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Tema 2
Derivacion y aplicaciones
2.1 Definicion y calculo de la funcion derivada
La derivada de una funcion es una herramienta muy potente del calculo, y admite una interpretaciontanto fısica como geometrica.
En una fabrica de coches se mide el nivel de ruido (en decibelios) respecto a la velocidad de un ciertomodelo de coche, obteniendo la siguiente tabla:
Velocidad(km/h) 60 80 100 120
Ruido(decibelios) 59,4 64,1 70,2 72,3
Entonces, nos podrıamos hacer la siguiente pregunta: ¿Cual es la variacion media del ruido al pasarde 80 km/h a 120 km/h?
La tasa de variacion media se obtiene dividiendo la tasa de variacion entre el intervalo de tiempoconsiderado. Ası, en este caso, la tasa de variacion media en el intervalo [80,120] es
72,3−64,1120−80
=8,240
= 0,205.
Dada una funcion y = f (x), tenemos
Incremento de la variacion x: ∆x := h.
Incremento de la funcion f (x): ∆y := f (x+h)− f (x).
Definicion 36 (Tasa de Variacion Media)Se define la tasa de variacion media, tm, de la funcion f (x) en el intervalo [x,x+h] como
tm :=∆y∆x
=f (x+h)− f (x)
h.
Observacion 4Notemos que la tasa de variacion media de una funcion puede ser negativa, nula o positiva, dependiendodel valor f (x+h)− f (x).
35
36 2.1. Definicion y calculo de la funcion derivada
La tasa de variacion media de una funcion da una primera idea de la rapidez con la que crece odecrece en un intervalo. Este concepto permite estudiar, en un intervalo [a,b], pendientes, velocidadesmedias, etc.
Pero es muy interesante conocer el comportamiento de estas magnitudes en un punto determinado x,esto es, la tasa de variacion instantanea. Para ello, tenemos que considerar intervalos [x,x+h] cada vezmas pequenos, es decir, haciendo h tender a cero.
Ası, dicho concepto solo puede ser entendido como un paso al lımite. Es decir, consideremos ahoraun coche moviendose a lo largo de una carretera, si medimos el espacio recorrido por el vehıculo enun tiempo h pequeno, y lo dividimos entre h, el resultado sera proximo a nuestra idea de velocidadinstantanea. Y sera mas proximo cuanto mas pequeno sea h. Ası pues, la velocidad en un instante t no esotra cosa que el lımite:
v(t) = lımh→0
e(t +h)− e(t)h
donde e(t) es el espacio recorrido en el tiempo t. Dicho lımite es la derivada de e con respecto a t.Pasamos ahora a dar la definicion de derivada.
Definicion 37 (Derivada)Sea I ⊂R un intervalo abierto, a ∈ I y f : I→R una funcion. La derivada de f en a es el lımite, siexiste, dado por
f ′(a) = lımh→0
f (a+h)− f (a)h
(2.1)
Si dicho lımite existe, se dice que f es derivable en a. La funcion f se dira derivable si lo es en todopunto de su dominio I.
Observacion 5Notese que:
La tasa de variacion instantanea se llama derivada.
La derivada de una funcion en un punto es un numero real.
La derivada en un punto puede ser negativa, nula o positiva.
EJEMPLO de Tasa de variacion media e instantanea
Un estudio de medio ambiente de una comunidad suburbana concluye que, dentro de t anos, el nivelmedio de monoxido de carbono en el aire sera de q(t) = 0,05t2 +0,1t +3,4 partes por millon.
1. Hallar la tasa de variacion del monoxido de carbono con respecto al tiempo dentro de un ano.
2. Hallar la tasa de variacion instantanea del monoxido de carbono en el segundo ano.
a) La tasa de variacion media viene dada por
tm :=q(1)−q(0)
1−0= 0,15.
b) La tasa de variacion instantanea viene dada por
q′(2) = 0,3.
Tema 2 37
�
Tambien pueden definirse las llamadas derivadas laterales:
Definicion 38 (Derivadas laterales)Se define la derivada por la derecha de f en a es un numero real dado por el lımite (si existe):
f ′+(a) = lımh→0+
f (a+h)− f (a)h
Analogamente, f ′−(a) = lımh→0−f (a+h)− f (a)
h es la derivada por la izquierda de f en a.
2.1.1 Otra forma de escribir la derivada en un punto
Si escribimos x = a+h, entonces h = x−a, y por lo tanto, si h→ 0 entonces x→ a. Sustituyendo en(2.1), nos queda la expresion
f ′(a) = lımx→a
f (x)− f (a)x−a
. (2.2)
2.2 Interpretacion geometrica
Adoptemos ahora un punto de vista geometrico. En general, el cocientef (a+h)− f (a)
hes la pen-
diente de la recta que corta a la grafica de f en los puntos (a, f (a)), (a+h, f (a+h)). Recordemos quela pendiente de una recta es la tangente del angulo α que forma con el eje OX . Es decir, en la Figura 2.1,se tiene que:
tanα =f (a+h)− f (a)
h.
Figura 2.1: Interpretacion geometrica
Cuando h tiende a cero, dicha recta se va aproximando a la recta tangente a la curva en el punto a(ver Figura 2.2). Ası pues, la derivada de f en un punto a es la pendiente de la recta tangente a lagrafica de f en a. Por tanto, la derivada es igual a tanβ , donde β es el angulo mostrado en la Figura 2.2.
38 2.3. Primeras consecuencias
Figura 2.2: Paso al lımite de la Figura 2.1 (h→ 0)
2.2.1 Calculo de la recta tangente
Ya hemos visto que la derivada de una funcion en un punto es la pendiente de la recta tangente enese punto. Y si tenemos la pendiente de una recta y un punto por el que pasa, ya podemos calcular suecuacion facilmente:
Sea f : I→R una funcion derivable en a ∈ I. Entonces la recta tangente a la grafica de f en el puntoa viene dada por:
y = f (a)+ f ′(a)(x−a)
EJEMPLO de recta tangente
Queremos hallar los puntos en los que la tangente a la curva de ecuacion y = x4−2x+1 es paralelaa la recta 2x− y−3 = 0.
La recta tangente a la grafica de f (x) en un punto (a, f (a)) viene dada por
r(x) := f (a)+ f ′(a)(x−a).
Por tanto, tenemos que calcular los valores de la variable independiente x = a tales que
f ′(a) = 2 ⇐⇒ 4a3−2 = 2 ⇐⇒ a3 = 1,
es decir, el punto donde la recta tangente es paralela a la recta y = 2x−3 es (1,0).
�
2.3 Primeras consecuencias
Como primera consecuencia de la propia definicion de la derivada en un punto y de la definicion delımite, tenemos:
Tema 2 39
TeoremaSea I ⊂ R, a ∈ I y f : I→ R. Entonces f es derivable en a si y solo si existen f ′−(a), f ′+(a) y soniguales: f ′−(a) = f ′+(a). En tal caso, f ′(a) = f ′−(a) = f ′+(a).
El siguiente resultado nos relaciona la derivabilidad con la continuidad: La derivabilidad es unapropiedad mas restrictiva que la de continuidad. El hecho de que una funcion sea continua en un puntono nos garantiza la derivabilidad en dicho punto. La implicacion de que una funcion derivable es continuala vemos en el siguiente:
TeoremaSea f : I→R una funcion derivable en a ∈ I. Entonces, f es continua en dicho punto a.
Es facil comprobar el anterior resultado usando la definicion de continuidad y la ecuacion (2.2), yaque:
lımx→a
f (x)− f (a) = lımx→a
f (x)− f (a)(x−a)
· (x−a) =(
lımx→a
f (x)− f (a)x−a
)·(
lımx→a
(x−a))= f ′(a) ·0 = 0,
esto es,lımx→a
f (x) = f (a).
Presentamos a continuacion un par de ejemplos de funciones que no son derivables en 0 (aunque sıson continuas).
Figura 2.3: Ejemplos de funciones continuas no derivables en 0
EJEMPLOS de funciones continuas pero no derivables
Ejemplo 1 : La funcion valor absoluto f (x) = |x|. En este caso, es facil calcular las derivadas lateralesen 0:
f ′−(0) = lımh→0−
f (h)− f (0)h
= lımh→0−
−hh
= lımh→0−
−1 =−1
f ′+(0) = lımh→0+
f (h)− f (0)h
= lımh→0+
hh= lım
h→0+1 = 1
Por el teorema 2.3, esta funcion no es derivable en 0. En general, una funcion cuya graficatenga algun ”pico” no sera derivable en el punto correspondiente.
40 2.4. Funcion derivada. Calculo de derivadas
Ejemplo 2 : La funcion es f :R→R, f (x) = 3√
x. El lımite que define la derivada queda:
lımh→0
f (h)− f (0)h
= lımh→0
3√
hh
= lımh→0
13√
h2=+∞
En este caso, la pendiente de la recta tangente en 0 se hace +∞, lo cual hace que la funcionno sea derivable en 0.
�
2.4 Funcion derivada. Calculo de derivadas
Hasta este momento nos hemos centrado en el calculo de la derivada de una funcion en un puntox = a, pero si una funcion f : I→R es derivable, le podemos asociar una funcion que determine a cadanumero real del dominio la derivada es dicho punto, esto es, la funcion derivada.
Definicion 39 (Derivada de una funcion)Sea f : I→R una funcion derivable. Entonces se define la funcion derivada como la funcion que acada x ∈ I le hace corresponder la derivada de f en x. Se escribe f ′ : I→R, x 7→ f ′(x). Una funcionf : I→R es derivable en un intervalo abierto I =]a,b[ si lo es en cada punto del intervalo. Decimosque es derivable en un intervalo cerrado I = [a,b] si es derivable en cada punto del intervalo abierto(a,b) y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.
Como ejemplo, calculamos la funcion derivada de un par de funciones.
EJEMPLOS de derivadas de funciones
Ejemplo 1 : Usaremos la definicion para calcular la derivada de f (x) = x2, x ∈R.
lımh→0
f (x+h)− f (x)h
= lımh→0
(x+h)2− x2
h= lım
h→0
2xh+h2
h= lım
h→02x+h = 2x.
Por tanto, f ′(x) = 2x.
Ejemplo 2 : Ahora, calcularemos mediante la definicion la derivada de f (x) =√
x, x ∈R+.
lımh→0
f (x+h)− f (x)h
= lımh→0
√x+h−
√x
h= lım
h→0
(√
x+h−√
x)(√
x+h+√
x)h(√
x+h+√
x)
= lımh→0
(x+h)− (x)h(√
x+h+√
x)= lım
h→0
hh(√
x+h+√
x)
= lımh→0
1(√
x+h+√
x)=
12√
x.
Por tanto, f ′(x) =1
2√
x.
�
Tema 2 41
Igualmente, si f ′ resulta ser derivable, se puede calcular a su vez su funcion derivada, llamada deri-vada segunda de f . Ası sucesivamente, se pueden definir la derivada tercera, cuarta, etc.
Observacion 6Notacion: Nosotros estamos denotando la derivada de una funcion como f ′(x). Es tambien muy habitualescribir d f
dx , que se lee: derivada de f respecto de x. Este sımbolo hay que considerarlo como inseparable,y denota la derivada de una funcion. Es decir, d f y dx no son numerador y denominador de una fraccionque pueda simplificarse.
Antes hemos calculado la funcion derivada de f (x) = x2 mediante su formula. Sin embargo, en loque sigue, usaremos ciertas reglas de derivacion que hacen nuestros calculos mucho mas faciles.
En la pagina siguiente vienen descritas las derivadas de ciertas funciones ”basicas”. A partir de dichasderivadas, se puede calcular la derivada de una gran cantidad de funciones teniendo en cuenta la siguienteproposicion:
Resultado (Reglas de derivacion)Sean f , g funciones derivables, c ∈R. Entonces:
1. c f es derivable y(c f )′(x) = c f ′(x).
2. f +g es derivable y( f +g)′(x) = f ′(x)+g′(x).
3. f ·g es derivable y( f ·g)′(x) = f ′(x) ·g(x)+ f (x) ·g′(x).
4. fg es derivable en su dominio y(
fg
)′(x) =
f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)g(x)2 .
5. Regla de la cadena: La funcion composicion ( f ◦g)(x) = f (g(x)) es derivable y su derivadaes:
( f ◦g)′(x) = f ′(g(x))g′(x)
EJEMPLO del uso de las reglas de derivacion
Calculemos la derivada de la funcion f (x) = sen3(x)+ x ln(x)
e1x
.
f ′(x) = 3sen2(x)cos(x)+
(1 · ln(x)+ x 1
x
)e
1x − x ln(x)e
1x −1
x2
(e1x )2
= 3sen2(x)cos(x)+(ln(x)+1)e
1x + ln(x)e
1x 1
x
e2x
= 3sen2(x)cos(x)+1+ ln(x)+ ln(x)1
x
e1x
�
42 2.4. Funcion derivada. Calculo de derivadas
DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES
Funcion Derivada Funcion Derivada
C 0 f (x)+g(x) f ′(x)+g′(x)
x 1 c · f (x) c · f ′(x)
1x
−1x2
1f (x)
− f ′(x)f (x)2
√x 1
2√
x
√f (x) f ′(x)
2√
f (x)
xn nxn−1 ( f (x))n n( f (x))n−1 · f ′(x)
ex ex e f (x) e f (x) · f ′(x)
ax ax · lna a f (x) lna ·a f (x) · f ′(x)
lnx 1x ln f (x) f ′(x)
f (x)
senx cosx sen( f (x)) cos( f (x)) · f ′(x)
cosx −senx cos( f (x)) −sen( f (x)) · f ′(x)
tgx 1cos2 x tg( f (x)) f ′(x)
cos2( f (x))
arcsenx 1√1−x2 arcsen( f (x)) f ′(x)√
1− f (x)2
arccosx −1√1−x2 arccos( f (x)) − f ′(x)√
1− f (x)2
arc tgx 11+x2 arc tg( f (x)) f ′(x)
1+ f (x)2
f (x) ·g(x) f ′(x) ·g(x)+ f (x) ·g′(x) f (x)g(x)
f ′(x)·g(x)− f (x)·g′(x)(g(x))2
f (x)g(x)[g′(x) ln f (x)+g(x) f ′(x)
f (x)
]f (x)g(x)
Tema 2 43
EJEMPLO (La ley del enfriamiento de Newton).
Supongamos que tenemos un cuerpo a temperatura T1 en un ambiente a temperatura Ta. Obviamente,el cuerpo va adquiriendo poco a poco la temperatura del ambiente. La ley de Newton dice que la veloci-dad de cambio de temperatura del cuerpo es proporcional a−(T (s)−Ta), donde T (s) es la temperaturadel cuerpo en el tiempo s (medido en horas, por ejemplo). Dicho de otro modo, T ′(s) =−λ (T (s)−Ta).Nuevamente estamos ante una ecuacion diferencial. Verificar que la funcion T (s) = Ta +(T1−Ta)e−λ s
verifica la ecuacion diferencial. Esta es, por tanto, la funcion del cambio de temperatura.Si, en un caso concreto, Ta = 0, T1 = 37, λ = 0,05, ¿cuanto tiempo transcurrira hasta que la tempe-
ratura del cuerpo sea 30?
Tenemos T (s) = Ta +(T1−Ta)e−λ s, entonces
T ′(s) =−λ (T1−Ta)e−λ s = λTa−λTa−λ (T1−Ta)e−λ s
= λTa−λT (s) =−λ (T (s)−Ta).
Con los datos Ta = 0, T1 = 37 y λ = 0,05, la funcion temperatura viene dada por
T (s) = 37e−0,05s,
entonces, el tiempo que transcurrira hasta que la temperatura sea 30 grados vendra dado por la ecuacion
30 = 37e−0,05s,
de donde
s =− 10,05
ln(
3037
)= 4,19horas.
�
2.5 Teoremas relacionados con la derivacion
Aquı veremos algunos resultados clasicos relacionados con la derivacion.
Teorema de RolleSea f : [a,b]→ R una funcion continua en [a,b] y derivable en (a,b), y supongamos que f (a) =f (b). Entonces existe c ∈ (a,b) de tal manera que f ′(c) = 0.
Desde un punto de visto geometrico, el teorema de Rolle nos da la existencia de un punto c ∈ (a,b)tal que la recta tangente a la grafica en el punto (c, f (c)) es paralela al eje OX .
Este teorema se suele usar de forma recıproca, es decir, si tenemos la garantıa de que la derivada nopuede valer cero, entonces f tiene que ser inyectiva, o lo que es lo mismo, no existen a,b diferentes talesque f (a) = f (b) = 0.
EJEMPLO de aplicacion del teorema de Rolle
Demostraremos que la ecuacion cosx = 2x tiene una unica solucion.Definimos f (x) = cos(x)− 2x, que es una funcion continua y derivable en R y, por tanto, lo sera
en cualquier intervalo. Puesto que f (0) = cos0− 2 · 0 = 1− 0 = 1 > 0, f (1) = cos(1)− 2 < 0, por el
44 2.5. Teoremas relacionados con la derivacion
teorema de Bolzano (ver tema 4) se tiene la existencia de al menos un punto c ∈ (0,1) tal que f (c) = 0,es decir, cosc = 2c.
Supongamos que hubiera otra solucion c′: es decir, f (c′)= 0. Entonces, f (c)= f (c′), y por el teoremade Rolle, deberıa existir un numero d entre c y c′ de manera que f ′(d) = 0. Pero la derivada tiene laexpresion f ′(x) = −senx− 2 que es siempre negativa. Por tanto, llegamos a una contradiccion, lo cualsignifica que no existe otra solucion c′.
�
El siguiente teorema es una generalizacion del teorema de Rolle:
Teorema del valor medioSea f : [a,b]→R una funcion continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c ∈ (a,b) detal manera que
f ′(c) =f (b)− f (a)
b−a
Figura 2.4: El teorema del valor medio
La interpretacion del teorema del valor medio es la siguiente: Tenemos la existencia de un puntoc ∈ (a,b) donde
f ′(c) =f (b)− f (a)
b−a.
El miembro de la derecha es la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion que pasapor el punto (c, f (c)), y el de la derecha es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y(b, f (b)). Luego, el teorema del valor medio nos da la existencia de un punto en el interior del intervalodonde la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los extremosdel intervalo.
EJEMPLO de aplicacion del teorema del valor medio
Sea f (x) = 2x2, encontrar un punto donde la tangente a la grafica sea paralela a la recta que pasa porlos puntos (0,0) y (3,18).
Lo que tenemos que hacer es aplicar el teorema del valor medio al intervalo [0,3]. De esta maneraobtenemos:
f (3)− f (0) = f ′(c)(3−0),
de donde, usando f ′(x) = 6x, tenemos
18 = 18c ⇒ c = 1.
Por tanto, el punto pedido es (1, f (1)) = (1,2).
�
Tema 2 45
2.6 Aplicaciones de la derivacion
2.6.1 La regla de L’Hopital
En el Capıtulo dedicado a lımites de funciones vimos como resolver algunos tipos de indetermina-ciones. Aquı veremos como utilizar la derivacion como herramienta para resolver este tipo de indeter-minaciones. Concretamente, la regla de L’Hopital es una aplicacion de la derivacion que nos permiteresolver lımites en los que nos aparecen expresiones indeterminadas.
Recordemos primero los tipos de indeterminaciones que nos aparecıan:
Racionales =
00∞
∞
0 ·∞
∞−∞
Exponenciales =
1∞
∞0
00
Ası, cuando tenemos funciones derivables calculando dichas indeterminaciones, el teorema de L’Hopitales una herramienta potente en la resolucion de estos lımites.
Teorema (Regla de L’Hopital)Sean f ,g : I→R dos funciones derivables y a ∈ I.
Supongamos que lımx→a f (x) = lımx→a g(x) = 0, siendo g(x) 6= 0 en un entorno de a. Supon-gamos ademas que:
lımx→a
f ′(x)g′(x)
= l ∈R (respectivamente, lımx→a
f ′(x)g′(x)
=±∞)
Entonces, se tiene que:
lımx→a
f (x)g(x)
= l ∈R (respectivamente, lımx→a
f (x)g(x)
=±∞)
Supongamos que lımx→a | f (x)|= lımx→a |g(x)|= ∞. Supongamos ademas que:
lımx→a
f ′(x)g′(x)
= l ∈R (respectivamente, lımx→a
f ′(x)g′(x)
=±∞)
Entonces, se tiene que:
lımx→a
f (x)g(x)
= l ∈R (respectivamente, lımx→a
f (x)g(x)
=±∞)
Observacion 7Notese que el teorema anterior tambien es cierto para lımites laterales.
EJEMPLO de aplicacion de la regla de L’Hopital
Calculemos lımx→0senx
x .
46 2.6. Aplicaciones de la derivacion
Aplicamos la regla de L’Hopital:
lımx→0
cosx1
= cos(0) = 1⇒ lımx→0
senxx
= 1
�
Hemos enunciado el teorema anterior para lımites cuando x tiende a a ∈ I. Igualmente se puedehacer para lımites en infinito, y tambien cuando tenemos una indeterminada del tipo ∞
∞. Es decir, se
puede aplicar la regla de L’Hopital en cualquiera de los casos:
Lımite Indeterminaciones
x→ a 00
∞
∞
x→ a+, x→ a− 00
∞
∞
x→±∞00
∞
∞
A la hora de aplicar la regla de L’Hopital, es importante comprobar que el lımite que estamostratando es del tipo 0
0 , ∞
∞.
Por ejemplo, claramente lımx→1x+1
x = 2, pero si derivamos numerador y denominador, nos quedalımx→1
11 = 1 6= 2.
Otra observacion importante es la siguiente:
Si el lımite lım f ′(x)g′(x) no existiera, eso no significa que el lımite original, lım f (x)
g(x) no exista. De hecho,eso no significa nada. La regla de L’Hopital solo aporta informacion si el lımite existe.
Por ejemplo, si aplicamos la regla de L’Hopital al lımite lımx→∞x+senx
x (que es del tipo ∞
∞), queda:
lımx→∞
1+ cosx1
= lımx→∞
1+ cosx
el cual no existe. En cambio, el lımite original sı que existe, y puede ser calculado facilmente:
lımx→∞
x+ senxx
= lımx→∞
1+senx
x= 1
Como hemos visto antes, la regla de L’Hopital solo puede ser usada para estudiar lımites del tipo00 , ∞
∞. Ası pues, si queremos calcular un lımite de otro tipo, intentaremos transformarlo, de algun modo,
para tener una indeterminacion de la forma 00 , ∞
∞.
EJEMPLO de indeterminacion del tipo 0 ·∞
Calculemos lımx→0 x lnx, que es un lımite del tipo 0 · ∞.Podemos reescribir:
lımx→0
x lnx = lımx→0
lnx1x
y este ultimo lımite es del tipo ∞
∞, por lo cual podemos aplicar la regla de L’Hopital:
lımx→0
1x−1x2
= lımx→0
x2
−x= lım
x→0−x = 0
Tema 2 47
Luego, lımx→0 x lnx = 0. Observese que, en principio, tambien hubieramos podido escribir nuestro lımitede la forma:
lımx→0
x lnx = lımx→0
x1
lnx
Sin embargo, si aplicamos la regla de L’Hopital no obtenemos un lımite que conozcamos. Si aplicamosL’Hopital sucesivamente, nuestro lımite se va complicando cada vez mas.
�
EJEMPLO de indeterminacion del tipo ∞−∞:
Calculemos lımx→0
(1x− 1
ln(1+ x)
). Este lımite es del tipo ∞−∞.
Este tipo de indeterminacion se reduce a uno de los anteriores transformado adecuadamente las ex-presiones. Vamos a transformar dicha expresion a otra en la que podamos aplicar el teorema de L’Hopital:
lımx→0
(1x− 1
ln(1+ x)
)= lım
x→0
ln(1+ x)− xx ln(1+ x)
= L’Hopital lımx→0
11+x −1
ln(1+ x)+ x1+x
= lımx→0
−xx+(1+ x) ln(1+ x)
=L’Hopital lımx→0
−12+ ln(1+ x)
=−12.
�
EJEMPLO de indeterminacion del tipo exponencial:
Calculemos lımx→0+ xx. En este caso, el tipo de indeterminacion que nos aparece es 00.En este caso, lo que hacemos es tomar logaritmos y ası caer en uno de los casos anteriores. Es decir,
seaL = lım
x→af (x)g(x),
entonces, tomando logaritmos neperianos a ambos lados de la igualdad tenemos
lnL = lımx→a
(g(x) · ln f (x)) ,
y por tantolımx→a
f (x)g(x) = elnL.
Luego, como hemos visto anteriormente, procedemos tomando logaritmos neperianos a ambos ladosy obtenemos:
L = lımx→0+
xx⇒ lnL = lımx→0+
x · lnx.
Este lımite es del tipo 0 ·∞ como vimos en el caso anterior, siendo su lımite
lımx→0+
x · lnx = 0.
Luego,L = e0 = 1.
�
48 2.6. Aplicaciones de la derivacion
2.6.2 Monotonıa de funciones
Consideremos la grafica de la funcion f (x) = ex (Figura 2.5), en este caso podemos observar que losvalores que toma la funcion f (x) crecen a medida que aumentan los valores de la variable x, es decir,intuitivamente, si caminasemos por la grafica de la funcion de izquierda a derecha estarıamos subiendoa lo largo de la grafica.
Si, en cambio, consideramos la funcion f (x) =1x2 (Figura 2.6), podemos observar que a medida que
aumentamos los valores de la variable x, los valores que toma la funcion f (x) decrecen. Intuitivamente,si caminasemos por la grafica de la funcion de izquierda a derecha estarıamos bajando a lo largo de lagrafica.
Figura 2.5: Funcion creciente Figura 2.6: Funcion decreciente
Definicion 40 (Funcion creciente o decreciente)Se dice que una funcion f : I → R es creciente (o tambien, monotonamente creciente) si paracualesquiera x, y ∈ I, x < y, se tiene que f (x) ≤ f (y). En cambio, se dice que es decreciente (otambien, monotonamente decreciente) si para cualesquiera x, y ∈ I, x < y, se tiene que f (x)≥ f (y).Ademas, una funcion se denomina estrictamente creciente si para cualesquiera x, y ∈ I, x < y, setiene que f (x)< f (y). Tambien se define una funcion estrictamente decreciente si para cualesquierax, y ∈ I, x < y, se tiene que f (x)> f (y).
Ası definidos, estos conceptos no dependen del concepto de derivacion. Sin embargo, veremos comopodemos relacionarlos con el concepto de tasa de variacion media, y por tanto, al de derivada: Seanx,x+h ∈ I dos puntos del intervalo I donde la funcion f : I→R es creciente, entonces se verifica:
x < x+h⇒ f (x)≤ f (x+h),
y por lo tanto∆x = h > 0 y ∆y = f (x+h)− f (x)≥ 0,
de donde tenemos∆y∆x
=f (x+h)− f (x)
h≥ 0.
Analogamente, lo podrıamos hacer para funciones decrecientes en un intervalo.A partir de la relacion entre el crecimiento (respectivamente decrecimiento) con la tasa de variacion
media, tomando lımites, es mas evidente la relacion entre crecimiento (respectivamente decrecimiento)y derivacion. Dicha relacion la hacemos explıcita en la siguiente:
Tema 2 49
ResultadoSea I un intervalo abierto y f : I→R una funcion derivable en I. Entonces:
1. Si f ′(x)> 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente creciente en I.
2. Si f ′(x)≥ 0 para todo x ∈ I, entonces f es monotonamente creciente en I.
3. Si f ′(x)< 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente decreciente en I.
4. Si f ′(x)≤ 0 para todo x ∈ I, entonces f es monotonamente decreciente en I.
En la siguiente grafica se representan una funcion y su derivada. Se ve aquı que a la izquierda de a,f ′ es positiva y f es creciente. Entre a y b, f ′ es negativa y por tanto f es decreciente. Por ultimo, a laderecha de b, f ′ vuelve a ser positiva y por tanto f vuelve a ser creciente.
Figura 2.7: Una funcion y su derivada
EJEMPLO de monotonıa de una funcion
Calcularemos los intervalos de monotonıa de la funcion f (x) = x3−2x.Lo primero que hacemos es calcular la derivada de la funcion, siendo en este caso f ′(x) = 3x2− 2.
Ahora, vemos donde la funcion derivada es positiva o negativa. Ası, segun el signo de f ′(x) se obtienenlos intervalos de monotonıa siguientes:
f (x) es creciente en los intervalos (−∞,
√−2
3) y (
√23,+∞).
f (x) es decreciente en el intervalos (−√
23,
√23).
En los puntos −√
23
y
√23
, la derivada , f ′(x), se anula.
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2.6.3 Extremos relativos
En general, la funciones que consideramos no son todas creciente o decreciente en todo su intervalode definicion. Ası, es util estudiar cuales son los intervalos donde la funcion es creciente o decreciente,ası como los puntos donde pasa de creciente a decreciente, esto es, los extremos relativos de la funcion.
50 2.6. Aplicaciones de la derivacion
Definicion 41 (Extremo relativo)Dada una funcion f : I → R (donde, como siempre, I es un intervalo abierto), y un punto a ∈ I,se dice que f tiene un maximo relativo en a si existe un intervalo (a− ε,a+ ε) de manera quef : (a−ε,a+ε)→R tiene un maximo en a. Es decir, para cualquier x ∈ (a−ε,a+ε) se tiene quef (x)≤ f (a). De la misma forma, se dice que f tiene un mınimo relativo en a si existe un intervalo(a− ε,a+ ε) de manera que f : (a− ε,a+ ε)→R tiene un mınimo en a.Tanto a los maximos como a los mınimos relativos se les llama tambien extremos relativos.
Nuevamente, la derivacion se muestra una herramienta poderosa a la hora de estudiar extremos rela-tivos:
Teorema (Principio de Fermat)Sea f : I→ R una funcion derivable en a∈ I. Si f tiene un extremo relativo en a entonces f ′(a) = 0.
Esto nos lleva a la siguiente
Definicion 42 (Punto crıtico)A los puntos donde la derivada vale cero se les llama puntos crıticos.
Geometricamente, el anterior teorema es facil de visualizar. Supongamos que a ∈ I es un maximorelativo de una funcion derivable f : I→R. Entonces a la derecha de a , la funcion f es creciente y portanto f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a− ε,a). A la izquierda de a, la funcion f comienza a decrecer y por lotanto f ′(x)< 0 para todo x ∈ (a,a+ ε). Luego, f ′(a) = 0. Lo que nos dice este resultado es que la rectatangente a la grafica de la funcion en un punto a ∈ I donde hay un extremo relativo es paralela al eje deabscisas, ya que la pendiente de la recta tangente es 0.
En la practica, se usara frecuentemente el siguiente criterio:
Resultado (Criterio de la derivada primera)Sea f : I→R una funcion derivable en a ∈ I, y supongamos que f ′(a) = 0. Entonces:
1. Si f ′(x) es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha, entonces f tiene un maximorelativo en a.
2. Si f ′(x) es negativa a la izquierda de a y positiva a la derecha, entonces f tiene un mınimorelativo en a.
Ası pues, en el ejemplo de la Figura 2.7, se tiene que f tiene un maximo relativo en a y un mınimorelativo en b. Esto puede ser deducido tanto a partir de la grafica de f (x) como de la grafica de f ′(x).
EJEMPLO de intervalos de crecimiento y decrecimiento
Estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion f :R→R, f (x)= 2arctan(x−1)− x.
Si derivamos y estudiamos el signo de la derivada, nos queda:
f ′(x) =2
1+(x−1)2 −1 =2x− x2
1+(x−1)2
La expresion anterior vale 0 si y solo si x = 0, x = 2. Ası pues, estos son los puntos crıticos de la funcion,los cuales podran ser extremos relativos.
Tema 2 51
Ahora, estudiando el signo de la derivada, deducimos que f ′(x) < 0 para x ∈ (−∞,0)∪ (2,+∞) yf ′(x) > 0 para x ∈ (0,2). Ası pues, f es decreciente en (−∞,0)∪ (2,+∞) y creciente en (0,2). Porultimo, f tiene un mınimo relativo en 0 y un maximo relativo en 2.
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2.7 Derivada segunda
En la seccion anterior hemos visto como el estudio de la primera derivada de una funcion nos puedeayudar a saber como se comporta su grafica. Ahora pretendemos obtener informacion a partir de laderivada segunda.
Definicion 43 (Funcion convexa o concava, punto de inflexion)Una funcion f : I→R derivable se dice que es convexa si las rectas tangentes en cada punto quedanpor debajo de la grafica de f . Si en cambio las rectas tangentes quedan por encima de la grafica, sedice que f es concava.Sea a ∈ I, se dice que a es un punto de inflexion de f si f pasa de concava a convexa en a, oviceversa. Un punto de inflexion se caracteriza tambien porque la recta tangente a la curva quepasa por el atraviesa la grafica.
EJEMPLO
Si f (x) es una funcion positiva y convexa, demuestrese que g(x) = f (x)2 es tambien convexa.Aplicando la regla de la cadena tenemos
g′′(x) = 2( f ′(x)2 + f (x) f ′′(x))> 0,
ya que f (x) es positiva y convexa, esto es, f ′′(x)> 0.
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ResultadoSea I un intervalo abierto, a ∈ I y f : I→R una funcion dos veces derivable en I. Entonces:
1. Si f ′′(x)> 0 para todo x ∈ I, entonces f es convexa.
2. Si f ′′(x)< 0 para todo x ∈ I, entonces f es concava.
3. Si f ′′(a) = 0 y la derivada segunda es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha (oviceversa), entonces a es un punto de inflexion de f .
A partir de la proposicion precedente, se puede establecer el siguiente criterio para el estudio deextremos relativos:
Resultado (Criterio de la derivada segunda)Sea I un intervalo abierto, a ∈ I y f : I→R una funcion dos veces derivable en I. Entonces:
1. Si f ′(a) = 0 y f ′′(a)< 0, entonces f tiene un maximo relativo en a.
2. Si f ′(a) = 0 y f ′′(a)> 0, entonces f tiene un mınimo relativo en a.
52 2.8. Representacion grafica de funciones
Veremos ahora como podemos entender el resultado anterior. Haremos el caso f ′′(a) < 0. En dichocaso, al ser f ′′(a)< 0, la funcion f ′(x) es estrictamente decreciente en un entorno de a, y como f ′(a) = 0,tenemos que la funcion derivada es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha de a, esto es,f ′(x) < 0 para x ∈ (a− ε,a) y f ′(x) > 0 para x ∈ (a,a+ ε). Por tanto, la funcion f (x) es creciente a laizquierda de a y decreciente a la derecha de a. Luego, a es un maximo relativo.
EJEMPLO de calculo de extremos relativos
Calculemos los extremos de la funcion f :R→R,
f (x) = 2arctan(x−1)− x.
Como vimos antes, su derivada primera vale: 2x−x2
1+(x−1)2 , la cual se anula en x = 0 y en x = 2. Calcula-mos ahora su derivada segunda:
f ′′(x) =(2−2x)(x2−2x+2)− (2x− x2)(2x−2)
(1+(x−1)2)2 =4(1− x)
(1+(x−1)2)2
La expresion anterior vale 0 si y solo si x = 1. Ademas, f ′′(x) < 0 cuando x ∈ (1,+∞) y f ′′(x) > 0para x ∈ (−∞,1). Ası pues, f es concava en (1,+∞) y convexa en (−∞,1), y tiene un punto de inflexionen x = 1.
Ya sabıamos, gracias al criterio de la derivada primera, que f tenıa un mınimo en 0 y un maximoen 2. Veamos que tambien se podrıa deducir mediante el criterio de la derivada segunda. Efectivamente,f ′′(0) = 4
(1+12)2 = 1 > 0 y f ′′(2) = −4(1+12)2 =−1 < 0.
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2.8 Representacion grafica de funciones
Hasta ahora hemos ido estudiando distintos aspectos del comportamiento de una funcion. Ahorapretendemos usar todos ellos para llegar a describir dicha funcion mediante su representacion grafica.
A la hora de llevar a cabo una representacion grafica, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Dominio de f , D( f ): Si nos viene dado, no tendremos nada que hacer, pero si la funcion soloviene dada por su expresion, habra que calcular su dominio natural.
x ∈ D( f ) ⇔ existe y tal que y = f (x).
2. Imagen de f , I( f ): Recordemos que la imagen de una funcion es el conjunto de numeros realesque toma y = f (x).
y ∈ I( f ) ⇔ existe x tal que y = f (x).
3. Corte con los ejes: Si estos puntos pueden ser calculados, nos ayudaran a situar la grafica en losejes cartesianos.
Corte con el eje OX : Son los x tales que verifican f (x) = 0.
Corte con el eje OY : Si 0∈D( f ), entonces es el punto (0, f (0)). Si cero no esta en el dominiode la funcion, no hay corte con el eje OY .
Tema 2 53
4. Simetrıas: Estudiar si la funcion es par o impar, o ninguna de las dos cosas. Esta informacion nospuede ayudar a la hora de pintar la grafica.
Funcion par (eje de simetrıa OY ): f (−x) = f (x).Funcion impar (centro de simetrıa el origen): f (−x) =− f (x).
5. Calculo de la derivada: Incluye el estudio de la monotonıa de la funcion (es decir, intervalosde crecimiento y decrecimiento) ası como el estudio de los extremos mediante el criterio de laderivada primera.
Intervalos de crecimiento: f ′ > 0.Intervalos de decrecimiento: f ′ < 0.Puntos crıticos:• Mınimo: f ′(a) = 0 y f ′′(a)> 0.• Maximo: f ′(a) = 0 y f ′′(a)< 0.
6. Calculo de la derivada segunda: Incluye el estudio de la concavidad y convexidad de la funcion,ası como sus puntos de inflexion.
Intervalos de convexidad: f ′′ > 0.Intervalos de concavidad: f ′′ < 0.Puntos crıticos:• Concavo-Convexa: f ′′(a) = 0 y f ′′′(a)> 0.• Convexa-Concava: f ′′(a) = 0 y f ′′′(a)< 0.
7. Asıntotas: Verticales, horizontales y oblicuas.
Verticales x = a: Si lımx→a f (x) = ∞.Horizontales y = b: Si lımx→±∞ = b.
Oblicuas y = mx+n: Si m = lımx→±∞f (x)
x y n = lımx→±∞( f (x)−mx), con m,n ∈R y m 6= 0.
A continuacion, empezaremos representando los puntos que hemos ido obteniendo (puntos de cortecon los ejes, puntos de mınimo y maximo, puntos de inflexion, etc.). Luego, comenzamos la graficateniendo en cuenta toda la informacion anterior.
EJEMPLO de representacion grafica
Representaremos graficamente la funcion f (x) = x3−2x2− x+2 (vease Figura 2.8).
Dominio e Imagen de f : En este caso, D( f ) = R e I( f ) = R, por ser un polinomio de gradoimpar.
Corte con los ejes: Vamos a calcular primero el corte con el eje OX . Para ello, tenemos quecalcular los x ∈R tales que
f (x) = 0.
Al ser x3− 2x2− x+ 2 = (x+ 1)(x− 1)(x− 2), los puntos donde f (x) = 0 son x = −1, x = 1 yx = 2. Ası, los puntos de corte con el eje OX son
(−1,0), (1,0) y (2,0).
Como 0 ∈ D( f ), el punto de corte con el eje OY es (0,2), al ser f (0) = 2.
54 2.8. Representacion grafica de funciones
Simetrıas: Calculamosf (−x) =−x3−2x2 + x+2.
Pero f (−x) 6= f (x) ni f (−x) =− f (−x). Esto es, f (x) NO tiene ni simetrıa de eje OY ni centro desimetrıa en el origen.
Calculo de la derivada: Calculamos la derivada de la funcion
f ′(x) = 3x2−4x−1.
Primero, obtenemos los puntos crıticos, es decir, los puntos donde f (x) = 0. Estos son
x =4±√
16+126
=4±√
286
,
luego, los puntos crıticos son
x1 =4−√
286
, x2 =4+√
286
.
Entonces, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:
• Creciente: (−∞,x1) y (x2,∞)
• Decreciente: (x1,x2),
y los extremos
• x1 es un maximo relativo,
• x2 es un mınimo relativo.
La funcion no tiene maximos o mınimos absolutos ya que lımx→−∞ f (x) =−∞ y lımx→+∞ f (x) =+∞.
Calculo de la derivada segunda: La derivada segunda viene dada por
f ′′(x) = 6x−4.
Primero calculamos los puntos de inflexion, los puntos donde f ′′(x) = 0. En este caso, x3 = 2/3.
Luego, los intervalos de concavidad-convexidad son
• Concavidad: (−∞,x3).
• Convexidad: (x3,+∞).
En el punto x3, la funcion tiene un punto de inflexion.
Asıntotas: No tiene asıntotas verticales ya que no tiene puntos de discontinuidad. Tampoco tieneasıntotas horizontales ni oblicuas.
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Tema 2 55
Figura 2.8: f (x) = x3−2x2− x+2
2.9 Optimizacion
Supongamos que tenemos f : [a,b]→R una funcion continua en [a,b] y derivable en (a,b). Graciasal teorema de Weierstrass (ver tema 4), sabemos que f debe alcanzar un maximo y un mınimo absolutos.Si el maximo se alcanza en un punto de (a,b), entonces debera ser tambien un maximo relativo, y portanto un punto crıtico. Pero tambien podrıa ocurrir que f alcanzase su maximo en a o bien en b.
Ası pues, para hallar el maximo absoluto de una funcion en un intervalo se procede como sigue:
1. Se calculan los puntos crıticos en (a,b), y distinguimos aquellos que corresponden a maximosrelativos.
2. Se calcula la imagen de dichos puntos, y tambien las imagenes de los extremos a, b. La imagenmayor correspondera al maximo, y se alcanzara en el punto que le corresponda.
Para calcular el mınimo absoluto de una funcion se razonara de forma analoga.
EJEMPLOS de optimizacion
Ejemplo 1 : Calcularemos el maximo y mınimo absolutos de la funcion f : [0,3π]→R,
f (x) = 2sen(x)− x.
Calculamos su derivada y la igualamos a cero:
f ′(x) = 2cos(x)−1 = 0⇔ cos(x) =12⇔ x =
{π/3+2kπ , k ∈ Z
5π/3+2kπ , k ∈ Z
Ahora bien, puesto que estamos trabajando en el intervalo [0,3π], las unicas solucionesposibles son π/3, 5π/3, 7π/3.
Ademas, estudiando el signo de f ′(x), puede verse que f es creciente en (0,π/3)∪(5π/3,7π/3)y decreciente en (π/3,5π/3)∪ (7π/3,3π). Ası pues, f tiene alcanza un maximo relativo
56 2.9. Optimizacion
en π/3 y otro en 7π/3, y en cambio tiene un mınimo relativo en 5π/3. Ahora basta conevaluar f en los puntos anteriores y tambien en 0, 3π .
f (0) = 2sen0−0 = 0 f (π
3 ) = 2sen(π
3 )−π
3 =√
3− π
3
f (5 π
3 ) = 2sen(5 π
3 )−5 π
3 =−√
3−5 π
3 f (7 π
3 ) = 2sen(7 π
3 )−7 π
3 =√
3−7 π
3
f (3π) = 2sen(3π)−3π =−3π
Es facil deducir entonces que el maximo absoluto vale√
3−π/3 y se alcanza en el puntox = π/3, mientras que el mınimo absoluto vale−3π y se alcanza en el punto x = 3π (veaseFigura 2.9).
Ejemplo 2 : Una persona desea cortar un pedazo de alambre de 1 m. de largo en dos trozos. Uno deellos se va a doblar en forma de circunferencia, y el otro en forma de cuadrado. ¿Como sedebe cortar el alambre para que la suma de areas sea mınima? ¿Y maxima?
Sea x la longitud de un lado del cuadrado y R el radio de la circunferencia. El perımetro delcuadrado y la circunferencia vienen dados por Pcuad = 4x y Pcirc = 2πR respectivamente.Ademas, el area que encierra el cuadrado y la circunferencia son Acuad = x2 y Acirc = πR2,por tanto, el area de amabas viene dada por A = x2 +πR2.
Como dato tenemos que el alambre mide 1m, esto es, 1 = 4x+ 2πR, o equivalentementeR = 1−4x
2π. Luego, sustituyendo en la expresion de A, la funcion que debemos minimizar
(maximizar) es:
A(x) = x2 +(1−4x)2
4π.
Esta funcion tiene un mınimo en ( 14+π
,( 14(4+π)) y no tiene maximo. Luego, para que el
area sea mınima, el alambre hay que cortarlo 44+π
m para el cuadrado y el resto para lacircunferencia. Y para maximizar, dejar todo el alambre para la circunferencia.
Ejemplo 3 : Una fabrica de plasticos recibe del Ayuntamiento de la ciudad un pedido de 8,000 tablasflotadoras para el programa de natacion del verano. La fabrica posee 10 maquinas, cadauna de las cuales produce 50 tablas por hora. El coste de preparar las maquinas para hacerel trabajo es de 800 EUROS por maquina. Una vez que las maquinas estan preparadas,la operacion es automatica y puede ser supervisada por una sola persona, que gana 35EUROS/hora.
a) ¿Cuantas maquinas hay que usar para minimizar el coste de produccion?
b) Si se usa el numero optimo de maquinas, ¿cuanto ganara el supervisor durante elproceso?.
Sea x el numero de maquina empleado y t en tiempo (en horas). Primero, para construir8000 tablas, necesitamos 8000 = 50xt, ya que cada maquina es capaz de fabrica 50 tablasa la hora. El coste viene dado por
C = 800x+35t,
ya que cuesta poner en marcha 800 euros cada maquina, y el supervisor cuesta 35 euros cadahora, una vez que estas estan funcionando. Por lo tanto, de la primera ecuacion podemos
Tema 2 57
despejar el tiempo, y quedarnos con una funcion de coste que solo depende del numero demaquinas x, esto es,
C(x) = 800x+5600
x.
Esta funcion tiene un mınimo en x =√
7∼ 2,64, entonces el coste mınimo sera para x = 2o x = 3 maquina. Al ser C(2) > C(3), tenemos que el coste mınimos se realiza con 2maquinas.
Sabemos que 8000 = 50xt, y que el numero de maquina usado es x = 2, por lo tanto, elnumero de horas es t = 80 horas. Por tanto, el supervisor ganara 35 ·80 = 2800 euros.
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Figura 2.9: Ejemplo de optimizacion
