Programa de Ciência e Tecnologia para Gestão de Ecosistemas

Ação "Métodos, modelos e geoinformação para a gestão ambiental”

Técnicas de Suporte a Decisão para ModelagemTécnicas de Suporte a Decisão para ModelagemGeográfica por Álgebra de MapasGeográfica por Álgebra de Mapas

Fábio Roque Moreira

Gilberto Câmara

Raimundo Almeida Filho

Relatório Técnico

Maio – 2001

RESUMO

Este trabalho apresenta diversas tecnicas de suporte a decisão, envolvendo dados denatureza geográfica. São abordadas as técnicas de análise hierárquica, modelos bayesianos,

lógica nebulosa, e redes neurais artificiais. Como estudo de caso, comparamos odesempenho de 8 métodos de análise multi-critério de dados geológicos e radiométricosna predição de áreas potenciais à ocorrência de minerais radiativos no planalto de Poços

de Caldas. As metodologias empregadas Booleana, Média Ponderada, Fuzzy (Mínimo-Máximo, Média, Ponderado e Gama), Bayes, Redes Neurais Artificiais, segundo ummodelo prospectivo empírico, definiram cenários com diferentes níveis de prioridades.

O método Booleano gerou dados binários em formato temático, indicando áreas compotencialidade favorável e não-favorável. Os demais métodos produziram dados emformato numérico, posteriormente fatiados em 4 classes com diferentes graus de

potencialidades (alta, média, baixa e nula). Nas avaliações dos cenários foram utilizados48 ocorrências minerais que foram sobrepostas para inspeção visual e cruzadas(tabulação cruzada) para o cálculo das probabilidades condicionais, utilizadas no

cálculo do grau de confiança. Os cenários gerados indicaram desempenhos diferentesnas avaliações. O cenário gerado pelo método Fuzzy Ponderado apresentou o melhordesempenho dentre todos os cenários avaliados, seguido pela inferência por Rede

Neurais e pela Média Ponderada. Os métodos Booleano e Fuzzy Gama mostraram-selimitados e inadequados para estudos semelhantes. Os demais métodos apresentaramdesempenhos medianos.

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS

As atividades de pesquisa mineral nos dias atuais demandam a integração de uma

grande quantidade de dados, para a construção de modelos prospectivos que sirvam deguias para tomadores de decisão. Essa estratégia de prospecção mineral decorre de umamaior dificuldade na descoberta de novos depósitos minerais e da maior eficiência dos

sistemas computacionais (SIG’s) que permitem a manipulação de dados de diversasfontes, de maneira mais rápida, através de diversas técnicas matemáticas. Os aplicativosdos SIG’s são eficazes ferramentas em exploração mineral quando combinados com

apropriadas análises estatísticas e adequados modelos matemáticos (Turner e Sjoekri,1999). As técnicas de geoprocessamento permitem a implementação de modelosmatemáticos, heurísticos e probabilísticos como ferramental para a construção de

modelos prospectivos que servirão de guias no mapeamento da potencialidade àocorrência mineral de determinada área.

Como os princípios físicos e químicos que governam a formação de depósitos minerais

são na maioria dos casos muito complexos para uma previsão direta segundo teoriasexpressas matematicamente, a busca de sítios favoráveis deve basear-se principalmenteem relações empíricas, com a ajuda descritiva do “modelo de depósito”. (Bonham-

Carter, 1994).

Esses modelos consistem em um número de depósitos conhecidos, considerados comosendo similares o suficiente em termos de suas características, para serem tratados como

um “modelo descritivo” que pode guiar a pesquisa para novos depósitos do mesmo tipo.A descrição de um modelo de depósito inclui a avaliação dos processos físicos equímicos que controlam a sua formação.

Na aplicação de sistemas de informação geográfica (SIG’s) para o mapeamento depotencialidade à ocorrência mineral, os modelos de depósitos exercem papel importantetanto na seleção e derivação dos dados que serão considerados como evidências, como

na definição dos pesos que irão ponderar as evidências.

A definição dos pesos pode ser efetuada de duas maneiras. Na primeira eles sãoestimados por critérios estatísticos, sendo utilizadas as relações espaciais entre os mapas

de previsão (evidências) e as verdades de campo (depósitos ou ocorrências mineraisconhecidos), ou mesmo zonas de anomalias geoquímicas, geofísicas, etc. Na segundamaneira, os pesos são estimados segundo a experiência de um especialista. Estes dois

tipos de abordagem são também conhecidos como modelos “data-driven” e “knowledge-driven” respectivamente (Reddy, et al. 1992; Bonham-Carter, 1994; Pendock e

Nedelijkovic, 1996) . No modelo “data-driven” os vários mapas de entrada sãocombinados através de diferentes técnicas, tais como, regressões logísticas, ponderaçãode evidências (probabilidade bayesiana), ou redes neurais. Os modelos de “knowledge-

driven” incluem o uso da lógica booleana, média ponderada, lógica fuzzy, e teoria dacrença de Dempster-Shafer. (Bonham-Carter, 1994).

Outro aspecto a ser considerado durante as análises espaciais desenvolvidas em SIG’s

para a geração de mapas de potencialidade é a qualidade dos produtos gerados.Burrough e McDonnell (1998) relatam que a qualidade dos mapas gerados em SIG’s éavaliada, na maioria dos casos, apenas pelo aspecto visual do produto final. Entretanto,

controles de qualidades baseados apenas em aspectos visuais são insuficientes se ainformação presente está errada ou foi violada por erros durante o processamento.Incertezas e erros são intrínsecos aos dados espaciais e necessitam ser identificados de

modo apropriado e não ignorados ou mascarados por efeitos de visualização gráfica.

Para a avaliação dos produtos gerados através de manipulações espaciais em SIG’s,técnicas de aferição baseadas em métodos estatísticos, tais como o coeficiente de Kappa e

a probabilidade condicional, demostram ser úteis pois passam uma idéia quantitativados dados, em vez de se fazer apenas uma avaliação qualitativa, o que na maioria doscasos é um processo subjetivo.

1.2 - OBJETIVO

Considerando as premissas acima, o presente trabalho foi idealizado tendo dois

objetivos principais:

• Utilizar metodologias de inferência espacial para pesquisa mineral através de análisesmulti-critérios de dados geológicos e geofísicos. A avaliação multi-critério visou a

seleção de áreas com maior potencial à ocorrência de minerais radioativos nocomplexo alcalino de Poços de Caldas.

• Análise qualitativa e quantitativa dos mapas temáticos de potencialidade gerados

pela avaliação multi-critério. Na análise quantitativa foram utilizadas as ocorrênciasminerais conhecidas, que foram cruzadas com as diferentes classes depotencialidades dos cenários, para o cálculo da probabilidade condicional. Com as

probabilidades a priore e posteriore foi calculado o grau de confiança de cada classede prioridade dos diferentes cenários.

A Figura 1.1 apresenta o fluxograma da metodologia adotada no presente estudo. Na

caixa pontilhada, multi-critério, estão apresentadas as operações desenvolvidas para ageração dos 8 cenários de potencialidade. A caixa pontilhada, avaliação quantitativa equalitativa, demostra as operações envolvidas na aferição dos cenários, onde,

dependendo do resultado, o tomador de decisão pode avançar ou não com a pesquisamineral.

Sendo assim a proposta central do trabalho foi metodológica, ou seja, objetivou-se

utilizar diferentes técnicas de inferência espacial na geração de cenários, os quaisacredita-se, devem indicar as áreas mais favoráveis à ocorrência de minerais radioativos.Como os cenários são parecidos visualmente, mas não idênticos, uma avaliação

quantitativa dos resultados, aliada à avaliação qualitativa, é de suma importância. Para aavaliação quantitativa utilizou-se a probabilidade a posteriore, que fornece umparâmetro numérico estabelecendo um grau de confiança.

Fig. 1.1 – Fluxograma da metodologia proposta para o trabalho.

CAPÍTULO 2

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TÉCNICAS DE INFERÊNCIA ESPACIAL

A integração de dados geológicos multi-fontes na pesquisa mineral é tarefa moldada

para sistemas de informações geográficas. A tarefa de integração de dados em um SIGpode ser dividida em cinco etapas: construção do banco de dados; extração dasevidências relevantes à previsão de depósitos minerais; construção de modelos de

potencialidade mineral; visualização do dados de saída; e interpretação dos resultados(Bonham-Carter, 1990).

Na maioria dos projetos desenvolvidos em SIG com tal objetivo, a principal proposta é a

combinação de dados espaciais, com o objetivo de descrever e analisar interações, demodo a fazer previsões através de modelos prospectivos empíricos, fornecendo apoiopara a definição de sítios com maiores chances de encerrar depósitos minerais. A

combinação desses dados multi-fontes permite reduzir a ambigüidade de interpretaçõesque normalmente pode ocorrer na análise individual desse dados (Pendock eNedelijkovic, 1996).

O uso da tecnologia de SIG’s na seleção de sítios potenciais envolve a análise deparâmetros que satisfaçam a um conjunto de critérios. Neste trabalho foram utilizados 8métodos de inferência espacial para a integração dos dados (evidências): Booleano,

Média Ponderada, Fuzzy (Mínimo-Máximo, Média, Ponderado, Gama), Bayes e RedesNeurais Artificiais. Para tal foi adotado um modelo prospectivo visando a definição deáreas potenciais à ocorrência de depósitos minerais radioativos no planalto de Poços de

Caldas. Os métodos geram como resultado planos de informação com diferentesrepresentações. O método Booleano gera dados com representação temática, sendo apotencialidade expressa espacialmente em forma de polígonos que representam classes

(favorável e não favorável). Os demais métodos produzem dados com representaçãonumérica, sendo a potencialidade expressa de forma numérica.

2.1 MÉTODO BOOLEANO

O modelamento segundo operadores de lógica booleana em SIG’s é análogo à

sobreposição de mapas em formato analógico em uma mesa de luz (“overlay”), métodotradicionalmente utilizado em estudos geológicos. Essa semelhança, aliada àsimplicidade operacional, fizeram com que o modelamento booleano fosse e venha

sendo bastante empregado em diferentes estudos ambientais desenvolvidos em SIG’s. Ostrabalhos de Harris (1989), Almeida Filho (1995), Lihao et al. (1997) são bons exemplosde estudos geológicos que adotaram essa metodologia.

O Modelo Booleano envolve a combinação lógica de mapas binários através deoperadores condicionais. Cada mapa utilizado pode ser entendido como um plano deinformação (evidência). Os vários planos de informação são combinados segundo uma

seqüência lógica para dar suporte a uma hipótese ou proposição definida. Diferentesoperações são testadas, para determinar se as evidências satisfazem ou não às regrasdefinidas pela hipótese.

Para a aplicação da metodologia booleana é necessário que os planos de informação(evidências) representem apenas duas classes, ou seja, que apresentem um padrãobinário. Em planos de informação com representação temática a generalização é obtida

através de uma reclassificação das diferentes classes para “favorável” e “não-favorável”.

Para planos de informação com representação numérica a divisão em duas classes éobtida através da definição de limiares de corte (Lc), que agruparão diferentes valores

numéricos. Esse fatiamento pode ser melhor entendido através da função de pertinência(Fp) exemplificada na Figura 2.1. Onde função de pertinência, é uma função que, dadoo valor x, ela determina se o elemento avaliado pertence ou não a um determinado

conjunto em análise. No gráfico da Figura 2.2 o eixo x expressa a variação dos valoresdo atributo e o eixo y os valores de saída definidos pela função de pertinência (Fp). Ospontos La e Lb correspondem aos limiares de corte do conjunto. Pela figura fica claro que

o resultado é expresso de forma binária, “0” (hipótese não satisfeita) e “1” (hipótesesatisfeita), não sendo possível a condição talvez.

Fig. 2.1 – Função de pertinência de conjuntos booleanos.

Para a integração de planos de informação binários, a álgebra Booleana utiliza osponderadores lógicos “E”, “OU”, “Exclusivo OU (XOR)” e “NÃO”, que determinam seuma hipótese satisfaz ou não a uma particular condição. Para melhor entendimento,

imagine cada atributo como um conjunto (Figura 2.2). O operador “E” retorna ainterseção entre dois ou mais conjuntos, ou seja, as entidades que pertencem aosconjuntos A e B. O operador “OU” retorna a união dos conjuntos, cujas entidades que

pertencem tanto ao conjunto A como ao B. O “XOR” recupera as entidades pertencem aum conjunto e ao outro, mas não aos dois conjuntamente. E o “NÃO” é o operador dadiferença, identificando as entidades que pertencem ao conjunto A mas não ao B.

Embora esse método seja prático, normalmente não é o mais adequado, pois o ideal éque evidências que apresentem importâncias relativas desiguais recebam pesosdiferentes, o que não ocorre no modelamento booleano que as trata como iguais. Para

esses casos a técnica da Média Ponderada pode ser uma abordagem interessante. Outroproblema com este tipo de modelamento é que assume-se que todas as entidades e seusatributos podem ser descritos e medidos exatamente. Porém, por razões de variação

espacial, incerteza e limitações de medida, esta suposição não é realística (Burrough eHeuvelink, 1992).

Fig. 2.2 – Diagrama de Venn mostrando os resultados da aplicação de operadores delógica booleana para dois ou mais conjuntos. FONTE: Burrough e McDonnell(1998).

2.2 MÉDIA PONDERADA

Eastman et al. (1995) citam a Média Ponderada como a técnica mais utilizada emprojetos que envolvem análise espacial. Os trabalhos Harris (1989), Eastman et al.(1995), Silva (1994) e Almeida Filho (1995) são bons exemplos de estudos de inferência

espacial baseados nessa técnica.

Neste método, cada mapa de entrada será utilizado como uma evidência que receberáum peso relativo à sua importância para a hipótese sob consideração. Cada plano de

informação receberá pesos diferentes, bem como as respectivas classes desses planos deinformação. O resultado será um mapa com áreas que expressam um grau deimportância relativa através de valores numéricos de saída.

O primeiro passo para a aplicação do método é a ponderação das classes de cada planode informação, segundo pesos definidos empiricamente. Isto feito, os planos deinformação são então somados através de uma soma ponderada, onde cada plano de

informação recebe pesos segundo sua importância relativa. A função matemática éexpressa por:

∑

∑

=

=

∗=

n

ij

n

ij

y

ywijr

1

1 (2.1)

onde wij é o peso da classe "i" do plano de informação "j" , e yj o peso do plano de

informação "j".

O método de Média Ponderada permite uma maior flexibilidade na combinação demapas do que o método Booleano. O mapa ponderado pode ser ajustado para refletir o

julgamento de um especialista, segundo os pesos de importância definidos para cadacritério. A maior desvantagem deste método, entretanto, recai provavelmente no caráterlinear de adição das evidências (Bonham-Carter, 1994).

2.3 MÉTODO 2.3 MÉTODO FUZZYFUZZY

A técnica fuzzy tem sido extensamente utilizada em trabalhos de inferência espacialdesenvolvidos em SIG’s (Burrough, 1989; Burrough e Heuvelink,1992; Banai, 1993;

Altman,1994). As vantagens do modelamento fuzzy são inúmeras quando comparadasaos modelamentos convencionais que forçam os especialistas à definir regrasdicotômicas rígidas com contatos normalmente artificiais que diminuem a habilidade de

articular eficientemente soluções para problemas complexos, tão comum em processosnaturais.

Serão abordados aqui os principais conceitos envolvidos na técnica de inferência fuzzy,

como lógica fuzzy, conjuntos fuzzy ou função fuzzy, variáveis lingüísticas e operadoresfuzzy. Discute-se também: a técnica de representação da importação semântica (IS), paracontatos de polígonos; as vantagens do modelamento Fuzzy sobre o Booleano; e as

diferenças entre os conceitos probabilidade e possibilidade.

2.3.1 Inferência 2.3.1 Inferência FuzzyFuzzy: principais conceitos: principais conceitos

A introdução dos conjuntos fuzzy para lidar com conceitos inexatos foi primeiramente

proposta por Zadeh (1965). A concepção da lógica fuzzy surgiu da preocupação deZadeh com a rápida diminuição da qualidade da informação fornecida por modelosmatemáticos tradicionais, conforme aumenta a complexidade do sistema.

Muito da complexidade, ele descobriu, advém do modo no qual as variáveis do sistemasão representadas e manipuladas. Desde que essas variáveis podem apenas representar o

estado do fenômeno como ou existindo ou não existindo, a matemática necessária paraavaliar operações em vários “contatos” torna-se muito complexa.

Para muitos pesquisadores (Zadeh, 1972; Cox, 1994; Fang, 1997) um benefício

significante dos modelamentos baseados em lógica fuzzy é a habilidade de codificação doconhecimento, numa forma que se aproxima muito ao modo como os especialistaspensam em processos de decisão. Os sistemas de inferências baseados em lógica fuzzy

possibilitam, assim, a captura do conhecimento próximo ao “modelo cognitivo”utilizado pelos especialistas na análise de problemas. Isto significa que o processo deaquisição do conhecimento é mais fácil, mais confiável e menos sujeito a erros não

identificados.

Nessa visão de modelamento de sistemas complexos, os mecanismos subentendidos sãorepresentados de modo lingüístico, através de variáveis lingüísticas, ao invés de

matematicamente. Isto permite lidar de modo melhor com dados imprecisos,incompletos, ambíguos, e/ou vagos, tão comuns em sistemas geológicos.

A idéia da variável lingüística é considerada por Cox (1994) como o cerne da técnica do

modelamento fuzzy. Basicamente uma variável lingüística corresponde ao nome de umconjunto fuzzy. Sendo os conjuntos fuzzy, na prática, funções que indicam o grau derelacionamento de um valor de entrada (atributo) para com um conjunto fuzzy. Outra

boa definição é dada por Fang (1997) que define um conjunto fuzzy como um conjuntode pares de valores (Tabela 2.1). O primeiro valor (lingüístico) é o membro doconjunto; por exemplo, Carlos. O segundo valor (numérico) é o grau de relação do

membro para com o conjunto. Por exemplo, Carlos tem um grau de relação de 0.9 como conjunto fuzzy atletas. Neste exemplo a variável lingüística é o “conjunto atleta”.

TABELA 2.1 – CONJUNTO FUZZY ATLETAS

ObjetoObjeto Grau de relacionamentoGrau de relacionamentoJoão 0.1Aline 0.7

Carlos 0.9

O conjunto fuzzy é uma forma de caracterização de classes, que por várias razões nãotêm ou não podem definir limites rígidos (contatos) entre classes. Essas classes, definidas

de maneira inexata, são chamadas de conjunto fuzzy. A utilização de um conjunto fuzzyé indicada sempre que se tiver que lidar com ambigüidade, abstração e ambivalência emmodelos matemáticos ou conceituais de fenômenos empíricos (Burrough e McDonnell,

1998).

Matematicamente um conjunto fuzzy é definido como segue: se Z denota um espaço deobjetos, então o conjunto fuzzy A em Z é o conjunto expresso pelo par ordenado: A = (z,

MFA (z)) para todo z ∈ Z, onde a função MFA(z) é conhecida como uma “graduação”

mapeável do membro z em A. Normalmente MFA(z) é um número que varia de “0” a“1”, com o “1” representando o membro que se encaixa completamente ao conjunto e o“0” como o membro que não pertence ao conjunto.

A graduação que mapeia os membros de um conjunto A reflete o tipo de ordenação quenão são baseadas em probabilidade, mas sim numa aceitação de possibilidade. O valorda função MFA(z) de um objeto z em A pode ser interpretado como um grau de

compatibilidade de um predicado associado ao conjunto A e ao objeto z. Ou seja,MFA(z) avalia o quanto z pode ser pertencente ao conjunto A (Burrough e McDonnell,1998).

A função fuzzy deve assegurar que o valor do membro no centro do conjunto é “1”, eque este decai de maneira lógica através da fronteira fuzzy (zona de transição) para asregiões fora do conjunto onde o valor deve ser “0”. O ponto onde o valor do membro é

igual a 0,5 é denominado de “ponto de cruzamento” e ele deve coincidir com oscontatos rígidos dos modelos Booleanos. A função deve ser definida de tal modo que estacondição seja respeitada. As funções mais comuns utilizadas para determinar valores de

membros fuzzy são funções lineares e quadráticas (Burrough e McDonnell, 1998).

A função linear fuzzy é definida por dois segmentos de reta inclinados que se encontramem um ponto central de valor MFA(z) = 1. Nas bordas o valor é MFA(z) = 0,5 e a

inclinação das retas define a zona de transição fuzzy. A Figura 2.3a ilustra graficamente oconjunto fuzzy definido por duas funções lineares. Como comparação, a Figura 2.3brepresenta o mesmo conjunto, de valor pontual m, porém definido de modo rígido

(booleano). O conjunto fuzzy definido pela função linear é expresso por (Equação 2.2):

qrepqonde

rzseZMF

rzqserzZMF

qzseZMF

qzpsepzZMF

pzseZMF

A

A

A

A

A

−=−=>=

≤<−−===

<≤−=<=

βα

β

α

0)())(/1()(

1)())(/1()(

0)(

(2.2)

Fig. 2.3 – Representação de números fuzzy e booleanos. Os gráficos b) e d) representamconjuntos booleanos, pontuais ou lineares e poligonais respectivamente.Eles apresentam valores rígidos (m) e (n-m), com um único grau derelacionamento de valor 1. Os gráficos a) e c) apresentam os conjuntosfuzzy equivalentes aos booleanos b) e d) respectivamente. No gráfico a) ograu de relacionamento é 1 no ponto q, decaindo para 0 nos pontos p e r.No gráfico c) os valores d1 e d2 correspondem à largura da zona de transiçãoe os números b1 e b2 os pontos de cruzamento.FONTE: adaptado Fang (1997).

A função quadrática é expressa por (Figura 2.4):

Rz)c)a(z(1

1zMF

2

FA ≤≤

−+= 0)( (2.3)

onde o valor de "a " indica o "ponto de cruzamento", no qual a evidência tem 50% de

importância e o valor “c” é o ponto central ideal do conjunto. A faixa abrangida peloponto inicial até o "ponto de cruzamento" indica a faixa onde as evidências têm altainfluência. Nos pontos fora desta faixa a importância decai abruptamente, segundo a

curva quadrática. A Figura 2.3c exemplifica um conjunto fuzzy definido por duasfunções quadráticas. Na Figura 2.3d está representado o conjunto equivalente, definidopor método Booleano. O conjunto fuzzy é expresso por:

112

1

111

1)( dbzse

d

dbzzMF F +<

−−+

= (2.4a)

22111)( dbzdbsezMF F −≤≤+= (2.4b)

222

2

221

1)( dbzse

d

dbzzMF F −>

+−+

= (2.4c)

Fig. 2.4 – Exemplo de curva quadrática de representação dos elementos z em MFA

Os membros fuzzy definidos pelos conjuntos fuzzy são então combinados segundoanálises multi-critérios, definidas através de uma seqüência lógica realizada pelos

operadores fuzzy (Mínimo, Máximo, Média, Ponderado (Técnica AHP) e Gama).

2.3.2 Operadores 2.3.2 Operadores FuzzyFuzzy

FuzzyFuzzy Mínimo Mínimo

Esse operador assemelha-se a operação Booleana “E” (interseção), e é expresso por:µ=Min (µa,µb, µc, . . .), onde µa eqüivale ao valor do membro fuzzy para um particularponto (“pixel”) do plano de informação A; os valores µb e µc correspondem,

respectivamente, aos membros dos planos B e C no mesmo ponto.

O que este operador define como resultado, é que um ponto do plano de informaçãoresultante terá como valor de saída o menor valor dos membros fuzzy de entrada. Se

tomarmos como exemplo os valores µa = 0,30; µb = 0,17; µc = 0,98, o valor adotadopara o “pixel” do plano de informação final será µfinal = 0,17. Fica claro entender que oresultado obtido é o mais restritivo possível com os valores dos membros fuzzy, de

modo que este operador é indicado para situações altamente restritivas (“pessimista”),onde duas ou mais evidências são estritamente necessárias para satisfazer uma hipótese.

FuzzyFuzzy Máximo Máximo

O operador fuzzy Máximo assemelha-se à operação Booleana “OU” (união), sendo asevidências combinadas segundo a função µ = Max (µa, µb, µc, ...), onde os valores deµa, µb e µc correspondem aos valores dos membros fuzzy das evidências. Nessa

operação o valor de saída para um dado ponto será o maior valor de entrada dos planosde informação. No exemplo acima o valor resultante seria µfinal = 0,98. O operador fuzzyMáximo é o mais otimista dentre operadores fuzzy, sendo indicado para situações onde

a existência de apenas uma evidência é suficiente para indicar regiões potenciais àocorrência de determinada evidência.

FuzzyFuzzy Média Média

O fuzzy Média admite um risco médio com compensação plena entre todos os membrosfuzzy de entrada. O peso de importância é distribuído uniformemente para todas asevidências, o que indica que os membros fuzzy de entrada não apresentam uma

importância hierárquica entre eles. A função matemática que define este operador éexpressa por:

∑=

==n

i

i

nmédia

1

µµ (2.5)

FuzzyFuzzy Ponderado Ponderado

No fuzzy ponderado os pesos de cada membro fuzzy de entrada (evidência) podem serdefinidos empiricamente de modo heurístico ou por processos estatísticos. A avaliação

do peso depende da análise da importância da evidência em relação a um depósitomineral, por exemplo. Essa ponderação resulta em um escalonamento das evidênciassegundo um grau de importância relativa entre elas. Isto permite uma ordenação das

evidências por importância na formulação do modelo prospectivo.

Embora exista uma variedade de técnicas para a definição dos pesos Eastman et al.(1995) descrevem a técnica do Processo Analítico Hierárquico (Analytical Hierarchy

Process - AHP), desenvolvida por Saaty (1992), como sendo a mais promissora nocontexto do processo de tomada de decisão. O primeiro passo para a aplicação dessatécnica é a elaboração de uma relação de importância relativa entre as evidências. Essa

relação é utilizada como dado de entrada em uma matriz de comparação par a par, onde

são calculados os autovalores e autovetores da matriz. Os pesos de cada membro fuzzy,eqüivalem, então, aos autovetores da matriz de comparação par a par. No capítulo 2.6de suporte a decisão a técnica do Processo Analítico Hierárquico é abordada com maior

detalhe.

FuzzyFuzzy Gama Gama

Este operador é definido por dois termos, um produto algébrico fuzzy e uma soma

algébrica fuzzy, expresso pela função:

µ = (soma algébrica fuzzy)γ x (produto algébrico fuzzy)1-γ (2.6)

O produto algébrico fuzzy é expresso pela função:

∏=

=n

ii

1µµ (2.7)

onde µi representa o valor do membro fuzzy para um plano de informação “i”.

O operador executa a multiplicação dos membros dos diferentes planos de informação

(i= 1,2,3,...), sendo que o valor de saída de um dado ponto é sempre menor ou igual aovalor do menor membro fuzzy. Isto ocorre devido a multiplicação de valores iguais oumenores que 1.

A soma algébrica fuzzy é definida pela função:

)1(11

∏=

−−=n

iiµµ (2.8)

onde o termo µi

representa o valor dos membros fuzzy para um plano de informação “i”.O operador executa a multiplicação do termo (1 - µi). Na soma algébrica o resultado ésempre maior ou igual ao valor de entrada do maior membro fuzzy (µi).

No operador gama pode-se variar a importância de cada termo (soma algébrica eproduto algébrico fuzzy). A importância de cada termo no operador gama é definidaatribuindo-se valores entre (0,1) para o expoente “γ”. Esta distribuição de importância é

melhor entendida através da Figura 2.5.

Na Figura 2.6 pode-se observar que quando o γ=0, o resultado dependerá apenas dotermo “produto algébrico fuzzy”, e quando γ=1, o resultado dependerá apenas do termo

“soma algébrica fuzzy”. Os valores de gama entre 0<γ>0,35 apresentam um caráter“diminutivo”, ou seja, sempre menores ou iguais ao menor membro fuzzy de entrada(µi). Na outra extremidade do gráfico os valores gama entre 0,8<γ>1,0 têm um caráter

“aumentativo” onde o valor de saída será igual ou maior que o valor do maior membrofuzzy de entrada (µi). Por fim, para os valores de gama entre 0,35<γ>0,8, os µi nãoapresentam nem um caráter “aumentativo” nem “diminutivo”; os valores dos µi de

saída cairão sempre entre o menor e o maior valor dos µi de entrada (Bonham-Carter,1994).

Fig. 2.5 – Distribuição da função Fuzzy Gama.

FONTE: Adaptada de Bonham-Carter (1994).

2.3.3 Probabilidade versus Possibilidade2.3.3 Probabilidade versus Possibilidade

A probabilidade representa uma tentativa de explicar como um evento ocorre em um

espaço aleatório. O primeiro princípio que fundamenta a probabilidade é o seu caráteraleatório, o que pressupõe a habilidade em medir e ordenar o espaço randômico. Poroutro lado, possibilidade é o cálculo da compatibilidade, ou seja, enquanto a

probabilidade é baseada na freqüência da distribuição aleatória de uma população, alógica fuzzy descreve propriedades que têm valores, que variam continuamente, atravésda associação de partições desses valores com identidades semânticas.

Esses valores associados à identidade semântica indicam nossa percepção dapossibilidade de aceitação, julgamento ou crença de que um membro pertença a umconjunto. Muito do poder de descrição da lógica fuzzy advém do fato de ser permitido a

sobreposição dessas partições semânticas. Essa sobreposição corresponde à transição deum estado para o próximo, a qual surge da ocorrência natural da ambigüidade associadacom o estado intermediário da transição semântica (Cox, 1994).

A declaração a seguir é uma boa maneira de ilustrar a diferença entre possibilidade eprobabilidade: Existe uma chance de 50% que ocorra uma chuva fina amanhã.

Caso se espere até amanhã, saber-se-á se a chuva ocorrerá ou não. A incertezaprobabilística está resolvida, entretanto a incerteza fuzzy permanece. Ainda existealguma ambigüidade sobre se a chuva é uma garoa, chuva fina, moderada ou pesada.

2.3.4 Inferência booleana versus Inferência 2.3.4 Inferência booleana versus Inferência fuzzyfuzzy

A visão dicotômica (booleana) de modelamento é assumida pela corrente maioria dossistemas de informação geográfica que consideram que fenômenos naturais podem ser

modelados por objetos discretos, tais como pontos, linhas e polígonos ou pixels os quaistêm atributos exatos. Essa representação espacial de dados imprecisos para dados rígidosintroduz erros desnecessários em estágio muito inicial do processo de inferência espacial

(Altman, 1994).

Burrough e Heuvelink (1992) demostram como as incertezas nos valores dos atributosdos mapas causam erros nos resultados das inferências espaciais efetuadas segundo

modelamentos booleanos e fuzzy. Os resultados obtidos por esses autores sugerem queos métodos Booleanos estão muito mais sujeitos à propagação de erros emmodelamentos do que os equivalentes fuzzy, e que a utilização da técnica fuzzy pode

reduzir drasticamente a propagação de erros através de modelos lógicos, fornecendocenários mais confiáveis.

Como exemplificação dos problemas enfrentados por um modelamento booleano,

considere-se o modelo de lógica simples para classificação de solo para risco de erosão,proposto por Heuvelink e Burrough (1993). O modelo utiliza polígonos ou pixels para arepresentação das evidências e considera a seguinte proposição:

CASOCASO Inclinação > 10% E E Textura do solo = areia E E Cobertura vegetal < 25%ENTÂO ENTÂO perigo de erosão é severo

Neste proposição a interseção dos três conjuntos (inclinação > 10% ∩∩ textura de solo =

areia ∩∩ cobertura vegetal < 25%) fornece o resultado requerido. Cada polígono ou pixelrepresenta uma localidade que é testada em seus valores de atributo e qualquer objetoque não case todas as três condições será descartado.

O modelo proposto é deficiente porque assume que a relação entre inclinação, texturade solo e cobertura vegetal pode descrever através de uma simples expressão booleana orisco de erosão. Na realidade, esta relação é muito mais complexa, dado que o risco de

erosão continua sendo sério quando o local tem uma inclinação pouco abaixo de 10%ou a cobertura vegetal é apenas um pouco acima de 25%. Porém, segundo a definiçãodas classes propostas, inclinações menores que 10% são sempre seguras, um resultado

que a maioria dos cientistas não concordariam. Neste caso seria muito mais intuitivo esatisfatório substituir o modelo booleano por um modelo no qual o risco de erosãoaumentaria continuamente com a inclinação.

O segundo problema com o modelo lógico descrito é que esse assume que os atributospodem ser descritos em medidas exatas. Porém, muitos atributos não podem sergravados de modo exato, devido a erros de medida e variações espaciais (Burrogh,1986;

Goodchild, 1989). Conseqüentemente, quando dados incertos são utilizados emmodelos lógicos ou quantitativos, são esperados que os resultados também contenhamerros.

De modo a entender como erros em dados podem afetar o resultado tanto emclassificações booleanas e contínuas, Heuvelink e Burrough (1993) substituem o atributodeterminístico z, por uma variável Z. Isto por que quando existe incerteza sobre valores

de atributo não se pode representar com certeza este com um único valordeterminístico. O melhor seria representar este atributo como uma distribuição devalores, tendo cada valor uma certa probabilidade de ocorrência, sendo então uma

variável aleatória. Heuvelink e Burrough (1993) denotam o desvio padrão como σz oqual é utilizado como medida de erro.

A Figura 2.6 apresenta algumas situações possíveis que podem aparecer quando uma

observação é para ser feita nas classes de fronteira de um atributo Z definido por b1 e b2.A Figura 2.6 (a) demostra o caso booleano onde não existe erro, então σz=0. O atributo ztem um efeito determinístico de modo que a observação individual ou cai totalmente

dentro do limite da classe (barra direita) ou fora (barra esquerda). Os valorescorrespondentes da função membro são 1 ou 0 respectivamente. Como σσ z é zero, ovalor dos membros da função são também livres de erros. A Figura 2.6 (b) demostra a

mesma situação onde a observação individual é classificada por uma função membrofuzzy. A observação na barra direita está no centro da classe MF(z) = 1. A observação nabarra esquerda está fora do centro e das fronteiras booleanas, o que retorna um MF(z)

<0.5.

Agora considere a situação em que σσ z não é zero. Na Figura 2.6 (c) a função deprobabilidade de densidade pz de Z tem a forma característica de uma normal e coincide

com o limite da classe booleana. A probabilidade de que Z caia fora do limite da classe édemasiadamente pequena, de modo que para todos os objetivos práticos MF(z) = 1. Amesma situação ocorre com a função de membros contínuos quando pz cai dentro do

núcleo da classe (Figura 2.6 (d)). Claramente os mesmos resultados ocorrem quando pz

cai bem fora dos limites da classe.

Fig. 2.6 – Exemplificação da distribuição de erro através de classificação booleana e fuzzypara um atributo Z.FONTE: Adaptado Burrough e Heuvelink (1992)

O resultado é menos claro quando pz cruza o limite da classe booleana ou a zona de

transição da classe fuzzy. As Figuras 2.6 (e) e (f) mostram a situação quando a média deZ iguala b1. No caso booleano (Figura 2.6(e)) a distribuição de MF(z) torna-se umadistribuição discreta com dois possíveis valores, 0 e 1. Nesse caso as chances são iguais

para que Z caia dentro ou fora do limite da classe, de modo que a probabilidade de obtercada valor é 0.5. No caso fuzzy ilustrado na Figura 2.6 (f) a média de Z iguala b1,apresentando uma distribuição continua do mesmo modo que Z. A média da MF(z) é

ao redor de 0.5 e devido a função membro variar acentuadamente em b1, o desviopadrão de MF(z) é muito maior do que para Z, embora este permaneçasubstancialmente menor do que o desvio padrão booleano, Figura 2.6 (e).

Heuvelink e Burrough (1993) demonstram assim que o desvio padrão obtido a partir deuma simulação Monte Carlo, em uma superfície simulada, é consideravelmente grande,especialmente para o modelo Booleano. Nesse modelo existem grandes áreas onde o

desvio padrão é perto da metade que corresponde ao máximo teórico. Os desvios padrãosão maiores nas localizações onde os valores de atributo estão próximos dos limites daclasse booleana ou dentro da zona de transição contínua. Pixels que estão claramente

dentro ou fora das classes são selecionados ou rejeitados com um baixo nível deincerteza.

O exemplo acima demostra de modo claro que classes booleanas utilizadas em

modelamento lógico desenvolvido em SIG´s podem gerar resultados insatisfatórios,porque muitos problemas ambientais não podem ser modelados realisticamente com

regras rígidas. A classificação por membros fuzzy pode fornecer então uma solução paraesse problema pois relaxa os valores dos membros das classes, permitido definir funçõesde membros flexíveis que casem com experiências práticas.

2.3.5 Abordagem de Importação Semântica IS (2.3.5 Abordagem de Importação Semântica IS (Semantic Import ApproachSemantic Import Approach) para Contato) para Contatode Polígonosde Polígonos

Intérpretes utilizam feições observáveis, tais como mudança de cores, padrão de textura,

quebra de encosta, para inferir contatos durante a elaboração de mapas temáticos.Cartograficamente esses contatos são definidos por linhas que podem representar umalimitação na representação espacial das evidências necessárias em um modelamento

desenvolvido em SIG.

Essa imposição cartográfica simples e eficiente suprime a informação sobre a naturezada mudança espacial e tem criado a idéia em usuários de mapas temáticos, que solos,

vegetação, ou contatos geológicos são sempre abruptamente definidos (precisos), e queas unidades são sempre homogêneas, livres de erros de classificação ou posicionamento.

Entretanto, sabe-se que variações em solo, vegetação, ou litologia podem ocorrer

abruptamente ou gradualmente. Um dique intrusivo pode formar contatos geológicosabruptos em uma escala centimétrica, porém variações em textura que expressamvariações litológicas podem ocorrer sobre centenas de metros ou quilômetros. E mais, as

classes (atributos) delimitadas pelos polígonos podem apresentar ambigüidades ouincertezas que normalmente são mais acentuadas numa zona próxima ao contato (zonade transição).

O problema de imprecisão dos contatos corresponde à discrepância existente entre ascondições do mundo real e as informações apresentadas pelo traçado dos contatos emum mapa. Esse problema tem dois aspectos; imprecisão natural e localização (contato

inferido) (Wang e Brent Hall, 1996).

A utilização da lógica fuzzy na representação dos contatos dos polígonos possibilita afácil incorporação da informação sobre a natureza dos contatos, bem como da incerteza

associada a classificação e ao posicionamento. Burrough e McDonell (1998) propõemduas técnicas distintas para a representação da informação semântica de contatos fuzzy,a “abordagem por unidades de mapa” (map unit approach) e o a “abordagem por

contato individual” (individual boundary approach)

A abordagem por unidades de mapa possibilita uma representação única para oscontatos das unidades ou polígonos. Ou seja, essa técnica assume que o polígono

apresenta um único tipo de contato ao longo do seu perímetro. As informações sobre otipo de contato podem ser convertidas nos parâmetros necessários para a definição dafunção membro fuzzy, segundo as Equações 2.4, as quais são aplicadas sobre o plano de

informação que contém a grade de distância isotopricamente distribuída ao longo doscontatos do polígono.

A localização do contato originalmente desenhado coincide com o ponto de cruzamento

MF = 0.5 e os pontos ao centro dos contatos originais apresentam valores de membroiguais a 1. Os pontos dentro, mas próximos ao contato recebem valores membro entre 1e 0.5, e aqueles do lado de fora do contato recebem valores de membro menores que 0.5,

conforme o distanciamento do contato. A Figura 2.7 mostra o resultado do contatofuzzy fatiado da classe A, onde observa-se a graduação da classe A de cor amarela aolongo dos contatos para a classe A , de cor verde (negativo de A).

Fig. 2.7 – Ilustração da representação de informação semântica para contatos.

A fatia maior amarela representam os membros totalmente contidos na classe A. As

fatias menores indicam a graduação dos demais membros até a fatia maior verde querepresenta os membros fora da classe A (A ), conforme ilustra a escala vermelha (0.0-1.0).

O procedimento pode ser repetido para todas as unidades de um mapa, variando-se nadefinição da largura do contato, conforme as características de cada classe. Na Figura 2.8o gráfico ilustra a aplicação das funções de membro fuzzy sobre um contato inferido

entre dois tipos de rochas.

A abordagem do contato individual assume que uma classe pode apresentar diferentesdistribuições espaciais ao longo dos seus contatos. Ou seja, contatos podem ser abruptosem algumas partes e difuso em outras. Por exemplo, um terraço elevado de rio pode ter

borda difusa no lado superior e borda abrupta no lado inferior, onde o rio cortou seucaminho. Nesse caso, aplicam-se duas funções membro fuzzy, cada uma representandoos diferentes comportamentos do contato.

.

Fig. 2.8 – Exemplificação do mapeamento de um contato inferido rígido para umcontato fuzzy.

2.4 – MÉTODO DE BAYES

A metodologia bayesiana consiste em determinar a probabilidade de ocorrer um evento,dado uma certa condição. Em termos prospectivos pode-se pensar na definição da

probabilidade de um depósito ocorrer, condicionada pela ocorrência de uma certaevidência (exemplo: litologia favorável). O método bayesiano apresenta uma abordagemprobabilística para o problema, onde o principal conceito do método é a idéia da

probabilidade a priore )(DP e da probabilidade a posteriore )|( BDP (Bonham-Carter,1994).

prioreaadeprobabilidDP −)( (2.9)

posterioreaadeprobabilidBP

DBPDPBDP −∗=

)()|()()|( (2.10)

Como introdução ao conceito da probabilidade a priore e posteriore, considere o seguinteexemplo definido por Bonham-Carter (1994). Um indivíduo deseja estimar aprobabilidade de que ocorra chuva no dia seguinte, sabendo-se que na média chove 80

dias por ano na região. Com essa informação, seria razoável considerar que aprobabilidade a priore de que vai chover no próximo dia é de 80/365. Essa probabilidadeinicial pode ser refinada através da agregação de outras fontes de dados, como por

exemplo a estação do ano (verão, inverno, primavera e outono). Com a consideraçãodessa nova informação o resultado obtido seria a probabilidade de chuva, dado a estaçãodo ano vigente. Esta nova informação funciona como um fator multiplicativo e

representa uma melhora na precisão da informação inicial (probabilidade a priore).Outras fontes de dados podem ser utilizadas em conjunto sendo necessário apenas a suamultiplicação à probabilidade a priore.

anodoestaçãoComponentechuvaPanodoestaçãochuvaP ∗= )()|(

prioreaadeprobabilidchuvaP −)(

posterioreaadeprobabilidanodoestaçãochuvaP −)|(

Em estudos voltados à pesquisa mineral a probabilidade a priore seria a probabilidade daocorrência mineral considerando-se a área total investigada. A probabilidade a posterioreseria um refinamento do conhecimento (probabilidade a priore), onde através de uma

ou mais evidências, que possuem uma relação direta com a mineralização, calcula-se oaumento das chances de sucesso no encontro de um novo depósito mineral. Ou seja,dado que se está pesquisando sobre uma evidência favorável, determina-se quanto esta

condição aumenta as chances da descoberta de um novo depósito mineral.

A probabilidade a priore para a ocorrência de um dado fenômeno pode ser estimada pormodelos simples de distribuição espacial aleatória ou por análises estatísticas

multivariadas (Agterberg, 1989). Os dados para o cálculo da probabilidade a posteriorepodem ser obtidos através da tabulação cruzada, entre o plano de informação com osdepósitos e os planos de informação com as evidências. Para isso é necessário que os

planos de informação das evidências sejam antes transformados em mapas binários,subdivididos em classe favorável e não favorável. A definição dos limiares de corte podeser baseada tanto no julgamento subjetivo do especialista como por técnicas estatísticas

baseadas em medição de correlação espacial, tal como o parâmetro Contraste (Cw).

Com os mapas binários gerados, faz-se a tabulação cruzada das evidências com osdepósitos (verdades de campo), obtendo-se uma matriz onde cada célula corresponde à

interseção das classes das evidências com as ocorrências minerais. Esses valores sãoutilizados nas formulações para a obtenção das probabilidades a posteriore.

Para um melhor entendimento considere o exemplo definido por Bonham-Carter

(1994). Uma área de interesse mineral que totaliza 10.000 Km2 e que contem 200ocorrências já conhecidas de 1 Km2 cada. Para efeito de análise, esta área é subdivididaem partes iguais de 1 Km2 totalizando assim 10.000 unidades. Utilizando a notação ( )Npara representar a contagem das unidades, tem-se 000.10)( =TN unidades para a áreatotal e 200)( =DN unidades para os depósitos. Até o presente momento aprobabilidade de achar-se um depósito a partir de uma escolha aleatória de uma das

unidades é obtida por )(/)( TNDN , ou 02,0000.10/200 = , o que representa aprobabilidade a priore )(DP de se achar um depósito.

No caso da existência de informações adicionais sobre a área, como por exemplo, um

mapa de anomalias radiométricas onde 180 das 200 ocorrências conhecidas ocorremassociadas às anomalias (Figura 2.9a), a probabilidade de encontrar-se um depósito serámuito maior do que 0,02 caso a pesquisa seja procedida na área delimitada pelo padrão

anômalo (evidência). A área do padrão anômalo é de 3.600 Km2. De modo inverso aprobabilidade será reduzida caso a evidência não esteja presente. A potencialidade deencontrar um depósito dado a presença da evidência “B” pode então ser expressa pela

probabilidade condicional:

)()()|(

BP

BDPBDP

∩= (2.11)

Fig. 2.9 – Tabela de tabulação cruzada e formulações bayesianas para o caso hipotéticode uma área prospectável de 10.000 Km2, onde ocorrem 200 ocorrênciasminerais, sendo 180 delas condicionadas a anomalia radiométricas com 3600Km2 de área.

O primeiro membro da equação é a probabilidade condicional do depósito dada aevidência )|( BDP . No segundo membro o numerador )( BDP ∩ eqüivale à área deinterseção dos depósitos e da evidência, ou )(/)()( TNBDNBDP ∩=∩ . O

denominador )(BP de modo semelhante eqüivale a )(/)( TNBN . Pela substituiçãodireta no segundo membro da Equação 2.11 obtém-se:

)()()|(

BN

BDNBDP

∩= ( 2.12)

Na Figura 2.9b o diagrama de Venn ilustra a situação de sobreposição entre os planos

binários dos depósitos e da evidência com a área de interseção demarcada em vermelho.Os resultados esperados da tabulação cruzada entre os dois planos de informaçãoencontram-se na matriz da Figura 2.9c, com os depósitos representados nas linhas e a

evidência na coluna. As formulações das probabilidades condicionais com os respectivosresultados encontram-se na Figura 2.9d.

A partir do exemplo, fica claro que a probabilidade condicional dada a evidência é maior

que a probabilidade a priore considerando-se a área total. No caso 05,0600.3/180 = , oque é 2,5 vezes maior do que a probabilidade a priore 02,0)( =DP . Pode-se concluirassim que utilizando-se essa evidência, a chance de sucesso em uma possível campanha

prospectiva é aumentada e a área de pesquisa reduzida de 10.000Km2 para 3.600Km2.

Entretanto, até o momento as formulações apresentadas não demostram a possibilidadeda representação da probabilidade condicional em termos da probabilidade a priore

mais um fator multiplicativo (Equação 2.10). A equação é obtida a partir dodesenvolvimento da formulação proposta a seguir. Primeiramente a probabilidade aposteriore do padrão anômalo dado que se está em um depósito é:

)()()|(

DP

DBPDBP

∩= (2.13)

Pela teoria da probabilidade sabe-se que )( DBP ∩ e )( BDP ∩ são iguais. Então,combinando-se as Equações 2.11 e 2.13 obtém-se:

)()|()()|(

BP

DBPDPBDP ∗= (2.14)

No exemplo observa-se que 5,236,0/9,0)(/)|( ==BPDBP , que corresponde ao fator

multiplicativo da probabilidade a priore 02,0)( =DP . Pela Equação 2.1405,05,202,0)|( =∗=BDP , o que eqüivale ao mesmo resultado obtido pela Equação

2.11.

Bonham-Carter (1994) propõe ainda outro tipo de formulação, expressa pelo cálculo dachance a priore )(DO e da chance a posteriore )|( BDO . Esta formulação permite a

integração de diferentes evidências como fatores explicativos para a ocorrência mineralatravés de uma soma condicional de parâmetros. Esta soma condicional facilita a somados planos de informação em um SIG.

A chance a priore é expressa por:

))(1()()(DP

DPDO

−= (2.15)

onde )(DP é probabilidade a priore.

A chance a posteriore é obtida a partir do desenvolvimento da probabilidade a posteriore,

apresentado abaixo:

)(

)|()()|(

BP

DBPDPBDP ∗= (2.16)

)()|()()|(

BP

DBPDPBDP ∗= (2.17)

Dividindo-se os dois termos da Equação 2.16 por )|( BDP vem:

)()|()|()(

)|()|(

BPBDP

DBPDP

BDP

BDP

∗∗= (2.18)

Substituindo o )|( BDP do segundo termo pela Equação 2.17 vem:

)()|()()()|()(

)|()|(

BPDBPDP

BPDBPDP

BDP

BDP

∗∗∗∗= (2.19)

)|()|()()|(

DBPDBP

DOBDO ∗= Razão de Suficiência (LS) (2.20)

De modo semelhante obtêm-se a chance da ocorrência, dado a ausência da evidência.

)|()|()()|(

DBP

DBPDOBDO ∗= Razão de Necessidade (LN) (2.21)

Extraindo-se o logaritmo natural das Equações (2.20) e (2.21) acima obtêm-se:

++= ω)]([)]|([ DOLnBDOLn (2.22)

−+= ω)]([)]|([ DOLnBDOLn (2.23)

)|( BDO )(DO 1

As razões de suficiência (LS) ou de necessidade (LN) são computadas dependendo dapresença ou ausência da evidência para um dado ponto. A condição de suficiência deuma evidência (B) é satisfeita quando a probabilidade de existência do depósito (D) é

maximizada ( máximoDBP =)|( ). A condição de necessidade da evidência é satisfeitaquando a probabilidade de não ocorrência do depósito é maximizada com a nãoexistência da evidência ( máximoBDP =)|( ) (Rostirolla, 1997). No caso do padrão não

apresentar nenhuma correlação com o depósito LS=LN=1.

Bonham-Carter (1994) demostra ainda que para um número maior de evidências, estasseriam integradas através da formulação que computaria a chance a priore, adicionada

ao somatório dos logaritmos naturais das razões de suficiência e/ ou necessidade. Sendonecessário porém que as evidências consideradas apresentem uma independênciacondicional (Agterberg, 1989).

A obrigatoriedade de assumir a independência condicional na combinação de evidênciasmúltiplas decorre do fato dos ponderadores serem calculados independentemente paracada evidência, sendo depois combinados em uma única equação. Essa imposição

matemática possibilita uma simplificação na formulação e quando bem empregadafornece uma boa idéia da contribuição individual de cada evidência.

A probabilidade de um depósito dado duas evidências é expressa por:

)()(

)|(21

2121 BBP

BBDPBBDP

∩∩∩

=∩ (2.24)

)()()|(

)|(21

2121 BBP

DPDBBPBBDP

∩∗∩

=∩ (2.25)

)()|()()|()()|(

)|(2121

2121 DPDBBPDPDBBP

DPDBBPBBDP

∗∩+∗∩∗∩

=∩ (2.26)

Esta é a regra Bayesiana. Perceba-se que existem apenas duas hipóteses exclusivas, D eD , com 1)()( =+ DPDP (Bonham-Carter, 1994). Os efeitos de interseção entre asduas evidências B1 e B2 podem ser ignorados quando a independência condicional entre

as evidências for respeitada. Isto possibilita uma simplificação ao permitir uma avaliaçãoindividual dos efeitos de cada plano de informação binário, além de permitir acombinação dos fatores através de uma multiplicação direta.

A independência condicional pode ser expressa por:

)|()|()|( 2121 DBPDBPDBBP ∗=∩ (2.27)

A Equação 2.27 permite a Equação 2.26 ser simplificada para:

)()|(

)()|(

)()|(2

2

1

121 BP

DBP

BP

DBPDPBBDP ∗∗=∩ (2.28)

A Equação 2.28 possibilita, então, a multiplicação separada dos fatores de contribuição

de cada evidência. A formulação da probabilidade condicional de duas evidências éexpressa em chance por:

2121 )()|( LSLSDOBBDO ∗∗=∩ (2.29)

Extraindo-se o logaritmo natural da Equação 2.29 obtém-se:

++ ++=∩ 2121 )]([)]|([ ωωDOLnBBDOLn (2.30)

A Equação 2.30 apresenta apenas uma das combinações possíveis considerando apenasduas evidências. Na realidade são possíveis 4 combinações diferentes dos “ω ”( )()()()( 21212121

−−+−−+++ ++++ ωωωωωωωω ououou ), as quais resultarão num total de

quatro equações semelhantes a Equação 2.30, com as respectivas combinações possíveisde ω . No caso da existência de n evidências serão possíveis n2 combinações diferentes.

Esta soma dos +ω ou −ω pode ser efetuada, para todos os pontos em análise, a partir de

uma operação condicional, controlada espacialmente pela presença ou ausência daclasse favorável de cada evidência (Equação 2.31). Ou seja, caso o primeiro ponto doplano de informação apresente a evidência “i” é computado na soma o valor do +ω ,

caso contrário −ω . O mesmo é efetuado para as demais evidências, até que todastenham sido computadas para o mesmo ponto. O valor final no ponto (chance aposteriore - )|( 21 nBBBDO K∩ ) é o resultado da somatória condicional dos +ω e −ωsomado a chance a priore )(DO . Este procedimento é repetido para todos os pontos dagrade de modo a completar a grade numérica do plano de informação (MNT).

∑=

−+=+=∩n

iiiin favorávelDOLnBBBDO

121 ):?)(()]([)|( ωωµK (2.31)

Com o plano de informação da chance a posteriore gerado é aplicado uma expressãomatemática para a geração do plano de informação com os valores de probabilidade aposteriore.

)|(1)|()|(BDO

BDOBDP

+= (2.32)

O resultado final é uma grade regular com valores de "z" indicando a probabilidade aposteriore da ocorrência mineral. Essa grade pode ser fatiada em faixas que expressarão ograu de probabilidade à ocorrência de novos depósitos.

2.4.1 - Independência Condicional2.4.1 - Independência Condicional

Quando dois ou mais mapas são combinados através de inferência bayesiana uma daspremissas assumidas é a existente da independência condicional (IC) entre eles.

Entretanto, na prática, provavelmente a IC é sempre violada em algum grau, sendonecessária a utilização de testes estatísticos para mostrar a magnitude do problema eapontar os mapas que estão causando os maiores problemas. Esses mapas podem então

ser rejeitados na análise ou modificados para minimizarem o problema

Dados espaciais normalmente não satisfazem a suposição de modelos estatísticosclássicos, particularmente com referência a independência das amostras. Suponha que

dois mapas binários estão para ser comparados em uma série de pontos (localizações)selecionados aleatoriamente. Caso a distância média entre a localização das amostras dosdois mapas seja grande, a suposição de independência entre amostras é aceitável. Por

outro lado com o aumento do número das amostras, a separação entre pontos irádiminuir, não podendo mais as amostras serem consideradas independentes em umsentido estatístico. Em geral quanto maior for o número de amostras para uma base

espacial, mais próximo elas estarão e maior será sua autocorrelação espacial, o quesignifica que elas não são independentes.

Estatisticamente a existência de independência entre dois padrões B1 e B2, pode ser

expressa por: )()|( 121 BPBBP = e )()|( 212 BPBBP = . Essa formulação indica aprobabilidade de B1 estar presente independe de B2 e vice-versa. Por outro lado, aformulação da independência condicional entre dois mapas de padrões binários, com

respeito a um conjunto de depósitos, é expressa por:

)|().|()|( 2121 DBPDBPDBBP =∩ (2.33)

o que eqüivale a:

)()().()( 21

21DN

DBNDBNDBBN

∩∩=∩∩ (2.34)

O lado esquerdo da equação eqüivale ao número de depósitos nas regiões onde ocorremambos os padrões B1 e B2. O lado direito define o número de depósitos esperados nas

zonas de sobreposição, que deve igualar o número de depósitos sobre B1, multiplicadopelo número sobre B2, dividido pelo número de depósitos, caso os dois padrões sejamindependentes (Figura 2.10).

Para caracterizar o grau de associação entre classes de mapas, Bonham-Carter (1994)sugere a utilização da estatística Qui-quadrado (χ2). No método estatístico χ2, a tabela databulação cruzada é utilizada como uma tabela de contingência. Como exemplo,

imagine-se uma tabela de tabulação cruzada T entre dois mapas A e B (Tabela 2.2), comelementos jiT , (classes sobrepostas). Onde existem ni ,...,2,1= classes do mapa B (linha

da tabela) e mj ,...,2,1= classes do mapa A (coluna da tabela). As margens da tabela Τsão definidas como Τi. para a soma das i linhas, e Τ.j para a soma das j colunas. Se osdois mapas são independentes um do outro, sem correlação entre eles, então a área

esperada em cada categoria de sobreposição é dada pelo produto dos totais das margensdividido pelo total absoluto.

Fig. 2.10 – Diagrama de Venn ilustrando o conceito de independência condicional. Ocírculo maior é o conjunto dos depósitos. Dentro deste círculo, osparâmetros B1 e B2 apresentam independência condicional em relação aosdepósitos caso a área ( DB ∩1 ) multiplicada pela área ( DB ∩2 ) seja igual a

área ( )./(21 DDBB ∩∩FONTE: Bonham-Carter (1994).

TABELA 2.2 – MATRIZ DE CONTINGÊNCIA ENTRE DOIS PLANOS DEINFORMAÇÃO, A E B

A A totaistotais

B T11 T12 T1 .

B T21 T22 T2 .totais T.1 T.2 T..

Então a área esperada *, jiT para a i linha e a j coluna é:

....*

,T

TTT

ji

ji = (2.35)

O resultado dessa operação é utilizado na estatística χ2 que é expressa pela formulaçãoabaixo:

∑∑= =

−=

n

i

m

j ji

jiji

T

TT

1 1*,

2*,,2 )(

χ (2.36)

onde o *, jiT é o valor esperado da sobreposição entre as classes e jiT , o valor observado.

Como χ2 é fortemente dependente da unidade de medida, sendo proporcional aotamanho da unidade (ex. mudanças em medidas de metros quadrados para centímetrosquadrados representam um fator de aumento de 10.000, que reflete-se também na

magnitude do χ2) Bonham-Carter (1994) propõe a utilização do coeficiente decontingência (Equação 2.37), que é independente da unidade de medida e varia de 0 a 1.O valor “0” indica que os mapas não são correlacionados e os valores próximos a “1”

que eles são correlacionados.

2

2

χχ+

=⋅⋅T

C (2.37)

2.4.2 - Reclassificação Binária - Contraste2.4.2 - Reclassificação Binária - Contraste

O processo de conversão de mapas multi-classes para uma forma binária pode tanto serefetuado subjetivamente, usando-se o julgamento geológico, como pode ser efetuado

estatisticamente, determinando-se o limiar de corte que maximiza a associação espacialentre o mapa com a evidência, resultante da reclassificação binária, e o mapa com asverdades de campo (ocorrências minerais).

Como ferramenta estatística para a definição do limiar de corte que maximiza acorrelação espacial Bonham-Carter (1994) propõe como um dos parâmetros possíveis autilização do Contraste (Cw). Para ilustrar o processo de obtenção do limiar de corte,

considere um plano de informação com lineamentos. Na Figura 2.11 tem-se umaampliação dos lineamentos com fatias (“buffers”) e ocorrências minerais sobrepostas.Sem a necessidade de análise estatística, apenas com análise visual, fica claro que os

pontos de ocorrência caem próximos aos lineamentos. Fato este que corrobora com apremissa de que ocorrências minerais estão associadas geneticamente a lineamentos.

Fig. 2.11 – Corredores ao longo de lineamentos, com ocorrências minerais sobrepostas.

O objetivo nesta análise é determinar o mapa binário que indique a melhor correlaçãoentre lineamentos e ocorrências conhecidas. A escolha de uma distância pequena defineuma classe com área reduzida, que não englobará muitas das ocorrências. No caso

oposto, uma distância muito grande define uma classe favorável muito ampla,diminuindo a efetividade da evidência em prever as áreas alvos. O plano de informaçãodo exemplo apresenta 28 fatias com espaçamento de 25m cada, num total de 700m.

De modo a evitar esses dois extremos, procede-se o cálculo de ponderadores (Contraste)para cada fatia. As formulações propostas para o cálculo do Contraste são:

)]|([)]|([ ABOLnABOLnCW −= (2.38), ou

−+ −= WWCW (2.39)

Contraste entre os lineamentos e as ocorrências minerais

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

Distância (m)

Co

ntr

aste

Fig. 2.12 – Valores de contraste acumulados das fatias ao longo dos lineamentosindicando um ponto “ótimo” de corte em 250m.

A computação do contraste para cada fatia gera valores individuais que podem oscilarmuito, conforme a quantidade de ocorrências. Este aspecto pode gerar um gráfico comuma curva muito ruidosa, devido à grande variação nos valores de contraste, o que

dificulta a definição de um ponto de corte confiável. Este problema pode ser contornadocom o cálculo do contraste acumulado, conforme demostrado na Tabela 2.3 e na Figura2.12. O gráfico apresenta um pico claro na distância de 250m que é o ponto de corte que

fornece o padrão binário que melhor prediz as ocorrências minerais conhecidas. Dequalquer modo é bom indicar que nem sempre está técnica fornece um ponto demáximo claro para corte. Em tais situações os limiares são definidos segundo o

julgamento subjetivo do geólogo.

TABELA 2.3 – VALORES UNITÁRIOS E ACUMULADOS DE CONTRASTEDAS FATIAS AO LONGO DOS LINEAMENTOS, INDICANDO O LIMIAR DECORTE DE 250 M COMO AQUELE QUE MAXIMIZA A CORRELAÇÃOESPACIAL DOS LINEAMENTOS COM AS OCORRÊNCIAS MINERAIS

Fatia Distância Contraste Contraste acumulado1 25 0.20708 0.20712 50 0.19165 0.39873 75 0.25186 0.65064 100 0.24800 0.89865 125 0.19165 1.09026 150 0.13637 1.22667 175 0.10533 1.33198 200 0.10695 1.43899 225 -0.01381 1.4251

10 250 0.05937 1.484411 275 -0.00553 1.478912 300 -0.02101 1.457913 325 -0.00716 1.450714 350 -0.03870 1.412015 375 -0.06596 1.346116 400 -0.11612 1.230017 425 -0.25675 0.973218 450 -0.21505 0.758219 475 -0.19254 0.565620 500 -0.26399 0.301621 525 -0.44979 -0.148222 550 -0.31204 -0.460223 575 -0.22130 -0.681524 600 -0.17127 -0.852825 625 -0.32883 -1.181626 650 0.00539 -1.176227 675 0.07632 -1.099928 700 0.19028 -0.9096

2.5 – REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Redes Neurais Artificiais são técnicas computacionais que apresentam um modelo

matemático inspirado na estrutura neural de organismos inteligentes que adquiremconhecimento através da experiência (Carvalho,1999). O processamento em redesneurais ocorre na sua maioria de modo paralelo, diferentemente da computação

convencional, que apresenta processamento seqüencial.

Uma rede neural artificial é composta por vários elementos de processamento (EP’s).Esses elementos geralmente são conectados por canais de comunicação associados a

determinados pesos. Os pesos são coeficientes adaptativos da rede que determinam aintensidade dos sinais de entrada, ou seja são medidas de força de conexão (Nelson eIllingworth, 1991). Os elementos fazem operações apenas sobre dados locais, que são as

entradas recebidas pelas suas conexões. O comportamento “inteligente” de uma RedeNeural Artificial vem das interações entre os EP’s da rede.

As arquiteturas neurais são na maioria das vezes organizadas em camadas, com EP’s que

podem estar conectados aos EP’s da camada posterior (Figura 2.13). Usualmente ascamadas são classificadas em três grupos:

Camada de EntradaCamada de Entrada: onde os sinais (padrões) são apresentados à rede;

Camadas Intermediárias ou EscondidasCamadas Intermediárias ou Escondidas: onde é efetuada a maior parte doprocessamento, através das conexões ponderadas;

Camada de SaídaCamada de Saída: onde o resultado final é apresentado.

Fig. 2.13 – Organização em camadas de uma rede neural.FONTE: Carvalho (1999).

A operação de um EP pode ser entendida da seguinte maneira: sinais são apresentados àentrada; cada sinal é multiplicado por um peso, que indica a sua influência na saída da

unidade; é efetuada a soma ponderada dos sinais que produz um nível de atividade; seeste nível de atividade exceder a um certo limite (bias) a unidade produz umadeterminada resposta de saída.

Fig. 2.14 – Elemento de processamento – função de soma.

FONTE: Adaptado Nelson e Illingworth (1991)

Matematicamente pode-se pensar nas entradas e nos pesos como vetores )...,,( ,21 niii e),...,,( 2 ni www . É efetuada a multiplicação de cada componente ni pelo correspondente

nw , e, posteriormente, a soma de todos os produtos (Figura 2.14). No resultado éaplicada uma função de transferência (função de ativação), geralmente não-linear(Figura 2.15). As funções lineares na prática mostram-se pouco eficientes pois fornecem

simplesmente saídas proporcionais às entradas. As funções mais utilizadas são as Hardlimiter, Ramping function e sigmóide, sendo estas as mais utilizadas, devido ao seucaráter contínuo (Nelson e Illingworth, 1991).

A maioria dos modelos de redes neurais possui alguma regra de treinamento, onde ospesos de suas conexões são ajustados de acordo com os padrões apresentados (sinais).Em outras palavras, elas aprendem através de exemplos. Os sinais podem ser positivos

(excitadores) ou negativos (inibidores). Uma entrada positiva promove o disparo de umEP, enquanto a negativa tende à manter o EP inerte.

Fig. 2.15 – Exemplos de funções de transferência. FONTE: Adaptado de Nelson eIllingworth (1989).

A propriedade mais importante das redes neurais é a habilidade de “aprender” e, comisso, melhorar o seu desempenho. Isso é feito através de um processo interativo deajustes aplicado a seus pesos, o treinamento. O aprendizado é efetuado através de

algoritmo de aprendizado que é um conjunto de regras bem definidas para a solução deum determinado problema. Existem muitos tipos de algoritmos de aprendizadoespecíficos para determinados modelos de redes neurais. O aprendizado ocorre quando

a rede neural atinge uma solução generalizada para uma classe de problemas.

As formas de aprendizado podem ser subdivididas em: supervisionadas; nãosupervisionadas; e por reforço. No aprendizado supervisionado são apresentadas à rede

um conjunto de padrões de entrada e seus correspondentes padrões de saída. Durante osprocessos sucessivos, a rede realiza um ajustamento dos pesos das conexões entre oselementos de processamento, segundo alguma lei de aprendizado (algoritmo), até que o

erro entre os padrões de entrada e saída esteja abaixo de um valor mínimo desejado(Figura 2.16). Dentre os algoritmos de aprendizado supervisionado os mais utilizadossão Perceptron, Adeline e Madaline, Backpropagation (Hetch-Nielsen, 1989). O

aprendizado por reforço é similar ao supervisionado com a diferença que um críticoexterno avalia a resposta fornecida pela rede (Carvalho, 1999).

No aprendizado não-supervisionado a rede analisa os conjuntos de entradas

apresentadas e determina algumas das propriedades dos conjuntos de dados e aprende arefletir sobre suas propriedades de saída. Os métodos de aprendizado mais utilizados sãoMapa Auto-Organizável de Kohonen, Redes de Hopfield e Memória Associativa

Bidirecional (Hecht-Nielsen,1989).

Fig. 2.16 – Exemplificação do processo de aprendizado.FONTE: Carvalho (1999).

O primeiro passo do processo de desenvolvimento de redes neurais artificiais são acoleta de dados relativos ao problema e a sua separação em um conjunto de treinamentoe um conjunto de teste. Os dados de treinamento serão utilizados para o treinamento da

rede e dados de teste serão utilizados para verificar sua performance sob condições reaisde utilização.

O segundo passo é a definição da configuração da rede, que pode ser dividido em três

etapas:

- seleção do paradigma neural apropriado à aplicação;

- determinação da topologia da rede a ser utilizada (número de camadas, número

de unidades em cada camada, etc.);

- determinação de parâmetros do algoritmo de treinamento e funções de ativação(Carvalho, 1999).

O terceiro passo é o treinamento da rede. Nesta fase, seguindo o algoritmo detreinamento escolhido, serão ajustados os pesos das conexões. Normalmente, os valoresiniciais dos pesos da rede são números aleatórios uniformemente distribuídos em um

intervalo definido.

O quarto passo é o teste da rede. Durante esta fase o conjunto de teste é utilizado paradeterminar a performance da rede com dados que não foram previamente utilizados. O

desempenho da rede, nesta fase, é uma boa indicação de sua performance real(Carvalho,1999). Finalmente, com a rede treinada e avaliada, ela pode ser integrada aum sistema do ambiente operacional da aplicação.

2.6 SUPORTE À DECISÃO

Qual o grande desafio da produção de novas informações em um SIG? A

capacidade de comparar e avaliar as diferentes possibilidades de geração de novosmapas. Como o SIG oferece uma grande quantidade de funções de Álgebra de Mapas,nem sempre é facil escolher qual a forma de combinação de dados mais adequada para

nossos propósitos. Neste contexto, é muito útil dispor de ferramentas de suporte àdecisão, que nos ajudam a organizar e estabelecer um modelo racional de combinaçãode dados. Uma das técnicas mais úteis é o processo analítico hierárquico - Analytical

Hierarchy Process (AHP), desenvolvida por Saaty (1992), considerada como sendo amais promissora no contexto do processo de tomada de decisão.

Suporte à Decisão - Conceitos Básicos

Decidir é escolher entre alternativas. Com base nesta visão, podemos encarar oprocesso de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como umaforma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo. O conceito fundamental

dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade. De acordo com esteprincípio, indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entrealternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, cujo fundamento será

satisfazer um nível pre-estabelecido de aspirações. O modelo racional de tomada dedecisão preconiza quatro passos que devem ser seguidos para uma escolha apropriada:

• Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a

um novo estado.

• Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradascomo as diferentes possíveis soluções do problema) e determinar um critério de

avaliação.

• Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada.

• Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a

mais desejável ou agurpando-se as melhores para uma avaliação posterior.

A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico

Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para

determinar a contribuição relativa de cada um? Para abordar este problema, ThomasSaaty propõs, em 1978, o técnica AHP (processo analítico hierárquico). Trata-se de umateoria com base matemática que permite organizar e avaliar a importância relativa entre

critérios e medir a consistência dos julgamentos. Requer a estruturação de um modelohierárquico, o qual geralmente é composto por meta, critérios, sub-critérios ealternativas; e um processo de comparação pareada, por importância relativa,

preferências ou probabilidade, entre dois critérios, com relação ao critério no nívelsuperior. Com base na comparação, a AHP pondera todos os sub-critérios e critérios e

calcula um valor de razão de consistência entre [0, 1], com 0 indicando a completaconsistência do processo de julgamento.

O primeiro passo para a aplicação dessa técnica é a elaboração de uma relação de

importância relativa entre as evidências. Neste procedimento, os diferentes fatores queinfluenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério deimportância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma

escala pré-definida (veja tabela). A lógica da comparação par a par sugere obter umamedida relativa do mérito, em situações nas quais exista alguma incerteza sobre ocritério de determinação de padrões desejados em processos de inferência espacial. A

lógica da comparação par a par é uma análise decomposta, por comparação dois a doisdos elementos, que finaliza com uma síntese de recomposição, pela agregação dosvalores membro dos elementos, em um método de avaliação unificado (Banai, 1993).

TABELA 2.4 – ESCALA AHP DE COMPARAÇÃO PAR A PAR

Intensidade de importânciaIntensidade de importância Definição e explicaçãoDefinição e explicação1 Importância igual – os dois fatores contribuem

igualmente para o objetivo3 Importância moderada – um fator é ligeiramente mais

importante que o outro5 Importância essencial – um fator é claramente mais

importante o outro7 Importância demostrada – um fator é fortemente

favorecido e sua maior relevância foi demostrada naprática

9 Importância extrema – a evidência que diferencia osfatores é da maior ordem possível

2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamento - possibilidadede compromissos adicionais

A lógica da comparação par a par de n elementos é desenvolvida em uma matriz AA =( ija ). Os coeficientes desta matriz indicam uma estimativa da magnitude dos elementos

ix , indicado pelos iw , em relação a uma dada propriedade P. Deste modo, uma matriz

de razões é formada com os coeficientes jiij wwa = . A matriz AA é recíproca( )( )ijji aa 1= , e todas as entradas da diagonal são unitárias 1=iia .

=

nnnn

n

n

WWWWWW

WWWWWW

WWWWWW

A

L

MLMM

L

L

21

22212

12111

(2.40)

As magnitudes ),,1( niwi K= são assumidas como conhecidas (i.e., iis wx =)(µ ).Entretanto, caso estas não sejam conhecidas é possível recuperar seu vetor (coluna): [w1,

w2, …, wn] através da solução da equação característica (A multiplicação de AA por ww édefinida como proporcional ao w w com o fator escalar n):

wwA .. n= (2.41)

Como a matriz A A apresenta rank unitário (na matriz AA apenas uma das linhas éindependente, as demais são constantes múltiplas da primeira linha), todos os valores

característicos (autovalores) iλ (i=1,…n) são zero, exceto um iλ , o qual Saaty (1978)denomina como 0max =≠ iλλ .

Substituindo-se n por maxλ na Equação (2.41) obtém-se:

wwA .. maxλ= (2.42)

O primeiro passo para a solução da equação característica é o cálculo do autovalor maxλ .O desenvolvimento abaixo demostra as operações necessárias para o isolamento do

termo da equação do qual o determinante é igualado à zero. Isto é possível uma vez queé assumido um w w ≠ 0.

wwA .. maxλ= (2.43)

0.].[ max =− wIA λ (2.44)

0wIA ≠=− 0].[det maxλ (2.45)

O próximo passo é a substituição do autovalor, maxλ , na formula 2.44. O vetorcaracterístico (autovetor) ww é obtido através da solução das equações resultantes daequação 2.44, onde o resultado único é definido através da normalização de ww (cada

posição de iw deve ser dividida pelo somatório de ∑ iw , para i=1,…,n). A escala é

limitada entre [0,1] e é recuperada da matriz das razões, AA. Deste modo, a grade derelacionamento dos elementos ix de um conjunto S em um espaço de propriedade

M=[0,…,1] é definido por iw : 1)(0 ≤=≤ iis wxµ (Banai, 1993).

A técnica AHP é uma ferramenta de análise multi-critério que permite algumasmelhorias em aplicações desenvolvidas em SIG. Algumas das principais propriedades

que caracterizam a metodologia serão abordadas resumidamente a seguir:

Cálculo da consistênciaCálculo da consistência

Quando o vetor dos pesos, ww, não é conhecido, pode-se estimá-lo através da matriz de

comparação dois a dois, AA, sendo os coeficientes da matriz estimativas dos pesosrelativos. Considerando as estimativas dos atuais, AA , ww, e n por AA ’, ww’, e λmax,respectivamente, a equação característica resultante é expressa por:

w'A'.w' .maxλ= (2.46)

Nos casos onde ww é conhecido, a condição de consistência ikjkij aaa =. é válida para amatriz AA . Entretanto esta condição de consistência pode não ser válida em situaçõesonde a matriz foi estimada, AA ’; i.e., '''

ikjkij aaa ≠. . Uma pequena perturbação nos valores

dos coeficientes de AA implica num pequeno desvio dos valores característicos(autovalores), o que geralmente resulta num λmax>n. Uma boa estimativa dos coeficientede AA ’ implica num λmax mais próximo de n o que resultaria numa solução onde o ww’ é o

mais próximo de ww . Este desvio de consistência é medido pelo índice de consistência, CI:

)1()( max −−= nnλCI (2.47)

O índice CI é comparado com sua média, RI (Índice de Consistência Randômica), a

qual é derivada a partir de uma amostra de 500 matrizes recíprocas geradas de formarandômica e que apresenta as mesmas dimensões de AA. O índice de consistênciarandômico, RI, utiliza uma escala de 9 pontos mais os valores recíprocos 1/9, 1/8, …,1

(Tabela 2.4), e é dado pelo tamanho da matriz (ou o número de fatores, n, na matriz decomparação) (Banai, 1993):

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49

A comparação dos dois valores via um índice CR=CI/RI indica que a razão estimada

pela matriz AA ’ é a mais próxima de ser logicamente consistente, ou de modo contrário, amais próxima de ser aleatória. Saaty (1980) sugere um limite de CR igual a 10% comouma medida de boa consistência. A melhoria da consistência em situações onde o índice

CR excede 0.10 envolve a revisão das razões estimadas na matriz AA’.

2.7 MÉTODOS DE AFERIÇÃO DE QUALIDADE

Para a avaliação dos mapas de potencialidade gerados através das análises multi-

critérios, pretende-se utilizar a probabilidade condicional. O objetivo é avaliar o caráterexplicativo dos mapas com as verdades de campo (ocorrências minerais) utilizando aidéia da probabilidade a posteriore. O que se espera nessa análise é uma alta correlação

das ocorrências com as faixas dos mapas de potencialidade definidos como de altopotencial.

Para um melhor entendimento imagine-se um mapa de potencialidade com diferentes

faixas de potencialidades. Na prática o que se espera é uma alta correlação das faixasdefinidas como de alto potencial com as verdades de campo (ocorrências minerais) euma baixa correlação com as de baixo potencial. O cruzamento desses mapas com as

verdades de campo fornecerá parâmetros que, substituídos na formulação do grau deconfiança (equação 2.48), permitirão avaliar o caráter explicativo de cada faixa relativaàs verdades de campo.

Na prática o que se obtém são valores que expressam numericamente o quanto seaumenta em número de vezes (grau de confiança) o encontro de novos depósitos apartir do momento que se está pesquisando em regiões definidas como de alto potencial.

O grau de confiança é expresso pela razão da probabilidade a posteriori pelaprobabilidade a priore.

)()|(

dp

fatiadepósitopconfiançadeGrau = (2.48)

onde: )|( fatiadepósitop é a probabilidade a posteriore do depósito ocorrer

dado uma certa classe de prioridade;

)(dp é a probabilidade a priore do depósito ocorrer considerando a áreatotal de estudo.

CAPÍTULO 3

MATERIAIS

As inferências espaciais basearam-se na aplicação de um modelo de prospecção aplicado

em um banco de dados espaciais, através de técnicas de geoprocessamento. O banco dedados foi manipulado no SPRING (Sistema de Processamento de InformaçõesGeorreferenciadas), sistema de informação geográfica (SIG) baseado num modelo de

dados orientado a objeto, do qual são derivados sua interface de menus e sua linguagemespacial LEGAL.

Todos os modelamentos desenvolvidos neste trabalho (com exceção do modelo segundo

teoria de redes neurais) foram desenvolvidos no SPRING. O modelamento por RedesNeurais utilizou, além do SPRING, o programa de simulação de Redes NeuraisArtificiais SNNS (Stuttgart Neural Network Simulator), para execução do

processamento do banco de dados.

Neste capítulo pretende-se descrever a área de estudo, o Complexo Alcalino de Poços deCaldas, o banco de dados espaciais utilizado, bem como apresentar algumas das

definições dos sistemas utilizados: SPRING, linguagem de álgebra de mapas LEGAL e osimulador SNNS.

3.1 ÁREA DE ESTUDO

O maciço Alcalino de Poços de Caldas foi usado como área-teste para a aplicação dasmetodologias de integração e análise espacial dos dados. Essa escolha foi motivada pela

disponibilidade de uma base de dados em formato digital, adequada a estudosmetodológicos de análise espacial.

Pesquisas para minerais radioativos no complexo alcalino de Poços de Caldas tiveram

início em 1952, com os trabalhos executados pelo Conselho Nacional de Pesquisa(Tolbert, 1966). Esse interesse gerou uma boa base de dados de campo e estudos (Ellert,1959; Tolbert, 1966; Oliveira, 1974; Almeida e Paradella, 1977; Ulbrich, 1984; Fraenkel

et al., 1985; Almeida Filho,1995). A seguir será apresentado um resumo sobre ascaracterísticas geológicas gerais do maciço de Poços de Caldas e do banco de dadosdisponível.

3.1.1 Características Gerais3.1.1 Características Gerais

O platô de Poços de Caldas localiza-se na divisa dos estados de Minas Gerais e SãoPaulo, a aproximadamente 300Km da cidade de São Paulo (Figura 3.1). O maciço, de

formato aproximado circular, possui uma área aproximada de 750Km2, com diâmetro

de cerca de 35Km. A altitude média do platô gira em torno de 1300m, bordejado pordiques anelares de 1500 a 1650m de altitude.

BRASIL

Sp

Es

M g

Rj

Ba

Fig. 3.1 – Localização da área de estudo.

A cidade de Poços de Caldas, com aproximadamente 110.000 habitantes, no limite

norte da cratera, é um importante centro hidrotermomineral do Brasil, também comimportantes atividades de mineração de bauxita e argila.

3.1.2 Geologia3.1.2 Geologia

O maciço de natureza intrusiva tem como rochas mais abundantes nefelinas-sienitos(tinguaítos, fonólitos, foiaítos) de idade Mesozóica-Cenozóica. O embasamentocristalino apresenta rochas Arqueanas, constituídas na maioria por gnaisses, migmatitos

e granulitos, conforme mapa litológico da Figura 3.2.

Os diversos tipos litológicos de origem alcalina podem ser subdivididos em três gruposprincipais: - brechas, tufos e aglomerados; - rochas efusivas e hipabissais; e – rochas

plutônicas (Fraenkel et al., 1985). Brechas, tufos e aglomerados correspondem aomaterial vulcânico aflorante na porção noroeste do maciço. As rochas efusivas ehipabissais são representadas por fonólitos e tinguaítos respectivamente. As rochas

plutônicas são constituídas por foiaítos e por lujaritos, ocorrendo também chibinitos emmenor proporção.

Outro aspecto litológico importante é a existência de uma “rocha potássica”, resultante

da alteração por processos hidrotermais e de intemperismo do tinguaíto (Fraenkel et al.,1985), a qual constitui importante controle das mineralizações uraníferas no maciço.

Aspectos estruturaisAspectos estruturais

O complexo alcalino apresenta dois grandes sistemas de falhamentos, com direçõespredominantes em N60W e N40E, estando o primeiro relacionado com a tectônica

regional e o segundo com o processo formador da caldeira (Fraenkel et al., 1985).Almeida Filho e Paradella (1977), através da interpretação de imagens Landsat,identificaram existência de 7 estruturas circulares no interior da caldeira de Poços de

Caldas, possivelmente associadas à presença de cones vulcânicos (Figura 3.3). A presençade várias ocorrências minerais radioativas ao longo das bordas dessas estruturas, levouaqueles autores a considerarem que estas feições constituíram controle estrutural dessas

mineralizações.

Evolução do maciçoEvolução do maciço

O complexo alcalino teve as primeiras manifestações no Cretáceo Superior (87m.a.) e

evoluiu através de fases sucessivas até ano 60 m.a.. Estudos realizados por Ellert (1959)reconhecem 6 fases na formação do complexo alcalino: 1) soerguimento doembasamento; 2) atividades vulcânicas; 3) formação de caldeiras; 4) atividade

magmática alcalina; 5) formação dos diques anelares; 6) intrusões de foiaítos, chibinitose lujaritos.

MineralizaçõesMineralizações

As mineralizações radioativas do maciço alcalino podem ser agrupadas em trêsassociações: urânio-zircônio, tório-terras raras e urânio-molibdênio (Tolbert, 1966;Fraenkel et al.,1985) Os indícios e mineralizações conhecidos no maciço estão indicados

no mapa da Figura 3.4.

As associações urânio-zircônio constituem as mineralizações mais comuns, ocorrendocomo depósitos aluviais, eluviais e como veios e lentes. As associações tório-terras raras

representam o segundo tipo de mineralizações radioativas do maciço sendo o depósitode Morro de Ferro o mais significativo (Tolbert,1966). As mineralizações urânio-molibdênio estão associadas à superposição de eventos tectônicos, hidrotermais e

meteóricos, ocorrendo como faixas ou como corpos lenticulares, encaixadas em foiaítose tinguaítos hidrotermalizados.

Fig. 3.2 – Mapa litológico do maciço de Poços de Caldas.FONTE: Nuclebrás (1975a).

Fig. 3.3 – Mapa de lineamentos estruturais e estruturas circulares do maciço de Poços deCaldas. FONTE: Adaptado de Almeida Filho (1995).

Fig. 3.4 – Ocorrências de minerais radioativos no planalto de Poços de Caldas.

FONTE: Nuclebrás (1975b).

3.1.3 Modelo Prospectivo3.1.3 Modelo Prospectivo

Para a representação espacial e análise das informações relevantes sobre um alvo a serpesquisado, Rostirolla (1997) propõe a definição das seguintes atividades: - mapear a

área e construir o banco de dados georreferenciado; - estudar os depósitos conhecidospara a elaboração do modelo de depósito; - montar o modelo genético e caracterizar asvariáveis diagnósticas (evidências); - definir os ponderadores para cada variável

diagnóstica; - integrar os mapas ponderados; - construir os mapas de potencialidade; e –analisar os resultados e a eficiência do sistema de avaliação.

De acordo com as etapas propostas pelo autor acima, a etapa fundamental consiste na

definição do modelo prospectivo a ser adotado para a área de estudo. O poderexplicativo do modelo proposto depende fundamentalmente do conhecimentogeológico prévio da área de estudo, que permitirá a seleção dos critérios diagnósticos

mais importantes para a “alimentação” do modelo. No caso particular da área de estudo,os critérios diagnósticos (evidências) mais importantes a ser considerados sãocaracterísticas geológicas da área (litologia, estruturas e presença de anomalias

radioativas). Tais parâmetros podem definir isolada ou conjuntamente, sítios potenciaisà ocorrência dos minerais de interesse.

Almeida Filho (1995) relata a dificuldade da elaboração de um modelo prospectivo para

o maciço de Poços de Caldas, devido à alta complexidade dos fenômenos envolvidos noprocesso formador do complexo alcalino e das mineralizações associadas. O processoenvolve aspectos tectônicos, estruturais, litológicos e intempéricos, com particularidades

de região para região. Entretanto, aquele autor identifica algumas características comunsàs ocorrências minerais no maciço alcalino, as quais foram preliminarmente assumidascomo critérios diagnósticos à pesquisa de minerais radioativos:

litologias favoráveislitologias favoráveis : presença de controles litológicos representados por rochaspotássicas, lujaritos/chibinitos, material vulcânico, e corpos intrusivos de foiaítos;

falhamentos/fraturamentosfalhamentos/fraturamentos : presença de falhas e fraturas, condicionando o alojamento

de veios e lentes mineralizados;

estruturas circularesestruturas circulares : presença de cones vulcânicos no interior da cratera, condicionandoa ocorrência de mineralizações radioativas em suas bordas;

gama-radiometriagama-radiometria: presença de valores anômalos de radioatividade total, indicativa dapresença de minerais radioativos.

Desse modo, o modelo prospectivo para a definição de áreas potenciais à ocorrências de

minerais radioativos baseia-se em três pontos: dados gama-radioativos, litologiasfavoráveis e feições estruturais.

3.2 BANCO DE DADOS ESPACIAIS

As informações relevantes ao processo de inferência espacial foram extraídas do bancode dados digitais geocodificados (BDDG) construído por Almeida Filho (1995) no

ambiente dos sistemas SITIM (Sistema de Tratamento de Imagens) e SGI (Sistema deGeorreferenciado de Informação), desenvolvidos pelo INPE .

Os planos de informação de interesse foram migrados para o ambiente SPRING, onde

foram realizadas todas as edições e processamentos necessários para a execução dasanálises multi-critério com vistas a definir cenários potenciais à ocorrência de mineraisradioativos.

Os dados utilizados estão apresentados na Tabela 3.1, onde estão explicitados osformatos e respectivos atributos.

TABELA 3.1 – TIPOS, FORMATOS E ATRIBUTOS DOS DADOS

DadosDados FormatosFormatos AtributosAtributos

Cidade, principais drenagens Vetorial Infra-estrutura

Mapa Litológico Vetorial e matricial Informações litológicas

Contatos litológicos Vetorial e matricial Zonas de contatos

Gama-radiometria Vetorial e matricial Radioatividade (contagem total)

Feições estruturais Vetorial Falhas/fraturas e estr. circulares

Ocorrências minerais Vetorial Verdade de campo

Adaptada de Almeida Filho (1995).

As principais características dos planos de informação são descritas a seguir:

Dados planimétricosDados planimétricos – indicação da cidade de Poços de Caldas, principais drenagens ebarragens. Essas entidades foram digitalizadas a partir das folhas descritas

anteriormente.

Dados litológicosDados litológicos – As unidades litológicas foram digitalizadas a partir do mapageológico do maciço alcalino (Nuclebrás, 1975a) (Figura 3.2).

Dados gama radiométricosDados gama radiométricos – os dados radiométricos foram coletados pela ComissãoNacional de Energia Nuclear – CNEN, através de aerolevantamento com helicóptero ecaminhamentos. Nos levantamentos com helicóptero os dados foram coletados em

malhas de 250x250m, enquanto os dados coletados no terreno o foram em malha de75x250m. Estes dados de radiatividade total encontravam-se integrados no “maparadiométrico do planalto de Poços de Caldas” (NUCLEBRAS,1975c), subdivididos em 5

classes de intensidade radioativa, em relação a um background regional de 40 unidades(background -1,3; 1,3-1,8; 1,8-2,5; 2,5-3,5; 3,5 - background)(Figura 3.4).

Dados estruturaisDados estruturais – Os dados estruturais foram obtidos através da interpretação de

imagens multiespectrais (MSS) realizada por Almeida Filho (1995). Eles foramsubdivididos pelo autor em feições lineares e feições circulares. As estruturas circularesidentificadas correspondem a sete feições no maciço alcalino, interpretadas como

associadas a edifícios vulcânicos no interior da cratera (Almeida Filho e Paradella, 1977).

Fig. 3.5 – Mapa de intensidade radioativa total do planalto de Poços de Caldas.FONTE: Nuclebrás (1975c).

3.3 SUPORTE COMPUTACIONAL UTILIZADO

Dois sistemas foram usados no presente estudo: SPRING e SNNS. O SPRING é um SIG

de 2o geração, desenvolvido pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais – INPE. Noseu modelo conceitual um banco de dados corresponde fisicamente a um diretório ondesão armazenados suas definições de categoria e classe e os projetos pertencentes ao

banco. Os projetos são armazenados em subdiretórios juntamente com seus arquivos dedados (pontos, linhas, imagens orbitais e aéreas, imagens temáticas, textos, grades eobjetos).

O dados espaciais devem ser representados no esquema conceitual do SPRING comogeo-campos ou geo-objetos. O geo-campo representa a distribuição espacial de variáveisque possuem valores em todos os pontos pertencentes a uma região geográfica, podendo

ser especializado em modelos: temático, numérico e imagem. O geo-objeto representaum elemento único que possui atributos não espaciais e está associado a múltiplaslocalizações geográficas.

O SPRING provê um ambiente de trabalho amigável e poderoso, através da combinaçãode menus e janelas com uma linguagem espacial denominada LEGAL – LinguagemEspacial para Geoprocessamento Algébrico (Câmara, 1996). É facilmente programável

pelo usuário, possibilitando a realização de análises espaciais através de álgebra demapas. A análise espacial utiliza atributos espaciais e não espaciais das entidades gráficasarmazenadas na base de dados espaciais, para fazer análises e simulações sobre

fenômenos do mundo real.

A estrutura de um programa em LEGAL é composta de três partes: declaração,instanciação e operação. Na “declaração” são definidos os dados, onde cada plano de

informação (PI) a ser manipulado é associado a uma variável de determinada categoriadefinida no esquema conceitual. A “instanciação” consiste nas manipulações de bancode dados, onde PI’s são recuperados ou criados dependendo dessas manipulações. Na

“operação” são realizadas as operações de álgebra de mapas (transformação, booleana,matemática, classificação contínua, vizinhança, reclassificação por atributos). No AnexoI estão apresentados os programas em LEGAL construídos para execução dos

procedimentos necessários para a aplicação das diferentes técnicas de inferência espacial,usadas neste estudo.

O outro pacote utilizado, o SNNS, é um programa de simulação de redes neurais

artificiais, desenvolvido pelo Institute for Parallel and Distributed High PerformanceSystems - IPVR da Universidade de Stuttgart.

O simulador é composto por 4 componentes principais: simulador central, interface de

usuário gráfica, interface de execução em grupo e compilador de rede SNN2C. Uma desuas características mais importantes é a interface gráfica que permite que usuáriosinexperientes possam aprender e desenvolver modelos conexionistas com o auxílio do

simulador, de modo que o desenvolvimento de redes neurais complexas seja fácil erápido (Zell et al., 1999).

CAPÍTULO 4

MODELAGEM DOS DADOS: RESULTADOS E DISCUSSÕES

Foram utilizados vários métodos de inferência espacial para a integração dos dados

(evidências) relevantes para o modelo prospectivo adotado para o maciço alcalino dePoços Caldas. Os métodos geraram diferentes planos de informação (geocampos) comrepresentação Temática ou Numérico - MNT (Modelo Numérico de Terreno). Na

representação Temática (booleano), a favorabilidade para ocorrências mineraisradioativas é expressa espacialmente através de polígonos ou “pixels”. Na representaçãoNumérica têm-se campos contínuos em forma de grade regular, que expressam

pontualmente o grau de favorabilidade.

Os resultados em formato numérico foram fatiados em quatro classes (nula, baixa,média e alta), arbitrariamente definidas, que exprimem níveis diferentes de

potencialidade à ocorrência mineral. Os fatiamentos foram efetuados com o objetivo dedefinir classes com áreas o mais próximas possíveis em tamanho. O desejo dessasimilaridade entre classes advém do sentimento de que as comparações entre cenários

seriam mais lógicas.

Os mapas com representação Temática, gerados através dos 8 modelamentos (Booleano,Média Ponderada, Fuzzy Mínimo-Máximo, Fuzzy Média, Fuzzy Gama, Fuzzy Ponderado

(AHP), Bayesiano, e Redes Neurais), foram avaliados qualitativamente equantitativamente. Nas análises qualitativas foram observadas as coincidências dasocorrências minerais com as classes de favorabilidade de cada cenário. A observação foi

executada sobrepondo-se a cada mapa de favorabilidade as ocorrências minerais,definidas por uma circunferência com 0,2 Km2 de área. Em casos onde existiu ainterseção de mais de uma classe por ocorrência mineral foi assumido a classe de maior

potencialidade como a classe coincidente.

Para a realização das análises quantitativas foi utilizada a probalidade condicional para aavaliação de cada fatia dos cenários gerados. O objetivo foi avaliar o caráter explicativo

de cada faixa (nula, baixa, média e alta) em relação às ocorrências minerais radioativas.Ou seja, desejou-se aferir em quanto seria aumentada a chance de ocorrência (grau deconfiança) de um depósito mineral nas classes definidas no mapa de favorabilidade.

Para a definição dos graus de confiança, o primeiro passo foi a tabulação cruzada do PIdas ocorrências minerais com cada um dos diferentes PI’s que continham os cenáriosgerados. O cruzamento gerou 8 matrizes de confusão (2x4) que foram editadas. Cada

matriz gerou outras 4 matrizes (2x2), de onde foram extraídos os valores para o cálculoda probabilidade a priore e a posteriore, necessárias para o cálculo do grau de confiança

( )()|(confiançadegrau DPBDP= ). As matrizes binárias de confusão de cada classedos diferentes cenários encontram-se na Tabelas II.1 (Anexo II).

O cálculo do grau de confiança foi obtido para todas as classes (fatias) dos mapas de

favorabilidade gerados e os resultados estão apresentados em tabelas individualizadaspara cada modelamento (Tabelas 4.2, 4.3, 4.6, 4.7, 4.9, 4.10, 4.20, 4.21). A análise dessastabelas permitiu a obtenção de algumas conclusões com relação à qualidade dos mapas

de favorabilidade gerados.

Os comentários com relação às avaliações qualitativas e quantitativas foram realizadosindividualmente, modelo por modelo, apontando-se os pontos positivos e falhos de cada

modelamento. De modo geral, todos os mapas de favorabilidade apresentaram fatiascom um comportamento coerente em relação à distribuição do grau de confiança. Ouseja, os valores de grau de confiança variaram de modo crescente, com valores menores

sendo obtidos em classes definidas como de potencial nulo e maiores para classes de altopotencial. Isso atesta a eficiência desse parâmetro estatístico na aferição dos resultados,assim como dos modelamentos prospectivos executados.

4.1 INFERÊNCIA BOOLENA

O modelo Booleano envolveu a combinação lógica de mapas binários, através deoperadores condicionais. O primeiro passo para a aplicação do método foi a

reclassificação dos planos de informação para um padrão binário. Os PI’s “Litologia” e“Intensidade Radioativa” foram reagrupados cada um para apenas duas classes:favorável e não-favorável. A Figura 4.1 mostra a generalização aplicada ao plano de

informação litológico, onde as unidades (classes) Rocha Potássica, Foiaíto,Lujaritos/Chibinitos e Material Vulcânico foram agrupadas como favoráveis e as demais,Fonólito, Tinguaíto, Embasamento e Arenito como não-favoráveis (Programa I.1 -

Anexo I). O mesmo procedimento foi aplicado ao PI Intensidade Radioativa. Unidadescom valores acima de 1,8 vez o background regional foram consideradas como favoráveise abaixo como não-favoráveis. Esse limiar de corte foi definido empiricamente por

Almeida Filho (1995), que tomou como base o valor mínimo encontrado no depósito deCampo São Agostinho. O resultado encontra-se na Figura 4.2. O programa, emlinguagem LEGAL, para esse procedimento encontra-se no Anexo I, Programa I.2.

Fig. 4.1 – Exemplificação de generalização de mapa temático para padrão binário.

No caso dos lineamentos e estruturas circulares, foi construído primeiramente um mapade distâncias isotropicamente distribuído ao longo dos lineamentos e estruturascirculares, segundo uma grade regular numérica. Estes planos foram, então, fatiados

segundo um limiar de corte definido empiricamente por Almeida Filho (1995). Para oslineamentos o limiar definido como área favorável foi de 250m e para as estruturascirculares de 350m (Figura 4.3).

Como os contatos das unidades litológicas são inferidos na sua maioria, foi criado umbuffer de 100m ao longo dos mesmos, de modo a minimizar erros relativos aoposicionamento. O procedimento de construção do plano de informação binário foi o

mesmo adotado para os lineamentos e estruturas circulares. Com os planos deinformação ajustados para um padrão binário, o próximo passo foi a integração destasevidências, segundo os operadores de lógica booleana, determinando os locais onde as

evidências satisfaziam ou não às regras definidas pelo modelo. As operações efetuadasde modo seqüencial foram eqüivalentes às realizadas por Almeida Filho (1995), onde osoperadores utilizados foram “EE” (∩ - interseção) e “OUOU” (∪ - união). Primeiramente as

evidências foram agrupadas com o operador “OU” em três grupos principais à saber:

Grupo AGrupo A - litologia OUOU contatos litológicos;Grupo BGrupo B - estruturas circulares OUOU lineamentos;

Grupo CGrupo C - intensidade gama-radiométrica.

Fig. 4.2 - Tabela e plano de informação de intensidade radioativa reclassificado.

Fig. 4.3 – Planos de informação binários, lineamentos e estruturas circulares, com aclasse favorável em verde e a não-favorável em cinza.

O resultado deste agrupamento são planos de informação que retornam a união dasáreas favoráveis de cada evidência. Com os grupos formados aplicou-se o operador "EE",

para definir as áreas potencialmente favoráveis. O PI final apresenta como áreaspotencialmente favoráveis apenas aquelas onde houve coincidência das classes favoráveisdas evidências agrupadas. A formulação está expressa abaixo e o programa LEGAL

encontra-se no Anexo I (Programa I.3).

Grupo A = (litologia) ∪ (contato litológico)Grupo B= (estruturas circulares) ∪ (lineamentos)

Grupo C=(intensidade de radiometria gama)

)()()( GrupoCGrupoBAGrupoR ∩∩=

No modelamento Booleano, um dos problemas encontrados é a rigidez do resultado

final, que não permite uma nova redistribuição dos dados em um número maior declasses. O cenário, em termos de distribuição de valores, foi o que apresentou o piorresultado, visto que os pixels apresentam apenas dois valores, 0 ou 1 (não-favorável e

favorável) (Figura 4.4). Esta característica da técnica dificultou a comparação entre osoutros modelos e pesou contra o modelamento, pois não permitiu variação nos limiaresde tomada de decisão.

Distribuição dos pixels segundo as classes "favorável' e "não-favorável"

0

400000

800000

1200000

1600000

2000000

1

Fre

qu

ênci

a

favorável não-favorável

Fig. 4.4 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelomodelo Booleano.

A classe “favorável” encerrou 24 das 48 ocorrências minerais em uma área de 32,4 Km2,ou 4,45% do maciço alcalino (Figura 4.5). O grau de confiança indica um aumento de5,78 vezes na probabilidade a priore de descobertas de depósitos minerais, caso pesquisas

sejam realizadas nessas áreas. Dentre os principais depósitos, a classe mapeou o CampoAgostinho e Morro do Ferro. A mina Usamu Utsumi foi encerrada pela classe “não-favorável”, que compreende uma área de 694,94 Km2 (95,55% do maciço) e obteve 0,78

de grau de confiança (Tabela 4.1).

TABELA 4.1– SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO

BOOLEANO

FatiaFatia Área (KmÁrea (Km 22)) Área (%)Área (%) Prob. Prob. PosteriorePosteriore Grau de confiançaGrau de confiança U-ZrU-Zr U-MoU-Mo Th-TrTh-Tr

FavorávelFavorável 32.4 4.45 0.0722 5.78 14 9 1

Não favorávelNão favorável 694.94 95.55 0.0097 0.78 (1.28) 21 2 1

TotalTotal 727.34 100.00 Prob. Prob. priorepriore 0.0125 35 11 2

Fig. 4.5 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundoo método Booleano.

4.2 MÉTODO MÉDIA PONDERADA

Neste método, cada plano de informação e suas respectivas classes são ponderados deacordo com a importância relativa para a hipótese considerada no modelo prospectivoadotado. A definição dos pesos é a etapa mais crítica desta técnica, pois os pesos

atribuídos às evidências precisam indicar a importância relativa das mesmas para omodelo. A integração das evidências é realizada através de uma soma ponderada,procurando refletir a importância relativa dos fenômenos geológicos envolvidos.

Para a aplicação da técnica, o primeiro passo foi a definição dos pesos que iriamponderar tanto os PI’s como suas respectivas classes. Os pesos adotados foram os

mesmos definidos de modo heurístico por Almeida filho (1995), segundo suaexperiência pessoal na região:

Gama-radiometria:Gama-radiometria:

peso do plano de informação ⇒ y1= 80;peso das classes:background –1.3 ⇒ w11 = 0;

1.3 - 1.8 ⇒ w12 = 10;1.8 - 2.5 ⇒ w13 = 60;2.5 - 3.5 ⇒ w14 = 70;

> 3.5 ⇒ w15 = 80;

Dados litológicos:Dados litológicos:

peso do plano de informação ⇒ y2 = 60;

peso das classes:rochas potássicas ⇒ w21 = 60;lujaritos/chibinitos ⇒ w22 = 60;

foiaítos ⇒ w23 = 30;material vulcânico ⇒ w24 = 20;tinguaítos ⇒ w25 = 0;

fonólitos ⇒ w26 = 0;arenitos ⇒ w27 = 0;embasamento ⇒ w28 = 0;

Dados estruturais:Dados estruturais: peso do plano de informação⇒ y3 = 20;

peso das classes: "buffer" das estruturas circulares e lineamentos ⇒ w31 = 20.

A atribuição dos pesos foi feita através de programas de ponderação em linguagem

LEGAL (Anexo I - Programas I.4, I.5 e I.6). No caso dos lineamentos e estruturascirculares adotou-se buffers de 250m e de 350m, respectivamente. As classes foramintegradas através do operador lógico (OU), gerando-se um único PI representando a

soma dos buffers dos lineamentos e estruturas circulares.

Os dados resultantes em formato numérico, foram integrados através de uma somaponderada, implementada através de um programa em LEGAL (Anexo I - Programa

I.7). O plano de informação resultante apresenta valores numéricos que variam de 0 a65, espacializados em uma grade regular. Para exemplificação do processamento,considere um ponto qualquer da grade que apresente: classe de anomalia gama-

radiométrica de 2.5-3.5, unidade litologia foiaíto e que encontra-se dentro dos buffersdos lineamentos e/ou estruturas circulares. O valor de saída é:

75,48)206080/())2020()6030()8070(()/())()()(( 321331223114

=++∗+∗+∗=++∗+∗+∗=

r

yyyyyyr ωωω

Pontos com valores iguais a "0" indicam áreas de potencial nulo, enquanto pontos comvalores iguais a "65" são áreas de máximo potencial. Para uma melhor visualização, oplano de informação resultante foi subdividido arbitrariamente em 4 fatias de

favorabilidade (0-29.9 ⇒ Nula; 29.9-52.0 ⇒ baixa; 52.0-55.3 ⇒ média; 55.3-65.0 ⇒alta).

Dentre as técnicas utilizadas, a Média Ponderada mostrou-se uma das mais eficazes. As

diferentes faixas de potencialidade mostraram coerência na distribuição relativa dosvalores dos graus de confiança, que apresentaram um padrão decrescente da classe“alto” potencial para a de potencial nulo. O ponto negativo deste modelamento foi a

distribuição não uniforme dos valores de saída, apresentando agrupamentos que podemser visualizados no gráfico da Figura 4.6 pelos patamares da distribuição acumulada dosvalores. Esta má distribuição dos valores, na prática, impediu maior flexibilidade no

fatiamento.

Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de potencialidade

0

400000

800000

1200000

1600000

0 10 20 30 40 50 60 70Valores dos pixels

Fre

qu

ênci

a ac

um

ula

da

Distribuição acumulada dos pixels

Nulo

Méd

io

BaixoAlto

Fig. 4.6 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelomodelo Média Ponderada.

O grau de confiança da classe “nula” indica possibilidade de sucesso 2,27 vezes menorem relação a todo o complexo alcalino. Ou seja, a probabilidade do encontro de

depósitos considerando-se a área total é maior do que se considerarmos apenas essaclasse. Ela cobre uma área de 628,36 Km2 (86,39% da superfície total do maciçoalcalino), contendo 8 mineralizações conhecidas.

As demais classes (baixo, médio e alto potencial) compreendem uma área de 98,98 Km2,que eqüivalem a 13,61% do complexo alcalino e encerraram 40 das 48, ou 83,33%,mineralizações conhecidas (Figura 4.7).

As classes “médio” e “alto” potencial encerram 24 mineralizações, sendo 10 das 11mineralizações de U-Mo e as duas de Th-Tr, totalizando 30,64 Km2 (apenas 4,27% dototal do maciço alcalino). Os valores de grau de confiança das faixas “médio” e “alto”

foram 4,97 e 12,60, respectivamente, sendo o valor da classe “alto” o segundo melhorvalor obtido dentre todos os modelamentos prospectivos executados. Embora essa classecompreenda uma área de apenas 6,48Km2

(menos de 1% do maciço), ela encerrou as

principais mineralizações conhecidas, como a Mina Usamu Utsumi e os depósitos decampo Agostinho e Morro do Ferro, atestando a confiabilidade do modelo prospectivo(Tabela 4.2).

TABELA 4.2 –SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MODELO MÉDIAPONDERADA

Fatia Área(Km2)

Área(%)

Prob.Posteriore

Grau deconfiança

U-Zr

U-Mo

Th-Tr

alta (65.0-55,3) 6.48 0.89 0.1574 12.60 7 4 1

média (55.3-52.0) 24.16 3.32 0.0621 4.97 6 5 1

baixa (52.0-29.9) 68.34 9.40 0.0457 3.65 15 1 0

nula (29.9-0.0) 628.36 86.39 0.0055 0.44 (2.27) 7 1 0

Total 727.33 100.00 Prob. priore 0.0125 35 11 2

Fig. 4.7 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundoo método Média Ponderada.

4.3 – MÉTODO FUZZY

Para a aplicação da metodologia fuzzy torna-se necessário que todas as evidências(planos de informação) estejam no formato numérico MNT. Assim, os mapas temáticosforam ponderados para valores que variam entre 0 e 1 (membros fuzzy). A definição dos

pesos, semelhantemente ao método Média Ponderada, é uma das mais difíceis etapas,pois as evidências devem ser hierarquizadas através dos membros fuzzy. Essa graduaçãodeve expressar, de um modo semelhante ao modelo cognitivo humano, o grau de

aceitação da evidência com o modelo prospectivo proposto.

Para o mapa de intensidade gama-radiometria, os membros fuzzy foram definidosatravés da aplicação de uma função linear sobre os pesos definidos por Almeida Filho

(1995). O objetivo da função foi reescalonar os ponderadores das classes de anomaliagama-radiométrica para valores entre 0 e 1. A Tabela 4.3 apresenta os pesos do métodoMédia Ponderada e os valores de membro fuzzy obtidos a partir da equação linear

( xxf ∗= 0125,0)( ). Com os valores dos membros fuzzy definidos, o próximo passo foi

a atribuição destes valores para o plano de informação através de um programa deponderação executado através da linguagem LEGAL (Anexo I - Programa I.8).

No caso das unidades litológicas, a atribuição dos membros fuzzy foi um pouco mais

complexa. Como a maioria dos contatos são inferidos, objetivou-se, além de atribuir osmembros fuzzy para as unidades litológicas, expressar também a informação semânticados diferentes contatos (inferido e definido). Sendo assim, foram necessários vários

processamentos para construção de um PI litológico que expressasse também ainformação do tipo de contato.

A primeira etapa foi a construção de um PI em formato temático com polígonos que

serviriam de máscara para os contatos inferidos. Estes contatos correspondem àquelesmapeados pelos buffers de 100m por Almeida Filho (1995). A seguir foi editado o planode informação litológico onde as unidades foram individualizas em PI’s binários, de

modo que em cada PI estivesse apenas uma unidade litológica, confrontada com asdemais, representadas por um único polígono. Ou seja, se o desejo for confrontar arocha potássica com as demais unidades litológicas, os contatos das outras unidades

deveriam ser eliminados de modo que fique apenas os contatos da rocha potássica. Emteoria de conjuntos seria o conjunto A confrontado com o não-A ( ATA −= ). Nocaso, essa edição foi necessária apenas para as 4 unidades (rocha potássica,

lujarito/chibinito, foiaíto e material vulcânico) consideradas como favoráveis, ou comgrau de aceitação maior que 0.

TABELA 4.3 – VALORES DOS MEMBROS FUZZY DO PLANO DE

INFORMAÇÃO GAMA-RADIOMETRIA

Gama-radiometria Gama-radiometria ⇒⇒ ƒƒ(x) = 0,0125.x(x) = 0,0125.x

Classes Média Ponderada Membros fuzzy

background 0 0

1,3 - 1,8 10 0,125

1,8 - 2,5 60 0,750

2,5 - 3,5 70 0,875

> 3,5 80 1

Tomando como ponto de partida os contatos das unidades favoráveis (evidências),

foram construídos 4 mapas de distâncias isotropicamente distribuídos em gradesregulares (superfícies contínuas). A penúltima etapa foi a construção dos 4 planos deinformação que conteriam os valores de membros fuzzy das unidades litológicas,

considerando também a informação semântica dos tipos de contato (inferido edefinido). Os PI’s foram obtidos a partir de processamentos realizados através deprogramas em LEGAL (Anexo I - Programas I.9, I.10, I.11, I.12).

Os programas realizaram diferentes funções condicionadas por restrições espaciais. Asoperações foram realizadas pontualmente onde em cada ponto da grade, foi verificado ocondicionante espacial e aplicada a respectiva função. A seqüência de operações a seguir

exemplifica o programa executado para a rocha potássica:

0. =potássicaRMF SeSe (Classe.Máscara = contato definido E E Classe.PI binário = Não-R.potássica);

1. =potássicaRMF SeSe (Classe.Máscara = contato definido E E Classe.PI binário =R.potássica);

5.0)005.0(. +∗= distMF potássicaR SeSe (Classe.Máscara = contato inferido EE

Classe.PI binário = R.potássica E distância < 100);5.0)005.0(. +∗−= distMF potássicaR SeSe (Classe.Máscara = contato inferido EE

Classe.PI binário = Não-R.potássica E distância < 100).

A primeira e a segunda condições das operações têm como objetivo retornar valores demembro fuzzy que exprimam o grau de possibilidade da existência da rocha potássica,considerando corpos definidos por contatos rígidos. A terceira e a quarta condição

definem os membros fuzzy dos corpos de rocha potássica que são definidos por contatosinferidos.

Para expressar a incerteza quanto à possível localização do contato inferido, foi

considerada uma zona de transição onde foi aplicada a função membro fuzzy linear. Estagraduou os membros de modo decrescente conforme a distância da unidade litológica.A zona de transição delimita a região onde os membros fuzzy expressam no espaço a

possibilidade da localização do contato.

A Figura 4.8 ilustra o resultado do procedimento aplicado à rocha potássica e aomaterial vulcânico. Na figura estão representados os membros fuzzy como grade regular

sobreposta a unidades litológicas separadas por contato rígido. As linhas pontilhadasdemarcam uma zona de transição de 200m em relação a esse contato. As funçõesmembro fuzzy que graduam os elementos encontram-se no topo da figura.

Fig. 4.8 – Representação dos membros fuzzy da rocha potássica (azul) e material vulcânico(cinza) em grade regular numérica. A grade sobrepõe as unidades definidasinicialmente pelo contato rígido. No topo dos dois planos encontram-se asfunções lineares que mapearam os respectivos membros.

O procedimento foi aplicado também para as demais unidades litológicas favoráveis. Os

PI’s litológicos fuzzy com a informação semântica dos contatos foram finalmenteintegrados através de soma ponderada. Os pesos foram obtidos através da aplicação deuma função linear sobre os pesos definidos por Almeida Filho (1995). A Tabela 4.4

apresenta os pesos e os valores de membro fuzzy obtidos a partir da equação linear( xxf ∗= 0167,0)( ). Como o peso das unidades não-favoráveis é 0, o procedimento derepresentação dos membros fuzzy foi aplicado apenas para as unidades litológicas

favoráveis. A soma ponderada foi executada a partir do Programa I.13 (Anexo I) e aexpressão seguinte ilustra a operação:

).33.0()5.0(),(. vulcânicoMatFoiaítochibinitoLujaritopotássicaRMFlitológia ∗+∗++= Os procedimentos para atribuição dos membros fuzzy das estruturas circulares elineamentos foram semelhantes. Para a definição dos membros fuzzy foi necessário acriação de dois mapas de distâncias, um para cada evidência estrutural. As funções

quadráticas para espacializar os valores dos membros fuzzy foram aplicadas sobre asgrades de distâncias através dos Programas I.14 e I.15 (Anexo I), considerando zonas detransição de 700m e 500m de largura, respectivamente. As funções espacializam os

membros de uma forma gradual decrescente, conforme a distância das feiçõesestruturais. A Figura 4.9 demostra a função membro fuzzy para os lineamentos. Essafunção é semelhante à que mapeou os membros fuzzy das estruturas circulares, sendo

diferente apenas os parâmetros de ponto de cruzamento e zona de transição.

TABELA 4.4 – VALORES DOS MEMBROS FUZZY DO PLANO DEINFORMAÇÃO LITOLÓGICA

Litologia Litologia ⇒⇒ ƒƒ(x) = 0,0167.x(x) = 0,0167.x

Classe Média Ponderada (x) Membro fuzzy (f(x))

Rochas potássicas 60 1

Lujaritos /chibinitos 60 1

Foiaítos 30 0.5

Mat. Vulcânico 20 0,333

Tinguaíto 0 0

Fonólitos 0 0

Embasamento 0 0

Arenito 0 0

O processo de espacialização dos membros fuzzy que representariam os contatosgeológicos foi semelhante ao executado para as estruturas circulares e lineamentos.Como a informação da incerteza na localização dos contatos já foi considerada na

construção do PI litológico fuzzy, considerou-se apenas a importância os contatos doscorpos intrusivos de foiaíto. Novamente a função quadrática fuzzy aplicada (ProgramaI.16 – Anexo I), modela a importância desses contatos à medida que se distancia dos

mesmos.

Fig. 4.9 – Curva quadrática de espacialização dos membros fuzzy dos lineamentos.

Finalmente os PI’s fuzzy foram integrados, segundo análises multi-critério definidasatravés de operadores fuzzy (Mínimo-Máximo, Média, Ponderado (Técnica AHP) e

Gama), gerando diferentes cenários de potencialidade à ocorrência mineral radioativa.Os procedimentos adotados estão relatados a seguir:

4.3.1 4.3.1 FuzzyFuzzy Mínimo-Máximo Mínimo-Máximo

Nessa análise multi-critério foram utilizados dois operadores, mínimo e máximo,combinados numa seqüência lógica semelhante à adotada no método Booleano. Oprimeiro passo foi a integração em três grupos principais das evidências fuzzy através do

operador fuzzy máximo, à saber:

• Grupo A - Litologia com os contatos dos corpos intrusivos de foiaíto;• Grupo B - Lineamentos com as Estruturas Circulares;

• Grupo C - Intensidade Gama-radiométrica.

Nessa primeira integração, o operador fuzzy máximo compara os valores numéricos dosmembros fuzzy, retornando como valor de saída o maior valor dentre as evidências

fuzzy. Posteriormente esses três grupos foram integrados através do operador fuzzymínimo que de modo contrário retornou os menores valores da comparação entre osmembros fuzzy. A formulação abaixo exemplifica as operações que foram realizadas no

Programa I.17 (Anexo I).

) MF), MF, MF( Max), MF,(MF Min(Max MF gamaslineamentocircular estrut.contatolitologiamax-min =

O mapa de favorabilidade resultante deste modelamento (Figura 4.11) apresentoualguns problemas, embora tenha obtido uma boa coincidência da classe “alto” potencialcom as ocorrências minerais. O primeiro problema foi a distribuição não uniforme dos

valores numéricos, o que dificultou o fatiamento. A distribuição dos valores apresentoupicos que indicam pontos com maior concentração de valores. A Figura 4.10 apresentaa distribuição acumulada dos membros fuzzy onde é possível identificar degraus que

ilustram de modo mais claro esse problema. Na prática, a distribuição não uniformeimpediu que as classes de potencialidade pudessem ser definidas com áreas semelhantesàs dos demais cenários.

Outro problema foi a distribuição não coerente dos valores de grau de confiança, onde afaixa “alto potencial” (5,44) obteve um valor menor do que a faixa “médio potencial”(5,87), quando o esperado seria o inverso (Tabela 4.5). A classe nula, com uma área de

575,9 Km2 (79,18% do maciço alcalino), obteve uma coincidência de 8 ocorrênciasminerais, sendo uma delas a importante Mina Usamu Utsumi. Embora o número decoincidências tenha sido baixo, o fato de um importante depósito ter sido mapeado por

esta classe depõe contra o método. O grau de confiança obtido indica que uma pesquisamineral dirigida às áreas definidas como de potencialidade nula teria chance de sucesso1,85 vezes menor do que pesquisas que considerassem todo o complexo alcalino.

Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de potencialidade

400000

800000

1200000

1600000

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Valores dos pixels

Fre

qu

ênci

a ac

um

ula

da

Distribuição acumulada dos pixels

Médio

Nulo

Baixo

Alto

Fig. 4.10 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelomodelo Fuzzy Mínimo-Máximo.

As demais classes de potencialidade (baixo, médio e alto) compreendem uma área de

151,44 Km2 (20,82% da área total do maciço alcalino) e encerraram 40 das 48mineralizações conhecidas. Embora a classe “alto” potencial tenha indicado umacoincidência com 18 mineralizações, seu grau de confiança (5,44) foi menor que as

classes de mesmo potencial dos outros cenários. Dentre os principais depósitos, a classe“alto potencial” mapeou o Campo Agostinho e Morro do Ferro.

TABELA 4.5 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO FUZZY

MÍNIMO-MÁXIMO

Fatia Área(Km2)

Área(%)

Prob.Posteriore

Grau deconfiança

U-Zr

U-Mo

Th-Tr

alta (1.00-0.75) 12.94 1.78 0.0680 5.44 8 9 1

média (0.75-0.37)

24.42 3.36 0.0733 5.87 10 0 0

baixa (0.37-0.12)

114.08 15.68 0.0222 1.77 10 1 1

nula (0.12-0.00)

575.9 79.18 0.0068 0.54 (1.85) 7 1 0

Total 727.33 100.00 Prob. priore 0.0125 35 11 2

Fig. 4.11 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundoo método Fuzzy Mínimo-Máximo.

4.3.2 4.3.2 FuzzyFuzzy Média Média

O operador fuzzy média define uma soma aritmética onde os pesos de importância sãodistribuídos uniformemente para todas os membros fuzzy de entrada. Este operadoradmite uma igualdade nas relações entre as evidências. A função matemática que o

define é apresentada a seguir e o programa em Legal encontra-se no Anexo I, (ProgramaI.18)

5,log contatocircularestrutslineamentogamaialito

média

MFMFMFMFMFMF

++++=

Num contexto geral, esse modelamento apresentou resultados coerentes. Os membrosfuzzy apresentaram distribuição contínua, sem valores concentrados que pudessem

dificultar o fatiamento (Figura 4.12). As classes de potencialidade apresentaramdistribuição coerente dos valores de grau de confiança, sendo de 7,52 o valor obtidopela classe “alto potencial”. (Tabela 4.6).

As classes “alto” e “médio” potenciais encerram 26 ocorrências minerais em 30,93 Km2,ou 4,25%, do complexo alcalino, incluindo os importantes depósitos de Morro do Ferroe Campo Agostinho (Figura 4.13). O número de ocorrências salta para 36 quando são

consideradas as classes “alto”, “médio” e “baixo” potenciais juntas, o que corresponde auma área de 98,74 Km2 (13,57% do maciço alcalino).

Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de potencialidade

0

400000

800000

1200000

1600000

0 20 40 60 80 100Valores dos pixels

Fre

qu

ênic

a ac

um

ula

da

Distribuição acumulada dos pixels

Nulo

MédioBaixo

Alto

Fig. 4.12 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelomodelo Fuzzy Médio.

A classe “nulo potencial” obteve coincidência com 12 ocorrências minerais. Esta alta

coincidência com ocorrências minerais, numa classe de potencial nulo, depõe contra omodelo, pois o esperado seria o inverso. Seu grau de confiança indica uma piora dachance do encontro de depósitos minerais de 1,54 vezes em relação ao maciço todo.

TABELA 4.6 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO FUZZY MÉDIA

Fatia Área(Km2)

Área(%)

Prob.Posteriore

Grau deconfiança

U-Zr

U-Mo

Th-Tr

alta (0.90-0.64) 6.39 0.88 0.0939 7.52 4 4 1

média (0.64-0.50) 24.54 3.37 0.0579 4.64 12 5 0

baixa (0.-0.38) 67.81 9.32 0.0385 3.08 8 1 1

nula (0.38-0.00) 628.59 86.42 0.0071 0.57 (1.54) 11 1 0

Total 727.33 100.00 Prob. priore 0.0125 35 11 2

Fig. 4.13 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundoo método Fuzzy Média.

4.3.3 4.3.3 FuFuzzzyzy Ponderado Ponderado

Nesta inferência fuzzy as evidências foram combinadas através de uma soma ponderada,com os pesos de cada evidência sendo definidos empiricamente, segundo a técnica detomada de decisão AHP (Saaty, 1992). Esta técnica permite a definição de pesos que

expressam de modo hierárquico os membros fuzzy, através de comparação feita dois adois entre as evidências.

A primeira etapa para a definição dos pesos foi a elaboração de uma relação de

importância relativa entre as evidências, definida par a par . Essa relação entre asevidências pretende capturar o conhecimento do especialista que deve indicar o grau deimportância relativo entre evidências comparadas. O modulo de análise espacial do

SPRING (Suporte à decisão AHP) permite a graduação em 9 níveis (igual, um poucomelhor, algo melhor, moderadamente melhor, melhor, bem melhor, muito melhor,criticamente melhor e absolutamente melhor) os quais foram utilizados como dados de

entrada da matriz de comparação par a par. As relações consideradas encontram-seabaixo e a matriz na Tabela 4.7:

Gama algo melhor que Litologia (3 : 1)

Gama melhor que Estruturas circulares (5 : 1)

Gama muito melhor que Lineamentos (7 : 1)

Gama muito melhor que Contatos geológicos (7 : 1)

Litologia algo melhor que Estruturas circulares (3 : 1)

Litologia melhor que Lineamentos (5 : 1)

Litologia melhor que Contato geológico (5 : 1)

Estruturas circulares algo melhor que Lineamentos (3 : 1)

Estruturas circulares algo melhor que Contatos geológicos (3 : 1)

Lineamentos igual Contatos geológicos (1 : 1)

TABELA 4.7 – MATRIZ DE COMPARAÇÃO PAR A PAR

Gama-radiometria Litologia Estr. circular Lineamentos Cont. geológicoGama-radiometria 1Litologia 1/3 1Estr. circular 1/5 1/3 1Lineamentos 1/7 1/5 1/3 1Cont. geológico 1/7 1/5 1/3 1 1

O módulo calcula os autovetores da matriz, os quais correspondem aos ponderadores

das evidências e a razão de consistência, que é um parâmetro que indica a coerência naestipulação das relações. A razão de consistência obtida foi de 0.03, que indica uma boaconcordância das comparações. Os pesos obtidos de cada membro fuzzy foram:

gama-radiometria = 0,514;litologia = 0,258;estruturas circulares = 0,1223;

lineamentos = 0,0529;contatos litológicos = 0,0529;

As evidências foram então combinadas através de uma soma ponderada executada pelo

Programa em LEGAL I.19 (Anexo I). A formulação foi expressa por:

)0529,0()0529,0()1223,0()258,0(0,514)( ,log ∗+∗+∗+∗+∗= contatoslineamentocircularestrutialitogamaponderado MFMFMFMFMFMF

Em comparação aos demais o modelamento Fuzzy Ponderado foi o que apresentou osmelhores resultados. A distribuição dos valores dos membros fuzzy foi a mais uniforme,não apresentando concentrações em pontos que pudessem dificultar o fatiamento dos

valores (Figura 4.14).

Os valores de grau de confiança apresentaram distribuição relativa coerente entre asclasses, variando de modo crescente da classe “nulo potencial” (0.45) para a classe “altopotencial” (12,90) (Tabela 4.8). A classe “alto potencial” obteve o maior valor de grau de

confiança dentre todas as classes de alto potencial dos demais modelamentos e umacoincidência com 12 ocorrências minerais, incluindo entre estas os importantesdepósitos do Morro do Ferro e Campo Agostinho e a Mina Usamu Utsumi (Figura

4.15).

A classe “médio potencial” apresentou grau de confiança de 5,70 e em conjunto com aclasse “alto potencial” encerraram 27 ocorrências minerais, sendo 10 das 11

mineralizações de U-Mo e as duas mineralizações conhecidas de Th-Tr, numa áreaconjunta de 30,43 Km2 (4,18% do maciço alcalino).

Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de potencialidade

0

400000

800000

1200000

1600000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Valores dos pixels

Fre

qu

ênci

a ac

um

ula

da

Distribuição acumulada dos pixels

Nulo

BaixoMédio Alto

Fig. 4.14 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelomodelo Fuzzy Ponderado.

TABELA 4.8 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO FUZZYPONDERADO

FatiaFatia Área (KmÁrea (Km 22)) Área (%)Área (%) Prob. Prob. PosteriorePosteriore Grau de confiançaGrau de confiança U-ZrU-Zr U-MoU-Mo Th-TrTh-Tr

alta (0.95-0.77)alta (0.95-0.77) 6.14 0.84 0.1612 12.90 6 5 1

média (0.77-0.65)média (0.77-0.65) 24.29 3.34 0.0712 5.70 9 5 1

baixa (0.65-0.37)baixa (0.65-0.37) 67.91 9.34 0.0423 3.38 11 0 0nula (0.37-0.00)nula (0.37-0.00) 629.0 86.48 0.0056 0.45 (2.22) 9 1 0

TotalTotal 727.33 100.00 Prob. Prob. priorepriore 0.0125 35 11 2

A classe “nulo potencial” compreendeu uma área de 629,0 Km2 (86,48% do complexoalcalino) e encerrou 10 das 48 ocorrências minerais. O valor de grau de confiança (0,45)

indica que essas áreas apresentam uma diminuição de 2,22 vezes na probabilidade apriore do encontro de ocorrências minerais.

Fig. 4.15 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundoo método Fuzzy Ponderado (AHP).

4.3.4 4.3.4 FuzzyFuzzy Gama Gama

Nessa inferência as evidências foram combinadas através de um operador fuzzy definidopor dois termos (controlados pelo parâmetro γ (gama). A escolha do γ determina o

caráter de decisão produto algébrico fuzzy, Equação 2.7 e a soma algébrica fuzzy,Equação 2.8), do especialista que pode variar de “pessimista”, com γ abaixo de 0,35 e“otimista”, com γ acima de 0,85.

O valor γ adotado de 0.85 faz com que o termo “soma algébrica” seja mais importanteque o “produto Pag. 32) observa-se que o valor γ encontra-se na região esquerda, o quegarante algébrico”, na computação do resultado final. Pelo gráfico da Figura 2.5 (que o

valor de saída será sempre maior ou igual ao maior valor de entrada das evidências. OPrograma I.20 (Anexo I) realizou as operações que estão ilustradas abaixo:

))1()1()1()1()1((1 ....lg geolcontlineamcircularestlitogamaébricaasoma MFMFMFMFMFMF −∗−∗−∗−∗−−=

....lg geolcontlineamcircularestlitogamaébricoaproduto MFMFMFMFMFMF ∗∗∗∗=

)85.01(lg

85.0lg )()( −∗= ébricoaprodutoébricaasomagama MFMFMF

O desempenho do modelo Fuzzy Gama foi parecido ao obtido pelo Fuzzy Média, comexceção ao padrão de distribuição dos membros fuzzy. A distribuição dos membrosfuzzy de potencialidade à ocorrência de minerais radioativos deste modelo apresentou

grande concentração em valores baixos, onde 86,55% dos membros fuzzy incidiramabaixo de 0,04. Essa concentração dificultou o fatiamento e gerou classes depotencialidade com amplitudes muito variadas. Enquanto a classe “alto potencial”

precisou de uma amplitude de 0,41 (de 0,92 até 0,51) para compor uma área de 6,48Km2, a classe de potencial nulo precisou apenas de 0.04 de amplitude para compor umaárea de 629,52 Km2. Essa distorção fica mais clara no gráfico da Figura 4.16, onde os

valores de membro fuzzy são plotados com distribuição acumulada.

Distribuição acumulada dos pixels sopreposta pelas classes de potencialidade

400000

800000

1200000

1600000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Valores dos pixels

Fre

qu

ênci

a ac

um

ula

da

Distribuição acumulada dos pixels

0

Nulo

BaixoMédio Alto

Fig. 4.16 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelomodelo Fuzzy gama.

A classe “alto potencial” obteve a menor coincidência com as ocorrências minerais

conhecidas (apenas 8), dentre as classes de mesma potencialidade dos demaismodelamentos (Figura 4.17). Os valores de grau de confiança das classes depotencialidade foram próximos aos obtidos pelo modelamento Fuzzy média (Tabela

4.9), onde as classes “alto”, “médio” e “baixo” potencial encerram 34 ocorrênciasminerais em áreas que totalizaram 97,81 Km2. Dentre os principais depósitos, a classe“alto” potencial mapeou apenas o Morro do Ferro, sendo o depósito Campo Agostinho

e a Mina Usamu Utsumi mapeados pelas classes “baixo” e “nulo” potencialrespectivamente.

TABELA 4.9 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO FUZZY GAMA

FatiaFatia Área (KmÁrea (Km 22)) Área (%)Área (%) Prob. Prob. PosteriorePosteriore Grau de confiançaGrau de confiança U-ZrU-Zr U-MoU-Mo Th-TrTh-Tr

alta (0.92-0.51)alta (0.92-0.51) 6.48 0.89 0.0864 6.92 6 1 1

média (0.51-0.17)média (0.51-0.17) 22.58 3.10 0.0540 4.33 5 4 0

baixa (0.17-0.04)baixa (0.17-0.04) 68.75 9.45 0.0374 2.99 11 5 1nula (0.04-0.0)nula (0.04-0.0) 629.52 86.55 0.0075 0.60 (1.67) 13 1 0

TotalTotal 727.33 100.00 Prob. Prob. priorepriore 0.0125 35 11 2

A classe “nulo potencial” encerrou 15 ocorrências minerais, o maior número dentre as

demais classes de mesma prioridade. O grau de confiança indicou uma diminuição de1,67 em relação a probabilidade a priore, que considera todo o maciço.

Fig. 4.17 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundoo método Fuzzy Gama.

4.4 MÉTODO DE BAYES

Na inferência bayesiana o objetivo foi utilizar as 48 ocorrências minerais, as quais

possibilitaram o cálculo de parâmetros estatísticos que serviram de ponderadores dasevidências consideradas no modelamento. Para assegurar a correta execução do modeloforam necessárias diferentes etapas de edição dos PI’s, bem como o cálculo de

parâmetros estatísticos que garantissem matematicamente o modelamento.

No modelo bayesiano as evidências devem estar em padrão binário (favorável, não-favorável), antes de serem calculados os ponderadores. Sendo assim, o primeiro passo

foi um estudo de Contraste (Cw) das evidências com as ocorrências minerais, o qualpossibilitou determinar o limiar de corte que maximizaria a associação espacial entre osPI’s resultantes da reclassificação binária e o PI com as verdades de campo (ocorrências

minerais).

Para os planos de informação, litologia e intensidade gama-radiometria, foi adotada amesma reclassificação definida por Almeida Filho (1995), que considerou as unidades

litológicas, rocha potássica, lujarito/chibinito, material vulcânico e corpos intrusivos defoiaíto, e as classes radiométricas com anomalia acima de 1.8 vezes o background comofavoráveis. Entretanto, os estudos de Contraste da litologia e do mapa de intensidade

gama-radiometria foram realizados apenas com o intuito de testar a correlação dasevidências com as ocorrências minerais.

O primeiro passo para o cálculo do contraste da litologia foi a tabulação cruzada entre o

PI ocorrências minerais e o PI litológico. Como a tabulação cruzada gera uma matriz deconfusão onde cada célula da matriz indica a interseção (sobreposição) das classes dosPI’s (ex. N{fonólito ∩ depósito} = 0,73Km2), e como estas interseções devem estar

expressas por unidade de área ou número de elementos (pixel), foi necessário definiruma área para cada ocorrência mineral. Como não existia informação quanto à área decada ocorrência mineral, foi assumida uma área circular padrão de 0,2 Km2, construída a

partir do fatiamento de um mapa de distância adotado-se um raio de mr 31,252= àpartir de cada ocorrência mineral.

A matriz de confusão gerada foi posteriormente editada em planilha de modo que o

cálculo do contraste fosse efetuado sempre em um padrão binário, ou seja, a classeestudada era sempre comparada com as demais agrupadas (ex. fonólito versus não-fonólito) (Tabela 4.10 em amarelo).

TABELA 4.10 – MATRIZES DE CONFUSÃO ENTRE AS OCORRÊNCIAS EAS UNIDADES LITOLÓGICAS AJUSTADAS PARA UM PADRÃO BINÁRIOCOM A CLASSE FONÓLITO EM DESTAQUE

fonólitos não-fonólito total tinguaíto não-tinguaíto totaldepósitos 0.73 8.35 9.08 depósitos 2.84 6.24 9.08não-depósitos 86.72 631.09 717.81 não-depósitos 325.97 391.84 717.81total 87.45 639.44 726.89 total 328.81 398.08 726.89

r.potássica não-rocha potássica total mat.vulcânico não-mat.vulcânico totaldepósitos 3.65 5.43 9.08 depósitos 0.19 8.89 9.08não-depósitos 70.34 647.47 717.81 não-depósitos 10.95 706.86 717.81total 73.99 652.9 726.89 total 11.14 715.75 726.89

foiaíto não-foiaíto total arenitos não-arenitos totaldepósitos 1.46 7.62 9.08 depósitos 0 9.08 9.08não-depósitos 212.25 505.56 717.81 não-depósitos 1.44 716.37 717.81total 213.71 513.18 726.89 total 1.44 725.45 726.89

lujarito/chibinito não-lujarito/chibinito totaldepósitos 0.21 8.87 9.08não-depósitos 10.14 707.67 717.81total 10.35 716.54 726.89

As matrizes de confusão, em padrão binário, forneceram os parâmetros para o cálculo

das razões de suficiência (LS) e necessidade (LN), as quais foram utilizadas no cálculo docontraste de cada classe litológica (Tabela 4.11). As formulações a seguir ilustram ocálculo do contraste do fonólito:

6655,0

81,71772,8608,973,0

)()(

)()(

=

=∩

∩

=

DNfonólitoDNDN

fonólitoDN

LS

0460,1

81,71709,631

08,935,8

)()(

)()(

=

=∩

∩

=

DN

fonólitoDN

DN

fonólitoDN

LN

4522,0)()( −=−= LNLnLSLnC fonólitoW

TABELA 4.11 – VALORES DE RAZÃO DE SUFICIÊNCIA (LS), RAZÃO DE

NECESSIDADE (LN) E CONTRASTE DE CADA UNIDADE LITOLÓGICA

LS LN contrasteFonólitos 0.6655 1.0460 -0.4522R.potássica 4.1022 0.6630 1.8225Foiaítos 0.5438 1.1915 -0.7844Lujaritos/chibinitos 1.6372 0.9909 0.5022Tinguaítos 0.6888 1.2589 -0.6031Mat.vulcânico 1.3717 0.9942 0.3218Arenitos 0.0000 1.0020 0.0000 .

O mesmo procedimento foi executado para as demais unidades litológicas e para asclasses do PI de Intensidade Gama-radiométrica. As matrizes de confusão binárias domapa de anomalia gama-radiométrica encontram-se na Tabela 4.12 e os resultados do

contraste encontram-se na Tabela 4.13.

Os procedimentos para o cálculo do contraste das estruturas circulares, lineamentos econtatos dos corpos intrusivos de foiaíto foram idênticos. O objetivo era definir a zona

(buffer) que apresentasse a melhor associação espacial com as verdades de campo.Inicialmente foram construídos três mapas de distância que tomaram como ponto departida os arcos das estruturas circulares, lineamentos e corpos intrusivos de foiaíto.

Esses PI’s foram fatiados em 28 classes (fatias) de 25m cada e então cruzados com asocorrências minerais, para a geração das matrizes de confusão. Estas foram reagrupadaspara um padrão binário, onde cada fatia foi comparada com as demais ( )ATA −= . As

matrizes de confusão binárias forneceram os parâmetros para o cálculo dos contrastes,conforme exemplificado anteriormente com a unidade litológica fonólito.

TABELA 4. 12 – MATRIZES DE CONFUSÃO ENTRE AS OCORRÊNCIAS EAS CLASSES DE ANOMALIA RADIOMETRIA AJUSTADAS PARA UMPADRÃO BINÁRIO

background não-background total 2.5 não (2.5-3.5) totaldepósito 1.11 7.97 9.08 depósito 1.12 7.96 9.08não depósito 410.48 307.77 718.25 não depósito 11.17 707.08 718.25total 411.59 315.74 727.33 total 12.29 715.04 727.33

1.3 não (1.3-1.8) total 3.5 não (>3.5) totaldepósito 2.94 6.14 9.08 depósito 0.78 8.3 9.08não depósito 233.62 484.63 718.25 não depósito 3.46 714.79 718.25total 236.56 490.77 727.33 total 4.24 723.09 727.33

1.8 não (1.8-2.5) totaldepósito 3.13 5.95 9.08não depósito 59.52 658.73 718.25total 62.65 664.68 727.33

TABELA 4.13 – VALORES DE RAZÃO DE SUFICIÊNCIA (LS), RAZÃO DENECESSIDADE (LN) E CONTRASTE DE CADA CLASSE DE ANOMALIAGAMA-RADIOMETRIA

LS LN contrastebackground 0.2139 2.0484 -2.25931.3 - 1.8 0.9955 1.0022 -0.00671.8 - 2.5 4.1598 0.7145 1.76162.5 - 3.5 7.9315 0.8905 2.1868> 3.5 17.8323 0.9185 2.9660

Para a definição do limiar de corte, os valores de contraste foram plotados em umgráfico cumulativo. Nas Figuras 4.18, 4.19 e 4.20 encontram-se os gráficos dos contrastes

acumulados para as estruturas circulares, lineamentos e contatos dos corpos intrusivosde foiaíto, respectivamente.

Pela análise dos gráficos de contraste acumulado foram escolhidos os pontos de máximo

valor acumulado como limiares de corte. Os valores de corte foram 625m para asestruturas circulares, 250m para os lineamentos e 500m para os contatos dos foiaítos.Os PI’s binários foram obtidos através do fatiamento dos respectivos mapas de distância

nos pontos definidos pelos gráficos de contraste acumulados.

Contraste entre as estruturas circulares e as ocorrências minerias

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

Distância (m)

Co

ntr

aste

Fig. 4.18 – Valores de contraste acumulados das fatias ao longo das estruturas circulares,indicando o valor máximo acumulado usado como limiar de corte.

Contraste entre os lineamentos e as ocorrências minerais

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

Distância (m)

Co

ntr

aste

Fig. 4.19 – Valores de contraste acumulados das fatias ao longo dos lineamentos,indicando o valor máximo acumulado usado como limiar de corte.

Contraste entre os contatos dos corpos intrusivos de foiaíto e as ocorrências minerais

0.00

2.50

5.00

7.50

10.00

12.50

0 100 200 300 400 500 600 700

Distância (m)

Con

tras

te

Fig. 4.20 – Valores de contraste acumulados das fatias ao longo dos contatos dos corposintrusivos de foiaíto, indicando o valor máximo acumulado usado comolimiar de corte.

Para a integração final dos planos de informação binários é necessário que aindependencia condiconal entre as evidências não seja violada num grau elevado. Sendo

assim, testes foram realizados com as evidências, medindo-se o grau de independênciaentre elas.

Todas as evidências binárias foram comparadas em pares, sendo utilizado como

parâmetro de medida o índice Qui-quadrado, χ2, e o Coeficiente de Contingência, C. Oobjetivo foi testar o grau de associação entre classes de cada PI binário. Osprocedimentos foram os mesmos para todas as análises dos pares de evidências, sendo as

etapas envolvidas nos testes ilustradas aqui pelo teste entre o PI Intensidade Gama-radiometria e o PI Litologia.

Primeiramente foi executada uma tabulação cruzada entre as duas evidências, a qual

gerou uma matriz de confusão, também conhecida como tabela de contingência, deonde foram extraídos os parâmetros necessários para o cálculo do χ2. Na Tabela 4.14, osvalores em preto representam as interseções entre as classes do PI gama-radiometria

binário com o PI litologia binário. Os números em vermelho representam os valoresesperados para as categorias de sobreposição, caso os PI’s gama-radiometria e litologiafossem independentes. Os valores foram obtidos pelo produto dos totais das margens

dividido pelo total absoluto, conforme demostrado nas formulações abaixo:

33.6633.727

)33,30918.79(..

1..1*1,1)log( =∗==

T

TTT ialitoxgama

45.5233.727

)10.41818.79(..

2..1*2,1)log( =∗==

T

TTT ialitoxgama

56.27533.727

)33.30915.648(..

1..2*1,2)log( =∗==

T

TTT ialitoxgama

58.37233.727

)10.41815.648(..

2..2*2,2)log( =∗==

T

TTT ialitoxgama

TABELA 4.14 – TABELA DE CONTIGÊNCIA ENTRE OS PI’S DE INTENSIDADEGAMA-RADIOMETRIA E LITOLOGIA. OS VALORES EM VERMELHO INDICA

VALORES ESPERADOS DE INTERSEÇÃO ( *, jiT ) NO CASO DE INDEPENDÊNCIA

CONDICIONAL ENTRE OS PI’S

LitologiaLitologiafavorável Não-favorável Totais

favorável 52.27 (33.66)26.91

(45.52)79.18

não-favorável256.96

(275.56)391.19

(372.58)648.15

gam

aga

ma

totais 309.23 418.1 727.33

Os valores da interseção entre as classes (gama x litologia), mais o resultado dasoperações acima foram utilizados na estatística χ2 e no cálculo do coeficiente de

contingência, conforme demostrado pelas formulações a seguir:

=

−+

−+

−+

−=

−=

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

= =∑∑

2,2

22,22,2

1,2

21,21,2

2,1

22,12,1

1,1

21,11,1

2

1

2

1*,

2*,,2

log

)()()()()(T

TT

T

TT

T

TT

T

TT

T

TT

i j ji

jijiialitoxgamaχ

20,0758,372

)58,37219,391(56,257

)56,25796,256(52,45

)52,4591,26(66,33

)66,3327,52( 2222

=

−+

−+

−+

−=

164,007,2033,727

07,202

2

log =+

=+

=⋅⋅ χχ

TC ialitoxgama

Como mencionado anteriormente, as operações foram repetidas para as demaisevidências, num total de 10 comparações, considerando-se 5 evidências (gama-radiometria, litologia, estruturas circulares, lineamentos e contatos geológicos). As

tabelas de contingência dos cruzamentos encontram-se na Tabela II.2 (Anexo II) e osresultados de χ2 e Coeficiente de Contingência encontram-se na Tabela 4.15.

TABELA 4.15 – VALORES DE χχ 2 E C DAS EVIDÊNCIAS OBTIDOS PORCOMPARAÇÃO PAR A PAR

PI x PIPI x PI χχ 22 CC

Gama-radiometria x litologia 20.075 0.164Gama-radiometria x estruturas circulares 4.880 0.082Gama-radiometria x lineamentos 0.607 0.029Gama-radiometria x contatos geológicos 13.109 0.133Litologia x estruturas circulares 5.202 0.084Litologia x lineamentos 3.248 0.067Litologia x contatos geológicos 19.283 0.161Estruturas circulares x lineamentos 2.575 0.059Estruturas circulares x contato geológico 16.134 0.147Lineamentos x contatos geológicos 1.776 0.049

Os resultados dos coeficientes de contingência demostraram que as evidências violaramo princípio da independência condicional em grau aceitável (valores próximos à 0), nãosendo necessário nenhum ajuste das evidências. Para a integração final o primeiro passo

foi o cálculo da chance a priore ( )(DO ) das ocorrências minerais, que foi obtida a partirprobabilidade a priore ( )(DP ) conforme formulação:

01248,03.727

08.9)()()( ===

TN

DNDP

01264,0)01248,01(

01248,0))(1(

)()( =−

=−

=DP

DPDO

A próxima etapa foi o cálculo das razões de suficiência (LS) e necessidade (LN).

Novamente foi necessário fazer uma tabulação cruzada, porém desta vez, o cruzamentoenvolveu as 5 evidências binárias construídas com as ocorrências minerais. As matrizesde confusão (Anexo II - Tabelas II.3) forneceram os valores para o cálculo das LS e LN

(Tabela 4.16), dos quais foram extraídos os logaritmos naturais, W+ e W–

respectivamente. Os W + e W – foram, então, somados ao logaritmo natural da chance apriore segundo uma soma condicional controlada pela presença ou não das evidências.

TABELA 4.16 – VALORES DE LS E LN E W+ E W– DAS EVIDÊNCIASBINÁRIAS

Evidências bináriasEvidências binárias LS LN )(LSLogW =+ )(LNLogW =−

Gama-radiometria 5.394 0.494 1.685 -0.704Litologia 1.435 0.681 0.361 -0.384Estruturas circulares 2.416 0.646 0.882 -0.437

Lineamentos 1.162 0.902 0.150 -0.103Contatos foiaíto 1.895 0.226 0.639 -1.488

Como exemplificação do processo, considere um ponto da grade numérica, queencontra-se dentro dos padrões favoráveis anomalia gama-radiométrica e litologia e forados padrões favoráveis estruturas circulares, lineamentos e contatos dos foiaítos. A

presença ou ausência das evidências serviram de condicionantes espaciais na somacondicional dos W+ e W –, efetuada pelo Programa I.21 (Anexo I). A formulação abaixodemostra a operação realizada:

( )( ) =∩∩∩∩ foiaítocontlineamentocircularestialitogamaDOLn ..log|

( ) =+++++= −−−++ )()( ..log foiaítocontlineamentocircularestialitogama WWWWWDOLn

1246,2)1876,0()1034,0()4020,0(2540,16852,13708,4 −=−+−+−+++−=

A última etapa do processo foi o cálculo da probabilidade a posteriore que foi obtida apartir da chance a posteriore, conforme as formulações abaixo:

( ))|()|( BDOLneBDO =

( )( ) 1246,2..| −=∩∩∩∩ foiaítocontlineamentocircularestialoglitogamaDOLn

( ) 1246,2..| −=∩∩∩∩ efoiaítocontlineamentocircularestialoglitogamaDO

( ) 1195,0..| =∩∩∩∩ foiaítocontlineamentocircularestialoglitogamaDO

( )( )foiaítocontlineamentocircularestialitogamaDO

foiaítocontlineamentocircularestialitogamaDO

foiaítocontlineamentocircularestialitogamaDP

..log|1..log|

)..log|(

∩∩∩∩+∩∩∩∩

=∩∩∩∩

( )1195,01

1195,0..|+

=∩∩∩∩ foiaítocontlineamentocircularestialoglitogamaDP

( ) 1067,0..| =∩∩∩∩ foiaítocontlineamentocircularestialoglitogamaDP

O cenário resultante do modelamento bayesiano apresentou alguns aspectos positivos eoutros negativos quando comparados aos demais. Um dos aspectos negativos foi que osvalores de probabilidade a posteriore não apresentaram uma distribuição contínua, com

pontos de concentrações que dificultaram a divisão das classes em áreas semelhantes àsmesmas classes dos demais cenários (Figura 4.21). O outro aspecto foi a distribuiçãopouco coerente dos graus de confiança. O valor obtido para a classe “alto potencial”

(6,69) foi menor que o da classe “médio potencial (8,39), quando o esperado seria ocontrário.

A classe “alto potencial” encerrou 9 ocorrências minerais, numa área de 5,98 Km2

(0,82% do maciço alcalino) (Tabela 4.17). O depósito do Morro do Ferro foi mapeadopor esta classe (Figura 4.22), que obteve um de grau de confiança de 6,64.

A classe “médio potencial” obteve 18 coincidências com ocorrências mineraisconhecidas. A análise em conjunto das duas classes “alto” e “médio potencial” indicouque estas encerram 27 ocorrências minerais, em área de 27,54Km2, (3,78% do complexo

alcalino).

Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de potencialidade

0

400000

800000

1200000

1600000

2000000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4Valores dos pixels em probabilidade

Fre

qu

ênci

a ac

um

ula

da

Distribuição acumulada dos pixels

Nulo

BaixoMédio Alto

Fig. 4.21 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelomodelo Bayes.

TABELA 4.17 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO DE BAYES

FatiaFatia Área (KmÁrea (Km 22)) Área (%)Área (%) Prob. Prob. PosteriorePosteriore Grau de confiançaGrau de confiança U-ZrU-Zr U-MoU-Mo Th-TrTh-Tr

alta (0.344-0.341)alta (0.344-0.341) 5.98 0.82 0.0836 6.69 6 2 1

média(0.341-0.12)média(0.341-0.12) 21.56 2.96 0.1048 8.39 12 6 0

baixa (0.12-0.034)baixa (0.12-0.034) 64.61 8.88 0.0393 3.15 8 2 1nula (0.034-0.0)nula (0.034-0.0) 635.18 87.33 0.0060 0.48 (2.08) 9 1 0

TotalTotal 727.33 100.00 Prob. Prob. priorepriore 0.0125 35 11 2

A classe “nulo potencial”, com 635,18 Km2 de área (87,33% do maciço), apresentou umaprobabilidade de descoberta de depósitos 2,08 vezes menor em relação a probabilidade apriore e encerrou 10 das 48 ocorrências minerais conhecidas.

Fig. 4.22 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundoo método Bayesiano.

4.5 INFERÊNCIA POR REDES NEURAIS

Para a realização da análise espacial por redes neurais foram utilizados os planos deinformação, litologia fuzzy, anomalia radiométrica fuzzy, lineamentos fuzzy e estruturascirculares fuzzy, gerados para a inferência espacial fuzzy. O intuito foi definir uma rede

neural artificial que processasse os dados pontuais dos planos de informação(evidências), utilizando o resultado (membros fuzzy) da inferência fuzzy ponderadacomo padrão de saída (padrão desejado para onde os dados de entrada fossem

mapeados).

A realização da inferência espacial por redes neurais demandou a execução de diferentesetapas operacionais, bem como a definição de diversos parâmetros e funções, que

estabeleceram o comportamento da rede no processamento dos dados de entrada. Detodas as etapas, as mais complicadas talvez tenham sido as que envolveram a definiçãoda arquitetura da rede (números de elementos de processamento (EP), tipo de conexão

e número de camadas); o modelo de ativação; o algoritmo de aprendizado e seusrespectivos parâmetros.

A primeira etapa para a realização da inferência espacial foi o ajuste dos planos de

informação para um formato no qual o programa de simulação de rede neuralentendesse. A conversão de formato foi realizada através da função de exportação paraSNNS do pacote SPRING.

Com os dados convertidos, o próximo passo foi a separação dos dados em doisconjuntos: treinamento e testes. O primeiro foi utilizado para o treinamento da rede,enquanto os dados de teste foram utilizados para verificar sua performance sob

condições reais de utilização. A escolha dos conjuntos foi arbitrária, onde cada conjuntode dados definido por uma quadrícula foi escolhido baseado na diversidade dainformação das evidências (Figura 4.23).

A próxima etapa consistiu da definição da rede neural propriamente dita. Sendo assim,foram definidos: o paradigma neural, a arquitetura da rede, as funções de ativação eaprendizado e o modo de atualização das ativações. Embora existam metodologias

("dicas") na condução destas tarefas, as escolhas foram feitas de forma empírica. Valeressaltar que a definição da configuração de qualquer rede neural é ainda consideradauma arte que requer certa experiência dos projetistas (Carvalho, 1999).

Fig. 4.23 – Definição dos conjuntos de dados de treinamento e teste da rede sobre omapa Litológico.

A rede neural artificial escolhida foi a supervisionada, com fluxo da informação num

sentido unidirecional, ascendente (bottom-up), denominada na literatura comofeedforward. A direção da conexão mostra a direção de transferência da ativação. O EP apartir da qual a conexão se inicia é chamado de fonte, enquanto o EP, onde a conexão

termina, é chamado de alvo. Cada conexão tem um peso que lhe é atribuído. O efeito dasaída de uma unidade, na sua sucessora, é definido por este valor. No caso do peso sernegativo, a conexão será inibidora, resultando na diminuição da atividade da unidade

alvo. No caso inverso, positivo, este tem uma excitação, resultando no aumento daatividade.

A arquitetura da rede foi definida com 17 elementos de processamento divididos em 4

camadas: uma de entrada, duas intermediárias, e uma de saída (Figura 4.24). A camadade entrada contendo quatro EP’s foi responsável pelo recebimento dos sinais deentrada, que correspondem aos planos de informação (litologia fuzzy, anomalia

radiométrica fuzzy, lineamentos fuzzy e estruturas circulares fuzzy). Ou seja, os EP11,EP12, EP13, EP14 podem ser entendidos como vetores, jiw , onde cada localização dasgrades numéricas serviu de sinal de entrada processado pela rede neural artificial.

A segunda e terceira camadas contendo seis EP’s cada, corresponderam às camadasintermediárias, responsáveis por parte do processamento dos sinais de ativação; é onde,através de seus elementos e suas conexões, parte da informação é aprendida e

armazenada. A última, denominada de camada de saída, com um único EP, indica ograu de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos.

Fig. 4.24 – Arquitetura da rede neural artificial utilizada.

Os EP’s foram conectados em sentido ascendente, da entrada para a saída, num total de66 conexões. As conexões, que formam a memória distribuída do classificador,

ocorreram dos EP’s de uma camada com os EP’s da camada subsequente. Ou seja, os

elementos EP11, EP12, EP13, EP14 foram conectados aos elementos EP21, EP22, EP23, EP24 numtotal de 24 conexões, que por sua vez foram conectados aos EP31, EP32, EP33, EP34, numtotal de 36 conexões, e finalmente estes foram conectados ao EP41 (4 conexões).

Com o paradigma e a topologia da rede neural definidos, o próximo passo foi adefinição da função de ativação, a qual controlaria o comportamento dos sinais na etapaforward de processamento. A fase forward pode ser resumida da seguinte maneira:

• Sinais são apresentados à entrada;

• Cada sinal é multiplicado por um peso que indica a sua influência na saídado EP;

• Um nível de atividade é produzindo com a soma dos sinais ponderados;

• Se este nível de atividade exceder a um certo limite, a unidade produz umadeterminada resposta de saída.

Assim, uma nova atividade (ativação) em um EP é computada, considerando-se a antigaativação do EP, seu limiar de corte (bias) e as saídas dos EP’s antecessores, multiplicadaspelos respectivos pesos das suas conexões com o EP corrente.

A formulação pode ser expressa de modo geral como segue:

)),(),(()1( jjjactj tatnetfta θ=+ (4.1)

onde:

)(ta j - ativação do elemento j no passo t;)(tnet j - entrada da rede no elemento j no passo t;

jθ - limiar de corte (bias) do elemento j.

As entradas da rede )(tnet j foram computadas conforme formulação a seguir:

∑=i

iijj towtnet )()( (4.2)

onde:

jiw - peso da conexão do elemento i com o elemento j;

)(toi - saída do elemento i no passo t.

No presente modelamento foi utilizada a função default act_logistic do simuladorSNNS, a qual calcula a entrada da rede através da soma ponderada de todas as ativações.

O resultado foi posteriormente compactado com uma função logística, ou detransferência, )1(1)( x

act exf −+= . A função faz com que o valor de uma nova ativação

em um passo (t+1) recaia dentro da amplitude [0,1]. A formulação, mais detalhada, dafunção de ativação logística encontra-se a seguir:

))((1

1)1( ∑+=+

−−i jiij towj

eta

θ (4.3)

onde:)(ta j - ativação do elemento j no passo t)(toi - saída do elemento i no passo t;

j - índice para alguns dos elementos da rede;i - índice do elemento antecessor ao elemento j;

jiw - peso da conexão do elemento i com o elemento j;

jθ - limiar de corte (bias) do elemento j.

Sobre cada nova atividade foi aplicado uma função de saída, que possibilitou oprocessamento da ativação de todos os EP’s, gerando, assim, os sinais de saída. A função

de saída utilizada foi a identidade definida por:

)()( tato jj = (4.4)

onde:

)(ta j - ativação do elemento j no passo t;)(to j - saída do elemento j no passo t;

j – índice para todos os elementos de uma rede.

Para efetuar o cálculo do novo valor de ativação de um EP no passo (t +1), o simuladorSNNS, operando seqüencialmente, tem que visitar todos os EP’s. Esta ordem foidefinida no Módulo de Atualização do SNNS, o qual contem cinco modelos de

atualização. O modelo definido foi o Topológico, no qual o processador central(Kernell) organiza as visitações aos EP’s pela sua topologia. Essa ordem corresponde àpropagação natural de atividade da rede, da entrada para a saída.

Com a fase forward definida, a próxima fase foi a definição do algoritmo deaprendizado, responsável pelo ajuste dos pesos das conexões, para obter ocomportamento desejado do sistema. O algoritmo é responsável pela fase de propagação

backward de simulação da rede neural.

O procedimento de simulação total de uma rede neural artificial pode ser resumidocomo segue: Um padrão de entrada é apresentado para a rede. A entrada é então

propagada à frente (forward) até a ativação atingir a camada de saída. Isto constitui achamada fase de propagação forward (forward propagation phase). A saída é entãocomparada com o padrão de saída desejado. O erro, diferença jδ (delta) entre a saída

jo e a padrão de saída desejado jt de um EP alvo de saída j é então utilizado juntamentecom a saída io do EP fonte i para computar as mudanças necessárias da conexão ijw

(Equação 4.5). Para computar os deltas dos EP’s internos (camadas escondidas), para osquais não estão disponíveis os padrões de saída, são utilizados os deltas das camadasposteriores, que já foram computados. Deste modo, os erros (deltas) são

retropropagados (fase denominada backward propagation).

A regra backpropagation de atualização do peso, também chamada de “regra delta”, éescrita como segue:

ijij ow δη=∆ (4.5)

−

=∑k jkkjj

jjjjj escondidoEPumsejajEPocasownetf

saídadeEPumsejajEPocasootnetf

δδ

)())((

'

'

onde:

η - fator de treinamento eta (uma constante);

jδ - erro (diferença entre a saída real e a entrada de treinamento) da unidade j;

jt - padrão de saída do EP j;

io - saída do EP antecessor i;i - índice de um antecessor de um EP j corrente com conexão ijw de i para j;j - índice de um EP corrente;

k - índice de um sucessor ao EP corrente j com conexão jkw de j para k.

Na presente simulação artificial foi utilizado o algoritmo de aprendizado RPROP(RR elisient Backproppropagation), que é uma variação do algoritmo Backpropagation. O

RPROP é um esquema de aprendizado supervisionado em grupo (batch), o que significaque a atualização dos pesos e as adaptações são executadas depois que o gradiente detodos os padrões for computado. A função RPROP conta com um termo de decaimento

do peso, α, com o qual pode-se reduzir tanto o erro da saída como a dimensão do peso,o que resulta numa melhora da generalização (aprendizado). A função erro é expressapor:

∑ ∑−+−= 210)( jiii wotE α (4.6)

O princípio básico da função RPROP é eliminar a influência destrutiva do tamanho da

derivada parcial do peso de um determinado ciclo. Como conseqüência, apenas o sinalda derivação é considerado para indicar a “direção” da atualização do peso. O tamanhoda mudança do peso é determinado exclusivamente por um peso específico, também

chamado, “valor de atualização” )( tji∆ :

>∂∂

∆+

>∂∂∆−

=∆

casosoutros,0

0,

0,

)()(

)()(

)(t

ji

tji

t

ji

tji

tji w

Ese

wE

se

w (4.7)

onde ji

t

wE

∂∂ )(

denota a informação dos gradientes somados considerando-se todos os

padrões de um conjunto (batch learning).

O segundo passo do aprendizado RPROP é determinar o novo valor de atualização)(tji∆ . Isto é baseado em um processo adaptativo de sinal dependente.

+−

−

−−−

−−+

<<<

∆

<∂∂∗

∂∂∆∗

>∂∂∗

∂∂∆∗

=∆

ç1ç0

casosoutros,

0,ç

0,ç

)1(

)()1()1(

)()1()1(

)(

onde

w

E

w

Ese

wE

wE

se

tji

t

ji

t

ji

tji

t

ji

t

ji

tji

tji

(4.8)

A regra adaptativa funciona do seguinte modo: toda vez que a derivada parcial do pesocorrespondente jiw muda seu sinal, o que indica que a última atualização foi muito

grande e o algoritmo pulou sobre um mínimo local, o valor de atualização )(tji∆ édecrescido pelo fator −η . No caso da derivada manter seu sinal, o valor de atualização élevemente aumentado de modo à acelerar convergências em regiões aproximadamente

planas. Os valores dos fatores de aumento e diminuição são: 5.0=−η ; 2.1=+η .

ParâmetrosParâmetros

O algoritmo RPROP assume três parâmetros: o valor de atualização inicial 0∆ , um

limite máximo de atualização, max∆ , e o expoente de decaimento do peso α, os quaisdevem ser fixados nos campos da função de aprendizado definidos no painel decontrole. A função de cada parâmetro e os respectivos valores adotados estão descritos a

seguir:

O valor inicial, 0∆ , adotado foi 0.2. O segundo parâmetro, max∆ , pretende prevenir opeso de tornar-se muito grande em um único passo, o valor adotado foi 50.0. O último

parâmetro, termo de decaimento (α), visa diminuir o valor do peso, o que resultarianuma melhor generalização. Seu valor foi 4.0.

Com os dados subdivididos (conjuntos de treinamento e teste), e a rede devidamenteconfigurada (arquitetura, paradigma da rede, funções de ativação e aprendizado) deu-seinício à fase de treinamento da rede neural. Esta corresponde à fase de ajuste dos pesos,

treinando a rede a convergir os sinais de entrada para o padrão de saída desejado.

Os dados de treinamento foram apresentados à rede utilizando-se diferentes números depassos. Ao término de cada processo de treinamento foram apresentados à rede os dados

de teste para aferir seu poder de generalização. O objetivo foi determinar o ponto deerro mínimo do conjunto de teste. Neste ponto a rede generaliza melhor, evitando assimo overtraining. Esse pode diminuir a performance de generalização, apesar do erro dos

dados de treinamento continuarem ficando menores. O número de passos que forneceua melhor performance foi 800.

Finalmente, com a rede treinada e testada, a última etapa foi a apresentação dos dados

completos. O resultado foi salvo e convertido novamente para o formato SPRING. Noambiente SPRING foi efetuado o fatiamento dos dados em 4 classes diferentes depotencialidade à ocorrência de minerais radioativos.

O cenário de favorabilidade gerado pela inferência por Redes Neurais Artificiaisapresentou resultados próximos àqueles obtidos pela técnica Fuzzy Ponderado. Asdiferentes faixas de potencialidade apresentaram coerência na distribuição relativa dos

valores dos graus de confiança, que apresentaram um padrão decrescente da classe “altopotencial” para a de potencial nulo. A distribuição dos valores numéricos foi uniformenão apresentando agrupamentos que pudessem representar problemas no fatiamento

(Figura 4.25).

A classe “alto potencial”, com uma área de 6,65 Km2 (menos de 1% do maciço alcalino),obteve o terceiro maior valor de grau de confiança (12,51) dentre todas as classes de alto

potencial dos demais modelamentos e uma coincidência com 14 ocorrências minerais,incluindo entre elas os depósitos do Morro do Ferro e Campo Agostinho e a MinaUsamu Utsumi (Tabela 4.18).As classes “médio” e “alto” potencial encerram juntas 25

mineralizações, sendo 9 das 11 mineralizações de U-Mo e as duas de Th-Tr em áreas quetotalizam 28,52 Km2, ou 3,92% do total do maciço alcalino (Figura 4.26). As classesbaixo, médio e alto potencial, juntas compreenderam uma área de 96,04 Km2, o que

eqüivale a 13,2% do complexo alcalino e obtiveram uma coincidência com 38 dos 48indícios e mineralizações conhecidos. O grau de confiança da classe “nula” indica quepesquisas realizadas nessas áreas apresentariam uma possibilidade de sucesso 2,22 vezes

menor do que considerando todo o complexo alcalino. A classe “nula” compreendeuuma área de 631,29 Km2 , a qual encerrou 10 dos indícios e mineralizações conhecidos.

Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de potencialidade

0

400000

800000

1200000

1600000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Valores dos pixels

Fre

qu

ênci

a ac

um

ula

da

Distribuição acumulada dos pixels

Nulo

BaixoMédio

Alto

Fig. 4.25 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelomodelo Redes Neurais Artificiais.

TABELA 4.18 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO REDESNEURAIS ARTIFICIAIS

Fatia Área(Km2)

Área(%)

Prob.Posteriore

Grau deconfiança

U-Zr

U-Mo

Th-Tr

alta (0.95-0.76) 6.65 0.91 0.1564 12.51 7 6 1

média (0.76-0.65) 21.87 3.01 0.0681 5.45 7 3 1

baixa (0.65-0.37) 67.52 9.28 0.0444 3.56 12 1 0

nula (0.37-0.0) 631.29 86.80 0.0056 0.45 (2.22) 9 1 0

Total 727.33 100.00 Prob. priore 0.0125 35 11 2

Fig. 4.26 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundoinferência por Redes Neurais Artificiais.

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES E DISCUSSÕES

Técnicas de análise e integração multi-critérios de dados espaciais aplicadas no

complexo alcalino de Poços de Caldas mostraram ser ferramentas poderosas emmodelamentos aplicados em pesquisa mineral, na predição das áreas favoráveis àocorrência de depósitos minerais. Todavia, o sucesso de tal abordagem depende

diretamente do grau de conhecimento disponível sobre a geologia da região de estudo, oqual permitirá a definição de parâmetros e relações necessários à definição do modeloprospectivo a ser adotado.

A concepção do modelo prospectivo normalmente é a etapa mais difícil do trabalho,onde a definição das evidências e a importância relativa entre elas será de sumaimportância para a boa eficiência do modelo adotado. Assim, a elaboração do modelo é

fortemente depende do conhecimento que o especialista tem da geologia da área deestudo, incluindo “modelos de depósitos”, além do domínio das técnicas maisadequadas para a integração dos dados.

A utilização da probabilidade condicional (Grau de Confiança) na avaliação quantitativados cenários mostrou-se bastante interessante pois permitiu medir o poder explicativodos cenários de favorabilidade às ocorrências minerais. A utilização desse parâmetro em

conjunto com a inspeção visual proporcionou julgamentos mais “precisos”.

A Tabela 5.1 apresenta um resumo sobre o desempenho dos 8 modelos de análise multi-critério usados no presente estudo. Ela indica a soma das áreas (Km2 e porcentagem

(%)) e ocorrências minerais radioativas incidentes, nas classes “alto” e “médio”potencial, além do grau de confiança da classe “alto” potencial e o padrão de saída dosdados.

O modelamento Booleano é de fácil implementação, sendo indicado para trabalhos deinferência com dados simplificados em formato temático. Entretanto, a generalizaçãodos dados num estágio inicial da inferência resultou em desempenho regular, sendo o

cenário de potencialidade gerado o segundo pior dentre todos, em termos dos aspectosanalisados. A rigidez do produto final foi outra característica não favorável, nãopermitindo variações na graduação dos níveis de prioridade, que em processos de

tomada de decisão pode implicar em erros de julgamento. Embora seu desempenhotenha sido moderado, a classe “favorável” encerrou 24 das 48 ocorrências minerais, amesma quantidade obtida pelas áreas das classes “”alto” e “médio” potencial do modelo

Média Ponderada.

TABELA 5.1 – SUMÁRIO DO DESEMPENHO DE CADA MODELO

ÁreaÁreaMétodosMétodos ClasseClasse

Km Km 22 %%

Grau deGrau deconfiançaconfiança

(Classe “alta”)(Classe “alta”)

OcorrênciasOcorrênciasMineraisMinerais

(48 no total)(48 no total)

Padrão de saídaPadrão de saídados dadosdos dados

BooleanoBooleano Favorável 32.40 4.45 5.78 24 ruim

Média PonderadaMédia Ponderada Alta + Média 30.64 4.21 12.60 24 regular

FuzzyFuzzy Mín-MáximoMín-Máximo Alta + Média 37.36 5.14 5.44 28 regular

FuzzyFuzzy Média Média Alta + Média 30.93 4.25 7.52 26 bom

FuzzyFuzzy Ponderado Ponderado Alta + Média 30.43 4.18 12.90 27 bom

FuzzyFuzzy Gama Gama Alta + Média 29.06 3.99 6.92 17 ruim

BayesBayes Alta + Média 27.54 3.78 6.69 27 regular

Redes NeuraisRedes Neurais Alta + Média 28,52 3.92 12.51 25 bom

Os resultados do modelamento baseado em Média Ponderada possibilitaram uma maior

flexibilidade na manipulação dos dados em relação ao método Booleano, o que implicounuma melhora no processo de inferência. A ponderação dos dados temáticos permitiuuma graduação da importância relativa das evidências, num acréscimo de informação e,

consequentemente, numa melhora no modelamento dos dados. Todavia, o caráterdiscreto dos valores não foi totalmente eliminado, o que impossibilitou a melhora damobilidade nos níveis de tomada de decisão (fatiamento). O desempenho do cenário

gerado foi muito bom, o grau de confiança (12,60) foi o segundo melhor entre as classe“alto” potencial dos demais cenários. Esse cenário e o do Fuzzy Ponderado foram osúnicos, onde os três principais depósitos. (Mina Usamu Utsumi; Campo Agostinho; e

Morro do Ferro) foram mapeados pela classe “alto” potencial.

A teoria da lógica Fuzzy foi a que permitiu o maior refinamento no modelamento dosdados, permitindo a representação da variação espacial dos atributos em superfícies

contínuas. Entretanto, essas características nem sempre levaram a resultados maisadequados. As funções membros fuzzy possibilitaram a incorporação do conhecimentode forma bastante realista, resultando em cenários mais coerentes e menos sujeitos a

erros. A abordagem da importação semântica (IS) permitiu a incorporação sobre anatureza imprecisa de contatos litológicos, o que representou uma melhoria na naturezada informação. Outra vantagem da modelagem fuzzy é a maior quantidade de

operadores o que representa maior flexibilidade na combinação das evidências.

Os modelos Fuzzy Mínimo-Máximo e Fuzzy Média geraram cenários com desempenhosrazoáveis em comparações aos demais. O principal problema nos dois modelos foi os

baixos valores de grau de confiança. O moderado desempenho destes modelos está

associado diretamente à simplicidade dos operadores, que não permitem a graduaçãodas evidências.

O modelo Fuzzy Mínimo-Máximo apresentou problemas também no padrão de saída

dos dados, com pontos de concentração que dificultaram o fatiamento. O resultadopositivo foi a alta incidência de minerais na classe “alto” potencial, 18 no total. Casoconsidere-se as classes “alto” e “médio” potencial, o número salta para 28, também a

maior incidência entre os demais cenários.

Os cenários dos modelos Fuzzy Médio, Fuzzy Ponderado e Redes Neurais apresentaramos padrões mais uniformes de distribuição dos valores de saída. Isto permitiu maior

flexibilidade nos limiares de corte das classes de potencialidade (tomada de decisão).

O modelo Fuzzy Ponderado foi o que obteve o melhor desempenho nos critériosanalisados. A classe “alto” potencial obteve o maior grau de confiança (12,90) e em

conjunto com a classe “médio” potencial, encerrou 27 ocorrências minerais, a segundamaior coincidência entre os demais cenários. O responsável direto pelo seu sucesso,além da lógica Fuzzy, foi a técnica AHP que permitiu, de modo eficaz, a hierarquização

das evidências.

O cenário gerado pelo modelo Fuzzy Gama foi o que apresentou desempenho menosexpressivo dentre todos os modelamentos. A classe “alto” e “médio” potencial

encerraram o menor número de ocorrências minerais, 17 no total. E o padrão de saídados dados foi um dos menos uniformes, apresentando alta concentração em valoresbaixos. Talvez o principal responsável pelo baixo desempenho, tenha sido o segundo

membro do operador (produto algébrico fuzzy), visto que o produto de valores menoresque “1” tende a diminuir consideravelmente os valores numéricos. Optou-se por umalto valor do expoente gama (γ =0.85), numa tentativa de minimizar a influência do

produto algébrico fuzzy, todavia aparentemente, não houve efeito prático.

Embora nem todos os cenários dos modelamentos Fuzzy tenham tido desempenhosatisfatório, pelas características discutidas acima, na média, pode-se afirmar que o

teoria da lógica Fuzzy é altamente indicada para estudos de fenômenos naturais.

O método Bayesiano constituiu uma abordagem muito interessante ao processo deinferência espacial. A possibilidade do emprego de parâmetros estatísticos, na definição

dos ponderadores, é altamente indicada para situações onde torna-se difícil hierarquizaras evidências. Nesses casos o modelo pode servir de guia na definição dos pesos. Oestudo do Contraste, para definição do limiar de corte das evidências, também foi

bastante interessante pois possibilitou correlacionar mais precisamente as evidênciascom as verdades de campo. Isso fica claro quando comparamos seus resultados com osdo modelo Booleano. Uma área menor ( 254,27 KmÁreabayes = ) encerrou 27 ocorrências

contra 24 do modelo Booleano numa área maior ( 24,32 KmÁreabooleano = ).

O ponto de destaque desse cenário foi a classe “médio” potencial, que obteve o melhorgrau de confiança (8,39) em comparação com as demais classes de mesmapotencialidade. As classes “alto” e “médio potencial” encerraram 27 ocorrências

minerais, a segunda melhor incidência entre os demais cenários.

Apesar dessas características, o cenário gerado pelo método Bayesiano apresentoudesempenho geral mediano, comparado aos demais. Isso pode estar ligado ao “corte”

rígido das evidências na etapa inicial do processo de inferência. Os cortes significaramsimplificação dos dados e consequentemente redução de informação. Outracaracterística desse modelamento é a necessidade da existência de verdades de campo

(ocorrências minerais) para a realização da tabulação cruzada com as evidências,possibilitando o cálculo de parâmetros de ponderação.

A aplicação das técnicas de Redes Neurais mostrou-se eficiente. O cenário gerado

apresentou o segundo melhor desempenho geral, perdendo apenas para o FuzzyPonderado. A classe “alto” potencial encerrou o segundo maior número de ocorrênciasminerais (14) e obteve o terceiro maior grau de confiança (12,51). Paradoxalmente, o

ponto negativo do modelo é também uma de suas maiores vantagens, a grandequantidade de parâmetros e variáveis que podem ser utilizados, os quais, se nãomanejados adequadamente, podem alterar consideravelmente o desempenho do

modelo. Entretanto, ao mesmo tempo em que isto resulta em dificuldades, permitetambém simulações muito mais próximas da realidade.

Como sugestão para melhoria em futuros trabalhos de inferência espacial, sugere-se o

incremento de mapas de incerteza, os quais poderiam indicar áreas problemáticas noscenários. Essas regiões poderiam ser eliminadas, ou melhor investigadas em campo paraa melhoria do modelo. Adicionalmente, é recomendável o estudo mais aprofundado de

técnicas de fatiamento (migração do ambiente numérico para o ambiente rígido), natentativa de definir classes temáticas mais coerentes em relação ao agrupamento dosvalores numéricos de saída. E, finalmente, um estudo mais aprofundado de outras

arquiteturas e paradigmas de aprendizado para redes neurais artificiais, como porexemplo, o aprendizado não-supervisionado, que elimina a necessidade de um padrãode saída para o aprendizado da rede.

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APÊNDICE I – PROGRAMAS EM LEGAL

Programa I.1 – Programa de reclassificação das unidades litológicas emclasses favorável e não-favorável.

{//declaraçãoTematico lito, favo ("Litologia");Tabela tabfav (Reclassificacao);

//tabelatabfav = Novo (CategoriaIni = "Litologia" , CategoriaFim = "Litologia", "embasamento" : "nao-favoravel", "arenitos" : "nao-favoravel", "fonolitos" : "nao-favoravel", "tinguaitos" : "nao-favoravel", "foiaitos" : "favoravel", "R_potassicas" : "favoravel", "lujaritos/chibin" : "favoravel", "mat.vulcanico" : "favoravel" );

//instanciaçãolito = Recupere (Nome = "Litologia");favo = Novo (Nome = "Litologia favorável: contrast", ResX = 25, ResY =25, Escala = 50000);

//operaçãofavo = Reclassifique (lito, tabfav);}

Programa I.2 - Programa de reclassificação das unidades de intensidaderadioativa em classes favorável e não-favorável.

{//declaraçãoTematico favo , gama ("Gama");Tabela tabfav (Reclassificacao);

//tabelatabfav = Novo (CategoriaIni = "Gama" , CategoriaFim = "Gama", "background < 1.3" : "nao-favoravel", "1.3 <x< 1.8" : "nao-favoravel",, "1.8 <x< 2.5" : "favoravel", "2.5 <x< 3.5" : "favoravel", "x>3.5" : "favoravel");

//instanciaçãogama = Recupere (Nome = "Gama");favo = Novo (Nome = "Gama favorável", ResX = 25, ResY = 25, Escala =50000);//operaçãofavo = Reclassifique (gama, tabfav);}

Programa I.3 – Programa de integração das evidências através de operadoreslógicos booleanos

{//declaraçãoTematico lito ("Litologia"), cont ("Contato-geológico"), circ("Estruturas-Circulares"), line ("Lineamentos"), gama ("Gama"), boo ("Integração - Resultados");

//Instanciaçãolito = Recupere (Nome = "Litologia-favorável");cont = Recupere (Nome = "Buffer: 100m");circ = Recupere (Nome = "Buffer: 350m");line = Recupere (Nome = "Buffer: 250m");gama = Recupere (Nome = "Gama-favorável");boo = Novo (Nome = "Booleano", ResX = 25, ResY = 25, Escala = 50000);

//Operaçãoboo = (((lito.Classe == "favoravel" || cont.Classe == "favoravel") &&(circ.Classe == "favoravel" || line.Classe == "favoravel") && gama.Classe == "favoravel") ?Classe ("favoravel") : Classe("nao-favoravel"));}

Programa I.4 – Programa para ponderação das classes litológicas

{//declaraçãoTematico lito ("Litologia");Numerico pond ("Média Ponderada");Tabela tablito (Ponderacao);

//tabelatablito = Novo (CategoriaIni = "Litologia","arenitos" , "embasamento", "fonolitos", "tinguaitos" : 0,"mat.vulcanico" : 20,"foiaitos" : 30,"R_potassicas", "lujaritos/chibin" : 60);

//instanciaçãolito = Recupere (Nome = "Litologia");pond = Novo (Nome = "Litologia ponderada", ResX = 25 , ResY = 25 ,Escala =50000, Min = 0, Max = 100);

//operaçãopond = Pondere (lito , tablito);}

Programa I.5 – Programa para ponderação das classes de intensidade gama-radiométrica

{//declaraçãoTematico gama ("Gama");Numerico numg ("Média Ponderada ");Tabela tabgama (Ponderacao);//tabelatabgama = Novo (CategoriaIni = "Gama","background" : 0.0,"1.3-1.8" : 10,"1.8-2.5" : 60,"2.5-3.5" : 70,">3.5" : 80);gama = Recupere (Nome = "Gama");numg = Novo (Nome = "Gama ponderado", ResX = 25 , ResY = 25 , Escala= 50000, Min = 0, Max = 100);

//operaçãonumg = Pondere (gama , tabgama);}

Programa I.6 – Programa para união e ponderação dos “buffers” doslineamentos e estruturas circulares.

{//declaraçãoTematico line, line-circ ("Lineamentos"), circ ("Estruturas-Circulares"); Numerico line-circ-pond, ("Média Ponderada");Tabela tabline-circ (Ponderacao);

//instanciaçãoline = Recupere (Nome = "Buffer: 250m");circ = Recupere (Nome = "Buffer: 350m");line-circ = Novo (Nome = "Lineam-estr.circular", ResX = 25,ResY = 25,Escala =50000);line-circ-pond = Novo (Nome = "Lineam-estr.circular ponderada", ResX =25,ResY = 25 ,Escala =50000, Min = 0, Max =100);

//tabelastabline-circ = Novo (CategoriaIni = "Lineamentos ","nao-favoravel" : 0,"favoravel" : 20);

//operaçãoline-circ = ((line.Classe == "favoravel" || circ.Classe =="favoravel") ? Classe ("favoravel") : Classe ("nao-favoravel"));

line-circ-pond = Pondere (line-circ , tabline);}

Programa I.7 – Programa de integração dos planos de informação ponderadosatravés de uma soma ponderada.

{//declaraçãoNumerico lito, gama, line-circ, result ("Média Ponderada");

//instanciaçãolito = Recupere (Nome = "Litologia ponderada");gama = Recupere (Nome = "Gama ponderada");line-circ = Recupere (Nome = "Lineam-estr.circular ponderada");result = Novo (Nome = "Integração-M.ponderada", ResX = 25 , ResY = 25, Escala = 50000, Min = 0, Max = 100);//operaçãoresult =((gama*80) + (lito*60) + (line-circ*20))/160;}

Programa I.8 – Programa de ponderação das classes de anomalia gama-radiometria para obtenção dos membros fuzzy .

{//declaraçãoTematico gama ("Gama");Numerico numg ("numfuzzy");Tabela tabgama (Ponderacao);

//tabelatabgama = Novo (CategoriaIni = "Gama","background" : 0.0,"1.3-1.8" : 0.125,"1.8-2.5" : 0.750,"2.5-3.5" : 0.875,"> 3.5" : 1.000);

//instanciaçãogama = Recupere (Nome = "Gama");numg = Novo (Nome = "Gama-fuzzy", ResX = 25 , ResY = 25 , Escala =50000, Min = 0, Max = 1);

//operaçãonumg = Pondere (gama , tabgama);}

Programa I.9 – Programa para construção dos membros fuzzy da rochapotássica

{// programa para espacialização continua e rígida do contato da R.potássica// declaraçãoTematico masC ("Contato-geológico"), lito ("Litologia") ;Numerico dist ("Mapa de distância") , result ("numfuzzy");

// instanciaçãomasC = Recupere (Nome = "Máscara:corpos pequenos");lito = Recupere (Nome = "Litologia-R.potássica");dist = Recupere (Nome = "contato-R.potássica");result = Novo (Nome = "R-potássica: fuzzy", ResX = 25, ResY = 25,Escala = 50000 , Min = 0 , Max = 1);

// operaçãoresult = ((masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe =="R_potassicas") ? Digital (1) : (masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "nao-favoravel") ? Digital (0) : (lito.Classe == "R_potassicas" && dist >= 100) ?Digital (1) : (dist <100 && lito.Classe == "R_potassicas") ?(dist*0.005)+0.5 : (dist < 100 && lito.Classe == "nao-favoravel") ? (dist*-0.005)+0.5 : Digital (0)); }

Programa I.10 – Programa para construção dos membros fuzzy doLujarito/chibinito

{// programa para espacialização continua e rígido do contato dolujarito/chibinito// declaraçãoTematico masC ("Contato-geológico"), lito ("Litologia") ;Numerico dist ("Mapa de distância") , result ("numfuzzy");

// instanciaçãomasC = Recupere (Nome = "Máscara:corpos pequenos");lito = Recupere (Nome = "Litologia - lujarito/chibinito");dist = Recupere (Nome = "Cont.geológico - lujarito/chibin");result = Novo (Nome = "Lujarito/chibinito: fuzzy1", ResX = 25 , ResY= 25 , Escala = 50000 , Min = 0 , Max = 1);

// operaçãoresult = ((masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe =="lujaritos/chibin") ? Digital (1) : (masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "nao-favoravel") ? Digital (0) : (lito.Classe == "lujaritos/chibin" && dist >= 100) ?Digital (1) : (dist < 100 && lito.Classe == "lujaritos/chibin") ?(dist*0.005)+0.5 : (dist < 100 && lito.Classe == "nao-favoravel") ? (dist*-0.005)+0.5 : Digital (0)); }

Programa I.11 – Programa para construção dos membros fuzzy do foiaíto

{// programa para espacialização continua e rígida dos contatos dofoiaíto// declaraçãoTematico masC ("Contato-geológico"), lito ("Litologia") ;Numerico dist ("Mapa de distância") , result ("numfuzzy");

// instanciaçãomasC = Recupere (Nome = "Máscara:corpos pequenos");lito = Recupere (Nome = "Litologia-Foiaíto");dist = Recupere (Nome = "Contato - Foiaíto");result = Novo (Nome = "Foiaíto-fuzzy", ResX = 25 , ResY = 25 ,Escala = 50000 , Min = 0 , Max = 1);

// operaçãoresult = ((masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "foiaitos") ?Digital (1) :(masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "nao-favoravel") ?Digital (0) : (lito.Classe == "foiaitos" && dist >= 100) ? Digital (1) :(dist < 100 && lito.Classe == "foiaitos") ? (dist*0.005)+0.5 :(dist < 100 && lito.Classe == "nao-favoravel") ? (dist* -0.005)+0.5 :Digital (0)); }

Programa I.12 – Programa para construção dos membros fuzzy do materialvulcânico

{// programa para espacialização continua e rígido do contato dotinguaíto// declaração

Tematico masC ("Contato-geológico"), lito ("Litologia") ;Numerico dist ("Mapa de distância") , result ("numfuzzy");

// instanciaçãomasC = Recupere (Nome = "Máscara:corpos pequenos");lito = Recupere (Nome = "Litologia- Mat. Vulcânico");dist = Recupere (Nome = "Contato - Mat. vulcânico");result = Novo (Nome = "Mat. Vulcânico: fuzzy", ResX = 25 , ResY = 25, Escala = 50000 , Min = 0 , Max = 1);

// operaçãoresult = ((masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe =="mat.vulcanico") ? Digital (1) :(masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "nao-favoravel") ?Digital (0) : (lito.Classe == "mat.vulcanico" && dist >= 100) ? Digital (1) :(dist < 100 && lito.Classe == "mat.vulcanico") ? (dist*0.005)+0.5 :(dist < 100 && lito.Classe == "nao-favoravel") ? (dist* -0.005)+0.5 :Digital (0)); }

Programa I.13 – Programa para integração dos PI das unidades litológicasfuzzy através de uma soma ponderada.

{// programa para integração das litologias fuzzy// declaraçãoNumerico foia , luja , matvul, pota, result ("numfuzzy");

// instanciaçãofoia = Recupere (Nome = "Foiaíto: fuzzy");matvul = Recupere (Nome = "Mat. Vulcânico: fuzzy");pota = Recupere (Nome = "R-potássica: fuzzy");luja = Recupere (Nome = "Lujarito/chibinito: fuzzy");result = Novo (Nome = "Litologia-fuzzy", ResX = 25 , ResY = 25 ,Escala = 50000 , Min = 0 , Max =2);

// Operaçãoresult = (matvul*0.3333) + (foia*0.5) + pota + luja ;

Programa I.14 – Programa de mapeamento dos membros fuzzy das estruturascirculares.

{ //Considerando um ponto cruzamento de350m//declaraçãoNumerico est ("Mapa de distância") , fuzzy ("Evidências Fuzzy");

//instanciaçãoest = Recupere (Nome = "Estrutura circular");fuzzy = Novo (Nome = "Estr.circular-fuzzy-pc-350m" , ResX = 25, ResY =25, Escala = 50000, Min = 0, Max = 1);

//operaçãofuzzy = ( est <= 700 ? 1 /( 1 +((1/122500)*(est^2) ) ) : Digital (0));}

Programa I.15 – Programa de mapeamento dos membros fuzzy doslineamentos

{//Considerando um buffer de interesse de 250m//declaraçãoNumerico line ("Mapa de distância") , fuzzy ("numfuzzy");

//instanciaçãoline = Recupere (Nome = "Lineamentos");fuzzy = Novo (Nome = "Lineamentos-fuzzy" , ResX = 25, ResY = 25,Escala = 50000, Min = 0, Max = 1);

//operaçãofuzzy = ( line <= 250 ? 1 /( 1 +(0.000064*(line^2) ) ) : Digital (0));}

Programa I.16 – Programa de mapeamento dos membros fuzzy dos contatosdos corpos do foiaíto.

{//Considerando um buffer de interesse de 100m//declaraçãoNumerico cont ("Mapa de distância") , fuzzy ("numfuzzy");

//instanciaçãocont = Recupere (Nome = "Contato - Foiaíto");fuzzy = Novo (Nome = "Contato-foiaíto-fuzzy" , ResX = 25, ResY = 25,Escala = 50000, Min = 0, Max = 1);

//operaçãofuzzy = ( cont <= 100 ? 1 /( 1 +(0.0004*(cont^2) ) ) : Digital (0));}

Programa I.17 – Programa de integração dos PI fuzzy (evidências) segundooperadores fuzzy mínimo-máximo.

{//declaraçãoNumerico gama, lito, circ, cont, line, maxi1, maxi2 ("numfuzzy");Numerico minfu ("Fuzzy-resultados");

//instanciaçãogama = Recupere (Nome = "Gama-fuzzy");line = Recupere (Nome = "Lineamentos-fuzzy");cont = Recupere (Nome = "Contato-foiaíto-fuzzy");lito = Recupere (Nome = "Litologia-fuzzy");circ = Recupere (Nome = " Estr-circular-500-300-fuzzy");minfu = Novo (Nome = "Fuzzy:min-max", ResX = 250, ResY = 250,Escala = 50000, Min= 0, Max = 1 );= Novo (Nome = "f11", ResX = 25, ResY = 25, Escala = 50000, Min= 0, Max = 1 ); maxi2 = Novo (Nome = "f12", ResX = 25, ResY = 25, Escala = 50000, Min= 0, Max = 1 );

//operaçãomaxi1 = max (lito, cont);maxi2 = max (circ, line);minfu = min (gama, min (maxi1 , maxi2));}

Programa I.18 – Programa de integração dos PI fuzzy (evidências) segundooperador fuzzy média.

{//declaraçãoNumerico gama, lito, circ, cont, line ("numfuzzy");Numerico minfu ("Fuzzy-resultados");

//instanciaçãogama = Recupere (Nome = "Gama-fuzzy");line = Recupere (Nome = "Lineamentos-fuzzy");cont = Recupere (Nome = "Contato-foiaíto-fuzzy");lito = Recupere (Nome = "Litologia-fuzzy");circ = Recupere (Nome = " Estr-circular-500-300-fuzzy");minfu = Novo (Nome = "Fuzzy-media", ResX = 25, ResY = 25, Escala =50000, Min= 0, Max = 1 );

//operaçãominfu = (gama +lito +circ + cont + line)/5;}

Programa I.19 – Programa de integração dos PI fuzzy (evidências) segundooperador fuzzy ponderado.

{//declaraçãoNumerico gama, lito, circ, cont, line ("numfuzzy");Numerico minfu ("Fuzzy-resultados");

//instanciaçãogama = Recupere (Nome = "Gama-fuzzy");line = Recupere (Nome = "Lineamentos-fuzzy");cont = Recupere (Nome = "Contato-foiaíto-fuzzy");lito = Recupere (Nome = "Litologia-fuzzy");circ = Recupere (Nome = " Estr-circular-500-300-fuzzy");minfu = Novo (Nome = "Fuzzy-ponderado", ResX = 25, ResY = 25,Escala = 50000, Min= 0, Max = 1 );

//operaçãominfu = (gama*0.514) +(lito*0.258) +(circ*0.1223) + (cont*0.0529) +(line*0.0529);}

Programa I.20 – Programa de integração dos PI fuzzy (evidências) segundooperador fuzzy gama.

{//declaraçãoNumerico gama, lito, circ, cont, line, sum, pro ("numfuzzy");Numerico result ("Fuzzy-resultados");

//instanciaçãogama = Recupere (Nome = "Gama-fuzzy");line = Recupere (Nome = "Lineamentos-fuzzy");cont = Recupere (Nome = "Contato-foiaíto-fuzzy");lito = Recupere (Nome = "Litologia-fuzzy");circ = Recupere (Nome = " Estr-circular-500-300-fuzzy");sum = Novo (Nome = "sumfuzzy", ResX = 25, ResY = 25, Escala = 50000, Min = 0, Max = 1);pro = Novo (Nome = "profuzzy", ResX = 25, ResY = 25, Escala = 50000, Min = 0, Max =1 );result = Novo (Nome = "Fuzzy-Gama (0.85)", ResX = 25, ResY = 25,Escala = 50000, Min = 0, Max = 1);//operação//soma algébrica fuzzysum = 1-((1-lito)*(1-gama)*(1-circ)*(1-line)*(1-cont));

//produto algébrico fuzzypro = lito*gama*circ*line*cont;

//valor do gamag = 0.85;

//operador gamaresult = (sum^g)*(pro^(1-g));}

Programa I.21 – Programa para cálculo da chance a posteriore

{//declaraçãoTematico gama ("Gama"), line ("Lineamentos"), cont ("Contato-geológico"),circ ("Estruturas-Circulares"), lito ("Litologia");Numerico logO , prob ("Bayes");

//atribuição dos valores dos W+ e W-Wpri = -4.36964279;WposGama = 1.685188964; WnegGama = -0.704475879;WposLine = 0.149913968; WnegLine = -0.103384395;WposCont = 0.798634581; WnegCont = -0.187620352;WposCirc =0.898897373; WnegCirc = -0.401959283;WposLito = 1.253996113; WnegLito = -0.454511882;

//Instanciaçãogama = Recupere (Nome = "Gama-favorável");line = Recupere (Nome = "Buffer-250m");cont = Recupere (Nome = "Buffer: 500m");circ = Recupere (Nome = "Buffer: int-500m-ext-300m");lito = Recupere (Nome = "Lito-favorável");logO = Novo (Nome = "LN(o(d|p))", ResX = 25, ResY =25, Escala =50000, Min= -10, Max = 1);prob = Novo (Nome = "prob-datadriven", ResX = 25, ResY =25, Escala =50000, Min= 0, Max = 1);

//operaçãologO = Wpri +(( line.Classe == "favoravel") ? Digital ( WposLine) :Digital(WnegLine))+(( gama.Classe == "favoravel") ? Digital ( WposGama) : Digital (WnegGama)) +(( cont.Classe == "favoravel") ? Digital ( WposCont) : Digital(WnegCont))+(( circ.Classe == "favoravel") ? Digital ( WposCirc) : Digital(WnegCirc))+(( lito.Classe == "favoravel") ? Digital ( WposLito) : Digital(WnegLito));

prob = exp (logO) /( 1 + exp (logO));}

APÊNDICE II – TABELAS

TABELA II.1 – MATRIZES DE CONFUSÃO DOS CENÁRIOS DE

FAVORABILIDADE COM AS OCORRÊNCIAS MINERAIS.

Booleano

favorável não-favorável total não-favorável favorável total

não-depósito 30.1 688.2 718.3 não-depósito 688.2 30.1 718.3

depósito 2.3 6.8 9.1 depósito 6.8 2.3 9.1

total 32.4 694.9 727.3 total 694.9 32.4 727.3

Média Ponderada

nulo não-nulo total médio não-médio total

não-depósito 624.9 93.3 718.3 não-depósito 22.7 695.6 718.3

depósito 3.5 5.6 9.1 depósito 1.5 7.6 9.1

total 628.4 99.0 727.3 total 24.2 703.2 727.3

baixo não-baixo total alto não-alto total

não-depósito 65.2 653.0 718.3 não-depósito 5.5 712.8 718.3

depósito 3.1 6.0 9.1 depósito 1.0 8.1 9.1

total 68.3 659.0 727.3 total 6.5 720.9 727.3

Fuzzy Mínimo-Máximo

nulo não-nulo total médio não-médio total

não-depósito 572.0 146.2 718.3 não-depósito 22.6 695.6 718.3

depósito 3.9 5.2 9.1 depósito 1.8 7.3 9.1

total 575.9 151.4 727.3 total 24.4 702.9 727.3

baixo não-baixo total alto não-alto total

não-depósito 111.6 606.7 718.3 não-depósito 12.1 706.2 718.3

depósito 2.5 6.6 9.1 depósito 0.9 8.2 9.1

total 114.1 613.3 727.3 total 12.9 714.4 727.3

Fuzzy Média

nulo não-nulo total médio não-médio total

não-depósito 624.1 94.1 718.3 não-depósito 23.1 695.1 718.3

depósito 4.5 4.6 9.1 depósito 1.4 7.7 9.1

total 628.6 98.7 727.3 total 24.5 702.8 727.3

baixo não-baixo total alto não-alto total

não-depósito 65.2 653.1 718.3 não-depósito 5.8 712.5 718.3

depósito 2.6 6.5 9.1 depósito 0.6 8.5 9.1

total 67.8 659.5 727.3 total 6.4 720.9 727.3

Fuzzy Ponderado

nulo não-nulo total médio não-médio total

não-depósito 625.5 92.7 718.3 não-depósito 22.6 695.7 718.3

depósito 3.5 5.6 9.1 depósito 1.7 7.4 9.1

total 629.0 98.3 727.3 total 24.3 703.1 727.3

baixo não-baixo total alto não-alto total

não-depósito 65.0 653.2 718.3 não-depósito 5.2 713.1 718.3

depósito 2.9 6.2 9.1 depósito 1.0 8.1 9.1

total 67.9 659.4 727.3 total 6.1 721.2 727.3

Fuzzy Gama

nulo não-nulo total médio não-médio total

não-depósito 624.8 93.5 718.3 não-depósito 21.4 696.9 718.3

depósito 4.7 4.4 9.1 depósito 1.2 7.9 9.1

total 629.5 97.8 727.3 total 22.6 704.8 727.3

baixo não-baixo total alto não-alto total

não-depósito 66.2 652.1 718.3 não-depósito 5.9 712.3 718.3

depósito 2.6 6.5 9.1 depósito 0.6 8.5 9.1

total 68.8 658.6 727.3 total 6.5 720.9 727.3

Bayes

nulo não-nulo total médio não-médio total

não-depósito 631.4 86.9 718.2 não-depósito 19.3 698.9 718.2

depósito 3.8 5.3 9.1 depósito 2.3 6.8 9.1

total 635.2 92.2 727.3 total 21.6 705.8 727.3

baixo não-baixo total alto não-alto total

não-depósito 62.1 656.2 718.2 não-depósito 5.5 712.8 718.2

depósito 2.5 6.6 9.1 depósito 0.5 8.6 9.1

total 64.6 662.7 727.3 total 6.0 721.4 727.3

Rede Neural Artificial

nulo não-nulo total médio não-médio total

não-depósito 627.7 90.5 718.2 não-depósito 20.4 697.9 718.2

depósito 3.6 5.5 9.1 depósito 1.5 7.6 9.1

total 631.3 96.0 727.3 total 21.9 705.5 727.3

baixo não-baixo total alto não-alto total

não-depósito 64.5 653.7 718.2 não-depósito 5.6 712.6 718.2

depósito 3.0 6.1 9.1 depósito 1.0 8.1 9.1

total 67.5 659.8 727.3 total 6.7 720.7 727.3

TABELA – II.2 – TABELA DE CONTIGÊNCIA DAS EVIDÊNCIAS

CRUZADAS DOIS A DOIS.

Litologia

favorável não-favorável totais

favorável 52.27 (33.66) 26.91 (45.52) 79.18

não-favorável 256.96 (275.56) 391.19 (372.58) 648.15

ga

ma

totais 309.23 418.1 727.33

Estrutura Circular

favorável não-favorável totais

favorável 23.6 (16.13) 55.58 (63.05) 79.18

não-favorável 124.54 (132.01) 523.61 (516.14) 648.15

ga

ma

totais 148.14 579.19 727.33

lineamentos

favorável não-favorável totais

favorável 33.15 (29.97) 46.03 (49.20) 79.18

não-favorável 242.21 (245.38) 405.94 (402.77) 648.15

ga

ma

totais 275.36 451.97 727.33

contato geológico

favorável não-favorável totais

favorável 52.33 (37.15) 26.86 (42.04) 79.19

não-favorável 288.9 (304.08) 359.26 (344.08) 648.16

ga

ma

totais 341.23 386.12 727.35

Estrutura circular

favorável não-favorável totais

favorável 75.23 (62.98) 234.0 (246.25) 309.23

não-favorável 72.91 (85.16) 345.19 (332.94) 418.1

lito

log

ia

totais 148.14 579.19 727.33

lineamentoslit

ol

o gi

a

favorável não-favorável totais

favorável 128.73 (117.08) 180.5 (192.15) 309.23

não-favorável 146.64 (158.29) 271.46 (259.81) 418.11

totais 275.37 451.96 727.33

contatos geológicos

favorável não-favorável totais

favorável 174.29 (145.07) 134.94 (164.16) 309.23

não-favorável 166.93 (196.15) 251.17 (221.95) 418.11

lito

log

ia

totais 341.22 386.11 727.33

Lineamentos

favorável não-favorável totais

favorável 64.54 (56.09) 83.6 (92.05) 148.14

não-favorável 210.83 (219.28) 368.36 (359.91) 579.19

estr

utu

ras

circ

ula

res

totais 275.37 451.96 727.33

TABELA – II.2 – TABELA DE CONTIGÊNCIA DAS EVIDÊNCIAS

CRUZADAS DOIS A DOIS (continuação).

Contato geológico

favorável não-favorável totais

favorável 91.27 (69.50) 56.87 (78.64) 148.14

não-favorável 249.95 (271.95) 329.24 (307.47) 579.19

estr

utu

ras

circ

ula

res

totais 341.22 386.11 727.33

contatos geológicos

favorável não-favorável totais

favorável 137.89 (129.19) 137.48 (146.18) 275.37

não-favorável 203.34 (212.04) 248.63 (239.93) 451.97

linea

men

tos

totais 341.23 386.11 727.34

TABELA II.3 – MATRIZES DE CONFUSÃO DAS EVIDÊNCIAS BINÁRIAS

UTILIZADAS NO MODELAMENTO BAYESIANO.

gama-radiometriafavorável não-favorável total

depósito 5.06 4.03 9.09não depósito 74.13 644.12 718.25total 79.19 648.15 727.34

Litologiafavorável não-favorável total

depósito 5.51 3.57 9.08não depósito 303.72 414.53 718.25total 309.23 418.1 727.33

Estrutura circularfavorável não-favorável total

depósito 4.39 4.69 9.08não depósito 143.75 574.50 718.25

total 148.14 579.19 727.33

Lineamentofavorável não-favorável total

depósito 3.99 5.10 9.09não depósito 271.38 446.87 718.25total 275.37 451.97 727.34

Contato geológicofavorável não-favorável total

depósito 7.99 1.10 9.09não depósito 333.24 385.01 718.25total 341.23 386.11 727.34