Super valorização da Álgebra

Muitos métodos aritméticos ou geométricos, interessantes e simples, acabam ficando esquecidos nos planejamentos, livros didáticos e, conseqüentemente, nas salas de aula da Educação Básica.

A Regra da Falsa Posição

A técnica da falsa posição ou do falso número é de origem Indiana e parece ter sido inventada depois do século VII, mas existem registros bem anteriores a isso, em outras civilizações.

É um procedimento aritmético, envolvendo proporções, que parte de um número qualquer , denominado valor falso, para se obter o valor desejado no problema. Podemos dizer, resumidamente, que é um método de resolução de equações lineares a partir de um “chute inicial”.

Um primeiro exemploA idade de Ana, somada de outro tanto como ela, somada com a sua metade, com a sua terça parte e com a sua quarta parte, dá o resultado 148. Qual a idade de Ana?

1º Passo: A escolha do número “falso”. Nesse caso escolheremos o valor 12 (suposta idade de Ana).2º Passo:  Usando o número 12 e aplicando as operações indicadas, iremos obter:12 (idade) + 12 (outro tanto como ela) + 6 (metade da idade) + 4 (terça parte da idade) + 3 (quarta parte da idade) = 37.

3º Passo: AJUSTE

NÚMERO (idade)

RESULTADO

FALSO 12 37

VERDADEIRO

X 148

48 37

148 x 12 x

148

37

x

12

Resposta: Ana tem 48 anos.

Comentário: É claro que tal problema seria facilmente resolvido (que é como os alunos fazem normalmente) através de uma equação do primeiro grau. Vejamos essa outra solução:

148 4

x

3

x

2

x x x

48 x

12 x 148 37x

12 x 148 3x 4x 6x 12x x 12

O PAPIRO DE RHIND OU AHMES

Fragmento do Papiro de Rhind – Museu Britânico

Em 1855, um advogado e antiquário escocês, A. H. Rhind ( 1833 - 1863), viajou, por razões de saúde, ao Egito em busca de um clima mais ameno, e lá começou a estudar objetos da Antigüidade. Em 1858, adquiriu um papiro que continha textos matemáticos.

É o papiro Rhind ou Ahmes, datado aproximadamente no ano 1650 a.C., onde encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados, em escrita hierática, pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo.

O papiro de Rhind contém cerca de 85 problemas de matemática, resolvidos. Os problemas, na sua maioria, diziam sobre o cotidiano dos antigos egípcios e tratavam de coisas como: preço do pão, alimentação do gado, armazenamento de grãos, etc.

Como os egípcios não tinham ainda a Álgebra, aplicavam técnicas aritméticas, como a da “Falsa Posição”. As incógnitas dos problemas ou números desconhecidos eram, comumente chamados de “montão”.

Vejamos um desses problemas do “Papiro de Rhind”.

Um montão, sua metade, seus dois terços, todos juntos são 26. Diga-me quanto é esse montão?Vamos adotar o número falso 18, por exemplo. A metade de 18 é 9 e seus dois terços valem 12, logo: 18 + 9 + 12 = 39

NÚMERO RESULTADOFALSO 18 39

VERDADEIRO X 26

12 39

26 x 18 x

26

39

x

18

Logo, o resultado procurado (o montão) é o número 12.

Justificativa do Método

Na realidade tal método é adequado para questões do tipo ax = b, ou, usando notações mais modernas, temos uma função linear (y = f(x) = ax) e desejamos saber para que valor de x ela terá imagem igual a b.

A proporção que usamos nos exemplos anteriores nada mais é que decorrente da semelhança entre triângulos que aparece no gráfico dessa função.

Vejamos um exemplo simples, para ilustrar essa nossa justificativa: Um número, mais a sua metade é igual a 12. Qual é esse número?

Nesse caso, temos a função f, de IR, em IR, definida por

e, buscamos para qual valor de x temos f(x) = 12.

Usando um valor falso, x = 4, por exemplo, teremos o resultado f(4) = 4 + 2 = 6. Aplicando o “ajuste” teríamos que a resposta correta é 8. Vejamos o que ocorre no gráfico dessa função:

2

x x f(x)

12

x

6

4

Esta proporção, decorrente de semelhança de triângulos, justifica o método utilizado nos casos da regra de falsa posição.

Regra da Dupla Falsa Posição

Para equações do tipo ax + b = c a regra não funcionaria, mas podemos usar uma regra similar, denominada de “dupla falsa posição”.

Para usarmos a regra de dupla falsa posição, devemos considerar a função f(x) = ax + b – c, atribuir dois valores falsos, x1 e x2 , calcular os valores numéricos correspondentes, f(x1) e f(x2) e, em seguida, montar a proporção:

1

1

2

2

12

12

xx

)f(x - c

xx

c - )f(x

)f(x - )f(x

xx

Tanto a regra da falsa posição, quando a regra da dupla falsa posição, dão o valor exato de x.  Para problemas não lineares, podemos aplicar a regra de dupla falsa posição, obtendo valores aproximados para x. Cardano (séc. XVI) aplicava, repetidas vezes, a regra da falsa posição, visando melhorar a aproximação do resultado.  Atualmente usamos tal regra, com o nome de Interpolação Linear, para aproximarmos um arco de curva por um segmento de reta.

Esse tipo de recurso é muito usado em problemas de Matemática Financeira, quando consultamos tabelas específicas e não encontramos o valor exato de um resultado procurado para taxa ou para o tempo.

Encontramos inclusive alguns registros, entre os antigos babilônios, de problemas desse tipo, como: Em quanto tempo o capital de 1 gur, aplicado a 20% ao ano, duplica de valor?Temos aqui a função exponencial f(x) = (1,2)x

Nesse caso, temos a equação exponencial: 1 x (1,2)n = 2Consultando uma calculadora, temos: (1,2)3 = 1,7280 e que (1,2)4 = 2,0736, logo, como queremos f(x) = 2, o valor procurado estará entre 3 e 4 anos. Aplicando a regra da dupla falsa posição, teremos:

xx

f(x) - )f(x

)f(x - )f(x

2

2

12

12

xxFazendo x1 = 3 e x2 = 4, com f(x1) = 1,7280 e f(x2) = 2,0736

x- 4

0,0736

1

3456,04

2 - 2,0736

34

,72801 - 2,0736

x

0,3456 . x = 1,3088, o que acarreta x = 1,3088 : 0,3456 3,787 anos.

Usando uma moderna calculadora financeira, teremos, para esse problema, a resposta 3,8018 anos, o que mostra que tivemos uma excelente aproximação da resposta.

Bibliografia: BOYER, C. B., História da

Matemática. Edgar Blücher: SP, 2001 GUELLI, O. Contando a História da

Matemática – vol 2. Ática: SP, 1999. http://www.matematica.br/historia SBM, Revista do Professor de

Matemática – n. 15

SUGESTÕES PARA PESQUISA E APROFUNDAMENTO

A MATEMÁTICA NA BABILÔNIA O PAPIRO DE RHIND CARDANO MATEMÁTICA FINANCEIRA E

INTERPOLAÇÃO LINEAR INTERPOLAÇÃO LINEAR NO CÁLCULO

NUMÉRICO