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ESTUDO SOBRE OPERADORES AC ´ USTICOS PARA MODELAGEM S ´ ISMICA ANISOTR ´ OPICA Elias da Concei¸c˜ ao Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´ arios`aobten¸c˜ ao do t´ ıtulo de Mestre em Engenharia Civil. Orientadores: Webe Jo˜ ao Mansur Cleberson Dors Rio de Janeiro Fevereiro de 2011

Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

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Page 1: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM

SISMICA ANISOTROPICA

Elias da Conceicao

Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Programa de Pos-graduacao em Engenharia

Civil, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre

em Engenharia Civil.

Orientadores: Webe Joao Mansur

Cleberson Dors

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2011

Page 2: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM

SISMICA ANISOTROPICA

Elias da Conceicao

DISSERTACAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO

ALBERTO LUIZ COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DE

ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A

OBTENCAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHARIA

CIVIL.

Examinada por:

Prof. Webe Joao Mansur, Ph.D.

Dr. Cleberson Dors, D.Sc.

Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc.

Dr. Andre Bulcao, D.Sc.

Prof. Claudio Jose Martins, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

FEVEREIRO DE 2011

Page 3: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Conceicao, Elias da

Estudo sobre operadores acusticos para modelagem

sısmica anisotropica/Elias da Conceicao. – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2011.

XIV, 100 p.: il.; 29, 7cm.

Orientadores: Webe Joao Mansur

Cleberson Dors

Dissertacao (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de

Engenharia Civil, 2011.

Referencias Bibliograficas: p. 87 – 94.

1. Modelagem Sısmica. 2. Diferencas Finitas. 3.

Anisotropia. 4. Equacao Acustica Anisotropica. 5.

Equacao Pseudo-Acustica Anisotropica. I. Mansur, Webe

Joao et al.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Tıtulo.

iii

Page 4: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

A resposta certa, nao importa

nada: o essencial e que as

perguntas estejam certas.

Mario Quintana

iv

Page 5: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Agradecimentos

Agradeco ao meus orientadores Prof. Webe Joao Mansur e Cleberson Dors, pelos

valiosos conselhos e incontaveis auxılios na preparacao deste trabalho.

Agradeco aos pesquisadores Ilya Tsvankin, Vladimir Grechka, Pat F. Daley, Paul

J. Fowler, Michael Slawinski e Alcides Aggio por disporem seus tempos com inumeras

explicacoes sobre anisotropia.

Aos amigos do LAMEC, expresso minha gratidao pela companhia e discussoes.

Especialmente a Leandro Di Bartolo, Wilson Duarte, Viviane Ferreira, Israel Nunes,

Wilian Jeronimo, Edivaldo Junior, Franciane Peters, Pablo Oyarzun, Cid Monteiro,

Gilmar e Raphael. Obrigado a Ivone pela ajuda com os tramites burocraticos du-

rante o curso.

Agradeco tambem ao Prof. Roberto Fernandes de Oliveira pelos excelentes cursos

ministrados e a Josias Silva pelo primeiro contato com a modelagem sısmica.

Obrigado a minha famılia, sem a qual nao chegaria ate aqui, em especial a minha

mae pelos valores ensinados. Muito obrigado a Jose Ernesto Valete pelo incentivo e

apoio.

Minha sincera gratidao e meu muito obrigado a minha noiva Gabriela, pela

cumplicidade e apoio durante toda minha vida academica.

Por fim, agradeco a CAPES pelo apoio financeiro prestado durante todo o curso.

v

Page 6: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Resumo da Dissertacao apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessarios para a obtencao do grau de Mestre em Ciencias (M.Sc.)

ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM

SISMICA ANISOTROPICA

Elias da Conceicao

Fevereiro/2011

Orientadores: Webe Joao Mansur

Cleberson Dors

Programa: Engenharia Civil

Neste trabalho, sao estudadas as equacoes de ondas acusticas e pseudo-acustica

em meios transversalmente isotropicos com eixo de simetria vertical (VTI), desen-

volvidas por Tariq Alkhalifah [1], Zhang et al. [2] e Klıe e Toro [3]. Destaca-se

que o estudo busca a compreensao sobre a natureza da propagacao das ondas e

dos fenomenos que as governam, tal como suas limitacoes. A modelagem sısmica e

empregada com a finalidade de ilustrar os fenomenos presentes. Os tempos de tran-

sito sao comparados com os originados pela modelagem elastica anisotropica para

avaliacao da precisao cinematica da equacao pseudo-acustica.

vi

Page 7: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

STUDY ABOUT ACOUSTIC OPERATORS FOR SEISMIC ANISOTROPIC

MODELING

Elias da Conceicao

February/2011

Advisors: Webe Joao Mansur

Cleberson Dors

Department: Civil Engineering

In this research, acoustic and pseudo-acoustic wave equations in vertical trans-

verse isotropic media (VTI), developed by Tariq Alkhalifah [1], Zhang et al. [2] and

Klıe and Toro [3] are studied. It is emphasized that the study seeks the understand-

ing the nature of wave propagation, as well as the phenomena that control it, and

its limitations. The seismic modeling is applied in order to illustrate present phe-

nomena. The travel times are compared with those that come from elastic modeling

to evaluate kinematic accuracy of pseudo-acoustic wave equation.

vii

Page 8: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Sumario

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiii

Lista de Abreviaturas xiv

1 Introducao 1

1.1 Consideracoes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Revisao bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Objetivos e Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Teoria da Elasticidade 6

2.1 Princıpios basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Relacao constitutiva da elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Notacao de Voigt para o tensor de elasticidade . . . . . . . . . . . . . 11

3 Anisotropia e Sistemas de simetria 13

3.1 Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Sistemas de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Grupo de simetria e transformacoes . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Propagacao de ondas em meios elasticos anisotropicos 21

4.1 Equacao da onda elastica para meios isotropicos . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Ondas P e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Equacao da onda elastica para meios anisotropicos . . . . . . . . . . . 24

viii

Page 9: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

4.3 Equacao de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Parametros de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4.1 Parametros de Thomsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4.2 Parametro de Alkhalifah e Tsvankin . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Propagacao de ondas em meios acusticos e pseudo-acusticos aniso-

tropicos 34

5.1 Aproximacoes de velocidade e relacoes de dispersao para meios VTI . 34

5.1.1 Aproximacao de Alkhalifah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.2 Aproximacao de Thomsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.3 Aproximacao de Muir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Equacao de onda pseudo-acustica e acustica anisotropica . . . . . . . 36

5.2.1 Equacao Pseudo-Acustica Anisotropica . . . . . . . . . . . . . 37

5.2.1.1 Formulacao de Alkhalifah . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2.2 Equacoes Acusticas Anisotropicas . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.2.1 Formulacao de Zhang . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.2.2 Formulacao de Klıe e Toro . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Analise das aproximacoes de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Modelagem numerica para propagacao de ondas 42

6.1 Discretizacao das Equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1.1 Discretizacao para a formulacao de Alkhalifah . . . . . . . . . 43

6.1.2 Discretizacao para as formulacoes de Zhang e Klıe . . . . . . . 45

6.1.3 Formulacao elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Condicoes iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.1 Condicao de Dirichlet e Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.3 Condicao de estabilidade e dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3.1 Estabilidade numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3.2 Dispersao numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.4 Fonte Sısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.5 Matriz de tempo de transito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Exemplos e Discussoes 57

7.1 Formulacao Elastica e Pseudo-Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ix

Page 10: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

7.1.1 Meio Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.2 Interfaces Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.1.3 Interface Inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.1.4 Modelo Anticlinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2 Formulacao Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.2.1 Meio Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8 Conclusoes e Trabalhos Futuros 85

Referencias Bibliograficas 87

A Discretizacao pelo Metodo de Diferencas Finitas 95

A.1 Operadores de diferencas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B Simetrias do tensor de elasticidade 99

x

Page 11: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Lista de Figuras

2.1 Forcas atuando sobre um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Tensoes distribuıdas em um cubo infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Modelo VTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1 Polarizacao das ondas sısmicas P e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1 Comparacao para as aproximacoes de velocidade de fase . . . . . . . 41

6.1 Estencil de diferencas finitas o caso pseudo-acustico . . . . . . . . . . 44

6.2 Estencil de diferencas finitas para o caso acustico . . . . . . . . . . . 46

6.3 Malha intercalada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4 Metodo da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.5 Funcao fonte e seu espectro de frequencias. . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.1 Instantaneos para o campo de pressao em meio homogeneo - Formu-

lacao Pseudo-Acustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Instantaneos para o campo de tensao vertical (σzz) em meio homoge-

neo - Formulacao Elastica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3 Frentes de onda para as velocidades de fase e grupo . . . . . . . . . . 60

7.4 Mecanismo de formacao da onda SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.5 Comparacao das MTT’s para meio homogeneo . . . . . . . . . . . . . 63

7.6 Comparacao das MTT’s para formulacao elastica e pseudo-acustica

no meio homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.7 Modelo de velocidade e parametros de anisotropia para interfaces pa-

ralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

xi

Page 12: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

7.8 Instantaneos do campo de pressao (Interfaces Paralelas - Primeira

camada isotropica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.9 Instantaneos do campo de pressao (Interfaces Paralelas - Primeira

camada anisotropica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.10 Sismogramas para modelo de interfaces paralelas . . . . . . . . . . . . 69

7.11 Modelos de velocidade da onda S vertical e densidade para interfaces

paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.12 Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Interfaces paralelas) 71

7.13 Modelo de velocidade e parametros de anisotropia para interface in-

clinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.14 Instantaneos do campo de pressao (Interfaces Inclinada/Pseudo-

Acustica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.15 Modelos de velocidade da onda S vertical e densidade (Anticlinal) . . 75

7.16 Modelo anticlinal para velocidade Vpz e parametros de anisotropia . . 76

7.17 Instantaneos do campo de pressao (Anticlinal/Pseudo-Acustica) . . . 78

7.18 Instantaneos do campo de tensao vertical (Anticlinal/Elastica) . . . . 79

7.19 Sismogramas para modelo Anticlinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.20 Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Anticlinal) . . . . 81

7.21 Instantaneos para o campo de pressao em meio anisotropico homoge-

neo - Formulacao Acustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.22 Frentes de onda para a velocidade grupo - Aproximacao de Thomsen

e Muir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.1 Discretizacao pelo Metodo das Diferencas Finitas (MDF) . . . . . . . 98

xii

Page 13: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Lista de Tabelas

7.1 Parametros utilizados na modelagem (Meio Homogeneo) . . . . . . . 58

7.2 Parametros utilizados na modelagem (Interfaces Paralelas) . . . . . . 65

7.3 Parametros utilizados na modelagem (Interface Inclinada) . . . . . . 72

7.4 Parametros utilizados na modelagem (Anticlinal) . . . . . . . . . . . 77

xiii

Page 14: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Lista de Abreviaturas

CCNR Condicoes de contorno nao reflexivas, p. 49

CFL Courant-Friedrichs-Lewy, p. 52

MDF Metodo das Diferencas Finitas, p. 1

MEF Metodo dos Elementos Finitos, p. 1

MTT Matriz de tempo de transito, p. 56

MVF Metodo dos Volumes Finitos, p. 2

SH Onda S (cisalhante) com polarizacao horizontal, p. 24

SV Onda S (cisalhante) com polarizacao vertical, p. 24

TI Transversalmente Isotropica, p. 3

TTI Tilted Tranverse Isotropic (Anisotropia TI com eixo de simetria

qualquer), p. 3

VTI Vertical Tranverse Isotropic (Anisotropia TI com eixo de sime-

tria vertical), p. 3

AVO Amplitude versus offset (afastamento), p. 3

xiv

Page 15: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Consideracoes preliminares

Atualmente na area de Petroleo e Gas a procura por novas reservas de hidro-

carbonetos em areas antes nunca exploradas, particularmente em aguas ultra - pro-

fundas, requer um alto ındice de investimento em novas metodologias por parte das

empresas de exploracao, tendo em vista a alta complexidade geologica envolvida e

a presenca de fortes barreiras, como domos salinos, que dificultam a passagem das

ondas sısmicas.

O desenvolvimento de tecnicas computacionais mais robustas e eficientes, pode

auxiliar no desafio de contornar as dificuldades inerentes a profundidade de explora-

cao e a complexidade geologica da subsuperfıcie, permitindo assim simular a presenca

de reservas cada vez mais delgadas e irregulares.

Nesse contexto, a Modelagem Sısmica e uma linha de pesquisa importante para a

exploracao de petroleo. Por meio da modelagem, e possıvel estimar o comportamento

e as caracterısticas das ondas em subsuperfıcie, sendo util tanto para a compreensao

do fenomeno da propagacao das ondas, como ferramenta auxiliar nos processos de

imageamento. Existem formulacoes diversas para realizar a modelagem sısmica [4],

sendo relevantes no contexto deste trabalho os metodos baseados na equacao da

onda no domınio do tempo, seja elastica ou acustica.

Na modelagem os metodos numericos desempenham um papel de destaque, onde

os mais empregados para modelar ondas sısmicas sao: Metodo das Diferencas Finitas

(MDF), Metodo dos Elementos Finitos (MEF), Metodo dos Volumes Finitos (MVF)

1

Page 16: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

e Metodo Pseudo-Espectral [4].

Para a modelagem fornecer resultados precisos o modelo fısico, que descreve

o meio geologico a ser explorado, deve ser o mais realista possıvel. Dessa forma,

explorar modelos que contemplem a anisotropia, isto e, a variacao das propriedades

do meio com a direcao [5], [6], [7], torna-se importante tendo em vista o atual cenario

da exploracao brasileira que contempla novos horizontes ainda desconhecidos e cada

vez mais complexos.

A anisotropia passou a ter um impacto significativo na industria de exploracao

nos ultimos trinta anos, devido a novas metodologias de aquisicao de dados que

contemplam os efeitos anisotropicos, e principalmente a evolucao computacional

que passou a permitir o uso de algoritmos mais precisos, revelando falhas no modelo

isotropico [8].

Embora a anisotropia tenha sido aplicada na area de exploracao de hidrocar-

bonetos nas ultimas tres decadas, seu estudo remonta desde o seculo XIX, quando

foi iniciado por reconhecidos Fısicos e Matematicos, como Augustin Louis Cauchy,

Augustin-Jean Fresnel, Lord Kelvin e George Green [8]. Green foi o primeiro a

usar a energia de deformacao e propor que poderiam haver 21 constantes elasticas

[9]; Lord Kelvin foi o primeiro a formular a equacao da onda elastica para meios

anisotropicos [8].

Na Geofısica, as pesquisas aplicadas ao tema iniciaram-se no final do seculo XIX

e inıcio do XX com os trabalhos pioneiros de Maurice Rudzki [10],[11]. No artigo de

Helbig et al. [8] ha um fragmento do trabalho de Rudzki [10] de 1897 que diz:

“If we have said that rocks must be treated as homogenous media, we

did not mean to imply that these media would be isotropic. Many rocks

can, of course, be regarded as isotropic, but in layered rocks one observes

often an orientation of the grains — one should think of the orientation

of mica flakes in gneiss and — moreover the structure of layered me-

dia is generally different parallel and perpendicular to the layers. The

dependence of the physical properties is shown by the well-known fact

that the conductivity of heat in layered media is different in directions

perpendicular and parallel to the layers. We have still another reason to

regard some rocks as anisotropic media. Rocks, in particular those at

2

Page 17: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

greater depth, are subject to large, and by far not always uniform iso-

tropic pressure. But it is known that an isotropic body under uniaxial

pressure can and will behave as a birefringent one ”.

Dessa forma, Rudzki previa que rochas poderiam apresentar natureza aniso-

tropica, fato atualmente conhecido. Por essa razao determinados meios geologicos

passaram a ser tratados como tal.

Diversas classes de anisotropia sao encontradas na natureza, como: monoclınica,

ortotropica ou ortorrombica, tetragonal, trigonal, cubica e transversa isotropica ou

transversalmente isotropica (TI) [12], sendo a transversa isotropica e a ortorrombica

as mais aplicadas em sısmica de exploracao.

Muitas formacoes geologicas sao TI, como as formacoes de xisto, que sao dispos-

tas em camadas horizontais e causam anisotropia do tipo VTI (Vertical Tranverse

Isotropic), isto e, anisotropia TI com eixo de simetria vertical. Na hipotese em que

o eixo de simetria esta disposto em qualquer direcao, a anisotropia e dita ser TTI

(Tilted Tranverse Isotropic).

1.2 Revisao bibliografica

Atualmente o tema anisotropia cresceu consideravelmente na area de modelagem

sısmica. Um dos primeiros trabalhos encontrados na area de modelagem sısmica

anisotropica pertence a Peter Mora, que em 1989 desenvolveu um algoritmo baseado

em Diferencas Finitas em 3D para meios heterogeneos com 21 coeficientes elasticos

[13]. Posteriormente Igel et al. [14] desenvolveram operadores de diferencas finitas

para meios com simetria qualquer, utilizando grid intercalado e interpolacao dos

tensores de tensao e deformacao. No entanto a estrategia introduzida por estes

autores causa erros nas velocidades de fase e grupo das ondas, os quais dependem

da interpolacao e do grau de anisotropia utilizado.

Na linha de modelagem elastica para meios TI, Tsingas et al. [15] formularam

operadores para meios VTI, utilizando o esquema de MacCormack [16], esquema este

derivado das equacoes de Lax-Wendroff [17], podendo ser aplicado para analises de

AVO (Amplitude versus offset). Faria e Stoffa [18] desenvolveram operadores para

meios VTI baseados no trabalho de Levander para meios isotropicos [19], sendo

3

Page 18: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

que os operadores apresentados mostraram-se mais estaveis em relacao aos metodos

classicos de Diferencas Finitas ate entao adotados.

Apesar da anisotropia ser classicamente um comportamento exibido por solidos,

em alguns tipos de aplicacoes geofısicas pode-se negligenciar as ondas cisalhantes.

Nestes casos pode ser mais adequado adotar formulacoes que simulem apenas a pro-

pagacao da onda qP (quasi-P) no meio anisotropico, para buscar principalmente a

reducao do custo computacional e a geracao de imagens em profundidade relaciona-

das somente ao modo de onda P.

Neste sentido, Tariq Alkhalifah [1] desenvolveu uma formulacao para meios acus-

ticos anisotropicos (i.e., somente onda qP) com simetria VTI, a partir de um trabalho

anterior, onde obteve a relacao de dispersao para meios transversos isotropicos [20].

A formulacao consiste em um sistema de equacoes diferenciais de quarta ordem aco-

pladas no espaco, tendo como parametros a velocidade de normal moveout (Vpn)1, e

os parametros de anisotropia de Thomsen [21].

Dando continuidade ao trabalho de Tariq, Klıe e Toro [3] desenvolveram uma

equacao semelhante, onde no entanto o sistema de equacoes diferenciais possue de-

rivadas acopladas no espaco e tempo, tornando o processo de resolucao complicado

e com maior custo computacional. Posteriormente foram realizadas extensoes da

equacao de Tariq para meios TTI, entre as quais destacam-se as de Zhang et. al [2]

e Zhou et al. [22].

Devido a equacao de Alkhalifah apresentar derivadas acopladas, tornando o pro-

cesso de discretizacao extenso, diversos autores propuseram formulacoes equivalentes

com a finalidade de eliminar o acoplamento das derivadas, entre os quais merecem

destaque, Zhou et al. [23], Zhang e Zhang [24], Du et al. [25] e Duveneck et al. [26].

No trabalho de Fowler et al. [27], e encontrada uma compilacao sobre as diferentes

aproximacoes para o desacoplamento das derivadas, alem das vantagens computa-

cionais para cada uma destas diferentes formulacoes. Empregando a equacao de

Alkhalifah, diversos algoritmos de migracao foram implementados, entre eles Zhang

e Zhang [24], destacando-se aqueles de Bale et al. [28], Du et al. [29] e Fletcher et

al. [30].

1Velocidade da onda obtida a partir do tempo de normal moveout, o qual e dado pela diferenca

entre o tempo de percurso (tx) para uma distancia especıfica fonte-receptor e o tempo (t0) para a

distancia nula fonte-receptor.

4

Page 19: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

1.3 Objetivos e Estrutura do trabalho

O enfoque deste trabalho reside no estudo da natureza das equacoes acusticas

anisotropicas para meios transversos isotropicos com eixo de simetria vertical (VTI)

desenvolvidas por Hector Klıe, Linbin Zhang e Tariq Alkhalifah. Compreender os

fenomenos presentes nas equacoes acusticas anisotropicas, suas limitacoes e dificul-

dades inerentes sera o enfoque principal do trabalho. A modelagem sısmica sera

empregada como ferramenta de analise das equacoes de ondas envolvidas, onde a

partir da mesma os tempos de transito serao avaliados utilizando como parametro

de comparacao os tempos originados pela modelagem elastica anisotropica.

A estrutura do trabalho esta dividida em oito capıtulos: no capıtulo 2, e realizada

uma breve revisao sobre os principais conceitos da teoria de elasticidade. Sao apre-

sentados os tensores de tensao, deformacao e a relacao constitutiva da elasticidade,

conceitos importantes para a deducao da equacao elastica da onda.

No capıtulo 3 introduz-se o conceito de anisotropia, onde as diferentes classifica-

coes para cada tipo de anisotropia e as diversas variacoes do tensor de elasticidade

em funcao das classes de simetria serao abordadas.

No capıtulo 4, as equacoes de onda elastica em meios isotropicos e anisotropicos

sao apresentadas, tal como as relacoes de velocidades analıticas para o meio trans-

verso isotropico. Os diferentes parametros para caracterizacao da anisotropia sao

detalhados como funcao das propriedades do meio.

No capıtulo 5, serao vistas as aproximacoes de fase para velocidades de onda P,

as relacoes de dispersao, e as equacoes acusticas anisotropicas derivadas a partir de

cada relacao de velocidade apresentada.

No capıtulo 6, e descrito todo o tratamento numerico para a resolucao das equa-

coes elasticas e acusticas.

No capıtulo 7, estao os exemplos empregados para analise das equacoes, as dis-

cussoes a respeito dos resultados, e as respectivas ponderacoes.

Por fim, no capıtulo 8 constam as conclusoes, bem como os trabalhos futuros.

5

Page 20: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Capıtulo 2

Teoria da Elasticidade

2.1 Princıpios basicos

A teoria da elasticidade e o alicerce para a compreensao dos fenomenos que

envolvem a propagacao de ondas elasticas. Neste capıtulo serao introduzidos alguns

princıpios basicos sobre elasticidade. As secoes que seguem estao baseadas em Lay

e Wallace [31], Landau et al. [32] e Slawinski [33].

2.1.1 Deformacao

Quando corpos estao sujeitos a forcas eles sofrem deformacao, isto e, a distancia

entre dois pontos quaisquer do corpo e alterada devido a acao de tensoes. Desde que

essas deformacoes sejam infinitesimais, elas podem ser caracterizadas pelo tensor de

segunda ordem:

εi j =12

(∂ui

∂x j+∂u j

∂xi

), i, j = 1, 2, 3 = x, y, z, (2.1)

onde ~u = ~u(~r) e o vetor deslocamento com componentes (ux, uy, uz).

Dado tensor e conhecido como Tensor de deformacoes infinitesimais, sendo sua

forma matricial dada por:

εi j =

ε11 ε12 ε13

ε21 ε22 ε23

ε31 ε32 ε33

.

6

Page 21: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

As deformacoes com i , j em (2.1) sao chamadas de deformacoes angulares

ou cisalhantes, e com i = j, deformacoes normais. As deformacoes normais estao

relacionadas a variacoes de volume, sendo compressional a deformacao negativa e

dilatacional a positiva, enquanto as deformacoes angulares estao associadas ao cisa-

lhamento. Uma importante caracterıstica do tensor de deformacao infinitesimal e

sua simetria, expressa por:

εi j = ε ji. (2.2)

O traco do tensor de deformacao e chamado de dilatacao cubica (Θ), ou seja,

Θ =

3∑i=1

εii =

3∑i=1

∂ui

∂xi= ~∇ · ~u (2.3)

onde a equacao (2.3) corresponde a uma mudanca fracional no volume do corpo,

expressa por:

∆VV0

=V1 − V0

V0= Θ (2.4)

sendo,

V0 = Volume Inicial;

V1 = Volume Final.

2.1.2 Tensao

Quando ha forcas atuando sobre um solido, cada ponto do mesmo e afetado,

criando um campo de deformacoes associado as tensoes aplicadas em cada ponto do

corpo. Existem basicamente dois tipos de forcas externas, as forcas de volume e as

forcas de superfıcie. Como exemplo de forca de volume pode-se citar a forca peso,

~P = m~g (ou simplesmente peso), onde a massa m = m(ρ,v) e funcao da densidade e

volume do material, e como forcas de superfıcie, a forca de atrito e a forca normal.

Para compreender e definir o conceito de tensao, imagina-se inicialmente um

corpo em equilıbrio, com domınio Ω e contorno Γ , sujeito a um conjunto de forcas

externas, conforme apresentado na figura (2.1(a)). Uma vez que o referido corpo esta

em equilıbrio, ao se realizar um corte imaginario no mesmo, passando pelo ponto

7

Page 22: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Q, conforme ilustrado na figura (2.1(b)), encontrar-se-ao forcas internas chamadas

tensoes, responsaveis pelo equilıbrio local.

(a) Forcas externas atuando sobre um corpo

(b) Forcas externas e corte transversal paralelo ao plano x2x3

no ponto Q.

Figura 2.1: Forcas atuando sobre um corpo

Considerando a area hachurada da figura (2.1(b)) constituıda de elementos infi-

nitesimais de area ∆S , sobre os quais atuam tambem forcas internas infinitesimais

∆ ~F no ponto Q, sendo n o vetor normal a superfıcie. Pode-se definir o vetor de

tensao de Cauchy como,

T (k) = lim∆S→0

∆ ~F∆S

(2.5)

onde, o ındice k, especifica o elemento de superfıcie ∆S sobre o qual o vetor de tensao

esta atuando.

Com isto as tensoes na face x1, sao definidas como:

σ11 = lim∆S 1→0

∆ ~F1

∆S 1, σ12 = lim

∆S 2→0

∆ ~F2

∆S 2, σ13 = lim

∆S 3→0

∆ ~F3

∆S 3(2.6)

onde,

8

Page 23: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

∆S 1 = ~∆S · x1, ∆S 2 = ~∆S · x2, ∆S 2 = ~∆S · x3.

sendo, x1, x1 e x1, vetores unitarios para as direcoes x1, x2 e x3 respectivamente.

Procedendo-se analogamente para as secoes nas faces x2 e x3, o vetor de tensoes

fica definido como:

Ti =

3∑j=1

σ jin j, i ∈ 1, 2, 3. (2.7)

onde:

σi j =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

.com os elementos diagonais correspondendo as tensoes normais, e os demais as ten-

soes cisalhantes. A figura (2.2) apresenta as distribuicoes de tensoes em um cubo

infinitesimal.

Figura 2.2: Tensoes distribuıdas em um cubo infinitesimal.

Para o caso acustico, onde as tensoes cisalhantes nao estao presentes, a matriz

de tensoes assume a forma:

σi j =

−P 0 0

0 −P 0

0 0 −P

, P = −σ11 = −σ22 = −σ33

9

Page 24: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

sendo P a pressao, definida como o negativo da tensao normal (Lei de Pascal).

Atraves da aplicacao da condicao de equilıbrio do momento angular ([32], [33])

no cubo da figura (2.2) demonstra-se a relacao de simetria,

σi j = σ ji. (2.8)

Como consequencia o numero de termos independentes relacionado ao tensor de

tensoes e reduzido a seis, de forma similar ao que ocorre com o tensor de deformacao

(2.2).

2.1.3 Relacao constitutiva da elasticidade

A relacao constitutiva fornece a relacao entre tensao e deformacao, especıfica

para um dado meio. Segundo Slawinski [33], tal relacao nao decorre de qualquer

princıpio fısico fundamental, no entanto nao contraria nenhum outro.

No caso da elasticidade, a relacao constitutiva, tambem chamada de Lei de Hooke

generalizada, e expressa como:

σi j =

3∑k=1

3∑l=1

Ci jklεkl (2.9)

onde Ci jkl e um tensor de 4a ordem, chamado de modulo elastico ou tensor de elasti-

cidade, que define as propriedades materiais do meio. Em um espaco tridimensional

o tensor de elasticidade tem a princıpio 34 = 81 componentes. Porem, devido as

simetrias dos tensores de tensao e deformacao anteriormente descritas, o numero de

constantes independentes se reduz a 36. A interpretacao fısica do tensor de elas-

ticidade pode ser entendida como o numero de direcoes necessarias para mensurar

alguma propriedade do material [33].

10

Page 25: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

2.2 Notacao de Voigt para o tensor de elastici-

dade

Pelo fato do tensor de elasticidade ser de 4a ordem, sua representacao e de difıcil

visualizacao. No entanto a notacao de Voigt 1 explora a simetria dos tensores,

transformando tensores de 2a ordem em vetores e tensores de 4a ordem em matrizes

quadradas. E importante notar que apesar da notacao permitir esse intercambio,

matrizes e tensores sao entidades diferentes.

Escrevendo entao o tensor de elasticidade Ci jkl como uma matriz Cmn de dimensao

6x6, considerando os pares (i, j) e (k, l) (com i ≤ j e k ≤ l), atraves da notacao de

Voigt,

m = iδi j + (9 − i − j)(1 − δi j)

n = kδkl + (9 − k − l)(1 − δkl)(2.10)

onde δmn e o delta de Kronecker, ou seja,

δmn =

0, se m , n

1, se m = n

obtem-se a seguinte matriz:

C =

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C21 C22 C23 C24 C25 C26

C31 C32 C33 C34 C35 C36

C41 C42 C43 C44 C45 C46

C51 C52 C53 C54 C55 C56

C61 C62 C63 C64 C65 C66

. (2.11)

Entretanto, de acordo com (B.8), vide Apendice (B), Cmn = Cnm, logo (2.11)

1Woldemar Voigt - Fısico alemao, em 1887 foi um dos primeiros a formular as transformacoes

de coordenadas entre sistemas de referencia em repouso e em movimento

11

Page 26: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

assume a seguinte forma:

C =

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C12 C22 C23 C24 C25 C26

C13 C23 C33 C34 C35 C36

C14 C24 C34 C44 C45 C46

C15 C25 C35 C45 C55 C56

C16 C26 C36 C46 C56 C66

. (2.12)

Por fim reescrevendo a equacao (2.9) matricialmente tem-se:

σ = Cε. (2.13)

ou,

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C12 C22 C23 C24 C25 C26

C13 C23 C33 C34 C35 C36

C14 C24 C34 C44 C45 C46

C15 C25 C35 C45 C55 C56

C16 C26 C36 C46 C56 C66

ε11

ε22

ε33

2ε23

2ε13

2ε12

. (2.14)

onde o fator 2, presente em ε23, ε13 e ε12 resulta da simetria do tensor de deformacao,

para k , l. Essa notacao e conveniente para explorar as diferentes formas da matriz

(2.12) sob transformacoes que a deixam invariante, ou seja, cada grupo de simetria

da matriz (2.9) leva-a a formas distintas, essas formas caracterizam os diferentes

tipos de anisotropia.

12

Page 27: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Capıtulo 3

Anisotropia e Sistemas de simetria

3.1 Anisotropia

A anisotropia representa a dependencia de uma determinada propriedade com a

direcao de medicao da mesma; no caso da sismologia de exploracao, com a velocidade

das ondas sısmicas.

O fato de determinados meios apresentarem anisotropia esta relacionado as suas

composicoes minerais e variacoes de temperatura [34], [35]. De acordo com Tsvankin

[6], anisotropia e heterogeneidade dependem da escala, isto e, um mesmo meio pode

ser heterogeneo e isotropico para pequenos comprimentos de onda ou heterogeno

anisotropico para comprimentos de onda maiores. Por exemplo, meios dispostos em

finas camadas podem causar anisotropia TI, para comprimentos de onda maiores que

a espessura da camada. Tal tipo de anisotropia e comum em bacias sedimentares

caracterizadas por um eixo de simetria vertical (VTI), figura (3.1).

Segundo Thomsen [21], a anisotropia em sequencias sedimentares, e causada

pelos seguintes fatores:

• Anisotropia intrınseca devido a orientacao dos graos minerais;

• Finas camadas isotropicas, desde que o comprimento de onda seja maior que

a espessura da camada;

• Fraturas verticais ou inclinadas.

Uma das consequencias da anisotropia na modelagem sısmica reside no tempo

de propagacao das ondas, tendo influencia direta no imageamento sısmico, ou seja,

13

Page 28: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Figura 3.1: Modelo VTI, possui o eixo vertical como eixo simetrico por rotacao.

a anisotropia causa variacoes no posicionamento dos refletores em sub-superfıcie

em relacao ao caso isotropico. Por essa razao o estudo da anisotropia na area de

sismologia de exploracao possui relevancia consideravel.

3.2 Sistemas de simetria

As relacoes que se seguem, tal como as descricoes fısicas presentes nesta secao,

estao baseadas em [12] e [33].

Alguns meios geologicos possuem simetria material, ou seja, medindo-se a ve-

locidade da onda nos mesmos, em diversas orientacoes de um dado sistema de co-

ordenadas, a velocidade tera a mesma magnitude. Com sistemas de coordenadas

apropriados, a verificacao das simetrias de um meio e feita atraves do tensor de

elasticidade (2.11).

3.2.1 Grupo de simetria e transformacoes

Para expressar a matriz de elasticidade (2.12) para diferentes tipos de anisotropia,

e necessario adotar um sistema de coordenadas apropriado que permita reconhecer

as simetrias do meio, isto e, e preciso um grupo de simetria que deixe invariante a

matriz (2.12) sob uma transformacao. Um grupo capaz de efetuar tal operacao e o

grupo O(n) denotado por:

O(n) := A ∈ Mat (R, n), A−1 = AT .

14

Page 29: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

onde Mat(R, n) e o conjunto de todas as matrizes reais n x n, e O( n) e o grupo das

matrizes ortogonais n x n. Basicamente o interesse sobre O( n) se restringe a dois

tipos de matrizes do grupo, rotacoes e reflexoes, as quais introduzem as transforma-

coes ortogonais necessarias para o estudo dos diferentes tipos de anisotropia.

Definicao 3.2.1 O conjunto de transformacoes ortogonais dadas pela matriz A, o

qual deixa as propriedades elasticas do meio invariantes, e chamado de grupo de

simetria do meio.

De acordo com a teoria de grupo, se determinada matriz e invariante sob uma

transformacao ortogonal dada pelas matrizes A1, A2, ela tambem sera invariante sob

o produto A1A2. Alem disso se uma matriz e invariante sob A, sob A−1 tambem o

sera [33].

A transformacao utilizada em (2.12) a fim de encontrar as diferentes classes de

simetria, e do tipo:

C = MTACMA. (3.1)

A matriz de elasticidade e invariante sob a transformacao (3.1), dada pela matriz

MA, chamada de matriz de Bond. Tal matriz e obtida atraves de transformacoes

ortogonais sob os tensores de tensao e deformacao1.Dessa forma a equacao (3.1)

impoe uma condicao para encontrar as simetrias materiais da matriz de elasticidade.

A matriz de Bond e escrita como:

MA =

A211 A2

12 A213 A12A13 A11A13 A11A12

A221 A2

22 A223 A22A23 A21A23 A21A22

A231 A2

32 A233 A32A33 A31A33 A31A32

2A21A31 2A22A32 2A23A33 A22A33 + A23A32 A21A33 + A23A31 A21A32 + A22A31

2A11A31 2A12A32 2A13A33 A12A33 + A13A32 A11A33 + A13A31 A11A32 + A12A31

2A11A21 2A12A22 2A13A23 A12A23 + A13A22 A11A23 + A13A21 A11A22 + A12A21

.

(3.2)

Os termos Ai j sao as entradas das matrizes de rotacao, reflexao ou ambas multi-

plicadas, uma vez que a matriz continua invariante em relacao a multiplicacao.

1Maiores detalhes sobre como encontrar a matriz MA, ver [33]

15

Page 30: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Cada sistema de simetria descrito pelo tensor de elasticidade caracteriza um

tipo de anisotropia do meio geologico, com um numero de coeficientes elasticos

independentes, que variam de acordo com o grau de simetria. A seguir serao descri-

tos alguns sistemas de simetria de importante aplicacao na sismologia de exploracao.

1. Simetria de Ponto

A simetria de ponto e um sistema pertencente a todo meio, e consiste de uma

reflexao em torno da origem do sistema de coordenadas, ou seja, a matriz A e

da forma:

A-I :=

−1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

= −I. (3.3)

Utilizando as entradas de (3.3) em (3.2), a matriz torna-se:

MA−I =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

= I. (3.4)

Logo a equacao (3.1) pode ser reescrita como:

C = IT CI.

A qual e satisfeita identicamente para todo C. Portanto a simetria de ponto

pertence ao grupo de simetria de qualquer meio.

16

Page 31: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

2. Meio Triclınico

Ctrc =

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C12 C22 C23 C24 C25 C26

C13 C23 C33 C34 C35 C36

C14 C24 C34 C44 C45 C46

C15 C25 C35 C45 C55 C56

C16 C26 C36 C46 C56 C66

. (3.5)

O modelo anisotropico mais geral possui 21 coeficientes independentes. Esse

grande numero inviabiliza a sua aplicacao em sismologia; a unica simetria

exibida e a simetria de ponto.

3. Meio Monoclınico

Possui uma reflexao sobre o plano como grupo de simetria, escolhendo a matriz

A de forma que a reflexao seja sobre o plano x1x2, ou seja , ao longo do eixo

x3,

A3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

. (3.6)

Expressando (3.2),

MA3 =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 −1 0 0

0 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 0 1

. (3.7)

17

Page 32: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Logo a transformacao (3.1) requer,

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C12 C22 C23 C24 C25 C26

C13 C23 C33 C34 C35 C36

C14 C24 C34 C44 C45 C46

C15 C25 C35 C45 C55 C56

C16 C26 C36 C46 C56 C66

=

C11 C12 C13 −C14 −C15 C16

C12 C22 C23 −C24 −C25 C26

C13 C23 C33 −C34 −C35 C36

−C14 C24 −C34 C44 C45 −C46

−C15 C25 −C35 C45 C55 −C56

C16 C26 C36 −C46 −C56 C66

.

A igualdade acima implica que,

C14 = C15 = C24 = C25 = C34 = C35 = C46 = C56 = 0. (3.8)

.

Entao a matriz de elasticidade que possui uma reflexao ao longo do eixo x3 e

dada por:

Cmono3 =

C11 C12 C13 0 0 C16

C12 C22 C23 0 0 C26

C13 C23 C33 0 0 C36

0 0 0 C44 C45 0

0 0 0 C45 C55 0

C16 C26 C36 0 0 C66

. (3.9)

4. Meio Ortorrombico ou Ortotropico

Caracterizado por dois planos de simetria ortogonais entre si, resultando em 9

constantes independentes. Considerando reflexoes ao longo dos eixos x1 e x3,

tem-se que:

A1A3A-I =

1 0 0

0 −1 0

0 0 1

. (3.10)

Como A-I pertence ao grupo de simetria de qualquer meio, ela tambem foi con-

siderada. Portanto para obter a matriz de elasticidade do meio ortorrombico

18

Page 33: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

empregam-se as relacoes obtidas para o meio monoclınico. Assim aplicando a

transformacao (3.1) encontra-se a seguinte relacao:

C16 = C26 = C36 = C45 = 0. (3.11)

Combinando as relacoes (3.8) e (3.11), a matriz ortorrombica e escrita como,

Corto =

C11 C12 C13 0 0 0

C12 C22 C23 0 0 0

C13 C23 C33 0 0 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 0 0 C55 0

0 0 0 0 0 C66

. (3.12)

5. Meio Transversalmente Isotropico (TI)

Conhecido tambem por meio Hexagonal, e de extensa aplicacao nos estudos

de anisotropia sısmica, tem como caracterıstica um eixo simetrico sob rotacao

para um dado angulo θ.

Desta forma, considerando uma matriz de rotacao sobre o eixo x3, tal que o

angulo θ < π2 , por exemplo θ = 2π

5 , tem-se:

Ax3( 2π5 ) =

cos 2π

5 sen 2π5 0

− sen 2π5 cos 2π

5 0

0 0 1

. (3.13)

Novamente de acordo com (3.1) a matriz de elasticidade e dada por,

CVTI =

C11 C11 − 2C66 C13 0 0 0

C11 − 2C66 C11 C13 0 0 0

C13 C13 C33 0 0 0

0 0 0 C55 0 0

0 0 0 0 C55 0

0 0 0 0 0 C66

. (3.14)

19

Page 34: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Por possuir o eixo de simetria vertical esse tipo de anisotropia transversa e

conhecida como VTI (Vertical Transverse Isotropic).

6. Meio Isotropico

Um caso particular de anisotropia, onde todos os planos sao de simetria, e

dito ser isotropico. Neste caso como todos os planos sao simetricos entre si, a

velocidade apresenta a mesma magnitude em todas as direcoes. Desta forma

a matriz de elasticidade se resume a:

CISO =

C11 C11 − 2C55 C11 − 2C55 0 0 0

C11 − 2C55 C11 C11 − 2C55 0 0 0

C11 − 2C55 C11 − 2C55 C11 0 0 0

0 0 0 C55 0 0

0 0 0 0 C55 0

0 0 0 0 0 C55

. (3.15)

λ = C11 − 2C55

µ = C55

(3.16)

onde λ e µ sao os coeficientes de Lame, seus significados fısicos serao vistos no

capıtulo seguinte.

20

Page 35: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Capıtulo 4

Propagacao de ondas em meios

elasticos anisotropicos

Neste capıtulo e apresentada a teoria que envolve a propagacao de ondas em

meios elasticos anisotropicos, incluindo a equacao da onda elastica, as relacoes de

velocidade e os parametros necessarios para quantificar a anisotropia. Ressalta-se

que a propagacao de ondas acusticas e concebida como um caso particular para o

meio elastico. Embora o enfoque deste trabalho seja sobre meios acusticos aniso-

tropicos, faz-se adequado iniciar o estudo para estes meios acusticos, a partir da

propagacao de ondas em meios elasticos. Para introduzir o estudo sobre a natureza

da propagacao das ondas sısmicas em meios anisotropicos, por conveniencia, sera

antes apresentada a propagacao de ondas elasticas em meios isotropicos homoge-

neos.

4.1 Equacao da onda elastica para meios isotro-

picos

Seja um meio englobado por um volume, onde as forcas variam continuamente no

tempo e espaco. Considerando as forcas de superfıcie e de volume, e entao aplicando

a 2a lei de Newton, tem-se que:

Σ Fi =

∫V

fi dV +

∫S

Ti dS .

21

Page 36: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Substituindo Ti por (2.7) e utilizando (2.8), segue que,

mai =

∫Vρ∂2ui

∂t2 dV =

∫V

fi dV +

∫S

3∑j=1

σi jn j dS . (4.1)

Aplicando o Teorema de Gauss1em (4.1),

∫Vρ∂2ui

∂t2 dV =

∫V

fi +

3∑j=1

∂σi j

∂x j

dV.

(4.2)

Eliminando a integral de volume, tem-se:

3∑j=1

∂σi j

∂x j+ fi = ρ

∂2ui

∂t2 . (4.3)

A equacao (4.3) e conhecida como equacao de Navier ou Lei de Cauchy do mo-

vimento. Tomando (2.9), a equacao (4.3) torna -se:

ρ∂2ui

∂t2 =∂

∂x j

3∑k=1

3∑l=1

Ci jklεkl

+ fi. (4.4)

Tratando de meio isotropico, o tensor Ci jkl pode ser escrito de acordo com Aris

[36] como,

Ci jkl = λδi jδkl + µ(δikδ jl + δilδ jk). (4.5)

Utilizando (4.5), pode-se reescrever a relacao (2.9) para um meio isotropico, tal

que:

σi j = λδi j

3∑k=1

εkk + 2µεi j. (4.6)

Substituindo (4.6) em (4.3),

ρ∂2ui

∂t2 = (λ + µ)∂

∂xi

3∑j=1

∂u j

∂x j+ µ

3∑j=1

∂2ui

∂x2j

+ fi . (4.7)

1O Teorema de Gauss relaciona o fluxo de um campo vetorial atraves de uma superfıcie fechada

S com o divergente do campo no interior do volume V, ou seja:∫S

Ti dS =

∫V

3∑i=1

∂Ti

∂xidV

22

Page 37: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

A equacao (4.7) descreve a propagacao da onda elastica para meios isotropicos.

Os parametros λ e µ sao os parametros de Lame. O parametro µ controla a rigidez

do meio, chamado de Modulo de Rigidez, enquanto λ nao possui um significado

fısico direto como o modulo de rigidez. No entanto esse parametro associado com o

modulo de rigidez constitui o Modulo de Bulk ou Modulo de incompressibilidade,

κ = λ +23µ. (4.8)

Fisicamente o modulo de Bulk e responsavel por avaliar a resistencia a mudanca

de volume do meio.

4.1.1 Ondas P e S

Para compreensao dos tipos de onda que propagam-se no meio elastico isotropico,

faz-se necessario utilizar a decomposicao de Helmholtz [37], [38]. Entao de forma

equivalente, sera empregado os operadores divergente e rotacional. Para fins praticos

a equacao (4.7) e reescrita em notacao vetorial, tal que:

ρ∂2~u∂t2 = (λ + µ)~∇(~∇ · ~u) + µ∇2~u + ~f . (4.9)

Negligenciando a forca de volume, e utilizando a identidade vetorial abaixo [39],

(4.9) e reescrita como:

∇2~u = ~∇(~∇ · ~u) − ~∇ × (~∇ × ~u),

ρ∂2~u∂t2 = (λ + 2µ)~∇(~∇ · ~u) − µ~∇ × (~∇ × ~u). (4.10)

Decompondo (4.9) em dois campos, isto e, aplicando o operador de divergencia a

equacao, e entao usando a relacao ~∇ · (~∇ × ~u) = 0, obtem-se:

ρ∂2(~∇ · ~u)∂t2 = (λ + 2µ)∇2(~∇ · ~u).

Lembrando de (2.3),

∂2Θ

∂t2 = α2∇2Θ. (4.11)

23

Page 38: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

α =

√λ + 2µρ

. (4.12)

A equacao (4.11) descreve um tipo de onda presente no meio elastico isotropico,

denominada onda P, onde α e a velocidade de propagacao da mesma. Atuando de

forma semelhante em (4.9), aplicando o operador rotacional e utilizando a identidade

~∇ × ~∇(~∇ · ~u) = ~0, tem-se:

∂2~Ψ

∂t2 = β2∇2~Ψ. (4.13)

~Ψ = ~∇ × ~u,

β =

õ

ρ. (4.14)

As equacoes (4.13) e (4.14) descrevem a outra onda presente no meio elastico

isotropico, dita onda S, onde β e sua velocidade de propagacao. E importante

notar que para o caso heterogeneo, µ = µ(~r), λ = λ(~r), ρ = ρ(~r), α = α(~r),

β = β(~r). A denominacao P e S, isto e, primaria e secundaria, surge da relacao

α/β > 1, a qual implica que a onda P propaga-se com maior velocidade com relacao

a S, considerando o mesmo meio. E importante destacar que a polarizacao (i.e.,

a direcao de vibracao das particulas no meio) para a onda P ocorre na direcao de

propagacao, por essa razao chamada tambem de onda longitudinal, compressional

ou dilatacional, enquanto para a onda S, a polarizacao ocorre nas direcoes horizontal

(onda SH) e vertical (onda SV), de acordo com a figura (4.1), sendo conhecida como

onda cisalhante, transversa ou distorcional.

4.2 Equacao da onda elastica para meios aniso-

tropicos

No meio elastico isotropico, como visto anteriormente, os dois modos de onda

P e S sao bem definidos, de modo que para a onda P a polarizacao ocorre sempre

na direcao de propagacao da mesma, enquanto a onda S, por possuir polarizacao

em relacao ao plano normal da direcao de propagacao, e conhecida como onda cisa-

lhante, transversa ou distorcional. Devido a isotropia, e possıvel trabalhar com esses

24

Page 39: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Figura 4.1: Polarizacao das ondas sısmicas P e S.

dois modos de onda, P e S, de forma localmente independentes, como visto com a

aplicacao dos operadores divergente e rotacional.

Quando trata-se de materiais anisotropicos, tanto a denominacao das ondas,

como seu desacoplamento, assume uma forma mais complexa. Neste caso, nao exis-

tem ondas puras P ou S, mas sim ondas denominadas qP (quasi P) e qS(quasi S),

de forma que para a onda qS ainda ha uma subdivisao, qSV(quasi SV) e qSH(quasi

SH), onde as mesmas propagam-se com diferentes velocidades, fenomeno conhecido

como birrefrigencia [35]. A denominacao qP e qS e relevante, pois no meio aniso-

tropico as direcoes de polarizacao nao sao perpendiculares ou paralelas a direcao de

propagacao [6].

A anisotropia adiciona outro fator de dificuldade, a decomposicao das ondas qP e

qS, onde a teoria envolvida para efetuar esta operacao envolve outros complicadores

como a direcao de polarizacao ([40], [41]), implicando em metodos computacional-

mente onerosos, que acabam por dificultar a utilizacao de formulacoes de ondas

elasticas desacopladas, isto e, formulacoes que empreguem somente um campo de

onda, qP ou qS.

Para entender melhor a natureza da propagacao de ondas elasticas em meios ani-

sotropicos, a seguir sera desenvolvida a equacao de onda para este meio, incluindo

suas relacoes de velocidade. Ressalta-se que, no caso de um meio anisotropico hete-

rogeneo, as grandezas envolvidas sao dependentes da posicao.

Em virtude do exposto acima, desprezando a forca de volume, a equacao (4.4) e

25

Page 40: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

reescrita como:

ρ(~r)∂2ui

∂t2 =

3∑j=1

∂σi j

∂x j, i ∈ 1, 2, 3. (4.15)

Combinando (2.1) com (2.9),

ρ(~r)∂2ui

∂t2 =

3∑j=1

∂x j

12

3∑k=1

3∑l=1

Ci jkl(~r)(∂uk

∂xl+∂ul

∂xk

) , i ∈ 1, 2, 3. (4.16)

Outra forma bastante usual para expressar (4.16) e encontrada usando a relacao

(B.4), vide Apendice (B), tal que:

ρ(~r)∂2ui

∂t2 =

3∑j=1

∂x j

3∑k=1

3∑l=1

Ci jkl(~r)∂uk

∂xl

, i ∈ 1, 2, 3. (4.17)

Entretanto, para fins computacionais a equacao de campo unico (4.17) apresenta

problemas de estabilidade, sendo solucionados recentemente por Di Bartolo [42]. No

entanto, neste trabalho a equacao (4.15) sera descrita por um sistema de equacoes

diferenciais de primeira ordem, utilizando os campos de tensao e velocidades, como

segue:

ρ(~r)∂vi

∂t=

3∑j=1

∂σi j

∂x j, i ∈ 1, 2, 3. (4.18)

∂σi j

∂t=

12

3∑k=1

3∑l=1

[Ci jkl(~r)

(∂vk

∂xl+∂vl

∂xk

)], i ∈ 1, 2, 3. (4.19)

Tanto as equacoes (4.16) ou (4.17), quanto as equacoes (4.17) e (4.18) em

conjunto, descrevem o comportamento da onda elastica no meio anisotropico. A

partir de (4.16) e possıvel encontrar um conjunto de tres equacoes acopladas, onde

o numero de coeficientes elasticos independentes varia de acordo com a simetria

escolhida para o tensor de elasticidade. Para a secao seguinte a equacao (4.16) sera

utilizada na forma expandida, como segue:

ρ(~r)∂2ui

∂t2 =12

3∑j=1

3∑k=1

3∑l=1

[∂Ci jkl(~r)∂x j

(∂uk

∂xl+∂ul

∂xk

)+ Ci jkl(~r)

(∂2uk

∂x j∂xl+

∂2ul

∂x j∂xk

)](4.20)

26

Page 41: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

O aspecto da equacao (4.20) favorece a introducao da equacao de Christofell,

necessaria para encontrar as velocidades de fase das ondas no meio anisotropico.

Destaca-se que para um meio isotropico homogeneo, (4.20) se reduz a (4.7).

4.3 Equacao de Christoffel

A equacao (4.20) em geral e de difıcil solucao. No entanto considerando como

solucao possıvel uma funcao da posicao e do tempo [33], dada por:

~u(~r, t) = ~U(~r) f (η), (4.21)

sendo ~U(~r) funcao vetorial da posicao, fornecendo a amplitude da onda, e f (η) uma

funcao escalar, que descreve a onda como funcao do tempo, cujo argumento e:

η = ω[ψ(~r) − t],

onde ω e a frequencia angular. A funcao ψ e chamada de funcao iconal. Normalmente

a funcao f (η) e descrita como uma funcao exponencial. Em resumo, a tentativa de

solucao e da forma:

u(~r, t) = U(~r) eiω[ψ(~r) − t]. (4.22)

Substituindo (4.22) em (4.20) e fazendo as devidas simplificacoes, um sistema de

tres equacoes e encontrado, onde uma delas, equacao (4.23), fornece o caminho para

encontrar as velocidades das ondas no meio anisotropico [33],

3∑k=1

3∑j=1

3∑l=1

Ci jkl(~r)p j pl − ρ(~r)δik

Uk(~r) = 0, i ∈ 1, 2, 3, (4.23)

p j :=∂ψ

∂x j, j ∈ 1, 2, 3

onde p j e o vetor vagarosidade da frente de onda. Reescrevendo (4.23) como,

3∑k=1

3∑j=1

3∑l=1

Ci jkl(~r)p j pl

p2 −ρ(~r)p2 δik

Uk(~r) = 0, i ∈ 1, 2, 3. (4.24)

p2 := ~p · ~p =1v2 .

27

Page 42: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

fazendo o vetor normal a frente de onda, n2i =

p2i

p2 , e aplicando a densidade normali-

zada Ai jkl(~r) =Ci jkl(~r)ρ(~r)

, tem-se que:

p23∑

k=1

3∑j=1

3∑l=1

Ai jkl(~r)n jnl − V2δik

Uk(~r) = 0, i ∈ 1, 2, 3. (4.25)

A equacao (4.25) e chamada de equacao de Christoffel; tal equacao permite

encontrar as velocidades das ondas no meio anisotropico. Escrevendo (4.25) em

notacao matricial como:

p2[Γ(~r, ~n) − V2I

]U(~r) = 0, (4.26)

Γ(~r, ~n) =

3∑j=1

3∑l=1

A1 j1l(~r)n jnl

3∑j=1

3∑l=1

A1 j2l(~r)n jnl

3∑j=1

3∑l=1

A1 j3l(~r)n jnl

3∑j=1

3∑l=1

A2 j1l(~r)n jnl

3∑j=1

3∑l=1

A2 j2l(~r)n jnl

3∑j=1

3∑l=1

A2 j3l(~r)n jnl

3∑j=1

3∑l=1

A3 j1l(~r)n jnl

3∑j=1

3∑l=1

A3 j2l(~r)n jnl

3∑j=1

3∑l=1

A3 j3l(~r)n jnl

. (4.27)

Para encontrar as velocidades, e preciso resolver a equacao (4.26), desde que

p2 , 0, o que implica em:

[Γ(~r, ~n) − V2I

]U(~r) = 0. (4.28)

Fazendo uso da notacao de Voigt, relacao (2.10), e considerando o meio VTI, isto

e, considerando a matriz de elasticidade (3.14), as entradas da matriz de Christoffel

(4.27) resultam em:

Γ11 = A11n21 + A66n2

2 + A55n23

Γ22 = A66n21 + A11n2

2 + A55n23

Γ33 = A55(n21 + n2

2) + A33n23, (4.29)

Γ12 = Γ21 = (A11 − A66)n1n2

Γ13 = Γ31 = (A13 + A55)n1n3

Γ23 = Γ32 = (A13 + A66)n2n3

28

Page 43: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Escolhendo o plano de propagacao como sendo o plano x1x3, ou seja, n2 = 0, e

substituindo as relacoes (4.29) em (4.27), lembrando que os cossenos diretores sao

dados por, n1 = sen θ, n3 = cos θ, sendo θ o angulo de fase, (4.28) torna-se:

A11 sen2 θ + A55 cos2 θ − V2 0 (A13 + A55) sen θ cos θ

0 A66 sen2 θ + A55 cos2 θ − V2 0

(A13 + A55) sen θ cos θ 0 A55 sen2 θ + A33 cos2 θ − V2

U1

U2

U3

=

0

0

0

.

Do sistema anterior, cuja solucao nao trivial e dada por det[Γ(~r, ~n) − V2I

]= 0,

resultam duas equacoes, (4.30) e (4.31), onde a equacao (4.31) e um sistema de

equacoes acopladas.

[A66 sen2 θ + A55 cos2 θ − V2]U2 = 0, (4.30)

A11 sen2 θ + A55 cos2 θ − V2 (A11 + A55) sen θ cos θ

(A13 + A55) sen θ cos θ A55 sen2 θ + A33 cos2 θ − V2

U1

U3

= 0, (4.31)

a expressao (4.30) fornece a velocidade de fase para propagacao da onda SH, en-

quanto o sistema (4.31) produz as velocidades das ondas P e SV acopladas, conhecido

como propagacao P-SV. Resolvendo (4.30), tem-se:

VS H(θ) =√

A66 sen2 θ + A55 cos2 θ. (4.32)

A equacao (4.32) descreve a velocidade de propagacao da onda S, onde a direcao

de polarizacao esta situada no plano horizontal. Caso (θ = 0 - propagacao vertical),

VS H(0) =√

A55, enquanto na horizontal (θ = 90 ), VS H(90) =√

A66.

Para a propagacao P-SV (4.31), caso a onda propague paralela ao eixo de simetria

(θ = 0o), tem-se:

Vpz =√

A33; U1 = 0, U3 = 1, (4.33)

Vsz =√

A55; U1 = 1, U3 = 0. (4.34)

29

Page 44: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

No caso em que (θ = 90), as velocidades sao,

Vpx =√

A11; U1 = 1, U3 = 0, (4.35)

Vsx =√

A55; U1 = 0, U3 = 1. (4.36)

Para tratar qualquer tipo de incidencia [6], a resolucao de (4.31) e expressa como,

2V2(θ) = A11 sen2 θ + A33 cos2 θ + A55 (4.37)

±√

[(A11 − A55) sen2 θ − (A33 − A55) cos2 θ]2 + (A13 + A55)2 sen2 2θ

Sendo assim, (4.37) descreve a velocidade de fase da propagacao P-SV para

qualquer θ, onde tomando o sinal negativo, tem-se a onda SV, e positivo, a onda

P. Como dito anteriormente, as ondas P e S sao referidas como quasi-P (qP) e

quasi-S (qS) respectivamente, sendo isto devido ao fato de quando toma-se θ =

0 na equacao (4.37), (4.33) e (4.34) sao obtidas. Devido a anisotropia, os planos

de polarizacao das ondas P e S nao sao perpendiculares ou paralelos a direcao de

propagacao como no caso isotropico, alem de as velocidades de fase e grupo da onda

nao serem coincidentes [6], [21]. Por simplicidade, daqui por diante o prefixo quasi

sera omitido.

4.4 Parametros de Anisotropia

4.4.1 Parametros de Thomsen

Na descricao das velocidades das ondas (4.32) e (4.37), foram empregados cinco

parametros de elasticidade normalizados, A11, A13, A33, A55, A66. No entanto, esta

notacao torna-se complicada para quantificar o grau de anisotropia de um meio ge-

ologico. Sendo assim, em 1986 Leon Thomsen [21] propos uma notacao pratica para

meios transversalmente isotropicos, atraves da introducao de tres parametros, a fim

de quantificar a anisotropia. Com isto, os cinco coeficientes elasticos normalizados

que caracterizam o meio VTI, podem ser substituıdos pelas velocidade Vpz e Vsz,

alem de tres parametros adimensionais ε, δ, γ, dados por:

30

Page 45: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

ε =A11 − A33

2A33, (4.38)

γ =A66 − A55

2A55, (4.39)

δ =(A13 + A55)2 − (A33 − A55)2

2A33(A33 − A55), (4.40)

onde ε quantifica a anisotropia da onda P, γ representa a anisotropia da onda SH

e δ e responsavel pela dependencia angular da frente de onda P proximo ao eixo de

simetria [6]. Os tres parametros se reduzem a zero no meio isotropico. Ressalta-se

que o parametro δ apresentado e valido para meios com fraca anisotropia, ou seja,

|δ| 1.

Baseado em (4.38), (4.39) e (4.40), e possıvel reescrever os coeficientes de elasti-

cidade, tal que:

A11 = V2pz(1 + 2ε), (4.41)

A33 = V2pz, (4.42)

A55 = V2sz, (4.43)

A66 = V2sz(1 + 2γ), (4.44)

A13 =

√(V2

pz − V2sz)2 + 2δV2

pz(V2pz − V2

sz) − V2sz. (4.45)

Adicionalmente a velocidade da onda SH em funcao de (4.39) pode ser escrita

como:

VS H = Vsz

√1 + 2γ sen2 θ. (4.46)

31

Page 46: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

De acordo com Tsvankin [6], para tratar o comportamento das ondas P-SV,

divide-se (4.37) por V2pz, e substitui-se os parametros de Thomsen [6], de maneira

que:

V2(θ)V2

pz= 1 + ε sen2 θ −

f2±

f2

√(1 +

2ε sen2 θ

f

)2

− 2(ε − δ)sen2 2θ

f(4.47)

onde, f = 1 − V2sz/V

2pz. Notar que a velocidade de fase da onda P corresponde ao

sinal positivo na equacao (4.47), e a onda SV ao negativo.

Para o caso especıfico, conhecido como anisotropia elıptica, em que ε = δ, as

velocidades das ondas P e SV ficam,

VP(θ) = Vpz

√1 + 2δ sen2 θ. (4.48)

VS V(θ) = Vsz. (4.49)

Uma importante consideracao a ser feita acerca das velocidades envolve seu com-

portamento para meios com anisotropia fraca (|ε | 1, |δ| 1, |γ| 1), pois muitas

formacoes geologicas apresentam tais caracterısticas. Nestes casos, pode-se expandir

a raiz de (4.47) em serie de Taylor, desprezando os termos quadraticos em ε e δ, o

que resulta para a onda P em,

VP(θ) = Vpz

√1 + 2δ sen2 θ cos2 θ + 2ε sen4 θ. (4.50)

Expandindo entao a raiz em serie binomial, tem-se:

VP(θ) = Vpz(1 + δ sen2 θ cos2 θ + ε sen4 θ). (4.51)

Analogamente para a onda SV, chega-se a:

VS V(θ) = Vsz

1 +

(Vpz

Vsz

)2

(ε − δ) sen2 θ cos2 θ

. (4.52)

32

Page 47: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

4.4.2 Parametro de Alkhalifah e Tsvankin

Ao estudar a equacao (4.52) Tsvankin e Thomsen [43] definiram um novo para-

metro, dado por:

σ =

(Vpz

Vsz

)2

(ε − δ). (4.53)

O parametro σ e responsavel por controlar a anisotropia da onda SV. Outro

importante coeficiente foi introduzido por Alkhalifah e Tsvankin [44], para controlar

a anisotropia da onda P, alem de toda a parte do processamento sısmico relacionado

a mesma onda. Esse parametro e conhecido como:

η =ε − δ

1 + 2δ. (4.54)

Nota-se que quando η = 0, significa que ε = δ, recaindo no caso de anisotropia

elıptica; por esse motivo η e chamado de parametro de nao - elipticidade.

De acordo com as etapas de processamento sısmico, existe uma velocidade im-

portante, denominada velocidade de normal moveout (Vpn). A velocidade nmo para

a onda P pode ser escrita em funcao do parametro δ de Thomsen [21], de forma que:

Vnmo = Vpn = Vpz

√1 + 2δ. (4.55)

O parametro η pode ser tambem expresso como,

η =12

V2px

V2pn− 1

, (4.56)

onde Vpx possui relacao tanto com o parametro ε como η, sendo:

Vpx = Vpz

√1 + 2ε, (4.57)

Vpx = Vpn

√1 + 2η. (4.58)

As relacoes de velocidade demonstradas, alem dos parametros de anisotropia, de-

sempenham papel fundamental na formulacao das equacoes acusticas anisotropicas

que serao vistas no proximo capıtulo.

33

Page 48: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Capıtulo 5

Propagacao de ondas em meios

acusticos e pseudo-acusticos

anisotropicos

5.1 Aproximacoes de velocidade e relacoes de dis-

persao para meios VTI

Na presente secao sera discutida a ideia fundamental para a formulacao das equa-

coes acusticas e pseudo-acustica anisotropica, isto e, a aproximacao da velocidade

de fase para o meio de interesse, no caso, meio com isotropia transversa. Serao in-

vestigadas as aproximacoes propostas por Tariq Alkhalifah [20], Leon Thomsen [21]

e Francis Muir [45]. Existem diversas formas para obtencao de equacoes de onda, no

entanto, desde os primeiros trabalhos relacionados a meios acusticos anisotropicos,

a maneira mais comum para obte-las reside na aproximacao da velocidade de fase

da onda P, de modo a eliminar sua dependencia em relacao a onda SV, ou seja,

desacoplando os campos P e SV.

5.1.1 Aproximacao de Alkhalifah

As aproximacoes da velocidade de fase para a onda P em meios VTI sao im-

portantes para a obtencao das formulacoes acusticas, uma vez que a partir delas,

atraves de tecnicas de transformadas integrais, e possıvel obter equacoes de onda que

34

Page 49: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

expressem com boa precisao o comportamento cinematico das ondas P. Alkhalifah

[20] propos uma aproximacao para velocidade, baseada na equacao analıtica (4.47)

da seguinte forma:

limVsz→0

V2p(θ) = V2

pz

(1 + 2ε sen2 θ −

12

+12

√(1 + 2ε sen2 θ

)2− 2(ε − δ) sen2 2θ

)(5.1)

Utilizando as relacoes ~k = ω~p e px =sen(θ)V(θ) , pz =

cos(θ)V(θ) , sendo ~p e ~k respectivamente

o vetor vagarosidade e o numero de onda em coordenadas cartesianas para duas

dimensoes (px, pz), (kx, kz) e ω a frequencia angular. Dessa maneira a seguinte relacao

de dispersao derivada por Alkhalifah [20] e obtida:

k2z =

V2pn

V2pz

(ω2

V2pn−

ω2k2x

ω2 − 2ηV2pn k2

x

). (5.2)

A relacao (5.2), tal como as relacoes de dispersao que serao vistas a seguir, sao a

base para alcancar as equacoes de ondas acusticas em meios com anisotropia VTI.

5.1.2 Aproximacao de Thomsen

A aproximacao da velocidade da onda P proposta por Thomsen [21], e a apro-

ximacao mais citada na literatura, chamada de anisotropia fraca. Tal aproximacao

e obtida como apresentada por Tsvankin [6] e Daley et.al [46], atraves da expansao

em serie de Taylor da equacao (4.47), desprezando os termos de ordem quadratica

em ε e δ, resultando em:

V2p(θ) = V2

pz

(1 + 2δ sen2 θ cos2 θ + 2ε sen4 θ

)(5.3)

Observa-se que a equacao (5.3) e equivalente a equacao proposta por Thom-

sen (4.51) a menos de uma linearizacao. Procedendo-se de forma analoga a secao

anterior, pode-se obter sua relacao de dispersao, dada por:

k2z =

V2pz

ω2

[(k2

x + k2z )2 + 2δ k2

xk2z + 2ε k4

x

]− k2

x. (5.4)

35

Page 50: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

5.1.3 Aproximacao de Muir

Outra aproximacao conhecida da literatura, desenvolvida por Muir e Dellinger

[45], sendo da forma:

V2p(θ) = V2

pe(θ) +(q − 1)V2

pxV2pzsen2(θ)cos2(θ)

V2pe(θ)

(5.5)

onde V2pe(θ) = V2

pxsin2(θ) + V2pzcos2(θ) e a componente eliptica da velocidade da

onda, e o coeficiente q pode ser reescrito de acordo com Fowler [47] e Fomel [48], na

forma q =1

1 + 2η. Logo a aproximacao torna-se :

V2p(θ) = V2

pe(θ) +V2

pz(V2pn − V2

px)sen2(θ)cos2(θ)

V2pe(θ)

(5.6)

e sua correspondente relacao de dispersao:

k2z =

1ω2V2

pz

[(V2

pxk2x + V2

pzk2z )2 + 2(1 + η)V2

pzV2pn k2

xk2z

]−

V2px

V2pz

k2x. (5.7)

5.2 Equacao de onda pseudo-acustica e acustica

anisotropica

A equacao da onda elastica e uma das principais ferramentas para a modelagem

sısmica, uma vez que ela contempla todos os eventos sısmicos, tais como reflexoes,

refracoes, difracoes, conversoes de ondas, entre outros [49].

Frequentemente na modelagem faz-se uso de tal equacao, pois em relacao a equa-

cao acustica, trata-se de uma equacao mais completa. Com relacao a obtencao de

imagens em profundidade, teoricamente por ser uma formulacao de maior abrangen-

cia, apresentaria uma resolucao superior a formulacao que contemple somente ondas

P. No entanto, na pratica, devido a conversao de ondas, a imagem sofre uma degene-

racao maior na resolucao, alem de em alguns casos causar o posicionamento incorreto

das interfaces [50]. Ademais a modelagem elastica apresenta alto custo computaci-

onal quando comparado a modelagem acustica, devido ao armazenamento das tres

componentes de tensao e as duas componentes de velocidade, alem de possuir um

criterio de dispersao baseado na onda S, o que exige um espacamento da malha me-

nor em relacao a modelagem acustica para representar o mesmo modelo geologico.

36

Page 51: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Ao modelar somente um campo de onda P ou S faz-se necessario para a equacao

elastica aplicar algoritmos de desacoplamento das ondas, o que eleva o tempo de

processamento, principalmente quando o meio considerado e anisotropico [51].

Durante os ultimos doze anos, foram desenvolvidos trabalhos com o interesse so-

mente sobre o campo de onda P, buscando encontrar uma equacao de onda acustica

para meios anisotropicos, que nao necessitasse da aplicacao de algoritmos de desaco-

plamento e demandasse baixo armazenamento computacional [1]. Os pioneiros neste

sentido foram Tariq Alkhalifah [1] seguido por Klıe e Toro [3], os quais formularam

as primeiras equacoes do genero para meios com isotropia transversa.

5.2.1 Equacao Pseudo-Acustica Anisotropica

5.2.1.1 Formulacao de Alkhalifah

Como descrito anteriormente, Tariq Alkhalifah foi um dos primeiros a formular

uma equacao de onda somente para o campo de onda P em meios com isotropia

transversa [1]. Em seu trabalho Tariq aplicou a Transformada de Fourier a relacao de

dispersao (5.2) apresentada na secao (5.1.1) para obter a equacao de onda desejada.

Contudo no presente trabalho, para a demonstracao da formulacao, um processo

analogo sera empregado [52]. Assim, seja um campo de ondas planas dado por

Φ(~r, t) = ei(~k.~r−ωt), onde as seguintes propriedades sao validas:

~∇Φ(~r, t) = i~kΦ(~r, t) ,∂Φ(~r, t)∂t

= −iωΦ(~r, t). (5.8)

De modo que para a autofuncao Φ(~r, t), o autovalor do operador ~∇ e do operador

∂∂t sao dados respectivamentes por:

~∇ = i~k ,∂

∂t= −iω. (5.9)

Para obter entao a equacao de onda a partir da relacao de dispersao, basta

multiplicar (5.2) por Φ(~r, t) e aplicar a relacao (5.8), chegando-se a:

∂2P(x, z, t)∂t2 = (1 + 2η)V2

pn∂2P(x, z, t)

∂x2 + V2pz∂2P(x, z, t)

∂z2 − 2ηV2pnV2

pz∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 . (5.10)

P(x, z, t) =∂2Φ(x, z, t)

∂t2 . (5.11)

37

Page 52: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

sendo P(x, z, t) o campo de pressao e Φ(x, z, t) um campo auxiliar, podendo ser com-

parado a um campo potencial [53].

A equacao (5.10) em conjunto com (5.11) foi a equacao de onda desenvolvida

por Alkhalifah para meios transversos isotropicos, e posteriormente utilizada para

imageamento sısmico. Atualmente existem outras equacoes com caracterısticas se-

melhantes, descritas por um sistema de equacoes de segunda ordem [27] onde nao

ocorre a presenca de derivadas mistas como na equacao (5.10). Destaca-se que esta

e a forma mais empregada na industria, pois o desacoplamento das derivadas torna

mais simples a discretizacao da equacao [27]. No entanto como o presente trabalho

visa avaliar as diferencas entre as diferentes equacoes acusticas, optou-se por utilizar

a equacao original.

E importante observar que no limite isotropico, ou seja, quando ε = 0, δ = 0 e

Vpn = Vpz, a equacao (5.10) recai na equacao acustica isotropica classica. Ressalta-se

tambem que a denominacao “Pseudo-Acustica” para a formulacao de Alkhalifah e

empregada por alguns autores, como Du et al. [25] e Fowler et al. [27], devido a

ocorrencia de eventos gerados por ondas SV presentes na formulacao, eventos esses

que serao detalhados no capıtulo 7.

5.2.2 Equacoes Acusticas Anisotropicas

5.2.2.1 Formulacao de Zhang

A formulacao que sera apresentada a seguir foi desenvolvida por Linbin Zhang

et.al [2] no domınio do tempo e do numero de onda para meios TI com eixo de

simetria arbitrario. Por este trabalho tratar de meios TI com eixo de simetria

vertical, realizou-se a simplificacao da formulacao de Zhang para o requerido meio.

Ressalta-se ainda que a formulacao a ser demonstrada para meio TI sera no domınio

do espaco e tempo, diferentemente da formulacao original obtida por Zhang et al.

[2].

Para tanto, multiplica-se a relacao de dispersao (5.4) pelo campo Φ(~r, t), e entao

utilizando novamente os operadores (5.8),chegando a:

38

Page 53: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

∂2P(x, z, t)∂x2 +

∂2P(x, z, t)∂z2 = V2

pz(1 + 2ε)∂4Φ(x, z, t)

∂x4 + V2pz∂4Φ(x, z, t)

∂z4

+2V2pz(1 + δ)

∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 (5.12)

P(x, z, t) =∂2Φ(x, z, t)

∂t2

O conjunto de equacoes (5.12) apresenta uma natureza mais complexa, pois alem

do acoplamento das derivadas espaciais, existe o acoplamento entre espaco e tempo.

Diferente da equacao derivada por Alkhalifah, a equacao (5.12) no limite isotropico

torna-se:

∂2P(x, z, t)∂x2 +

∂2P(x, z, t)∂z2 = V2

pz∂4Φ(x, z, t)

∂x4 + V2pz∂4Φ(x, z, t)

∂z4

+2V2pz∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 (5.13)

Como o conjunto de equacoes (5.12) e formulado a partir da relacao de disper-

sao (5.4), e esta por sua vez a partir da aproximacao de velocidade de Thomsen

(5.3), os parametros de anisotropia estao restritos aos limites de aplicabilidade da

aproximacao de Thomsen [6], [21], [46], ou seja, |ε | 1 e |δ| 1.

5.2.2.2 Formulacao de Klıe e Toro

A ultima equacao que sera analisada neste trabalho foi desenvolvida por Klıe e

Toro [3]. Estes autores desenvolveram a equacao a partir da solucao de ondas planas

proposta para a equacao (5.10) por Tariq Alkhalifah [1]. No entanto, no presente

trabalho optou-se por empregar um processo equivalente, como realizado nas secoes

(5.2.1.1) e (5.2.2.1), ou seja, utilizando a relacao de dispersao (5.7) encontrada a

partir da aproximacao de velocidade de Muir (5.6), e entao repetindo todos os passos

das secoes (5.2.1.1) e (5.2.2.1). Sendo assim, a seguinte equacao e obtida:

(1 + 2η)V2pn∂2P(x, z, t)

∂x2 + V2pz∂2P(x, z, t)

∂z2 = (1 + 2η)2V4pn∂4Φ(x, z, t)

∂x4 + V4pz∂4Φ(x, z, t)

∂z4

+2V2pzV

2pn(1 + η)

∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 (5.14)

39

Page 54: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

P(x, z, t) =∂2Φ(x, z, t)

∂t2

No limite isotropico (η = 0, Vpn = Vpz), as equacoes (5.14) e (5.12) sao equiva-

lentes, entretanto esse fato ocorre para δ ∈ R | ε = 0. Um caminho diferente para

verificar tal afirmacao seria empregar a aproximacao δ ∈ R | ε = 0 nas relacoes de

velocidade (5.4) e (5.6), o que resultaria na igualdade entre as mesmas.

A restricao sobre o parametro η aplicado a equacao (5.14) por Klıe e Toro [54]

e η > −14 . Tambem por utilizar a velocidade nmo (Vpn), a restricao δ ≥ −1

2 deve ser

respeitada.

5.3 Analise das aproximacoes de velocidade

As equacoes anisotropicas vistas nas secoes (5.2.1.1), (5.2.2.1) e (5.2.2.2), resul-

taram das diferentes aproximacoes de velocidade (5.1), (5.3) e (5.6), respectivamente

para a onda P. Por essa razao, ha uma relacao direta entre as aproximacoes de velo-

cidade investigadas e suas formulacoes acusticas, isto e, quanto melhor for a precisao

da aproximacao mais precisa sera a equacao de onda derivada.

A presente secao tem por objetivo avaliar as diferentes aproximacoes de veloci-

dade apresentadas na secao (5.1), comparando-as com a solucao analıtica (4.47). A

analise foi realizada utilizando o folhelho Greenhorn [55], o qual e utilizado como

parametro de comparacao em diversos trabalhos, pois o meio geologico envolvido

fornece um dos maiores graus de anisotropia [56].

As velocidades de fase da onda P para as diferentes aproximacoes da secao (5.1)

constam no grafico da figura (5.1), onde 0 a 90o foi a variacao sobre o angulo θ, com

∆θ = 0, 02o.

De acordo com a figura (5.1(b)), a aproximacao de Alkhalifah fornece uma esti-

mativa adequada para angulos abaixo de 30, para angulos maiores o erro relativo

nao excede 0.3%. Por outro lado a aproximacao de Thomsen indica erro crescente

em torno de 0.1% a 1.25% para angulos entre 30o e 60, decrescendo entre 60 e 90.

A aproximacao de Muir apresenta comportamento analogo a de Thomsen, contudo

com erros relativos menores para diferentes angulos.

40

Page 55: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Comparacao entre as aproximacoes propostas para velocidade de fase.

(b) Erro relativo.

Figura 5.1: Comparacao das velocidades de fase da onda P para o folhelho Gree-

nhorn. Os parametros empregados sao ε = 0.255, δ = −0.051,Vpz = 3094 m/s,Vsz =

1509 m/s, ρ = 2370 Kg/m3.

41

Page 56: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Capıtulo 6

Modelagem numerica para

propagacao de ondas

6.1 Discretizacao das Equacoes

Por vezes, problemas encontrados em diversas areas da ciencia sao formulados

por equacoes diferenciais. Como exemplos podem-se citar, trajetoria balıstica, cur-

vatura de vigas, reacoes quımicas, decaimento radioativo, entre outros. Uma gama

destes problemas possuem solucao analıtica somente se forem simplificados, caso

contrario, e necessario recorrer aos metodos numericos para encontrar uma solucao.

No fenomeno de propagacao de ondas, existe uma necessidade quase inerente de

trata-lo por meio destes metodos, principalmente na area de sismologia de explo-

racao, especificamente na sısmica de reflexao, onde o domınio investigado possui

extensa complexidade.

A variedade de metodos numericos para solucao de equacoes de onda e extensa

[4], todavia nesse trabalho optou-se pelo Metodo das Diferencas Finitas (MDF)

(Apendice (A)), por ser amplamente aplicado na modelagem sısmica, apresentando

baixo custo computacional relativamente aos demais metodos, como MEF e MVF.

Para o estudo de fenomenos fısicos a modelagem numerica tem um papel de

destaque; por meio dela pode-se determinar quais grandezas fısicas atuam sobre

o sistema fısico e como elas o afetam [57]. Para modelagem sısmica, em geral as

grandezas de interesse correspondem a pressao, para o caso acustico, enquanto para

o elastico tem-se tensao, deslocamento ou velocidade.

42

Page 57: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Como mencionado anteriormente, na modelagem de ondas sısmicas aplicam-se os

metodos numericos para solucao das equacoes de onda; o que significa que as mesmas

devem ser resolvidas computacionalmente. Segundo Fortuna [57], para tratar o

modelo computacional e necessario expressar as equacoes e o domınio onde elas sao

validas. Como nao se pode obter solucoes numericas sobre regioes contınuas, devido

aos infinitos pontos da mesma, o domınio e entao discretizado, isto e, dividido em um

numero finito de pontos, para que somente nesses pontos as solucoes sejam obtidas

(Apendice (A)).

6.1.1 Discretizacao para a formulacao de Alkhalifah

As equacoes (5.10) e (5.11), referentes a aproximacao de Alkhalifah, sao discreti-

zadas pelas equacoes em diferencas finitas centrais (6.1) e (6.2), em segunda ordem

no espaco e no tempo (Apendice (A)), como segue:

Φ(x, z, t)∣∣∣∣n+1

i,k= 2Φn

i,k − Φn−1i,k + ∆t2Pn

i,k (6.1)

P(x, z, t)∣∣∣∣n+1

i,k= 2Pn

i,k − Pn−1i,k + ∆t2

(∂2P∂t2

)n

i,k(6.2)

onde,

(∂2P∂t2

)n

i,k= a1

(Pni+1,k − 2Pn

i,k + Pni−1,k

∆x2

)+ a2

(Pni,k+1 − 2Pn

i,k + Pni,k−1

∆z2

)−

a3

∆x2∆z2

[4Φn

i,k − 2(Φni−1,k + Φn

i,k−1 + Φni+1,k + Φn

i,k+1)+ Φni−1,k−1 (6.3)

+Φni+1,k−1 + Φn

i+1,k+1 + Φni−1,k+1

]

a1 = (1 + 2 ηi,k)V2pn (i,k) (6.4)

a2 = V2pz (i,k) (6.5)

a3 = 2 ηi,kV2pn (i,k)V

2pz (i,k) (6.6)

Sendo assim, o campo Φ(x, z, t) para a equacao (5.11) e calculado usando a for-

mula recursiva (6.1), e posteriormente o campo P(x, z, t) e calculado atraves de (6.2).

Os ındices (i,k) se referem as coordenadas (x,z) discretizadas no espaco, onde x =

i∆x, z = k∆z, sendo ∆x e ∆z os espacamentos entre os pontos da malha nas direcoes

43

Page 58: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

x e z respectivamente (Apendice (A)); n corresponde a coordenada t discretizada

no tempo, onde t = n∆t, sendo ∆t o incremento temporal. As equacoes de (6.1) a

(6.3) podem ser reescritas conforme (6.7) substituindo (6.3) em (6.2) e usando (6.1),

tomando ∆x = ∆z = ∆h e C = ∆t2/∆h2, chega-se a:

Pn+1i,k = a1C

(Pni+1,k − 2Pn

i,k + Pni−1,k

∆h2

)+ a2C

(Pni,k+1 − 2Pn

i,k + Pni,k−1

∆h2

)−

a3C∆h2

[4Φn

i,k − 2(Φni−1,k + Φn

i,k−1 + Φni+1,k + Φn

i,k+1) + Φni−1,k−1 (6.7)

+Φni+1,k−1 + Φn

i+1,k+1 + Φni−1,k+1

]+ 2Pn

i,k − Pn−1i,k

A figura (6.1) indica a posicao relativa dos pontos no espaco e tempo, referentes

a esta discretizacao. A equacao (6.7) e uma equacao de diferencas finitas explıcita,

pois relaciona o campo Pn+1i,k no tempo n + 1 com campos determinados em passos

anteriores n e n − 1, constituindo um conjunto de equacoes independentes, ou seja,

para encontrar o campo Pn+1i,k em determinado ponto, nao e necessaria a solucao de um

sistema linear a cada passo de tempo, pois a equacao (6.7) e resolvida recursivamente

para todos os pontos no espaco e no tempo [17],[57].

Figura 6.1: Estencil para pontos no tempo n, n+1 e n−1 para o caso pseudo-acustico

anisotropico.

44

Page 59: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

6.1.2 Discretizacao para as formulacoes de Zhang e Klıe

Para a discretizacao das equacoes (5.12) e (5.14) e conveniente substituir a ex-

pressao para o campo de pressao em funcao do potencial, conforme (5.11), obtendo

por exemplo, para a equacao (5.14), a seguinte equacao:

(1 + 2η)V2pn∂4Φ(x, z, t)∂x2∂t2 + V2

pz∂4Φ(x, z, t)∂z2∂t2 = (1 + 2η)2V4

pn∂4Φ(x, z, t)

∂x4 + V4pz∂4Φ(x, z, t)

∂z4

+2V2pzV

2pn(1 + η)

∂4Φ(x, z, t)∂x2∂z2 (6.8)

Realizando a discretizacao em segunda ordem no espaco e no tempo para a

equacao (6.8) obtem-se a seguinte equacao em diferencas finitas:

b1

4Φni,k − 2(Φn

i−1,k + Φn−1i,k + Φn

i+1,k + Φn+1i,k ) + Φn−1

i−1,k + Φn−1i+1,k + Φn+1

i+1,k + Φn+1i−1,k

∆h2∆t2

+ b2

4Φni,k − 2(Φn

i,k−1 + Φn−1i,k + Φn

i,k+1 + Φn+1i,k ) + Φn−1

i,k−1 + Φn−1i,k+1 + Φn+1

i,k+1 + Φn+1i,k−1

∆h2∆t2

=

b3

[Φn

i+2,k − 4Φni+1,k + 6Φn

i,k − 4Φni−1,k + Φn

i−2,k

(∆h)4

]+ b4

[Φn

i,k+2 − 4Φni,k+1 + 6Φn

i,k − 4Φni−1,k + Φn

i,k−2

(∆h)4

]+

b5

[4Φni,k − 2(Φn

i−1,k + Φni,k−1 + Φn

i+1,k + Φni,k+1) + Φn

i−1,k−1 + Φni+1,k−1 + Φn

i+1,k+1 + Φni−1,k+1

∆h2∆t2

](6.9)

onde,

b1 = (1 + 2ηi,k)V2pn (i,k) (6.10)

b2 = V2pz (i,k) (6.11)

b3 = (1 + 2ηi,k)2V4pn (i,k) (6.12)

b4 = V4pz (i,k) (6.13)

b5 = 2V2pz (i,k)V

2pn (i,k)(1 + ηi,k) (6.14)

A expressao do lado esquerdo da igualdade em (6.9) envolve cinco incognitas

avaliadas no tempo n+1, conforme ilustrado na figura (6.2), de forma que as equacoes

geradas estao acopladas, diferentemente da equacao de Alkhalifah discretizada (6.7).

O acoplamento ocorre devido aos termos de derivada mista ∂4Φ∂x2∂t2 , ∂4Φ

∂z2∂t2 , o que exige

45

Page 60: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

a solucao de um sistema linear a cada passo de tempo. Observa-se que para a

formulacao de Zhang, equacao (5.12), a mesma expressao (6.9) e valida, a menos

dos coeficientes, que passam a ser dados por:

b1 = 1 (6.15)

b2 = 1 (6.16)

b3 = V2pz (i,k)(1 + 2εi,k) (6.17)

b4 = V2pz (i,k) (6.18)

b5 = 2V2pz (i,k)(1 + δi,k) (6.19)

Figura 6.2: Estencil para pontos no tempo n, n + 1 e n − 1 para o caso acustico

anisotropico.

Ao discretizar as equacoes (5.12) e (5.14), observou-se que as mesmas consti-

tuem um sistema de equacoes acoplado, equacao (6.9), por essa razao e conveniente

reescrever as equacoes (5.12) e (5.14) em notacao matricial como:

MPn = KΦn (6.20)

sendo M e K as matrizes de coeficientes, enquanto Pn e Φn sao vetores. Uma

vez calculado o campo Pni,k sobre o domınio atraves de (6.20), sendo o campo Φn

i,k e

Φn−1i,k dados pelas condicoes iniciais, o processo de marcha temporal e realizado por

meio de (5.11), isto e,

Φn+1i,k = 2Φn

i,k − Φn−1i,k + ∆t2Pn

i,k (6.21)

46

Page 61: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Em resumo o processo de modelagem atraves das equacoes (5.12) e 5.14) consiste

na solucao de um sistema de equacoes lineares dado por (6.20), seguido do processo

de marcha no tempo, dado por (6.21). Apesar da semelhanca entre as equacoes de

Zhang (5.12) e Klıe (5.14), observa-se que as respectivas matrizes de coeficientes

M possuem natureza distinta, sendo simetrica para a formulacao de Zhang, e nao

simetrica para a formulacao de Klıe. No entanto no meio homogeneo, a simetria e

mantida em ambas as matrizes. Destaca-se que para a solucao do sistema linear,

foi realizada a triangularizacao da matriz de coeficientes M atraves da fatoracao

LDLT , e em seguida empregou-se a retrosubstituicao [58]. Quanto ao esquema de

armazenamento matricial, optou-se por empregar o armazenamento comprimido por

linha, conhecido como armazenamento CRS (Compressed Row Storage) ou CSR

(Compressed Sparse Row) [59].

6.1.3 Formulacao elastica

Para fins de comparacao, foi utilizada a equacao elastica anisotropica de acordo

com o trabalho de Di Bartolo [42], onde as equacoes (4.17) e (4.18) para meios

bidimensionais com anisotropia VTI sao escritas com:

ρ∂v1

∂t=

∂σ11

∂x1+∂σ13

∂x3, (6.22)

ρ∂v3

∂t=

∂σ13

∂x1+∂σ33

∂x3, (6.23)

∂σ11

∂t= C11

∂v1

∂x1+ C13

∂v3

∂x3, (6.24)

∂σ33

∂t= C13

∂v1

∂x1+ C33

∂v3

∂x3, (6.25)

∂σ13

∂t= C55

(∂v1

∂x3+∂v3

∂x1

), (6.26)

onde as coordenadas sao (x1, x3) = (x, z), logo as velocidades sao dadas por

(v1, v3) = (vx, vz), e as tensoes por (σ11, σ33, σ13) = (σxx, σzz, σxz). Os coeficientes

C11, C33, C55 e C13 sao os coeficientes de elasticidade para o meio VTI. As relacoes

entre os coeficientes de elasticidade e os parametros de anisotropia sao dadas pelas

mesmas equacoes (4.41), (4.42), (4.43) e (4.45), observando-se que as mesmas devem

ser nao normalizadas para a densidade.

47

Page 62: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

A malha aplicada para a discretizacao das equacoes (6.22) a (6.26) difere da

utilizada nas secoes (6.1.1) e (6.1.2), onde as incognitas e os parametros foram

avaliados nos mesmos pontos; quando isso ocorre a malha e dita ser co-localizada

[57]. Entretanto para a equacao elastica, incognitas e propriedades materiais sao

comumente definidas em posicoes diferentes, intermediarias, por essa razao a malha

e conhecida na literatura como malha intercalada ou deslocada. Este conceito foi

primeiramente empregado na modelagem de ondas sısmicas por Madariaga [60] e

posteriormente por Virieux [61], [62]. O intercalamento entre tensoes e velocidades

e descrito conforme a figura (6.3).

Figura 6.3: Malha intercalada no espaco e tempo (Modificado de Di Bartolo [42]).

Ao observar a figura (6.3), verifica-se que as grandezas estao espacadas de h2 , ou

seja, metade da distancia entre os pontos da malha, alem das tensoes e velocidades

estarem definidas em intervalos de tempo diferentes, respectivamente, n e n + 12 .

Por este motivo, ao utilizar a malha intercalada, o erro na discretizacao utilizando

diferencas centrais para as derivadas espaciais apresenta-se quatro vezes menor em

relacao a malha co-localizada [63]. O resultado da discretizacao como apresentado

em Di Bartolo [42] e:

48

Page 63: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Vxn+ 1

2( i, k) = Vx

n− 12

( i, k) + b ( i, k)∆th

(σn

xx ( i+ 12 , k) − σ

nxx ( i− 1

2 , k) + σnxz ( i, k+ 1

2 ) − σnxz ( i, k− 1

2 )

).

Vzn+ 1

2

( i+ 12 , k+ 1

2 )= Vz

n− 12

( i+ 12 , k+ 1

2 )+ b ( i+ 1

2 , k+ 12 )

∆th

(σn

xz ( i+1, k+ 12 ) − σ

nxz ( i, k+ 1

2 ) + σnzz ( i+ 1

2 , k+1) − σnxz ( i+ 1

2 , k)

).

σn+1xx ( i+ 1

2 , k) = σnxx( i+ 1

2 , k) + C11 ( i+ 12 , k)

∆th

(Vx

n+ 12

( i+1, k) − Vxn+ 1

2( i, k)

)+ C13 ( i+ 1

2 , k)∆th

(Vz

n+ 12

( i+ 12 , k+ 1

2 )− Vz

n+ 12

( i+ 12 , k−

12 )

).

(6.27)

σn+1zz ( i+1, k) = σn

zz( i+ 12 , k) + C33 ( i+ 1

2 , k)∆th

(Vz

n+ 12

( i+ 12 , k+ 1

2 )− Vz

n+ 12

( i+ 12 , k−

12 )

)+ C13 ( i+ 1

2 , k)∆th

(Vx

n+ 12

( i+1, k+ 12 )− Vx

n+ 12

( i, k)

).

σn+1xz ( i, k+ 1

2 ) = σnxz( i, k+ 1

2 ) + C55 ( i, k+ 12 )

∆th

(Vx

n+ 12

( i, k+1) − Vxn+ 1

2( i, k)

)+ C55 ( i, k+ 1

2 )∆th

(Vz

n+ 12

( i+ 12 , k+ 1

2 )− Vz

n+ 12

( i− 12 , k+ 1

2 )

).

6.2 Condicoes iniciais e de contorno

Todo problema fısico tem inıcio em um certo instante de tempo, geralmente t = 0,

com isso e necessario conhecer a grandeza regida pelo modelo matematico, no caso

a equacao diferencial, no dado instante de tempo, isto e, sua condicao inicial. Em

geral a condicao inicial utilizada neste trabalho e dada por,

u(x, z, t = 0) = ϕ(x, z),∂u∂t

(x, z, t = 0) = ψ(x, z). (6.28)

A condicao inicial descrita por (6.28) e conhecida como condicao de Cauchy [64],

onde u(x, z, t) pode ser o campo de pressao, e no caso vetorial, tensao ou velocidade.

Neste trabalho as funcoes ϕ(x, z) e ψ(x, z) assumiram valor nulo em todo o domınio,

ou seja, ϕ(x, z) = ψ(x, z) = 0.

Em relacao as condicoes de contorno para a modelagem sısmica, as mesmas

necessitam representar um meio infinito, exceto na superfıcie. Para esta funcao

as condicoes de contorno nao reflexivas (CCNR) sao frequentemente empregadas

49

Page 64: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

[65]. O objetivo da CCNR e evitar reflexoes nas fronteiras do modelo numerico,

causadas pelo truncamento do modelo geologico real. Outra forma bastante usual

para impedir as reflexoes indesejadas e utilizar as camadas de amortecimento.

As camadas de amortecimento sao regioes criadas em torno das fronteiras, sua

funcao e causar um decaimento exponencial do campo de onda, diminuindo sua

amplitude, visando reduzir reflexoes na fronteira. A condicao mais conhecida para

esse proposito foi desenvolvida por Cerjan et al. [66]. No entanto, durante o de-

senvolvimento deste trabalho nao observou-se reducao significativa das amplitudes

empregando a condicao de Cerjan. Em relacao a CCNR proposta por Reynolds [65],

a mesma mostrou-se instavel para os operadores implementados.

Por nao ser o foco principal do trabalho, e visto que a analise das condicoes de

contorno para propagacao de ondas em meios infinitos gera uma linha de pesquisa

a parte, devido a complexidade do tema optou-se por empregar as condicoes de

Dirichlet e Neumann, e quando necessario, expandir o modelo numerico para simular

a condicao de comportamento no infinito, e assim evitar reflexoes nas fronteiras.

6.2.1 Condicao de Dirichlet e Neumann

Para simular a condicao de contorno na superfıcie aplicou-se a condicao de Diri-

chlet. Para tal condicao assume-se conhecido o valor do campo sobre a fronteira Γu,

isto e,

u(x, z, t) = u em Γu, (6.29)

onde o valor prescrito u = 0 foi aplicado como sendo o valor do campo na su-

perfıcie. Para a formulacao de Alkhalifah descrita na secao (5.2.1), a aplicacao da

condicao de Dirichlet e direta, entretanto para a formulacao de Zhang e Klıe, o

metodo utilizado foi o Metodo das Imagens [19], [49].

O Metodo das Imagens foi introduzido por Levander [19] para simular o campo

prescrito nulo em uma dada superfıcie, aplicando a relacao de anti-simetria, ou seja:

uni,k−1 = −un

i,k+1. (6.30)

Desta forma, de acordo com a figura (6.4), para a aplicacao da condicao de

Dirichlet no ponto (i, k), isto e, para fazer uni,k = 0, e necessario aplicar sobre as

50

Page 65: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

equacoes (5.12) e (5.14) deste ponto, a relacao de anti-simetria (6.30). Assim para a

prescricao de toda a superfıcie da figura (6.4), a mesma ideia e aplicada aos demais

pontos da respectiva fronteira.

Figura 6.4: Metodo da imagem para condicao de Dirichlet no ponto (i, k). A seta

indica a igualdade (6.30) entre os pontos.

No caso da condicao de Neumann, o valor da derivada do campo na fronteira Γq

e conhecido, ou seja,

∂u∂n

(x, z, t) = q em Γq, (6.31)

onde n e a normal a fronteira. Para o valor prescrito foi utilizado q = 0. A

aplicacao para a formulacao (5.10) foi empregada atraves da discretizacao de (6.31)

em diferencas progressivas e regressivas em primeira ordem nas fronteiras esquerda,

direita e inferior, respectivamente. Abaixo seguem as discretizacoes para a aplicacao

na formulacao de Alkhalifah (5.10):

• Fronteira esquerda

un1,k = un

2,k, (6.32)

• Fronteira direita

unnx,k = un

nx−1,k, (6.33)

• Fronteira inferior

unnz,k = un

nz−1,k, (6.34)

51

Page 66: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

sendo nx o numero total de pontos na direcao x e nz para a direcao z .

Para a simulacao da condicao de Neumann para as formulacoes de Zhang (5.12)

e Klıe (5.14), a estrategia tambem foi o metodo das imagens, semelhante a condicao

de Dirichlet, no entanto a relacao assumida e de simetria, dada por:

• Fronteira esquerda

uni−1,k = un

i+1,k, (6.35)

• Fronteira direita

unnx+1,k = un

nx−1,k, (6.36)

• Fronteira inferior

unnz+1,k = un

nz−1,k, (6.37)

6.3 Condicao de estabilidade e dispersao

6.3.1 Estabilidade numerica

De acordo com Fortuna [57] um metodo numerico estavel e aquele onde quaisquer

erros ou perturbacoes na solucao nao sao amplificados sem limite. Como a amplifi-

cacao e puramente relativa ao metodo numerico, e nao a fısica do problema, ela deve

ser evitada para que haja convergencia da solucao. Em geral, para problemas tran-

sientes, os metodos de marcha explıcitos apresentam um limite no valor utilizado

de ∆t. Esse e normalmente expresso em funcao da dimensao da malha utilizada,

velocidade de propagacao, entre outros. Para as equacoes (6.7), (6.9) assumindo os

coeficientes (6.15) a (6.19) e (6.27), a restricao sobre ∆t e dada por:

∆t <1√

2min

(h

max (Vpx(x, z)),

hmax (Vpz(x, z))

)(6.38)

A condicao de estabilidade (6.38) e conhecida como Condicao de Courant-Friedrichs-

Lewy (CFL) [1].

52

Page 67: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Ja para a equacao (6.9) assumindo os coeficientes (6.10) a (6.14), a condicao

necessaria foi a mesma empregada por Klıe e Toro [54], equacao (6.39), condicao

esta derivada a partir da analise de Von Neumann [67], bastante empregada para

analise de estabilidade numerica.

(1 + 2η)V2pn + V2

pz +2ηV2

pnV2pz

(1 + 2η)V2pn + V2

pz

∆t2

h2 ≤ 1 (6.39)

6.3.2 Dispersao numerica

O fenomeno de dispersao numerica e causado em virtude das discretizacoes re-

alizadas pelo metodo numerico, fazendo com que as ondas viagem com velocidades

e frequencias distintas [68]. Devido a dispersao, a qualidade da solucao numerica

e afetada, diminuindo sua convergencia ao longo do tempo. Para controlar a dis-

persao, existe um criterio a ser aplicado para problemas de propagacao de ondas,

responsavel por estabelecer o maior valor possıvel para o espacamento utilizado na

malha, dependente da frequencia e velocidade da onda no meio [69], dado por:

h ≤Vmin

α fcorte, (6.40)

onde Vmin e a menor velocidade contida no modelo, α representa o numero de pontos

discretos por comprimento de onda, onde se considera o menor comprimento de

onda, referente a menor velocidade presente no meio. Tal parametro e dependente

da ordem da discretizacao, para operadores de segunda ordem, deve-se adotar valores

para α proximos a dez [50]. O parametro fcorte corresponde a frequencia de corte

associada a fonte utilizada para a geracao das ondas sısmicas. Maiores detalhes

sobre a fonte serao vistos na secao seguinte.

53

Page 68: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

6.4 Fonte Sısmica

Na modelagem de ondas sısmicas e necessaria a aplicacao de uma fonte para que

inicie-se a propagacao da onda no meio. Uma fonte sısmica e uma regiao localizada,

dentro da qual a repentina liberacao de energia produz uma rapida tensao/pressao

sobre o meio circundante [70]. Basicamente a fonte e inserida a equacao diferencial,

ressalta-se que por essa razao deve-se tomar cuidado durante a discretizacao para

que a mesma seja levada em conta.

A fonte sısmica empregada na modelagem numerica para todas as equacoes de

ondas discretizadas neste trabalho e do tipo:

f (t) =[1 − 2π( fctdπ)2

]e−π( fctdπ)2

. (6.41)

Sendo:

t → Tempo

td → Tempo defasado devido a uma translacao no eixo temporal, de modo que a

wavelet inicie na origem,

td = t −2√π

fc

fc → Frequencia central da fonte,

fc =fcorte

3√π

fcorte → Frequencia de corte; maior frequencia contida no espectro da funcao

fonte.

A fonte empregada, figura (6.5(a)), e denominada wavelet de Ricker [71], a figura

(6.5(b)) apresenta o espectro de frequencias da desta funcao. Na teoria de wavelets,

(6.41) e referida como Mexican Hat [72]. Importante salientar que para a equacao

elastica, a fonte deve ser aplicada sobre os tensores de tensoes normais [61], [62].

54

Page 69: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Funcao fonte. (b) Espectro de frequencias da funcao.

Figura 6.5: Funcao fonte e seu espectro de frequencias.

6.5 Matriz de tempo de transito

Ao resolver as equacoes diferenciais que descrevem o fenomeno de propagacao

de ondas pode-se conhecer a distribuicao de pressao, tensao ou deslocamento no

meio de interesse, dependendo da formulacao utilizada. O tempo de transito e outra

variavel de enorme interesse na sısmica, pois e parametro para varias etapas de

processamento sısmico, incluindo-se a migracao [73]. Por essa razao, neste trabalho

as matrizes de tempo de transito serao avaliadas.

A variedade de metodos para encontrar o tempo de transito e extensa, entre os

quais a solucao direta da Iconal [74] e o metodo de Tracado de Raios [75] sao os

tradicionais. Apesar deste trabalho nao aplicar nenhum dos metodos citados acima, e

possıvel avaliar o tempo de transito empregando as mesmas equacoes diferenciais que

descrevem a propagacao de ondas. Todavia e necessaria a aplicacao de um criterio

para obter o tempo de percurso referente a frente de ondas durante a propagacao, e

no presente caso, o criterio adotado sera aquele conhecido como criterio de amplitude

maxima proximo a primeira quebra (first break)1, o qual e empregado durante a

propagacao.

Tal criterio foi proposto por Bulcao [50], onde o autor realizou uma extensao

do trabalho de Loewenthal e Hu [77]. De acordo com a metodologia, a amplitude

maxima da frente de onda proximo a primeira quebra e registrada (ureg) para

cada ponto do modelo, registrando-se tambem o tempo associado a (ureg), que

1Primeiro evento interpretado como sinal, atribuido a onda gerada pela fonte sısmica [76]

55

Page 70: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

sera considerado como o tempo de transito. O processo empregado e iterativo,

atualizando a amplitude registrada a cada passo de tempo n. Ao associar o tempo

de transito a cada ponto do modelo, obtem-se uma matriz de tempo de transito

(MTT). Segue abaixo o pseudocodigo da metodologia.

Algoritmo ( Matriz de tempo de transito )

1 cond1 ← [(t − MTT (i, k)) ≤ 1, 5 ∗ TG]

2 cond2 ←[|u(i, k, n)| > |ureg(i, k)|

]3 cond3 ←

[ureg(i, k) = 0

]4 se (cond2 e (cond1 ou cond3)) entao

5 ureg(i, k)← |u(i, k, n)|

6 MTT (i, k)← n∆t

7 fim se

fim

onde:

u(i, j, n) e o campo incidente;

ureg(i, k) e a matriz que registra a amplitude em cada ponto;

TG e o periodo da funcao fonte utilizada;

n e o passo temporal;

∆t e o incremento temporal;

t e o tempo registrado;

MTT (i, k) e a matriz de tempo de transito associada;

cond1, cond2 e cond3 sao variaveis logicas.

Como descrito por Bulcao [50], a metodologia tem a vantagem de apresentar

uma matriz com comportamento mais suave para regioes distantes da fonte, alem de

diminuir as descontinuidades causadas pela interferencia construtiva entre as ondas

oriundas da fonte e as refletidas nas interfaces. Enfatiza-se que no presente trabalho

as matrizes de tempo de transito da formulacao pseudo-acustica serao comparadas

com as advindas da formulacao elastica.

56

Page 71: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Capıtulo 7

Exemplos e Discussoes

Neste capıtulo sao apresentados alguns exemplos utilizando as equacoes acusticas

e pseudo-acustica. O principal objetivo e estudar a natureza das formulacoes pseudo-

acustica e acustica anisotropica comparando-as com a formulacao elastica.

As matrizes de tempo de transito para a formulacao pseudo-acustica e elastica

serao comparadas entre si, com a finalidade de avaliar a precisao cinematica forne-

cida pela formulacao pseudo-acustica. Para demonstrar a natureza da propagacao

de ondas em meios anisotropicos, alguns casos serao comparados para avaliar as

diferencas cinematicas entre meios isotropicos e anisotropicos.

Observa-se que todos os eixos cartesianos representados nas figuras deste capıtulo

estao na seguinte configuracao: (x, z)=( distancia (m), profundidade (m) ), exceto

para os sismogramas, onde (x, z)=( distancia (m), tempo (s) ).

7.1 Formulacao Elastica e Pseudo-Acustica

Os exemplos seguintes tratam da modelagem da equacao elastica anisotropica

e pseudo-acustica; os meios empregados para analise serao quatro: Homogeneo,

Interfaces Paralelas, Interfaces Inclinadas e Anticlinal.

7.1.1 Meio Homogeneo

O primeiro exemplo a ser destacado e o meio homogeneo, o mesmo empregado

na secao (5.3) para avaliacao das aproximacoes de velocidades. Sendo assim Vpz =

3094 m/s, Vsv = 1509 m/s, ρ = 2370 kg/m3, ε = 0.255 e δ = −0.051. O exemplo

57

Page 72: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Tabela 7.1: Parametros utilizados na modelagem (Meio Homogeneo)

Modelagem Pseudo-Acustica

Parametro Valor Descricao (Unidade)

∆t 0,6 Incremento temporal (ms)

h 4,5 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z

fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)

Nx 300 Numeros de pontos na malha para direcao x

Nz 300 Numeros de pontos na malha para direcao z

Ntotal 600 Numero total de passos de tempo, onde t = 0, 36s

ix f 150 Posicao da fonte na malha para direcao x

kz f 150 Posicao da fonte na malha para direcao z

Modelagem Elastica

Parametro Valor Descricao (Unidade)

∆t 0,35 Incremento temporal (ms)

h 2,5 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z

fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)

Nx 540 Numeros de pontos na malha para direcao x

Nz 540 Numeros de pontos na malha para direcao z

Ntotal 1030 Numero total de passos de tempo, onde t = 0, 36s

ix f 270 Posicao da fonte na malha para direcao x

kz f 270 Posicao da fonte na malha para direcao z

tem como objetivos avaliar os modos de onda presentes na equacao pseudo-acustica,

verificar as diferencas entre os tempos de transito no meio isotropico e anisotropico,

alem da comparacao dos mesmos com os advindos da modelagem elastica. A tabela

(7.1) descreve os parametros empregados na modelagem. Ao observar a tabela (7.1),

a modelagem pseudo-acustica emprega um valor para o espacamento (h) da malha

maior e o passo total de analise (Ntotal) menor, em relacao a modelagem elastica,

para representar o mesmo meio. Isto e devido ao criterio de dispersao empregado

para modelagem pseudo-acustica, o qual independe da onda S.

As figuras (7.1(a)) e (7.1(b)) mostram instantaneos (snapshots) do campo de

pressao em 0.24s a partir da equacao de Alkhalifah, para um meio anisotropico e

58

Page 73: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

isotropico homogeneo respectivamente, enquanto as figuras (7.2(a)) e (7.2(b)) apre-

sentam, para a formulacao elastica, as respostas para o campo de tensao vertical

(σzz) no mesmo instante de tempo.

(a) Campo de pressao no meio anisotropico (b) Campo de pressao no meio isotropico

Figura 7.1: Instantaneos para o campo de pressao em meio homogeneo - Formulacao

Pseudo-Acustica.

(a) Campo de tensao vertical no meio aniso-

tropico

(b) Campo de tensao vertical no meio isotro-

pico

Figura 7.2: Instantaneos para o campo de tensao vertical (σzz) em meio homogeneo

- Formulacao Elastica.

Ao observar a figura (7.1(a)) verifica-se a criacao de um artefato em forma de

“diamante”, tal artefato representa uma onda SV resultante da formulacao de Al-

khalifah. A onda SV decorre da aproximacao Vsv = 0, equacao (5.1), da qual foi

59

Page 74: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

originada a equacao de onda (5.10). A aproximacao realizada causa o desacopla-

mento da onda S somente na vertical, implicando entretanto, para direcoes diferentes

do eixo de simetria, na existencia da onda SV, como verificado na figura (7.1(a)).

(a) Frente de onda para velocidade de fase da onda P e SV.

(b) Frente de onda para velocidade de grupo P e SV.

Figura 7.3: Frentes de onda para as velocidades de fase e grupo; a curva em preto

representa a solucao analıtica (elastica) e em vermelho a aproximacao de Alkhalifah.

As frentes mais internas correspondem a onda SV, enquanto as externas a onda P.

Para elucidacao do fenomeno, as figuras (7.3(a)) e (7.3(b)) sao apresentadas,

onde as mesmas representam as frentes de onda P e SV para a velocidade de fase

e grupo. As frentes de onda para velocidades de grupo foram calculadas de acordo

60

Page 75: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

com Tsvankin [6]:

Vgrp,sv(φ) = V ph

p,sv(θ)~n +∂V ph

p,sv(θ)∂θ

∂~n∂θ

(7.1)

onde ~n e o vetor normal a frente da onda, ~n = (nx, nz) = (sen(θ), cos(θ)); Vgrp,sv e V ph

p,sv

sao respectivamente as velocidade de grupo e fase para as ondas P ou SV.

As frentes de onda para velocidade de fase P e SV da solucao analıtica foram

criadas a partir de (4.39), enquanto para as frentes de onda da aproximacao de

Alkhalifah, a mesma equacao e empregada, entretanto com Vsv = 0. Dessa forma,

conhecendo as velocidades de fase e aplicando (7.1), a frente de onda para velocidade

de grupo e obtida.

A figura (7.3(b)) corrobora a ideia da geracao de onda SV na formulacao de Al-

khalifah (5.10), por essa razao a mesma e referida como formulacao Pseudo-Acustica

[25]. Outro fato apresentado decorre por comparacao direta entre as figuras (7.1(a)),

(7.3(a)) e (7.3(b)), onde a velocidade de propagacao da onda no meio e dada pela

velocidade de grupo [78]. Ao realizar em (4.39) a simplificacao Vsz = 0, a expressao

resultante para velocidade de fase da onda SV torna-se:

limVsz→0

Vsv(θ) =Vpz√

2

√1 + 2ε sen2(θ) −

√(1 + 2ε sen2(θ))2 − 2(ε − δ)sen2(2θ) (7.2)

O desacoplamento total (Vsv(θ) = 0) na formulacao pseudo-acustica, ocorre de

fato somente quando ε = δ, ou seja, para meios isotropicos ou com anisotropia

elıptica, tornando possıvel a conversao de ondas. O mecanismo de criacao das ondas

SV foi descrito por Grechka et al. [79], figura (7.4).

A figura (7.4) mostra a variacao da cuspide originada para diferentes valores de

σ, lembrando que o parametro σ e responsavel pelo controle da anisotropia da onda

SV, como descrito na secao (4.4). Da figura (7.4), quando a anisotropia torna-se

crescente, ou seja, quando a velocidade da onda SV na direcao do eixo de simetria

decresce, a formacao da cuspide torna-se evidente, atingindo sua completa formacao

para σ = ∞, ou seja, quando Vsv = 0.

Devido a simplificacao realizada, a condicao de estabilidade ε ≥ δ e requerida

pela expressao (7.2), para nao haver complexos para velocidade. Em conjunto com a

61

Page 76: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Frente de onda para σ ≈ 1.29. (b) Frente de onda para σ ≈ 2.93.

(c) Frente de onda para σ ≈ 11.72. (d) Frente de onda para σ ≈ ∞.

Figura 7.4: Frentes de onda SV para as velocidades de fase (linha contınua) e grupo

(linha pontilhada).

condicao de estabilidade citada, outra condicao, δ ≥ −12 e necessaria, pois a formula-

cao de Alkhalifah emprega como parametro a velocidade nmo (Vpn), equacao (4.57),

dessa forma a condicao sobre δ nao permite valores complexos para tal velocidade.

Logo pelas condicoes citadas, e necessario que η ≥ 0.

Em relacao aos tempos de transito, as diferencas para os meios isotropico e ani-

sotropico da formulacao pseudo-acustica sao representadas na figura (7.5(a)), sendo

a anisotropia fator relevante na analise do tempo de transito, fato evidenciado pelo

erro absoluto dado na figura (7.5(b)), onde a diferenca entre os tempos cresce em

regioes distantes do ponto de aplicacao da fonte. Por outro lado, a figura (7.6)

exibe as diferencas entre os tempos de transito no meio anisotropico para as for-

62

Page 77: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Comparacao das MTT’s para meio anisotropico e isotro-

pico. Curva branca (isotropico), curva preta (anisotropico), os

valores representam o tempo em segundos.

(b) Erro Absoluto.

Figura 7.5: Comparacao das MTT’s para meio homogeneo

mulacoes elastica e pseudo-acustica. Todavia em comparacao a formulacao elastica,

figura (7.6(a)), tomada como solucao de referencia, a formulacao de Alkhalifah em

primeira analise apresenta erro menor que 0.04%, conforme figura (7.6(b)). E impor-

tante notar que devido a formulacao elastica empregar um espacamento da malha

menor em relacao a pseudo-acustica, a matriz de tempo de transito foi reamostrada

para regioes coincidentes. Para a obtencao da MTT dada pela formulacao elastica,

a tensao vertical (σzz) ou horizontal (σxx) pode ser empregada para registro das am-

plitudes, ou inclusive uma combinacao linear de ambas [26], sendo que no presente

63

Page 78: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Comparacao das MTT’s para a formulacao elastica e pseudo-

acustica. Curva branca (elastica), curva preta (pseudo-acustica).

(b) Erro Relativo.

Figura 7.6: Comparacao das MTT’s para formulacao elastica e pseudo-acustica no

meio homogeneo.

trabalho optou-se pela utilizacao da tensao vertical (σzz).

Em resumo, a formacao de Alkhalifah e cinematicamente viavel, entretanto a

anisotropia da onda SV assume valor extremo, alem da conversao de ondas, podendo

ocasionar problemas de resolucao durante a migracao, principalmente em meios TTI

[30]. A singularidade da onda P, isto e, direcoes da frente de onda caracterizada por

velocidades P e SV iguais [80], e as identicas polarizacoes das ondas P e SV ao

longo do plano isotropico e do eixo de simetria, sao outros inconvenientes citados

64

Page 79: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

por Grechka et al.[79], envolvendo a formulacao de Alkhalifah.

7.1.2 Interfaces Paralelas

O proximo exemplo, envolvendo interfaces paralelas, tem por finalidade apre-

sentar as diferencas entre sismogramas pseudo-acusticos, ao considerar o posicio-

namento da fonte em camada isotropica e anisotropica. Enfatiza-se que a matriz

de tempo de transito tambem sera avaliada. Na tabela (7.2) constam os parame-

tros da modelagem, e na figura (7.7) estao os modelos de velocidade e anisotropia

empregados.

Tabela 7.2: Parametros utilizados na modelagem (Interfaces Paralelas)

Modelagem Pseudo-Acustica

Parametro Valor Descricao (Unidade)

∆t 0,5 Incremento temporal (ms)

h 3,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z

fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)

Nx 1300 Numeros de pontos na malha para direcao x

Nz 500 Numeros de pontos na malha para direcao z

Ntotal 2700 Numero total de passos de tempo, onde t = 1, 35s

ix f 650 Posicao da fonte na malha para direcao x

kz f 5 Posicao da fonte na malha para direcao z

Modelagem Elastica

Parametro Valor Descricao (Unidade)

∆t 0,15 Incremento temporal (ms)

h 1,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z

fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)

Nx 3900 Numeros de pontos na malha para direcao x

Nz 1500 Numeros de pontos na malha para direcao z

Ntotal 9000 Numero total de passos de tempo, onde t = 1, 35s

ix f 1950 Posicao da fonte na malha para direcao x

kz f 15 Posicao da fonte na malha para direcao z

65

Page 80: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Modelo de velocidade da onda P (Vpz).

(b) Modelo de anisotropia para o parametro epsilon (ε).

(c) Modelo de anisotropia para o parametro delta (δ).

Figura 7.7: Modelo de interfaces paralelas - Velocidade e parametros de anisotropia.

66

Page 81: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.3s.

(b) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.5s.

(c) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.7s.

(d) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.9s.

Figura 7.8: Instantaneos do campo de pressao em diferentes instantes de tempo

(primeira camada isotropica).

67

Page 82: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.3s.

(b) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.5s.

(c) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.7s.

(d) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.9s.

Figura 7.9: Instantaneos do campo de pressao em diferentes instantes de tempo

(primeira camada anisotropica).

68

Page 83: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Como exemplo inicial, a fonte foi posicionada na primeira camada isotropica,

sendo os snapshots apresentados para diferentes instantes de tempo, conforme figura

(7.8), enquanto a figura (7.9) apresenta os snapshots considerando o posicionamento

da fonte em camada anisotropica (ε = 0.2, δ = 0).

Ao posicionar a fonte na primeira camada anisotropica, pode-se observar a pro-

pagacao de ondas SV, figura (7.9). Em contrapartida ao considerar a mesma fonte

em camada isotropica, os eventos de ondas S sao suprimidos, figura (7.8). A solucao

para suprimir os eventos gerados pela onda SV foi sugerida por Tariq Alkhalifah [1].

Todavia, como sera demonstrado na proxima secao, a ideia apresentada por Tariq

nem sempre e valida.

A figura (7.10) mostra os sismogramas para os diferentes posicionamentos da

fonte, isto e, o posicionamento da fonte em camada isotropica e anisotropica. E

possıvel observar da figura (7.10(b)) a onda SV direta e refletida, resultado do po-

sicionamento da fonte na camada anisotropica.

(a) Sismograma (primeira camada isotro-

pica).

(b) Sismograma (primeira camada aniso-

tropica)

Figura 7.10: Sismogramas para modelo de interfaces paralelas.

69

Page 84: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Modelo de velocidade da onda S (Vsz).

(b) Modelo de densidade.

Figura 7.11: Modelo de interfaces paralelas - Velocidade (onda S vertical) e densi-

dade.

70

Page 85: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Interfaces pa-

ralelas). Curva branca (elastica), curva preta (pseudo-acustica).

(b) Erro relativo.

Figura 7.12: Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Interfaces parale-

las).

Considerando a fonte na camada isotropica, as matrizes de tempo de transito elas-

tica e pseudo-acustica foram comparadas, figura (7.12), onde o modelo empregado

para modelagem elastica foi o mesmo da figura (7.7), alem do modelo de densidade

e onda S vertical para a modelagem elastica, dado pela figura (7.11). O erro relativo

apresentado pela figura (7.12(b)) entre 0,005% e 0,015% ocorre em regioes onde ha

71

Page 86: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

interferencia entre as ondas refletidas e head waves 1, sendo que nas demais regioes

o erro e praticamente nulo.

7.1.3 Interface Inclinada

Para o modelo de interface inclinada, a funcao e ilustrar o fenomeno de criacao

da onda SV para a formulacao pseudo-acustica, mesmo posicionando a fonte em

camada isotropica. Na tabela (7.3) estao contidos os parametros da modelagem,

enquanto na figura (7.13) esta presente o modelo empregado.

Tabela 7.3: Parametros utilizados na modelagem (Interface Inclinada)

Modelagem Pseudo-Acustica

Parametro Valor Descricao (Unidade)

∆t 0,2 Incremento temporal (ms)

h 2,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z

fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)

Nx 1400 Numeros de pontos na malha para direcao x

Nz 785 Numeros de pontos na malha para direcao z

Ntotal 3600 Numero total de passos de tempo, onde t = 0, 72s

ix f 700 Posicao da fonte na malha para direcao x

kz f 5 Posicao da fonte na malha para direcao z

Da figura (7.14) a conversao de ondas fica evidente, mesmo com a fonte posici-

onada em meio isotropico. A situacao contrasta com a proposta apresentada por

Alkhalifah [1], onde posicionando a fonte em uma camada isotropica ou elıptica, a

onda SV seria eliminada. De fato em alguns casos isto pode ocorrer, como obser-

vado na figura (7.8). Todavia e possıvel que para altos contrastes de anisotropia, a

conversao torne-se acentuada, conforme apresentado por Grechka et al. [79].

Um dos principais problemas inerentes a esta conversao seria para conversoes do

tipo P-SV-P, onde a onda SV seria convertida novamente em onda P, podendo criar

ruıdos nas ondas P puras (nao convertidas) registradas do meio isotropico [79].

1Onda caracterizada por refratar com angulo crıtico [76].

72

Page 87: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Modelo de velocidade da onda P (Vpz).

(b) Modelo de anisotropia para o parametro epsilon (ε).

(c) Modelo de anisotropia para o parametro delta (δ).

Figura 7.13: Modelo de interface inclinada - Velocidade e parametros de anisotropia.

73

Page 88: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.4s.

(b) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.5s.

(c) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.6s.

(d) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.7s.

Figura 7.14: Instantaneos do campo de pressao em diferentes instantes de tempo

(Interface Inclinada). As setas brancas indicam a presenca da onda SV, enquanto

as pretas indicam os eventos espurios gerados pela conversao P-SV

74

Page 89: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

7.1.4 Modelo Anticlinal

O modelo anticlinal representa a geologia de diversos reservatorios de petroleo

[81], onde a ideia do exemplo e validar os tempos de transito obtidos pela equacao de

Alkhalifah para meios onde a geologia expoe certa complexidade. Os sismogramas

para os meio elastico e pseudo-acustico serao comparados entre si, tal como suas

matrizes de tempo de transito. A figura (7.15) mostra os modelos de densidade e

velocidade (Vsz) empregados na modelagem elastica, e a figura (7.16) os modelos de

velocidade (Vpz) e anisotropia ε e δ, utilizados em ambas as formulacoes, elastica

e pseudo-acustica. Todos os parametros relacionados a modelagem estao na tabela

(7.4).

(a) Modelo de velocidade da onda S (Vsz).

(b) Modelo de densidade

Figura 7.15: Modelo Anticlinal - Velocidade (onda S vertical) e densidade.

75

Page 90: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Modelo de velocidade da onda P (Vpz).

(b) Modelo de anisotropia para o parametro epsilon (ε).

(c) Modelo de anisotropia para o parametro delta (δ).

Figura 7.16: Modelo anticlinal - Velocidade e parametros de anisotropia.

76

Page 91: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Tabela 7.4: Parametros utilizados na modelagem (Anticlinal)

Modelagem Pseudo-Acustica

Parametro Valor Descricao (Unidade)

∆t 0,65 Incremento temporal (ms)

h 5,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z

fcorte 30 Frequencia de corte da fonte (Hz)

Nx 1400 Numeros de pontos na malha para direcao x

Nz 900 Numeros de pontos na malha para direcao z

Ntotal 3900 Numero total de passos de tempo, onde t = 2, 535s

ix f 700 Posicao da fonte na malha para direcao x

kz f 6 Posicao da fonte na malha para direcao z

Modelagem Elastica

Parametro Valor Descricao (Unidade)

∆t 0,4 Incremento temporal (ms)

h 3,0 Espacamento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z

fcorte 60 Frequencia de corte da fonte (Hz)

Nx 2334 Numeros de pontos na malha para direcao x

Nz 1500 Numeros de pontos na malha para direcao z

Ntotal 6338 Numero total de passos de tempo, onde t = 2, 535s

ix f 1167 Posicao da fonte na malha para direcao x

kz f 10 Posicao da fonte na malha para direcao z

Os snapshots gerados a partir das formulacoes pseudo-acustica e elastica sao

apresentados respectivamente nas figuras (7.17) e (7.18). A conversao da onda SV

mencionada anteriormente na secao (7.1.3) reaparece nos instantaneos das figuras

(7.17(c)) e (7.17(d)), todavia mais acentuada devido a complexa geologia. Os mes-

mos instantaneos para a formulacao elastica estao presentes nas figuras (7.18(c)) e

(7.18(d)), contudo nao e observado nenhum tipo de ruıdo semelhante ao causado

pela formulacao pseudo-acustica.

77

Page 92: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Instantaneo do campo de pressao em t = 0.97s.

(b) Instantaneo do campo de pressao em t = 1.62s.

(c) Instantaneo do campo de pressao em t = 2.27s.

(d) Instantaneo do campo de pressao em t = 2.4s.

Figura 7.17: Instantaneos do campo de pressao em diferentes instantes de tempo

(Anticlinal). As setas pretas indicam os eventos espurios gerados pela conversao

P-SV.

78

Page 93: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Instantaneo do campo de tensao em t = 0.97s.

(b) Instantaneo do campo de tensao em t = 1.62s.

(c) Instantaneo do campo de tensao em t = 2.27s.

(d) Instantaneo do campo de tensao em t = 2.4s.

Figura 7.18: Instantaneos do campo de tensao vertical (σzz) em diferentes instantes

de tempo (Anticlinal).

79

Page 94: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Os sismogramas para ambas as formulacoes, pseudo-acustica e elastica,

encontram-se na figura (7.19), nos quais observa-se que embora a equacao de Alkha-

lifah produza conversoes indesejadas, uma vez que a ideia primordial da formulacao

e a propagacao somente de ondas P, tais conversoes apresentadas para o exemplo

nao possuem amplitude relativamente alta, nao sendo registradas no sismograma,

conforme figura (7.19(a)). Contudo, os artefatos apresentados pelas figuras (7.17(c))

e (7.17(d)), podem ocasionar no processo de imageamento, com aplicacao da con-

dicao de imagem [30], eventos espurios, principalmente em regioes de singularidade,

onde ocorre maior concentracao de energia [79]. Devido ao nao registro das ondas

SV, e possıvel distinguir os diferentes eventos associados a onda S pela formulacao

elastica, conforme figura (7.19(b)).

(a) Sismograma pseudo-acustico. (b) Sismograma elastico (Componente

σzz).

Figura 7.19: Sismogramas elastico e pseudo-acustico (Modelo Anticlinal).

Os tempos de transito, figura (7.20(a)), associados as formulacoes elastica e

pseudo-acustica indicam a adequada aproximacao cinematica da formulacao pseudo-

acustica, mesmo em meios com maior complexidade, exceto nas regioes onde o erro

relativo, figura (7.20(b)), aponta valores entre 0,005% e 0,02%, sendo estes erros

80

Page 95: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

devidos as conversoes de onda.

(a) Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Anticlinal). Curva branca

(elastica), curva preta (pseudo-acustica)

(b) Erro relativo

Figura 7.20: Comparacao das MTT’s elastica e pseudo-acustica (Anticlinal).

81

Page 96: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

7.2 Formulacao Acustica

7.2.1 Meio Homogeneo

Como mencionado na secao (7.1), a formulacao pseudo-acustica gera tempos de

transito similares a formulacao elastica, com o inconveniente da formacao de ondas

SV. Neste topico sera demonstrado que as formulacoes de Zhang (5.12) e Klıe (5.14)

excluem totalmente a onda SV. Como exemplo, o mesmo meio da secao (7.1.1) sera

empregado para analise das equacoes. Tal como na secao (7.1.1) os snapshots da

simulacao serao apresentados. Os parametros empregados para a modelagem sao os

mesmos citados na tabela (7.1) para a modelagem pseudo-acustica.

(a) Campo de pressao - Formulacao de Zhang

(b) Campo de pressao - Formulacao de Klıe

Figura 7.21: Instantaneos para o campo de pressao em meio anisotropico homogeneo

- Formulacao Acustica.

82

Page 97: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

As formulacoes de Zhang e Klıe excluem em definitivo a onda SV, figura (7.21),

presente na formulacao de Alkhalifah. A diferenca presente nos instantaneos da

figura (7.21) envolve a pequena variacao na frente de onda na direcao de 45o, para os

quatro quadrantes. A confirmacao pode ser verificada pela figura (7.22), que mostra

as frentes de onda para as aproximacoes de velocidade (5.3) e (5.6), aproximacoes

estas que originaram as equacoes de Zhang (5.12) e Klıe (5.14), respectivamente.

(a) Frentes de onda para velocidade de grupo da onda P e SV.

(b) Zoom das frentes de onda para velocidade de grupo P e SV.

Figura 7.22: Frentes de onda para a velocidade grupo, a curva em preto representa

a solucao analıtica (elastica); a em verde a aproximacao de Thomsen, e a em azul a

aproximacao de Muir. A frente interna representa a onda SV, enquanto as frentes

externas a onda P.

83

Page 98: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

De fato, a variacao na frente da onda ocorre, conforme ilustrado pelas figuras

(7.22(b)). Sendo assim, a princıpio para o meio em questao, a aproximacao de Muir

forneceria uma melhor estimativa sobre o tempo de transito, por consequencia a

formulacao de Klıe e Toro.

84

Page 99: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Capıtulo 8

Conclusoes e Trabalhos Futuros

Neste trabalho foram estudadas diferentes formulacoes para a equacao acustica

da onda em meios com isotropia transversa com o eixo de simetria vertical (VTI),

entre elas, as formulacoes propostas por Tariq Alkhalifah (5.10), Klıe e Toro (5.12) e

Zhang (5.14). Todas as equacoes de onda foram derivadas a partir de aproximacoes

de velocidade de fase para a onda P. Ao discretizar a equacao pseudo-acustica pelo

Metodo das Diferencas Finitas, a pressao pode ser calculada de forma explıcita,

diferente das equacoes de Zhang [2], equacao (5.12), e Klıe [3], equacao (5.14), onde

houve a necessidade da resolucao de um sistema linear acoplado ao processo de

marcha temporal.

Foi visto que a formulacao proposta por Tariq Alkhalifah [1], equacao (5.10), nao

e totalmente acustica, ou seja, nao contempla somente ondas P, gerando regioes com

presenca de ondas SV, criando anisotropia extrema (σ = ∞). Tanto a anisotropia

extrema, quanto a geracao de ondas SV, devem-se a simplificacao realizada (Vsz = 0)

para a aproximacao de velocidade de fase analıtica, equacao (4.37), a qual tinha

finalidade de obter uma equacao que simulasse somente o campo de onda P em meio

anisotropico.

De forma geral, os resultados decorrentes da modelagem pseudo-acustica apre-

sentaram precisao cinematica adequada quando comparados a modelagem elastica,

entretanto os problemas ocasionados pela formulacao evidentemente se apresentam

relevantes para processos de imageamento [30].

As equacoes propostas por Klıe e posteriormente por Zhang contornam a barreira

imposta pela formulacao pseudo-acustica, todavia com a desvantagem da resolucao

85

Page 100: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

de um sistema linear a cada passo de tempo. Porem, as condicoes de estabilidade

η > −14 para a equacao de Klıe, |ε | 1 e |δ| 1 para a equacao de Zhang, tornam

maiores as variacoes sobre os parametros de anisotropia ε e δ em relacao a equacao

pseudo-acustica ( ε ≥ δ), e consequentemente maiores variacoes sobre η. Entre as

equacoes de Klıe e Zhang, a primeira apresentou uma matriz de coeficientes M nao

simetrica, enquanto a segunda uma matriz simetrica, tendo como vantagem uma

solucao com custo computacional teoricamente inferior. Todavia a formulacao de

Klıe, apesar da matriz nao ser simetrica, mostrou a princıpio melhor aproximacao

pela frente da onda, figura (7.22(a)); isto foi devido a aproximacao de velocidade para

onda P de Muir apresentar melhor precisao em relacao a aproximacao de Thomsen,

aproximacao esta empregada para formulacao de Zhang.

Uma vez que a formulacao acustica anisotropica mostra boas perspectivas, pois

remove definitivamente a presenca de ondas SV, pretende-se dar seguimento as pes-

quisas efetuadas neste trabalho, principalmente nos seguintes temas:

1. Aplicacao de modelos mais complexos para as equacoes acusticas anisotropicas.

2. Expansao das equacoes pseudo-acustica e acusticas para meios TTI.

3. Implementacao de metodos iterativos para solucao das equacoes acusticas.

4. Avaliacao do custo computacional para as equacoes acusticas.

5. Implementacao de algoritmos de migracao reversa no tempo para as referidas

formulacoes, e as comparacoes entre as imagens geradas.

86

Page 101: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

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Page 109: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Apendice A

Discretizacao pelo Metodo de

Diferencas Finitas

A.1 Operadores de diferencas finitas

O Metodo das Diferencas Finitas (MDF) e um de solucao numerica para equacoes

diferenciais, geralmente baseado na aproximacao por Serie de Taylor das derivadas

envolvidas na equacao diferencial. Dessa forma, o domınio do problema e discre-

tizado por uma serie de pontos, denominado de malha, figura A.1(b), sendo cada

ponto denominado no, onde sao calculadas as incognitas envolvidas. De acordo com

a figura A.1(b), ∆x e ∆z sao as distancias entre os pontos da malha nas direcoes x

e z, respectivamente, nao necessariamente iguais. Logo, um dado ponto (i, k) possui

coordenadas (xo + ∆x, z0 + ∆z), onde (xo, z0) representa a origem do sistema de co-

ordenadas, geralmente adotado (0,0). Os numeros de pontos nas direcoes x e z sao

respectivamente nx e nz.

As aproximacoes por diferencas finitas sao classificadas de acordo com o erro

dominante no truncamento da Serie de Taylor, ou seja, o erro que causara maior

influencia sobre a solucao numerica [57], onde por exemplo o termo O(∆x)2 presente

na discretizacao (A.1), significa que a aproximacao possui ordem dois, pois o erro

cometido na discretizacao da derivada espacial e proporcional ao quadrado do

espacamento ∆x. Importante notar que a expressao O(∆x)2, indica como o erro

local de truncamento varia em funcao do espacamento da malha, e nao o valor do

erro [57]. As aproximacoes em diferencas finitas sao comumente definidas como

95

Page 110: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

diferencas regressiva, progressiva e central [17]. A diferenca regressiva aproxima

a derivada da funcao no ponto, utilizando um ponto vizinho anterior, enquanto a

progressiva utiliza um ponto posterior, e a central emprega ambos. Abaixo seguem

algumas aproximacoes de segunda ordem no espaco.

• Progressivas

∂ f∂x

∣∣∣∣∣∣ni,k

=−3 f n

i,k + 4 f ni+1,k − f n

i+2,k

2∆x+ O(∆x)2 (A.1)

∂2 f∂x2

∣∣∣∣∣∣ni,k

=2 f n

i,k − 5 f ni+1,k + 4 f n

i+2,k − f ni+3,k

(∆x)2 + O(∆x)2 (A.2)

∂3 f∂x3

∣∣∣∣∣∣ni,k

=−5n

i,k + 18 f ni+1,k − 24 f n

i+2,k + 14 f ni+3,k − 3 f n

i+4,k

2(∆x)3 + O(∆x)2 (A.3)

∂4 f∂x4

∣∣∣∣∣∣ni,k

=3 f n

i,k − 14 f ni+1,k + 26 f n

i+2,k − 24 f ni+3,k + 11 f n

i+4,k − 2 f ni+5,k

(∆x)4 + O(∆x)2 (A.4)

• Regressivas

∂ f∂x

∣∣∣∣∣∣ni,k

=3 f n

i,k − 4 f ni−1,k + f n

i−2,k

2∆x+ O(∆x)2 (A.5)

∂2 f∂x2

∣∣∣∣∣∣ni,k

=2 f n

i,k − 5 f ni−1,k + 4 f n

i−2,k − f ni−3,k

(∆x)2 + O(∆x)2 (A.6)

∂3 f∂x3

∣∣∣∣∣∣ni,k

=5n

i,k − 18 f ni−1,k + 24 f n

i−2,k − 14 f ni−3, j + 3 f n

i+4,k

2(∆x)3 + O(∆x)2 (A.7)

∂4 f∂x4

∣∣∣∣∣∣ni,k

=3 f n

i,k − 14 f ni−1,k + 26 f n

i−2,k − 24 f ni−3,k + 11 f n

i−4,k − 2 f ni−5,k

(∆x)4 + O(∆x)2 (A.8)

96

Page 111: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

• Centrais

∂ f∂x

∣∣∣∣∣∣ni,k

=f ni+1,k + f n

i−1,k

2∆x+ O(∆x)2 (A.9)

∂2 f∂x2

∣∣∣∣∣∣ni,k

=f ni+1,k − 2 f n

i,k + f ni−1,k

(∆x)2 + O(∆x)2 (A.10)

∂3 f∂x3

∣∣∣∣∣∣ni,k

=f i + 2, kn

− 2 f ni+1,k + 2 f n

i−1,k − f ni−2,k

(∆x)3 + O(∆x)2 (A.11)

∂4 f∂x4

∣∣∣∣∣∣ni,k

=f ni+2,k − 4 f n

i+1,k + 6 f ni,k − 4 f n

i−1,k + f ni−2,k

(∆x)4 + O(∆x)2 (A.12)

onde o O ındice n e referente ao tempo de analise e i,k as coordenadas x e z.

Outras derivadas importantes, sao as mistas [83].

∂2 f∂x∂z

∣∣∣∣∣∣ni,k

=f ni+1,k+1 − f n

i+1,k−1 − f ni−1,k+1 + f n

i−1,k−1

4(∆x)(∆z)+ [O(∆x)2,O(∆z)2] (A.13)

∂4 f∂x2∂z2

∣∣∣∣∣∣ni,k

=4 f n

i,k − 2( f ni−1,k + f n

i,k−1 + f ni+1,k + f n

i,k+1) + f ni−1,k−1 + f n

i+1,k−1 + f ni+1,k+1 + f n

i−1,k+1

(∆x)2(∆z)2

+[O(∆x)2,O(∆z)2] (A.14)

As formulas em diferencas para o caso onde a funcao a ser derivada possui depen-

dencia temporal sao analogas as anteriores. Maiores detalhes podem ser encontrados

nos textos de Fortuna [57], Evans et al. [17].

97

Page 112: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

(a) Regiao contınua

(b) Regiao discretizada

Figura A.1: Discretizacao pelo Metodo das Diferencas Finitas (MDF)

98

Page 113: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

Apendice B

Simetrias do tensor de elasticidade

As simetrias do tensor de elasticidade sao de natureza notavel, elas ocorrem em

razao das simetrias dos tensores de tensao e deformacao, alem da simetria introdu-

zida por uma funcao escalar chamada Energia potencial de deformacao.

Seja a equacao (2.9),

σi j =

3∑k=1

3∑l=1

Ci jklεkl

σ ji =

3∑k=1

3∑l=1

C jiklεkl

(B.1)

utilizando (2.8), tem-se:

3∑k=1

3∑l=1

(Ci jkl −C jikl)εkl = 0

Ci jkl = C jikl (B.2)

Na equacao (B.2), foi utilizada a simetria do tensor de tensao para encontrar uma

simetria do tensor de elasticidade. Igualmente, utilizando o tensor de deformacao,

verifica-se que:

Ci jklεkl = Ci jlkεlk (B.3)

Devido a (2.2) e possıvel escrever:

99

Page 114: Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

3∑k=1

3∑l=1

(Ci jkl −Ci jlk)εkl = 0

Ci jkl = Ci jlk (B.4)

A relacao (B.2) mostra que o tensor de elasticidade e invariante sob a permutacao

nos dois primeiros ındices, enquanto (B.4) indica a invariancia nos dois ultimos.

Em razao das simetrias dos tensores de tensao e deformacao, tal como as sime-

trias demonstradas, verifica-se que o numero de termos independentes do tensor de

elasticidade se reduz de 81 para 26 componentes. Uma ultima simetria relacionada

a energia potencial de deformacao faz com que o numero de termos independentes

seja reduzido a 21, como descrito a seguir.

Em sistemas conservativos, a tensao pode ser relacionada a uma energia potencial

de deformacao [38] por:

σi j =∂W(εi j)∂εi j

(B.5)

onde W(εi j) e a funcao energia potencial de deformacao de um sistema conserva-

tivo. Em resumo, a tensao e derivada dessa funcao potencial. Reescrevendo (B.5)

em funcao de (2.9), e entao diferenciando ambos os lados em relacao a εkl, obtem-se:

Ci jkl =∂2W(ε)∂εkl∂εi j

(B.6)

como W(ε) e uma funcao de classe C2,

∂2W(ε)∂εkl∂εi j

=∂2W(ε)∂εi j∂εkl

(B.7)

em consequencia de (B.7), tem-se:

Ci jkl = Ckli j (B.8)

100