Taxas de Variação:

Velocidade e Funções Marginais

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Taxas de Variação:Velocidade e Funções Marginais

1.Taxa média de variação

2.Taxa instantânea de variação e velocidadeinstantânea

3.Taxas de variação na Economia: funções marginais

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1. Taxa média de variação

Em aulas anteriores estudamos duasaplicações fundamentais das derivadas.

1.Inclinação. A derivada de f é uma função que dáa inclinação do gráfico de f em um ponto(x, f(x)).

2.Taxa de Variação. A derivada de f é umafunção que dá a taxa de variação de f(x) emrelação a x no ponto (x, f(x)).

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1. Taxa média de variação

Existem várias aplicações na vida realrelativas às taxas de variação. Eis algumas:velocidade, aceleração, taxas de crescimentopopulacional, taxas de desemprego, taxas deprodução, taxas de fluxo de água, etc … Embora astaxas de variação se refiram frequentemente aotempo, podemos estudar a taxa de variação de umavariável em relação a qualquer outra variável.

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1. Taxa média de variação

Ao determinarmos a taxa de variação deuma variável em relação a outra, devemos tercuidado em distinguir entre taxa de variação médiae taxa de variação instantânea. A distinção entreessas duas taxas de variação é análoga à distinçãoentre o coeficiente angular da secante por doispontos de um gráfico e o coeficiente angular datangente em um ponto.

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1. Taxa média de variação

Definição de Taxa Média de Variação

Se y = f(x), então a taxa média de variaçãode y em relação a x no intervalo [a, b] é

Note que f(a) é o valor da função no pontoextremo esquerdo do intervalo, f(b) é o valor dafunção no ponto extremo direito do intervalo, eb – a é a amplitude do intervalo.

( ) ( )Taxa média de variação

f b f a yb a x

− ∆= =− ∆

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1. Taxa média de variação

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1. Taxa média de variação

Nos problemas aplicados, é importanterelacionar as unidades de medida para uma taxa devariação. As unidades de ∆y/∆x são “y unidades”por “x unidades”. Por exemplo, se y é dado emmilhas e x em horas, então ∆y/∆x é dada em milhaspor hora.

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1. Taxa média de variação

Exemplo 1: A concentração C (em miligramas pormililitro) de um remédio na corrente sanguínea deum paciente é monitorada a intervalos de 10minutos durante 2 horas, com t dado em minutos,conforme a tabela abaixo. Ache as taxas médias devariação nos seguintes intervalos: a) [0, 10],b) [0, 20] e c) [100, 110]

t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

C 0 2 17 37 55 73 89 103 111 113 113 103 68

10

a) No intervalo [0, 10], a taxa média de variação é:

b) No intervalo [0, 20], a taxa média de variação é:

1. Taxa média de variação

17 0 170,85 mg por mL/min

20 0 20Ct

∆ −= = =∆ −

2 0 20,2 mg por mL/min

10 0 10Ct

∆ −= = =∆ −

Valor de C no Extremo Direito

Valor de C no Extremo Esquerdo

Amplitude do Intervalo

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c)No intervalo [100, 110], a taxa média de variaçãoé:

As taxas de variação do Exemplo 1 são emmiligramas por mililitro por minuto porque aconcentração é medida em miligramas por mililitroe o tempo é dado em minutos.

1. Taxa média de variação

103 113 101 mg por mL/min

110 100 10Ct

∆ − −= = = −∆ −

Tempo em minutos

2 0 20,2 mg por mL/min

10 0 10Ct

∆ −= = =∆ −

Concentração em miligramas por mililitro

Taxa de variação em miligramaspor mililitro por minuto

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1. Taxa média de variação

No Exemplo 1, a taxa média de variação épositiva quando a concentração aumenta, enegativa quando a concentração diminui.

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1. Taxa média de variação

Uma aplicação usual da taxa média devariação, consiste em achar a velocidade média deum objeto em movimento retilíneo.

variação na distânciaVelocidade média

variação no tempo=

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1. Taxa média de variação

Exemplo 2: Se um objeto é solto em queda livre deuma altura de 100 pés e se a resistência do ar podeser desprezada, a altura h do objeto no instante t(em segundos) é dada por

conforme indicado na figura seguinte. Ache avelocidade média do objeto nos intervalos:a) [1; 2], b) [1; 1,5] e c) [1; 1,1].

216 100,h t= − +

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1. Taxa média de variação

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1. Taxa média de variação

Podemos utilizar a equação de posição paradeterminar as alturas em t = 1, t = 1,1, t = 1,5 et = 2, conforme a tabela abaixo.

216 100h t= − +

t (em segundos) 0 1 1,1 1,5 2

h (em pés) 100 84 80,64 64 36

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1. Taxa média de variação

a) Para o intervalo [1; 2], o objeto cai de uma alturade 84 pés para uma altura de 36 pés. Assim, avelocidade média é

b) Para o intervalo [1; 1,5], a velocidade média é

36 84 4848 pés/s

2 1 1ht

∆ − −= = = −∆ −

64 84 2040 pés/s

1,5 1 0,5ht

∆ − −= = = −∆ −

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1. Taxa média de variação

c) Para o intervalo [1; 1,1], a velocidade média é

No Exemplo 2, as velocidades são negativasporque o objeto está se deslocando para baixo.

80,64 84 3,3633,6 pés/s

1,1 1 0,1ht

∆ − −= = = −∆ −

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

Suponha, no Exemplo 2, que queiramos achara taxa de variação de h no instante t = 1 s, Essataxa é chamada taxa de variação instantânea.Podemos aproximá-la em t = 1 calculando a taxamédia de variação em intervalos cada vez menoresda forma [1, 1 + ∆t ], conforme a tabela seguinte.Pela tabela, parece razoável concluirmos que a taxainstantânea de variação da altura, quando t = 1, éde -32 pés por segundo.

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

O limite nesta definição é o mesmo que olimite na definição da derivada de f em x. Esta é asegunda interpretação da derivada – como taxa devariação instantânea de uma variável em relação aoutra. Recorde que a primeira interpretação daderivada é como inclinação do gráfico de f em x.

∆∆∆∆t 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 0

∆∆∆∆h/∆∆∆∆t -48 -40 -33,6 -32,16 -32,016 -32,0016 -32

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

Definição de Taxa Instantânea de Variação

A taxa instantânea de variação (ousimplesmente taxa de variação) de y = f(x) em x éo limite da taxa média de variação no intervalo[x, x + ∆x], quando ∆x tende para zero.

Se y é uma distância e x é o tempo, então ataxa de variação é uma velocidade.

0 0

( ) ( )lim limx x

y f x x f xx x∆ → ∆ →

∆ + ∆ −=∆ ∆

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

Exemplo 3: Ache a velocidade do objeto doExemplo 2 quando t = 1.

Pelo Exemplo 2, sabemos que a altura de umobjeto em queda livre é dada por

Tomando a derivada desta função posição,obtemos a função velocidade

2( ) 16 100h t t= − +

'( ) 32h t t= −

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

A função velocidade dá a velocidade em uminstante arbitrário. Assim, quando t = 1, avelocidade é h’(1) = -32(1) = -32 pés/s.

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

Exemplo 4: No instante t = 0, um mergulhadorsalta de um trampolim a 32 pés de altura,conforme a figura seguinte. Como a velocidadeinicial do mergulhador é de 16 pés por segundo, suafunção posição é

a) Em que instante o mergulhador atinge a água?

b) Qual a velocidade do mergulhador no momentodo impacto?

216 16 32h t t= − + +

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

a) Para achar o instante em que o mergulhadoratinge a água, façamos h = 0 e resolvamos emrelação a t.

A solução t = -1 não tem sentido noproblema; concluímos, pois, que o mergulhadoratinge a água quando t = 2 segundos.

2

2

16 16 32 0 Fazendo h =0

16( 2) 0 Colocando -16 em evidência

16( 1)( 2) 0 Fatorando

1 ou 2 Resolvendo em relação a t

t t

t t

t t

t t

− + + =− − − =− + − =

= − =

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2. Taxa instantânea de varia-ção e velocidade instantânea

b) A velocidade no instante t é dada pela derivada

No instante t = 2, a velocidade é

' 32 16 Função velocidadeh t= − +

' 32(2) 16 48 ft/s.h = − + = −

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Outra aplicação importante das taxas devariação ocorre no campo da Economia. Oseconomistas se referem a lucro marginal, receitamarginal e custo marginal como as taxas devariação do lucro, da receita e do custo em relaçãoao número x de unidades produzidas ou vendidas. Aequação que relaciona essas três grandezas é

onde P, R e C representam:

P = lucro total, R = receita total C = custo total.

P R C= −

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

As derivadas dessas grandezas chamam-selucro marginal, receita marginal e custo marginal,respectivamente.

lucro marginal receita marginal custo marginaldP dR dCdx dx dx

= = =

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Em muitos problemas de administração eeconomia, o número de unidades produzidas ouvendidas está restrito a valores inteiros positivos,conforme indicado na figura seguinte.Naturalmente, uma venda pode envolver metade ououtra fração de unidades, mas é difícil conceberuma venda que envolva 1,41 unidades. A variávelque denota tais unidades é chamada variáveldiscreta.

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Para analisar uma função de uma variáveldiscreta x, podemos admitir provisoriamente que xseja uma variável contínua, capaz de tomarqualquer valor real em um dado intervalo.Utilizamos então os métodos do cálculo para acharo valor de x que corresponde à receita marginal, aolucro máximo, ao custo mínimo ou o que quer queseja. Finalmente, devemos arredondar a soluçãopara o valor mais próximo cabível de x – centavos,dólares, unidades, ou dias, dependendo docontexto do problema.

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Exemplo 5: O lucro resultante da venda de xunidades de um artigo é dado por P = 0,0002x3 +10x.

a) Ache o lucro marginal para um nível de produçãode 50 unidades.

b) Comparar com o aumento do lucro decorrentedo aumento de produção de 50 para 51 unidades.

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

a) Como o lucro é P = 0,0002x3 + 10x, o lucromarginal é dado pela derivada

Quando x = 50, o lucro marginal é

20,0006 10.dP

xdx

= +

20,0006 (50) 10 1,5 10 $11,50 por unidadedPdx

= ⋅ + = + =

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

b) Para x = 50, o lucro efetivo é

e para x = 51, o lucro efetivo é

20,0002 (50) 10 (50) 25 500 $525,00P = ⋅ + ⋅ = + =

20,0002 (51) 10 (51) 26,53 510 $536,53P = ⋅ + ⋅ = + =

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Assim, o lucro adicional obtido pelo aumentodo nível de produção de 50 para 51 unidades é

Note que o aumento efetivo de lucro de$11,53 (quando x aumenta de 50 para 51 unidades)pode ser aproximado pelo lucro marginal de $11,50por unidade (quando x = 50), conforme a figura aseguir.

$536,53 $525,00 $11,53 Lucro extra para uma unidade− =

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

A razão por que o lucromarginal dá uma boa aproximaçãoda variação efetiva do lucro é queo gráfico de P é quase uma linhareta no intervalo 50 ≤ x ≤ 51.

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

A função lucro do Exemplo 5 não é comumpelo fato de o lucro continuar a crescer na medidaem que aumenta o número de unidades vendidas.Na prática, são mais comuns situações em que sóse consegue aumentar a venda reduzindo-se opreço unitário. Tais reduções acabam por causaruma queda no lucro.

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

O número de unidades x que osconsumidores se interessam em comprar a umcerto preço unitário p é dado pela função demanda

p = f(x) Função demanda

A receita total R está então relacionada como preço unitário e a quantidade procurada (ouvendida) pela equação

R = xp Função receita

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Exemplo 6: Um estabelecimento comercial vende2.000 itens por mês ao preço de $10 cada. Estima-se que as vendas mensais aumentem de 250unidades para cada $0,25 de redução no preço.Com esta informação, determine a função demandae a função receita total.

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Pela estimativa, x aumenta de 250 unidadescada vez que p sofre uma redução de $0,25 apartir do custo original de $10. Temos, assim, aequação

Resolvendo em relação a p em termos de x,obtemos

102.000 250

0,25

2.000 10.000 1.000

12.000 1.000

px

p

p

− = + ⋅

= + −= −

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Isto, por seu turno, implica que a funçãoreceita é

12.000 1.000

1.000 12.000

121.000

x p

p x

xp

= −= −

= −

2

12 121.000 1.000

x xR xp x x = = ⋅ − = −

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

A Figura acima exibe o gráfico da funçãodemanda. Note que o preço diminui na medida emque aumenta a demanda.

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Exemplo 7: Um restaurante de refeições ligeirasconstatou que a demanda mensal por seushambúrgueres é dada por

A figura seguinte mostra que, na medida emque o preço cai, a quantidade vendida aumenta. Atabela abaixo mostra a procura por hambúrgueresa diversos preços.

60.00020.000

xp

−=

x 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0

p $0,00 $0,50 $1,00 $1,50 $2,00 $2,50 $3,00

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Ache o aumento na receita por hambúrguerpara uma venda mensal de 20.000 unidades. Emoutras palavras, ache a receita marginal quandox = 20.000.

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Como a demanda é dada por

a receita é dada por R = xp, e temos

Diferenciando, obtemos a receita marginal:

60.000,

20.000x

p−=

260.000 1(60.000 ).

20.000 20.000x

R xp x x x− = = ⋅ = −

1(60.000 2 ).

20.000dR

xdx

= −

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Assim, quando x = 20.000, a receita marginal é

[ ]1 20.00060.000 2(20.000) $1 por unidade.

20.000 20.000dRdx

= − = =

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

É convenção na Economia escrever umafunção demanda na forma p = f(x). Do ponto devista do consumidor, poderia parecer mais razoávelsupor a quantidade procurada como função dopreço. Matematicamente, entretanto, os doispontos de vista se equivalem, porque uma funçãodemanda típica é um a um e, assim, possui umainversa. Por exemplo, no Exemplo 7 poderíamosescrever a função demanda como

x = 60.000 – 20.000p

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Exemplo 8: Suponhamos que, no Exemplo 7, o custoda produção de x hambúrgueres seja

Determine o lucro e o lucro marginal para osseguintes níveis de produção: a) x = 20.000,b) x = 24.000 e c) x = 30.000.

5.000 0,56 , 0 50.000.C x x= + ≤ ≤

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Pelo Exemplo 7, sabemos que a receita totalda venda de x unidades é

Como o lucro total é dado por P = R – C,temos:

( )2160.000 .

20.000R x x= −

( )2

2

2

160.000 (5.000 0,56 )

20.000

3 5.000 0,5620.000

2,44 5.000.20.000

P x x x

xx x

xx

= − − +

= − − −

= − −

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Assim, o lucro marginal é

Com o auxílio destas fórmulas, podemoscalcular o lucro e o lucro marginal.

2,4410.000

dP xdx

= −

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais

Produção Lucro Lucro Marginal

a. 20.000 $23.800,00 $0,44 por unidade

b. 24.400 $24.768,00 $0,00 por unidade

c. 30.000

dPx P

dxdP

x Pdx

x

= = =

= = =

= $23.200,00 $0,56 por unidadedP

Pdx

= = −

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3. Taxas de variação emEconomia: funções marginais