∂t= E1(u1, u2) − F1(p) (3.59)

∂u2

∂t= E2(u1, u2) − F2(p) (3.60)

e aproximando os termos de derivadas espaciais E1 e E2 por diferencas centrais obtemos

E1(u1, u2) = −(u1)i,j(u1)i+1,j − (u1)i−1,j

2∆x1

− (u2)i,j(u1)i,j+1 − (u1)i,j−1

2∆x2

+1

Re

((u1)i+1,j − 2(u1)i,j + (u1)i−1,j

∆(x1)2+

(u1)i,j+1 − 2(u1)i,j + (u1)i,j−1

∆(x2)2

)

(3.61)

E2(u1, u2) = −(u1)i,j(u2)i+1,j − (u2)i−1,j

2∆x1

− (u2)i,j(u2)i,j+1 − (u2)i,j−1

2∆x2

+1

Re

((u2)i+1,j − 2(u2)i,j + (u2)i−1,j

∆(x1)2+

(u2)i,j+1 − 2(u2)i,j + (u2)i,j−1

∆(x2)2

)

, (3.62)

onde

F1(p) =pi+1,j − pi−1,j

2∆x1

(3.63)

F2(p) =pi,j+1 − pi,j−1

2∆x2

. (3.64)

Sobre o domınio transformado e aplicando as condicoes de fronteira, por meio da dis-cretizacao acima obtemos um sistema linear do tipo Aφ = b que pode ser resolvido por

44

metodos diretos ou metodos iterativos. Preferimos adotar o metodo iterativo em virtudedo sistema ser grande e esparso (CIRILO, 2001). Para o campo de velocidades utilizamoso metodo de Runge-Kutta (explıcito) de quarta ordem e para o campo de pressoes utili-zamos o metodo de Gauss Seidel com relaxacoes sucessivas. O metodo de Runge-Kutta edado por (RUGGIERO; LOPES, 1996)

~W(0)i,j = ~W

(n)i,j

~W(1)i,j = ~W

(0)i,j − ∆t

2Vi,j

~R(0)i,j

~W(2)i,j = ~W

(0)i,j − ∆t

2Vi,j

~R(1)i,j

~W(3)i,j = ~W

(0)i,j − ∆t

2Vi,j

~R(2)i,j

~W(4)i,j = ~W

(0)i,j − ∆t

6Vi,j

[

~R(0)i,j + 2~R

(1)i,j + 2~R

(2)i,j + ~R

(3)i,j

]

~W(n+1)i,j = ~W

(4)i,j ,

onde ~R(k)i,j = ~Q

(k)i,j − ~D

(k)i,j , com K = 0, 1, 2, 3, 4. Utilizando uma simplificacao deste metodo

(CIRILO, 2001), temos

~W(0)i,j = ~W

(n)i,j

~W(r)i,j = ~W

(0)i,j − αK

∆t

2Vi,j

~R(K−1)i,j

~W(n+1)i,j = ~W

(K)i,j , K = 0, 1, 2, 3, 4

onde os coeficientes aK sao

α1 = 1 , α2 =1

2, α3 = 1

α1 =1

4, α2 =

1

2, α3 =

1

2, α4 = 1

α1 =1

4, α2 =

1

6, α3 =

3

8, α4 =

1

2, α5 = 1 .

Segundo Cirilo (2001), o metodo de relaxacoes sucessivas e utilizado para obter ocampo de pressoes, pois acelera a convergencia, ja que a pressao varia lentamente. Estemetodo consiste na aproximacao da iteracao K+1 como uma media entre o valor ~W

(K+1)i,j ,

obtido na iteracao K, e o valor ~WK+1i,j obtido pelo metodo de Gauss-Seidel. Para a equacao

da quantidade de movimento em x, ~W = ρu, o metodo das relaxacoes sucessivas e dadopor

~W(K+1)i,j = (1 − w) ~W

(K)i,j + w ~W

(K+1)GSi,j , (3.65)

onde w e denominado fator de relaxacao, variando de 0 a 2, e ~W(K+1)GSi,j e a aproximacao

obtida pelo metodo de Gauss-Seidel. Se w = 1, entao temos o metodo de Gauss-Seidel,

45

se 1 < w < 2 o metodo denomina-se Gauss-Seidel sobre-relaxado e por fim, se 0 < w < 1tem-se o metodo de Gauss-Seidel sub-relaxado. Nesta dissertacao optou-se pelo metodode Gauss-Seidel, w = 1, que acelerou a convergencia (CIRILO, 2001).

Na proxima secao descreveremos o transporte e as reacoes de substancias nesteescoamento.

3.4 Modelo de transporte e reacoes

No caso de lagos, onde nao ha concentracao elevada de sedimentos em suspensao, asconcentracoes de substancias, que denominaremos a partir de agora como especies rea-tivas, se encontram dissolvidas no corpo d’agua, ou seja, escoam com o mesmo campode velocidades deste. Nestas condicoes, as concentracoes das especies reativas nao alte-ram substancialmente a massa especıfica do corpo d’agua e a velocidade hidrodinamicaui (i = 1, 2, 3) e independente das concentracoes das especies reativas. A essas especiesreativas sao dados os nomes de contaminantes passivos, caso contrario, dizemos que saocontaminantes ativos. Como as especies reativas, que serao consideradas neste trabalho,sao contaminantes passivos, estudaremos o transporte e as reacoes a que tais especies re-ativas estao submetidas, desacopladamente da modelagem hidrodinamica, e utilizaremoso campo de velocidades, obtido no modelo hidrodinamico, para descrever esse transporte.

3.4.1 Equacao do transporte advectivo-difusivo-reativo

Analogamente a secao precedente, supomos que no transporte de especies reativas, oprincıpio de conservacao de massa (concentracoes das especies reativas) e verificado. As-sim, a variacao por unidade de tempo da massa de um especie reativa, dentro de umvolume, e igual ao fluxo de entrada menos o fluxo de saıda, mais a massa resultante dasreacoes entre as especies, no interior do volume na unidade de tempo. Essas reacoes entreas especies que ocorrem dentro do volume sao denominadas reacoes cineticas e envolvemfenomenos quımicos, fısicos e biologicos.

Supondo um volume V , com dimensoes fısicas, ∆x1, ∆x2 e ∆x3, entao a massade uma especie no interior do volume sera o produto da concentracao C da especie pelovolume ∆x1∆x2∆x3. O fluxo de entrada da massa da especie em V , na direcao x1 e iguala concentracao C da especie multiplicada pela velocidade de transporte da especie uc1 epela area de entrada do fluxo ∆x2∆x3. O fluxo de saıda da massa da especie e obtidopor expansao de Taylor ao longo de ∆x1 e como o volume e suficientemente pequeno,supomos que a variacao do fluxo seja quase linear (ROSMAN, 1997). Analogamente, epossıvel fazer o balanco de massa de um contaminante na direcao x2 e x3, com fluxos deentrada uc2C∆x1∆x3 e uc3C∆x1∆x2 e expansoes em serie de Taylor ao longo de ∆x2 e∆x3. A figura 3.5 mostra o balanco de massa de uma especie reativa na direcao x1.Assim, a variacao da massa de uma especie reativa no volume V , por unidade de tempo,

46

Figura 3.5: Descricao da conservacao de massa de uma especies reativa na direcao x1.

e dada por

∂ (C∆x1∆x2∆x3)

∂t︸︷︷︸

variacao da massa por unidade do tempo

= −(

∂uc1C

∂x1

+∂uc2C

∂x2

+∂uc3C

∂x3

)

∆x1∆x2∆x3

︸︷︷︸

fluxo de entrada menos fluxo de saıda nas direcoes x1, x2, x3

+∑

Rc∆x1∆x2∆x3︸︷︷︸

somatorio das reacoes das especies

. (3.66)

Como o volume V e arbitrario e nao e funcao do tempo, a expressao pode ser simplificada,resultando em

∂C

∂t= −

(∂uc1C

∂x1

+∂uc2C

∂x2

+∂uc3C

∂x3

)

+∑

Rc . (3.67)

De um modo mais sucinto, a equacao (3.67) pode ser reescrita em notacao indicial,

∂C

∂t= −

(∂uci

C

∂xi

)

+∑

Rc . (3.68)

Note que, as especies reativas, alem da velocidade de escoamento hidrodinamica,aquela do corpo d’agua, denotada por ui (i = 1, 2, 3) e chamada de advectiva, apresentauma velocidade de escoamento associada ao processo de difusao molecular, devido a naohomogeneidade das concentracoes das especies reativas, de modo que, as componentes davelocidade total uci

de uma especie reativa no meio fluido serao decompostas na parteadvectiva, dada a partir do modelo hidrodinamico, e na parte difusiva, como mostra aequacao (3.69)(ROSMAN, 1997),

∂C

∂t= − ∂

∂xi

(uiC)︸︷︷︸

fluxo advectivo

− ∂

∂xi

[(uci− ui) C]

︸︷︷︸

fluxo difusivo

+∑

Rc . (3.69)

47

O fluxo difusivo em fluidos newtonianos incompressıveis pode ser modelado atravesda conhecida Lei de Fick da difusao molecular. A Lei de Fick diz que o fluxo difusivode uma especie reativa e proporcional ao gradiente das concentracoes, e ocorre no sen-tido contrario ao do gradiente (CHAPRA, 1997). Traduzindo matematicamente, o fluxodifusivo da massa na direcao xi, e dado por

Jxi= −Dc

∂C

∂xi

, (3.70)

onde DC e o coeficiente da difusao molecular. Inserindo o delta de Kroenecker δij parapossibilitar a notacao indicial, a equacao (3.69) pode ser reescrita na forma,

∂C

∂t= −∂ (uiC)

∂xi

+∂

∂xi

(

Dcδij∂C

∂xj

)

+∑

Rc . (3.71)

Expandindo a derivada do termo advectivo e usando a condicao do escoamento incom-pressıvel, ~∇.~U = 0, obtemos

∂C

∂t︸︷︷︸

variacao local no tempo

+ ui∂C

∂xi︸︷︷︸

balanco do fluxo advectivo

=∂

∂xi

(

Dcδij∂C

∂xj

)

︸︷︷︸

balanco do fluxo difusivo

+∑

Rc︸︷︷︸

reacoes de consumo ou de producao

. (3.72)

A equacao (3.72) e tambem conhecida como equacao do transporte advectivo-difusivo-reativo. Como nosso campo de velocidades ui e independente de C, temos uma equacaolinear, desde que o somatorio das reacoes de consumo ou de producao das especies reativassejam lineares. Por outro lado, quando o contaminante e ativo, onde ui depende de C ea modelagem hidrodinamica deve ser acoplada a modelagem de transporte, temos que aequacao (3.72) e nao-linear.

3.4.2 Equacoes do modelo de reacoes

O termo de reacoes de consumo ou de producao em (3.72) pode ser modelado de diversasformas por meio dos inumeros modelos de qualidade de agua, alguns deles citados naintroducao. Neste trabalho utilizamos o modelo apresentado por AMBROSE, et al. (2001)em sua versao linearizada (ROMEIRO; CASTRO; LANDAU, 2003), limitado aos ciclosdo carbono (C) e do nitrogenio (N). Neste modelo o esquema de reacoes dos ciclos docarbono (C) e do nitrogenio (N) sao descritos pela figura 3.6, nas cores vermelha e azul,respectivamente.

O sistema acoplado de equacoes das reacoes cineticas do modelo descrito por AM-BROSE, et al. (2001) , descreve o comportamento das concentracoes de quatro especiesreativas presentes nos ciclos descritos na figura 3.6, ou seja, da concentracao da amonia

48

Figura 3.6: Esquemas de reacoes e ciclos do carbono (C) e nitrogenio (N), vermelho eazul, respectivamente, descritos pelo modelo de Woll et al. (2001) linearizado.

(Snh), da concentracao do nitrito + nitrato (Sn03), da concentracao da demanda bi-oquımica de oxigenio (Xs) e da concentracao do oxigenio dissolvido (S0), apos um perıodode tempo. Utilizando a notacao do modelo descrito por AMBROSE, et al. (2001) paraas concentracoes das especies reativas, utilizamos o seguinte modelo linear para os ciclosdo carbono e nitrogenio (ROMEIRO; CASTRO; LANDAU, 2003)

dSnh

dt= −K1Snh − K7S0 + τSnh

dSn03

dt= K1Snh − K2Sn03 + K8S0 − τSn03

(3.73)

dXS

dt= −20

7K2Sn03 − K5XS − K4S0 + τXS

dS0

dt= −32

7K1Snh − K5XS − K6S0 + τS0

,

onde definimos as constantes

K1 = k12Θ12

(S0

knit + S0

)

K2 = k2DΘ2D

(kn03

kn03 + S0

)

K4 = kDΘD

(

XSkDBO(kDBO + S0

)2

)

− 32

7k2DΘ2D

(

kn03Sn03(kn03 + S0

)2

)

K5 = kDΘD

(S0

kDBO + S0

)

K6 = k2ΘD + KDΘD

(

XSkDBO(kDBO + S0

)2

)

32

7k12Θ12

(

Snhknit(knit + S0

)2

)

49

(3.74)

K7 = k12Θ12

(

Snhknit(knit + S0

)2

)

K8 = k12Θ12

(

Snhknit(knit + S0

)2

)

+ k2DΘ2D

(

kn03Sn03(kn03 + S0

)2

)

τSnh= k7S0 τSn03

= k8S0

τXS= k4S0 τS0

= k2ΘDCsat + K3S0 .

Os sımbolos, valores e unidades dos parametros do modelo descrito por AMBROSE, etal. (2001), utilizados em (3.74) sao dados na tabela 3.3.

Tabela 3.3: Valores das constantes do modelo descrito por AMBROSE, et al. (2001) atemperatura fixa de 20C (AMBROSE, et al. (2001).

Sımbolo Valor Unidade Descricao do parametroT — C TemperaturaΘ2D 1,045 Coeficiente da temperatura para denitrificacaoΘ12 1,08 Coeficiente da temperatura para nitrificacaoΘD 1,047 Coeficiente da temperatura para oxidacao do carbonoΘ2 1,028 Coeficiente da temperatura para reaeracaok2D 0,004 h−1 Taxa de denitrificacaok12 0,009 h−1 Taxa de nitrificacaokD 0,016 h−1 Taxa de oxidacao do ODk2 0,052 h−1 Taxa de reaeracaokDBO 0,001 mg/L Constante de meia saturacao da DBO carbonadaknit 0,2 mg/L Constante de meia saturacao para OD na nitrificacaokn03 0,1 mg/L Constante de meia saturacao para OD na denitrificacaoSsat 8,3 mg/L Concentracao de saturacao do OD

3.4.3 Solucao numerica do modelo de transporte e reacoes

Substituindo as constantes dadas em (3.74) em (3.72) e considerando a difusao molecularD de todas as especies reativas iguais e constantes, temos que o modelo 2DH de transportede poluentes, com reacoes linearizadas e dado por

50

∂Snh

∂t+ ui

∂Snh

∂xi

− D∂2Snh

∂xi2

= −K1Snh − K7S0 + τSnh

∂Sn03

∂t+ ui

∂Sn03

∂xi

− D∂2Sn03

∂xi2

= K1Snh − K2Sn03 + K8S0 − τSn03(3.75)

∂XS

∂t+ ui

∂XS

∂xi

− D∂2XS

∂xi2

= −20

7K2Sn03 − K5XS − K4S0 + τXS

∂S0

∂t+ ui

∂S0

∂xi

− D∂2S0

∂xi2

= −32

7K1Snh − K5XS − K6S0 + τS0

,

onde os ındices i = 1, 2, representam as direcoes longitudinal e transversal, respectiva-mente, D o coeficiente de difusao e ui sao as componentes do vetor velocidade fornecidaspelo modelo hidrodinamico. Reescrevendo matricialmente o sistema (3.75), temos

C,t + U.∇C −∇. (D∇C) = F (3.76)

com U = [U1 U2], ∇C = [C,1 C,2]T , i = 1, 2, onde

C,i

∂Snh

∂xi∂Sn03

∂xi∂XS

∂xi∂S0

∂xi

, C =

Snh

Sn03

XS

S0

, U1 =

u1 0 0 00 u1 0 00 0 u1 00 0 0 u1

, U2 =

u2 0 0 00 u2 0 00 0 u2 00 0 0 u2

,

D =

[D11 D12

D21 D22

]

, Dij = δijDi

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, e F = G(C) + τ onde

G(C) =

−K1 0 0 −K7

K1 −K2 0 K8

0 −207K2 −K5 −K4

−327K1 0 −K5 −K6

Snh

Sn03

XS

S0

e τ =

τSnh

−τSn03

τXS

τS0

,

sendo u1 e u2 as velocidades nas direcoes x1 e x2, Dij os coeficientes de difusoes nasdirecoes x1 e x2, δij e o delta de Kronnecker, i, j = 1, 2, G(C) a matriz referente aotermo de reacoes lineares, K1, K2, K4, K5, K6, K7 e K8 sao os coeficientes de primeiraordem e por fim, τ e matriz dos termos de ordem zero, gerada pela linearizacao domodelo de reacoes. Este modelo de transporte-advectivo-difusivo-reativo foi resolvidonumericamente pelo metodo de elementos finitos estabilizados na sua formulacao semi-discreta, onde as derivadas espaciais sao aproximadas por elementos finitos e as derivadastemporais aproximadas por diferencas finitas (ROMEIRO; CASTRO, 2007). Seja Ω umdomınio espacial com fronteira Γ, subdividindo este domınio em n elementos triangulares,denominados de nel, obtemos Ωe domınios, onde

Ω = ∪e=1nel Ωe Ωi ∩ Ωj para i 6= j . (3.77)

Os subespacos de elementos finitos, no tempo t = tn, sao dados por

Chn ≡

Ch; Ch ∈(C0 (Ω)

)4; Ch|Ωe ∈

(P k (Ωe)

)4; Ch|Γ = 0

(3.78)

51

Chn ≡

Ch; Ch ∈(C0 (Ω)

)4; Ch|Ωe ∈

(P k (Ωe)

)4; Ch|Γ = g

, (3.79)

onde Chn e o subespaco das funcoes de ponderacao, Ch

n e o subespaco das funcoes ad-missıveis, h e o tamanho caracterıstico de cada elemento finito, P k e o conjunto de funcoespolinomiais de grau menor ou igual a k, C0 e o conjunto das funcoes contınuas e g sao ascondicoes de fronteira prescritas. Assim, dado C(t0), para tempo tn n = 1, 2, ... queremosencontrar Ch ∈ Ch

n tal que ∀Ch ∈ Chn o seguinte problema variacional seja satisfeito

∫

Ω

R.ChndΩ +

e=1∑

nel

∫

Ω

R.(

τU.Chn

)

dΩ , (3.80)

onde R(Ch) = C,t + U.∇C −∇. (D∇C) − F e o resıduo associado com a solucao apro-ximada Ch. Denotando por ξxi

(i = 1, 2) as coordenadas locais, temos que τ e dadopor

τ =

[∂ξi

∂xj

∂ξi

∂xk

UjUk +∂ξi

∂xk

∂ξj

∂xl

∂ξi

∂xm

∂ξj

∂xn

DklDmn

]−1/2

. (3.81)

Na equacao (3.80), a primeira integral corresponde a formulacao de Galerkin e a segundaintegral refere-se ao termo de estabilizacao Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)proposto por BROOKS e HUGHES (1982).

A discretizacao das funcoes Ch e Ch e feita por meio de elementos finitos, onde

Ch =nnode∑

j=1

φj(x1, x2)Cjn (3.82)

Ch =nnode∑

i=1

φi(x1, x2)Cin (3.83)

sendo Cjn o valor nodal da funcao Ch para o no j no tempo tn, Ci

n o valor nodal corres-pondente de Ch e φj a funcao de interpolacao para o no j.

Substituindo as funcoes aproximadas (3.82) e (3.83) na formulacao variacional (3.80),o seguinte sistema de equacoes diferenciais ordinarias e obtido

MCn + KCn = F , (3.84)

onde Cn e o vetor de valores nodais de Ch e Cn =(

∂Ch

∂t

)

|t=tn e a derivada temporal .

As matrizes M, K, F saoM = MG + MPG (3.85)

K = KG + KPG (3.86)

F = FG + FPG , (3.87)

52

onde os sobrescritos G e PG se referem as contribuicoes de Galerkin e Petrov-Galerkin,respectivamente. As derivadas temporais foram aproximadas por diferencas finitas utili-zando a regra trapezoidal generalizada, assim

Cn+1 = Cn + ∆tCn+α

Cn+α = (1 − α)Cn + αCn+1 . (3.88)

O sistema de equacoes diferenciais ordinarias (3.84) foi resolvido utilizando o algoritmopreditor multi-corretor, ou seja,

C0n+1 = Cn + ∆t(1 − α)Cn

C0n+1 = 0 (3.89)

na fase preditora e para i = 0, 1, 2, ...

Ri = Fn+1 − MCi

n+1 − KCin+1

M∗∆Ci

n+1 = Ri

Ci+1n+1 = Ci

n+1 + ∆Cin+1 (3.90)

Ci+1n+1 = Ci

n+1 + α∆t∆Cin+1

ondeM∗ = M + α∆tK . (3.91)

Esquematizando as iteracoes, temos tres passos a considerar:

(i) avaliar o resıduo Ri(Ci),

(ii) resolver o sistema M∗∆Ci

n+1 = Ri,

(iii) atualizar solucao Ci+1n+1 = Ci

n+1 + α∆t∆Cin+1.

Dado uma tolerancia ε para o erro, o processo termina quando ||Ri|| < ε||R0||. Noproximo capıtulo apresentamos as simulacoes numericas do modelo discretizado de trans-porte advectivo-difusivo-reativo dos ciclos do carbono e nitrogenio no lago Igapo 1.

53

Capıtulo 4

Analise dos resultados numericos

Neste capıtulo apresentamos as simulacoes numericas do transporte dos ciclos do carbono edo nitrogenio no corpo d’agua do Lago Igapo 1, Londrina, Parana. Inicialmente ordenamosas caracterısticas e as hipoteses utilizadas em nosso modelo a ser simulado numericamente.

Sobre o Lago Igapo 1, o mesmo caracteriza-se por ser uma lamina d’agua, de modoque supomos que o escoamento do corpo d’agua seja do tipo laminar. A partir dessahipotese, utilizamos um modelo do tipo 2DH (bidimensional na horizontal) para realizarnossas simulacoes. Quanto a discretizacao da geometria do lago, supomos que o lagoIgapo 1 nao apresenta fontes e sorvedouros, exceto as barragens de entrada e saıda domesmo. Ja o procedimento tecnico da elaboracao da malha do lago Igapo, este e descritono inıcio da secao (3.3).

Sobre o escoamento do corpo d’agua, em nossa modelagem supomos que o transportedas especies reativas (ciclos do carbono e do nitrogenio) ocorre de modo passivo. Ahipotese do fluido passivo permite desacoplar a simulacao numerica em duas partes, ouseja, primeiramente o calculo do campo de velocidades advectivo do escoamento da agua,na geometria modelada do lago, atraves de um modelo hidrodinamico do tipo 2DH e,posteriormente, o calculo das concentracoes das especies reativas dos ciclos do carbonoe nitrogenio, nesta geometria, atraves de um modelo de transporte advectivo-difusivo-reativo.

Sobre o modelo hidrodinamico, supomos que o escoamento da agua, na geometriadiscretizada do lago, e descrito pelas equacoes de Navier-Stokes e da pressao dadas em(3.54 - 3.57). Na modelagem destas equacoes, devido ao regime de escoamento, fazemosa hipotese de que a agua e um fluido incompressıvel do tipo newtoniano.

Sobre o modelo de transporte das especies reativas, o campo de velocidades de es-coamento destas especies e suposto ser a soma vetorial dos campos advectivo, fornecidopelo modelo hidrodinamico, e do campo difusivo, fornecido pela lei de Fick (3.70). Ja asreacoes dos ciclos carbono-nitrogenio, estas sao descritas pelo modelo descrito em AM-BROSE, et al. (2001) linearizado, mostradas de forma esquematica na figura 3.6. Enfim,o sistema dado em (3.75) e o modelo bidimensional na horizontal de transporte advectivo-difusivo-reativo, dos ciclos do carbono e nitrogenio, onde supomos que os coeficientes dedifusao molecular das especies reativas sao constantes e iguais em toda a geometria dolago Igapo 1.

54

Sobre o coeficiente de difusao molecular D, note que na realidade este deveria as-sumir em (3.75) diferentes valores dependendo da especie reativa considerada e da tem-peratura do corpo d’agua. De modo analogo, as ”constantes”em (3.74) tambem sao de-pendentes da temperatura. Para facilitar nosso estudo, fixamos a temperatura do corpod’agua em 20C, de modo que as quantidades em (3.74) assumem valores constantes emnossa modelagem, aqueles apresentados na tabela 3.3. Especificamente sobre o coeficienteD em (3.75), note que a difusao molecular transporta (mistura) localmente as especiesreativas por movimento randonico, mas, em larga escala, sao os redemoinhos (vortices)e turbilhoes que misturam as especies reativas atraves da chamada difusao turbulenta.Como a escala dos redemoinhos sao muito maiores que as escalas da difusao molecular,a difusao turbulenta e varias ordens de grandeza maior que aquela da difusao molecular.Conforme (CHAPRA, 1997), as varias especies reativas tem valores de difusao molecularno intervalo de valores entre D = 10−3 m2/h e D = 10−1 m2/h. Ja o coeficiente dedifusao turbulenta, em lagos, que depende da escala do fenomeno turbulento, assume va-lores entre D = 101 m2/h e D = 1010 m2/h. Com o objetivo de simular e de estudar emnosso modelo os fenomenos de difusao molecular e turbulenta, envolvidos no transportedas especies reativas na lamina d’agua do Lago Igapo 1, permitiremos que o coeficientede difusao D varie entre D = 10−3 m2/h e D = 104 m2/h.

Portanto, atraves de simulacoes numericas dos sistema de equacoes (3.54 - 3.57) e(3.75), em funcao do coeficiente de difusao D, estudaremos aspectos qualitativos do trans-porte dos ciclos do carbono e do nitrogenio no corpo d’agua do Lago Igapo 1, Londrina,Parana. Salientamos que nossa simulacao numerica nao tem a pretensao de fornecer pre-visoes quantitativas sobre o ındice de poluicao em um dado local do domınio fısico dolago, num dado instante. Sabemos que as condicoes de entrada (iniciais e fronteira) dasespecies reativas variam diariamente. De fato, verificamos que as medicoes realizadas poruma cooperacao envolvendo o IAP, o CONSEMMA, a UEL e o CEAL (TI SOLUTION,2009), nos anos de 2007 e 2008, forneceram medidas de IQA e medidas individuais dosparametros de qualidade de agua, conforme a data da coleta, muito discrepantes. Nestascondicoes, o nosso objetivo e fornecer informacoes qualitativas, por exemplo, os locaisno domınio do lago que se tornam mais poluıdos, independentemente das concentracoes,iniciais e de fronteira, de despejo das especies reativas.

Neste contexto, utilizando o nosso modelo matematico, vamos descrever qualitati-vamente o impacto que uma descarga contınua de amonia, na entrada do lago Igapo I,produz em toda sua extensao, caracterizada pela regiao compreendida entre a AvenidaHigienopolis ate a barragem (veja figura 3.2). Para isso simulou-se em (3.54 - 3.57) as

componentes do campo vetorial de velocidades ~V = (u1, u2) e do campo escalar de pressoesP , em todo domınio do lago Igapo I, fornecidas pelo modelo hidrodinamico. Neste proce-dimento utilizamos o numero de Reynolds Re = 10 e as condicoes iniciais e de fronteiraabaixo:

• condicoes iniciais para o modelo hidrodinamico.

Consideramos que no instante inicial os campos de velocidades e de pressoes, nospontos interiores da geometria do lago Igapo 1, sao dados por

~V (X, 0) = (1, 0) e P (X, 0) = 1, 0 (4.1)

55

onde t = 0 e X = (x1, x2) e um ponto interior do domınio da malha do lago Igapo1. Para X = X, pontos da entrada do lago Igapo 1, e para X = X, pontos da saıdado lago Igapo 1 (ver figura 3.2), tomamos os seguintes valores para as velocidades epressoes, iniciais,

~V (X, 0) = (1, 0)

~V (X, 0) = (1, 0)

P (X, 0) = 1, 0 (4.2)

P (X, 0) = 0, 0 .

Enfim, para os demais pontos da fronteira do lago Igapo 1, consideramos

~V (Xp, 0) = (0, 0)

P (Xp, 0) = 0, 0 (4.3)

onde Xp sao pontos da margem do lago, exceto aqueles da entrada e saıda;

• condicoes de fronteira para o modelo hidrodinamico.

Consideramos que o campo de velocidades, para t > 0, nos pontos de fronteira dageometria do lago Igapo 1, sao extrapolados na entrada e saıda deste e nulo nosdemais pontos da margem, ou seja,

~V (X, t) condicao livre

~V (X, t) condicao livre (4.4)

~V (Xp, t) = (0, 0) .

No campo de pressoes, para t > 0, consideramos um pequeno gradiente de 10 %entre a entrada e a saıda do lago Igapo 1, enquanto nos demais pontos da margemas pressoes sao extrapoladas pelo procedimento numerico. Assim,

P (X, t) = 1, 0

P (X, t) = 0, 9 (4.5)

P (Xp, t) condicao livre .

Obtido o campo de velocidades advectivas, simulamos o escoamento das especiesreativas, presentes nos ciclos do carbono-nitrogenio, na geometria modelada do lago Igapo1. Para isto calculamos os valores dos parametros K1, K2, K4, K5, K6, K7, K8, τXS

, τS0

e τS0, dados em (3.74), utilizando os valores da tabela 3.3. Estes valores sao apresentados

na tabela 4.1.

56

Tabela 4.1: Valores dos parametros do modelo de transporte e reacoes a temperatura de20C.

K1 = 9, 67x10−3 h−1 K2 = 4, 67x10−5 h−1 K4 = 1, 22x10−6 h−1

K5 = 1, 66x10−2 h−1 K6 = 5, 38x10−2 h−1 K7 = 4, 77x10−5 h−1

K8 = 4, 77x10−5 h−1 τSnh= 3, 96x10−4 mgL−1h−1 τSn03

= 3, 96x10−4 mgL−1h−1

τXS= 1, 01x10−5 mgL−1h−1 τS0

= 4, 47x10−1 mgL−1h−1

Quanto as condicoes para o escoamento das especies reativas tomamos:

• condicoes iniciais para o modelo de transporte e reacoes.

Consideramos que no instante inicial o campo escalar de concentracoes de umaespecie reativa e nulo, ou seja,

C(Xm, 0) = 0, 0 mg/L , (4.6)

onde t = 0 e Xm = (x1, x2) sao todos os ponto da malha (interiores e de fronteira)do lago Igapo 1. Portanto, as condicoes iniciais para as concentracoes de amonia(Snh), de nitrito + nitrato (Sn03), da demanda bioquımica de oxigenio (Xs) e dooxigenio dissolvido (S0) sao dadas por

Snh(Xm, 0) = 0, 0 mg/L

Sn03(Xm, 0) = 0, 0 mg/L

XS(Xm, 0) = 0, 0 mg/L (4.7)

S0(Xm, 0) = 0, 0 mg/L ;

• condicoes de fronteira para o modelo de transporte e reacoes.

Consideramos para t > 0 e X = X as seguintes concentracoes constantes

Snh(X, t) = 1, 74 mg/L

Sn03(X, t) = 0, 00 mg/L

XS(X, t) = 5, 05 mg/L (4.8)

S0(X, t) = 8, 30 mg/L ,

e para X = X condicoes extrapoladas, ou seja,

Snh(X, t) condicao livre

Sn03(X, t) condicao livre

XS(X, t) condicao livre (4.9)

S0(X, t) condicao livre .

Nos demais pontos da fronteira , para t > 0, tomamos concentracoes nulas, devidoa hipotese de ausencia de outras fontes e sorvedouros, ou seja,

57

Snh(Xp, t) = 0, 0 mg/L

Sn03(Xp, t) = 0, 0 mg/L

XS(Xp, t) = 0, 0 mg/L (4.10)

S0(Xp, t) = 0, 0 mg/L .

Note que as condicoes de fronteira na entrada do lago representam uma descarga contınuade 1,74 miligramas de amonia por litro, uma ausencia de concentracao de nitrito + nitrato(que sera gerada por meio do processo de nitrificacao), uma demanda bioquımica de 5,05miligramas de oxigenio por litro e uma concentracao de saturacao de oxigenio dissolvidode 8,3 miligramas por litro.

A partir deste modelo, simulamos o transporte das concentracoes de amonia, denitrito+nitrato, da demanda bioquımica de oxigenio e do oxigenio dissolvido, em tododomınio do lago, em todo instante, para D = 0, 001 m2/h, D = 0, 01 m2/h, D =0, 1 m2/h, D = 1 m2/h, D = 10 m2/h, D = 100 m2/h, D = 1000 m2/h, D = 10000 m2/h.As figuras 4.1 a 4.16 apresentam os resultados das simulacoes destas quatro especiesreativas, num intervalo de tempo de 300 horas de lancamento contınuo, com condicoesiniciais e de fronteira dadas nas equacoes (4.1 - 4.10).

A seguir, atraves de uma analise descritiva da simulacao numerica realizada paraD = 10 m2/h, dada nas figuras 4.9 e 4.10, fornecemos indıcios de que o escoamento apos300 horas atinge uma situacao quase-estacionaria. Para isto, apresentamos na tabela 4.2os valores mınimos e maximos das concentracoes das especies reativas, em todo o domıniodo lago Igapo 1, no tempo indicado, para uma difusao de D = 10 m2/h.

Tabela 4.2: Valores mınimos e maximos das concentracoes das especies reativas, em mg/L,considerando todos os pontos da malha da geometria do lago Igapo 1, para D = 10 m2/h.

Horas Snh Sn03 XS S0

25 h 0, 00 − 1, 74 0, 00 − 0, 21 0, 00 − 5, 05 5, 90 − 8, 3050 h 0, 03 − 1, 74 0, 00 − 0, 37 0, 06 − 5, 05 6, 62 − 8, 3075 h 0, 12 − 1, 74 0, 00 − 0, 51 0, 22 − 5, 05 6, 58 − 8, 30100 h 0, 21 − 1, 74 0, 00 − 0, 65 0, 37 − 5, 05 6, 51 − 8, 30150 h 0, 34 − 1, 74 0, 00 − 0, 78 0, 52 − 5, 05 6, 52 − 8, 30200 h 0, 40 − 1, 74 0, 00 − 0, 96 0, 58 − 5, 05 6, 51 − 8, 30250 h 0, 42 − 1, 74 0, 00 − 1, 07 0, 59 − 5, 05 6, 51 − 8, 30300 h 0, 43 − 1, 74 0, 00 − 1, 16 0, 60 − 5, 05 6, 51 − 8, 30

Notamos que apos 300 horas de lancamento contınuo, os intervalos de variacoes das con-centracoes de amonia, da demanda bioquımica de oxigenio e de oxigenio dissolvido atin-gem uma situacao quase-estacionaria, ou seja, uma concentracao mınima de 0, 43 mg/L deamonia, uma concentracao mınima de 0, 6 mg/L para a demanda bioquımica de oxigenioe uma concentracao mınima de 6, 51 mg/L para o oxigenio dissolvido, enquanto o inter-valo de concentracao de nitrito+nitrato ainda apresenta pequenas variacoes. Salientamos

58

que as taxas mınimas para a amonia, para a demanda bioquımica de oxigenio e para ooxigenio dissolvido ocorrem em algum no da malha do lago, enquanto nos demais nos astaxas estao nos intervalos apresentados. A mesma observacao aplica-se a taxa maximaobservada de nitrito+nitrato.

Outra evidencia do fato do escoamento das especies reativas ter atingido uma si-tuacao quase-estacionaria, para D = 10 m2/h, e apresentada nas tabelas do apendiceB. Tomamos aleatoriamente 22 dos 11886 nos que formam a malha do lago Igapo 1 enotamos nestes que as variacoes nas concentracoes das especies reativas entre os tempost = 250 horas e t = 300 horas foram da ordem 10−3 para a amonia, da ordem 10−1 paranitrito+nitrato, da ordem 10−1 para a demanda bioquımica de oxigenio e da ordem 10−2

para o oxigenio dissolvido. Estas pequenas alteracoes nas concentracoes entre os tempos250 e 300 horas tambem mostram que o escoamento atingiu um regime quase-permanente.

Em seguida, analisamos e interpretaremos as simulacoes apresentadas nas figuras4.1 a 4.16. Enumeramos abaixo alguns resultados:

• Em nosso procedimento numerico, quando D assume valores compatıveis com adifusao molecular, D variando entre 10−3 m2/h a 10−1 m2/h, capturamos quatrograndes vortices, dois deles localizados proximos a entrada do lago Igapo 1, um namargem esquerda e outro na margem direita do lago e os outros dois na margemesquerda, apos a regiao central do lago. Ja para valores de difusao superiores a102 m2/h, regiao de difusao turbulenta, observamos a desestruturacao desta topo-logia de vortices, caracterizando o fato do campo de velocidades difusivas ser maiorque o campo de velocidades advectivas.

• Observamos que a concentracao de amonia, lancada continuamente na entrada dolago, diminui ao longo do escoamento, gerando valores maiores de concentracoesde nitrito+nitrato, conforme aproximamo-nos da saıda do lago. Consistentemente,observamos uma alta taxa de demanda bioquımica de oxigenio nas regiooes comaltas concentracoes de amonia.

• Um resultado importante e a verificacao que para D < 102 m2/h as maiores con-centracoes de nitrito+nitrato ocorrem nos vortices do lago, caracterizando-os comoas regioes mais poluıdas por nitrito e nitrato.

• Enfim, a tabela 4.3 mostra que para o coeficiente de difusao variando de D =10−3 m2/h a D = 104 m2/h, os intervalos de variacao das concentracoes das especiesreativas diminuem, consistentemente com o fato do campo de velocidades efetivo(adveccao+difusao) ter aumentado. Portanto, quanto maior o coeficiente de difusaomenor a capacidade de autodepuracao do lago.

59

Tabela 4.3: Valores mınimos e maximos das concentracoes das especies reativas, em mg/L,considerando todos os pontos da malha da geometria do lago Igapo 1, em funcao da difusaoD, para t = 300 horas.

D (m2/h) Snh (mg/L) Sn03 (mg/L) XS (mg/L) S0 (mg/L)10−3 0, 19 − 1, 74 0, 00 − 1, 31 0, 23 − 5, 05 6, 60 − 8, 3010−2 0, 19 − 1, 74 0, 00 − 1, 31 0, 23 − 5, 05 6, 58 − 8, 3010−1 0, 20 − 1, 74 0, 00 − 1, 36 0, 23 − 5, 05 6, 50 − 8, 30100 0, 23 − 1, 74 0, 00 − 1, 21 0, 27 − 5, 05 6, 50 − 8, 30101 0, 43 − 1, 74 0, 00 − 1, 16 0, 60 − 5, 05 6, 51 − 8, 30102 0, 93 − 1, 74 0, 00 − 0, 84 1, 80 − 5, 05 6, 50 − 8, 30103 1, 09 − 1, 74 0, 00 − 0, 67 2, 30 − 5, 05 6, 47 − 8, 30104 1, 16 − 1, 74 0, 00 − 0, 60 2, 60 − 5, 05 6, 57 − 8, 30

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Figura 4.1: Evolucao das quatro especies reativas com D = 0, 001 m2/h.

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Figura 4.2: Continuacao da figura 4.1.

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Figura 4.7: Evolucao das quatro especies reativas com D = 1 m2/h.

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Capıtulo 5

Conclusoes

Neste trabalho elaboramos um modelo de transporte e reacoes para simular a evolucao deuma descarga de poluentes no corpo d’agua do lago Igapo 1. Na modelagem do problema,supomos que o Lago Igapo 1 caracteriza-se por ser uma lamina d’agua, de modo queo escoamento hidrodinamico foi descrito por um modelo 2DH, dado pelas equacoes deNavier-Stokes e da pressao em (3.54 - 3.57). Neste modelo hidrodinamico, a agua foiconsiderada um fluido newtoniano incompressıvel. Supomos tambem que o transporte dasespecies reativas (ciclos do carbono e do nitrogenio) ocorre de modo passivo, enquanto queas reacoes, durante o escoamento, sao descritas pelo modelo descrito em AMBROSE, etal. (2001) linearizado, mostradas de forma esquematica na figura 3.6. Enfim, as equacoesem (3.75) sao o nosso modelo bidimensional horizontal de transporte advectivo-difusivo-reativo, dos ciclos do carbono e nitrogenio.

Portanto, por meio de simulacoes numericas dos sistema de equacoes (3.54 - 3.57) e(3.75), em funcao do coeficiente de difusao D, foi possıvel obter uma melhor compreensaoda dinamica dos processos envolvidos no escoamento de especies reativas, tais como, adinamica do processo de nitrificacao, da demanda bioquımica de oxigenio e do nıvel deoxigenio dissolvido no corpo d’agua. Nas simulacoes consideramos uma descarga contınuade 1,74 miligramas de amonia por litro na entrada do lago Igapo 1. As figuras 4.1 a 4.16apresentam os resultados das simulacoes do transporte das concentracoes de amonia, denitrito+nitrato, da demanda bioquımica de oxigenio e do oxigenio dissolvido, em tododomınio do lago, em todo instante, para os seguintes valores do coeficiente de difusao:D = 0, 001 m2/h, D = 0, 01 m2/h, D = 0, 1 m2/h, D = 1 m2/h, D = 10 m2/h,D = 100 m2/h, D = 1000 m2/h, D = 10000 m2/h, respectivamente.

Analisando os resultados numericos apresentados nas figuras 4.1 a 4.6, quando adifusao tem carater molecular, verificamos o efeito local dos quatro grandes vortices,capturados pelo modelo hidrodinamico, na dinamica das concentracoes de amonia, denitrito+nitrato, da demanda bioquımica de oxigenio e do oxigenio dissolvido. O fato maisrelavante e a verificacao que neste regime de difusao, as maiores concentracoes de nitrito ede nitrato ocorrem justamente nos vortices do lago, caracterizando-os como as regioes maispoluıdas por nitrito e nitrato. Ja para valores de difusao no regime turbulento, resultadosapresentados nas figuras 4.6 a 4.16, o escoamento das especies reativas no lago e semelhanteao escoamento em um rio, com o desaparecimento dos vortices hidrodinamicos. Enfim,

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para um coeficiente de difusao intermediario, da ordem de D = 10 m2/h, temos umadinamica de escoamento compatıvel com observacoes realizadas no lago Igapo 1 por umaequipe do Laboratorio de Simulacao e Analise Numerica (LabSAN).

Como continuacao deste trabalho pretendemos estudar a sensibilidade da dinamicadas concentracoes das especies reativas com respeito as variacoes no lancamento contınuo.Com relacao ao escoamento hidrodinamico, estudaremos a influencia do numero de Rey-nolds na topologia deste. Pretendemos tambem adicionar, no modelo de reacoes, ciclos deoutras especies reativas. Enfim, a validacao do modelo de reacoes descrito em AMBROSE,et al. (2001) linearizado, comparado ao modelo de reacoes descrito em AMBROSE, et al.(2001), nao-linear, e um dos nossos objetivos.

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Apendice A

Medicoes do ındice de qualidade deagua do lago Igapo 1

A pedido do Clube de Engenharia e Arquitetura de Londrina (Ceal), a empresa TI Solutionde Londrina, comecou a desenvolver, no ano de 2007, um sistema de informacao geograficainformatizado. O sistema cruza uma extensa base de dados com mapas, fotografias desatelites, relatorios e resultados do IQA dos rios urbanos de Londrina em varios pontos decoleta. As medidas do IQA foram realizadas por meio de uma colaboracao entre o InstitutoAmbiental do Parana (IAP), o Conselho Municipal do Meio Ambiente (CONSEMMA),a Universidade Estadual de Londrina (UEL) e o Clube de Engenharia e Arquitetura deLondrina (CEAL). Entre estes relatorios e resultados do IQA encontra-se um estudo sobrea qualidade da agua no lago Igapo 1 (TI SOLUTION, 2009).

O IQA e um Indice de Qualidades das Aguas que surgiu a partir de um estudorealizado em 1970 pela National Sanitation Foundation (NSF) dos Estados Unidos. ACETESB adaptou e desenvolveu o IQA indicando os parametros a serem avaliados, opeso relativo dos mesmos e a condicao com que se apresenta cada parametro, segundouma escala de valores. O IQA e calculado pelo produtorio ponderado das qualidades deagua correspondentes aos nove parametros: temperatura, potencial hidrogenionico (pH),oxigenio dissolvido, demanda bioquımica de oxigenio, coliformes fecais, nitrogenio total,fosforo total, solidos totais e turbidez (CETESB, 2009), ou seja,

IQA =9∏

i=1

qiwi , (A.1)

onde IQA e o ındice de qualidade das aguas variando entre 0 e 100, qi e a qualidade doi-esimo parametro variando entre 0 e 100, obtido da respectiva curva media de variacaode qualidade em funcao de sua concentracao e wi e o peso correspondente ao i-esimoparametro, atribuıdo em funcao da sua importancia para a conformacao global de qua-lidade. O peso de cada parametro e dado na tabela A.1 e as curvas medias de variacaopara cada parametro, bem como seu peso relativo correspondente, sao apresentados nasfiguras A.1, A.2, A.3, A.4, A.5, A.6, A.7, A.8 e A.9 a seguir (CETESB, 2009).

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Tabela A.1: Peso atribuıdo a cada parametro do IQA.

Numero Parametro Unidade Peso (w)1 Oxigenio Dissolvido % saturacao 0, 172 Coliformes Fecais NMP/100ml 0, 153 pH - - - 0, 124 DBO5 mg O2/L 0, 105 Nitrogenio Total mg N/L 0, 106 Fosforo Total mg P/L 0, 107 Turbidez uT 0, 088 Solidos Totais mg/L 0, 089 Temperatura C 0, 10

Figura A.1: Curva media de variacao docoliforme fecal.

Figura A.2: Curva media de variacao dopH.

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Figura A.3: Curva media de variacao daDBO.

Figura A.4: Curva media de variacao donitrogenio.

Figura A.5: Curva media de variacao dofosforo.

Figura A.6: Curva media de variacao datemperatura.

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Figura A.7: Curva media de variacao daturbidez.

Figura A.8: Curva media de variacaodos solidos totais.

Figura A.9: Curva media de variacao do OD.

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A CETESB definiu cinco categorias para classificar a qualidade das aguas de acordocom o IQA calculado. A tabela A.2 mostra as faixas de classificacao das aguas conformeos criterios da CETESB.

Tabela A.2: Categorias para a qualidade da agua segundo a CETESB.

Categoria Ponderacao

Otima 79 < IQA ≤ 100Boa 51 < IQA ≤ 79Regular 36 < IQA ≤ 51Ruim 19 < IQA ≤ 36Pessima IQA ≤ 19

Uma vantagem importante do IQA e a facilidade de comunicacao com o publico naotecnico, pois representa uma media de diversas variaveis em um unico numero, combi-nando unidades de medidas diferentes em um unica unidade. Quanto as desvantagens te-mos a perda de informacoes das variaveis individuais e a nao contemplacao de parametrostambem muito importantes, tais como a quantidade de metais pesados nas aguas, entreoutros. Salientamos que o parametro metais pesados sao avaliados por outros ındices dequalidade.

Sobre os resultados do IQA nos rios urbanos de Londrina, temos sete coletas reali-zadas nos anos de 2007 e 2008 em cada um dos trinta e oito pontos distribuıdos pelos riosurbanos de Londrina. Em particular, apresentaremos os resultados dos parametros nospontos de coleta que se referem ao lago Igapo 1, denominados CAM 10 (regiao da passa-gem do lago Igapo sob a Avenida Higienopolis) e o CAM 11 (barragem do lago Igapo 1),que correspondem a entrada e saıda do lago Igapo 1, respectivamente. Nas tabelas A.3,A.4, A.5, A.6, A.7, A.8, A.9, A.10 e A.11 temos o relatorio dos parametros nas coletasnos pontos CAM 10 e CAM 11.

Tabela A.3: Concentracao de oxigenio dissolvido encontrada nas amostras do lago Igapo1.

OD (mg Zn/L) CAM 10 CAM 11Coleta 1 5,83 8,32Coleta 2 11,27 7,48Coleta 3 5,64 4,85Coleta 4 5,88 5,66Coleta 5 11,06 9,56Coleta 6 0 5,48Coleta 7 5,95 6,4

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Tabela A.4: Concentracao de coliforme fecal encontrada nas amostras do lago Igapo 1.

Coliforme fecal (NPM) CAM 10 CAM 11Coleta 1 9200 1100Coleta 2 170 120Coleta 3 9200 5400Coleta 4 160000 24000Coleta 5 11000 2100Coleta 6 160000 54000Coleta 7 170000 35000

Tabela A.5: O potencial hidrogenionico das amostras do lago Igapo 1.

Potencial Hidrogenionico CAM 10 CAM 11Coleta 1 7 7,1Coleta 2 9 7,7Coleta 3 7,4 7,5Coleta 4 7,3 7,4Coleta 5 0 7,5Coleta 6 7 7,2Coleta 7 7 7,2

Tabela A.6: A demanda bioquımica de oxigenio encontrada nas amostras do lago Igapo1.

Demanda bioquımia de oxigenio (mg O2/L) CAM 10 CAM 11Coleta 1 0 3Coleta 2 4 0Coleta 3 3 0Coleta 4 4 0Coleta 5 10 17Coleta 6 3 3Coleta 7 4 3

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Tabela A.7: Concentracao de nitrogenio Kjeldahl total encontrada nas amostras do lagoIgapo 1.

Nitrogenio total (mg N/L) CAM 10 CAM 11Coleta 1 0,21 0,11Coleta 2 0,44 0,72Coleta 3 0,73 0,62Coleta 4 0,73 0,47Coleta 5 0,98 0,93Coleta 6 0,32 0,47Coleta 7 0,66 0,39

Tabela A.8: Concentracao de fosforo total encontrada nas amostras do lago Igapo 1.

Fosforo total (mg P/L) CAM 10 CAM 11Coleta 1 0,064 0,04Coleta 2 0,041 0,073Coleta 3 0,071 0,078Coleta 4 0,033 0,013Coleta 5 0,14 0,11Coleta 6 0,062 0,041Coleta 7 0,071 0,028

Tabela A.9: A turbidez encontrada nas amostras do lago Igapo 1.

Turbidez (N.T.U) CAM 10 CAM 11Coleta 1 12,23 9Coleta 2 6 6Coleta 3 6 5Coleta 4 9,4 4,6Coleta 5 17 14Coleta 6 17,9 6,8Coleta 7 26,5 6,9

Tabela A.10: Concentracao de solido total encontrada nas amostras do lago Igapo 1.

Solidos totais (mg/L) CAM 10 CAM 11Coleta 1 78 97Coleta 2 169 126Coleta 3 77 82Coleta 4 109 90Coleta 5 103 91Coleta 6 83 76Coleta 7 81 78

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Tabela A.11: Temperatura da agua encontrada nas amostras do lago Igapo 1.

Temperatura (C) CAM 10 CAM 11Coleta 1 17,9 18,4Coleta 2 24,4 23Coleta 3 25 25Coleta 4 0 0Coleta 5 0 0Coleta 6 0 0Coleta 7 0 0

Com base nas medidas dos parametros do IQA realizadas na entrada (CAM 10) e nasaıda (CAM 11) do lago Igapo 1, classificou-se a agua deste, nas varias coletas realizadasentre 2007 e 2008, conforme as tabelas A.12 e A.13 abaixo.

Tabela A.12: Relatorio de IQA no CAM 10 (passagem do lago Igapo sob a Av. Hi-gienopolis).

Coleta IQA Categoria Condicao do tempo1 61,56 Bom Chuvoso2 60,96 Bom Bom3 61,19 Bom Chuvoso4 41,36 Regular Chuvoso5 34,39 Ruim Bom6 29,54 Ruim Bom7 39,98 Regular Chuvoso

Tabela A.13: Relatorio de IQA no CAM 11 (barragem do lago Igapo 1).

Coleta IQA Categoria Condicao do tempo1 71,09 Bom Chuvoso

2 80,17 Otimo Bom3 63,08 Bom Chuvoso4 48,79 Regular Chuvoso5 55,25 Bom Bom6 44,06 Regular Bom7 47,71 Regular Chuvoso

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Apendice B

Estudo local das concentracoes dasespecies reativas

Neste apendice, apresentamos os resultados obtidos nas simulacoes para o coeficiente dedifusao D = 10 m2/h, nos 22 nos selecionados arbitrariamente da malha do lago Igapo 1.Nas tabelas B.1-B.22, mantivemos as concentracoes iniciais e de fronteira propostas noCapıtulo 4.

Tabela B.1: No 540.

tempo (h) Snh Sn03 XS S0

50 .63125E+000 .28516E+000 .14225E+001 .70575E+001100 .99547E+000 .57786E+000 .21041E+001 .67288E+001150 .10400E+001 .66334E+000 .21674E+001 .66617E+001200 .10462E+001 .68777E+000 .21744E+001 .66523E+001250 .10475E+001 .70095E+000 .21763E+001 .66501E+001300 .10481E+001 .70509E+000 .21772E+001 .66492E+001

Tabela B.2: No 1080.



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50 .16471E+001 .72751E-001 .46446E+001 .77394E+001100 .16574E+001 .77871E-001 .46640E+001 .77294E+001150 .16586E+001 .81054E-001 .46664E+001 .77283E+001200 .16592E+001 .82264E-001 .46724E+001 .77303E+001250 .16595E+001 .83011E-001 .46715E+001 .77264E+001300 .16599E+001 .83135E-001 .46695E+001 .77280E+001




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50 .10165E+000 .35672E-001 .21508E+000 .74737E+001100 .33085E+000 .66272E+000 .61773E+000 .77225E+001150 .45287E+000 .66267E+000 .76619E+000 .75699E+001200 .50406E+000 .84630E+000 .80922E+000 .75007E+001250 .52245E+000 .98302E+000 .82188E+000 .74757E+001300 .52957E+000 .10838E+000 .82443E+000 .74669E+001




90



50 .10103E+000 .67316E-001 .21280E+000 .74678E+001100 .37246E+000 .39801E+000 .67993E+000 .76504E+001150 .51650E+000 .72917E+000 .85204E+000 .74604E+001200 .56602E+000 .92947E+000 .89680E+000 .73945E+001250 .58179E+000 .10509E+000 .90915E+000 .73729E+001300 .58830E+000 .11172E+000 .91149E+000 .73672E+001










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SUELLEN RIBEIRO PARDO Suellen Ribeiro Pardo.pdf · Figura 4.9 – Evolução das quatro espécies reativas com D = 10 m2/h..... 69 Figura 4.10 – Evolução das