TENSÕES DEVIDAS AQ IH-MOMENTO E,M TABULEJROS DE PONTES DE CON­

CRETO ARMADO BJ-Ai1 0JADAS E COM CONTR,A)'ESQS MACIÇOS

Luiz Herkenhoff Coelho

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE PÕS GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.) EM ENGENHARIA CIVIL

Aprovada por:

Prof. Sydney Martins G.dos Santos

(Presidente)

Prof. Ronaldo Carvalho Batista

Prof. Sergio Fernandes Villaça

Prof. Benjamin Ernani Diaz

RIO DE JANE IRO, RJ - BRASIL MARÇO, 1984

ii

COELHO, LUIZ HERKENHOFF

Tensões devidas ao bi-momento em tabuleiros de pontes de concreto armado bi-apoiadas e com contrapesos maciços (Rio de Janeiro, 1984).

VIII,80P· 29,7cm (COPPE-UFRJ), M.Sc, Eng~

nharia Civil, 1984).

Tese - Univ.Fed. Rio de Janeiro

l .Bi-momento I .COPPE/UFRJ II Título (série).

iii

•

à Antonina, que tanto me ince~

tivou durante a elaboração des te trabalho.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradecemos aos professores funcionários do

Departamento de Engenharia Civil da COPPE/UFRJ que di reta ou indiretamente contribuiram na nossa formação, em especial ao professor Sydney Martins Gomes dos San tos, pela orientação indispensável i execuçao deste tra

balho. Somos gratos, finalmente, a Thereza e Fátima

pelo trabalho de datilografia.

V

Resumo da Tese Apresentç1da à COPPE/UFRJ como parte dos requisi-

tos necessários para a obtenção do grau de Mestre em (M.Sc.)

Ciências

TENSÕES DEVIDAS AO BI-MOMENTO EM TABULEIROS

DE PONTES DE CONCRETO ARMADO BT-APOIADAS E

COM CONTRAPESOS MACIÇOS

LUIZ HERKENHOFF COELHO

Março,1984

Orientador: Sydney Martins Gomes dos Santos

Programa: Engenharia Civil

RESUMO

Este trabalho tem por objetivo estabelecer um

procedimento para a análise da ordem de grandeza das tensões de

vidas ao bi-momento em tabuleiros de pontes bi-apoiadas, de con

ereto armado, com contrapesos maciços.

Inicialmente, é apresentada uma revisão da teo­

ria de bi-momento e um procedimento para o cálculo de estrutu­

ras hiperestáticas, quando são introduzidas as expressões para

o bi-momento e tensões consequentes para a secção tipo de um ta

buleiro com duas vigas principais.

tudo das cargas móveis e das linhas

Posteriormente é feito o es

de influência do bi-momento.

Finalmente é feita a aplicação do procedimento

exposto a um projeto de tipo corrente.

Em apêndice, são apresentados procedimentos de

uso e listagens de programas para calculadoras de bolso\ TI-59

para cálculo de ordenadas de linhas de influência do bi-momento,

ordenadas do diagrama de 6i-momentos para viga bi-engastada e

ainda cálculo de parâmetros para determinação de tensões de fle

xao.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial

fulfillment of the requirements for the degree of Master

of Science (M.Sc.)

WARPING STR~SSES IN SIMPLY SUPPORTED

REINFORCED CONCRETE BRIDGE DECKS WITH

BULKY COUNTERWEIGHTS

LUIZ HERKENHOFF COELHO

March,1984

Chairman: Sydney Martins Gomes dos Santos

Department: Engenharia Civil

Abstract

The objective of the present study is to establish a

proceeding to analyse the order of magnitude of the warping stresses in simply supported reinforced concrete bridge deck

with bulky counterweights.

Initially it is presented a review of the warping moment

theory anda proceeding for the analysis of a particular statically indeterminated structure. The type of structure

under analysis is that of a standard roadway bridge having a

cross secction constituted by a slab and two main beams. For

this particular case adequate expressions for the warping

moment and stresses are introduced.into the analysis framework.

Moreover the warping moment influence lines for live loads are

presented.

Finally, the appendices present the user's manuals plus

computer programs, specially designed for pocket calculators TI-59, for obtaining the warping moment influence line ordinates,

warping moment ordinates for fixed-end beams, and also the

parameters necessary to find the flexural stresses.

vii

INDICE

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Cap.I - Hiperestática dos bi-momentos em vigas bi-engastadas ........................ 3

Cap.II~ Expressões do bi-momento e tensões

consequentes em tabuleiros com duas

vigas principais ............................ 16

Cap. III-Estudo das cargas móveis e linhas de

influência do bi-momento.................... 22

Cap.IV- Aplicações a um projeto de tipo co~ rente ....................................... 28

Conclusão ........................................... 57

Apêndices........................................... 59

Apêndice , I - Programa para cálculo das ord~

nadas de linhas de influência

do bi-momento em uma viga bi-

engastada............................. 60

Apêndice II - Programa para cálculo das ord~ nadas do diagrama de bi-momen­

tos para uma viga bi-engastada

sujeita a um momento torsor 1!___

nitário uniformemente distribuí

do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

Apêndice III- Programa para cálculo de parâm~

tros utilizados no cálculo de

tensões de flexão e flecha ( no

estádio II) de vigas retangul~ res ou "T"........................... 70

Biblio~rafia ...................................... 80

Vlll

NOTAÇÃO

T - momento torsor Ts- Torção de Saint-Venant

T8- Torção devida ao bi-momento

P - carga concentrada

C - constante

E - módulo de elasticidade longitudinal

G - módulo de elasticidade transversal

B - bi-momento J -t momento de iné rei a a torção

J -w momento setorial de inércia

Fw - momento setorial estático Ewy, Ewx - produtos setoriais de inércia

CG- centro de gravidade

YcG-ordenada do CG x,y, z - sis~ema de coordenadas

X A' YA - coordenadas do centro de cisalhamento

hf- espessura da mesa de Viga IITII

b -w espessura da alma de viga "T"

d - altura Útil

a,b, l- comprimentos

q - carga uniformemente distribuída

mt- momento torsor uniformemente distribuído o - tensão normal

w - área setorial (coeficie,nte de enpenamento)

~ - ângulo de rotação

1

INTRODUÇÃO

Em construção empregam-se frequentemente peças longas

de paredes delgadas, que têm alta resistência e relativamente

baixo peso próprio.

A característica das peças longas de paredes delgadas

e ter sua espessura muito menor que a largura e esta, por sua

vez, muito menor que o comprimento CFig.l ).

FIG. 1

_t_, O 1 .. , d

_d_"' 0,1 .e

Uma particularidade das barras de paredes delgadas ~

e

poderem apresentar tensões normais quando submet i'.ias à torção

pura. Analisemos o comportamento de uma viga "U" engastada nu

ma extremidade e com um momento torsor aplicado na extremidade

livre (Fig. 2 ).

p

e FIG. 2

2

FIG. 3

A deformação da viga serâ esquematizada na fig. 3 em

::iue a aba direita sofrerá tração nas fibras su,eriores e compres

são nas fibras inferiores, enquanto que na aba esquerda o fenôm~

no e inverso. Podemos concluir que as secções transversais nao mais permanecerão planas.

J empenamento das secçoes transversais darâ origem a tensões normais, que formarão um sistema de forças auto-equil~

brado, visto não terem sidas a?licadas solicitHçÕes normais nem fletoras.

A este sistema auto-e::iuilibrado, corresponde uma ex

pressao a ::iue VLAS30V2 deu o 'nome de bi-mo:nento.

3

CAP!TULO I

HIPERESTÁTICA DOS BI-MOMENTOS EM VIGAS BI-ENGASTADAS

1.1 Introdução:

Para a solução de estruturas isostâticas

car diretamente a equação diferencial(2):

podemos ap.li-

T = GJ dcj, - EJ d s cp EJ ( 2 ' "'"' tdz w d z 3 = 'w y cj, · - 'I' ) (1.1)

GJt y2 = EJw, ou

- cp '" = 2-EJw

a qual, para cada caso de carregamento, terá uma solução par­

ticular e cj,p) .

Equação homogênea sera:

cp d.v _ y2cp" 0

cuja solução geral é:

cp

cj,'

cj,"

cf>'"

=

=

=

c1

+ c2z+ c3chyz + c4shyz; donde:

c2 + y (C 3shyz + c4chyz)

y 2 (C3chyz + c4shyz)

y 3 (C 3shyz + c4chyz)

As constantes de integração sao determinadas com as

condições de extremidade. Com a expressão do ângulo de rotação cj, determinada,

temos:

T = GJ cj,' Torção de Saint-Venant s t

Tb =-EJw q,"' Torção devida ao bi-momento

B = - EJw <l>" Bi-momento

T = Ts + Tb

4

1.2 Sistema Principal:

Para a solução de estruturas hiperestáticas podemos

proceder de forma análoga ao método das forças, ou seja, libe­

rando tantos vínculos quantos forem necessários para transformar

a estrutura em isostática. Assim, seja a viga bi-engastada

sujeita a um momento torsor qualquer (Fig. 1.1):

cj, =o mt cj, =o f =o ~ =o

~)))))) ))2 )l))) ~ l

FIG. 1.1

Neste caso temos que liberar 2 vínculos superabundan­

tes; no caso escolhemos, por simplicidade, um engaste (Fig. 1.2)

e aplicamos na extremidade liberada um momento torsor (X1 ) e um

mt mt X2

~ Jll))) J))l))) l ~ =. ~1H))) JJ JJ Jl + !l-------+!!------I cp =o cj,'=o

cp =o q,'=o

cp =o cj,'=o

FIG. 1.2

bi-momento (X 2), de forma que as deformações se anulem na extre­

midade

cj, o (1. 2)

cj,' = cj,'o + cj,~' + cj,2 *' o

5

As incógnitas do problema ficam sendo o momento torsor

(X 1) e o bi-momento (X 2).

Podemos resolver o sistema principal para um momento

torsor e um bi-momento unitários, obtendo assim: x1 ;e··l

,,_ ______ --- Xz = 1

i!I--I

As equaçoes (1.1) ficam

q,' + X </>' + X q,' = O o 1 1 2 2

ou em forma matricial

:j { ::} ·{ -:.ºJ (1. 3)

(1. 3)

6

1. 3 Cálculo dos Termos de Carga e dos Coeficientes das Equações

de Coerência Linear

Os termos de carga$ e$' são obtidos por integra-º o

çao direta da equação diferencial (1.1) para o carregamento

aplicado no sistema principal (Fig. 1.3).

~)JJ)))JJJl) ll)) f------,> z

FIG. 1.3

$ = $ (l) o $' = $' (l) o

Os coeficientes das equaçoes de coerência linear sao

obtidos por integração da equação (1.1) para o momento torsor

(X 1 = 1) e o bi-momento (X 2 = 1) aplicadas no sistema principal.

Solução para o momento torsor concentrado unitário

aplicado na extremidade livre:

1 z

Solução geral: $ c1 $' = Cz

$" = y2

cf>'" = y3

X = 1 1

1 1 1 1 T=l I J 111

+ c2z + c3chyz + c4

shyz

+ y (C 3shyz + c4chyz)

(C 3chyz + c4shyz)

(C 3shyz + c4chyz)

e 1. 4 i

7

Temos as seguintes condições de extremidade:

z =

cp (O)= O,C 1 + c 3 = O

<P' (O)= o,Cz + yC4 = O <P" (l) = o,c 3 + c 4tghy.t o

C4 1

yGJt

C3 1 tghyl

yGJt

CI 1 tghyl - ---

yGJt

Virá pois:

z =

= z + l tghyl(chyz - 1) y

GJ <P' = 1 - chyz + tghy lshyz t

Então:

.e_ -{ T = 1 B = O

1 shyz y

<P" = o

<P1 = <P (l) e.e.+ l tghyl (chyl - l} y

1 1 y shyl) 'GJt =

= ylchyl - shyl GJtychyl

<P' = <P' (l) = 1 - chyl + tghylshyl = chyl - 1 1 GJt GJt chyl

Solução para o bi-momento concentrado unitário apli­

cado na extremidade livre:

Xz= 1

----1 1-> z

8

Temos as seguintes condições de extremidade:

{ cj, - o ,-{: 1 cj," 1 = =--

z = o -----> cj,' = z = EJw o

= o y2cj,' - ~Ili = o

cj, (O) o c1 + C3 = o

f (O) o Cz + yC4 = o

y 2cf,1

(l)-<í>"' Cl) = o . y2Cz o Cz = o .. c4 O

EJw y 2 (C chy,() = - -

1-3 EJw cj," (l) = ---

1

C3 = - 1 1 y 2EJw.chyl

- -GJtchyl

c1 = 1 GJtchyl

cj, 1 (1 - chyz) = GJtchyl

cj,' = _ yshyz GJtchyl

Então:

cj,2 = cj, ( ,() = 1 - chyl _ chy l - 1 GJtchYl - - GJtchyl

cj,' = cj,' (l) = _ yshyl 2 GJtchyf

Então, a matriz dos coeficientes das equaçoes de coe-

rência linear sera:

cj,' 1

cj,' 2

=

y fchy l - shy l GJt y chyl

chyl - 1 GJtchyf

chyl - 1 GJtchy,(

yshyl GJtchyf

ou, multiplicando as equaçoes por GJt:

ylchyl - shyl ychy,(

chyl - 1 chyl

chyl - 1 chyf

yshyl chyl

= ( 1. 5)

9

Resolvamos o sistema de equações:

6 = -ylshyl + 2(1 - chyl)

chyl

6 = GJ • _yshyl _ GJ •· .chyl - 1 1 t o chyl t o chyl

6 = _ GJ •· _ylchyl - shyl + GJ • 2 to ychyl to

61 x1 = 6

chyl - 1 chyl

Assim, para se resolver qualquer caso de carregamento

de uma viga bi-engastada, basta calcular os termos de carga

e resolver o sistema de equações lineares (1.5). Observe-se que

o sistema de equações (1. S) foi obtido para o sistema principal

da Fig. 1. 2.

Exemplo 1.1:

Viga bi-engastada com momento torsor uniformemente

distribuído:

m = 1 t

~))))))))))) ~

Sistema principal:

mt ~)))))))))) mt.l~

l ~ z

temos que:

Cálculo dos termos de carga,

T = EJw (y 2•' - <j,'"), ou derivando

<j,iv _ y 2 • ., = __ l_ dT EJw dz

<j,i V _ y 2 <j," = + 1 EJw

T = m (l - z) t

10

Com a solução particular p0

p = ZGJt

Solução geral da homogênea

Po = c1 + C2z + c3chyz + c4shyz;

a solução geral e : 2

Po = c1 + c2z + c3chyz c4shyz z + - --

ZGJt

Condições de extremidade,

{P (O)=

z=O-> o p'o(O) =

o { r = o : . y. 2 p' e .t) - p" e .t) = o ,z=.(--i, o o o' B =O:. ç,"

0(.t) = o

As constantes de integração terão os valores:

c1 = (1 + ylshyl) y 2 GJtchyl

Cz = .(

GJt

C3 (1 + ylshyl) y 2 GJtchyl

C4 = .( - --

yGJt

E a solução final:

GJ p = z (l _ ~) _ _l_ [ylshyz _ (1 + ylshyl) (chyz - l)J t o 2 y 2 chyl

GJ p' = (l - z) _ l. [ylchyz - (1 + ylshyl) to y chyl

shyz]

Fazendo z = l, obteremos os termos de carga

.(2 GJ P = t o z l ( 1 - chyl + ylshyl)

y 2 chyl

GJ p' t o = shyl-yl

ychyl

A solução da viga bi-engastada sera:

11

Passemos à determinação de x1 e x2. De acordo com o

processo apresentado neste capítulo temos:

6. = 1

X = 6.2 2 6.

l[2(1 - chyl) +ylshyl] 2chyl

donde: yl

x1 = -l [(1 - chyl) + zshyll

ylshyl + 2(1 - chyl)

y'c~yt {

2R_2

6. 2 = _Y_(l + chyl) 2

e

l =--2

[ylshyl + 2 (1 - chyl)]

= _ ~ 1 + chyl + 1 + f sh l

- ylshyt}

X2 2 ylshyl + 2(1 - chyl) y 2 y ylshyl + 2(1 - chyl)

Simplificando, vem:

l 1 X2 = - 2ytghY: + y2

donde a solução final:

= z (l - z) l

GJt~ 2 2ytghll

2

Ts =

B

GJ ~· z'- z

t 2

1 - EJ w~" = y2

onde z' = l - z .

Exemplo 1.2:

+ l

2tghYl 2

(1 -

[ 1 shyz + shy(J - z) -

shyl

chyz - chyz' shyl

shyz - shyz') shyl

J

Viga bi-engastada sujeita aum momento torsor concen­

trado unitário:

12

T=l

1, a b 1

Sistema principal:

T=l -a b

Cálculo dos termos de carga

T=l T=l

a b a b

Temos a equaçao diferencial:

$iv - y 2 f' = O, pois T f constante em cada trecho (a ou b).

Chamemos de $a e $b as soluções para os trechos o~z~a e a<z,l

respectivamente. Teremos, então:

$" = a y 2 (C 3chyz + c 4shyz)

cf>" 1 = y 3 (C 3shyz + c 4chyz) a

$b = CS + C6zl + c 7chyz 1 + c 8shyz 1

$b = c6 + y(C 7shyz 1 + c 8chyz 1)

f'b= y 2 (C 7chyz 1 + c 8shyz 1)

$"b= y 3 (C 7shyz 1 + c 8chyz 1)

Com as condições de extremidades

~{'" = o {: = o z = o zl = b-'e>

$' = o = o a

$" = o

cf>''' - y"$' = o

e as

</l e z a </l' e z a </l" e z a

condições de

= a) = <f,b( 2 1 = a) = </l6 e z i = a) = </l" e z b 1

13

continuidade = O)

O)

= O)

temos também que para O< z < a, T = 1.

Desta forma, as 8 constantes de integração podem ser

calculadas e encontramos:

c1 shyb - shy.i'. =

yGJtchy.i'.

Cz = 1 GJt

c3 - shyb - shy.i'. yGJtchy.i'.

C4 1 ----

yGJt

C5 a + shyb - shy.i'. =

yGJtchy.i'.

c6 = o

c7 - shyb(chya - 1)

yGJt chy.i'.

CS chyb(chya - 1)

yGJt chy.i'.

Temos então a solução:

19) ParaO<z<a

shyb - shy.i'. (l _ chyz) + 2 _ shyz ychy.i'. y

29) Para a < z < .i'.

GJ <f, =a+ shyb - shy.i'.+shyb(l-chya)chyz1 _ chyb(l-chya)shyz1 t ychy.i'. ychy.i'. ychy.i'.

que, simplificando, dará:

GJt = shyb - shy.i'. (l _ chyz) + 2 _ shyz + 1 h YchY.i'. y - 2 1 y s yzl

Observamos que as duas soluções são idênticas a menos das

14

duas Últimas parcelas na solução para a< z ~ l, assim podemos

escrever:

GJt<P = shyb - shyl (l _ chyz) + z _ shyz ychyl y 1 -

1 z +- shyz 1 1 y

Ts = GJ <j,' = - shyb - shyl shyz + 1 - chyz 1- 1 + chyz1 t chyl

onde os termos a direita da barra vertical têm significado ape­

nas para a< z, l. Os termos de carga sao obtidos para z = l, z 1 = b.

GJt<j,o = shyb - shyl (l _ chyl) - l + shyl _ b + 1 shyb chyl Y Y

Simplificando:

= shyb - shyl + (l - b)Lchyl ychyl

shyb - shyl GJt<j,'

0 = - chyl .shyl + 1 - chyl - 1 + chyb

GJ q,' t o = eh y a ___:___l

chyl

Procedendo de forma análoga à anterior, obtemos:

shyl(shyb - shyl + yachyl) + (chya - 1) (1 - chyl) chyllylshyl + 2(1 - chylJJ

(1 - chya) (ylchyl - shyl) + (chyl - 1) (yachyl + shyb - shyl) ychyt Lylshyl + 2 (1 - chyl)J

A solução da viga bi-engastada será:

15

ou:

GJtcj, = B0 (1-chyz) +T0

(z -~ shyz) f - z 1 +~ shyz 1

T5

= GJtcf>' = - B0

yshyz + T0

(1 - chyz) f - 1 + chyz 1

B =-EJwcj," = B chyz + T . 1:. shyz 1 -1 shyz1

o o y y

onde: (b shyb) (1 1 sh L)

= L. (1 - chyL) l - yL - (1 - chyb) -yl Y Bo yLshyL + 2(1 - chYL)

sh .e.(b _ ~ shyb) + (1 - chyb) (1 - chyL)

yLshyL + 2(1 - chyL)

16

CAP!TULO II

EXPRESSÕES DO BI-MOMENTO E TENSOES CONSEQUENTES EM TABULEIROS

COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS

Para a aplicação das expressões obtidas anteriormente,

torna-se necessária a determinação de características geométricas

e setoriais.

Passemos a sua determinação para uma secção tipo

(Fig. 2 .1) :

1

d

j b - b t-t

1

w a

1 ' YcG "

CG

y i~k bw a b

FIG. 2.1

2.1 Determinação das Características Geométricas:

-

- X

Por serem de uso corrente, nao entraremos em detalhe

do cálculo do centro de gravidade e dos momentos de inércia.

2.2 Características Setoriais:

Como complemento das características geométricas, ne­

cessitaremos de outras características próprias das barras de

paredes delgadas que são determinadas utilizando a área setorial

que definimos a seguir.

Seja uma secção transversal (Fig. 2. 2) , escolhamos um

pólo P qualquer, liguemos este polo P às extremidades de um

elemento ds da linha média da secção.

17

FIG. 2.2

Chamemos dw o dobro da areado triângulo PAB

dw= r ds

onde r é a distância do polo P à tangente ao contorno da secçao

no ponto A. A integral

w = J rds

denomina-se area setorial ou coeficiente de ernuenarnento. Assim,

a área setorial será o dobro da área varrida pelo raio vetor PA

ao mover-se o ponto A desde uma origem O arbitrária até um certo

valor 1.:, do arco.

w será positivo se PA mover-se de x para y (sentido horário).

Com a área setorial conhecida, podemos definir as

outras grandezas setoriais:

E = J w w d s - momento setorial estático

Ediy = J x w

Ewx = J y w

J = J w2 ds w

ds} ds

produtos setoriais de inércia

- momento setorial de inércia

2.2.al Coordenadas do Centro de Cisalhamento

Podemos obter as coordenadas do centro de cisalharnen­

to de urna secçao a partir de um polo P' arbitrário (Fig. 2.3)

pelas express5es:

P' -+------,-----!> X

xa lYa - - - - _ _.,..

A(xa, Ya)

FIG. 2.3

= Ewp' x Xa

Jx

Ya Ewp' y

Jy

18

Vejamos o processo de cálculo para a secçao tipo da

Fig. 2.1:

traça-se o diagrama das áreas setoriais (w) referidas a um

polo P' qualquer, por simplicidade o ponto O.

_s ___ "-.------'+------;----2 ----õ) X•

------+-----+---------+-----7~ X

CG

6

y

w'1 = o w'2 o w's = ad

w\ o w's = o w's =-ad

o diagrama fica

P'= O

-a.d

Ewp.x = f y w'ds = O (por simetria)

Ewp•·Y = + fx w'ds = bwfxw'ds = a 2 d 2bw

3

a.d

Então, as coordenadas do centro de cisalhamento (re­

feridas ao ponto Q) sao:

XA = Ewp'.x = o = o

Jx Jx

Y'A Ewp'.y = - (ad} 2 bw ( 2 .1) Jy Jy

YA = IYÁI

19

2.2.b) Diagrama dos Coeficientes de Empenamento (w) Referidos

ao Centro de Cisalharnento A,

5 o 2

----+------+------+-----------'>, X

6 3

w ; o 'y o

Wt ; -Ya • a

W2 W.1 Ya · b w, ; Wt + a.d w, ;-w1

Ws =-w2

Ws =-w 3

o diagrama torna o aspecto seguinte:

w,

W5 W 1 ,-

Ws y W3

2.2.c) Cilculo do Momento Setorial de in6rcia

Jw; fw 2 ds

Integrando, vem:

Jw; 1 { hf(a + b)w~ + bw[yAwt + (d - yA)w~J}

ou

Jw ; ! { hf(a + b)w~ + bwd(wt + w~ + w1 w,J

2.3.a) Cilculo do Momento de In6rcia a Torçio

W2

X

e z. 2)

20

Jt = l i: h 3 s 3 i i

Jt = l[ca + b)h 3 + db\] J 3 · f

2.3.b) Módulo Transversal do Concreto

G = E 2(1 + v)

para o concreto v = 0,2 (NBI/78)

G = E

2,4

2.3.c) y2 = GJt = Jt EJw 2,4 Jw

y = V __ J-"t-2, 4 Jw

para o concreto

2.4 Cálculo do Bi-Momento

e 2. 3)

e 2 • 4)

Com o valor de y calculado, calcula-se o bi-momento

utilizando-se as expressões obtidas nos exemplos 1 e 2 do Cap. I.

2.5 Tensões Normais

a =

Para o cálculo das tensões normais, tem-se a expressão:

B w

Jw

Note-se que B e Jw sao constantes em cada secçao trans­

versal da peça; temos, então, que crê diretamente pro­

porcional a w. Então, o diagrama de tensões terá o mesmo

aspecto do diagrama dos coeficientes de empenamento refe­

rentes ao centro de cisalhamento.

21

02

X

y 03

22

CAP!TULO III

ESTUDO DAS CARGAS MOVEIS E LINHAS DE INFLUENCIA DOS BI-MOMENTOS

Estudaremos as linhas de influencia de momentos fle­

tores e bi-momentos no apoio e no meio do vio.

3.1 Linhas de Influencia de Momentos Fletores

Nio entraremos em detalhes por este assunto ser cor­

rente.

3.1.1 No apoio: P = l,i._ X ,j,'k--->t-1-

O momento no apoio e máximo quando a carga se encontra

na extremidade do balanço e e nulo quando a carga está no vio

interno.

3.1.2 No meio do vao:

l -4-

23

O momento no meio do vao e máximo quando a carga se

encontra no meio do vão e é mínimo quando a carga está na extre­

midade do balanço.

3.2 Linhas de Influência do Bi-Mornento

A linha de influência do bi-rnornento em urna secçao s e

a representação do valor do bi-rnornento, nesta secção, produzido

por um momento torsor concentrado unitário que percorre a estru­

tura.

Estudaremos aqui as linhas de influência de urna viga

bi-engastada.

3. 1

Ternos, do Cap. I, a expressão do bi-rnomento para um

momento torsor concentrado unitário.

shyz 1 B = B chyz + T --o o y b 1 (- - - shyb)(l

B = o .e y.f.

1 shyz1 y

- chy.f.) - (1 - chyb}(l - shy.f.) y .e .

o ~. 2(1 - chy.f.) + y.f.shy.f.

(1 - chy.f.) (1 - chyb) + yshy.f.(b

2(1 - chy.f.) + y.f.shy.f.

3.2.1 L.I. no Apoio:

1 - - shyb) y

3.1

A equação da L. I. no apoio será a equação (3J) para z = O

com b variando de .f. a O.

B = = .f. ci - :ft shyb) (1 - chy.f.) - (1 - chyb) (1 - :ft shy.f.)

2 (1 - chy.f.) + y.f.shy.f.

que, graficamente, tem o aspecto da Fig. 3.2.

24

Bmax ( no a;ioio)

FIG. 3. 2

Calculemos a posição da carga que produz o bi-momento

máximo:

dB db

= O =L. 1 I

shyL (1 - chyb) (1 - chyL) + yshyb CI -yy-}

2 (1 - chyL) + y.tshyL

(1 - chyb) (1 - chyL) + shyb(y L - shyL) = O

chyb - 1 shyb

yb 1 =

2 y

bm 1 =

y

tgh yb = YL - shyL 2 1 - chy L

[ 1 • yl - shyl 1

Ln 1 - chy.t

1 - xL - shxL 1 - chyL

Ln [ (1 - chyL) + (YL - shyL) J (1 - chyL) - (yL - shy.t)

o

Como vemos, tanto o valor do bi-momento quanto a posição

da carga para o bi-momento máximo variam, dependendo não só do

vão, mas também da secção transversal e do material da estrutura.

3.2.2 L.I. no Meio do Vão:

A equaçao da L.I. sera a equaçao 3.1 para z

graficamente, terá o aspecto da Fig. 3.3.

~ ~

~io do vão)

FIG. 3.3

L 2, que,

carga

25

O bi-momento máximo ocorre

ali se er:contra, também do vão, secção transversal e

tituída a peça.

no meio do vao, quando a

porem o seu valor depende

do material de que e cons-

3.3 Análise das Linhas de Influência

Estudaremos agora as posições mais desfavoráveis do

carregamento.

3.3.1 Para as Tensões no Apoio

Teremos duas situações críticas, uma com o momento

fletor má:icimo (Fig. 3. 4) e outra com o bi-momento máximo (Fig. 3. 5) .

1~ Situação: Veículo acabando de entrar no contrapeso já car-regado com a carga de multidão (introduzindo mo­

mento fletor máximo no apoio)e o tabuleiro com uma pista totalmente

carregada(introduzindo torção e, consequentemente, tensões de

bi-momento) (Fig. 3. 4).

FIG. 3.4

2~ Situação: Contrapeso carregado com a multidão(introduzindo

momento fletor) e o tabuleiro com uma pista total­

mente carregada e com o veículo na posição que introduza o bi­

momento máximo (Fig. 3.5).

26

multidão

FIG. 3.5

3.3.2 Para as Tensões no Meio do Vão

A posição mais desfavorável do veículo, tanto para o

momento fletor quanto para o bi-momento, ocorre quando ele está

situado no meio do vão (Fig. 3.6). Quanto à carga de multidão,

será feita uma análise para determinar o comprimento ~ de carre­

gamento de tal forma que a soma de tensões om + ob seja máxima.

Note-se que om ê máxima para o tabuleiro totalmente carregado e

ºb e máxima para metade do tabuleiro carregado.

Os contrapesos ficam descarregados.

FIG. 3.6

3.4 Cálculo das Tensões em Serviço

Vimos que as situações mais desfavoráveis ocorrem com

o carregamento assimétrico no vao interno (Fig. 3. 7), ou

FIB, 3.7

27

s'implificadamente, uma carga excêntrica (Fig. 3. 8a), que podemos

substituir pelo sistema estaticamente equivalente na Fig. 3. 8b,

com uma carga simêtrica e um momento torsur aplicado: p M=Pe

t e 1

FIG. 3.8a FIG. 3.8b

Calcularemos separadamente as tensões devidas à flexão Ccrml e

devidas ao bi-momento (crb).

O cálculo de ªm será feito no estádio II e o cálculo

de Gb, por simplificação, no estádio I, utilizando a conhecida

expressao:

B ªb = - . w Jw

28

CAP!TULO IV

APLICAÇOES A UM PROJETO DE TIPO CORRENTE

Seja a ponte bi-apoiada de concreto armado e com con­

trapesos maciços da Fig. 4.1

;1

o

~-l '

2,0,0

315 o

o N

º-l l

~.3~

7,5 O

,o (

- !1135

o o a,

o o

a,

-

1,--p'Q

O,'+ O -~

o,~'-

2s o

o N ó

o

0,3 5 To-N

0,3 5 õ

f2,o ó 3,5 O 'i o 6 '

Fig. 4 .1

29

4.1 Dimensionamento a Flexão

4.1.1 Determinação do Carregamento

a) Peso próprio (carga permanente):

Contrapeso: 7,5 x 2,5 x 2,5 = 46,88 t/m

Vão central:

Lajes: 0,20 X 7,5 X 2,5 = 3,75 t/m

Vigotas: 0,20 X 0,20 X 3,50 X 2,5 X 3=0,03 t/m 40

Vigas principais: 2,30x0,35x2,5x2

q = 7,80 t/m

Esquema estrutural:

4,03 t/m

46,88t/m 46,88t/m

l l I 11 7,80t/m i;I I l l l J 1 l 1 J

8,00 40,00 8 , O O

FIG. 4.2

b) Carga acidental:

A carga acidental serâ determinada de acordo com a

NB6 para ponte em rodovia classe I (veículo tipo 36).

Trem tipo:

p

p'

p'

J, 6,0~

p = 500kg/m2

p' = 300kg/m2

Simplificação de cálculo: vigas retas com mais de

30 mde vão, permite-se substituir a carga concentrada

do veículo por carga igual, mas uniformemente dis­

tribuída sobre a área retangular ocupada pelo mesmo.

Q = ~.OOO = 2.000 kg/m2 3x6

30

Q' = Q - 500 = 1.500 kg/m2

O trem tipo passa a ser o da Fig. 4.4.

300kg/m

500kg/m212000~t/1500kg/m2

300kg/m2

FIG. 4.4

Para o dimensionamento à flexão, devemos carregar o

tabuleiro até a viga 2 e deixar o restante do tabu-

leira descarregado, pois assim

na viga 1, como mostra a Fig.

1

Vl vz

FIG. 4.5

teremos a carga máxima

4. 5:

un ln de inn,tuênua pMa ~ wúbU,{,ção

tltan1.ivvu.,a.l do c.M­Jtegamento audenta.l

Temos assim o carregamento mostrado na Fig. 4.6:

Q'=l,5t/m2

p'=0,5t/m2 p=0,3t/m2

J l l J. .1. .l J

FIG. 4.6.a FIG. 4.6.b

E j J.

31

0,3t/m2

J. ,L .l 1

4. 6. c - Faixa em que nao trafega o veículo

2,0t/mZ

~,-º ,_5 t_/ m_z ,--------11 1 1 [ J g 0,5t/m2

4 J. L

4.6.d-Faixa em que trafega o veículo

A carga acidental fica, então:

b.l) Para o dimensionamento no apoio:

Teremos o contrapeso totalmente carregado e com o

veículo acabando de entrar na ponte, assim (Fig. 4. 7) :

Ql = 0,5 X 3,0 + 0,3 X 4,5 = 2,85 t/m

Qz 1,5 x 3,0 4,5 t/m

7,35t/m

FIG. 4.7

32

b.2) Para o dimensionamento no meio do vao:

Deixaremos os contrapesos descarregados e carregare­

mos o tabuleiro conforme a Fig. 4.6, obtendo:

b.2.1) carga devida ã multidão

Q _O 5x2,02

+º 3x3,50+0,2xl,5( 2 +Ll) =l,0 5 t/m 1 - 2 2 3,5 2

b.2.2) carga devida ao veículo

Q' = l,5x2,0 2 +1,5xl,5.( 2 l 2 3 5 ,

2,63 t/m

Teremos, então:

3,70t/m

+~-l~;-º_5t_/~.,m--.-~1J/J 1r-~:-·_,o_5~:-/_m_4~~

õ. 2s.:

FIG. 4.8

4.1.2 Cálculo dos Esforços Máximos:

a) Cálculo do momento máximo negativo:

Carga permanente:

da Fig. 4.2, temos:

X - -A

46,88 X 8 2

2 = - 1.500 t.m

Carga acidental:

da Fig. 4.7, temos:

285x8 2 6 2

-4,5x6x(2+ 2) 226 t.m

Então, o momento máximo no apoio sera:

X= - 1.500 - 226 =-1.726 t.m

Para o dimensionamento das vigas, teremos:

X = 1. 726

2 - 863 t.m em cada viga.

33

b) Cálculo do momento máximo positivo:

Carga permanente:

da Fig. 4.2, temos:

7,80 X 40 2 M =-1.500 + = 60 t.m

8

Como a carga permanente é simétrica, cada viga deverá

absorver a metade deste momento.

Carga acidental:

da Fig. 4.8, temos:

M = (1, O 5 x 4 O + l~x~~) x ~ _ 1, O 5 x 20 2 _ l_,__ ó 3 x ~ = 3 56 t. m

2 2 2 2 2

então, o momento máximo positivo (no meio do vão) sera:

M = 386 t m

4.1.3 Dimensionamento das Ferragens das Secções mais Solici­

tadas:

a) No apoio:

250

Para os momentos nos apoios (negativos), as vigas

trabalham como retangulares de dimensões 35 x 250

(Fig. 4.9):

A' s

M 863 t.m

fck = 300 kg/m2 CASO B

FIG. 4. 9

Calculando as areas de aço de acordo com a NBI/78,

obteremos:

140,0 cm2 e A' = 10,30 cm2 e poderemos adotar s

141,9 cm2 ---> 28 0 25mm

11,40 cm2 - 4 0 20mm

34

b) No meio do vao:

Para o momento no meio do vao (positivos) as vi­

gas serão calculadas como vigas "T" (Fig. 4 .10) : b

f

A' s

M = 386 tm

fck = 300 kg/cm2

CASOB

De acordo com a NBl/78, teremos:

b3 = 120 cm; bl = 150 cm

bf = 30 5 cm

b w 35 cm

hf = 20 cm

Dimensionando, teremos:

As 52, 23 cm2, A' s =O, e adotaremos

As= 54,30 cm2 -4 14 0 20mm

A' = 2,5 3 cm2 - 2 0 s 12,5mm

35

4.2 Determinação das Características Geométricas da

TransvePsal

hf=0,20

Secção

x1 ., 1-1 1 --

r YcG

-CG

X

2,50 d=2,40

- '--- ~s--

·k 'k i'/ =ó', 35 b=2,00

bw=0,35 2a=3,50 b =2 , 00 y' w ., ,, '

" - '

FIG. 4.11

a) Centro de Gravidade 2,30

y =0,20x7,50x0;10+2x0,35x2,30x(-2-+0,20) =0, 7471m cg 0,20 x 7,50 + 2,0 x0,35 x2,30

Y = 74,71 cm cg

b) Momento de Inércia

J = 0, 20 X 7,503

+ 2 X [2, 30 X O, 35 \ (3, 50, 2

X O 35 X 2 3J Y 12 12 2

1 ' ' j

J = 11 98 m' y ,

36

4.3 Determinação das Características Setoriais

a) Centro de cisalhamento:

Para esta secção, temos a equaçao 2.1:

Y' = -A

onde a

d

bw

Jy

YA ;

(a.d) 2 bw

Jy x = O (pois a secçao é simétrica

A em relação ao eixo Y).

= 3,50 =

2 1,75 m

; 2,40 m ; 0,35 m ; 11,98 m4

2

(l,75x2,40) X O, 35

11,98

YA. = - 0,515 m

YA = 0,515 m

XA = O

b) Diagrama dos coeficientes de empenamento (w) referidos

ao centro de cisalhamento:

Do

w o

w 1

w 2

w 3

w 4

w 5

w 6

5

Cap.

; o

A

o 2

---4----+-----1----------o>, X

6 3 , y

II , temos:

;

YA·ª ; 0,902 m2

; w1 - YA. b =-1,933 m2

; W1 + a.d ; 3,298 m2

=-w l

=-w 2

=-w 3

37

O diagrama sera:

·[=lr,9~3r:r:JS~o;,~90~==i-=~-~o ,~9~0 ij:=r::r::tJJ I ) - -1,93 J

-3, 30 y FIG. 4.12

4.4 Cálculo do Momento Setorial de Inércia:

Substituindo, vem:

Jw= 6,7487 m6

4.5 Momento de Inércia à Torção:

J t ~ i [e a + b) h; + db '] w . Equação 2.3

Substituindo:

J = O 0886 m' t ,

Podemos agora calcular a grandeza

y = ' 0t = O ,073961/m VWw

X

3,30

38

4.6 Linhas de Influência do Bi-Mornento:

Os contrapesos, sendo maciços, impedem o empenamento da

secção no apoio. Então, para o bi-rnornento, a ponte será

considerada corno engastada nas extremidades e com o empe-

namento impedido ( cp =O; cp• = O).

Então, para o traçado das linhas de

influência, podemos utilizar as

equações 3 .1, obtendo os seguintes

valores numéricos (*):

a) Para o bi-rnornento no meio do

vao:

Valores calculados de 1 em 1

metro, desde zero até 40 rn.

L.I. traçada na Fig. 4.13.

º= 00000 º= 00::::::9 O., 0:356 i º= 0:::0:30 o .. 14321 0,,22469

º= 4.,4522 0,,5S54:3 0 .. 746?:3

1:: 6210:3 1 .. 90292 2 .. 21299 2,,55296 2,, '3246B :3 .. :3:3019 :3= 77170 4. ê:5i6:3 :3:: 77170

2 .. 55296 2 .. 21299 i = ·302:·=,1;2 1 .. 6210:3 1 = :36580 1,, 1:3582 O .. 92'3B4 O, 746 7:3 O .. 5:354B o .. 4452;2 O .. :3251B o .. 2246'3 º= 14:321 o .. 0;30:30 o .. 0:3561 o .. ooi::B9 0 .. 00000

(*) Valores estes obtidos com auxílio do programa listado

no apêndice I.

39

b) Para o bi-momento no apoio:

Valores calculados de 1 em 1

metro, desde zero até 40 m.

L.I. - Fig. 4.14. O" O!JOO!J -o. '33::>i-2

-3= b06B2 -,:L 04217

-·4,, 90066 -5= 05707

-5=20657 -5:20900 -::i,, 16902 ·-5= 0906B -.:L '3 77::i i -4= B:3406

-,:L 467?'0 -A -:,;:;i.:::·:i -, = ,:_ ·-' .!. ,_, ·-'

-:3., 50B60 -:3 .. 2:3902 -2= '36::::20 H ~-- = ,:, ;:; ::: ;:; ;:;

-~:'. .. 40:38 i -2 .. 12572 -1,, :::52:36

-o= 6552:::'.i -0,,47045 --o=::::1119 -o .. 1 :::os? -O,, 08:304 ·-D. 02144

º= 00000

Bmáx = 4,25

ESC. lilOiL J :2.e..O

VER._I: 100

... e

Bmdx = - 5,21

E.SC.. fülli._Ja 20P

\éER.-1:100

1 1

i ' 1

1

1

- -·- ~ --

1

42

4,7 Linhas de Influ;ncia dos Momentos Fletores:

a) No apoio (Fig. 4.15):

FIG. 4.15

b) No meio do vao (Fig. 4.16):

-4 -4 /

10

FIG. 4.16

4.8 Cálculo das Tensões:

4.8.1 Tensões no Apoio:

Calcularemos as tensões no apoio para as duas situações

mostradas no item 3.3.1 (Cap. III). 1~ Situação: Veículo acabando de entrar no contrapeso.

a) Tensões de flexão: Temos, para este caso, o momento fletor calculado

anteriormente:

X = 1. 726 t. m

Temos, no apoio, a situação mostrada na Fig. 4.17; a

secção será considerada, para o cálculo das tensões

de flexão, como sendo duas vigas retangulares, cada

qual absorvendo metade do momento fletor.

M I y

A' s

M (d - x) . n I

43

FIG. 4.17

X

A' s

b w

LN

+-+

d h

Podemos utilizar o programa listado no apêndice~, entran­

do com os seguintes dados:

fck 300 kg/cm 2

bf = 35 cm= bw d = 240 cm

d' 10 cm

As 141,9 cm 2

A' = 11,4 cm 2 s

hf o

:300 =

.-,;::­

.:.,._! =

--~ .::., ·-'.

240=

1 º=

- " u.

:3==V5'326= 79B6 6=070648497 :;-;:5= 4::::36:3016 1= 712:3E,:35t:5 2 ::f:":'. 4 ::u:r3 1 = ·::1 9

FCK

BF

Bl,J

D

D!

H- ,:· ·-·

A,:- 1

·-·

HF

E,-. ·-· M

I

Temos então:

M = 863 t. m

863 X 1.000 X 100

28248892

ºc máx. = 261 kg/cm 2

ºs = 2.865 kg/cm 2

44

y = 3,05 y

b) Tensões devidas ao bi-momento:

Quando o veículo acaba de entrar na ponte, a situação

mais desfavorável para o bi-momento será o vão interno

com uma pista totalmente carregada com a carga de multidão

(Fig. 4.18):

o ,5t/m2 O, 3t/m2

~)))))))).~

(a) (b)

FIG. 4.18

m = t O • 3 x 3 • 7 5 2 + O , 2 x 3 x ( 3 , 7 5 - 1 , 5) = 3 , 4 6 tm/ m

2

Para o caso mostrado na Fig. 4.18b, temos, do Cap. I, a

equaçao:

B = _l (1 _ yl

Y2 2tghyl 2

shyz - shyz' ) shyl

45

com a qual podemos calcular os valores para traçar o dia­

grama de bi-momento da Fig. 4.19 (*).

·-'3B= D 1 -:::o= ::::s -6,=L 1 :3

-11a'39 -1 = ?e

?= 42 15= 66 22= '39

51 = 4:3 52=50 52=85 52=50 51= 4:3 4'3a 64 4 7 = 13 A-:, ,:,7 -r ._, = ,_, i

:3·3= :::5 :35= 05 29= 44 .-, .-, ,-, ,-, .::.::.= 7 :::'

15 .. 66 7 = 42

- i 7,:, _;_ = ! ,_,

.-, .-, .-, .. ~ -:::.-:.,., :::.e,

-49= 26 -64= 1 :3 -:::o= 35 -·::1:::= O 1 ~ 1 -:, .-. ~

·- .!. i 1 = .:: • .!.

(*) Os valores fOram obtidos com auxílio do programa do

apêndice 2.

ESC- tlOlL. l;.2.01l

VER-lcin= 20m2

FIG. 4.19 Dl™MA DE.BLMf>MERTO..S PARA U.M MOMENTO TO.RSOR UN!TÁRl-0 U1*1FOR.MEMENTE DISTRIBUI DO

47

No apoio, temos que:

B = 3,46 X 117,21 = 405,47 tm 2

B 405,47 ºb = ~ w = w = 60,08 w Jw 6,75

Com w dado na Fig. 4.12.

As tensões ficam, então:

o = 60,08 xw 1 = 60,08 x (-0,90) =-54,1 t/m 2 =-5,41 kg/cm 2

1 o = 60,08 xw

2 = 60,08 x (-1,93) =-116,0 t/m 2 =-11,60 kg/cm 2

2

o3

= 60,08xw3

=60,08x3,30 =198,3 t/m 2 = 19,83 kg/cm 2

o ~ -o, 4

o = -02 5

o = -o 3 6

Na Fig. 4. 20 está representado o diagrama de tensões de­

vidas ao bi-momento:

FIG. 4.20

48

Vejamos agora a outra situação desfavorável para as

tensões no apoio.

2~ Situação: Veículo no vao interno da ponte.

a) Tensões de flexão:

Neste caso, a situação mais desfavorável ocorre com o

contrapeso totalmente carregado com a carga de multidão.

Temos assim:

X = -1, 5 0 Ü - 2 8 S X 8 2

1 9 2 =- .5 1, t.m 2

e cada viga retangular absorverá metade deste momento.

M = 796 t.m

M = 796 X 1. 000 X 100 2,82 ªc = - y y y I 28248892

ªc max. = 241 kg/cm 2

(J s = 2642 kg/cm 2

b) Tensões devidas ao bi-momento:

Como já foram calculadas as tensões devidas à carga de

multidão, calcularemos agora apenas as tensões devidas

à passagem do veículo (Fig. 4.21):

l,St/m2

a 6,0 b

(a) (b)

FIG. 4.21

49

mt = 1,5 x 3 x (0,75 + 1,50) = 10,13 t.m/m

Para determinarmos a posição do veículo que produz o

bi-momento máximo, utilizaremos a linha de influência

da Fig. 4 .14.

A posição mais desfavorável do veículo será aquela em

que a área sob a L. I. seja máxima, como é mostrado es­

quematicamente na Fig. 4.22:

6 m

FIG. 4.22

B = mt A máx.

mt = 10,13 tm/m

Amâx. = 30,87 m2 (*)

B = 312,7 t.m 2

B ºb = -.w

Jw = 312,7

6,75 w = 46,34 w

com w dado na Fig. 4.12.

As tensões ficam, então:

01

=-41,8 t/m 2 =-4,18 kg/cm 2

o 2 = -89, 6 t/m 2 =-8, 96 kg/cm 2

o 3 = 152,8 t/m 2 = 15,28 kg/cm 2

o4 =-01

os = ~o 2

o 6 = -o 3

(*) Calculada utilizando a regra de Simpson.

50

As tensões devidas ao bi-momento sao, então:

0 1 =-5,41 - 4,18 = - 9,59 kg/cm 2

o 2 =-11,60 - 8,96 =-20,56 kg/cm 2

03 = 19,83 + 15,28 = 35,11 kg/cm 2

O 4 = ··O 1

Os = -O 2

0 s =-o3

O diagrama terá o mesmo aspecto do da Fig. 4.20.

4.8.2 Tensões no Meio do Vão:

Façamos a análise dita no item 3.3.2 para determinar o

carregamento mais desfavorável.

Sabemos, a priori, que o veículo estará situado no meio

do vao. Falta determinarmos o comprimento a da carga

de multidão p'. (Fig. 4.23):

1, 5t/m2

FIG .4. 23 - a) _Carga devido ao veículo

p=0,5t/m2 P'=0,3t/m2

1 1 1 1 '

a ' .,

FIG.4.23 - b) Carga de Multidão

51

Nestas condições temos, ao longo da ponte:

2S. 17,0

,[ J I [ l q=4,St/m

6,0 17,0

p=l,St/m

E j j l j

p'=0,3(0,7S+a)

! l J, l 1

E os momentos torsores:

17 ,O 17 ,O

~2 ~ ) ) ) ) ) ) ) ) J ) ) ) ) )~

~)))))))))))))))) )~

em que:

mtl = l,Sx3x(0,7Sxl,S) = 10,13 tm/m

= 0 , 5 X 3 ( 0 , 7 5 + 1 , 5) = 3 , 3 8 tm/ m

= 0,3xº•752 -o 3x~=O 15 (O 75 2 -a 2) tm/m 2 ' 2 ' '

52

com a em metros.

O momento fletor no meio do vao sera:

Carga permanente: M0 = 60 t.m

veículo: M1 = 250 t.m

carga p: Carga acidental carga p':

M2 = 300 t.m 40 2

M:3=0,3 x (0,75 + a) x-8- =

= (45 + 60a) t.m

Então, M=M0 +M1 +M 2 +M3 = (655+60a) t.m

O bi-momento rio meio do vão será:

B = Bo + B1 + B2 + B3

B0 O, pois a carga permanente e simétrica.

B1 = Mtl -A1

Onde A1 é a area sob a linha de influência do bi-mo­

mento no meio do vão, esquematicamente mostrada na Fi­

gura 4; 24

17,0 6,0

FIG. 4.24

A1 = 21,53 m2

17,0

B1 = 10,13 X 21,53 218 t.m 2

B2 Mt 2 .52,85 = 179 t.m 2

B 3 = Mt 3. 5 2 , 8 5 = O , 15 ( O , 7 5 2 - a 2 ) x 5 2 , 8 5

B3 = (4,5 - 80a 2) t.m 2

Então, o bi-momento no meio do vão tem o seguinte va­

lor:

B = (402 - Sa 2) t.m 2

com a em metro.

CÁLCULO DAS TENSOES:

d

53

a) Flexão:

Para o momento no meio do vao (positivo), o tabuleiro

estará comprimido. Teremos a seguinte secçao trans­

versal (Fig. 4.25).

M - y I

M

I X

X

FIG. 4.25

A' s

1 ~ b w

Para o cálculo de x e I podemos utilizar o programa do

Apêndice 3, observando o seguinte:

As e A~ serão as áreas totais de aço na secção e bwse­

rá a soma das larguras das 2 nervuras.

Assim, obteremos:

54

300.

750.

1 o.

108= 6

5.04

FCK

BF

Bl,.1

D

D'

AS

AS 1

HF

345926=7986 EC 6,,070648497 N 19=66163121 X 1 = 16:3846927 RÇ 33910068=04 I

55

Com estes resultados, podemos calcular as tensões de

flexão:

= (655 + 60a) X 1.000 X 100 X 19 ,66 = 33910085

= (38 + 3,5a) kg/cm 2

b) Bi-momento:

(402 - 8a 2)

6, 75 1,93 = (115 +2,3a 2

) t/m 2

ªb máx. = (11,5 - 0,23 a 2) kg/cm 2

A tensão máxima, de compressão, será:

a= ªcM + a0 = 38 + 3,5a + 11,5 - 0,23a 2 = 49,5 + 3,5a - 0,23a 2

que terá seu valor máximo quando

da= 0 da

da = 3,5 - 0,46a = O da

a= 7,61 m

Como o valor de a é maior que a metade da largura do

tabuleiro, tomaremos para a o seu valor máximo possí­

ve 1 , ou se j a:

a= 3,75 m

Então temos:

M 655 + 60 x 3,75 = 880 t.m

B 402 8 X (3,75) 2 = 290 t,m 2

Mr e ªc = :ry= 2,60 y

ªcmai.· 2,60 x 19,66 = 51,02 kg/cm 2

n (d-x) M 3471 kg/cm 2

ªs = I

= B 290 w=42,97w ªb -w=--Jw 6,75

ªl!ii = 4 2 , 9 7 x ( -0, 9 O) = - 3 8, 8 t/m 2 =-3, 8 8 kg/ cm 2

Ob;2

= 42,97 x (- 1,93) = - 83,1 t/m 2 =-8,31 kg/cm 2

ª1:P = 42 ,97 x (3 ,30) = 141, 7 t/m 2 = 14 ,17 kg/cm 2

~, =-ab1 0 bs =-ab

2

56

e o diagrama de tensões sera (Fig. 4.26):

FIG. 4. 2 6

RESULTADOS NUMrRICOS

Tensões máximas de compressão no apoio

1~ Situação: com o veículo acabando de entrar no con

trapeso.

a = 261 kg/cm cmáx.

2

2

ªb - = 19,Bkg/cm max. ªmáx. = 28lkg/cm

2

2ª . - - 1 . Situaçao: com o veicu o

ªc - = 24lkg/cm2

max. 2

ªbmáx. = 35 ,lkg/cm

ªmáx. = 276kg/cm2

já no vao interno •

Tensões máximas de compressao no meio do vao

ªcmâx. = 5lkg/cm2

2 ªb - = 8,3kg/cm max.

amáx. = 59kg/cm2

57

CONCLUSÃO

Analisando os resultados numéricos obtidos, sin-

tetizados no final do Cap. I'V, verificamos que a tensão máxima

devida ao bi-momento ocorre no apoio e atinge cerca de 13% da

tensão total de compressão, enquanto que no meio do vão sobe a

14% da tensão total, porém esta é, numericamente, bastante infe

rior à tensão no apoio.

Uma vez que o objetivo do trabalho é obter a or­

dem de grandeza das tensões devidas ao bi-momento, algumas sim­

plificações e aproximações foram admitidas, tais como:

- As vigotas transversais da ponte, por serem de

pequenas dimensões, não foram levadas em conta

no cálculo das tensões devidas ao bi-momento.

- A ponte foi considerada como peça de parede

delgada, embora a relação entre espressura e

altura da secção seja pouco maior do que 0,1.

Para o cálculo das tensões devidas ao bi-momen

to, admitiu-se a estrutura no estádio I e para

cálculo das tensões de flexão admitiu-se a es­

trutura no estádio II.

Deixamos para um estudo mais avançado a conside­raçao da estrutura no estádio II, ou atê mesmo no estádio III ,

para o cálculo das tensões tanto de flexão como de bi-momento.

De qualquer modo, de um caso isolado como

nao e possível generalizar conclusões amplas. este

No entanto, o exemplo escolhido é bem como que

uma média de casos correntes. Vimos que os valores a que chega­

mos introduziram acréscimos muito modestos às tensões de flexão.

~ de supor que, embora as percentagens determinadas variem em

cada caso, pelas peculiaridades próprias às relações dimensio-

58

nais no concreto a.i:Jl)ado, ess,es ac,ésciJl)QS nao sejam jamais ex

pressivos. SÔ em situa.ções de peças mui.to delgadas, como ocor

renas estruturas protendidas, torna-se possfvel que as tensões

devidas ao bi-momento, apresentem grandezas realmente ponderi­

veis. :E essa portanto uma situação que fica ainda por ser exa­minada.

APÊNDICE

59

APENDICES

1 : Programa para Cálculo

nhas de Influência do

Viga Bi-Engastada.

das Ordenadas de Li

Bi-Momento em uma

APÊNDICE 2: Programa para Cálculo das Ordenadas do

Diagrama de Bi-Momentos para uma Viga Bi­Engastada Sujeita a um Momento Torsor Uni

tário Uniformemente Distribuido.

APÊNDICE 3: Programa para Cálculo de Parâmetros Utili

zados nos Cálculos de Tensões de Flexão e

Flecha de Vigas Retangulares ou "T" (Est~

dio II).

60

APÊNDICE I

Programa para Cilculo das Ordenadas de Linhas

de Influência do Bi-Momen to em uma Viga Bi-Engas tada.

a

z

T=l ~

b

uso do programa:

Introduzir inicialmente nos resgistros de dados os se

guin tes valores:

Registro Valor a ser Introduzido

onde

Roo y - ~ /mJ

Rol l - [m J Roz 11 a- [m]

R04 zo- [m]

y = vfF l = vao interno da viga

Lia= acréscimo no valor a, ponto de aplicação da ca~

ga.

z0 = secçao a que é referida a 1 inha de influência.

Com os valores nos registros, introduzir a0 (ponto inicial

de aplicação da carga) e pressionar a tecla D.

Serão impressas as ordenada l.i desde a abscissa a 0 até l

com incremento Lia· Apresentamos a seguir a listagem do programa.

61

iJCiO 76 LBL 001 11 A 002 003 004

e: ·:i ._,._,

5 :3

005 10 10 006 22 I t-~ 1

./

007 23 LH/

00'3 4:3 F:'.CL 010 10 10

--- Oi 1 94 +./-

Oi4 54 015 O 1 6 D17 013

t:- !;;' ._,._1 O:::'. 2

ti:, LBL 020 12 B

022 53 023 4:~: F-:'.CL 024 10 10 025 22 I f-~\·1

026 ~:::::: Lt-~:=<

r, •"*, ,-, -~ .-, r, ,-. , u:::,,:, ~t . .:,. r:.t~,L

029 10 10 '34 + . ..-' -22 I t·i'/

035 02 .-, :::.

036 54 037 92 f:TN o::.;::; 76 LBL

1 .-, ,-. i . .:,. !_.

040 43 RCL 041 00 00 042 65 04:3 4:3 RCL 044 01 01 045 95 :::: 046 42 :::ro 047 10 i!J 04B 42 STD D4'3 DE. 06

62

050 051 052 053

01 1

B =

054 42 STD

056 057 058

02 +

n~q 11 A 060 42 STD 061 09 09 062 063 064 065

43 RCL ~ n lU ~~ 7J

10 =

066 42 STD 067 07 O? 068 43 RCL 069 00 00 070 071 072 073 074 075 076

43 RCL 04 04 95 = 42 STD 10 1 ?

10 n D

077 42 STD 15 o l !

078 079 080 081 43 RCL 082 00 00 083 95 = 084 42 STD 085 16 lb

086 92 RTN 087 76 LBL 088 16 A~ 089 43 RCL 090 00 00 091 65 092 43 RCL 093 05 05 094 95 = 095 42 STD 096 10 10 097 43 RCL 098 05 05 099 75

63

101 55

105 42 STO 1.06 14 107 01

14

1 o::: 109 110

~ .-, l ,::.

95 1 i i 4~:'. '.;:;TO 1 1 2 1 :3 1 3

114 43 F::CL 115 1. 16 i 'i 7 .;. ,!. !

11 ::; 119 i2C

,1,-, !_,,:,

+ 4:3 ~'.CL.

0':l _.- r.:' e, .. }

43 RCL 21 00 00

-~ 25 i --) L .l. ,:_ '-·'

.. - .:­e,._!

14 14 =

1:32 4:3 ?CL 13:3 14 14 1:34 65

1 ::::? 1 .-, ,-, ' .. ··--:, i :39 140 i 41 142 l .;+.j

~ .--, ~ .-, .l-.) i . . .:,

.-- e:' c,._I

4:3 ~:CL D1 01 .-- ;::-e,·-'

145 01 1 146 147 14::: CEC! ,_, -·· 149 55

09

64

150 43 RCL 151 06 06 152 54 153 95 = 154 55 155 43 RCL l~b 07 07 157 95 = 158 42 STD 159 11 i L

160 92 RTN 1b1 76 LBL 162 14 D 163 94 +/-164 + 165 43 RCL 166 167

01 n~ 7J

OI =

168 42 STD 169 170 e 171 76 LBL 172 15 r e 173 16 A' 174 29 CP 175 43 RCL 176 04 04 177 85 + 178 43 RCL 179 05 05 180 75 181 43 RCL 100 iv~

183 184 185

01 95 77

01 = GE =

186 25 CLR 187 42 STD 188 17 17 189 61 GTD 190 85 + 191 76 LBL 192 95 = 193 65 194 43 RCL 195 00 00 196 95 = 197 42 STD

10 1 1

10 o "

65

200 C' ;;:-._! ._I

2Di 43 f:CL. ~:'.O~:'. DO 00 2D3 '35 = 204 42 :::To 205 17 17 :206 76 LBL 207 ;35 +

209 ~ i j_ l 1 1

~- .l

211 4:3 PCL :: 12 .-, -: .·-, e.. i . .:,

. "" .l. ·-' ;:_:5

15 +

214 4:3 F'.CL 21.5 12 12 2 i 6 ·:, "! -7 ,:_ .l.'

•. - C' c,._l

218 16 16 21'3 75 220 43 F'.CL 221 17 222 95

17

224 43 f'.CL. 225 02 02 226 ·:,-::, It·~'/ 227 44 SUM 22S 05 05 22'3 43 F::CL. 2:30 .-, .-, ~

.;:.::J, .!.

.-,.,.-, .:::..::J.e::.

r,i;::­!_I ._I

15

,-,\:.:· u._1 GE E

66

APENDICE II

Programa para cálculo das ordenadas do diagrama

de Bi-Momentos para uma Viga Bi-Engastada Sujeita a

uma momento Torsor Unitário Uniformemente Distribuído.

Mt~l

~J)JJJJJJJJJJJ)))JC .e.

z >

uso do programa Introduzir inicialmente nos registros de dados os se

guintes valores:

Registro Valor a ser Introduzido

Roo y - [' /m]

ROl .e. [m]

Roz Íl. z [m]

onde

!J.z é o incremento das abscissas. Com os valores nos registros, introduzir z0 (abscissa

inicial) e pressionar a tecla A.

Serão impressas as ordenadas

to desde a abscissa z0 até

do diagrama de bi-momen

l, com incremento !J.z .

Apresentamos a seguir a listagem do programa.

67

OO!J 001 002 oo::.=:: 004 005 006 007 oo::: 009

76 LBL

e:'•''", ._1.,:i

5:3

1 n ..t ,_, 1 ;J 22 I f·~\1

23 u-r< 4:3 RCL

010 10 10 ,-, -1 -1 Ull '34 + ... -· -O 1 ê~ .-, .-, T L 11 1

L. ~: 1 r-i ',' .-. J .-.

U 1 . .:; 2 3 L f·1 ::-:: 014 015

~.-'! ._,, ;::- t:" ._! .• _!

Oi6 02 017 oi:::

54

.·-, e..

O 1 '::l ü20 021 022 023

( t• LBL 17 B~ ::::·:• ·-··-' e:'·-· ._! • .:,

024 1 !J 1 !)

027 ,-,e:' ,:, ._! +

1 n ..t ,_, 029 iD 030 94 + . ...- -0:3 i ·-:-•·::, I t·-i\·' 0:32 2:3 LH'.=< 0:33 54

0:35 ,-,., .. -u . .:,;:,

o~: 95

2 =

0:3:3 76 LBL 12 r,

D

040 4:3 F.:CL 041 00 00 042 65 04:3 4:3 i:;::CL 044 01 045 95

01

047 iD 10

04'3 75

68

050 051 052 05:3 054 055

c:i 1 '35 e. e:: ·-··-· 02 95

1 ==

2 ==

.-,i::- -1 .•• •• •

.::., ._! l . .- (··,

056 65 >='.

057 4:3 RCL 05::: 10 10 05'3 '35 = 060 42 STO OE.1 04 04 062

064 065 066

==i·::• i?TM -:, .. - 1 r,1 ;· O LC1 L

11 A 42 STD

0:3 8

06:3 43 F.'.CL 06'3 O 1 070 071

.;.-, '··' ~ T .::., .::. ,··-, ~ !

76 LBL 072 '35 = 07:3 4:3 RCL 0?4 0:3 0:3 075 67 EG! 0?6 65 D77 ?"~ GE

079 76 LBL 080 65 ::-~ 081 65

084 ,-, e:" ::i ._; ==

085 42 ::;To 086 10 10 qn-:, -i .-- Q ! u,:, i' lo ! •

089 5:3 090 5:3 091 4:3 F'.CL 092 01 01

094 4:3 RCL.. 095 0:3 0:3 096 0'37 09:'3

54 .- r-• t, ::1 43 F.'.CL

69

100 54 101 42 STD 102 10 10 103 16 A~ 104 95 = 105 g4 +/-106 65 107 43 RCL 108 109 110 1 1 1 112 113

04 04 +

01 1

43 RCL 114 00 00 11s 33 x2 116 95 = 117 99 PRT 118 43 RCL 119 02 02 120 qq SUM 121 03 03 122 61 GTD 123 124 76 LBL 125 85 + 126 91 R/S

70

APÊNDICE III

Programa para Cilculo de Parimetros Utilizados

no Cilculo de Tensões de Flexão e Flecha (No Esti

dio II) de Vigas Retangulares ou "T".

d

A = s Área .da armadura tracionada A'= Área da armadura comprimida s b = w largura da nervura

bf= largura da mesa

hf= espessura da mesa

d= altura Útil da viga

d'

d'

cP= dist. do CG da armadura ao bordo da viga

uso do programa Pressionar as teclas RST seguida de R/S

Seri impresso FCK, introduzir o valor fck- [kg/cm2] e

pressionar R/S seri impresso o valor fck e BF, irrtro

<luzir o valor bf(cm) e pressionar R/S, etc.

Os valores introduzidos serao:

fck - [ g/cm2]

bf [ cm J b [ cm J w d [ cm J d' [ cm J As [cm 2 J A' s [cm2 J hf [cm J

Serão

Ec

n

X

71

calculados e impressos os seguintes valores:

- módulo de deformação do concreto -[kg/cm2J - relação dos módulos de deformação n = ~

- dist. da linha neutra

- relação de curvatura

à borda comprimida

3IEci+E s Rc=

Ec

- [cm]

IEcl+Es I - momento de inércia no estádio II - [cm4 J

72

001 22 IM\=1

oo;;:: 58 F I :=-=:

003 02 2 004 005 006 007 oos DD9

Oi 01 05 02 06

1

5 2 6 A

01D 42 STD 011 00 00

013 0:3 :::: 014 05 5 015 95 =

017' 65

01'3 o::: B :J2D 0'3 '3 OC~i 00 D 022 00 O

Oê~4 42 STD 025 OC~6 027

02'3

o:::: i D32 n·:•·:= ,_,._, __ ,

0:35 C!:36

02 01 00

00 00 00 '35

0:3

.-, "-i o o o o o =

.-. e:- " .• '··' .::_,._! l .. · ,···,

42 STD 0~37 0'3 0'3 03::; 01 1 0:3'3 04 4 04D 02 2 041 01 1 042 11 A 04:3 42 STD 044 01 01 045 046 047 C!4B 04'3

Oi 04 04

'i i .!. .!

1

.-, .::.,

A

73

050 42 '.3TD 051 02 02 052 Oi 1 05:3 06 6 054 11 A 055 42 STO 056 05 05 057 Oi 1 05B Ot~, 6 059 06 6 060 05 5 06 i 11 A 062 42 ::;TO

064 01 065 0:3 066 0:3 067 06

04 i

-~ .,:,

6 OE,;3 11 A 06'3 42 ::;TO 070 071 072 07:3 0?4

,-, .--u c,

OE. 06 05

D6 1 .-, .:., :3 6 6 e­·-'

075 076 077 07::;

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