Teorema Del Engrane Plano

Teorema del Engrane Plano -- Pág. 1 de 28

UdeMM -- Carreras: Ings. Mecánica y Electromecánica

Materia: Elementos de Máquinas y Mecanismos (Código I0443)

Tema:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ENGRANE PLANO

CURVAS CONJUGADAS -- CONFIGURACIÓN DE RUEDAS DENTADAS A EVOLVENTE DE CÍRCULO EN SUS SECCIONES TRANSVERSALES

Ing. MAYER, Omar E. -- [email protected]

SEPTIEMBRE 2014

Se agradece a SANTAROSA Juan Ignacio quien se ha servido escribir expresiones matemáticas varias en MathType, realizar correcciones idiomáticas y subindicar y supraindicar variables varias.

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INTRODUCCIÓN

En oportunidad de tratar las Transmisiones de Potencia Mecánica por Correas, se ha visto que las mismas resultan por fricción indirecta (correas intermedias, poleas en contacto indirecto).Cuando no resulta correa alguna, las poleas resultan con contacto directo entre si y se dice que la Transmisión de Potencia resulta por fricción directa.

En ambos casos resultan movimientos rotativos continuos, en el caso con correas con el mismo sentido de rotación y en el caso sin correas con sentidos de rotación opuestos. Tanto en un caso como en el otro, las poleas resultan elementos cilíndricos ‘exteriores’, superficies en las cuales se verifica la fricción, ya sea entre correas y poleas o entre poleas conforme sea el caso.

Resulta necesario también una cierta interacción, simbolizada con Qy, entre correas y poleas, o entre poleas, a efectos asegurar el ‘arrastre’, por fricción, de los elementos conducidos por parte de los elementos motores.

La Transmisión de Potencia Mecánica con movimientos rotativos continuos puede hacerse también con ‘ruedas’ dentadas y cadenas. Resultando aquí una transmisión por ‘enganche’ entre dientes de ruedas y eslabones de cadena, se pueden analogizar, en cuanto al movimiento, ruedas dentadas con poleas y cadena con correa.

Formada la cadena por una sucesión de ‘eslabones’, los dientes de la rueda motora ‘enganchan’, uno a continuación de otro, los eslabones de la cadena, la cual, viéndose obligada a ‘circular’ junto con la rueda, con sus eslabones, uno a continuación del otro, engancha los dientes de la rueda conducida, obligando a la misma a rotar sobre su eje. Es de uso universal este tipo de transmisión en bicicletas y común en motos.

Siendo la transmisión por correa una transmisión asincrónica, en la transmisión por cadena, la marcha de ambas ruedas resulta sincrónica e ‘interpretando’ la

mailto:[email protected]


transmisión por correa como una marcha sincrónica y teniendo presente el concepto de circunferencia o cilindro primitivo, el concepto de relación de transmisión para ambos tipos de transmisiones resulta ser el mismo:Radios primitivos de ruedas inversamente proporcionales a las velocidades angulares de las mismas.

Siendo que por cadena, ambas ruedas no pueden poseer distintos sentidos de rotación (sin cadena intermedia y conforme debe resultar la configuración de los dientes de las ruedas la marcha no es posible) y que ambas ruedas deben estar dentadas ‘exteriormente’, las ruedas dentadas con lo que da en llamarse ‘perfiles o curvas conjugadas’ (engranes) viene a llenar dicho ‘vacío’, esto es, ‘marchan’ entre sí sin elemento intermedio alguno y lo pueden hacer con distintos sentidos de marcha (ambas ruedas dentadas exteriormente) como con el mismo sentido (una rueda dentada exteriormente y la otra interiormente). Al menos respecto al uso de correa o de cadena, les son propios también movimientos ‘diferenciales’.

Sin estos últimos (trenes diferenciales), tal vez sería imposible, al menos mecánicamente, de que un vehículo motorizado de al menos cuatro ruedas, pudiera describir una trayectoria curva, más cuando mayor sea la velocidad a la que el vehículo circule y/o mas curvatura (inversa del radio de curvatura) tenga la trayectoria, y la existencia de robots ‘flexibles’.

El siguiente trabajo trata sobre los aspectos geométrico - analíticos que hacen a la marcha de dos ruedas dentadas a ‘perfiles conjugados’ como así también a la utilización de la evolvente de círculo como ‘perfil conjugado’, cuestiones que al menos a juicio del autor, resultan básicas en la comprensión del tema como así también fundamentales para el mismo.

TEOREMA DEL ENGRANE PLANO

En la FIGURA 01 siguiente, la curva e1 es una curva plana (curva “motora”, subíndice impar) rotando con velocidad angular 1 alrededor de O1 (su centro de rotación). Como consecuencia de dicha rotación y de la configuración del sistema, arrastra (conduce) a la curva plana e2 (curva “conducida”, subíndice par), la cual se ve obligada a rotar alrededor de O2 (su centro de rotación) y con una cierta velocidad angular 2, relacionada a 1 como ya se mostrará.

Siguiendo estándares y / o costumbres internacionales, se subindica con cifras impares las variables relacionadas a la curva motora e1 y con cifras pares las relacionadas a la curva conducida e2.

Sea también que las dos curvas, en cualquier instante de la marcha conjunta, estén siempre en contacto a través de un único punto N (punto genérico), común a ambas curvas y no siempre el mismo respecto a cada una de ambas curvas, a llamar punto de contacto y que en el mismo, ambas curvas posean tanto una única recta normal n - n común, como así también una única recta tangente t - t común.

ASÍ LAS COSAS Y DENTRO DE CIERTAS LIMITACIONES A OBTENER ,LAS CURVAS NO PIERDEN EL CONTACTO EN NINGÚN INSTANTE .


NOTA: Se demuestra que no es posible la marcha tal cual se ha descrito, con dos puntos de contacto. En tal caso, el sistema se ‘traba’. Para la comprobación analítica de tal hecho, no hay más que componer la razón de ambos movimientos, aplicando este escrito.

Las condiciones impuestas (marcha continua) implican que las velocidades lineales del punto de contacto N, considerado el mismo como perteneciente a una u otra curva y en la dirección de la recta normal común n - n , deben ser iguales entre sí: N 1 = N 2 . Esta igualdad dice también que el movimiento resulta sincrónico: Ambos elementos se mueven con sincronía entre si.

“Origen” de N1 = N2 : punto N

Siendo que los vectores representativos 1 y 2 de las velocidades angulares

1 y 2 son de sentido opuesto entre sí y que los vectores Rb 1 y Rb 2 , vectores posición de los puntos A 1 y A 2 , son normales a la recta n - n , resulta:


;

Rb2 Radio base curva e2 conducida

y si m = Relación de transmisión = ---- = -----------------------------------------Rb1 Radio base curva e1 motora

Resulta:

Nota: Resulta también (no en este trabajo) deutilizarse como relación de transmisión, la expresión:

Siendo los triángulos O1.A1.I y O2.A2.I semejantes entre sí, se obtiene:

-----Si Oi.I = Rpi = RADIO PRIMITIVO resulta:

1

HIPÓTESIS: Sea: m = ---- = CONSTANTE2

--------- ------ ------y sea O1.O2 = O1.I + O2.I = Rp1 + Rp2 = CONSTANTE

Nota : La constancia de m implica únicamente la constancia del cociente o de la relación entre las velocidades angulares de ambas curvas y NO por ello, la constancia del valor de cualquiera de ellas.

TESIS: El punto I (a llamar punto primitivo común), definido como la intersección de las rectas n - n y O1. O 2, ES FIJO y no depende del lugar en donde se encuentre el punto de contacto N entre ambas curvas, ni tampoco de la dirección de la recta n - n .


DEMOSTRACIÓN:

Siendo

y siendo

Con lo que

Siendo, por hipótesis, constantes m y O1. O 2, resultan constantes Rp1 y Rp2 y por estar fijados ambos valores por el punto I, éste RESULTA FIJO, de donde la tesis queda demostrada.Por ser absolutamente generales los valores puestos en juego, la posición del punto I no depende de la del punto de contacto N ni de la dirección de la recta n - n , contenedora la misma del punto N en todo instante, se entiende ‘mientras la marcha conjunta de ambas curvas resulte posible’.

DENOMINACIONES

N: Punto instantáneo de contacto entre ambas curvas.

n - n: Recta de presión.

O1.O2: Línea (recta) de centros de rotación.

I: Punto primitivo común.

Rn: Radio (radio posición) punto de contacto.

Rp: Radio primitivo.

Rb: Radio base.

Notas: 1) Rp1 y Rp2 dependen de la posición del punto I.

2) Rb1 y Rb2 dependen de la posición de la recta n - n y los mismos pueden ser constantes o no (dirección de la recta n - n constante o no).

3) Rn1 y Rn2 dependen de la posición del punto N, el mismo sobre la recta n - n . Siendo de desplazarse el punto de contacto N durante la marcha conjunta de ambas curvas, si n - n es de dirección constante, Rn1 y Rn2

resultan variables.

CIRCUNFERENCIAS PRIMITIVAS

Supuestas dos circunferencias Cp1 y Cp2 a llamar PRIMITIVAS (ver FIGURA 02 siguiente página), de radio Rp1 la Cp1 y de radio Rp2 la Cp2, SOLIDARIAS ambas


a las curvas e1 y e2 respectivamente y en consecuencia, rotando con sus centros en O1 y en O2 respectivamente, las mismas son tangentes entre sí en el punto primitivo común I y se ‘mueven’ con la misma velocidad tangencial, cuestión que hace valedero decir que ‘las circunferencias primitivas ruedan, una sobre la otra, sin resbalar entre si’ y que ‘describen el mismo arco de circunferencia en el mismo tiempo de rotación conjunta’, de donde y nuevamente, resulta una transmisión sincrónica de movimiento, no como las transmisiones a fricción (por correas y poleas o por poleas con contacto directo), que resultan asincrónicas.

Si Vt: Velocidad tangencial circunferencias primitivas

Los valores de Vt1 = V t2 resultan ser las desproyecciones de N1 = N 2 sobre la normal a O1. O 2, por ser Rp1 y Rp2 las desproyecciones de Rb1 y Rb2 sobre O1. O 2.


luego:

DENOMINACIÓN: pc: Ángulo de presión circunferencial.

Nota : Si durante la marcha varía la dirección de la recta n - n y no varía 1, no

varían Vt1 = V t2 por ser Vt = * R p y Rp constante por ser fijo el punto primitivo común I. En tal caso, N1 = N 2 varían (conservando siempre la igualdad de sus valores vectoriales) por variar pc.

Definiciones: Acceso: Zona previa, en el sentido de marcha de ambas curvas, al punto primitivo común I o a la línea de centros O1. O 2

Receso: Zona posterior, en el sentido de marcha de las curvas, al punto primitivo común I o a la línea de centros O1. O 2.

DESLIZAMIENTO ENTRE e 1 Y e 2 EN EL ACCESO

En la FIGURA 01, el punto de contacto N como perteneciente a la curva e1, se mueve tangencialmente sobre la misma con la velocidad T1 y como perteneciente a la curva e2, se mueve, ‘de la misma manera’, sobre ella con la velocidad T2.

Ambas velocidades T surgen de la descomposición de las velocidades V del punto de contacto N, perteneciente este a una u otra curva, normales a los respectivos vectores posición Rn del punto de contacto N, en las direcciones n - n y t - t .

Componente de V según n - n : N

Componente de V según t - t : T

Siendo:

se tiene:

Siendo


Resulta

El movimiento del punto N de contacto puede describirse entonces como una traslación del mismo sobre la recta n - n , más una rotación alrededor de A con radio AN (supuesto perteneciente a la curva e1, corresponde A1).

De la misma FIGURA 01 se deduce que estando el punto N en el acceso, T2 T1 y que en consecuencia la curva e2 resbala sobre la curva e1 (el perfil conducido resbala “tangencialmente” sobre el motor).

Dividiendo las expresiones de T2 y T1 entre sí y siendo m = 1 / 2:

El resbalamiento de la curva o perfil e2 sobre e1 aumenta con el aumento de la cercanía del punto N al punto A1, siendo indeterminado el cociente T2 / T 1 cuando N coincide con A1, por resultar T1 = 1 * A 1. N = 0 , de donde conviene que el punto A1 (condición de borde, punto frontera) sea excluido como posible punto de contacto, por imprecisiones de fabricación y de montaje y por deformaciones bajo carga.

Excluyéndose del contacto al punto A1, el punto N sólo podrá ubicarse, en la zona de acceso, en el tramo A1. I , verificándose entonces, en dicho tramo y zona:

DESLIZAMIENTO ENTRE LAS CURVAS e1 Y e 2 EN EL PUNTO PRIMITIVO COMÚN I

En estas condiciones:

Por semejanza de los triángulos: O1.A1.I y O2.A2.I ya tratada, resulta:

Como , resulta


Dividiendo las expresiones de T2 y T1 entre sí:

‘Estando las curvas o perfiles e 1 y e 2 en el punto primitivo común I, las mismas no resbalan entre sí, verificándose así una rodadura pura entre ambas en dicho punto’.

Corresponde aplicar a este caso la FIGURA 02 vista al definir las circunferencias primitivas.

DESLIZAMIENTO ENTRE e 1 Y e 2 EN EL RECESO

Representando esta situación la FIGURA 03 siguiente, resulta T1 T 2, por lo que ahora en el receso la curva motora es la que resbala sobre la conducida, por moverse a mayor velocidad sobre la recta tangente común t - t .

Resulta también, a como el punto A1, el punto A2 excluido como posible punto de contacto.

Siendo: se tiene:


de donde, en la zona de receso:

De la exclusión de los puntos A1 y A2, surge que la existencia del punto N sólo es posible en el tramo A1. A 2, excluidos sus puntos extremos A1 y A2, estos condiciones de borde, puntos frontera.

DEFINICIÓN: SEGMENTO DE ENGRANE EXTREMO (TRAMO A1. A 2): Segmento de recta de presión (recta n – n) donde puede verificarse el contacto puntual entre las dos líneas curvas e1 - e 2, conforme todas las condiciones establecidas (normal común, tangente común, m = 1 / 2 constante y O1. O 2 constante).

Suponiendo el punto N fuera del tramo A1. A 2, surge que las curvas e1 y e2, tangencialmente se mueven en sentidos opuestos o en contrasentido, como muestra la FIGURA 04 siguiente.

Atendiendo al ‘choque’ resultante, los posibles puntos de contacto fuera del segmento A1.A2 resultan NO convenientes (dentro de dicho segmento, ambas curvas, siempre sobre la recta tangente común t-t, se mueven (tangencialmente) siempre con el mismo sentido).

DIAGRAMA DE VELOCIDADES T

Siendo respectivamente T1 y T2 funciones lineales de A1. N y de A2. N , siempre y cuando 1 y / o 2 sean constantes, resultan los diagramas respectivos como muestran las FIGURAS 05 y 06 siguientes.

CURVAS CONJUGADAS

Durante la marcha, las curvas e1 y e2 (la ‘primera’ siempre ‘empujando’ a la ‘segunda’) van cambiando de posición simultáneamente y así lo hará el punto N de contacto sobre ellas y sobre la recta n - n, debiendo ser único en cada instante de la marcha.

En cada posición del punto de contacto, las curvas deben tener una normal común y una tangente común que contengan a dicho punto y además la normal, sin tener por qué ser esta de dirección constante, deberá pasar siempre por el punto primitivo común I, siempre con O1. O 2 y m constantes

Se denomina CURVAS CONJUGADAS a los pares de curvas que cumplen dichas condiciones: un único punto de contacto, una normal común y una tangente común en dicho punto de contacto.

Las circunferencias primitivas Cp1 y Cp2 son un par de curvas conjugadas; en todo instante el punto de contacto respectivo coincide con el punto primitivo común I; la normal común es la línea de centros O1. O 2 y la tangente común, la recta normal a dicha línea y ambas pasantes por o continentes de I.


CURVAS CONJUGADAS A EVOLVENTE DE CÍRCULO

Sea un círculo base Cb (FIGURA 07 siguiente) de radio Rb (asóciese este R b


con el Rb visto al tratar las figuras anteriores, ‘es el mismo’) con una recta tangente n - n (asóciesela con la vista al tratar las figuras anteriores, ‘es la misma’) que va rodando sobre el círculo base sin resbalar, de manera tal que siendo los puntos B0, B1, B2, .... los sucesivos puntos de tangencia entre ambos, se verifica:

---------arco B0.B1 = segmento B1.A1



La curva que une los sucesivos puntos A i (sucesivas posiciones del punto A0

perteneciente a la recta n - n ), constituye la evolvente de círculo buscada. La misma resulta ser el lugar geométrico de las sucesivas posiciones de un punto de una recta, que haciendo tangencia en un círculo (círculo base), rueda sobre el mismo sin resbalar. Nótese que esta curva, conforme su definición y generación, sólo puede ser exterior al círculo.

Siendo A0 el punto de ‘arranque’ de la evolvente, resulta:

B0.B9 = Rb * r (ángulo en radianes)

------------

B9.A9 = Rb * tg ()

------------

como B0.B9 = B9.A9 resulta r = tg()

Esta última expresión corresponde entonces a la expresión matemática de la evolvente de círculo, cualquiera sea el punto B.

PROPIEDADES:

Dos evolventes de un mismo círculo, son paralelas entre sí.

Las rectas BA son normales a la evolvente en el punto A y en dicho punto, la evolvente tiene una recta tangente, normal a su normal.

El segmento BA es radio instantáneo de curvatura de la evolvente en A y B es centro instantáneo de curvatura de la evolvente en el mismo punto A.

Aplicadas e1 y e2 a un engrane entre ambas, ambas de círculos base Cb1 y Cb2 y de radios Rb1 y Rb2 respectivamente, e1 y e2 resultan ser un par de curvas conjugadas, verificándose la existencia de una normal n - n y de una tangente t - t comunes, ambas de dirección constante durante un movimiento de engrane entre las mismas.


------------ ------------

B5.B4 = B5.A5 -- B4.A4

En la FIGURA 08 siguiente, la curva e1 (evolvente del círculo base Cb1) rotando con velocidad 1, ‘empuja’ a la curva e2 (evolvente del círculo base Cb2), la cual,

rotando con velocidad 2 por la acción de e1, por lo ya visto verifica:

El punto instantáneo de contacto resulta ser N y la recta n - n es normal común a ambas evolventes e1 y e2, por ser tangente común a los respectivos círculos bases Cb1 y Cb2.

Las rotaciones de e1 y e2 resultan alrededor de los centros O1 y O2

respectivamente, centros también de los círculos base Cb1 y Cb2, los cuales pueden ser supuestos solidarios a sus evolventes e1 y e2.


Durante la marcha, la recta n - n no cambia de dirección (curvas conjugadas ‘particulares’), el punto de contacto N se desplaza sobre dicha recta, desde la zona de acceso a la zona de receso; sobre la curva e1 hacia ‘afuera’ de la misma o hacia su cabeza y sobre la e2 hacia ‘adentro’ o hacia su raíz y la recta t - t se desplaza paralela a sí misma, desde el acceso hacia el receso. La curva e1 resulta ser la motora y la e2, la conducida.

LIMITACIONES EN EL CONTACTO ENTRE e1 Y e2

En las FIGURA 09A y 09R siguientes, supuesto coincidente el punto de contacto N con A1 o A2 respectivamente, en A1 está haciendo contacto el punto ‘más bajo’ de la evolvente e11 y en A2 el ‘más bajo’ de la evolvente e22, por lo que el contacto entre e1i y e2i no es posible ‘fuera’ del segmento A1. A 2.


El par e10 - e 20 no respeta las condiciones, por no ser normal e10 a n - n (obsérvese ‘bien’, la apreciación inmediata puede resultar dificultosa, ‘ambas curvas se cruzan’), lo mismo sucede con el par e13 - e 23, por no ser normal e23 a n - n .

Los pares e11 - e 21 y e12 - e 22 pueden también representar los ‘instantes extremos’ del contacto posible de un único par de evolventes, constituyéndose así los puntos A1 y A2 en los puntos de contacto inicial y final respectivamente.

No se hace necesario entonces, un tramo de e1i ‘más allá’ de Ar1. A 2 (ver evolvente e12) y un tramo de e2i ‘más allá’ de Aa2. A 1 (ver evolvente e21); por lo que ambas evolventes pueden estar limitadas por ‘circunferencias de cabeza’ de radios máximos Rc1mx = O 1. A 2 para las evolventes e1i y Rc2mx = O 2. A 1 para las e2i.

Surge entonces que, de verificarse la ley del engrane, las evolventes e1i sólo pueden rotar con centro en O1, el ángulo 1a + 1r; mientras que las e2i con

centro en O2, el ángulo 2a + 2r, valiendo por tratarse del mismo tiempo (marcha

sincrónica):

Supuestas solidarias las evolventes a los círculos bases respectivos, para que éstos den una vuelta completa a efectos no perder continuidad en el movimiento de los círculos, será necesario disponer de una cantidad entera Z de evolventes sobre cada uno de ellos, de manera tal que cuando un par de evolventes (también “perfiles”), uno de una rueda y el otro de la otra, salga del contacto en el punto A2 o en un punto ‘anterior’, el par siguiente ya está en contacto, habiéndolo iniciado en el punto A1 o en un punto ‘posterior’.

PASO BASE CIRCUNFERENCIAL

La FIGURA 10 siguiente muestra dos pares de evolventes e1 - e 2 en contacto simultáneo, el mismo dentro del segmento de engrane máximo A1. A 2.

La distancia entre ambos puntos de contacto y por las propiedades vistas al tratar las evolventes, resulta ser igual a los arcos de circunferencias base A1a. A 1p y A2a. A 2p, sobre Cb1 y Cb2 respectivamente.

--------- --------- siendo: A1.Np = A1.A1p y A1.Na = A1.A1a

--------- --------- A2.Np = A2.A2p y A2.Na = A2.A2a

--------- resulta: tbc = Na.Np = A1a.A1p = A2a.A2p


---------- Siendo Na.Np, A1a.A1p y A2a.A2p, el ‘paso’ a que se encuentran

las evolventes sobre los respectivos círculos base, será necesario , a efectos no perder continuidad de movimiento alguna, que las evolventes de una rueda estén al mismo paso que las de la otra, debiendo cumplirse además:

---------- ----------Na.Np = A1a.A1p = A2a.A2p A1.A2

También se verifica y con pc = ángulo de presión circunferencial :


Se hace necesario entonces una distribución uniforme de evolventes tanto a lo largo de Cb1 como a lo largo de Cb2, conforme cierto pase base circunferencial tbc, igual para ambos círculos base , de manera tal que siendo Z1 la cantidad de evolventes e1 y Z2 la cantidad de evolventes e2, se verifique:


de donde:

por lo que

Siendo a la relación

se la denomina Módulo Base Circunferencial Mbc:

siendo resulta:

Si tpc = paso primitivo circunferencial


resulta: resultando así tpc (paso primitivo circunferencial) el

paso entre evolventes medido sobre la circunferencia primitiva.

Mpc = Módulo Primitivo Circunferencial

En función de que

resulta:

Recapitulando y siendo: Db = Diámetro Círculo Base.Dp = Diámetro Circunferencia Primitiva.

;

;

;

;

;

Nota: De los mismos valores de tbc (Mbc) y de pc (evidente) para ambas ruedas, surge la igualdad de tpc (Mpc).

SEGMENTO DE ENGRANE AR A1.A2

Llamando Rc al radio de la circunferencia de cabeza y si el mismo resulta ser igual a (Rp + M pc), se tiene:

Si Rc2 O 2.A1 = Rc2mx y/o Rc1 O 1.A2 = Rc1mx, el contacto entre evolventes

se verificará sobre un segmento AR de la recta de presión n - n , menor o igual a A 1.A2., tal como muestra la FIGURA 11 siguiente.


El punto A, intersección de la circunferencia de cabeza Cc2 y la recta de presión n - n, resulta ser el inicio del contacto o engrane entre las evolventes; y el punto R, intersección de la circunferencia de cabeza Cc1 y la recta de presión n - n , la finalización; y las circunferencias de cabeza se cortan entre sí, por ser de radios mayores que las primitivas correspondientes, tangentes ellas entre sí en el punto primitivo I.

A efectos de asegurar continuidad (instantes con un diente en contacto intercalados con instantes con dos dientes en contacto) en el movimiento : debe resultar al menos AR t bc, por lo que: ( AR / t bc ) 1 , luego:

DEFINICIÓN: AR: Segmento de engrane: Segmento de recta de presión donde se verifica el contacto entre evolventes

Si Z2 y Z1 tienden a (cremalleras), todas las circunferencias tienden a formar

una línea recta (cremalleras) y aquí es donde AR (que aumenta con el aumento

de Z1 y/o de Z2) toma su máximo valor: (FIGURA 12 siguiente).


DURACIÓN DE ENGRANE Plano de engrane . Las circunferencias resultan ser secciones transversales de cilindros, de donde, así como se definieron curvas evolventes de circunferencias base, se pueden concebir ‘superficies evolventes de cilindros base’. Si estas superficies son paralelas a los ejes longitudinales de dichos cilindros y definido el plano de engrane como el plano formado por el segmento de engrane AR y la longitud b de los cilindros - superficies evolventes, estas, tomadas de a pares, una de un cilindro base y la otra del otro, harán contacto a lo largo de una línea recta, a llamar línea de contacto (LC), visible en dicho plano y paralela a la dirección de los ejes longitudinales de los cilindros.

En la FIGURA 13 siguiente, representativa la misma de un plano de engrane, se han dibujado sobre LC flechas varias; las mismas representan el movimiento de la línea de contacto LC durante la marcha de los cilindros. Las líneas de contacto de las superficies evolventes, ‘nacen’ en AA (acceso), se desplazan por el plano de engrane, del acceso al receso (de izquierda a derecha en la figura) y ‘mueren’ en RR (receso).

DEFINICIÓN: Duración de engrane : relación AR / t bc, función de Z1, Z2 y pc

como se ha visto.

La misma expresa cuántos pares de evolventes se encuentran simultáneamente en contacto, conforme sea la relación AR / t bc y el ‘instante’ observado. Supóngase

2 1 ; por ser mayor a 1, resulta asegurada la continuidad de la marcha;

2 1 implica la existencia, en forma alternativa, de un par y de dos pares de evolventes en contacto.

Supóngase además dos instantes distintos como se muestra en la FIGURA 14 siguiente.

Por ser tbc AR < 2 * t bc, la/s línea/s de contacto estará/n separada/s, tanto de AA como de RR, distancias menores a tbc, en estas condiciones podrá/n existir una o dos línea/s de contacto, presentándose ambas situaciones en forma alternativa.

La FIGURA 15 siguiente muestra de manera rayada, la zona donde puede existir una única línea de contacto (alrededor de la ‘línea’ primitiva común) y en tal caso, sucederá lo mismo en el plano de engrane íntegro.


Un valor de entre 0 y 1 no garantiza continuidad de movimiento, por la

existencia de instantes con ‘cero’ pares de evolventes en contacto; no resultando, en lo que represente “transmisión de potencia”, aconsejable 3 2 , por imprecisiones de fabricación y montaje; “corporalmente” (matemáticamente no existe inconveniente alguno) resulta “difícil” (se requiere ‘elevar la precisión continuamente’) iniciar el contacto en un tercer par de perfiles, existiendo ya dos en contacto, incluso también por la deformación que experimentan éstos entre si bajo carga.

Por ser máximo el segmento de engrane AR, cuando lo que engranan son dos

cremalleras (FIGURA 12) así lo será la duración de engrane .

Luego en cremalleras (c):

si 20º pc 25º , 1,980809 c 1,662096 respectivamente

Para pc = 20º a 25º (valores usuales) no resulta instante alguno con por lo menos tres dientes en contacto simultáneo.

TRANSMISIÓN de POTENCIA

Las ‘superficies’ a evolvente de círculo como han sido tratadas hasta ahora, por ser superficies, no están capacitadas para transmitir fuerzas (momentos torsores, potencia). Se hace necesario entonces, construir ‘cuerpos’ con ellas y con los cilindros que las sustentan. A dichos cuerpos, compuestos por ‘dientes’ y cilindros de ‘raíz’ de los mismos, se los llama ‘ruedas dentadas’ y se denomina ‘mecanismos a engranes’ a por lo menos un par de ruedas dentadas que engranan entre sí conforme el teorema fundamental del engrane. Habiendo circulación de potencia por el mecanismo, la rueda motora deberá entregar al mecanismo, la potencia que por el eje de la rueda conducida se entrega al exterior del sistema más las pérdidas que se producen en los flancos de los dientes en contacto, por deslizamiento entre los mismos (diferencia de velocidades T a como se analizó). Supuestas nulas dichas pérdidas, siendo N la potencia puesta en juego y Mt el momento torsor, en un mecanismo de dos ruedas en engrane se verifica:

por lo que si se aumenta el momento torsor, se reduce la velocidad angular y viceversa. Finalmente:


CONFIGURACIÓN de RUEDAS DENTADAS de DIENTES RECTOS

La FIGURA 16 siguiente muestra el dentado de una rueda dentada ‘exteriormente’ (resulta de haber también con dentado ‘interior’) y en ella resultan:

Cc: Circunferencia de cabeza de radio Rc

Cp: Circunferencia primitiva de radio Rp

Cre: Circunferencia raíz de evolvente de radio Rre (depende del proceso de tallado de los dientes y a dicho radio se encuentran los puntos mas “bajos” de la evolvente “tallada”: Rre R b)

Cr: Circunferencia raíz de diente de radio Rr

Cb: Circunferencia base de radio Rb

b: Ancho / espesor de rueda

tpc: Paso primitivo circunferencial: Arco de circunferencia primitiva, comprendido por puntos homólogos de dos dientes consecutivos


Acuerdode raíz:

Curva de acuerdo entre la raíz de la evolvente y la circunferencia de raíz de diente; en cada uno de sus encuentros con ambos ‘elementos’, tiene una recta tangente y una normal común con los mismos. Su geometría depende del proceso de tallado de la rueda y de la geometría del diente tallador.

Con procesos de tallado por ‘generación’, la evolvente tallada resulta ser conjugada de la evolvente del diente tallador, la circunferencia de cabeza tallada, conjugada de la circunferencia / línea de raíz del diente tallador; la circunferencia de raíz tallada, conjugada de la circunferencia / línea de cabeza del diente tallador y el acuerdo de raíz tallado, conjugado del acuerdo de cabeza del diente tallador

Únicas circunferencias visibles : Cc y Cr

Circunferencias no visibles : Cp, Cre y Cb

Total circunferencias ‘caracteristicas’ : 5 (Cinco)

Un diente se compone de un lleno y de un vacío y lo que se talla son los vacíos.

ll: Lleno del diente. Se define sobre la circunferencia primitiva

v: Vacío del diente. Se define sobre la circunferencia primitiva

Dado que en dos ruedas que engranan entre sí, ‘ambas circunferencias primitivas ruedan entre sí sin resbalar’, matemáticamente es lícito hacer ll = v , constructivamente es necesario v ll , a efectos evitar enclavamientos entre los dientes de ambas ruedas (imprecisiones de fabricación y de montaje y deformación de los dientes bajo carga).

k: Altura de cabeza = R c -- R p ( M pc para construcciones ‘generales’).La cabeza del diente va de la circunferencia de cabeza a la circunferencia primitiva.

w: Altura de raíz = R p -- R r. La raíz del diente va de la circunferencia primitiva a la circunferencia de raíz.

Puesto que la circunferencia de cabeza de una rueda NO acciona (no ‘roza’) la de raíz de la otra y viceversa, se hace w k , denominándose juego de cabeza a la diferencia. Siendo 1,166.. = 1,1/6 y 1,250 = 1,1/4


w = 1,166 * Mpc o w = 1,250 * Mpc para construcciones ‘generales’.Juego de cabeza resultante = 0,166 * Mpc o 0,250 * Mpc

h = altura de diente = k + w = Rc -- Rr

h = 2,166 * Mpc o 2,250 * Mpc

Dado que Rre R b y Rre R r, puede suceder queRr R b o Rr R b (ver FIGURA 17 siguiente)

NOTA A: Las figuras utilizadas en este trabajo no dibujan la evolvente de círculo bajo la forma de una curva (es ‘imposible’, se necesita infinita cantidad de puntos, como así también de normales y tangentes y consecuentemente con ello un tiempo infinito), las dibujan como una sucesión de líneas rectas, tangentes las mismas a la curva (rectas t – t) y normales a las rectas tangentes (rectas n-n) a los círculos base. Un diente tallado con cremallera – herramienta resulta con flancos conformados por líneas rectas en una cantidad finita y previamente definida.

NOTA B: CONDICIÓN N1 = N2 : Siendo de referencia la FIGURA 01, por ser la recta t – t tangente a ambas curvas, el punto N de contacto entre las mismas y como perteneciente a una u otra curva se desplaza sobre cada una de ellas durante la marcha conjunta de las mismas, esto es, sobre la recta t – t (desplazándose esta también) con la velocidad T respectiva a cada curva. Como la trayectoria final del punto N está dada por la dirección de la velocidad V, conforme es la curva que se considere, ambas trayectorias, cada una de ellas, pueden ser consideradas como compuestas por trayectorias componentes sobre la recta t – t y sobre la recta n – n, ambas normales entre sí. No resultando, a excepción de en el punto primitivo común I, las direcciones de V1 y V2

coincidentes entre sí, para que las curvas no pierdan el contacto, resulta indefectiblemente necesario N1 = N2, tanto en dirección como en magnitud como en sentido.

Igualdad de las velocidades N del punto de contacto como perteneciente a una curva como a la otra

a) Siendo que es condición de que la marcha de ambas ruedas entre si debe ser sincrónica, las circunferencias primitivas deben rodar entre si sin resbalar, luego las velocidades tangenciales de las mismas deben ser iguales.


Existiendo la misma proporcionalidad para ambas ruedas entre el Radio Base Rb y el Radio Primitivo Rp y si se considera los círculos base solidarios a las circunferencias primitivas, no resulta otra alternativa que los círculos base también resulten con la misma velocidad tangencial, la cual resulta ser justamente N.

Así las cosas, es de concluir N1 = N2

b) Lo que se pretende es una marcha "sincrónica" y para ello es necesario que las curvas e no pierdan el contacto a lo largo del arrastre o empuje de la curva conducida por la curva motora.

Así las cosas, alguna velocidad del punto de contacto tiene que ser la misma tanto para el punto en cuestión como perteneciente a una curva como a la otra.

Las velocidades V no pueden ser iguales porque resultan con direcciones distintas por resultar de direcciones distintas los vectores posición Rn del punto de contacto N y por ser la velocidad una magnitud vectorial.

Al respecto recordar, o repasar, que un vector resulta definido por una dirección, por un sentido y por un valor. De por que una velocidad lineal es normal a un vector posición, se entiende no hay por que explicarlo. Son conceptos que deberían traerlo desde la Física. Siendo también que se lo trata al inicio del curso, así también resulta con el hecho de que V = w * Rn y N = w * Rb

Las velocidades T tampoco pueden resultar iguales por la razón de que si fuera por ellas, las curvas no tendrían por que rotar alrededor de los centros O. A los efectos de dicha igualdad, basta con que roten, respectivamente, alrededor de los puntos A.

Queda entonces como única solución que las velocidades N sean iguales.

c) Se agrega que el movimiento del punto de contacto N, perteneciente tanto a una curva como a la otra, puede concebirse como una traslación sobre la recta nn con velocidad N y una rotación con centro de rotación en los puntos A1 y A2 con las respectivas velocidades angulares omega.

PREGUNTAS ALUMNARES

Pregunta: En el apunte Teórico Teorema del Engrane Plano (página 8) no entiendo como es que el movimiento del punto de contacto N esta compuesto por una translación sobre la recta de presión n-n, (este movimiento si lo entiendo), mas una rotación w, alrededor de A con radio AN. Esta última parte es la que no entiendo, ya que si me pongo a pensar una vez que N llega al punto frontera A2, sin posarse sobre este por lo aprendido, luego este (N) deberá volver al inicio formando contacto en algún lugar entre I y A1, con lo cual el movimiento de rotación no concuerda ya que de lo contrario N debería ir desde A1 hasta A2 y luego regresar y no es así como sucede.

Por otro lado quería saber cual es la razón por la que estando N fuera del segmento de contacto A1A2, los vectores de composición de las velocidades toman los sentidos contrarios a los "normales" en la Figura 04, página 11.

Respuesta: El movimiento del punto N, perteneciente tanto a una curva como a la otra, está dado por la velocidad V, la misma normal al vector posición ON.


Siendo que a V se la puede descomponer en una componente N y en otra T y que a ON se lo puede descomponer en un Rb y en un AN, la componente N está dada por Rb y por la rotación del punto N alrededor de O y la componente T por AN y por la rotación del punto N alrededor de A.

La pregunta se expresa mal cuando dice que la rotación es con radio AN pues ninguna rotación tiene radio alguno.

Lo que si es cierto es que un punto que rota alrededor de otro posee una velocidad lineal igual a la velocidad angular del punto en cuestión por el vector posición de dicho punto respecto al punto sobre el cual el mismo rota y normal a dicho vector posición.

Tampoco es cierto que el punto de contacto "retorna". Lo que es cierto es que un par de curvas resulta en contacto entre A1 y A2 (entre A y R más luego) y que atrás de dicho par, otro par resulta con la misma circunstancia, de manera tal que todos los pares de curvas que se pongan en contacto, comienzan con el contacto en A1 (en A más luego) y lo finalizan en A2 (en R mas luego), lográndose así continuidad en la marcha conjunta de el/los elemento/s motor/es y conducido/s.

Con el contacto fuera de A1A2, los vectores T resultan con sentido opuesto y ello se obtiene con sólo trazar el diagrama de velocidades V con sus componentes N y T (siempre N1 = N2 como para asegurar sincronía de movimientos y no impactos o choques).

Con el contacto entre A1 y A2, los vectores T resultan con el mismo sentido. Cuando resultan con el mismo sentido es como si hubiera deslizamiento sin choque y cuando resultan con sentidos opuestos es como si hubiera deslizamiento con choque.

También resulta cierto que el punto de contacto N se desplaza tanto sobre la recta nn como sobre la recta tt y que la recta tt se desplaza junto con el punto de contacto N.

Se sugiere no faltar, estar más atento en clase, tomar mejores apuntes, leer al menos una vez el apunte de cátedra previo a la clase, preguntar en clase y ver las animaciones.

Pregunta: Cuando se llega a la expresión donde, alfa = tg(beta), alfa representa la curvatura de la evolvente de círculo y beta la curvatura de la circunferencia en donde la evolvente se apoya?

Por ser la tangente de beta la que aparece en la expresión, con la Figura Nº 7 de referencia, ¿alfa depende del radio de la circunferencia y de los segmentos BiAi con i = 1, 2, 3, ?

Respuesta: Parece ser no se sabe lo que es un ángulo y menos aún lo que es curvatura. Esperando se sepa lo que significa radio, en un principio y siendo que se debería buscar los significados de cada término en particular antes de escribir lo que parece que pueda ser, la curvatura de una curva se define como 1 dividido por el radio con que la curva se traza o se define.

Tanto alfa como beta son ángulos y la ecuación alfa en radianes = tangente(beta) se obtiene de considerar que un arco de circunferencia base (definido el mismo


por el ángulo alfa) es igual al segmento de recta nn desarrollo del arco en cuestión.

Arco de circunferencia base BoBi = Segmento AiBi de recta nn

Por si acaso, recuerdo que la tangente de un ángulo, el mismo como ángulo parte de un triángulo rectángulo, resulta ser igual al cateto opuesto dividido por el cateto adyacente y que un arco de circunferencia resulta ser igual al radio de la circunferencia en cuestión multiplicado por el ángulo en radianes que el arco comprende.

Así las cosas, alfa no depende de ningún radio y de ningún segmento BiAi sino que más bien, los segmentos BiAi dependen de cada alfa en particular y del radio Rb de la circunferencia base.

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Teorema Del Engrane Plano